istatistiksel kalite kontrolde kullanılan temel istatistiksel ölçüler

1
İSTATİSTİKSEL KALİTE KONTROLDE KULLANILAN TEMEL
İSTATİSTİKSEL ÖLÇÜLER (MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILIM
ÖLÇÜLERİ)
Kalite Mühendisliği kapsamında İstatistik Proses Kontrolde (İPK) kullanılan
temel istatistik ölçüler ve bunların hesaplanma tarzları bu bölümde ele
alınmıştır. Bir prosesi ele alırken anakütledeki (prosesteki) elemanlara ait
ölçüm değerleri kümesi ve bu kümeden seçilen örnek değerleri kullanılarak
temel
bazı
istatistik
ölçülere
ulaşılır.
Bu
sebeple
anakütle
ve
örnek
kavramlarının öncelikle tanımlanması gerekir.
Anakütle:
Belli
elemanlardan
bir
konu
hakkında
ölçülmüş
veya
ölçülebilen
meydana gelen evrensel kümeye denir. Anakütleye ait
özelliklere (ortalama, oran, standart sapma vs.) parametre adı verilir.
Örnek: Sınırlı sayıda elemandan meydana gelen ve anakütlenin parametreleri
hakkında bilgi edinmek amacıyla anakütleden çekilen herhangi bir alt kümeye
örnek veya örneklem adı verilir. Örneğin her şeyden önce anakütlenin
özelliklerini yansıtması gerekir. Bunun için örnek seçiminin yeterli ve uygun
şekilde yapılması şarttır. Örneğe ait karakteristiklere (ortalama, oran, standart
sapma
vs.)
örnek
istatistiği
adı
verilir
ve
anakütle
parametrelerinin
tahmincileri olarak ifade edilirler. Anakütledeki birim sayısı (N) ve örnekteki
birim sayısı ise (n) harfi ile gösterilmektedir.
İstatistik problemlerin çözümünde kullanılacak veriler, istatistik serilere ve
grafiklere dönüştürülmek suretiyle incelenmektedir.
Kalite Mühendisliği çalışmalarında kullanılan başlıca istatistik seriler
veya veri setleri üç grupta toplanmaktadır.
a) Basit seri veya veri seti: Verideki değerlerin küçükten büyüğe sıralanması ile
elde edilen serilerdir.
2
b)
Tasnif
edilmiş
(sınıflandırılmış)
seri
veya
veri
seti:
Tekrarlayan
elemanların bir araya getirilip frekans (tekrar sayısı) şeklinde gösterildiği
seridir. Böylece seri değerleri aynı kalmakta, ancak seri daha dar ve anlaşılır
hale gelmektedir.
c) Gruplanmış Seri: Bir veri setinde yer alan değerlerin sınıf denilen belli
genişlikteki aralıklara ve seride yer alan frekansların da bu sınıflara
dağıtılmasıyla elde edilen serilere denilir. Bu tip serilerde verinin gerçek
değerleri ortadan kalkmakta, ancak veri daha anlaşılır hale gelmektedir.
Örnek: Bir makinede 30 günlük üretilen mamul miktarının dağılımı aşağıda
verilmiştir.
Bu
verileri
basit,
tasnif
edilmiş
ve
gruplanmış
serilere
dönüştürünüz.
Üretim miktarı (X i): 10,15,8,17,15,16,21,24,13,14,7,14,18,16,15,21,15,10,
13,17,15,19,17,18,15,11,13,14,19,16
Çözüm: Basit seriye dönüşüm
Xi:7,8,10,10,11,13,13,13,14,14,14,15,15,15,15,15,15,16,16,16,17,17,18,18,
19,19,21,21,24,25
Basit seride sadece bir sıralama işlemi gerektirdiğinden verideki bütün
elemanlar
aynen
muhafaza
edilmiştir.
azaltmaktadır.
Tasnif edilmiş seri
Üretim mik.(Xi)
Gün sayısı (fi)
7
1
8
1
10
2
11
1
13
3
14
3
15
6
16
3
17
3
18
2
Bu
ise
verinin
anlaşılırlığını
3
19
2
21
2
24
1
Toplam
30
Gruplanmış seri: Bunun için uygun bir sınıf aralığı belirlenmelidir. Sınıf
aralığı için aşağıdaki formülü kullanmak mümkündür.
