metalurj mühend sler ç n stat k

METALURJİ VE MALZEME MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
2015
METALURJİ
MÜHENDİSLERİ İÇİN
STATİK
Doç. Dr. İlven MUTLU
imutlu@istanbul.edu.tr
DERS İÇERİĞİ
1 - Giriş
2 - Vektörler
3 - Maddesel Noktanın Dengesi
4 - Rijit Cisimlerin Dengesi
5 - Yayılı Yükler, Kütle Merkezi,
6 - Kafesler, Yapı Analizi
7 – Çerçeveler, Makineler
8 - Kirişler
9 - Kablolar
10 - Atalet Momenti
11 – Sürtünme, Sanal İş Metodu
K
Sı ısa
na
v
ARASINAV (%40)
DEĞERLENDİRME
ARA SINAV
% 40
KISA SINAV
% 10
BİTİRME SINAVI
% 50
GİRİŞ
MEKANİK
Mekanik: Çeşitli kuvvetlerin etkisi altındaki
cisimlerde denge, eylemsizlik ve hareket şartlarını
inceleyen bir bilim dalıdır.
RİJİT CİSİM MEKANİĞİ
Cisimler dış kuvvetlerin etkisinde şekil değiştirirler, ama
bunlar genellikle cismin boyutları ile karşılaştırıldığında
küçüktür.
Kuvvetlerin etkisi altında şekil değiştirmediği varsayılan
cisme rijit cisim denir.
Rijit cisimler mekaniği ikiye ayrılır:
 Rijit Cisim Statiği
 Rijit Cisim Dinamiği
DİNAMİK
Kuvvetlerin etkisi altındaki cismin zaman içinde uzaydaki
hareketi incelenir.
Dinamik, kinematik ve kinetik diye ikiye ayrılır.
Kinematik, Hareketin geometrisi incelenir, harekete neden olan
kuvvet araştırılmaz.
İvme, hız ve yer değiştirmeyle ilgilenir
Kinetik hareket yasalarını kullanarak kuvvet ile kinematik
büyüklükleri ilişkilendirir. Kuvvetlerin etkisiyle cismin yapacağı
hareket incelenir.
Kuvvet, moment ve kütleyle ilgilenir.
STATİK
Rijit cisim statiği, denge koşullarını kullanarak duran
cisimlere etkiyen bağ kuvvetlerini araştırır. Statik’te duran
cisimler ile kuvvet arasındaki denge incelenir. Uzama ile
uğraşılmaz.
Gerçekte kuvvet altında cisimler az da olsa şekil değiştirir. Bu
şekil değiştirmeler, çok küçük olduklarında cismin şekil
değiştirmediği farz edilir.
Statikte üç ana büyüklük vardır;
 Kuvvet
 Uzay (Uzunluk)
 Cisim (Kütle)
Mühendislik Yapıları
MUKAVEMET
(Şekil Değiştirebilen Cisimler Mekaniği)
Cisimler dış kuvvetlerin etkisinde şekil değiştirirler. Yük
kaldırıldığında cisim ilk haline dönerse Elastikliklik, şekil
değiştirmiş olarak kalırsa buna Plastiklik denir.
Mukavemet; elastik cisimlerin mekaniğidir.
Mukavemet, yapıların yükler altında görevlerini yapacak
şekilde boyutlandırılmasını araştıran bir mühendislik bilimidir.
Mukavemet cisimlerde meydana gelen iç kuvvetlerin cisimlerin
kesitlerinde nasıl dağıldıklarını, cisimlerin kuvvetler altında
nasıl ve ne kadar şekil değiştirdiklerini araştırır.
Mukavemetin İlgi Alanları
1- Yük etkisindeki cisimlerde gerilme ve şekil değiştirme.
2- Yapıların hasar görmeden, işlevini kaybetmeden taşıyabileceği en
büyük yükün, ve bu yükü ne kadar süre taşıyabileceğinin bulunması.
3- Yüklere karşı uygun malzemenin seçimi ve şeklinin belirlenmesi
(boyutlandırma). Gereksiz malzeme ve işçilikten kaçınarak, elemanlara
yeterli boyut verilmesi.
KUVVETLER
DIŞ KUVVET
Bir cisme diğer cisimler tarafından yapılan etkiye dış kuvvet
denir.
a) Doğrudan doğruya belli olanlar; (Kendi ağırlığı, yüklenmiş
ağırlıklar)
b) Mesnet tepkileri
İÇ KUVVET
Bir cismin iki parçasının birbirine yaptığı etkiye iç kuvvet denir. Dış kuvvetler
altındaki cisim şu zorlamalarla karşı karşıya kalmaktadır.
