ıı - fiziksel temeller

I - FİZİKSEL TEMELLER
I.A ) GİRİŞ
Öğrenimde ilk adım benzer şeyler arasındaki farklılıkları kavramaktır. Bebekliğimizde ilk
önce etrafımızdaki devasa yaratıklardan bizi besleyen, okşayan insanın anne, ona benzeyen
ama daha seyrek gördüğümüz insanın teyze, bizi havaya atıp tutan kalın sesli insanın da baba
olduğunu öğreniriz.
Öğrenimde son nokta ise farklı şeyler arasındaki benzerlikleri
kavramaktır. Belli bir tecrübe kazandıktan sonra tüm insanların, hatta tüm canlıların ortak
özelliklerini anlar hale geliriz. Bilimde de en üst düzey, farklı gözlemcilerin görüş açılarını
birleştirip, tek bir ilke ile ifade edebilmektir. Batıda Latince ‘E Pluribus Unum’ , doğu
tasavvuf kültüründe ise ‘Kesretten Vahdete’ olarak ifadesini bulan bu yaklaşım bilimin
temelini oluşturur. Mesela 4 sayısı gibi en temel bir kavramın bile “Tüm 4 elemanlı
kümelerin ortak özelliği” olarak tanımlanması buna güzel bir örnektir. Çeşitlilikten tekliğe
geçişte simetri prensipleri ve bunların matematikteki yansıması olan Grup Teorisi kullanılır.
Deney sonuçlarının deneyi yapandan, dolayısıyla fizik kanunlarının gözlemciden bağımsız
olması esastır. Dolayısıyla bilimin en temel simetri ilkesi ‘Deneyci değişir, ancak deney
sonuçları aynı kalır’
olarak ifade edilir.
Eşdeğer gözlemcilerin temel bir konuda
anlaşamamaları bir devrimin, yeni bir boyutun habercisi olabilir. Aynı nesneye bakıp biri
dikdörtgen, diğeri de daire gören iki gözlemci aslında bir silindire iki ayrı yönden bakıyor
olabilirler.
Gözlemcilerin, ayrıntılarda anlaşamasalar bile, temel noktalarda uyuşmaları,
üstelik uyuşmazlık noktalarının da bir ‘Lugat’ yardımıyla karşılıklı ‘Tercüme’ edilebilmesi
‘Relativite’ olarak adlandırılır. Üzerinde anlaşılan noktalar teorinin ‘Değişmez’lerini veya
korunan büyüklüklerini oluşturur. Ayrıntılar üzerindeki kurallı uyuşmazlık, kuralların varlığı
sayesinde ‘Empati’ye dönüşür; iki gözlemci de dünyayı birbirlerinin bakış açısından
görebilirler.
Zevkler ve inançların tersine, bilimde gözlemciler olaylara birbirlerinin
gözleriyle bakabilirler. Mesela İstanbul’da oturan İsmail’in koordinat sisteminde İstanbul
sıfır, Ankara ise 420 km noktasındadır. Öte yandan Madrid’deki Manuel İstanbul’a 3000 ,
Ankara’ya ise 3420 km
koordinatlarını uygun görür.
Koordinatlarda anlaşamayan iki
gözlemci uzaklıkta anlaşırlar : 3420 – 3000 = 420 – 0 = 420 km. İstanbul’dan Ankara’ya
giden bir üçüncü şahsın yolculuğu İsmail açısından
9:00 – 12:30 arası gerçekleşmişse,
ülkeler arasındaki saat farkı yüzünden Manuel bunun
8:00 – 11:30
arası olduğunu
1
düşünecektir. Gene mutlak zamanlarda uyuşamasalar bile zaman aralığında anlaşacaklar ve
yolculuğun üç buçuk saat sürdüğünde hemfikir olacaklardır. Bu kurallı uyuşmazlığın ‘Lugat’ı
X Manuel = X İsmail + 3000 km ; T Manuel = T İsmail + 1 saat
İki gözlemcinin uyuştuğu
X , T
olmaktadır.
Hız = X / T = 120 kph
ve
olayın değişmezleri olurlar. Bu düşünce yapısının tabanını ‘Simetri İlkeleri’ oluşturur.
Simetri : Bazı şeyler değiştiği halde her şeyin aynı kalmasıdır. Mesela birbirine tıpatıp
benzeyen iki kareye baktığımızda aynı olduklarını düşünebiliriz. Halbuki, belki de soldaki
kare sağdakinin 90o derece döndürülmüş halidir. Her yanı su ile çevrili balığın su içinde
olduğunu anlayamaması gibi, bir simetri tam ve kusursuz ise gözlenemez. Bu çarpıcı gerçek,
edebiyatımızda Hayali Mehmet Bey’in “Ol mahiler ki derya içredir deryayı bilmezler”
mısraında da dile getirilmiştir. Bilimin en temel ilkesi olan “ Deneyi şu veya bu gözlemci
izlesin, sonuç aynı kalır ” genel kuralının yanı sıra doğanın kendine has simetrileri de vardır.
Aristoteles ile başlayıp Galileo ile sonuçlanan böyle bir simetrinin ilkeleri :
1) Deney bugün veya yarın yapılsa,
2) Deney burada veya yan odada yapılsa,
3) Deney duran veya sabit hızla hareket eden bir ortamda yapılsa,
4) Deney burada veya koordinat eksenlerinin uzayda bambaşka yönlere yöneleceği Yeni
Zelanda’da yapılsa
aynı sonuçlara ulaşılır olarak özetlenir. Galileo Simetrisi olarak adlandırılan bu simetrinin
t  t  t o
altında yatan dönüşümler:
olarak ifade edilir. Burada
uo
R nˆ
sabit hızı ,

