Matematik 2 Çözümlü Soru Bankası Final Yayınları www.CepSitesi.Net

LYS - Matematik 2 Çözümlü Soru Bankası
Final Yayınları
www.CepSitesi.Net
İÇİNDEKİLER
TRİG O NO M ETRİ
Birim Çember, Esas Ölçü, Trigonometrik Oranların İşaretleri (Çözümlü Test - 1 ) ......................
11
Açı Ölçü Birimleri, Trigonometrik Oranların İşaretleri (Çözümlü Test - 2 ) ....................................
17
Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar, Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre Durumları
(Çözümlü Test - 3 ) .....................................................................................................
23
Toplam - Fark ve Yarım Açı Formülleri (Çözümlü Test - 4 ) ............................................................
29
Dönüşüm ve Ters Dönüşüm Formülleri (Çözümlü Test - 5) ..........................................................
36
Sinüs ve Kosinüs Teoremleri (Çözümlü Test - 6) .............................................................................
42
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar ve Peryot Bulunması (Çözümlü Test - 7) ................................
50
Trigonometrik Denklemler (Çözümlü Test - 8 ) ..................................................................................
57
Karma Uygulamalar (Çözümlü Test - 9) ............................................................................................
66
KA RM AŞIK SAYILAR
Karmaşık Sayıların Standart (a + bi) Biçimi (Çözümlü Test - 1 ) .....................................................
75
Karmaşık Sayıların Standart Biçimi (Çözümlü Test - 2 ) ..................................................................
81
Karmaşık Sayıların Standart Biçimi (Çözümlü Test - 3 ) ..................................................................
87
Karmaşık Sayıların Standart Biçimi (Çözümlü Test - 4 ) ..................................................................
93
Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi (Çözümlü Test - 5) .................................................................
103
Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi (Çözümlü Test - 6) .................................................................
112
LOGARİTMA
Logaritma Tanımı ve Özellikleri - 1 (Çözümlü Test - 1 ) ..................................................................
120
Logaritma Tanımı ve Özellikleri- 2 (Çözümlü T est- 2 ) ..................................................................
126
Logaritma Tanımı ve Özellikleri - 3 (Çözümlü Test - 3) ..................................................................
131
Logaritmalı Denklemler - 1 (Çözümlü Test - 4) ...................................
137
Logaritmalı Denklemler - 2 (Çözümlü Test - 5) ................................................................................
144
Logaritma Fonksiyonunun Grafiği, Ters Fonksiyon (Çözümlü Test - 6) ......................................
150
PERM ÜTASYON - KO M BİNASYON - BİNO M - OLASILIK
Sayma Sistemleri, Faktöriyel - 1( Çözümlü Test - 1 ) ................... ...................................................
157
Sayma Sistemleri, Faktöriyel - 2 (Çözümlü Test - 2 ) .......................................................................
163
Permütasyon Formülü (Çözümlü Test - 3 ) .........................................................................................
169
Permütasyon - 1 (Çözümlü Test - 4 ) ..................................................................................................
175
Permütasyon - 2 (Çözümlü Test - 5 ) ..................................................................................................
181
Tekrarlı Permütasyon (Çözümlü Test - 6 ) ........................................................................... ..............
187
Dönel Permütasyon (Çözümlü Test - 7) .......................................................
193
Kombinasyon - 1 (Çözümlü Test - 8) ................................................................................................
199
Kombinasyon - 2 (Çözümlü Test - 9) .................................................................................................
205
Kombinasyon - 3 (Çözümlü Test - 1 0 ) ..............................................................................................
213
Binom Açılımı - 1 (Çözümlü Test - 1 1 ) ..............................................................................................
223
Binom Açılımı - 1 (Çözümlü Test - 12) ..............................................................................................
232
Olasılık - 1 (Çözümlü Test - 1 3 )......................................................
241
Olasılık - 2 (Çözümlü Test - 1 4 )...........................................................................................................
247
Olasılık - 3 (Çözümlü Test - 1 5 ) .............
256
Olasılık - 4 (Çözümlü Test - 1 6 ) ..........................................................................................................
265
TÜ M EVA R IM VE DİZİLER
(Toplam) Sembolü (Çözümlü Test - 1 ) ...............................................................................................
275
(Çarpım) Sembolü (Çözümlü T e s t- 2 ) .............................................................................................
284
Sembolü (Çözümlü Test - 3)................................................................................................................
292
Sembolü (Çözümlü Test -
4 ) ................................................................................................................
298
Diziler - 1 (Çözümlü Test - 5 ) ...............................................................................................................
304
Diziler - 2 (Çözümlü Test - 6 ) ..............................................................................................................
313
Aritmetik Dizi (Çözümlü Test - 7)..........................................................................................................
323
Geometrik Dizi (Çözümlü Test - 8) .....................................................................................................
331
Seriler (Çözümlü Test - 9 ) ....................................................................................................................
339
FONKSİYONLAR
Tanım Aralığı ve Çift Fonksiyonlar (Çözümlü Test - 1 ) ....................................................................
349
Parçalı Fonksiyonlar (Çözümlü Test - 2 ) .................................................................................
360
Mutlak Değer Fonksiyonu (Çözümlü Test - 3 ) ..................................................................................
368
Karma Uygulamalar (Çözümlü Test - 4) ............................................................................................
381
LİM İT VE SÜREKLİLİK
Bir Fonksiyonun Sağdan ve Soldan Limiti özel Fonksiyonların Limiti (Çözümlü Test - 1 ) .......
393
Polinom Şeklindeki Fonksiyonların Limiti (Çözümlü Test - 2 ) ........................................................
402
Trigonometrik Fonksiyonların Limiti (Çözümlü Test - 3 ) .................................................................
410
Belirsiz Şekiller (Çözümlü Test - 4 ) .....................................................................................................
420
Süreklilik (Çözümlü Test - 5 ) ................................................................................................................
431
Karma Uygulamalar (Çözümlü Test - 6) ............................................................................................
441
TÜREV VE UYGULAMALARI
Türevin Tanımı, Sağdan - Soldan Türev Özel Fonksiyonların Türevi (Çözümlü Test - 1 ) .........
451
Trigonometrik Fonksiyonların Türevi (Çözümlü Test - 2 ) ................................................................
458
Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi (Çözümlü Test - 3 ) ......................................................
467
Türevin Geometrik Yorumu, Teğet ve Normal Denklemleri(Çözümlü Test - 4) ..........................
475
Artan ve Azalan Fonksiyonlar (Çözümlü Test - 5 ) ......................
486
Ekstremum Noktalar, Ekstremum Değerler (Çözümlü Test - 6) ....................................................
494
İkinci Türevin Geometrik Yorumu, Dönüm Noktaları, Eğrilerin İç Bükeyliği, Dış Bükeyliği
(Çözümlü Test - 7 ) .................................................................................................................................
504
L'Hospital Kuralı (Çözümlü Test - 8 ) ...................................................................................................
512
Karma Uygulamalar - 1 (Çözümlü Test - 9 ) .......................................................................................
523
Asimptotlar ve Fonksiyon Grafikleri (Çözümlü Test - 1 0 ) ...............................................................
534
Kaıma Uygulamalar - 2 (Çözümlü Test - 1 1 ) ....................................................................................
541
İNTEGRAL VE UYGULAMALARI
Toplam ve Farkın Integrali, Değişken Değiştirme Yöntemi - 1 (Çözümlü Test - 1 ) ..................
554
Toplam ve Farkın Integrali, Değişken Değiştirme Yöntemi - 2 (Çözümlü Test - 2) ..................
560
Kısmı Integral Yöntemi, Basit Kesirlere Ayırma Yöntemi (Çözümlü Test - 3) ..............................
567
Köklü Fonksiyonların Integrali (Çözümlü Test - 4 ) ...........................................................................
579
Belirli Integral, Integral İşareti Altında Türev Alma (Çözümlü Test - 5) .........................................
589
Belirli Integralle Alan ve Hacim Hesabı (Çözümlü Test - 6 ) ............................................................
599
Karma Uygulamalar - 1 (Çözümlü Test - 7 ) .......................................................................................
608
Karma Uygulamalar - 2 (Çözümlü Test - 8 ) .......... ...........................................................................
615
Karma Uygulamalar - 3 (Çözümlü Test - 9 ) ......................................................................................
622
Karma Uygulamalar - 4 (Çözümlü Test - 1 0 ) ....................................................................................
629
M ATRİS - DETERM İNA NT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLER!
Matrisler (Çözümlü Test - 1 ) ................................................................................................................
637
Matrisler (Çözümlü Test - 2 ) ................................................................................................................
643
Determinantlar (Çözümlü Test - 3) .....................................................................................................
650
Karma Uygulamalar - 1 (Çözümlü Test - 4 ) ......................................................................................
656
Karma Uygulamalar - 2 (Çözümlü Test - 5 ) ......................................................................................
663
BOLUM - 1
TRİGONOMETRİ
l
ÇÖZÜMLÜ TEST - 1
5.
270° lik açının radyan cinsinden değeri
aşağıdakilerden hangisidir?
T İ ?)
..
noktası, birim çember üzerinde bir nokta olduğuna
göre, m aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 1
B) \İ2
C) S
D) 2
Ak
3tt
A) T
c)
B) T
5K
D) TC
E) Ve
6.
49 tc
4
radyanlık açının esas ölçüsü kaç derecedir?
2.
A) 210
(a+3)x2 + (2-b) y2 = a . b + k
B) 240
C)270
D) 315
E) 330
denklemi, birim çember belirttiğine göre, k kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
!
7-
140n
radyanlık açının esas ölçüsü kaç derecedir?
A) 90
3.
B) 120
0150
D) 240
E) 270
-15 9 0 ° lik açının esas ölçüsü kaç radyandır?
A> f
B> f
D)
571
E )-Ş -
8.
Aşağıdaki trigonom etrik değerlerin işaretleri
sırasıyla hangisidir?
I. sin42°
II. cos130°
4.
III. tan235°
855° lik açının esas ölçüsü kaç radyandır?
IV. cot330°
A> i
D ,* -
A) +,
+
D)
11
B)
+, +, +
+, +
E) +,
o - . - . +.
T R İG O N O M E T R İ
9.
12 .
a = sin 170°
b = cos 20°
a aj
c = sin 275°
noktası yandaki birim
çember üzerinde ikinci
bölgede bir nokta ve
olduğuna göre, a, b, c arasındaki sıralama
aşağıdakilerden hangisidir?
A )c 5
sin(-690°) •cos780°tan1200
cot765°cos(-330°)-sin1845°
13.
İfadesinin değeri kaçtır?
10.
a = cos (-130°)
A> İ 2
C) - 1
B)
D)
E)^
b = sin ( - 25°)
c = cos (126°)
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi
doğrudur?
A )c < a < b
B) a < b < c
D )b < c < a
14.
C )c < b < a
. 3 * . ( 2n ]
,,nT - tanl - T j
E )b < a < c
ifadesinin değeri kaçtır?
A)
15.
11.
A) -1 < k £ 3
B) -1 < k < 4
D) - 1 < k < 0
V3
C )1 T
D)
Ve
E)1
. 5 k . 1 in
sın
tan—
3
6
5 ji
77i
cos
sec —
2 - 3 sin 10x = k
olduğuna göre, k nın değer alabileceği en geniş aralık
aşağıdakilerden hangisidir?
V2
B)
6
6
ifad esinin değeri kaçtır?
C) -1 < k ^ 5
E) —10 < k < —1
A) —1
12
B) -
C)
D)
E> 2
T R İG O N O M E T R İ
16. ABCD kare
20. O merkezli birim çember
üzerindeki P ve N noktaları
Ox eksenine göre birbirinin
simetriğidir.
EDC eşkenar üçgen,
m(ÂEC) = a
Buna göre N noktası
aşağıdakilerden hangisiyle
ifade edilemez?
olduğuna göre, cota kaçtır?
m(AOP) = 0
A) (cos(-e). sin(-e))
m(ÂON) = -0
A)
B) 1
B) (cos(-0), sin©)
C> W
C) (cos0,-sinö)
D) (cos 0, sin (271-0))
17.
377i
radyanlık açının esas ölçüsü a,
4
E) (cos(27c-0),-sin0)
9İ7î
—— radyanlık açının esas ölçüsü b
olduğuna göre,
A) 45
b - a kaç derecedir?
B) 60
C) 75
D) 90
E) 105
C
■S
c
§> 21. ABCD bir dörtgen,
9
|AB| = 4 br
|BC| = 5 br
18. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
|CD| = 6 br
I. sin 115° = cos 25°
|DA| = 3 br
II. tan 215° = cot 55°
m(BCD) = a
III. cot 125° = cot 305°
V. sin 310° = sin 230°
A) I
B) II
C) III
D) IV
C> 3
E) V
E)
°> 4
19.
f 1237^
| 4-T uuo(' 5 8 n )
ti--------tan1
1
{
4 J
CEVAP ANAHTARI
(> 3 J
ifadesinin değeri kaçtır?
A )~ |
B) -1
C) 0
D>!
E)
1 .C
2. B
3. E
4. D
5. A
6. D
7. B
8. E
9. B
10. A
11. c
12. D
13. A
14. D
15. E
16. B
17. C
18. D
19. D
20. B
21. E
13
cn | w
olduğuna göre, cosa kaçtır?
IV. cos 235° = cos 55°
T R İG O N O M E T R İ
TEST - 1 ÇÖZÜMLERİ
1.
Birim çemberin merkezi 0(0,0), yarıçapı r = 1 birim
olduğundan,
5.
270ti _ 3n
180
2
|OP| = 1
CEVAPA
H r H îF
6.
4 m
—+
=1
6
9
_ 49 n
49u
48jt
ise 0 = ?
8
6rc
m2 = 3 => m = - 7 3 , m . = 73
CEVAP C
2tc- — = — = — - 8 -° =315°
4
4
4
CEVAP D
2.
x2 + y 2= 1 olduğundan
a + 3=1
,
a = -2
2 - b =1
,
14071 ise
• 0
û= ?
o
3
b=1
140ti
6
23tt
- 12
20n
-
a b + k = 1=>-2-1 + k=1
18tc
=^>k = 3
2 k => 0
2ıc
2-180°
120 °
CEVAP B
(Paydanın 2 katına bölüp, sonucu yazarken eski paydayı
alıyoruz.)
CEVAP B
3.
-1 5 9 0 ° = ?
1590°
360°
sin42° = +
I
o
O
■'t
4
cos 130° = cos (90° + 40°) = - sin 40° = -
150°
tan 235° = tan (180° + 55°) = + tan 55° = +
210 re
0 = 360° -150° = 210 => 0 = 180
cot 330° = cot (270° + 60°) = - tan 60° = -
7n
CEVAP E
6
a = sin 170° = sin (180° - 10°) = sin 10°
CEVAP E
b = cos 20° = sin 70°
c = sin 275° = sin (270° + 5°) = - cos5° = -sin 85°
Birinci bölgede açı büyüdükçe sinüs büyüdüğünden
855°
720°
360°
2
135tc
135° =>0 =
180
a = sin 10° < b = sin 70°
37c
c negatif olduğundan sıralama
c < a < b biçimindedir.
CEVAP D
CEVAP B
14
TR İG O N O M E T R İ
10. a = cos (-130°) = cos 130° = —sin 40°
13.
b = sin (-25°) = -sin 25°
-sin690° cos780° tan 120°
cot765° • cos330° • 1845°
sin(-a) = -sina, cos(-a) = cos<x idi.
c = cos 126 = -sin 36° olduğundan sıralama
a < c 0 = 330°
360°
2
1845°
- 1800°
360°
5
45° =>0 = 45
45°=>0 = 45°
-sin30° ■cos60° •(~tan60°)
cot 45° •cos30° •sin45°
-sin330°cos60°tan120
cot45° •cos330° sin45°
2 2
1 #
A
2
1
11. 2-3sin10x = k
2
2
2
1
-J2 ~ yj2
CEVAPA
2 "—
k
sın10x - —
-1 < sini 0x £ 1olduğundan
3
-3 < 2 - k ^ 3
-1 < k <5 olur.
!
a
CEVAP C
14.
3re
2n
-sın— tan—
4
3
. n . n
= sınT . t a n -
A
2
73
6
CEVAP D
12.
|OP| = 1
'16
+ 9 =1
a
16 + 9
=1
a = 25 => a-j = -5, a2 = 5
15.
P ikinci bölgede olduğundan apsisi - yani a = 5 tir.
s in f-ta n ^
-* in f { - .a n |
57i
7rc
cos—
—
—• sec—
6
6
ti
1
-cos--------------6
. . . ti
-cos—
6
73
1
2 ' 73
73
2
2
73
P nin ordinatı <xnın sinüsü olduğundan
sina = — olur.
5
CEVAP D
1
2
CEVAP E
15
T R İG O N O M E T R İ
16.
a = 45° olduğundan
cota = cot45® = 1 olur.
8
123ti
- 1207t
- 547t
6
971
< s |*
II
t
47T
<x>
3 71
587t
15tt
CEVAP B
71
K
= tan— cos—
4
3
1=—
1 olur.
I
=4
1----17.
3 7n
37ıt
- 32
n
2
5k
~4~
_8_
4 tc
CEVAP D
5ît
9 fa
3
9 fa
- 907t
2
§
cu
1
6
157t
.
0
b=2n
-
n 5%
— = —3
3
S 20. N noktasının ordinatı
sin(-0) =-sinö olduğundan
«S
n —> —
CEVAP B
b _ a = 5 > t - ± L = 5 £ = 75- olur.
3
4
12
CEVAP C
2 1 . B ile D birleştirirse
|BD| = 5
BDC nin ikizkenar üçgen
olduğu görülür.
BH1 DC çizilirse
18. IV. deki
A
4
|HD| = |HC| = 3
cos 235° = cos (180° + 55°) = - cos 55® olduğundan
BHC dik üçgeninde a nın kosinüsü yazılırsa
cos 235® = cos 55® olamaz.
CEVAP D
CEVAP E
16
TR İG O N O M E T R İ
ÇÖZÜMLÜ TEST - 2
I.
Açı ölçü birimleri ve trigonom etrik
oranlarla ilgili uygulamalar:
II.
sin45°
tan 175°
III. cos 260°
1.
a = 124470" lik açının derece, dakika, saniye
olarak eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 34° 34' 36"
B) 34° 30' 32"
D) 34° 30' 28"
IV. cot 275°
Yukarıdaki trigonom etrik değerlerin işaretleri
sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru
verilmiştir?
C) 34° 34' 30"
E) 34° 28' 30"
A) +, - , +, -
B)
C)
D)
6.
a = (80,14)° lik açının derece, dakika, saniye olarak
a = sin5°
eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 80° 07' 25"
B) 80° 08' 24"
D) 80° 14' 10"
E)
b = sin 85°
c = sin 105°
C) 80° 08' 12"
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
E) 80° 14' 16"
A )a < b < c
B )a < c < b
D )b < c < a
3.
C )b < a < c
E )c < a < b
a = 28°
7.
p = 25472"
cosx
sınx
olduğuna göre, a - p farkı aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
olduğuna göre, cosx in pozitif değeri kaçtır?
A) 20° 55' 28"
A, f
B) 19° 55' 28"
D) 20° 45' 18"
sınx
1+ cosx
C)19° 42' 30"
COS2 X
8.
D)f
E)
B) 2sinx
.
sınx + --------------1
1+ sinx
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
C) 2cotx
A) 2
D) 2secx
V3
c)
E) 20° 54' 30"
sınx
1-cosx
A) tanx
B>!
E) 2cosecx
17
B) 1
c> i
D) 0
E )-1
T R İG O N O M E T R İ
cosx
1+ sinx
9.
13.
Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
tanx
A) sinx = -0 ,6
B)cotx = 225
C)tanx = 4n
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) secx
10.
B) cosex
C) cosx
D) sinx
E) cotx
1
D) cos ecx = —
E) secx = 1,6
cosecx
tanx + cotx
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) - sinx
B) - cosx C) cosx
D) secx
E) 1
14. ABCD ve BEFG
birer kare.
|AB| = 2 • |BE|
olduğuna göre,
sin(ACF) kaçtır?
11.
B)
V2
C)
V3
D) 1
C
M |co
A ){
tanx - cotx = 1
olduğuna göre, tan2x + cot2x
kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
ifadesinin değeri
D) 5
E) 6
f
sinx
tanx cosecx
=■
l
1+ cosx
12 .
4sinx + 5cosx
=3
sınx-cosx
15.
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
olduğuna göre, tanx kaçtır?
A) - 1
A )- 8
B) cosx
C) cotx
D) cosecx E) 1
18
B) - 6
C )-4
D) 2
E) 6
T R İG O N O M E T R İ
16.
1+
19. ABC bir üçgen,
sin34°
cos56°
AH JLBC
toplamının değeri kaçtır?
*> !
B) 2
C)
|AH| = 6 br
D) 3
|BC| = 12 br
E>1
olduğuna göre,
cotB + cotC
toplamının değeri kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
D) - 1
=>4
cos2 420+cos248°
2cosec30°
17.
ifadesinin değeri kaçtır?
|
A) 1
C)
D>T
E>T
e
a
20 .
2sinx-cosx
sec x + cot x
f(x)
olduğuna göre
■<!
A)
kaçtır?
C)
18. ABC bir üçgen,
E F İA B
E D İA C
CEVAP ANAHTARI
cosA
olduğuna göre, tan(DEF) kaçtır?
A )" }
B )-|
C ) -1
4
°)-3
5
^ 3
19
1. C
2. B
3. A
4. E
5. E
6. B
7. C
8. D
9. A
10. C
11. B
12. E
13. D
14. D
15. A
16. B
17. C
18. D
19. B
20. E
T R İG O N O M E T R İ
TEST - 2 ÇÖZÜMLERİ
sınx
sınx-sınx-cosx+sınx+sınx-cosx
1+cosx 1-cosx
1-cos2x
(1-cosx) (1+cosx)
a = 124470"
124470" I 3600"
I 34°
- 10800
2sinx
16470
sin2x
- 14400
->
2070"
2070"
- 180
-
2
:2cosecx
sinx
60"
34'
CEVAP E
270
240
5.
30"
sin 85° +
tan 1 7 5 °-
124470" = 34° 34' 30" olur.
cos260°CEVAP C
cot 2 7 5 °-
O
P
II
oo
o
1-
CEVAP E
= 80°+(—— )
1.100
80°+—
-3600"
100
:80°+504"
504"
- 480"
60"
le .
a = sin 5°
I
b = sin85°
8'
24"
c = sin 105° = sin(180° - 75°) = sin 75° olduğundan
= 80° 08'24" olur.
a < c 
272"
240
60"
7
3
' ■
sinx
= >
sinx
4
= —
cosx
3
4
=?• tanx = —
P = 7° 04' 32"
a = 28° = 27° 59' 60"
cosx = — olur.
5
P = 7° 04' 32"
a - p = 20° 55' 28"
4
=
cosx
32"
olur.
CEVAP C
CEVAPA
20
T R İG O N O M E T R İ
Q
o.
.
cos2 x .
1-sin2 x „
sınx + - ----------- 1 = sınx + —— -------- 1
1+ sin x
1+ sin x
= sinx +
(1-sinx)(J>sirfx)
J>-sirfx
12.
tanx- cosecx-
sınx
1+ cos x
^
sinx ( 1
sinx
cosx lvsinx 1+ cosx,
(1+cosx) (sinx)
sinx 1+ cosx-sin2 x
cosx[ sinx(1 + cosx)
= sinx + 1 -s in x -1
=0
^HTX •(cos x + cos2 x)
cosx- ,sirr5f(1 + cosx)
CEVAP D
_ cosx(1 + cosx)
cosx(1 + cosx)
q
cosx
.
cosx
sınx
-----------+ tanx = ------ — + --------1+ sinx
1+ sinx
cosx
(cosx)
(1+sinx)
= 1 olur.
CEVAP E
(1 + sinx)cosx
13.
sin2 x + cos2 x + sinx
(1 + sinx)cosx
1+ sinx
(1 + sinx)-cosx
cosecx = ■
—-— = —î—=> sinx = 2,7 olamaz.
sinx
2,7
1
= secx
cosx
(-1<sinx< idi.)
CEVAP D
CEVAPA
14.
10.
1
sinx
sınx | cosx
cosx sinx
tanx + cotx
1
sinx
.
sınxcosx
sin(ACF) = sin(x + y)
1 sin x-cos x
sinx
1
= sinx cosy + cosx siny
_J
cosx
1
J
1
" V 2 ' V 2 + V 2 'V 2
CEVAP C
=1
11-
CEVAP D
tan x - cot x = 1
(tan x -c o t x)2 =1
tan2 x + cot2 x - 2 tanx cotx = 1
15.
tanx-cotx = 1 olduğundan
4sinx + 5cosx
= 3 => 4sin x + 5cos x = 3sin x - 3cos x
sinx-cosx
sinx = -8cosx
tan2 x + cot2 x = 3 olur.
tanx = -8 olur
CEVAP B
CEVAP A
21
TR İG O N O M E T R İ
16.
19.
. sın34° . . _ .
1+ -------- - = 1+ 1= 2 olur.
cos56
(sin 34° = cos56°)
CEVAP B
cotB =
cotC =
6
12 - x
cotB + cotC = x + ^ —- = 2 olur.
CEVAP B
17.
cos 42°+cos 48°
2cosec 30°
cos 42°+sin 42°
2cosec30
1
J __
sin 30°
1
1 .
——= — olur.
2 -2 4
CEVAP C
20 .
f(x ) =
(?)
18.
Â + DEF = 180°
DEF = 180 °-Â
(? )
tan(DEF) = tan(180° - Â)
2 sinx-cosx
secx + cotx
0 . 2n
2n
2 sın — -c o s —
3
3
s e c -^ + cot—
3
3
2sinf-(;cos!)
1
7T
-cos—
3
= -tanA
V3 1
~2~+ 2
= — olur.
3
(?)■
<
CEVAP D
?
_1_
cot 3
2V3+1
S
-(2-s/3+l)
V3
K
~
-
CEVAP E
22
T R İG O N O M ETR İ
ÇÖZÜMLÜ TEST - 3
5.
Dik üçgende trigonom etrik oranlar ve böl
gelere göre durumları ile ilgili uygulamalar:
n
3
— <X<7t, cosx = - —
2
5
olduğuna göre, sinx + tanx kaçtır?
1.
n
71 .tanx = —
5
0 < x < —,
2
7
A) "75
12
8
2
D)
E> ' i
olduğuna göre, cosx kaçtır?
A)
12
B)
13
C)
D)
V3
E)
6.
ti
<x <
3îc
4
, sınx = —
2
5
olduğuna göre, tanx - cosx kaçtır?
2.
tanx = 2
A)
olduğuna göre, cos2x -c o s x •sinx
29
15
23
B)
15
C)
15
D)
23
15
29
E)
15
ifadesinin değeri kaçtır?
A) - 1
b)
-4
D) 0
C)
E>3
1
S.
ra
İS 7.
3rc
2
t
3
4
n < x < — , tanx= 3.
< x < k , sınx
24
olduğuna göre, 3cotx - 10cosx in değeri kaçtır?
25
A )- 1 2
B) - 6
C) 4
D) 8
E) 12
olduğuna göre, cotx kaçtır?
25
7
24
C> T
25
D) - î t
E> “ i î
0<X<7t, cotx
3n
„
12
— <x<2rr, cosx = —
2
13
.. co sx-sın x
~
olduğuna g o re ,----------------- ın değeri kaçtır?
tanx
olduğuna göre, sinx kaçtır?
A> f
B)
5
12
C)
12
13
12
5
° > -İ3
54
8
E )-İ3
23
72
79
^ iö
84
D )ü
E)1
T R İG O N O M E T R İ
13.
9.
3it
3
0 < x < — , sınx = —
2
5
12
B)
sin(y +x)M
secx
-co tx İn değeri kaçtır?
cosecx
olduğuna göre,
A)
cosf—— + x l cot(5îr-x)
l 2
J
12
0 -4
3
O
5
-
( - 1? )
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) tanx
7
E ) 12
14.
B) secx
C) cotx
D) - 1
E) 1
tan10° = a
olduğuna göre,
10.
— < x < n , tanx;
2
tan190°-cot100°
cos300°
olduğuna göre, 1 +10sinx •cosx İn değeri kaçtır?
A )- 2
B ) -1
C )0
D) 3
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
E) 4
A )~
B )-2 a
C ) -4 a
D) 4a
E)
TC
11 .
15. ABCD dik yamuk
tan^ + a j + c°t(7i + a) + tan(7t - a)
A D İ AB
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) tana
B) cota
C) 3tana
D) - cota
m(BCD) = a
E) - tana
olduğuna göre,
tan a kaçtır?
A)
c>-1
D) -
12 .
sın x-co s x
16.
cosx(1 + tan2 x) - sin x(1 + cot2 x)
0< a< |
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
sin(rt + a)
B) —sin2x
' 2
A) 2sinx
D) tanx
C)2cosx
tan(a-Tt)
cos(2n - a)
“ . ( f ' “ *(*■—)' “ • [ ^ - —3
E) cotx
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) cosa
24
B) sina
C) tana
D) cota
E) seca
T R İG O N O M E T R İ
20. ABC üçgeninde,
17. O merkezli, [AC] çaplı çemberde,
|AC| = 10 br
|AB| = |AC| - 5 cm
|AB| = 8 br
|BC| = 6 cm
BD J.AC
m (B C D ) = a
m (C B D ) = a
olduğuna göre, cota kaçtır?
C)
olduğuna göre, cosa kaçtır?
4
D> l
A)
uı |
B) 2
A) 4
C)
18. ABCD bir dikdörtgen,
|AB| = 15 br
|AD| = 6 br
m(DÂE) = m(CEB) = a
olduğuna göre, tan a nın değerlerinden biri
t
21.
tan20°=a
aşağıdakilerden ha n g is id ir?
olduğuna göre,
A)
B)
C )3
D)
tan20°+ taniiO 0
cot290° + tan315°
E)
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
1+ i
A)
19.
a
B)
1+ ı
C)
D)
E) 1
tan 35° = a
olduğuna göre, tan 125°-cot125°
CEVAP ANAHTARI
ifadesinin a cinsinden değeri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) - t
B)
D)
-1
1-a '
C) - 2a
1. C
2. C
3. E
4. D
5. B
6. A
7. E
8. D
9. B
10. A
11. E
12. B
13. D
14. D
15. A
16. B
17. C
18. B
19. D
20. E
21. C
E)
ı+ 1
25
TR İG O N O M E T R İ
TEST
1.
- 3 Ç Ö ZÜ M LER İ
e n — <X<7T,
0 < x < ^ . tanx = - ^
2
12
12
13
o
COSX = -----
2
13.
5
4 ,
4
sınx = —, tanx = —
5
3
12
CEVAP C
sinx + tanx
2.
tanx = 2
4_4
15 3
1 2 -2 0
8
15
15
olur.
CEVAP B
1
75
2
75
cosx = -?=-, s ın x = -7=r
k
cos x-co sx smx =
1
75 J
5
5"
2
5
cosx = ---5
5
Ü
e
7i
— < x < 7t.
2
2
tanx = —
3
75 75
CEVAP C
*a
o.
3n
4
< x < — , sınx = —
tan x-cos
|
2.
4
. 2 4
sınx = —
25
3 = 29
3+5
15
olur.
CEVAPA
co.x = ^
ikinci bölgede cot - olduğundan
cot x =
24
olur.
-j
r.
ti
3n
3
< x < — , tanx = —
CEVAP E
cotx =
3n
„
12
— < x < 2 ti, cos x = —
2
13
S'nX~13
3cotx-10cosx = 3 ~ - 1 0 - ^ —g-j
dördüncü bölgede sin - olduğundan
= 4 + 8 = 12 olur.
sinx
13
olur.
CEVAP E
CEVAP D
26
TR İG O N O M E T R İ
8.
11 .
0 < x < ît, cotx = - ^
t a n ^ + aj + cot( * + a) + tan(7i - a)
O
= -cota + cota -tana
tanx =•
12
= - tana olur.
_5_
13
CEVAP E
0 < x < %aralığında kotanjant birinci bölgede + olduğu için
cos, sin ve tan da 1. bölgede ve + olmalıdır. Buna göre,
12 5_
cosx - sin x _ 13__ 13 = 7 12 ^ 84 ^
tanx
_5_
13 5
65
.
12
12
sınx-cosx
cosx(1 + tan2 x) - sin x(1+ cot2 x)
CEVAP D
sin x -c o s x
cosx(1 + tan2 x)-sinx|
J
f 1+ tan2 x'|
[ tan2 x
sinx-cosx
cos2 x'(
(1 + tan2 x) co sx-sın x------s—
sin x J
sinx-cosx
(1 + tan2 x)
sınx-cosx
1
cosx(sinx-cosx)
s2 x
Sinx
sınx-cosx . .
. sınx cosx
= (sınx-cosx)sın x-cos x
sınx-cosx
sin x-cos x
0 < x < ~ aralığında sinüs üçüncü bölgede - olduğu
için tan ve cot bu bölgede + dır
CEVAP B
—sin2x olur.
2
CEVAP B
10 .
— <x<7t, tanx = -3
2
Ol I I
13.
— ---7 = -
Vıo
cosx =
l
1
=
V10
1+10 •sin x •cosx = 1+ 10
( 5k
c o s ------+ X j-cot(57i-x)
sK t
3
VTÖ
2
+ x)
3* +Xj-C0t(7T"l w X)
>lf —
■tanj
_ sinx (-cotx)
-c o s x (-1 )
("Vo)
= 1 -3 = -2 olur.
= -tanx-cotx = -1 olur.
CEVAPA
CEVAP D
27
TR İG O N O M E T R İ
14. tan10° = a
18. ADE ve EBC dik üçgenlerinde tana yazılıp eşitlenirse
tan190°-cot100° _ tan(180° + 10°)- cot(90°+10°)
cos300°
cos60°
1 5 -x
tana = •
6
6
15-x
x
d
E x
/V a
E
tan10°+tan10°
x2 - 15x + 36 = 0
a/
= 4a olur.
Xj = 3, x2 = 12
15
3 1
6
tana = — = — veya tana = —= 2 olur.
6 2 .
3
CEVAP D
verildiği için
CEVAP B
19.
tan 35° = a
tan 125° - cot125° = tan(90°+35°)- cot(90°+35°)
= -cot35° + tan35°
1
=— +a=
a2- 1 .
olur.
16. 0 < a <
CEVAP D
sin(7t + a)
ta n (a -7 t)
cos(27t-a)
20. [AH] yüksekliğ çizilirse
c o t ( | - a ] ' cot<"+ a ) » s ( f - a )
|AH| = 4 cm
|BH| = |HC| = 3 cm olur
-sina tana cosa
cosa
sina
--------------------------= -------- =cosa-------- =sına olur.
tana
cota -s ın a
cota
AHC dik üçgeninde
cosa
cosa = — olur.
5
CEVAP B
17. B ile C birleştirilirse
A , ------
m(B) = 90° olur.
(çapı gören çevre açı)
m(Â) = m(D) = a
(aynı yayı gören çevre açılar)
/
/
21.
tan20°=a
tan20°+tan110°
cot290°+tan315°
\10
/
\
\ Jy^ \ j j
tan20° - tan(90°+20°)
cot(270°+20°) + tan(270°+45°)
(
tan20°-cot20°
-tan20° - cot45°
—
ABC dik üçgeninde
° a
-a -1
8 4
cot A = cota = — = — olur.
6 3
1 -a
(a-1)(a + 1)
1
a
-(a + 1)
olur.
CEVAP C
CEVAP C
28
T R İG O N O M E T R İ
ÇÖZÜMLÜ TEST -4
Toplam -fark ve yarım açı form ülleriyle ilgili
uygulamalar:
4.
sin(x - 60°) •cos(x -15°) - sin(x -15°) •cos(x - 60°)
İfadesinin değeri kaçtır?
72
1.
A) -
sin72° cos12° - sin12° •cos72°
2sin15°cos15°
73
B)
2
73
C )~2
D> i r
ifadesinin değeri kaçtır?
73
C)0
A)
D) 73
E) 2
ifadesinin değeri kaçtır?
3.
■>#
cos 7,5
cos 2,5
ifadesinin değeri kaçtır?
73
A)
sin 7,5
sin 2,5
5.
cos 22° cos23” -sin22° sin23°
C)
D) 1
E)
B)1
9x = 7t olduğuna göre,
6.
C) 2
E )- 2
cosa = sin 2b
olduğuna göre, sin(2a+2b)
hangisine eşittir?
cos5x •cos2x + sin5x •sin2x
D ) -1
aşağıdakilerden
C 0 S ^ |-3 x j
A) - cosa
ifadesinin değeri kaçtır?
A) T "
B) T "
C) 1
□)
73
E) 73
29
B) -sina
C) sina
D) cosa
E) cos2a
TR İG O N O M E T R İ
7.
10 .
4a + re = 3b
olduğuna göre, sin(4a + 3b) ifadesinin
a cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) - sin8a
B) - sin6a
D) cos8a
C) - sin4a
ABCD dikdörtgeni üç eş kareye ayrılmıştır.
E) sin8a
m(ÂEB) = a
olduğuna göre, cot2a nın değeri kaçtır?
4
B> 3
A)
4
°> " 9
°> -5
E>-T ö
11 .
8.
cos(a + b) - cos (a - b)
sin(a + b)+sin(a-b)
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) -tanb
B)tana
C)cosb
D) 1
E )-1
ABCD ve BEFG birer kare,
|BC| = 3|GC|
olduğuna göre, sin(ACE) nin değeri kaçtır?
6
A)
B)
572
D)
9.
572
C)
572
E)
572
10
sin 105°
ifadesinin değeri kaçtır?
A)
73+72
B)
76-72
12.
(sinx + cosx)^-sin2x
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
» 4
E)
76+72
A) - 1
B) cos2x
D) -2sinx
30
C) 0
E) 1
TR İG O N O M E T R İ
13.
TC
2
.
— < x < ir,
16.
3
4
sınx = —
olduğuna göre, cos14°-2sin76°
olduğuna göre, tan2x in değeri kaçtır?
A) -5x/6
sin7°=a
B) -4>/5
ifadesinin a türünden değeri nedir?
A) - 1
C )-2
B) 1 - 2a2
D)
D) 377
2a2- 1
C) 1
E) 2a - 1
E) 272
17. ABCD bir kare,
|AD| = 4|AE|
14. Aşağıdakilerden hangisi
m(BEC) = 0
1+2cosa + cos2a
olduğuna göre,
ifadesinin çarpanlarından biri değildir?
3a
B) cos-
A) cos-
cosö nın değeri kaçtır?
19
04
14
A) 5'JÎ7
D)cosa
B) 5Vl7
E) 1+cosa
D) 5 ^ 7
E)
5^17
18. ABCD bir kare,
|AF| = |FB|
|EB|=2- |CE|
m(DEF) = a
15.
2 -4 s in 75°
sin 15° cos 15°
olduğuna göre,
tana nın değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 4
B) 2
.
01
D )- 4
E) - 8
A) 3
31
B) 2
C)
D) - -
E )-3
T R İG O N O M E T R İ
21. A L İK L
19. ABCD dikdörtgen,
|DE| = |EC|
BA//KL
|BF| = |FC|
|AL| = 3 km
|DC| = 2 -1AD|
|BA| = 12 km
|KL| = 21 km
m(EAF) = a
K noktasındaki kontrol kulesinde bulunan bir görevli,
yerden 3 km yükseklikte yere paralel uçan bir uçağın, A
noktasından B noktasına kadar 12 km lik hareketini
radarla izliyor.
olduğuna göre, cota nın değeri kaçtır?
A) 5
B )|
C )|
D )4
E )|
A noktasının yerdeki dik izdüşümü L noktası ve
|KL| = 21 km olduğuna göre, radarın taradığı AKB
açısının tanjantı kaçtır?
3
4
A) T
B) T
2
C )—
3
7
D )—
E)
tana nın değeri kaçtır?
B) 2 - y J d
A )JÎ-J2
D )> /2 -1
C) V 3 -1
E )^ +1
• X( . _ . 2 X
yj2>
sın— 1-2sın — = —
6^
12
)
4
eşitliğ in i sağlayan x e [0,27i) aşağıdakilerden
CEVAP ANAHTARI
hangisidir?
,
k
A> 3
n
~2
2n
C )T
5k
6)11
32
1. D
2. B
3. D
4. A
5. C
6. D
7. A
8. A
9. E
10. B
11. c
12. E
13. D
14. B
15. D
16. D
17. C
18. A
19. C
20. E
21. C
22. B
-
TR İG O N O M E T R İ
TEST - 4 ÇÖZÜMLERİ
1
sin72° •cos12° - sini 2e■cos72° _ sin(72°-120)
2sin15°-cos15-
sin2-15°
5.
S
sin7,5
sin2,5
cos7,5
cos 2,5
(cos 2,5 )
(sin 2,5)
sın60
.
r r = -fo- = V rz
3 olur.
sın30
1
sin7,5 cos2,5-cos7,5 sin2,5
sin2,5-cos2,5
sin(7,5-2,5)
sin5°
^sin2-(2,5)
İsinS*
= 2 olur.
CEVAP D
CEVAP C
6.cos a = sin 2b => cos 2b = sina
2-
sin(2a + 2b) = sin 2a •cos 2b + cos 2a •sin 2b
cos220 cos23°-sin220 sin23° = cos(22°+23°)
sin(2a + 2b) = sin2a •sina + cos2a •cosa = cos(2a - a)
= cos45°
= cosa olur.
2
CEVAP D
CEVAP B
7.
4a + 7i = 3b
sin(4a + 3b) = sin(4a + 4a + 7i)
3.
9x = tc=> 3x = —
3 •
= sin(7c + 8a) = -sin8a olur.
CEVAPA
cos5x • cos2x + sin5x •sin 2x _ cos(5x-2x)
sin3x
c o ş ( |- 3 x J
cos3x
sin3x
8.
cos(a + b)- cos(a- b) _
sin(a+b)+sin(a-b)
cot3x = cot—= —
3
3
0r,.„a + b + a -b „.„a + b -a +b
n
2
SIR
2
2cina + b + a ~ b coca+ b ~ a+b
2
2
-sina-sinb
sina-cos b
CEVAP D
=-tanb olur.
CEVAPA
4.sin(x - 60°) •cos(x -15°) - sin(x -15°) ■cos(x - 60°)
= sin [x - 60° - (x -15°)]
9.
sin105° =sin(60o+45°)=sin60° •cos45°+cos60° • sin45?
= sin(x-60°-x+15°)
= sin( - 45°) = -sin45°=
/?
2
= 73 ^
2
olur.
.2
1 ^
+2
2
V6+>/2
CEVAPA
CEVAP E
33
T R İG O N O M E T R İ
10.
14.
1+ 2 cos a + cos 2a = 1 + 2 cos a + 2cos2 a -1
1
A
1
= 2cosa(1 + çosa)‘
1
-ı
B
= 2cosa^1 + 2cos2 ~ l j
m (Â E B ) = a =
a + b => tan a = tan(a + b)
tana + tanb
2+1
_
ta n a = --------------------= ----------- = - 3
1 -ta n a ta n b
tan 2a
cot 2a
2cosa^2cös2 -^-j
1 -1 -2
2tan a
2 (-3)
1 -ta n 2 a
1 -(-3 )2
4cosa-cos2-?-8
4
1
4
--------- = — olur.
tan 2a 3
cos—, 4,1 + cosa, cosa birer çarpan,
3a
, ......
cos— çarpan değildir.
CEVAPB
CEVAP B
11.
15
2 -4 s in 2 75° _ 2(1-2sin2 75°) _ 2 cos150°
sin15°-cos15°
l sin2-15°
-sin30°
2
2
=-4 olur.
sin(ACE) = sina •cosb + cosa •sinb
" 372
CEVAP D
4
5 + 3>/2 5
3 _ _ 3_
3
21
7
15V2
5^2
16-
sin7°=a
cos14° = sin76°
olur.
cos14°-2 sin760= cos14°-2cos14°
CEVAP C
= • cos14° = -(1 -2sin27°)
= -(1 -2 a 2) = 2a2 -1
12.
(sinx+cosx)2-sin2x=sin2x+cos2 x+2sinxcosx-sin2x
CEVAP D
= 1+sin2x-sin2x
17. (x + y) + 0 = 7t=>(x + y) = 7t-0
= 1 olur.
cos(ır-9) = cos(x + y)
CEVAP E
13.
7t
-cos0 = cos(x + y)
. 3
—<x<7t, sınx = —
' cos0 = -cos(x + y)
tanx = -
tan2x =
77
= -(cosx ■cosy - sinx •sin y)
2tanx
cos8= ( 5 \ r n
1 -ta n 2 x
COS 0 = —
377 olur.
CEVAP D
13
57Î 7
CEVAP C
34
TR İG O N O M E T R İ
2 0 . sin— f l-2 s ln 2 x ^
18.
6
2 sin— -co s 2 --^ - = ^ - - 2
6
12
4
. x
73“
sın— = — —
3
2
.x
. JT
sın— = sın —
3
3
(x + y) + a = rc=>x + y = 7 t - a
X
-ta n a =
TC
— = —=>x = 7t olur.
3
3
tan(7t-a) = tan(x + y)
CEVAP E
tanx + tany
—
1-tanx-tany
3 +—
l5
tana = -------1 -3 -
-4
21. J l = .
21
x+3
x =4
tan(a + p)=
ta-™ + la n.P
_
1-tana-tanp
15 4
tana = -------- = 3 olur.
4 5
tana + —
CEVAPA
1- J-tana
tana
11
CEVAP C
22.
19.
(x + y )+ a =
x+y = _ -a
tan(x + y) = tan
(Im(DAC) = m(C) - m(D) - 60°
tan(x + y) = cota
cota =
a + 45° - 60°
tanx + tany
1 -ta n x ta n y
a = 60 °-4 5 °
tana = tan(60°-45®)=
1+ İ
cota =
1-1
cot a =
tana = tan15°=
tana = tan15° =
= — olur.
3
3
tan60°-tan45°
1+ tan60°-tan45°
73 -1
1+ 73-1
7 3 -1
73+1
(73-1)
tana = tan15° = 2 - 7 3 olur.
CEVAP C
CEVAP B
35
T R İG O N O M E T R İ
ÇÖZÜMLÜ TEST =5
Dönüşüm ve ters dönüşüm form ülüyle
ilgili uygulamalar:
5.
x = - • olduğuna göre,
14
cosx + cos13x
sinx + sin13x
1.
sinx+sin3x
cosx-cos3x
ifad esinin değeri kaçtır?
ifad esi aşağıdakilerden ha ngisine e ş ittir?
A) cosecx B) secx
C) tanx
D) cotx
E) sinx
A )- 2
6.
2.
cos72°
B) —1
C )0
D> 7 3
E> ' 6 '
D )- 2
E) —3
17a = ti olduğuna göre,
cos 2a + cos 8a
cos3a cos12a
cos36°
ifad esinin değeri kaçtır?
ifad esinin değeri kaçtır?
A) 2
B) 1
C)-
D) —1
E )- 2
A) 2
B) 0
C) - 1
,4
y
l
|
3.
7.
sin7a + cos7a
sin 5a ı cos 5a
sin5x-sinx
cos3x-cosx
ifadesi aşağıdakilerden h a ngisine e şittir?
A) 1
ifad esinin değeri kaçtır?
A) 2
B) 1
24a =7t olduğuna göre,
•fi
x = — olduğuna göre,
O
C)
D)
B) 2
C) cos5a
D) sin5a
E) sin7a
D)
E) 2
E) - 1
8.
tanx = - 2 olduğuna göre,
4.
sin3x + sinx
cos3x + cosx
sin105°-sin75°
sin 15° sin 25°
ifad esinin değeri kaçtır?
A)
B) 0
C)
ifad esinin değeri kaçtır?
» 4
E) \İ3
A)
36
4
B)
1
C)0
TR İG O N O M E T R İ
12 .
9.
x - — olduğuna göre,
8
cos(a + b) + cos(a-b)
sin(a + b )-s in (a -b )
sin3x + sin5x
ifad esi aşağıdakilerden ha ngisine e şittir?
cosx + cos3x
A) tana
ifa d e s in in değeri kaçtır?
A)
10.
72
B) 1
C) 72
D) 1
» f
cosx + cos6x ı- cos11x
sinx + sin6x + sin11x
if a d e s in in k ıs a ltılm ış b iç im i a ş a ğ ıd a k ile rd e n
ha ngisidir?
2 cos—
2
A) 1
C) 3
B) cotx + cot6x + cot11x
D)cot6x
ifad esinin değeri kaçtır?
7
E) tana+tanb
13.
sin3x + sin4x
B)
C) cotb
E) 2
x -- — olduğuna göre,
A) 4
B) tanb
D)
C)0
E)cot18x
E)1
11 .
cos 56° i-cos34°
sin56° + sin34°
14.
sini 5° + sin30° + sin45°
cos 15° + cos30° + cos45°
ifad esinin değeri kaçtır?
A) - 1
C)
ifad esinin değeri kaçtır?
73
A)
D) 1
E) 273
37
73
B )~
C)73
D) 72
E) 1
T R İG O N O M E T R İ
15.
18. sin65° = a olduğuna göre,
ta n x = - olduğuna göre,
c o s 2 0°c o s 7 0°
sinx + s in 2 x + sin3x
c o s h - cos2x+
ifadesinin a cinsinden değeri nedir?
cos3x
1
ifadesinin değeri kaçtır?
A)
C)
B)
B) a
A ) -2 a
E>!
15
E) 72 -
19.
4 c o s 4 0 ° c o s 8 0 ° + 2cos220°
işleminin sonucu kaçtır?
16.
A) 2
cos 3 5° cos 85° — sin 140°
B) 1
C )0
D)
E) - 1
2
ifadesinin değeri kaçtır?
6
;v.
A)
B)
C)
D)
E) 0
i
20.
2 4a
olduğuna göre,
cos 2a + cos 4a + cos 6a
sin2a + sin4a + sin6a
ifadesinin değeri kaçtır?
A) ^
B) 7 5
C)
73
72
D)
E) 1
17.
. 7n
cos5ti
sın-------------12
12
CEVAP ANAHTARI
ifadesinin değeri kaçtır?
A)
B)
C) 1
D) 2
E) 4
38
1. D
2. A
3. E
4. B
5. C
6. D
7. A
8. D
9. C
10. E
11. D
12. C
13. D
14. B
15. D
16. C
17. A
18. C
19. E
20. B
T R İG O N O M E T R İ
test
- s
ç ö zü m leri
1.
sinx+sin3x
cosx-cos3x
_ . x + 3x
x -3 x
2sın— - — cos— - —
4.
sin105°-sin758
sini 5° •sin25°
2sin15°-cos90°
sin15°-cos25°
_2s|nx ± 3 )< .sinl z 3 x
2cos90°
cos25°
sin2x-cosx
sin2xsin(-x)
0
•= 0 olur.
cos25°
CEVAP B
_şifrZx -cosx
^ r r 2 > T s in x
re
_
n
x = — =^7x = 14
2
cotx olur.
CEVAP D
cosx + cos13x
2cos7xcos6x
sinx + sin13x
2sin7x-cos6x
= cot7x
2.
cos 72°
cos 36°
(cos 36®)
(co s7 2 #)
= cot— = 0 olur.
cos36°-cos72<’
cos36°-cos72°
2
CEVAP C
-2 sin
36°+ 72°
36°-72°
•sın-
cos36° •cos72c
h
-2sin54°sin(-18°)
cos 36°-cos 72°
2.sift-54tr •ş jp t â ?
.1
= 2 olur.
17a =
5a + 12a ^ 7i-^> 12a = 7i-5a
cos2a + cos8a _ 2cos5a cos3a
cos3acos12a cos3a cos12a
2 cos 5a
cos12a
2cos5a
cos(7t-5a)
CEVAPA
3.
2 cos5a
-cos 5a
-2 olur.
CEVAP D
4x -
sin5x-sinx
cos3x-cosx
2sin2xcos3x
-2sin2x-sinx
sin2xcos3x
-sin2xsinx
24a = k => 12a = •
cos3x
sinx
sin7a + cos7a
sin5a + cos5a
sin7a + sin5a
= 1 olur.
sin5a + sin7a
(cos7a = sin5a, cos5a = sin7a olduğunu görelim.
-1 olur. |^3x + x = 4x = j veriliyor.j
CEVAP E
CEVAPA
39
T R İG O N O M E T R İ
8.
tanx = -2
12.
sin3x + sinx
cos3x + cosx
2sin2xcosx
2cos2x cosx
= tan2x = -
cos(a + b) + cos(a-b) _ 2cosacosb
sin(a + b )-s in (a -b )
2sinbcosa
= cotb olur.
2tanx
CEVAP C
-4
4 .
y = — = - olur.
2 -(-2 )
= tan2x = —
1 -(-2
f
-3
3
CEVAP D
sin3x + sin5x
cosx + cos3x
2sin4xcosx
2cx?s2x-cosx
sin4x
cos2x
2sin2x-cos2x
cos2x
13.
•2sin2x = 2 sin—= 2 ------= 72 olur.
4
2
CEVAP C
cosx + cos11x + cos6x
sinx + sini 1x + sin6x
2cos6x-cos5x+ cos6x
2sin6x cos5x + sin6x
■§■
co s 6 x
§
- ( 2 cos 5 xh :1)
sin6x(2cos5x + 1)
I
= cot6x olur.
=*
CEVAP D
10.
x = —=> — = —
sin3x + sin4x
„ . 7x
x
2sın—-c o s —
2
2
7x
sın2
Ti
= sin—= 1 olur.
2
CEVAP E
14.
sini 5° + sin45° + sin30°
cos15° + cos45° + cos30°
2sin30° •cos15° + sin30°
2cos30° •cosl 5° + cos30°
sin30o(2cos15°+1)
11.
cos56° + cos34®
sin56° + sin34°
cos30°(2cos15°+1)
2cos45°cos11‘
2sln45°cos11‘
=i i n ^ ; = , a n 3 0 - = ^
1 olur.
cos30
CEVAP D
3
CEVAP B
40
TR İG O N O M E T R İ
18. sin65° = a
15. tanx = —
4
cos 20° ■cos70° = —(cos45°+cos25°)
sinx + sin3x + sin2 x
cosx + cos3x + cos2x
2 sin2 x •cosx + sin2 x
2cos2x •cos x + cos2x
ır v 2
+ sin65‘
2 2
sin2 x(2 cosx + 1)
cos2 x(2 cosx + 1)
= tan2 x =
2 tanx
■
1 -ta n 2 x
42 1
,
— + —a olur.
4
2
m
CEVAP C
1 16
4
=--------------i \2 2 15
8
15
olur.
1 - 1}
CEVAP D
19.
16.
4cos400-cos80°+2cos220<3
4 ■—(cosl 20° + cos40°) + 2cos220°
cos35°-cos85°— sin140°
2
= •l[cos(35° + 85°) + cos (35° - 85°)] -
= 2-
sin 140°
+ cos40° +2cos220°
= - 1 + 2cos40° + 2cos220°
= — cos120° + cos506- —sin140°
2
2
ı . f - i U
2 \ 2)
2
= -1 + 2(cos130° ■cos90°)
cos50° - —sin(90°+50°
2
1 1
1
= -1 + 2(cos40° + cos220°)
I
1
= -1 + 2-0 = -1 olur.
1
= — + —cos50°— cos 50° = — olur.
4 2
2
4
CEVAP E
CEVAP C
i» ,
. 7n
5n
12
12
sın— cos—
"
20.
ı_ . ( 7 k 5n'] . ( 7 n 5n''|
ın — + — + s ın ----------12J
^12 12J
2 ' {12
24a = 7c=>4 a = cos2a + cos6 a + cos4a
sin2 a + sin6 a + sin4a
1( .
. n\
= — sınrc + sın—
2l
6)
2cos4a •cos2a + cos4a
2sin4acos2a + sin4a
_ cos4a(2cos2a + 1)
' sin4a(2cos2a + 1)
-İH )
= cot 4a
— olur.
4
= cot—= 73 olur.
6
CEVAPA
CEVAP B
41
TR İG O N O M E T R İ
ÇÖZÜMLÜ TEST -6
3.
Sinüs ve Kosinüs teorem leriyle ilgili
uygulamalar:
ABC üçgeninde,
m (Â ) = a
m(B) = 90° + a
1.
ABC bir üçgen,
| BC| = 7 br
|AB| = 4 br
|AC| = 15 br
|AC| = 3 br
olduğuna göre, tana nın değeri kaçtır?
m(C) = 2m (B ) = 2a
A ) 10
olduğuna göre, cosa nın değeri kaçtır?
2
A)1
2.
B)
73
C) 1
D) i -
8
73
E) i -
4.
ABC bir üçgen,
ABC üçgeninde,
m(B) = 30°
|AB| = 473 br
b = 6 cm
|AC| = 4 br
olduğuna göre, bu üçgenin
çevrel çemberinin yarıçapı
kaç cm dir?
m(B) = 30°
olduğuna göre, C açısı kaç derecedir?
A) 30
B)
B) 45
C) 60
D) 75
A) 14
E) 90
42
B) 12
C)10
D) 8
E) 6
T R İG O N O M E T R İ
5.
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları a,b, c dir.
8.
Şekilde verilenlere göre,
.12
Alan(CDE) kaç br2 dir?
m(B) + m(C) = 60°
C
10
15
b = 2c
olduğuna göre, tanB kaçtır?
A)
6.
73
B )I
C)
D) yİ3
A) 24
E) 272
B ) 30
C ) 36
D) 42
E ) 48
D) 5
E) 6
ABC bir üçgen,
|BD| = |DC|
Şekilde taralı BDE ve CEF
üçgenlerinin alanları eşittir.
m(BÂD) = 30°
Verilenlere göre,
|CF| = x kaç br dir?
m(DAC) = a
|AB| = 6 br
|AC| = 8 br
olduğuna göre, sina kaçtır?
A)
7.
B)
C)
A) 2
D)
B) 3
C) 4
E)
ABC üçgeninde,
10.
m(Â) = 120°
Bir ABC üçgeninde,
m(Â) = 60°
|AB| = 4>/3 cm
a = 7 3 (c -b )
Alan(ABC) = 24 cm"
olduğuna göre, m(B) kaç derecedir?
olduğna göre, |AC| = b kaç cm dir?
A) 6
B) 673
D) 873
A) 30
C) 8
E) 9
43
B) 45
C) 60
D) 75
E) 90
D
T R İG O N O M E T R İ
11.
14. Şekilde verilenlere göre,
ABC bir üçgen,
|DE| = x kaç birimdir?
m(BÂD)==45°
m(DÂC) = e
• |BD| = |DC|
|AB| = 2 br
A) 5
B) 275
C) 4
|AC| - 2 V 2 br
D)
3>/5
E )'
olduğuna göre, sinö nın değeri kaçtır?
1
D)
« T
E)
15. Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b, c dir.
12. ABC üçgeninde,
Kenarlar arasında a3 - c3 = ab2 - cb2 bağıntısı
m(Â) = 1209
olduğuna göre, B açısı kaç derecedir?
|AB| = 6 cm
A) 60
B) 90
C )120
|AC| = 10 cm
olduğuna göre, |BC| = a kaç cm dir?
A) 6>/3
B) 9
C) 12
D) 12^3
E) 14
16. ABCD kirişler dörtgenidir.
13. ABC üçgeninde verilenlere
göre,
Verilenlere göre,
|BC| = a kaç birimdir?
m(BCD) = a kaç derecedir?
A) 30
B
A) 14
B) 13
C)12
a
D) 11
C
E) 10
44
B) 45
C) 60
D )135
E )150
T R İG O N O M E T R İ
20. Bir ABC üçgeninde,
17. ABC üçgeninde,
|AB| = 4 cm
cotA= 2~v/2
|BC| = -s/61 cm
|AC|
a = 1 birim
o ld u ğ u n a g ö re , bu ü ç g e n in ç e v re l ç e m b e rin in
yarıçapı kaç b irim d ir?
x cm
m(BAC) = 120°
B) 3
A) 2
D) 5
C) 4
E) 6
o ldu ğun a göre, |AC| = x kaç cm dir?
A) 5
18.
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
DABC dörtyüzlüsünün D
köşesinden geçen ayrıtları
birbirine diktir.
|BD| = 3 cm
1>A
|DC| = 2 cm
|DA| = 1 cm
o ldu ğun a göre,
co s a kaçtır?
A) Û .
10
« f
*4
21. Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b, c dir.
• 4
K enarlar arasında a2 = b 2 + c2 - bc bağıntısı varsa A
açısı kaç de reced ir?
A) 30
B) 45
C) 60
D) 75
19. Şekildeki dik koninin
tepesi T, taban merkezi
O dur.
Yüksekliği
3 cm
taban yarıçapı 4 cm
CEVAP ANAHTARI
m(AOB) = 60'
m(ÂTB) - a
oldu ğun a göre, c o s a nın değeri kaçtır?
1. B
2. C
3. D
4. E
5. A
6. A
7. C
8. D
9. B
10. A
11. D
12. E
13. B
14. A
15. C
16. E
17. A
18. A
19. D
20. B
21. C
A)l
B)
3
C )^
1 25
D) —
1 25
E)
14
25
45
E) 90
TR İG O N O M ETR İ
te s t 1.
0 ç ö z ü m le r i
Sinüs teoremi:
5.
a _ b _ e
= 2R
sinA sinB sinC
b = 2c
Sinüs teoremine göre:
Buna göre,
3
.SHTa
m(B) + m(C) = 60°=>m(B) = a ise m(C) = 6 0 - a
4
2^irra-cosa
sinB
sinC
3cosa = 2
sina
sin(60-a)
sina = 2sin(60°-a)
sina = 2(sin60° •cosa - sina • cos60°)
cos a = — olur.
3
sin a = -v/3 cos a - sin a
CEVAP B
2• sina = -v/3 -cosa
J3
tana = — olur.
2
Sinüs teoremine göre:
4
sin 30°
CEVAPA
4>/3
sinC
sinC = >/3 sin30°
Jö
sinC = — =>C = 60° olur.
2
C
6.
l.Y o l:
CEVAPC
A
ABD de sinüs teoremine göre:
3.
6
a
6
_
3
= ----------=>--------= 2a = > sınx = —
sinx sın30
sinx
a
Sinüs teoremine göre;
7
sina
15
sin(90°+a)
ABD sinüs teoremine göre:
7
sina
15
cosa
8
sin(180°-x)
E
A
15sina = 7cosa
a
sina
8 _ a
sinx sina
8-sina !
a
tana = — olur.
15
[T ] ve [2 ] eşitlenirse
C EVAP D
3
8sina
3
X
X
8
—7 = — 7— => sına = —
4.
Sinüs teoremine göre:
—-|" t = 2R
sın30
2. Yol:
2Rsin30° = 6
S! = S? =>— 6 •c-sin30°=— -c-8-sina
2R -— = 6
2
sina = — olur.
R = 6 cm olur.
CEVAPA
CEVAP E
46
TR İG O N O M E T R İ
7.
10.
Alan(ABC) = —b •c •sin A da verilenler yazılırsa,
24 = - b - W 3 - sin120°
2
24 = b-2-V3 —
24 = 3 b = > b = 8cm olur.
CEVAP C
|AD| = |AC| = b olacak biçimde D noktası alınırsa ADC
eşkenar üçgen, m(BDC) = 120° olur.
8.
DBC üçgeninde sinüs teoremini yazalım.
N/3»-(c-b) _ c ~ b _. V 3 ___1 _
sin120°
sina
JŞ .
sin<x
2
sina =
= 30°
m(B) = 30° olur.
ABC dik üçgeninde,
Sma
15
CEVAPA
I
9 '3
IRJ
5
*
A(CDE) = —10-14 -sin a = —-1 0 -1 4 —= 42 cm olur.
v
’ 2
2
5
11. 6. sorunun çözümüne bakalım.
CEVAP D
I
CEVAP D
12.
9.
Kosinüs teoremi:
a2 = b2 + c2 -2 b c c o s A
A(ADEC) = S' denirse,
Buna göre,
A(ABC) = A(ADF) = S + S'
a2 =62 +102 - 2-6-10 cos120°
■4 •4 • sina =
a2 = 1 3 6 -1 2 0 '
• (4 + x)sin a
7=4+ x
i)
32 =136 + 60 = 196 =>a =14 cm olur.
x = 3 br olur.
CEVAP B
CEVAP E
47
T R İG O N O M E T R İ
13.
ADE üçgeninde cos. teoremi
yazılırsa
15.
a3 - c 3 = ab2 -c b 2 => (a -c )(a 2 +ac + c2) = b2(a -c )
a2 + c2 + ac = b2
JT]
ABC üçgeninde cos. teoremi yazılırsa,
72 = 32 + 52 - 2 -3 -5 cosa
b2 = a2 + c2 - 2ac •cosB
• 15 = -30cosa
1
cosa = —
2
[T ]
buraya taşınırsa
a2 +c2 + ac = a2 + c2 -2accosB
ac = -2 a c •cosB
ABC üçgeninde cos. teoremi yazılırsa,
1
cosB = - — =>m(B) = 120° olur.
a2 = 82 + 72 - 2 - 8 - 7 . ^ ~ | j
CEVAP C
a2 = 113 + 56
a2 =169 = 132 =»a = 13 brolur.
CEVAP B
fu
14.
!
s
16.
ABC üçgeninde cos. teoremi yazılırsa,
32 = 42 + 52 - 2 •4 •5 cosa
4
cosa = —
ABC üçgeni 3,4,5 üçgeni olduğu için pisagor teoremini
4
sağlar m(B) = 90° olur. Dolayısıyla cosa = — doğrudan
Kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar bütünler olduğundan,
yazılabilir, (uyanık olmakta fayda var.)
ABD ve CDB üçgenlerinde cos. teoremini yazıp
eşitleyelim.
m(Â) + m(C) = 180° => m(C) = a, m(A) = 1 8 0 °-a
DCE üçgenindecos. teoremi yazılırsa
X2 = 12 + 22 -2 -2 -1 c o s a = 22 +32 -2-2-3cos(180°-a)
x2 = 52 + 82 - 2 ■5 •8 cosa
5 -4 c o s a = 13 + 12cosa
9
4
x2 = 8 9 - 8 0 5
16cosa = -8
x2 = 25 => x = 5 birim olur.
1
cosa = — =>a=120° olur.
2
CEVAPA
CEVAP E
48
TR İG O N O M E T R İ
17. ABC üçgeninde cos. teoremini yazalım.
20.
(V6Î)2 = 42 + x2 - 2 •4 •x •cosl 20°
cotA = 2'«/2l a = 1br
sinA = —
3
61 =16+x2 + 4x => x2 + 4x - 45 = 0
— — = 2R
sinA
x-\ = -9, x2 = 5
1
= 2R => R = 3 br olur.
|AC| = x = 5 cm olur.
2V2
CEVAP B
CEVAPA
18. DAB, DAC, DBC dik
üçgenlerinde Pisagor
teoremi yazılırsa, ABC
üçgenin kenar uzunlukları
bulunur. ABC üçgeninde
cos. teoremi yazılırsa,
•cosa
13 = 10 + 6 —10V2 cosa
10 j 2 cos a = 2 => cos a =
10
olur.
