4. tek değişkenli parametrik dağılımlar

4. TEK DEĞİŞKENLİ PARAMETRİK DAĞILIMLAR
4.1 KESİKLİ PARAMETRİK OLASILIK DAĞILIMLARI
Bu kısımda, gerçek yaşamdan ortaya çıkan pek çok rassal olayın modellenmesinde faydalı
olan, kesikli (tek değişkenli) parametrik olasılık dağılımlarından bazıları incelenecektir. Ele
alınacak dağılımlar, bir hipotetik örnekleme süreci ile ilgili varsayımlar kümesi altında
matematiksel olarak elde edilmiş teorik dağılımlardır. Bu teorik dağılımlar, belirli
parametrelere göre bir olasılık kütle (mass) ailesini tanımlayan kurallar kümesi ile ifade
edilirler.
Bir şans değişkeni X ve bir parametre  verilmiş olsun. f ( X ,  ) ise bir kesikli teorik
olasılık kütle fonksiyonunu tanımlayan kurul olsun. Eğer α bir pozitif tamsayı ise, bu
parametre farklı olasılık kütle fonksiyonlarının; f (X ,1) , f (X ,2) , … bütün bir kümesini
belirler. Sonuç olarak, bu parametrik kesik dağılım ailesinin değişik elemanlarını içeren küme
F  { f ( X , ) /  tamsayı} elde edilir. Bir şans değişkeni X için kesikli olasılık kütle
fonksiyonu ailesini tanımlamakta kullanılabilecek parametre tipleri aşağıda listelenmiştir;
Sayım (count) parametresi; bir şans deneyindeki belirli bir çıktının ortaya çıkış sayısı.
Orantı (proportion) parmatre; bir şans deneyindeki belirli bir çıktının ortaya çıkış sayısının
toplam deneme sayısına göreceli oranı.
Yer (location) parametresi: x -ekseni üzerinde, olasılık kütle fonksiyonunun pozisyonunu
(orijine göre göreceli olarak) belirler.
Ölçek (scale) parametresi: şans değişkeninin ölçümlendiği birimleri belirler, fonksiyonun
grafiğini daraltarak ya da genişleterek olasılık kütle fonksiyonun yayılımını etkiler.
Biçim (shape) parametresi: bir olasılık kütle fonksiyonunun şeklini (örneğin simetrisi) etkiler.
Oran (rate) parametresi: bir rassal sürecin zaman, uzay, hacim, üzerinden çıktılarının oluşum
yoğunluğunu belirler (örneğin verilen bir zaman periyodunda bir olayın ortaya çıkış sayısı).
4.1.1 Kesikli Uniform (Tekdüze) Dağılım
Bir kesikli şans değişkeni X , her biri 1 / k eşit olasılıklı k adet farklı değer alabiliyor ise bu
değişkenin kesikli tekdüze dağılımı vardır.
Tanım: k pozitif bir tam sayı olmak üzere;
x  1,, k
1 k
f x; k   
0
d .d
yoğunluğuna sahip bir x şans değişkeni, kesikli uniform şans değişkeni olarak adlandırılır.
Teorem: Eğer X bir kesikli uniform dağılıma sahip ise,
a. E  X  
k 1
,
2
b. V  X  
k 2 1
12
k
c. M X t    e tx
1
k
x 1
İspat: İlk olarak
k
x
x 1
k k  1
ve
2
k
x
2

x 1
1 k 1

k
2
k
a. E  X    x
x 1
elde edilir.
 
k
b. E X 2   x 2
x 1
1 k k  1k  2

k
12
olduğundan,
 
V  X   E X 2  E  X 

k  1k  1
12
k 1

12

2

2
k k  12k  1
olduğu hatırlanarak,
12
bulunur.
4.1.2 Bernoulli Dağılımı
Bir deney bir olayın gerçekleşip gerçekleşmemesi yönünden incelediğinde ortaya iki sonuçlu
bir deney çıkar ve bu deneye ait örneklem uzayı S = { A, A } olacaktır. Örneğin, bir üretimin
kusurlu ve kusursuz diye belirlenmesi, piyasaya çıkan yeni bir malın beğenilip beğenilmemesi
gibi iki sonuçlu olaylardır.
Bir bernoulli deneyi, çıktısı iki ayrık olay olarak tanımlanabilen bir rassal deneydir. X şans
değişkeni 0 ve 1 değerlerini alır.
x (A) = 1 ve x (A ) = 0
ya da
P( x=1 ) = p ve P( x=0 ) = q
Tanım: Bernoulli rasgele değişkeni; bir X rasgele değişkeni için yalnız iki sonuç varsa X’e
Bernoulli rasgele değişkeni denir.
Bir denemede elde edilecek iki sonuç için genellikle 0 ve 1 değerleri karşılık getirilir
(kodlanır).
1 değeri → Belli bir değerin başarılı olmasına
0 değeri → Belli bir değerin başarısızlığına karşılıktır.
Tanım: Bernoulli rasgele değişkeni; bir X rasgele değişkeni için yalnız iki sonuç varsa X ’ e
Bernoulli rasgele değişkeni denir. Bernoulli olasılık kütle fonksiyonu,
f x; p   p x 1  p 
1 x
x  0,1
olur.
Teorem: Eğer X bir bernoulli dağılımına sahip ise,
a. E ( X )  p
b. V ( X )  p(1  p)
c. M X t   e t p  1  p 
İspat:
1
a. E  X    xp x (1  p)1 x  p
x 0
b. E  X 2    x 2 p x (1  p)1 x  p
1
x 0
V  X   p  p 2  p(1  p)
c. E  etX    etx p x (1  p)1 x  et p  (1  p)
1
x 0
bulunur.
4.1.3 Binom Dağılımı
Binom dağılımı tek bir Bernoulli deneyinden ortaya çıkar. İadeli örnekleme ile birbirinden
bağımsız n adet Bernoulli deneyi uygulanarak, bir Bernoulli prosesi tanımlansın. Eğer
deneyler özdeş ise başarı olasılığı p deneyden deneye değişmez. Sonuç olarak binom olasılık
dağılımı bir Bernoulli prosesinden ortaya çıkar.
Tanım: Binom rasgele değişkeni; Birbirinden bağımsız n Bernoulli denemesinden başarılı
olanların toplam sayısı X rasgele değişkeni olsun. Bir tek deneme için başarılı olma olasılığı
p , başarısız olma olasılığı (1  p) ise aşağıdaki koşulları sağlayan X ’ e binom rasgele
değişkeni denir ve şu özellikleri taşır:
— Deney n özdeş denemeden oluşmaktadır. (Deneme sayısı değişmemelidir.)
— Her deneme için yalnız iki sonuç vardır. İstenen olay veya bunun tümleyeni. Başarı ( S ),
Başarısızlık ( F ).
— Bir tek deneme için başarı olasılığı p olan her deneme için aynıdır. Başarısızlık olasılığı
q 1  p dir.
— Denemeler birbirinden bağımsızdır.
Teorem: (Binom Dağılımı) Birbirinden bağımsız n Bernoulli denemesi için X , her bir
denemede başarı olasılığı p , başarısızlık olasılığı (1  p) olan binom rasgele değişkeni ise,
X ’ in olasılık fonksiyonu;
n
n x
f  x; n, p     p x 1  p 
 x
x  0,1,2,...., n
olur.
İspat: n bağımsız denemede başarı sayısı x , 0,1,2,....,n olabilir. Aşağıdaki diziyi
düşünelim:
SS ....S
FF ....F
x
n x
Burada S başarıyı, F başarısızlığı gösterir. Çarpım teoreminden yukarıdaki dizinin olasılığı,
yani ilk x denemenin başarılı, geri kalan (n  x) denemenin başarısız olması olasılığı
p x 1  p n  x ile hesaplanır. Denemeler birbirinden bağımsız olduğundan, diğer bir x
“başarı” ve (n  x) “başarısızlık” dizisinin olasılığı da p x q n  x dir. Bir grupta x , diğerinde
n
(n  x) sonuç bulunan n sonucun farklı dizilerinin sayısı   dir. Bir defada bir olay elde
 x
edileceğinden bu olaylar ayrıktırlar. Bu nedenle toplama kuralı nedeniyle X rasgele
değişkeninin olasılık fonksiyonu; ( n denemedeki başarı sayısı)
 n
f ( x)   . p x .q n  x x  0,1,2,3,..., n
 x
dir. Bu f ( x) fonksiyonuna binom dağılımı denir. 0,1,2,3…,n kez başarma olasılıkları (p+q)n
in binom açılımındaki ardışık terimlere karşılık gelir. Olasılıklar toplamı;
n
n
n
x 0
x 0
 