ro
r   R nˆ
R nˆ

uzayda ,
to
,

n̂
r  u o t  ro
ekseni etrafında

açısıyla dönmeyi ,
ise zamanda birer ötelemeyi göstermektedir.
, SO (3) grubunun bir elemanı olup
r ’yi değişmez kılan bir dönüşümdür.
Newton tarafından bu temel üzerine kurulan Klasik Mekanik, kendinden sonra Lagrange ve
Hamilton tarafından yeniden formüle edildi. Euler’in Varyasyon Hesabı tekniklerine dayalı
bu alternatif yaklaşımlar 1900’den itibaren gelişen ve atom altı parçacıkların davranışını
açıklamakta kaçınılmaz olan Kuantum Mekaniği’ne geçişte büyük rol oynadılar. Bu noktada
hemen ifade edilmelidir ki Varyasyon Hesabı’nın da temelinde de ‘Küçük bazı değişiklikler
yap ama her şey aynı kalsın’ gibi bir cins simetri ilkesi yatmaktadır. Maxwell tarafından
1865’de son biçimi verilen Klasik Elektrodinamik teorisinin deneyle gösterdiği uyum yanı
sıra, öngördüğü elektromagnetik dalgaların gözlenmesi ile başarı kazandı. Bunun sonucunda
2
sadece elektrik ve magnetizma değil, optik de aynı çatı altında toplanmış oldu. Ancak bu
başarılı teorinin Galileo simetrisi ile uyumsuz olması fizikçileri yeni arayışlara itti. Bu arayış,
uzay ve zamanın Galileo’nun öngördüğünden daha girift bir ilişki içinde oldukları, Einstein’ın
Özel Relativite teorisi ile 1905’de son buldu. Bu yeni teorinin öngördüğü simetri ilkesi
 x