1. Normal kuvvet (çekme, basınç)
2. Kesme kuvveti
3. Eğilme momenti
4. Burulma momenti
Statik Bilgisi Ne İşe Yarar ?
İnşaat Mühendisleri büyük yapıları ve binaları
tasarlamak için Statik bilmelidir
Örneğin bu
yapıdaki her bir
elemandaki kuvveti
hesaplayabiliriz.
Böylece yapıları
maruz kalacakları
yüklere
dayanabilecek
şekilde
tasarlayabiliriz.
Makine Mühendisleri makineleri
tasarlamak için Statik bilmelidir
Metalurji ve Malzeme Mühendisleri hasarlara dayanmaları
için malzemelerin mikroyapılarını ve mekanik özelliklerini
tasarlamak için Statik bilmelidir.
Fiyat/performans bakımından kullanımda hasara
uğramayacak en uygun malzemeyi seçmeli, mikroyapısını
tasarlamalıdır.
Kaynak Mühendisleri Statik bilmelidir
Tahribatsız Muayene (NDT) Mühendisleri Statik
bilmelidir
Biyomedikal Mühendisleri / Malzeme Mühendisleri protez
tasarlamak için Statik bilmelidir
Yapay protezin ihtiyacı olacağı yükü bulabiliriz.
Yük dağılımı, statik/dinamik
analiz
protez tasarımı
Malzeme seçimi
TEMEL KAVRAMLAR
Newton Mekaniğinde,
Uzay,
Zaman,
Kütle
mutlak kavramlardır ve birbirinden bağımsızdırlar. Bunlar
tam olarak tanımlanamaz, tecrübelerimize dayanarak
kabul edilirler.
Kuvvet diğer üçünden bağımsız değildir. Kuvvet cismin
kütlesine ve hızının zamanla değişimine bağlıdır.
TEMEL KAVRAMLAR
Zaman
Bir olayı tanımlamak için uzaydaki yeriyle beraber zamanı
da verilmelidir.
Bir olayın peş peşe oluşunun aralığıdır. Bütün zaman
sınıflandırmaları sezgilerimize dayanır.
Zaman skaler bir büyüklüktür.
TEMEL KAVRAMLAR
Kütle
Cisimleri karakterize etmek ve karşılaştırmakta kullanılır.
Kütlesi aynı iki cisim Dünya tarafından aynı tarzda çekim
etkisindedir.
Maddenin atalet özelliğinin
değişmesine karşı direncidir.
ölçüsüdür.
Cismin
hızının
TEMEL KAVRAMLAR
Uzay
Bir P noktasının yeri kavramı ile ilgilidir. P nin yeri bir
karşılaştırma noktası veya başlangıçtan itibaren verilen üç doğrultuda
ölçülen üç uzunlukla tanımlanır. Bu uzunluklara P nin koordinatları
denir.
Uzay incelenecek fiziksel olayın ortaya çıktığı geometrik bölgeye
denir ve tek boyutlu, iki boyutlu, üç boyutlu olabilir.
TEMEL KAVRAMLAR
Kuvvet
Bir cismin diğeri üzerindeki etkisidir. Bir kuvvet, uygulama noktası,
şiddeti, doğrultusu ve yönü olan Vektörel bir büyüklüktür.
Duran cismi harekete geçiren, hareketli cismi durduran, cismin
doğrultusunu değiştiren, cisimlerin biçimlerinde değişiklik yapan
etkiye kuvvet denir.
Kuvvet ya temas ile ya da uzaktan uygulanır. Yer çekimi, uzaktan
uygulanan kuvvettir. Kablo kuvveti ise doğrudan etkiyen kuvvettir.
TEMEL KAVRAMLAR
Cisim - Fiziksel olayın etkilerinin ölçüldüğü geometrik bölgeye verilen
isimdir. Mekanikte cisimler rijit, elastik, elasto-plastik, vizkoelastik olarak
sınıflanır. Statikte cisimler rijit cisim olarak kabul edilir.
Madde - Madde, uzayda yer kaplayan her şeydir. Bir cisim, kapalı bir
yüzeyle çevrelenmiş bir maddedir.
Parçacık (maddesel nokta) – Boyutları ele alınan problemin boyutları
yanında ihmal edilebilecek mertebede küçük olan cisme denir ve kütlesi bir
noktada toplanmış kabul edilir.
Rijit cisim – Boyutları kuvvetler etkisinde değişmediği kabul edilen ideal
cisimdir. Kuvvetin uygulanmasından önce ve sonra birbirlerine göre sabit
yerler işgal eden çok sayıda noktanın birleşimidir.
MEKANİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
Mekanik, deneylerden elde edilen altı ilkeye dayanır.
Bunlar matematiksel yoldan elde edilemez.
• Paralelkenar İlkesi
• Kaydırılabilme İlkesi
• Newtonun 1. Kanunu
• Newtonun 2. Kanunu
• Newtonun 3. Kanunu
• Newtonun Evrensel Çekim Kanunu
MEKANİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
Paralelkenar İlkesi
Bir maddesel noktaya etki eden iki kuvvetin yerine bir tek
kuvvet koymak mümkündür. Bileşke denen bu kuvvet,
kenarları verilen kuvvetlere eşit bir paralelkenarın köşegenini
çizerek elde edilir.
MEKANİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
Kaydırılabilme İlkesi
Bir rijit cismin bir noktasına etkiyen bir kuvvetin yerine, aynı
tesir çizgisinde, aynı şiddet, doğrultu ve yönde, fakat başka bir
noktaya etkiyen bir kuvvet konursa, rijit cismin denge ve
hareket durumunda değişiklik olmaz
MEKANİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
• Newtonun 1. Yasası
Maddesel noktaya etkiyen bileşke kuvvet sıfırsa maddesel
nokta hareketsiz kalır veya bir doğru üzerinde sabit hızla
hareketine devam eder.
MEKANİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
Newton’un 2. Yasası
Bir maddesel noktaya etkiyen kuvvet sıfır değilse, madde,
bileşke kuvvetin şiddeti ile orantılı ve kuvvetin doğrultu ve
yönünde bir ivme kazanır. Dinamik konusunda çok daha
önemlidir.
MEKANİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
• Newton’un 3. Yasası
Birbirine değen cisimler arasında etki ve tepki kuvvetleri aynı
şiddettedir, aynı tesir çizgisi üzerindedir ve zıt yönlüdür.
MEKANİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ
• Newton’un Çekim Yasası
Mm
F =G 2
r
GM
W = mg, g = 2
R
• Kütleleri M ve m olan iki madde eşit ve zıt yönlü F ve -F kuvvetleri ile
birbirini çeker. r iki nokta arasındaki uzaklıktır. G çekim sabiti denilen
evrensel bir sabittir (6,6732 e-11 N m2 /kg2).
• Dünyanın uyguladığı F kuvveti maddesel noktanın W ağırlığıdır. M
dünyanın kütlesine m maddesel noktanın kütlesine ve R dünyanın
yarıçapına eşit alırız.
KUANTUM MEKANİĞİ
Einstein relativite (izafiyet) teorisini ortaya atana kadar, mekaniğin temel
prensipleri (Newton mekaniği) tartışılma konusu olmamıştır.
Fakat, atomların ve gezegenlerin hareketlerinin incelenmesi sırasında,
Newton mekaniğinde eksiklik olduğu, Newton mekaniğinin ışık hızına sahip
cisimlere, atom içindeki hareketlere, uygulanamayacağını göstermiştir.
Fakat hızların küçük olduğu günlük yaşantıda veya mühendislikte Newton
mekaniğinin yanlışlığı henüz ispat edilememiştir.
Newton mekaniğinde uzay, zaman ve kütle birbirinden bağımsız, mutlak
kavramlardır. Kuvvet ise diğer üçünden bağımsız değildir.
Relativistik mekanikte bir olayın zamanı yerine bağlıdır; cismin kütlesi hızı
ile değişir. Cisim hızlandıkça kütlesinin bir kısmı enerjiye dönüşür, zaman
yavaş akar, boyu kısalır.
STATİĞİN İLKELERİ
* Paralelkenar ilkesi
* Denge ilkesi
* Süperpozisyon ilkesi
* Etki-tepki ilkesi
Etki-tepki ilkesi. Birbirine değen iki cisimdeki tepki kuvvetleri
aynı şiddette, aynı tesir çizgisi üzerinde ve birbirine zıt
yönlüdür.
BİRİMLER
MALZEMELERİN
MEKANİK
ÖZELLİKLERİ
Malzemelerin Mekanik Özellikleri
Malzemelerin mekanik yükler altındaki davranışlarına
“Mekanik Özellikler” denir.
Mekanik özellikler atomlar arası bağ kuvvetlerinden
kaynaklanır. Bunun yanında malzemenin mikroyapısının da
etkisi vardır.