 f ( x)    x . p
x
.q n x  ( p  q) n  1 dir.
Binom olasılık fonksiyonu için,
f x; n, p   f n  x; n, 1  p 
eşitliği geçerlidir. Eğer n pozitif tamsayı olmak üzere,
n  x n x
a b
x 0  x 
a  b   
n
olduğundan a  p ve b 1  p alınarak,
 p  (1  p)
n
n
 1   f ( x)
x 0
n
n
n x
    p x 1  p 
x 0  x 
bulunur. Ardışık binom olasılıklarının hesaplanması ise,
f x  1; n, p  
( n  x) p
f x; n, p  x  0,1,..., n  1
( x  1)(1  p)
Teorem: Eğer X bir binom dağılımına sahip ise,
a. E ( X )  np
b. V ( X )  np(1  p)


c. M X t   e t p  1  p 
n
İspat:
n
n
a. E  X    x   p x (1  p) n  x
x 0  x 
n
(n  1)!
n x
p x 1 1  p 
 np 
x  0 ( x  1)!( n  x)!
 np[ p  (1  p)]n 1
 np
 n  1
(n  1)!
n 1

   p  (1  p)  1
( x  1)!(n  x)!  x  1
NOT: Burada
n  n  1 n  2 !
n
b. E  x 2    x  x  1
x 0
x  x  1 x  2 ! n  x !
p 2 p x  2 1  p 
n x
n
  xf  x 
x 0
 n  2 ! p x  2 1  p n  x  np


x  2  x  2 ! n  x !
n
 n  n  1 p 2 
 np 2  n  1  np
V  x   n 2 p 2  np 2  np  n 2 p 2
 np 1  p 
c. M X (t )  E  etX 
n
n
  etx   p x (1  p ) n  x
x0
 x
n
n
  etx   (et p) x (1  p ) n  x
x0
 x
Burada binom teoremine göre;
a  b 
n
n

n
  x a xb n  x
x 0
olduğundan a  e t p ve b  (1  p) alınarak


M X t   e t p  1  p 
n
bulunur.
Binom dağılımında p ve (1  p) değeri birbirine yaklaştıkça simetri artar, p  (1  p)  1 / 2
ise simetriktir.
NOT: Binom dağılımından olasılıkların elde edilmesinde n değeri büyüdükçe hesaplama
zorlukları ortaya çıkar:
Simetrik bir binom dağılımı ( p değerinin çok büyük ya da çok küçük olmadığı durumlar)
n   için normal dağılıma yakınsar.
Asimetrik bir binom dağılımı ( p değerinin çok büyük ya da küçük olduğu durumlar) n  
için Poisson dağılıma yakınsar.
Binom dağılımının yakınsaması ileriki konularda daha detaylı olarak ele alınacaktır.
4.1.4 Geometrik Dağılımı
Binom olasılık dağılımında olduğu gibi bir Bernoulli sürecinden türetilen rassal deneylerin
çıktısı ile ilgilenilsin. Bu süreçte çıktı ayrık iki olayı (başarı ve başarısızlık) tanımlar ve başarı
olasılığı p deneyden deneye değişmez. Şans değişkeni x ilk başarı elde edilinceye kadar
gerçekleştirilen deney sayı olarak tanımlandığında, şans değişkeninin dağılımı geometrik
olasılık dağılımına uygundur. İlk başarının elde edilmesi için gerekli denemelerin sayısı X,
geometrik rasgele değişkenidir.
Teorem: X , bir tek denemede başarısızlık olasılığı q  1  p ve başarı olasılığı p olan
geometrik rasgele değişken ise, X in olasılık fonksiyonu;
f ( x)  P( X  x)  q x 1 p x  1,2,3,...
İspat: İlk başarının elde edilmesi için gereken denemelerin sayısı X ,1,2,3,.... değerlerinden
biri olabilir. x  1 ilk başarıdan önceki başarısızlıkların sayısı olsun. Bu durum aşağıdaki gibi
gösterilebilir.
FF ....F S
x 1
O halde x  1 başarısızlığı, başarının takip ettiği dizinin olasılığı q x 1 p dir. Bu nedenle X
rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu;
f ( x)  P( X  x)  q x 1 p x  1,2,3,...
1,2,... denemede ilk başarının elde edilmesi olasılıkları aşağıdaki sonsuz serideki ardışık
terimlere karşılık gelir.
f ( x)  p  qp  q 2 p  ...
Olasılıklar toplamı;