 x
 

 ct , r 
uzay zaman koordinatı olmak üzere
 nˆ ,  , u   x  +  x 
o
 nˆ ,  , u 
o
o
Poincaré
dönüşümü ile verilir.
ile ifade edilen Uzay – Zaman dönüşümü,
Burada
c2 t2 
r
2
ifadesini değişmez bırakan SO (3,1) Lorentz grubunun bir elemanıdır. Relativistik klasik
mekanik ve elektrodinamik ile
1900 – 1940
yılları arasında gelişmesini tamamlayan
kuantum mekaniğin ortak teorisi QED ( Kuantum Elektrodinamiği ) fiziğin gelmiş geçmiş
en hassas teorilerinden biri olmuş ve bu hassasiyetin sınırı 10 10 mertebesine dayanmıştır.
Gene Einstein tarafından 1915 yılında ortaya atılan ve kütlelerin sadece uzay – zamanda
hareket etmekle kalmayıp aynı zamanda uzay–zamanı yamulttuklarını öngören Genel
Relativite teorisi ise astronomi ve kozmoloji dallarında çığır açtı. Ancak bu teorinin kuantum
mekaniği ile bir arada kullanılması ve temel parçacık fiziğine uygulanması fizikçilerin önünde
en büyük problem olarak durmaktadır. Klasik fiziğin temel kavramları Uzay, Zaman, Kütle
ve Elektrik Yükü’dür. İnsanlığın bilimsel anlamda ilk eğildiği kavram Uzay olmuş ve
Geometri bilimi doğmuştur. Bu yolda atılan ilk adımlar tarihin karanlıklarında kaybolmuş
olmakla beraber, geometrinin temellerinin M.Ö. 3. bin yılda atıldığı söylenebilir. Uzay’a
Zaman’ın da eklenmesi ile oluşan Kinematik çok daha yeni bir daldır. Cisimlerin nasıl
hareket ettiklerini inceleyen bu konu ortaçağda, 14. yüzyıl başlarında Oresme ile modern bir
görünüm kazanmış, 17. yüzyılda Galileo ile olgunluğa ermiştir. Galileo’nun ölümü ile eş
zamanlı doğan Newton, Uzay-Zaman’a Kütle kavramını da ekleyerek cisimlerin
neden
hareket ettiğini incelemiş ve Galileo dönüşümlerine dayalı olan Dinamik biliminin kurucusu
olmuştur. Fiziğin bağımsız bir dalı olarak gelişen elektrik ve magnetizma çalışmaları Gilbert,
Coulomb, Amperé ve Faraday’ın deneysel katkıları ile olgunlaşmış ve 1865 yılında
Maxwell’in oluşturduğu matematik yapı, Newton Dinamiği ile bütünleşerek Elektrodinamik
adını almıştır.
Ancak Maxwell denklemlerinin dinamiğin temelini oluşturan Galileo
dönüşümleri ile bağdaşmaması Newton Dinamiği’ne duyulan güveni sarsmıştır. 1905 yılında
Einstein, Lorentz dönüşümlerine dayalı yeni bir teori geliştirerek tüm dinamiği tutarlı hale
getirdi. Ancak gene Einstein tarafından 1915 yılında ortaya atılan Genel Relativite teorisi bu
tutarlılığı yeniden bozdu. Kütlelerin Uzay-Zaman’ı yamulttuklarını öngören bu teori bizi en
başa, Geometri’ye geri götürdü ve bir üçgenin iç açılarının toplamının
180
o
etmediği
3
geometrilerle yeni baştan yola çıkıldı. Özetle: bir eşitlik olarak ifade edebildiğimiz tüm fizik
kanunlarının ancak yaklaşık olarak geçerli oldukları, tabiatın kesin doğru olan kurallarının ise
tam bilinmediği ortadadır. Buna karşılık eşitsizlik olarak ifadesini bulan üç fizik kanunu
geçerliliğini korumaktadır. Tek parçacık için hız sınırı v  c
ilkesi:
d Sevren
dt
x p 
 0
,
Heisenberg belirsizlik
ve tüm evren için geçerli olan Entropi’nin sürekli artışı ilkesi:
2
. Bu son ilke, evrendeki önlenemez entropi artışı, her şeyin tekdüzeliğe
yönelmesi gibi kötümser bir tablonun habercisidir. Ancak bu ilkenin sınırlı bir bölgede ve
geçici bir süre ihlal edilebilmesi ise varoluş sebebimizdir. Bazı canlıların diğer bazı canlıları
yok etmek, dolayısıyla onların entropi’lerini arttırmak pahasına kendi entropi’lerini
azaltabilmeleri Evrim’in temelidir.
Ezeli leopar-antilop rekabetinde yavaş antiloplar
leoparlara yem olur, yavaş leoparlar açlıktan ölür, sonuçta her iki cins de daha hızlı olma
yönünde evrimden yararlanırlar. Darwin’in ‘en uyumlunun hayatta kalması’ ilkesi yanıltıcı
ölçüde kibar bir ifadedir. Doğrusu ‘uyumsuzun üremeye vakit bulamadan ölmesi’ olmalıydı.
