BÖLÜM 8

SIVILARIN RÖLATİF DENGESİ
Hareket halindeki akışkanlarda eğer tabakalar birbirlerine göre
rölatif olarak hareket etmiyorsa kayma gerilmesi tüm akışkan
içerisinde sıfırdır. Bu durum akışkan içinde düşey bir
doğrultudaki hızların üniform olarak bir katı cisim gibi hareket
etmesi halinde söz konusudur.
KÜTLESEL KUVVET OLARAK YERÇEKİMİ VE DOĞRUSAL
İVMELENME
Şekilde görülen kap ivmesinin
tesiri ile doğrusal olarak
harekete başlasın. Kısa süre
sonra sıvı kendini ayarlayarak
şekilde görüldüğü gibi denge
durumuna
geçer
ve
sıvı
zerrecikleri
birbirine
göre
hareket etmezler. Böylece kayma
gerilmeleri
oluşmaz.
y
doğrultusunda
hareket
olmadığından kuvvet söz konusu
değildir. Birim kütleye gelen
kuvvetler:
z
az
p0

a
ax
z0
p

z1
h
z
ma x
y
m(g+az)
x
p 0 h
h
X= -ax
Y= 0
Z= -g - az
azh
Sıvı içerisinde bir noktadaki basınç değişmesi
dp   (Xdx  Y dy  Z dz )    a x dx  ( g  a z ) dz
İntegre edilirse
p ax x (g az ) z C
Sınır şartı kullanılarak: z=z1 için p=p0
C  p 0   a x x   ( g  a z ) z1
p = p 0 +  (g + a z ) (z1 - z)
p  p 0   (g  a z ) h  p 0   h   a z h
Sabit Basınç Yüzeyi: Sıvı yüzeyi bir potansiyel yüzey olduğuna
göre basınç değişimi sıfırdır. Yani; dp=0 ve
 a x dx   ( g  a z ) dz  0
ax
dz  
dx
g az
bu eşitlik integre edilirse sabit basınç yüzeyinin denklemi
ax
z
xC
g az
eşitlik xz düzlemindeki eğri ailesini gösterir. Yüzeyde x=0 ve z=z0,
integrasyon sabiti C=z0, böylece
ax
z  z0 
x
g az
Sabit basınç doğrularının denklemi Şekil de görüldüğü gibi kütlesel
kuvvetlerin bileşkesinden yararlanılarak da bulunabilir
ax
dz
tan  

dx
g az
dz  
z
ax
xC
g az
P sabit
ax

 g
z
az
x
ax
dx
g az
Basınç Kuvvetinin Büyüklüğü
F =  p dA =   ( g + a z ) h dA

Şekil den h=y(sinθ-cosθ tanα)
F =  (g + a z ) (sin  - cos  tan )  y dA
F =  (g + a z ) (sin  - cos  tan ) yG A
Buradan basınç kuvveti:
F =  (g + a z )h G A = p G A

Basınç Merkezinin Yeri
Şekil de x eksenine göre moment alınırsa:
1
(sin  - cos  tan ) 2
 y dA
yP =  y p dA =
F
hG A
burada p=ρ(g+az)y(sinθ-cosθ tanα) ve F=ρ(g+az)hGA
2
+
A
y
(sin  - cos  tan ) Ix
I
G
= Ix = xG
yP =
yG A
yG A
hG A
yP =
IxG +
yG
yG A
2
IxG
=
+ hG
(sin

cos

tan

)
hP
hG A
Kütlesel Kuvvet Olarak Yerçekimi ve Merkezcil İvme
Sabit hızla dönmeye başlayan bir kap içerisindeki sıvı zerreleri kısa
bir zaman sonra kabın açısal hızına eşit bir hızla dönmeye başlarlar.
Böylece katı bir cisim gibi hareket eden sıvının zerreleri arasında
kayma gerilmeleri meydana gelmez. Sıvının bu şekildeki hareketine
zorlanmış vorteks (çevri) denir.
z
z1
z0
z
Dönme
ekseni
p
h
y

mg
m2 x
p 0 h
x
h
Şekil görülen  açısal hızıyla
dönen kabın içindeki bir x
radyal mesafesinde merkezcil
ivme ax=-ω2x olsun
Kütlesel kuvvetler;
X=2x
Y=0
Z=-g
Basınç değişiminin diferansiyel denklemi
dp   ( X dx  Y dy  Z dz )   ( 2 x dx  g dz)
eşitlik integre edilirse
 2 x 2

p 
 gz   C
 2



2 2
Sınır şartı z=z1 için p=p0 ve C  p 0   ( x / 2  gz 1 )
p  p 0   g ( z 1  z) ,
z1  z  h
p  p 0  h
Olarak bulunur ki bu ifade sadece yerçekimi halindeki basınç
değişimini veren ifadedir.
Sabit Basınç Yüzeyi:
p=0 için dp=0 dır
 ( 2 x dx  g dz)  0
2
dz 
x dx
g
2 2
z
x C
2g
şeklinde x,z düzleminde paraboller ailesi olarak bulunur. Bu yüzey
aslında dönel bir paraboloidi oluşturmaktadır. Serbest sıvı yüzeyi
için: x=0, z=z0 ve C=z0 kullanılırsa
2 2
z  z0 
x
2g
Sabit basınç yüzeyleri Şekil de görülen kütlesel kuvvetler
yardımıyla da bulunabilir:
dz 2 x
tan  

dx
g
z
p-sabit
2
dz 
x dx
g

2
z
x2 C
2g
w2x
z0
g
x
x
w