S
X max X min
1 3,322 log N
S: Sınıf aralığı, X max: serinin en büyük değeri, X min: Serinin en küçük
değeri,
N:Gözlem sayısı
S
24 7
1 3,322 log 30
17
5,907
3
Yukarıdaki veri seti için sınıf aralığı 3 olur.
Gruplama işlemi verinin boyutunu azaltırken daha anlaşılır hale getirmektedir.
Ancak verilerin orijinalliği ortadan kalkmaktadır.
Üretim
Gün sayısı
miktarı
7-10 dan az
2
10-13 “
“
3
13-16 “
“
12
16-19 “
“
8
19-22 “
“
4
22-25 “
“
1
Toplam
30
4
1. Merkezi Eğilim Ölçüleri (Ortalamalar)
Çok sayıda gözlem değerinden oluşan serileri daha anlamlı hale getirebilmek için tasnif ve
gruplama işlemine gidilir. Ancak bu işlem olayın normal değerini ortaya koymak için yeterli
değildir. Bunun için bir serideki bütün gözlem değerlerini temsil eden tek bir rakam elde
edilebilir. İşte bu rakama merkezi eğilim ya da ortalama adı verilir. Ortalamalar özellikle tek
maksimumlu serilerde gözlemlerin hangi değer etrafında toplanma gösterdiğini ortaya koyar.
Ortalama değer daima serinin minimum ve maksimum değerleri arasında yer alır.
Xmin Ortalama
Xmax
Ortalamaları farklı açılardan sınıflandırmak mümkündür. Ancak burada genel olarak kabul
edilen bir sınıflama şeklini ele alacağız. Buna göre ortalamaları analitik (duyarlı) ve analitik
olmayan (duyarsız) ortalamalar şeklinde iki grupta incelemek mümkündür. Analitik
ortalamalar bütün veri setini dikkate alan ortalamalar (aritmetik, geometrik, harmonik, kareli
ortalamalar), analitik olmayan ortalamalar ise veri setinin bir kısım elemanlarını dikkate
alarak hesaplanan ortalamalardır (mod, medyan).
1.1. Analitik (duyarlı) Ortalamalar
Serideki bütün gözlem değerleri üzerinden hesaplanan ortalamalardır. Bunlar aritmetik,
geometrik, harmonik ve kareli ortalamalardır. Ancak burada sadece aritmetik ve geometrik
ortalama üzerinde durulacaktır.
1.1.1) Aritmetik Ortalama( X )
Serideki gözlem değerleri toplamının, toplam gözlem sayısına oranı şeklinde hesaplanır.
N
Basit seride
X 1 X 2 .......... . XN
X=
N
Xi
=
i 1
N
k
Tasnif edilmiş ve gruplanmış serilerde
f 1 X 1 f 2 X 2 .... fkXk
X=
=
f 1 f 2 .... fk
f iX i
i 1
k
fi
i 1
Burada Xi: i. gözlem değeri,
5
Gruplanmış seride Xi; i. sınıfın orta noktasıdır. [(Sınıf alt sınırı +Sınıf üst sınırı)/2]
fi: i. gözlemin tekrar sayısı (frekansı)
Örnek 1.1) Bir işletmede aynı parçayı üreten işçilerin bu parçayı üretim sürelerinin dağılımı
aşağıdaki gibi gözlenmiştir. Parça üretim süresinin aritmetik ortalamasını bulunuz.
Parça üretim süresi İşçi sayısı
(dakika) (Xi)
(fi)
12
2
13
4
14
7
15
6
16
1
Toplam
fi=20
fiXi
24
52
98
90
16
fiXi=280
Seri tasnif edilmiş olarak verilmiştir. O halde aritmetik ortalaması:
5
f iXi
X=
i 1
5
fi
= 280 =14 dk/parça olarak bulunur.
20
i 1
Aritmetik ortalama istatistik analizin temel ölçülerinden biri olup en yaygın kullanılan
ortalamadır. Özellikle normal dağılış gösteren ya da ona yakın dağılan verilerin ortalaması
için seriyi temsil kabiliyeti yüksektir. Aritmetik ortalama bazı özelliklere sahiptir. Bu
özellikleri kısaca şöyle özetlemek mümkündür.
1. Aritmetik ortalamanın veri sayısı ile çarpımı serinin toplamına eşittir.
2. Terimlerin aritmetik ortalamadan cebirsel sapmalarının toplamı sıfırdır.
3. Terimlerin aritmetik ortalamadan sapmalarının kareleri toplamı minimumdur.
4. Bir serinin bütün terimlerine aynı sayıyı eklersek (çıkartırsak) aritmetik ortalama
eklenen (çıkartılan) sayı kadar artar (azalır).
