ANALİZ 1.) a) sgnx.sgn(x − 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini

ANALİZ
1.) a) sgnx. sgn(x − 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
b) f ( x )  x 3  2x 2  1 fonksiyonu veriliyor. c  ( 0 , 3) olacak şekilde ortalama
değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer
var ise bulunuz.
x4
2.) y  2
fonksiyonunun değişimini inceleyip, grafiğini çiziniz.
x 1
x2 −3x−4
3.) a) y = f(x) = x2 −ax eğrisinin x ‒ eksenini kestiği noktalardaki teğetlerinin
birbirine dik olması için a ne olmalıdır? Araştırınız.
b) f(x) = x 3 + 2x 2 + cx + d fonksiyonunun IR de artan bir fonksiyon olması
için c ne olmalıdır? Araştırınız.
4.)
x
x
Şekilde görüldüğü gibi bir kenarının uzunluğu 20cm
x
x
olan kare biçimindeki bir karton levhanın
köşelerinden , bir kenarı x cm olan kare parçalar
kesilip atılıyor. Geri kalan parça, çizgiler boyunca
katlanarak üstü açık bir kare prizma yapılmak
isteniyor. Bu kare prizmanın hacminin en büyük
olması için x kaç cm olmalıdır? Bu durumdaki
hacmini hesaplayınız.
x
x
x
x
20cm
a) e 0,1 sayısının değerini diferansiyel yardımı ile yaklaşık olarak bulunuz.
3
x 2
b) lim
=? Limitini Hospital kuralını kullanmadan hesaplayınız.
x 8
x 2 2
6.) Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
arcsin x
𝐝𝐱
𝐝𝐱
dx  ?
a) 
b) ∫
c) ∫ 𝐞𝟐𝐱−𝟐𝐞𝐱
𝟑
2
√𝐱+𝟏+(√𝐱+𝟏)
x
2t
x  3e 
7. )
 parametrik denklemleriyle verilen eğrinin t  0 dan t = ln5 ‘e kadar
y  4e 2 t 
olan yayının uzunluğunu bulunuz.
x 2  8 x  19
8.) y  f ( x) 
fonksiyonunun değişimini inceleyip, grafiğini çziniz
x 5
8.) Tabanı kare ve üstü açık dikdörtgenler prizması şeklinde bir su deposu yapılmak
İsteniyor. 1200 dm 2 lik bir saç levhadan yapılacak en büyük su deposunun hacmini
türev yardımıyla bulunuz.
9.) y = 6 + 4x − x 2 eğrisi ve y = 2x − 2 doğrusu arasında kalan bölgenin alanını şekil
çizerek integral yardımıyla bulunuz.
10.) (0 < 𝑎 < 𝑏) olmak üzere x 2  ( y  b) 2  a 2 eğrisinin x - ekseni etrafında
döndürülmesinde meydana gelen cismin hacmini şekil çizerek integral yardımıyla
bulunuz.
5.)
1 t 1 t2
,
)
t
t
ile tanımlanan eğrinin (1, 0, 0 ) noktasındaki Frenet vektörlerini Gram-Schmidt
11)  : IR  E 3 ,   t    (t )  (t ,
ortonormalleştirme metodunu kullanarak bulunuz.
12) 𝑉 ve 𝑊, 𝐸 3 Öklid uzayındaki her bir noktada lineer bağımsız olacak şekilde iki
̃
𝑉
̃ = 𝑊 − (𝑊. 𝐸1 )𝐸1 , 𝐸2 = 𝑊 , 𝐸3 = 𝐸1 ×𝐸2
vektör alanı olmak üzere 𝐸1 = ‖𝑉‖, 𝑊
̃‖
‖𝑊
vektör alanları tanımlanıyor. ∀𝑃 ∈ 𝐸 3 noktası için {𝐸1 (𝑃), 𝐸2 (𝑃), 𝐸3 (𝑃) } kümesinin
bir çatı oluşturup oluşturmadığını araştırınız.
1 1

13)  : I  E 3 ,   t    t , , 2 ln t  eğrisinin birim hızlı olup olmadığını araştırınız.
2 t