CEVAPA
19. TOB dik üçgeninde,
21.
|TB| = |TA| = 5 cm
a2 = b2 + c2 - bc
[T|
Bu üçgende cos. teoremini yazalım.
AOB eşkenar
üçgeninde
a2 =b2 + c2 -2bc-cosA [ 2 ].
|AB| = 4 cm olur.
[T] ve [ 2] eşitlenirse
TAB üçgeninde cos.
teoremi yazılırsa
.
b2 + c2 - 2bccos A = b2 + c2 - bc
cos A = —=> m(A) = 60° olur.
42 = 52 + 52 - 2-5 5 cosa
CEVAP C
cosa = — bulunur.
25
CEVAP D
49
TR İG O N O M E T R İ
ÇÖZÜMLÜ TEST -7
Ters trigonom etrik fonksiyonlar ve peryot
bulunması ile ilgili uygulamalar:
sini ^- + 2arctan ^
.2
4
ifad esinin değeri kaçtır?
1.
. 1
V3
arcsın—+ arcos—
2
2
9
8
A> " l5
B )-2 5
7
4
C ) “ 25
D ) 25
E)
25
top lam ın ın değeri kaçtır?
A)
f
B ) f
O
f
D ) f
5.
2.
.1 2
.5
A = arcsın— + arcsın—
13
arccosf - —] + arcsinl
l
2j
13
o ldu ğun a göre, A kaç radyandır?
toplam ının değeri kaçtır?
271
« t
»
r
l
f
D ) 71
°> T
. 2^
3,1
A)
7n
5
c> !
E)
• 4
>ı
ı arcsın— 1
+ cos ( arcsın—
^
B)
J
° )f
3
1
VTö
V îö
E)
x = a rc s ın -^ + arcsın-;=
top lam ın ın değeri kaçtır?
o ldu ğun a göre, s ln x kaçtır?
C)
A) 1
50
B)
S
-2
_
J2
2
D) -1
'2
E) 0
TR İG O N O M E T R İ
7.
11 .
s^2arccot^-j
sin(2arccosx)
ifadesinin x türünden eşiti aşağıdakilerden
hangisidir?
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 2x
A)
B) “ I
°)\
C)
B) y f T İ ?
C)
E)
D) 2 x 7 l-x 2
E) ^
12.
cos jı-2 a rc ta n
tanf —arctan—]
ifadesinin değeri kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
A )--
B>-f
U
C ) -1
D)
A) 75
E)
2J
B) 7 5 + 2
D) 7 5 - 1
9.
C) 275
E) 7 5 - 2
13.
2 a rc s in (x -4 x + 5) = 7t
sin 2arccot
denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
t)
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 0
B>İ
C )1
D) 2
E) 3
A)
10.
TiöJ
» -I
c>i
13
arctan4-arctan-
ifadesinin değeri kaçtır?
A) - 1
C)
14.
.( n
3 )
cott — + a rc c o s -=
l 2
B )Î 3
toplamının değeri kaçtır?
D) -
E) - 3
A )î
51
B)
C)
E)
12
T R İG O N O M E T R İ
15.
19.
y = arccos \Jx2 - 2 fonksiyonu veriliyor.
f(x) = cos
y - ^ olduğunda x in değerler kümesi
(i~ i)
fonksiyonunun peryodu aşağıdakilerden hangisidir?
aşağıdakilerden hangisi olur?
B)2n
A ) 71
A) (-1-1
B) ( - 4 , 4 1
«
fî'i)
(■;}
« K İ
7n
E)
D)
4n
C)
«
m
« {4 1 1
16.
arcsın x +arcsın y =
20 .
2
f(x)
olduğuna göre, x ile y arasındaki bağıntı
aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + y =1
C )3n
B) x2 + 2y2 =1
D) x2 + y2 = 1
fonksiyonunun peryodu aşağıdakilerden hangisidir?
C) 2x2 + y2 = 1
E) x2- y2 = 1
B) K
o f
f(x) - cof
(î-f)
A)
5n
D)27t
S
bj
S
ra
17.
6 -5 x
4
f(x )’ --arcsin
21 .
fonksiyonunun tanım aralığı (kümesi) aşağıdakilerden
hangisidir?
fonksiyonunun peryodu aşağıdakilerden hangisidir?
A> I 2
C)[0,2]
B) - I 2
D)
[İl]
E)
.i
A ) 7t
B) 27i
C) 37i
D)
4ti
E)
il
5 5J
CEVAP ANAHTARI
18.
f(x) = sin3 ^jc--5.xj
fonksiyonunun peryodu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2n
971
8n
B)
C)
D)
471
1 .C
2. E
3. B
4. E
5. D
6. A
7. A
8. B
9. D
10. c
11. D
12. E
13. A
14. B
15. E
16. D
17. A
18. B
19. C
20. C
21. B
E) 3ti
52
5n
TR İG O N O M E T R İ
t e s t
-
7
ç ö z ü m l e r i
'
1.
arc:açı
4.
arcsın—= x => sınx = —
2
V3
2
arccos-— = y
2
—+ 2arctan— = sinf —+ 2x1
2
4.
,
x
>
cos2x =2cos2 x -1
y/3
K
cosy = ——=î> y = 2
6
2-
x + y =■
. 1
-v/3
71
71
2
6
6
(0
— olur.
25
arcsın—+ arccos— = —+ —
2
x = aretan—
4
CEVAP C
tan x = —
4
3
cosx = -ğ-
CEVAP E
2.
271
x = a r c c o s |]= > c o s x = - 1
2)
2
T
71
y = arcsin(1) => siny = 1 => y
I 5-
2
7n
• 12- + arcsın—
5 = x+ y - —
71 olur.
,
A = arcsın
13
13
2
. 12
12
x = arcsın— => sın x = —
13
13
. 5
5
y = arcsın— => sın y = —
1
13
13
.
x + y = — olur.
6
CEVAP E
3.
sinf a r e s in j + cos faresin-g-j = sin x + cos y
2
3
19
CEVAP D
,
— ı— - — olur.
3 5 15
6.
. 2
2
x = arcsın—=> sınx = —
3
3
. 4
. 3
. 1
x = arcsın-== + arcsın—
V10
V10
4
.T i
= a+b=—
2
sin-—= 1 olur.
2
y = arcsın—=> sıny = —
3
sina = - =
M
cosy = - r
sinb =
M
CEVAPA
CEVAP B
53
TR İG O N O M E T R İ
10.
7.
cos^2arccot-l j = cos2x = 2cos2 x -1
71
3
cot — + arccos-p= - c o t ( - f + x ) - c o t ( f - x )
2
T îö
-KiT
-1
= -tan x = — olur.
3
3
2 .
3 .
— 1 = — olur.
5
5
1
x = arccot—=> cotx
2
2
cosx =
3
x = a rc c o s -r= => cosx
T îö
VTÖ
7T
CEVAP C
CEVAPA
7t-2arctan—
= c o s (j i - 2 x )
11.
sin(2arccosx) = sin2t = 2 sin t •cost
t
= -cos2x = -(2cos x -1)
arccosx = t => cost = x
= 2 - xVl - x2 olur.
\2
S
—
TîöJT-'
olur.
= -p ® -ıW :
UO
)
I
I
■ 177
!
x = arctan—=> tanx = —
3
3
CEVAP D
vtö
CEVAP B
12.
9.
1
. 1
tan —arctan—
2
2
t x
tan—
2
1
7ö +2
7 5 -2
1
(75 -2 )
2arcsin(x - 4 x + 5) = n
=75-2 olur.
arcsin(x2 - 4x + 5) =
x = arctan—=> tan x = —
2
2
•ît
Isın—
= x2- 4 Ax + 5
2
1= x2 - 4x + 5
x2 - 4 x + 4 = 0
( x - 2 ) 2 - 0 ^ > x = 2 olur.
CEVAP D
CEVAP E
54
TR İG O N O M E T R İ
13.
15.
2arccot-
2,
x
y = — olduğunda
sin2x = 2sinxcosx
/
.
2
3
12
«s/13
13
2 •-= ■ •-= ■ = —
V Î3
—= arccosVx2 - 2 => cos—= Vx2 - 2
3
3
.
olur.
— = x2 - 2
4
»3
,
3
x = arccot—=>cotx ^ —
2
2
2
sınx =
9
3
3 .
x = — => Xı = — . Xo = — olur.
4
1
2 2 2
CEVAP E
'/13
3
VÎ3
CEVAP A
14.
arctan4-arctan—= x - y nin tanjantını yazalım:
x
•—
16.
^
a = arcs ın x= >s ın a = x
x = arctan 4 => tan x = 4
b = arcsiny=>sinb = y
y = arctan - => tan y = —
5
5
ta n (x -y )
arcsinx + arcsiny = —=>a + b = —
2
2
tan x -ta n y
1+ tanx-tany
Pisagor teoremi yazılırsa.
2
2
x +y =1 olur.
4 -1
5_
ta n (x -y ):
'- I
CEVAP D
17
ta n (x -y )= -£ -
tan(x - y) = 1 => x
y = — olur.
4
CEVAP B
55
TR İG O N O M E T R İ
17. f(x) = a rc s in ^ -^ j= > s in f(x )
-1<sinf(x)<1 olduğundan -1<-
6 -5 x
4
6 -5 x
<1
4 <, 6 - 5x < 4
T = — = Zk olur.
1
10 < -5x < -2
2
- £ x < 2 olur.
CEVAP C
CEVAP A
20.
.
fîc
2 'ı
\2
3 J
f(x) = t a n
x
tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının bütün kuvvetlerinin
peryodu :
olduğundan
la l
I
_
T=
■
n
n
2 2
Zıt .
= — olur.
2
CEVAP C
18. f(x)=sin3^7t--5-xj
sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının tek kuvvetlerinin
2n
peryodu:
lal
Çift kuvvetlerinin peryodu : T~r olduğundan
_
2ti
2
87i
21.
.
f(x ) = cot
_T
4
K
1
K _
r = — = 2n olur.
1
CEVAP B
CEVAP B
56
T R İG O N O M E T R İ
ÇOZUfVSLU TEST -8
4.
Trigonom etrik denklem lerle ilgili
uygulamalar:
x e [0,90°] olmak üzere,
sin(5x-20°) =
1.
olduğuna göre, x kaçtır?
tH = °
2sin 2x
A) 23°
denkleminin [0, 2n] aralığındaki çözüm kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
C)
71 47li
B)
3’T j
J 71 % 5
[4 ’ 3 ’
C) 46°
D) 72°
E) 85°
f 71 5tc 5n 17ti1
1 4'’ Î 2 ’ 4 '’ 12 J
47i
,n
dh
B)40°
? *
t
f 57c 4n|
E)
İT ’ T j
cos(3x-75°) = 0,5
2.
denklemini sağlayan dar açı kaç derecedir?
cos2x = sin50°
denkleminin (0,360°) aralığındaki çözüm kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) (20°, 160°, 200°, 340 }
M*
^
^
S
A) 15
B) 30
C )45
D )60.
E) 75
B) (20°, 200°}
C) {20°, 140°, 225°, 300°}
D) {20°, 140°, 240°}
E) (10°, 150°, 200°, 340°}
cos(75° - 4x) = sin(90° - x)
denkleminin (0°, 90°) aralığındaki çözüm kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
sin3x = c o s ^ j-2 x j
denkleminin (0,rc) aralığndaki en küçük kökü
aşağıdakilerden hangisidir?
A) {15°,57°)
B) {15°,87°}
D) {15°,57°,87°}
* > f
C)
D )?
E)
57
C) {15°}
E) {15°,250,87°}
T R İG O N O M E T R İ
7.
10.
ıf 4x — -s in fx + -£İ
l
z)
l
5 jı
2cos20 + 3sin0 = 0
denkleminin (0,2 ti) aralığındaki çözüm kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
denklemini sağlayan en küciik dar açı aşağıdakilerden
hangisidir?
A) {60°,210°}
8n
B) 45
A) 45
n
C) 4
13*
' 75
28*
' 75
B) {120°, 135°}
D) {210°,300°}
C) {150°,210°}
E) {210°.330°}
8.
cos ( 2 x - f ) = cos(x + | )
denklem inin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) [ X I X =
1 1
-----
12
+ 2krc veya ^ = ~ +
36
3
ke Z
f ı = - 71+2k7i veyax = -^-+2k7t,keZ
B) •|x|x
{X|X
=Î122
1
36
11.
sec2x = 2
denklemini sağlayan dar açı kaç derecedir?
) |x |x = — + 2kn veya x = — +2kTt,keZİ
l
12
18
J
A) 15
B) 30
C)45
D) 60
E) 75
. f ti
n
2krc .
) <x| x = — + 2kn veyax= — + ----- , keZ^
[ 1 8
36
3
J
) { x |x = f
+ 2knI k e z j
9.
cos^x + -^j = -sinx
denklem inin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
12 .
A) {x[x = 2k7t, k e Z }
B) jx |x = | k , k e z j
C) R
D) |x | x = 2k7t + —, k e Z
tan 5x h— 1= 1
i) "
denklemini sağlayan en küçük dar açının ölçüsü
kaç radyandır?
A)
E) 0
58
12
B) —
' 15
C) —
1 30
D) —
60
E) —
; 75
T R İG O N O M E T R İ
13.
15.
73tanx = 2sinx
5sinx = 3cosx
denklemi sağlayan açının sinüsü kaçtır?
denkleminin (0,27c) aralığındaki çözüm kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
lrt n 2n
A)
C)
bH
( “ ■S-‘ T İ
n 71
41C]
0, —, 7t, — y
6
3 J
734
B)
734
C)
734
D)
734'
734
0' 6 ’ T ' ”
{**}
E)
{°. i . ,
16.
tan3x tan x
denkleminin (O.ît) aralığındaki kökü aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
14.
B)
»T
»T
»T
sinx + sin5x-sin3x =0
denklem inin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
17.
cos4x - sin4x = cos2x - sin2x
denklem inin çözüm kümesi aşağıdakilerde
hangisidir?
TR İG O N O M E T R İ
18.
21.
cos2 x + cos2x - sin2 x + sin2x
cosx + ^/3sinx = 1
denklemini sağlayan 0 < x <7t değeri kaç radyandır?
denklemini sağlayan en küçük dar açının tanjantı
kaçtır?
571
3n
A)
A)
7 5 -1
B) 2 + yj5
B)
o
D)
f
E)
C) 1+ 7 5
S
D)
E)
19.
cos3 x - 3 cos x •sin2 x + 2sin3 x = 0
22.
1-cosx
1+ cosx
3
denklemini sağlayan dar açının ölçüsü kaç radyandır?
denklemini sağlayan dar açının ölçüsü
kaç derecedir?
A) 25
B) 30
A)
C) 45
D) 60
12
B)
C)
5n
D)
E)
E) 75
CEVAP ANAHTARI
20.
sin2(x + 15°)- sin2(x - -15°) = • 4
denklemini sağlayan x dar açısı kaç derecedir?
A) 75
B) 60
C) 45
D) 30
E) 15
60
1. B
2. A
6. E
7. D
3. E
4. C
5. C
11. B
12. D
8. A
9. C
10. E
13. A
14. C
16. C
17. A
18. A
15. C
19. D
20. E
21. C
22. C
12
TR İG O N O M E T R İ
TEST - 8 ÇÖZÜMLER!
1.
3.
•v/3 =0
2sin|^2x
f 71
sin3x = cosi —• 2x
u
. 7
n') 73
V3
s,nl 2x- e J = ^ -
fjı
1.3
sin(2x‘ î) =$inf
—
2x
TL TL _,
—+ 2kjr veya
6 3
71 + Ikn
x-| ••*—
veya
k - 0 için Xi -
1
it
iî
„
n
2x =---------+ 2x = —+ 2x
) 2 3
6
sin - - + 2x
6
2kn
2x
3 x = - + 2 x + 2k7t veya 3x = n~ —-2 x + 2kn
x2 =
6
+ k7i (k e 2 )
5n
71
*1
1
6
_
5 71
veya 5x = — + 2kn
6
+ 2k7t
* 2 _ 12
’ 4 ’
5 ti
n 2krc
x7 = —+ ----2 6
5
17n
■
5 tc 17711
Ç =
sin3x
.
4 ’ 12 " T ’ 12 J
x2 -
12
olur.
x7 = — olur.
2 6
k = 0 için Xt =
CEVAP B
CEVAP E
t
4-
x e [0,90°]
s
sin(5x-20°)
*=s»
.1
2
2
sin(5x-20°) = sin210°
5x - 20°« 2 1 0 °
5x = 230°
2.
cos2x = sin50°
x = 46° olur.
cos2x- cos40°
2x = 40°+2kn
veya 2x = 40o+2kn
CEVAP C
X-| —20°+k -180° veya x2 = -20+k-180°
k=0 için x1 = 20°,
x2 = -20°
k=1 için X! = 200°,
x2 = -160°
-k=2 için x^ = 380°,
x2 = 340°
5.
cos(3x -7 5 °) - 0 , 5 = 2
cos(3x-75°) = cos60°
Ç={20°, 60°, 200°, 340°} olur.
3x - 75° = 60°
3x = 135°
CEVAPA
x = 45°
CEVAP C
61
T R İG O N O M E T R İ
6.
cos(75°-4x) = sin(90°-x)
9.
cos| x + - | j = -sinx = sin(-x)
9 0 °-(9 0 °-x ) = x
71
cos(75°-4x)=cosx
2
75° - 4x = x+k ■360° veya
7 5 -4 x = -x+k-360°
5x = 75°-k-360°
veya
3x = 7 5°-k -36 0 °
x2 = 2 5°-k -12 0 °
x1= 1 5 °-k -7 2 °
veya
K= 0 için x1= 15°,
x2 - 25°
k = -1 için x-j = 87°,
x2 = 145° g (0°,90°)
,
x
71
( —X ) = — + X
2 +X
,= 2
-j'l = c o s ^ + x l
2)
^2
)
x + — = x + — + 2k7i k e Z
2
2
0 = 0 olduğundan Ç = R olur.
CEVAP C
Ç={15°, 25°, 87°} olur.
10. 2cos20 + 3sin0 = O
CEVAP E
cos2 0 = 1-sin2 0 yazalım
2 (1 -s in 2 0)+3sin0 = O
2 -2 s in 2 0 + 3sin0 = O
2sin20 -3 s in 0 - 2 = O
7.
. in( 4 x - | ) = «in(x+ | )
4
x - — = x +
5
—+ 2kîi
3
veya
A
4
71
x - — =
7i
- x -
5
3
x = - ^
2kn
v eya
V
87 i
2kn
. — __
4________
1
45
3
uv pe u
a
ya
+
(2 sin 0 +1) •(sin 0 - 2) = 0
c
5
1371
x = ----------+
g
1)2sin0 + 1 = O
■s
1
sin0 = - —,
ı =0
n için
■ ■ Xi = —
k
=
75
sin0 = sin21O°
2k7c
x2 = —
e
0i = 210°+k •360°,
5
+
13tc
veya
sin0 = 2 olamaz. (-1 < sin 0<1)
2kn
15
_ 1 3 ti
*2
2 )s in 0 -2 = O
,
olur.
45
02 = 180° -210°+k • 360°
k=0 için 01=21O°,
02 = -30°+k . 360°
k = 1 için
02 = 330°
Ç={210°, 330°} olur.
CEVAP D
8.
CEVAP E
11.
cos^2x --^j = cosj^x +^-j
1
=2
cos2x
2 x - — = x + —+ 2k7r veya 2x~ — = - x - —+ 2k7t
4
6
4
6
x = — ■+2kn
sec2x = 2
1
cos2x = —
2
veya 3x = ^ + 2kjr
cos2x = cos 60°
{ x I X1 = ^
veya x2 = ^
( k
e 2 )| olur.
2x = 60° => x = 30° olur.
CEVAP B
CEVAPA
62
T R İG O N O M E T R İ
14.
12. tanf5x + -^j = 1= tan.-—
slnx + sin5x-sin3x = 0
. . x+5x
x -5 x
slnx + sln5x = 2sın— - — -cos— -—
_
n n .
5x + —= —+ kn
6 4
= 2sln3x-cos2x
2sin3x •cos2x - sln3x = 0
5x = — + k7t
12
n
sin3x(2cos2x-1) = 0
krc
X= e ö +T
k = O için x
1) sin3x = 0 = sinO®
<k e Z )
1
cos2x = —=cos-E
3
2
3x=0+2kn
60
2k?c
CEVAP D
2 x = 2 k jr + |
x' = —
3xo = n + 2kn
x2 =
2)2cos2x-1 = 0
x3 =k;tT
(2k + 1)7£
3
Ç = jx |x =
(2k + 1)7t
veya x = k7t+—, k e Z ^ olur.
CEVAP C
13.
73tanx = 2sinx
73 ■SİnX = 2sinx
cosx
73sinx=2sincosx
sİ3 sinx-2sinxcosx = 0
sinx(V3 -2cosx) = 0
1) sinx = 0
2)73 -2cosx = Ö
sinx = sin0°
73
n
cosx = — = cos—
2
6
15.
x = 0+2krc veya x = n -0 + 2 k n
5sinx = 3cosx
x = 2kjr+-
x = 2kn
veya x = 7 i + 2k7t
k = 0 için x3 = —
x-j = 2k7i
veya x2 = (2k + 1)rc
x = ~ = - ^ + 2n
sinx _ 3
cosx 5
tanx = —
k = 0 için X-| = 0 x2 = 7i
6
x4
6
1İ7T
3
6'
sinx = - = r olur.
■734
'- { • ■ i- ? }
CEVAPA
CEVAP C
63
T R İG O N O M E T R İ
18- cos2x+cos2x=sin22x+sin2x
16. tan3x-tan^x+-^J=-1
cos2x- sin2x+cos2x=sin2x
cos2x
2cos2x=sin2x
tan2x=2
2
2(V5-1)
tanx=
Heriki tarafı -1 ileçarpalım.
-tan3x•tan(x+-jp)= 1
içeri alalım.
2-(^5-l)
. r.
tanx=-75-1 olu
tan3x-tan x =1
l 4.J
tana-cota=1olduğundan
CEVAP A
tanl —--x |=cot3x=tan| —-3x
„2x=—
7t
7t
.^
+—
+k
4 2
3n k7r
k=0 için x=—
olur.
8
CEVAP C
%
B
19.
17. cos4x-sin4x=cos2x-sin2x
^cos2x+sin2x)(cos2x- sin2xj =cos2x- sin2x
1
cos2x
cos2x=cos2x-sin2x
sin2x=0=sin0
2x=0+2k7cveya2x=ît+2k7t
)rc
x=.k7t veya x=-i(2k+1—
^
ı ı
ı
1-cosx 1+cosx 3
(1+cosx) (1-cosx)
1+COSX-1+GOSX 4
1- cos2x
3
6cosx=4-4cos2x
4cos2x+6cosx+4=0
2cos2x+3cosx+2=0
(2 cosx - 1)• (cos x + 2) = 0
1)2cosx-1=0
2)cosx+2=0
1
cosx* -2
x=60° olur.
(2 k + 1)w
Ç = ^x|x = k7t veya x = - — ^-4—, k e Z
CEVAPA
CEVAP D
64
T R İG O N O M ETR İ
22 . cos3 x-3cosxsin2x+2sin3 x = 0
20 . sin2(x + 15°)- sin2 (x -1 5 °) = -j
Her iki tarafı cos3 x ile bölelim.
[sfn(x+15°)+sin(x -15®)] •[sin(x+15°)- sin(x -15°)] =
COS2 X
2sinx-cos15e-2sin15®-cosx=—
4
(2sinx-cosx)(2-sin15°-cos15
COS4 X
2tan3 x-3tan2 x +1 = 0
0,_-\
tanx = t diyelim.
2t3 - 3t2 +1=0
sin2xsin30°
t =1 kök olduğundan
• o 1= —
1
sın2x—
2 4
2t3 - 3t2 + 1 = (t - 1 ) ( t -■1 )(2t+1) = (t - İ f ( 2 t +1)
1) tanx = 1
sin2x = —= sin 30°
2
2x = 30o=>x = 15° olur.
tanx = tan—
4
2) tanx = - —
(tan- olduğundan x geniş açıdır.)
CEVAP E
71 I
x = —olur.
4
CEVAP C
21 . cosx + >/3sinx = 1
Her iki tarafı - ile çarpalım.
1
V3 .
1
2
2
2
—cosx + — sınx = —
.7 1
71
.7 1
6
6
6
sın—-cosx + cos—-sınx = sın—
jinf—+ x l = sin—
U
J
6
K
71 Ol
—
+x=—
+ 2k7i
6
6
x1 = 2k7r veya -^+ x = tc--^- + 2k7r
2k7i
..
X2 = -------+2k7r
,
_
. .
2 n
,
k = 0 için x2 = — olur.
CEVAP C
65
T R İG O N O M E T R İ
ÇOZUMLU TEST -9
4.
ABC eşkenar üçgen,
Karma uygulamalar:
DEFG kare,
1.
m(AEG) = a olduğuna göre,
0 < 0 < —, sinO = —
2
tana nın değeri kaçtır?
5
o ldu ğun a göre, tan 26 nın değeri kaçtır?
24
B)
* > - f
C)
O, i
E) 2
E) 2^3
2.
5.
tan ^ + x j + t a n ^ - :
toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) sec2x
B) cosec2x
D)cos2x
x = — olduğuna göre,
18
sin3x cosx
cos7x + cos5x
^
C) sin2x
S
E)2sec2x
ıg
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 1
3.
n
A, B, C bir ABC üçgeninin iç açılarının ölçülerini
gösterdiğine göre,
C)0
B)
.
— < x < 2 ji ,
2
. .A
2 B+C . B
A+C
sın,2 —
+ cos --------+ tan— tan-------2
2
2
2
oldu ğun a göre, cos
D)“I
E) - 1
3
tanx = —
4
H1
in değeri kaçtır?
ifadesi aşağıdakilerden ha ngisine e ş ittir?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 2sinA
3
A ,-~
E)2cosA
66
4
B )-¥
3
O ?
4
4
°> 5
E )3
T R İG O N O M E T R İ
7.
10. O merkezli birim çember
üzerinde A ve B noktaları
verilmiştir.
x + y = — olduğuna göre,
( sinx + cosx^j
sin y
BH ±O A
cosy J
m(BOH) = a
ifad esinin değeri kaçtır?
|AB| = cosx
A> 4
D) 2
C)1
B)
oldu ğun a göre, |AB| kaç b irim d ir?
E) 3
A) 7 3 - 2
B)
-1
D) 1+ 73
11.
8.
C) 73
E) 2 + 73
tan—= t olduğuna göre,
a + b = — olmak üzere,
/1-sinx
\1 + sinx
tan(4a - 3b) + tan(3a +10b)
ifad esinin değeri aşağıdakilerden h a ngisine e ş ittir?
B)
A) tany
tan
ifa d e s in in t c in s in d e n e ş it i a ş a ğ ıd a k ile rd e n
ha ngisidir?
271
C) 7
D) 1
A)
E) 0
7t2 + 1 - t
B) 7t2 + 1 + t
C)
t-1
t+1
E) t+1
D ) T+2
12 .
1+ cosa + sina
1 - cosa + sina
9.
sin (x + y)-sin ( x - y )
ifadesi aşağıdakilerden ha ngisine e ş ittir?
4 sin2 x-cos2 y
ifadesi aşağıdakilerden ha ngisine e ş ittir?
A) sinx-cosy
B) cosx siny
D) cot x -tan y
B) cos-
A) s in |
C) coseca
C)tanx coty.
D) c o t |
E) tanx + coty
67
E) 2
T R İG O N O M E T R İ
13.
5m + 4sin3x = 2
çemberin yarıçapının uzunluğu
1 birim,
eşitliğini gerçekleyen kaç farklı m tamsayısı vardır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
%
|TC| = |CH|
/
'
/
m(ÂBT)= a
ar \ ı
6
A
B
olduğuna göre, sina mn değeri kaçtır?
A)
-1 + 72
14.
- 1 - n/5
o.
sin2x + sin4x + sin6x
1+ cos2x + cos4x
C )1
B)
■#
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) sin2x
B) 2sin2x
D)2cos2x
C) cos2x
E) tan2x
18.
x
-(m + 3 )x -2 m + 9 = 0
denklemini kökleri tana, cota olduğuna göre,
1
[
tana
15. [BA, O merkezli çembere
A noktasında teğettir.
1
cota
ifadesinin değeri kaçtır?
A )- 4
m(BCA) = a olmak üzere,
B )-2
C )0
D)
E) 7
D)
E)
tana = — ise,
4
cot(BAC) nin değeri kaçtır?
A ) - 4
B)
73
C) -
E) 1
19. Yandaki dikdörtgen 24 eş
kareye ayrılmıştır.
Buna göre, tan(KLM)
nin değeri kaçtır?
16.
f(x) = 5cosx-12sinx
fonksiyonunun alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) 6
B) 8
C)10
D) 12
E) 13
A) 7
B )I
C)
T R İG O N O M E T R İ
20. ABC bir üçgen,
24. ABC bir ikizkenar üçgen,
|AB| = |AC|
|AB| = |AC|
m(BAC) = a
tanB = tanC = —
4
m(ÂBC) = 0
tan0 = 3
olduğuna göre,
olduğuna göre,
tan A nın değeri kaçtır?
A)
21
7~
b )~Y
_
17
c )" T
D)
E)
B)
C)
E)
°>!
cn | -c».
tana nın değeri kaçtır?
24
21.
arctan—+ arccot3
2
toplamının değeri aşağıdakilerden hangisidir?
C)
A>t
22.
f(x) = -3sin x +
I*
25.
i)
71 .
J2
cosx + tan—-sınx = -= •
6
V3
fonksiyonu x in aşağıdaki değerlerinden
denklemini sağlayan dar açının ölçüsü kaç derecedir?
hangisi için en büyük değerini alır?
A) 15
A)
B)
2n
c) T
5n
D)
T
E)
B) 30
C) 45
D) 60
E) 75
47C
23. ABC bir üçgen
m(DAC) = a
CEVAP ANAHTARI
verilenlere göre,
tan ^ nin değeri kaçtır?
C) 2
D) 3
E) 5
69
1. C
2. E
3. C
4. B
5. B
6. C
7. C
8. E
9. D
10. B
11 . c
12. D
13. B
14. B
15. C
16. E
17. D
18. E
19. E
20. A
21. B
22. E
23. A
24. C
25. E
T R İG O N O M E T R İ
TEST - 9 ÇÖZÜMLERİ
1.
O < 0 < —, sinO = —
2
5
A + B + C = 180° =e»— + JLjlE. = 90°, A î £ + â = 90°
2
2
2
2
1. Yol:
ı 2A
sin* — + sın*
3
2
tanö = —
4
. 2A
2A . B
= sın*— + cos — + tan— •cot— = 1 +1 = 2 olur.
2
2 tan0
tan 20 =
ı ^ + A+C
+ tan— •tan-------2
2
2
2
2
CEVAP C
1 - tan2 0
o 3
4.
tan20 = -
er
1- —
16
tan28=— ■—
27 7
24
tan 20 = —
7
2. Yol:
(4 - x)2 = 32 + x2
m(AFE) = 90°+60°=150°
1 6 -8 x + x2 = 9 + x2
8x = 7
|AF| = |FE| olduğundan FAE üçgeni ikizkenar üçgendir.
„
7
m(EAF) = m(AEF) = - 80° 150° = 15°
8
tan20 = y = — olur.
m(GEF) = 45° olduğundan
CEVAP C
2.
m(ÂİG) = 45° -15 °
tan[7+x]+tan( î - x)
m(AEG) = 30°
sın^
5ln[ f +x)
cos
sin| “
X
Jö
tana = tan30° = — olur.
3
( f +x) ° K f +x)
(r * )
C0S( H
CEVAP B
cosi
(H*(H
fn
i { cos( r x+i -
^cos-| + cos2 x j
cos2x
x = J L =>i 8 x = 7i= > 9 x = 18
2
n
+ cos —+ x — + x
U
4
x)
sin3x cosx
cos7x + cos5x
sin3x-_peSx
2cos6x -.çeSlT
= 1 sin3x rsjn3 X = COS0 X)
2 cos6 x
'
~ cos2 x
= — olur.
2
= 2sec2x olur.
CEVAP B
CEVAP E
70
TR İG O N O M E T R İ
6.
7t
_ .
3
- < x < 2 n ,ta n x = —
2
4
g
sin2(x + y ) - s in 2 ( x - y )
4 sin 2 x • cos 2 y
[sin(x + y ) + sin(x - y)][sin (x + y) - sin(x - y)]
4sin 2 x • cos 2 y
^ 8trî)T-^o^y • / siny•cosx
— < x < 2 tc aralığının
£strfx sinx / ■( p s t f cosy
3n
n < x < — alt aralığında
c o s x s in y
. .
.
—- cot x • tan y olur.
s in x c o s y
tanjant + olduğundan burada sinüs - dir.
CEVAP D
sınx =
3
1 0 . AOB üçgeninde kosinüs teoremi yazılırsa,
_If n
cos
,2
NI
= -s ın x„ = - f
t
;
3 "l
5J
cos 2 a = 12 + 12 - 2 • 1 • 1 • cos a
cos 2 a + 2 cos a - 2 = 0
olur.
cos a = t
CEVAP C
t2 + 2 t - 2 = 0
s2
7.
x+y =
■ (![1
( sinx
cosx'j
l^siny
cosy ) cosec 2 y
sınx-cosy+ cosx-siny
siny-cosy
A = 1-1 •(-2) = 3
sin 2 y
.
(cosy) (siny)
-1 + V3
'1
sin(x + y)
ac
1
cos a = t-, = V3 —1 bulunur.
= 2 sin(x + y)
CEVAP B
= 2 sin-
1 1 . tan— = t
2
6
2 — = 1 olur.
2
CEVAP C
X
X
2
2
sinx = 2 sin— • cos— = 2
8-
a + b = y => 7(a + b) = 7t
2t
1 + 14
tan(4a + 3b) + tan(3a + 1 0b) = ?
(4a - 3b)+ (3a +10b) = 7a + 7b = 7(a + b) = k
1 - s in x
1 + sinx
3a + 1 0b = ti - (4a - 3b)
1-
2t
1 + t"
r - 2t + ı
+
t2 + 2 t +1
1+ r
tan(4a-3b)+ tan [rc-(4a-3b )]
= tan(4a - 3b) - tan(4a - 3b) = 0 olur.
'( t - ır
(t + 1)2
= tan ( ti- a)
CEVAP E
t~ ı
olur.
t+1
CEVAP C
71
T R İG O N O M E T R İ
12.
15.
1 +cosa + sina
1 -cosa + sina
cosa yerine payda cosa = 2 cos2
paydada
cosa = 1 - 2 sin2 —
sina = 2 sin— cos— yazalım.
tan a = —
4
. .
2s
1+ 2 c o s
^ n • a
a
1 + 2 sın— -cos 2
2
2
a
—f i —2 sin2 — ] + 2 sin— •cos—
2
J
2
cot(BAC) = cot(90°+a) = -ta n a
1
olur.
CEVAP C
CEVAP D
13.
5m + 4sin3x = 2
4sin3x = 2 -5 m
. 0
2 -5 m
sın3x = ---------
-4 s 2 -5 m < 4
- 6 < -5m < 2
2 ^ ^6
~ 5 " m" 5
-0,4 £ m £1,2
m: 0,1 olabilir.
CEVAP B
14.
sin2x + sin4x + sin6 x
1+ cos2x + cos4x
16.
sin2x + sin6 x + sin4x
f(x) = 5cosx-12sinx
f (x) = a cos x + b sin x fonksiyonunun alabileceği
1 + cos2 x + 2 cos2 2 x - 1
_ 2sin4x-cos2x + sin4x
cos2 x( 2 cos2 x + 1)
en küçük değer: -V a 2 +b2
_ sin4x(^coe2?rr:f)
en büyük değer: yja2 + b2 dir.
cos2 x(^coe2 ^ + T )
Buna göre, ^52 + (-1 2 )2 =^25+144 =>/Î69 =13 olur.
2sin2x-£OS'2x
S&&2 x
CEVAP E
= 2 sin2 x olur.
CEVAP B
72
TR İG O N O M E T R İ
19. tana-cota = -2m + 9
17. m(B) = m(ACH) = m(TAC)
1 = -2m + 9
|TC| = |CH| =a
2m = 8
TAC üçgeninde
m= 4
tana=i^ i
0
tan(KLM) = -tan(x + y)
tanx + tany
CAH dik üçgeninde
m
cosa - |CA|
1 -ta n x ta n y
3 6
[2]
1
_ 3+ 1
1 - 1- 6
7_
[T] ve [ 2] eşitlenirse
-5
tana = cosa
sina
cosa
= — olur.
5
:COSa
CEVAP E
-2.
2 0 . A + (B + C) = 180°
cos a = sın a
tanA = -tan(B + C)
1 -sin2 a = sina
tanB + tanC
tanA = —
1-tanB-tanC
sin2 a + sina - 1 = 0
t2 + t - 1 = 0
tanA = -
A = 1—4 •(—1) -1 = 5
* -1 + V5
sına = t = ---------- olur.
3 16
24 ,
tanA = --------- = -------olur.
2 7
7
CEVAP D
CEVAPA
2 1 . arctan-^+ arccot3 = x + y
X
arctan—
tanx =
2
2
y = arccot3=>coty = 3=>tany =
tan(x + y)yi yazalım.
18.
x2 -(m + 3)x -2 m + 9 = 0
. ,
.
tanx + tany
tan(x + y) = --------------- —
1 -tanx-tany
X! = tana, x2 - cota
1
1 , 1 - X1 + x2
X!
tana
X2
1.1
2 3
X1 • X2
cota
tan a + cot a
tan a-cot a
m+ 3
-2m + 9
1
tan(x + y) = 2 + 3
tan(x + y) = - | - = 1
7 _
= — = 7 dur.
1
CEVAP E
x + y = — olur.
4
CEVAP B
73
TR İG O N O M E T R İ
24. a + 20 = 180°
22. f(x) = -3sin^x + -^-j
s,nH ) =
a = 18O°-20
tana = tan(180° - 20 )
1 olursa f(x) en büyük olur.
tana = -ta n 20
Buna göre,
H )k
2 tan 0
tana:
. . 371
1 = sın—
1- tan2 0
2
tana = -
2-3
1 -3
3n
2
X H-------= - —
6
6
3
.
tana = ----- = — olur.
-8 4
3 ti
CEVAP C
“ 2 ”¥
(3)
87c 4tc
olur.
CEVAP E
23.
C
® «e
, * .
72
cosx + tan— sınx = -==•
6
73
1
73
.
72
73
cosx- - 7=-sınx = - 7=
73
ABD ve ADC üçgenlerinde sinüs teoremini yazalım.
Her iki tarafı - y
73
sin30o sin(180°-x)
±
2
2
sinx
1 .
çarpalım.
72
cosx + —sınx = —
2
2
=>sinx = 1
3
sina
5
sinx
»fx- —1 = cos—
3
sına = —
5
l
e j
4
n _n
Uygun üçgen çizilirse,
. a 3
tan2 9
6 "4
71.
71
X~ 4 + 6
571
x = — = 75 olur.
tan— = — olur.
2 3
12
CEVAP A
CEVAP E
74
KARMAŞIK SAYILAR
BOLUM - 2
1
ÇÖZÜMLÜ TEST - 1
Karmaşık sayıların standart biçim i (a+bi)
ile ilgili uygulamalar:
1.
5.
j^uuö + 2 . r uu/+ 3 -i uu + 4 - r UUö
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A )- 2 + 2i
3+xi = x - 3 + (y -2 )i
D) - 3 + 2i
olduğuna göre, x+y toplamının değeri kaçtır?
A) 6
B) 8
C)10
D) 12
B) 2 - 2i
C) 3 - 2 i
E ) - 4 + 2i
E) 14
6.
a - 2b + 5i = 4 + (3a+b)i
1 + i'
olduğuna göre, (a,b) İkilisi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) (-2 ,-1 )
B) ( 1 .- 1 )
D) (1,2)
3.
karmaşık sayısının reel kısmı kaçtır?
C) (2 ,- 1 )
b> 4
A> “ I
E) (0,2)
2 -3 i + z = 4 + i + a
7.
C )i
E) 2
D) 1
m = 2i+ (4 - 6 i)+ 8
eşitliğine a bir reel sayı z reel kısmı 6 olan bir
karmaşık sayı olduğuna göre, a kaçtır?
karmaşık sayısının çarpanlarından biri 4İ ise diğeri
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1
A) - 1 —2i
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
B) - 1 + 2i
D) - 1 - 3i
8-
C) - 1 + 3i
E) 3 - i
i 2 = -1 olmak üzere,
4 - 3i + [(2 - 3i) - (5 - 6 i) + 2i]
(1 + i)(1 + i 3 )(1 + i6)
işleminin sonucu
a+b kaçtır?
A) 3
B) 4
a - 2 + ( b - 1 ) i olduğuna göre,
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
C) 5
D) 6
A) 0
E) 7
75
B) i
C) 1
D) 1 + i
E) 3
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
9.
13.
a - 2i = (1 - i)2
1+ 2İ
olduğuna göre, a kaçtır?
A) - 2
B) - 1
C) 0
3i
D) 1
E) 2
A)
10.
4 - 3-7^16 + 6-7-4
15
B) 3
C) 2
D) 2i
B) “ 15
C )0
D)
15
E)
15
a• 3 + i 0
4 ı- — + 3
1—i
14.
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4
1 -2 İ
karmaşık sayısının reel ve sanal kısımlarının toplamı
kaçtır?
karmaşık sayısının standart (a+bi) biçimi
aşağıdakilerden hangisidir?
E)4İ
A) 2 + 3i
B) 2 + 2i
D) -1 + 2i
C) 4i
E) - 2 + 2i
15.
11.
_ 3 -i
(a -b i)-(4 + 3i) = 6 + 4i
Z _ 1+ 2İ
olduğuna göre, a+7b toplamı kaçtır?
A) 10
B) 6
C) 4
D) 3
karmaşık sayısının eşleniğinin, reel ve sanal
kısımlarının toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
E) 2
A> !
b, |
C)1
12.
( V 2 - i) - ( V 2 + i) - ( 5 + 2i) = z - 2
16.
olduğuna göre, z5 aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A )-3 2 i
B) —16i
D)
32İ
z = (1-2i)(1 + i)(1 + 3i)
olduğuna göre, |z| aşağıdakilerden hangisidir?
C) 16i
A)
E) 32
76
4
B) 5
C) 6
D) 10
E) 12
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
17.
zv z2, z birer karmaşık sayı olak üzere, aşağıdakilerden
hangisi yanlıştır?
21.
z-| = 3 + 4i
Zo
A) I z | = | - z | = | z | = | - z |
2
B) z z = |z |2
yfz
2
1.
2
------------ 1
olduğuna göre, | z 2 •z 2 1 nin değeri kaçtır?
C) |zn|=|z|n (neN)
B)60
A) 75
C )50
D )25
E) 10
D) |z 1 z2 | = |z1|-|z2|
E) |z 1 + z2 | = |z1| + |z2 |
2 İ82- i 25
z = -------------2 + i
18.
P -3 Q 2
3 + ai
22.
olduğuna göre, |z| kaçtır?
A> !
4
B> 5
karmaşık sayısının modülü 2 olduğuna göre, a nin
pozitif değeri kaçtır?
C)1
D)
E) 2
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E)
(4 ı xi)(1-3i)
5i - (x —4i)
19.
olduğuna göre, |z | aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
CEVAP ANAHTARI
1- i
20.
• = a + bi + 4i
( 1 + 1)1
olduğuna göre, a + b kaçtır?
A) - 5
B )-4
C )-1
D) 2
E) 3
77
1. E
2. C
3. D
4. D
5. A
6. C
7. D
8. A
9. C
10. A
11. E
12. D
13. E
14. B
15. A
16. D
17. E
18. C
19. B
20. A
21. D
22. C
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
TEST - 1 ÇÖZÜMLERİ
1.
Karmaşık sayıların eşitliğinin tanımına göre,
5.
2008 = 0 (mod4)
3 = x —3 =>x = 6
2007 ■ 3 (mod4)
x = y - 2 =>y = x + 2 = 8
2006 = 2 (mod4)
x + y = 14 olur.
2005 = 1 (mod4) olduğuna göre,
CEVAP E
,20 0 8
j-----+ 2 - i 2007 + 3 •i 2006 + 4 -iJ
i + 2 -i 3 + 3 i 2+4i
1 -2 i- 3 + 4i = -2 + 2i
CEVAPA
Karmaşık sayıların eşitliğinden
a -2 b = 4
3a + b = 5 denklemleri bulunur.
Bu denklem sisteminin çözümünden a = 2 v e b = - 1
olur.
6.
CEVAP C
i 100
1+ i'
1
1 i
1-1
1+ i
; ( 1 - İ ) ( 1 + İ) ”
1+i
1
1+ 1 "
2 '
1.
2'
R e ( z )= y olur.
CEVAP C
z = 6 + xi olsun.
2 - 3 i + 6 + xi = 4 + i + a
denklemi elde edilir.
Reel kısımlar eşit olacağından,
m = 2 i+ (4 -6 i) + 8 = 1 2 -4 i
2 +6 =4 +a
sayısının çarpanlarından biri 4i ise diğeri
a = 4 olur.
CEVAP D
12- 4 i
(12 —4i)(—i)
-1 2 İ+ 4 İ 2
4i
4 İ- (-İ)
-4 i
- 12i
= —1 —3i olur.
CEVAP D
4.
4 - 3 İ + [(2—3i) - (5 - 6 i) + 2i] = (a - 2) + (b - 1) i
Reel kısımlar eşit olmalı =>4 + 2 - 5 = a - 2 = >a = 3
8.
Sanal kısımlar eşit olmalı = > - 3 - 3 + 6 + 2 = b -1 = > b = 3
bulunur.
(1 + j).(1 + i 3 ).(1 + i 6)
= (1 + i) • (1 —i) •(1 —1) = 0 olur.
a+b=3+3=6
CEVAP D
CEVAPA
78
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
9.
a - 2 i= ( 1 - i )2 = 1 -2 i + i 2
13.
1 + 2İ
A
3i
= 1 —1 —2 i
1- 2İ
(1 + 2 i)(-i)
= 0 - 2 İ
i(1 + 2 i)
(1 - 2 i)(1 + 2 i)
3i H )
a =0 olur.
-i-2i
CEVAP C
2-i
i + 2 iz
1+ 4
-2 + i
3 +
5
1 0 - 5 İ - 6 + 3İ
15
reel kısım
10.
—
15
4 -3 > p İ6 + 6 > /: 4
sanal kısım
= 4 - 3 - V Î 6 İ + 6 n/4 İ
4 -2 i
15
toplam — olur.
15
= 4 - 3 - 4 - i + 6-2i = 4 + 0-i = 4
CEVAP E
CEVAPA
14.
4 i-^ ± i + 3
1- i
= 4 i - (3 + İX^ + İ) + 3
( 1- i )(1 + i)
11-
(a —bi) •(4 + 3i) = 6 + 4i ise
a -b i
6 + 4i
(6 + 4 i)(4 -3 i)
4 + 3i
(4 + 3 i)(4 -3 i)
2 4 -1 8 İ + 1 6 İ-1 2 İ2
16 + 9
36
b=
25
.. '3 + 3İ + İ + İ 2 0
= 4 ı-------------------- + 3
1+ 2
= 4i-
36 - 2i
25
2 + 4i
+3
2
= 4i -1 - 2i + 3 = 2 + 2i olur.
-2
25
36 14 50 „ .
a + 7b = — + — = — = 2 olur.
25 25 25
CEVAP B
CEVAP E
12.
(V2 -
+
i) - (5 + 2i) = z - 2
15.
2 + 1 -5 + 2i = z - 2
- 2 + 2i= z - 2
z=
3-i
1+ 2 İ
(3 —i)(1 —2 i)
(1 + 2 i)(1- 2 i)
3 - 6 İ - İ + 2 İ 2 1 -7 İ
1+ 4
" 5
2i = z
1+ 7i . 4
1 7
8 ,
istenen—+ — = — olur.
5
5 5 5
z5 = 25 i 5 = 32i olur.
CEVAP A
CEVAP D
79
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
16.
20.
|z| = |1 - 2 i||1 + i | | 1 + 3i|
1- i
= a + bi + 4i
= V T +4 -V T + î-V T + 9
(1+0-i
= 75-2-10 =10
1 -i
1 -i _ ( 1 - i) (—1—i)
j + i2 ~ -1 + i ~ (-1+i) (-1 -i)
CEVAP D
i2 - 1
-2
1 1
”
1
2
+
-1 = a + (b + 4)i eşitliğinden
-1 - a ve 0 = b + 4
b = -4
a + b = - 1 - 4 = - 5 olur
17.
CEVAPA
\z1 +z2 \= |z1| + |z2 | eşitliği her zaman doğru değildir.
CEVAP E
21.
z-, = 3 + 4i
|z-j| = 7 9 + 16 =5
73
18.
z=
2 -i 82 - i 25
2
i
1.
T
z2 = ---------1 z 2 = J —+ — =
2 2
2 ' 21 İ 4
4
-I
-2 + i
-2 + i
|z ? -z | | = Iz,|2 • |z2 16
-2 -i
= 5 •1 = 25
-2 +i
CEVAP D
|-2 + i|
74 + 1
CEVAP C
22. z = 0 -3
3 + ai
19.
|4 + xi|-|1-3i|
|Z|:
|5i| - |x —4i|
1*1
11—3i |2
13 + ai |
3 / t t ^ . ( 7 Ü 9 )2
(>/î+ 9)
■~İ9
10 = 2 - V 9 + â
y j2 5 - J ^ + ^ 6
1= ^9 + a => 25 = 9 + a*
10 = o
,
=—
2 olur.
16 = a2 v e a > 0 = > a = 4
CEVAP B
CEVAP C
80
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
ÇÖZÜMLÜ TEST - 2
1.
z-j = 5 + b + (a - a - 1 ) i
z2 = 2 b - 1 + (a + 2 )i
karmaşık sayısının standart biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?
karmaşık sayıları eşit olduğuna göre, a+b nin en
büyük değeri kaçtır?
A) 4
2.
C) 8
B) 5
D) 9
A) - 1 + i
E) 1+2i
D) 1+i
E) 10
C)1
B) i
zj = 4 + a- 5i
karmaşık sayısının eşleniği Z2 = 6 + (1-b)i olduğuna
5.
16
göre, a b kaçtır?
A) - 1 0
B) - 8
C) - 6
D) 4
i 42
(1 —i)
E) 2
olduğuna göre, |z| kaçtır?
A) 72
B) 3
C) 2^2
D) 4
E) 372
z = 2 a -3 + (a -1 )i
karmaşık sayısının uzunluğu (modülü) |z| = 72 dir.
Buna göre, z karm aşık
aşağıdakilerden hangisidir?
sayılarından
C)
A>- b t
biri
7 ^ 6 -7 ^ 1 2
7 3 2 -7 -6
7 1.
5 + s'
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A )-2 i
E) 1 - i
81
B )-i
C )-1
D) i
E) 1
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
11.
73-i
(7 3 - i )2 (H-i)
Z _ 1+ 73i
(1 - i >
3
olduğuna göre, z 36 nın değeri kaçtır?
olduğuna göre, z nin eşleniği (z) aşağıdakilerden
hangisidir?
A) —1
A) 7 3 - i
8.
C)1
0 ,1
E) 2
C) 73 + i
B) 2 -V 3 İ
D) —1—-\/3 i
B )ı
E) -1 + V3İ
12.
z = 3 + 2i olmak üzere,
z = 1 - 2 i olduğuna göre,
- 1
z z —— nin sanal kısmı kaçtır?
(RtT
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A )_ i
;
B) - ® l j
16
C )-Ş 1
1 16
D )ü li
' 16
A> 5
13.
2005
o
1+ 1
karmaşık sayısının sanal kısmı (imz) kaçtır?
B)
10.
C)0
0 )J
C) 1
D) 2
olduğuna göre,
2i
z+ —
z
kaçtır?
14.
B) - 7 2
C) 76
D) 272
E) 3
2z = (1 + z)
eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısının sanal kısmı
kaçtır?
olduğuna göre, x + y nin pozitif değeri kaçtır?
B) - 1
|z| = 2
A) 2
E)
(1 —i) 3 +8 = (x + yi)2 + 2 y2
A) - 3
E) 1
E )^
' 16
9.
■
B)
E) 4
A )- 2
82
B) - 7 2
C)1
D) 72
E) 73
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
15. z = a + bi karmaşık sayısı için,
19.
( a - 1 )x + b + i = 0
denkleminin kökü 1 - i olduğuna göre, b kaçtır?
z + z = -4
z z = 13
A) 2
C)0
B)ır
D) - 1
E)
olduğuna göre, z karmaşık sayısı aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
A) - 2 - 3i
B) - 2 + 4i
D) 3 - 2 i
C) 2 —3i
2 0 . z = a + bi olmak üzere,
E) 3 + 3i
i z + 4 = (2 i)z
eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısı aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 3 + 2i
16.
B) 2 + 2i
C) 1 —2i
z - a - 1 + bi
D) - 2 + 2i
karmaşık sayısının çarpmaya göre tersi
E) 2 - 2i
2 + i
olduğuna göre, a + 2 b kaçtır?
A) - 1
B)
C)
D) 1
21.
E)!
-3
17. z, modülü 1 e eşit bir karmaşık sayıdır.
Grafikte verilen zv Zj karmaşık sayılarına göre,
z? + zr z2 +Z 2
z + z = 1 olduğuna göre, bu eşitliği gerçekleyen z
karmaşık sayılarının toplamı kaçtır?
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) - 1
B)
C )0
D)
A) - 4 + 3i
E)1
B) —4 + 2i
D) 4 + i
C) - 3 - i
E) 3 + 5i
CEVAP ANAHTARI
18. z = a + bi olmak üzere,
|z| = |z + 2 |
olduğuna göre, z nin reel kısmı kaçtır?
A )-2
B) - 1
C )0
D) 1
E) 2
1. D
2. B
3. A
4. A
5. B
6. D
7. D
8. E
9. E
10. D
11 . c
12. B
13. B
14. C
15. A
16. D
17. E
18. B
19. D
20. E
21. A
83
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
TEST - 2 ÇÖZÜMLERİ
1-
z-ı = 5 + b + (a2 - a - 1)i
z2 = 2 b -1 + (a + 2 )i
z = l + (-1 )-l + 1+ i + ^ + 1 - 1
z-, = z2 => 5 + b = 2b - 1 ve
o
0
z = 0 + 0 + - + 0 + i-1 = i-1
a2 - a - 1 = a + 2
Buradan 6 = b ve a2 - 2a - 3 = Obulunur.
CEVAPA
(a -3 )(a + 1) = 0
a-j = 3, a2 = —1
a + b en çok 3 + 6 = 9 olur.
CEVAP D
_16_
16
(1—i)4
(1-2İ + İ2f
16
("2i f
2.
16 -+1 = -----+
16 1
+ 1 = —s
-4
4i
= -3
z1 = 4 + a - 5 i
|z| = |- 3 |= 3
z 1 = 4 + a + 5i
CEVAP B
z2 =6 + (1 -b)i
İJ = z2
4 + a = 6 , 5 = 1—b
a = 2, b = - 4
7 = 1 6 -7 ^
CEVAP B
3.
7Î6 -i •7Î2-
732-7T
a-b = - 8
732"•76"•i
'16-12
32-6
z = 2 a - 3 + (a-1)i
CEVAP D
|z|= 72 =>^/(2a-3 )2 + (a -1 )2 = 7 2
4a2 -12 a + 9 + a2 - 2 a + 1= 2
5a2 -1 4 a + 8 = 0
( 7 3 -i)2= 3 - 2 7 3
i+i2= 2 - 2 7 3 i
(5 a - 4 )( a - 2 ) = 0=>a1= — , a2 =2
5
(1 —i)3 —1—3i •+3i2 —i 3 = 1—3i —3 + i
= - 2(1 + i)
al = — için z =
( 2 —2 73 "1V 1+ 1)
- 2o( T
1a+\ı) = -1 + V3i
z=5
5'
z = -1 -7 3 i
CEVAPA
CEVAP D
84
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
11.
(y/Z - i ) (l-v /3 l)
V 3 - 3 i —i + V 3 İ 2
1+ 3
81_
16
-4 i
4
CEVAP E
z 36 = (-i )36 = i36 = i°= 1 olur.
CEVAP C
(1 —i)2
(1 + i) (1 - i)
9.
1+ i
1 - 2 İ+ İ 2
1+ 1
1 2 . z .z' - l = |z|2 - ^
z
_ - 2i _
2 ~ '.
z = ( _ i) 2 0 0 5 + _ L
= _ j2005+ J Z i
1 +i
.
1 -i
zz
-2 İ + 1 -İ
1 +i
z = 1 - 2 i olduğuna göre, |z|2 = 1 4 4 = 5 ve yukarıdaki
1—3i
sayının sanal kısmı
im(z) =
olur.
olur.
CEVAP B
CEVAP E
|
I
13.
10 .
2i
z z + 2i
z+— —
z
z
(1 —i)^ =1 —3İ + 3 İ2—j3
|z |2 +2 İ
|4 + 2İ|
z
= 1 - 3i 3 + i = -2 - 2i
V16 + 4
(x + yi)2 =x 2 + 2 xyi + y2 i 2= x2 - y 2 + 2 xyi
|z|
Verilen eşitlikte yerine yazılırsa
= ^ ° - = V5
2
CEVAP B
- 2 - 2 i + 8 = x2 - y 2 + 2 xyi + 2 y2
6 —2 i = x2 + y2 + 2 xyi
Karmaşık sayılarının eşitliği kuralından
14. 2z = ( 1 +z)2
x2 + y2 = 6
2 xy
2 z = 1 + 2z + z 2
- 1 = z 2 => z = i
x2 + 2xy + y2 = 4 => (x + y)2 = 4
x + y -+ 2
im (z) - 1
CEVAP C
CEVAP D
85
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
15.
19.
z = a + bi için 2 = a -b i
( a - 1)-x + b + i = 0 denkleminin kökü 1- i bu denklemi
sağlar.
z + z = 2 a ^ -4 = > a = -2
z z = a2 + b2 =13=>4 + b2 =13
(a —1 ) (1 - i) + b + i = 0
b2 =9
reel kısım : a - 1 + b = 0
b = +3
sanal kısım - a + 1 + 1 = 0 olmalıdır.
CEVAPA
a=2
ve 2 - 1
b=-1
+b= 0
bulunur.
CEVAP D
16. z nin çarpmaya göre tersi z-1 ise z •z
=1 olur.
[ ( a - 1) + bi](2 + i) = 1 olmalı
( 2a - 2 - b ) + (a -1 + 2b) = 1 + 0 ■i
2 a - b - 2 = 1=>2a b = 3 ve
a - 1 + 2 b = 0 =sa + 2 b = 1 elde edilir.
CEVAP D
2 0 . z = a + bi için
i-z + 4 = (2 -i)z = >
i(a + bi) + 4 = ( 2 - i) (a-b i)
a •i - b + 4 = 2a - 2bi - ai - b
17.
z = a + bi içinz = a -b i z + z = 2 a = 1 =>a = — bulunur.
2
(_b + 4 )+ ai = (2a - b)+ (-2b - a)i
|z| = Va2 + b2 = 1=> b2 = 1- a2 = —
4
y/3
:
-b + 4 = 2 a -b = > a = 2
a = - 2 b -a = > 2 a = - 2 b
y/3
b = - a = - 2 olur.
Z1= — + ------1
2
-JZ
1
s/3 .
ve zo s=------------ 1
2
2
CEVAP E
2
1 +—
1 =H
I
Zh+Zo= —
1 olur.
2 2
CEVAP E
18.
z = a+bi için |z| = >/a2 + b2
21 . Grafiğe göre zt = 2 + i ve z 2 = - 1 - 3i olur.
|z + 2 | = ^(a + 2)2 +b 2
z? = (2 + i)2 = 4 + 4 i-1 = 3 + 4i
|z| = |z + 2 | =>a2 +b 2 =(a + 2)2 + b2
zr z2 = (2 + i)(-1 -3 i) = -2 + 3 -7 i = 1-7i
a2 =a 2 +4a + 4=>a = -1
z i = ( - 1 - 3 i ) = 1+ 6 i-9
CEVAP B
+
= - 8 + 6i
- 4 + 3i
olur.
CEVAPA
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
ÇÖZÜMLÜ TEST - 3
z = 4 - 3i
4.
j 6 -i 75 + 4 -i48J (5 -i 96 + 3 -i105j = a + bi
karmaşık sayısının toplama işlemine göre tersi
(a - 1 ) + (b+z)i olduğuna göre, a+b kaçtır?
A) - 8
B) - 7
C) - 6
D) 4
olduğuna göre, a+b kaçtır?
E) 5
A )- 2 0
B) —12
D )20
C) 6
E )32
2.
y + ıx =
x - 2 + ( 2y - 1)i
olduğuna göre, z = x + yi karm aşık sayısı
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 - i
B) 1 - 2i
C) 2 + 3i
D) 3 - i
5.
|z | = 1
1
E) 1 + i
-
— + z nin mutlak değeri kaçtır?
A) 1
3.
olduğuna göre,
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
z = a + bi olmak üzere,
6 - ( a - 1 ) i + b = 4ab-----
2
olduğuna göre, z aşağıdakilerden hangisidir?
_ 3
B
2
6 .
1
6.
C) - - — i
5
2
z = 2 - 3i olduğuna göre,
z~1 in eşleniğinin reel kısmı kaçtır?
2
A)
1 6 .
D) - ~ + — ı
2 5
E)
1 6 .
5
1
5
87
B)
13
C)
13
D)
13
E)
13
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
11.
—— + a +bi = 1- i
1+ i
karm aşık sayısı a + bl biçim inde yazılırsa
aşağıdakilerden hangisi elde edilir?
olduğuna göre, a+b kaçtır?
A) 2
B) 1
z = (1 - i)6 + (1 - i)5 + (1 - i)4
A) 8 + 32i
C )0
D) —1
B) - 8 + 12i
D) -1 6
8.
12.
eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısı aşağıdakilerden
hangisidir?
1 1 .
A) 1 -1
32i
E) —8 -4- 16i
3x2 - 5xi + 2 = 0
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden
hangisidir?
A )-2 i
1 1 .
C) T + — '
B)
3 3 .
D)' a—a+ - ı
D) 2i
E) 3i
x2 + ax + b = 0
denkleminin bir kökü 1 - i olduğuna göre, a + b kaçtır?
olduğuna göre, b kaçtır?
A) —1
B )-2
C)1
a ve b reel sayılar olmak üzere,
z = a + bi olmak üzere,
A )- 3
B) - i
1 1 .
E)' —
o +—
n '
|z - i | = |z|
10.
+
z = a + bi olmak üzere,
,z+1 = (2-3 i)z
9.
C )-3 2 -3 2 i
E )- 2
C ) -1
D) “
E)
B) 0
C)1
D) 2
E) 3
2
a bir reel sayı,
z = a + i-(a + 1 ) olmak üzere,
14.
|z + iz |= V 2
Buna göre, x aşağıdakilerden hangisine eşittir?
olduğuna göre, a kaç olabilir?
A) - 3
B) - 2
C) 0
x bir karmaşık sayı olmak üzere x - 4 sayısının
kareköklerinden biri 3 + 2i dir.
D) \/2
A) 3 - 2i
E) 2 - J Î
B) 3 + 2i
D) 8 + 10i
88
C) 6 - 8 i
E) 9 + 12i
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
15.
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden
hangisidir?
19.
+1+İ
ifadesininçarpanlarından biri z+i olduğunagöre,
diğerçarpanı aşağıdakilerdenhangisidir?
A) 2 - i
A )z -i
x2 - 4x + 5 = O
B) 2 - 2i
C) 3 - 2i
D) 2 + 2i
E )-2 + i
Z2 + Z
B )z -1 + i
D) 1 + z
20.
16. a, bbirerreel sayı olmaküzere,
x2 + 2 ax + b - i = 0
B )-4
C) 1
P(x) = x3 - 3x2 + 2x = (x ■ 1) Q(x)
olduğuna göre, Q(i) nin değeri aşağıdakilerden
hangisidir?
b
denklemininbirkökü1+2i olduğunagöre, —
a kaçtır?
A) - 6
D) ~~
A) i
B) 1 + i
D)
C )-1 -2 i
E) - 2i
z - 2 |z|2+9 = 2 i
denkleminin köklerinden birinin reel kısmı
aşağıdakilerdenhangisidir?
17. Köklerindenbiri 1-i olanikinci derecedendenklem
aşağıdakilerdenhangisidir?
C)
1- i
E) ~
21.
A) x2 - x - 2 = 0
C )z + 2i
E) - i
A )- 2
B) 0
C)1
D) 2
E) 3
B) x2 - x - 1 = 0
x2 - 2x + 2 = 0
E)
D) x2 —2x + 4 = 0
X2 - 2x - 1 = 0
CEVAP ANAHTARI
18.
z=8-6i
karmaşık sayısının kareköklerinden birinin sanal
kısmıaşağıdakilerdenhangisidir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
1. B
2. E
3. A
4. D
5. B
6. B
7. C
8. C
9. D
10. c
11. B
12. D
13. B
14. E
15. A
16. A
17. C
18. A
19. B
20. C
21. C
E) 5
89
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
TEST - 3 ÇÖZÜMLERİ
1.
- z = (a - 1) + (b + z)i
4.
(6 -i 75 + 4 .i 48 ) .( 5 .i 9 6 + 3 -i105)
- 4 + 3 i = a - 1 + (b + 4 - 3 i)i
= ( 6 i 3 + 4 - i) - ( 5 i + 3 i )
- 4 + 3i = a - 1 + (b + 4 )H 3
- 4 + 3i = a + 2 + (b + 4)i
= ( - 6 i + 4)(5 + 3i)
eşitliğinden
= -3 0 i-1 8 i2 +20 + 12i
- 4 = a + 2 = > a = -6
= 38 —18i
3 = b + 4 = > b = -1
a = 38 ve b = -18 için a + b = 20 olur.
a + b - - 7 olur.
CEVAP D
CEVAP B
2
[ ( x - 2 ) + ( 2 y - 1)i](-i)
j- H )
rr
5.
y + xi = —(X —2)i + 2y —1 =>
1
“
Z
— + z = — —+ Z
z
zz
y = 2 y - 1, x = - x + 2
1- y
, 2 x = 2 => x = 1
=^
+ “z
x + yi = 1 + i bulunur.
CEVAP E
3.
I
|z|= 1 olduğundan bu ifadenin eşiti 2 z
Rj
.C
Mutlak değeri 2 • |z| = 2 ■|z| = 2 olur.
CEVAP B
6 - ( a - 1 ) i + b = 4ab— - i
2
reel kısımlar: 6 + b = 4ab ve
sanal kısımlar - (a - 1 ) = —
olmalı
41 = —
1 => a = —
3 ve
6.
6 + b = 4 — b =>6 = 5b
2
z = 2 - 3 i için z 1 =
2 -3 i
2 + 3i
2 + 3i
2 | 3i
(2-3i)(2 + 3i)
4 +9
13
13
5
Eşleniğinin reel kısmı kendi reel kısmına eşit ve “
. . 3 6 .
a + bı = — + — ı olur.
2
1O
tür.
