matematik öğretmeni alımı akademik beceri sınavı çözümleri

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI
AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ
SÜLEYMANİYE EĞİTİM KURUMLARI
MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI
AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ
SORULAR
1. Ali ile Betül’ün de içinde bulunduğu 4 erkek ve 6 bayandan oluşan bir grupta 4
erkek ve 6 bayandan en az ikisi bayan olacak şekilde Ali ve Betül’ün aynı zamanda
bir komisyonda olmayacağı dört kişilik bir komisyon kaç yolla oluşturulabilir?
AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ | 21.01.2017
Çözüm:
Betül + 5 Bayan
Ali + 3 Erkek
En az 2 bayan dediği için 3 farklı durum var. Tüm durumdan Ali ve Betül’ün aynı
zamanda olduğu durumları çıkaracağız.
2 Bayan + 2 Erkek veya 3 Bayan + 1 Erkek veya 4 Bayan
6  4  5  3
      
 2   2   1  1
 6  4  5
    
 3   1  2 

75

6
   160
 4
15
70
ˆ = 90° dir. [AD][BC] olacak şekilde çizilen [AD] doğru
2. Bir ABC dik üçgeninde s(A)
parçası [BC]’yi F noktasında kesiyor. [ED][DC] olacak şekilde [BF] üzerinden bir E
noktası alınıyor. |EF|=1, |FC|=4 ve [AC][CD] olduğuna göre |BE| kaçtır?
Çözüm:
A
|FD|2  1 4
|FD| 2 olur.
MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI
42  2 |AF|
1
1
B
E
F
4
|AF| 8 olur.
C
82  4 |BF|
|BF| 16 olur. |BE|  16  1  15 olur.
D
3. Bir kutuda renkleri kırmızı, beyaz, mavi ve yeşil olan toplam n tane top bulunuyor.
n
n
n
 20 , beyaz topların sayısı  15 , mavi topların sayısı  5 tir.
5
3
7
Yeşil top sayısı mavi top sayısından daha az ise, kutudaki kırmızı top sayısı beyaz top
sayısından ne kadar fazladır?
Kırmızı topların sayısı
Çözüm:
Toplam n tane top bulunuyor. Tüm renklere ait top sayısı tam sayı olacağından n 3,
5 ve 7'nin ortak katı olmak zorunda. n = {105, 210, 315, ...}
Kırmızı 
n
 20
3
Beyaz 
n
 15
5
Mavi 
n
5
7
Yeşil
105 ise;
55
36
20
-6
210 ise;
90
57
35
28
Yeliş top sayısı mavi top sayısından az olması için n = 210 olmalıdır. Bu durumda
kırmızı top sayısı beyaz top sayısından 90 – 57 = 33 fazladır.
1
1
17
1



3m 4n 12mn 2
4.
denklemini sağlayan m, n pozitif tamsayıları için m + n ifadesinin alabileceği farklı
değerlerin toplamı kaçtır?
AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ | 21.01.2017
n
Çözüm:
(4n)



(3m)
(1)
(6mn)

4n  3m  17  6mn

n  1 ise, m  7 olur. m  n  8
4n  17  6mn  3m
n  10 ise, m  1 olur. m  n  11
4n  17  3m(2n  1) 
 11 8  19 olur.
4n  17 
3m 
2n  1 

19 
3m  2 
2n  1 
MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI
1
1
17
1



3m 4n 12mn
2
2
5. |AB|=3, |BC|=4, |CA|=5 koşullarını sağlayan bir ABC üçgeninde [BC]’nin orta
noktası D’dir. C köşesinden geçen iç açıortayın [AB]’yi kestiği nokta E olmak üzere AD
ve EC doğruları F noktasında kesişiyor. Buna göre, AEF üçgeninin alanının CDF
üçgeninin alanına oranı nedir?
Çözüm:
A
ADC üçgeninde iç açıortay teoremi uygulanırsa,
5m
25S
3
E
AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ | 21.01.2017
4m
|AF| 5
 olur.
|FD| 2
5
5n
F
ABC üçgeninde iç açıortay teoremi uygulanırsa,
20S
B
18S 2n
18S
2
D
2
C
|AE| 5
 olur.
|EB| 4
A(AEF)
4
A(CDF)