Eğer birim hızlı değil ise yay parametresi cinsinden ifade ediniz.
14.) f ( x )  x 3  2x 2  1 fonksiyonu veriliyor. c  ( 0 , 3) olacak şekilde ortalama değer
teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise
bulunuz.
15.) 4 623 nin değerini diferansiyel yardımıyla yaklaşık olarak hesaplayınız.
16.) (𝑎𝑛 ) = (
(−𝟏)𝒏
𝒏𝟑
) dizisinin alt ve üst limitlerini bulup, (𝑎𝑛 ) dizisinin limitinin olup
olmadığını araştırınız.
17.) 𝑅22 de 𝑆 = { [
bağımsız
1 −1
2
], [
−1
1
1
−1
1
1
−1 −1
],[
],[
] } kümesinin lineer
2 −1 −1
1
1
olup olmadığını araştırınız. Eğer lineer bağımlı ise, vektörler arasındaki bağıntıyı
bulunuz.
0
1
1
18.) 𝑈 = {[1], [1] , [2] } kümesi veriliyor.
0
1
3
a) 𝑈 kümesinin𝑅13 vektör uzayının bir tabanı olup olmadığını araştırınız(10 P.).
1
b) 𝑈 bir taban ise 𝐴 = [3] vektörünü bu taban vektörlerin lineer birleşimi olarak yazınız.
2
19.)
𝑥+𝑦−𝑧=2
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 3
𝑥 + 𝑦 + (𝑡 2 − 5)𝑧 = 2
lineer denklem sistemi veriliyor. Bu lineer denklem sisteminin
a) Çözümünün olmaması,
b) Tek çözümünün olması,
c) Sonsuz sayıda çözümünün olması için 𝑡 ne olmalıdır, araştırınız.
20.) y 
x3  x  2
fonksiyonunun değişimini inceleyip, grafiğini çiziniz.
x
ANALİTİK GEOMETRİ
1.) a) 𝐴(1, 0), 𝐵(−2, 3) ve C (−1, 1) olmak üzere, 𝐴𝐵𝐶 üçgeninde [𝐵𝐶] kenarına ait
yüksekliğin uzunluğunu bulunuz.
b) 𝐴(2,1) noktasından geçen ve 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 doğrusu ile 45° lik açı yapan
doğruların
denklemlerini bulunuz.
2.)
x  yz  2
x  2y  z  3
x  y  (t 2  5) z  t
lineer denklem sistemi veriliyor. Bu lineer denklem sisteminin
a) Çözümünün olmaması,
b) Tek çözümünün olması,
c) Sonsuz sayıda çözümünün olması için 𝑡 ne olmalıdır, araştırınız.
3.) a) 𝐴(𝑥1 , 𝑦1 ) noktasının 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 doğrusuna olan en kısa uzaklığı 𝑑 ise,
𝑑=
| 𝑎𝑥1 +𝑏𝑦1 +𝑐 |
√𝑎2 +𝑏2
olduğunu gösteriniz.
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ =
b) Merkezi O olan bir ABCDEF düzgün altıgeni veriliyor. 𝐴𝐵
𝐴𝐸 + 𝐴𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗
6𝐴𝑂
olduğunu gösteriniz.
4.)
 1 3  5 4 2 
 1 2 4 0 0 

B
 1 0 4 3 1 


 5 1 9 2 1 
matrisini satırca indirgenmiş eşelon forma getiriniz.
5.) a) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0 çemberi ile 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 4𝑦 − 2 = 0 çemberinin
kesim
noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
b) 2𝑥 + 𝑎𝑦 + 6 = 0 ve 3𝑎𝑥 − 2𝑦 + 12 = 0 doğruları 𝑦 = 𝑥 doğrusu üzerinde
kesiştiklerine göre 𝑎 kaçtır?
a) 𝐴 = (5, 12) vektörü ile aynı doğrultu fakat zıt yönlü birim vektörü bulunuz.
b) 𝐴(−1, 2) ve 𝐵(3,1) noktaları ile 𝐶 = (𝑎, 3) vektörü veriliyor. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 ⊥ 𝐶 ise 𝑎
kaçtır?
7.)
a) 𝐴 = (−3, 4) vektörüne dik birim vektörleri bulunuz.
b) Köşeleri 𝐴(2,0) , 𝐴′(−2, 0) olan ve 𝐾(√2, 1) noktasından geçen elipsin
denklemini
bulunuz.
2
8.) 9𝑥 + 25𝑦 2 = 225 elipsinin
a) Eksen uzunluklarını.
b) Odaklar arası uzaklığını bulunuz.
9.) a) 𝑥 2 + 4𝑦 2 = 4 elipsine 𝐾(4, 0) noktasından çizilen teğetlerin değme noktalarını
bulunuz.
6.)
𝑥2
𝑦2
b) 16 + 9 = 1 elipsinin 𝑦 = 3𝑥 − 1 doğrusuna paralel olan teğetlerinin denklemlerini
bulunuz.
10.) a) Odakları 𝐹′(−2, 0) ve 𝐹(2, 0) olan ve 𝑃(−2, 3) noktasından geçe hiperbolün
denklemini bulunuz.
b) 𝑥 2 − 4𝑦 2 = 1 hiperbolüne 𝑃(2, −1) noktasından çizilen teğetin eğimini,
normalin
eğimini, teğetin denklemini ve normalin denklemini bulunuz.
LİNEER CEBİR
1. Aşağıdaki denklem sistemini ters matris metodu yardımıyla çözünüz.
 x  2 y  z  4,