 1 

f
x
P( X  x)  p(1  q  q 2  ...)  p 
(
)


 1
x 1
x 1
1 q 

dir. Geometrik dağılımın bir olasılık kütle fonksiyonu olduğunun ispatı

 P X  x   1
x 1
gerçekte geometrik serinin özelliklerine dayanmaktadır. Herhangi bir a  1 için,

a
x 1
x 1

1
1 a
olduğundan,


x 1
x 1
 P X  x    P1  P 

 P  1  P 
x 1
x 1
x 1
 P.
1
1  1  P 
1
bulunur.
Geometrik dağılım daima sağa çarpık bir dağılımdır.
Teorem: Eğer X bir geometrik dağılıma sahip ise,
1
p
a. E ( X ) 
(1  p)
b. V ( X ) 
p2
c. M X t   pet

1
1  e t (1  p)

İspat: a. Geometrik dağılımın beklenen değeri,

E ( x)   xp (1  p) x 1
x 1

 p  x(1  p) x 1
x 1
d


(1  p) x 


d (1  p)  x 1

d
p
(1  p)  (1  p) 2  ...
d (1  p)
d
p
(1  p) 1  (1  p)  (1  p 2 )  ...
d (1  p)
p



p
Buradan



d
1
(1  p )

d (1  p) 
1  (1  p) 


1
 1  x  x 2  ... eşitliği kullanılmıştır.
1 x


1
E ( x)  p 
 (1  p)1  (1  p)2 
1  (1  p)

 1 (1  p) 

 p 
 p
p 2 
1

p
b. Geometrik dağılımın varyansı,



E ( x 2 )   x( x  1) p (1  p ) x 1   xp (1  p ) x 1
x 1
x 1

 p (1  p ) x( x  1)(1  p ) x  2  E ( x)
x 1
 p (1  p )
d2
(1  p)1  (1  p)  ...   E ( x)
d (1  p ) 2
 p (1  p )
d2
d (1  p ) 2
 p (1  p )
 1
d
1
1

 (1  p ).


2 
d (1  p ) 1  (1  p )
1  (1  p)  p

(1  p )
1  (1  p )
  E ( x)
 1
1
2  1
 p (1  p ) 2  2  (1  p ). 3  
p
p  p
p
 p  p  2  2p 1
 p (1  p )

p3
 p

2(1  p ) 1


p
p2
Buradan varyans,
V ( x) 

2(1  p)
p2
(1  p)
1 1
  
p  p
2
p2
bulunur.
c. Geometrik dağılımın moment türeten fonksiyonu,
M x (t )  E[e xt ]



x 1
e tx p(1  p )
x 1
p

(1  p )

p
1 p


x
e tx (1  p )
x 1

 e t (1  p)
x
x 1



p
e t (1  p) 1  e t (1  p )  ...
1 p
1
 pet
1  e t (1  p )



bulunur.
Geometrik Dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonu,
x
F  x   Prx  X    p1  p 
x 1
X 1

 p 1  1  p   ...  1  p 
x 1

1  1  p  
 p.

 1  1  p  
x
 1  1  p 
x
bulunur.
Geometrik dağılım ile binom dağılımı arasındaki ilişki,
f ( x, p) 
1
f ( x  1; n  x; p)
x
olarak tanımlanır.
Geometrik dağılım hafızasızlık özelliğine sahiptir.
Teorem (Hafızasızlık): s  t olan tamsayılar için,
P X  s X  t   P X  s  t 
İspat: Herhangi n tamsayısı için,
P X  n   P
( n denemede başarı olmama olasılığı)
 1  P 
n
Bu durumda,
P( X  s ve X  t)
P( X  t )
P X  s 

P( X  t )
P X  s X  t  
 1  P 
s t
 P X  s  t 
Hafızasızlık özelliği; t adet gözlenmiş başarısızlığa s  t adet başarısızlığın eklenmesinin
olasılığı, serinin başlangıcında s  t adet başarısızlık oluşma olasılığı ile aynıdır. Diğer bir
deyişle, başarısızlığın bir dizisinin ortaya çıkma olasılığı dizinin pozisyonuna değil
uzunluğuna bağımlıdır.
4.1.5 Negatif Binom (ya da Pascal) Dağılımı
Geometrik dağılımın genel şeklidir. Bir deney birbirinden bağımsız Bernoulli denemelerinden
oluşmaktadır. Deneye K başarı elde edilinceye kadar devam edersek K başarının elde edilmesi
için gerekli denemelerin sayısı negatif binom rasgele değişkenidir.
Negatif binom dağılımında, denemelerin sayısı bir rasgele değişkendir ve başarıların sayısı
sabittir; binom dağılımda başarının sayısı rasgele değişkendir ve denemelerin sayısı sabittir.
Tanım: Negatif binom rasgele değişkeni; Bağımsız Bernoulli denemelerinde her bir
denemede başarı olasılığı p olmak üzere K  1 başarının elde edilmesi için gereken
denemelerin sayısı X rasgele değişkeni olsun. Bu takdirde X ’ e negatif binom rasgele
değişkeni denir.
Teorem: Bir tek denemedeki başarısızlık olasılığı q 1  p ve başarı olasılığı p olmak
üzere, X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdadır:
 x 1  K
xK
f ( x)  
 p (1  p)
 K  1
x  K , K  1,...
Negatif Binom Dağılımı
İspat: K  1 başarının gerçekleşmesi için gereken denemelerin sayısı X olsun. X rasgele
değişkeni K , K  1,... değerlerini alabilir. K  1 başarı veren denemelerin sayısını x  1 alalım
ve x inci deneme K ’ ıncı başarıyı versin. x  1 denemedeki K  1 başarının olasılığı ve x ’
inci Denemede de başarı elde etme olasılığı aşağıdaki gibi bulunur.
K ve x için sabit değerler seçip A ve B olaylarını düşünelim:
A  İlk x  1 deneme K  1 başarı içeriyor
B   x ’ inci denemede başarı var
Denemeler birbirinden bağımsız kabul edildiğinden A ve B olayları da birbirinden
bağımsızdır. P( B)  p ´dir. O halde,
f ( x)  P( X  x)  P( A  B)  P( A).P( B)
yazılır. Görüldüğü gibi ( x  1)  K  1 ya da eşdeğer olarak x  K için P( A)  0 ’ dır. x  K
ise binom dağılımdaki düşünceler gereğince,
 x 1  K
xK
f ( x)  
 p (1  p)
 K  1
x  K , K  1,..
bulunur. Sonuç olarak f (x) olasılık fonksiyonu
 x 1  K
xK
f ( x)  
 p (1  p)
K