Mekanik Özellikler
– Çekme/Basma mukavemeti
– Sertlik
– Darbe direnci, Kırılma tokluğu
– Yorulma direnci
– Sürünme direnci
ÇEKME DENEYİ
Parçaya yavaşça artan çekme yükü uygulanır. Deney sırasında
uygulanan kuvvet ve parçadaki uzama ölçülür. Deney, parça
kopuncaya kadar sürdürülür.
Her metalin farklı bir gerilme-şekil değiştirme ilişkisi vardır.
BASMA DENEYİ
Genellikle gevrek malzemelere (Beton – Seramik)
uygulanır
Mühendislik gerilmesi
ÇEKME EĞRİSİ
Mühendislik birim şekil değişimi
Elastik bölgede Hook kanunu geçerlidir. Denklemdeki E sabitine
elastiklik modülü (E) denir.
Gerilme ile şekil değişimi lineer değişir.
Kuvvet kalkınca, elastik uzama ortadan kalkar.
E büyüdükçe malzeme daha rijit olur (daha zor şekil değiştirir).
(HOOK KANUNU)
Akma mukavemeti, kalıcı uzamanın oluştuğu gerilmedir.
Yapılar gerilme altında elastik şekil değiştirecek şekilde tasarlanır.
Plastik deforme olan (kalıcı şekil değiştiren) bir parça görevini
yerine getiremez.
PLASTİK DEFORMASYON
Malzeme akma noktasından daha fazla deforme edildiğinde,
Hooke Kanunu geçerliliğini yitirir ve kalıcı plastik deformasyon
oluşur.
Çekme Dayanımı
Gerilme-şekil değişimi eğrisindeki maksimum gerilmedir. Bu
noktada numunede boyun oluşumu meydana gelir. Bu noktadan
sonra deformasyon sadece boyun bölgesinde meydana gelir.
Süneklik ve Tokluk
Kırılmaya kadar malzemede oluşabilecek deformasyon miktarına
Süneklik denir. Kırılmaya kadar çok az plastik deformasyon gösteren
malzemelere gevrek denir. Çekme eğrisinin altındaki alan Tokluğu
verir.
Rezilyans
Bir malzemenin elastik şekil değiştirme sırasında enerji
absorbe etme, yük kaldırıldığında bu enerjiyi geri verebilme
kabiliyetidir. Eleastik bölgenin altındaki alana eşittir.
SERTLİK
Sertlik, malzemenin plastik deformasyona (batma
veya çizilmeye) karşı gösterdiği direncin ölçüsüdür.
Sertlik cihazıyla ölçülür.
DARBE TESTİ
Belli bir potansiyel
enerjiye sahip çekiç,
numuneye çarptırılır.
Numunenin kırılması
için gereken enerji “Darbe
Enerjisi” saptanır.
Bu deney malzemenin
gevrek kırılmaya eğilimini
belirlemek için yapılır.
YORULMA
Malzemelerin
akma
dayanımlarından
daha
düşük tekrarlı gerilmelerin
etkisinde, belirli bir çevrim
sonrasında kırılması ile
oluşan hasar.
Süspasiyon
yayı
SÜRÜNME
Sabit bir gerilmenin, yüksek sıcaklıkta malzemeye etkimesi
durumunda, malzemenin zamana bağlı olarak kalıcı şekil
değiştirmesine sürünme denir.
VEKTÖRLER
MEKANİKTE BÜYÜKLÜKLER
Mekanikte kullanılan matematiksel büyüklükler üçe ayrılır;
1) Skaler büyüklük. (30=1) sıfırıncı mertebeden büyüklüktür.
Pozitif ve negatif olarak bir büyüklüğün şiddetidir. Şiddeti olup
yönü olmayan parametrelerdir.
Örneğin, kütle, yoğunluk, hacim, enerji ve sıcaklık.
2) Vektörel büyüklükler, şiddet, doğrultu ve yön belirtir. (31 =3)
Birinci mertebeden büyüklüktür.
Örneğin, hız, yer değiştirme, ivme , kuvvet, moment.
3) Tansör, n. mertebeden bir büyüklüktür ve karşılığı olan sayı
adedi 3n dir. 2. mertebeden bir tansör 32 =9 sayıyla ifade edilir.
VEKTÖRLER
Şiddeti, doğrultusu ve yönü
bulunan, paralelkenar kanununa
göre toplanan matematiksel ifadelere
VEKTÖR denir.
Şekildeki
F
vektörünün
doğrultusunu bir doğru, yönünü ok,
şiddetini okun boyu belirler.
F vektörünün zıt yönlüsü -F ile
gösterilir ve (-) işareti yön
değişikliğini belirtir, vektörler skaler
büyüklüklerde olduğu gibi artı ya da
eksi değer almazlar.