5
CEVAP B
CEVAPA
90
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
1 0 . z = a + i(a + 1) için
+ a + bi = 1 - i
1+ i
i •z = i •[a —i(a+ 1)]
1- i
(1 + l)(1- i )
+ a + bi = 1 - i
= a •i+ a +1
z + i-z = 2 a + 1 + ( 2a + 1)i
1+1 = 2
+ bi = 1 - i +
a + bi =
1- i
|z + i-z| = ^( 2a + 1)2 + ( 2 a + 1)2 = 7 2
3 -3 i
2 •(2a + 1)2 = 2
(2 a + 1)2 = 1
3
a=—
3
+u
b= 0
b =u------=>a
,
2
2
CEVAP C
2 a +1 = 1
veya
2a +1 = -1
a=0
veya
a = -1
CEVAP C
1 1 . (1- i )2 = 1 - 2 i + i 2 = - 2 i
8.
z = a + bi için
z + 1 = ( 2 - 3 i ) z eşitliği
(1- i ) 6 =
( - 2 i)3 = - 8 i3 =
(1 - i)4 =
(-2 İ )2 = 4 i 2 =
(1 -i ) 5 = (1-i)4 . (1_i)
8i
-4
= -4 + 4i
a —bi + 1 = (2 —3İ) (a + bi) olur,
a +1 - bi = (2a + 3b) + (2b - 3a)i
-8 + 1 2 İ
a + 1 = 2a + 3b=>a + 3b = 1
CEVAP B
4 a = 1:
-b = 2b - 3a => 3a = 3b => a = b
b” 4
1 1 . .
z = — + — ı olur.
12. Seçeneklerde verilen sayılar denklemde yerine yazılırsa
D seçeneğindeki sayının denklemi sağladığı görülür.
CEVAP C
3 •(2 i)2 —5(2i) -i + 2 =
3 -(-4 )+ 5 -2 + 2 = 0 bulunur.
CEVAP D
z = a + bi için
| z - i | = >/a2 + ( b - 1)2
13. Katsayıları reel olan bir ikinci derece denklemin karmaşık
kökleri birbirinin eşleniğidir.
|z|= Va2 +b 2
Bunlar eşit olacağından
x2 + ax + b = 0 denklemi için x1 = 1 - i ise x2 = 1 + i olur.
a2 + (b - 1)2 = a2 + b2
b2 - 2b +1 = b2
b = x-j-X2= 1 + 1 =>b = 2 bulunur,
I= 2 b =* b = — bulunur.
a + b= 0
2
CEVAP B
CEVAP D
91
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
18.
14. x - 4 sayısının bir karekökü
z = 8 - 6 i sayısının bir karekökü a + bi olsun.
3 + 2i ise x - 4 = (3+2İ)2 olur.
(a + bi)2 = 8 - 6 i => (a2 - b2) + 2 abi = 8 - 6 i
x - 4 = 9 + 12İ + 4İ2
a2 - b2 = 8 ve 2ab = - 6 bulunur.
x - 4 = 9 + 1 2 i-4
a
ilk denlemde yerine yazılırsa
b
x = 9 + 12i bulunur.
CEVAP E
J L - b 2 = 8 = > 9 - b 4 = 8 b2
b2
(b2 +9)(b 2 -1 ) = 0
15.
x -4 x + 5 = 0
olamaz b2 - 1 => b -+ 1
A = b2 - 4ac = 1 6 -4 -5 = -4
-b + VÂ~
* 1.2 =
4T
CEVAPA
4 + 2i
2a
2(2 + i)
19. z2 + z + 1 + i = z2 + z - i2 + i = z2- i2 + z + i
=2+i
(z-i) (z + i) + (z+i) = (z+i) (z-i + 1 ) bulunur.
CEVAPA
CEVAP B
16. 1+2 i verilen denklemi sağlamalıdır.
( 1 +2 i)2 + 2 a ( 1+2 i) + b —i = 0
S, 20.
jB
^
1 + 4i - 4 + 2a + 4ai + b - i = 0
reel k ıs ım -3 + 2a + b = ()c
P(x)= x - 3 x +2x :=(x-1) Q(x)
x(x2 - 3 x + 2) = (x-1 )-Q (x )
x(x - 1)(x - 2) = (x -1 ) • Q(x)
eşitliğinden x(x - 2 ) = Q(x)
sanal kısım 3 + 4a = 0 olmalı
Q(i) = i(i - 2 ) = i2 - 2 i = -1 - 2 i olur.
3
, „ o
o 3
9
= — - ve b = 3 -2 a = 3 + — = —
4
CEVAP C
—
=
-
a ~ 2
B)
-6 bulunur.
CEVAPA
2 1 . z = a + bi verilen denklemde yerine yazılırsa
a + bi - 2 (a2 + b2) + 9 = 2i
reel kısım : a - (2a2 + 2b2) = - 9 ve
17. Kökleri bilinen 2. derece denklemi:
sanal kısım: b = 2
yerine yazılırsa
x2 - ( x 1 + x2)x + x1 X2 =0 dır.
x1 = 1 - i ise x2 = 1 + i olur.
a - 2 a2 - 8 = - 9
x-| + x2 = 2 ve Xı • x2 = 1 + 1 = 2
0 = 2a2 - a - 1
yerine yazılırsa
0 = ( 2a + 1) ( a - 1)
x2 - 2 x + 2 = 0 denklemi bulunur.
a = - — veya a = 1 bulunur.
CEVAP C
2
CEVAP C
92
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
ÇÖZÜMLÜ TEST - 4
1.
5.
x + yi
'\-\J
■1 + i
z = a + bi olmak üzere,
2z + 3i = 2 -(3 -iz ) + iz
olduğuna göre, (x,y) İkilisi aşağıdakilerden
hangisidir?
eşitliini sağlayan z karmaşık sayısının reel kısmı
kaçtır?
A)
a> t
(}■ + )
» ( + ! )
« ( i- v i
b> t
D )-—
C> T
E )--
E) (-1 .1 )
- i )
2.
(1+ j)(1 + V=3")2 =a + bi
olduğuna göre, a + b kaçtır?
A) - 6
B) - 4
C) 0
D) 2>/3
E) 4 j 3
6.
z = 3 -4 i karmaşık sayısının karekökleri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 - i, -2 + i
B) 2+i, 2 - i
r—v
D) 2 —i, 4 + i
C) 1 - 2i, -1 + 2i
.
1 .1
E) 1+ - - i , ------ 1
2
3.
2
i2 - - ! , k e N olmak üzere,
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 3i
B) —2i
D) 2 —2i
C) 1 - 2i
E) 3 —2i
4.
7.
z1 = x - 4i ,
sayılarının karm aşık düzlem deki görüntüleri
arasındaki uzaklık 7 br olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, z nin reel kısmı aşağıdakilerden
hangisidir?
A )- 2
A) 7
B) 1
c) 1
D) 2
z 2 = —1+ 3i
E) 3
93
B )-1
C)0
D) 1
E) 2
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
12.
z = x + yi olmak üzere,
z1 = —3 + 5i, z2 =1 + 2i
|z + 2 i| £ 1
karmaşık sayıları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
eşitliğini sağlayan z noktalarının geometrik yerinin
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
E) 6
A) x2 + (y - 2 )2 £ 1
B) x2 + y2 < 1
C)
D)
x2 +(y + 2 )2 <1
E)
9.
(x + 2)2 + y2 Sl
(x + 1)2 + (y + 2 )2 ^ 1
z = x + yi olmak üzere,
| z - 1| = |z + i|
eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının geometrik
yerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A )y = x + 1
B) y = x
C)y = - x
E) y = -x + 1
D) y = X - 1
13. z = x + y i olm ak üzere,
|z -2 i|£ |z -3 + i|
S
10.
eşitliğini sağlayan z noktalarının kümesinin grafiği
aşağıdakilerden hangisidir?
z = x + yi olmak üzere,
|z -1 | = 2
eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının geometrik
yerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x2 + y2 = 4
C)
B) x2 + (y—1)2 = 4
(x - 1)2 + y2 = 2
D) (x - 1)2 + (y - 1)2 = 4
E) (x - 1)2 + y2 = 4
11 .
z = x + yj olmak üzere,
>
| z + 1| = | z - 1|
eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının geometrik
yerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x - 1 = 0
B) X = 0
D )x + y = 0
C) x + 1 = 0
E) x + 1 = y
94
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
14 .
16.
z = x + y i olm a k üzere,
Karmaşık düzlemde,
A(4+6i), B(—2—i), C(4+5i)
3 < |z| <4
noktalan veriliyor.
eşitsizliğni sağlayan z karmaşık sayılarına karşılık
gelen noktalar kümesinin grafiği aşağıdakilerden
hangisidir?
A nın [BC] nin orta noktasına olan uzaklığı kaç
birimdir?
A) 5
17.
B) 4
C) 3
D) 3v/2
E) 3-J3
R, reel sayılar kümesini göstermektedir,
z = x + yi olmak üzere,
( z - 1 ) - ( i - i) e R
E)
koşulunu sağlayan z karm aşık sayılarının
görüntülerinin kümesi aşağıdakilerden hangisini
oluşturur?
y
I
4
A) x + y = 1
3
B) x2 - y2 = 1
D) y2 = 4x
0
18.
C) y = x - 1
E) x2 = 2y
z = x + yi olmak üzere,
Iz |£ 1
15. Karmaşık düzlemde,
|z + 4 |< |z + 4i|
merkezi zQ= - 3 + 4i
yarıçapı r = 6 birim olan çemberin denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
bağıntılarını sağlayan z karmaşık sayılarının karmaşık
düzlemdeki görüntülerinin kümesi aşağıdakilerden
hangisi ile ifade edilebilir?
A) | z - 3 + 4İ| = 6
A) x2 + y2 ^ 1
B) x2 + y2 = 1
C )x 2 + y2 >1
x<y
x>y
x>y
C) |z + 3 - 4i| = 4
B)| z + 3 i- 4 | = 5
D) |z + 3 -4 i| = 6
D) x2 + y2 £ 1
x>y
E) | z + 3 i- 4 | i = 36
95
E) x2 + y2 < 1
x<y
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
22.
19.
| z - 1 + 3i| = 6 olduğuna göre,
|Z —7 —5i|
ifadesinin en küçük değeri kaçtır?
A)
23.
G rafikteki taralı bölge aşağıdaki eşitsizlik
sistemlerinden hangisi ile ifade edilebilir?
B)
C)
D)
E)
| z | £ 10 olduğuna göre,
| z —8 + 1511
C ).|z + 2 i|S l
B) | z —i | < 1
A) | z —i | < 1
I z —2 i | < 2
ifadesinin en büyük değeri kaçtır?
I z —i| £ 2
|z + 2 | >1
A) 27
D) | z + 1| <1
| z - 2 i | *2
C) 19
D) 17
E) 12
| z + 2 i| <,2
!§
20.
B) 22
E) | z + 1| <1
24. z = x + yi olmak üzere,
| z | £ 4 olmak üzere,
|z + 3 - 4 i | = 2
|z + 6 - 8 i|
eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının orijine olan
en yakın uzaklığı kaç birimdir?
ifadesinin en küçük değeri kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
25.
2 1 . | z | < 6 olmak üzere,
| z - 12 + 5i |
B) 19
C) 18
D) 17
C) 3
D) 4
E) 5
|z + 3 -i| = |z -2 i|
eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının belirttiği
doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
ifadesinin en büyük değeri kaçtır?
A) 20
B) 2
A) 1
E) 8
A) x + y = 2
E) 16
B) x + y = 3
D) 3x + y + 3 = 0
96
C)3x + y = 2
E) 4x + y + 1 = 0
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
26.
28.
z = x + yi olmak üzere,
| z - 2 | = | z - 2 i|
|z + 2 - i| = 2
denkleminin belirttiği çemberin A(1, -3) noktasına
en uzak noktası B ise |AB| uzunluğ kaç birimdir?
eşitliğini sağlayan karmaşık sayıların görüntü
kümesinin grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3
B) 4
29.
C) 5
D) 6
E) 7
z = - 8 + 6i
karmaşık sayısının karekökleri w0, w 1 olduğuna göre,
w0w.|
| w0 •wn|
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
4
3 .
-4 + 3İ
A) 7~7'
C)- 4+3i
D) 1
E )2
I
e
£
I
'â
30.
İZ -1
+ 6 İI-2
eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının belirttiği
eğrinin x eksenine en yakın noktasının koordinatları
aşağıdakilerden hangisidir?
A) ( 1 ,- 2 )
B)(1, —3)
D) (1,0)
C) (1, - 4)
E) (1,-1 )
CEVAP ANAHTARI
27. z = x + yi olmak üzere,
|z - 2 + i| = 4
eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının görüntülerinin
belirttiği çemberin çevresi kaç birimdir?
A) 71
B)2 ti
C) 4 tc
D )6 tt
E)8 tt
97
1. A
2. B
3. E
4. A
5. C
6. A
7. B
8. D
9. C
10. E
11. B
12. C
13. B
14. C
15. D
16. A
17. C
18. A
19. D
20. C
21. B
22. A
23. A
24. C
25. D
26. B
27. C
28. E
29. A
30. C
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
TEST - 4 ÇÖZÜMLERİ
1.
1±L
1- i
z - i= > z = (z + i)(z-i)
1 + 2i + r _ 2 i _
( 1+1
( 1 - i )(1 + i)
1+ i
2~
z = a + bi alınırsa
için verilen eşitlik
a + bi = a2 - b + 2 bi+1 bulunur.
1 + i olur.
Buradan a = a 2 - b 2 +1
x + yi
b = 2ab elde edilir,
b - 2ab = 0 => b(1 - 2 a) = 0
2+i
Buradan
b = 0 veya 1 - 2 a = 0
x + yı
2 -i
2 -i
(2 + 1)(2 —i)
4 +1
x + yi =
2 +i
x + yi =
a = — olur.
2
CEVAPA
2 -I
5
2
x = —, y =
5
1 .
Not:
olur.
5
b=0 için
CEVAPA
a=a2 +1 denkleminin reel kökünün olmadığını görelim.
S
2.
(1 + i)(1 + y/^3 )2 = (1 + i)(1 +
ı
)2
ra
= (1 + i)(1 + 2>/3i+3i2)
I
5.
z = a + bi verilen denklemde yerine yazılırsa.
= (1 + i)(—2 + 2-v/5"i)
2(a + bi) + 3i = 2[3 - i(a + bi)] + i(a - bi)
. = - 2 + 2>/3i-2i + 2V3 i 2
2a + 2bi + 3i = 2(3 - ai + b) + ai + b
= (-2 - 2 -J3 ) + (2 -n/ÎT- 2 )i
2a + (2b + 3)i = 6 -2 a i + 2b + ai + b
= a + bi
2a + (2b + 3)i = 6 + 3b + (-a)i
a = -2 -2 'J Z , b = -2 + 2yfZ
a + b = -4 bulunur.
. 2a = 6+3b
ve
[
2b+3 = - a
a = - 2 b -3
V _ 4b - 6 = 6 + 3b
CEVAP B
t
12 = 7b => b = - 12
3.
j1 2 k + 2 + j 9 2 k + 3 + j57 _
2j +4
= İ 2 + İ 3+ | 1 - 2 İ +
24
4
o=—
3 .bulunur.
.
3
= —1—i + i —2i + 4 = 3 —2i
CEVAP C
CEVAP E
98
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
6.
z = a + bi için z2 = 3 —4i
1 0 . z = x + yi verilen eşitlikte yerine yazılırsa
a2 - b 2 + 2bi = 3 - 4 i
a2 - b 2 = 3 ve 2ab = -4
I x + yi - 1 1= 2
| (x - 1) + yi |= 2
a
önceki denklemde yerine yazılırsa
V(x ~ i )2 + y2 =2
(x - 1)2 + y2 = 4 elde edilir.
a2 - A r = 3 => a4 - 4 = 3a2
a"1
CEVAP E
a4 - 3 a 2 - 4 = 0
(a2 -4 )(a 2 + 1) = 0
a2 +1 = O olamaz
11.
a2 - 4 = O olmalı
a=—
2 için b = 1
z = -2 + i
a = 2 için b = -1
z = 2 - i bulunur.
|z + 1| = |z - 1 | eşitliği düzlemde - 1 + Oi ve 1+Oi
noktalarına eşit uzaklıktaki noktaların kümesini belirtir.
Bu kümenin sanal eksen olduğu kolayca görülür.
Denklemi x = 0 dır.
CEVAPA
7.
CEVAP B
z, ve z2 noktaları arasındaki uzaklık. |zt - z 2| dir.
|x - 4 i- ( - 1 + 3i)| = 7
I
I
|x + 1 -7 i|= 7
%
V ( x + 1)2 + 4 9 = 7
^
(X
1 2 . | z + 2i | < 1 eşitsizliği merkezi - 2 i, yarıçapı 1 olan çember
+ 1)2 + 49 = 49 => (x + 1)2 = 0
ve içidir. Bu bölgenin denklemi merkezi (0,-2), yarıçapı
'<«5
x + 1= 0
1 olduğundan göre, (x -
x = -1
CEVAP B
O)2
+ (y + 2J2 ^ 1
x2 + (y+2 f £1 olur.
CEVAP C
8.
| z , - z 2 | = | - 3 + 5 l-(1 + 2i)|
= | -4 + 3i| = V l0 + 9 = 5
CEVAP D
13.
9.
z = x + yi verilen eşitsizlikte yerine yazılırsa
z = x + yi verilen eşitlikte yerine yazılırsa
|x + y | - 11=
|X
|x + y i-2 i| £ | x + y i-3 + i|
+ yi + i|
|x + (y -2 )i| < |( x - 3 ) + (y + 1)i|
|(x- 1) + yi| = |x + (y+1 )i|
x2 + ( y - 2 ) 2 < ( x - 3 )2 + (y + 1)2
7 ( x - 1)2 + y2 = ^ x 2 +( y + 1)2
x2 + y2 - 4 y + 4 < x 2 - 6 x + 9 + y2 + 2y + 1
x2 - 2 x +1 + y2 = x2 + y2 + 2 y +1
0 < 6y - 6x + 6
- 2x = 2y
x - 1 < y bağıntısı bulunur.
y = - x bulunur.
CEVAP B
CEVAP C
99
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
14 .
Karmaşık düzlemde, 3 < |z
4 eşitsizliği merkezi orijin
18.
z = x+yi için
|z| < 1 => |x + yi| <1
ve yarıçapı 3 birim olan çember ve dışı ile merkezi orijin
ve yarıçapı 4 birim olan çember ve içinin kesişimine karşı
gelir. Buna göre,
=> x2 + y2 S 1
birim çember ve içi [T]
CEVAP C
|z + 4 |< |z + 4i| => |x + 4 + y i|< |x + (y + 4)i|
=»(x + 4 )2 + y2 <x 2 + (y + 4 )2
=>x2 +8x+16 + y2 <x 2 + y2 + 8 y + 16
8 x < 8 y => x < y
y = x doğrusunun üst kısmı [ 2 ]
15. Merkezi z0, yarıçapı r olan çember denklemi |z - z0| = r
olduğuna göre aranan denklem
|T| ve [2] den
x2 + y2 £ 1
| z - ( - 3 + 4i)| = 6 => |z + 3 - 4 i| = 6 olur.
x<y
CEVAP D
ile ifade edileceği görülür.
CEVAP A
Merkezi 2i, yarıçapı 2 birim olan çember ve içi:
16.
A(4 + 6 i) B(—2 —i) C(4 + 5i)
| z - 2 i|S 2 0
[BC] nin orta noktası D olsun.
Merkezi - 1 ve yarıçapı 1 birim olan çember ve içi:
D p ^ ) =p ^ ) =(1+2İ)
|z + 1 | < 1 [ 2 ]
eşitsizlikleri ile gösterilir.
|AD| = |4 + 6 i-(1 + 2i) = V32 + 42 = 5
Buna göre,
CEVAP A
CEVAP D
20.
17.
z = x + yi yerine yazılırsa
(x + y i - 1) - ( x - y i- i) e R olması için bu çarpımın sanal
kısmı sıfır olmalıdır.
■x
Buna göre, ( x - 1 ) (- y -1 ) + y - x = 0
- x y - x + y+ 1 + yx = 0
y = x - 1 bulunur.
|z| < 4 dairesinin A = - 6 + 8 i noktasına
en yakın noktası B dir.
CEVAP C
|AB| = |OA| —|OB| = |-6 + 8i| - 4 = 10 - 4 = 6
CEVAP C
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
24.
21.
M = -3 + 4İ\g
1 0(0+0i)
M = - 3 + 4i merkezli yarıçapı 2 olan çember üzerinde
0 + Oi noktasına en yakın nokta B için
|OB| = |OM| - |MB| = |-3 + 4i| —2 = 5 —2 = 3 olur.
|z| < 6 çemberin A = 1 2 - 5 i noktasına
en uzak noktası B dir.
CEVAP C
|AB| = |OA| + |OB| = |12 - 5i| + 6 = 13 + 6 = 19
CEVAP B
22.
P=7+5i
Merkezi 1 - 3i olan çember üzerindeki noktalardan
P = 7 + 5i noktasına en yakın olan N noktasıdır.
|NP| = |MP| - |MN| = |1-3İ - (7+5i)| - 6
25. |z + 3 - i | = | z - 2 i | -..(*)
= |—6 —8 i| —6 = 10 —6 = 4 bulunur.
z = x + yi bu eşitlikte yerine yazılırsa
CEVAP E
I x + 3 +(y - 1)11= | x + (y - 2 )i |
(x + 3 )2 + (y -1 )2 = x2 + ( y - 2 )2
x2 + 6 x + 9 + y2 - 2y + 1= x2 H-y2 -4 y + 4
23.
6x + 2y + 6 = 0
3x + y + 3 = 0 bulunur.
P = 8 -1 5 i
CEVAP D
Not: ( * ) eşitliği A(-3,1) ve D(0,2) noktalarına eşit
uzaklıktaki noktaları göstermektedir. Bu noktaların
kümesinin [AB] nın orta dikmesi olduğunu hatırlayıp
bu soruyu analitik geometride öğrendiğiniz şekilde
de çözebilirsiniz. Kolay gelsin.
|z| < 10 çemberinin 8 - 15i noktasına en uzak noktası
B için |PB| = |BM| + |MP| = 10 + |8 - 15i| = 27 bulunur.
CEVAPA
101
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
26.
| z - 2 1= | z - 2i | eşitliği A(2,0) ve B(0,2) noktalarına
29.
z = - 8 + 6 i sayısının karekökleri w0 ve w 1 için
eşit uzaklıktaki noktaların kümesini göstermektedir.
(Bir önceki sorunun çözümünün sonundaki nota bakınız.)
w0 •w 1 = —Wq = - z = 8 - 6 i
| w0 •W1 1= 18 —6i |= -v/64 + 36 =10
'y=x
w0 -w1
—- — |w 0w1|
8 - 6 i 4 3i . .
-------- = ---------- bulunu
10
5
5
CEVAPA
Şekilden de görülebileceği gibi [AB] nın orta dikmesi
y = x doğrusudur.
CEVAP B
27.
| z - z 1| = r çemberinin yarıçap uzunluğu r = 4 verilmiştir.
^
^0.
O halde bu çemberin çevresi 2 rcr = 8n bulunur.
CEVAP E
£
|z - 1 + 6 i| =2 eşitliği merkezi ( 1 , - 6 ) yarıçapı 2 olan
çember belirtir.
28.
Şekildeki çemberin x eksenine en yakın noktası olan A
noktasının koordinatları ( 1 ,- 4 ) olur.
CEVAP C
A = 1 -3 i
| z + 2 + i | = 2 çemberini çizelim.
| Az-| | = | - 2 + i -1 + 3i | = | -3 + 4i |
= -79 + 16 = 5=>|AD|=5 + 2
CEVAP E
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
ÇÖZÜMLÜ TEST - 5
Karmaşık sayıların kutupsal biçimi ile ilgili
uygulamalar:
1.
( s' f )
kutupsal koordinatlarıyla verilen karmaşık sayının
standart (a+bi) biçimde yazılışı aşağıdakilerden
hangisidir?
z = 1 + 73*i
karm aşık sayısının kutupsal
aşağıdakilerden hangisidir?
koordinatları
A) - 3 + 373 i
B) 3 + 373 i
D) -1 + 373 i
A)
4 i)
H )
C ) -2 + 273 i
E) -1+ 75"i
4 4
i 2 ,^ -)
•t'--
E) U
{
- )
6 )
5.
z=
3 —v/3~i
72
Z = Zy/3 - 3 i
karmaşık sayısının esas argümentl kaç radyandır?
karm aşık sayısının kutupsal
aşağıdakilerden hangisidir?
koordinatları
A)
A) lf
D)
6, - -
l
E)
(*t )
B)
5K
İn
C)
1İ7t
D)
E) 2n
D)
E)
C) fö. — ]
■ b) 4 - 1
l
3J
6 ,- 1
6)
3K
6.
3
J
İn
3.
1+ i
karm aşık sayısının kutupsal
aşağıdakilerden hangisidir?
koordinatları
A> 4 i )
c>
4
t
)
6.
Arg[(-1 + i)(-i)]
kaç radyandır?
4
A) 0
f )
D) (2-72*, Tl)
103
%
B )T
C)
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
11.
7.
z = (i + \İ3 i)
Z - —J2
y[2\
karmaşık sayısının kutupsal biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?
karmaşık sayısının esas argümenti kaç radyandır?
2n
C) n
D)
A) 2cis-
5n
4k
5 ji
B)
A)
B) 2 cis—
E)
E) 2 cis—
4
D) 2 CİS—
4
8.
arg(zr z2) =
7n
ar9lf H
12.
olduğuna göre, arg z 1 aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
B)
373
3.
2
2
karmaşık sayısının kutupsal biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?
5ti
3 tc
A)
C) 2 cis—
3
D)
C)
E)
f
k.
. n
A) 3 cos— -t- ısın —
l
6
6)
'i
_(
5n . . 5n ''l
B) 3 cos
+ ısın----l
6
6 )
z = 6 + 6i
9.
karmaşık sayısının kutupsal biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?
B) 6n/2cİs—
4
A) 6 cis—
D) 6 j 2 ds—
10.
tS
**"
C) 3 fcos— +isin— l
l
C) 6 cis—
3
6
D) 3| cos—
+isin—
6
6
(
E) 6^ 2 cis—
6
)
f COS
71+
•
E) 3 1
cos—
—
+1isin—
l
3
z = -2>İ3 + 2 i
13.
karmaşık sayısının kutupsal biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 4 cis—
B) 4cis
2n
karm aşık sayısının ku tu p sa l b içim i aşağıdakilerden
hangisidir?
C) 4cis-^-
6
6
D) 4 cis
4K
-4i
E) 4 cis
A) 4cis-^-
B) 2cis—
2
r*\
• 37C
C) cis—
2
4n
D) 4 cis—
2
104
E) 2cis—
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
14.
z1 = 3cis-^-,
3
A-r
z2 = 4cis—
„ ■ 5u
17.
z<ı = 4 c ıs ------,
6
A) 3 + ^ i
A) 6 cis—
B) Scis—
C) 12cİS- Y
6
6
3
E)
12C İS —
4u
3
B) 2 + 2-Jz i
D) 3 + 3y/3\
C)1 + 3V3i
E) 6 + 4V3i
12C İS —
3
15.
_ .
= 2 c is ------
olduğuna göre, z 1 - z 2 aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
karmaşık sayılarının çarpımı aşağıdakilerden
hangisidir?
D)
z2
6
6
Zı = 6 cis— , Z2 = 2 cis—
3
3
olduğuna göre, ^
A) 2 cos
2u
karmaşık sayısının kutupsal biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?
aşağıdakilerden hangisidir?
B) 3cis
D) 3cis—
5u
• 5u
A) cıs—
3
C) 3cisu
6
D)
>İ2
2
. 5u
cıs— E )
6
-J2
cıs—
2
5u
U
■Jl
2
.
. .
U I
karmaşık sayısının kutupsal biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?
karmaşık sayısının kutupsal biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?
C)
'
E) cis
z = 3 -cos — + ısın—
6
6J
19.
B) yj2 cis—
3
C)
4
Z~ 7 3 -i
A) -J2 cis——
4u
11u
r«\
• 5u
D) cıs—
E) 3cis—
1+ i
16.
B) cis
5u
A) 3 cis
cıs—
4u
B) 3cis—
C) 3cis—
4
12
. 5u
D) 3cis—
3
3
105
E) 3cis—
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
20. Grafikte verilen z1 ve z 2
karmaşık sayıları için,
23.
Z\ •z2 çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?
. n )
ol
71 +- .ısın—
2 cos---12 JJ
L l
12
. 71 I
el
n +- .ısın—
6 cos—
4 JJ
L ^
4
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A )^ (1 -V 3 İ)
A) 12cis 270°
5
B) 12cis 240°
D) 12cis 150°
C) 12cis 210°
B )-|-(l-v /3 i)
D )_ (l-2 j3 )
C ) ^ r 0 + V3i)
E ) — (1 + V3İ)
E) 12cis 120°
24.
z1 = 3(cos28° + isin28°)
z2 =4(cos18° + isin118°)
21.
z1 = V2 ^cos—
karmaşık sayıları arasındaki uzaklık aşağıdakilerden
hangisidir?
isin— j
J
k . . n 'l
z2 = 2 cos— + ısın—
\
6
6)
A) 75
B) 275
C) 5
D) 76
E) 6
olduğuna göre, z r z 2 çarpımı aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 2>/2(1-i)
B) 2>/2 i
D) 2^2 (1+ i)
C) -272 i
E )—
25.
z1 = 3 ( c o s 2 5 ° + is in 2 5 °)
z2 = 5 (c o s 1 4 5 ° + is in i 4 5 °)
i
4
olduğuna göre, z1 ve z 2 karmaşık sayıları arasındaki
uzaklık kaç birimdir?
B) 4
A) 3
22.
D) 6
C) 5
E) 7
z = V2 ^cos-^--isin— j
CEVAP ANAHTARI
olduğuna göre, z3 aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2cis—
3
B) 2 7 2 c İs —
3
D) 2V2CİS—
4
C) 7 2 c is - y -
4
E) 272CİS—
4
106
1. B
2. D
3. E
4. A
5. D
6. C
7. A
8. C
9. B
10 . c
11. E
12. D
13. A
14. E
15. D
16. C
17. D
18. B
19. E
20. A
21. C
22. D
23. B
24. C
25. E
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
TEST - 5 ÇÖZÜMLERİ
r = |z| = '/î+ 3 ’ = 2
( & 2ıt') e (
27t ..271^1
z = | 6, - ^ l = 6 -lcos— + ısin-— I
tane = ^ - = 73"]
0, I. bölgede
= 6 -( —1 + i - —
J
] = -3 + 373 i
Kutupsal koordinatlar:
(r>6 ) -
CEVAP A
te )
CEVAP B
73_
5.
tan e =
JL
72
2.
3
0 =02 tt
=> 0
71 = ----1171
6
6
z, IV. bölgededir.
r = |z| = 7 9 -3 + 9 =6
CEVAP D
tane=i w r = t t !
0, IV. bölgede
J
0 = 2n - İ U İ ± L
6
6
(r. 0 ) = 6
’t
6.
)
z-j = —1 + i = (r1,0i) olsun
tan 07 = — = 1
1
CEVAP D
j => 0! = ir -
z, II. bölgede
k
_ Zn
4 " 4
z2 = —*= (*2 ,02 ) ölsün
3.
Z j = 4 = (4,0) ve
_ 3 jc
z2 = 1 + i =
2" T
j 'Ç‘n
71
Bir ölçüsü
-
olan açının esas ölçüsü
7t
Çarpımının argümenti 0 ^ 0 2 = — + —
771
4
~^ = ~
tür.
= İ 1 = 2 tc+472"
v r
2
olduğuna göre,
= 272"
CEVAP C
CEVAP E
107
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
10.
7.
r = 7 4 -3 -1-4 = 4 ve tan© =
273
Zf = 1+ y/3 İ
1
tan 0 =
v/3
tan01 =73"
z-j, I. bölgede
z = (z1)
.
2u
4u
3
=> 01 = — tür.
3
ün bir argümenti
z, II. bölgede
3
6
2u ...
= — tur.
3
6
CEVAP C
<S
İ
argz1 = 0! ve argz2 = 02 olsun
«
u _ 5u
Kutupsal biçim z - r •cis0
5u
olur. Esas argüment
CEVAP A
8.
0 = u-
7u
01 + ©2 = —
■02 =-
11.
201 = İ 1 = ± L ^ 01 = İ! L
6
2
4
CEVAP C
9.
r = 72 + 2 = 2 ve tan0 = 1
5u
z, III. bölgede
z = 2cis
5u
r = 672 ve 0 = —
4
CEVAP E
CEVAP B
108
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
12.
16.
1+ İ
Ta .
z = —= — = —- olsun
73 - i
z2
tanö =
373
73
n = 2ou
=> 0
« = ----11n
6
2
6
|z| =
z, IV. bölgede
. f
11u
3- cos
{
72
|z,| _ Vl +1
|z2 |
73+T
. . 11u
ısın------
6
6
tane, = 1 =>e, = —
4
CEVAP D
tan 02 =
13. r = 4
S
İ
l1 - 0 2 = _ - 2u + —
4
6
I
. . 3u
z = 4 •cis—
32 = 2 u - —
73
u
esas argüment :■
4
u _ 5u
6
12
CEVAPA
14.
CEVAP C
|z, z2H z ı l |z2| = 3 .4 = 12
arg(z 1 •z2) = a r g ^ + argz2 =
2u
u
3
6 ~ 6
5u
. . , 5u
zr z2 = 12 cis-----
17.
6
z-ı = 4cis— = 4- cos— + isin—
3
v
3
3J
CEVAP E
4 (-^- + i - ^ ) = 2 + 27 3 -İ
15.
il
l*ll
_
6
_ 3
_ . 4u J
4u
. 4u
z2 = 2 cis
+ ısın—
= 2 (ccos
3
l
3
3
Z2
z-ı
5u
u 4u
arg — =argz 1 -argz 2 = ----------- = —
z2 J
3
3 3
= 2-1 — i - | . - z x . | = - 1 - 7 3 İ
l 22
2
2 JJ
z-f —z2 = 2 + 2 7 3 i +1 + 7 3 i = 3 + 373~i
Zı
_ . 4u
—L = 3-cıs-----
CEVAP D
CEVAP D
109
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
An
18.
. it
z = sın
3
.
21.
n
ı-cos—
3
(( n71
7
tc
1
.
= cosl---------
. (%
Argz = 0 ise Argz = 2 n - 0 dır.
|z 1 - î 2 | = | i 1|.|5 2J= |2 1| Iz2 | - V 2 2
ît')
It - t J—“ It - t J
Arg •(z., •z2 ) = Argz1 + Argz2
T
= cos —
(h
H
h
)
n
olur.
7t
+ 2 n -----
3
=
= 003 ( _ J l ) +İSİ„ ( _ | )
Bir ölçüsü ~ ~ olan açının esas ölçüsü
7t
- 2n
TC _
0
6
6
.
71
4k
=
2
3ti
6
0
+2 ti
2
3tt
1İ7C
2 7 2 [ cos-^- + ısınK
2
2
-1 ’ 2
6
= 2-j2 [0 + ( - 1)i]
CEVAP B
= -2y/2\
CEVAP C
2 2 . z = 72^cos-^--isin-^-j
r = |z| = V 2
Argz = 2tt——= —
• 4
4
19.
| z3 1= r3 = 2-J2
z = 3 *| -cos— +i-sin—
l
6
.
3 _ 7ti
Arg z = 3 -----4
■-iM-ti.
0 (
5n
2İ7ü
5ti .
= — + 4 ti
4
37t
z 3 = 2 >/2 .c is iî4
. . 5n
= 3- cos
+ ısın---l
6
6 .
CEVAP D
CEVAP E
5
23.
CM
CM
2 İcos— +isin— I
f
7t . . 7t Yi
6 cos— -4- ısın—
^ 4
4 JJ
işleminin
(1) modülü = 25 •6-3 = 25 •2-3 •3-3 =
(2 ) argümenti ■
12
20.
h ~3rt
4
3
=—
27
5 -9
12
4
(1) ve (2 ) den sonuç = ■
COS —
27 . 1
|z, |*|z2 1= 4 -3 = 12
73
Arg(Z| •z2) = Argz1 + Argz2 = 30o+240°=270°
27l 2
z1 z2 =12cis270°
2
=4 ( 1 - 7 3 i )
27
CEVAPA
CEVAP B
110
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
25.
24.
Bir önceki soruda olduğu gibi z, ve z^ sayılarının karmaşık
düzlemdeki görüntüleri çizilirse m(z 10 z2) = 120 ° olduğu
görülür.
B
A
Şekilde m^z2 0 zıj = 90° olduğu görülmektedir.
c
.
AOB üçgeninde kosinüs teoremi uygulanırsa,
z Aile z2 arasındaki uzaklık pisagor bağıntısından 5 birim
bulunur.
X2 = 32 + 52 - 2 • 3 • 5 • co s1 2 0°
CEVAP C
x2 = 9 +25-30
= 49
x2 = 49=>x = 7 bulunur.
e
CEVAP E
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
ÇÖZÜMLÜ TEST - 6
1.
4.
zv z2, z 3 karmaşık sayılarının argümentleri
Z) = CIS
. 2n 7n n .
sırasıyla ----, ----- , — ise,
3
5
5
,3
5 n
,
Zo
6
. 7 t
= cıs —
6
olduğuna göre, z 1 - z 2 nin standart biçimi
aşağıdakilerden hangisidir?
5
arg Z1 ' 2
A) J 2
i
B) J î + i
aşağıdakilerden hangisidir?
jt
A)i
E) -V 3
3n
2K
B)
D) J z
C) i
C> T
D)T
E) 71
z = (-1 + i)7
karm aşık sayısı a + bi biçim inde yazılırsa
aşağıdakilerden hangisi elde edilir?
A) - 1 - i
B )-2 -2 i
D) - 6 - 6 i
S
C) —4 —4i
E) - 8 - 8 i
I
2.
olduğuna göre, - z nin esas argümentl kaç radyandır?
I
^
*
6.
V3-
Ak
5jt
A)
B)
5 7t
C)
,5 4
2n
D)
E)
karm aşık sayısı a + bi biçim inde yazılırsa
aşağıdakilerden hangisi elde edilir?
B )-i
A) - 1
3.
n
7.
. . n
z = cos— + ısın—
3
3
B) -1
C) 1 + i
D) 1 + 3i
D) i
E) - 1 + i
ı12
[2(cos15° —isini 5°)]
karm aşık sayısı a + bi biçim inde yazılırsa
aşağıdakilerden hangisi elde edilir?
olduğuna göre, z 3 ün standart biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 1 - i
C)1
A) 211(1 - i)
E) 3 + i
D )2 12
112
B) 212(1 -7 3 i)
E) - 2 12
C) 211(1->/3i)
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
8.
11 .
1 . '5rt
— cıs----2
1 73 .
z = -----+ ------- 1
6
2
olduğunagöre, zaşağıdakilerdenhangisidir?
A) 2cis
1İ7C
B) 2cis—
C) 2cis
2n
73 1
A) —— + — i
6
2
D) 2cis—
3
2
karmaşık sayısının kareköklerinden biri
aşağıdakilerdenhangisidir?
1 v/3 .
B ) - + — -«
2
E )4 c is 3
2
2
D) 1 + i
^
C) 1+ 73 i
E) 2 - 2i
z = 2 - 2 j3 \
9.
karmaşıksayısınınkareköklerindenbiri
aşağıdakilerdenhangisi olabilir?
A) - 1 -V 3 İ
- B) W 3 - i
D) \/2 +i
C) 73 - i
12.
z = -9i
karmaşık sayısının kareköklerinden biri
aşağıdakilerdenhangisidir?
E) 1—s/3~i
I
B) 3cis
A) 3cis—
4
I
10.
D) 3cis—
3n
C) 3cis—
4
E) 3cis-
=i, z | = 1 - i
olduğuna göre, zpZfe nin kutupsal biçimi
aşağıdakilerdenhangisidir?
A) ^
cos
3n
. . 3n
ısın—
8
8
B) 72
f c o s —n
l
6
.
.
7t
■ısın—
6
13.
j
_ 2 + 273~i
y/Z + İ
C) 7 2 ^ c o s -^ - + isin-^-j
karmaşık sayısının kareköklerinden biri
aşağıdakilerdenhangisidir?
D) y/2 ^ c o s -^ -is in -^ -j
A) 72 <
E) 72^ ^ c o s -^ -is in -^ -j
113
B) 72 c is -
C) 72 c
12
6
D) 7 2 c is 3
E) 7 2 c is —
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
17.
14.
V 3
3
sayısının kareköklerinden biri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 1 - 7 3 i
B) 1 +
V3İ
0 ) 3 + 73*1
z = - 64
karmaşık sayısının küp köklerinden biri
aşağıdakilerdenhangisidir?
: = 12 İıcos— + ısın
A) 7 3 - 2 i
0 ) 2 + 73 i
B) 1+
D ) -1 -7 3 i
2n
karmaşık sayısının küp köklerinden biri
aşağıdakilerdenhangisidir?
2k
E) 2-273*1
olduğunagöre,
v^-z denklemini sağlayan wkarmaşıksayılarından
biri aşağıdakilerdenhangisidir?
15.
A) 2cis
C) 2 + 2V3İ
E) 3 + 37 T
18. z = 16cisn
z = 8 cis
V3İ
J
C) 2cis-
B) 2cis9
D) 2cis-^-
A) cos— + isin—
4
4
18
3n
. . 3 n\
B) 2 [ C0S^ - + ,S,n^ - J
E) 2 cis—
C) 2fcos-^-+isin— 1
1
4
6 J
5% . . 5n
D) cos— + ısın—
4
4
. . 5ti ^
E) '2| cos~ ' ■ısın—
3 J
16.
z - 8i = O
denklemininkökleri aşağıdakilerdenhangisidir?
C)
zo = 73*- i
A) zq = —
3+i
B) Zq = 1—i
zı= ~ 2 i
z-ı = - i
Z\ = 73" + i
z2 = 2 i
z2 = -2 i
z2 = 2i
D ) Zq — _ i
-s .-S
19. Z\ =(2,240°), Z2 = (3 ,3 0 0 °) olduğuna göre, z f -z2
karmaşık sayısının kutupsal koordinatları
aşağıdakilerdenhangisidir?
E ) Zq = 7 3 " + i
z1 = 1+ 73* i
Zi = - 7 3 + İ
z2 = 1 - 2 i
z3 = - 2 i
A) (6 ,120°)
B) (54, 90°)
D) (108, 180°)
114
C) (108,150°)
E) (108, 240°)
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
20.
z = 2 - 2 i karmaşık sayısının küpköklerinden birinin
kutupsal biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
2-J2 (cos105° +isin 105°)
B)
-^ -(c o s 1 0 5 ° +isini 05°)
3
72
z = 73* + i
karmaşık sayısına karşılık gelen nokta P olmak üzere,
[OP] başlangıç noktası etrafında, pozitif yönde 210°
döndürülürse, P noktası hangi karmaşık sayı ile
eşlenir?
A)
C)
24.
A) -1 -7 3 i
B) -1+ 73 i
D) 7 3 - i
(cosl05° + isini 05°)
C) 1 -7 3 i
E) 2 7 3 -2 İ
3
D)
(cos75° + isin75°)
3
E)
25.
272 (cos75° + isin75°)
21 .
i-z karmaşık sayısı orijin etrafında, pozitif yönde 10°
döndürülürse, elde edilen karmaşık sayının argümenti kaç derece olur?
z = 6cis105°
A) 350
karmaşık sayısı orijin etrafında pozitif yönde 15°
döndürülürse aşağıdakilerden hangisi elde edilir?
A) - 31
B) 1+ 73 i
D) 3 + 3 7 3 !
z
E ) - 3 + 373 i
I
1.
) - - t 1
2
2
JT
-i
B )-^ L + 2 i
2
2
•J3
C)330
D) 320
D) -7 3 - i
26.
z = 2 + 3i
yönde — radyanlık döndürmeyle elde edilen karşılığı
2
aşağıdakilerden hangisidir?
A) - 3 + 2i
f—
c )V 3 -i
B) - 2 + 3i
D )- 3 - 2 İ
C) - 2 - 3i
E) 3 + 2i
E) -7 2 + i
23.
_ 1
>/3 .
2
CEVAP ANAHTARI
2
karmaşık sayısı orijin etrafında pozitif yönde 90c
döndürülürse aşağıdakilerden hangisi elde edilir?
r-
-73
1,
A ) 7 3 + i ------------- B ) ------- + — i
2
D)
—
2
E) 250
karmaşık sayısının başlangıç noktası etrafında, pozitif
= 1 -7 3 i
karmaşık sayısının orijin etrafında pozitif yönde 270°
döndürülm esiyle elde edilen karm aşık sayı
aşağıdakilerden hangisidir?
A
B) 340
C) 3İ
^
22.
z = 3 (cos240° + isin240°) olmak üzere,
i
2
1
73 .
C) — + —
' 2
2
i
1. D
2. D
3. B
4. E
5. E
6. A
7. E
8. B
9. C
10 . C
11. B
12. D
13. A
14. D
15. A
16. E
17. C
18. B
19. D
20. B
21. E
22. D
23. B
24. A
25. B
26. A
E )-1 + 7 3 i
2
115
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
TEST - 6 ÇÖZÜMLERİ
3
5
4.
arg Z1 Z2 = argz^ + argz® - argz3
1.
. 571
5 n . . 5n
Zı = cıs— = cos— + ısın—
6
= 3argz1 + 5argz2 -arg z 3
3-
2TC
6
~
A
6
- i . i
2
- 7n tc
o
-------
2
Zo =CIS— = COS— 4-1sın —
6
6
6
5
TC
Esas ölçüsü %-
2
47C
Z1 - Z2 . - A
2
+1 , - A
2
2
_ İ İ= - ^
2
2
CEVAP E
CEVAP D
2.
z = sın
ıcos—
6
6
. 7t .
71
z - - s ı n — + ıcos—
6
6
( t )+İC0S(t )
z = cos
f 71
7C'l • • 1f TC
4- ısın
-z = c o s
7C^
l l +?J
t l +7 j
2n . . 2n
- 4 ısın—
3
|
3
5.
z = ( - 1 + i)7
Zj = -1 + i olsun
Cj «|Zj I = 7 î+ T = y/2
CEVAP D
6 ] = argz-j için tanS-j = — = -1
-1
z>| II. bölgede
e, = n - — = —
4
4
. 7 • 3tc
z = z^ =rf -cıs--------
3. z=cos—+isin—ise
3
3
3 tc
7
3
. .
7
3ıc
z = cos— 4- ısın—
3
3
= (V 2")7 •cis^-^- + 47rj
= C0S7c+isin7c
=8-s/2"^cos-^-+isin-^-j
= -1 + 0 -i
CEVAP B
= - 8- 8İ
CEVAP E
116
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
9.
54
z = 2 - 2 7 3 i için
r = |z| = 74 + 4 -3 =4
argz = 0 için tan0 = -73*
1.
y/3
Zı = 2
i olsun
1= 2 b _ J L = 6 2 .
z, IV. bölgede
2
<lerind<
rı = lzıl= İ ^ T = 4
4
V
Argzı =0ı içintan0ı =—=■
|W0 | = 7 T = 2
7t _ 1İTC
75F 1 = ^ 0 ! = 2 7 1 -
zı, IV. bölgede
J
6
arg(w0 ) = — = —
2
6
6
- (
5n . . 5n
w0 = 2 - cos— + ısın—
l
r=,|z|=r54 =154 =1
0 = Argz = 54 •0! = 54 •
olur-
6
6
^ L + il | = -V 3 + i
2
2
= 19ti
6
ölçüsün
Diğer karekökü - w 0 = 73* - i olur.
Z = r-cis0 = cos7i + isin7t= -1 + Oi
CEVAP C
CEVAPA
10.
z? =i ve z2 = 1- i için
zı • z2 =i( 1- l ) = i - i 2 =1 + i dir.
z-| -Z2 bu sayının kareköklerinden biridir.
1 + i = 72 •cis— olduğuna göre, karekökleri
4
7.
z = 2(cos15°-isin15°)
=
2 • [ c o s ( - 1 5 ° ) + is in (
W0 =72cis-
-1 5 °)]
iç in z 12 = 2 12 [ c o s ( - 1 2 -1 5 ° ) + is in ( - 1 2 - 1 5 °
= 212 • [c o s ( - 1 8 0 ° ) + is in (
W j = ^ 2 c is ^ + ^ j = 7 2 cis—
dir.
-1 8 0 °)]
212(-1 + 0 i) = -2 ,12
CEVAP C
CEVAP E
11.
z| = r= /— + — =1
V4
4
73
tan0 =a
ö.
z
1
,
ti
=> 0 = 7C
3
1 . 5rc .
= — cis
ise
2 tc
—
3
z II. bölgede
= ziçin|w0 | = |w1| = 7F = 1
= 2cis|^27i
5n
6
:2 cis-
Argw0 = — = —
2
3
J
.7 1
7C . . 71
w0 = cis— = cos— + ısın—
3
3
3
İK
6
1
CEVAP B
73
CEVAP B
117
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
12.
|z| = r = 9
Argz = 0 =
16.
3n
z3 = 8i = r3 | c is - ^ )
z = reise olsun r3 = 8 => r = 2
z nin kareköklerinden biri
nr . Sn
V 9 cıs
.Zıt
= 3 cıs—
2 -2
30 = — + k-27t=>0 = — + k —
6
3
-9i
4
z1 = 2 -c is — = 2 - f — - +■ l . | ] = V 3 + i
CEVAP D
6
^ 2
7t
5 k_
6
.
z2 = 2 -cis — + ------ = 2
U
3 J
_
z1 = 2 + 2>/3 i = 4 - cis—
3
, f
2n ''i
3tt
Z3 = 2 . 0İ3 ( | + ± l ) = 2
Zo =
2
y/Z +İ = 2CİS—
6
CEVAP E
Za
n . ( U
7C'l _ .7 1
—— = 2 • c ı s ---------- 1= 2- cıs—
z2
13
6J
6
17.
Kareköklerinden biri y/2-c\s
n—
z = -6 4 = 64 • CİS7I
z nin küpkökleri $ 6 4 -cis
2-6
= V 2 c is —
k = 0 için 4 •
12
= ^ ‘|
CEVAP A
14.
n
2
2
= 2 + 2 ^3 i
CEVAP.C
. . îr')
z = 12 cos—
— -t- ısın —
3
J_+ Vş ,
3
)
sayısının kareköklerinden biri
g
18.
Wn = V İ2 İ cos—- — ı- i sin—- —
\
2 -3
2-3
z = 16 cisjt
sayısının4. derecedenkökleri
z = ^ 6 .c is ^ + i ^
w0 = 2 ^ | ^ î + i . l
ı ?
2
j
= 2 -c ls ^ + k ~
w0 = 3 + V 3 -i
k = 0 için 2 -c is |
Ht)
CEVAP D
. f 3n )
k = 1 için 2 • cis
cıs ----- 1 bulunur.
. .
l
15 .
4
J
z = 8 ■cis—— karmaşık sayısının küpkökleri w3 = z
3
denkleminin kökleridir. |w| = r
CEVAP B
19.
|zf -z || = |Zt |2 ■|z2 13= 22 - 33 = 108
Arg( zf • z2) = 2Argz! + 3Argz2
_ ..2 7 1
= 2-240°+ 3-300°
2ît
= 2-cıs — + k ------
= 1380° = 300°+ 3-360°
CEVAP E
CEVAPA
118
K A R M A Ş IK S A Y ILA R
24.
2 0 . z = 2 - 2 i = 2V2 - p L - ^ L
{2
2
z = -n/îT + i = 2cis30°
pozitif yönde 210 ° döndürülürse
= 2V2-cis315°
Zj = 2 •cis240° = 2 •(cos240° + isin240°)
360°
315°
i 3 ^ . CİSJ 3
^1
+k
küpkökleri
•2 •|
k = 0 için
- - i ^ i |= -1 -V 3 i
=\]y/8 cis(105°)
= y/2 CİS(105°)
sayısı ile eşlenir.
CEVAP B
CEVAPA
2 1 . z ^ e -c is o o s M s 0)
= 6 cis120 °
= 6 •(cos 120 °+isin 120 °)
=
6 .| - 1 +A ,
2
2
25. z = 3-(cos240°+ isin240°j
= - 3 + 3>/3 i
i •z = 3 •(cos330° + isin330°)
CEVAP E
pozitif yönde 10 ° döndürülürse
3 -(cos 340° + isin 340°)
22.
z = 1->/3 i = 2cis(-60°)
sayısı ile eşlenir.
270° pozitif yönde döndürülürse
CEVAP B
z1 = 2 ■cis(270° - 60°) = 2cis(210°)
= 2 •(cos210 °+isin210 °)
=2.|- A _ ± |
2
2
^3"- i noktası ile çakışır.
CEVAP D
26. z = 2 + 3i noktasının orijin etrafında pozitif yönde ~
radyan
döndürülmesiyle
elde
edilen
nokta
V3 .
i —cis(—(
1
23. z = —
2
2
(2 + 3i) J^cos— + isin— j
pozitif yönde 90° döndürülürse
(2 + 3i)-(0 + i) = 2i + 3i2
z.] = cis(90° - 60°) = cis 30°
= -3 + 2i
= cos30°+isin30°
sayısına karşı gelir.
= A +1 . 1
2
2
CEVAPA
CEVAP B
119
BOLUM -
3
)
LOGARİTMA
ÇÖZÜMLÜ TEST - 1
5.
Logaritmanın tanımı ve özellikleri ile ilgili
uygulamalar: 1
1.
Iog(0,8)-log32 + log8
olduğunagöre, xdeğeri kaçtır?
log2 6 4 -lo g 2 16
ifadesinindeğeri kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
logx
Iog(0,7) + log7-log49
A)
D).
B) 1
C) 3
D) 5
E) 7
D)~
E) —
D )3
E )4
E) 5
' log 1664 - log416 + logö2
ifadesinindeğeri kaçtır?
A)
B)
C) 2
6.
D)
E) 3
log 1 (log5125)
olduğunagöre, akaçtır?
A)
3.
B) 2
C)
log749 + log8512 + log24
ifadesinindeğeri kaçtır?
A) 2
B) 4
C) 5
D)
E) 7
7.
log7196-lo g 74 = m
olduğunagöre, mkaçtır?
A )- 2
4.
B)- 1
C) 2
Aşağıdakilerdenhangisiyanlıştır?
A) log 2 b4 = 3 => !oga b = -
B) logo3 = — =>a = 9
2
8.
log8 = a
C) log
9 = 4=>x = 3
vX
olduğuna göre, log5 in a cinsinden değeri
aşağıdakilerdenhangisidir?
D) log(ab)b2 =3=> log(a3 -b) = 0
A) 3 - ,
C )a -3
B)
E) lo g (a-2) = 1=^>a-e + 1
D)
120
a -3
E)
L O G A R İT M A
13.
x=3
V?
çarpımının sonucu kaçtır?
iogx
olduğuna göre, |0gy kaçtır?
1
A)
C)1
10.
log34 9 lo ^9 -lo g 7 İ6
B) 2
D) 12
C) 4
E) 16
E) 2
D)
a = log2 3
olduğuna göre, Iog43 + log2 9 -lo g 83 ün a cinsinden
eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
13a
12
B) — a
A)
14.
11
C) T a
log2 3 = a,
log34 = b
olduğuna göre, a b nin değeri kaçtır?
10
D) — a
1
E)
A) 7
11.
C) 2
B)
E) 3
D)
log67 = a
olduğuna göre, log74 2 - log642 ifadesinin a cinsinden
değeri nedir?
A)
1- a
B)
C)
D) --------
E)
-1
2 -a *
15.
log7 = a
olduğuna göre, logr70 in a cinsinden değeri nedir?
12.
3" = a
B)
A)
loga812 = n2
a -1
C)
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 4
D) 5
D)
E) 6
121
E)
3a
a + î_
2a
L O G A R İT M A
16.
log2(log3a) = 2
20.
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 81
B) 64
Iog53 + log5a = 1
olduğuna göre, a kaçtır?
C) 32
D) 27
E) 16
A) 3
21.
B) 2
5
D )J
C) 1
4
E )~
Ina = p
olarak verildiğine göre,
log2 3-log9 4
17
log10a2 aşağıdakilerden hangisine eşittir?
log5 32 •log8 25
A) ploge
B) 2ploge
C) plog2e
ifadesinin değeri kaçtır?
3
A>¥
3
B>™
1
c>7
3
D>^
e
D)plog—
1
p
E) — loge
E)i
f
I
log3 5 = a
22'
log3 7 = b
«a
ı
18.
log3 4 lo g 4 5-log5 (2 x -5 ) = 2
3a
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 11
B) 10
C) 9
olduğuna göre, log3S15 in a ve b cinsinden
değeri nedir?
A)
D) 8
B)
C)
a+b
E) 7
a -3
D)
E)
b+ 3
CEVAP ANAHTARI
19.
log35 = a
olduğuna göre, logg25 in değeri nedir?
A) a2
B) 2a
C) a
D) —
2
E) —
3
122
1. B
2. A
3. E
4. E
5. D
6. D
7. C
8. B
9. B
10. A
11 . D
12. B
13. E
14. C
15. D
16. A
17. B
18. E
19. C
20. D
21. B
22. A
a+b
LO G A R İT M A
te s t 1.
1 ç ö z ü m le r !
log2 64 - log216 = log226 - log224 = 6 - 4 = 2
Iog(0,8)-log32 + log8
CEVAP B
Iog(0,7) + log7-log49
2.
log-
88
10-32
|0g 7-7
:
20-49
log16 64 - log4 16 + log82
log
= l0942 43 “ lo94 4 2 + lo923 2
log-
2
ı°o 4
10
= -^-log4 4- 2 ^ 4 + - ^ - ^ 2
log5; =logx
İ0S( 5")
3
2 ı 1 _ 9 -1 2 + 2 _
1
:5
CEVAP D
CEVAP A
log/ 49 + log8 512 + log2 4
= log/ 72 + log23 29 + log2 22
= 2 +— + 2 = 7
3
CEVAP E
|
|
6.
9
S
=>log3- 2 ( 3 ) = a
ra
§
4.
=> 3~ 3-2a
A) log 2 b4 = 3=>— logab = 3=>loga b = —
a
2
2
=> 1 = - 2 a
=> a = —
2
B) loga3= — =>a 2 = 3=>a = 32 DOĞRU
2
C) log
9 = 4 =>
log^ (log5 125) = a =* log3_2 (log5 53) = a
CEVAP D
=9
x - 9 => x = 3 DOĞRU
D) log(ab)b2 =3=>b 2 =(ab)3 =>b2 = a3 -b3
■1 = a b
=>ab = 1 =>loq(abl = 0
DOĞRU
7.
E) ln(a-2) = 1 = >e 1 = a -2 = î> a = e + 2
|og7 196-log7 4 = m=>log7^-^^-^
log/ 49 = m
CEVAP E
log7 72 = m => m = 2
CEVAP C
123
L O G A R İT M A
12. 3n =a
log8 = a=>log 2° =a
=> 3log2 = a
l°9a 812 = n2 => log3n 38 = n2
=> log2 = —
3
8
o
= * — log3 3 = n“
n
log5 = log— = 1-log 2 = 1 - —
2
3
3 -a
n
=>n3 =£
=> n = 2
CEVAP B
9.
CEVAP B
x = ^/y2 =>x = y
olduğuna göre,
2
logx
logy3
logy
logy
2 .
3 -'°9y _ 2
13. log349 log29-log71 6 = - ^ ^ - -1^ ^ - - ^ ^ log3
logy
log2
log7
_ 2-log7-2log3-4log2
log3log2log7
CEVAP B
= 2 -2 -4 = 16
CEVAP E
10-
log4 3 + log2 9 - logg 3 = log^ 3 + log2 32 - log^ 3
= — log2 3 + 2log2 3 - — log2 3
=( İ +2- 7 > ^
14.
3 + 1 2 -2
a •b = log2 3 •log3 4
_ log3
log22
log2
log3
13
=— a
6
CEVAP C
CEVAPA
11.
\0Qj 42 - log6 42 = log7(7 •6 ) - log6(6 •7)
= 1+ log7 6 - (1 + log6 7)
= log7 6 - log6 7
1
15. log7 70 =
1—
a = -------
Iog70
Iog7 + log10
log 7
log7
CEVAP D
CEVAP D
124
LO G A R İT M A
16.
20.
log2 (log3 a) = 2
log5 3 + log5 a = 1
log5(3 •a) —1
log3 a = Z2
3 a = 51
a = 3 =81
5
a=—
3
CEVAPA
CEVAP D
17.
log23 log 2 22
log23 log32
log5 25 -!og 352
5 -— log5 2-log25
3
1
10
3
(loga b •logj, a = 1 olduğunu hatırlayalım.)
2 1 . Ina = p => a = ep
CEVAP B
loga2 = 2 loga = 2 logep = 2 p •loge
CEVAP B
18
log4
log3
log5
log4
log(2x-5) = 2
logö
log(2x-5) = 2log3
log(2x-5) = log32
2x - 5 = 9
2x = 14
X= 7
CEVAP E
2 2 . log3515 =
loga 15 _ log3(3 -5)
loga 35
19.
logo 25 = log o 52 = — log3 5 = I
3
2
5=a
lögb(5.7)
log3 3 + log3 5
+i
log3 5 + loga 7
a+b
CEVAP A
CEVAP C
125
LO G A R İT M A
ÇÖZÜMLÜ TEST - 2
Logaritmanın tanımı ve özellikleri ile ilgili
u yg u lam alar: 2
4.
log2 = a
log3 = b
olduğuna göre,
1.
A) — (a+b)
' 3
olduğuna göre, log2 İ 2 kaça dır?
3
A )~
2.
3a
C )—
B) a
log\/3(F
nin
a ve b cinsinden
değeri nedir?
logg12 = a
D) 2a
E) 3a
C) - ( a + b)
B)
D) j ( a + b)
E) 2 (a + b)
log9 b-log3a = 1
ra
|
logab = 4
A) 1
B) 2
log5x = 16 logx5
1 5ı
olduğuna göre, a kaçtır?
C) 3
D) 4
olduğuna göre, x kaçtır?
E) 5
A) 1
3.
B) 5
C) 52
D) 5 3
E) 54
log4 5 = m
olduğuna göre, log
nin m cinsinden değeri
6.
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 - 2m
olduğuna göre, x y kaçtır?
B)"l‘ -2 m
D)
1 + 2m
log2x + 2log4y = 4
C )-2 m
A) 2
E) 2 + 2m
126
B) 4
C) 8
D) 16
'
E) 32
LO G A R İT M A
7.
D) b < c 1
log^/ğ 8-log^-49-log_j_25
11.
E) c < a < b
log8ı2 7 + log4 6 4 -lo g 1 9 + log1 6
3
ifadesinin değeri kaçtır?
8
ifadesinin değeri kaçtır?
A) —72
B) —2
C)
D) 12
E)72
43
A)
C)ü-
76
D)T
80
E)l?
logg 20 = a
8.
olduğuna göre, log420
nedir?
12.
nin a cinsinden değeri
13.
E) 3
log2 = a
olduğuna göre, logs45 in a cinsinden değeri
aşağıdakilerden hangisidir?
log3 = b
olduğuna göre, log72 nin a ve b türünden değeri
aşağıdakilerden hangisidir?
a+2
B) a + 2
C)
a -2
D)
D) 2
E)
log35 = a
A)
C )-
a +1
D) a + 1
9.
B )~
tür?
C)
B)
ı+ 1
~
nın hangi tabanda karşılığı- 4
16
A )- 2
a +1
A)
10.
63
53
B)1F
12
A) 2b - 3a
B )3 a - b
D) 3a + 2b
a+ 3
C )3 a -2 b
E) 2a + 3b
E)
a = log57
b = log33
14.
c = log63
olduğuna göre a, b, c arasındaki sıralam a
aşağıdakilerden hangisidir?
A) c < b <;
B) a < b < c
log23 = a
olduğuna göre, log38 in a cinsinden değeri
aşağıdakilerden hangisidir?
C) b < a < c
A)
127
B)
C)
D)
E)
LO G A R İT M A
15.
19.
a, b e R* olmak üzere,
log2a, log4b sırasıyla 4 ve 6 sayılarıyla orantılı olduğuna
göre, a ve b arasındaki bağıntı aşağıdakilerden
hangisidir?
A) b = a2
b2 = 2a3
\ogbc = y
olduğuna göre, x in a, b, y türünden değeri
aşağıdakilerden hangisidir?
C) b
B) b = a3
D)
logac = x
A) logab y
B)
D)
16.
loga b
İQ9ba
E) b3
C)
y
E)
ylogba
ylog b
log35 = a
log34 = b
olduğuna göre, log1516 nın a, b cinsinden değeri
aşağıdakilerden hangisidir?
ab
A)
4b
B)
a+ 1
C)
a+ 1
a+b
D)
20 .
2b
log2 = b
a+1
log3 = c
olduğuna göre, log17 nin a, b, c türünden eşiti nedir?
ab
E)
b+ 1
Iog306 = a
A )a -b -2 c
B )a -b -c
D) a - 2b - c
17.
C) a + b - 2c
E) a - 2b - 2c
loga = 6,32
logb = 1,18
logc = 0,7
olduğuna göre, log
a
b
B) 11,43
A) 10,72
D) 11,72
18.
21.
ifadesinin değeri kaçtır?
log2 =a
olduğuna göre, log(0,25) in a türünden değeri
aşağıdakilerden hangisidir?
C)12,15
A ) -4 a
E) 13,01
logb = 0,33
olduğuna göre, log ^s/â" -b2J ifadesinin değeri kaçtır?
B) 0,11
C )-2 a
D) a
E) 2a
CEVAP ANAHTARI
loga = 0,22
A) 0,074
B) - 3a
0 0 .5 5
D) 0.77
E) 0.99
1. E
2. C
3. B
4. A
5. E
6. D
7. A
8. B
9. C
10. A
11. B
12. D
13. D
14. C
15. B
16. C
17. D
18. D
19. E
20. A
21. C
128
LO G A R İT M A
TEST - 2 ÇÖZÜMLERİ
1-
6.
log812 = a=î>log23 12 = a
Iog2 x + — log2 y = 4
=> — log2 12 = a=> log212 = 3a
3
2
log2 ( x y ) = 4 = * x y = 24 =16
CEVAP E
2.
log2 X + 2log o y = 4
CEVAP D
log32 b-log3 a =1
— log3 b-log 3 a = 1
2
lo g ^ ^ lc ^ a = 2
7.
Taban değiştirme kuralı uygulanırsa
log23
log72
log52 _
lo g r1
log52
-1
log23
|og3| ^ | = 2 = > A = 32
( il-
b = 9a2
3Jpg2-2jpg7'-2 Jpg6'
2
3
3-2-2-2-3
= 1
-72
loga b = 4 => b = a'
a4 = 9a2 => a2 = 9
CEVAPA
=>a = 3
a >0
8.