1


dır. Bu olasılık fonksiyonuna sahip dağılıma Pascal Dağılımı da denir. K  1 ise negatif
binom dağılımı geometrik dağılıma f ( x)  P( X  x)  q x 1 p ’ ye indirgenir.
Teorem: Eğer X bir negatif binom dağılımına sahip ise,
a. E ( X ) 
k
p
b. V ( X ) 
k 1  p 
p2
c. M x (t )  p k e xt
1
[1  [e (1  p)]]k
t
İspat. a Negatif binom dağılımının beklenen değeri;

E ( x)   x
xk
( x  1)!
p k (1  p) x  k
( x  k )!(k  1)!

 p k (1  p) x  k  x
xk
( x  1)!
(1  p) x
( x  k )!(k  1)!
k (k  1)(k  2)


(1  p) k  2  ....
 p k (1  p)  k k (1  p) k  k (k  1)(1  p) k 1 
2!



(k  1)(k  2)


(1  p) 2  .... 
 p k (1  p)  k k (1  p) k 1  (k  1)(1  p) 
2!



Burada köşeli parantez içindeki ifade,
f (1  p)  1  (1  p)
 k 1
fonksiyonunun
MacLauren açılımına eşittir.
f (1  p)  1  (1  p)
 k 1
 f ' (0)  1
f (1  p)  (k  1)1  (1  p)
k 2
(1)  f ' (0)  (k  1)
f (1  p)  (k  1)(k  2)1  (1  p)
 k 3
(1)  f ' (0)  (k  1)(k  2)
buradan,
f (1  p)  1  (1  p)
 k 1
 1
(k  1)
(k  1)(k  2)
(1  p) 
(1  p) 2  .....
1!
2!
elde edilir. Sonuç olarak,
E ( x)  p k k 1  (1  p)k 1

k
p
bulunur.
b. Negatif Binom Dağılımının Varyansı

E ( x 2 )   x 2 f ( x)
xk


xk
xk
  x( x  1) f ( x)   xf ( x)

  x( x  1)
xk
( x  1)!
p k (1  p ) x  k  E ( x)
( x  k )!(k  1)

 p k (1  p)  k  x( x  1)
xk
( x  1)!
(1  p) x  E ( x)
( x  k )!(k  1)!
E (x) için izlenen yol kullanılarak,
E(x 2 ) 

k (k  1)  2k (1  p) k

p
p2
k 2  kp  k
p2
olarak bulunur.
V ( x) 

k 2  kp  k
p2
k (1  p)

k2
p2
p2
bulunur.
c. Negatif binom dağılımının moment türeten fonksiyonu,
M x (t )  E[e xt ]

  e xt
xk
( x  1)!
p k (1  p) x  k
( x  k )!(k  1)!

 p k (1  p)  k  e tx
xk
( x  1)!
(1  p) x
( x  k )!(k  1)
k
k (k  1)


(1  p) k  2  ...
 p k (1  p)  k e xt (1  p) k  e t ( k 1) (1  p) k 1  e t ( k  2 )
1!
2!


k (k  1)


 p k (1  p)  k e xt (1  p) k 1  e t (1  p)k  e 2t (1  p) 2
 ...
2!


burada köşeli parantezin içi [1  [e t (1  p)]] k fonksiyonunun MacLauren açılımı olduğundan,
M x (t )  p k e xt
1
[1  [e (1  p)]]k
t
olarak bulunur.
Bazı durumlarda negatif binom dağılımı, k ’ ıncı başarıdan önce ortaya çıkan başarısızlık
sayısına göre de tanımlanabilir. Eğer Y şans değişkeni k ’ ıncı başarıdan önce ortaya çıkan
başarısızlık sayısı ise,
 k  y  1 k
 p (1  p) y
P(Y  y )  
y

y  0,1,....
olasılık kütle fonksiyonu, daha önce verilen ve x şans değişkeninin k ’ ıncı başarı elde
edilinceye kadar gerçekleştirilen deney sayısını tanımladığı olasılık kütle fonksiyonuna
denktir. Burada Y  X  k olarak tanılanabilir. Negatif binom dağılımı adını
 k 
 k  y  1
(r )(r  1)(r  2)...(r  y  1)
  (1) y    (1) y

y( y  1)( y  2)...(2)(1)
y 

y
ilişkisinden almaktadır. Olasılık kütle fonksiyonu,
 k 
P(Y  y )  (1) y   p k (1  p) y
 y 
 k 
   p k  (1  p) y
 y 


olarak tanımlanabilir. Dağılışın beklenen değer ve varyansı,

 k  y  1 k
 p (1  p ) y
E (Y )   y
y 0  y


(k  y  1)! k
p (1  p) y

y
k


(
1
)!
(
1
)!
y 1

k  (k  y  1)! k
p (1  p) y

k y 1 ( y  1)!(k  1)!
 k  y  1 k
 p (1  p ) y
  k 
y 1  y  1


Burada z=y-1 dönüşümü yapılarak:
=
bulunur.
V(Y)=
olarak tanımlanmıştır. Negatif binom dağılımının varyansı ortalamasının
karesel bir fonksiyonudur.E(Y)=µ=k(1-p)/p alınarak V(Y)=µ+(1/k)
bulunur.
Negatif binom dağılımı limit durumunda Poisson dağılımına yakınsar. Eğer
ise
olduğundan
ve
Sonuçları elde edilir ki bunlar Poisson dağılımının ortalaması ve varyansıdır.
Binom Dağılımı ve Negatif Binom Dağılımı Arasındaki Fark
X, n ve p parametreleri ile binom dağılımına sahip olsun. Yani X, n Bernoulli denemesindeki
başarı sayısıdır. Y, k ve p parametreleri negatif binom dağılımına sahip olsun. Yani Y, k
başarı elde etmek için gereken Bernoulli denemelerinin sayısıdır.
a) P(Y ≤ n )=P(X ≥ k)
İlk n denemede k ya da daha çok başarı varsa, ilk K başarıyı elde etmek için n ya da daha az
deneme gerekir.
b) P(Y > n )=P(X < k)
İlk n denemede K dan az başarı varsa, K başarıyı elde etmek için n den çok deneme gerekir.
4.1.6 Hipergeometrik Dağılım
İçinde iki çeşit nesne bulunan sonlu sayıda öğeden oluşan bir kitle düşünelim. Tekrar yerine
koymaksızın, ardışık olarak sabit büyüklükte bir örneklem seçelim. Örneklemdeki iki çeşit
öğeden herhangi birinin sayısını bilmek istiyoruz. Hipergeometrik dağılım, sonlu elemanlı
anakütle ile ilgilenildiğinde oldukça uygun bir modeldir. Anakütledeki eleman sayısının N
olduğu ve alınan örnek hacminin n olduğu varsayılsın. Anakütlede ilgilenilen özelliğe sahip
eleman sayısı ise M olsun. Alınan n hacimli örnekte x adet başarının ortaya çıkma olasılığı,
hipergeometrik dağılım gösterir
Tanım: Sonlu sayıda N öğeden oluşan bir kitle içinde belli bir A tipindeki öğelerin sayısı a
olsun. Tekrar yerine koymaksızın rasgele çekilen ve n birimden oluşan bir örneklemdeki A
tipindeki öğelerin sayısı X olsun. X rasgele hipergeometrik değişkendir. ve hipergeometrik
olasılık kütle fonksiyonu;
 M  N  M 
 

