3_Dügüm_Analizi

Analiz Yöntemleri
Düğüm Analiz
Problem 2.26
• i1 ve i2 akımlarını düğüm analizi ile çözün.
+
V
-
Problem 2.26
+
V
-
• Eşdeğer direnç
bulunursa:
1
1
1


Req 6k 4k
1
5

Req 12k
Req  2.4k
Problem 2.26
+
V
• Eşdeğer direnç
yardımı ile:
– V gerilimini hesaplarsak.
V  I  Req
V  (20mA)  (2.4k)
V  48V
-
Problem 2.26
+
V
-
– i1 akımı kolayca hesaplanabilir.
V 48V
i1 

 8mA
R1 6k
Problem 2.26
+
V
-
– Benzer şekilde i2 akımı da hesaplanabilir.
V
48V
i2 

 12mA
R2 4k
Problem 2.26
+
V
• Akım bölücü devre
yaklaşımı ile:
• i1 akımı.
R2
i1  I s
R1  R2
4k
i1  20mA 
6k  4k
i1  8mA
-
Problem 2.26
+
V
• Yine aynı bakışla:
• i2 akımı.
R1
i2  I s
R1  R2
6k
i2  20mA 
6k  4k
i2  12mA
-
Problem 2.30
• i ve v değerlerini hesaplayınız.
Problem 2.30
• Req = 12 Ω
12
i  9A
12  6
i  6A
Problem 2.30
6
i2  9 A 
12  6
i2  3 A
v  i2  4
v  3 A  4
v  12V
Düğüm Analizi
• Düğüm analizinde, düğüm gerilimlerinin
bulunmasına çalışılır.
• Düğüm analizinde KAK kullanılarak farklı
düğümlerin gerilim değerleri bulunur.
Düğüm Analizinin Genel Yapısı
1. a.
b.
Bir düğüm referans düğüm olarak seçilir
(yani NÖTR).
Her bir düğüme düğüm gerilim isimleri atanır; mesela v1, v2, ve
diğerleri.
2. a. Referans olmayan düğümler için KAK uygulanır. Bu kollardan
akan akım değerleri cinsinden bir denklem oluşturur.
b. Herhangi bir koldan akan akım değeri ilgili elemanın tanım
bağıntısından (eleman akım-gerilim ilişkisinden) yararlanılarak
gerilim cinsinden ifade edilir. Eğer eleman direnç ise bu bağıntı Ohm
Kanunu ile verilir. Bu da düğüm gerilimleri cinsinden bir denklem
oluşturur.
3. Elde edilen denklemler ile bilinmeyen düğüm gerilimleri çözülür.
Düğüm Analizi:
• V düğüm gerilimini düğüm analizi ile bulunuz.
I1
+
I2
I3
V
-
Düğüm Analizi:
• Düğüm gerilimi isim ataması
V (atanan gerilim adı)
I1
+
I2
I3
V
-
NÖTR - (referans gerilim)
V
I1
Düğüm Analizi:
+
I2
I3
V
• KAK uygulanır
-
DÜĞÜME GELEN
AKIMLAR=DÜĞÜMDEN
ÇIKAN AKIMLAR
Current
In  Current Out
I1  I 2  I 3
0.020  I 2  I 3
V
I1
Düğüm Analizi:
+
I2
I3
V
• I2 ve I3 akımlarını V
düğüm gerilimi
cinsinden yazar ve
• Ohm kanunu ile
düzenlersek:
-
V
I2 
6000
V
I3 
4000
V
I1
Düğüm Analizi:
+
I2
I3
V
-
DÜĞÜME GELEN
AKIMLAR=DÜĞÜMDEN
ÇIKAN AKIMLAR
Current
In  Current Out
I1  I 2  I 3
0.020  I 2  I 3
V
V
0.020 

6000 4000
V
I1
Düğüm Analizi:
+
I2
I3
V
• Denklemi çözersek
-
V
V
0.020 

6000 4000
V
V 


 0.020 
 1000  6  4
6000 4000 

480  4V  6V
480  10V
V  48V
1a. Öncelikle referans düğüm seçilir.*
TOPRAK NOKTASI REFERANS DÜĞÜM OLARAK SEÇİLİR.
1b. Düğümlere gerilim ataması yapılır.
1b. Atanan gerilimler düzenlenir.
2. Referans olmayan herbir düğüme KAK
nu uygulanır.
2a. Referans olmayan herbir düğüme KAK
nu uygulanır.
• V1 de KAK ile:
I1 = I2 + i1 + i2
• V2 de KAK ile:
I2 + i2 = i3
2b. Ohm kanunu kullanılarak herbir dalın
akımı düğüm gerilimleri cinsinden ifade
edilir:
• Bir dirençte akım
yüksek
potansiyelden
düşük potansiyele
doğru hareket eder.
• Ohm kanunu ile
ifade edilen budur
• Mesela
v v
i2  1 2
R
olur
2b. Ohm kanunu kullanılarak her bir dalın
akımı düğüm gerilimleri cinsinden ifade
edilir:
v1  0
i1 
R1
v1  v 2
i2 
R2
v2  0
i3 
R3
2b. Ohm kanunu kullanılarak herbir dalın
akımı düğüm gerilimleri cinsinden ifade
edilir:
v1  0
i1 
6
v1  v 2
i2 
4
v2  0
i3 
2
3. Elde edilen gerilimler bilinmeyen düğüm
gerilimlerini bulmak için çözülür.
• 1. düğüm eşitliği:
10 A  5 A 
v1 v1  v2