CEVAP C
3.
log4 20: 1095 20
log5 4
■ogş^O
|o 9 5 2 0
log4 5 = m=> log^ 5 = m => — log2 5 = m =>log2 5 = 2m
20
lo 9 5 —
l°g5 20 - log5 5
o
a
log2-ı — I = -log2 — = —(log2 5 - log2 2) = -(2m -1)
2)
2
a -1
‘1-2m
CEVAP B
CEVAP B
4.
log%/36~ = — log(22 -32) = — (2log2 + 2log3)
3
3
Iog5 45 = l093(5‘3 )
1093 5
= — (a + b)
3
log3 5 4- 2log3 3
log3 5
CEVAPA
5.
a +2
log5 X = t için logx 5 = — olur.
CEVAP C
Verilen denklemde yerine yazılırsa
10.
t = 1 6 - = * t2 = 16
t
1<log57 < 2 = > 1 < a < 2 ]
log3 3 = 1=* b = 1
t > 0 olduğuna göre, t = 4 için
log5x = 4 => x = 54 olur
l => c c < 1
CEVAP E
CEVAPA
129
L O G A R İT M A
11 • log34 3 + log4 43 - log3_132 + log2_3 24
16.
3 Q 2
4
= — + 3 --------+ ---4
-1 -3
İ09 | 516
İ093 İ 6 _
log3İ5
=A + 3+2 -A
4
3
log3 42
log3(3-5)
2log3 4
2b
log3 3 + log3 5
1+ a
9 + 6 0 -1 6
CEVAP C
12
53
12
17.
CEVAP B
log-
•b
= 2loga + logb-3logc
c*'
eşitliğinde verilenler yerine yazılırsa,
2 •(6,32) +1,18 - 3(0,7) = 11,72 bulunur.
12. Aranan taban a olsun.
CEVAP D
loga -
= -4
18.
a-4 = —î16
a-4 = 2-4 => a = 2 olur.
log(\/a -b2) = — loga + 2logb
eşitliğinde verilen değerler yerine yazılırsa,
CEVAP D
5.
— (0,22)+2 (0,33) = 0,77 bulunur.
2
I
CEVAP D
13.
log72 = log(23 -32) = log23 +log32
= 3log2 + 2log3 = 3a + 2b
19.
CEVAP D
logac = x
x = log aby = y •log afc)
logbc = y=>c = by
CEVAP E
14.
10958 =
logg 8
log2 23
3
log2 3
log2 3
a
20.
log306 = log(17-2-32)
= log17 + log2 + 2log3 = a => log17 = a - b ■ 2c
CEVAP C
CEVAP A
15.
log2 a = 4x=>a = 24x
21.
b = a3 olur.
Iog(0,25) = log— = log2-2 = -2log2 = -2a
4
log4 b = 6x => b = 46x = 212x = (24x)3
CEVAP C
CEVAP B
130
L O G A R İT M A
ÇÖZÜMLÜ TEST - 3
Logaritmanın tanım ı ve özellikleri ile ilgili
u yg u lam alar: 3
27 l0934 = 4 I°92(x-2)
5.
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 10
logg 24
B) 11
C ) 12
log4 24
lo g ^ 24
D) 13
E) 14
logg 24
toplamınındeğeri kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
6.
12
log^- 24
M ^ 7|og5 6 _ 6,og57
işlemininsonucukaçtır?
olduğunagöre, Maşağıdakilerdenhangisineeşittir?
A) 8
B) log —
7
A) log—
7
B) 6
C)1
D) 2
E) 3
C)1
E )-1
D) 0
E
3.
n e R , n * 1 olmak üzere,
1
log2 2
I 7-
logb(a-c2) = 4
1
1
1
+------+••• H
-----f------
log3 2
log4 2
.E
logn 2
olduğunagöre, log cnindeğeri kaçtır?
ifadesi aşağıdakilerdenhangisineeşittir?
A) 1
B) 2
loga(b2 c) = 3
C) 2n
6
A)
D) log2(n!)
B)
C)
E) I°£ t2 (y ]
3
D) T
4.
a, b bir dikdörtgenin kenar uzunluklarıdır.
8.
Kenarlar arasında,
E)
log52 = a
olduğuna göre, log3210 un a cinsinden eşiti
aşağıdakilerdenhangisidir?
,o93("i")+|°g3(^2)=
a -1-1
a -b = 5
A)
bağıntıları bulunduğuna göre, bu dikdörtgenin
köşegenuzunluğukaçbirimdir?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
a -1
B)
5a
□)
131
a+1
C)
4a
E)
LO G A R İT M A
9.
13. log2=0,30103 olduğunagöre,
Iog2(30! -32) = p
olduğuna göre, log2(30!)z nin p cinsinden değeri
nedir?
A) 2p
B) 2p - 5
D)
2p + 5
l09( ^ r
C) 2p - 10
ifadesinindeğeri aşağıdakilerdenhangisidir?
E) 2p + 8
A) 2,9897
B) 3,1126
D)4,1212
10.
C) 3,6201
E) 4,2184
a, b, c pozitif gerçek sayılardır.
14.
b2 = 3 2 a 2 c
log2 = 0,30103
1
olduğunagöre, 3220 sayısı kaçbasamaktadır?
2
A) 299
olduğuna göre, log2a-log2b+—log2c ifadesinin
B) 300
C)301
D) 302
E) 303
değeri aşağıdakilerdenhangisidir?
5
A) - 4
5
B) —
D)
log2b
5
C) ~
E) log2c
C 15.
log3 = 0,47712
olduğuna göre, 2720 sayısı kaç basamaklıdır?
11*
A) 28
log38 = x
B) 29
C) 30
D) 31
E) 32
log94 = a
olduğunagöre, x inatüründendeğeri nedir?
A) a2
B) a
C)2a
D) 3a
E)4a
16. abcüçbasamaklı birdoğal sayı olmaküzere,
12.
f 0,0abc'j|-lo g M
( 0,abc J l abc J
log2 = 0,30103
olduğunagöre, 1615sayısı kaçbasamaklıdır?
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 17
A) 2
B) 18
C) 19
D) 20
E) 21
132
B) 1
.
0 )0
D) —1
E )- 2
L O G A R İT M A
17.
—
21 . a,b e N+, b * 1, a •b * 1 olmak üzere,
► lo g ,b m—
l°9ab 3 = x
R
------------------ ► l o g , a
İ09b ab = y
olduğuna göre, y nin x türünden eşiti nedir?
| A B | - 5 br, |P R | = 2 b r
olduğuna göre, a b çarpımı kaç birimdir?
A) 32
B )4 8
C) 64
D) 72
A)
x-1
B)
E) 128
D)
1
C)
x —1
x -1
E)
x+1
x -1
1-x
log2 = a
18.
log3 = b
olduğuna göre, log ?/l80 nin a, b türünden değeri
nedir?
- ( a + b)
’ 3
B)-J-(a + 2b)
A)
C) ~ -(a + 2b+1)
’ 3
' 3
£
C
D) — (a ; b+ 1 )
E) — (a + 3b + 2)
2
22 .
logx + logy = 1
5,
2X = (0,25)2x_y
2
denklem sistemini sağlayan (x,y) İkilisi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) (2,5)
19.
B) (5,2)
D) (9,1)
l o g 2 - 0,30103
C )(1 ,9)
E) (2,8)
log 3 = 0,47712
olduğuna göre, 2410 sayısı kaç basamaklıdır?
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
CEVAP ANAHTARI
20.
locfeo 3 = a, log30 5 = b
olduğuna göre, l°9302 nin a, b türünden değeri
aşağıdakilerden hangisidir?
A )a + b
B) a - b
D) 1 - a - b
C )-a -b
E)2 + a - b
133
1. B
2. D
3. D
4. C
5. A
6. E
7. B
8. A
9. C
10. C
11. D
12. C
13. A
14. D
15. B
16. C
17. E
18. C
19. B
20. D
21. E
22. A
L O G A R İT M A
TEST - 3 ÇÖZÜMLERİ
1.
5.
olduğunu hatırlayalım.
loga b =
logba
5
5
log3 24
logs 24
= 5log24 3 + 5log248
27i°934 =/£°92(x-2)
ş 3 log 3 4 _
4log 2 ( x - 2 )
3|o g 3 4 3
4log 2 ( x - 2 )
=
43 - 4İog2(x-2)
= 5(log24 3+log24 8)
3 = log2(x - 2) => x - 2 = 23
= 5log 24(3-8) = 5
x = 10
CEVAPA
CEVAP B
2.
al09b c = cl09b a eşitliğine göre,
M = 6,O957- 6 IO957 = 0 olur.
6.
l°94 24
CEVAP D
3.
6
12
lo g ^ 2 4
log^-24
1
_1
= 3 •log24 4 + 6 •log24 2 2 +12- log^ 3 4
1. sorunun çözümünde hatırlatılan özelliğe göre.
_1
log2 2
log3 2
log4 2
= 3 ■log24 4 + 6 ■— •log24 2 +12 •— •log24 3 4
2
4
logn2
= 3(log24 4 + log24 2 + log^ 3)
= log2 2 + log2 3 + log2 4 + ••••+log2 n
= 3 •log24(4 •2 •3) = 3log24 24 = 3
= log2(2 •3 •4 ■• •n) = log2(n!) olur.
CEVAP D
x - Va2 +b2
|
CEVAP E
isteniyor.
7.
loga(b2 -c) = 3=>b2 -c = a3 - - [ j ]
logb( a c 2) = 4=> ac2 = b4 •• |~2]
pil den b2 = — bulunup [ 2] de yerine yazılırsa
c
—
1093( 2~] +'093(I") = 1^ '°93[ “I" " I -] =1
—
= 31 = * a b = 12
_ 3
—
ac = —— eşitlii, buradan da c4 = a5 => c = a 4
(a - b f = 52 => a2 - 2ab + b2 = 25
M 2 = 25=>a2 + b2 = 4
loga c = logaa4 = — bulunur.
x --J 4 9 => x = 7 olur.
CEVAP B
CEVAP C
134
LO G A R İT M A
,
logö(5-2)
l 0 9 3 2 1 U = --------------- £—
log5 2^
logs 5 + log* 2
1+ a
12.
1615 = ( 2 * y 5 = 2
=> log1615 = log2bU = 60 •log2
= ------------------------------- = ----------
5-logs 2
5a
= 60 • (0,30103) = 18,06180 elde edilir.
CEVAPA
Logaritmasının karakteristiği 18 olduğuna göre, bu sayı
18+1=19 basamaklıdır.
CEVAP C
9.
12
Iog2(30! • 32) = p => lofe(30l) + log2 32 = p
13.
=>log2(30!) = p - 5
log
= log5 -log 2
W
= 6 - log
10
4-log2
2
= 6(1-log2)-4-log2
istenen log2(30!)2 =2log2(30!)
= 2 -(p -5 ) = 2 p -1 0 bulunur.
= 6 -6 lo g 2 -4 lo g 2
CEVAP C
= 6 - 1 0log2 = 6 - 3,0103 = 2,9897
CEVAPA
1_
10. istenen log2 a-lo g 2b + — Iog2 c = log2
2
ac2
b
14.
ı
â ' f c ..
= log2
dır.
b
log32
= log 25 20 =100 log 2 = 301,03
Logaritmasının karakteristiği 301 olduğuna göre, bu sayı
301+1 = 302 basamaklıdır.
Verilen b2 = 32 •a2c => —
ı~5
CEVAP D
a2c
j60
15. log2720 = log3°u
= 60 •log3 = 60 •(0,47712) = 28,62720
2 2 =
a sfc
Logaritmasının tam kısmı (karakteristiği) 28 olan bu sayı
29 basamaklıdır.
İstenende yerine yazılırsa
CEVAP B
__5
log2 2 2 =
bulunur.
2
CEVAP C
16.
abc = x için 0,0abc = x-10~4
0,abc = x-10-3
ab,c = x-10_1
11.
istenen x = log38 = lo ^ 2 3 = 3 log3 2
değerleri istenen ifadede yerlerine yazılırsa
?
2
Verilenden a = log„2 2 ^> a = — logs 2
3
2
log
x-10“
x-10'~
İstenende yerine yazılırsa x = 3 a bulunur.
-log
x -10-1
x
Iog10_1-Iog10_1 =0 bulunur.
CEVAP D
CEVAPC
135
L O G A R İT M A
17.
log2b
P
2
20.
-IB
Iog302 = log30 ^
= log30 30 —log30(3 ■5)
l og 2a «
= 1-Oog303 + I°930 5)
Şekle göre,
= 1 -(a + b) = 1 - a - b
|AB| = |AR| + |RB| = |AR| + |PB| - |PR|
CEVAP D
=> 5 = log2 a + log2 b - 2
=>5 + 2 = log2(a -b )= > a b = 27 bulunur.
CEVAP E
21-
18. logŞ/Î8Ö =log^22 -32 -5
y = logb(ab)s= logabab
logabb
1
= -^-(log2 2 + ı°g32 + i o g ~ j
logab ab- logab a
(? )
I
= -^-(2log2 + 2log3 +1 - log2)
1
1 -x
1
= -i(2log3 + log2 + l)
us
CEVAP E
= — (2b + a + 1) bulunur.
3
CEVAP C
22.
19.
logx + logy = 1=>log(x y) = 1
log2410 =lo g(23 -3)10 = lo g (2 30 -310)
=^>x•y=10—[T|
= 30log2+10log3
/ „ \2x y
2x=M J
= 30 •(0,30103)+10- (0,47712)
^2x=2-2<2x-y)
= 9,03090 + 4 , 77120 = 13,80210
x = -4x + 2y => 5x = 2y •• •[2]
Logaritmasının karakteristiği 13 olduğuna göre bu sayı
13+1=14 basamaklıdır.
[T] ve {2] den x = 2 ve y = 5 bulunur.
CEVAP B
CEVAP A
136
L O G A R İT M A
Ç02UÜVILU TEST - 4
4.
Logaritmaiı denklem ler ile ilgili uygulamalar: 1
Iogx + log(3x + 2) = 0
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
1.
1
loç}3 x - log2 8 = 0
A>7
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 1
B) 3
C) 9
D )27
(x+1)'°9<x+i > = x + 1
denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 8
3.
B) 9
logx + 2log
C)10
(i)
D) 11
E) 12
|
[■i
rç
|
İE
B) 4
C) 6
5.
D)
E)
Ioç}7(2x -7 ) - log7(x -2 ) = 0
olduğuna göre, log5x in değeri kaçtır?
A )j
B) “
C) 1
logx-log9
i-2logx
D) 2
E) 3
D) 3
E) 2
=1
log3log(x + 2)
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
A) 2
C)
E )32
5
2.
B)
D) 8
olduğuna göre, x kaçtır?
E) 10
A) 6
137
B) 5
C) 4
L O G A R İT M A
7.
3'o93[log2(3x-4)] =7
10.
log2
(x “ 1)
eşitliğini sağlayanxdeğeri kaçtır?
A) 42
B)43
C) 44
D) 45
olduğunagöre, x kaçtır?
E) 46
A) 1
11 .
B) 2
D) 4
C) 3
E) 5
ln(y+2) = x+xlnx
olduğuna göre, y nin x cinsinden İfadesi
aşağıdakilerdenhangisidir?
A) x.
B) x-ex -1
2 - x ■e51
E) 2 -(e x )x
D) (ex)x - 2
8.
C)
m eR olmak üzere.
x - (log2 m)x + logm2 = 0
I
denkleminin kökler toplamı, kökler çarpımına eşit
olduğuna göre, mnin alacağı farklı değerlerin
toplamı kaçtır?
3
A) 1
B)¥
C) 2
5
D)7
1
12.
21+|O0X +2İ09X=6
olduğunagöre, logx indeğeri kaçtır?
E) 3
A) 2
13.
B) 1
C )0
D) - 1
E )-2
loga + logb = logx
olduğunagöre, logx(ab) kaçtır?
log2(1 -x ) + log2( 3 - x ) = 3
denklemini sağlayanx değeri kaçtır?
A) - 4
B) - 3
C )-2
D) - 1
A)
E) 0
138
B)
C) 1
D)
E) 2
L O G A R İT M A
14.
18.
log2(3 + log2 x) = 3
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 8
B) 16
C) 24
3 + log2 x = log2(x + 3)
D )32
E )48
8
A )-'
15.
B) 3-
C) 7
D) 7
E) 7
D)
E)
x e R+ olmak üzere,
19.
logj x
logx7 = log2 x
denklem inin kökleri x 1( x2 olduğuna göre,
log3 x
logg x
olduğuna göre, x kaçtır?
logx1 +logx2 toplamı kaçtır?
A)
B) 7
C) 2
D) 1
A)
E) 0
B)
C)
16
I
I
s
I«s
16.
20.
x - 4 x + 2log3a
log2 (2x + 1) = 1 -x
ifadesinin tam kare olması için a kaç olmalıdır?
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
A) 9
A) 0
17.
B) 3
C)1
D)
E)
xlog23 - ( ^ + l)-log4 3 = 0
21 .
denkleminin kökü aşağıdakilerden hangisidir?
A)
2
B )T
>093 (Vx - 1 )
D) 3
C) 1
D) 2
E) 4
2 <0
eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tamsayı vardır?
A) 76
C)1
1
B) ~2
E) 4
139
B) 77
C) 78
D) 79
E) 80
L O G A R İT M A
22.
25.
3 < lo g 3 (a -2 )< 4
eşitsizliğini sağlayan kaç tane a tamsayısı vardır?
A) 51
B) 52
C) 53
D) 54
2 < log3(x +1) < log^- 4
eşitsizliğin i sağlayan en küçük ve en büvük
tamsayıların toplamı kaçtır?
E) 55
A) 86
B) 87
26.
23.
C) 88
D) 89
E) 90
logCo .i)(3 x -2 )5 -i
eşitsizliğinin çözüm aralığı aşağıdakilerden
hangisidir?
1<log3( x - 2 ) < 2
eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 3 < x < 9
B) 1 < x < 3
D) 5 < x < 27
24.
C) 1 < x < 6
E) 5 < x < 11
log2 (3-2x) < 2
CEVAP ANAHTARI
eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı aşağıdakilerden
hangisidir?
3
A)/ - 1 < X < —■
2
B)/
3
D) — < X < co
2
1
2
3
<x<—
2
1
.
C ) ~ <X<3
2
1
E) -o o < x < ----2
1. D
2. B
3. D
4. A
5. C
6. E
7. C
8. D
9. A
10. E
11. D
12. D
13. C
14. D
15. B
16. A
17. C
18. E
19. C
20. A
21. E
22. C
23. E
24. B
25. C
26. D
140
LO G A R İT M A
TEST - 4 ÇÖZÜMLERİ
1.
5.
log3X- Iog28 = 0
log7(2x -7)-log7(x 2) = 0 => log7(2x - 7 ) = log7(x - 2 )
^ > 2 x -7 = x - 2
iog3 X-log2 2 3 = 0
log3 x -
3
=>x = 5=>log5Ö = 1
=0
CEVAP C
log3 x = 3=>x = 33 =27
6.
CEVAP D
2.
logxlog3*
= 1=> 2-log3-logx = log3-log(x + 2)
log3-log(x + 2)
(x + 1)'°9(X+1) = x +1
=>logx =log(x + 2)
eşitliğinin iki tarafının logaritmasını alalım.
-o x2 = x + 2
=> x - x - 2 = 0
log(x + 1)!09(x+1) = |og(x +1)
denkleminin pozitif kökü 2 olur.
log(x +1) •log(x +1) = log(x +1)
CEVAP E
log(x + 1)[log(x + 1)-1] = 0
log(x + 1) = 0 veya log(x + 1) = 1
x + 1 = 1 veya
7.
x + 1= 10
x - 0 veya
x= 9
3l093a _ a olduğuna göre,
3İ093[log2(3x-4)]= 7 =;>|og2 (3x _ 4) = 7
toplam = 0 + 9 = 9
= > 3 x -4 = 2 7
=> 3x = 4 + 128
CEVAP B
132 = 44
=> x = -----3
CEVAP C
logx + 2 log|^— j = log8 - 2logx:
logx-2logx = log8-2logx=>
8.
logx = log8 =>x = 8
ax2 + b x + c = 0 denkleminin köklerinin toplamının
ve çarpımının
CEVAP D
3
' olduğu hatırlanırsa
x2 -(log2 rn)x + logm2 = 0
logx + log(3x + 2) = 0 => log[x(3x + 2)] = 0
denkleminin kökleri toplamı ile çarpımının eşitliği
=p 3 x 2 + 2 x = 1
log2 m = logjp 2 şeklinde ifade edilir.
=>3x2 + 2 x -1 = 0
=> (3x - 1)(x +1) = 0
log2 m = t için bu denklem t = — olur.
x2 = -1
t2 = 1=>t = Tİ
t = 1 için log2 m = 1 => m, = 2
x = -1 için logx tanımsızdır x = —
3
t = -1 için log2 m = -1 => m2 = 2“1
o —1 = —
5
mı + m2 —2
2
2
CEVAPA
CEVAP D
141
LO G A R İT M A
9.
13.
Iog2(1 -x ) + log2 ( 3 - x ) = 3
loga + logb = logx=>log(ab) = logx
=> log x => a •b = log x => a •b = x
l°g2 [(1 - x) ■(3 - x)] = 3
istenen logx(ab) = logx x = 1 olur.
3 - x - 3x + x2 = 23
CEVAP C
x2 - 4x - 5 = 0
(x -5 )(x + 4) = 0
Xı = 5,
x2 = -4
14.
log2(3 + log2 x) = 3=>3 + log2 x = 22
x = 5 için denklemdeki logaritmalar
tanımsız olduğundan x = —4 tür.
=> log2 x = 5=>x = 2 = 3 2
CEVAP D
CEVAP A
1°.
15. Iogx7 =log2 x= > 7 lo g x -lo g 2 x = 0
=> logx(7-logx) = 0
iog2( x - l )"3 = -6
logx = 0 veya7-logx = 0 =>
-3 lo g 2(x -1 ) = -6
x1 = 1
log2 ( x - 1) = 2
x2 = 107
logx-| +logx2 =log1 + log107 = 0 + 7 = 7
x - 1 = 22
X=5
CEVAP B
CEVAP E
16. Ax2 + Bx + C ifadesinin tamkare olması için
11.
In(y + 2 ) = x + x-lnx
A = B2 - 4AC = 0 olmalıdır.
ln(y + 2) = lnex +lnxx
Buna göre. A = (- 4 )2 - 4 - 2 •log3 a = 0
ln(y + 2 ) = ln(ex xx)
2=I
a=3
olur.
y+ 2 = (e x )x
CEVAPA
y = (e ■x)x •2
CEVAP D
17.
12. 21+logx +2,09X= 6
x •log2 3 -
+1) •log^ 3 = 0
x •log2 3 -
2-2İ09x2 + 2logx = 6
x •
+ 1) •log2 3 = 0
+ l) = 0
2 .2 2logx + 2 logx = 6
2 x - V x -1 = 0
2logx = t için bu denklem
( 2 ^ + 1 )(^ -1 ) = 0 |ö V _ _ i = 0
2 • t2 +1 = 6 biçimin e dönüşür.
=> x = 1 olur.
2-Jx +1 = 0 olamaz
2 t2 +1 - 6 = 0
(2t + 3)(t-1 ) = 0 denkleminden
CEVAP C
1
L = — ilet? = - 3 bulunur.
2
t > 0 olduğuna göre,
2|Qgx _
18.
3 + log2 x = log2(x + 3) => log2 2 + log2 x = log2(x + 3)
=> log2 (8 x) = log2(x + 3)
2,09x = 2~1
2
=> 8 x = x + 3=>7x = 3=>x:
=? logx = -1 olur.
7
CEVAP D
CEVAP E
142
L O G A R İT M A
19.
23. 1<log3(x -2 )< 2 = > 3 1 < x - 2 < 3 2
= -2
İ092 x
lo93 x
l°96 x
=> 3 + 2 < X < 9 + 2
=> logx 2 + logx 3 + logx 6 = -2
5 < x< 1 1
=> logx(2 -3 -6 )= -2
CEVAP E
)2 = x '2
=>x = 6‘-1 _
1
24.
log2(3 -2x)< 2=> 3 -2 x <22
=> 3 - 4 < 2x
CEVAP C
= > -— < x
2
rrı
^
Ayrıca logaritmanın tanımlı olması gerektiğinden
20.
3 - 2x > 0 => — > x •• •-[ğ]
2
log2(2y + 1) = 1 -x = > 2 y +1 = 21_x =>2y +1 = -= 2X
[Tl ve d den
(2X)2 + 2 X = 2=> (2X)2 +2X - 2 = 0
LJ
1
3
< x < — bulunur.
2
2
(2X + 2)(2X -1 ) = 0
CEVAP B
2X = -2 olamaz
2X - 1 => x = 0
CEVAPA
£ 25. 2<log3(x + 1)<log 1 22
,3
C
—
22
=>2<log3(x + 1)< — .[o ^ 2
— '~T~‘
2
21 .
32 < x +1 < 34
iog3( x - l) 2 - 2 < o
8 < x < 80
— logs(x-1)<2
2
En büyük x tamsayısı 79
En küçük x tamsayısı 9
log3(x-1)<4
Toplamları 88 olur.
x -1 < 34
x < 82
CEVAPC
1
Ayrıca x:-1 > 0 = > x > lJ
x tamsayıları 2,3,......-.81 olur ki
bunların sayısı 80 dir.
26. log
CEVAP E
.|(3 x -2 )£ -1 = > -log(3x - 2 ) ^ - 1
log(3x-2)<n
3 x -2 ^ 1 0
22.
=> x S
3<log3(a -2 )< 4 = > 3 3 < a - 2 < 3 4
□
=>27 + 2 < a < 8 1 + 2
Logaritma tanımlı olacağından = > 3 x -2 > 0 = > x > — d
3
=> 29 < a < 83
a tamsayılarının en büyüğü 82, en küçüğü 30 olduğuna
göre, bunların sayısı 82 - 29 = 53 tür.
[j] ve d den => — < x < 4 bulunur.
3
CEVAP C
CEVAP D
143
L O G A R İT M A
ÇÖZÜMLÜ TEST - 5
4.
L o g aritm a lı d e n k le m le r ile ilgili u yg ulam alar: 2
log2 [2log3(3log4(x + 2))] = 1
olduğuna göre, x kaçtır?
1.
A) 1
log3(9-3x+3) - 3 x + 1
B) 2
C) 6
D) 8
E) 9
D) 16
E) 9
D )10®
E) 109
denklem inin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) {-1,1}
B) {0,2}
C){0}
D) {1}
E) {2}
5.
I°g3(l°92 32) = loggX
olduğuna göre, x kaçtır?
4 •log3 x
2.
log3 9
l°93
A) 81
(? )
B) 27
C) 25
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
A) 1
3.
B) 2
C) 3
D) 6
E) 9
logg(x+4 r +log•,(x —1) = 1
6.
log3 (logx) = 2
3
olduğuna göre, x kaçtır?
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
A) 2
5
B )“
C) 3
7
D )-
A) 102
E) 4
144
B)103
C)106
LO G A R İT M A
11.
log2X + log2 y ^ 8
olduğuna göre, x + y nin en küçük değeri kaçtır?
A) 16
B) 32
C) 64
D) 128
log3 x + logx 27 = 2
denklem inin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
E) 256
A) {1,3}
B) {1,9}
D) {9,27}
C) {3,27}
E) {18,27}
İn ( x y ) = 2a
İn
x
= 2b
ky
l°9x y/0^25 = —
4
olduğuna göre, x in pozitif değeri nedir?
A) ea+b
B) e0"3
C) ea~b
olduğuna göre, x kaçtır?
D) e2(a+b> E) eab
A) J
B )J
C)1
D) 2
E) 4
9.
=y
2a
13.
olduğuna göre, log2x - log2y nin değeri
aşağıdakilerden hangisidir?
B) a + b
A) 2 a - b
log(x_1}3>1
eşitsizliğini sağlayan x değerlerinin bulunduğu
en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?
C) a - 2b
A) (1,2]
10.
a b * 1 olmak üzere,
14.
(loga)2- (logb)2 = loga2 + logb2
B) 0,1
C )(2(4]
D) (4,5]
E) (5,6]
C)1
D) 10
x'°9x =106 X
denkleminin kökler çarpımı kaçtır?
olduğuna göre a, b nin kaç katıdır?
A) 0,01-
B) (1,3)
E) 2a + b
D) a - b
A)
E) 100
145
10-2
B) 10-1 C)1
D) 10
E) 102
LO G A R İT M A
15.
3lnx - lnx2 + 4 = 0
19.
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) {e, e4}
olduğunagöre, log3x kaçtır?
C){1.e4}
B){e’^ }
D) {1 .e-2}
3 ^ -6 =g7 x
A) 4
E) {e-4}
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
■>ol.
, 2x
16.
-5 e
+6=0
denkleminin kökler toplamı aşağıdakilerden
hangisidir?
A) In3
B)ln2
C)ln4
D) In6
E) In12
20 .
log4(x + 3)2 + log-| ( x - 3 ) = 2
2
denklemi sağlayan x değeri kaçtır?
5
£
S
A) 7
B) 6
C) 3
D) 4
E) 5
a
ü
17.
J
f(x) = iog(2- x)( l 6 - x 2)
fonksiyonunun tanımaralığında kaç farklı tamsayı
vardır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
CEVAP ANAHTARI
logftS-k-3)
18.
=3
log(5-x)
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) {2,3}
B) {0,2}
D) {-2 ,-3 }
C) {3.4}
E) {0 ,-6 }
146
1. E
2. C
3. D
4. B
5. C
6. E
7. B
8. A
9. D
10. E
11. C
12. A
13. C
14. D
15. E
16. D
17. B
18. A
19. D
20. E
L O G A R İT M A
TEST - 5 ÇÖZÜMLERİ
1.
5.
•3X+3) = 3x +1 => 1og3<3x+5) = 3x +1
=>x + 5 = 3 x + 1
log3 (log2 32) = logg x=> log3(log2 25) = log32 x
=> log3 Ö= — log3 x
2
=>4 = 2x=>x = 2
=>2log35 = log3 x
CEVAP E
=>log352 = log3 x
=> x = 52
= > x -25
4 İ093?X - loga 27 - log3 x => 2 log3 x + log3 x - logg 33
loga 3
=>3log3x
CEVAP C
3
=>log3 x = 1
^>x = 3
CEVAP C
6.
Iog3(logx) = 2=>logx = 32 =>x = 109
CEVAP E
3.
log9(x + 4)2 + log1 (x
1) = 1
3
=> 2 ■log 2(x + 4) + log -j (x -1 ) = 1
s
=> — log3(x + 4) -log3(x -1) = 1
2
=>İO03
x+4
x -1
!
.
x+4 0
-1 = >
=3
x -1
7.
log2 x + log2 y £ 8 => log2(x • y) £ 8
=> x • y > 28
ı
x y e n a z2 8 = 256 olur.
3 x -3 = x + 4=>2x = 7=>x = —
2
x = y = 16 için x + y toplamı en az 32olur.
CEVAP B
CEVAP D
4.
log2[2log3(3log4(x + 2))] = 1:
8-
2log3(3log4(x + 2)) = 21:
log3(3log4(x+2)) = 1:
ln(x-y) = 2a=>lnx + lny = 2a
2b => lnx lny = 2b
3log 4(x + 2)) = 1
log4(x + 2) = 1
2lnx = 2(a + b)
x+2=4
lnx = a + b
x =2
x = ea+b
CEVAP B
CEVAP A
147
L O G A R İT M A
12 .
İs te n e n
lo g2 x - l o g 2 y = lo g 2 — d ır.
logx V0.125 =•
y
oa
2
1
+—
,
I 5 İ2
3
r =—
1 10 J
4
iogx —
2a+b +1
r rX=> X =
------
M
t)
2b + - L = y=>y = 2®
2a"
y
7
1
f 1f
=>xz = — =>x= —
2
log2 2a- b
1
=—
4
b olur.
CEVAPA
CEVAP D
13. log(x_D 3> 1=> log(x_D 3 £ log(x_1}(x -1)
10.
0 < x -1 < 1=> 1 < x < 2 için 3 £ x -1
(loga)2 - (logb)2 = loga2 + logb2
4 < ,x
(loga + logb)(loga - logb) = 2(loga + logb)
Aynı anda 1 < x < 2 v e 4 £ x sağlanamaz.
log(a ■b) •log— = 2 •log(a •b)
b
x -1 > 1 = > x > 2 için 3 > x -1
4>x
a •b * 1=> log(a •b) * 0
O halde 2 < x < 4 olur.
log— = 2 => — = 102 =>a = 102 b olur,
b
b
CEVAP C
CEVAP E
14.
x'°9x =106 -x
eşitliğinin iki tarafının logaritması alınırsa
11.
log3 x + logx
logxlogx = 6 + logx bulunur.
27= 4=> log3 x + logx 33 = 4
3
log x = t için t2 - 1- 6 = 0 denklemi elde edilir.
log3 x - t için t + — = 4 ->
tj = 3 için x1=103
t2 + 3 = 4t => t2 - 4t + 3 = 0 => (t - 1)(t - 3) = 0
t2 = -2 için x2 =10“2
t = 1 için log3 x =1 =>x =3
xr x2 =101 ^10 olur.
t = 3 için log3 x = 3 => x = 27
CEVAP C
CEVAP D
148
L O G A R İT M A
15.
18.
3 lnx-lnx2 + 4 = 0 ^ > 3 -ln x -2 lnx + 4 = 0
=> lnx = -4
log(35-x3) = 3-log(5-x)
35- x 3 = ( 5 - x ) 3 =>35- x 3 = 1 2 5 -7 5 x + 15x2 -x3
x = e-4
= > 0 = 9 0 -7 5 x + 15x2
CEVAP E
=> 0 = 6 - 5x + x2
=>0 = ( 3 - x ) (2 - x )
=> x-| = 3, x2 = 2
CEVAPA
16.
e2x -5 ex + 6 = 0 denklemi
ex = t için t2- 5 t + 6 = 0 denklemine dönüşür.
Bu denklemin kökleri t, = 2, tg = 3 tür.
19.
ex = 2=> x-j =ln2
E
3x2 6 = (3 2) 2 X
3 x2 - 6 = 3 x
S
ex = 3=> x2 =ln3
x2
- 6 = x = > x2 - x - 6 = 0
+
(x - 3 ) ( x + 2 ) = 0
Xı + x2 = In2 + In3 = ln(2 •3) = In6
x^ = 3, x2 = -2
log3 x1=1, logx2 tanımsızdır.
CEVAP D
CEVAP D
17.
f(x) = log(2_x)(16 - x2)
fonksiyonunun tanımlı olması için,
1) 2 - x > 0 ve 2 - x * 1
20.
2 > x ve x = 1
2)
log22(x + 3)2 + log2_1( x - 3 ) = 2
— •log2(x + 3) - log2(x - 3) = 2
2
1 6 - x2 > 0 = > - 4 < x < 4
1 ve 2 den - 4 < x < 2 olmalıdır.
log2
x+ 3
x -3
Bu aralıktaki tamsayıların kümesi {-3 , -2 , - 1 , 0}
olduğundan
= 2= >
x+3
o2
= 2 =>
x -3
4 x -1 2 = x + 3=t>3x=15=>x = 5
CEVAP E
CEVAP B
149
LO G A R İT M A
ÇÖZÜMLÜ TEST - 6
Logaritm a fonksiyonunun grafiği ve ters
fonksiyon ile ilgili uygulamalar:
1.
f:R + -»R,
f(x) = 1+ log2X
olduğuna göre, f“1(8)
A) 27
B)28
kaçtır?
C )29
D) 210
E )2 "
Grafik, f(x)=logax fonksiyonuna ait olduğuna göre,
f ( İ ) kaçl,r?
A) - 5
2.
(a>1, b>1)
B) —4
C) - 3
1
D )~
1
E) 2
x = log1o(a-by)
f(x) = 3X
y = — -(1 —10-x )
b
f _1(a)
olduğuna göre, -—^-----
aşağıdakilerden
olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisine eşittir?
hangisine eşittir?
A) log10a
a
A) !og2 —
b
a
B) —
b
D) logba
B) log10a2
C) log10 T â
C) 2Q-b
D)
E) log2(a-b)
150
loga—
a
E)log104 "
a
L O G A R İT M A
5.
Grafik, y = f(x) fonksiyonuna aittir.
Grafik, y * ex, y * x ve g(x) fonksiyonlarına aittir.
Bunagöre, f(27) kaçtır?
g(x), y=ex fonksiyonunun y » x doğrusuna göre
simetriğidir.
A) 3
B)2
C)1
D ) -2
E ) -3
Bunagöre, g(e) kaçtır?
6.
A) —1
B )“
G)0
D)
B)1
f : I —i , <»j -> R fonksiyonu
f(x) = log3(3x + 1)
İle tanımlanıyor.
Bunagöre, tersfonksiyonubelirten f_1(x)
aşağıdakilerdenhangisidir?
A) f " 1(x) = 3x
B) f —
1(x) —3X+1
C) f " 1(x) = log(3x + 1)
D) f - 1(x) = 3X-1
f:R + ->R, f(x) = log3(4x + 3)
olduğunagöre, f*1(3) kaçtır?
E)
7.
A) 2
10.
E) 6
g(x) = l(3 x ~ 1 )
ö
nindeğeri kaçtır?
olduğunagöre, (f ~1og)(2) kaçtır?
A)
B )-2
D) 5
f(x)-ln (x + 3)
Xx - ex'9(x)
A) - 3
C) 4
f -1(x) —■
x e R+ olmak üzere g(x) fonksiyonu İçin,
olduğunagöre,
B) 3
C )-1
D )2
E).
151
e- 3
B) e - 2 C )e -1
D) e
E)e + 3
LO G A R İT M A
14.
11.
loga b = x
logbc = y
olduğuna göre, iogc(ab) aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
A)
x+ y
x +1
B)
xy
D)
C)
xy
xy
E)
x+ y
xy
x+1
Grafikler, R+
R ye tanımlı f ve g fonksiyonlarına aittir.
Buna göre, (fog) (81) değeri kaçtır?
xy
A) 3
x- y
15.
12 .
B) 1
0 -2
D )- 3
E )- 4
x * O olmak üzere,
olduğuna göre, k aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) In10
16.
Buna göre, f(4) + f~1(4) toplamı kaçtır?
B) 18
C) 24
D) 30
E) 36
13.
Grafik, f(x)=logax fonksiyonuna aittir.
Buna göre,
^1) + f(7) + f ^ " ~
toplamının değeri kaçtır?
A )
-3
B )-
2
C )-1
D) 1
O loge
D) e
E)10
f(x) = 3x"1
olduğuna göre, f-1(x) fonksiyonunun grafiği
aşağıdakilerden hangisidir?
Grafik, f(x) = loga(x+2) fonksiyonuna aittir.
A) 16
B) In1
E) 2
152
LO G A R İT M A
20.
f(x) =
17.
1 + 2X
olduğuna göre, f"1(x) aşağıdakilerden hangisidir?
c)ios2f â )
D)
log jf— l
^ x + 1)
E)
x -1
log2
x+1
Yandaki grafik aşağıdaki fonksiyonlardan hangisine
ait olabilir?
A) f(x) = 3>
B )f(x ) = 3“2x
D) f(x) = log ı x
C )f(x ) = log 3 X
E) f(x) = 3 ‘
3
18.
f(x) = ex+1
g(x) = x + 3
olduğuna göre, (g o r1) (e3) ün değeri kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
I
ex + 3ey = 3
21
&
e2x -9 e 2y = 6
denklem sisteminin çözüm kümesi {(x,y)> olduğuna
göre, x - y farkı aşağıdakilerden hangisidir?
A) In15
B) In12
C) In9
D) In5
19.
CEVAP ANAHTARI
Grafik, y = ~ fonksiyonuna aittir.
A1f A2 içine yazıldıkları bölgelerin alanları ve
A1 = A, = 1 olduğuna göre, a kaçtır?
A) 4
B)
C) 9
D) 12
E) 15
1. A
2. D
3. C
4. C
5. E
6. D
7. B
8. C
9. E
10. A
11. A
12. E
13. B
14. C
15. A
16. C
17. A
18. C
19. C
20. E
21. D
153
E) In3
L O G A R İT M A
TEST - 6 ÇÖZÜMLERİ
1.
f(x) = 1+log2 x
5.
f'1(8)=a=>8=f(a)J
Grafik I — ,1İ noktasından geçtiğine göre tabanı ~ olan
3 ;
logaritma fonksiyonunun grafiğidir.
1+log2 a = 8 .=> log2 a - 7 => a = 27
f(x) = log 1 x => f(27) = log3_13J
CEVAPA
f(27) = —3 bulunur.
CEVAP E
2.
f(x) = 3x = > f_1(x) = log3 x
f~1(a)
logs i
f_1(b)
log3 b
6.
x = log3(3y + 1)=*3x =3y + 1
logba
=>y = f"1(x) =
CEVAP D
CEVAP D
7.
3.
xx = e x*g(x)
eşitliğinin iki tarafının doğal logaritması alınırsa
Grafik (4,2) noktasından geçtiğinden
x • lnx = x •g(x) => lnx = g(x)
f(4) = 2 => log.4 = 2 = >a2 = 4 = >a = 2
( ö") ~ 1092 [ ö"J = 1092 2"3 =
3X -1
bulunur.
i) -
®
:lne-2 = -2 bulunur.
CEVAP B
CEVAP C
8.
y = e** fonksiyonunun grafiğinin y =x doğrusuna göre
simetriği, ters fonksiyonunun, yani y = lnx in grafiğidir.
g(x)= lnx
4.
g(e) = İne = 1 olur.
y = — ( l-1 0 ~ x)=>by = a(1-10"x)
CEVAP E
by = a-a-10“x=>a-10-x = a -b y
x = log(a - by) = log(a •10“x)
x = loga - x => 2x = loga
9.
x = — loga=> x = loga2
2
f(x) = log3(4x + 3) ]
„
^=>log3(4a + 3) = 3=>4a + 3 = 3
r 1(3) = a= »3 = f(a)J
=s>4a = 2 7 -3 = > a = 6 olur.
CEVAP C
CEVAP E
154
LO G A R İT M A
10.
14.
f(x) = ln(x + 3), g(x) = — (3x-1)
5
f( — I = 1=> loga — = 1=> a = —
2
(f~1og)(2) = f-1(g(2)) - f_1(1)= a
2
g f j j = -1=>logb3 -1 . -1 :> b = 3
=> 1 = f (a) => ln(a + 3) = 1=>a + 3 = e=>a = e - 3
f(x) = logj_x,
g(x) = log3 x
2
CEVAPA
(fog)(81)= f(g(81)) = f(log3 81) = f(4)= log2_12* =-2
CEVAP C
11 b |0gc(ab)= l09^ =
logbc
1+1
log^a + l° ^ b a _ x _ B.l± * logbc
y
xy
CEVAPA
12. Grafik (4,2) noktasından geçtiğinden =5 f(4) = 2
2 15. 10x = e k x eşitliğinin iki tarafının doğal logaritması alınırsa
loga(4 + 2) = 2 => a2 = 6
I
3^
a = Vö"
r 1(4) = t o 4 = f(t) => logjğ(t + 2) = 4 => t + 2 = (%/6 )4
=s>t + 2 = 36
x-ln10 = k-x-lne
s
t = 34
x 5*0 olduğundan sadeleştirilirse
W
|
k = ln10 bulunur.
CEVAPA
f(4) + r 1(4) = 2 + 34 = 36 olur.
CEVAP E
13.
loga
=-2 =>loga 7 = 2=^a2 = 7 => a = -JT
=»f(x) = log^-x
16.
f(1) = log^f 1= 0
f(7) = lo g ^ 7 = 2
f(x) = y = 3X_1 eşitliğinde x ile y yer değiştirirse
x = 3y~1 = -?¥-=> 3y =3x= > y = log3(3x) = P 1(x)
3
elde edilir.
f e ) =l097T7'2= X l0977=^
2
f-1
= lo931 = 0 olduğuna dikkat edilirse grafik
bulunur.
toplamları - 2 olur.
CEVAP C
CEVAP B
155
LO G A R İT M A
20. f(0) = 1 olacağına göre C ve D seçenekleri olamaz.
17.
f(x) = y =
ifadesinde xyerine y. yyerinex yazılırsa
1 + 2X
f(1) = “
koşulunu sadece E seçeneği sağlamaktadır.
?y
x = — — =>x + 2y x = 2y = > x -2 y(1-x)
CEVAP E
1 + 2y
=> 2y = —- —
1 x
^ y = lo92( - A - ) = r 1(x)
bulunur.
CEVAP A
18.
f(x) = ex+1, g(x) = x + 3
(g o r1)(e3) = g [ r 1(e3)]
21.
e + 3e = 3
f 1(e3) = t => e3 = f(t) => e3 = et+1
2x
.
2y
=>t = 2
-(ex)2-(3 e , )2= 6
yerine yazılırsa g(2) = 2 + 3 = 5
(ex + 3ey )(ex - 3 e y) = 6
3
CEVAP C
ex - 3ey = 2
ex +3ey =3
2ex = 5 = > e x =
yerine yazılırsa ey = 4 - bulunur
x
19.
5
, 5
î = — => x = ln—
A-, = logb3 = 1=>b = 3
2
2
x - y = İn
A-j+ A2 = logba = log3 a = 1+ 1=>a = 32 =9
y
1
6
CEVAP C
i İn 1 5
(’ t)
. 1
iy = — => y = ln-
6
CEVAPA
156
BÖ LÜM - 4
PERMÜTASYON - KOM BİNASYON - BİNOM - O LA S ILIK
ÇÖZÜMLÜ TEST - 1
5.
Saym a yöntemleri ve faktöriyel ile ilgili
uygulamalar: 1
Bir torbada bulunan 6 beyaz, 9 kırmızı top arasından
1 beyaz ve 1 kırmızı top kaç farklı biçimde seçilebilir?
A) 36
1.
A) 6
2.
B)42
C) 45
D) 54
E) 60
Bir kutuda bulunan 6 mavi, 8 beyaz bilye arasından
1 mavi veya 1 beyaz bilye kaç farklı biçimde
seçilebilir?
B) 8
C) 12
D) 14
E) 16
6.
Bir sınıfta bulunan 14 erkek, 12 kız öğrenci arasından
1 erkek veya 1 kız öğrenci kaç farklı biçimde
seçilebilir?
A) 10
B) 13
C) 14
D) 22
10 matematik, 6 fizik, 4 kimya kitabı arasından
1 matematik, 1 fizik, 1 kimya kitabı kaç farklı biçimde
seçilebilir?
A) 24
E) 26
B) 60
C) 120
D) 180
E) 240
E
|i
İS
7.
3.
{a, b, c, 1, 2,5,6,8,10}
A) 552
kümesinin elemanları arasından 1 harf veya 1 sayı
kaç farklı biçimde seçilebilir?
A) 4
4.
B) 5
C) 6
D) 9
24 kişilik bir sınıfta bir başkan, bir de başkan
yardımcısı kaç farklı biçimde seçilebilir?
B)448
C)426
D )402
E) 396
E) 10
{0,1, 2, 3, 4,5,6,7}
8.
kümesinin elemanları arasından 1 tek sayı ve 1 çift sayı
kaç farklı biçimde seçilebilir?
A) 15
B) 12
C) 9
D) 7
E) 6
3 kişi, 4 farklı kente gönderilmek üzere, kaç farklı
biçimde seçilebilir?
A) 12
157
B) 16
C) 24
D) 48
E) 64
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
9.
13.
A = {a-|.a2 ,83.84 } kümesinden,
{0, 1, 2, 3,4, 5 , 6 }
B = {b1.b2 .b3 } kümesine tanımlanan bağıntılardan
kümesinin elemanlarıyla dört basamaklı 45 ile biten
kaç farklı sayı yazılabilir?
kaç tanesi fonksiyondur?
A) 24
A) 27
B) 64
C) 81
D) 125
B) 36
C) 42
D) 48
E) 56
E) 128
14.
{0,1, 2, 3, 4 ,5 , 6,7}
kümesinin elemanlarıyla dört basamaklı 2 ile başlayıp
5 ile biten kaç farklı sayı yazılabilir?
10.
{0 ,1, 2,3,4, 5 , 6 }
A) 56
B) 64
C) 96
D) 128
E) 168
kümesinin elemanlarıyla üç basamaklı kaç farklı sayı
yazılabilir?
A) 343
B) 294
C)252
D) 210
E) 180
§
s
11.
15.
kümesinin elemanlarıyla üç basamaklı, rakamları
farklı 400 den büyük kaç farklı sayı yazılabilir?
{0 , 1, 2 ,3,4, 5 , 6 }
kümesinin elemanlarıyla üç basamaklı, kaç farklı çift
sayı yazılabilir?
A ) 126
12.
B )148
C)154
{0,1, 2, 3, 4,5, 6 }
D )168
A) 60
B) 72
C) 84
D) 90
E) 108
E) 172
{0,1,2, 3,4, 5 , 6 }
16.
kümesinin elemanlarıyla üç basamaklı 300 den büyük
üç basamaklı kaç farklı tek sayı yazılabilir?
A) 84
B) 96
C) 102
D) 108
{0,1, 2,3, 4,5, 6 }
kümesinin elemanlarıyla üç basamaklı, rakamları
farklı, 300 den büyük kaç farklı çift sayı yazılabilir?
E) 114
A) 48
158
B) 60
C) 70
D) 72
E) 110
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
17.
22.
{0,1, 2, 3, 4, 5,6}
{0.1. 2,3, 4,:-5,‘:6 ,7}
k ü m e s in in ele m a n la rıy la üç basam aklı, rakam ları
farklı 5 ile b ö lü neb ile n kaç farklı sayı yazıla bilir?
küm esinin elem anlarıyla d ö rt basam aklı, rakam ları
farklı, yüzler basamağı 6 olan kaç ç ift sayı yazılabilir?
A) 40
A) 40
18.
B)45
C) 50
D) 55
E) 60
{5,6,7,8,9}
23.
k ü m e s in in e le m a n la r ıy la ra k a m la r ı fa r k lı, üç
basam aklı, 780 den kü çü k kaç fa rk lı sayı yazıla b ilir?
A) 24
B) 30
C) 36
D) 42
g
k ü m e s in in e le m a n la rıy la y a z ıla b ile n , tü m ik i
basam aklı te k sayıla rın top lam ı k a ç tır?
A) 660
B) 675
C)684
D) 690
E) 84
B) 280
C) 340
D) 360
E) 400
24 . Üç basamaklı sayıların kaç tanesi 5 ile tam bölünm ez?
A) 640
S
jş
B)660
C)680
D) 700
E) 720
E) 702
25.
20.
D) 72
küm esinin elem anlarıyla yazılabilen rakam ları farklı,
d ö rt basam aklı bütün sayıla rın b irle r basam ağındaki
rakam ların toplam ı kaçtır?
E) 46
{0,1, 2 , 3, 4 , 5 , 6}
C) 60
{1 2 ,3 ,4 ,5 }
A) 240
19 .
B) 56
{0 , 1, 2, 3, 4,5,6}
{0,1, 2, 3, 4, 5, 6}
k ü m e s in in e le m a n la rıy la y a z ıla n ü ç b a s a m a k lı
sayıla rın kaç tan esi 300 den b ü yü ktü r?
kü m e sin in elem anlarıyla rakam ları farklı, 300 ile 500
arasında kaç tek sayı yazıla bilir?
A) 40
B) 36
C) 30
D) 24
A) 147
B) 146
C)126
D) 90
E) 81
E) 20
CEVAP ANAHTARI
21.
{0,1, 2,3. 4,5.6}
k ü m e s in in e le m a n la rıy la ü ç ba sam aklı, en az ik i
b a sa m a ğ ın d a k i ra kam ı aynı o la n kaç fa rk lı sayı
y azıla bilir?
A) 294
B )224
C)180
D )126
E) 114
159
1 D
2. E
3. D
4. B
5. D
6. E
7. A
8. E
9 .C
10. B
11. B
12. A
13. C
14. B
15. D
16. C
17. D
18. B
19. C
20. A
21. E
22. A
23. D
24. E
25. B
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
TEST - 1 ÇÖZÜMLERİ
1.
6.
10 M, 6 F, 4K kitabı arasından 1M 1F 1K kitabı:
10 •6 •4 = 240 farklı biçimde seçilebilir.
UYARI:
CEVAP E
A işlemi a farklı biçimde
B işlemi b farklı biçimde yapılabilirse
7.
A veya B işlemi a+b farklı biçimde yapılabilir.
Başkan seçimi 24 farklı biçimde,
Buna göre,
Başkan yardımcısı seçimi : 24 - 1 = 23 farklı biçimde
sonuçlanabilir. Çarpma kuralına göre, 1B ve 1BY
6 M bilyeden 1i 6 farklı biçimde,
24 •23 = 552 farklı biçimde seçilebilir.
CEVAPA
8 B bilyeden 1i 8 farklı biçimde seçilebileceğinden
1 M veya 1 B bilye
8.
6+8 = 14 farklı biçimde seçilebilir.
1. kişi için 4
2. kişi için 4
CEVAP D
3. kişi için 4 seçenek olduğundan çarpma kuralına göre,
4 . 4 .4 = 64 farklı biçimde seçim olur.
2.
14 E, 12 K öğrenci arasından
CEVAP E
1 E veya 1 K : 14+12 = 26 farklı biçimde seçilebilir.
CEVAP E
A = {a-j,32 ,83 ,84 } kümesinden,
3.
{a, b, c, 1, 2 , 5, 6 , 8 ,10}
B = {b1.b2.b3 } kümesine tanımlanan bir bağıntının
1 harf veya 1 sayı: 3+6 = 9 farklı biçimde seçilebilir.
fonksiyon olması için A nin her elemanın B nin bir ve
yalnız bir elemanına eşlenmesi gerekir. Buna göre,
CEVAP D
a! için 3
4.
a2 için 3
UVRRI:
a3 için 3
Â işlemi a farklı biçimde
a4 için 3 seçenek olduğundan çarpma kuralına göre,
B işlemi b farklı biçimde yapılabilirse
3 •3 •3 •3 = 34 = 81 tane fonksiyon tanımlanabilir.
A ve B işlemi a b farklı biçimde yapılabilir.
\ ______________________________________________ y
CEVAP C
Buna göre,
10. {0,1, 2,3, 4 ,5 , 6 }
{0,1, 2,3, 4, 6, 6,7} kümesinde 4 tek sayı, 3 tane çift
üç basamaklı bir sayı abc biçiminde olduğundan,
sayı olduğundan 1T ve 1Ç sayı: 4 -3 = 12 farklı biçimde
seçilebilir.
a için 6 (sıfır hariç)
b için 7 (sıfır dahil)
CEVAP B
ciçin 7 (sıfır dahil) seçenek olduğundan çarpma kuralına
göre,
5.
6 B, 9 K top arasından
a b c
6 | 7 | 7 | => 6 •7 •7 = 294 farklı sayı yazılabilir.
1 B ve 1 K top : 6-9 = 54 farklı biçimde seçilebilir.
CEVAP B
CEVAP D
160
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
16. {0,1, 2,3, 4,5,6}
11. {0,1, 2,3, 4,5,6}
a b c
2 I 5 I 4 =>2-5-4 = 40
a b c
| 6 | 7 | 4 |=> 6 -7 -4 = 148 çift sayı yazılabilir.
4*
(0,2,4,6)
4i
(3,5) (0,2,4,6)
CEVAP B
12.
a b c
1 5 3 =>1-5-3 = 15
4,
4,
(4) (0,2,6)
{0,1, 2,3, 4,5,6}
a b c
4 7 3 => 4 •7 •3 = 84 farklı tek sayı yazılabilir.
b c
5 3 =>1-5-3 = 15
I
i
(3,4,5,6) (1,3,5)
4-
4-
(6) (0,2,4)
CEVAPA
70
olur.
CEVAP C
13. {0,1, 2,3, 4,5,6}
|
a b c d
7 1 1 =>6-7-1-1 = 42
4
5
CEVAP C
|
17. {0,1, 2,3, 4,5,6}
a b c
I 6 I 5 [T] =>6-5-1 = 30
(0)
a
b c
5 I 5 IT ] =>5-5-1 = 25
14. {0,1, 2, 3, 4,5, 6,7}
(0 hariç)
55
olur.
a b c d
11 | 8 | 8 11 1 =>1-8-8-1 = 64
2
5
CEVAP D
CEVAP B
18. {5, 6,7,8,9}
a
15. {0,1, 2,3, 4,5,6}
b c
2 4
(5,6)
a b c
| 3 | 6 | 5 | =>3-6-5 = 90
3 =>2-4-3 = 24
a b c
11 | 2 | 3 | => 1-2-3 = 6
(7)(5,6)
+
30
4(4,5,6)
CEVAP D
olur.
CEVAP B
161
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
19.
....
23.
{0,1, 2, 3, 4,5,6} kümesinin elemanlarıyla
{1. 2,3, 4, 5}
a b c d
5 4 3 2 = > 5-4-3-2 = 20
a b c
| 6 | 6 | 3 | => 6 •6 •3 = 108 tek sayı yazılabilir.
(1,3,5)
120 :5 = 24 olduğundan birler basamağında her rakam
1 kez bulunur. Bunların toplamı:
Bu sayıların 18 : 3 = 6 tanesi 1 ile 6 tanesi 3 ile 6 tanesi
.5 ile biteceğinden birler basamağındaki rakamların
24 (1+ 2 + 3 + 4 +5) = 24-15 = 360 olur.
basamak değerleri toplamı: 6 •(1 + 3 + 5) = 6 •9 = 54
CEVAP D
Onlar basamağında 1 8:6 = 3 tane 1,3 tane 2 , 3 tane
6 bulunur bunların toplamı:
3.10(1+2+3+..... +6)= 30-21 = 630
O halde bu sayıların toplamı: 630 + 54 = 684 olur.
CEVAP C
20. {0,1, 2, 3, 4,5, 6}
a b c
| 2 | 5 | 4 | => 2 •5 •4 = 40 olur.
(3 »
CEVAPA
İ
a b c
a b c
24. | 9 110 110 | - | 9 110 | 2 |
21. {0, 1, 2.3, 4,5, 6}
a b c
a b c
I 6 I 7 I 7 I - | 6 I 6 | 5 1= 294-180 = 114 olur.
Tüm sayılar - Basamakları farklı sayılar
(0.5)
I
= 9 -1 0 -1 0 -9 -1 0 -2
= 9 00 -1 8 0
= 720 olur.
CEVAP E
CEVAP E
22.
{0,1. 2.3. 4.5.6.7}
a b c d
| 6 11 | 5 11 1 =>6-1-5-1 = 30
(6 )
25.
(0)
a b c d
a b c
11 11 I5 11] => 1-1*5-1 = 5
(2)(6) (4)
|~4~f7~j7~|=> 4 -7 -7 = 196
i
a b c d
I 1 I 1.15 1.1 |..=^1-15-1 = 5
(4) (6)
(2)
+_____
40
{1. 2. 3. 4.5.6}
(3,4,5.6)
196-1 = 195 olur.
(300 istenen koşula uymaz.)
olur.
CEVAP B
CEVAPA
162
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
ÇÖZÜMLÜ TEST - 2
5.
Saym a yöntemleri ve faktöriyel ile ilgili
uygulamalar; 2
1.
A kentinden B kentine 5 farklı yol, B kentinden C kentine
4 farklı yol vardır.
Buna göre, B kentinden geçmek koşulu ile
A dan C ye kaç farklı yoldan gidip dönülebilir?
İki torbanın herbirinde 1 den 12 ye kadar numaralar
yazılmış 12 şer kart vardır.
A) 400
B) 380
C) 360
D) 80
E) 40
Bu torbaların herbirinden birer kart çekilerek İkililer
oluşturuluyor. Kaç farklı ikili oluşturulabilir?
A )96
2.
B )120
C) 128
D )138
E) 144
Bir torbada 4 mavi, 6 beyaz, 5 sarı top vardır. Bu torbadan
1 mavi, 1 beyaz, 1 sarı top çekilerek üçlüler oluşturuluyor.
6.
Kaç farklı üçlü oluşturulabilir?
A) 96
B) 100
C)120
D) 132
A kentinden B kentine 6 farklı yol, B kentinden C kentine
4 farklı yol vardır.
A kentinden B ye uğramak ve gidilen yoldan
dönmemek koşulu He A dan C ye kaç farklı yoldan
gidip-dönülebillr?
E) 142
A) 506
B) 529
C)534
D) 552
E) 576
S
ra
+
M
- H
I
+
E
7.
Şekilde birbirine paralel 5 yatay, 6 düşey doğru vardır.
Biri yatay, biri düşey doğrulardan olmak iki doğru
kaç farklı biçimde seçilebilir?
A) 30
B) 24
A
C) 20
B
D) 18
A) 64
C) 125
D) 162
E) 243
C
8.
B kentine uğramak koşulu ile A dan C ye kaç değişik
yoldan gidilebilir?
B) 12
B) 81
E) 15
A kentinden B kentine 4 farklı yol,
B kendinde C kentine 3 farklı yol vardır.
A) 7
5 mektup 3 posta kutusuna kaç farklı biçimde
atılabilir?
C) 14
D) 16
Bir kentte telefonlar 6 rakamlıdır.
İlk rakam tek olacağına göre, bu kentte kaç bin kişiye
telefon verilebilir?
E) 24
A) 350
163
B)400
C) 450
D) 500
E) 550
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
9.
13.
Bir binaya giren 6 kişi, bu binanın iki asansörüne kaç
farklı biçimde dağılabilir?
A) 6
B).
C)32
D) 64
34! = a
olduğuna göre, 34! + 35! sayısının a cinsinden eşiti
aşağıdakilerden hangisidir?
E) 128
A) 32a
B) 33a
n!
14.
C) 34a
D) 35a
E).36a
D) 8
E) 9
D) 9
E) 10
D) 4
E) 5
= 56
(n —2)!
97!+98!
10 .
olduğuna göre, n kaçtır?
97!
A) 5
işleminin sonucu kaçtır?
A) 95
B) 96
C) 97
D)'98
B) 6
O 7
E')!
15.
2-(nl) + (n + 1)!
J_
(n+1)! + (n + 2)!
7
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
5!- 6 • 7 •8 • 9 + 6!- 7 •8 •9 + 7!- 8 •9
11 .
8!+7!-8
(n+1)!
16.
işleminin sonucu kaçtır?
= 2n - 3
(n -1)! + n!
9
A )“
B) 8
27
C )—
81
D) O
olduğuna göre, n kaçtır?
E)
A) 1
B) 2
(n+1)!
1+ rî5
n! + (n —1)!
n
17.
42! - 41!
12.
O 3
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
40!+39!
A )- 2
işleminin sonucu kaçtır?
A) 1640
B) 1620
01580
D)1460
1
B) - n
O —
E)1380
n+1
D)
1.64
n -1
E)
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
16(141-131)
18.
n!(n + 2)l
22 .
(n + 1)!- (n —1)1
151+14!
ifadesinin kısaltılm ış biçim i aşağıdakilerden
hangisidir?
işleminin sonucu kaçtır?
A) —
4
B )3
14
C).—
11
D)
A) n2 + 2n
15
13
B) n2 + n
D)
23.
(3 n -3 )!-(2 n -3 )l
10.
1 •
(3n-4)!-(2n-1)l ~ 6
B) 3
.
C) 4
E)
n+ 1
(n —2)!
(n -3 )l
2 n -3
(n —1)1
(n - 2)1
20
n+ 2
n+ 1
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 4
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 2
C)(n+1)2
' . D) 5
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
D) 6
E) 7
D) 15
E) 16
E) 6
(n + 3)l —2(n +1)1 = 5
24.
(n + 3)1 + (n + 2)1
6
olduğuna göre, n kaçtır?
20.
A) 3
. (n+1) ■[n •n! + (2n - 1) •(n -1)1 + (n - 1) •(n - 2)!]
B) 4
Ç) 5
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) n - 2
B) 2n - 1
C) nl
D )(n+ 1)l
E) (n+2)l
n!
25.
(n —3)1
= (n -2 ).^ 13!
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 12
(n +1)1 - n!
n!
(n + 2)!-(n + 1)!
(n + 1)!
21.
A)
B)
n
D)
n+ 1
n -1
C)
n
E)
C ) 14
CEVAP ANAHTARI
İşleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
n+ 1
B) 13
1. E
2. C
3. A
4. B
5. A
n+ 1
6. D
7. E
8. D
9. D
10. E
n+ 2
11. c
12. A
13. E
14. D
15. A
16. C
17. C
18. B
19. D
20. E
21. D
22. A
23. C
24. B
25. D
n
h -1
165
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
TEST - 2 ÇÖZÜMLERİ
1.
I. torbadan 1 kart 12 farklı şekilde,
A
II. torbardan 1 kart 12 farklı şekilde çekilebileceğinden
çarpma kuralına göre,
B
4 yol
C
A dan C ye 6 ■4 = 24 farklı şekilde gidilebilir.
Bu 24 farklı yoldan 1 i gidiş yolu olduğu için dönüşte
kullanılmayacaktır. C den A ya dönüş 24 - 1 = 23 farklı
yoldan gerçekleşebileceği için çarpma kuralına göre,
ğidiş-dönüş 24■23 = 552 farklı yoldan gerçekleşebilir.
12-12 = 144 farklı ikili oluşturulabilir.
CEVAP E
2.
6 yol
CEVAP D
4 mavi toptan 1 mavi top 4 farklı şekilde
6 beyaz toptan 1 beyaz top 6 farklı şekilde
5 sarı toptan 1 sarı top 5 farklı şekilde çekilebileceğinden
1M 1B 1S toptan oluşan,
7.
1. mektup için 3 seçenek
2. mektup için 3 seçenek
4 •6 ■5 = 120 tane üçlü oluşturulabilir.
5.
CEVAP C
mektup için 3 seçenek
olduğundan çarpma kuralına göre, 5 mektup 3 kutuya,
3.
5 yatay doğrudan 1 i 5 farklı şekilde
3 -3 -3 -3 -3 = 35 = 243 farklı şekilde atılabilir.
6 düşey doğrudan 1 i 6 farklı şekilde
„
CEVAP E
seçilebileceğinden 1 i yatay 1 i düşey iki doğru
5 ■6 = 30 farklı biçimde seçilebilir.
8.
CEVAPA
|
a
b
c
d e
f
[~5~pİ0| 10 110 | 10 110 |
(1,3,5,7,9)
A
4 yol
B
3 yol
C
5 •10 •10 •10 •10 •10 = 500 •000 olduğundan
AB yolu 4 farklı şekilde
bu kentte 500 bin kişiye telefon verilebilir.
BC yolu 3 farklı şekilde gidilebileceğinden
CEVAP D
ACyolu 4 -3 = 12 farklı şekilde gidilebilir.
CEVAP B
9.
1 kişi için 2 seçenek
2 kişi için 2 seçenek
5.
3 kişi için 2 seçenek
ı--------------------------1------------------------- 1
A
5 yol
B
4 yol
C
6 kişi için 2 seçenek
ACyolu 5-4 = 20 farklı şekilde
olduğundan, çarpma kuralına göre,
CA yolu 4 •5 = 20 farklı şekilde gidilebileceğinden, A dan
C ye gidiş-dönüş çarpma kuralına göre, 20-20 = 400
2 -2 -2 -2 -2 -2 = 2®=64 farklı biçimde dağılabilirler.
farklı şekilde olur.