VEKTÖRLER
• Bağlı vektör
• Serbest vektör
• Kayan vektör
Bağlı Vektör
Belirli bir uygulama noktası olan (maddesel nokta) ve
değiştirilemeyen vektörlerdir. Bu vektörler hareket ettirilirse
problemdeki şartlar değişmiş olur.
Bir serbest vektör ile noktanın oluşturduğu vektördür.
Dinamik’te önemlidir (ivme vektörü). Statikte maddesel nokta
durumunda önemlidir !!!
Serbest Vektör
Yönü ve şiddeti korunmak şartı ile uzayda serbestçe
hareket edebilen vektörler. Lineer cebirde önemlidir.
Örnek olarak, kuvvet çiftinin moment etkisi
gösterilebilir.
Kayan Vektör
Kendisi ile aynı doğrultu üzerinde olmak koşulu ile tesir çizgileri
üzerinde istenilen herhangi bir noktaya uygulanabilen vektörlere
denir. Bir vektör ile buna paralel bir doğrunun oluşturduğu
vektördür (rijit cisme uygulanan kuvvet).
!!! Statikteki kuvvetler kayan vektörlerdir.
Birim Vektör
İKİ KUVVETİN BİLEŞKESİ
• Kuvvet: Bir cismin diğer bir
cisme etkisidir; Uygulama
noktası, yönü, şiddeti ve
doğrultusu ile tanımlanır.
• Bileşke kuvvet (R), kenarları
komşu iki kuvvetten (P ve Q)
oluşan paralelkenarın
köşegenine eşittir
VEKTÖRLERİN TOPLANMASI
• Üçgen Kuralı
• Vektörlerin toplanması komütatiftir.
r r
r r
P+Q =Q+P
C
B
C
B
Vektörlerin Çıkarılması
• Kosinüs Kuralı
C
B
C
B
• Sinüs Kuralı
sin A sin B sin C
=
=
Q
R
P
• Üçgen kuralının tekrarlanması
yöntemiyle üç veya daha fazla
vektörün toplanması
• Üç veya daha fazla vektörün poligon
(çokgen) yöntemiyle toplanması
• Vektörlerin toplanması asosyasiftir.
r r r r r r r r r
P+Q+ S = (P+Q) +S = P+(Q+ S)
• Vektörün bir skaler ile çarpımı
KUVVETLERİN BİLEŞKESİ
Bir maddesel noktaya etki
eden birden çok kuvvetin
yerine hepsinin vektörel
toplamına eşit bir bileşke
kuvvet konabilir.
KUVVETİN DİK BİLEŞENLERİ: BİRİM VEKTÖRLER
• Bir kuvvet dik bileşenlerine ayrılabilir.
r r
r
F = Fx + Fy
Kuvvet vektörünün dik
bileşenleridir.
r
r
r
F = Fx i + Fy j
Birim vektörlerdir
Fx ve Fy ye F nin skaler bileşenleri denir.
Dik Bileşenlerin Toplanması ile Kuvvetlerin
Toplanması
Kuvvetlerin bileşkesinin bulunması,
r r r r
R = P+Q+S
Her bir kuvvet bileşenlerine ayrılır
r
r
r
r
r
r
r
r
Rxi + Ry j = Pxi + Py j +Qxi +Qy j + Sxi + Sy j
r
r
= ( Px +Qx + Sx )i + Py +Qy + Sy j
(
)
R x = Px + Q x + S x R y = Py + Q y + S y
= ∑ Fx
= ∑ Fy
Bileşkenin yönü ve şiddetinin bulunması
R=
Rx2 + Ry2
θ = tan
Problem
F1 = 2i – 3j + 4k ve
F2 = 4i + 10j + 6k
vektörleri için vektörel toplama ve çıkarma işlemleri
F1 + F2 ile
F2 - F1 yi yapınız
−1 Ry
Rx
Çözüm
F1 = 2i – 3j + 4k
F2 = 4i + 10j + 6k
F1 + F2 = (2i – 3j + 4k) +
(4i + 10j + 6k)
= (2+4)i + (-3 + 10)j + (4+6)k
= 6i + 7j + 10k
F2 - F1 = (4i + 10j + 6k) - (2i - 3j + 4k)
= (4-2)i + (10 - (-3))j + (6-4)k
= 2i + 13j + 2k
Problem
ÇÖZÜM
Birim Vektör
Problem
(şiddeti)
Problem
Cıvataya etki eden iki kuvvetin yerine geçecek bir tek bileşke
kuvvet bulunuz.
