YÜKSEK FREKANSLI GAUSS HÜZMESİNİN PLAZMA ORTAMLA
advertisement
YÜKSEK FREKANSLI GAUSS HÜZMESİNİN PLAZMA ORTAMLA ETKİLEŞİMİ Selçuk Alparslan AVCI YÜKSEK LİSANS TEZİ ELEKTRİK – ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HAZİRAN 2014 Selçuk Alparslan AVCI tarafından hazırlanan “YÜKSEK FREKANSLI GAUSS HÜZMESİNİN PLAZMA ORTAMLA ETKİLEŞİMİ” adlı tez çalışması aşağıdaki jüri tarafından OY BİRLİĞİ ile Gazi Üniversitesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalında YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak uygun olduğunu onaylarım. Danışman: Doç. Dr. Erkan AFACAN Elektrik – Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı, G. Ü. Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum …….…….…………………………… Başkan: Prof. Dr. Erdem YAZGAN Elektrik – Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı, H.Ü. Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum …….…….…………………………… Üye: Doç. Dr. Mehmet Timur AYDEMİR Elektrik – Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı, G.Ü. Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum …….…….………………………….... Tez Savunma Tarihi: 11/06/2014 Jüri tarafından kabul edilen bu tezin Yüksek Lisans Tezi olması için gerekli şartları yerine getirdiğini onaylıyorum. …….……………………. Prof. Dr. Şeref SAĞIROĞLU Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü ETİK BEYAN Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Tez Yazım Kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez çalışmasında; Tez içinde sunduğum verileri, bilgileri ve dokümanları akademik ve etik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi, Tüm bilgi, belge, değerlendirme ve sonuçları bilimsel etik ve ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu, Tez çalışmasında yararlandığım eserlerin tümüne uygun atıfta bulunarak kaynak gösterdiğimi, Kullanılan verilerde herhangi bir değişiklik yapmadığımı, Bu tezde sunduğum çalışmanın özgün olduğunu, bildirir, aksi bir durumda aleyhime doğabilecek tüm hak kayıplarını kabullendiğimi beyan ederim. Selçuk Alparslan AVCI iv YÜKSEK FREKANSLI GAUSS HÜZMESİNİN PLAZMA ORTAMLA ETKİLEŞİMİ (Yüksek Lisans Tezi) Selçuk Alparslan AVCI GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Haziran 2014 ÖZET Sayısal yöntemler, elektromanyetik problemlerin çözümünde uzun yıllardan beri kullanılmaktadır. Elektromanyetik problemlerin deneysel modellerinin oluşturulmasındaki zorluklar, çözümlerin bilgisayar ortamında sayısal olarak gerçekleştirilmesini zorunlu kılmaktadır. Bilgisayar teknolojisinin gelişmesi sayısal yöntemlerin yaygın bir şekilde kullanılmasına yol açmıştır. Son yıllarda en çok kullanılan sayısal yöntemlerden bir tanesi zaman bölgesinde sonlu farklar yöntemidir (FDTD). Bu tez çalışmasında, elektromanyetik dalgaların iki boyutlu plazma ortam içindeki yayılmaları zaman bölgesinde sonlu farklar yöntemi kullanılarak incelenmiştir. PML ve Mur tipi sınır koşulları kullanılarak elektromanyetik dalganın problem uzayının sınırlarında nasıl davrandığı araştırılmıştır. Simülasyonlar için C++ ve MATLAB programlama ortamları kullanılmıştır. Bilim Kodu : 905.1.034 Anahtar Kelimeler : Zaman Bölgesinde Sonlu Farklar, Yayılma, Plazma Ortam, Gauss Hüzmesi Sayfa Adedi : 65 Danışman : Doç. Dr. Erkan AFACAN v HIGH FREQUENCY GAUSSIAN BEAM INTERACTİON WITH PLASMA MEDIUM (M.Sc. Thesis) Selçuk Alparslan AVCI GAZİ UNIVERSITY GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES June 2014 ABSTRACT Numerical methods have been used for the solution of electromagnetic problems for long years. The difficulties of the establishment of experimental models of electromagnetic problems have forced the solutions to be realized numerically in computer environments. The advancement of the computer technology has led the numerical methods to obtain a widespread usage. One of the most frequently used numerical methods in recent years is finite difference time domain method (FDTD). In this thesis, the propagation of electromagnetic waves in a two dimensional plasma medium is investigated via finite difference time domain method. The behaviour of electromagnetic waves at the boundaries of the problem space has been studied by using PML and Mur type boundary conditions. For simulations C++ and MATLAB programming environments are used. Science Code : 905.1.034 Key Words : Finite Difference Time Domain, Propagation, Plasma Medium, Gaussian Beam Page Number : 65 Supervisor : Assoc. Prof. Dr. Erkan AFACAN vi TEŞEKKÜR Çalışmalarım boyunca değerli yardım ve katkılarıyla beni yönlendiren çok kıymetli Hocam Doç. Dr. Erkan AFACAN’a teşekkür ederim. Ayrıca çalışmalarımda manevi destekleri ile beni hiçbir zaman yalnız bırakmayan aileme teşekkürü bir borç bilirim. vii İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET ........................................................................................................................... iv ABSTRACT .................................................................................................................. v TEŞEKKÜR .................................................................................................................. vi İÇİNDEKİLER ............................................................................................................. vii ŞEKİLLERİN LİSTESİ ................................................................................................ ix SİMGELER VE KISALTMALAR ............................................................................... xi 1. GİRİŞ ................................................................................................................... 1 2. ZAMANDA SONLU FARKLAR ................................................................ 3 2.1. Literatür Özeti ................................................................................................. 3 2.2. Maxwell Denklemleri ..................................................................................... 4 2.3. Elektromanyetik Dalgalar ............................................................................... 7 2.4. Elektromanyetikte Sayısal Yöntemler ............................................................ 8 2.4.1. FDTD yönteminin avantajları ............................................................. 10 2.4.2. FDTD yönteminin dezavantajları ........................................................ 11 2.4.3. FDTD yöntemi ..................................................................................... 11 2.4.4. Kararlılık (Courant) koşulu .................................................................. 17 2.5. Sayısal Dağılım (Dispersiyon) ........................................................................ 18 2.6. Sınır Koşulları ................................................................................................. 19 2.6.1. Tek yönlü dalga denklemleri .............................................................. 20 2.6.2. Mur tipi sınır koşulları ....................................................................... 24 2.6.3. Mükemmel uyumlandırılmış plaka ...................................................... 25 3. ELEKTROMANYETİKTE PLAZMA ORTAMI .................................... 33 3.1. Plazma Kriterleri ............................................................................................. 33 3.2. İzotropik Plazma ve İletken Dağılımı ............................................................. 34 4. KAYNAK PARAMETRELERİNİN SEÇİMİ .......................................... 39 4.1. FDTD Algoritması .......................................................................................... 43 4.2. İki Boyutlu FDTD Uygulaması ...................................................................... 44 5. SİMÜLASYON SONUÇLARI ..................................................................... 47 5.1. İki Boyutlu TM Dalgasının Simülasyonu ....................................................... 47 viii Sayfa 5.2. İki Boyutlu TM Dalgasının PML Uygulanmış Hali İle Simülasyonu ............ 49 5.3. İki Boyutlu TM Dalgasının İki Farklı Ortamda İken PML Uygulanmış Hali İle Simülasyonu .............................................................................................. 51 5.4. İki Boyutlu TM Dalgasının İki Farklı Ortamda İken Mur Tipi ABC Uygulanmış Hali İle Simülasyonu .................................................................. 55 SONUÇ VE ÖNERİLER ................................................................................ 61 KAYNAKLAR ............................................................................................................. 62 ÖZGEÇMİŞ .................................................................................................................. 64 6. ix ŞEKİLLERİN LİSTESİ Şekil Sayfa Şekil 2.1. Elektrik Alan ve Manyetik Alan Yayılımı .......................................... 7 Şekil 2.2. Elektromanyetik Spektrum .................................................................. 8 Şekil 2.3. Birim Yee hücresi ve Alan bileşenlerinin yerleşimi ............................ 13 Şekil 2.4. Birim Yee hücresinde xy ve yz düzlemlerindeki bileşenler ................ 15 Şekil 4.1. Gauss darbesinin normalize zaman ve frekans davranışı .................... 40 Şekil 4.2. Sınırlı banda sahip bir işaretin örnekleme sıklığı ile ilişkisi ............... 40 Şekil 4.3. Ana FDTD döngüsü ve yinelemeli adımları ....................................... 43 Şekil 5.1. Elektromanyetik dalganın adım adım ilerlemesi ................................. 47 Şekil 5.2. Elektromanyetik dalganın adım adım ilerlemesi ................................. 48 Şekil 5.3. Elektromanyetik dalganın adım adım ilerlemesi ................................. 48 Şekil 5.4. PML uygulanmış elektromanyetik dalganın ilerlemesi ....................... 49 Şekil 5.5. PML uygulanmış elektromanyetik dalganın ilerlemesi ....................... 50 Şekil 5.6. PML uygulanmış elektromanyetik dalganın ilerlemesi ....................... 50 Şekil 5.7. Plazma ortamının oluşturulduğu x yönündeki konumları ................... 51 Şekil 5.8. İki farklı ortamda PML uygulanmış EM dalganın ilerlemesi ............. 52 Şekil 5.9. İki farklı ortamda PML uygulanmış EM dalganın ilerlemesi ............. 52 Şekil 5.10. İki farklı ortamda PML uygulanmış EM dalganın ilerlemesi ............. 53 Şekil 5.11. İki farklı ortamda PML uygulanmış EM dalganın ilerlemesi ............. 53 Şekil 5.12. İki farklı ortamda PML uygulanmış EM dalganın ilerlemesi ............. 54 Şekil 5.13. İki farklı ortamda PML uygulanmış EM dalganın ilerlemesi ............. 54 Şekil 5.14. Plazma ortamının oluşturulduğu x yönündeki konumları ................... 55 Şekil 5.15. 50 zaman adımı sırasında elektromanyetik dalganın durumu ............. 