25
olur.
18
6. 30’dan küçük asal sayılar kümesi P={p1, p2, … , p10} olmak üzere bir p  P için en
küçük asal böleni p olan 100’den küçük pozitif tam sayıların sayısı sp ile gösteriliyor.
Buna göre sp1  sp2 
 sp10 kaçtır?
MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI
Çözüm:
3
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}
S2 = 49 olur. (100'den küçük çift doğal sayılar.)
S3 = 17 olur. (3'ün katı olan sayılardan 6'nın katı olanları atıyoruz.)
S5 = 7 olur. (5, 25, 35, 55, 65, 85, 95)
S7 = 4 olur. (7, 49, 77, 91)
S11 = 1, S13 = 1, S17 = 1, S19 = 1, S23 = 1, S29 = 1
S1 + S2 + ... + S10 = 83 olur.
7. Ardışık üç pozitif tam sayının toplamı olarak yazılabilen ilk 21 sayının toplamı kaçtır?
Çözüm:
1. Sayı
n
2. Sayı
n+1
3. Sayı
n+2
(66  6)  (66  6  3)
23
 756 olur.
 63  66 
8. Bir ABCD dikdörtgeninin AB kenarı üzerinde E [AF] olacak biçimde birbirinden
farklı E ve F noktaları, CD kenarı üzerinde G  [CH] olacak biçimde birbirinden farklı G
ve H noktaları E, F, G, H çemberdeş olacak şekilde seçiliyor. |AE|=2, |DH|=3,
|CH|=7 ise |EF|+|CG| kaçtır?
Çözüm:
8–x
A 2 E
F
x
B
|EF||CG|  8  x  x  1
 9 olur.
6–x
D
3
H
G
x+1
C
9. Eş merkezli iki çemberin arasında kalan bölgenin alanı 36 ’dir. Büyük çemberin bir
AB kirişi küçük çembere teğettir. A ve B noktalarından büyük çembere çizilen teğetler
C’de kesişiyor. |CA|=10 ise ABC üçgeninin alanı nedir?
AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ | 21.01.2017
6  9  12 
Çözüm:
C
6
H
O
6
36  |HB|2 
B
|HB|  6 olur.
Pisagor teoreminden,
|CH|  8 olur.
A(ABC) 
8  12
 48 olur.
2
MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI
10
A
Taralı Alan  |HB|2 
10
4
10. a bir pozitif gerçel sayı olmak üzere 21a+2 ve 24a+9 sayıları ardışık iki pozitif
tamsayının kareleri ise a’nın alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin farkı
kaçtır?
Çözüm:
21a  2  n2
24 a  9  (n  1)2
 2
2
 n  2  n  2n  8  n2  14n  40  0
 21
24
n2  2n  8 
2
n  4  n  10 olur.
24 a  9  n  2n  1  a 

24
AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ | 21.01.2017
21a  2  n2  a 
14 2 

21 3  14 2 12
 4 olur.
  
98 14  3 3 3
n  10  a 

21 3 
n4a
11. Kenar uzunluğu 1 olan bir ABCD karesinde AB ve AD kenarlarının orta noktaları
sırasıyla E ve F’dir. CE ve CF doğruları A merkezli ve B’den geçen çemberi karenin iç
bölgesinde sırasıyla K ve L noktalarında kesiyor. Buna göre |KL| nedir?
Çözüm:
E noktasına göre iç kuvvet uygularsak,
5
2
1
1
A
1
2
MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI
F
1
2
5
n2  2
21
D
1
2
|EL|
E
1
2
|LC|  |EC||EL|
B
|LC| 
3 5
10
2
2
L
1
K
1
5 1 3
3 5
   |EL| 
olur.
2
2 2
10
C
2 5
10
5 3 5 2 5