• Trigonometrik Çözüm
(Kosinüs bağıntısı)
R 2 = P 2 + Q 2 − 2 PQ cos B
= (40 N )2 + (60 N )2 − 2(40 N )(60 N ) cos155°
R = 97.73N
Sinüs bağıntısı,
sin A sin B
=
Q
R
sin A = sin B
Q
R
= sin 155°
60 N
97.73N
A = 15.04°
α = 20° + A
Problem
α = 35.04°
Problem
A cıvatasına dört kuvvet etki etmektedir. Cıvataya etkiyen
bileşke kuvveti bulunuz.
Kuvvetlerin x ve y bileşenleri bulunur.
r
F1
r
F2
r
F3
r
F4
şid det
150
80
110
x
+ 129 . 9
− 27 . 4
0
y
+ 75 . 0
+ 75 . 2
− 110 . 0
100
+ 96 . 6
− 25 . 9
Rx = +199.1
R y = +14.3
Şiddet ve doğrultunun bulunması.
R = 199.12 + 14.32
tan α =
14.3 N
199.1 N
R = 199.6 N
α = 4.1°
Vektörel Çarpım
• P ve Q gibi iki vektörün vektörel çarpımı bir V
vektörüdür.
(1) V nin tesir çizgisi P ve Q nun bulunduğu
düzleme diktir.
(2) V nin şiddeti P ve Q nun şiddetleri ile P ve Q
nun teşkil ettiği θ açısının (180 den küçük)
sinüsünün çarpımına eşittir
V = P Q sin θ
(3) V nin yönü sağ el kuralı ile bulunur.
P ve Q nun vektörel çarpımı matematikte aşağıdaki gibi gösterilir
V=PxQ
İki Vektörün Vektörel Çarpımı
Komutatif değildir
Distribütiftir
Q × P = −( P × Q )
P × (Q1 + Q2 ) = P × Q1 + P × Q2
Assosyasif değildir
(P × Q )× S ≠ P × (Q × S )
Vektörel Çarpımın Dik Koordinatları
r r
i ×i = 0
r r r
i× j =k
r r
r
i ×k = − j
r
r r
j × i = −k
r r
j× j =0
v r r
j×k = i
r r r
k ×i = j
r r
r
k × j = −i
r r
k ×k = 0
Vektörel Çarpım
1. YOL
(Eksi)
(Eksi)
2. YOL (Kulanma !!!)
İki Vektörün Skaler Çarpımı
• P ve Q vektörlerinin skaler çarpımı (iç
çarpım), P ve Q vektörlerinin şiddetleri
ile P ve Q nun yaptığı θ açısının
kosinüsünün çarpımıdır.
r r
P • Q = PQcosθ
• Bu ifade bir vektör olmayıp, bir skalerdir !!!
İki Vektörün Skaler Çarpımı
r r
P • Q = PQcosθ
• Skaler çarpım:
- komütatiftir,
r r r r
P•Q = Q• P
- distribütiftir,
r
r r
r r r r
P • (Q1 + Q2 ) = P • Q1 + P • Q2
- Asosyasif değildir,
(Pr • Q )• S = Tanımsız
r
r
İki Vektörün Skaler Çarpımı
• P ve Q gibi iki vektörün skaler çarpımını vektörlerin dik
koordinatları cinsinden ifade edersek
r
r
r r
r
r
r
r
P • Q = (Px i + Py j + Pz k ) • (Qx i + Q y j + Qz k )
• Birim vektörlerin çarpımı ya sıfır yada bir dir.
r r
r r
r r
r r
r r
v r
i •i =1 j • j =1 k •k =1 i • j = 0 j •k = 0 k •i = 0
• Böylece P.Q için:
İki Vektör Arasındaki Açı
r r
P •Q = PQ cos θ = Px Qx + Py Qy + Pz Qz
cos θ =
Px Qx + Py Qy + Pz Qz
PQ
Bir Vektörün Bir Eksendeki İzdüşümü
POL = P cos θ
r r
P • Q = PQ cos θ
r r
P •Q
= P cos θ = POL
Q
• OL üzerindeki vektör, λ birim vektörü ise
POL
r r
= P•λ
= Px cosθ x + Py cosθ y + Pz cosθ z
Skaler Çarpım
Skaler Çarpım
Üç Vektörün Karışık Üçlü Çarpımı
• S, P ve Q vektörlerinin karışık üçlü çarpımını, S vektörü ile P ve Q
nun vektörel çarpımının skaler çarpımından elde edilen skaler ifade
ile tanımlarız.
r r r
S • P × Q = skaler
(
)
• Üçlü karışık çarpım, mutlak değer bakımından kenarları S, P ve Q
vektörleri olan paralelyüzlünün hacmine eşittir.