5. Bir serinin bütün terimlerini aynı sayıyla çarptığımızda (böldüğümüzde) aritmetik
ortalama çarptığımız (böldüğümüz) sayıyla orantılı olarak büyür (küçülür).
6. Aritmetik ortalama veri setindeki aşırı değerlere karşı duyarlı bir ortalamadır
1.1.2) Geometrik Ortalama(G)
Bir serideki gözlem değerlerinin birbirleri ile çarpımlarının, gözlem sayısı derecesinde
kökünün alınması ile elde edilir. Şu halde basit bir seri için geometrik ortalama;
G
N
X1 X 2 X 3
XN şeklinde bulunur. Kısaca
6
N
G
Xi
N
yazılabilir. Burada ∏ işleci çarpım işlemi için kullanılır.
i 1
Ancak bu yoldan geometrik ortalamayı bulmak için gözlem sayısının az olması gerekir.
Gözlem sayısı arttıkça bu yoldan geometrik ortalamayı hesaplamak güçleşmektedir. Bunun
yerine logaritmik dönüşüm uygulanarak geometrik ortalama hesaplanır. Şöyle ki;
G
N
G
(X1 X 2 X 3
X1 X 2 X 3
XN
ifadesi üslü olarak şöyle yazılabilir.
XN ) 1/N veya
G = ∏(Xi)1/N şeklinde yazılabilir. Bu ifadenin her iki tarafının logaritması alınırsa
log( X 1 X 2 X 3
N
logG =
XN )
olur. Çarpımın logaritması ayrı ayrı logaritmalar
toplamına eşit olduğuna göre;
log X 1 log X 2 log X 3
N
logG =
log XN
olup düzenlenirse;
N
log Xi
logG =
elde edilir. logG’yi G’ye çevirmek için; G =10logG dönüşümü
i 1
N
yapılır.
Tasnif edilmiş ve gruplanmış serilerde;
G=
fi
X 1f 1 X 2f 2 X 3f 3
X kfk olup logaritmik olarak
k
logG =
f 1 log X 1
f 2 log X 2 f 3 log X 3
f1 f 2 f3
fk
fk log Xk
fi log Xi
i 1
olur.
k
fi
i 1
Örnek 1.9) Bir işletmede aynı parçayı üreten 5 işçinin belli bir günde ürettikleri kusurlu
parça sayıları aşağıda verilmiştir. Bu işletmede kusurlu parça üretiminin geometrik
ortalamasını bulunuz.
Kusurlu parça sayısı
(Xi)
3
5
8
15
logXi
0.477
0.699
0.903
1.176
7
30
N
1-) G
1.477
log Xi = 4.732
X1 X 2 X 3
XN =
5
3 5 8 15 30 = 5 54000
G = 8,84 parça
2-) Logaritmik yoldan geometrik ortalamanın bulunuşu
N
log Xi
G=
4.732
5
İ 1
N
logG = 0.9464
G = 100,9464
G = 8,84 parça.
1.2. Analitik olmayan ortalamalar:
Bu gruptaki ortalamalar serinin bütün değerlerini dikkate almayıp, sadece belli birkaç
değerini, özellikle ortadaki değerleri esas alarak hesaplanan ortalamalardır. Serinin bütün
değerlerini dikkate almadan hesaplandıkları için analitik olmayan ortalamalar olarak
adlandırılmaktadırlar.
1.2.1) Mod
Bir seride en çok tekrarlanan değere mod adı verilir. İstatistikte nispeten az kullanılan bu ölçü
özellikle verilerin simetrik bir dağılış göstermediği durumlarda iyi bir ölçü olarak
düşünülebilir. Basit ve tasnif edilmiş seride modun bulunması oldukça kolaydır. Basit bir
sayma ya da tasnif işlemi ile en çok tekrarlayan eleman bulunabilir. Eğer seride en çok
tekrarlanan birden fazla eleman varsa bu tür seriler çok modlu seriler olarak isimlendirilir.
Böyle serilerde modun tek bir değerle ifade edilmesi istenirse seri gruplanmış hale
dönüştürülerek modu hesaplanabilir. Gruplama sonrasında da en yüksek frekansa sahip tek bir
sınıf bulunamazsa sınıflar birleştirilerek mod hesaplanabilir.