CEVAP D
CEVAP A
166
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
10 .
97!+98!
97!(1 + 98)
97!
15.
= 99 olur.
2-(n!) + (n +1)! _ 1
(n + 1)!+(n + 2)! ” 7
97!
(98! = 97!98 olduğuna dikkat edelim.)
CEVAP E
2(n!)+n!(n + 1)
1
(n + 1)!+(n + 1)!(n + 2)
7
n!(2 + n + 1)
_ 1
(n + 1)!(1 + n + 2)
11 .
5!6 7 8• 9 + 6 !7 •8 9 + 7!8 9
8!+ 7 !-8
1
n!(n + 1)
7
9!+9!+9!
8!+8!
_ 3JM
"
7
n!
n + 1= 7
2 - 8!
n= 6
3-8İ-9
olur.
CEVAPA
2 8!
27 olur.
,
=—
16.
CEVAP C
(n+1)!
= 2n - 3
(n —1)1 +n!
n!(n + 1)
2 n -3
(n —1)! (1 + n)
12.
42!-41!
41! (42-1)
40!+ 39!
391(40 + 1) .
(n -1 )!n
= 2 n -3
(n —1)1
39140-41
n = 2n - 3
39!
n= 3
olur.
= 1640 olur.
CEVAP C
CEVAPA
<17
13. 34! = a ise
(n+1)!
1+ n2 _ (n 1)!n-(n + 1) _ 1+ n‘
n!(n —1)!
34!+ 35! = 34!+34!-35
n
(n-1)!(n + 1)
= 341(1 + 35)
n2
1+ n2
= 36-34!
= 36a olur.
n
n
n
n2 -1 - n2
CEVAP E
n
= • — olur,
n
14. — —— = 56
CEVAP C
(n—2)!
(n -2 )! (n-1)-n _ g6
(n-2)!
(n-1)-n = 7-8
n=8
16 (14!-13!)
16-13!(14-1)
15!+14!
14!(15 + 1)
= 13-13! _ 13
olur.
13M4
CEVAP D
14
CEVAP B
167
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
19
(3 n - 3 ) l( 2 n - 3 ) l
1
(3n -4)l - (2n —1)!
6
(3n - 4)! •(3n - 3)(2n - 3)!
23.
(n -2 )! | (n-3 )!
(n—1)1
1
2(n-1)-(2n-1)
6
3
(n -3 )!
(n -2 )!(n -1 )
6
3(n-1)
20
(n -2 )!
= 1
(3n - 4)!(2n - 3)!(2n - 2)(2n -1)
2 n -3
(n-2)!
1
n -1
20
2 n -3
| 1
(n -2)
_ 2 n -3
(n -3 )!(n -2 ) ~
n -2
( n - 1)
20
1
2 * ^
2(2n-1) ~ 6
3
(n -2 ) (n-1)
1
2 n -1
20
(n -2 )-(n -1 ) = 4-5
3
n - 2 = 4=>n = 6
2 n -1 = 9
olur.
2n = 10
CEVAP C
n = 5 olur.
CEVAP D
(n + 3)!—2(n +1)!
5
(n + 1)[n •n!+ (2n - 1)(n -1)!+ (n -1 ) •(n - 2)!]
(n + 3)!+ (n + 2)!
6
= (n + 1)[n(n - 1)In + (2n - 1)(n -1)! + (n -1)!]
(n + 1)![(n + 2)(n + 3 )-2 ]
5
(n + 2)!(n + 3 + 1)
6
24.
20.
= (n + 1)[(n -1)1 • (n2 + 2n -1 +1)]
= (n + 1)[(n - 1)!n •(n + 2)]
= (n + 2)! olur.
n2 +5n + 4
5
(n+2)(n + 4)
6
(n + 1)(n + 4)
5
(n + 2)(n + 4)
CEVAP E
n+ 1
5
n+ 2 ~ 6
21.
(n + 1)! -n !
n!
(n + 2)!-(n + 1)l
(n + 1)!
6n + 6 = 5n + 10
n!(n + 1)-n!
(n +1)!
(n + 1)! (n + 2)-(n+1)!
nl
nl(n+1—1)
(n +1)1
(n + 1)!(n + 2 -1 )
n!
n = 4 olur.
CEVAP B
olur.
n+ 1
25. — —— = (n—2) •
CEVAP D
22.
n!(n + 2)!
(n-1)ln-(n + 1)!(n + 2)
(n+1)! (n-1)!
(n +1)! (n -1)!
(n -3 )!
13!
(n -3 )!(n -2 )(n -1 )-n
13M4-1!
(n -3 )!
131
(n-1)n = 14-5
= n(n + 2)
n = 15 olur.
= n2 +2n olur.
CEVAPA
CEVAP D
168
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
ÇÖZÜMLÜ TEST - 3
4.
Permütasyon formülüyle ilgili uygulamalar:
P(n +1, 4) = 10-P(n, 2)
olduğunagöre, nkaçtır?
1.
A) 3
P(n,4) = 42-P(n,2)
B) 4
C) 5
D) 10
E) 12
D) 20
E) 25
D) 10
E) 11
olduğunagöre, nkaçtır?
A) 6
2.
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
I
nl(9,2) = (n + 2)l
e
S,
olduğunagöre, nkaçtır?
A) 3
B) 4
C )5
D) 6
5-
n, r doğal sayılar olmak üzere,
n!
P(n,r) = dir.
(n -r)l
E) 7
2 •P(n,2) + 50 = P(2n,2)
olduğunagöre, nkaçtır?
A) 5
3.
7-P(n,3) = 20-P(n + 1 ,2)
6.
olduğunagöre, nkaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
B) 10
C) 15
5 •P(n - 3,2) = P(n - 3,3)
olduğunagöre, nkaçtır?
D) 8
E) 9
A) 7
B) 8
C) 9
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
7.
11.
P(n + 2,2) = 26 + P(n,2)
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 2
8.
B) 3
C)
olduğuna göre, P(n-1,1) kaçtır?
D) 5
A) 6
E)
P(6,2) + P(5,3) - P(7,2)
12.
B) 45
C) 42
D) 36
E) 30
13.
P(n + 2,2)
10 .
B )10
D) 9
E). 10
C)11
P(n + 1,3)
4P(n,n)
P(n,3)
hf
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
P(n,3)
1
P(n,n-4)
5
D) 10
E) 16
D) 150
E) 180
olduğuna göre, n kaçtır?
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 9
C) 8
2P(n,2) = 5P(2n,1)
A) 5
_P(n-t-2,4) _ j i p
9.
B) 7
olduğuna göre, n kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 48
P(n,3) = 8P(n,2)
D) 12
A) 2
E )13
14.
B) 6
C) 8
P(n,2) = 12
P(m,m - 2 ) = 60
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
olduğuna göre, P(m,n) kaçtır?
D) 6
E) 7
A) 60
170
B )120
C )130
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
15.
18.
(n + 1)! =35
n (n -2 ) !
olduğuna göre, n kaçtır?
olduğuna göre, P(n,2) kaçtır?
A) 15
B) 20 .
C) 25
P(8,3) = P(n-1, 4)
A) 6
D) 30
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
E) 35
19.
(n - 2) •P(n +1,2) - P(n, 3) = 48
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 4
16.
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
2 •P(n,2) = P(2n,2) - 28
E
S
olduğuna göre, P(n,1) kaçtır?
A) 10
B) 14
C) 20
D) 24
E) 28
I
20.
P(n + 2’4)
= 24
P(n + 1,3)-n-P(n-1,2)
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
• •
CEVAP ANAHTARI
17.
P (n -2 ,n -2 )
P (n -3 ,n -3 )
1. D
2. E
3. B
4. B
5. A
6. D
7. E
8. A
9. C
10. A
olduğuna göre, n kaçtır?
11. D
12. B
13. C
14. B
15. D
A) 20
16. E
17. A
18. E
19. C
20. B
B) 18
C) 16
D) 14
E) 12
171
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
TEST - 3 ÇÖZÜMLERİ
P(n + 1,4) = 10:P(n,2)
1.
P(n,4) = 42-P(n,2)
n!
= 42-
(n -4 )!
(n + 1)n (n -1 )(n -2 ) = 10 n(n-1)
n!
(n + 1)(n—2) = 10 = 5-2
(n-2)!
(n - 4)!(n - 3)(n - 2)(n - 1)n
n + 1= 5
= 42
(n -2 )!(n -1)n
(n -4 )!
n = 4 olur.
(n-2)!
CEVAP B
(n -3 )- (n - 2 ) ( n - 1 )n = 42-(n-1)n
( n - 3 ) ( n - 2 ) = 6-7
n - 3 = 6=>n = 9 olur.
2 •P (n, 2) + 50 = P(2n, 2)
CEVAP D
2 n ( n -1 ) + 50 = 2n(2n -1)
2n2 - 2 n + 50 = 4n2 -2 n
50 = 2n2
n2 =25
2.
n! P(9,2) = (n + 2)!
n = 5 olur.
n!9-8 = n!(n + 1)(n + 2)
CEVAPA
(n + 1)(n + 2) = 8-9
n + 1= 8
n = 7 olur.
CEVAP E
5 •P(n - 3,2) = P(n - 3.3)
5 •(n - 3)(n - 4) = (n - 3)(n - 4)(n - 5)
5 = n- 5
n = 10 olur.
3.
7 • P(n,3) = 20 ■P(n +1,2)
CEVAP D
7 •n(n - 1)(n - 2) = 20 •(n + 1)n
7 •(n2 - 3n + 2) = 20n + 20
7n2 - 2 1n+14 - 20n - 20 = 0
7n2 - 4 1 n -6 = 0
7n
'n \ ^
P(n + 2,2) = 26 + P(n, 2)
(n+2)(n + 1) = 26 + n(n-1)
1
_r
n?+3n + 2 = 26 + n2 - n
(7n + 1)(n-6) = 0
4n = 24
olur.
n = 6 olur.
CEVAP B
CEVAP E
172
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
8.
P (6,2) + P (5,3) - P (7,2)
12.
2 P (n.2) = 5 •P(2n, 1)
2 n ( n -1 ) = 5 - 2 n
= 6-5 + 5 -4 - 3 -7 - 6
= 30 + 6 0 -4 2
n -1 = 5
n = 6 olur.
= 48 olur.
CEVAP B
CEVAPA
9.
P(n^2,4) _ ı 10
P(n + 2,2)
(n + 2)(n + 1)n(n-1)
11Q
(n + 2)(n + 1)
13.
P(n. 3)
P(n,n-4)
n(n-1) = 11-10
5
n(n -1)(n-2)
n!
n = 11 olur.
(n -n + 4)!
CEVAP C
41
1
n (n -1 )(n -2 )-— = —
n!
5
10. :-P(n + 1.3) = 4-P(n,n)
P(n,3)
n(n - 1)(n - 2)
1
1-2-3 - (n -2 ) (n-1)n
120
n!
(n + 1 )n (n -1 ) _ 4 n!
n (n -1)(n -2)
n+ 1
(n —3)!
n!
5!
n -3 = 5
n = 8 olur.
•= 4
n -2
CEVAP C
4 n -8 = n + 1
3n = 9
n = 3 olur.
14. P(n, 2) = 12
CEVAP A
n (n-1) = 4 -3 = > n = 4
P(m,m -2) = 60
İSİ
= 60
(m -m + 2)
11- P(n,3) = 8-P(n,2)
n(n -1)(n -2) = 8-rı(n-1)
m! = 120 = 5!
n -2 = 8
m= 5
P(m, n) = P(5,4) = 5 •4 •3 •2
n = 10
= 120 olur.
P(10 1,1) = P(9.1) = 9 olur.
CEVAP B
CEVAP D
173
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
15.
(n + 1)!
18. P(8,3) = P (n -2 ,3 )
= 35
n -(n -2 )!
8- 7- 6 = (n -2 )(n -3 )(n -4 )
(n-2)!(n -1)n (n + 1)
(n-2)!n
8 - 7 - 6
■3 5
n - 4 = 6=>n = 10
(n -1 )(n + 1) = 35
ya da
n2-1=35
P(8,3)=P(n-2,3) => n-2 = 8
n2 = 36 => n = 6
i
i
n = 10 olur.
P(6,2) = 6 • 5 = 30 olur.
CEVAP E
CEVAP D
19. (n - 2) •P(n +1,2) - P(n, 3) = 48
(n -2 )-(n + 1 ) n -n (n -1 )(n -2 ) = 48
n(n - 2)[(n +1) - (n -1)] = 48
16. 2 •P (n, 2) = P(2 n, 2) - 28
n(n - 2)(n +1 - n +1) = 48
2 •n (n -1 ) = 2n •(2 n -1 ) - 28
2 -n (n -2 ) = 48
n -1 = 2 n - 1 - 2 8
n(n - 2) = 24 = 6 •4
28 = n=>n = 28 olur.
n = 6 olur.
CEVAP E
CEVAP C
20.
P(n + 2,4)
= 24
P(n + 1,3)-n-P (n -1,2)
(n + 2)(n + 1)n(n-1)
17.
P(n - 2, n - 2)
P (n -3 ,n -3 )
(n + 2)(n + 1)n(n-1)
24
n(n-1)(n + 1 -n + 2)
< ^ =18
(n —3)!
(n —3)!(n —2)
= 24
(n + 1) n -(n -1 )-n (n -1 )(n -2 )
= 18
(n + 2) (n + 1)
= 24
= 18
(n —3)!
(n + 2)(n + 1) = 72 = 9-8
n -2 = 1 8
n+ 2 = 9
n = 20 olur.
n = 7 olur.
CEVAPA
CEVAP B
174
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
ÇÖZÜMLÜ TEST - 4
4.
P e rm ü ta s y o n fo rm ü lü y le ilgili u yg ulam alar: 1
1.
A, B, C, D, E isimli kişiler E başta olmak üzere, bir
banka yan yana kaç farklı biçimde oturabilir?
A) 4
2.
B) 6
C) 24
D) 48
B) 48
C) 96
D) 144
A) 56 7!
E) 288
B) 66-7!
D) 6 8!
E) 120
Hepsi birbirinden farklı 4 matematik, 3 kimya kitabı
bir rafa, aynı tür kitaplar yan yana olmak koşulu ile
kaç farklı şekilde dizilebilir?
A) 2
Hepsi birbirinden farklı 3 matematik, 2 kimya, 4 fizik
kitabı bir rafa, matematik kitapları yan yana gelmemek
üzere kaç farklı biçimde dizilebilir?
^,5.
■S
C) 8!
E) 9!
4 2 18 9
sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek beş
basamaklı (kendisi gibi) kaç farklı sayı yazılabilir?
§»
5
A) 24
B )48
C) 120
• D) 180
E)240
1
6
3.
a, b, c, d, e, f
6.
harfleri, sesli harfler yan yana gelmek üzere, bir satıra
kaç farklı şekilde yazılabilir?
A) 60
B ) 120
C )180
D )240
34 5 82 1
sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek altı
basamaklı, tek rakamların yan yana geldiği kaç farklı
sayı yazılabilir?
E) 360
A) 72
175
B) 144
C) 180
D) 288
E) 360
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
6514789
11.
sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek yedi
basamaklı, çift rakamlarınyan yana gelmediği kaç
farklı sayı yazılabilir?
A) 36-5!
B) 6-5!
D) 8-6!
|A |B |C |D |E |F|G |
Bir okul koridorunda yan yana asılı bulunan
A, B, C, D, E, F, G kulüplerinin panoları mavi, kırmızı,
sarı renklerden biri ile boyanacaktır.
C) 24-6!
Yan yana olan panolar farklı renkli boyalar ile
boyanmakkoşuluileboyamaişlemikaçfarklı biçimde
yapılabilir?
E) 9 6 !
A) 192
8.
İRADE
B) 24
D) 128
E) 48
C) 60
D) 120
kümesininelemanları ileüçbasamaklı, herelemanı
bir kezkullanmakkoşuluilekaçsayı yazılabilir?
E) 180
A ) 96
9.
C) 144
{1, 2. 3, 4. 5. 6, 7}
kelimesininharflerininyerleri değiştirilerekbeşharfli,
anlamlı yadaanlamsızkaçfarklı kelimeyazılabilir?
A) 6
B) 180
B )180
C)210
D )216
E) 240
GÜZELİM
13.
kelimesinin harflerininyerleri değiştirilerek anlamlı
yadaanlamsızyedi harfli, sesli harflebitenkaçfarklı
kelimeyazılabilir?
A) 720
B) 1080
C)1440
D) 2160
kümesinin elemanlan iledört basamaklı, rakamları
farklı 34ilebaşlayankaçsayı yazılabilir?
A) 20
E) 2880
14.
10. 4evli çiftdüzsırahalindeyanyanadurarak, evli çiftler
birbirindenayrılmamakkoşuluilekaçfarklı biçimde
resimçektirebilir?
A) 192
B) 240
C)288
D) 360
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
B) 30
C) 42
D) 56
E) 72
6504 732
sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek yedi
basamaklı, kaçfarklı sayı yazılabilir?
E) 384
A) 720
176
B) 1440
C)3420
D) 4180
E) 4320
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
15 .
18.
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
3 kız 4 erkekten oluşa n b ir grup, kızlar ön sırada,
erkekler arka sırada yan yana durarak kaç farklı resim
k ü m e s in in elem anları ile üç basam aklı, rakam ları
farklı, kaç farklı sayı y azıla bilir?
A ) 294
B ) 288
C )24 0
D ) 180
ç e ktire b ilirle r?
A) 30
E) 126
19 .
B) 48
A = {a ,,a 2, a3}
C) 108
D) 144
k ü m e s in d e n
E) 180
B = {b1, b2, b3,b 4}
küm esine tan ım lan an fo n k s iy o n la rd a n kaç tan esi
bire b ird ir?
A ) 18
16 .
B ) 21
C ) 24
D ) 30
E) 32
3 farklı oyuncak 8 öğrenciye, bir öğrenciye en çok bir
oyuncak vermek koşulu ile dağıtılacaktır.
S
B elli b ir oyuncak belli b ir öğrenciye verileceğine göre,
dağıtım kaç farklı b içim d e ya p ıla b ilir?
A) 30
B) 42
C) 56
D) 60
E) 72
<2
S
>»
20.
A ralarında A ve B nin b u lu ndu ğu 8 k iş ilik b ir g ru p b ir
bankta A ve B yan yana olm am ak koşu lu ile kaç farklı
b içim d e o tu ra b ilir?
A) 7!
B) 6 -7 !
C) 4 - 7 !
D) 2 -7 !
CEVAP ANAHTARI
17.
3 k iş i yan yana du ran 8 k oltu ğa kaç fa rk lı biçim de
o tu ra b ilir?
A) 180
B)210
C) 300
D) 336
E) 360
177
1. C
2. E
3. D
4. B
5. C
6. B
7. A
8. D
9. D
10. E
11. A
12. C
13. B
14. E
15. A
16. B
17. D
18. D
19. C
20. B
E) 81
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
TEST - 4 ÇÖZÜMLERİ
1.
4.
0 ’BCDE
4! = 1-2-3-4 = 24
3M + 2K + 4F = 9 kitap olduğundan bu kitaplar koşulsuz
olarak 9! farklı şekilde dizilebilir.
Matematik kitaplarının yan yana gelecek şekilde dizilişleri
9! den çıkaralım.
CEVAP C
3M
1M
1M + 2K + 4! = 7 kitap
7! farklı şeklide 3M kitabı da kendi arasında 3! = 6 farklı
şekilde dizilebileceğinden çarpma kuralına göre 7! • 6
farklı diziliş olur.
Buna göre, matematik kitapları yan yana gelmemek
üzere,
2.
4M 3K
9 I-7 ! -6 = 718-9-7! • 6
4M -» 1M
= 71(8-9-6)
3K -v 1K kitabı gibi düşünülürse
= 66-7! farklı şekilde dizilir.
1M + 1K = 2 kitap
CEVAP B
2! = 2 farklı şekilde dizilebilir.
4M kendi arasında 4! = 24 farklı şekilde
3K kendi arasında 3! = 6 farklı şekilde dizilebileceğinden
çarpma kuralına göre, istenen sıralama 2 •24 • 6 = 288
farklı şekilde yapılabilir.
CEVAP E
5.
42189 -> 5 farklı elemanın farklı dizilişleri sayısı 5! = 120
olacağından 120 farklı sayı yazılabilir.
CEVAP C
3.
Sesli harfler ae -> 1 harf gibi düşünülürse
345821 tek rakamları 135 —
» 1 sayı gibi düşünelim.
Sessiz harfler bcdf -> 4 harf toplam 5 harf
3 tane çift rakam olduğundan 3 + 1 = 4
5! = 1-2-3-4-5 = 120. farklı şekilde
rakamın farklı dizilişleri sayısı 4! = 24
ae -> 2! = 2 farklı şekilde yazılabileceğinden çarpma
kuralına göre, bu harfler istenen koşulda
3 tek rakam-kendi arasında 3! = 6 farklı şekilde
dizilebileceğinden çarpma kuralına göre, istenen koşulda
24 -6 = 144 sayı yazılabilir.
2 -120 = 240 farklı şekilde bir satıra yazılabilir.
CEVAP B
CEVAP D
178
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
7.
10.
6 51 4 7 8 9
4 evli çift olduğundan, her çifti bir kişi kabul edersek
4 kişi 4! = 24 farklı biçimde sıralanabilir.
Tüm sayılar - çift rakamların yan yana geldiğ sayılar =
Her çift kendi arasında 2! = 2 farklı biçimde
sıralanabildiğinden çarpma kuralına göre,
çift rakamların yan yana gelmediği sayılar
Tüm sayılar : 6 5 1 4 7 8 9 - » 7 !
24-2- 2- 2- 2 = 24-16 = 384
çektirebilirler.
çift rakamların yan yana geldiği sayılar:
farklı
biçimde
resim
CEVAP E
648 -> 1 sayı, kendi aralarında dizilişleri 3! = 6
5179 -> 4 sayı
1 + 4 = 5 sayı
5! -6
11.
7 !-5 ! 6 = 5! 6 - 7 - 5 ! • 6
= 5 !(4 2 -6 )
A B C D E F G
Mavi, kırmızı, sarı renklerden biri ile A boyanırsa, burada
kullanılan renk B de kullanılamayacağı için B için 2 renk,
B de kullanılan renk C de kullanılamıyacağı için C için 2
renk, ••• buna göre boyama işlemi
= 36-5! olur.
CEVAPA
3 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 = 3-64
= 192 farklı şekilde yapılabilir.
£
^
CEVAPA
I
8.
İRADE kelimesi 5 farklı harften oluştuğundan bunların
her farklı dizilişi bir kelime olacaktır. Buna göre,
a
e
•E
5! = 120 farklı kelime yazılabilir.
12.
CEVAP D
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Üç basamaklı bir sayı, bu kümenin elemanlarının 3-lü bir
permütasyonudur. Bunların sayısı,
P( 7 , 3) - 7- 6- 5 = 210 olduğundan üç basamaklı 210
sayı yazılabilir.
CEVAP C
9.
G Ü Z E L İM
6 harf x — ►sesli
y
ü
6 harfx ——*E
^
l
13.
x için 3 seçenek olduğundan sesli harflerden biri x yerine
yazıldıktan sonra geriye 6 harf kalır bunların farklı
dizilişleri sayısı 6! = 720 dir.
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
34 başa yazılırsa 34 ün sağına {1, 2,5, 6, 7, 8} kümesinin
2-li permütasyonları yazılabileceğinden
Çarpma kuralına göre, istenen koşulda 3-720 = 2160
kelime yazılabilir.
P(6,2) = 6-5 = 30 farklı sayı yazılabilir.
CEVAP D
CEVAP B
179
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
14.
6504732
7
18.
O(sıfırı) başka bir rakam gibi düşünürsek. 7 basamaklı
4E
4! = 24
3K
3! = 6
7! = 5040 farklı sayı yazılabilir.
Çarpma kuralına göre, 24-6 = 144
çektirebilirler.
sıfır, 654732 biçiminde yazılabilecek bütün sayıların
başına geleceğinden bunlar 7 basamaklı sayı olmaz.
Bunların sayısı
farklı resim
CEVAP D
654732 -» 6 ! = 720
olduğundan istene koşulda
5040 - 720 = 4320 sayı yazılabilir.
CEVAP E
15.
{0,1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7}
Tüm üç basamaklı sayılar - sıfırın başa geldiği üç
basamaklı sayılar:
19.
Q
A nın farklı elemanları B nin farklı elemanlarına eşlenirse
fonksiyon birebir olacağından, B nin 3 elemanı seçilip A
nın 3 elemanı ile eşlenmelidir.
S
Buna göre, bu fonksiyonların
P(8,3)-P(7,2) = 8 - 7 - 6 - 7 -6
i
- 3 3 6 -4 2 = 294 olur.
O(sıfır) bu kadar iki basamaklı
sayının başına gelir.
CEVAPA
16.
A = {a-|, a2, a3 İ > B = {b1,b 2 ,b 3 , 04 }
.s
*
P(4,3) = 4 - 3 - 2 = 24 tan esi birebirdir.
CEVAP C
1 oyuncağı belli bir öğrenciye verirsek geriye 2 oyuncak
ve 7 öğrenci kalır. 2 oyuncak 7 öğrenciye,
P(7,2) = 7 - 6 = 42
farklı şekilde dağıtılabilir.
CEVAP B
2 0 . Tüm oturuşların sayısı - A ve B nin yan yana oturuşlarının
sayısı = A ve B nin yan yana olmamâk üzere oturuşları
sayısı
17. 3 kişinin 8 koltuğa her oturuşu 3-lü bir permütasyondur.
Bunların sayısı,
8 ! - 7 ! 2! = 7 !8 -7 !-2 = 6-7! olur.
AB
P(8,3) = 8-7- 6 =336 olur.
1 kişi gibi yan yana
CEVAP B
CEVAP D
180
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
ÇÖZÜMLÜ TEST - 5
4.
Permütasyon formülüyle ilgili uygulamalar: 2
1.
(a, b, c, d, e, f}
kümesinin 3-lü permütasyonlarımn kaç tanesinde
f bulunmaz?
{a, b, c, d, e, f}
A) 10
B) 15
C) 20
D) 30
E) 60
kiimesinin kaç tane 3-lü permütasyonu vardır?
A) 30
2.
B) 60
C) 90
D) 120
E) 210
5.
{a, b, c, d, e, f}
kümesinin permütasyonlarım n kaç tanesinde
e bulunmaz?
A) 180
B) 120
C)100
D) 60
E) 20
{a, b, c, d, e,f}
.J3
kümesinin 3-lü permütasyonlarımn kaç tanesi
b ile başlar?
iu
&
A) 10
B) 15
C) 20
D) 24
E) 30
1
3.
{a, b, c, d. e, f}
6.
kümesinin 3-lü permütasyonlarımn kaç tanesinde
a bulunur?
A) 100
B) 80
C) 60
D) 30
{1,2, 3,4, 5, 6,7, 8}
kümesinin elemanlarıyla yazılan dört basamaklı,
rakamları farklı sayıların kaç tanesi 8 ile başlar, 5 ile
biter?
E) 10
A) 30
181
B) 20
C) 15
D) 10
E) 5
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
7.
8.
{1, 2, 3,4, 5, 6, 7}
11.
{1,2, 3,4, 5, 6}
kümesinin elemanlarıyla yazılan dört basamaklı,
rakamları farklı sayıların kaç tanesi 67 ile biter?
kümesinin elem anları ile rakam ları farklı, üç
basamaklı 456 dan büyük kaç farklı sayı yazılabilir?
A) 40
A) 40
B) 35
C) 30
D) 25
E) 20
6 kişi düz bir sırada yan yana duran 6 sandalyeye
kaç farklı şeklide oturabilir?
A) 720
B) 600
C) 480
D) 360
12.
B) 42
C) 44
D) 48
E) 54
A = {1,2, 3,4, 5)
kümesinin elem anları ile rakam ları farklı üç
basamaklı, rakamları toplamı tek sayı olan kaç farklı
sayı yazılabilir?
E) 120
A) 18
B) 24
C) 28
D) 36
E) 48
f.j
e
9.
Yan yana fotoğraf çektirecek 6 kişiden ikisi A ile B dir.
A ile B yan yana durmak istemediğine göre, bu 7 kişi
kaç farklı biçimde resim çektirebilir?
A) 336
10.
B) 480
C)540
D) 672
| 13.
«♦S
A = {1,2,3,4,5,6,7}
kümesinin 3-lü permütasyonlarının kaç tanesinde
2 bulunur, 5 bulunmaz?
E) 720
A) 48
B) 60
C) 66
D) 72
E) 80
{a, b, c, d, e, f)
kümesinin dörtlü permütasyonlarının kaç tanesinde
a ve b yan yana bulunur?
14.
Aralarında A ve B nin de bulunduğu 5 kişi bir bankta
A daima B nin solunda kalacak şekilde kaç türlü
oturabilir?
A) 36
A) 30
B) 48
C) 54
D) 72
E) 108
182
B) 45
C) 60
D) 75
E) 90
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
15.
72564 3
18.
sayısının rakam larının yerleri değiştirilerek
yazılabilecek altı basamaklı sayıların kaç tanesinde
3 daima 5 in solunda bulunur?
A) 120
B )180
C)210
D )360
{3,4.5,6,7}
kümesinin elemanları ile yazılabilen üç basamaklı
rakamları farklı sayılar büyükten-küçüğe doğru
sıralanıyor.
E)480
Buna göre, 574 sayısı kaçıncı sırada yer alır?
A) 24
B) 25
C) 26
D) 27
E) 30
A = {2,3,4} kümesinin her elemanı B = {1,3,5,7}
kümesinin birbirinden farklı elemanlarıyla kaç farklı
biçimde eşlenebilir?
16.
5046719
A) 12
B) 16
C) 18
D) 24
E) 30
sayısının rakam larının yerleri değiştirilerek
yazılabilecek yedi basamaklı sayıların kaç tanesinde
4 daima 6 nın sağında ve sonda 9 bulunur?
A) 240
B) 300
C) 320
D) 330
E) 360
20.
8 özdeş bilye 3 çocuğa, her çocuğa en az bir tane
vermek koşuluyla kaç farklı biçimde dağıtılabilir?
A) 21
B) 18
C) 15
D) 12
CEVAP ANAHTARI
17. Bir tiyatronun 4 giriş kapısı, 3 çıkış kapısı vardır.
Birlikte tiyatroya giden iki arkadaş farklı kapılardan
girip, farklı kapılardan çıkacağına göre, giriş-çıkışları
kaç farklı biçimde gerçekleşir?
A) 18
B) 36
C) 72
D) 96
E) 144
183
1. D
2. B
3. C
4. E
5. C
6. A
7. E
8. A
9. D
10. D
11. c
12. B
13. B
14. C
15. D
16. B
17. C
18. C
19. D
20. A
E) 10
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
TEST - 5 ÇÖZÜMLERİ
1.
{a, b, c, d, e, f}
5.
P(6,3) = 6-5- 4 = 120
{a, b, c, d, e, f}
bxy -» P(5,2) = 5 • 4 = 20 olur.
CEVAP D
2.
CEVAP C
(a, b, c, d, e, f}
e yi atarsak {a, b, c, d, f} kümesinin permatasyonları
6.
51 = 1. 2. 3-4 -5 = 120 olur.
CEVAP B
{ t 2,3,4.5,6.7,8}
8xy5
P(6,2) = 6 •5 = 30
CEVAPA
e
!
3.
■»»
m
{a, b, c, d, e, f j
«S
Tüm 3-lü permütasyonlar - { b, c, d, e, f} kümesinin 3-lü
permatasyonları
7.
= P(6I3)-P(5,3)
= 6 - 5 - 4 5- 4- 3
{1,2,3, 4, 5,6,7}
xy67 -> P(5,2) = 5-4 = 20
CEVAP E
= 1 2 0 -6 0 = 60 olur.
CEVAP C
8.
1 2 3 4 5 6
6 -5 4 - 3 - 2 - 1= 61 = 720
4.
{a, b, c, d, e, f} f yi atalım, {a, b, c, d, e}
(1. kişi için 6,2. kişi için 5......,6. kişi için 1 seçenek var.)
P(5,3) = 5- 4- 3 = 60 olur.
CEVAPA
CEVAP E
184
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
9.
Bütün duruşlar - A, B nin yan yana duruşları
12.
A = {1,2, 3,4,5}
= 6!-41-2!
= 7 2 0 -2 4 -2
{13, 5}, {2, 4}
= 7 2 0 -4 8
3T veya 2Ç1T rakam kullanılırsa rakamları toplamı tek
sayı çıkar.
= 672
a b c
3 T : | 3 | 2 11 1=> 3-2-1 = 6
CEVAP D
a b c
2Ç1T: | 2 | 1 13 l => 2-1-3 = 6
(2,4) (1,3,5)
c ye yazdığımız tek rakam a ve b gözlerine de
gelebileceğinden 3 durum vardır.
6 -3 = 18 olur.
10.
sonuç olarak istenen koşula 6+ 18 = 24 farklı sayı
yazılabilir.
{a, b. c, d, e, f}
CEVAP B
a£xy-*P (4,2) = 4-3 = 12
1 eleman gibi düşünelim.
3 eleman
e
s
3! = 6
i
çarpma kuralına göre, 12 -6 = 72 olur.
CEVAP D
I 13.
•S
A = {1,2, 3,4,5, 6,7}
5 i atalım. A = (1, 2,3, 4, 6, 7} kümesinin tüm 3-lü
permütasyonlarından, 2 nin bulunmadığı 3-lü permütasyonları çıkaralım.
P(6,3)-P(5,3) = 6 - 5 - 4 - 5 - 4 - 3 = 1 2 0 -6 0
42 yok
= 60 olur.
CEVAP B
11. {1,2, 3, 4, 5, 6}
a b c
11 11 14 | =>1- 14 = 4
(4)(6)
a b c
| 2 | 5 | 4~l =>2- 5-4 = 40
(5,6)
14.
5 kişi 5! = 120 farklı şekilde oturabilir.
Bunların yarısında A, B nin solunda yarısında sağında
olduğundan 120 : 2 = 60 farklı şeklide oturabilir.
4 + 40 = 44 olur.
CEVAP C
CEVAP C
185
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
15.
725643-> 6! = 720
19.
bu sayıların yarısında 3, 5 in solunda yarısında sağında
olduğundan 720 :2 = 360 olur.
A = {2,4,6}
B = {1,3, 5,7}
A kümesinin 1. elemanı 2 için 4
CEVAP D
2. elemanı 4 için 3
16.
3. elemanı 6 için 2 seçenek
5046719
504671
olduğu için 4 •3 •2 = 24 ya da
[9]
P(4,3) = 4 -3-2 = 24 farklı eşleme yapılabilir.
61 -51 = 7 2 0 -1 2 0 = 600
|
I
CEVAP D
►başında sıfır bulunan sayılar
6 bas. sayılar
600 : 2 = 300 ünde 4, 6 nın sağında bulunur.
CEVAP B
17. 4 giriş kapısı 3 çıkış kapısı
giriş P(4,2) = 4-3 = 12 farklı şekilde
çıkış P(3,2) = 3-2 = 6 farklı şekilde
20.
olduğundan çarpma kuralına göre,
1. çocuk için
8 seçenek
çocuk için
3. çocuk için
7 seçenek •+
6 seçenek
2.
+.
olduğundan 8 + 7 + 6 = 21 farklı şekilde dağıtım yapılabilir.
giriş-çıkış : 12-6 = 72 farklı şekilde olur.
CEVAPA
CEVAP C
18.
{3,4,5,6,7} kümesinin elemanları ile üç basamaklı,
a b c
rakamları farklı | 5 | 4 | 3 | => 5 •4 •3 = 60 sayı yazılabilir.
5 rakam olduğu için bu sayıların 60 : 5 = 12 tanesinde 7,
12 tanesinde 6, 12 tanesinde 5,.... bulunur. Büyükten
küçüğe doğru sıralama olduğu için yüzler basamağı
7, 6, 5
biçiminde sıralanmalıdır.
1.-12 . arası sayıların yüzler basamağında 7,13. - 24.
arası 6, 25. - 36. arası 5 bulunur.
21 .
25. sayının yüzler basamağı 5, en büyük rakam 7
olduğundan 25. sayının onlar basamağında 7, birler
basamağında 6 bulunur. 26. sayının birler basamağında
4 bulunacağından,
1,2,3 numaralı koltuklardan oturmaya başlayabilirler (5,
4, 3 ten başlasalar değişmez)
574 sayısı baştan 26. sırada bulunur.
3 - 3 1 = 3 : 6 = 18 olur.
CEVAP B
CEVAP C
186
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
ÇÖZÜMLÜ TEST - 6
4.
ADANALI
Tekrarlı permütasyonla ilgili uygulamalar:
kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek 7 harfli
N ile başlayıp A ile biten anlamlı ya da anlamsız kaç
farklı kelime yazılabilir?
A) 60
PUSULA
B )90
C ) 120
D )180
E )360
Kümesinin harflerinin yerleri değiştirilerek 6 harfli
anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir?
A) 120
2.
B) 180
C) 240
D) 360
E) 480
GELGELELİM
KARAMAN
kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek 10 harfli
anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir?
A)
B)
10!
10 !
C) 7!
D)
5!
A) 120
E) 8!
6.
PO ZİTİF
B)2160
C)2520
D )3600
B)240
C) 360
D) 420
E) 480
GÖZGÖZE
kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek 7 harfli
Ö harflerini Z harflerinin izlediği, anlamlı ya da
anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir.
kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek 7 harfli
anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir?
A ) 1260
kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek 7 harfli
A ile başlayıp, A ile bitmeyen anlamlı ya da anlamsız
kaç farklı kelime yazılabilir.
^
E )5040
A) 24
187
B) 30
C) 36
D) 40
E) 60
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
7.
11.
ARAŞTIRMA
kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek 9 harfli
R den hemen önce ve R den hemen sonra A gelen
anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir?
A) 4!
B) 5!
C) 6!
D) 7!
660352
sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek
6 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
A) 240
12.
8.
5433464
B) 120
C) 240
D) 360
C) 360
D) 420
E) 480
62022061
sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek
8 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
sayısının rakam larının yerleri değiştirilerek
7 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
A) 60
B) 300
E) 8!
A ) 1080
B )1440
C )1260
D )1840
E )2880
E) 420
i
**■ 13. Arkadaşının telefon numarasını unutan özge,
9.
7 basamaktan oluşan telefon numarasında 3 tane 4,
2 tane 5, 2 tane 6 olduğunu hatırlıyor.
2915292
sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek
7 basamaklı 9 ile başlayıp 2 ile biten kaç farklı
sayı yazılabilir?
A) 20
B) 30
C) 60
D) 90
Buna göre, Özge en az kaç deneme yaparak arkadaşı
ile kesinlikle konuşabilir?
A) 150
14.
10.
B) 210
C)240
D) 360
E) 480
E) 120
Bir çantanın şifresi 7 basamaklı, 3 tane 7 ,2 tane 6,1 tane 0,1 tane 5 ten oluşan
42562644
| 7 | 7 | 0 | 7 | 6 | 6 | 5 ~ | şeklinde bir sayıdır.
sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek yazılan
8 basamaklı sayıların kaç tanesinde 2 den hemen
sonra 6 gelir? (26 gibi)
Şifreyi bilmeyen biri bu çantayı en az kaç denemede
kesinlikle açabilir?
A) 60
A) 300
B) 120
C) 180
D) 240
E) 360
188
B) 360
0 420
D) 480
E) 540
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
15.
23515501
18.
sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek
8 basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir?
A)
240
B)480
C)520
D) 650
E) 780
K
Şekildeki dikdörtgen 28 eş kareye ayrılmıştır.
K noktasında bulunan bir karınca çizgiler üzerinden
M noktasına doğru hareket etmektedir.
Bu karınca L noktasına uğrayarak K dan M ye
kaç farklı yoldan gidebilir?
B )120
A) 90
16.
19.
C )126
D )140
E) 168
a, b, c pozitif doğal sayılar olmak üzere,
a + b + c= 7
Şekildeki kare, 25 küçük kareye ayrılmıştır.
denklemini sağlayan kaç farklı (a, b, c) üçlüsü vardır?
C den geçmek koşuluyla A dan B ye en kısa yoldan
gitmek isteyen biri, bu işi kaç farklı biçimde
gerçekleştirebilir?
A) 12
A) 40
B) 60
C )90
D )120
B) 15
C) 18
D) 21
E) 24
E) 150
20.
AYNALAR
kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek yazılan
7 harfli anlamlı ya da anlamsız kelimelerin kaç
tanesinde N, R den önce gelir?
A) 360
B) 420
C)480
D) 540
17.
CEVAP ANAHTARI
Şekil bir kentin birbirini dik kesen sokaklarını
göstermektedir.
1. D
B ve C noktalarına uğramak koşuluyla A dan D ye
en kısa yoldan kaç farklı şekilde gidilebilir?
A) 6
B) 8
C )12
D )18
E )24
189
2. B
3. C
4. A
5. B
6. B
7. D
8. E
9. C
10. A
11. B
12. C
13. B
14. C
15. E
16. D
17. A
18. C
19. B
20. B
E) 600
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
test
1.
- 6
çözüm leri
PUSULA -» 6 harf
5.
KARAMAN
U iki kez tekrar ettiğinden
0
6!
1- 2-3-4-5-6
= 360 kelime yazılabilir.
2!
CEVAP D
KARAM 0
5!
120
[0
2!
2
1
=60
m
60-4 = 240 otur.
N, K, R, M gibi 4 farklı harfle bitebileceği için 4 ile çarpılır.
CEVAP B
2.
GELGELELİM ->10 harf
2G, 3E, 2L
10!
10!
10!
2! 3! 2!
3!-4
4!
6.
olur.
GÖZGÖZE
ÖZ - * 1 harf
CEVAP B
ÖZ -»1 harf gibi düşünülürse
GÖZGÖZE -> 5 harf. 2G. 2 İÖZİ tekrar ediyor.
3.
5!
1•2 • 3 •4 • 5
2 ! 2!
2-2
= 30 olur.
CEVAP B
POZİTİF -> 7 harf
2l
7!
1-2- 3-4- 5-6- 7
7.
= 2520 olur.
ARAŞTIRMA
ARA -> 1 harf gibi düşünülürse
ARAŞTIRMA-» 7 harfli olur.
CEVAP C
1 harf
7! farklı kelime yazılır.
CEVAP D
4.
ADANALI
8.
[N] ADALI ®
543464
4 -» 3, 3 -» 2 kez tekrar ediyor.
İ U İ 2 0 = 6 0 oIur.
2!
1-2-345-67
2
3!-2!
420 olur.
1-23-2
CEVAPA
CEVAP E
190
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
9.
13. 7 basamaklı
2915292
3-»4
[9] 29152(1
5!
2!
120
7!
31 - 4 5 - 6 - 7
3! - 2! -2!
3! -4
= 210 olur.
= 60 olur.
2
"
CEVAP B
CEVAP C
14.
10.
42562644
26
1 rakam
7707665
7!
3! -4-5-6 7
3!-2!
3!-2
•420 olur, (sıfır başa gelebilir.)
CEVAP C
26 -» 1 rakam gibi düşünülürse
426 26544 -» 6 rakam
15.
4 -> 3 kez
26 -> 2 kez tekrar ediyor.
1) 2351551 d
71
— —— = 420
3!-2!
=60 olur.
3! 2!
23515501
3!-2
CEVAPA
2) 3501551 d
11.
7!
6!
3!-2!
3!-2!
660352
0 başka bir rakam olsaydı,
420 + 360 = 780 olur.
6<
5!
— = 360 sayı yazılabilecekti 0,066352 gibi
= 60
2!
= 420 - 60 = 360
CEVAP E
2!
tane sayının başına geleceği için bu sayılar 6 basamaklı
olmaz.
€
A. a
16.
a
a
Ö halde 360 - 60 = 300 tane sayı yazılabilir.
CEVAP B
12.
62022061
06222061 ile 00622261 sayıları 8 basamaklı olmadıkları
için 2 tane 0 (sıfır) olması durumu değiştirmez.
Yatay ve düşey çizgilerin kendi aralarında tekrar ettiği
düşünülürse
Buna göre,
A dan C ye 3a + 3b = 6 kare kenarı gideceği için
—
2I-3I-2!
6!
(bir sıfır attık)
2! 3!
3!-3!
7 I8 -2 -7 !
=
3!-4-5-6
= 20 farklı şekilde
3!-6
C den B ye 2c + 2d = 4 kare kenarı gideceği için
2! 3! 2
7İ(8 —2)
2 - 2- 6
7!
1-2- 3-4- 5-6- 7
4!
2!-3 4
2! -2!
2-2
6 farklı şekilde gidebilir.
A dan B ye çarpma kuralına göre, 20-6 = 120 farklı
şekilde gidebilir.
= 1260 olur.
CEVAP D
CEVAP C
191
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
17.
19.
A dan B ye : 1 farklı şekilde
a, b, c e N+
a+b+c=7
3!
2!-3 „
B den C ye : — - = ^ = 4 farklı şeklide
a bc
C den D ye:
2'
31
1 1 5- + — = 3
—= 2 farklı şeklide gidilebileceğinden
2!
1 2 4 —> 3! = 6
çarpma kuralına göre, A dan D ye 1•3 • 2 = 6 farklı şekilde
gidilebilir.
3'
1 23-> — = 3
2!
CEVAPA
2 2 3 -> — = 3 sayı
2!
yazılabileceğinden 3 + 6 + 3 + 3 = 15 farklı (a, b, c) üçlüsü
yazılabilir.
CEVAP B
18. K dan L y e :
7!
5! 6 -7
5I-2!
5! 2
20. AYNALAR
= 21 farklı şekilde
L den M ye :
4!
2! • 3 - 4
2 ! *2 !
2! - 2
7!
3I - 4- 5- 6- 7
3!
3!
;840 kelime yazılabilir.
Bu kelimelerin yarısında N, R den önce yarısında da R
den sonra geleceğinde 840 : 2 = 420 tanesinde R den
önce gelir.
= 6 farklı şekilde gidebileceği için
CEVAP B
K dan M ye çarpma kuralına göre, 21-6 = 126 farklı
şekilde gidebilir.
CEVAP C
192
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
ÇOZUMLU TEST - 7
4.
Dönel permütasyonla ilgili uygulamalar:
1.
6 kişi yuvarlar bir masa etrafında kaç farklı şekilde
oturabilir?
A) 24
B) 60
C) 90
D) 120
2 öğretmen ve 8 öğrenciden oluşan 10 kişilik bir grup
yuvarlak bir masa etrafında, öğretmenler yan yana
olmamak üzere kaç farklı şekilde oturabilir?
A) 2 7!
B) 2 -8!
C) 2 9!
D) 9!
E) 10!
E)180
2.
ojj 5.
5 kız 5 erkek yuvarlak masa etrafında aynı cinsten iki
kişi yan yana gelmemek üzere kaç farklı şekilde
oturabilir?
A) 9!
A, B, C. D, E, F, G, K, L harfleri şekildeki gibi bir çember
üzerine yazılacaktır.
B) 8!
C) 5!-5!
s
ıg
D) 4!-5!
E )2 -(5 !)2
K ve L arasında en az bir harf bulunmak koşuluyla
bu 9 harf çember üzerine kaç farklı biçimde
yazılabilir?
A) 5-6!
3.
B) 5-7!
C) 6-7!
D) 7-7!
E) 7-8!
6.
Anne, baba ve 5 çocuklarından oluşan 7 kişilik aile
yuvarlak bir masa etrafında anne-baba yan yana
olmak üzere kaç farklı şekilde oturabilir?
A) 720
B )840
C )1080
D )1260
Birbirinden farklı 8 anahtar maskotsuz yuvarlak bir
anahtarlığa kaç farklı biçimde takılabilir?
A) 8!
E ) 1440
193
B) 7!
C )4120
D )2880
E )2520
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
7.
11. Biri başkan 6 sı üye 7 kişiden oluşan bir grup yuvarlak
5 evli çift yuvarlak bir masa etrafında eşler yan yana
olmak üzere, kaç farklı biçimde oturabilir?
A) 768
B) 642
C)384
D) 240
masa etrafında, başkan belli bir yerde oturmak üzere
kaç farklı biçimde oturabilir?
E) 120
A) 120
8.
9.
B )1440
C)1840
D )2160
A) 48
E )2520
4 fizik öğretmeni, 3 kimya öğretmeni, 2 biyoloji
öğretmeni yuvarlak bir masa etrafında her branşın
öğretmeni yan yana oturmak koşuluyla kaç farklı
biçimde oturabilir?
A) 594
B) 576
C)452
D) 296
B) 720
C)2520
D) 2840
D) 720
E) 1440
B) 72
C) 144
D) 180
E) 288
13. 6 evli çift yuvarlak bir masa etrafında, bir erkek bir
kadın düzeninde ve eşler yan yana olmak koşuluyla
kaç farklı biçimde oturabilir?
A) 240
E) 256
10. 7 anahtar maskotlu halka biçiminde bir anahtarlığa
kaç farklı biçimde takılabilir?
A) 360
C) 360
12. 4 evli çift yuvarlak bir masa etrafında bir bayan, bir
erkek olmak koşuluyla kaç farklı biçimde oturabilir?
Farklı renkte 8 boncuk bir halka üzerine kaç farklı
şekilde dizilebilir?
A) 720
B) 240
B )3660
C)5040
D )7680
E )7800
14. Yuvarlak bir masa etrafında en çok 120 farklı şekilde
oturabilen n kişiye bir kişi daha katıldığında aynı
masaya kaç farklı şekilde oturabilirler?
E) 3200
A) 3-4!
194
B) 6-4 !
C )7 -4!
D) 5!
E) 6!
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
15. 7 kişilik bir yönetim kurulu yuvarlak masa etrafında
başkan, 1. ve 2. yardımcısı arasında olmak koşuluyla
kaç farklı şekilde oturabilir?
A) 12
B) 24
C)48
D) 60
19.
E) 120
{K, L, M, N, 1, 2, 3,4}
kümesinin elemanları şekildeki gibi bir çember
üzerine, iki harf arasında yalnız bir rakam olmak üzere
kaç farklı biçimde yazılabilir?
16. 7 anahtar belirli ikisi yan yana gelmek üzere,
maskotsuz halka şeklinde bir anahtarlığa kaç farklı
biçimde takılabilir?
A) 120
B) 240
C) 360
D) 720
A) 48
B )72
C )108
D )144
E) 192
E) 1440
20.
n kız, n erkekten oluşan üniversiteli bir grup genç halka
şeklinde el ele tutuşarak halay çekecektir.
Kaç farklı biçimde sıralanabilirler?
A) (n - 2 ) !
B) (n —1)! -n
D)
(n —2)! n
C )(n -1 )! nl
E) (n —1)! - (n—1)
17. Bir dershanenin matematik, geometri, fizik, kimya, biyoloji
bölümlerinin ortak toplantısına her bölümden bölüm
başkanı ile birlikte 2 öğretmen katılacaktır.
Katılımcılar yuvarlak bir masa etrafında, her bölüm
başkanı bölümünden katılan 2 öğretmen arasında
olmak koşuluyla kaç farklı şekilde oturabilir?
A) 96
B) 164
C) 288
D) 640
21. 5 evli çift yuvarlak bir masa etrafında 4 çift eşiyle
birlikte belli bir çift eşinden ayrı olmak koşuluyla kaç
farklı biçimde oturabilir?
E) 768
A )1920
B )1680
C )1240
D )1170
CEVAP ANAHTARI
1. D
2. C
3. E
4. C
5. D
18. Bir okulun 3 tarih, 3 coğrafya, 2 felsefe öğretmeni
6. E
7. A
8. E
9. B
10. c
yuvarlak bir masa etrafında, coğrafya öğretmenleri
yan yana olmamak koşuluyla kaç farklı biçimde
oturabilir?
11. D
12. C
13. D
14. E
15. C
16. A
17. E
18. D
19. D
20. C
21. E
A) 1280
B )2448
C)3600
D )4320
E )5040
195
E )1152
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
TEST - 7 ÇÖZÜMLERİ
1.
n kişi yuvarlak bir masa etrafında (n-1)! farklı şekilde
oturduğundan
5.
5K, 5E
önce 5 kız veya 5 erkeği (5 -1 )! = 4I kadar farklı şekilde
oturtursak araya diğerlerini 5! kadar farklı şekilde
oturtabiliriz. Çarpma kuralına göre istenen oturuşların
6 kişi (6 - 1)! = 5! = 120 farklı şekilde oturur.
CEVAP D
sayısı, 4! -5! olur.
CEVAP D
6.
——
= — = 2520 farklı şekilde takılabilir.
İstenen durumlar: Bütün durumlar - K ve L arasında hiç
harf bulunmaması durumu
CEVAP E
= (9 -1)1- (8 -1)! •2! (KL tek eleman gibi)
= 8! - 7! • 2
B 7C3
§
&
“=7! - 8 -2 -7 !
= 7 !(8 —2 ) = 6 • 7! olur.
CEVAP C
1
«a
3.
2 kişiyi (karı - koca) -> 1 kişi gibi düşünelim.
5 kişi (5 - 1)! = 4! farklı şekilde,
Her çift ayrılmadan 2 ! =
çarpma kuralına göre,
2
4 ! -2 - 2 - 2 - 2 - 2 = 2 4 - 3 2
farklı şekilde oturabileceğinden
= 768 farklı biçimde oturabilirler.
AB ~> 1
CEVAPA
5 + 1 = 6 kişi
(6-1)! • 2! = 5!2 = 120 - 2 = 240 olur.
(anne - baba ayrılmadan 2! farklı şekilde oturur.)
— —— =
CEVAP E
2
= 2520 farklı şekilde dizilebilir.
2
CEVAP E
4.
2 öğretmen, 8 öğrenci
Bütün durumlar - Öğretmenlerin yan yana gelme
durumları istenen durumları vereceğinden
4F —» 1F
(1 0 -1 )!-(9 -1 )! 2! = 9!—8!-2
3K -> 1K
= 8!9 -8!2
2 B -> 1 B gibi düşünelim.
- 8!(9 —2)
= 7-8! olur.
(3 -1)141 • 31- 2! = 2 •24 • 6 •2 = 576 farklı şekilde oturabilir.
CEVAP C
CEVAP B
196
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
14.
10. - - = 2520
2
( n -1 )! -1 2 0 = 5!=s- n - 1 = 5
=> n = 6 kişi
(Maskot sabit olarak alıp çıkardığımız elemanın yerine
geçtiği için 1 i çıkarmıyoruz.)
6 + 1 = 7 kişi
(7 - 1)! = 6! = 720 farklı şekilde oturabilirler.
CEVAP C
CEVAP E
11. 6 üye + 1 başkan = 7 kişi
15. Y1BY2 -» 3 -» 1
Başkanın yeri belli (sabit) olduğu için diğer 6 üye 6! = 720
farklı biçimde oturabilir. (Sabit alınan eleman çıktığı için
tekrar 1 çıkarılmaz.)
diğerleri -> 4
4 + 1 = 5 kişi
CEVAP D
(5 -1)! • 2! = 4! 2! = 24 •2 = 4 farklı biçimde oturabilirler.
i'
yardımcılar yer değiştirir.
CEVAP C
12.
I
4 evli çift -> 4B + 4E
16. 7 - 2 = 5
2
önce 4B veya 4E oturtalım. Sonra araya diğerlerini
oturturuz. Buna göre,
—>
1
5+ 1 =6
(6 - 1)! = 5! = 120 farklı şekilde takılabilir.
(4 -1)!. 4! = 3!. 4 !: 6 ■24 = 144 farklı şekilde oturabilirler.
CEVAP A
CEVAP C
13.
6 evli çift
6B + 6E
1 çifti 1 kişi gibi düşünürsek 6 kişi olur.
17. Ö1BÛ2 -» 1 gibi düşünürsek
6 kişi (6 -1 ) ! = 5! = 120 farklı şekilde
5 öğretmen olur.
Her çift kendi arasında 2! - 2 farklı şekilde
oturabileceğinden çarpma kuralına göre,
(5-1)! - 2! -2! •2! •2! - 2! = 4! -2 •2 •2 •2 •2
1 2 0 -2 -2 -2 -2 -2 -2 = 120 64 = 7680
oturabilirler.
(öğretmenler yer
değiştirebilir.)
farklı şekilde
=24-32
. =768 farklı şekilde oturabilirler.
CEVAP E
CEVAP D
197
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
18.
3T3C2F
20.
İstenen oturuşlar= tüm oturuşlar-coğrafya öğretmenlerinin
yan yana oturuşları
önce n kız veya n erkek
(n -1 )! farklı şekilde, aralarına diğerleri
= (8 —1)1—(6 —1)! • 3!
n! farklı şekilde yerleştirilebileceğinden çarpma kuralına
göre,
= 7! —5! -3!
(n-1)! -n! farklı biçimde sıralanabilirler.
= 5!6- 7 -5 ! 6
CEVAP C
= 5 !(4 2 -6 )
=120-36
= 4320 farklı şekilde oturabilirler.
CEVAP D
§ 2 1 . 1 çift —> 1 kişi gibi düşünülürse
4 çift -> 4 kişi
19. 4 harfi (4-1)! = 3! = 6 farklı şekilde yazarsak aralarına
4 rakamı 4! = 24 farklı şekilde yazabileceğimizden çarpma
rçj
2 kişi de ayrı oturacak çift
'S
4 + 2 = 6 kişi yuvarlak masa etrafında
kuralına göre. 6-24 = 144 farklı şekilde yazılabilir.
5! -2!-2! -2! -21 farklı şekilde oturur. [T]
CEVAP D
(2! = 2 bir çift ayrılmaları 2 şekilde oturur, 4 çift olduğu
için 2 ile 4 kez çarpılır.)
[j] deki sonuçta ayrı oturacak çiftin birlikte oturması da
bulunduğu için bundan bütün çiftlerin birlikte oturmaları
durumunu çıkarırsak,
5 !-1 6 -4 !-2 !-2 !-2 !-2 !-2 ! = 120-16-24-32
= 1920-768
= 1152 bulunur.
CEVAP E
198
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
ÇOZUMLU TEST - 8
Kombinasyonla ilgili uygulamalar: 1
r 8 }m
5.
^ +2 )
1.
C(8,2) + C (5I3 )-C (4 ,2 )
2.
B) 32
A) 5
C) 36
D) 40
B) 8
f 1l
6.
j j
olduğuna göre, n kaçtır?
B) 7
C)€
D)
v2 x - 3 ,
C)10
D) 12
E) 15
E) 44
C(n,2) =15
A) 6
'
olduğuna göre, x değerlerinin çarpımı kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 28
8
'
rT
+
+
.1.
f 3l
+ ...+
'n''
= 2 10
W
olduğuna göre, n kaçtır?
E) 10
A) 19
B) 20
(
C(n,n) + C(n,n-1) + C(n,1) + C(0.0) = 28
15 >
U n-- 2 ,
C) 21
f
D )22
E )23
D) 6
E) 7
15 '
^n2 + 2 j
oldüğuna göre, n kaçtır?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
olduğuna göre, n kaçtır?
E) 15
A) 3
f
4.
10 '
/-3 ,
r 10 >
+
lr-4 j
=\
(M )
8.
B) 7
C) 8
C) 5
C(18,x + 1) = C (1 8 ,3 x -3 )
olduğuna göre, x değerlerinin toplamı kaçtır?
olduğuna göre, r kaçtır?
A) 6
B) 4
A) 3
D)
E) 10
199
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
13.
C(0,0) + C(n,1)+C(n,2) = 37
9.
olduğuna göre, P(n,3) aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
C(15, n+1) = C(15 ,2n —4)
D) 8
E) 9
D) 6
E) 7
A) 60
B) 64
C) 70
D) 72
E) 80
C(n,2) + P(n,2) = 18
10.
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
14.
g
<3
n elemanlı bir kümenin 2-li kombinasyonlarının sayısı,
6-lı kombinasyonlarının sayısına eşit olduğuna göre,
bu kümenin 5 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?
A) 21
B) 28
C) 35
D) 42
E) 56
P(n,3) = 8 C (n ,n - 2 )
11.
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
12. n elemanlı bir kümenin r-li bütün kombinasyonlarının
sayısı C(n,r) ile gösterildiğine göre,
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 3
eşitliğinde m kaçtır?
A) 4
B) 5
C (n,2)+C (n,3) = 4 C (n ,1 )
15 .
C (0 ,0 )+ C (6 ,3 ) = 3 C (m ,m -1 )
C) 6
D) 7
E) 8
200
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
16. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
19.
C(2n,3) = 11C (n ,3)
olduğuna göre, C(n,2) kaçtır?
A)
B) 10
A)6
C) 12
E) 20
D)15
r10N flO^I
=
B)
6,
( 13'
L4 j
5
U,
UJ
+•••+
3
+
+
D)
OT
3
ot'
f12'v
C)
20.
n > 4, n e N olmak üzere,
=2
C (n -2 , n - 4 ) <45
eşitsizliğini sağlayan kaç farklı doğal sayı vardır?
E) r-C(n,r) = P(n,r) ( r * 1 )
A) 6
B) 7
C) 8
D.) 9
E) 10
v:
S
17.
C(b,a) b nin a-lı kombinasyonlarını göstermek üzere,
21.
{1,2,3,4,5,6,7}
C(b + 1,a + 1) = 3-C (b,a)
olduğuna göre, b nin a türünden
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2a
B) 3a
C)3a+2
D) a+1
küm esinin 3 elem anlı alt küm elerinin (3-lü
kombinasyonlarının) kaç tanesinde en az bir çift sayı
bulunur?
değeri
E)4a+1
A) 28
B) 29
C) 30
D) 31
CEVAP ANAHTARI
18.
{a.fb.cj.b.c.d.e}
kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde
b eleman olarak bulunur?
A) 6
B) 10
C) 12
D) 14
E) 16
1. B
2. A
3. C
4. D
5. E
6. B
7. A
8. E
9. D
10. B
11. c
12. D
13. A
14. E
15. C
16. E
17. C
18. B
19. D
20. B
21. D
201
E) 32
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
TEST - 8 ÇÖZÜMLERİ
1.
C(8,2) + C(5,3)-C(4,2)
5.
8!
5!
4!
2!(8-2)!
3!(5 —3)!
2 j(4 -2 )!
6!7 8
3I4-5
2! 3 4
2-6!
3!2
2! 2
'
( 8
8
'
2 x -3 ,
\X + 2/
x + 2 = 2x- 3 veya x + 2 + 2 x -3 = 8
x = 5 veya 3x = 9
veya
= 28 + 1 0 -6
x=3
5-3 = 15 olur.
= 32 ya da
CEVAP E
C(8,2)-t-C(5,3)-C(4,2)
8 7
5-4
4-3
2
2
2
W-
= 2 8 + 1 0 -6
1+ 2 + 3 +
= 32 olur.
CEVAP B
2.
--"+n = 2 1 0
n(n ^ i) _ 21 o
2
C(n,2) = 15
n(n—1)
210
n(n + 1 ) =
= 15
420
n(n + 1) = 20-21
n = 20 olur.
n(n-1) = 30 = 6-5
CEVAP B
n = 6 olur.
CEVAPA
^
f 15
-s
CN
I
C
C(n,n) + C(n,n -1) + C(n,1) + C(0,0) = 28
X
1
' X
+
X
n
+
n
X
+ 1
' 15 '
=
■
vn2 +2,
2 n -2 = n2 + 2 veya 2 n -2 + n2 + 2 = 15
= 28
n2 - 2n + 4 = 0 veya n2 + 2n -1 5 = 0
2n = 26
A<0
n = 13 olur.
.
(n -3 )(n + 5) = 0
n yok
n = 3 olur.
CEVAP C
4.
( 10
r-3
f 10
J
1 -4 , i
r11N
[r-3,
r-3 =
CEVAP A
11
6
11
\
8.
6
x + 1 = 3 x - 3 veya x + 1+ 3 x -3 = 18
r = 9 olur.
olduğunu hatırlayalım.
: ) * W
C(18,x +1) = C(18,3x - 3)
2x = 4
veya
4x = 20
x=2
veya
x=5
2 + 5 = 7 olur.
= d
CEVAP E
CEVAP D
202
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
9-
C(0,0) + C(n,1) + C(n,2) = 37
13.
.
n(n -1)
1+ n + —
- = 37
C(15, n +1) = C(15,2n - 4)
n+1 = 2 n -4 veyan + 1+ 2 n -4 = 15
n= 5
veya
3n = 18
2 + 2n+n2 - n = 74
n= 6
n(n + 1) = 72 = 8-9
P(5,3) = 5 -4 -3 = 60 veya P(6,3) = 6-5-
n = 8 olur.
= 120
CEVAPA
CEVAP D
10. C(n,2) + P(n,2) = 18
n(n-1)
V
14. f n] .
=>n = 2 + 6 = 8
16,
u
+ n(n-1) = 18
3 (n -1 )n = 36
8-7
n - r8l
u.
(n -1 ) • n = 3 •4
56 olur.
n = 4 olur.
CEVAP E
CEVAP B
15. C(n,2) + C(n,3) = 4 •C(n,1)
11.
P(n,3) = 8-C (n,n-2)
n(n_ 1Xn. 2) = 8 . M
t l
n(n-1)
n(n -1)(n -2)
2
6
4n
3 /(n -1 ) + /( n - 1)(n - 2) = 2 4 /
2
(n-1)(n + 1) = 24
n -2 = 4
n2 -1 = 24
n = 6 olur.
n2 =25
C(n,rı - 2 ) = C(n,2) olduğunu hatırlayalım.
n = 5 olur.
CEVAP C
CEVAP C
12. C(0,0) + C(6,3) = 3 • C(m,m -1)
16. r-C(n,r) = P(n,r)
, 6 -5 -4 1+ ---------- = 3-m
3!
1+ 5-4 = 3m
3m = 21
n!
nl
r!(n —2)!
(n -r)!
— = 1=> r! = r olur,
r!
m = 7 olur.
r| ^ r olduğundan bu seçenek yanlıştır.
CEVAP D
CEVAP E
203
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
20 . n > 4, n e N
17. C(b+1,a+ 1 )= 3 •C(b,a)
(b + 1)!
.
(a + 1)!<b + 1 -a -1 )l
b!(b + 1)
_
a!(a + 1)-(b-a)!
b+ 1
C ( n - 2 ,n -4 )< 4 5
b!
a!(b-a)!
(n-2)!
<45
b!
(n - 4 ) ! ( n - 2 - n + 4)
(b-a)!
(n -4 )l (n -3 )(n -2 ) , ^
(n -4 )! 2
=3
a +1
(n -3 )(n -2 )< 9 0
b +1 = 3a + 3
n2 -5 n -8 4 <0
b = 3a + 2 olur.
(n -12)(n + 7) < 0
CEVAP C
n - 00
-7
+
I
12
-
I
00
+
-7 < n <12
18. {a.lb.cj.b.c.d.e}
n > 4 verildiğinden
4 <n<12 olmalıdır.
Üç elemanlı tüm alt kümeler - b nin bulunmadığı üç
elemanlı tüm alt kümeler = b nin bulunduğu üç elemanlı
alt kümeler
Bu aralıkta da 1 2 - 4 - 1 = 7 doğal sayı vardır.