56 x Şekil Sayfa Şekil 5.16. 100 zaman adımı sırasında elektromanyetik dalganın durumu ........... 56 Şekil 5.17. 300 zaman adımı sırasında elektromanyetik dalganın durumu ........... 57 Şekil 5.18. 50 zaman adımı sırasında elektromanyetik dalganın durumu ............. 58 Şekil 5.19. 100 zaman adımı sırasında elektromanyetik dalganın durumu ........... 58 Şekil 5.20. 300 zaman adımı sırasında elektromanyetik dalganın durumu ........... 59 xi SİMGELER VE KISALTMALAR Bu çalışmada kullanılmış bazı simgeler ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte aşağıda sunulmuştur. Simgeler Açıklama B Manyetik Akı Yoğunluğu c Işık Hızı D Elektrik Akı Yoğunluğu E Elektrik Alan Şiddeti Ex Elektrik Alanın x bileşeni Ey Elektrik Alanın y bileşeni Ez Elektrik Alanın z bileşeni f Frekans H Manyetik Alan Şiddeti Hx Manyetik Alanın x bileşeni Hy Manyetik Alanın y bileşeni Hz Manyetik Alanın z bileşeni I Akım i , j, k x, y, z’deki Hücre İndisleri J Akım Yoğunluğu n Zaman Adımı N FDTD Hücre Sayısı q Yük T Periyot V Gerilim Açısal Hız 0 Boşluğun Dielektrik Sabiti r Bağıl Dielektrik Sabiti İletkenlik Katsayısı xii Simgeler Açıklama 0 Boşluğun Manyetik Geçirgenlik Katsayısı r Bağıl Manyetik Geçirgenlik Katsayısı Dalga Boyu min En Küçük Dalga Boyu t Zaman Adımı Uzunluğu x x Yönündeki Hücre Mesafesi y y Yönündeki Hücre Mesafesi z z Yönündeki Hücre Mesafesi Manyetik Akı Yük yoğunluğu Kısaltmalar Açıklama ABC Emici Sınır Koşulları (Absorbing Boundary Conditions) ABS Açık Bölge Simülasyonu EM Elektromanyetik FDTD Zaman Bölgesinde Sonlu Farklar Yöntemi (Finite Difference Time Domain) PML Mükemmel Uyumlandırılmış Plaka (Perfectly Matched Layer) TE Enine Elektrik (Transverse Electric) TM Enine Manyetik (Transverse Magnetic) 1 1. GİRİŞ Günümüzün elektronik teknolojileri hızla ilerlemekte olup oluşan ihtiyaçlara göre çok fazla yeni malzeme ve cihaz ortaya çıkmaktadır. Bu yeni çıkarılan cihazlarla mevcut cihazların birlikte sorunsuz çalışmaları için tasarım aşamasında pek çok ölçüt göz önüne alınmalıdır. Örnek olarak, aynı ortamda telsiz, telefon, cep telefonu, bilgisayar işlemcisi ve radyo gibi değişik güç ve frekanstaki cihazların aynı anda çalışması sırasında görevlerini yerine getirebilmeleri istenir. Bundan dolayı araştırma ve geliştirme mühendisleri tarafından bilgisayar ortamında tasarım araçlarıyla sorunların kaynağı aranmalı ve çözümler üretilmelidir [1]. Elektromanyetik problemlerin çözümü için hem sorunların temelinde yatan fiziksel nedenler bilinmeli hem de kullanılan sayısal algoritmalar hakkında yeterli bilgiye sahip olunmalıdır. Elektromanyetik problemlerin çözümünde analitik yöntemlerin yetersiz kaldığı yapılarda, günümüz bilgisayar teknolojisindeki gelişmelere de paralel olarak sayısal yöntemler daha başarılı bir şekilde uygulanmaya başlamıştır. Literatürde kısaca FDTD olarak bilinen zaman bölgesinde sonlu farklar yöntemi, İngilizce Finite Difference Time Domain kelimelerinin kısaltmasıdır. Yöntem, diferansiyel formdaki Maxwell denklemlerinin doğrudan zamanda ve konumda, merkezi farklar yöntemine göre ayrıklaştırılıp iteratif olarak adım adım çözülmesine dayanır. İlk kez 1966 yılında Kane S. Yee tarafından ortaya atılmasından bu yana FDTD, hemen her türlü elektromanyetik problemin çözümünde kullanılan bir yöntem olmuştur. Yöntemin öncelikli uygulamaları, farklı türdeki ortamlarda darbe iletimi, geniş bantlı analizler ile özellikle biyomedikal alanında doku analizleri üzerine olmuştur. Bu uygulamalarda FDTD yöntemi, önceleri ele alınan ortam içerisinde ilgilenilen cisimlerin yakın civarındaki alanların hesabında kullanılmıştır. Atmosferden biyolojik materyallere ve deniz altılara kadar farklı özelliklere sahip her ortamda elektromanyetik saçılım ve yayılım karakteristiklerinin incelenmesinde ve gerekli çözümlemelerin yapılmasında yaygın olarak kullanılan bir nümerik çözüm yöntemi olmuştur. FDTD yöntemi analitik türev operatörünün sayısallaştırılmasına dayanır ve sonlu farklar olarak isimlendirilir [2]. Elektromanyetik dalga yayılımını modelleyen Maxwell denklemlerinin sonlu farklar ile, zamana göre türevlerinin de sayısallaştırılarak genelleştirilmesi, FDTD yöntemi adıyla anılmaktadır. Zaman bölgesinde sonlu farklar yönteminin öne çıkan bir özelliği, bilgisayarla ilişkili bir yöntem olmasıdır. Elektromanyetik teori için gerekli olan analitik 2 çözümlerin uzun ve bilgisayar yazılımına elverişli olmaması, bu işlemlerin, bu tür bir yöntem ile yapılmasını gerekli kılar [3]. Bu tezde FDTD yönteminin elektromanyetik dalga çözümlemelerinde kullanılmasının avantaj ve dezavantajları incelenmiştir. Maxwell denklemlerine FDTD yöntemi uygulanarak 2 boyutlu Maxwell denklemlerinin hem TE(transverse electric) hem de TM (transverse magnetic) dalga modları için denklemleri yeniden oluşturulmuştur. Oluşturulan Maxwell denklemlerinin Yee hücresine nasıl yerleştirileceği gösterilmiştir. FDTD yöntemi kullanılarak plazma ortamı ve plazma ortamının dielektrik sabitinin frekansa bağlı olarak nasıl değiştiği incelenmiş, bir elektromanyetik dalganın farklı ortamlarda yayılırken nasıl değişime uğradığı simüle edilmiştir. Elektromanyetik dalganın serbest uzayda yansımalardan kaynaklanan kayıpları engellemek ve hesaplamalarımızı daha doğru yapabilmek için iki farklı yöntem kullanılmıştır. Bunlardan biri 1981 yılında G. Mur tarafından ortaya atılan emici sınır koşulları, diğeri ise 1994 yılında Berenger tarafından ortaya atılan emici sınır koşullarıdır. Serbest uzayda yayılırken plazma ortamı ile karşılaşan bir dalganın plazma ortamı içindeki davranışı incelenmiştir. Bu incelemeler sırasında her iki emici sınır koşulu ayrı ayrı kullanılmıştır. Tezin son kısmında C++ ve MATLAB programları kullanılarak 2 boyutlu simülasyon sonuçları eklenmiştir. 3 2. ZAMAN BÖLGESİNDE SONLU FARKLAR (Finite Difference Time Domain, FDTD) Zaman Bölgesinde Sonlu Farklar yöntemi, elektromanyetik problemlerin çözümü için en çok kullanılan sayısal yöntemlerden biridir. FDTD yöntemi otuz yıldan daha fazla bir süredir var olmasına rağmen, bilgisayarların hız ve kapasiteleri artması ile birlikte yöntemin popülaritesi artmaya devam edecektir. Ayrıca yöntemin güncelleştirilmesine yönelik kitapların ve yayınların artması da yöntemin çekiciliğini artırmaktadır. 2.1 Literatür Özeti FDTD ilk olarak 1966 yılında Kane S. Yee tarafından tanıtılmıştır. Yee, Maxwell denklemleri için izotropik ortamlarda başlangıç sınır değer problemlerinin çözümünü doğrudan zaman bölgesinde bu sayısal yöntem ile gerçekleştirmiştir [4]. Taflove ve Brodwin (1975), sinüzoidal kararlı durum elektromanyetik saçılma problemlerinin sayısal çözümüne yönelik olarak Yee’nin algoritmaları için doğru sayısal kararlılık kriterini elde etmişlerdir [5]. Taflove (1980), dielektrik veya iletken cisimler üzerine nüfuz eden sinüzoidal kararlıdurum elektromanyetik alanların belirlenmesinde kullanılacak sayısal yöntemi ortaya çıkartmış ve bu yöntem kübik birim hücre uzay kafesine uygulayarak FDTD yöntemi ile Maxwell denklemlerinin rotasyonel çözümünü vermiştir [6]. Mur (1981), Yee hücrelerinin kararlı sınır koşulları için emici elektromanyetik alan denklemlerini zamanda sonlu farklar yöntemi ile düzenlemiş, bunun sonucunda iki ve üç boyutlu yapılarda kullanılabilecek elektromanyetik denklemlerin sunulmasıyla elde edilen sayısal sonuçların emici sınır şartları açısından daha doğru olarak uygulanabileceğini göstermiştir [7]. Taflove ve Umashankar (1982), FDTD kullanarak kompleks yapıya sahip model cisimler üzerinde uzak ve yakın alan için iki boyutlu radar kesit alanı hesaplamaları yapmışlardır [8]. 4 Berenger (1994), Berenger tarafından geliştirilen yöntem en esnek ve etkili soğurma yöntemlerinden biridir. Bir A ortamında yayılan elektromanyetik dalganın farklı bir B ortamı ile karşılaşması durumunda, yansıma miktarı ortamların dielektrik sabitlerine ve manyetik geçirgenlik sabitlerine bağlı olarak değişir [9]. 2.2 Maxwell Denklemleri Maxwell denklemleri uzayın herhangi bir noktasında ve zamanın herhangi bir anında elektrik ve manyetik alan değerlerini birbirine bağlar. Bu nedenle elektromanyetik dalgalar Maxwell denklemleriyle tanımlanır. Gauss yasasına göre bir yüzey parçası üzerinde E alanının akısı, o yüzeyi kesen çizgilerin sayısıyla orantılıdır. Burada, bir yükü çevreleyen kapalı bir yüzeyden geçen akı q 0 ile verilir. Böylece, q E. ds (2.1) 0 olur. Burada q yükü kapalı yüzey içinde kalan yüklerin toplamıdır. Bu yüzeyin dışında kalan bir yükün akıya katkısı sıfır olur, çünkü bu yüklerin alan çizgileri yüzeyin bir yerinden girip, başka bir yerinden çıkarlar. Gauss yasasında verilen (2.1) ifadesine diverjans teoremi uygulanırsa, yüzey E . ds q . E dv 0 hacim (2.2) olur ve q .dv olduğundan, dv . E . dv 0 bulunur. Bu durumda birinci Maxwell denklemi aşağıdaki gibi elde edilir. (2.3) 5 .E 0 (2.4) Manyetizma için Gauss Kanunu, doğada izole edilmiş manyetik kutupların var olamayacağını gösterir, yani herhangi bir kapalı yüzey boyunca manyetik akı sıfırdır. B .ds 0 (2.5) (2.5) denklemine diverjans teorimi uygulanırsa ikinci Maxwell denklemi aşağıdaki gibi elde edilir. . B 0 (2.6) Faraday Kanununa göre, sabit manyetik alan içinde hareket ettirilen iletken çerçevede indüklenen gerilim, d dt (2.7) ile verilir. Faraday Kanununun integral ifadesi, E. dl d dt (2.8) olduğundan, (2.8) denklemine Stokes teoremi uygulanırsa, E . dl x E ds (2.9) ve d d B . ds dt dt (2.10) 6 elde edilir. Böylece üçüncü Maxwell denklemi aşağıdaki gibi bulunur. dB xE dt (2.11) Amper Kanununa göre, B . dl 0 I (2.12) olur. Burada I = J . ds olduğundan, Stokes teoremine göre, S B . dl x B ds 0 J . ds (2.13) bulunur. Buradan dördüncü Maxwell denklemi aşağıdaki şekilde bulunur. dE x B 0 J 0 0 dt (2.14) Buna göre manyetik alanın oluşması için ya elektrik alanın zamana bağlı olarak değişmesi ya da bir akımın varlığı gereklidir [10]. Böylece dört adet Maxwell denklemi (2.4), (2.6), (2.11) ve (2.14) denklemlerindeki gibi elde edilmiş olur. Boşlukta yük yoğunluğu ve J akım yoğunluğu sıfır olduğu için Maxwell denklemleri aşağıdaki gibi yazılabilir. .E 0 (2.15) . B 0 (2.16) dB xE dt (2.17) 7 dE x B 0 0 dt (2.18) 2.3 Elektromanyetik Dalgalar Elektromanyetik dalgalar kuramı, doğanın dört temel elektriksel etkileşim denklemini James Clark Maxwell’in bir araya toplaması ile oluşturulmuştur. Işığın değişken bir manyetik alanı ( B ) ve yine değişken ve manyetik alana dik doğrultuda olan bir elektrik alan ( E )'den oluştuğu önermesinde bulundu. E ve B 'nin oranı her noktada aynı idi. Dalgaların ilerleyebilmeleri için herhangi bir ortam gerekmiyordu ve Maxwell bu elektromanyetik dalgaların uzay boşluğunda 2,998 m/s 'lik hızla ilerlediklerini göstermiştir. Her dalga gibi bu dalgalar da devamlı dalgalar idi. Daha sonra Heinrich Hertz’in elektromanyetik dalgaları oluşturmak ve saptamak için yaptığı araştırmalar Maxwell’in