X  n  x 

f ( x; N , M , n) 
N
 
n
x  0,1,...., n
Teorem: Eğer X bir hipergeometrik dağılıma sahip ise,
a. E ( X ) 
nM
N
b. V (X ) 
c. M X t  
İspat: Hipergeometrik dağılımın beklenen değer ve varyansı;
 M  N  M 
 M  N  M 


 







n
n 
x  n  x 
x  n  x 


E ( x)   x

N
N
x 0
x 1
 
 
n
n
( x  0 daki değer sıfırdır)
Bu ifadeyi değerlendirmek için aşağıdaki eşitlikler kullanılır.
M 
 M  1

x   M 
 x
 x 1 
 N  N  N  1
   

 n  n  n 1 
Bu durumda
 M  1 N  M 



M
n


x
n
x
1


E x    

N
1

N
x 1


n  n  1 
 M  1 N  M 



x  1  n  x 
nM


  N  1
N x 1


 n 1 
n
Eşitliğin en sağındaki ifade parametreleri N  1 , M  1 ve n  1 olan bir başka hipergeometrik
dağılımın olasılıklarının toplamıdır. Bunu görebilmek için y  x  1 tanımlanarak, ve
n

f ( x)  1
( Olasılık Fonksiyonu )
n
x 0
x 0
 a  N  a 
N
 

  x  n  x    n 

 M  1 N  M 
 M  1 N  M 


 n 1 


 x  1  n  x  
 y  n  y  1


 N  1
 N  1
x 1
y 0




 n 1 
 n 1 
n
n 1
  PY  y; N  1, M  1, n  1
y 0
1
Sonuç olarak,
E x  
nM
N
bulunur.
b. Dağılımın varyansı

olduğu hatırlanarak
n
E( X 2 )  
 a  N  a 


 x  n  x 
N
 
n 
 x.( x  1)  x 
x 0
 a  N  a 
 a  N  a 
x( x  1)  
 n x  

 x  n  x  
 x  n  x 


N
N
x 0
x 0
 
 
n 
n 
n

a(a  1)n(n  1) na
na


(a  1)(n  1)  ( N  1)
N ( N  1)
N N ( N  1)
 2  E ( X 2 )  [ E ( X )] 2

na(na  a  n  N ) n 2 a 2 N  n a 
a


n 1  
2
N
N ( N  1)
N 1 N 
N
elde edilir.
NOT: p  a / N q  1  p  ( N  a) / N olduğundan;
  E( X )  na / N  np
a
 N n a 
 N n
n 1    npq

N
 N 1  N 
 N 1 
 2 
şeklinde de ifade etmek mümkündür.
Hipergeometrik dağılımın moment türeten fonksiyonu yoktur.
Hipergeometrik dağılımın binom dağılımına yaklaşımı: Anakütle eleman sayısı N çok büyük
ise n ve p sabit kaldıkça hipergeometrik dağılım binom dağılımına yaklaşır.
N  M !
M!
x!M  x ! n  x !N  M  n  x !
f x; N , M , n  
N!
n! N  n !

N  n !
M M  1....M  x  1M  x !
n!
M  x !
N N  1...N  n  1N  n !
x!n  x !
N  M N  M  1...N  M  n  x  1N  M  n  x !
N  M  n  x !

M ...M  x  1 N  M ...N  M  n  x 
n!
x!n  x ! N ...N  n  1
Burada, N   için,
N...N  n  1  N n
N  M ...N  M  n  x  N  M n x
M ...M  x  1  M x
Bu durumda,
M x N  M 
f x; N , M , n  
Nn
n x
x
n!
x!n  x !
M  N M 
  

N  N 
Burada p 
n x
n!
x!n  x !
M
N M
ve 1  p  
alınarak
N
N
f x; n, p  
n!
n x
p x 1  p 
x!n  x !
Buda binom dağılışının olasılık kütle fonksiyonudur.
4.1.6 Poisson Dağılımı ve Süreci
Belirli sürekli bir ölçekte rasgele olarak ortaya çıkan olay sayısı ile ilgileniliyor olsun. Bu tip
şans değişkenleri poisson dağılımına sahiptir. Bu şans değişkenlerini türeten süreç ise poisson
sürecidir.
Poisson Sürecinin Varsayımları:
Poisson dağılımı, poisson postulate adı verilen temel varsayımlar setinden ele edilebilir. Bu
varsayımlar incelenen sürecin fiziksel özellikleri ile ilgilidir.
Teorem: Her bir t  0 değeri için, N t aşağıdaki özelliklere sahip tam sayı değerli bir şans
değişkeni olsun; (Burada N t , 0 ile t aralığında otaya çıkan rasgele olay sayısı olarak
düşünülebilir).
a. N 0  0 (Başlangıç sınırındaki olay sayısı sıfırdır)
b. s  t olmak üzere N s ve N t  N s bağımsızdır. (Ayrık periyotlardaki olay sayıları
bağımsızdır)
c. N s ve N t  s  N t özdeş dağılmıştır. (Ortaya çıkan olay sayısı sadece periyot
uzunluğuna bağlıdır)
d. lim
t 0
P( N t  1)
  (Ortaya çıkış olasılığı eğer periyot küçük ise periyot uzunluğu ile
t
doğru orantılıdır)
e. lim
t 0
P( N t  1)
 0 (Olaylar eşanlı olarak oluşmazlar)
t
Eğer a-e varsayımları sağlanıyor ise herhangi bir n tamsayısı için,
P ( N t  n)  e
 t
(t ) n
n!
olup N t ~ Poisson (t ) ’ dir.
Poisson olasılık yoğunluk fonksiyonunun elde edilmesi:
Olayların h uzunluğundaki bir periyotta yaklaşık olarak homojen bir şekilde ortaya çıktığı
varsayılsın. Belirlenen periyot için aşağıdaki durumlarla karşılaşılabilir:
— Sadece bir olay ortaya çıkar,
— Hiç olay oluşmayabilir,
— Birden fazla olay ortaya çıkabilir.
h periyodundaki olasılıklar P( x, h) ile belirtilsin, o(h) fonksiyonu:
 oh 
lim  
0
h 0
 h 
h 2  oh
oh  oh  oh
özelliklerini sağlayan bir fonksiyon olsun.
Varsayım d için; w  h olan küçük bir aralık için bir olayın ortaya çıkma olasılığı P(1, h) ,
aralığın uzunluğu ile h şeklinde doğru orantılıdır. Burada  sabit pozitif oransal bir çarpımı
ifade eder. Başka bir ifade ile
P1, h  h  oh
Varsayım e için; w  h olan küçük bir aralık için iki veya daha fazla olayın ortaya çıkma
olasılığı,