CEVAP B
burada b yok.
CEVAP B
19. C(2n,3) = 11-C(n,3)
2n(2n - 1)(2n - 2) _ 11 n(n - 1)(n - 2 )
21.
{1, 2, 3,4, 5, 6,7}
2 /(2 n -1)2 •(ja ^ f) = 11 ■/ ( ja ^ f )(n - 2)
3-lü kombinasyonlar - hiç çift sayının bulunmadığı 3-lü
kombinasyolar = en az bir çift sayının bulunduğu 3-lü
kombinasyonları vereceğinden,
4(2n-1) = 11(n-2)
8 n - 4 = 1 1n -22
18 = 3n
n= 6
K
C(6,2) = - — = 15 olur.
2
7 -6 -5
4 -3 -2
3-2-1
3-2-1
= 3 5 - 4 = 31 olur.
çift sayılar yok.
CEVAP D
CEVAP D
204
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
ÇÖZÜMLÜ TEST - 9
4.
Bir vazoda 3 kırmızı, 4 pembe, 6 beyaz gül vardır.
Kombinasyonla ilgili uygulamalar: 2
Bu vazodan en az ikisi kırmızı 4 gül kaç farklı şekilde
seçilebilir?
1.
8 elemanlı bir kümenin en az 6 elemanlı kaç alt kümesi
vardır?
A) 29
2.
B) 32
C) 36
D) 37
Buna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
3.
B) 286
C)298
D) 300
Ü
ı
C) 30
D) 36
C) 135
D) 140
E) 145
6 kız, 8 erkeğin bulunduğu bir gruptan bir gezi için
2 kız 3 erkekten oluşan beş kişilik bir grup
kaç farklı biçimde oluşturulabilir?
A) 960
B) 840
C)720
D) 645'
E) 480
E) 314
6.
Bu torbadan 1 mavi, 1 kırmızı, 1 beyaz top kaç farklı
şekilde seçilebilir?
B) 24
5.
I
Bir torbada 3 mavi, 2 kırmızı, 5 beyaz top vardır.
A) 10
B)120
E) 42
Bir torbada üzerlerine 1 den 12 ye kadar numaralar
yazılmış 12 top vardır. Bu torbadan 1 top a farklı şekilde,
2 top b farklı şekilde 3 top c farklı şekilde seçilmektedir.
A) 264
A) 90
{a.b.c.d.e.f.g}
kümesinin üç elemanlı, içinde en çok bir sesli harf
bulunan kaç tane alt kümesi vardır?
E) 40
A) 10
205
B) 15
C) 20
D) 25
E) 30
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
7.
8 öğrenci arasından 3 kişilik bir ekip, bu ekip içinden de
bir başkan seçilecektir.
11. 10 kişilik bir sınıftaki kız öğrencilerden oluşturulabilecek
ikişerli grupların sayısı, bu sınıftaki erkek öğrencilerin
sayısına eşittir.
Bir başkan ve iki üyeden oluşan bu ekip kaç farklı
biçimde oluşturulabilir?
A ) 154
8.
B )168
C)172
D )176
Buna göre, bu sınıfta kaç kız öğrenci vardır?
E) 192
A) 2
B) 420
C)414
D) 386
13.
7 kişilik bir gruptan en az 3, en cok 5 kişiden oluşan
bir grup kaç farklı biçimde seçilebilir?
A) 35
B) 56
C) 70
D) 91
B) 25
C) 27
D) 30
E) 6
B) 20
C) 18
D) 15
E) 12
Bir yemekli toplantıda buluşan 12 kişilik bir arkadaş grubu
birbiriyle birer kız tokalaşıyor.
Buna göre, en çok kaç tokalaşma olur?
E) 108
A) 45
B) 56
C) 60
D) 64
E) 66
14. A, B, C, D, E, F gibi altı değişik seçmeli dersten D ve E
dersleri aynı saatte verilmektedir.
10. Bir sınıftaki öğrencilerden oluşturulabilecek 4 erli
grupların sayısı, 3 erli grupların sayısının 6 katma eşit
olduğuna göre, bu sınıftaki öğrenci sayısı kaçtır?
A) 24
D) 5
Ada ile Seda aynı devrede olmak koşulu ile bu
7 öğrencinin kayıt işlemi kaç farklı şekilde yapılabilir?
E) 370
A) 24
9.
C) 4
12. Aralarında Ada ile Seda'nın da bulunduğu 7 öğrenciden
3 ü bir dershanenin sabah devresine, 4 ü öğlen devresine
kayıt yaptıracaktır.
4 doktor ve 7 hemşire arasından en az biri doktor
olmak koşuluyla 5 kişilik bir sağlık ekibi kaç farklı
biçimde oluşturulabilir?
A) 441
B) 3
Bu altı dersten ikisini seçmek isteyen bir öğrencinin
bu durumda kaç seçeneği vardır?
E) 32
A) 14
206
B) 12
C) 9
D) 6
E) 4
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
15. Bir fakültede okutulan 8 dersten 3 ü aynı saatte
18.
verilmektedir.
12 farklı sorunun sorulduğu bir sınava giren öğrencilerden
tek numaralı soruları zorunlu olarak çözmeleri istenmiştir.
Bu 8 dersten 3 ünü seçmek zorunda olan bir öğrenci
seçimini kaç farklı biçimde yapabilir?
Toplam 10 soruya yanıt verecek olan öğrenciler bu
durumda sorularını kaç farklı biçimde seçebilir?
A) 56
A) 12
B) 48
C)45
D) 40
E) 10
16. Bir sınıfta bulunan öğrencilerin tümü birbiriyle birer kez
tokalaşmıştır.
B) 23
C) 24
D) 25
E) 26
B) 42
C) 46
D) 50
D) 24
E) 28
Seçilecek grupta bir evli çift bulunması koşuluyla,
bu grup kaç farklı biçimde oluşturulabilir?
A) 96
B) 108
C) 112
D) 120
E) 128
,C
20.
17. Rakamları farklı üç basamaklı sayıların kaç tanesinde
3 ve 4 birlikte bulunur?
A) 36
C) 20
5 19. 8 evli çift (karı-koca) arasından 3 kişi seçilecektir.
Toplam 253 tokalaşma olduğuna göre, bu sınıfta kaç
öğrenci vardır?
A) 22
B) 15
8 i pozitif 6 sı negatif olan 14 sayıdan 3 sayı seçilecektir.
Çarpımları negatif olacak şekilde kaç farklı seçim
yapılabilir?
E) 54
A ) 128
207
B ) 144
C) 168
D )188
E) 192
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
21.
24.
10 kişiden 6 sı keman, 4 ü gitar kursuna gönderilecektir.
Bu iki grup kaç farklı biçimde oluşturulabilir?
A) 90
B) 120
C) 150
D) 180
Birbirinden farklı dört kitap, üç öğrenciye dağıtılacaktır.
Her öğrenciye en az bir kitap vermek koşuluyla
dağıtım kaç farklı biçimde yapılabilir?
E) 210
A) 20
B) 24
C) 30
D) 36
E) 40
25. Aralarında Özge ile Damla'nın bulunduğu 8 kişilik bir
gruptan bir araştırma için yurtdışına gönderilmek üzere
3 kişilik bir grup seçilecektir.
Özge ile Damla'dan en çok birinin bulunabileceği
grup kaç farklı biçimde oluşturulabilir?
A) 20
B) 25
C) 30
D) 45
E) 50
22. Yüksek öğrenim için A ve B ülkelerine gönderilmek üzere
5 öğrenci seçilmiştir.
Her iki ülkeye en az birer öğrenci gideceğine göre,
bu 5 öğrenci kaç farklı gruplama ile gönderilebilir?
A) 40
B) 30
C) 25
D) 20
E) 10
5
J-s
I
Si
S 26. Bir sürücü kursuna kayıt için başvuran 8 öğrenciye A ve
B sınıflarında 3 er, C sınıfında 2 kişilik yer olduğu
söylenmiştir.
'S
8 kişi arasında bulunan iki kardeş, aynı sınıfa kayıt
yaptırmak istediğine göre, bu öğrencilerin sınıflara
dağılımı kaç farklı biçimde yapılabilir?
A) 90
B )100
C )120
D )140
CEVAP ANAHTARI
23. Liseler arası bilgi yarışmasına her okul üç kişilik bir
öğrenci grubuyla katılacaktır.
O kulları adına yarışm ak için başvuran 8 kız,
7 erkek öğrenci arasından en çok 2 kız öğrencinin
bulunabileceği 3 kişilik grup kaç farklı biçimde
oluşturulabilir?
A) 399
B) 364
C)218
D) 196
1. D
2. C
3. C
4. E
5. B
6. E
7. B
8. A
9. D
10. c
1 1 .C
12. D
13. E
14. A
15. D
16. B
17. C
18. B
19. C
20. D
21. E
22. B
23. A
24. D
25. E
26. D
E) 168
208
E) 160
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
TEST - 9 ÇÖZÜMLERİ
5.
8-7
1.
:m :
6K + 8E
+8+1
3)
=28+8+1
3-2-1
= 840 olur.
' 8 ' f 8l f 8>
idi.
M
= 2, •
W
w
8 -7 -6
2
= 15-56
= 37 olur.
( Q)
6-5
CEVAP B
CEVAP D
2.
12
a=
* a = 12
1
b=
6.
12-11
C
{a, b, c, d, e, f, g}
^66 => b = 66
2
Sesli harf bulunmayan kümeler + bir sesli harf bulunan kümeler
12
1 2 - 11-10
3
3-2-1
b, c, d, f, g}
= 220 => c = 220
5']
+ b + c :12+ 6 6 + 220 = 298 olur.
5 .4
a yı alıp e yi atalım
a]{ b, c, d, f, g}
10
5'
= 10
CEVAP C
.S
aynı şey e içinde
yapılacağından
2-10
3M
2K
5B
3.
(3'] '2'
uJ
•
=
20
10 + 20 = 30
= 3 -2 -5 = 30 olur.
W
CEVAP E
CEVAP C
+
(N
f 3l12,
n -
iv
7.
Os
•s
2K 2Diğeri + 3 K 1D
O
4.
l1 /
8 -7 -6
3-2-1
3 .™ ± + 1 .1 0
2
•3
= 56-3
= 3-45 + 10
= 168 olur.
= 145 olur.
CEVAP B
CEVAP E
209
j
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
8.
11. Sınıfta x kız, 1 0 - x erkek olsun.
4D + 7H
1D4H + 2D3H + 3D2H + 4D1H
x
'41 ( 7
2y
= 1 0 -x
X
x(x-1)
= 4- 7 ’6 ’? + 6-35+ 4-21+ 1 7
6
1 0 -x
x2 - x = 2 0 -2 x
= 140 + 210 + 84 + 7
X2 + x = 20
= 441 olur.
x(x +1) = 4 •5
CEVAPA
x = 4 olur.
CEVAP C
12. 3S + 4Ö
Ada ile Seda
9.
sabah devresine
7 -6 -5
3!
7 -6 -5
7-6
■H------------ 1------31
21
Ada ile Seda
öğlen devresine
'5"
e
35 + 35 + 21
t
91 olur.
10 = 15 olur.
«5
CEVAP D
CEVAP D
€
12
13.
l
12-11
- = 66 tokalaşma olur.
2.
CEVAP E
10. Sınıftaki öğrenci sayısı: n
f i fivi
= 6-
14. A .B .C .D .E .F
n (n -1 )(n -2 )(n -3 )
n (n -1 )(n -2)
4-3-2-1
3-2-1
n -3
Hiçbir koşul olmasaydı
=1
6-5
24
= 15 seçeneği olurdu.
n - 3 = 24
bu İkililerin içindeki DE İkilisini seçemeyeceği için
n = 27 olur.
15 - 1 = 14 seçeneği olur.
CEVAPC
CEVAPA
210
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
15. 1 ini aynı saatte olan 3 dersten 2 sini diğer 5 dersten
+ 3 ünü de diğer 5 dersten seçebilir.
19.
8 (1 evli çift 2 kişi seçimi)
ra -
3-10 + 10 = 40 olur.
geriye 7 -2 = 1 4 kişi kalır. 1 kişi bu 14 kişi arasından
seçilecektir.
CEVAP D
(” )
r14
3 kişinin seçimi 8-14 = 112 farklı şekilde olur.
CEVAP C
16. Sınıfta n öğrenci olsun
n
20. 8P6N
= 253
2P1N + 3N
n •(n -1)
= 11-23
28 6 + 20
O T O
n(n-1) = 22-33
=168+20
= 188 olur.
n = 23 olur.
CEVAP B
CEVAP D
S
•=
21. f 10l . f 10l - 1° - 9 8 7 = 210 olur.
l 6J l 4J
4-3-2-1
kemancıları seçince diğerleri seçilmiş olur,
17.
34
342 —> 3! = 6
(gitarcıları)
i
buraya 1 rakam seçip yazdık.
CEVAP E
6-8 = 48
034
043 olmaz! 48 - 2 = 46 olur.
22.
CEVAP C
B
1 kişi
4 kişi
2 kişi
3 kişi
3 kişi
2 kişi
4 kişi
1 kişi
4
:h:h :h:m::
18. 1, 3, 5, 7, 9,11 -+ 6 soru zorunlu
1 2 -6 = 6
= 5-1 + 10-1+ 10-1+ 51
4 soruyu kalan 6 sorudan seçecek
= 5 + 10 + 10 + 5
= 30 farklı gruplama olur.
15 olur.
CEVAP B
CEVAP B
211
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
23.
25. Bütün durumlar - özge ile Damla'nın birlikte
8K + 7E -> 3 kişi
bulunduğu durumlar
3E+ 1K2E + 2K1E
= istenen durumlar
[2 ] Özgeve Damla nın yanma 1 kişi seçiyoruz.
=
7 -6 -5
3!
n 7-6
8-7
+ 8 -------- + ---------7
2
2
= ş-ı± -6
3!
= 35 + 168+196
= 5 6 -6 = 50 olur.
-3 9 9 olur.
CEVAP E
CEVAPA
■-s
»I
S
24.
B
1
1 kitap
1 kitap
2 kitap
1
2
1
2
1
1
26.
A B C
3
3
2
İki kardeşi önce A sınıfına yerleştirelim.
= 6-10-1 = 60
Aynı şey B için yapılırsa yine 60 bulunur.
İki kardeşi C ye yerleştirelim.
= 4-3-1 + 4-3-1 + 6-2-1
=
1 2 + 12+12
= 36 olur.
1-20-1 = 20
Ya da bu satırlardan biri bulunup tekrarlı permütasyonla
Üç durumun sonuçları toplanırsa
farklı durum olduğu görülür.
60 + 60 + 20 = 140 olur.
CEVAP D
Yine 12-3 = 36 bulunur.
CEVAP D
212
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
ÇÖZÜMLÜ TEST - 1 0
4.
K o m b in a s y o n la ilgili uyg ulam alar: 3
1.
Bir grup yemeğinde 8 evli çift (karı-koca) vardır. Erkekler
birbiriyle ve kadınlarla tokalaşıyor.
Kadınlar birbirleriyle tokalaşmadığına göre en çok
kaç farklı tokalaşma olur?
Aralarında A ve B isimli kişilerin de bulunduğu 10 kişi
arasından 4 kişilik bir grup seçilecektir.
A) 56
A veya B nin
oluşturulabilir?
A) 210
2.
B) 140
bulunduğu
C) 120
D) 90
kglıkölçülerle 2,5 kglık
ağırlıkkaçfarklı biçimdetartılabilir?
B) 32
C) 28
D) 24.
• E) 20
Bir öğrenci 8 soru sorulan bir sınavda 6 soru yanıtlamak
zorundadır.
6.
İlk üç sorudan en az ikisini yanıtlamak koşulu ile bu
öğrenci sorularını en çok kaç farklı şekilde seçebilir?
A) 30
B) 25
C) 28
D) 90
E) 92
Birbirine paralel x doğru ile başka doğrultuda
birbirine paralel 6 doğru yardım ıyla 150 tane
paralelkenar oluşturulabildiğine göre, x kaçtır?
A)4
3.
C) 84
E) 60
3 tane 1 kglık4 tane yarım
A) 36
B) 72
kaç farklı grup
D) 24
213
C) 6
D) 7
E) 8
Dördü paralel 6 doğru kesiştiğinde elde edilen
n oktalar kullanılarak en çok kaç tane üçgen
çizilebilir?
A) 84
E) 20
B) 5
B) 72
C) 60
D) 56
E) 42
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
7.
11.
A
B
K
L
M
Şekildeki çember yayı üzerinde beş, doğru üzerinde üç
nokta vardır.
Şekildeki noktalarbirleştirilerekenfazlakaçdörtgen
çizilebilir?
Bu sekiz nokta ile en çok kaç tane üçgen çizilebilir?
A) 42
B) 45
C) 55
D) 60
E) 72
A) 20
8.
B) 25
C) 30
D) 35
E) 40
Düzlemde bulunan 12 doğrudan 4 ü birbirine paralel, 5 i
bir P noktasından geçmektedir.
P noktası ile birlikte bu 12 doğrunun en yok kaç kesim
noktası vardır?
A) 35
B) 42
C) 48
D) 51
E) 62
12. Birbirinden farklı 8 çember en çok kaç noktada
kesişir?
A) 112
9.
B) 96
C) 84
D) 56
E) 28
Bir çember üzerinde bulunan 12 noktadan ikisi A ve B dir.
Bu noktalar yardımıyla çizilen üçgenlerin kaç
tanesinin bir köşesi A veya B noktasıdır?
A) 70
B) 84
C) 96
D) 100
E) 120
13. 5 farklı oyuncak 3 çocuğa her çocuğa en az bir oyun
cak vermek koşuluyla kaç farklı şekilde dağıtılabilir?
10. 9 özdeş oyuncak 4 çocuğa, her çocuğa en az bir tane
vermek koşuluyla kaç farklı şekilde dağıtılabilir?
A) 28
B) 36
C) 42
D) 48
A) 90
E) 56
214
B) 120
C) 150
D) 180
E) 210
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
17.
14.
B
A
ABC üçgeninin kenarları üzerinde 11 nokta verilmiştir.
Şekildeki gibi birbirine paralel 5 cadde birbirine paralel
7 cadde tarafından kesilmektedir.
Köşeleri bu 11 noktadan üçü olan kaç üçgen
oluşturulabilir?
Buna göre, A köşesinden B köşesine kaç farklı şekilde
gidilebilir?
A ) 156
A) 240
B) 210
C) 180
D) 150
B )150
C )148
D )120
E) 96
E)120
15.
18.
7j
I
Ti _
il
-
-
F
ı
Şekildeki gibi A noktasından harekete başlayan bir
cisim sağa ve yukarı doğru hareket ederek K
noktasından geçmemek koşuluyla B noktasına kaç
farklı şekilde gidebilir?
A) 120
B) 96
C )84
D )72
ABCD dikdörtgeninin kenarları üzerinde 12 nokta
verilmiştir.
1
H"
Köşeleri bu 12 noktadan üçü olan kaç üçgen oluşturu
labilir?
A )220
E) 66
B)214
C)192
D )180
E) 164
16.
19.
B
C
D
E
Şekildeki doğruların biri üzerinde 4, diğeri üzerinde
5 nokta vardır.
[AE] yukarıdaki yarım çemberin çapıdır.
Bu 9 nokta ile köşelerinden biri K veya L olan kaç
dörtgen oluşturulabilir?
Şekil üzerindeki 9 noktadan K veya C den geçen
doğruların sayısı kaçtır?
A) 66
B) 60
C )54
D )50
E) 48
A) 9
215
B) 10
C)11
D) 12
E )13
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
23.
20.
8 farklı üçgen sonlu sayıda en çok kaç noktada
kesişir?
A ) 138
B )144
C)156
D )168
E) 276
Şekildeki 9 noktayı köşe kabul eden kaç farklı üçgen
oluşturulabilir?
A)
B) 56
C) 64
D) 72
E) 84
24. Bir konfeksiyon atölyesinde 6 usta 8 kalfa çalışmaktadır.
Bir usta günde 5 elbise, bir kalfa günde 3 elbise
dikebilmektedir.
Buna göre, bu atölyede günde 30 elbise üretebilecek
bir ekip ekipte en az bir kalfa bulunmak koşuluyla
kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
21. 5 i A noktasından 4 ü B noktasından geçen 9 doğru
A ve B noktaları ile birlikte en çok kaç noktada
kesişir?
A) 18
B) 22
C) 24
D) 28
A) 1260
E) 30
D) 180
E) 840
Doğrusal olmayan bu noktalarla kaç farklı dörtgen
piramit oluşturulabilir?
En az ikisi kız olmak üzere 5 kişi bu asansöre kaç
farklı şekilde binebilir?
C) 164
D )960
nokta var.
beklemektedir.
B) 156
C)1120
25. Birbirine paralel iki düzlemden birinde 4, diğerinde 7
22. 5 kişilik bir asansörün önünde 4 kız, 6 erkek
A) 120
B )1200
A ) 126
E) 186
216
B ) 135
C) 140
D )147
E) 155
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
29.
26.
%
%
V ,/
%
%
36 kareden oluşan şeklin her satır ve sütunundan bir ve
yalnız bir kare seçilerek, taranıp desenler oluşturuluyor.
Köşeleri şekildeki doğrular üzerindeki noktalar olan
kaç farklı üçgen çizilebilir?
A) 72
B) 84
C) 90
D) 96
Buna göre, en çok kaç farklı desen oluşturulabilir?
E) 110
A) 6
B) 24
C) 120
D) 360
E) 720
27.
I
m
30-
I
s
%
1 . şe kil
2 . şe kil
12 küçük kareden oluşan 1. şekilden iki kare seçilerek 2.
şekildeki gibi boyanacaktır.
Şekilde bir kenarı 1 cm olan 20 tane kare olduğuna
göre, alanı 1 cm2den büyük olan kaç tane dikdörtgen
vardır?
Buna göre, 1. şekildeki kareler kaç farklı şekilde
boyanabilir?
A) 72
B) 66
C) 54
D) 48
E) 36
A) 90
B )110
C )130
D )140
CEVAP ANAHTARI
28. Bir otomobil firması, otomobil fuarına 12 modelinden 8 i
1. B
2. D
3. B
4. E
5. B
Fuara katılacak 2 modeli ile katılmıyacak 1 modeli
belli olduğuna göre, firma bu fuar İçin kaç farklı
seçenek oluşturabilir?
6. A
7. C
8. D
9. D
10. E
11. C
12. D
13. C
14. B
15. E
16. D
17. A
18. B
19. C
20. D
A) 56
21. B
22. E
23. D
24. C
25. D
26. C
27. B
28. E
29. E
30. C
ile katılacaktır.
B) 66
C) 72
D) 80
E) 84
217
E) 150
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
TEST- 1 0 ÇÖZÜMLERİ
A veya B nin bulunduğu durumlar
5.
150
= Bütün durumlar - A ve B nin bulunduğu durumlar
10-9-8-7
8 -7 -6 -5
4-3-2-1
4-3-2-1
x (x-1)
6-5
2
2
150
x(x -1 ) = 20 = 5-4
x = 5 olur.
= 2 1 0 -7 0
CEVAP B
= 140 olur.
CEVAP B
2.
6.
3 tane 1 kg, 4 tan
4
2)
12
1 .
1,
2 tane 1 kg +1 tane — kg veya 3 tan — kg +1 tane 1 kg
2
2
>•5
4-3
2
2
= 1 5 -6
= 9 kesim noktası oluşur.
'4'
' 3'
Jtj
+
1,
3
• r
h
\ ^
5
(9)
= 12 + 12 = 24 olur.
9-8-7
= 84 üçgen çizilebilir.
3!
İS
C-!
= 3 -4 + 4-3
9 -8 -7
sı
CEVAP D
CEVAPA
|
!£
3.
= 3 -5 + 1-10
=15+10
= 25 olur.
CEVAP B
4.
Bir üçgen için doğrusal olmayan 3 nokta gerekli buna
göre,
8E 8K
8
= 28 + 8-8
H Uy
E + E
K
'3' _ 8 -7 -6
l3y
1
3!
5 6 -1
= 28 + 64 = 92 olur.
■55 üçgen çizilebilir.
CEVAP E
CEVAP C
218
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
8.
11.
Paralel olmayan iki doğru bir noktada kesişir. (Bir kesim
noktası verir.) Buna göre,
ıo
=
' cm
u
'4'
,
2,
12J
1
4-
P noktası
12-11
4-3
5-4
2
2
2
66- 6 -1 0
+1
P dışında her doğrudan ikişer nokta seçilmelidir.
1
+
= 51
= 3-10 = 30
(4 doğru paralel, 5‘doğru da P den geçtiği için kesim
noktası vermez.)
5
CEVAP C
CEVAP D
12. Çemberler ikişer ikişer en çok iki noktada kesişir. İki
çember seçtiğimizde en çok iki kesim noktası elde ederiz.
2-
9.
'8 -7 '
= 2-
2j
f12l- w3J
'10] _ 12-11-10
= 56 olur.
. 2
10 9-8
CEVAP D
3-2-1
3-2-1
. 3J
=
rs'ı
2 2 0 -1 2 0
13.
= 100 olur.
A
-
CEVAP D
-»
10.
2
'
^~3~"
4
9 oyuncağın arasına rasgele 3 işaret koyarsak 4 gruba
ayırmış oluruz. Her grup bir çocuğa verilebilir. İşaret
koyarken 3 aralık seçmiş oluyoruz. 9 oyuncak arasında
8 aralık olduğundan 3 aralığın seçimi
8-7-6
2!
= 3
s
—3! = 3
M ' '3'
f5l
w J,
f5]-u
[1 J 2 ,
Q f lx D D n x D 0 x Q D
1
—
5-4-1 = 20 =>20-3 = 60
3,
2)
5-6-1 = 30 =*30-3 = 90
60 + 90 = 150 farklı şekilde dağıtılabilir.
CEVAP C
= 56 farklı şekilde olur.
3!
14. Adan B ye 10 farklı kenar (yol) gidilecektir. Ya A nın üstüne
Uyarı : n tane özdeş nesne, herbirine en az bir tane
doğru ya da sağa doğru gidebileceğinden bunların sayısı
'n -1 '
vermek koşuluyla r kişiye
farklı şekilde
nUJH(,oı
UJ
r-1
dağıtılabilir.
CEVAP E
10-9-8-7
= 210 olur.
4-3-2-1
CEVAP B
219
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
15. A dan B ye tüm gidişler - A dan B ye K ya uğrayarak
gidişler:
18 .
5
'3'
nU, -f4V
'sı
UJ ,3, 13,
-
1 2 - 11-10
2
-4 -1 -1
6
8 -7 -6
10-6
=
4-3-2-1
2 20-6
= 214 olur.
= 1 2 6 -6 0
= 66 olur.
CEVAP B
CEVAP E
19.
16 .
Tüm doğrular - K ve C den geçmeyen doğrular = K veya
C den geçen doğrular.
Tüm doğrular:
-
(5) .
UJ {.2)
+1
= 3 6 -1 0 + 1
= 27
Dörtgen için 2 nokta bir doğru üzerinden, 2 nokta da diğeri
üzerinden seçilmelidir.
i§
Tüm durumlar - K ve L nin hiç bulunmadığı durumlar
s»
K ve C yi atarsak,
;h :
+ 1 = 2 1 -6 + 1 = 1 6
Buna göre, K veya C den geçen doğruların sayısı:
=
2 7 -1 6 = 11 olur.
10 6 10-1
-
-
CEVAP C
= 6 0 -1 0
= 50 olur.
20.
CEVAP D
«• UJ
P 'l-fîl
UJ {',3j.î fUJl
11-10-9
■4 —4 —1
3-2-1
= 1 6 5 -9
'9^
= 156 olur.
,3,
CEVAPA
J 4'
,3,
-f4l
UJ
■84 - 4 - 4 - 4 = 72 olur.
CEVAP D
220
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
25. İki düzlemden birinde 4, diğerinde 6 nokta veriliyor.
"■
+2
( 3 - 0 - 0 4,
A veB
= 3 6 -1 0 -6 + 2
Tabanı 7 noktadan tepeyi 4 noktadan seçersek,
7-6-5
= 22
3!
= 140 dörtgen piramit
CEVAP B
Tabanı 4 noktadan tepeyi 7 noktadan seçersek,
1-7 = 7
n
22. 4K6E
4,
2K3E + 3K2E + 4K1E
(6' +r-n (6^ f4'
u ı .sJ’U t Ilj
dörtgen piramit olmak üzere, 140 + 7 = 147 dörtgen
piramit oluşturulabilir.
( 4)
CEVAP D
= 6 -2 0 + 4-15 + 1- 6
= 120 + 60 + 6
= 186 olur.
26.
CEVAP E
^
&
23. İki üçgen çakışık olursa sonsuz sayıda noktada kesişir.
Sonlu sayıda dendiği için iki üçgen en çok 6 noktada
kesişeceğinden
1
{§
'5 ^
6 - - ^ = 6-28
f 10l
, 3 j
f 6] -
120- 2 0 -1 0
= 168 olur.
90 olur.
CEVAP D
CEVAP C
24. 6U8K
3U 5K-> 3 -5 + 5- 3 = 15 + 15 = 30 elbise
00
f6lw UJ
27. 12 kareden 2 kare
= 20-56
12-11
= 1120 olur.
66 farklı şekilde seçilip boyanabilir.
CEVAP C
CEVAP B
221
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
28.
30.
1 2 - 2 - 1 = 9 otomobil
|
1 cm
I—»seçilmeyen model
i
seçilen iki model
1 cm
2 + 6 = 8 6 model daha seçilmelidir.
Buna göre,
9 -8 -7
84 farklı seçenek oluşturabilir.
3!
Şekilde
CEVAP E
= 10-15
= 150 tane dikdörtgen vardır.
Alanı : |
|1 1 cm2 olan 20 tane kare (dikdörtgen)
1
olduğundan alanı 1 cm2 den büyük 150 - 20 = 130 tane
dikdörtgen vardır.
CEVAP C
29. 1. satırdan 1 kare :
2. satırdan 1 kare : |
l= 5
3. satırdan 1 kare
=4
1
3
4. satırdan 1 kare :
=3
5. satırdan 1 kare : |
|= 2
6. satırdan 1 kare :
farklı şekilde seçilebileceğinden
6 ■5 •4 •3 •2 • 1= 6! = 720 farklı desen oluşturulabilir.
CEVAP E
222
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
ÇÖZÜMLÜ TEST = 11
(a-2b)8=-+ka3b5+-- +b8
4.
Binom açılımı ile ilgili uygulamalar: 1
olduğunagöre, kkaçtır?
1.
A )-4 6 4
(2x + a) =--- + 24x + b
olduğunagöre, a+bninpozitifdeğeri kaçtır?
A) 4
2.
B) 6
C) 8
D) 10
B) - 4 4 8
D )336
C )-3 3 6
E )448
E) 12
5.
(3x + 2)5
(2x2 + 3)5
açılımındabaştan4.terimaşağıdakilerdenhangisidir?
açılımınınsabit terimi kaçtır?
A) 720x2
A) 27
3.
B) 360x2
C)120x2
D)60x3
E)15x3
(a -2 b )5
6.
açılımındabaştan5. teriminkatsayısı kaçtır?
A )- 8 0
B )-4 0
C) 32
D)40
. B) 81
C) 243
D) 381
E) 417
(3x + 8y3 - 9 ) 6
açılımındaki terimlerinkatsayıları toplamı kaçtır?
E) 80
A) 8
223
B) 16
C) 32
D) 64
E)128
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
7.
(a2 +b3 )10 =
+ka4 -bm +
11.
açılımında k kaçtır?
A) 45
B) 53
C) 66
D )84
E) 120
açılımında sabit terim kaçtır?
A )- 6 7 2
8.
x = 9,15
12.
y = 7,15 için
B) - 548
H
C)548
D )672
f
x6 - 6 x 5y + 15x4 y2 - 2 0 x 3y3 + 15x2y4 -6 x y 5 + y 6
açılımında sabit terim kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
A )-8 0 6 4
A) 128
B) 64
C) 32
D) 16
E) 8
E) 784
B) - 6024
D )5048
C)2440
E )8064
I
9-
(3 a - 5 b ) 24
re
I
13.
açılımında kaç terim negatiftir?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
\10
,2k2
b *-c H
açılımında a8 in bulunduğu terim aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 56a8b8c18
B)72a8b8c20
D) 210a8b8c16
10.
C)210a8b8c24
E) 420a8b8c2°
( '- 7 Î
açılımında sabit terim kaçtır?
14.
«
m
.*
B)
f1 5 l •16
C)
•16
,5 ,
E) -
UJ
v10
açılımında c nin bulunmadığı terim aşağıdakilerden
hangisidir?
'15^
D)
ı2b2 - c 4
A) 20a12 -b12
32
B) 15a12 -b12
D) 10a20 -b20
224
C) a10b10
E) a20 -b20
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
15.
18.
(a2b2 - c 4 )10
açılım ında a ve b nin
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 10c10
B) 10c30
C) c30
bulunmadığı
D) c4
terim
(X2 _ 2 y 3 ) n
açılımında terimlerden biri p x.1 4 ..6
y olduğuna göre,
n + p kaçtır?
E) 10c40
B )153
A)
C )160
D )189
E) 192
19.
16.
( ' • * r
(--S f
açılımında x9 lu terimin katsayısı kaçtır?
açılımında x5 li terimin katsayısı kaçtır?
C) 280
280
A )-5 6 0
E) 16
D) 560
£
5
IS
S*
A) 24-
flS'l
B) 56-
D) 72
17.
H
) ’
f 13l
C )6 4 -
[r
[7)
13
f 13l
!
U J
E) 84
20.
2ax
(M f
açılımında a nın hangi değeri için x5 in katsayısı
3 tür?
açılımı x in azalan kuvvetlerine göre yazılırsa sondan
3. terimin katsayısı kaç olur?
A )-1 9
A) 196
B ) - 18
C) 17
D) 18
E) 19
225
B) 144
C )-8 4
D ) - 144
E )-1 9 2
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
24.
21.
(x2 - 3 x ) 6 (x2 + 3 x )7 =--- + ax22 +•••
ab
açılımında k - 1 5 m ifadesinin değeri kaçtır?
özdeşliğinde terimlerden biri ax22 olduğuna göre,
a kaçtır?
A) 135
A )-1 2 1 5
B )165
C)170
D )175
E) 180
B) —540
C)625
D )810
22.
(a + 2 b - c ) 8 .
A) 70
B) 126
C) 140
x2 + 4 x + 4
25.
I
açılımında a3 -b-C4 lü terimin katsayısı kaçtır?
D) 324
E )1215
açılımında baştan dördüncü terimin katsayısı kaçtır?
E) 560
B )Ş
X3
D )™
C)
E)
x
1980
CEVAP ANAHTARI
1. D
23.
A = (5 x -3 )4 (2 x -4 y )3 - ( 2 x - 3 ) 5 (x + y)4 (2x -1 )6
2. A
3. E
6. D
7. B
8. B
11. A
12. A
13. C
4. B
5. C
9. C
10. E
14. E ' 15. D
açılımı yapıldığında elde edilen ifadenin katsayılar
toplamı kaçtır?
16. A
17. E
18. B
19. C
20. D
A ) -1 3 2
21. A
22. E
23. C
24. E
25. D
B ) - 120
C ) - 112
D) 64
E)96
226
1280
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
T E S T - 1 1 ÇÖZÜMLERİ
1.
(2x + a)3 = --+ 2 4 x + b
4.
8x3 + 3 •(2x)2 • a + 3(2x) •a2 + a3 = •••+ 24x + b
(2a -b )8 =--.-+ka3b5 + ---+b8
V
a
b olduğu hatırlanırsa
k •a3b5 'n baştan 6. terim yani
(2a)8-5 •(-b )5 olduğu görülür.
a1= -2,
~2
-56 • 23 •a3b5
a3 = 23 = 8
b= 8
CEVAP B
a + b = 10 olur.
CEVAP D
5.
(2x +3)5 açılımında x = 0 yazılırsa sabit terim.
(2 •0 + 3)5 = 35 = 243 bulunur.
CEVAP C
2.
( 3 x + 2 f =•••+! ^ |(3x)5-3 -23
6.
32x2 -23 = 1 0 -9 -8 x2
(3x2 + 8y3 - 9 ) 6 açılımındaki terimlerin katsayıları
toplamını bulmak için
x = 1, y = 1 yazmalıyız.
= 720x4 olur.
CEVAPA
(3 •1+ 8 • 1- 9)5 = (11 - 9)6
= 26 = 64 olur.
3.
5>l 35
w-4 . (-2b) 4
(a -2 b )5 =•
CEVAP D
a •16 •b
7.
= 5 -1 6 -a b
(a2 +b3)10 = ••■+ ka4 bm +•••
dikkat edilirse ka4bmnin baştan 9. terim olduğu görülür.
= 80 ab4
m , o\10-8
5. terimin katsayısı 80 olur.
•b =
a2f b 8
(a + b)n açılımında baştan r + 1. terim:
k = 45, m = 8
rbr idi.
olduğundan.k+m = 4 5 + 8 = 53 olur.
CEVAP B
CEVAP E
227
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
8.
x = 9,15
y = 7,15
- K
x®- 6x5y + 15x4y2 - 20x3y3 + 15x2y4- 6xy5 + y6
açılımında sabit terim.
î
ifadesi (x-y)6 nın açılımıdır. Buna göre,
r+ 1. terim olsun.
(9,15 -7,15)6 = 26 = 64 olur.
"9N
x9_r (-2 x -2)r =
|x9_r x_2r -(-2)r
V
/
r;
lnr J
CEVAP B
9'
( _ 2 ) r. x 9 - 3r
9 -3 r = 0
r = 3 olursa bu terim sabit terim olur.
9.
f9'
(3a - 5b)24 açılımında
(-2) = -8 •84
24 + 1 = 25 terim vardır. İlk terimin işareti + olduğundan,
terimlerin işareti + ile başlayıp
— biçiminde sıra
ile devam edecektir. + ile başladığı için + terimler bir fazla
olacaktır. Dolayısıyla terimlerin 13 ü +, 12 si de - dir.
= -672 olur.
CEVAPA
CEVAP C
12.
flO'l ,10
r
10.
sabit terim r + 1. terim olsun.
K î"
r /
f 1 0 l x1 0 - r .x- r . (_ 2)r
‘ -2x-11\5
’ - 1
"10
açılımının sabit terim r + 1. terim olsun.
K
(—2)r • x1o_2r
^r _
1 0 -2 r = 0
(K î
r=5
...J
(x2)15-r (-2x“
(-2) = —252 •32
x30-2r.x 4 r . ^ r
= -8064 olur,
CEVAPA
,30 - 6 r
= (-2 /
13. (a2b2 - c 4 )10 açılımında a8 li terim baştan 7. terim dir.
30 - 6r = 0
Buna göre,
r = 5 olursa sabit terim olur.
no
Buna göre,
10v
(a 2 b2)4 - ( - c 4 f =
(-2 r
= -32
H
UJ
8 b8 -c24
6)
"15'
sabit terimdir.
210 a8b8 c24
,5 ,
CEVAP C
CEVAP E
228
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
14. (a2b2 - c 4)10 açılımında cnin bulunmadığı terim baştan
17.
1. terimdir. Buna göre,
(•■-t )'
2ax'-
10
(a2 b2 )10-0 •(-c 4)° = 1•a20 •b20 •1
K
i20 •b20 olur.
f
açılımında x5 li terimin katsayısını bulalım.
x5 li terim r + 1. terim olsun.
CEVAP E
r7 l(x 2 )7- r •(—x-1)r = f 7 |x14_2r -x"r -(-1)r
,14-3r
H )r
1 4 -3 r = 5
15. (a2b2 - c 4)10 açılımında a ve b nin bulunmadığı terim
r=3
baştan 11. terimdir. Buna göre,
10^
(a b )
-(-c )
= 1 -1 c
1
10 J
- 35x5 + 2ax5 = (-35 + 2a) x5
-3 5 + 2a =3
CEVAP D
|
2a = 38
a = 19 olur.
I
CEVAP E
J
, 2 — i- lf
16. (I o2x2
^
x)
açılımında x5 li terim r + 1. terim olsun.
18. (x2 - 2y3)n = •••+ px14y6 + ■••
y6 lı terim baştan 3. terimdir. Buna göre,
f 7j(2 x 2)7~r (-x -1)r = ( J 14- 2r • x_r • 27_r • (-1)r
(x2r 2 (-2y3)2 =
V"
4 4 y6
x14-3r.2 7 -rı(_1)r
= 4-| ^ |x2n-4 -y6
2 n -4 = 14 verildiğinden
1 4 -3 r = 5=>r = 3 olmalıdır. Buna göre, x5 li terim
n = 9 olur.
x5 •24 •(-1)3 = -3 5 •16 •x5
4-
= -560x5
x14 y6 =144x14 -y6
n = 9, p = 144
katsayısı da -5 6 0 olur.
n + p = 153 olur.
CEVAP B
CEVAPA
229
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
10
13
19.
açılımında x9 lu terim baştan r+ 1. terim
21.
+ k-a6 -b™ + -ab
olsun. Buna göre,
1 3 ), «\13-r
a
b
---- H-----ab ab /
2x'
» ■ ra
t
u \io
H )
f,v
açılımında a6 lı terim r + 1. terim olsun.
%r y
Buna göre,
3 9 -5 r = 9
. r=6
'13^
13
2 = 64
x9 lu terimin katsayıs
olur.
- c ır
CEVAP C
1 0 -2 r
r=2
10
—
= 45 •a • b"
.2
k = 45. m = -6
k - 1 5 • m = 45 -1 5 •(-6 ) = 45 + 90 = 135 olur.
CEVAPA
e
S 22. 1. Yol:
■s
(a + 2b - c)8 açılımında a3bc4 lü terimin katsayısı k olsun.
• • ‘
«
k-a3 -b-c4 = — - ------- a3(2b)i(-c)4
31-11-4!
ı 3 ı-2 4 415-6-7-8 3
4
k-a -b -c = -----------------------2b-c4
6-1-4!
560a3 bc4 =>k = 560 bulunur.'
2.Y0İ:
f(a + 2 b )-c ] = ^ j ( a + 2b)8- 4(-c)4
20.
(M
= f® j (a + 2b)4 • c4 = 70(a + 2b)4 •c4 Q]
açılımında sondan 3. terim baştan 8. terimdir.
(a + 2b)4 = f 4la 4_r-(2b)p
Buna göre, 8. terim
4 - r = 3=>r = 1'
9
; j ( - - ır - K ) ' = ı ; j ^ x-2H 4)
(a + 2b)4 = | 4 |a3 •(2b)1
-36 • 4 • x,12
= 4a32b
= -144-x 12
= 8a3b [2 ]
katsayısı -1 4 4 olur.
13 ve @ den a3 -b-c4 ün katsayısı
CEVAP D
70 - 8 = 560 bulunur.
CEVAP E
230
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
\6 .: rv
A = (5x - 3)4- (2x - 4 y)3 - (2x - 3)5 •(x + y j4 •(2x - 1)6
_
l
açılımı yapmadan x =1, y - 1 yazılırsa
_
CM
+
X
23.
X J
A nin katsayılar toplamı:
(5 •1- 3)4 - (2 •1- :4 •1)3 - (2 -1 - 3)5 •(.1+1)4 •(2 -1 - 1)6
=
24
-( -
2)3
- ( -
■Mî
1)5
= 16-(-8)+16
İfadesinde baştan döndüncli terim:
= -128 + 16
-iv*
= -112 olur.
ri2i
= 2 20•8•x
CEVAP C
1760
olur.
CEVAP D
24.
(x2 - 3x)6 (x2.+ 3x)7 =•• ■a • x22 +
[(x2 - 3x)(x2 + 3x)J 6 -(x2 + 3x) =
(x4 - 9x2 )6 .= ^
j (x4 ) 6~r (-9x2)r
24.-2r = 20 vey a2 4 -2 r = 21
r = 2 olur veya r = — olmaz.
2
x 2° . ( - 9
) 2 . ( x2 + 3 x )
= 1 5 -8 1 x 22
‘
= 1215x22
a = 1215 olur.
CEVAP E
231
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
ÇÖZÜMLÜ T E S T - 1 2
4.
Binom açılımı ile ilgili uygulamalar: 2
1.
açılımında içinde a8 bulunan terim aşağıdakilerden
hangisidir?
(öa3 - 3 b 2 )
A) 70a8b6
açılımında 6 terim olduğuna göre, içinde a6 bulunan
terimin katsayısı kaçtır?
A) 5200
B)4500
D )-6 5 0 0
B) 60a8b12
D) -30a8b6
C)45a8b12
E )-1 5 a 8b4
C)3750
E )-6 7 5 0
5.
10
(x2 - 2 y 3)6
5
w
kl
açılımındaki terimlerden biri p xmyc
olduğuna göre, m + p kaçtır?
A) 24
B) 34
C )44
D )54
- X
i îJ
açılımında sabit terim kaçtır?
A) 210-36
E )68
B) 210-3'
D) 210-3'
C) 210-34
E) 210
açılımında 8. terim aşağıdakilerden hangisidir?
|
X
~>J
1
oo
>
6.
B) —128İ 7 x4
v15
1 V
oof12l 3
c) ~128^ 7 Jx
açılımında sabit terim baştan kaçıncı terimdir?
'12n
D) - 6 4
f 12')
x3
k7 j
E) -3 2
A) 5
J )
232
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON » BİNOM - O LASILIK
7.
10.
10
açılımında sabit terim Kaçtır?
açılımında x İn bulunmadığı terimin katsayısı kaçtır?
A) 180
B) 240
C) 320
D )- 1 8 0
E )-2 4 0
A )- 2 6 0
B ) - 180
D )240
C) 210
E )270
11.
8.
(3 a2 + b3 )
(x3 - 2 y 2 )"
açılımında içinde b9 bulunan terimin katsayısı
kaçtır?
açılımındaki terimlerden biri ax9y14
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
A) 12
E ) 11
B) 14
C) 16
D) 11
E) 24
12.
( • '- t f
açılımında kaç terim rasyoneldir?
açılımında ortadaki terimin katsayısı kaçtır?
A )- 1 6 0
B ) - 4 0 ’ C ) -2 0
D)40
A) 1
E)80
233
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
13.
17.
(x3 - y 2Jn
açılım ı x İn azalan kuvve tlerine gö re düzenlenirse
baştan 3. te rim in katsayısı kaç olu r?
açılım ındaki te rim le rd e n b iri a x V 6 o ldu ğun a göre,
a kaçtır?
A) -1 6 5
14.
B) - 135
6)45
D) 140
(x -2 y )5
A ) -.4 0 .... B) - 20
C )-6
•
,
D)-30
E) 40
' u'.i \
E) 165
(x + 2y)8 = x 8 +--- + 16ax3y5 +•••
açılım ında a kaçtır?
A) 96
B) 112
C) 148
D) 196
E) 200
18.
(x3 - 2x2)14
açılımında sondan 5. terimin katsayısı kaçtır?
(u'
A) 2-
B) 8-
r i4 i
ri4"ı
.
C) 16-
{4)
U J^14>
E) 24-
D) 12-
f-ilO'.:
'14- İ 'j.’j v.2 ,
,2 >
15.
(x *-2 y *)
açılımında x4y4 lü terimin katsayısı kaçtır?
A) - 4 8
B )-2 4
C) 12
D)24
E)48
19.
16.
K
(-1)'
î
açılım ında a 2 İl te rim in katsayısı kaçtır?
açılım ında s a b it te rim kaçtır?
A) 30
A) 28
B) 30
C) 36
D )42
E) 48
234
•
B) 35 . ■' ‘ C j45
D) 60
E) 90
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
20.
23.
ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre açılıp düzenlendiğinde
ilk üç terimin katsayıları toplamı 97 olmaktadır.
açılımında sabit terim kaçtır?
A)
f15l
UJ.
B)
D)
f15l
.J
f 15'!
C)
E)
'15N
Buna göre, n kaçtır?
. 5>
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
15
J )
1e)
24.
k -x ' +■
K J
açılımında k kaçtır?
A) 84
B) 98
C) 126
D) 144
E) 192
21. x tamsayı olmak üzere,
.6
(«T açılımında rasyonel sayı olan terimlerin toplamı
kaçtır?
A) 20
B) 22
C) 24
D) 26
25.
(x - 2 )
(3x + y)
E) 28
İfadesinin açılımındaki terimlerden biri 1680 k x6y4
olduğna göre, m kaçtır?
A) 9
B) .12
C) 15
D) 18
.
CEVAP ANAHTARI
22.
(x3 + ax)8 = x 24 + --- + 448x13 + --- + bx8
özdeşliğinde a + b toplamı kaçtır?
A) 66
B) 128
C) 130
D.) 252
E) 258
235
1. E
2. E
3. C
4. A
5. A
6. C
7. B
8. D
9. A
10. c
11. A
12. D
13. E
14. B
15. D
16. A
17. E
18. C
19. E
20. D
21. B
22. E
23. E
24. C
25. A
E) 27
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
TEST - 12 ÇÖZÜMLERİ
(5a3 -3 b 2/1 açılımında 6 terim varsa
4.
n + 1 = 6 => n = 5 tir.
İ ç in d e a 6 b u lu n a n t e r im r +
1 . t e r im
o ls u n
^2a2 —
açılımında içinde a8 bulunan terim
5. terimdir. Buna göre, 5. terim:
* j(5 a 3f ' r •(-3b2)r = £ |55- r •a15' 3r •(-3 )r b *
4
(2a2 \)8 - 4
78
24 .a8 ._ L .b 12
4)
m
15 - 3r = 6
r= 3
2
a8 . u 1 2
Buna göre, dördüncü terim:
= 70a8 -b12 olur.
5
52 a6 -(-3)3b6
CEVAPA
= 10 •25 •(-27) •a6 •b6
= -6750a6 b6
katsayısı da -6 7 5 0 olur.
CEVAP E
2.
(x2 -2 y 3)6 açılımında içinde y6 bulunan terim baştan 3.
terimdir.
%tt
'6
5.
(x2 )4 •(—2y3)2 = 15x8 •4 - y6
açılımında sabit terim r + 1. terim olsun.
,2.
= 60x8 •y6 = p •xmye
\ 10- r
p = 60, m = 8
nen
,1 0 -r
„2 0 -2 r
/
„\r
_3r
r
m + p = 68 olur.
7ıo^
CEVAP E
3.
2
x
-
=^
A 12 açılımında 8. terim
J
J31°-r .(-1)r .x2°-5r
bu terimde x bulunmayacağından
t
2 0 - 5r = 0
-2x
=
•(-2 )7 •x-7
r = 4 sabit terim de
710N
A
36 =210-36
x3 olur.
J
CEVAP C
CEVAPA
236
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
6.
( 3V7+x
f
i \ 1 5 —r
1'
X3
sabit terim r + 1. terim olsun.
sabi
. \r
/
.
1'
X
. ı s ,
X 3
-x
^2x3 - — j
açılımında 7 terim bulunduğundan
ortadaki terim:
r
- -
(15^1 _
2
9-
2
12 3 0 5 6 7
/
baştan 4. terimdir. Buna göre, 4. terim
X
6
l r)
(2x3)6-3 •( - X "1 )3 = 20 •23 • x9 • (-1) x"3
/15\ 30-5f
X
6
= -160x6
3 0 -5 r = 0=>r = 6 olduğundan sabit terim baştan
6 + 1 = 7 . terim olur.
katsayısı da - 1 6 0 olur.
CEVAPA
CEVAP C
10
10.
|^x2 - — j
x2 + X
sabit terim r + 1 terim olsun.
(x2f " r •(-2x~1)r = ^ j Xl2-2r. (_2)r . x_r
1° V x 2 ) 1° - r , ( y 2 , x - 3 ) r = f 1 0 |x 2 0 -2 r . x - 3 r , y 2r
r 6 j x12 3r.(_2)r
x20-5r. y2r
1 2 -3 r = 0 = ^ r = 4 sabit terim de
2 0 -5 r = 0=>r =
f6T"
H -2 )4 =15-16 = 240 olur.
UJ
*ru
5. terim:
CEVAP B
f10!
l 4J
CEVAP C
1J
8.
9 14 +
(x3 - 2 y 2) = *-- + ax®y"
11.
y14 lü terim
n l/ *\n-7 /
o\7
^3a2 + b3)4 açılımında b9 bulunan terim 4. terimdir.
Bu terim,
fn x3n-21.(_2)7.y14
7
3a2)1 (b3f = 4 - 3 a 2 b9
n
128x3n"21-y14
7
= 12a2 b9
3n-2 1 = 9
katsayısı 12 olur.
n = 10 olur.
CEVAPA
CEVAP D
237
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
12.
-^ T )
r + 1. terimi yazarsak rasyonel terimleri
15.
(x2 - 2y2)n
x4y4 lü terim üçüncü terimdir.
görebiliriz.
f1 8 l
'
3_'
1 8 -r
22
v r J
w
2
'
X
>
-2 3
=
2
r
l
v.
/
'n> / O\0—
2 /
n\ fn l
ıx2n_4
- 4 -y 4
■V-2y2/ =
p
\ x2/
54-3 r
f'18
2
.( 2 ) T -( -1 ) r
<2,
w
2n - 4 = 4
18
1 6 2 -9 r+ 4 r
2
6
n= 4
.(-1 y
_r
x4 •4 • y4 = 24x4y4
16 2 - 5 r
181
r
f18İ
katsayısı 24 olur.
2 7 -— r
2
27
6
CEVAP D
r nin doğal sayı olması gerekir. Bunun için
6
16.
r = 0, 6,12,18 olabileceğinden 4 terim rasyonel olur.
( * 4 ) ‘
CEVAP D
r
'
^
sabit terim r + 1. terim olsun.
8- r
' 8>
8'
X3
J
13. (x3 - y2)naçılımında içinde y16 bulunan terim 9. terimdir.
-C P -k
8 - 4 r =0
3n - 24 = 9
r= 2
n = 11
<n>
n
UJ
. X- r - (
j
2»
n 1 / 3 \n"8 r . y 2 j 8 = | n |x 3 n - 2 4 . y 16
x 9 - y 16 =
8- r
X 3
• ( - x - 1) r =
\
/
Sabit terim:
x9 • y16
(—1)2 = 28 olur.
,3 ,
w68 nınımıi
= 165x9 -y16 =ax9 y16
CEVAPA
olduğundan a =165 olur.
CEVAP E
17.
14.
(x -2 y )
açılımında baştan üçüncü terim:
(x + 2y)8 = x 8 + --- + 16ax3y5 +•••
açılımında içinde x3 bulunan terim,
'81
^ jx 3 -(-2y)2 =10-x3 - 4 y 2
J“ 5 •(2y) =56-32 •x3y5 = 16ax3y5
= 40 •x3 •y2
5)
katsayısı: 40 olur.
56 •32 = 16 •a
a = 112 olur.
CEVAP E
CEVAP B
238
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
21. x tamsayı,
18.
(x3 -2 x 2)
açılımında 5. terim:
+ x2j
\10
-2x "
2 4 • x 30 • x 8
= 16-|
r + 1. terimi görelim.
1 6- r
/o\
14^,
' 38
|x
6- r
X 3
(x2)r =
.x%
6+5r
Katsayısı: 16
(■\4)
'6"
3
-
olur.
J,
CEVAP C
6 + 5r
—
3
0
5
z + “ r r : 0, 3, 6 için terimler rasyonel olur.
3
Bu terimlerin katsayıları toplamı:
19.
f9-
j
a2 li terim r + 1. terim olsun.
"6'
+
,3 ,
+
(Q) = 1+ 20 + 1 = 22 olur.
CEVAP B
£
j1 0 -4 r . - r
/ -V
MJ
I
r= 2
o»a
C3
i
3 -1 = 10-9 = 90. olur.
CEVAP E
22.
(x3 + ax)8 = x 24 +
• • • + 4 4 8 x 13 + • • • + b x £
''8')
x3)5 (ax)3 =
20.
’■
x2 + ——
h
i f
x18 - a3 =448 x18
açılımının sabit terimi r+ 1. terim olsun.
5 6 -a3 -x18 = 448 x18
56 a3 = 448
x 3 0 - 2 r . x -3 r
56a3 = 5 6-8
a3 = 8
r3 0-5r
a=2
30 - 5r = 0
(ax)8 =bx8
r= 6
a8 • x8 = b • x8
15'
Sabit terim:
a8 = b => 28 = 256 = b
olur.
a + b = 258 olur.
CEVAP D
CEVAP E
239
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM ■ O LASILIK
25.
23.
( x - 2 ) 8 (3x+ y)6
verilen terim r+1. terim olsun.
2 . t e r im
1. terim
V
V
'n N
( x * ) " ( - 2 x - f,
v0,
jJ
(x2r
1- K
1)1'
x 2n_3. ( - 2 )
( ^ r v
•(-2 /
- 1)2
'B'
=l
V
ix“ -r.(_2)r
5 -r.x 6 -r.y r
x 2 n - 6 . ( _ 2 )2
,
lr 2,
f i
W
,0,
T8'!
3. terim
x14-2r •yr •
(-2 )r -3e
/l4 - 2 r
. * 6- r
/ (-2 ) r '3'
bu terimlerin katsayıları toplamı:
''nN
= 97
-2 + 4Uy
,2,
Oy
14 - 2r = 6
2r = 8
1- 2n + ü ( ! l d l . 4 = 97
r=4
-2 n + 2n2 -2n = 96
(-2 )4 •32
x6 -y4 =1680k x6 -y 4
2n2 - 4n = 96
16-9-70-15x6 y4 =1680 k x6 y4
n2 - 2n = 96
1680-9 = 1680.k
n(n - 2) = 48
k = 9 olur.
n(n - 2) = 8 •6
n = 8 olur.
CEVAPA
CEVAP E
24.
(x3+ı l
27 - 4r = 7
r=5
x7 = k •x7
126x7 = k -x 7
k = 126 olur.
CEVAP C
240
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
ÇÖZÜMLÜ TEST »13
5.
Olasılık ile ilgili uygulamalar: 1
(a, b, c, d, e, f}
k ü m e s in in İç in d e en az b ir s e s li h a rf b u lu n a n
3 e le m a n lı a lt k ü m e le r in i y a z m a d e n e y in d e
örnek uzay kaç elem anlıdır?
1.
İki paranın atılm ası deneyinde örn e k uzayın eleman
sayısı kaçtır?
A) 1
2.
B) 2
C) 3
D) 4
A) 16
6.
uzayın elem an sayısı kaçtır?
3.
B)2n
C )2n
D) n2
E )4n
B) 6
C) 12
D) 24
7.
E) 6
E) 36
B ir zar ve b ir paranın atılm ası deneyinde örnek uzayın
elem an sayısı kaçtır?
8.
B) 72
C) 66
D) 45
E) 36
4 kız, 6 erke k ö ğ re n c in in b u lu n d u ğ u b ir g ru p ta n
rastgele 3 öğrencinin seçilm esi deneyinde örnek uzay
kaç elem anlıdır?
A) 45
4.
D) 9
İçin 4 mavi, 5 kırmızı, 3 sarı top bu lunan b ir torbadan
rastgele 2 to p seçm e deneyinde örnek uzayın eleman
sayısı kaçtır?
A) 84
İki zarın atılm ası de neyind e ö rn e k uzayın elem an
sayısı kaçtır?
A) 2
C)10
E) 5
n tan e m adeni paranın atılm ası de neyind e örn e k
A) n
B) 12
B) 72
C ) 84
D )96
E) 120
İk i z a r v e ik i m a d e n i p a ra n ın b ir lik te a tılm a s ı
deneyinde örnek uzayın elem an sayısı kaçtır?
A) 16
B) 12
C) 8
D) 6
E) 2
A) 12
241
B) 36
C) 72
D) 144
E) 216
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
9.
İki zarın atılması deneyinde zarlar üzerindeki sayılar
toplamının 8 gelmesi olayının eleman sayısı kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 10
13.
E) 12
Şekilde verilen 6 noktadan seçilen üç noktanın yalnız
birinin çembere ait olması olayının eleman sayısı
kaçtır?
A) 4
B) 6
C) 9
D) 12
E) 15
10. Bir zar ve bir paranın atılması deneyinde zarın asal
bir sayı, paranın tura gelmesi olayının eleman sayısı
kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
14. Bir torbada bulunan birbirinden farklı 3 mavi, 5 kırmızı
top arasından rasgele 4 top seçilmesi deneyinde
en az 2 topun mavi olması olayı kaç elemanlıdır?
A) 20
11. Bir çift zarın atılması deneyinde zarlar üzerindeki
sayıların çarpımının tek sayı olması olayının eleman
sayısı kaçtır?
A) 4
B) 9
C) 16
D) 25
15.
B) 25
C) 30
D) 35
E) 40
Örnek uzayın üç ayrık olayı A, B, C dir.
P (A )+ P (B )= |
E) 36
P(B) + P(C) = | olduğuna göre, P(B) kaçtır?
A)
1
'2
16.
12. Bir torbada bulunan 6 beyaz, 4 mavi toptan rasgele 5
top seçme deneyinde, toplardan 3 ünün beyaz, 2 sinin
mavi olması olayının eleman sayısı kaçtır?
A) 120
B) 90
C) 72
D) 60
-
1
B) -
’
1
3
C) —
' 4
1
D) —
' 6
1
E) ' 8
4
A nın bir yarışı kazanma olasılığı — olduğuna göre,
aynı yarışı kaybetme olasılığı kaçtır?
E) 48
A> ?
242
B> !
C)7
D> f
E)f
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
17. Bir voleybol takımının galip gelme olasılığı, berabere
kalma olasılığının iki katıdır.
20. A, B, C ikişer ikişer ayrık üç küme ve A u B u C = E
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) P(A) + P(B) + P(C) = 1
3
8
Bu takım ın yenilm e olasılığı — o ldu ğun a göre, ga lip
B) P(A) = 1 -P (A ')
gelme olasılığı kaçtır?
C) P (A u B ) = P(A) + P(B)
5
A ) 24
5
B )İ2
C> Î
D )i
E) i
D) P (0 ) = O, P(E) = 1
E) P (A n B ) = P(A) + P(B)
18.
21. Bir madeni para ard arda 6 defa atıldığında oluşan örnek
uzay E dir.
A ve B ayrık olaylar olmak üzere,
A olayı paranın 4 defa tura 2 defa yazı gelmesi
olduğuna göre, s(E) - s(A) kaçtır?
P(A) = 0,32
P (A u B ) = 0,72
A) 54
B) 52
C )50
D )49
E) 46
oldu ğun a göre, P (B ') kaçtır?
A)
B )f
c> !
d> 4
E) 30
22.
Bir madeni para ard arda 4 defa atıldığında çıkan tüm
olaylar aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir?
A) (T + Y)2
B) (T + Y)3
D) (T - Y)4
19.
C)(T
E) (T2
Y 2)2
A ve B, E örnek uzayının İki olayıdır.
P(A ') = İ
CEVAP ANAHTARI
P ( A 'n B ') = -l
olduğuna göre, P(AnB) kaçtır?
A> ı
B) 1
1
1
1
c> 7
D )îö
E ) Î2
243
1. D
2. C
3. E
4. B
5. A
6. C
7. E
8. D
9. B
10. E
11. B
12. A
13. D
14. D
15. C
16. E
17. B
18. C
19. E
20. E
21. D
22. C
Y )4
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
TEST- 1 3 ÇÖZÜMLERİ
1.
Pr P2
4M
5K
3S
2 •2 = 4 => s(E) = 4 ya da
4 + 5 + 3 = 12 top
12|
12-11
2j
2-1
E = {TT. YY. YT. TY} => s(E) = 4 olur.
= 66 olur.
CEVAP D
2.
CEVAP C
Pr P2 .P3 ..P n
10^1
7.
2 -2 • 2 ••• 2 = 2n olur.
4K + 6E = 10
1 0 9 -8
= 120 olur.
3-2-1
CEVAP C
3.
CEVAP E
Z , • Z,
i
1
8.
Z1 .Z 2 P 1 P 2
J-
6 • 6 = 36 => s(E) = 36 ya da
4-
4-
4-
6 • 6 • 2 • 2 = 144 olur.
E = {(1,1),(1,2),(1,3),- -(2,1), (2,2), • -(6,1), • .(6,6)}
s(E) - 36
CEVAP D
CEVAP E
Z ı-Z 2
i 4
6 • 2 =12 => s(E) = 12
6 • 6=36
E = {(1.Y).(1.T)1(21Y )1(2IT )1(3,Y),(3,T)>(4IY).(4.T)
Z1-+ 2 3 4 5 6
(5,T),(5,Y),(5,T),(6,Y),(6,T)}
•
Z2 -> 6 5 4 3 2
s(E) = 12
E = {(2.6), (3,5), (4.4), (5,3), (6,2)} => s(E): 5
CEVAHPB
5.
'r = 8+ 8
CEVAP B
{a. b, c, d. e, f}
10. Z
Üç elemanlı tüm alt kümeler - sesli harf bulunmayan üç
elemanlı alt kümeler:
z-
2, 3.5
Y, T
Z -P
4- 4.
= 2 0 - 4 = 16 olur.
3 - 2 = 6 olur.
CEVAP A
CEVAP E
244
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
11.
15.
Zarlar üzerindeki sayılar çarpımın tek sayı olması için
ikisi de tek gelmelidir.
P(A) + P(B) + P(C) = 1 dir.
Z, - * 1,3,5
Z2
A, B, C ayrık olaylar olduğundan
P(A) + P(B) = —
8
1,3,5
+ P(B) + P(C) = —
8__
n
in
5
P(A) + P(B) + P(C) + P(B) = '- . = —
1
8
4
3 - 3 = 9 olur.
CEVAP B
P(B) = — -1
4
P(B) = — olur.
4
12.
3B2M
6B
4M
CEVAP C
C(6,3) •C(4,2) = 20 •6 = 120 olur.
CEVAPA
A nin bir yarışı kazanma olasılığı: a ise
A nin aynı yarışı kaybetme olasılığı: 1 - a dır.
4
4 3
Buna göre, a = — ise 1 -a = 1------= — olur.
7
7 7
13.
CEVAP E
Çember üzerinde C ve E noktaları olduğundan
C yi alıp E yi atalım ya da E yi alıp C yi atalım.
17.
Berabere kalma olasılığı: a ise
Galip gelme olasılığı: 2a
fUJ
i
+E
n
UJ
3
Yenilme olasılığı: ~
O
= 6 + 6 = 1 2 olur.
Üç olasılığın toplamı 1 olduğundan
CEVAP D
a + 2a + — = 1
8
14.
3M
5K
Uygun durumlar:
2M2K + 3M 1 K
8
'5'
A
f 5l + ( 3N
= 3-10 + 1-5
UJ u , A
5
a =—
24
=30 + 5 = 35 olur.
5
5
Galip gelme olasılığı: 2a = 2 ------ = — olur.
24
12
CEVAP D
CEVAP B
245
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
18.
21.
A ve B ayrık olaylar olduğundan
A olayı:
P( A u B ) = P(A) + P(B) dir.
T T T T Y Y + T T Y Y T T + •••
0,72 = 0,32 + P(B)
olaylarının toplamı.olduğundan bunların sayısı tekrarlı
permütasyonla,
P(B) = 0,4
P(B) + P(B')= 1
6!