teorik çalışmalarını ispatı niteliğindeydi. Elektromanyetik dalgalar bu araştırmalarla birlikte uygulamalı olarak ta kanıtlanmış oldu. Elektromanyetik dalganın ilerleme yönü ise hem elektrik hem de manyetik bileşenlere dik bir yöndedir. Örneğin; düzlem bir elektromanyetik dalgada elektrik alan +x yönünde, manyetik alan +y ekseni üzerinde ilerliyorsa, dalganın ilerleme yönü bu iki eksene dik olan +z ekseni yönünde olacaktır. Elektromanyetik dalgaların, Maxwell’in denklemlerinden yararlanarak elektrik alanın manyetik alanı, manyetik alanında elektrik alanı doğurması ile bir döngü şeklinde ilerlediği söylenebilir. Şekil 2.1 Elektrik alan ve manyetik alan yayılımı Elektromanyetik dalgalar uzay boşluğunda ışık hızıyla yayılır ve Maxwell denklemleriyle tanımlanır. Elektromanyetik dalgaların farklılığı dalga boylarının farklı olmasından 8 kaynaklanır. c f (λ dalga boyu, c ışık hızı, f frekans) denklemine göre frekans arttıkça dalga boyu küçülür, frekans azaldıkça dalga boyu büyür. Elektromanyetik Spektrum geniş bir frekans aralığını kapsar (Şekil 2.2). Bütün elektromanyetik dalgalar, spektrumun hangi bölgesinde olursa olsun daima ışık hızında hareket ederler. Şekil 2.2 Elektromanyetik spektrum 2.4 Elektromanyetikte Sayısal Yöntemler Günümüzde hemen hemen her türlü araç için bir elektrikli cihaz kullanılmaktadır. Bu cihazlar, basitten karmaşığa, belli bir araştırma ve tasarım sonucu ortaya çıkmaktadır. Araştırma ve tasarım mühendislerinin başvurdukları en etkili araç ise bilgisayar destekli olanıdır. Artık, mühendislerin herhangi bir yapıyı incelemek ve özelliklerini 9 değiştirebilmek amacıyla el altında bu işi kolay ve hızlı bir şekilde yapabilecek araçlar istemektedirler. Günümüz bilgisayar destekli ve tasarım araçları, sadece belli bir elektronik ürüne yönelik olmasının ötesinde, aynı alanda bulunduğu diğer cihazlarla da manyetik olarak uyumlu çalışmasını göz önünde bulundurmak zorundadırlar. Örneğin, Çalan cep telefonunun televizyon üzerindeki etkisi Baz istasyonlarının yaydığı elektromanyetik enerjinin insan sağlığı üzerindeki etkisi gibi konuların incelenebilmesi ancak güçlü simülasyon teknikleri ile olasıdır. Diğer alanlarda da olduğu gibi, elektromanyetik problemlerin çözümünde de analitik yöntemler ancak basitleştirilmiş ve idealleştirilmiş yapılar için elde edilebilmektedir. Örneğin, ele alınan cisim karmaşık olsa da ilk olarak küresel, silindirik ya da dikdörtgen olarak düşünülür. Bu basitleştirme yapının kendisi açısından ne kadar aykırı olursa olsun problemin fiziği hakkında bilgi taşıdığından gereklidir. Bu tip basit yapılarda elde edilen fiziksel bilgi sayesinde karmaşık yapılarda ve gerçeğe yakın koşullarda analitik yaklaşık ya da salt sayısal yöntemlerin güvenli olarak uygulanması sağlanabilir. Elektromanyetik problemlerin çözümünde birçok yöntem bulunmaktadır. Birden çok yönteme gereksinim duyulmasının sebebi her problem için farklı çözüm gereksinimidir. Yani, her yöntem belli koşullarda, belli problemlerde iyi sonuç verirken, farklı problemlerde aynı yöntem istenilen hassas sonuçları verememektedir. Elektromanyetik problemlerinin çözümünde en çok kullanılan sayısal yöntemler, Zaman Bölgesinde Sonlu Farklar (FDTD, Finite Difference Time Domain) Yöntemi İletim Hattı Matrisi (TLM, Transmission Line Matrix) Yöntemi Parabolik Denklem (PE, Parabolic Equation) Yöntemi Moment Yöntemi (MoM, Method of Moment) Sonlu Elemanlar Yöntemi (FEM, Finite Element Method) olarak sıralanabilir. FDTD yöntemi, diferansiyel formdaki Maxwell denklemlerinin zaman bölgesinde ayrıklaştırıp çözülmesidir. İlk iki Maxwell denklemindeki (Gauss Yasası, Manyetik alan için Gauss Yasası) diferansiyel operatörler sayısallaştırılıp sonlu farklar eşdeğerleri ile değiştirilir. Böylece elde edilen ayrık denklemler (ele alınan yapıya ait sınır koşulları da dikkate alınarak) yinelemeli olarak çözülür. Üç elektrik alan ve üç manyetik alan bileşeninin uzayın seçilen ayrık noktalarında ayrık zaman aralıklarında çözümlenmesine 10 dayanır. Bundan dolayı, yüksek hızlı ve kapasiteli bilgisayarlara ihtiyaç vardır. İşaret kaynağı olarak sinüzoidal (dar bantlı) veya darbesel (geniş bantlı) kaynak tercih edilebilir. FDTD yönteminin uygulanmasında en önemli özellik, çözülmeye çalışılan nesnenin fiziğinin iyi anlaşılması ve her adımda gözlenmesidir. 2.4.1 FDTD yönteminin avantajları FDTD yönteminde sinüzoidal işaretlerin simülasyonu yapılabildiği gibi, Gauss darbesi gibi darbesel işaretlerin de simülasyonu yapılabilmektedir. Bundan dolayı daha geniş frekans aralığında çözüm elde edilebilmektedir. FDTD, rezonans frekansının tam olarak bilinemediği veya herhangi bir anda istenilen geniş bantlı sonuçların elde edilemediği uygulamalarda oldukça kullanışlı bir yöntemdir. Zaman bölgesinde depolanan verilerin frekans bölgesine kolaylıkla dönüştürülmesi ile istenilen frekans spektrumuna ulaşılabilmektedir. FDTD yöntemi ile ilgilenilen yapılar yüksek doğrulukla ve kolaylıkla modellenebilmektedir. FDTD yöntemi, diğer bazı sayısal yöntemler gibi çok büyük matris yapıları içermediğinden ulaşılan çözümler oldukça güçlü olmaktadır. Zaman bölgesinde yapılan çözümler sonucu elektromanyetik dalgaların hareketleri görsel olarak istenilen zamanlarda izlenebilmekte ve incelenen yapının dalga yayılımı açısından anlaşılması kolaylaşmaktadır [11]. FDTD metodu ile elektrik ve manyetik alan bileşenleri hesap uzayının her noktasında doğrudan bulunur. FDTD kodu özünde hacimsel olmasına karsın, ince plakaları ve ince çubuk antenleri de başarılı bir şekilde ele almaktadır. FDTD yönteminin kullanıldığı alanlardan bazıları; Radar sistemleri Mikrodalga devreleri, dalga kılavuzları ve fiber optik Anten Yayılma Medikal uygulamalar Elektromanyetik uyumluluk Plazma olarak sıralanabilir [12]. 11 2.4.2 FDTD yönteminin dezavantajları FDTD yöntemi çözüm uzayın ızgaralanmasını gerektirir. Bu ızgaraların boyutları modellenen en küçük dalga boyundan daha küçük olmalıdır. Bu da çok geniş hesaplama uzayı ve çözüme ulaşmak için uzun zaman gerektirir[11] . 2.4.3 FDTD yöntemi FDTD Yöntemi, Maxwell denklemlerindeki kısmi türev operatörlerinin merkezi farklar yöntemine dayalı sonlu farklar karşılıkları ile değiştirilip, doğrudan zaman ve konum bölgelerinde sayısallaştırılmasına dayanır. Ele alınan problemde üç boyutlu hesap uzayının, eş boyutlu Nx × Ny × Nz adet dikdörtgen prizmadan oluştuğu varsayılır. Birbirinin özdeşi olan bu dikdörtgenler prizmasının boyutları, ∆x, ∆y ve ∆z olup, bu yapı FDTD hücresi olarak adlandırılır. Hücre numaraları, i, j, k yerine sırasıyla, x, y ve z hücre numarası olmak üzere tam sayılarla belirtilir. İlk kez Kane Yee tarafından 1966’da belirtilen bu yöntem ile, her hücrede farklı yerlerde bulunan üç elektrik ve üç manyetik alan bileşeni ayrıca aralarında zaman farkı olacak şekilde, yinelemeli olarak istenen zaman süresince hesaplanır. T hesap süresi, n (tamsayı) zaman adımı, ∆t hesaplama zaman aralığı olmak üzere, bütün simülasyon süresi boyunca her hücrede bulunan tüm bileşenler için hesaplama yapılır [1]. Çözümler yinelemeli olduğundan zaman ve konum aralıkları arasında belli bir kararlılık kriteri söz konusudur. Yani konumda ayrıklaştırma yapıldıktan sonra zaman aralığı rastgele seçilemez. Ayrıca, FDTD ile zaman bölgesinde geniş bantlı darbesel işaretlerin simülasyonu da söz konusu olduğundan simüle edilen en yüksek frekanslı (en küçük dalga boylu, λmin) bileşen için sayısal dispersiyona neden olmayacak konum örneklemesine dikkat edilmelidir. Pratikte sayısal dispersiyon sınırı, problemden probleme ve istenen doğruluğa bağlı olarak değişmekle birlikte (∆x, ∆y ya da ∆z’nin en büyüğü) λmin/100 ile λmin/4 arasında seçilebilmektedir. Maxwell denklemleri, uzayın belli bir noktasında ve belli bir anda oluşan elektrik alan değerlerini birbirine bağlar. H r , t x E r , t t E r , t x H r , t J t (2.19) (2.20) 12 Elektrik alanın konuma göre kısmi türevi manyetik alanın zamana göre kısmi türevine ortam parametreleri ε (dielektrik sabiti), μ (manyetik geçirgenlik) ve σ (iletkenlik) ile bağlıdır. İkinci Maxwell denkleminde ise bunun tersi söz konusudur. Verilen bu iki denklem merkezi farklara göre ayrıklaştırılıp düzenlendiğinde uzayın her noktasında üç elektrik ve üç manyetik alan bileşenini içeren yinelemeli denklemler elde edilir. E ve H bileşenlerinin alternatif yarım zaman adımları değerlendirildikten sonra E ve H bileşenlerinin açık sonlu fark yaklaşımları, H x i, j , k H x n n 1 i, j, k t n n .E y i, j , k E y i, j , k 1 0 z t n n .E z i, j , k E z i, j 1, k 0 y H y i, j , k H y n n 1 i, j, k t n n .E z i, j , k E z i 1, j , k 0 x t n n .E x i, j , k E x i, j 1, k 0 z H z i, j , k H z n n 1 i, j, k t n n .E x i, j , k E x i, j 1, k 0 z t n n .E y i, j , k E x i 1, j , k 0 x (2.21) (2.22) (2.23) 2.t 2 t n 1 n n E x i, j , k E x i, j , k H y i, j , k 2 t 2. .t.z H y i, j , k 1 n (2.24) n 2t H z i, j , k H z n i, j 1, k 2 ty 2t 2 t n 1 n n E y i, j , k E y i, j , k H z i, j , k 2 t 2 tx H z i 1, j , k n 2t n n H x i, j , k H z i, j , k 1 2 tz (2.25) 13 n 2t 2 t n 1 n H x i, j , k E z i, j , k E z i, j , k 2 t 2 ty H x i, j 1, k n (2.26) 2t n n H y i, j , k H y i 1, j , k 2 tx formülleri ile ifade edilebilir. Yinelemeli denklemlerinden de görüldüğü gibi, uzayın bir noktasındaki manyetik alan bileşeni aynı noktada bir önceki kendi değeriyle birlikte diğer eksenlerdeki komşu elektrik alan değerlerine bağlıdır. Benzer şekilde, Ez bileşeni de zamanda bir önceki değeri ile birlikte komşu Hx ve Hy değerleri ile hesaplanır. Yee bu mantıktan yola çıkarak Şekil (2.3)’de verilen hücre yerleşimini ortaya çıkarmıştır. Ey(i+1,j,k+1) Ez(i+1,j,k) Hz(i,j,k+1) Ex(i,j,k+1) Ex(i,j+1,k+1) Ey(i+1,j,k) Hy(i,j,k) Ey(i,j,k+1) Hz(i,j,k) Ex(i,j,k) Ex(i,j+1,k) Ez(i,j,k) Ez(i,j+1,k) Hx(i,j,k) X(i) Z(k) Y(j) Ey(i,j,k) Şekil 2.3 Birim Yee hücresi ve alan bileşenlerinin yerleşimi Şekil 2.3’de verilen birim Yee hücresi komşu hücre indisleri ile birlikte gösterilmiştir. Bu hücre yapısı incelendiğinde, Her birim Yee hücresinde üç elektrik ve üç manyetik alan bileşeni bulunur. Her hücre (i,j,k) etiketi ile anılır. Bunlar sırasıyla, x, y ve z’deki hücre indisleridir. Zamanda ve konumda ayrıklaştırma adımları Δt ve Δx, Δy, Δz’dir. Yani herhangi bir alan bileşeni için, 14 i, j, k i. x , j. y , k. z , t n. t (2.27) anlamına gelmektedir. Her ne kadar bir hücre içerisindeki altı bileşen de aynı (i, j, k) etiketi ile gösterilse de Şekil 2.3’den görüldüğü gibi, bu bileşenlerin hücre içi yerleşimi farklıdır. Örneğin, Ex, (i, j, k) hücresinin x düzleminde kenar ortasında iken, Hz, (i, j, k) hücrenin xy düzleminde yüzey ortasında bulunur. Yani elektrik alanlar hücre kenarlarında, manyetik alanlar hücre yüzeylerindedir. Aynı hücrede, elektrik ve manyetik alanların yerleşimleri gibi, hesaplandıkları zaman adımları da farklıdır. Elektrik ve manyetik alanlar birbirinden Δt/2 kadar farklı zamanlarda hesaplanırlar. Yani elektrik alan bileşenleri t=0, Δt, 2Δt, 3Δt vb. adımlarında hesaplanırken, manyetik alanlar t=Δt/2, 3Δ/2, 5Δ/2 vb. adımlarında hesaplanmaktadır. Böylece, hesaplama bir elektrik alanlar bir manyetik alanlar diye yinelemeli olarak sürdürülür. Aynı hücrede belli bir noktada elektrik ve manyetik alanlarından söz edebilmek için konumda ve zamanda ortalama almak yeterlidir. Örneğin alan bileşenlerini hücre merkezine ötelemek için iki manyetik alan bileşeni H x i, j, k 1 H x i, j, k H x i 1, j, k 2 (2.28) yeterlidir. Ancak elektrik alan bileşenleri için komşu dört bileşene gerek vardır. E z i, j, k 1 E z i, j, k E z i 1, j, k E z i, j 1, k E z i, j, k 1 4 (2.29) Yinelemeli FDTD denklemlerinde, herhangi bir ortam üç ortam parametresi ile temsil edilir. Bunlar, dielektrik sabiti ε, manyetik alan geçirgenliği μ, ısıl kayıpları temsil eden iletkenlik σ’dır. Bunlardan ε ve σ, elektrik alan bileşenlerinin hesaplandığı denklemlerde, μ ise manyetik alan bileşenlerinin hesaplandığı denklemlerde görünmektedir. 