Gruplanmış seride modu bulmak için serinin frekanslar sütunundan hareketle en çok
tekrarlanan sınıf belirlenir. Belirlenen sınıf içerisinde mod’a karşılık gelen değeri elde etmek
için aşağıdaki formül kullanılır.
Mod
1
l1
1
s
2
l1: mod sınıfı alt sınırı
1: mod
2:
sınıfı frekansı ile bir önceki sınıf frekansı arasındaki fark
mod sınıfı frekansı ile bir sonraki sınıf frekansı arasındaki fark
8
s: serinin sabit sınıf aralığı
Örnek 2.2Konutlarda yıllık olarak tüketilen doğalgaz miktarının dağılımı aşağıda verilmiştir.
Konutlarda yıllık olarak tüketilen doğalgaz miktarının ortalamasını mod ile belirleyiniz.
Doğalgaz tüket.
Konut
(m3/yıl)
Sayısı
0 – 500
30
l1 = 1000
500 – 1000
50
1 = 100 – 50 = 50
1000 – 1500
100
Mod sınıfı
2 = 100 – 70 = 30
1500 – 2000
70
s = 500
2000 – 2500
20
Mod
1
l1
1
s
Mod
2
1000
50
500
50 30
Mod
1312,5
Mod
1312500 m 3 / yil
Modun özellikleri
1- Ortalamalar oranında en temsili alanıdır.
2- Pratik hayatta çok kullanılan ortalamalardandır
3- Özellikle kalitatif (niteliksel) serilerin ortalaması mod ile ifade edilir. Göz rengi,
medeni hal, marka, cinsiyet v.s gibi değişkenler kalitatif değişkenler olup sayısal
olarak ifade edilemezler.
4- Mod serideki aşırı değerlere karşı hassas değildir. Çünkü normal serilerde mod
genellikle serinin orta bölgesinde yer alır, uç değerlerden etkilenmez.
5- Yukarıdaki avantajlarının yanında analitik olmaması sebebi ile matematik işlemlere
elverişli değildir.
6- J, ters J ve U tipi serilerde mod temsili alma özelliğini kaybeder. Böyle serilerde mod
ya en küçük veya en büyük değere karşılık gelir.
1.2.2. Medyan (Ortanca)
Serideki değerler küçükten büyüğe sıralandığında tam ortaya düşen ve seriyi iki eşit parçaya
bölen değere medyan adı verilir.
Basit ve tasnif edilmiş seride medyanın bulunuşu: Bunun için serideki değerler küçükten
büyüğe sıralanır daha sonra medyana karşılık gelen değerin sıra değeri belirlenir.
N 1
2
işlemi ile medyanın hangi sıradaki eleman olduğu belirlenir. Eğer bu işlemin sonucu tam sayı
ise bu sıradaki eleman medyan olarak belirlenmiş olur. Eğer bu işlemin sonucu kesirli çıkarsa
9
medyan iki değerin tam ortasına düşeceğinden bu iki değerin ortalaması alınarak medyan
bulunur
Medyanın özellikleri
1- Pratik bir ortalamadır. Çünkü sadece basit bir sıralama işlemi gerektirir.
2- Özellikle açık sınıflı seriler için medyan daha bir önem kazanır. Çünkü seride açık
sınıflar uçlarda yer alır. Medyan ise ortaya düşen değerdir. Böyle olunca medyan bu
açık sınıflardan etkilenmez ve kolaylıkla hesaplanabilir.
3- Serideki aşırı değerlere karşı hassas değildir. Çünkü medyan serinin ortasına
rastladığında, uçlarda oluşan aşırı değerler medyanı etkilemez.
4- Serideki değerlerin medyandan mutlak farkları toplamı minimum olur.
Xi-medyan
minimum
5- Medyanın zayıf tarafı serideki bütün değerleri dikkate almaması sebebi ile matematik
işlemlere elverişli değildir.
Mod, Medyan ve Aritmetik Ortalama Arasındaki İlişkiler
1- Simetrik ortalamada her üç ortalama birbirine eşit olur.
X = Medyan = Mod
2- Sağa çarpık serilerde X > Medyan > Mod olur.
3- Sola çarpık seride
X < Medyan < Mod olur.
4- Asimetrisi hafif seriler için yaklaşık olarak aşağıdaki eşitlik geçerlidir.
( X - Mod ) 3( X - Medyan)
2. Sapma Ölçüleri
Bir örneği meydana getiren elemanlar ortalama değer etrafında belirli bir dağılış gösterirler.
Gözlem değerleri arasındaki farklılıktan ileri gelen bu durum istatistik olarak serinin önemli
karakteristiklerinden biridir.