 Px, h  oh
x 2
Varsayım b için; Kesişmeyen aralıklardaki olay sayısı birbirinden bağımsızdır.
Varsayım d ve e’ den en az bir olayın h aralığında oluşmasının olasılığı,
Px  1, h  h  oh  oh  h  oh
bunun sonucu olarak, h aralığında hiç olay oluşmamasının olasılığı,
P0, h  1  h  oh
olup, Varsayım b ile, periyodu h  w olan bir aralıkta hiç olay oluşmamasının olasılığı
P(0, h  w) ,
w aralığında hiç olay olmama olasılığı P(0, w) ile
h aralığında hiç olay olmama olasılığı P(0, h) ’nın çarpımına eşittir:
P0, h  w  P0, w1  h  oh
oh 
P0, w  h   P0, w
 P0, w  P0, w
h
h
h  0 için limit alınarak,
dP0, w
 P0, w
dw
diferansiyel denklemi elde edilir. Bu diferansiyel denklemin çözümü aşağıda verilmiştir:
dP0, w
 dw
P0, w
dP0, w
 P0, w    dw
ln P0, w  w  c
P0, w  e w c
bulunur. Eğer w  0 ise varsayım a ile, P(0,0)  1 olur. Bu koşul altında c  1 elde edilir.
Sonuç olarak:
P0, w  e w .
Periyodu w  h olan bir aralıkta x adet olay olmasının olasılığı, P( x, w  h) :
w aralığında x olay olmasının olasılığı P( x, w) ile
h aralığında hiç olay olmamasının olasılığı [1  h  o(h)] çarpımı artı,
w aralığında x  1 olay olmasının olasılığı P( x  1, w) ile
h aralığında bir olay olmasının olasılığı h  oh çarpımı artı,
w aralığında x  2 olay olmasının olasılığı P( x  2, w) ile
h aralığında iki olay olmasının olasılığı o(h) çarpımından oluşur;
Px, w  h   Px, w1  h  oh   Px  1, wh  oh   Px  2, woh 
oh 
Px, w  h   Px, w
Px  2, w
 Px, w  Px  1, w 
h
h
ve h  0 için limit alınarak,
dPx, w
 Px, w  Px  1, w
dw
(1)
türev eşitliği bulunur. Bu diferansiyel denkleminin çözümü aşağıda verilmiştir:
x  1 için;
dP 1, w 
dw
dP 1, w 
dw
  P 1, w    P  0, w 
  P 1, w    e   w
Bu ifade birinci mertebeden doğrusal bir diferansiyel denklemdir. Bu diferansiyel denklemin
integral çarpanı (bkz. Appendiks),
T w  e 
dw
 e w
P1, we w  e w  e  w dw
P1, we w  w  c
P1, w  e w w  c 
bulunur. w  0 için P(1,0)  0 olduğundan, c  0 bulunur. Sonuç olarak:
P1, w  we w
elde edilir. Türev eşitliğinde yerine konarak P(2, w) ve sırasıyla diğer terimler bulunur ve
P  x, w 
  w

x
e  w
x  1,2,... ,
x
Poisson olasılık fonksiyonu elde edilir.
Poisson süreci ile ilişkili dağılımlar (gama, üstel ve bazı sürekli dağılışlar) ve olasılık
yoğunluk fonksiyonlarının elde edilişleri ilgili dağılışların ele alındığı kısımlarda
açıklanmıştır.
e  . x
Tanım: f ( x)  P( X  x) 
x!
x  0,1,2,...   0
Bu fonksiyonun olasılık kütle fonksiyonu olduğu e y fonksiyonunun Taylor serisine açılımı ile

yi
e 
i  0 i!
y
olduğundan,


x
 f  X  x;    e  x!

x 0
x 0

 e e
1
Teorem: Eğer X bir poisson dağılımına sahip ise,
a. E (X )  
b. V (X )  
c. M x  e  e 1
t


x 0
x 0
İspat: a.   E ( X )   x. f ( x) 


x.e    x
e   . x
 x 1

 e   
x!
x 1 ( x  1)!
x 1 ( x  1)!
Burada y  x  1 dönüşümü iledenklemin sağ yanındaki toplam e ’ ya eşit olur.
  E( X )  .e  .e   
elde edilir.
b.


x 0
x 0
E ( X 2 )   x 2 f ( x ) 
x 2 e  x
x!
Bu denklemde x 2  x( x  1)  x özdeşliğini kullanarak,
( x( x  1)  x)e    x
x!
x0

E( X 2 )  
x( x  1)e    x  xe    x

x!
x!
x0
x0



e  x
e  x

x  2 ( x  2)!
x 1 ( x  1)!