15 Hücrelerde elektrik ve manyetik alan bileşenleri için farklı ortam parametreleri (ε, σ ve μ) belirlenerek ince teller ya da elektrik ve manyetik ince tabakalar vb. modellenebilir. Örneğin, dört hücre uzunluklu sonsuz ince tel anteni z boyunca k. hücreden itibaren yerleştirmek için (l =4Δz) FDTD simülasyonu süresince E z i, j, k E z i, j, k 1 E z i, j, k 2 E z i, j, k 3 0 (2.30) yazmak yeterlidir. Diğer alan bileşenleri yinelemeli denklemlerinden hesaplanırken bu dört hücredeki Ez bileşenleri sıfırlanarak bu anten modellenmiş olur. Benzer şekilde (i,j,k) hücresinin ön yüzeyini (xy-düzlemi) sonsuz ince iletken bir tabaka ile kaplamak için (Şekil 2.4) E x i, j, k E x i, j 1, k 0 (2.31) E y i, j, k E y i 1, j, k 0 (2.32) yazmak yeterlidir. Ex(i,j,k) + Ey(i+1,j,k) Ez(i,j,k+1) + + + H Ez(i,j,k) Ex(i,j+1,k) + + H Ez(i,j+1,k) Hx(i,j,k) H Z X + + E E Y Y Şekil 2.4 Birim yee hücresinde xy ve yz düzlemlerindeki bileşenler FDTD simülasyonu boyunca elektrik ve manyetik alanlar güncellenmektedir. Buna karşın, bu alan değerlerinden herhangi bir noktada gerilim ya da akım hesabı kolayca yapılabilir. Herhangi bir (i,j,k) hücresindeki gerilim ve akım Gauss ve Amper yasasından elde edilir. Örneğin Vz ve Iz Vz i, j, k E z i, j, k * z I z i, j , k H x i, j 1, k H x i, j , k * x H y i, j , k H y i 1, j , k * y (2.33) (2.34) 16 kullanılarak hesaplanır. FDTD simülasyonu ile hem sinüzoidal hem de darbesel kaynaklar modellenebilir. FDTD simülasyonunun en önemli adımı birim Yee hücresinin iyi anlaşılmasıdır. Bu anlaşılmadan alan ve devre büyüklüklerinin hesaplanması, konumda ve zamanda senkronizasyonun sağlanması son derece zordur. Birim hücrede yerleşim ve ortam parametrelerinin belirlenmesi anlaşıldıktan sonra, diğer önemli adımlar geçilebilir. FDTD yöntemi ile üç boyutlu herhangi bir elektromanyetik problem ele alınabilir. FDTD hesap uzayı, üç boyutlu kartezyen koordinat sisteminde Xmin, Ymin, Zmin ile Xmax, Ymax, Zmax düzlemleri arasında kalan bölgeyi Nx*Ny*Nz adet Yee hücresine bölerek incelenmektedir. Genelde FDTD ile modellenen bütün elektromanyetik problemlerde ele alınan yapı etrafında ancak 3-5 dalga boyu mesafe kalır. Yani FDTD hesap uzayı içerisinde Maxwell denklemleri kullanarak ancak yakın alanlar simüle edilebilir. FDTD tekniğinde önemli sorunlardan birisi de açık bölge (ABS) simülasyonudur. Eğer rezonatör gibi her yanı mükemmel iletken kaplı yapılarla ilgileniliyorsa FDTD hesap uzayının altı sınır yüzeyindeki teğet elektrik alan bileşenlerini (simülasyon süresince) sıfırlamak yeterlidir. Anten ışıma örüntüsü ya da hedef RSY davranışı hesaplanmak isteniyorsa durum değişir. Bilgisayar kapasitesine bağlı olarak FDTD hesap uzayı sonlu sayıda hücreden oluşur. Bu sayı birkaç bin olabileceği gibi, birkaç milyon hücre de olabilir. Sayı ne olursa olsun her eksende bir maksimum hücre sayısı söz konusudur. Örneğin xekseninde ilk hücre bir iken son hücre Nx’tir. Benzer şekilde, y ve z-eksenlerinde ilk hücreler (1,1) iken son hücreler Ny ve Nz’dir. Yinelemeli FDTD alan denklemlerine bakıldığında bir hücredeki elektrik alan bileşenlerinin hesabında komşu manyetik alanlar ile aynı noktada bir önceki elektrik alan değerinin kullanıldığı görülür. Benzer durum, manyetik alan bileşenlerinde de vardır. Yani (i,j,k) hücresindeki değerler için yine (i,j,k) hücresindeki önceki zamanda hesaplanan değerler ile komşu (i+1,j,k), (i,j+1,k), (i,j,k+1) hücrelerindeki değerler kullanılmaktadır. Örneğin x-ekseni soldan sağa doğru bir okla gösterilsin. Bu durumda ilk hücre i=1 en solda, son hücre i=Nx en sağda olur. İlk hücredeki bileşenler hesaplanırken komşu i=0 ve i=2 hücrelerdeki, son hücrede hesap yapılırken i=Nx-1 ve i=Nx+1 hücrelerindeki bileşenler kullanılır. Oysa i=0 ve i=Nx hücreleri olmadığından bu değerler sıfır gibi alınacak ve tam 17 yansıma söz konusu olacaktır. Yani, FDTD hesap uzayının sınır yüzeylerinde yinelemeli denklemlerini (hiçbir önlem almaksızın) aynen uygulamak tam yansımalara neden olacaktır. Bu ise alınan yapının değişmesi demektir. 2.4.4 Kararlılık (Courant) koşulu FDTD denklemleri yinelemeli yapıda olduklarından, ilerleyen zaman adımlarında sayısal hatalardan dolayı algoritmanın ıraksamaması gerekmektedir. Bu yüzden verilen yinelemeli denklemlerde (∆x,∆y,∆z) konum ve ∆t zaman boyutları rastgele seçilemez. Yinelemeli denklemlerin kararlı (sonsuza gitmeyen) sayısal çözümleri garantilemesi için bu hücre boyutları arasında bir ilişki sağlanmalıdır. Courant koşulunun fiziksel anlamını daha iyi açıklayabilmek için, sadece zamana ve konumda x’ e bağlı bir dalga problemini ele alalım. Bu durumda koşul, ct x ; c 1 0 0 (2.35) olarak verilmektedir. Eşitliğin sol tarafı “hız x zaman” yani dalganın aldığı yolu verir. Işık hızı dalganın yayılabileceği en yüksek hız olduğu için alınan yol maksimumdur. Sağ tarafta ise hücre boyutu vardır. O halde FDTD yinelemeli denklemlerinin kararlı olabilmesi için, seçilen zaman adımında dalganın maksimum ilerlemesi hücre boyutunu aşmamalıdır. Başka bir deyişle, dalga hareketinin bir zaman adımında hücre içinde kalabilmesi için zaman adımı buna göre yeterince küçük seçilmelidir. Üç boyutlu FDTD için Courant kararlılık koşulu ise; ct 2 1 1 1 2 2 2 x y z olarak verilmektedir. (2.36) 18 2.5 Sayısal Dispersiyon (Dağılım) Elektromanyetik problemlerde dağılma (dispersiyon), belli bir ortamda iletilen geniş bantlı bir işaretin, içerdiği farklı frekanslı bileşenlerinin (faz hızlarının farklı olmasından ötürü) gözlenen bir noktaya farklı zamanlarda ulaşmaları nedeniyle bozulmasıdır. FDTD yönteminde, hücre içindeki elektromanyetik dalgaların faz hızları boşluktaki c ışık hızından farklı değerler almaktadır. Bu farklılık frekansa, hücre boyutuna ve dalga ilerleme yönüne bağımlı olarak dağılmaya neden olmaktadır. Ancak burada sözü edilen dağılma FDTD yönteminde ayrık değerlerde hesap yapmaktan dolayı oluşan sayısal dağılmadır. FDTD yönteminde sayısal dağılmayı gidermenin fiziksel anlamı, simüle edilen işaret içinde en küçük dalga boyuna (en yüksek frekans) sahip bileşenin konumda kaç hücre ile örnekleneceğinin belirlenmesidir. Bu durum Nyquist örnekleme teoremine benzetilebilir. Nyquist teoremine göre, bir işaretin bilgi kaybı olmadan tekrar elde edilebilmesi için zamanda örnekleme hızının işaretin içerdiği en yüksek frekansın iki katı olması gereklidir. Benzer şekilde, FDTD yönteminde de sayısal dağılma minimum dalga boylu işaretin kaç konum adımı ile örnekleneceğine bağlıdır. İki boyutlu TM (Transverse Magnetic) tipi problemde kayıpsız ortamda Maxwell denklemleri; H x 1 E z t y H y t (2.37) 1 E z x (2.38) E z 1 H y H x t x y (2.39) şeklindedir. TM modu için çözümler, Ez n i, j ~ ~ * exp j k ix k jy nt ~ ~ * exp j k ix k jy nt ~ ~ E z0 * exp j k x ix k y jy nt (2.40) Hx n i, j H x0 Hy n i, j H y0 x y (2.41) x y (2.42) 19 şeklinde monokromatik olarak ilerleyen düzlemsel dalgalar olarak kabul edilir ve FDTD yöntemine göre ayrıklaştırılan denklemlerde yerine koyulup gerekli düzenlemeler yapılırsa, 2 2 ~ ~ 2 k y y k x x 1 1 1 t sin x sin 2 y sin 2 ct 2 (2.43) eşitliği elde edilir ve TM modu için FDTD algoritmasına ait iki boyutlu sayısal dağılma bağıntısı adını alır. Benzer yaklaşımla üç boyutlu FDTD için sayısal dağılma bağıntısı, 2 2 2 ~ ~ ~ 2 k y y k x x k z z 1 1 1 1 t sin x sin 2 y sin 2 z sin 2 ct 2 (2.44) şeklinde bulunmaktadır. Bir düzlem dalga için üç boyutlu kayıpsız ortamdaki analitik dağılma bağıntısı ise ( k sayısal dalga vektörü), 2 c 2 kx k y kz 2 2 2 (2.45) olarak verilmektedir. Bu denklemlerde ∆t , ∆x , ∆y ve ∆z sıfıra doğru yaklaştıkça bu bağıntılar birbirine denk hale gelmektedir. Buna göre, eğer zamanda ve konumda FDTD örneklemesi uygun boyutlarda yapılırsa, sayısal dağılma etkisi istenilen seviyelere indirilebilir. 2.6 Sınır Koşulları FDTD yönteminde ele alınan elektromanyetik problemler yapıları açısından iki başlık altında toplanabilir: Kapalı bölgeler (örneğin; rezonatörler, dalga kılavuzları, vb.) Açık bölgeler (örneğin; anten vb.) Kapalı bölgelerde FDTD’nin uygulanabilirliği açısından herhangi bir sorun yoktur. Kapalı bölgenin sınırları ile FDTD hacminin sınırları çakıştırılarak sorun giderilebilmektedir. 20 Örneğin, dalga kılavuzu FDTD ile modellenecek ise, teğet elektrik alan bileşenleri duvarlar üzerinde sıfırdır ve bu durumda ayrıca sınır koşulu tanımına gerek yoktur. Birçok uygulamada, serbest uzay içerisinde yer alan yapılar modellenir ve alanların sınırsız uzayda yayılması veya saçılması istenir. FDTD uzayının sınırlandırılması gerekir. Saçılan ve yayılan alanlar sınıra ulaştıkları zaman önlem alınmadığı takdirde problem uzayına geri yansıyabilirler. FDTD problem uzayının sınırı, saçılan ya da yayılan alanlar sınıra ulaştıklarında yutulacak şekilde seçilir, böylece sınırsız uzayda yayılıyormuş gibi benzetim yapmak mümkün olabilir. Bu tip problemler için dış sınırdan yansımadan önce zaman ilerleyişini durdurmak da diğer bir yöntemdir. Ancak çoğu problem için uygun bir alternatif değildir. Sonlu farklar metodunda bir uzay-zaman kafesi oluşturulur ve Maxwell denklemleri, sonlu fark denklemleri sistemi ile kafes üzerine yerleştirilir. Ancak bu yolla alan problemlerinin çözümü denendiğinde saçılma problemi gibi bir sorunla karşılaşılır. Yani alanın içinde bulunduğu düzlem sınırsız olmasına karşın bilgisayarda sınırlı bölgenin analizi yapılabileceğinden yapı sınırlanır. Bunun için sınırlı boyutta kafes kullanılır fakat engeli kapsayacak kadar geniş bir kafes olmalıdır ve doğruya yakın bir sonuç elde edebilmek için kafesin dış yüzeyinden gelen alanı yutacak şekilde sınır koşulları kullanılmalıdır. Bu tip sınır koşullarına açık sınır koşulları adı verilir. 