6
4
120  60  2v1  3(v1  v2 )
120  60  2v1  3v1  3v2
60  5v1  3v2
3. Elde edilen gerilimler bilinmeyen düğüm
gerilimlerini bulmak için çözülür.
• 2. düğüm denklemi:
v1  v2 v2
5

4
2
20  v1  v2  2v2
20  v1  v2  2v2
20  v1  3v2
3. Elde edilen gerilimler bilinmeyen düğüm
gerilimlerini bulmak için çözülür.
60  5v1  3v2
 (20  v1  3v2 )
60  20  5v1  v1  3v2  3v2
80  4v1  0v2
v1  20V
3. Elde edilen gerilimler bilinmeyen düğüm
gerilimlerini bulmak için çözülür.
20  v1  3v2
20  20  3v2
40  3v2
40
v2  V  13.333V
3
3. Elde edilen gerilimler bilinmeyen düğüm
gerilimlerini bulmak için çözülür.
• Veya MATRİSLER ile çözüm yapacak olursak:
60  5v1  3v2
 (20  v1  3v2 )
Şeklinde yazılabilir.
 5  3  v1  60
 1 3   v   20

  2  
3. Elde edilen gerilimler bilinmeyen düğüm
gerilimlerini bulmak için çözülür.
1
 v1   5  3 60
v    1 3   20
  
 2 
 v1   20 
v   13.3333

 2 
Dikkat edilecek noktalar:
• Düğüm Analizi yapabilmek için her düğüme KAK
uygulanarak bir denklem elde etmek gerekir.
• Ancak bağımlı/bağımsız gerilim kaynaklarının bağlı
oldukları düğümlere KAK uygulama mümkün
olamayacaktır. Çünkü …
• Yani KAK kullanılarak bilinmeyen sayısından daha
az sayıda denklem yazabiliriz.
• Bu durumda ne yapmak gerekir ?
Düğüm Analizi:
• V1 V2 gerilimlerini düğüm analizi ile çözünüz.
Düğüm Analizi:
• KAK ile başlıyoruz:
Current In  Current Out
DÜĞÜME GELEN AKIMLAR=DÜĞÜMDEN ÇIKAN AKIMLAR
0  I1  I 2  I 3
Düğüm Analizi:
• Ohm kanunu ve
gerilim kaynağının
tanım bağıntısı ile
V 2  12V
V1
I2 
12
V1
I3 
6
V 1 V 2
I1 
6
Düğüm Analizi:
• Son denklemleri KAK
ile birleştirirsek:
DÜĞÜMECurrent
GELEN AKIMLAR=DÜĞÜMDEN
In  Current OutÇIKAN AKIMLAR
0  I1  I 2  I 3
V  12 V V
0
 
6
12 6
Düğüm Analizi:
• V gerilimini çözersek:
V  12 V V
0
 
6
12 6
V  12 V V 

   12
0 
6
12 6 

0  2V  24  V  2V
0  5V  24
24  5V
V  4.8V
Örnek Soru 3.1:
KAK uygulanarak 1. düğüme ait denklem
aşağıdakilerden hangisidir?
a)
2
b)
c)
d)
12  v1 v1 v1  v2
 
3
6
4
v1  12 v1 v2  v1
2
 
3
6
4
12  v1 0  v1 v1  v2
2


3
6
4
v1  12 0  v1 v2  v1
2


3
6
4
Örnek Soru 3.2:
KAK uygulanarak 2. düğüme ait denklem
aşağıdakilerden hangisidir?
a)
b)
c)
d)
v2  v1 v2 v2
 
4
8
6
v1  v2 v2 v2
 
4
8
6
v1  v2 12  v2 v2


4
8
6
v2  v1 v2  12 v2


4
8
6
Örnek Problem
Aşağıdaki devrede düğüm gerilimlerini elde ediniz.
Örnek Problem
• 1. düğümün eşitliği:
1A 
v1  v2 v1

6
2
6  1 (v1  v2 )  3v1
4v1 1v2  6
Örnek Problem
• 2. düğüm denklemi:
v2  v1 v2
 40
6
7
7  (v2  v1 )  6v2  168  0
 7v1  13v2  168
Örnek Problem
• Sistem eşitlikleri:
4v1 1v2  6
 7v1  13v2  168
• Matrisi:
Buradan cevap
v1 = -2 V ve v2 = -14 V
 4  1  v1   6 
 7 13   v    168

  2 

 v1    2 
v    14

 2 
Problem
Aşağıdaki devredeki düğüm gerilimlerini bulunuz.
Problem
• 1. düğüm denklemi:
6
v1 v1 v1  v2
 
0
10 5
2
60  v1  2v1  5  (v1  v2 )  0
8v1  5v2  60
Problem
• 2. düğüm denklemi:
63
v2  v1 v2

2
4
36  2  (v2  v1 )  v2
 2v1  3v2  36
Problem
• Sistem eşitlikleri:
8v1  5v2  60
 2v1  3v2  36
• Matrisi:
Buradan cözüm
v1 = 0 V and v2 = 12 V
 8  5  v1   60
 2 3   v    36 

  2 

 v1   0 
v   12
 2  