Özelde ‘acımasız’ görünümlü bir avlanma olayının genelde nasıl evrime destek veren hayırlı
bir olay olduğu da üzerinde düşünmeye değer bir konudur.
Fizik tarihi: ilgisiz gibi gözüken dalların birleştirilerek köke inme çabalarının hikayesidir.
Kütle Çekim ve Dinamik yasaları bir araya gelip, o zamana kadar ayrı ve gözlemsel bir bilim
dalı olan Astronomi’yi dinamiğin özel durumuna indirgemişlerdi. Daha sonra gazların ve
ısının davranışları Termodinamik adıyla Dinamiğe katıldı. Ses dalgaları termodinamik bir
olay olduğu için Akustik de dinamikle birleşmiş oldu.
Elektrik olaylarının dinamikle
birleşerek nasıl Elektrodinamik bilimini oluşturduğu ve ışığın da bir Elektrodinamik dalga
olduğunun anlaşılması ile Optiğin de elektrodinamiğe katıldığı yukarıda görülmüştü.
Kuantum teorisinin de işin içine girmesi ile Kuantum Elektrodinamiği (KEDİ) fiziğin en
başarılı teorisi haline geldi. Zayıf etkileşmelerin de katılımıyla Elektro-Zayıf, aynı teknikler
kullanılarak Kuvvetli etkileşmeleri de kapsayan Büyük Birleştirme Teorisi 20. yüzyılın son
çeyreğinin büyük ilerlemeleri oldular. Kütle çekimi veya genel relativite’nin kuantum fiziği
ile bağdaştırılması fiziğin önündeki en belirgin hedef olarak durmaktadır.
4
I.B ) RELATİVİTENİN TEMELLERİ
Relativite veya bu konunun en büyük ismi Einstein’in koyduğu isimle ‘Invariantztheorie’
eşdeğer gözlemcilerin ‘Mutlak’ veya ‘Değişmez’ değerler üzerinde uyuşmaları, sadece
‘Detay’ veya ‘Relatif’ değerler üzerinde uyuşmamalarıdır. Ancak bu uyuşmazlığın da bir
kuralı vardır ve eşdeğer gözlemcilerin ölçümlerinin birbirine dönüştürülmesi imkanı vardır.
Böylece relativite bazı sosyal bilimcilerin sandıkları ve ‘zaten her şey gözlemciye bağlı’
olarak ifade ettikleri gibi kötümser ve belirsizliğe yol açan bir konu değildir. Tam tersine
iyimser ve olaya karşı tarafın gözüyle de bakabilmeye imkan tanıyan, değişik gözlemleri tek
çatı altında toplayıcı bir yaklaşımdır. İki gözlemciye ek olarak, ‘ortam’ benzeri bir üçüncü
unsurun varlığı eşdeğerliği bozar. Mesela : El çırparak oluşturduğumuz bir ses, merkezi
ellerimiz olmak üzere yarı çapı zamanla lineer olarak büyüyen bir küre biçiminde yayılır ve
x2  y2  z2  c2 t2
c : ses hızı , t : geçen zaman olmak üzere
olur. Ancak rüzgar
esmesi veya kaynağın hareket ediyor olması durumunda bu formül geçerliliğini kaybeder.
‘Kaynak Merkezli Küre’ kuralında sadece ortama (bu durumda havaya) göre hareketsiz olan
gözlemcilerin ayrıcalıklı bir konumu vardır. Dolayısıyla birbirlerine göre
uo
hızıyla
hareket eden iki gözlemcinin ortak olarak oluşturdukları bir ses için gözlemcilerden en az biri,
lineer olarak genişleyen bir kürenin merkezinde olduğunu ileri süremez.
elektromagnetik dalgaların da yayılması için ‘eter’
Önceleri
ismi verilen bir ortam gerektiğine
inanılmış, ancak Michelson - Morley tarafından dünyamızın eter’e göre hızını ölçme deneyi
sıfır sonuç verince böyle bir ortam olmadığı anlaşılmıştır. Böylece birbirlerine göre
uo
hızıyla hareket eden iki gözlemcinin ortak olarak oluşturdukları bir kıvılcımın ışığı için iki
gözlemci de, yarıçapı zamanla lineer olarak büyüyen bir kürenin merkezinde olduklarını ileri
sürer ve haklı olurlar. Relativite kavramının gerçek babası Galileo daha 17. yüzyılda birbirine
göre sabit hızla hareket eden iki gözlemcinin eşdeğer olduğunu ortaya koymuş ve bu Newton
dinamiğinin temelini oluşturmuştu.
x  x  uo t  xo
;
t   t  to
denklemleri böyle iki gözlemcinin ölçümlerini birbirine dönüştüren ilişkilerdir.
dx  dx  u o dt
dv  dv
Relatif
=
;
;
dt  dt
a  a
v  v  u o
;
bağıntıları da bizi aşağıdaki sınıflandırmaya götürür :
{ x , t , dx , v }
mutlak yegane değişken olan