2.6.1 Tek yönlü dalga denklemleri Bilgisayar hafızasının sınırlı olmasından dolayı belli bir noktada kesilen FDTD uzayında istenmeyen yansımalar oluşabilir. Bu yansımaları önlemek için FDTD uzayının sınırlarında hesap yapılmaz. Bu sınır noktalarındaki alan değerleri iç noktalarda hesaplanan değerler cinsinden belli bir denkleme uyacak şekilde yazılır. Bu denklemin uygun seçilmesi yansımaların önlenmesi açısından çok önemlidir. Seçilecek denklem, geriye yansımaları tamamen yok edecek ya da en aza indirecek şekilde olmalıdır. Genelde yapılan; dalga denklemlerini ileri ve geri giden bileşenlere ayırıp, geri giden kısmı sıfırlamaktır. Kartezyen koordinatlarda ABC ihtiyaçlarına uygun bir tek yönlü dalga denklemi teorisi geliştirilmiştir. Bu teoride kısmi türev operatörleri çarpanlara ayrılır. Bunun için öncelikle 21 kartezyen koordinatlarda iki boyutlu bir dalga denklemi göz önüne alınmaktadır [2]. U skaler bir alan bileşenini, c ise dalganın faz hızını göstermek üzere iki boyutlu dalga denklemi; 2U x 2 2U y 2 1 2U 0 c2 t 2 (2.46) şeklinde verilebilir. Burada kısmi türev operatörü L 2 x 2 2 y 2 1 2 1 2 2 2 D x D y 2 Dt 2 2 c t c (2.47) şeklinde tanımlanabilir. Bu durumda dalga denklemi LU 0 (2.48) şeklinde yazılmaktadır. L dalga operatörü LU L LU 0 (2.49) şeklinde çarpanlara ayrılabilir. Burada L Dx S Dt 1 S 2 c Dy Dt / c L Dx Dt 1 S 2 c (2.50) (2.51) (2.52) olarak tanımlanmaktadır. L (-x) yönünde, L (+x) yönünde ilerleyen operatörlerdir. x = 0 sınırında U dalga fonksiyonuna LU 0 (2.53) 22 şeklinde L uygulandığında sınıra doğru herhangi bir α açısıyla gelen bir düzlem dalga yutulur. Benzer şekilde x = xmax sınırındaki düzlem dalga için L operatörü aynı sonucu vermektedir. L ve L zaman ve konum değişkenlerine göre diferansiyel operatörleri içermektedir. Aynı zamanda bu ifadelerde karekök olabilmektedir. Bu haliyle operatörler sayısallaştırılamazlar. Kareköklü ifade L ve L ’yı hem konum hem de zaman değişkenleri içinde yerel olmayan sözde diferansiyel operatörler haline getirdiği için, ABC olarak kullanılan denklemin doğrudan doğruya sayısal hale getirilmesi engellenmektedir. Kareköklü ifade normal kısmi diferansiyellerden oluşan bir seriye yaklaştırılarak bu sorun çözümlenebilir ve ifade FDTD uygulamalarında sayısallaştırılabilecek hale getirilebilir. Verilen L ve L operatörleri çok küçük S değerleri için 1 S 2 1 (2.54) şeklinde tek terimli Taylor serisi açınımı ile kullanılabilir. S değerinin çok küçük olması, ilerleyen dalganın; zamana göre türevinin ışık hızına bölünmesi sonucunda elde edilen değerden, y- eksenine göre olan türevinin çok daha küçük olması anlamına gelmektedir. Bu durumda; L Dx Dt c (2.55) elde edilmektedir. Bu durumda x = 0 sınırı üzerinde sayısal olarak uygulanabilecek olan birinci-derece ABC eşitliği; U 1 U 0 x c t (2.56) olarak bulunur. Benzer şekilde (2.50) eşitliğindeki kareköklü ifade Taylor serisine açılır ve ilk iki terim alınırsa daha büyük S değeri için uygun olan 23 1 1 S 2 1 S 2 2 (2.57) ifadesi elde edilir. Bu ifade (2.50) eşitliğinde kullanıldığında L Dx Dt 1 2 1 S c 2 D L Dx t c 2 2 1 1 c.D y D Dt cD y x 2 Dt c 2 Dt (2.58) (2.59) elde edilebilir. x=0 için ikinci dereceden ABC ifadesi ise şu şekilde olur. 2U 1 2U c 2U 0 xt c t 2 2 y2 (2.60) Aynı ifade: x = xmax sınırında 2U 1 2U c 2U 0 xt c t 2 2 y 2 (2.61) y = 0 sınırında 2U 1 2U c 2U 0 yt c t 2 2 x2 (2.62) y = ymax sınırında 2U 1 2U c 2U 0 yt c t 2 2 x2 olarak elde edilir. (2.63) 24 2.6.2 Mur tipi sınır koşulları Tek yönlü dalga denklemlerinde oluşturulan ABC (Absorbing Boundary Conditions) denklemleri Mur tarafından FDTD algoritmasına uygun hale getirilmiştir. Üç boyutlu uzayda x = 0 sınırındaki açık sınır koşulları için sonlu fark denklemlerinin çıkarılmasında öncelikle Yee birim hücresinde aşağıdaki özellikler göz önünde bulundurulmalıdır: Her hücre, üç koordinatta da o eksene dik iki yüzeyle sınırlıdır ve bu yüzeyler (i,j,k) noktalarından geçmektedir. E elektrik alan bileşenleri bu yüzeylere teğet, H manyetik alan bileşenleri ise dik doğrultudadır. FDTD iterasyonları neticesinde bir sonraki hücreye ait alan bileşenleri hesaplanabilir. Ancak bu bağıntıda sınırın dışarısında yer alan manyetik alan bileşenlerine ihtiyaç duyulmasından ötürü sınır üzerindeki teğet elektrik alan bileşenlerinin değerleri bu şekilde elde edilemez. Bu yüzden açık bölge sınır koşullarının, sadece yüzeye teğet elektrik alan bileşenleri için elde edilmesi yeterlidir. 2 boyutlu FDTD uzayında x = 0 sınırı için 1. derece Mur tipi ABC E z için çıkarılacak olursa; Ez n 1 0, j E z n 1, j c0 t n n E z 1, j E z 0, j c0 t (2.64) elde edilir. 2. dereceden Mur ABC ise; Ez n 1 0, j E z n 1 1, j c 0 t n 1 n 1 . E z 1, j E z 0, j c 0 t 2 n n . E z 0, j E z 1, j c 0 t c0 t 2 E z n 0, j 1 2 E z n 0, j E z n 0, j 1 . 2c 0 t E z n 1, j 1 2 E z n 1, j E z n 1, j 1 olarak bulunmaktadır. Bu denklemlerde x y olarak kabul edilmiştir. (2.65) 25 2.6.3 Mükemmel uyumlandırılmış plaka (perfectly matched layer, PML) FDTD kullanılarak simüle edilen alan boyutlarını sınırlandırmamız gereklidir. Maxwell denklemleri için en esnek ve en etkili emici sınır şartlarından biri Berenger tarafından geliştirilen mükemmel uyumlandırılmış tabakadır. Böylece hesaplamaların daha kolay yapılması sağlanmaktadır. Bu yöntemde, bir A ortamında yayılan elektromanyetik dalganın farklı bir B ortamı ile karşılaşması durumunda, yansıma miktarı ortamların dielektrik sabitlerine ve manyetik geçirgenlik sabitlerine bağlı olarak değişir [13]. A B A B c0 (2.66) (2.67) 1 (2.68) 0 0 Darbenin sınıra çarpmadan sönümlenmesi istenmektedir. Bu ve değerlerinin kompleks yapılması ile sağlanır, çünkü sanal kısım gecikmeye neden olan kısımdır. DZ 1 t 0 0 H y H x y x D z r E z * H x 1 t 0 0 H y t E z y E z 0 0 x 1 (2.70) (2.71) (2.72) Fourier bölgesine geçilerek ( H y H x jD z c 0 y x D z r E z * (2.69) j ); t (2.73) (2.74) 26 E jH x c 0 z y E jH y c 0 z x (2.75) (2.76) elde edilir. Normalize edilmiş birimler için denklem (2.73) ve (2.75) ve (2.76)’deki türev ifadelerindeki ve ihmal edilmektedir. Bu ifadelerin yerine gerçel olmayan dielektrik sabiti ve manyetik geçirgenlik sabiti kullanılmaktadır ( FZ * , FX * , FY * ). jD z FZ x FZ * * H y y c0 x H x y D z r E z * jH x FX * (2.77) (2.78) E z y x F * y c0 X E * * jH y FY x FY y c 0 z x (2.79) (2.80) Dikkat edilmesi gereken birkaç önemli nokta vardır. İlk olarak, F değeri akı yoğunluğu D ile ilişkili ama E ile ilişkili değildir. İkinci olarak denklem (2.80), (2.79)’deki F ve denklem (2.77)’daki F ’nin her bir değerine biri x yönünde diğeri y yönünde iki değer ilave edilir. Bir PML’nin iki temel şartı vardır. Ortamın gerisinden PML’ye giden empedans sabit olmalıdır. 0 m F * F * X 1 (2.81) X Sınıra dikey doğrultuda (örneğin x yönünde), bağıl dielektrik sabiti ve bağıl manyetik geçirgenlik sabiti bu yönün tersinde olan diğer yönlerde aşağıdaki eşitlikleri sağlamalıdır. 27 F * X 1 F (2.82) * Y F * X 1 F (2.83) * Y Burada bu sabitlerin her biri kompleks yapıda kabul edilmektedir. F * m D Fm m j 0 F * F m m D m j 0 m=x veya y için (2.84) m=x veya y için (2.85) Denklem (2.82) ve (2.83)’deki parametrelerin aşağıdaki gibi seçilmesi yeterli olmaktadır. F F 1 m D m 0 (2.86) m H m 0 D 0 (2.87) değeri arttırılırsa denklem (2.73), (2.75) ve (2.76)’daki D Z ve H Y değerleri azalır. İlk önce x yönünde bir PML ele alınırsa 0 m F F 1 x / j 0 1 1 x / j 0 * X * X (2.88) elde edilir. Böylece, (2.77), (2.78), (2.79) ve (2.80) ’deki denklemlerde F * ve F * ’nin sadece x’e bağlı değerleri ele alınmalıdır. H y H x * jD z FZ x c 0 y x jH x FX * E z y x c0 E * jH y FY x c 0 z x (2.89) (2.90) (2.91) 28 Buradan (2.86) ve (2.87)’deki denklem değerleri kullanılarak aşağıdaki denklemler elde edilir. D x j 1 j 0 H y H x Dz c0 y x Dx j 1 j 0 E H x c 0 z y Dx j 1 j 0 E H y c 0 z x 1 (2.92) (2.93) (2.94) (2.92), (2.93) ve (2.94)’de verilen denklemlere FDTD uyguladığında, Dx j 1 j 0 D z jD z D x D z 0 D z D i D Dz z t 0 n 1 / 2 (2.95) i, j D z n1 / 2 i, j t D i D z n 1 / 2 i, j D z n 1 / 2 0 2 .t D z D i n 1 / 2 i, j 1 1 D i Dz Dz t 0 t 2 0 t n 1 / 2 i, j 1 1 D i Dz t 2 0 (2.96) (2.97) eşitliği elde edilir. Bu eşitliği (2.92)’de yerine yazılırsa i, j gi3i D z n 1 / 2 i, j H y n i 1 / 2, j H y n i 1 / 2, j gi2i 0.5 H x n i, j 1 / 2 H x n i, j 1 / 2 (2.98) x / 2c 0 t 1 c0 c0 x x 2 (2.99) Dz n 1 / 2 bulunur. gi2i ve gi3i parametreleri ise 29 gi2i 1 1 D i t / 2 0 (2.100) gi3i 1 D i t / 2 0 1 D i t / 2 0 (2.101) ifadeleri ile verilir. (2.94) ifadesi Hy n 1 i 1 / 2, j fi3i 1 / 2H y i 1 / 2, j n fi2(i 1 / 2)(0.5) E z n 1 / 2 i 1, j E z n1 / 2 i, j (2.102) şeklinde düzenlenebilir. Burada, fi 2i 1 / 2 1 1 D i 1 / 2t / 2 0 (2.103) fi3i 1 / 2 1 D i 1 / 2t / 2 0 1 D i 1 / 2t / 2 0 (2.104) şeklindedir. H y ’nin FDTD ızgarasındaki konumundan dolayı fi2 ve fi3 parametreleri i+1/2’de hesaplanır. Denklem (2.93) ifadesi yeniden düzenlenerek aşağıdaki biçimde yazılabilir. E ( x) 1 E z jH x c 0 z D 0 j y y (2.105) Mesafeye bağlı türev ifadesi E z E z y n 1 / 2 i, j 1 E z n1 / 2 i, j x curl _ e x (2.106) olarak yeniden yazılabilir. Bu FDTD ile Hx n 1 i, j 1 / 2 H x t n curl _ e i, j 1 / 2 x c 0 T D ( x) .t curl _ e 0 x n 0 (2.107) 30 olarak ifadesi elde edilir. Toplam simgesinin önündeki ekstra t zaman bölgesinde integral yaklaşımının bir parçasıdır. Sonuç olarak, Hx n 1 i, j 1 / 2 H x n i, j 1 / 2 c t D x t n 1 / 2 i, j 1 / 2 0 I HX x 0 c 0 t .curl _ e x H x i, j 1 / 2 n D x t IH 2 0 n 1 / 2 X (2.108) c 0 t curl _ e x i, j 1 / 2 ifadesini elde ederiz. (2.93) denkleminden aşağıdaki denklemler türetilirse, curl _ e E z n 1 / 2 i, j E z n1 / 2 i, j 1 i, j 1 / 2 I H (2.109) i, j 1 / 2 curl _ e (2.110) i, j 1 / 2 H x n i, j 1 / 2 0.5curl _ e n 1 / 2 i, j 1 / 2 fi1i I H (2.111) I HX Hx n 1 / 2 n 1 / 2 X n 1 X bulunur. Burada, fi1i i t 2 0 (2.112) olarak verilmektedir. f ve g parametrelerinin hesabında iletkenlik değişimine gerek yoktur. Diğer bir parametre ise xn t 2 0 (2.113) şeklindedir ve bu PML içinde ilerledikçe artar. f ve g parametreleri i xni 0.33 * pml _ boyu fi1i xni 3 i=1, 2, ….., pml_boyu (2.114) (2.115) 31 1 gi2i 1 xni (2.116) 1 xni gi3i 1 xni (2.117) olarak hesaplanır. Denklem (2.114) ifadesindeki parantez içerisinin değeri 0 ile 1 arasında değişir. 