Üç Vektörün Karışık Üçlü Çarpımı
• S, P ve Q ile yapılabilecek altı karışık üçlü çarpımın hepsi aynı
mutlak değerde olacak, fakat aynı işarette olmayacaktır.
r r r
r r r
r r r
S • (P × Q ) = P • (Q × S ) = Q • (S × P )
r r
r r r
r r r
= − S • (Q × P ) = − P • (S × Q ) = −Q • (P × S )
Üç Vektörün Karışık Üçlü Çarpımı
r r r
S • (P×Q) = Sx PyQz − PzQy + Sy (PzQx − PxQz )
+ Sz PxQy − PyQx
(
)
(
)
Sx Sy Sz
= Px Py Pz
Qx Qy Qz
Problem
F1 = 2i – 3j + 4k
ve F2 = 4i + 10j + 6k vektörleri için
1) Vektörel çarpımı bulunuz. Birim vektörü elde ediniz.
2)
A = F1 . F2
skaler çarpımını bulunuz
= F1 x F2
= (-18-40)i – (12-16)j + (20 + 12)k
(Vektörel çarpım)
= -58i + 4j + 32k
= -0,87i + 0,06j + 0,48k
(Birim Vektör)
A= F1.F2 = (2i – 3j + 4k) . (4i + 10j + 6k)
= 2.4 – 3.10 + 4.6
=2
(Skaler çarpım)
Problem
Problem
Problem
Aşağıdaki vektörlerin vektörel çarpımını bulunuz
Problem
Aşağıdaki kuvvetlerin bileşkesini bulunuz
Problem
60 kg’lik yükü dengeleyen iplerdeki gerilmeleri bulunuz
MADDESEL
NOKTANIN
DENGESİ
MADDESEL NOKTANIN DENGESİ
• Maddesel noktanın (parçacığın) dengede olabilmesi için gerek şart nokta
üzerine etki eden tüm kuvvetlerin bileşkelerinin sıfır olmasıdır. Bileşke
kuvvet sıfırsa nokta ya hareketsiz kalır (baştan hareketsiz), veya sabit hızla
bir doğru üzerinde hareket eder (baştan hareketli).
• İki kuvvetin etkisindeki parçacığın dengede olması, iki kuvvetin aynı şiddette,
aynı tesir çizgisinde ve zıt yönde olması ile mümkündür.
• Parçacığın dengesine ait bir durum aşağıdadır. Burada Kuvvetlerin bileşkesi
sıfırdır ve parçacık dengededir.
• Bir parçacığın dengede olabilmesi için için şu sonuçlara varırız.
r
r
R = ∑F = 0
∑ Fx = 0
∑ Fy = 0
İki boyutlu
düzlemde
denge şartı
MADDESEL NOKTANIN
3 BOYUTTA DENGESİ
• A noktasına etkiyen kuvvetlerin bileşkesi sıfırsa A noktası
dengededir. Aşağıdaki denklemler, uzayda bir noktanın dengesi
ile ilgili gerek ve yeter şartları gösterir.
∑F
∑F
∑F
x
=0
y
=0
z
=0
SERBEST CİSİM DİYAGRAMLARI
Durum Diyagramı
Serbest Cisim Diyagramı (SCD)
Problemin fiziksel şartlarını
göstermek için çizilen şekil veya
şemaya denir.
Seçilen bir maddesel noktaya
etkiyen bütün kuvvetleri gösteren
şema.
Problem
Yanda görülen yük boşaltma işleminde otomobilin ağırlığı 10 kN
(3500 lb) olduğuna göre AB ve AC kablolarındaki kuvvetleri
(gerilimleri) bulunuz.
ÇÖZÜM
T
TAB
3500 lb
= AC =
sin 120° sin 2° sin 58°
T AB = 3570 lb
(10.2 kN)
TAC = 144 lb
(411 N)
Uzayda Bir Kuvvetin Dik Bileşenleri
• O noktasına etkiyen F kuvvetinin doğrultusunu saptamak için
OBAC düzlemini çizelim. Düzlemin konumu xy düzlemiyle yaptığı
Φ açısıyla tanımlanır. F kuvvetinin konumu y ekseniyle yaptığı θ
açısıyla tanımlanır. F kuvveti yatay Fh ve düşey Fy bileşenlerine
ayrılabilir.