3x  5 y  3z  1,
2 x  7 y  z  8.

2. Aşağıdaki denklem sistemini Gauss metodu yardımıyla çözünüz:
2 x  y  z  5,

 x  2 y  2 z  5,
7 x  y  z  10.

3. Aşağıdaki denklem sistemini Cramer metodu yardımıyla çözünüz:
3x  2 y  2 z  1,

 x  3 y  z  0,
5 x  3 y  4 z  1.

4. Aşağıdaki matrisin rankını bulunuz:
 1 2 1 4
А   0 5 1 4 
 1 3 4 6 


5. Aşağıdaki denklem sisteminin tekliğini araştırınız:
2 x  y  z  u  5,

 x  2 y  2 z  3u  6,
3x  y  z  2u  1.

6. Aşağıdaki denklemin
x2  5  0
[2,2; 2,3] aralığındaki kökünü Newton metodu yardımıyla çözünüz.
7. Matrisin öz değer ve öz vektörünü bulunuz.
1 4
А

9 1
8. Aşağıdaki kuadratik formu kanonik hale getiriniz.
L( x1, x2 )  x12  4 x22  6 x1x2 .
9. Aşağıdaki kuadratik formun pozitif veya negatifliğini Silvester kriterleri yardımıyla
araştırınız.
L( x1, x2 , x3 )  2 x12  3x22  3x32  2 x1x2  2 x1x3  4x2 x3 .
10. Aşağıdaki denklemin köklerini bulunuz:
x3  3x2  x  3  0 .
11. Aşağıdaki denklem sistemini ters matris metodu yardımıyla çözünüz:
3x  2 y  2 z  1,

 x  3 y  z  0,
5 x  3 y  4 z  1.

12. Aşağıdaki denklem sistemini Gauss metodu yardımıyla çözünüz:
2 x  y  z  3,

 x  2 y  2 z  3,
7 x  y  z  6.

13. Aşağıdaki denklem sistemini Cramer metodu yardımıyla çözünüz:
 x  2 y  z  4,

3x  5 y  3z  1,
2 x  7 y  z  8.

14. Aşağıdaki matrisin rankını bulunuz:
 1 3 1 5
А   0 5 1 4 
 1 5 4 8 


15. Aşağıdaki denklem sisteminin tekliğini araştırınız:
2 x  y  3z  u  3,

 x  2 y  4 z  5u  6,
3x  y  z  4u  1.

16. Aşağıdaki denklemin
x2  5  0
[-2,3; -2,2] aralığındaki kökünü Newton metodu yardımıyla çözünüz.
17. Matrisin özdeğer ve özvektörünü bulunuz.
3 4
А