;
Mutlak = { dt , dv , a } . Sonlu ve
a ’nın Newton dinamiğinin temelini oluşturması doğaldır.
5
Einstein, Galileo’nun relativite ilkesini aynen korudu, ancak ona bir ek yaptı : Işık hızı
kaynak veya gözlemcinin hızından bağımsız bir evrensel sabittir. Böylece ortaklaşa ışık
x2  y2  z2  c2 t2
oluşturan iki gözlemcinin, ikisi de doğru olan
x 2  y 2  z 2  c 2 t  2
c2 t
2
 x2

ifadeleri, basitlik açısından uzay boyutu bire indirilerek,
c 2 t  2  x 2
olarak birleştirilir. Dönüşüm ise
c t 
cosh  sinh    c t 

 x 
 sinh  cosh    x 
 

  
v  0
ile verilir ve
‘Lorentz Dönüşümü’
olarak
sinh   v cosh 
v
dx
c


v
c
c dt 
cosh  
sinh 
c
adlandırılır. Bu dönüşümden
ile verildiği ve
ve
v  uo

özel durumundan
anlaşılır. Gene aynı dönüşüm kullanılarak hızların
uo  tanh 
v1  v 2 
v1  v 2
v v
1  122
c
olduğu
olarak
toplandıkları görülür.
I.C ) RELATİVİSTİK KİNEMATİK VE ÇARPIŞMALAR
ct,r 
Lorentz dönüşümleri altında
gibi davranan cebirsel nesnelere 4-Vektör denir.
4-Vektörlerin toplam veya farkları, ayrıca bir skalar ile çarpımları da bir 4-Vektör olacaktır.
Dolayısıyla bir 4-Vektör’ün diferansiyeli de, bir skalara göre türevi de 4-Vektör olur.
 x
 ( ct , r )
 dx dx   c 2
Değişmez’i olan bir
dx

 dt 
2
 ( c dt , dr )
 dr  dr
‘Zaman’
 c2
parametresini
eşitliklerinden yola çıkarak
 d 
2
d 
ifadesine erişiriz. Lorentz
2
1  v
c2
dt
olarak
6
tanımlayarak
v
4-Hız için
 v v   c 2
elde edilir. 4-Hız’ın norm karesi
 p
4-Momentum ise doğal olarak
ile verilir ve norm karesi

d  x


 
d


 m v
c
2
1  v
,
c
2
c2





c2





v
2
1  v
gibi bir değişmez olacaktır.


