Seri paralel rezonans ders notu

Devre Teorisi Ders Notu
Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
BÖLÜM VIII
SERİ VE PARALEL REZONANS
Şu ana kadar sinüzoidal kaynaklar tarafından uyarılan devrelerde kararlı durum
gerilim ve akımları sabit kaynak frekansı için buluyorduk. Oysaki aynı devrelerin
değişen kaynak frekanslarında kararlı durum gerilim ve akımları nasıl değiştiriyor,
bunu görmek gerekir. Bunu yapabilmek için devrenin frekans cevabını analiz etmek
gerekir. Devrelerde frekans cevabı iki sebepten dolayı analiz edilir.

Sinyal iletimi için daha iyi olan frekans bandını belirlemek. (Telefon, TV,
radyo vs.)

Frekans cevabı belirlenirse, devrenin başka girişlere cevabı kestirilebilir.
Diğer bir durum ise frekans cevapları laboratuvar ortamında ölçülerek elde edilen
veriler yeni devre parametrelerinin formülasyonunda kullanılırlar.
8.1 Paralel Rezonans
I s = I m cos( wt )
Vo = Vm cos( wt )
Şekil: Paralel rezonans devresi
Düşük frekanslarda ( jwL ’den) indüktörün indüktif reaktansı küçük değerler
alacağından çıkış voltajı küçük, yüksek frekanslarda kapasitörün kapasitif reaktansı
düşük olacağından düşük olacağından çıkış voltajı küçük olacaktır. Orta değerdeki
frekanslarda 3 paralel koldaki empedanslar 0’dan farklı olacak ve Vo ’da 0’dan farklı
değerler olacaktır. Kabaca Vo ’ın frekansa göre değişimi aşağıdaki şekildeki gibi
olacaktır.
Vo
w
Şekil: Gerilim-açısal frekans değişimi
1 Devre Teorisi Ders Notu
Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
Burada üzerinde durulacak konu,
1. Çıkış voltajı Vo hangi frekansta maksimum olur?
2. Vo ’ın maksimum değeri nedir?
3. Eğrinin keskinliği nasıl?
Yukarıdaki soruların cevabını ancak Vo ’ın w ’ya bağlı fonksiyonunu inceleyerek
bulabiliriz.
Paralel rezonans devresi fazör domeninde incelenecek olur ise çıkış gerilimi Vo
aşağıdaki gibi bulunur.
Vo =
Is
Is
Is
=
=
1
1
1
1
Y
+
+ jwC
+ j ( wC )
R jwL
R
wL
(1)
Kaynağı referans alarak;
Vo =
I m 0 
(2)
1
1 2
+ ( wC )
2
R
wL
Faz açısı: ( is ve Vo arasında)
tan f = ( wC -
1
)R
wL
Kaynak verilmişse devrede I m , R , L ve C sabitlenmişse, genliğin ve fazın ( Vo için)
w değiştikçe nasıl değiştiği belirlenebilir. Paralel RLC devrelerde, rezonans frekansı
akım kaynağına (şekildeki devrede (konu başındaki)) karşı düşen empedansı saf rezistif
yapan frekans olarak tanımlanır. Bu frekans, empedansa denk düşen admitansıda saf
iletken yapar.
Denklem (1)’den rezonans frekansı wo ;
woC -
1
= 0 ’dan
wo L
woC =
1
 wo =
wo L
1
olarak belirlenir.
LC
Denklemlerden incelenecek olursa; Denklem (2)’den Vo , wo ’da maksimum olur ( Vm ).
w = wo ’da Vm = I m R olarak bulunur.
2 Devre Teorisi Ders Notu
Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
Vm
Im R
wo
w
rezonans frekansı
Şekil: Genlik-frekans değişimi
Şekilden görüleceği üzere, sinyalin wo civarında, wo ’dan çok küçük frekanslardan daha
iyi iletileceği anlaşılır. Hangi bant aralığının sorusunun cevabı aşağıdadır.
8.1.1 Bant Genişliği ve Kalite Faktörü
Paralel rezonans devresinin bant genişliği çıkış voltajının maksimum değerinin 1
2
’sinden büyük veya eşit olduğu frekans aralığı olarak tanımlanır. Bu aralıktaki çıkış
voltajı devre tarafından iletilebilir.
1
2 çarpanın seçilmesinin temel sebebi, Vo genliği 1
2 ile azaltıldığında, R ’ye
gönderilen ortalama güç, R ’nin maksimum gücünün yarısıdır. Yani ortalama gücün
oluşacağı nokta, bant genişliğinin köşe frekansını belirler. Bu sebeple eğer bir devre
sinyal taşıyan bir devre ise, R ’ye gönderilen ortalama gücün en azından mümkün olan
maksimum değerinin yarısına eşit olmalıdır.
Vm =
Im
1
1 2
+ ( wC )
2
R
wL
MaxVm = I m R 
Im R
=
2
Im
1
1 2
+ ( wC )
2
R
wL
(Gücün yarıya düştüğü nokta)
1
1 2
2
) =
+ ( wC 2
R
wL
R
1
1 2
2
+ ( wC ) = 2
2
R
wL
R
(3)
Denklem (3), 4’üncü dereceden bir polinomu temsil eder ve bu polinom w ’ya bağlıdır.
İki kök negatif çıkar ve fiziksel anlamı yoktur. Diğer iki kök w1 ve w2 ’yi belirler.
w1 = -
1
1 2
1
+ (
) +
LC
2 RC
2 RC
3 Devre Teorisi Ders Notu
Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
w2 =
1
1 2
1
+ (
) +
LC
2 RC
2 RC
Bant genişliği = b = w2 - w1 =
1
RC
Vm
Im R
Im R
2
b
w2
w1
w
Sonuç olarak;