9 3
18. Aşağıdaki kuadratik formu kanonik hale getiriniz:
L( x1, x2 )  x12  6 x22  8x1x2 .
19. . Aşağıdaki kuadratik formun pozitif veya negatifliğini Silvester kriterleri yardımıyla
araştırınız:
L( x1, x2 , x3 )  3x12  4 x22  3x32  2 x1x2  2 x1x3  2x2 x3 .
20. Aşağıdaki denklemin köklerini bulunuz:
x3  4 x 2  x  4  0 .
DİFERANSİYEL DENKLEMLER
1. Aşağıdaki değişkenlerine ayırılabilen diferansiyel denklemi çözünüz:
( x 2  1) y  2 xy 2  0 , y(0)  1 .
2. Aşağıdaki deiferansiyel denklemi çözünüz:
( y 2  2 xy )dx  x 2 dy  0 .
3. Aşağıdaki diferansiyel denklemi Bernoulli veya Langrange metodları yardımıyla
çözünüz:
y  ytgx  sec x .
4. Aşağıdaki Bernoulli diferansiyel denklemini çözünüz:
y  4 x 3 y 3  2 xy  0 .
5. Aşağıdaki diferansiyel denklemi çözünüz:
x
2
 y 2  x  dx  ydy  0
6. Aşağıdaki diferansiyel denklemi çözünüz:
y  xy  ( y) 2 .
7. Aşağıdaki diferansiyel denklemi Euler metodu yardımıyla çözünüz:
y IV  8 y  9 y  0 .
8. Aşağıdaki diferansiyel denklemi çözünüz:
y  6 y  9 y  8 xe x .
9. Aşağıdaki diferansiyel denklemi çözünüz:
y  y  4x cos x .
10. Aşağıdaki Riccati diferansiyel denklemini çözünüz:
ye  x  y 2  2 ye x  1  e 2 x , y1  e x .
11. Aşağıdaki diferansiyel denklemi çözünüz:
xy IY  y  e x .
12. Aşağıdaki diferansiyel denklemi çözünüz:
yy  3 yy  0 .
13. Aşağıdaki sabit katsayılı lineer diferansiyel denklem sisteminin genel çözümünü
bulunuz:
 dx
 dt  5 x  3 y,

 dy  3 x  y.
 dt
14. Aşağıdaki Cauchy problemini çözünüz:
y  2 y  y  0 , y (2)  1 , y(2)  2 .
15. Aşağıdaki diferansiyel denklem sisteminin genel çözümünü Euler metodu yardımıyla
bulunuz:
 dx
 dt  3 x  2 y

 dy  2 x  3 y
 dt
16. Aşağıdaki diferansiyel denklem sisteminin genel çözümünü Euler metodu yardımıyla
bulunuz:
 dx
 dt  4 x  y  z

 dy
  x  2y  z
 dt
 dz
 x  y  2z

 dt
17. Aşağıdaki diferansiyel denklem sisteminin çözümünün faz yörüngelerini oluşturunuz:
 dx
 dt  5 x  3 y,

 dy  3 x  y.
 dt
18. Aşağıdaki diferansiyel denklem sisteminin genel çözümünü varyasyyon metodu
yardımıyla bulunuz:
 dx
t
 dt  x  y  e ,

 dy  x  y  et .
 dt
19. Aşağıdaki diferansiyel denklem sisteminin çözümünün kararlılığını araştırınız
 x  2 x  3 y  x5

2
 y  x  y  y
20. Aşağıdaki lineer diferansiyel denklemi karakterize edici denklemlerinin köklerini
belirleyip, çözümlerinin kararlılığını araştırınız
y  y  y  2 y  0
KISMİ TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER
1. Denklemi çözünüz:
а) 7
u
u
 32
 0;
x
y
б) ( x  2 y )
u
u
y
 0.
x
y
2. Denklemin türünü belirleyip kanonik hale getiriniz.
utt  2utx  sin 7 x  uxx  cos2 7 x  0.
3. Cauchy problemini çözünüz :
utt  36u xx ,


1
2
u (0, x)  13 x  2, ut (0, x)  9 x 2  49 .

4. Drichlet problemini çözünüz:

u (r ,  )  0, 0  r  3,

2

u (3,  )  sin 2 , 0    2 .
5. Deknlemin türünü belirleyip kanonik hale getiriniz:
5x2utt  4txutx  3x2uxx  0 (t, x  0).
6. Fourier metodu yardımıyla çözünüz :
utt  49u xx , 0  x  5, 0  t  ,

u (t , 0)  0, u (t ,5)  0,
u (0, x)  3x, u (0, x)  19.
t

7. Drichlet problemini çözünüz:
u (r ,  )  0, 8  r  ,

u (8,  )  cos 6 , 0    2 .
8. Cauchy problemini çözünüz:
 u 2 u 2
( )  ( )  15,
а)  x
б)
y
u (2, y )  3 y  8;

 u u
 6u  11xy,
 
 x y
 x  4, u  18 y  1.

9. Denklemi çözünüz:
utt  25u xx  e 9t  sin(23 x),

u (t , 0)  0, u (t ,10)  0,
u (0, x)  0, u (0, x)  0.
t

10. Cauchy problemini çözünüz:


ut  4u xx  17 cos 2 5t , t  [0, ], x  R1 ,


60

u (t , 0)  16, t  [0,  ].

60