0,333 sayısı ampirik olarak hesaplanır ve bu sayı kararlı kalan en büyük sayıdır. Yukarıdaki parametrelerin değişim aralıkları aşağıda verilmiştir. fi1i 0’dan 0,333’e (2.117) gi2i 1’den 0,75’e (2.118) gi3i 1’den 0,5’e (2.119) Ana problem uzayı boyunca gi2 ve gi3 değerleri 1 iken fi1 değeri 0’dır. Bu nedenle programın ana parçasından PML’ye bir geçiş vardır. Buraya kadar x yönündeki değerler hesaplanmıştır. Benzer şekilde y yönü içinde analizler yapılmalıdır. Dx j 1 j 0 1 D Y j 0 Dx j 1 j 0 Dx j 1 j 0 .1 D Y j 0 1 H y H x Dz c0 y x D Y 1 j 0 E H x c 0 z y 1 E H y c 0 z x (2.120) (2.121) (2.122) Yukarıdaki denklemlere x yönünde FDTD yöntemi uygulandığında, i, j gi3i gj3 j D z n 1 / 2 i, j H y n i 1 / 2, j H y n i 1 / 2, j gi2i gj 2 j 0.5 H x n i, j 1 / 2 H x n i, j 1 / 2 Dz n 1 / 2 bulunur. y yönündeki H y ifadesi ise, (2.123) 32 curl _ e E z I HY n 1 / 2 n 1 / 2 i 1, j E z n1 / 2 i, j i 1 / 2, j I H n 1 / 2 Y i 1 / 2, j curl _ e i 1 / 2, j fi3i 1 / 2H y n i, j 1 / 2 n 1 / 2 i, j 1 / 2 fj 2 j 1 / 20.5curl _ e fi1i I H Hy (2.124) (2.125) n 1 (2.126) X olarak bulunur. PML ile ilgili parametrelerin alabilecekleri değer aralıkları aşağıda verilmiştir. fi1i , fj1 j 0’dan 0,333’e (2.127) fi2i , gi2i , fj 2 j , gj2 j 1’den 0,75’e (2.128) fi3i , gi3i , fj3 j , gj3 j 1’den 0,5’e (2.129) fi1i ve fj1 j ’nin değerleri 0’a diğer parametrelerin değerleri 1’e ayarlandığında problem uzayının ana parçasında PML kolaylıkla kapatılabilmektedir. 33 3. ELEKTROMANYETİKTE PLAZMA ORTAMI Plazma konusunda yapılan çalışmalar ilk olarak, 1920’li yıllarda Tonks, Amerikalı kimyacı ve fizikçi olan Irving Langmuir ve arkadaşları tarafından yapılmıştır. İlk deneyler gaz deşarjları konusunda yapılmıştır. Yüksek akım taşıyabilen vakum tüplerinin oluşturulmasına duyulan ihtiyaçtan dolayı yapılan çalışmalarda ekranlama (shielding) olayı keşfedilmiştir. Daha sonra 1930’lu yıllarda kontrollü nükleer füzyon çalışmalarının başlamasıyla plazma çalışmaları hız kazanmıştır. Maddenin dördüncü hali olarak da bilinen plazma, en genel tanımla iyonize olmuş gazdır. Gaz fazındaki maddenin çok yüksek sıcaklıklara ısıtılmasıyla atomlar iyonlaşarak, elektron ve pozitif iyonlar oluştururlar. Ancak atomlar tamamıyla iyonize olmamakta ve bir kısmı nötr kalmaya devam edebilmektedir. Oluşan bu parçacık bulutu plazma olarak adlandırılır. Plazma, soğuk ve sıcak plazma olarak isimlendirilebilmektedir. Soğuk plazmalarda, gaz fazındaki atomların sadece %1-10 kısmı iyonize olmakta geri kalan kısmı ise nötr kalmaya devam etmektedir. Sıcak plazmalarda gaz tamamen iyonize olmaktadır ancak her iyonize gaz plazma değildir. İyonize gazın plazma olarak adlandırılabilmesi için bazı kriterleri sağlaması gerekmektedir [14]. 3.1 Plazma Kriterleri Plazma elektriksel olarak nötr olmasına rağmen çok iyi bir iletkendir; elektrik alan ve manyetik alanla etkileşebilir. Elektrik ve manyetik alanlar plazma içerisindeki parçacıkların yörüngelerini kontrol ederler. Yüklü parçacıkların hareketleri parçacık demetleri, dolayısıyla da manyetik alan oluşturan akım veya elektrik alan yaratabilirler. İyonize gazın plazma olarak tanımlanabilmesi için, plazmanın elektrostatik özelliklerini belirleyen, uzunluk ölçüsü anlamına gelen, Debye uzunluğu, Debye hacmi içerisinde yer alan parçacık sayısı ve plazma çarpışma frekansının sağlaması gereken koşullar vardır. Birinci koşul Debye uzunluğu ile plazma boyutu, ikinci koşul Debye hacmi ile parçacık yoğunluğu, üçüncü koşul ise çarpışma frekansı ile yüklü parçacıklar ve nötr atomların çarpışmaları arasında geçen ortalama zaman arasındaki bağıntılardan oluşmaktadır. k .T . D B e 2 0 ne .e 1 2 D L (3.1) 34 Burada; D Debye uzunluğu, k B Boltzman sabiti, Te elektron sıcaklığı, 0 boşluğun geçirgenliği, n yoğunluk, ne elektron yoğunluğu, e ise elektronun yükünü göstermektedir. Debye uzunluğu, plazma içerisinde yüklü bir parçacık tarafından diğer bir yüklü parçacığın elektrik alanının etkisinin hissedildiği mesafeyi verir. İyonlaşmış bir gazın plazma olarak adlandırılabilmesi için plazma boyutunun ( L ), Debye uzunluğundan çok büyük olması gerekmektedir. Plazma karakteristiği için önemli olan bir kavram, plazma ortamında elektron yoğunluğu ( ne ) ve iyon yoğunluğunun ( ni ) hemen hemen birbirine eşit olması anlamına gelen, plazmanın yaklaşık olarak nötr kalma (quasineutrality) durumudur. Plazma bölgesinin çevresinde plazma kılıfı (plasma sheath) olarak adlandırılan ve plazmayı temas ettiği tüm yüzeylerden ayıran bir bölge meydana gelmektedir. Bu bölgede pozitif yük yoğunluğu elektron yoğunluğundan fazladır. 4 3 N D .n. . D 3 N D 1 (3.2) Debye küresi olarak bilinen hacim içerisinde bulunan parçacık sayısı N D birden çok büyük olmalıdır. . 1 (3.3) Yüklü parçacıklar ile nötr atomlar arasındaki ortalama çarpışma süresi ile plazma salınım frekansının çarpımı, birden büyük olmalıdır. Yoğunluk ( n ) ve sıcaklık ( k T ) plazma için iki önemli parametredir. Evrende farklı yoğunluk ve sıcaklıklara sahip olan birçok plazma çeşidi vardır. Plazmaların bir kısmı laboratuvar ortamında oluşturulur; ancak yıldızlar ve uzay plazmaları gibi doğal plazmalar da vardır. En önemli plazma güneştir. 3.2 İzotropik Plazma ve İletken Dağılımı Dielektrik ortamda, rezonans frekansı 1 (3.5)’deki denklemde 0(sıfır) değildir ve küçük frekanslarda 0 ’a yaklaşır ve bundan dolayı r sabit bir değer alır. Fakat iletkende, moleküllere bağlı olmayan elektronlar vardır ve bundan dolayı geri kuvveti m 0 2 r denklem (3.6)’da sıfır olur. Ayrıca moleküller arasında etkileşim göz ardı edilebilir ve iki farklı ortamdaki elektrik alan eşitlenebilir. 35 d2 r dr 2 m. 2 m.0 r m.v. F dt dt r 1 (3.4) 2 Ne 2 m. 0 . 1 2 jv (3.5) Manyetize plazma ortamının dielektrik geçirgenlik sabiti [15], 1 * P 2 . j.vC (3.6) ile verilir. Burada P 2. . f P (3.7) vC elektron çarpışma frekansı f P plazma frekansı olarak tanımlanmaktadır. Her iki ortamın dielektrik geçirgenlik sabiti eşitse (aynı ortamda), p2 1 j 1 . 0 . j.vC (3.8) bulunur. (3.8) denklemi çözülürse, p 0 v C j 2 (3.9) eşitliği elde edilir. Düşük frekanslarda v , bundan dolayı sabittir ama genelde frekansa bağlı olarak değişir. (3.6) denklemini açılırsa, * 1 P 2 / vC P 2 / vC j vC j bulunur. (3.10) denkleminin Z transformu alındığında, (3.10) 36 * P / vC 1 P / vC 1 t 1 z 1 e vC .t .z 1 2 2 (3.11) Dz * z .Ez .t (3.12) elde edilir. (3.11) denklemi (3.12) denkleminde yerine konularak, D z E z P 2 .t . 1 1 . E z 1 vC t 1 1 e z 1 z vC (3.13) ve denklemin paydaları eşitlenerek, 1 e vC t .z 1 P 2 .t . E z D z E z . vC .t vC .t 2 1 1 1 e . z e z vC (3.14) bulunur. Yukarıdaki denklemde yeni bir terim olarak S z tanımlanırsa, S z 1 e vC t .z 1 P 2 .t . E z . vC .t vC .t 2 1 .z e .z vC 1 1 e (3.15) Ez Dz z 1.S z (3.16) bulunur. S z denklemi (3.16)’da yerine konup S z çekilirse, S z 1 e vC .t .z 1.S z e vC .t .z 2 .S z P 2 .t vC 1 e vC .t .Ez (3.17) elde edilir. (3.16) ve (3.17) denklemlerine FDTD yöntemi uygulandığında, e X k d X k s X k s X k 1 exp vC .t .sxm1k exp vC .t .sxm2k (3.18) powomega,2.0* t / vC * 1 exp vC .t e X k (3.19) sxm2k sxm1k (3.20) sxm1k sxk (3.21) bulunur. Plazma ortamı yüksek frekanslı ortam olduğundan dolayı FDTD hücre boyunun alındığından daha küçük seçilmesi gerekir. EM plazma frekansı 4000 THz aldığımızda, 37 c 3 *108 75 *109 m 15 f 4 *10 (3.22) olur. Hücre boyu, dalga boyunun en az on’da biri alındığında kararlı olur. Düşük frekanslarda plazma ortamı bir metal gibi gelen EM dalgayı yansıtır, yüksek frekanslarda ise EM dalga plazma ortamından geçer. 38 39 4. KAYNAK PARAMETRELERİN SEÇİMİ FDTD ile elektromanyetik problem simülasyonunda önemli unsurlardan birisi de parametre seçimidir. FDTD ile zamanda darbesel işaretlerin simüle edilmesindeki ana amaç ele alınan yapının geniş frekans bandında davranışını incelemektir. FDTD ile her yapı her frekans bölgesinde incelenebilir. Bu nedenle FDTD ile bir yapı simüle edilmek istenildiğinde çıkış noktası parametrelerin belirlenmesi olmaktadır. FDTD’de parametre seçimi aynı zamanda bir çeşit optimizasyon anlamına da gelir [1]. Parametre seçiminin iki önemli ayağı vardır. Bunlar; İstenen frekans analizi ve ayrık Fourier tekniğinin gerekleri, FDTD parametrelerinin istenen frekans analizi doğrultusunda belirlenmesi olarak sıralanabilir. Bu iki unsur birlikte ele alındığında parametre optimizasyonu doğal olarak yapılmış olur. FDTD hesap uzayına yerleştirilen yapı ne olursa olsun, genelde zamanda darbesel bir işaret uygulanır. Bu işaret, bir gerilim ya da akım kaynağı olabileceği gibi, saçılma problemlerinde olduğu gibi bir düzlem dalga da olabilir. Kaynak tipi ve konumda değişimi ne olursa olsun zaman değişimi Gauss fonksiyonu benzeri bir davranış gösterir. Şekil 4.1’de 3dB darbe süresi 2 ns olan bir Gauss darbesi ve frekans bandı yan yana çizilmiştir. Şekil 4.1’den görüleceği gibi, Gauss darbesi alçak frekansları da (DC bileşeni) içeren frekans bandına sahiptir. Çok alçak frekanslardan istenen en yüksek frekansa kadar analizlerde Gauss kullanmak elverişlidir. Oysa saçılan alan problemlerinde ya da dalga kılavuzlarında DC bileşen zaten söz konusu olmadığından Gauss fonksiyonu yerine Gauss fonksiyonun birinci hatta üst mertebe türevleri kullanılabilir. Türev mertebesi arttıkça Gauss fonksiyonun alçak frekansları atılmaktadır. Ancak problem ne olursa olsun kaynak olarak Gauss darbesi uygulanabilir. Eğer yapıda DC bileşeni ya da alçak frekanslar desteklenmiyorsa, zaten uyarma hücresinden birkaç hücre ötede bu bileşenler sönecek ve Gauss darbesi yerine Gauss fonksiyonun birinci türevi gibi işaret iletilecektir. Buna darbe kopması denir. 40 1 1 f(t) 0.5 Genlik 0.5 0 -3 0 -2 -1 0 1 Zaman(nsn) 2 3 -2 -1 0 Frekans(GHz) 1 2 Şekil 4.1 Gauss darbesinin normalize zaman ve frekans davranışı. (Darbe zamanda daraldıkça frekans bandı genişler) FDTD ile fiziksel bir problemin simülasyonunda diğer önemli bir nokta da frekans analizidir. FDTD ile alan ya da devre parametrelerinin zaman bölgesinde davranışları elde edilir. Simülasyon bitiminde ise frekans analizi ayrık Fourier dönüşümleri ile gerçekleştirilir. Bu işlemde önemli bir sorun işaretin uygun örneklenmesidir. Şekil 4.2’de işaretin uygun örneklenmesi ya da örneklenmemesi durumunda neler olabileceği şematik olarak gösterilmiştir: İşaret Spekt rumu Frekans Yetersiz Örneklenmiş İşaret Spekt rumu Frekans Yeterli Örneklenmiş İşaret Spekt rumu Frekans Şekil 4.2 Sınırlı banda sahip bir işaretin örnekleme sıklığı ile ilişkisi Sınırlı banda sahip zaman işareti örneklendiğinde (yani ayrıklaştırıldığında) işaretin bandı frekans bölgesinde periyodikleşir. Bu durumda bandların iç içe geçmesi bilgi kaybı demektir. Bunu önlemenin yolu uygun örneklemeden geçer. Uygun örnekleme, işaret 41 işleme tekniğinde bilinen Nyquist örnekleme teoreminden başka bir şey değildir. Yani işaretten zamanda alınan ayrık örneklerin sıklığı, işaretin içerdiği en yüksek frekansın iki katı hızda olmalıdır. FDTD yönteminde parametrelerin saptanması şu aşamalarda yapılır: Önce uygulanacak kaynak, örneğin Gauss darbesi seçilir. Kaynak darbe süresi analiz yapılacak en yüksek frekansa göre ayarlanır Gauss darbesi ve darbe süresi seçildikten sonra, ikinci adım zamanda ve konumda ayrıklaştırmaktır. Gauss darbesinin frekans bandındaki en büyük frekans bileşeni, Nyquist örnekleme teoremi gereği zamanda ayrıklaştırmayı belirler. Bu, ayrık Fourier dönüşümü için geçerlidir. Yani, istenen en yüksek frekans bileşeni fmax ise işarette bilgi kaybı olmaması için zaman adımı ∆tFFT=1/(2fmax) olmalıdır. Bu en üst sınırdır. FDTD tekniğinin uygulanmasında ise konumda hücre boyutları ∆x, ∆y ve ∆z ile zaman adımı ∆t(FDTD) yine ilgilenilen en yüksek frekanstan (fmax) başlayarak belirlenilir. FDTD açısından iki sınırlama söz konusudur. Birincisi sayısal dağılma, ikincisi kararlılık kriteridir. Yukarıda kısaca sözü edilen bu iki nokta hem FDTD simülasyonu hem de simülasyon sonrası ayrık Fourier analizi açısından önemlidir. Ele alınan zaman işareti içerisinde en yüksek frekanslı (fmax) yani en küçük dalga boylu (λmin) bileşen en az birkaç hücre ile örneklenebilmelidir. Yani FDTD hücre boyutları işaretin en küçük dalga boyuna sahip bileşeninden bile birkaç misli küçük olmalıdır. Uygulamada, λmin/100 ile λmin/4 arasında hücre boyutlarına rastlanmaktadır. Genelde λmin/10-λmin/20 arasındaki değerler uygun seçimlerdir. Bu şekilde hücre boyutları seçildikten sonra kararlılık kriteri gereği zaman adımı, ∆t(FDTD) belirlenir. 