Slayt Başlığı Yok

POLİNOM FONKSİYONLARININ GRAFİKLERİ
1)POLİNOM FONKSİYONLARININ GRAFİKLERİ
F(x)= anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+....+a1x+a0 şeklindeki bir polinom
fonksiyonunun grafiğini çizerken aşağıdaki aşamalar izlenir:
1.f(x) in tanım kümesi bulunur.
Yani bu fonksiyonlar x  R için tanımlıdır.
2.f(x) in eksenleri kestiği noktalar bulunur.
x=0 için oy eksenini kestiği nokta,
y=0 için ox eksenini kestiği nokta bulunur.
y=0 için bir x değeri bulunamıyorsa fonksiyonun ox eksenini
kesmediği anlaşılır.
Bu basamakları örnek soru üzerinde incelemek için TIKLAYIN
3.Fonksiyonun geliş ve gidiş yönüne bakılır.
limx +_ (anxn+....) limiti hesaplanır,bulunan değerler eğrinin uç
noktalarının hangi bölgede olduğunu gösterir.
y
II.bölge
( -,+)
I.bölge
(+,+)
x
III.bölge
(-,-)
VI.bölge
(+,-)
x
I.bölge
+  için y
+  ise
x
-  için y
+  ise II.bölge
x
-  için y
-  ise III.bölge
x
+  için y
-  ise
IV.bölge
Bu basamağı örnek soru üzerinde incelemek için TIKLAYIN
4. F(x)’in tam kareli bir çarpanı,veya başka bir deyişle y  0 için çift
katlı bir kökü varsa bu kökte grafik ox eksenine teğettir.
5. F(x)’in türevine bakılır;yani fonksiyonun birinci türevi alınıp
sıfıra eşitlenir,varsa kökler bulunur,bulunan bu kökler fonksiyonda
yerine yazılarak y değeri elde edilir.Bu değerler fonksiyonun
maksimum veya minimum değerini verir.
6.Değişim tablosu yapılır.Yukarıdaki bulunan tüm bilgiler tabloya
aktarılır,türevin işareti incelenir,fonksiyonun minimum ve maksimum
noktaları belirlenir.
SONUÇ: Bu bilgilerin tamamı koordinat düzlemine aktarılarak
grafik çizilmiş olur.
Bu basamağı örnek soru üzerinde incelemek için TIKLAYIN
f:R
R , f(x) = x2-2x-3 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
1. Tanım kümesi tüm reel sayılardır.
2.Eksenleri kestiği noktalar.
x  0 için y  3
y0
için
x2-2x-3
( x  1)( x  3)  0 ise
BASAMAK
3-4-5
x1= -1 , x2=3
6
3. Fonksiyonun uç noktaları;
x
x
+  için y
+ için y
+ I.bölge
+ II.bölge
4.Çift katlı kök yoktur.
5.Türevine bakalım.
f ' ( x)  2 x  2  0 ise x  1 bulunur.
x  1  f(1)  1 - 2 - 3  -4
6.Değişim tablosunu inceleyelim.
x
 -1
f ' ( x)
f (x)

0
1
-
0
-3

3
+
-4
+

0
y
1
3
x
-1
-3
-4
ÖRNEK
f(x)= (x-2)2(x+1) fonksiyonun grafiğini
çiziniz.
ÇÖZÜM
1. F(x) bir polinom olduğundan x R için tanımlıdır.
2.Eksenleri kestiği noktalar
x=0 için y=4 , A(0,4)
y=0 için (x-2)2(x+1)=0


x1=x2=2, x3=-1 bulunur.
3.Fonksiyonun uç noktaları
x için y I.bölge
x- için y- III.bölge
4.Fonksiyonun (x-2)2 çarpanı tam kare olduğundan eğri x=2 apsisli
noktada x eksenine teğettir.
5.Türevine bakalım.
F(x)=(x-2)2(x+1) ise
f ‘(x)=2(x-2)(x+1) + 1 (x-2)2 =0
- 2)  x  2 =0
(x-2) (2 x 
(x-2) (3x)=0
x=2 , x=0 türevin kökleri
6.Değişim tablosu
x 
y'
+
-1
0
+

2
-
y
f(x) = (x-2)2(x+1)
f(0) = (0-2)2(0+1) = 4 ise f(0) =4
f(2) = (2-2) (2+1) = 0 ise f(2)=0
+

Fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir.
4
-1
2
f ( x )  x  2x  x  2
3
2
Fonksiyonun grafiğini çiziniz.
ÇÖZÜM
1. F(x) fonksiyonunu x  R için tanımlıdır.
2.Eksenlerin kestiği noktalar
x  0 için y  -2
y  0 için x 3  2 x 2  x  2  0
x 2 ( x  2)  x  2  0
(x - 2).(x 2  1)  0
x - 2  0 veya x 2  1  0 ise Çk  2 dir.
3.Fonksiyonun uç noktaları
x  
için
y  
I.bölge
x  -
için
y  -
III.bölge
4.Fonksiyonda çift kat kök yoktur.
5.Türevine bakalım.
f ' ( x)  3x 2  4 x  1  0  (3x  1)( x  1)  0
3x
- 1 ise
x
-1
x
1
,x 1
3
6.Değişim tablosu
x 
f ' ( x)
f (x)
1
3
0
+
+
1
-
+


2
+

-2

50
27
max
-2
min
0
y
1

50
27
-2
3
1
2
x
Asimptotlar fonksiyona sonsuzda teğet olan doğru veya eğrilerdir.
f ( x) 
P( x)
kesirli fonksiyonunda paydayı sıfır yapan x
Q( x)
değerine düşey asimptot denir.
P( x)
f ( x) 
( x  a )( x  b)
( x  a).( x  b)  0

xa
Burada a ve b noktalarındaki limitler

xb
  gider.
y
y
x
x
a
b
lim
lim
f ( x )   ve lim f ( x )   dıır
lim
f ( x )  
x 
x a
xa
x b
f ( x )  


lim
f ( x )  
lim
f ( x )  
x b

x b
-
Not:Grafik hiçbir zaman düşey asimptotu kesmez,ancak
düşey asimptota sonsuzda teğet olur.
f ( x) 
P( x)
Q( x)
kesirli fonksiyonu verildiğinde
1.Q(x)=0 denkleminin kökleri düşey asimptotları verir.
Eğer kökleri yoksa fonksiyonun düşey asimptotlarıda yoktur.
2.Düşey asimptot grafiği parçalar yani düşey asimptot sayısı
n tane ise grafik n+1 parçadan oluşmaktadır.
3.Kesirli fonksiyonların paydası (x-a)2 gibi tam kare ise x=a
da eğrinin ()‘a atılmış bir ekstremumu vardır.
(Aklımızda kalması için biz buna x=a da bir baca vardır
diyeceğiz)
y
y
x
x=a de   ‘a atılmış
bir ekstremum(baca) vardır.
P( x)
UYARI: f ( x) 
Q( x)
x
x=a da  ‘a atılmış bir
ekstremu (baca) vardır.
kesirli fonksiyonunda Q(x)=0 denkle-
minin kökleri P(x)=0 denkleminin kökü değilse düşey
asimptotturlar.Eğer Q(x)=0 denkleminin kökü,P(x)=0 denk
leminin de kökü ise,bu noktada f(x)’in sağ ve sol limitlerine
bakılır bu limitlerden en az  , ise o kök düşey asimptottur.
x  2x  x  2
f ( x) 
2
x 4
3
2
eğrisinin düşey asimptotu nedir?
ÇÖZÜM
x  2x  x  2
f ( x) 
2
x 4
3
2
Paydayı sıfıra eşitleyelim x 2  4  0  x  2, x  2
bulunur .
Bunlar düşey asimptot olabilmesi için bu noktalardaki limitlerin ()‘a gitmesi gerekir.
lim
x2

x3  2 x 2  x  2
0

x2  4
0
lim
x2
3x 2  4 x  1
3.2 2  4.2  1
5


2x
2 .2
4
olduğundan x=2 düşey asimptot değildir.
x 3  2 x 2  x  2  8  8  2  2  20


 
lim
2
x 4
0
0
x  2
olduğundan x=-2 düşey asimptottur.
f ( x) 
P( x)
Q( x)
lim f ( x)  a
kesirli fonksiyonunda
ve
x
lim f ( x)  b
(a, b  R)
x
y=a ve y=b doğrularına yatay asimptot denir.
Bu kesirli fonksiyon da;
i)Payın derecesi paydanın derecesinden büyükse
lim
x
P( x)
ax p  .....
 lim

q
Q( x )
 .....
x bx
olduğundan yatay asimptot yoktur(eğik veya eğri aimptot vardır)
ii)Payın derecesi paydanın derecesine eşitse eşit dereceli terimlerin
önündeki katsayıları oranı limitin değeridir.
P( x)
ax p  ..... a olduğundan y  a yatay
 lim

b
lim
q
Q
(
x
)
bx

.....
b
asimptottur.
x
x
iii)Paydanın derecesi payın derecesinden daha büyükse
P( x)
ax p  .....
olduğundan y=0 yani x