4! 5 -6
0,4 + P(B') = 1
4!2!
4!- 2
= 15 bulunur.
Örnek uzay E ise:
P(B') = 1 - —
2 2 •2 •2 •2 • 2 = 26 = 64 =5>s(E) = 64
$ defa
P(B’) = — olur.
5
s(E) - s(A) = 64 -1 5 = 49 olur.
CEVAP C
CEVAP D
19.
P ( A ') = — ,
P (A ) =
1- — = —
P (B ).
I
P ( A 'r > B ') ı
P[(A WB)'] = -1
(T + Y)4 = T4 + 4T3Y + 6T2Y2 + 4TY3 + Y4
ile ifade edilebilir.
P [(A ^ B )] = 1 - İ . |
CEVAP C
P ( A u B ) = P ( A ) + P (B ) - P (A n B )
2
1 1
— = — + — -P (A n B )
3
—
3
=
4
2
—-
P (A n B ) = > P ( A n B )
4
= — olur.
12
CEVAP E
20.
22. Bir para 4 defa atıldığında ortaya çıkan tüm olayların
kümesi (evrensel küme):
A ile B ayrık olaylar ise
P(AnB) = P(A)-P(B) olmalıdır.
Buna göre, P(AnB) = P(A) + P(B) yanlıştır.
CEVAP E
246
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
ÇÖZÜMLÜ T E S T - 1 4
4.
Bir torbada 2 kırmızı, 6 mavi, 4 yeşil bilye vardır.
Olasılık ile ilgili uygulamalar: 2
Bu torbadan rastgele seçilen bir bilyenin kırmızı veya
mavi gelme olasılığı kaçtır?
1.
Bir torbada 4 mavi, 6 yeşil top vardır.
A)
b>7
E> f
Bu torbadan rastgele çekilen iki topuh farklı renkte
olma olasılığı kaçtır?
b> 4
C)
12
D)
E)
4 ü bozuk olan 9 kaset içinden rastgele 2 kaset çekiliyor.
2.
3 kız 4 erkek yuvarlak bir masa' etrafında rastgele
oturuyor.
t
5'
a
Çekilen iki kasetin de bozuk olma olasılığı kaçtır?
Üç kızın yan yana oturma olasılığı kaçtır?
A)
' 18
;A),
2"
B)
C)
D)
Bir torbada 5 mavi, 6 beyaz, 4 kırmızı biiye vardır. Bu
torbadan rastgele çekilen üç bilyeden en az ikisinin
beyaz olma olasılığı kaçtır?
91
E> ?
C )¥
E)
6.
3.
B> Î I
E)
Bir torbada aynı büyüklükte 4 kırmızı, 5 beyaz, 7 yeşil
kalem vardır.
Bu torbadan rastgele alınan bir kalemin kırmızı ya da
beyaz olma olasılığı kaçtır?
A> 1 ?
135
247
b> 7 ?
C> I
D> ^ i
E> W
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
7.
11. İkisi kardeş olan 8 kişi bir sırada yan yana oturacaklardır.
Üzerlerinde 1, 1, 3, 4, 5 rakamlarından biri yazılı olan
beş kart bir torbaya konuyor.
Kardeşlerin yan yana oturma olasılığı kaçtır?
Bu torbadan rastgele üç kart çekildiğinde, kartlarda
yazılı rakamlarla oluşturulan üç basamaklı sayının
3 ile böiünebilen bir sayı olma olasılığı kaçtır?
2
A> 7
8.
B>I
c)
D)
A)
D)
E)
12. 4 evli çift (karı-koca) yuvarlak bir masa etrafında rastgele
oturup yemek yiyorlar.
Bu torbadan rastgele çekilen üç bilyenin, üçünün de
kırmızı olma olasılığı kaçtır?
5
15
3
5
71
B> 8 ?
C ) 7Î
D )i î
Her kadının kocasının yanında oturmuş olma olasılığı
kaçtır?
15
E )H
A) T
9.
C)
E> t
Bir torbada 8 beyaz, 6 kırmızı bilye vardır.
A)
B)
B )İ
C)İ
D> ÎÖ 5
E)
105
13. 6 evli çiftin bulunduğu bir gruptan rastgele iki kişi seçiliyor.
Seçilen iki kişinin karı-koca olma olasılığı kaçtır?
Bir torbada 2 beyaz, 4 siyah, 6 mavi bilye vardır.
Bu torbadan aynı anda çekilen iki bilyeden birinin
beyaz, diğerinin siyah olma olasılğı kaçtır?
A)
12
B)
C> 4
D)
E)
11
A) T
10.
14.
Bir torbada 5 beyaz, 4 mavi top vardır.
Bu torbadan rastgele alınan iki topun ikisinin de
aynı renkte olma olasılığı kaçtır?
2
B) 3
1
C> 3
Bir torbadan 5 beyaz, 4 mavi top vardır.
Bu torbadan çekilen üç toptan en az ikisinin mavi
olma olasılığı kaçtır?
D )|
A> ^
248
b> £
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
18. Bir torbada eşit sayıda mavi ve beyaz bilyeler vardır.
15.
Rastgele alman iki bilyenin aynı renkte olma olasılığı
Şekildeki doğru üzerindeki yedi noktadan rastgele
seçilen herhangi üç noktadan en az birinin A ile E
arasında olma olasılığı kaçtır?
A> 7
16.
28
B) 3^
_ 6
C) 7
. 31
* 35
14
olduğuna göre, torbada toplam kaç bilye vardır?
29
r_4 32
* 35
A) 30
{1,2, 3,4, 5,6, 7, 8, 9}
o f
D) 24
E) 22
eşit, tek sayıların gelme olasılığı eşittir. Fakat her çift
sayının gelme olasılığı, tek sayıların gelme olasılığının
iki katıdır.
I
18
C) 26
19. Bir zar şu şekilde üretilmiştir. Çift sayıların gelme olasılığı
kümesinin elemanlarından seçilen iki sayının
çarpımının tek sayı olma olasılığı kaçtır?
B)
B) 28
D>?
E>?
i
Bu zar bir kez atıldığında üst yüzde asal sayı gelme
olasılığı kaçtır?
I
°>İ
17. İsimleri farklı 5 öğrencinin isimleri birer karta yazılıp bir
Her öğrencinin kendi isminin bulunduğu kartı çekme
olasılığı kaçtır?
1024
B) 256
C)
128
D)
120
E)
D>?
E> f
20. 3 mektup 4 posta kutusuna rastgele atılıyor. Her posta
kutusunda en çok bir mektup bulunma olasılığı
kaçtır?
torbaya konuyor. Sonra bu 5 öğrenciye torbadan birer
kart çektiriliyor.
A)
o f
A)
24
249
B)
of
D)
E)
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
21 . Bir düzgün dörtyüzlünün yüzleri 1 ,2 ,3,4 ile numaralanıp
24. 6 tane tek, 5 tane çift sayıdan ikisi rastgele seçiliyor.
Seçilen bu sayıların çarpımının tek sayı olma olasılığı
kaçtır?
havaya atılıyor.
Yan yüzlerine gelen sayıların toplamının asal sayı
olma olasılığı kaçtır?
A>£
A)
°>!
C> 8
°> 4
11
C )4
D )T
E> 8
25.
22.
B)
Bir grupta 4 kız, 5 erkek öğrenci vardır.
Bu gruptan seçilen 4 kişilik bir ekipte kız ve erkek
sayılarının eşit olma olasılığı kaçtır?
Bir torbada mavi ve beyaz renkli 24 bilye vardır. Bu
torbadan rastgele çekilen bir bilyenin mavi olma olasılığı
2
-tü r
c)
D)
16
Bu olasılığın y olması için torbaya kaç tane daha
mavi bilye konmalıdır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
26.
Kitap fuarını gezen 6 kişiden her biri A. veya B
kitaplarından birini satın alıyor.
. 'V1:; {.
6 kişinin de Ayı almış olma olasılığı kaçtır?1
sİ
C> « = - - ( A ^ 6 4
(3 >
A)
23.
CEVAP ANAHTARI
Şekildeki 6 nokta doğru üzerinde C ve D noktaları çember
üzerindedir.
Bu noktalardan seçilecek herhangi iki noktadan
en çok birinin çembere ait olma olasılığı kaçtır?
A> !
B> ?
c>7
°>f E>!
1. B
2. D
3. D
4. A
5. E
6. E
7. C
8. D
9. D
10. A
•11. B
12. E
13. E
14. A
15. D
16. B
17. D
18. A
19. D
20. B
21. A
22. D
23. C
24. B
25. E
26. D
250
E )^
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
TEST- 1 4 ÇÖZÜMLERİ
4M
6Y
-
MY C(4,1)-0(6.1)
4-6
C(10,2)
45
2K
6M
4Y
= — olur.
45
1K veya 1M bilye çekilmesi
E olayı: 1 bilye çekilmesi
P,M
CEVAP B
2.
A olayı:
s(A)
C(2,1) + C(6,1)
2+6
E : tüm oturuşlar
12
S(E) = (7 - 1)! = 6!
= — olur.
A : 3 kızın yan yana gelmesi
3K - » 1K + 4E = 5
CEVAPA
ş(A): (5 -1)! •3! = 4! - 3!
P(A)
= s(A) _ 4! -6 = 1
— olur.
' s(E)
4I5-6 _ 5
4B
5S
CEVAP D
A olayı:
2B kaset çekilmesi
E olayı: 2 kaset çekilmesi
I
s(A)
P(A):
5M
6B
4K
“
1
A olayı :
C(4,2)
6
s(E) ~ C(9,2)
36
1
2B1 Diğer renk + 3B
E olayı: 3 top çekilmesi
P^A )- f ( A ) _ C(6.2)-C(9.1)^C(6,3)
s |İ)
CEVAP E
C(15,3)
15-9 + 20
5*7-13
4K
5B
7Y
155
5-7-13
A olayı:
Kırmızı ya da beyaz bir kalem çekilmesi
E olayı: 1 kalem çekilmesi
İl
91
P(A):
s(A)
C(4,1) + C(5,1)
s(E)
C(16,1)
= 4+5
CEVAP D
16
9
16
CEVAP E
251
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
7.
11.
s(E):C(5,3) = 10
A: 345,135,135,114
4.
öteki bir
E olayı: tüm oturuşlar
s(E) = 8!
A olayı: iki kardeşin yan yana oturması
s(A) = 4
2K -> 1
P(A) =
= — => P(A) = — olur.
s(E)
10
5
6 + 1= 7
S(A) = 7! 2!
CEVAP C
P(A) =■
s(A)
7!-2
s(E)
8!
7!-2
7!-8
8.
8B
6K
P(A)
J_
20
_______
C(6,3)
4
C(14,3) ~ 14 13-2
5
CEVAP B
” 91
CEVAP D
9.
2B
P(A) =
4S
C(2,1)C(4,1)
C(12,2)
6M
2-4
66
12. E olayı: 4 evli çiftin (8 kişi) yuvarlak masada oturması
4
33
S(E)= (8 1)! —7!
CEVAP D
m £ ,;,K.
A olayı: Her kadının kocasının yanında oturması
2Ki(KE)-+ 1Ki
s(A) = (4-1 )! • 2! • 2! • 2! • 2! = 3! • 16
2! = 1 çiftin kendi arasında yer değiştirmesi
10.
5B
4M
P(A) =
C(5,2) + C(4,2)
C(9,2)
10 + 6
P(A) =
36
s(A)
3! -16
s(E)
7!
16
4-52
105
CEVAPA
CEVAP E
252
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
13.
E olayı:
16.
(1, 2,3,4. 5. 6, 7. 8. 9}
6 evli çift (12 kişi) arasından rastgele iki kişi seçilmesi
Tr T2 = T3 olduğundan seçilen iki sayı da tek olmalıdır.
s(E);
'1 2 |
12-11
l 2;
2
66
C(5,2)
"
10
P (A ) = •
C(9,2)
36
A olayı: Seçilen iki kişinin karı-koca olması
5_
'6'
” 18
s(A) =
P (A ) =
CEVAP B
s(A)
6
s(E)
66
= J_
11
~
CEVAP E
14. -
17. öğrenciler A, B, C, D, E ise
2M1B + 3M
5B
4M
A
C(4,2) ■C(5,1) + C(4,3)
P (A ) =
C(9,3)
6 -5 + 4
P(A) =
B
C
D
E
2
1
1
1
1
5
4
3
2
1
1
120
84
CEVAP D
P (A ) =
P (A ) =
CEVAPA
18.
" I '}£•!' rr.-i:
15.
A
B
C
2 mavi veya 2 beyaz
P (A ) =
D
C(2a,2)
E olayı: 7 noktadan 3 nokta seçilmesi
•
n 3/ r
a (a-1) t a(a-1)
P (A ) =
s(E)=uJ=35
B, C,
P (A ) =
D nin seçilmemesi
P (A ) =
'4'
s(A)
13J 13
J '-l4
3 5 -4
2a(a-1)
2a(2a-1)
a -1 = 14
29
29a-2 9 = 28a-1 4
a = 15
Torbadaki toplam bilye sayısı:
= s(A) = 31
s(E)
2
2a(2a -1)
2 a -1
s(A) = 31
P (A )
2
2
A olayı: Seçilen 3 noktadan en az birinin Aile E arasında
olması
s(A) : Tüm durumlar -
C(a,2)+C(a,2)
35
2a = 2-15 = 30 olur.
CEVAP D
CEVAPA
253
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
21 . Düzgün dörtyüzlünün yüzlerinde 1, 2, 3 ,4 yazılı olduğu
19. Bir tek sayının gelme olasılığı: x ise
bir çift sayının gelme olasılığı: 2x
için bu dörtyüzlü 3 yazılı yüzünün üstüne oturursa yan
yüzlerinde 1 ,2 ,4 bulunur.
3 tek sayı olduğu için tek sayı gelme olasılığı: 3 - x
Bunların toplamı da 1 + 2 + 4 = 7 asal sayı olur.
3 çift sayı olduğu için çift sayı gelme olasılığı:
3 ün üstüne oturması
dört farklı yüz.
P(A) = 4-_
3 •2x = 6x
CEVAPA
P(T) + P(Ç) = 1 olduğundan
1
3x + 6x = 1^>x = — olur.
9
_
22 .
p <m ) = - 2 —
24
a M
24-a B
Buna göre, tek sayı gelme olasılığı: ~
?•
3
3a = 48
a = 16
1
2
x tane mavi bilye atalım.
Çift sayı gelme olasılığı: 2 — = —
9 9
16M
8B
Zardaki asal sayılar 2, 3, 5 olduğundan, zar bir kez
atıldığında asal sayı gelme olasılığı
P(M) =
2
9
5
112 + 7x = 120 + 5x
2x = 8
P(A) = P(2) + P(3)+ P(5)
P(A)=
16 + x
24+ x ' 7
x = 4 olur.
1 1 4 .
■+ — + — = — olur.
9 9
9
CEVAP D
CEVAP D
1
23.
20. E : 3 mektubun 4 posta kutusuna atılması
C \V
s(E) = 43 = 64
yD
E olayı: 6 noktadan herhangi ikisinin seçilmesi.
A olayı: Her posta kutusunda en çok 1 mektup bulunması.
' (6'
= 15
s(E):
s(A): 4 kutudan 3 ünü
C(4,3) = 4 farklı şekilde seçip
A : Seçilecek iki noktadan en çok birinin çembere ait
olması.
seçtiğimiz 3 kutuya bu mektupları 3! = 6 farklı şekilde
atabiliriz. Buna göre,
s(A): Tüm durumlar - C ve D nin birlikte bulunması.
s(A) = 4 -6 = 24
s(A) =
s(A) _ 24
P(A) = s(E)
64
UJ fAİii
= 1 5 -6 = !
C ve D yi attık.
— olur.
" 8
= J—L -=J—
L olur.
P(A) = i ^ - =
s(E)
15 ~ 5
CEVAP B
CEVAP C
254
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
24. 6 tek sayı, 5 çift sayı
26
E : 11 sayıdan herhangi ikisinin seçilmesi
11-10
11'
s(E) =
1. kişi
1
2
2. kişi
. 1
3. kişi
. 1
2
2
4. kişi
1
—
2
•
5. kişi
1
—
2
6. kişi
•
1 1 ,
— = — olur.
2
64
= 55
Bir kişinin A veya B den birini seçme olasılığı: — dir.
2
A olayı: Seçilen iki sayının çarpımının tek sayı olması.
CEVAP D
s(A):Tj-T 2 =T3 tek sayı olduğundan 2 tek sayı
'6^
seçilmelidir.
= 15
P(A) = İ ( A ) = J ! = J _
s(E)
55
11
CEVAP B
İ
2 5 .4 kız, 5 erkek
â*
2 kız + 2 erkek seçilmelidir.
C(4,2)C(5,2)
C(9,4)
6 10
• 126
10 .
— olur.
21
-.s.İM d i >
CEVAP E
255
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
ÇOZUMLU T E S T - 1 5
4.
8 resimden 5 i bir duvara yan yana asılacaktır.
Olasılık ile ilgili uygulamalar: 3
Belli iki resmin yan yana asılmış olma olasılığı kaçtır?
1.
Aynı sayıda mavi, Kırmızı, beyaz bilye bulunan bir
C)
A) T
torbadan rastgele çekilen iki bilyenin ikisinin de mavi
1
14
1
olma olasılığı — olduğuna göre, bu torbada kaç
12
bilye vardır?
A) 7
2.
B) 8
C) 9
D )10
E )11
5.
Bir torbada 2 tane beyaz, 5 tane siyah top vardır. Bu
torbadan geri atılmamak koşulu ile iki kez birer top
çekiliyor.
Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin sarışın
veya erkek olma olasılığı kaçtır?
Bu iki çekilişin birincisinde beyaz, İkincisinde siyah
top çekme olasılığı kaçtır?
A) J f
3.
B)
C)
10_
45
D)
20
49
E)
54
70
B> ?
Bir sınıftaki öğrencilerin % 60 ı erkektir. Erkeklerin % 20 si,
kızların % 30 u gözlüklüdür.
6.
Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüksüz
kız öğrenci olma olasılığı kaçtır?
3
A> 2 5
7
B>2 5
9
C> 5 Ğ
17
° > İĞ
Bir sınıftaki 15 erkek öğrenciden 7 si, 13 kız öğrenciden
6 sı sarışındır.
21
E> İĞ
°> 4
E>^ 7
Bir atölyedeki üretimin % 30 u A makinesinde, % 70 i
B makinesinde yapılmaktadır. A makinesi % 6
oranında, B makinesi % 2 oranında hatalı ürün
verdiğine göre, rastgele seçilen bir ürünün hatalı
olma olasılığı kaçtır?
A)
256
C> 9
1
125
B)
125
C)
8
125
D)
21
100
E)
21
500
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
7.
11. 52 lik bir iskambil destesinden rastgele bir kart çekiliyor.
Bir sınıftaki öğrencilerin % 25 i matematik, % 20 si fizik,
% 15 i de hem matematik hem fizikten başarılı olmuştur.
Bu kartın kırmızı olduğu bilindiğine göre, kupa olma
olasılığı kaçtır?
Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin fizikten
geçtiği bilindiğine göre, matematikten de geçmiş
olma olasılığı kaçtır?
A ) f
8.
B ,1
C ) f
D ) f
1
a> 2
9.
D)ır
1
A) 6
E)i
C) T
D)
14.
Bu gruptan rastgele seçilen bir kişinin keman çaldığı
bilindiğine göre, gitar da çalma olasılığı kaçtır?
d >7
1
C) 3
1
2
° > Î5
E> Î 5
64
10. Keman veya gitardan en az birini çalan bir grubun
% 75 i keman, % 50 si gitar çalmaktadır.
C> 3
1
B) 5
E)
A> i
A> ?
e> ?
Bu torbadan rastgele çekilen bir kartın üzerinde 5 ile
bölünemeven bir savının yazılı olma olasılığı kaçtır?
Kapının ücüncü denemede açılma olasılığı kaçtır?
B)
1
d> ?
13. iki basamaklı rakamları farklı doğal sayıların her biri ayrı
ayrı kartlara yazılıp bir torbaya konuyor.
8 adet anahtardan bir ve yalnız bir tanesi bir kapının kilidini
açabilmektedir.
A)
1
12. İki zar birlikte atılıyor. İki zarın üst yüzüne gelen
sayıların farklı olduğu bilindiğine göre, bu sayıların
toplamının 9 dan büyük olma olasılığı kaçtır?
345 rakamlarının yan yana gelme olasılığı kaçtır?
C )z
1
c> 7
E ) £
1,2, 3,4, 5, 6 rakamları rastgele yan yana yazılıyor:
B> i
1
b>î
B) î
c> i
D)
E)
81
4 evli çiftten oluşan 8 kişilik bir gruptan rastgele 4 kişi
seçiliyor.
Her evli çiftten birer kişi seçilme olasılığı kaçtır?
A)
E)
257
15
B)
35
C)
35
D)
E)
10
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
15.
İki torbanın birincisinde 3 mavi, 5 beyaz İkincisinde 1 mavi
7 beyaz bilye vardır. Bu torbaların her birinden aynı anda
birer bilye çekiliyor.
19.
Çekilen bilyelerin farklı renkte olma olasılığı kaçtır?
A> i
b>î ?
c>i
Birinci torbada 1 beyaz 5 mavi, ikinci torbada 3 beyaz,
1 mavi top vardır. Birinci torbadan bir top çekilip rengine
bakılmaksızın ikinci torbaya atılıyor.
Daha sonra İkinci torbadan bir top çekildiğinde bu
topun mavi olma olasılığı kaçtır?
D> i E>1
8
A> Î 5
20.
16. Bir öğrenciden boş bir kağıda iki basamaklı bir sayı
yazması isteniyor.
11
B ) 24
11
C> 3 Ğ
13
D>3Ğ
3
E>7Ğ
A torbasında 4 mavi, a tane beyaz, B torbasında 5 beyaz,
3 kırmızı top vardır. Her iki torbadan birer top çekiliyor.
Bu öğrencinin 3 veya 4 ile tam bölünebilen bir sayı
yazmış olma olasılığı kaçtır?
iki topun da aynı renkte olma olasılığı
1
A )7
A) 3
16
olduğuna
göre, a kaçtır?
2
B> 7
7
C> Î 7
22
°> 4 5
1
E> 2
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
E
t
S
21 . Bir torbada 3 beyaz 5 siyah bilye vardır. Bu torbadan ard
17. Bir çift zar atılıyor. Zarlar üzerindeki sayılar
arda üç bilye çekiliyor.
çarpımının tek sayı olduğu bilindiğine göre, bu
çarpımın asal sayı olma olasılığı kaçtır?
A)
B)
C)
D)
Çekilen bilyelerin ikisinin beyaz, birinin siyah renkte
olma olasılığı kaçtır?
E)
3
A) 56
22.
18. Bir çift zar birlikte atılıyor. Zarlar üzerindeki sayılar
B)
c>!
. 5
C) 56
3
D) 28
15
E) 56
Bir torbada 5 sarı, 3 mavi, 2 kırmızı bilye vardır.
Bu torbadan rastgele çekilen üç bilyeden en az birinin
mavi olma olasılığı kaçtır?
toplamının 8 geldiği bilindiğine göre, çarpımlarının
tek sayı olma olasılığı kaçtır?
A)
1
B) 14
B)
E> î
258
20
O) T
<
E> f
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
23. Birinci torbada 2 beyaz, 3 siyah
26.
ikinci torbada 1 beyaz, 3 siyah
Üçüncü torbada 3 beyaz, 1 siyah top vardır.
Problemin en çok biri tarafından çözülme olasılığı
kaçtır?
Bu torbalardan biri rastgele seçilip bir top çekiliyor.
Çekilen topun siyah renkte olma olasılığı kaçtır?
3
A> 4 Ğ
8
B> î ?
3
C )5
1
°> â ö
Bu servisten hizmet içi eğitime gönderilmek üzere 2 usta
ve 3 kalfadan oluşan 5 kişilik bir ekip seçilecektir.
Seçilecek ekipte ustalardan A ile kalfalardan B nin
bulunma olasılığı kaçtır?
A)
‘>!
2
A )5
27
E> i ?
24. Bir otomobil servisinde 4 usta ve 6 kalfa çalışmaktadır.
2
Bir problemi Özge'nin çözme olasılığı — , Mehmetcan'ın
4
3
çözme olasılığı — tir.
â
3
w
8
C )î?
3
D )5
14
E> 7 ?
2 7 - A nın bir hedefi vurma olasılığı — , B nin aynı hedefi
5
8
vurma olasılığı — dır.
Aynı hedefe aynı anda ateş ettiklerinde hedefin yalnız
biri tarafından vurulma olasılığı kaçtır?
A)
E> !
7
B )î ?
43.
48
14
3
B>î?
°>ü
E)
CEVAP ANAHTARI
25.
A, B, C, D, E, F harfleri bir satıra rastgele yazılıyor.
Sesli harfler arasında en az bir sessiz harf bulunma
olasılığı kaçtır?
B)j
C)
E> 5
259
1. C
2. A
3. B
4. C
5. D
6. B
7. C
8. D
9. A
10. c
11. A
12. E
13. E
14. B
15. D
16. D
17. E
18. B
19. C
20. B
21. E
22. D
23, B
24. A
25. C
26. B
27. E
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
t e s t -1 5 ç ö zü m ler i
4.
1.
-
a M r
a K
a B
p ( a )=
C(a'2 >
C(3a,2)
E : 8 resimden 5 inin bir duvara yan yana asılması
f 8^
s(E) =
A : Belli iki resmin yan yana asılmış olması
S(A) = | 5 J4! 2! = 10-2-4! = 20-4!
a -1
3(3a-1)
•5! = 56-5!
UJ
a(a-1)
2_______ a(a-1)
P(A) = 3a(3a-1)
3a(3a -1)
2
12
9 a -3 = 1 2a -1 2
3a = 9
□ □
a=3
1
•4!-2!
X X X
re sim g ibi
4 re sim
_ ,A. s(A)
P(A) - —
s(E)
Torbada 3a = 3 •3 = 9 bilye vardır.
20-4!
20-4!
56-5!
56-4!-5
1 .
= • — olur.
14
CEVAP C
CEVAP C
e
I
2.
15 E
B S
2B
5S
i
2_ 5_ = _5_
7
6
5-
21
13 K
s
n/A. 15 + 6
21 3 .
P( A) = ----------= — = — olur.
28
28 4
S
8
7
©
7
CEVAPA
CEVAP D
6.
3.
Gözlüklü : G
60 E
G
G'
48
70 B
H
1.8
1,4
gözlüksüz : G' olsun.
40 K
G
G’
oo
7
100
25
P(A) =
12
30 A
H
12 i
olur.
Hatalı ürün: 1,8 + 1,4 = 3,2
1,8+ 1,4 = 3,2
100
32
100 1000
= 4
olur.
125
CEVAP B
CEVAP B
260
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
10. Grup 100 kişi olsun.
7.
0
0
M nin F koşulu olasılığı yazılırsa:
G nin K koşullu olasalığı yazılırsa,
,
P(MnF)
s(MoF)
P(F)
s(F)
P(G|K) = P(K)
s(K)
= 25
20
75
= — olur.
= — olur.
3
CEVAP C
CEVAP C
11 . A olayı:Çekilen kartın kupa olması.
8.
B olayı: Çekilen kartın kırmızı olması.
E : tüm sıralanışlar
A nın B koşullu olasılığı:
s(E) = 6!
P(A|B) = - ^ ^ P(B)
A : 345 in yan yana gelmesi
345 ->1
1,2,6 -> 3
s(AnB)
s(B)
3 + 1 = 4 eleman gibi düşünelim.
__13_
s(A) = 4!-3!
26
D.A. s(A) 4!-3!
6
1 .
P(A) = v ' = --------- = --------= — olur.
s(E)
6!
5-6
5
1
olur.
CEVAPA
CEVAP D
12. B olayı: İki zarın farklı gelmesi
9.
s(B)= 30
8 anahtar olduğu için
A olayı: Zarlar üzerindeki sayılar toplamının 9 dan büyük
gelmesi
A : (4,6), (5,6), (6,4), (6,5)
kapının birinci denemede açılma olasılığı:
S(A) = 4
A nın B koşullu olasılığı yazılırsa,
7 anahtar olduğu için ikinci denemede açılma olasılığı:
P(A B) = .
P(AnB)
P(B)
s(A a
B)
s(B)
6 anahtar olduğu için üçüncü denemede açılma
1
olasılığı : ~ olur.
olur.
CEVAPA
CEVAP E
261
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
13.
16. E : İki basamaklı sayılar kümesi
E : İki basamaklı rakamları farklı sayılar kümesi
a b
| 9 | 10 | =>9-10 = 90
a b
| 9 | 9 | => 9 -9 = 81
. s(E) = 90
s(E) = 81
A : 3 veya 4 ile tam bölünebilen sayılar kümesi.
A : 5 ile bölünmeyen iki basamaklı rakamları farklı sayılar
kümesi:
3 ile bölünenler: s(3) = 90 : 3 = 30
4 ile bölünenler: s{4) = 90 : 4 = 22
5 ile bölünenleri 81 den çıkaralım.
3 ve 4 = 3 - 4 = 12 ile bölünenler:
a b
|H I 8 1.11=>8-1 = 8
9 11 I =>9-1 = 9
12
i
0 '
9 6 -1 2
£ x £96:
1=7+1=8
12
s(3 veya 4) = s(3) + s(4) - s(12)
8 1 -1 7 = 64
= 30 + 2 2 -8
64
P(A) = —— olur.
81
-4 4
....
s(A)
44
22 .
P(A)= -1—L = — = — olur.
s(E)
10 45
CEVAP E
CEVAP D
14. Olaya A diyelim
17. B olayı : Zarlar üzerindeki sayılar çarpımının tek sayı
olması.
P(A) =
8
B olayının gerçekleşmesi için iki zarın da tek gelmesi
gerekir. Buna göre,
4
s(B) = 3-3 = 9
2 2 2-2
P(A):
70
A : Zarlar üzerindeki sayılar çarpımının asal sayı olması.
olur.
A: (1,3), (1,5), (3,1), (5,1)
35
s(A) = 4
CEVAP B
p(A) = - ^ - = — olur.
9
S(E)
15.
3M
5B
1M
7B
1. torba
2. torba
CEVAP E
18. B : Zarlar üzerindeki sayılar toplamının 8 gelmesi.
(2,6), (3.5), (4,4), (5,3), (6,2) => s(B) = 5
1. torba 2. torba 1. torba 2. torba
B
M
7
5
1
8
8
8
5
26
13
64
64
32
M
B
3
8
+
A : Zarlar üzerindeki sayılar çarpımının tek sayı olması.
(3,5), (5,3) => s(A) = 2
21
64
x
s(A nB) = 2
A nın B koşullu olasılığı:
olur.
p (a | b
)=
=
P(B)
CEVAP D
=
2
s(B)
5
o lu r .
CEVAP B
262
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
22. n
19.
1B
5M
3B
1M
1. torba
2. torba
5S
3M
2K
1M2D + 2M1D + 3M
P(A) = -
1. d u ru m :
C(10,3)
1. torbadan B.çekip 2. ye atalım, 2. den mavi çekelim.
P(A) =
6
5
C(3f1) •C(7,2) + C(3,2) • C(7,1) + C(3,3)
a
30
3-21 + 3-7 + 1
120
....
85
17 .
P(A) = -------= — olur.
120
24
CEVAP D
2. d uru m :
1. torbadan M çekip 2. ye atalım, 2. den mavi çekelim.
5
2
6
5
10
iti
30
-
23. 2B
3S
1B
3S
1 .torba
2. torba
[T] ve [2 ) deki sonuçlar toplanırsa
1
10
11 .
— + — = — olur.
30 30
30
S
20.
3B
1S
3. torba
\
f
CEVAP C
1
5
4
4
(4 )
(5 )
(5 );
1 ( 12 + 15 + 5
4M
aB
5B
3K
31
20
1 32 _ 8
A
B
3
olur.
20 ~ 15
Beyaz • beyaz
a
5
4 +a
8
a
CEVAP B
5
16
_ J_
4+i " 2
24. 4 usta, 6 kalfa
2a = 4 + a
E : 2 usta 3 kalfa seçilmesi
a = 4 olur.
CEVAP B
21. 1
3B
5S
P(A) =
6 - 2 0 = 120
S(E):
C(3,2)-(5,1)
A olayı: A nin yanına 1 kişi B nin yanına 2 kişi seçilmesi
C(8,3)
(3
a
n ,M 3-5
15 .
P(A)=------ = — olur.
56
56
0
= 3-10 = 30 =>s(A) = 30
P(A) = M
= J L = i 0,ur.
s(E)
120
4
(Belli sırada belli rengin gelmesi istenmedikçe ard arda
çekjm ile birlikte çekim aynıdır.)
CEVAPA
CEVAP E
263
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
25.
27.
A, B, C, D, E, F harfleri veriliyor.
E olayı: A, B, C, D, E, F nin bir satıra yazılması.
Vurma olasılığı
A:
s(E) = 6!
Aolayı: Aile E arasında en az bir sessiz harf bulunması:
B:
Vuramama olasılığı
1
8
8
5
'1
6
Tüm durumlar - A ile E arasında hiç sessiz harf
bulunmaması
= 61-5! 2! = 51(6-2) = 51-4
D/AX s(A) 5!-4
2 .
P (A )= - V - = --------= — olur.
s(E) 5! -6
3
A
B+ A B
3
1 | 5
5 = 3 | 25
8
6
6
8
48
48
28
48
CEVAP C
= — olur.
12
CEVAP E
26.
Çözme olasılığı
Çözememe olasılığı
Özge:
Mehmetcan:
Ö- M
Ö- M
Ö- M
A .l
J_4_
J_ _ı
3
5
3
5
3
5
2
4
1 7 ,
— + t — + — = — olur.
15 15
15
15
CEVAP B
264
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
ÇOZUIVILU TEST- 1 0
4.
Olasılık ile ilgili uygulamalar: 4
1.
İçinde 5 kırmızı, 4 turuncu top bulunan bir torbadan
iadesiz olarak ard arda üç top çekiliyor.
A> f f
D)
■
' 124
B> Î 8
O f
A> 8
Çekilen her topun öncekinden farklı renkte olma
olasılığı kaçtır?
D)
21
E )^ 1 126
{1,2, 3,4, 5,6}
Bir madeni para 6 kez atılıyor.
kümesinin hiçbiri diğerinin alt kümesi olmayacak şekilde
en çok a tane ait kümesi vardır.
4 kez tura, 2 kez yazı gelme olasılığı kaçtır?
Bu alt kümelerde 5 in eleman olarak bulunma olasılığı
kaçtır?
A> f
A)
3.
Her birinde 5 beyaz 3 kırmızı top bulunan iki torbanın
birincisinden bir top alınıp İkincisine sonra da
İkincisinden bir top alınıp birincisine atıldığında renk
bakımından ilk durumu elde etme olasılığı kaçtır?
B) 3
C)
1
B> 4
c )f f
» S
o f
D>?
A kutusunda 5 mavi 3 siyah, B kutusunda 2 mavi, 6 siyah
kalem vardır. Her iki kutudan rastgele birer kalem
çekiliyor.
6.
Bir para dört kez atılıyor.
İlk atışta tura geldiği bilindiğine göre, diğer üç atıştan
en az birinde yazı gelme olasılığı kaçtır?
Çekilen kalemlerin aynı renkte olma olasılığı kaçtır?
A)
B)
16
C)
16
D) 4
E)
A) 4
32
265
o f
Of
D> f
of
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
7.
11. Bir çift zar atılıyor.
I. kutuda 4 beyaz, 3 siyah, II. kutuda 3 beyaz, 5 siyah top
vardır. Bir zar atılıyor, zardaki sayı dörtten büyük gelirse
I. kutudan, beşten küçük gelirse II. kutudan bir top
çekiliyor.
Zarlardan birinin 4 geldiği bilindiğine diğerinin tek
bir sayı gelme olasılığı kaçtır?
Çekilen topun beyaz olma olasılığı kaçtır?
A> 2
O İf
A> I
8.
37
5
°> 8 4
E> î ?
B> 3
C> Î T
D> 1
e >7T
12. Aralarında A ve B isimli oyuncuların da bulunduğu 8
oyuncu arasından 5 kişilik bir takım kurulacaktır. A
nin takımda yer aldığı bilindiğine göre, B nin de yer
alma olasılığı kaçtır?
Beş atıştan üçünde isabet kaydeden bir kimse bir hedefe
ateş etmektedir.
İlk isabetin üçüncü atışta olma olasılığı kaçtır?
A> 2 5
12
B> Î2 5
16
C> Î2 5
°> 2 5
A> f
18
E> 125
İki kutudan bir mavi, diğeri yeşil boyalıdır. Her iki kutunun
içinde 4 mavi, 3 yeşil kalem vardır.
B)
°> 4
c> ı
E)
l
24
343
E> 7
14. A torbasında 2 kırmızı 5 mavi, B torbasında 3 kırmızı,
4 mavi top vardır. Kutulardan biri rastgele seçilip içinden
bir top çekiliyor.
Kutuların seçilme şansı, içlerinde bulunan mavi top
sayısı ile orantılı olduğuna göre, çekilen topun mavi
olma olasılığı kaçtır?
Çekilen topun kırmızı olma olasılığı kaçtır?
B> f
o
A> 1
10. A torbasında 3 kırmızı, 7 siyah B torbasında 2 kırmızı
8 siyah top vardır. Torbalardan rastgele seçilen birinden
bir top çekiliyor.
A )f
E)
C)
% 13. Aynı hafta içinde doğdukları bilinen dört kişiden
üçünün doğum günlerinin aynı, dördüncünün farklı
bir gün olma olasılığı kaçtır?
Rastgele seçilen bir kutudan rastgele bir kalem
alınıyor. Kalemin seçilen kutu ile aynı renkte olma
olasılığı kaçtır?
A)
B> f
D> ?
A)
E>!
266
_16_
49
B> §
C)
13
21
D)
il
63
35
E) 49
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
19. Yarıçapı 12 cm olan bir çemberin içinde rastgele
alınan bir noktanın çemberin merkezine 8 cm den
daha uzak olma olasılığı kaçtır?
15. A torbasında 2 kırmızı, 8 turuncu B torbasında 4 kırmızı,
8 turuncu bilye vardır. Torbalardan biri rastgele seçilip
içinden bir bilye çekiliyor.
Çekilen bilyenin kırmızı olma olasılığı kaçtır?
3
A> 8
_ .4
B> Î 5
3
C> 4
8
1
D> 15
E> 3
A> 8
C>?
D)
E)
20. Bir kenarı 14 cm olan bir karenin içinde rastgele bir
nokta alınıyor. Bu noktanın karenin herhangi bir
köşesine 6 cm den daha uzak olma olasılığı kaçtır?
(tc=3 alınız.)
16. A torbasında 2 yeşil, 8 mavi
B torbasında 4 yeşil, 8 mavi top vardır.
Torbalardan biri rastgele seçilip bir top çekildiğinde yeşil
olduğu görülüyor.
A> İ
Bu topun B den çekilme olasılığı kaçtır?
A> !
B )6
B> 1
C)
40
47
D)
36
49
22
49
E)
• 3SİO
t
B )2
21.
17. A torbasında 2 kırmızı, 1 sarı
B torbasında 1 kırmızı, 5 sarı top vardır.
A torbasından bir top çekilip B ye atıldıktan sonra B den
bir top çekiliyor. Bu topun kırmızı olduğu görülüyor.
|AB| = 5 cm, |AC| = 12 cm dir.
İlk çekilen ve torba değiştiren topun sarı olma olasılığı
kaçtır?
A> î
b>t
c > ır
°>f
Bu dik üçgenin içinden rastgele bir nokta seçiliyor.
Seçilen bu noktanın köşelere uzaklığının 2 cm den
daha yakın olma olasılığı kaçtır?
E) T
A)
B)
C)
» i
E)
4
18. A torbasında 3 sarı, 4 mavi
B torbasında 5 sarı, 2 mavi top vardır.
Torbalardan biri rastgele seçilip bir top çekiliyor.
22.
İki oyuncunun bir madeni parayı atarak oynadığı bir
oyunda yazı atan oyunu kazanmaktadır.
Çekilen top mavi olduğuna B torbasından çekilmiş
olma olasılığı kaçtır?
Oyunu ilk başlayanın kazanma olasılığı kaçtır?
3
A> 4
2
B) 3
1
a> 3
o ,l
E)
267
1
B>-
C)f
3
°> 4
5
E> 8
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
27. 1 den 10a kadar sayılar yazılı 10 kart bir kutuya konuyor.
Bu kutudan iadesiz olarak rastgele 4 kart çekiliyor.
23. Üç basamaklı, rakamları farklı sayıların herbiri ayrı bir
karta yazılıp bir kutuya konuyor. Kutudan rastgele bir kart
çekiliyor.
Çekilen kartlardaki sayılar çarpımının çift bir sayı
olma olasılığı kaçtır?
Çekilen karttaki sayıda 3 ve 4 rakamlarından en az
birinin kullanılmış olma olasılığı kaçtır?
53
108
59
108
_
63
* 104
. 29
162
_
A)
34
^ 105
28.
B)
C)
30
D)
21
E)
42
Bir zar 6 kez atılıyor.
2 kez 6 rakamının, 4 kez de tek rakamların gelme
olasılığı kaçtır?
24. A kutusunda 3 beyaz, 5 yeşil
B kutusunda 2 beyaz, 4 yeşil bilye vardır.
A)
196
B)
196
C)
D)
96
64
E)
18
A kutusundan rastgele bir bilye çekilip B kutusuna
atılmakta ve sonra B kutusundan rastgele bir bilye
çekildiğinde bu bilyenin yeşil olduğu görülmektedir.
29. 4 evli çiftten oluşan 8 kişilik bir gruptan rastgele 4 kişi
seçiliyor.
Buna göre, A kutusundan B kutusuna aktarılan
bilyenin beyaz olma olasılığı kaçtır?
B)
14
C) .11
25
D) i l
37
E)
2 erkek 2 kadın seçilme olasılığı kaçtır?
J_8
49
16
A)
35
Bu çember üzerinde rastgele alınan bir B noktası için
AB kirişinin uzunluğunun yarıçap uzunluğundan
büyük olma olasılığı kaçtır?
A> !
D )I
E)
A) 7
26. 6 farklı hikaye kitabı 4 öğrenciye her birine en az bir tane
vermek koşuluyla dağıtılıyor.
C )¥
D )5
D)
35
E)
4
B )^ F
2
4
C )İT
D ) -5T
CEVAP ANAHTARI
Öğrencilerden herhangi birinin üç tane almış olma
olasılığı kaçtır?
A> i
18
C)
Buna göre, A nın dördüncü atışta oyunu kazanma
olasılığı kaçtır?
1
C)
35
30. A ve B tek bir zar atarak şu şekilde bir oyun oynuyor.
6 gelirse A, 1 gelirse B kazanıyor. 1 ve 6 gelmemesi
halinde biri kazanıncaya kadar zar yeniden atılıyor.
25. Bir çember üzerinde sabit bir A noktası veriliyor.
B ) 7n
B)
E>?
268
1. B
2. A
3. B
4. D
5. A
6. C
7. D
8. B
9. A
10. E
11. D
12. C
13. E
14. D
15. B
16. A
17. C
18. C
19. D
20. E
21. A
22. C
23. B
24. D
25. E
26. B
27. A
28. B
29. C
30. D
E)
81
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
t e s t -1 6 ç ö zü m le r !
KTK + TKT olmalıdır.
5K
4T
_5 _4 _4
9
8
A kutusu
B kutusu
5M
3S
6S
_4 _5 _3_
7
9
8
7
2M
80 + 60
9-8-7
/I
M
~ 9-8-7
5
2
5
5
8
8
32
S
S
140
olur.
18
CEVAP B
{1,2, 3, 4,5,6}
3
6 _
9.
8
8
32
MM + SS
5'tJ* 9
14
—
= — = — olur.
32 32
32
16
16
= 15,
( K
20,
‘1 5 , M = 6.
CEVAP B
1^4
3)
1 elemanlı alt kümeler birbirinin alt kümesi olamaz.
2 elemanlı alt kümeler
3 elemanlı alt kümeler
4 elemanlı alt kümeler
5 elemanlı alt kümeler
4.
6 elemanlı alt kümeler birbirinin alt kümesi olmaz.
3 elemanlı alt kümeler |
5B
3K
5B
3K
1 .torba
2 . torba
| = 20 en fazla olduğundan
a = 20 dir.
1. torbadan B çekip 2. ye atarsak 2. den de B çekilmelidir.
A : içinde 5 bulunan 3 elemanlı alt kümeler
IH f
| = 10
olduğundan 3 elemanlı alt kümelerin
iv
10 tanesinde 5 bulunur,
B. 5
6
30
8
9
72
1. torbadan K çekip 2. ye atarsak 2. den de K çekilmelidir:
s (A) =10
E : Üç elemanlı alt kümeler
K :l.± = ü
8 9
72
'6'
3 | = 20
s(E) = |
Buna göre, renk bakımından aynı durumun elde edilmesi
olasılığı:
P(A) = İ ( A ) = _i o = A 0,u,
s(E)
20
2
30
12
7 ,
— + — = — olur.
72
72 12
CEVAPA
CEVAP D
269
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
5.
4 kez T 2 kez Y
8.
T T T T Y Y + T T T Y T Y + - ' bu durumların hepsi
uygun olduğu için bunların sayısı:
6!
415-6
4!2!
4!2
vurma olasılığı
= 15
T T
2
2
T Y Y +••• .
( 1 ’ 1 1
1 1
2 2
2 2
1^
2
2
3
12
5 5 5
15 .
-15 = — olur.
64
olur.
125
CEVAP B
CEVAPA
6.
:—
vurmama olasılığı: ~
5
İlk isabetin üçüncü atışta olma olasılığı
Bunlardan birinin olasılığı 15 ile çarpılırsa:
T
Beş atıştan üçünde isabet kaydettiğine göre hedefi
mavi kutu
yeşil kutu
4M
3Y
4M
3Y
İlk atışta T gelmesi olasılığı : ~
Diğer üç atışta hiç yazı gelmeme olasılığı:
2
TTT- >—
2 2
2
4
7
1
-f. _
2
3
7_
7
14
—
8
= — olur.
2
En az bir yazı gelme olasılığı
£
w
1 10.
*
1 -1 = 1
8
8
1 7
7
istenen olasılık : -------- = — olur.
2 8
16
*=«
g
CEVAPA
A torbası
B torbası
r
n
3K
7S
2K
8S
CEVAP C
J_ J L
2 10
1
2
5
2
10
20
= 1 olur.
4
7.
4B
3S
3B
5S
CEVAP E
zardaki sayı 4 ten büyük gelsin : (5 veya 6)
2_ 4
6
11 . B olayı: zarlardan birinin 4 gelmesi
4
(4.1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5, (4,6)
(1,4), (2,4), (3,4), (5,4), (6,4)
s(B) = 11
A olayı: zarlardan birinin tek sayı gelmesi
(4.1), (4,3), (4,5), (1,4), (3,4), (5,4)
s(A) = 6
0
7 ” 21
zardaki sayı 5 ten küçük gelsin : (1, 2, 3,4)
1 .1 = 1
6 8
4
d
A n B olayı: Zarlardan birinin 4 diğerinin tek sayı gelmesi
s(A nB ) = 6
Anın B koşullu olasılığı:
Q]ve[2] deki sonuçlar toplanırsa
4
21
1
37
olur.
P(A|B) =
84
CEVAP D
P (A n B )
s(A n B )
P(B)
s(B)
6
= — olur.
11
CEVAP D
270
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
16.
12. E olayı: A nın 5 kişilik takımda yer alması
B torbası
A torbası
2Y
. 8M
S(E’ :E ]
7
4Y
8M
=3S
B olayı: Torbalardan birinden yeşil top çekilmesi.
X olayı: A ve B nin 5 kişilik takımda yer alması.
A olayı: Çekilen yeşil topun B den çekilmesi.
'6^1
' 2 _4_'LfJ_ r l=^+6;I 15
2l,10+12,
20
s(X) = E lv e @
P(X) = i W = 2 0 = i . olur.
s(E)
35
7
P(AnB): _ 1 .J L .-J L
2 12 ~ 6
Anın B koşullü olasılığı:
CEVAP C
13.
I
a I
° I
±l
J_
Dört kişiden üçü örneğin salı gün, dördüncü salıdan başka
bir günde doğmuş olsun.
p (A| b )
'
= 1 İ1 ^ I= 4
A
P (B )
S S S X
15
J L .il
6. 4
7 ( l . l . l . l l . 4 = J l 0lur.
17 7 7 7 )
343
41
(SSSX gibi — = 4 durum olduğundan 4 ile, salı gibi 7
3!
gün olduğundan da 7 ile çarpıyoruz.)
CEVAP E
14.
A torbası
B torbası
2K
5M
3K
4M
5
olur.
8
CEVAPA
J
S
^ 17.
A to rb a sı
B to rb a sı
2K
1S
1K
5S
B olayı: B torbasından çekilen topun kırmızı olması.
A olayı: İlk çekilen ve torba değiştiren topun sarı olması.
5M + 4M = 1 ^ .P (M )= —
A dan K çekilip atılsın B den de kırmızı çekilsin:
1 5
A torbasının seçilme olasılığı: 5 — = —
9
9
1 4
B torbasının seçilme olasılığı: 4 . _ = _
9
9
25
+
16
41
5 5
4 4_
olur.
9 7 + 9 7
63
63
İ-İ.-4 - a
3
7
21
A dan S çekilip atılsın B den de kırmızı çekilsin.
!.!~ L @
3 7
21
CEVAP D
0 ve [2| toplanırsa.
A torbası
B torbası
2K
8T
4K
8T
1 4
1 2 +
2 10
2 12
1
P(B) =
J _ + J _ = _5_
21
21
21
P(A n B) = —L
21
A nın B koşullu olasılığı
1
10.+ 6
P(A|B) =
olur.
P(AnB)
P(B)
15
;
J_ 11
21 5
— olur.
5
CEVAP B
CEVAP C
271
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - OLASILIK
18 .
A torbası
B torbası
3S
4M
5S
2M
20.
B olayı: Torbalardan çekilen topun mavi olması
A olayı: Mavi topun B torbasından çekilmesi
0/DS 1 ( 4 2 )
3
PB = - — + — = —
. 2W
7J
7
1 2
1
P(AnB ) = — •— = —
2 7
7
Rastgele alınan nokta A, B, C, D merkezli çeyrek
çemberlerin dışında yani taralı bölgede bulunmalıdır.
ı .
. . .
taralı bölgenin alanı
İstenen olasılık:------------ --------------karenin alanı
A nin B koşullu olasılığı:
J_
Taralı alan :14*
P(A|B) = -^-A n B ) =H£- = — •— = — olur.
P(B)
A
7
4- —
4
= 1 9 6 -3 6 *
= 1 9 6 -3 6 -3
CEVAP C
= 196-108
= 88
Karenin alanı :142 = 196
Olaya A dersek,
1
P(A) =
6
.1
88
22
olur.
196 ~ 49
CEVAP E
21.
19.
Rastgele alınan nokta köşelerdeki daire dilimlerinin
içinde bulunmalıdır. Buna göre,
, x
,
daire dilimlerinin alanları toplamı
İstenen olasılık = ------------------------------------ ------dik üçgenin alanı
Merkeze 8 cm den daha uzak olan noktalar taralı bölgede
bulunmalıdır.
. . .
taralı bölgenin alanı
İstenen olasılık:
- -------------tüm dairenin alanı
l n . 22+ _ S U . 22 + 9 2 ^ . 2 2
4
360
360
4na
36(fjt 4 n a
= n + -------+ ^ 7- -----------360
360
Taralı alan: n •122 - n ■82 = 144rc - 64n = 8 O71
= 2 k = 2 ■3 = 6 cm2
O
Dairenin alanı: n -12 = 144n
1
o
dik üçgenin alanı: — 5 •12 = 30 cırr
2
Olaya A dersek,
Olaya A dersek,
_ ...
80rc
5 .
P(A) = -------- = — olur.
144tc 9
P(A) = — = — olur.
30
5
CEVAP D
CEVAPA
272
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
22.
I.oyun
24.
2 . oyun
1
B torbası
3B
5Y
2B
4Y
1 1 1
2
2
2
2
3. oyun
4 .oyun
Adan beyaz çekilip B ye atılmış, oradan Y çekilmiş olsun.
± . ± . ± . ± . ± +± . ± . ± . ± . ± . ± . ±
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
v2
± .± = J Ig
8 7 56
/ „ n3
Adan Y çekilip B ye atılmış, oradan Y çekilmiş olsun.
1 4
2
A torbası
1-
2
2 ,
= — olur.
3
3
5
5 25
8
7 56
B olayı: B kutusundan Y çekilmesi olayı ise
P(B)= Ü
|r |< 1, 1 + r + r2 +r 3 + ---rn + --- =
dir.
56
1- r
+ İŞ = 3 7
56
56
Aolayı: A kutusundan B kutusuna aktarılan bilyenin beyaz
olması
CEVAP C
P(AnB) = —
56
(Q] e bakalım.)
A nın B koşullu olasılığı:
P (A |B )=— Ar>B^ = - | | - = —
P(B)
37
56
56
37
37
olur.
CEVAP D
23. E : Üç basamaklı rakamları farklı sayılar.
a b c
I 9 I 9 I 8 I =>9-9-8 = 648
s(E) = 648
25.
A olayı : 3 ve 4 rakamlarından en az birinin kullanıldığı
sayılar.
s(A) = Üç basamaklı rakamları farklı sayılar - 3 ve 4
rakamlarının kullanılmadığı sayılar
a b c
7 7 6 =>7-7-6 = 294
i
(0,3,4 yok)
AB kirişinin uzunluğunun yarıçap uzunluğundan büyük
P(A) =
s(A)
294
7 -7 -6
s(E)
648
9 -9 -8
49
olması için B noktası KML yayı üzerinde bulunmalıdır.
4n _
olur.
İstenen olasılık:
108
|KML|
2 nr
CEVAP B
-2— = — olur.
2nr
3
CEVAP E
273
I
İ
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON - BİNOM - O LASILIK
26.
28. 6 6 T T T T
sıra belirtilmediği için
A olayı: Bir öğrenciye 3, diğerlerine 1 er kitap verilmesi
E : 6 kitabın herbirine en az bir tane vermek koşuluyla
dört öğrenciye dağıtılması,
öğrenciler A, B, C, D olsun.
6i
4 I-5 -6
— — = — ------- = 15 farklı durum olabilir.
4! 2!
4!-2
J_ J_ _3_
3_ 3^ 3_
6 >6
,c
(3 GHî) ■C)-” '” '’- "
6' 6 6 "
1
1
1
1
11
6
6
2
2
2 2
‘
= 15-----------------------------
3 kitap B, C, D ye de verilebilir.
4! 3i- 4
— =
= 4 (3 tan e 1 in tekrarlandığını düşünelim.
3!
3!
Buna göre,
2
6
2
2 22
5
'^ 3 2 -6
:
s(A) = 120-4 = 480 0
= —— olur.
192
s(E) için diğer durumları da bulalım.
CEVAP B
A_
_B
2
29. A olayı: 2 erkek, 2 kadın seçilmesi.
2
6
15-6 - 2-T=180
p( A ) = C(4,2)-Ç(4,2)
C(8,4)
2 kitap alanlar değişebilir.
4!
C(4,2):4 kadın veya 4 erkekten 2 sinin seçilmesi.
6 (2 ve 1 ikişer kez tekrar ediyor.)
2!2!
P( A ) = -
P(A) = — olur.
35
0 ve |H deki sonuçlar toplanırsa
S(E) = 480+ 1080 = 1560
s(A) = 4 8 /
4
s(E)
13
156/
CEVAP C
olur.
30. A nın oyunu kazanma olasılığı:
CEVAP B
1
1. oyunda kazanması: —
6
_4 J _ _ J _
2. oyunda kazanması:
6 6 ~9
-_4 4_ ± ^ _ 2
3. oyunda kazanması:
6 6 6
21
27. A olayı: Çekilen kartlardaki sayılar çarpımının çift sayı
olması.
A' olayı: Çekilen kartlardaki sayılar çarpımının tek sayı
olması.
P(A) = 1- P( A')
P( A) —1
P(A) = 1
. -
70
Bu şekilde dağıtım : 180-6 = 1080 [2]
P (A ) =
6-6
4. oyunda kazanması: ± ± ± ±
6 6 6 6
C(5.4)
C(10,4)
=_2 2__2_1
5
3
210
3
3
6
4
olur.
81
(n. oyunda kazanma olasılığının
P(A) = 1— —
42
2r 1 1
P (A )= — olur.
42
6
CEVAPA
olduğunu görelim.)
CEVAP D
274
TÜME VARIM VE DİZİLER
BO LÜ M - 5
)
ÇOZUMLU TEST - 1
5.
Z (toplam) sembolü ile ilgili uygulamalar:
E
<k + 4 >2
k = -3
1.
toplamının değeri kaçtır?
E (*-3 )
k =1
A) 475
B) 520
C)550
D) 625
E) 650
D )32
E )34
D) 4
E) 3
toplamının değeri kaçtır?
A) 42
B) 46
C)48
D) 52
E) 56
6
2.
12
E (3k-5)
k =0
toplamının değeri kaçtır?
toplamının değeri kaçtır^
A) 158
B) 169
C)174
A) 26
D )180
C) 94
olduğuna göre, n kaçtır?
D) 96
E) 100
A) 7
8.
10
E < 4k- 3>
C) 5
7-9 + 9 H + 11-13 + --- + 23-25
A) 2535
toplamının değeri kaçtır?
B )176
B) 6
toplamının değeri kaçtır?
k=4
A ) 175
C) 30
n
E (2k - 5 ) = 12
k =1
toplamının değeri kaçtır?
B) 93
B) 28
E) 196
E (2 k -5 )2
k =1
A) 93
24.
E <-1 2 ) + kE= - 3 4
k= 0
C)178
D )180
E) 182
275
B)2530
C)1925
D )1634
E )1338
TUME VARIM VE DİZİLER
13.
9.
2n
Z i =a
i= n +1
£ k ( k - 3 ) = 5x + 6
olduğuna göre, a aşağıdakilerden hangisine eşittir?
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 16
B) 17
C) 18
D) 19
E) 20
A)
n(3n + 1)
2
B)
n(2n + 1))
C)
n(n + 1)
E)
10.
X <3n" 4>
m=-2
14. f(x) = 3x - 2
toplamının değeri kaçtır?
A) - 8
B )-7
C) - 6
x1 = 1,
D) 4
x2 = 2 olduğuna göre,
E) 7
2
Z xk f(k)
k =1
toplamının değeri kaçtır?
A) 6
B) 9
C) 12
D) 15
E) 18
D) 7
E) 8
D) 18
E ) 19
11.
£ ( m 2n) = 20
m=0
olduğuna göre, n kaçtır?
15.
n
A) 14
B) 12
E)
C) 10
k
S 2 2=n2+3n_12
k =1 p =1
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 4
12.
15
£ ( 2 k - x ) = 36
k = -5
k=4
toplamının değeri kaçtır?
B)220
C) 6
16.
6
X (k3 +k)
A) 222
B) 5
C)200
olduğuna göre, x kaçtır?
D )196
E )182
A) 15
276
B) 16
C )17
TÜME VARIM VE DİZİLER
21.
17.
4
4
£ (m2n - 6n)
m=2
In=1
toplamının değeri kaçtır?
toplamının sayısal değeri kaçtır?
A) 30
B )20
C)10
2
^ £ ( 4 s - 2 k + 1)
k=1 s=1
D ) - 10
E)- 2 0
D) 884
E) 892
A )- 1 2
B )-8
C )0
D) 16
E) 24
18.
14
2 > - 2 )(k + 1 )
k=3
toplamının değeri kaçtır?
A) 792
B) 804
C)862
22.
n-3
^ (2k + 10) = an2 + bn + c
k=-2
olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
19.
3
2
Z Z Kİ+1)
i= 1
J=1
toplamının sayısal değeri kaçtır?
A) 24
B) 26
C) 28
D) 30
E) 34
23.
-1
2
4 -2
0
1 - 3 2
5 - 4 0 1
20.
2 > . - t 2 (x “ 5)a' =0
i =1
i =1
amn yukarıdaki tabloda m. satır ile n. sütunda bulunan
sayıyı gösterdiğine göre,
olduğuna göre,
Z Z a™
] > , aj toplamının değeri kaçtır?
i=1
m=1 n=1
toplamı kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 7
D)
E) 5
A) 2
277
B) 3
C) 4
D) 5
E)
TÜME VARIM VE DİZİLER
24.
28. (ab) iki basamaklı bir doğal sayı olmak üzere,
60
S
2
k=6 k - k
toplamının değeri kaçtır?
A) 3
B)
16
15
3
t
b=0
2 > b)
a=1
ifadesinin sayısal değeri kaçtır?
C) 2
A) 63
B )126
C )156
D )163
E) 159
D )48
E )49
D) 28
E) 30
25.
29.
^ ( V k + 1 —V k~)
k=1
toplamının değeri kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
1 -2 + 3 - 4 + ----- 9(
97
toplamının değeri kaçtır?
A )- 4 3
D) 7
B )-2 8
C) 37
E) 8
S 30.
26.
İS
k2 +13k + 42
28
k + 3k + 2
olduğuna göre, n kaçtır?
toplamının değeri kaçtır?
«s 10
A> ^ i "
21
B> 44
^ 13
C) â "
A) 21
D)
B) 23
C) 26
E)
CEVAP ANAHTARI
27.
- 43 ile 208 arasında 5 İle bölünebllen tamsayıların
toplamı kaçtır?
■ A) 3795
B) 3975
D )4165
C)4125
E)4215
278
1 .C
2. B
3. C
4. A
5. E
6. B
7. B
8. A
9. C
10. B
11. A
12. A
13. A
14. B
15. C
16. B
17. C
18. D
19. D
20. E
21. D
22. A
23. B
24. E
25. B
26. B
27. C
28. E
29. E
30. A
TÜME VARIM VE DİZİLER
TEST - 1 ÇÖZÜMLERİ
5.
8
8
8
2 > - 3 ) =£ 2 k -X 3
k =1
k =1
8
I >
k =1
8+4
+ 4 >2 = £
k = -3
(k - 4 + 4 )2
k = -3 + 4
= 8 - 9 - 8 •3 = 72 - 24 = 48
= ^ k2 = 1 2 -1 3 (2 -1 2 + D = 2 6 .25 = 650
CEVAP C
CEVAP E
2.
12
12
12
k =0
k =0
k =0
X (3 k -5 ) = 3 £ k - £ 5
6.
6
24
Y (-12)+ Y 4 = 7 -(-1 2 )+ 2 8 -4 = -8 4 + 102 = 28
3- 1 2 1 3 -1 3 -5 = 1 8 1 3 -1 3 5
k=0
k = -3
13 •(18 —5) = 16 9
CEVAP B
7.
CEVAP B
n
n
n
Y (2 k -5 ) = 12=> ^ 2 k - ^ 5 = 12
3.
k =1
£ (2k - 5)2 = £ ( 4 k 2 - 20k + 25)
k=ı
k =1
k =1
=>n(n + 1)-5n = 12
k=l
=>n2 - 4 n - 1 2 = 0
(n -6 )(n + 2) = 0
= 4Z k2 - 2 0 - £ k + ]T 2 5
k =1
k =1
k =1
=> n = 6
n>0
= 4 . ± L H - 2 0 . İ f + 6.25
6
2
CEVAP B
= 3 6 4 -4 2 0 + 150 = 94
8.
CEVAP C
12
7 •9 + 9 •11 +11 ■13 + • ••+ 23 •25 =
(2k - 1)(2k +1)
k=4
12
= £ ( 4 k 2 -1 )
4.
10
1 0 -3
]T (4 k -3 ) = £
k=4
k= 4
[4(k + 3 )-3 ]
12
k = 4 -3
7
7
7
= 4 X k2- X 1 0
k=4
= 2 < 4 k + 9) = 4 £ k +; T 9
k=l
k=ı
k =1
= 4 - —2
12
f k ^ f k ^ - f k ^ 12-13' 25
6
k=1
k=1
+ 7-9 = 175
k=4
k= 4
3 '4 7
6
= 636 [T] de yerine yazılırsa
CEVAPA
4 •636 - 9 = 2535 bulunur.
CEVAPA
279
TÜME VARIM VE DİZİLER
9.
12.
^
(k3 +k) = T olsun
^ k (k -3 ) = 5x + 6---[T]
k =1
k = -5
X (k2 - 3k) = X) k2 - 3 X k
k = - 5 için (-5)® - 5
k=ı
k = -4 İçin (-4)3 - 4
8
k=l
917
6
k=ı
_ 3 . ± 1 = 12. 17- 12.9=12 8
2
k = 0 için O3 +0
> toplam = 0
0 de yerine yazılırsa
k = 4 için 43 + 4
90
96 = 5x + 6 => x = ------= 18 bulunur.
5
k = 5 için 53 + 5
k = 6 için 63 + 6
CEVAPC
+
T = 6 + 6 = 216 + 2 = 222
CEVAPA
I
10.
4
4+3
£
(3 m -4 ) = £
m »=-2
7
;
[3(m ~ 3)—4]
a
m =-2+3
^
7
7
1 + 2 + • ••+ n + p +1 + ••• + 2n =
1
= 2 ( 3 m - 1 3 ) = 3 - 2 > - X 13
m=1
m=1
m=1
=3■
13.
r>(n+1)
2n(2n+1)
a
2
- 7-13 = 7 -(1 2 -1 3 ) = -7
2n(2n + 1)
2
n(n + 1)
“
2
: A [ 2(2n + 1)-(n + 1)] = i ( 3 n + 1)
CEVAP B
CEVAPA
11.
6
6
6
(m- 2n) = 20 => ^ m m=û
m=0
6-7
2n = 20
14.
m=0
f ( k ) = x r f ( 1) + x
-7 -2 n = 20
2f(2)
k=1
= 1•(3 - 2) + 2 •(6 - 2)
=> 1= 14n =î >n = ■
14
=1+8=9
CEVAP B
CEVAPA
280
TÜME VARİM VE DİZİLER
18.
15.
14
S
t
=n2 + 3n-12
k =1 p = ı
12
£ ( k - 2 ) ( k + 1 ) = £ ( k + 2 -2 ) ( k + 2+1)
k= 3
k =1
► 2k - n 2 + 3 n -1 2
k=1
= £ k - ( k + 3)
=>n(n + 1) = n + 3 n - 1 2
12
= £ ( k 2 + 3k)
k =1
f > = 2k
P=1
=>n2 + n = n2 + 3n-12
12
12
=Ek
+3Sk
=1
=1
=>12 = 2n=>n = 6
k
k
—12-13-25 +. O0 • 12-13
CEVAP C
= 884
CEVAP D
16.
15
15
15
£ ( 2 k - x ) = 3 6 = > £ 2 k - £ x = 36
k=4
k= 4
k=4
15
3
|
19.
3
= > Y j2k - E 2 k - 12x= 36
k =1
2
3
Z Z i ( j + 1 )= Z (i-2 + i-3)
i =1 j =1
i =1
k =1
= > 1 5 -1 6 -3 -4 -1 2 x = 36
£ 5 i = 5-(1 + 2 + 3) = 30
=> 2 4 0 -1 2 -3 6 = 12x
i *1
=>X = 16
CEVAP D
CEVAP B
17.