 


mc
2
1  v
,
c
2
mv
2
1  v
m2 c2 olur. Bazı önemli 4-Momentum’lar :
Hareket halinde kütleli parçacık :
( po , p )  ( E
c
,p)
po 
:
Hareketsiz kütleli parçacık :
Kütlesiz parçacık :
(
k,
ko  E 

;
p 
k
(mc, 0)
k )
:
k 
2



c
olarak ifade edilir. Dış kuvvetlerin etki etmediği durumlarda 4-Momentum’un korunacağı
açıktır. Relativistik Kinematik problemlerinin çözümlerinde benzer fakat değişik iki metot
kullanılır.
a ) İlk ve Son 4-Momentum aynı Lorentz çerçevesinde bir eşitlik olarak yazılır, istenmeyen
değişkenler yalnız kalacak şekilde gerekli yer değiştirmeler yapılır ve iki tarafın norm karesi
eşitlenip çözüme gidilir.
b) İlk ve Son 4-Momentum değişik iki Lorentz çerçevesinde bir dönüşüm olarak yazılır ve
iki tarafın norm karesi eşitlenip çözüme gidilir.
İlk metoda örnekler olarak : Duran elektronun foton ışıyarak geri tepmesi ve Compton Olayı,
ikinci metoda da örnek olarak Çift Yaratma Enerji Eşiği ele alınacaktır.
7
a1) Duran elektronun foton ışıyarak geri tepmesi :
(mc, 0) 
(mc, 0) 
( E

m2 c 2  2 m c
c
k,
k
k



,p)

 ( E
k,
c

,p)

m2 c 2
k
İmkansız !
a2) Compton Olayı :


k,
k,

k 
k
 (mc, 0)  ( E
 (mc, 0)
      
2
mc
c
, p)  (mc, 0)
E  7 m c2

,p) 


k ,
k
1
 cos 

b) Çift Yaratma Eşik Enerjisi :
( E
c



k ,
 ( E
k
c

,p)

e  e  
 e e e e
 4mc, 0 
K .E.  6 m c 2
8
KUANTUM MEKANİĞİNİN İLKELERİ
I.D )
Kuantum mekaniği üç temel üzerine kurulmuştur :

1) Gösterimler : Kuantum durumları
: Ket lineer vektör uzayının elemanlarıyla,
gözlenebilir fiziksel operatörler de
ermitsel operatörler ile temsil edilirler.
2) Kurallar : Hamilton fonksiyonu
H
c
ko
p
, Momentum
ko
, zamanda ötelemelerin jeneratörü
ise uzayda ötelemelerin jeneratörü
k
cinsinden
cinsinden
k
olarak ifade edilir.
n
3) Ölçüm : hermitsel operatörünün özketleri
m n
oluştururlar. Yani
 m n
Tam bir Ortonormal küme
 
ve
n
n

n
Dolayısıyla keyfi bir



mümkündür.

durum ketinin

n

n

n

n
1
sağlarlar.
cinsinden açılımını yapmak

an
n
.
n
Durum keti üzerinde yapılan bir ölçüm sonucu :
 n  Spectrum [  ]
i) Yalnızca
değerleri
an
2

n

2
ihtimalle ölçülür ve
ii)

n
durumu
durumuna dönüşür.
Dolayısıyla kuantum ölçümleri bir VE durumunu VEYA durumuna indirgerler.
Kuantum durumlarının ket gösterimi çok soyut bulunabilir, dolayısıyla çoğu zaman ‘Dalga
Fonksiyonu’ 
r
,t

ile işlem yapılır. Bu fonksiyon Uzay-Zaman Bra’sı ile Durum
Ket’inin skalar çarpımıdır ve
Dolayısıyla 
r
,t



r,t 

r,t 
nerede , ne zaman ne
olarak tanımlanır.
olmaktadır.
9
PROBLEMLER
P.I.1 )
M
kütleli bir parçacık bozunduğunda ortaya çıkan parçacıkların kütlelerinin
toplamının ilk parçacığın kütlesinden
M kadar daha az olduğu biliniyor. Herhangi bir
m i kütleli bozunma ürününün kinetik enerjisinin en fazla :
mi
M  2

( K .E.)imax  M  1 

c
M
2M 

olabileceğini gösterin.
P.I.2 ) Bir kuantum sisteminin Hamilton matrisi
H
4
durum vektörü ise    
 3
 
= 1 1
1 1


, normalize edilmemiş
ile veriliyor. Bir enerji ölçümünün mümkün sonuçlarını
ve bunların ihtimallerini hesaplayın.
10