0
lim
lim
q
ekseni yatay asimptottur.
x Q( x )
x bx  .....
y
y
x
x
UYARI:Eğri düşey asimptotu kesmez.Fakat yatay asimptot eğri ve eğik
asimptotları kesebilir.Fonksiyonla asimptot denklemi ortak çözüldüğünde
bu kesim noktaları bulunur.
3x  2 x  5
f ( x) 
3
5x  x
3
2
eğrisinin yatay asimptotu bulunuz...
ÇÖZÜM
3x  2 x  5
 3
lim
3
5x  x
x
3
2
olduğundan y=-3 yatay asimptottur.
y
x
-3
y=-3
P( x) kesirli fonksiyonunda payın derecesi paydanın derecesinden
f ( x) 
Q( x) bir derece büyükse eğik,daha fazla dereceden büyükse eğri
asimptot vardır.
y=f(x) eğrisi için
lim
x
f ( x)  K ( x)  0 veya
lim
f ( x)  K ( x )  0
x
olacak şekilde bir K(x) polinomu varsa buna f(x) eğrisinin bir eğri
veya eğri asimptotu denir.Bu asimptot K(x)=mx+n şeklinde ise eğik
K(x)=mx2+nx+t şeklinde ise eğri asimptot adını alır.
P( x)
R( x) şeklinde yazılarak K(x) elde edilir.
f ( x) 
 K ( x) 
Q( x)
Q( x)
x  2x  x
f ( x) 
x2
3
2
Fonksiyonunun eğri asimptotunu bulunuz...
ÇÖZÜM
x3  2 x 2  x
 x2 1
x2
SONUÇ=
ve kalan 2' dir.
2
olduğundan y=x2-1 eğri asimptottur.
x 1
x2
2
1
-1
-1
Bir f(x) fonksiyonunu grafiğini çizmek için aşağıdaki yollar sırasıyla
izlenir.
*) f(x) in tanımlı olduğu aralık bulnur,fonksiyon trigonometrik ise pe
riyodu tespit edilir.
**) f(x) fonksiyonunun asimptotları bulunur.
***) f(x) fonsiyonunun eksenleri kestiği noktalar bulunur.
a) x=0 için y= f(0), A[0,f(0)] noktası fonksiyonunu y eksenini
kestiği noktadır.
b) y=0 için f(x)=0,B(x,0) noktası fonksiyonunun x ekseninin
kestiği noktadır.
****)Fonksiyon kesirli ise pay kesirsiz ise çarpanlardan biri tam kare
ise tam karenin kökünde grafik x eksenine teğettir.
*****)Türevine bakılır.Yani f’(x)=0 denklemi çözülerek eğrinin
ekstremum noktaları bulunur.Değişim tablosu yapılarak artan ve azalan olduğu aralıklar tesspit edilir.Bütün bilgiler bu değişim tablosu üzerine
yazılır ve bu bilgiler ışığında grafik çizilir.
1
y 
x2
Fonksiyonunun grafiğini çiziniz....
ÇÖZÜM
i) f(x)=y nin tanım kümesi R-{2} dir.
ii) x-2=0 ise x=2 düşey asimptot
lim
x
1
1

 0 , y  0 doğrusu yani x ekseni yatay asimptottur.
x2 
iii)Eksenleri kestiği noktalar x=0 için
nini kestiği noktadır.
y  0 için 0 
1
 0 1
x-2
iv)Değişim tablosu incelenirse
y
1 
1
A 0,  noktası
2 
2
y ekse-
yani eğri x eksenini kesmez.
y' 
1
0
2
( x  2)
olduğundan denklemin
kökü yoktur dolayısıyla foksiyon her yerde azalandır.
x

y’
y
0
2
0

-

1

2
0

y
2

1
2
x