olur.
2
10
10
2 5
2
 10  |KL| 
olur.
5
2
5 5
2
10
|KL|
12. |AB|= 2 ve |AD|  2 2 koşullarını sağlayan bir ABCD dikdörtgeninde AD
kenarının orta noktası M olmak üzere BM ile AC doğruları K’de kesişiyor. Buna göre A,
B, K noktalarından geçen çemberin yarıçapı kaçtır?
Çözüm:
C
BKC üçgeni,
2
4 3
3
2 6
3
2
2 3
3
A
K
2
6
3
M
2
D
2
2
2 6 4 3 

  
  2 2
 3   3 
24 48

8
9
9
72
 8 olduğundan bir dik üçgendir.
9


ˆ  90 olduğuna göre,
s(K)
[AB] çap olur. r  1 dir.
13. Herhangi ikisinin farkı 5’in katı olmayacak şekilde iki basamaklı bir sayı kümesi
oluşturulmak isteniyor. Bu kümenin elemanı en fazla kaç olabilir?
Çözüm:
Herhangi ikisinin farkı 5'in katı olan iki basamaklı sayı kümelerini oluşturalım.
{10, 15, 20, 25, ... , 90, 95}
{11, 16, 21, 26, ... , 91, 96}
{12, 17, 22, 27, ... , 92, 97}
{13, 18, 23, 28, ... , 93, 98}
{14, 19, 24, 29, ... , 94, 99}
Yukarıdaki kümelerden sadece birer tane eleman alarak küme oluşturabiliriz.
Örneğin {15, 21, 12, 28, 94} kümesi istenilen şarta uygun bir küme. Bu kümeye
başka bir eleman ekleyemeyiz. Yani eleman sayısı en fazla 5 olur.
AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ | 21.01.2017
2 2
MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI
B
6
14. 10 kişiden oluşan bir grupta herkes kendi dışındaki 9 kişinin yaşlarını toplar. Bu
toplamların oluşturduğu küme {89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97} olduğuna göre bu
grupta aynı yaşta olan iki kişi kaç yaşındadır?
Çözüm:
Aynı yaşta olan iki kişinin bulacağı toplam aynıdır. Bu toplama K dersek,
89 + 90 + 91 + 92 + 93 + 94 + 95 + 96 + 97 + K = 837 + K olur.
9  (x1  x 2 
 x10 )  837  K
9'un katı
olmalı
9'un katı
9'un katı
K  90 olur.
9  (x1  x 2 
AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ | 21.01.2017
x1  x 2 
 x10 )  837  90
 x10  103
Aynı yaşta olan kişilerin bulduğu toplam 90 olduğundan
103  90  13 yaşındadırlar.
15. n2  n  59 sayısını tam kare yapan tüm n pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?
Çözüm:
n2  n  59  (n  k)2
k  1 n  58
n2  n  59  n2  2nk  k 2
k2 n
2
59  k  2nk  n
k  3  n  10
59  k 2  n(2k  1)
n
16. a 
59  k 2
2k  1
101
104
b
55
3
k  4 den itibaren n pozitif tam sayı olmuyor.
k 'nın alabileceği değerler toplamı 58  10  68 olur.
97
101
c
59
sayılarını sıralayınız.
61
Çözüm:
MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI
a
7
101
104
3
fark
b
97
101
4
fark
c
59
61
2
fark
Aradaki farkları eşitlemek için a’yı 4 ile, b’yi 3 ile, c’yi 6 ile genişletiyoruz.
a
404
416
12
fark
b
291
303
12
fark
c
354
366
12
fark
Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan basit kesirlerde payı ve paydası
büyük olan kesir daha büyüktür. Bu durumda,
a  c  b olur.