Rezonans frekansını sabitlemek için indüktör ve kapasitör kullandık.
1
LC
wo =

Sonra R değeri ile bant genişliğini ayarladık.
b=

1
RC
R ne kadar büyükse, bant genişliği o kadar dardır ve devrenin seçiciliğini
(frekansta) belirler.

Bir devrenin frekans seçiciliğinde, seçiciliğin keskinliği, devrenin kalitesinin
( Q ) ölçümüdür. Burada Q , kalite faktörünü temsil eder.
Q=
wo
w
= o = wo RC
b
1 RC
Q=
Q=
1
C
RC = R
L
LC
wo
wo
=
b
w2 - w1
Kalite faktörü Q laboratuvarda ölçülebilir. Çünkü wo , w1 ve w2 laboratuvarda
belirlenebilmesi mümkün niceliklerdir.
Enerji ortamında kalite faktörü Q tanımı ise;
Q = 2p
maksimum. depolanan enerji
bir periyotta kaybedilen toplam enerji
4 Devre Teorisi Ders Notu
Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
Yukarda verilen denklemi kullanabilmek için;
wo ’da depolanan toplam enerji hesaplanır (L ve C’de);
Vo = I m R cos( wo t )
iL =
Im R
I R
cos( wo t - 90 ) = m sin( wo t )
wo L
wo L
1
wC (t ) = CI m2 R 2 cos 2 ( wot )
2
wL (t ) =
1 I m2 R 2
sin 2 ( wot )
L
2 wo2 L2
Rezonansta; C =
1
wo2 L
1
wL (t ) = CI m2 R 2 sin 2 ( wot )
2
L ve C’de maksimum depolanan enerji;
1
wT = wC (t ) + wL (t ) = CI m2 R 2
2
Bir periyotta harcanan (R’de) enerji;
wR =
I m2
1
R( )
2
fo
R2
2 = 2p f RC = wo
Q = 2p
o
R
b
I m2
2 fo
CI m2

Bizim daha çok kullandığımız Q tanımı Q =
wo =
1
1
, b = w2 - w1 =
RC
LC
5 wo
’dır.
b
Devre Teorisi Ders Notu
Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
Örnek:
+
is = I m cos( wt )
Vo = Vm cos( wt )
I m = 50 mA, R = 2 K W, L = 40 mH ve C = 0.25 mF olduğuna göre;
a) wo , Q, w1 , w2 ’yi ve wo , w1 ve w2 ’de Vo ’ı bulunuz.
b) b = 500 rad / sn için R = ?
c) b şıkkına göre Q = ?
a) wo =
1
109
=
= 104 rad / sn
LC
(40)(0.25)
Q = wo RC = (104 )(2000)(0.25 x10 - 6) = 5
b=
wo 104
=
= 2000 rad / sn
Q
5
2
æ 1 ö÷
1
çç
+
çè 2 RC ø÷÷
LC
1
+
w1 = 2 RC
= -1000 + 106 + 108 = 9049.88 rad / sn
w2 =
1
+
2 RC
2
æ 1 ö÷
1
çç
+
÷
çè 2 RC ÷ø
LC
= 1000 + 106 + 108 = 11, 049.88 rad / sn
Vm ( wo ) = I m R = (50 x10-3 )(2000) = 100 V
Vm ( w1 ) = Vm ( w2 ) = Vm ( w2 )
b) R =
2 = 70.7 V
1
106
=
= 8000 W
bC (500)(0.25)
wo 104
=
= 20
c) Q =
b
500
Örnekte w1 ve w2 ’nin wo ’a olan uzaklığı aynı değildir. Q değeri arttıkça wo , geçirme
bandının merkezine yaklaşır. R = 8000 için bu görülebilir.
Q=
wo
= wo RC
b
6 Devre Teorisi Ders Notu
Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
wo2 = w1w2  wo = w1w2
Rezonans frekansı, yarı güç frekanslarının geometrik ortalamasıdır. w1 ve w2 yarı güç
frekanslarıdır.
Faz denkleminden;
tan q = ( wC -
1
)R
wL
q
90
45
w1