42 Genelde simülasyon sonrası frekans analizi için gerekli ∆tFFT değeri simülasyon adımı ∆t(FDTD) değerinden çok daha küçüktür ve FDTD zaman adımını belirlemek bu koşulu otomatik olarak sağlar. Ancak simülasyon süresinin belirlenmesi frekans analizi açısından önemlidir. Zaman bölgesinde FDTD simülasyonunu ne kadar süreceği sorusunun iki açıdan yanıtlanması gerekir. Birincisi simülasyon sonrası frekans analizidir. Frekans analizinde hangi frekans çözünürlüğü (∆f) ile sonuçlar istenmektedir. İstenen ∆f çözünürlüğü işaretin zaman bölgesinde hangi sürede yani (Tmax) gözleneceğini belirler. Bu ikisi birbiri ile ters orantılıdır. Yani, ∆f=1/Tmax olduğundan, ne kadar hassas frekans ayrımı isteniyorsa o kadar uzun süre işaret gözlenmelidir, simülasyon sürdürülmelidir. Tmax ve ∆t(FDTD) belirlendikten sonra simülasyon adımı N(FDTD) = Tmax/∆t(FDTD) olarak seçilir. Simülasyon adımı N(FDTD)=NSTOP, istenen frekans çözünürlüğünden belirlenen minimum zaman adımıdır. Ele alınan yapıda işaretin gözlenen zaman davranışı daha kısa sürede bitiyorsa FDTD simülasyonunu kesip işaretin öncesine ve/veya sonrasına sıfır eklenerek gerekli Tmax sağlanır. Tersine Tmax süresi işaretin zaman davranışının sona ermesine yetmiyorsa, simülasyon, zaman davranışı sona erinceye dek sürdürülür. Örneğin rezonatör gibi çınlamaya neden olan yapıların incelenmesinde FDTD simülasyonunda işaret zamanda çok yavaş söndüğünden uzun süreler gerekir. Uygulamada bazen simülasyon belli bir süre sonra kesilip, işaret işleme teknikleri ile sonraki anlarda yapının davranışını kestirmek yoluna gidilir. Parametrelerin bu şekilde seçimi hem FDTD için gerekli kararlılık ve sayısal dağılma koşullarını hem de simülasyon sonrası frekans analizinin istenildiği gibi yapılabilmesini sağlayacaktır. 43 4.1 FDTD Algoritması FDTD algoritması, işleyiş açısından oldukça basittir. Ana döngü zaman döngüsüdür. Seçilen maksimum zaman adımı tamamlanıncaya kadar ana zaman döngüsü çalıştırılır. Ana FDTD algoritması önce ilgili yapıyı yerleştirir, gerekli parametrelerin hesabını yapar ve sonra zaman döngüsünü başlatır. Zaman adımları N=1’den N=Nstop’a kadar ana FDTD döngüsü tekrarlanır. Burada Nstop maksimum zaman adımıdır. Probleme göre birkaç yüz adım olabileceği gibi, onbinlerce de olabilir. Özellikle rezonansa gelen yapılarda zaman davranışı çok yavaş söneceğinden büyük Nstop değerleri gerekebilir. Ana FDTD döngüsü t=0 anında başlar. Önce elektrik alan bileşenleri bütün hücrelerde hesaplanır. Bitiminde, sınırlarda ABS elektrik alan bileşenleri kullanılarak gerçekleştiğinden, ABS için her sınır yüzeydeki teğet elektrik alan bileşenleri kullanılır. Örneğin; Xmin ve Xmax sınır yüzeylerinde elektrik alanının y ve z bileşenleri (Ey ve Ez) kullanılır. FDTD uzayı içerisindeki bütün hücrelerde elektrik alanlar hesaplanır, sınır yüzeylerde ABS gerçekleştikten sonra manyetik alanların hesabına geçilir. Ancak, elektrik ve manyetik alanların hesaplandıkları anlar birbirinden ∆t/2 kadar farklıdır. Sonra üç manyetik alan alt programı çağrılır. Bunların bitiminde tekrar zaman ∆t/2 kadar arttırılır. Böylece simülasyon yinelemeli olarak sürdürülür. Yani, bir elektrik alanlar bir manyetik alanlar hesaplanarak işleme devam edilir. Arada sınır yüzeylerde ABS gerçekleşir. Başla Yapı ve Parametreler Elektrik Alanlar Sınır Koşulları FDTD Döngüsü Hayır Dur Çıkış Evet t=Tmax t=t+ t/2 t=t+ t/2 Şekil 4.3 Ana FDTD döngüsü ve yinelemeli adımları Manyetik Alanlar 44 4.2 İki Boyutlu FDTD Uygulaması Yukarıda açıklanan teorik bilgilerden sonra 2 boyutlu modelleme işlemine geçilmiştir. TE ve TM dalga denklemleri programlama diline dönüştürülmüştür. İki boyutlu modelleme işleminde ilk önce hava ortamında daha sonra farklı iki ortamda nasıl hareket ettiği gözlenmiştir. Her programda c , , gibi değerler ortamın özelliğine göre alınmıştır. Gerekli adımlar sırasıyla uygulanarak ve algoritma mantığı kullanılarak C++ programı ile gerekli programlar yazılmıştır. Elektrik Alan ve Manyetik Alan işaretlerinin z yönüne bağlı olmadığı kabul edildiğinde ve µ, değerleri sabit olarak ele alındığında (J ≡ 0); TE modu için; H x H y 0, E z 0 Bz E x E y t y x (4.1) H z E y E x t x y (4.2) Dx H z H y Jx t y z (4.3) E x H z t y D y H z Jy z x t E y t n 1 / 2 1 Z 1 Z (4.5) H z x 1 ct Hz (4.4) .t ve Z (4.6) 376.7 (4.7) i 1 / 2, j 1 / 2 H z n 1 / 2 i 1 / 2, j 1 / 2 n n E y i 1, j 1 / 2 E y i, j 1 / 2 x n n E x i 1 / 2, j 1 E x i 1 / 2, j y (4.8) 45 Ex Ey n 1 i 1 / 2, j E x i 1 / 2, j Z y H z n 1 / 2 i 1 / 2, j 1 / 2 n 1 / 2 i 1 / 2, j 1 / 2 H z (4.9) i, j 1 / 2 E y i, j 1 / 2 Z x H z n 1 / 2 i 1 / 2, j 1 / 2 n 1 / 2 i 1 / 2, j 1 / 2 H z (4.10) n n 1 n eşitlikleri elde edilir. TM modu için; E x E y 0, H z 0 Dz H y H x Jz t x y (4.11) E z H y H x t x y (4.12) H x E z t y (4.13) H y Ez t n 1 E z x (4.14) i, j E x n i, j Z H y n 1 / 2 i 1 / 2, j H y n1 / 2 i 1 / 2, j x (4.15) n 1 / 2 i, j 1 / 2 H x n1 / 2 i, j 1 / 2 Z Hx y Hx Hy n n E z i, j 1 E z i, j Z y n 1 / 2 i, j 1 / 2 H x n 1 / 2 i, j 1 / 2 1 n 1 / 2 i 1 / 2, j H y n1 / 2 i 1 / 2, j 1 eşitlikleri elde edilir. (4.16) n n E z i 1, j E z i, j Z x (4.17) 46 47 5. SİMÜLASYON SONUÇLARI Bu tezde FDTD yöntemi kullanılarak iki boyutlu bir nesnenin herhangi bir noktasında oluşturulan dalganın zaman adımına göre nasıl yayıldığı gözlenmiştir. Simülasyon sonuçlarında sadece TM durumu incelenmiştir. İlk başta sadece hava ortamında yayılan dalga için sonuçlar elde edilmiştir. Daha sonra hem PML hem de Mur tipi sınır koşulları kullanılarak belli sınırlar içerisinde dalganın nasıl yayıldığı gözlenmiştir. Son olarak iki farklı ortam kullanılmıştır. Hem hava ortamı hem de plazma ortamı aynı anda bir hücrede kullanılarak ve sınır koşulları da hücreye dahil edilerek dalganın nasıl yayıldığı incelenmiştir. Plazma ortamının dışında oluşturulan dalganın hangi frekanslarda plazma ortamına çarparak geri yansıdığı, hangi frekanslarda plazma ortamından geçip tekrar hava ortamına geçtiği simülasyon sonuçlarında gözlenmiştir. 5.1 İki Boyutlu TM Dalgasının Simülasyonu 60x60 boyutundaki hücrede elektrik ve manyetik alan oluşturularak bu alanın tam ortasında Gauss darbesiyle bir dalga üretilmiş ve yayılması incelenmiştir. Ortam hava olduğundan 8,85 *1012 olarak alınmıştır. Şekil (5.1)’de onuncu adımda, Şekil (5.2)’de otuzuncu adımda ve Şekil (5.3)’de ise ellinci adımda elektromanyetik dalganın hareketi gözlenmiştir. Bu üç şekilde de herhangi bir emici sınır koşulu kullanılmamıştır. 0.2 Ez 0.15 0.1 0.05 0 60 60 40 40 20 x-->cm 20 0 0 Şekil 5.1 Elektromanyetik dalganın adım adım ilerlemesi y-->cm 48 Şekil (5.1)’de onuncu zaman adımında Gauss darbesinin (30,30) noktasında hava ortamında oluşumu görülmektedir. 0.2 Ez 0.1 0 -0.1 -0.2 60 60 40 40 20 20 0 x-->cm 0 y-->cm Şekil 5.2 Elektromanyetik dalganın adım adım ilerlemesi Şekil (5.2)’de otuzuncu zaman adımında Gauss darbesinin kenarlara doğru genişleyerek yayıldığı ve E Z değerinin azaldığı görülmektedir. 0.06 0.04 Ez 0.02 0 -0.02 -0.04 60 60 40 40 20 x-->cm 20 0 0 y-->cm Şekil 5.3 Elektromanyetik dalganın adım adım ilerlemesi 49 Şekil (5.3)’de ellinci zaman adımında Gauss darbesinin Şekil (5.2)’ye göre daha fazla kenarlara doğru genişleyerek yayıldığı ve E Z değerinin daha da fazla azaldığı görülmektedir. 5.2 İki Boyutlu TM Dalgasının PML Uygulanmış Hali İle Simülasyonu 60x60 boyutundaki hücrede elektrik ve manyetik alan oluşturularak bu alanın tam ortasında Gauss darbesiyle bir dalga üretilmiş ve yayılması incelenmiştir. Ortam hava olduğundan 8,85 *1012 olarak alınmıştır. Sınır koşulu olarak PML uygulanması ile Şekil (5.4)’de kırkıncı adımda, Şekil (5.5)’de yüzüncü adımda ve Şekil (5.6)’da bininci adımda dalganın hareketi gözlenmiştir. 0.2 0.1 Ez 0 -0.1 -0.2 -0.3 60 60 40 40 20 x--->cm 20 0 0 y--->cm Şekil 5.4 PML uygulanmış elektromanyetik dalganın ilerlemesi Şekil (5.4)’de kırkıncı zaman adımında Gauss darbesinin (30,30) noktasında hava ortamında oluşumu görülmektedir. 50 0.3 Ez 0.2 0.1 0 -0.1 60 60 40 40 20 20 0 x--->cm 0 y--->cm Şekil 5.5 PML uygulanmış elektromanyetik dalganın ilerlemesi Şekil (5.5)’de yüzüncü zaman adımında Gauss darbesinin hava ortamında Şekil (5.4)’e göre daha fazla sınırlara doğru genişleyerek yayıldığı gözlenmektedir. 0.1 Ez 0 -0.1 -0.2 -0.3 60 60 40 40 20 x--->cm 20 0 0 y--->cm Şekil 5.6 PML uygulanmış elektromanyetik dalganın ilerlemesi Şekil (5.6)’da bininci zaman adımında Gauss darbesinin hava ortamında Şekil (5.5)’e göre çok daha fazla sınırlara doğru genişleyerek yaklaştığı ve PML’den dolayı sınıra çarpan dalganın sönümlendiği gözlenmektedir. Bu noktada dalganın geri yansımaması istenmektedir. Çünkü geri yansımaların hesaplanabileceği bir yöntem yoktur. 