  2e  
x2
 x2
( x  2)!
 E( X )
Burada y  x  2 dönüşümü ile denklemin sağ yanındaki toplam e  ya eşit olur.
E ( X 2 )   2 .e  .e  
 2  
Böylece,
V ( X )  E ( X 2 )  [ E ( X )]2
 2    2

elde edilir.
c. Poisson Dağılımının Moment Çıkaran Fonksiyonu
M X (t )  E (etX )

  etx
x 0
e   x
x!
(et  ) x
x!
x 0

 e  
 e   e e
t
 e ( e 1)
t
olur.
Poisson dağılmış
bir tesadüfi değişkenle ilgili olasılıkları hesaplamak için verilecek λ
değerlerine karşılık gelen e-λ ve λx sayısal değerlerine ihtiyaç vardır. İşlemleri kolaylaştırmak
için verilen her λ ve x’lere göre poisson dağılımlarına karşı gelen olasılıkları veren tablolar
hazırlanmıştır.
Poisson dağılımı gerçekleşme olasılığı çok küçük olan olayların tekrarlı denemeleri için
uygun bir dağılımdır. Öte yandan Poisson dağılımı p 0.01 n20 olduğunda binom dağılımı
için iyi bir yaklaşımdır.
4.2 SÜREKLİ PARAMETRİK OLASILIK DAĞILIMLARI
4.2.1 Tekdüze Dağılım
Sürekli şans değişkenleri için kullanılan en basit dağılımlardan biri tekdüze dağılımdır.
Matematiksel hesaplamalara uygunluğuyla özellikle teorik istatistik için oldukça kullanışlı bir
dağılımdır. Bu dağılımın diğer bir önemi istatistik kuramının çeşitli yönlerini açıklamaya,
basitliği nedeniyle, çok yatkın olmasıdır.
Tanım: Tek düzen dağılımın olasılık yoğunluğu şu şekildedir:
 1

f ( x; a, b)   b  a

0
a xb
d .d .
Eğer bir X şans değişkeni yukarıdaki koşullara uyuyorsa sürekli tekdüze şans değişkeni adını
alır. Burada a ile b reel sabitlerdir ve    a  b   şeklindedirler.
Tek düzen dağılımda a  b olduğuna göre b  a  0 ’ dır. O halde f (x) bir olasılık yoğunluk
fonksiyonu olma koşulunu sağlar.
b  a  0 olduğu için f ( x)  0 ’dır.
b
 f ( x)dx   özelliği de geçerlidir.
a
Şekil:
Tekdüzen Dağılış
Teorem: Eğer X , [a, b] üzerinde tekdüzen dağılış gösteriyorsa;
a. E ( X ) 
ab
2
(b  a) 2
b. V ( X ) 
12
e bt  e at
c. M (t ) 
(b  a)t
şeklindedir.
b
İspat: E ( X )   x
a
1
dx
ba
b2  a 2
2(b  a )
ab

2

V ( X )  E ( X 2 )  [ E ( X )]2
b
  x2
a
1
ab
dx  

ba
 2 
2
b 3  a 3 ( a  b) 2


3(b  a)
4

(b  a) 2
12
M (t )  E (etX )
b
  etx
a

1
dx
ba
ebt  e at
(b  a )t
Tekdüzen dağılış adını [a, b] aralığındaki tekdüzen yoğunluğundan ve grafikteki şeklinden
almaktadır. Bu dağılıma dikdörtgen biçimli dağılım da denmektedir.
Tek düzen şans değişkeninin birikimli dağılış fonksiyonu şu şekildedir:
F ( x) 
( x  a)
(b  a)
İspat:
b
F ( x) 

xa
 b  a dt  b  a
t a
Bu bazı rassal olgularda araştırıcı için kullanışlı olmaktadır. Örneğin; rassal bir X
değişkeninin değerleri sadece [a, b] gibi bir sınırlı alan içinde dağılıyorsa; [a, b] aralığının
eşit mesafeli iki alt aralığının X şans değişkenini içerme olasılıkları eşitse o zaman X , [a, b]
aralığında tekdüze dağılış göstermektedir. Ya da [0,1] aralığında herhangi bir sayı ele
alındığında, aslında bu aralıkta tekdüzen dağılış gösteren bir şans değişkeninden
bahsedilmektedir.
Tekdüzen dağılımın belirli kapalı bir [a, b] aralığında dağıldığını tanımlamıştık. Ayrıca (a, b)
açık aralığı ya da (a, b] ve [a, b) yayı açık yarı kapalı aralıklarında da aynı tanımı yapmak
mümkündür. Burada bilinmesi gereken her dört olasılık yoğunluğunun da aynı birikimli
dağılış fonksiyonuna sahip olduğudur.
4.2.2 Normal Dağılış
Birçok bakımdan istatistik kuramının temel taşı sayılan normal dağılış, ölçme hatalarının
şaşılacak derecede düzenlilik göstermesini gözlemleyen bilim adamlarınca bulunmuştur.
Gözlenen dağılımların, normal hata eğrileri adı verilen ve şans kurallarına bağlanan sürekli
eğrilere çok yakın olduğu bulunmuştur. Bu tür normal eğrilerin matematik özellikleri ilk
olarak Abraham de Moivre (1667–1745), Pierre Laplace (1749–1827) ve Karl Gauss (1777–
1855) tarafından incelenmiştir.
İlk olarak;

I  e
1
 y2
2
dy

İntegralinin mevcut olup olmadığı ele alınsın. Bu integralin integrandı pozitif sürekli bir
fonksiyon olduğundan ve integrali alınabilir bir fonksiyonla sınırlı olduğu,
0e
1
 y2
2
için mevcuttur.
e
 y 1
  y  

e
 y 1

0
dy   e

dy   e
 y 1

 y 1
dy
0

0
  e y 1 dy   e  y 1 dy

0
k
0
 e. lim  e dy  e. lim  e  y dy
y
t 
k 
t
0
 2e
Standart Normal Dağılımın Olasılık Yoğunluk Fonksiyonunun Elde Edilmesi:
I integrali için I  0 olup, I 2 ise;
 
I 
2
 e

y2 z2
2
dydz
  
Bu integralin çözümü için kutupsal koordinatlara dönüşüm y  rCos ve z  rSin
yapılarak;
2 
I2 
e
1
 r2
2
.rdrd
0 0
bulunur.
Burada jakobian determinantı;
dy
J  dr
dy
d
dz
dr  cos 
dz
 r sin 
d
bulunur. İlk olarak, u 
sin 
r cos 
r
r2
dönüşümünü yaparsak, du  r.dr
2
2 
 e
I 
2
u
du.d
0 0
2
  e 


d
u
0
0
2
 d

0
 2
ve I  2 olduğundan,
1
2

e
1
 y2
2
dy  1

bulunur.
Normal Dağılımın Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu:
x
Eğer yeni bir değişken y 


1
 2 e

tanımlanırsa, dy 
 x   2
2 2
dx  1
tanımlanır.   0 için bu fonksiyon;
f  x 
1
 2
e

 x   2
  x  
2 2
normal dağılımın o.y.f. ‘ sidir.
Normal Dağılımın Moment Türeten Fonksiyonu:


1
M  t    etx .
.e
 2

1

 2

e

tx
e
 x   2
2 2
dx
 x 2  2  x   2  2 2tx 



2 2


dx
1

dx olup integrali;
u  x   dönüşümü ile,

1
e
2 2
e
2
e
2

e
t
tu  u 2 (2 2 )
2
1

t  t 2 2 2
2
1
du
2
çarpılıp bölünürse,
2

e
 ( u 2 tu 2 2 t 2 4 (2 2 )
du

et  et 
2
2 2

2
2
e
 ( u t 2 )2 (2 2 )
du


Burada
e e
2
e

Elde edilen bu ifade et 
M (t ) 
du

1

t ( u   )  u 2 (2 2 )


1
2 2
e (u t
2 2
)
(2 2 )
du bir normal dağılış tanımlamaktadır ve -∞’dan ∞’a bu
integralin değeri 1’dir.
Sonuç olarak;
M x (t )  et  t 
2
2
2
elde edilir.
4.2.3 Gama Dağılışı ve Fonksiyonu
Gama dağılış ailesi ele alınmadan önce,

    y  1e  y dy
0
integrali ile tanımlanan gama fonksiyonu incelenecektir. Eğer   1 ise

1   e  y dy  1
0
Eğer   1 ise,
     y 1e y

0

   1  y  2e y dy
   1    2 
0
Ardışık iterasyon ile;
( )    1!
bulunur. Değerlendirilmesi gereken özel durumlardan biri de   1 2 değeridir.
1  1

   1    1  1 !
2  2

1
  !
2
1 1
   !
2 2

1   12  y
y e dy
2 0
Burada, y  z 2 2 dönüşümü yapılarak,
1 2
 1 1  z 
z2 2
zdz
 !  0   e
2 2  2 
2
1 
  2e  z 2 dz
2 0

1 z2 2
  .
.e
dz
2
0
2
Bu integral standart normal dağılımın yarı alanına eşit olduğundan

1
 ! 
2
2
bulunur. Ayrıca gerekli olan diğer bir bilgi 1 2 ’ dir.
1
1  
    y 2 e  y dy
2 0
Burada y  z 2 2 alındığında,
 1  z
    
2 0  2
2


0



1 2
e  z 2 zdz
2
2e  z 2 dz
2
Burada normal dağılıştan,


e  z 2 dz  2 , olduğu hatırlanarak
2



0
e  z 2 dz  2 2 , ve
2
sonuç olarak,
2
1
   2
 
2
2
bulunur.
Gama Dağılımı
f y 
1
. y  1 .e  y   0
( )
olasılık yoğunluk fonksiyonu tanımlanabilir. Bu dağılış tek parametreli gama dağılımıdır.
Eğer y  x  şeklinde bir şans değişkeni tanımlanırsa, iki parametreli gama dağılımı elde
edilir.
Tanım: Bir X şans değişkeni aşağıdaki olasılık yoğunluğuna uyuyorsa (gama dağılımı)
gama şans değişkeni olarak adlandırılır.
 1
x  1e  x / 

g ( x; a, b)     ( )
0

x0
d .d .
Burada   0,   0 ve ( )  0 şeklindedir. Burada  ölçek,  şekil parametresidir.
Teorem: Gama dağılımının r ’ inci momenti şu şekildedir.
 r (  r )
M (t ) 
( )
İspat: Gama dağılışının moment türeten fonksiyonu şu şekilde bulunmaktadır.

M (t )   e tx
0

1
x  1e  x /  dx

( ) 
1
x  1e  x (1 t ) /  dx

( ) 
M (t )  
0
y  x(  βt ) / β , t   / β , x  βy(  βt ) şeklinde alınırsa aşağıdaki ifadeye ulaşılır:
 1

 / (1   t )   y 
M (t )  

 
1 t 
0  ( ) 
 
 1 


1 t 
1

(1   t )
1
 ( ) y
e  y dy
 1  y
e dy
0
t
1

İspat yukarıdaki işlemlerin ışığında şu şekilde kısaca gösterilebilir:

M (t )   x r
0

Burada y 
x

1
x 1e x /  dx
 ( )

 r    r 1  y
y
e dy
( ) 0
alınmıştır. Gama fonksiyonun tanımı gereği sağ tarafın integrali (r   )
olduğuna göre kanıt tamamlanmış olur. Bu teorem kullanılarak aşağıdaki sonuçlar
çıkarılabilir.
Teorem: Eğer X ,  ve  parametreli gama dağılışı gösteriyorsa,
a. E (X )  
b. V ( X )   2
c. M (t )  (  βt ) α
şeklindedir.
İspat: a. Dağılışın beklenen değeri,

x
1
 1  
E( X ) 
xx
e
dx
( )   0

Gama fonksiyonunun özelliğinden,
 1
x e
x

dx  ( )   olduğundan
0

x
1
  
E( X ) 
x
e
dx
( )   0
1
(  1)   1

( ) 
( ) 

( )
 

.
elde edilir.
b. Gama dağılışının varyansı da benzer şekilde,
1
E( X ) 
( )  


1
( )  

2  1
 x x .e

dx
0

 1
 x .e
x

dx
0
1
(  2)    2

( ) 
 (  1) 2
ve
x
V ( X )  E ( X 2 )  [ E ( X )] 2
 ( 2   )  2   2  2
  2
bulunur.
c. Gama dağılışının moment türeten fonksiyonu ise;

E (e tX )   e tx
0
x
1
 1  
.
x
e
dx
( )  
1


 x   t 
1
 1
 
x
.
e
dx


0 ( ) 
burada x  y dönüşümü ile,

E (e )  
tX
0


0
1
  1 y  1 .e  y (1 t ) dy

( ) 
1
y  1 .e  y (1 t ) dy
( )
burada z  y(1  t ) dönüşümü ile

1
1
1
z 1.e  z
dz
 1
(1   t )
0  ( ) (1   t )
E (e )  
tX

 1  1   1  z


 z e dz
 1   t  ( ) 0

 1 


1 t 
Sonuç olarak gama dağılımı için,

 1 
M x (t )  

1  t 
bulunur.

1
t  


İki parametreli gama dağılımı poisson dağılımının parametresine göre de ifade edilebilir.Bu
amaçla  
1
alınarak,

f ( x) 

bulunur.
1

1
( )  

x 1e   x

( x) 1 e   x
( )