-45
-90
wo
w2
w

w = 0  q = 90
w = wo  q = 0
w = ¥  q = -90
w = w1  q = 45
w = w2  q = -45
q
90
45

-45
-90
Q1 > Q2 > Q3
wo
w
Şekil: Q ’nun q üzerindeki etkisi
R arttıkça Q artar, R  ¥ giderse q açısı wo ’da +90 ’den -90 ye artar.
7 Devre Teorisi Ders Notu
Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
8.2 Seri Rezonans
Vs = Vm cos( wt ) +
-
i
i = I m cos( wt + q )
Burada sinüzoidal voltaj kaynağının frekansı değiştikçe, i akımının genliğinin ve
fazının nasıl değiştiğine bakacağız.
Akım değeri, küçük ve yüksek frekanslarda ( w ) sıfıra yaklaşacaktır. Kapasitör
akımı, düşük frekanslarda yok ederken, yüksek frekanslarda da indüktör akımı yok
edecektir. Akımın tepe değeri Vm R olacaktır. Vm R durumunda indüktif reaktans,
kapasitif reaktansı yok edecektir. Bu durum ancak rezonans frekansında gerçekleşebilir.
Böylece rezonans frekansı aşağıdaki gibi elde edilir.
wo L =
1
1
 wo =
woC
LC
Im
Vm
R
wo
rezonans frekansı

I = I m 0  =
Vs Vm0
=
Z
Z f
Z = R + j ( wL -
1
) wC
Z = R 2 + ( wL -
1 2
) wC
æ
ö
çç wL - 1 ÷÷
wC ÷÷÷ f = tan -1 ççç
÷÷
çç
R
÷÷
çè
ø
8 w
Devre Teorisi Ders Notu
Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
Vm
Im =
R 2 + ( wL -
1 2
)
wC
æ
ö
ç wL - 1 ÷÷
ç
wC ÷÷÷
q = -f = tan -1 ççç
÷÷
çç
R
÷÷
çè
ø
Max I m =
Vm
V
 m =
R
2R
R 2 + ( wL w1 = w2 =
Vm
R 2 + ( wL -
1 2
)
wC
1 2
) =R 2
wC
R
R
1
+
+
2L
2 L LC
R
R
1
+
+
2L
2 L LC
wo = w1w2
b = w2 - w1 =
Q=
R
L
wo wo L
1
1 L
=
=
=
b
R
woCR R C
Im
Vm R
Vm ( R 2)
b
w1
VL = I m wo L =
VC =

R
b=
L
w2
w
Vm
wo L = QVm R
Im
V
= m = QVm wo C wo RC
Yüksek Q ’larda wo , geçirme bandının merkezine yaklaşır.
Yüksek Q değeri olan bobinler daha yüksek tepe çıkış voltajı üretirler.
9 Devre Teorisi Ders Notu
Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
Örnek:
Vg
+
-
Vo
Vg = 10 cos( wt ) V , R = 50 W, C = 0.5 m F ve L = 5 mH olduğuna göre;
a) wo , Q = ?
b) wo ’da Vo ’ın tepe değeri kaçtır?
c) Vo hangi frekansta maksimumdur.
d) c’deki maksimum Vo değeri kaçtır.
e) Vo ’ı w ’ya göre çizdiriniz.
f) a ve e şıkkını R = 10 W için tekrarlayınız.
a) wo =
Q = wo
1
= 2000 rad / sn
LC
L
=2
R
b) Vo = QVm = (2)(10) = 20 V
c) wmax = 4 x108 - 0.5 x108 = 18, 708.29 rad / sn
2
wmax =
1 jwC
Vg
R + j [ wL - (1 jwC )]
Vo =
=
1
1 æ Rö
- çç ÷÷÷
LC 2 çè L ø
Vg
2
1- w LC + jwRC
Vo =
Vm
2
(1- w LC ) 2 + w2 R 2C 2
d Vo
= 0 ’dan Vo ’ı maksimum yapan w bulunur.
dw
10 Devre Teorisi Ders Notu
Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ
2
wmax =
1
1 æ Rö
- çç ÷÷÷
LC 2 çè L ø
d) Vo =
(2)(10)
= 20.66V
1-1 16
e) R = 50 W için
Vo
Vo ( wm )
Vo ( wo )
Vm
wm wo
w
f) R = 10 W için
Vo
Vo ( wm )
Vo ( wo )
Vm
wm wo
w

R küçülünce V ( wo ) , V ( wmax ) ’a yaklaşıyor.

Frekans cevabı, sadece giriş sinyalinin frekansı değiştirilerek, çıkış sinyalinin
genlik ve faz açısının değişimi olarak tanımlanabilir.

Rezonans, giriş sinyal kaynağına devrenin saf rezistif gördüğü durumdadır.
Kaynak
J. W. Nilsson and S. Riedel, Electric Circuits, Pearson Prentice Hall.
11