51 5.3 İki Boyutlu TM Dalgasının İki Farklı Ortamda İken PML Uygulanmış Hali İle Simülasyonu 80x80 boyutlu hücrede sinüs ve Gauss darbelerinin çarpımıyla oluşturulan dalga Şekil (5.7)’de gösterildiği gibi x yönünde 0’dan 40’a kadar serbest uzayda, 40’dan 50’ye kadar plazma ortamında ve 50’den 80’e kadar tekrar serbest uzayda yayılmakta olup PML uygulanması durumunda elde edilen dalga şekilleri incelenmiştir. Darbenin frekansı Şekil (5.8), Şekil (5.9) ve Şekil (5.10) için f=500THz seçildiğinde dalga plazma ortamına geldiğinde tamamen geri yansımaktadır. Darbenin frekansı Şekil (5.11), Şekil (5.12) ve Şekil (5.13)’de olduğu gibi f=4000THz seçildiğinde dalga plazma ortamından geçip belli bir adım sayısından sonra PML’den dolayı sönümlenmektedir. PLAZMA ORTAMI Şekil 5.7 Plazma ortamının oluşturulduğu x yönündeki konumları 52 0.01 0.008 Ez 0.006 0.004 0.002 0 80 60 80 60 40 40 20 20 0 x--->cm 0 y--->cm Şekil 5.8 İki farklı ortamda PML uygulanmış elektromanyetik dalganın ilerlemesi Şekil (5.8)’de ellinci zaman adımında sinüs ve Gauss darbelerinin çarpımıyla oluşturulan kaynağın (20,20) noktasında oluşumu gözlenmektedir. Sınır koşulu olarak PML kullanılmıştır. Sinüs darbesinin frekansı 500 THz’dir. 0.02 0 Ez -0.02 -0.04 -0.06 -0.08 80 60 80 60 40 40 20 x--->cm 20 0 0 y--->cm Şekil 5.9 İki farklı ortamda PML uygulanmış elektromanyetik dalganın ilerlemesi Şekil (5.9)’da yüzüncü zaman adımında sinüs ve Gauss darbelerinin çarpımıyla oluşturulan dalga, x yönünde kırk ile elli arasında oluşturulan plazma ortamına çarpıp geri 53 yansımaktadır. Sınır koşulu olarak PML kullanılmıştır. Sinüs darbesinin frekansı 500 THz’dir. 0.04 Ez 0.02 0 -0.02 -0.04 80 60 80 60 40 40 20 20 0 x--->cm 0 y--->cm Şekil 5.10 İki farklı ortamda PML uygulanmış elektromanyetik dalganın ilerlemesi 0.2 Ez 0 -0.2 -0.4 -0.6 80 60 80 60 40 40 20 x--->cm 20 0 0 y--->cm Şekil 5.11 İki farklı ortamda PML uygulanmış elektromanyetik dalganın ilerlemesi Şekil (5.10)’da üçyüzüncü zaman adımında sinüs ve Gauss darbelerinin çarpımıyla oluşturulan dalga, x yönünde kırk ile elli arasında oluşturulan plazma ortamına çarpmakta, geri yansıyan dalga PML’den dolayı sönümlenmektedir. Sinüs darbesinin frekansı 500 54 THz’dir. Şekil (5.11)’de ellinci zaman adımında sinüs ve Gauss darbelerinin çarpımıyla oluşturulan kaynağın (20,20) noktasında oluşumu gözlenmektedir. Sınır koşulu olarak PML kullanılmıştır. Sinüs darbesinin frekansı 4000 THz’dir. 0.1 0.05 Ez 0 -0.05 -0.1 80 60 80 60 40 40 20 20 0 x--->cm 0 y--->cm Şekil 5.12 İki farklı ortamda PML uygulanmış elektromanyetik dalganın ilerlemesi -4 x 10 4 Ez 2 0 -2 -4 80 60 80 60 40 40 20 x--->cm 20 0 0 y--->cm Şekil 5.13 İki farklı ortamda PML uygulanmış elektromanyetik dalganın ilerlemesi 55 Şekil (5.12)’de yüzüncü zaman adımında sinüs ve Gauss darbelerinin çarpımıyla oluşturulan dalga, x yönünde kırk ile elli arasında oluşturulan plazma ortamından geçmektedir. Şekil (5.11)’de çıkan sonuca göre dalga daha fazla genişleyip, E Z değeri azalmaktadır. Sınır koşulu olarak PML kullanılmıştır. Sinüs darbesinin frekansı 4000 THz’dir. Şekil (5.13)’de üçyüzüncü zaman adımında sinüs ve Gauss darbelerinin çarpımıyla oluşturulan dalga, x yönünde kırk ile elli arasında oluşturulan plazma ortamından geçmektedir. PML’den dolayı dalga sönümlenmektedir. Sinüs darbesinin frekansı 4000 THz’dir. 5.4 İki Boyutlu TM Dalgasının İki Farklı Ortamda Mur Tipi ABC Uygulanmış Hali İle Simülasyonu 100x100 boyutlu hücrede sinüs ve Gauss darbelerinin çarpımıyla oluşturulan dalga Şekil 5.14’de gösterildiği gibi x yönünde 0’dan 50’ye kadar serbest uzayda, 50’den 60’a kadar plazma ortamında ve 60’dan 100’e kadar tekrar serbest uzayda yayılmakta olup Mur tipi ABC uygulanması durumunda elde edilen dalga şekilleri incelenmiştir. Darbenin frekansı Şekil (5.15), Şekil (5.16) ve Şekil (5.17)’de olduğu gibi f=500THz seçildiğinde dalga plazma ortamına geldiğinde tamamen geri yansımaktadır. Darbenin frekansı Şekil (5.18), Şekil (5.19) ve Şekil (5.20)’de olduğu gibi f=4000THz seçildiğinde dalga plazma ortamından geçip belli bir adım sayısından sonra dalga sönümlenmektedir. PLAZMA ORTAMI Şekil 5.14 Plazma ortamının oluşturulduğu x yönündeki konumları 56 0.01 0.008 Ez 0.006 0.004 0.002 0 100 100 80 50 60 40 x-->cm 0 20 0 y-->cm Şekil 5.15 50 zaman adımı sırasında elektromanyetik dalganın durumu Şekil (5.15)’de ellinci zaman adımında sinüs ve Gauss darbelerinin çarpımıyla oluşturulan kaynağın (20,20) noktasında oluşumu gözlenmektedir. Sınır koşulu olarak Mur tipi ABC kullanılmıştır. Sinüs darbesinin frekansı 500 THz’dir. 0.02 0 Ez -0.02 -0.04 -0.06 -0.08 100 100 80 50 60 40 x-->cm 0 20 0 y-->cm Şekil 5.16 100 zaman adımı sırasında elektromanyetik dalganın durumu Şekil (5.16)’da yüzüncü zaman adımında sinüs ve Gauss darbelerinin çarpımıyla oluşturulan dalga, x yönünde kırk ile elli arasında oluşturulan plazma ortamına çarpıp geri 57 yansımaktadır. Sınır koşulu olarak Mur tipi ABC kullanılmıştır. Sinüs darbesinin frekansı 500 THz’dir. 0.02 Ez 0 -0.02 -0.04 -0.06 100 100 80 50 60 40 x-->cm 0 20 0 y-->cm Şekil 5.17 300 zaman adımı sırasında elektromanyetik dalganın durumu Şekil (5.17)’de üçyüzüncü zaman adımında sinüs ve Gauss darbelerinin çarpımıyla oluşturulan dalga, x yönünde kırk ile elli arasında oluşturulan plazma ortamına çarpıp geri yansımaktadır. Bu dalga Mur tipi ABC’den dolayı sönümlenmektedir. Sinüs darbesinin frekansı 500 THz’dir. 58 0.2 Ez 0 -0.2 -0.4 -0.6 100 100 80 50 60 40 0 x-->cm 20 0 y-->cm Şekil 5.18 50 zaman adımı sırasında elektromanyetik dalganın durumu Şekil (5.18)’de ellinci zaman adımında sinüs ve Gauss darbelerinin çarpımıyla oluşturulan kaynağın (20,20) noktasında oluşumu gözlenmektedir. Sınır koşulu olarak Mur tipi ABC kullanılmıştır. Sinüs darbesinin frekansı 4000 THz’dir. 0.1 Ez 0.05 0 -0.05 -0.1 100 100 80 50 60 40 x-->cm 0 20 0 y-->cm Şekil 5.19 100 zaman adımı sırasında elektromanyetik dalganın durumu Şekil (5.19)’da yüzüncü zaman adımında sinüs ve Gauss darbelerinin çarpımıyla oluşturulan dalga, x yönünde kırk ile elli arasında oluşturulan plazma ortamından geçmektedir. Şekil (5.18)’de çıkan sonuca göre dalga daha fazla genişleyip, E Z değeri 59 azalmaktadır. Sınır koşulu olarak Mur tipi ABC kullanılmıştır. Sinüs darbesinin frekansı 4000 THz’dir. 0.05 Ez 0 -0.05 100 100 80 50 60 40 x-->cm 0 20 0 y-->cm Şekil 5.20 300 zaman adımı sırasında elektromanyetik dalganın durumu Şekil (5.20)’de üç yüzüncü zaman adımında sinüs ve Gauss darbelerinin çarpımıyla oluşturulan dalga, x yönünde kırk ile elli arasında oluşturulan plazma ortamından geçmektedir. Mur tipi ABC’den dolayı dalga sönümlenmektedir. Sinüs darbesinin frekansı 4000 THz’dir. PML emici sınır koşulu kullanıldığında Mur tipi emici sınır koşuluna göre daha doğru sonuçlar elde edilebildiği görülmüştür. Ayrıca, plazma ortamına gelen dalganın düşük frekanslarda geri yansıdığı, yüksek frekanslarda ise plazma ortamından geçtiği gözlenmiştir. 60 61 6. SONUÇ VE ÖNERİLER FDTD yöntemi doğrudan zaman bölgesinde Maxwell denklemlerinin ayrıklaştırılmasına dayanır. Bu nedenle hem sinüzoidal kaynak uyarımı ile hem de darbesel kaynak uyarımı ile analizleri yapılabilmektedir. Darbesel kaynak kullanılarak elde edilen geçici durum davranışından Fourier dönüşümü yardımıyla nesnelerin geniş bantlı frekans davranışları kolaylıkla elde edilebilmektedir. FDTD yöntemi kullanılarak farklı boyutlardaki nesneler üzerinde yayılan elektromanyetik dalganın nasıl yayıldığı kolaylıkla gözlemlenebilir. FDTD yöntemi, hücre boyutları küçüldükçe gerçeğe yakın değerler verdiğinden dolayı güvenilir bir yöntemdir. Tezin ikinci bölümünde, FDTD yöntemi ile ilgili literatür incelenmiş olup, Maxwell denklemlerinin FDTD yöntemine uygun şekilleri kullanılmıştır. FDTD yönteminden, FDTD yönteminin avantajlarından ve dezavantajlarından bahsedilmiştir. Maxwell denklemlerinin Yee hücresine nasıl yerleştirildiği gösterilmiştir. FDTD denklemleri yinelemeli yapıda olduklarından, ilerleyen zaman adımlarında sayısal hata olmaması için uygun ( x , y , z , t ) değerleri seçilmiştir. Bir başka önemli konu sınır koşullarıdır. Sınır koşulları kullanılarak daha gerçeğe yakın değerler bulunabilmektedir. Bu tezde, iki sınır koşulu incelenmiştir. Bunlardan biri PML, diğeri ise Mur tipi sınır koşuludur. Açık sınır koşullarının birbirine göre farkları incelenmiş, hangi sınır koşulunun sınıra gelen dalgayı daha iyi yuttuğu araştırılmıştır. Bu konuda PML yönteminin daha iyi sonuç verdiği gözlenmiştir. Tezin üçüncü bölümünde, plazma ortamı incelenmiş olup, hava ortamında oluşturulan dalganın hangi frekanslarda plazma ortamından geçip, hangi frekanslarda plazma ortamından geri yansıdığı gözlemlenmiştir. Son olarak, C++ ve MATLAB programları kullanılarak plazma ortamının dalga yayılması üzerindeki etkisi incelenmiştir. Daha sonraki çalışmalarda üç boyutlu plazma ortamları FDTD yöntemi kullanılarak incelenebilir. 62 63 KAYNAKLAR 1. Sevgi, L. (1999). Elektromagnetik Problemler İstanbul/Türkiye: Birsen Yayınevi, 7-8, 9-17, 24-29. ve Sayısal Yöntemler.(1). 2. Taflove, A. and Hagness, S. C. (2005). Computational Electrodynamics: The Finite Difference Time Domain.(3). Norwood/United States of America: Artech House, 3-4, 236-242. 3. Kunz, K. S. and Luebbers, R. J. (1993). The Finite Difference Time Domain Method for Electromagnetics.(1). Florida/United States of America: CRC Press, 1-2. 4. Yee, K. S. (1966). Numerical Solution of Initial Boundary Value Problems Involving Maxwell’s Equations in Isotropic Media. IEEE Transactions Antennas propagation, 14(3), 302-307. 5. Taflove, A. and Brodwin, M. E. (1975). Numerical Solution of Steady-State Electromagnetic Scattering Problems Using the Time-Dependent Maxwell’s Equations. IEEE Transactions Microwave Theory and Techniques, 23(8), 623-630. 6. Taflove, A. (1980). Application of the Finite-Difference Time-Domain Method the Sinusoidal Steady-State Electromagnetic Penetration Problems. IEEE Transactions Electromagnetic Compatibility, 22(3), 191-202. 7. Mur, G. (1981). Absorbing Boundary Conditions for the Finite-Difference Approximation of the Time-Domain Electromagnetic Field Equations. IEEE Transactions Electromagnetic Compatibility, 23(4), 377-382. 8. Umashankar, K. R. and Taflove, A. (1982). A Novel Method to Analyze Electromagnetic Scattering of Complex Objects. IEEE Transactions Electromagnetic Compatibility, 24(4), 397-405. 9. Berenger, J. P. (1994). A Perfectly Matched Layer for the Absorption of Electromagnetic Waves. Journal of Computational Physics, 114(2), 185-200. 10. Balanis, C. A. (2012). Advanced Engineering Electromagnetics.(2). New Jersey/United States of America: Wiley, 1-5. 11. Inan, U. S. and Marshall, R. A. (2011). Numerical Electromagnetics the FDTD Method.(1). Cambridge/United States of America: Cambridge, 1-2. 12. Elsherbeni, A. and Demir, V. (2008). The Finite-Difference Time-Domain Method for Electromagnetics with Matlab Simulations.(1). New Jersey/United States of America: Scitech, 1-2. 13. Sullivan, D. M. (2013). Electromagnetic Simulation Using the FDTD Method.(2). New Jersey/United States of America: Wiley, 56-64. 14. Akgün, Y. (2010). Düşük enerjili plazma odak füzyon cihazı yapımı ve nötronik ölçümler, Doktora Tezi, Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara, 3-7. 64 15. Ishimaru, A. (1991). Electromagnetic Wave Propagation, Radiation and Scattering.(1). New Jersey/ United States of America: Prentice Hall, 209-210. 65 ÖZGEÇMİŞ Kişisel Bilgiler Soyadı, adı : AVCI, Selçuk Alparslan Uyruğu : T.C. Doğum tarihi ve : 07/04/1984 Karabük yeri Medeni hali : Bekar Telefon : 0 (312) 582 33 16 Faks : 0 (312) 202 37 10 e-posta : selcukavci@gazi.edu.tr Eğitim Derecesi Okul/Program Mezuniyet Yılı Yüksek lisans Gazi Üniversitesi/Elektrik-Elektronik 2014 Mühendisliği Lisans Kırıkkale Üniversitesi/ Elektrik-Elektronik 2007 Mühendisliği Lise Mustafa Kemal Lisesi 2001 İş Deneyimi, Yıl Çalıştığı Yer Görev 2011-devam Gazi Üniversitesi Araştırma Görevlisi ediyor 2010-2011 Karabük Üniversitesi Araştırma Görevlisi Yabancı Dili İngilizce Yayınlar - Hobiler Futbol, Basketbol, Yüzme, Sinema