Bilindiği gibi ortalamalar serinin merkezi noktasını belirlemeye yarayan ölçülerdir. Dağılma
ölçüleri ise gözlem değerlerinin bu merkezi noktadan uzaklaşma durumunu ortaya koyan
ölçülerdir. Aynı ortalamaya sahip seriler farklı dağılış gösterebilirler. Bu yüzden bir seriyi
sadece ortalama değere göre tanımlamak yanlış olur. Bunun yanı sıra dağılışının da bilinmesi
gerekir.
10
Bir seride ortalamanın temsil kabiliyeti ile dağılma durumu arasında ters bir ilişki vardır.
Dağılışı az olan serilerin ortalamaları daha temsili oldukları halde, dağılışı fazla olanların
ortalamaları seriyi daha az temsil eder. Bu sayede dağılışın tespiti ortalamanın temsil
kabiliyeti hakkında da bilgi verecektir.
2.1. Mutlak Sapma Ölçüleri
Bu dağılma ölçüleri ilgili değişkenin kendi cinsinden (kg, cm, TL vs) sonuç verir. Bu sebeple
mutlak dağılma ölçüleri olarak adlandırılırlar.
2.1.1. Değişim Aralığı
Gözlem değerlerinin maksimum ve minimumu arasındaki fark olup verilerin ne kadarlık bir
aralıkta değiştiğini gösterir.
R = Xmax – Xmin
Xi : 12,15,20,30,50,52,58,70,90
olan bir serinin değişim aralığı R=90-12 =78 olur . Yani
gözlem değerleri 72 birimlik bir aralıkta değişme göstermektedir.
Bu dağılım ölçüsünün oldukça basit ve anlaşılır olmasına karşılık sadece iki uç değere bağlı
olması, dolayısıyla serideki aşırı değerlerin etkisi altında olması mahzurlu yönünü oluşturur.
Sadece iki uç değeri dikkate alması diğer gözlem değerlerinin dağılımının hiç dikkate
alınmamasına sebep olmaktadır.
2.1.2. Ortalama (mutlak) Sapma
Bilindiği gibi sapmalar serisinin (analitik ortalamadan sapmalar) toplamı sıfıra eşittir.
(Xi
X)
0 . Bu durumda sapmalar serisinin ortalamasını elde etmek değildir. Serinin
toplamını sıfır olmaktan kurtarabilmek için mutlak sapmalar dikkate alınabilir. Böylece
mutlak sapmalar serisinin ortalaması alınarak yeni bir sapma ölçüsü elde edilebilir. Bu sapma
ölçüsü diğer iki sapma ölçülerinin aksine serinin bütün değerlerini dikkate almaktadır. Bu
sebeple daha kullanışlı ve daha temsili bir sapma ölçüsü elde edilmiş olmaktadır. Ortalama
sapmayı şöyle formüle edebiliriz.
11
Xi
Basit Seride O.S
X
N
fi X i
Tasnif Edilmiş ve Gruplanmış Seride O.S
X
fi
Örnek:
Bir atölyede üretim hattında günlük olarak üretilen mamul sayılarının dağılımı aşağıda
verilmiştir. Günlük üretimin ortalama sapmasını bulunuz.
Mamul Sayısı (Xi)
Xi
X
fi X i
X
33
2
66
-3,5
7
34
5
170
-2,5
12,5
35
9
315
-1,5
13,5
36
30
1080
-0,5
15
37
20
740
0,5
10
38
16
608
1,5
24
39
5
195
2,5
12,5
40
3
120
3,5
10,5
fi
Toplam
X
Gün Sayısı (fi) fi. Xi
fiXi
fi
3286
36,5
90
90
fi.Xi
3286
. fi X i
X
fi Xi
Ortalama sapma O.S
fi
105
X
105
90
O.S
1,167a det/ gün
12
Örnek:
Bir ağrı kesicinin insanlar üzerinden ne kadar süre ile etkili olduğunu belirlemek için yapılan
araştırmada, ağrı kesicinin etkinlik süresinin aşağıdaki gibi dağıldığı gözlenmiştir. Bu verilere
göre etkin sürenin ortalama sapmasını bulunuz.