Fh = F sin θ y
Fy = F cos θ y
Uzayda Bir Kuvvetin Dik Bileşenleri
Fh da x ve z eksenleri doğrultusunda Fx ve Fz dik bileşenlerine ayrılabilir.
Fx = Fh cos φ
= F sin θ y cos φ
Fy = Fh sin φ
= F sin θ y sin φ
Böylece verilen F kuvveti üç koordinat ekseni doğrultusunda,
Fx, Fy ve Fz dik vektörel bileşenlerine ayrılmış oldu.
Uzayda Bir Kuvvetin Dik Bileşenleri
Şekildeki taralı üçgenlere Pythagoras
teoremini uygularsak;
(F)2=(OA)2 = (OB)2 + (BA)2 = (Fy)2 + (Fh)2
(Fh)2=(OC)2 = (OD)2 + (DC)2 = (Fx)2 + (Fz)2
Bu denklemlerden F yi çözersek, F nin
şiddeti ile skaler dik bileşenleri arasında
aşağıdaki bağıntıyı elde deriz
F = Fx 2 + Fy 2 + Fz 2
Uzayda Bir Kuvvetin Dik Bileşenleri
F kuvveti ile kuvvetin Fx, Fy, Fz
bileşenleri arasındaki bağıntıyı
canlandırmak için yandaki gibi,
kenarları, Fx, Fy, Fz olan bir kutu
çizilebilir. F in x ve z eksenleriyle yaptığı
açıları θx ve θz ile gösterirsek şu
formüller çıkarılır.
Fx = F cosθx Fy = F cosθy Fz = F cosθz
r
r
r
r
F = Fx i +Fy j +Fz k
r
r
r
= F(cosθxi +cosθy j +cosθz k )
r
= Fλ
r
r
r
r
λ =cosθx i +cosθy j +cosθz k
Uzayda Bir Kuvvetin Dik Bileşenleri
θx, θy ve θz açıları F kuvvetinin doğrultusu ve yönünü tanımlar.
θx, θy ve θz açılarının kosinüslerine F kuvvetinin doğrultman
kosinüsleri denir.
x, y ve z eksenleri doğrultusundaki birim vektörleri i, j ve k ile
gösterirsek, F yi aşağıdaki gibi ifade edebiliriz.
Uzayda Bir Kuvvetin Dik Bileşenleri
λ ya F in tesir çizgisi üzerindeki Birim Vektör denir. Birim
vektör λ in bileşenleri F in doğrultman kosinüslerine eşittir.
Birim vektörünün şiddeti 1 dir ve F ile aynı doğrultudadır.
(λx)2 + (λy)2 + (λz)2 = 1
λz=cosθz λx=cosθx λy=cosθy
Şiddet ve Tesir Çizgisi Üzerindeki İki
Nokta ile Tanımlanan Kuvvet
Uygulamaların çoğunda F kuvvetinin doğrultusu tesir çizgisindeki M
ve N gibi iki noktanın koordinatları yardımıyla tanımlanır.
M ( x1 , y1 , z1 ) ve
N ( x2 , y 2 , z 2 )
r
d = M ve N yi birleştiren vektör
r
r
r
=d i +d j +d k
x
y
z
d x = x2 − x1
r
r
F = Fλ
r
λ =
1
(d ir + d
x
d
Fx =
d y = y2 − y1
Fd x
d
y
d z = z2 − z1
r
r
j + dz k
Fy =
)
Fd y
d
Fz =
Fd z
d
Problem
Bir kule kılavuz kablosu, ankraj bulonu yardımıyla A ya bağlanmıştır.
Kablodaki kuvvet 1200 kg dir (2500 N)
(a) bulona (A) etkiyen kuvvetin Fx, Fy, Fy bileşenlerini,
(b) kuvvetin doğrultusunu tanımlayan θx, θy, θz açılarını bulunuz.
r
r
r
AB = (− 40 m ) i + (80 m ) j + (30 m )k
AB =
(− 40 m )2 + (80 m )2 + (30 m )2
= 94.3 m
r
− 40  r  80  r  30  r
i + 
 j +
k
 94.3   94.3   94.3 
r
r
r
= −0.424 i + 0.848 j + 0.318k
λ = 
r
r
F = Fλ
r
r
r
= (2500 N )(− 0.424 i + 0.848 j + 0.318k )
r
r
r
= (− 1060 N )i + (2120 N ) j + (795 N )k
r
r
r
λ = cos θ x i + cosθ y j + cos θ z k
r
r
r
= −0.424 i + 0.848 j + 0.318k
r
θ x = 115.1o
θ y = 32.0o
θ z = 71.5o
Problem
Problem
Problem
Problem