Etkin. Sür. (saat) Hast. Say.
fi. Xi
Xi
X
fi Xi
X
2–5
10
3,5
35
-5,8
58
5–8
30
6,5
195
-2,8
84
8–12
50
10
500
0,7
35
12–20
16
16
256
6,7
107,2
Toplam
X
Xi
106
986
9,3 saat
106
986
284,2
fi Xi
Ortalama Sapma O.S
fi
X
284,2
106
2,68 saat
Ortalama sapmanın üstün ve zayıf yönlerini şöyle özetleyebiliriz. Ortalama sapma serinin
sapmasını iyi bir şekilde göstermektedir. Ancak mutlak işlemler gerektirmesi bu sapma
ölçüsünün aritmetik işlemlere elverişsiz olmasına sebep olmaktadır. Bu sebeple istatistiksel
kalite kontrol çalışmalarında kullanılması mümkün olamamaktadır.
2.1.3. Standart Sapma
Serideki gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmaları (sapmalar serisi) toplamı sıfır
idi. Bu durumu daha önce mutlak değer almak suretiyle önlemiş olduk. Ancak bu yol
aritmetik işlemler için elverişli olmamaktadır. Mutlak işlemler yerine kare alma yolu ile
sapmalar serisi toplamı sıfır olmaktan kurtarılabilir. Böylece yeni bir sapma ölçüsü elde
edilebilir.
Standart sapma, sapmalar serisinin (aritmetik ortalamadan sapmalar) kareli ortalamasıdır.
Standart sapmanın karesine varyans adı verilir. Kütlede standart sapma için aşağıdaki
formüller kullanılır. Örnek standart (S) sapması için paydada n–1 serbestlik derecesi
kullanılır.
13
X )2
( Xi
Sınıflandırılmamış veri setinde
N
X )2
fi( Xi
Sınıflandırılmış veri setinde
Örnek için S
(
X )2
n 1
fi( Xi
Örnek için S
fi
( Xi
X )2
fi) 1
Örnek:
Bir liseden mezun olan ve ÖSS sınavına giren öğrencilerin puanlarının dağılımı aşağıda
verilmiştir. Buna göre öğrenci puanlarının standart sapmasını bulunuz.
ÖSS Puanları
Öğr. Sayısı
Xi
fi. Xi
90–110
10
100
1000
-37,9
14364,1
110–130
30
120
3600
-17,9
9612,3
130–150
50
140
7000
2,1
220,5
150–170
25
160
4000
22,1
12210,25
170–210
5
190
950
52,1
13572,05
Toplam
X
120
Xi
X
16550
fi( Xi
X )2
49979,2
16550
137,9 puan
120
Standart Sapma
X )2
fi( Xi
fi
49979,2
120
20,4 puan
Değişim Katsayısı (Varyasyon Katsayısı) CV %
Araştırmada iki farklı yığın kullanılıyorsa; bu iki yığının aritmetik ortalamaları eşit iken
varyansı küçük yığının daha homojen olduğu söylenir. Ancak yığının aynı özellik için
aritmetik ortalamaları farklı iken varyanslara bakarak homojen yığını tespit etmek yanıltıcı
olur. Böyle durumlarda Değişim Katsayısı adı verilen bir dağılım (yayılım) ölçüsü kullanılır.
Değişim katsayısı CV ile gösterilecek olunursa bu şu şekilde ifade edilir.
14
Araştırmada iki farklı yığın kullanılıyorsa; bu iki yığının aritmetik ortalamaları eşit iken
varyansı küçük yığının daha homojen olduğu söylenir. Ancak yığının aynı özellik için
aritmetik ortalamaları farklı iken varyanslara bakarak homojen yığını tespit etmek yanıltıcı
olur. Böyle durumlarda Değişim Katsayısı veya Varyasyon Katsayısı adı verilen bir dağılım
(yayılım) ölçüsü kullanılır. Değişim katsayısı CV ile gösterilecek olunursa bu şu şekilde ifade
edilir.
CV
σ
μ
Örnek:
6 kadın ve 9 erkek izleyicinin belli bir günde kaç saat TV seyrettiği aşağıda verilmiştir. Kadınlar mı
yoksa erkekler mi TV seyretme süresi bakımından homojendir.
Kadın: 4,7,4,3,5,1
Erkek: 6,6,8,9,2,7,6,5,1
Çözüm: Her iki grubun aritmetik ortalama ve standart sapmaları hesaplanır,
Kadınlar için:
Erkekler için:
K
4 7 4 3 5 1
6
E
5.55
4
K
1.83
E
2.45
CV
0.46
K
CV
Bulunur. Burada CV değerinin sigmada olduğu gibi küçük olması arzu edilir.
E
0.44