20.
n
y (m2n - 6n) = 4n - 6n + 9n - 6n = n
n=2
n
n
E ( x i - 5) a i = o ^ E x i a i - 5E a i = °
i =1
i =1
i =1
4
=>
n=1
j •a j =5-1 = 5
1=1
CEVAP C
CEVAP E
281
TÜME VARIM VE DİZİLER
24.
21.
4
2
4
= 4k2 - k
£ £ ( 4 s - 2 k + 1) = £ ( 4 - 2 k + 1+ 8 -2 k + 1)
k =1 s =1
k =1
4
4
60
y
u ,
4
= £ (1 4 -4 k )= £ l4 -4 £ k
k =1
k =1
k =1
= 4 -1 4 - 4 -^—^- = 5 6 -4 0 = 16
2
(k—i)k
.
f—
U - 1 - -k lJ
— = 4-y — —
k2 - k
6'
1
a U - ı
_1_
k
k = 6 için - i ~ /
CEVAP D
k = 7 için
k = 60 için
1 /
9
1_
60
J ____ 1 11
"5
60 ' 60
22.
n -3
Y
E (2k + 10) = an2 + bn + c
k =-2
Yerine yazılırsa 4T =
11
bulunur.
15
CEVAP E
£ [ 2 ( k - 3 ) + 10] = an +bn + c
k =1
n
Y (2k + 4) = n(n + 1)+4n = n2 +5n
k =1
n + 5n = an + bn + c
ı = 1, b = 5 v e c = 0=>a + b + c
CEVAPA
25.
Vk + 1 - 7İT ifadesinde
k = 1 için
k=2
-J\
için
23.
2
y
3
y
m =1 n =1
2
k = 35 için V36 - ^ 8 ^ '
a mn = y
(a m l + a m 2 + am 3)
m =1
Bu toplam verilen tablonun 1. satır ile 2. satırındaki
ilk üç elemanlarının toplamı demektir.
V36~ - y f î = 6 - 1 = 5
( - 1 ) + (2) + (4) + (0) + (1) + (-3) = 3
CEVAP B
CEVAP B
282
TÜME VARIM VE DİZİLER
26.
1
^
k2 + 3k + 2
1
29.
(k + 1)(k + 2)
1
k+1
1
k+2
k=1
için
v
1
— 2
o
k =2
•ıçın
•
1
_1 _ __
k = 42 için
1 -2 + 3 - 4 +
96 + 97
= 1+ 3 + 5 + -- - + 9 7 -(2 + 4 + 6 + - - + 96)
49
48
£ (2k -1) - £ 2k = 492 -48■49 = 49(49 - 48) = 49
k =1
k '=1
1
—
3
CEVAP E
- j - --------~
43
44
_1_
2
1_
21
44 “ 44
CEVAP B
27.
-4 3 < 5k < 208 koşuluna uyan k en az - 8,
en çok 41 dir.
41
İstenen toplam ^
5k şeklinde ifade edilirse
30.
V 'c
c 8-9 c 41-42
/ 5k + 2 ^ 5k = - 5 — -— + 5 ----- -—
k2 +13k + 42
(k + 6)(k + 7)
1
k+6
= -180 + 4305 = 4125 bulunur.
CEVAP C
k=1
için
k=2
için
k=n
için
1
k+7
7
28.
0
3
2
3
Z Z < ab> =b -0Z aZ=1< 1 0 a + b >
b =0 a =1
- 7+ 6
^ -—
/fi
n+ 7
2
2
2
= £ ( 1 0 - 6 + 3b) = £ 6 0 + ^ 3 b
b =0
b =0
b =0
7
= 3 •60 + 3 •(0 +1 + 2) = 189
n+ 7
28
1
28
1
n+ 7
=> n = 21
CEVAPA
CEVAP E
283
TÜME VARIM VE DİZİLER
ÇÖZÜMLÜ TEST - 2
5.
I I (çarpım) sembolü ile ilgili uygulamalar:
60
Q ( k - 4 ) ( k + 5)
k =1
1.
12
çarpımının değeri kaçtır?
n
*
k =1
A) - 56
B) - 5
C) 0
D) 54!
E) 60!
D) 222
E) 226
D) 218
E) 210
çarpımının değeri kaçtır?
A) 12
B) 24
C )144
D) 12!
E) 24!
2.
3
n
*
k -1
çarpımının değeri kaçtır?
çarpımının değeri kaçtır?
A )288
B )576
6
n n*
n=0 m -1
C)1246
D )1756
A) 224
E )1944
B) 218
C) 216
ja
e
I
^
7.
10
35
n
n *k
k = -9
k+1
çarpımının değeri kaçtır?
çarpımının değeri kaçtır?
A) 222
D> T
B) 220
C) 1
E> T
8.
4.
n < k - 3)!
jLo k2 + 4k + 3
çarpımının sonucu kaçtır?
çarpımının değeri kaçtır?
A) 12
B) 144
C) 288
D )296
E )304
B) 0
284
o
l
D> 1T
TÜME VARIM VE DİZİLER
13.
f | 2 n = 216
k =1
SH-)
olduğuna göre, n kaçtır?
İfadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 2
A) n - 1
B) n
C) n + 1
D) 1
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
D) 25
E) 36'
E)
14.
n {
k=25V
10.
çarpımının değeri kaçtır?
2 -4 -6 •••80
çarpımının
' - îkr )/
n ile ifadesi aşağıdakilerden hangisine
A)
eşittir?
B> T
c >iV
40
40
A) f ] > k
b)
20
D)
o n 2k!
n 2k
k =1
k =1
40
Y l 2k
S, 15. ABCD dikdörtgeninin alanı 24 birimkaredir.
E) H 2 k
k=ı
|AB| =
birim
|BC| =
birim
olduğuna göre,
11.
n
iü —
2k + 1 =—
13
i =1
ç a rp ım ın ın d e ğ e r i k a ç tır ?
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 32
B) 30
C) 16
D) 4
A) 48
E) 1
B) 72
C) 96
D) 112
E ) 120
D) 4
E) 5
16.
12.
10
Q 4 k_1=64
2 k+n 21
i =1
n=0
olduğuna göre, n kaçtır?
olduğuna göre, k kaçtır?
A) 9
B )10
C ) 18
A) 1
D) 24
E) 30
285
B) 2
C) 3
TÜME VARIM VE DİZİLER
17.
21.
[7 jo g „ (n + 1)
n=3
n
- ıK r ^ ı
k =1
olduğuna göre, n kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 4
A) 1
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
D) 60
E) 75
18.
8
15
28
E M M İ*
k =1
k =8
k=15
çarpımının sonucu kaçtır?
A) 28!
B) 8 -28!
D) 60-28!
C) 15-28!
22.
E) 120-28!
0 < a < 90 olmak üzere,
2
n
k =1
olduğuna göre, a kaç derecedir?
A) 15
19.
B )30
C )45
f t iH f
olduğuna göre, x kaçtır?
A )- 9 6
B)- 9 0
C ) -8 0
D) 80
E) 96
23.
A
tenJr -
n 12
k=-2
20.
3
çarpımının değeri kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
a>
1
1F
A)
1
12
v/3"
O 12'
B) 1
1
b >1T
c> l
D> l
D) 1 2 ^
286
E) 12
TÜME VARIM VE DİZİLER
24.
28.
(1 •4) •(2 •5) •(3 •6) •• •(39 •42).
çarpımının
■
9
n ile ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
41
s
olduğuna göre, a kaçtır?
40
B) f j k ( k - 1 )
k =2
A) J ]k (k + 1 )
39
10
r i 3 k+2= a J ^ 3 k+1
k =1
k =1
A) 9
B) 3
C)
D> T
E)
12
42
C) ]^ [(k -2 )(k + 1 )
D) J~J(k2 -3 k )
k=3
K=4
41
29.
E)J];(k2 +3k)
18 / r -\
n [i*
k = 0v
J
k= 4
çarpımının sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A ) 5 60
B ) 5 57
C ) 5 54 .
D ) 5 48
E ) 5 42
25.
[ j [ 3 2k" 3 = 2 7 8
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E)
■g
30.
n 2ak = 2 n+3. r i r bk = 1
k =1
k =1
I
olduğuna göre, ]^[ak ' ^k çarpımı
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
26.
12
n ( 2 - 4k
k =1
A)
B ) 8 rn
C) —
D ) 8r
E)
çarpımının sonucu kaçtır?
A) 46
B) 43
C) 0
D) 1
E) 4
CEVAP ANAHTARI
27.
n
m =8
= 14
m -1
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 82
B) 80
C) 74
D)'72
E) 68
287
'1. D
2. E
3. A
4. C
5. C
6. A
7. B
8. D
9. B
10. E
11. A
12. A
13. B
14. D
15. C
16. C
17. B
18. E
19. C
20. D
21. D
22. A
23. B
24. D
25. E
26. C
27. A
28. D
29. B
30. A
TÜME VARIM VE DİZİLER
TEST - 2 ÇÖZÜMLERİ
6.
3
PJk = 1 - 2 - 3 - 1 2 = 12!
6
3
n n 2 = n ( 2 -2 -2 -2 2 2)
n =0 m =1
n =0
CEVAP D
2® . 2 ® 26 26
224
CEVAPA
2.
= (3 -1) - (3 - 2)- (3 -3) •(3 - 4) = 3 -4! = 81-24 = 1944
k=1
10
10
10
S2k
,k=9
Q 4k =
22k = 2 ‘
CEVAP E
c = -9
k = -9
10
y^2k = -1 8 -1 6 + --- + 18 + 20 = 20
3.
k -9
35
n *
k +1
k =6
6
y
&
&
™
o
220 o lu r .
y e r in e y a z ı lı r s a
CEVAP B
36
S
CEVAP A
1
ra
15r k2
-I—
ı\ + 3k
J M+-2İ _ ^
ı—r (k + 2 ) j M ^
4.
U
k=Ö k2 + 4k + 3
7
ü
k =0 (k + 3 ) ^ i f
15
TT(k - 3)! = 0! -1! - 2! - 3! - 4!
r
T-r k + 2 = 2
k=3
Ü
k+3 ~ T
X
A
/
£
18
= 1•1• 2 • 6 •24
2
1
18 " 9
= 288
CEVAP C
CEVAP D
9.
60
n -1 ,
n ^ M k + s )
k =1
n
k = lV
çarpımının çarpanlarından biri (k = 4 için) 0 dır.
.s
n -1
ı+| > n
K '
k =1
k+1
k
2^_3 _4_
1 ’ 2 ’ 3
O halde çarpım 0 a eşittir.
CEVAP C
n
n
n -1 “ T
n
CEVAP B
288
TÜME VARIM VE DİZİLER
14.
10. 2 -4 6 - •80 çarpımı ardışık çift sayıların çarpımıdır.
2 k -1
k2 - 2k +1
(k -1 )2
k = 40 için 2k = 80 olduğuna dikkat edilirse doğru şıkkın
E olduğu görülür.
CEVAP E
k=2 5
f 120
r f k -1
Ih
r_24_
k "l#
j t f j
&
120
J
11.
CEVAP D
A 2k —1
1 _ 5 7 9
j j j 2k + 1 = 13 ^ 7 ‘ 9 ' 11
2 n -1 _ 1
2n+1 ~ 13
15.
A(ABCD) = 24=>xr x2 =24
2n + 1
13
2
Q
n 2 X j = 2 xt •2x2 = 4 ■xı •x2
i =1
=>2n + 1= 65
=* n = — = 32
2
istenen: 4 - 2 4
CEVAP C
CEVAPA
|
I
S
16.
J ] 4 k"1= 64 = *4 ° ■41-42 •••4n' 1k =1
•
12.
(n —1) •n
10
*
| jj 2*<+n _ 2 . 2k+1. 2k+2. ••2^ 1®
n=»0
_
21 1 k + 1 + 2 + -1 0
_
2 1 1k+ 55
=3
=* (n -1 ) •n = 2 •3.
_
21
=> n = 3
11 •k = 154 —55 => 11 •k = 99 => k = 9
CEVAP C
CEVAPA
17.
k+2
n
k =1
_4_ 5_
1 ' 2 ' X
(n + 1)(n + 2)
(n+1)(n + 2)
(p ^ T ) /
21
13.
(n +1) •(n + 2) = 42 = 6 •7 => n = 5
J^[2n = (2n)n = 216 = (2 •3)3 => n = 3
k=1
CEVAP B
CEVAP B
289
TÜME VARIM VE DİZİLER
18.
21.
8
15
28
k**1
k =8
k=1 5
'8
15
(
k=1
Y ( '
k= 9
8
J
15
28
k=16
28
=8 - 1 k=1
5 .]>
]>k=16
n*
k=9
jpg4*
jpgS'
log3
I
log81
_ log34 _ A log3 _ A
log3
log3
28
= 120 J^Jk =120 (28!)
k =1
CEVAP E
CEVAP D
22.
19.
n cos( f +a} =T ^ C0S( T +a] •cos(n+a )= ^ r
■sina (-cosa) = —
4
=> 2sina cosa =
=> sin2a = sin30°
=> 2a = 30°
=>2x = -1 3 6 -2 4
=> a = 15°
=> x ——80
CEVAPA
CEVAP C
23.
5
‘
k«
.
1 1 1 2 ^ = 1 2 ^
k =-2
20.
= 12T
T' ” n( - T L) * “ ( - f ) * ' - " T L
ta n
2_ _3_
3 ' 4
( f )
49
\+ ta n -^ - + t a n ^ 3
3
50
T = 0 + tanrc + tan— + ta n -^ -
i
= 0 + -n/ÖT+ (—v/3- )
istenen 12T -=12°=1
CEVAP D
CEVAP B
290
TÜME VARIM VE DİZİLER
28.
24.
I I
k k+3
9
10
k=1
k=1
[ ] 3 k+2 = a n 3 k+U 3 3+4+- +11 = £ _2 2 + 3 + —+11
(1 - 4 ) • (2 •5) •(3 •6) ••• (39 •42) = ]^[k(k + 3)
k-1
=> a = 3 ~ 2
veya diğer çarpan k olursa
42
=4CEVAP D
42
J ] k ( k - 3 ) = ;Q (k 2 -3 k )
k=4
k= 4
CEVAP D
25.
X
£ (2 k -3 )
n 3 2k- 3 = 278 ^ 3 k='
k =1
= (3 3)
29.
18
18
^
k =0
k
nı
= n 5 3
1 , 2 ,
18
= 5 ° + 3 + 3 +"' 3
=
1
18-19
53'
2
= 5 57
k =0
^ (2 k -.3 )= 3 -8 = > x -(x + 1 )-3 x = 24
k =1
CEVAP B
x2 - 2 x - 2 4 = 0 denkleminin pozitif kökü x = 6 dır.
CEVAP E
I
s
X
S,
26.
12
n ( 2 k -4 k )
k =1
30.
J ]2 a k = 2n+3 =>2n J | a k = 2n 23
= (2 - 4)(2* - 8) •(23 - 1 2 )(2 ^ 1 6 ) • •■(212 - 48) = 0
o
k =1
k =1
= > r i ak =23
k =1
CEVAP C
n r b k = 1 ^ r n ][[b l<=1
k=l
k=l
=>n
27.
k=ı
TT
± \
m r = 14=>—
^
8
m -1
7
9
8
n
x + 16
/
— = i14
x + 15
n
r i ak ^ = r i ak
k =1
k =1
r
n
k =1
.
8
=23^ r =
'
=> x + 16 = 7-14 =>x = 9 8 -1 6 = 82
CEVAPA
CEVAPA
291
TÜME VARIM VE DİZİLER
ÇÖZÜMLÜ TEST - 3
4.
L ve f i sembolü ile ilgili uygulamalar:
1 -4 + 2 *5 + 3-6 + 4 -7 + •••21-24
toplamının sonucu kaçtır?
A )4000
B)4004
C)4096
D )4102
E )4104
D) 1
E) 0
1.
2
3
n s -fH )
i=1 j=1
5.
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 14
B) 15
C) 16
D) 17
81
E) 18
H
S
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 4
B) 3
C) 2
2.
20
£ ( 2 + n a )= 1 4 5
n=1
e
u
6.
olduğuna göre, a kaçtır?
1
1
a> t
10
1
b> t
C )t
I
D)
k“I
E)
k -1
k£ +k + 1
toplamının değeri kaçtır?
•| »1.-55-İ \ -.ı V - ' '
A) 42
n
B) 46
C) 54
D) 56
0 (0
E) 60
n
£ a j= 1 (
İ=1
Z (2 i+ 3 )-İ;a j
i=1
j=0
^ ( X i - 5 ) a |= 0
i=1
olduğuna göre, (n, aj) İkilisi aşağıdakilerden
hangisidir?
olduğuna göre, ^ X j aj toplamı kaçtır?
1=1
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
A) (6, j + 3)
B) (6.2j - 3)
D) (7, 2j + 5)
E) 7
292
C )(7 .3 j-2 )
E) (9,j + 7)
TÜME VARIM VE DİZİLER
12.
0 (t H
f(x) = 3 x -1 0 fonksiyonu veriliyor.
C
100
£ [ f ( k + 1)-f(k)]
k=1
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 18
B) 22
C) 24
D) 30
E) 33
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A )-2 9 7
9.
B) - 290
C) 10
D) 293
E) 300
D) 6
E) 7
x2 + (k - 1)x + 3 - k = 0 denkleminin kökleri av a2 dir.
2
n < i+ 2 , - n j
2
1=1
2 > „ - 3 ) = n 3a„
n=1
n=1
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 3
olduğuna göre, k kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4 .
J=3
D) 5
B) 4
C) 5
E) 6
I
I
e
*
10.
4
14]> *n
i=1
2
£
£ ( 4 k - 2 m + 1)
m=1 k=1
3
ifadesinin değeri kaçtır?
*a :o
A) - 1 2
B )-8
C )0
olduğuna göre, S aP ifadesinin değeri kaçtır?
p=1
D) 16
E)24
A) 6
15.
11. x3 + ax2 + bx + 4 = 0 denkleminin kökleri x1t x2, x3tür.
3
3
C) 16
D) 9
E) 10
D) 33
E) 32
£fo2)
1=1
toplamının değeri kaçtır?
olduğuna göre, a kaçtır?
B) 14
C) 8
f(x) = 3 x - 2 olduğuna göre,
V (x i-6 )= n 2 x i
i=1
i=1
A) 13
B) 7
D) 17
A) 36
E) 18
293
B) 35
C) 34
TÜME VARIM VE DİZİLER
16.
10
z
20.
8
( a e N +)
n < ™ - 3n>
8
n=1 m=2
ifadesinin değeri kaçtır?
A )- 7 2 6
B) - 363
C) 0
D) 363.
E) 726
8
= 24
olduğuna göre, a* kaçtır?
A )y
17.
x
E=1 nk=1a
B) 1
C )y
D) 2
E) 3
15
£
n < 2K+ 3)(p-8)
k=1
p=4
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 96
B) 84
C) —48
D ) - 14
E) 0
n +2
£ ( 2 k - 5 ) = 196
k=3
18.
x -2
x -2
£ l 5 . a = ]T b 2
a=1
b=1
n
olduğuna göre, ^ k 2 toplamının değeri kaçtır?
k=1
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 39
B) 30
C) 24
D) 15
E) 12
A) 985
B )990
C)1010
D )1015
19.
30
ov
14
■** /
\
CEVAP ANAHTARI
s n fe )
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 21
B) 15
C)10
D)2
E )y
1 .E
2. A
• 3. C
4. B
5. D
6. A
7. D
8. B
9. C
10. D
11. B
12. E
13. E
14. D
15. A
16. C
17. E
18. C
19. D
20. E
21. D
294
E )1020
TÜME VARIM VE DİZİLER
te s t
-
3 ç ö z ü m le r i
5.
2
3
1-1 j=1
2
k -1
16
16
x=ü3 k =r[3l092ll<'1)'l0S2k
i-1
k=2
k=2
Üslerin toplamı:
~ n 3 i = (3 •1) •(3 - 2 ) = 18
log21 - log22 + log22 - log23 + ■•■+log215 - log216
CEVAP E
= - lo g 216 = - 4 olur.
x = 3 -4 tür.
2.
20
20
İstenende yerine yazılırsa
20
^ ( 2 + n-a) = 145=> ^ 2 + a ^ n =145
n=1
n=1
n=1
81
1
= 1 bulunur.
Z x = 8 1 -x = 8 1 -----81
k=1
=> 2 0 - 2 + a • 20-21 = 1 4 5
2
CEVAP D
= > a -2 1 0 = 105
=>a
105
1
210
2
10
CEVAPA
10
.,3
k^4 k2 +k+1
1^4
(k2 +k + 1)
10
: ] T ( k - 1) = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 42
£ ( x r 5) a , = 0 = > £ ( x i a i -5 a j) = 0
i=1
i=1
k= 4
CEVAP A
n
n
= > ! * . - , - Z 5a i= °
i=1
i=1
Z (2i+3)=Z ai=> ZP o +iM -E a,
i=1
Z x ia i = 5 ^ 9 ! = 5 -1 = 5
‘f r o r p
j-0
i=1—1
• j=0 ■
7
1-1
rr
^ Z ( 2 İ + 5 ) = Z aj
i=0
j=0
CEVAP C
4.
n= 7
ve
aj = 2 j + 5
1 -4 + 2 - 5 + 3 - 6 + --- + 2 1-2 4 = ^ n ( n + 3 )
CEVAP D
n=1
8.
21
= Z ( ° 2+3n)
n-1
21
12 /
k=1
3
sk
/
\5 - 2 x
/ ^ \1+2+3+
(1)
21
12-13
=nZ=1 n2+3Z
n
n =1
21-22 -43 +3 21-22
6
5 -2 x
»+12
■10+4x
=>78 = - 10 + 4 x
2
88
7 - 11-43 + 3 -2 1 1 1
4
=11 (7 -4 3 + 3 -21 ) = 4004
x = 22
CEVAP B
CEVAP B
295
TÜME VARIM VE DİZİLER
9-
12.
x2 + (k -1 ) x + 3 - k = 0
f(k + 1)-f(k) ifadesinde
k=1
için f (2) —f(1)
k=2
için f(3) - f(2)
a., + a2 = 1 - k , ar a2 = 3 - k dır.
k=3
için f(4 )-f(3 )
2
2
22 (an —3) —| J3an
n =1
n =1
k = 100 için+ f(101)-f(100)
—3 +a2 —3 = 3a-| -332
toplam=f(101)-f(1)
=4* a^ + a2 —6 = 9a1■a2
f(x) = 3 x -1 0 olduğuna göre
= > 1 - k - 6 = 9 (3 -k )
f(1) = 3 -1 0 = -7
=> - 5 - k = 27 - 9k
f(101) = 3 0 3 -1 0 = 293
=> 8k = 32
toplam = 293 + 7 = 300
CEVAP E
= >k=4
CEVAP C
10.
4
2
4
2=12 2>k
-2m+1>=Z(4-2
m+1+8-2m+1)
=1
=1
m
k
m
ı
S
4
=
S.
22o4-4m)
5
m =1
4
«
g
4
13-
c
= Z 14~ 4 Z m
m =1
m =1
5
n
r i(i+ 2 )= n j= >
i= 1
j= 3
5+2
l
n
(i-2 + 2 )= n j^ 7 = n
1=1+2
j- 3
CEVAP E
= 4 -1 4 -4 - - i l 8- = 56-40 =16
2
CEVAP D
11.
x3 + ax2 + bx + 4 = 0 denklemini kökleri,
x1,x 2 l x3 için
x1+ x2 + x3 = - a , x-| • x2 • x3 = -4 tür.
3
14.
3
j 2 I i = an => 1 - 2 - 3 - n = an => an = n!
2 > , - 6 ) = n 2xi
1=1
1=1
1=1
3
x1 - 6 + x2 - 6 + x3 - 6 = 2x-j -2x2 -2x3
2 2 ap = a ı + a 2 + a 3 =11+21+31 = 9
p=1
- a - 1 8 = 8 *(—4)
3 2 -1 8 = a => a = 14
CEVAP D
CEVAP B
296
TÜME VARIM VE DİZİLER
15.
19.
3
n
£ f ( i 2) = f(1) + f(4) + f(9)
1=1
n
AA n + 1
f(x) = 3 x - 2 olduğuna göre,
_ L JL jL Ü
X
X
X
15
±5
İstenende yerine yazılırsa
f(1) = 1. f(4) = 10 , f(9) = 25
3°
toplam 36 olur.
.
.
£ — = 3 0 — = 2 bulunur.
15
15
CEVAPA
CEVAP D
16.
8
8
(mn - 3n) =
m=2
n(m - 3)
m-2
= n(—1) •n(0)- n(1) •••n(5) = 0
Yerine yazılırsa istenen
2 °.
10
E
£ 0 = 10-0 = 0 bulunur.
f l a - 2 4 ^ £ a x =24
k =1
k =1 k = l
n=1
=>8-ax =24
CEVAP C
=>ax = 3
CEVAP E
17.
15
J^[(2k + 3 )-(p -8 ) = 0 (çarpanlardan biri sıfırdır.)
p=4
8
£ 0 = 0 bulunur.
k=1
21.
CEVAP E
n+2
£ ( 2 k - 5 ) = 1 9 6 = > £ [2 (k + 2 )-5 ] = 196
k=1
k= 3
n
£ ( 2 k - 1 ) = 196
18.
k =1
x-2
x-2
£ l5 -a = £ b 2
a= 1
b=1
15 (x -2 )(x -1 )
2
(x - 2)(x - 1)[2(x - 2)+1] _
6
k= 1
k= 1
D
= 7-5-29
45 = 2 x - 4 + 1=> 48 = 2x
= 1015
x = 24
CEVAP C
CEVAP D
297
TÜME VARIM VE DİZİLER
ÇÖZÜMLÜ TEST - 4
4.
S ve I I sembolü ile ilgili uygulamalar:
4
E
3
1 -2 "
m =1 n =1
e
k = -4
ifadesinin değeri kaçtır?
3-n<K-2)
A) 100
' k -3
B )110
C )120
D )130
E) 140
D) 1800
E) 300
işleminin sonucu kaçtır?
A) - 8 7
B) - 9 0
C )- 9 2
D )- 9 4
E )-9 6
5.
4
3
E
JIm
i =1 j =1
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 60
B) 120
C) 600
2.
108
Z ( - 1 ^ '(2 k - 2 )
k=9
toplamının değeri kaçtır?
A) 98
B) 100
C) 146
D )200
E) 208
6.
15 İle bölündüğünde 4 kalanını veren 600 den küçük
pozitif tamsayıların toplamı kaçtır?
A ) 1417
B )1412
C)1396
D )1342
E ) 1326
D) 12
E ) 13
r-ntç6^-
7.
120
3.
y
E
4 + 7 + 10 + 13 + -- - + x = 329 .
n=1•
ı _____
-4ı + 1 + n/ tT
olduğuna göre, x kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 39
B) 40
C) 42
D) 43
E) 44
A) 9
298
B) 10
C)11
TÜME VARIM VE DİZİLER
8.
12.
a ve b pozitif tamsayılardır.
2
3
k -m
s
3
k=1 m=1
J"J(bn+a)=:a2 -4 b 2
n=1
ifadesinin değeri kaçtır?
a -b = 5
28
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 7
B) 6
C) 5
r i3
D) 4
27
B> * r
26
c > i7
27
D> * r
28
E> * r
D) 9
E) 10
E) 3
9.
4
13.
3
£
£ .(3 m -2 n + 1)
n =1 m =0
k=£
İfadesinin değeri kaçtır?
A )- 2
B) - 1
C) 5
olduğuna göre, a kaçtır?
D) 8
E) 10
A) 6
B) 7
C) 8
g
§■ 14.
^
10. n nin r-li kombinasyonlarının sayısı,
C(n,r) =
nı
rl(n-r)!
2
1
,S
olduğuna göre,
2
L a"=P' nn=1 an=6
n =1
2
^ ( a n)2
olduğuna göre,
24
toplam ının değeri
n=l
£ C ( n + 1,n)
aşağıdakilerden hangisidir?
n =1
A) p2
B) p2- 6
Ç) p2 + 6
ifadesinin değeri kaçtır?
D) p2 —12
A) 231
11.
10 10 10
B) 253
C)276
D) 280
E) p2 + 12
E) 299
15.
10-
100
^ k - 2 k- 1
k=1
1 1 1 -1 3 4
n =1 n =1 n = 1 n= 1
13 ta n e
toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
sayısı kaç basamaklıdır?
A) 9 9 -2 " + 1
A) 14
B) 15
C) 16
D) 17
B) 9 9 -2100 +1'
C )9 9 -2 101+1
E) 18
D) 1 0 0 -2 " +1
299
E) 100-2100 +1
TÜME VARIM VE DİZİLER
16.
20.
p(x) = £ [ ( x + i)'+ a ]
fa\ k(k + 1)
polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan 15
olduğuna göre, a kaçtır?
A )- 3
B )-2
C)1
D) 2
n+ 1
olduğuna göre,
20
E) 3
k = 9 k ( k + 1)
toplamının değeri kaçtır?
4
A )~
17. (a, b tamsayı, n doğal sayı)
£ p ( p + 1)
P=1
5
B )-
4
C) y
56
D)
E)
D) 115
E) 130
n(rr +an + b)
3
olduğuna göre, 2a + b toplamı kaçtır?
A) 11
B) 8
C) 5
D )- 3
E )- 7
21.
f ( x ) = n ( x+ k)
k=1
g(x)= r
18.
t t y — !—
h
K(k+D
L
42
olduğuna göre, (gof)(3) kaçtır?
A) 90
olduğuna göre, m kaçtır?
A) 39
19.
B) 40
C) 41
i ( k - 4)
D )42
B) 95
C)100
E) 43
f(x) tek fonksiyon,
x1 + x2 = x3 + x4 - 0
CEVAP ANAHTARI
olduğuna göre,
1. A
2. B
3. D
4. E
5. C
6. A
7. B
8. A
9. D
10. E
11. B
12. A
13. C
14. D
15. B
16. E
17. B
18. C
19. D
20. A
4
i =1
21. E
toplamının değeri kaçtır?
A) 3
B) 2
C)1
D) 0
E) ” 1
300
TÜME VARIM VE DİZİLER
test
1.
- 4
çözüm ler!
5.
6
7
11
5
£ 3 - f ] ( k - 2 ) = £ 3 - n ( k + 2 -2 )
k =-4
k= 3
k= 1
z n H = i> 2 i-3 i)
i =1 j - 1
i =1
k =1
= 11 •3 - 5! = 33 -1 2 0 = -8 7
4
4
/.
— -»2
2 y = 6 . £ i 3 =6. iJ L
CEVAPA
i =1
i "1
\ *
.
600
J
CEVAP C
2.
100
^ ( - l f ( 2 k - 2 ) = ^ ( - 1 ) k4S(2k+14)
108
k
100
100
= £ ( - 1 j ! ' 2 k + | > 1 ) k .1 4
k =1
6.
k =1
15 ile bölündüğünde 4 kalanını veren tamsayılar 15k + 4
şeklinde ifade edilir.
15k + 4 < 200 => 15k < 196 eşitsizliğinden k nın en büyük
değeri 13 bulunur.
100
k=1
13
= 2 [-1 + 2 -3 + 4 -5 + - — 99 + 100]
13
13
£ (1 5 k + 4) = 1 5 £ k + ; £ 4
k =1
k =1
k =1
=2 •[-(1+3+5+ ••-+99)+(2+4+-•-+100)]
= 15*—~ — -+ 1 3 -4 = 13(7-15+4)
=2 •(-502 + 50 •51)=2 •50(-50 + 51)
1417
=100
CEVAP B
CEVAP A
3.
4 + 7 + 10 + 13+ - + x = 329 => £ ( 3 k + 1) = 329
k =1
3n(n + 1)
7.
n = 329
Vn + 1 -A n
Vn + 1 + An
(Vn + 1 + VrT)(Vn + 1 - An}
(3n + 5) = 329 = 7-47
•v/n+ 1 - VrT
i— — ı—
= -------------------= vn + 1 - v n
n = 14 bulunur.
n + 1-n
k = 14 için 3k + 1= 43 = x
CEVAP D
£
£ m - 2 n = £ m ( 2 1+22 + 23).
m=1 n=1
n= 1
için A T -A T
n=2
için AT - Al
n = 3
için A T - AT
n = 120 için A T T T -A vuT
m=1
+
Jİ,
4-5
= £ l 4 m = 14- —
= 140
n=1
2
V12 T - V Î " = 1 1 - 1 = 1 0
CEVAP B
CEVAP E
301
TÜME VARIM VE DİZİLER
8.
12.
^ (bn + a) = a - 4b*
n=1
X ]~ [ 3k_m = ^ 3 k_1 •3k-.2 •3k_3
k=1 m=1
k=1
= X 3 3k- 6 = 3 -3 +3°
k=1
3a + 6b = a2 - 4b2
3(a + 2b) = (a - 2b)(a + 2b)
a + 2b
27
O
+ 1= —
3
CEVAPA
a - 2 b = 3'
13.
=> b = 2 , a = 7 bulunur.
a -b = 5
n
İÂ fl 1— 2K—
+ 1 ]) = —
17
CEVAPA
k=a
9.
25
4
p r
3
£ ( 3 m - 2 n + 1) =
2k —1
5
k=0 2k + 1
17
n=1 m =0
2a-1
2&a^ \
2^2 4 ^ f
’ 2 (a ^ rT
£ ( 0 - 2 n + 1+ 3 -2 n + 1+ 6 -2 n + 1+ 9 -2 n + 1) =
n=1
2 a -1
51
24^f
^25^t _ 5
’ 2-25 + 1 17
5
=>2a-1 = 15=>a = 8
17
£ (2 2 -8 n ) = £ 2 2 - 8 £ n =
n=1
n=1
n=1
CEVAP C
14.
22 •4 - 8 •
2
= 88 - 80 = 8
£ a n =p=>a1+a2 =p
n=ı
CEVAP D
o
Q a n = 6=>ar a2 = 6
n=1
10.
C(n+1'n )= i^
24
=n+1
24
24
2
istenen = ^ ( a n)2 = a2 +a2 dir.
n=1
24
£ C ( n + 1 ,n )= £ (n + 1 ) = £ n + £ l
n=1
n=1
n=1 n=1
24-25
(ai + a2)2 = a2 + a2 + 2a-! •a2
+ 24 = 324
p2 = a2 + a2 + 2 •6
CEVAP E
a2 + a2 = p2 -1 2
CEVAP D
11.
10
10
10
15.
10
I I I -2>=
T = 1-1 + 2- 2 + 3-22 + 4-23 +--- + 99- 2®° +100 •2a
n=1 n=1 n=1
n=1
13 tane
10
10
2T = 1•2 + 2 •22 + 3 •23 + •• •+ 99 ■299 +100 • 2100
10
T - 2 T = 1+ 1- 2 + 22 + 23 +--- + 299 -1 0 0 • 2100
13
I
S - E
3 4 1 0 = - - = 34-10
n=1 n=1
n=1
12 tane
-T =
3400^0
13 tane
1 -2 100
1 -2
•100-2100
T = 1 -2 100+100-2100 = 99-2100 +1
CEVAP B
CEVAP B
302
TÜME VARIM VE DİZİLER
16.
19.
f tek fonksiyon ise f(-x) = -f(x)
P(x) = £ [ ( x + i)' + a] = (x + 2)2 +a + (x + 3)3 +;
4
£ f (xi) = f(X-j) + f (x2) + f (x3 ) + f (x4)
i=1
x + 1 ile bölümündeki kalan 15 olduğundan
= f(x1)+ f(-x 1)+f(x3)+ f(-x 3)
P(—1) = 15 => (-1 + 2)2 + a + (-1 + 3)3 + a = 15
= f(x ı)-f(x 1)+f(x 3) - f ( - x 3)
=> 2a + 9 = 15
= 0 bulunur.
^ > 3 -3
CEVAP D
CEVAP E
17.
20.
£ p (P + 1) = £ ( P 2 + P)
p=1
P=1
=7
n
n
p=1
p=1
ktg
k(k +1)
1.
8
tfe l k(K+1) ' S
\
1
k(k + 1)
Verilen formül kullanılırsa
n(n + 1)(2n+1)
n(n + 1)
6
+
2
n(n + 1)(2n + 1+ 3)
8'
( 20
X21
n(n + 1)(n + 2)
9 ,)
180-168
21-9
12
4
— = — bulunur.
27
9
Verilen eşitlikte yerine yazılırsa
n(n2 +an + b)
3
\
CEVAPA
n(n + 1)(n + 2)
3
n2 + a •n + b = (n + 1)(n + 2)
a = 1 + 2 = 3 ve b = 1-2 = 2
21.
2a + b = 2- 3 + 2 = 8
f(x) = n < x + k) = (x + 1)'.(x + 2)
k=1
CEVAP B
x
g(x) = ] T ( k - 4 )
k -1
18.
(g°f)(3)=g[f(3)]l
n
ı
J '— L
i^ k k(k+1)
(K + -
f(3) = 4 5 = 20 J
n+ 1
20
istenen g(20) = ^ (k - 4) =
k~1
verilen eşitlikte
eşi
yerine yazılırsa
m
1
elde edilir.
42
r f—
n+ 1
20
20
on
E k- 2 >
k=1 k=1
_L A
X
i
#
m f
42
=4* m +1 - 42
91
- ^
- 2° - 4
= 2 1 0 -8 0 = 130
CEVAP E
m = 41
CEVAP C
303
TÜME VARIM VE DİZİLER
ÇÖZÜMLÜ TEST - 5
4.
Diziler ile ilgili uygulamalar: 1
1.
Genel terimi
(-1 /14*1 •(n+2),
n tek is
M /M n + 3 )
2n + 1
n çift ise
Aşağıdakilerden hangisi bir dizi belirtir?
( 3 nı --I2
B) |lo g (l4 -n 2))
t n -1
olan an dizisi için a7 + a12 kaçtır?
f
^ f
l
4n +
l n2 - 2n
log(n + 1) 1
6 - 4n + n2
J
A) 6-
ıs 5-
(an)= I l 3k
k=1
B) 9-
C )38
D) 39
E )3 10
oranı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 4n + 12
B) 4n +18
D) 3n + 4
3.
6.
,
E) 14
an+2
a n +1
I
B)37
D) 12—
O
(an) = (4n 1 (n + 1)!) dizisi veriliyor.
dizisinin dördüncü terimi kaçtır?
A) 36
C)10
C)3n+6
E) 2n + 6
N+ da tanımlı,
v ( 2n + 3 ''ı
genel terimi an = 10n (n!) olan bir dizide
an, an-1 in kaç katıdır?
dizisinin kaçıncı terimi — dir?
A) 7
B) 8
C)
D) 10
A) 10 (n - 1 )
E) 11
D) n - 1 0
304
B) 10n
C)
E)n + 10
2n + 1
10
TÜME VARIM VE DİZİLER
7.
10.
, V ( 1
(an) —! t t
^2
dizisinin 3. terimi kaçtır?
B> T
1
■
2
h— ö-
2n J
dizisinin ilk üç teriminin toplamı kaçtır?
c > le r
d>
A)
1^
11.
B)
Genel terimi,
D)
°>T
11
17
E)
Bir dizinin genel terimi,
8 -n
8.
1
2
3(1-1 ile verilmiştir.
a1 = 1 olduğuna göre, a6 kaçtır?
4 n -2 ,
n = 0(mod5)
n2 +3,
n = 1(mod5)
n + k,
n = 2(mod5)
6
B)_İ T
A)
C )t
d >1
E)
olan bir dizide a6 + a10 + a12 = 110 olduğuna göre,
k kaçtır?
®
A) 4
B) 6
C) 12
D) 14
12.
a0 =1
E) 21
an = — -an-i, (neN, n > 1)
olduğuna göre, a6 kaçtır?
A) İ T
13.
M
"
B)
38
27
C)
C) 5! 6!
D) 5!
. E) 6!
Genel terimi,
-
(n + 1)(n + 3)
neN '
olan dizinin ilk yedi teriminin toplamı kaçtır?
dizisinin 5. terimi kaçtır?
A ) ^
B) İ T
28
27
28
° > 7
28
19
e)
13
B )i
9
305
f
c
>t
d> t
E) 0
TÜME VARIM VE DİZİLER
14.
n>1, n e N +
17.
olmaküzere,
(n -6 )
a ^ n - l +2n
bağıntılarını sağlayan (an) dizisinin genel terimi
aşağıdakilerdenhangisidir?
A) (n2 + 2n)
n -4 n + ;
xn +y
(**»)-
ao = 1
B) (n2 + n)
dizileri eşit diziler olduğunagöre,
x+y- atoplamı kaçtır?
C) (n2 + n +1)
A) 9
D) (n2 + 2)
B )12
C ) 14
D )15
E) 18
E) (n2 + n + 2)
18.
f n
(V.nn*2 +
! nn ))
\
2>3
m=1 ,
dizileri veriliyor.
Buna göre, (an bn) dizisinin 6. terimi kaçtır?
A) 123
B )126
C)130
D )132
E)
dizileri veriliyor.
Buna göre, (an) + (b n) dizisi aşağıdakilerden
hangisidir?
B) fJL'j
(UT lJ
1nJ
°> ( i r )
C) [ — )
19.
Kn )
İ > } (bn)=K )
« ( ^ )
dizileri veriliyor.'
Buna göre, |
A) 16
B) 24
| dizisinin 8, terimi kaçtır?
C) 32
D) 48
E)
20.
* ) - ( ( x + x -2 3 |n + 3 n -8
dizileri eşit olduğuna göre, x + y kaçtır?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
dizisi sabit dizi olduğuna göre, x aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
E) 13
A )- 3
306
B )-2
C )-1
D) 4
E) 5
TÜME VARIM VE DİZİLER
24.
21.
(a„) = (- 3n"
6n+5l°
4
M
J
_( n+1 dizisi
“ l.2n
dizisi sabit dizi olduğuna göre, k kaçtır?
(b" H
A)
jf
B> - f
C> - 1
D) 1
E)
bir alt dizisi olduğuna göre, p kaçtır?
A) 6
B) 5
25.
22.
,
( 10n+p+7
“l
D )- 5
E )- 6
» f 2n-1
[ 6n +
2
dizisi ile (an+,3) dizisi,
(an) dizisinin iki alt dizisi olduğuna göre,
(b n)c ( an)
(ant3) dizisinin 3. terimi kaçtır?
olduğuna göre, p kaçtır?
B) 4
C) - 4
( a 2 n + l)
4n + 6
dizileri veriliyor.
A) 3
^ ) dkisinin'
C) 5
D) 6
E) 7
A)
11
17
23
23.
c - ) - ( S )
olduğuna göre,
(an)
dizisi aşağıdakilerden
hangisidir?
CEVAP ANAHTARI
« fö f)
307
1. D
2. E
3. C
4. B
5. A
6. B
7. A
8. E
9. A
10. E
11. D
12. B
13. A
14. C
15. C
16. D
17. D
18. B
19. C
20. D
21. B
22. B
23. E
24. D
25. C
29
TÜME VARIM VE DİZİLER
test
1.
- 5 ç ö z ü m le r !
A, B, C, E seçeneklerindeki ifadeler bazı pozitif doğal
4.
’(-1)n+1-(n+2), n tek ise
sayılar için tanımsız olduğundan dizi belirtmezler P
H ) - ( n + 3)
2n + 1
( log(n + 1) 'l
4 n + n2 J ifadesi paydasını sıfır
seçeneğindeki I
n çift ise
yapan doğal sayı bulunmadığından dizidir.
a 7 = (-1 )7+1(? + 2) = 9
6 - 4n + n2 =0
a12 “
A = 42 - 4 •1• 6
3
3
a7 + a12 = 9 + — = 9 — olur.
O
ö
A = 16 - 24
(-1)12-(12 + 3)
2-12 + 1
15_
25
A = - 8 < 0 olduğundan kök yoktur.
CEVAP B
CEVAP D
2.
(an) = (4n“1 (n + 1)!)
(*n) = r i 3k
k=1
an+2
4n* 2~1 -(n + 2 + 1)1
an+1
4n_1+1 •(n +1 +1)
a ı = n 3 i= 3
k=1
= 4n+1 (n + 3)!
a2 = n 3 k =31.32 = 3 3
k=1
= 4n •4 •(n + 2)!- (n + 3)
4n -(n + 2)!
4n •(n + 2)l
3
= 4n + 12 olur.
a3 = n 3k=3 l-3 2 -33 = 3D
k=1
a4 = ]^[3 =3 •3 •3 ■3 = 3
k=1
CEVAPA
olur.
6.
an,a n_ı ın
k katı olsun.
CEVAP E
an = k - a nr1
3.
3
k. terimi— olsun.
2
2k + 3
k+5
3
2
10n -(n!) = k -10n—
1- (n —1)1
10n“1 ■10 • (n—1)în = k •10n_1 •(n —1)1
4k + 6 = 3k + 15
k = 10n
olur.
k = 9 olur.
CEVAP B
CEVAP C
308
TÜME VARIM VE DİZİLER
7.
n -2 >
( 2 'İ
+ ••• + ; —
|r|< 1,1 + r + r2 +r 3 + - + r0-1 =
olduğunu hatırlayalım.
4
(an) = ('
l
3n =
1 i
1 1 1
22 + 24 + 26 +
+ 22n-2
an=3-
J
85 =3-
fl 1 + ~4r + - 4r2 + - 443" + - " + n4 r r ]J
K C ]
K + n
n-1+1
1- -
5
a=
5=
21
27
81 J
81
.
olur.
CEVAPA
_4_ JS3_
3 ’ 64
a3 = T
a3 = —
^
65
.
olur.
CEVAPA
10 .
(an)=İ T +4
+4
t®11) = ( t ( 1+t
4 n -2 ,
n -0(m o d 5'
n2 +3,
n + k,
ns=1(mod5)
n = 2(mod5)
6
9
5 +3 = 39
an -
r ) ) yazıiırsa
1- - L
2n
1
2
a" _ T
1
an =1 • 9n
P1
0
a12 = 12 + k
+4
1
2 K il
1
1
10
+
5
il —
4 -1 0 - 2 = 38
+4
+ " +4
1
1
ai =1— — = —
12
1
a2 = 1
2
39 + 38 + 12 + k = 110
k = 110 -8 9
a3 =1-
1 =—
3
4
4
8
8
1
3
7
4+6+7
aı + ao + as = - — + ——+ - — = -----------1 i
6 2
4
8
8
(4)
(2)
(1)
17
olur.
k = 21 olur.
CEVAP E
CEVAP E
309
TÜME VARIM VE DİZİLER
13.
11.
8 -n
(n + 1)(n + 3)
3 ı =1
2
=A
n+ 3
n + 1= 0=>n = -1
8—2
32 = — ~— •3-] —^ 32 = 3 •1= 3
2
= A => A =1
-1 + 3
8 -3
5 . _
a3 - — - — 32 => 33 - — • 3 - 5
n + 3 = 0 = > n = -3
8 -4
a4 = — - —
83
a4 =
s
A
B
-+n+ 1
n+ 3
- _ c
1 •5 = 5
2
=B
n+ 1
2
= B=>B = -1
-3 + 1
8 -5
a5
8—6
n+1
1
n+3
a6 " — ğ— a5 => a6 = — •3 = 1 olur.
J1 = ‘
CEVAP D
a2 = T
a3 =
35 - / ■ ; £
/
1
~T
37 = /8
* ~~W
10
12 .
a0 =1
1
an =
n
45 + 3 0 - 1 0 - 9
90
1
1,
1
3o —— a ı= — 1= —
2
12
1
33 -
1
( n 6 N - n ^ 1)
a1 = 1 -a0 = 1*1 = 1
*
1
aı + a2 +...a7 = — + y - — ■
a n -1
56
90
2
1
1
.1
28
olur.
45
CEVAPA
3 32 ” 3 ’ 2
a4 " 4 ' a3
7 5 -1 9
90
1
1
1
'4
3
2
1 1 1 1
35 _ 5 'd 4 ~ 5 ' 4 ' 3 ’ 2
a6 = y a5 =
olur.
CEVAP B
310
TÜME VARIM VE DİZİLER
14.
17.
nz1, n e N 1
an = a n - ı+ 2 n
r r - 4n + a
(an) = (bn) ise (n -6 ) =
0
a0 =1
xn + y
0
eşitliğine bakılırsa n - 6, n2 - 4n + a nin bir çarpanıdır.
Buna göre, n = 6 için bu ifade sıfır olur.
0 den
62 - 4 - 6 + a = 0=>a = -12
an- a n_.j=2n yazılırsa
n= 1
için
- a© = 2
n= 2
için
=4
n= 3
için
=6
(n -6 ) =
( (n -6 )(n + 2) ^
l
xn + y
J
xn + y
n •!■2 = xn + y => x = 1, y = 2
n = n -1 için
an^ f - ^ rrr 2" = 2 n -2
n= n
an - ^ f = 2n
için
x + y - a = 1+ 2 + 12 = 15 olur.
Uyarı: 0 de içler dışlar çarpımı yapılıp polinom özdeşliği
de kullanılabilir.
CEVAP D
18.
Taraf tarafa toplanırsa
an- a 0 =n(n + 1)
lr r + n j
a„ -1 = n2 + n
(bn)
£ > 3 = (l3 +23 + 33
(an) = (n +n + 1) bulunur.
CEVAP C
|
( V bn) =
12
n2 + n
n2 + n l
2>
^ J
f 12(n2 +n f
(an bn) = | a/2
*
^ 4(rr +n) )
15.
(a„)+ (bn) = ( ^ + ^ - ) = ( | ) o l u r .
(an 'bn) = (^ ’ (n2+n)j
c.t
e
CEVAP C
(on) = (3n2+3n)
İz S f c i r •"
oe"
-
16.
c6 = 3-62 + 3-6 = 108 + 18
4n + 3 1 r xn + 6
(an)-(H h )ls e L n + 2 j ( 2 n + y
- 126 olur.
UVflRI : Bu işlemleri yapmadan a6 ile b6 yı bulup
af, nin pay paydasını 2 ile çarpalım.
çarptığımızda c6 daha kısa yoldan bulunabilir.
12
/ 8n+6\"^/x n + 6 \
\2 n + 4 /J \ 2 n+y/
12
2
62 + 6 " 42 " 7
2
21'
8 = x, 4 = y
x + y = 8 + 4 = 12 olur.
c6 = y -2 1 -2 1 = 2-3-21 = 126 olur.
CEVAP D
CEVAP B
311
TÜME VARIM VE DİZİLER
19.
23 • (a2n+ı) = [
(% .)-
S m
I dizisinin,andizisindenyerine2n+1
ı tir\ + o j
yazılarak elde edildiği görülmektedir.a2n+1 dizisinin n
= (1 + 2 + 3 + -:+ n ) =
^m=1
yerine 2n+1 in tersi yani -n ~ 1 yazılırsa an dizisi elde
edilir.
8 + 8 _ 72
2
2
36
9_
( 2n - 2 +1 \
\ n -1 + 3
[ifc h l
w -
J
8
& )=
x
k
CEVAP E
36' ^ =32oıur24.
CEVAP C
20.
(an) = |(x2 + x - 23)n + 3n - ö)
.(an)c(bn )
(an) = ((x2 + x - 2 3 + 3 )n -8 )
bn dizisinin payında n yerine n + 2 yazılarak an dizisinin
payı elde edilmiş. bn nin paydasında da n yerine n+2
yazıp, an nin paydasına eşitleyelim.
(an) = ((x2 + x - 20) n - 8)
2(n+2) + p = 2n - 1
x2 + x -2 0 = 0 olursa (an) sabit dizi olur.
I
(x + 5 )(x -4 ) = 0
x1 = - 5 , x2 = 4 olur.
2n + 4 + p = 2n - 1
4 + p = —1
i
CEVAP D
-
p = - 5 olur.
S
21.
3n-5k 'ı
sabit dizi ise,
w -(ı+ 4
3 _ -5k
6 “ 4
2 = -5k
k=
5
CEVAP D
25.
(a2n + ı)-|
\I
V, bn + 2 )
yanı
olur.
n -1
< ¥ ) - >
(an) =
22 .
J
I
l
{
A f 5n + 6 ^ /u ^ f IOn + p + 7 ^
(a" ) = l l ^ 7 T j '
4n + 6
yazarsak (an) dizisini bulunuz.
CM
1
c
CEVAP B
dizisinde n yerine 2n+1 in tersini
{ 2
)
3 n -1
J burada n yerine
j
n + 3 yazarsak (an+3 ) dizisini bulunuz.
( jı + 3 - 2 ) _ ( ' n + 1 \
{ 3(n + 3 )-1 J lK 3n +8 J bu dizinin
andizisinin paydasında n yerine 2n+1 yazıldığında bnnin
payladısının elde edildiği görülmektedir. 2n + 1, an nin
payında yazılırsa bn nin payı elde edilir. Buna göre,
33+3
5(2n + 1) + 6 = 10n + p + 7
3+1
3-3 +8
4
9+8
10n + 11 = 10n + p + 7
17
11 = p + 7
olur.
(an+3 ün 3. teriminin an nin 6. terimi olduğu dikkatinizi
p = 4 olur.
çeksin.)
CEVAP B
CEVAP C
312
TÜME VARIM VE DİZİLER
ÇÖZÜMLÜ TEST - 0
4.
Diziler ile ilgili uygulamalar: 2
« "■ (t
1.
İlk n teriminin toplamı,
)
d iz is in in kaç te rim i tam sayıdır?
Sn = n2 + 2n
A) 10
B) 9
C) 8
(an) =
n2 - n + 6
n+ 1
D) 7
E) 6
D) 3
E) 2
D) 5
E) 6
D) 6
E) 7
olan bir dizinin genel terimi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 2n - 2
B) 2n - 3 C ) 3 n - 2
D)n + 4
E)2n + 1
5.
dizisinin kaç terimi tamsayıdır?
A) 6
2.
B) 5
C) 4
Genel terimi,
(«n) = [
4 + 3n + 2 )
olan bir dizinin ilk 10 teriminin toplamı kaçtır?
\
A )t
B)
U ,C )T
D )—
^
E) —
( 3 n -4 ^
{ n+2
J
dizisinin kaç terimi tamsayıdır?
A) 2
B) 3
C) 4
7.
3.
n - 2n - 8
Bir (an) dizisinde a1 = 1,
(an)
-n2 + 5 n -7
V n Z 1 için an+1 = 2n + an
dizisinin kaç terimi pozitiftir?
olduğuna göre, bu dizinin 10. terimi kaçtır?
A) 87
B) 91
C) 94
D) 96
A) 5
E) 98
313
B) 4
C) 3
TÜME VARIM VE DİZİLER
12
8.
.
n -8 n -2 4
n - 3n - 54
(an ) =
(an ) =
dizisinin kaç terimi negatiftir?
A) 9
B) 8
(an) =
C) 7
n+ 1
dizisinin kaç terimi 4 ten küçüktür?
D) 6
E) 5
A) 11
n2 + n -1 2
n+ 2
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
3n - 8n -1 3
(an )!
1 0 -n *
dizisinin kaç terimi - 2 den büyüktür?
dizisinin kaç tane negatif terimi vardır?
A) 5
A) 7
B) 6
C) 5
D) 3
14.
10 .
2n
4 n -3
n2 + 3n -1 3
n+ 1
B) 16
C) 17
D) 18
E) 1
monoton azalandır.
E) 19
3
C) {—
l 2
2nn -1
ö)
monoton artandır.v'
( 8n + 5 >
monoton değildir.
U n -7 j
( 10n-1 }
l 1 “ 2n J
11 .
( an ) =
D) 2
B) I — —— I monoton azalandır.
1-4n
dizisinin tamsayı olan terimlerinin toplamı kaçtır?
A) 15
C) 3
Aşağıdaki diziler için hangisi yanlıştır?
A)
(an) =
B) 4
E) 2
monoton artandır.
2n + 4 n -3 0
n+ 2
dizisinin negatif terimleri toplamı kaçtır?
15.
\
( xn + 5 1
B » -f
E)
dizisinin monoton artan olması için x in en küçük
tamsayı değeri kaç olmalıdır?
19
A) 9
314
B ) 10
C )11
D )12
E )13
TÜME VARIM VE DİZİLER
20.
16.
/
> ( 5n +
dizisininmonotonazalan olması içinx inenküçük
tamsayı değeri kaçolmalıdır?
A )- 2
B ) -1
C )0
D) 1
4n + 7
3 n -5
dizisininebası x,eküsüyolduğunagöre, x+ykaçtır?
E) 2
B) 9
17.
C) ~ Y
D) 8
E) - y -
21.
dizisi monotonartanisepninalabileceği enküçük
tamsayı değeri kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
dizisi veriliyor.
Bunagöre, ebas(an) +eküs(an)toplamı kaçtır?
E) 4
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E)
İS
18.
î ! 22.
(*n)
dizisi monotonartanbirdizi olduğunagöre,
knınenbüyüktamsayı değeri kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D)
n+3
aralığının içinde
dizisinin kaç terim
i
'imi ( l Y İ )
bulunur?
E)10
A) 20
B) 21
C) 22
D )23
E) 24
23.
19. (an) dizisi, pozitif terimli monoton artan bir dizi
olduğunagöre,
(12 - an) dizisi için aşağıdakilerden hangisi
doğrudur?
/
v ( 3 n + ‘\')
A) negatif terimli
B) pozitif terimli
dizisinin ( 59
terimi vardır?
C) sabit dizi
D) monoton artan
A) 220
E) monoton azalan
315
61 ,
B )216
aralığında bulunmayan kaç
C)208
D )192
E) 184
TÜME VARIM VE DİZİLER
24.
28.
(an) = (n2 + 12n + 24)
dizisinin en küçük terimi kaçtır?
dizisinin 2 nin
1
A) 15
komşuluğunda bulunmayan kaç
B) 18
C) 29
D) 32
E) 37
terimi vardır?
A) 44
B) 45
C) 46
D) 47
E) 48
29.
25.
(an ) =
(an) = ^-4n2 + 32n +1j
n2 - 3 6
5n
dizisinin en büyük terimi kaçtır?
A) 68
dizisinin en küçük terimi kaçtır?
A) 14
B) 7
C) - 3
D )- 5
B) 65
C) 48
D) 32
E )- 7
30.
26.
(an) = ( -r|2 + 6n - 1 1j
dizisininenküçüküst.sınırı kaçtır?
dizisininenbüyükterimi kaçtır?
A )
-4
B) —3
C) - 2
D) 1
; --“n
A )1
E) 3
B ) - |-
T + I ."
.C ) i
D) 2
CEVAP ANAHTARI
27.
(a n ) = (n2 - 8n + 2 5 j
dizisinin en büyük alt sınırı kaçtır?
A) 9
B ) 10
C)11
D ) 12
E) 13
316
1. E
2. C
3. B
4. B
5. D
6. A
7. C
8. B
9. E
10. E
11. B
12. C
13. C
14. E
15. Ç
16. B
17. B
18. D
19. E
20. B
21. A
22. D
23. B
24. D
25. E
26. C
27. A
28. E
29. B
30. C
E) 29
TÜME VARIM VE DİZİLER
test
1.
- 6 çözüm ler!
3.
^ =n +2n
sn
=a1 + a 2
+a3
a2 +
+ Sn -1 = a 1 +
+ '"
+ a n -1 + a n
an+1“ an = 2n
a 3 + ' ~~+ a n - l
n = 1 için
s n “ Sn -1 = a n
n2+2n-[^(n-1)2+2(n-1)J=an
n2+2n(n2
+1+^îf-2j =an
/ı2"+ 2 n - ^ + 1= an
^=2
n = 2 için
=4
n = 3 için
=6
n - 9 için
an=2n+1 olur.
- ^
= 18
3-] g —1 = 9 - 1 0
CEVAP E
a10=91olur.
CEVAP B
2.
4.
n2 + 3n + 2
(n + 1)(n + 2)
(n + 1)(n + 2)
n+ 1
< -K f)
B
n+ 2
42!, 5n e tam bölünürse an tamsayıdır,
n, 42! içindeki 5 lerin sayısına eşittir.
n + 1 = 0=>n = -1
42 I 5
A=
n+ 2
-1 + 2
A=4
I İH j ^
n + 2 = 0=>n = -2
4
B= n+ 1
4
n : 1,2, 3,4, 5,6, 7,8,9 için an dizisinin terimleri tamsayı
olur.
4
B = -4
-2 + 1
;4>l rı>ı <4
(n + 1)(n + 2)
n+ 1
8 + 1 = 9 olduğundan
CEVAP B
n+ 2
5.
- '0
n - n+ 6
n+ 6
n+ 1
h = 1 için = —
2
T n2 + n
n+ 1
n -2
-2 n + 6
±2n ± 2
an = n - 2 + -p
n
-
| n + 1 1 1,2,4,8
n + 1 = 1=>n = 0 olamaz.
n= 1 0 i ç i n ^ - i
n + 1= 2=> n =1
1
5
= 2 — - - — olur.
3
3
n+1'=4=>n = 3
n + 1= 8 => n =7
olmak üzere dizinin 3 terimi tamsayıdır.
CEVAP D
CEVAP C
317
TÜME VARIM VE DİZİLER
6.
9.
• n2 + n -1 2
_
an = ---------------- < 0
n
n+ 2
G ül
X,/,5,10
n + n -1 2 = 0
n-j = —4, n2 = 3
n+2
3
3n - 4
+ 3n + 6
n3 = - 2
-1 0
n
_oo
-4
-2
©
OO
3
n + 2 yerine 10 un bölenleri yazılmalıdır,
an
n + 2 yerine 5 ve 10 yazılırsa
t
■
n = 3, n = 8 bulunur. O halde bu dizinin iki terimi
tamsayıdır.
-■
*
*
1< n < 3= >n = 1,2 olduğundan iki terim negatiftir.
CEVAP E
CEVAPA
7.
n + 3 n -1 3
n+1
10 .
n2 - 2n - 8
. . . .
an - —
--------- > 0 olmalıdır.
-n + 5 n -7
pay negatif olursa an > 0 olur.
-n2 + 5n - 7 = 0
A = 25 —4 -(—1)(—7)
A = 2 5 -2 8
A = -3 < 0
a = -1 olduğundan payda daima negatiftir.
-00
n-8
♦
-2
I
0
(J)
-
4
I
0
n+T|
1,3,5,15
n = 2,4,14
n2 - 2n - 8 = 0
n1 = -2, n2 = 4
n
n+ 2 -
15
n + 3n -1 3
n+ 1
+ n2 ?n
2 n -1 3
+
2nT 2
-1 5
n+2
= n+ 2 -
15
n+ 1
a2 = 2 + 2 - — = 4 - 5 = -1
*
3
15
a4 = 4 + 2 - 6 -3 = 3
ra
cc
£
♦
a14 = 1 4 + 2 —
1 6 -1 = 1 5
a2 + a4 + a-|4
1 <n < 4
CEVAP E
n = 1,2,3 için anpozitiftir. Yani bu dizinin üç terimi pozitiftir.
11.
CEVAP C
8.
n2 - 3n - 54
an = - — ö--------- <0
3n +10
2n + 4n - 30
.
an = -------------------- <0
n
n+ 2
2n2 + 4 n -3 0 = 0
n-j = -5 , n2 = 3, n3 = -2
n2 - 3n - 54 - 0
n
- 00
—5
n^ = -6, n2 =9
an
3n2 + 10 her n için pozitif olduğundan n2 - 3n - 54 < 0
olmalıdır.
n
an
-00
+
6
I
©
9
- i
-2
.
©
-ı
00
a
+
dizilerde n yerine en küçük n = 1 yazılabileceğinden
1 < n < 3 'Çin an < 0 olur. Buna göre,
oo
2 •12 + 4 •1- 30
6 -3 0
a-t ---------------------- = -----------=> ai = -8
1
1+2
3
1
- 1 ♦
1 £ n < 9 => n = 1.2,3. 4,5,6, 7, 8 olabileceğinden an nin
8 terimi negatiftir.
2-22 + 4 2 -3 0 _ 1 6 -3 0 _ 7
2 +2
4
" 2
7
23
+ 3 o — —8
olur.
a2 =
a,
CEVAP B
CEVAP B
318
TÜME VARIM VE DİZİLER
14.
12 .
,
n2 - 8n - 24
<4
n+ 1
n2 - 8n - 24
- 4 <0
n+ 1
d iz is i
I. cn + d = 0=>n = ------ >1 ise
c
an dizisi monoton değildir.
<0
n2 -8n - 2 4 - 4 n - 4
n+ 1
v f a-n + b 'l
II. • — < 1ise an dizisi monotondur,
c
n2 -12n -2 8
<0
n+1
1) ad - bc > 0 ise monoton artan
2) ad - bc < 0 ise monoton azalan
n2 - 1 2n - 28 =.0
3) ad - bc = 0 ise sabittir. Buna göre,
n-j = -2 , n2 =14
A) f 2n + 1 \ n = — <1 monoton
' { 4n - 3 J
4
n + 1= 0=>n3 = -1
n
-
- co
an
-
2
)
- 1
+
©
*
14
oo
2(-3) - 4 -1 < 0 = ^ -1 0 < 0 monoton azalan, doğru.
•
B)
1<n<14 olmalıdır. Buna göre, bu dizinin 14 - 1 = 13
tane terimi 4 ten küçüktür.
J’
( 3
3nn --2
2 "l
1
< 1 monoton
1-4n
n~ 4
3 (-4 )-1 - (- 2 )< 0 = i> - 1 2 + 2 < 0
l
CEVAP C
4 n -3
2n-1
C)
13.
3n - 8n -1 3
> -2
8n + 5 ^
¥ ı-7 j ,
2>0
r ıl0 -n 2<
•3n - 8n -13 - 2n + 20
n = — > 1 monoton değildir,doğru.
( 10n —1 *)
1
,
----------- , n = ------<1 monoton
[ 1 -1 2 n j
12
>0
10-n"
n2 - 8n + 7
= — <1 monoton
) ■ +2
3 •(-1 )- (-3)2 = -4 + 6 => 0 monoton artan, doğru.
10- n
3n - 8n -1 3
.
—10 < 0 monoton azalan,
doğru.
10 •(—12) —(—1) •1 = —120 +1 = —119 < 0
>0
10 - n 2
monoton
azalan, doğru (monoton artan verildiği için yanlış)
n -8 n + 7 = 0
CEVAP E
n1 =1, n2 = 7
n 3 = —V 10 , n ^ = ->/l O
»
-4 îö
1
M
m
15.
VÎÖ" <n <7
(<*.)■
4 < n < 7 = > n = 4,5,6 için
xn + 5 ^
ı, n =
2n + 1 )
1
2
< 1 monoton
x -1 -2 -5 > 0 = > x > 1 0 ise dizi monoton artandır.
an, - 2 den büyüktür.
x = 11 olur.
CEVAP C
CEVAP C
319
TÜME VARIM VE DİZİLER
16.
20.
(an) = f - - n + x \ n = — < 1 monoton
v n> \ 4 n -1 /
4
(an) = f ————■'i. n = - f - > - 1 monoton değil.
^ 3 n -5 )
3
n = — = 1,6 sayısına en yakın iki doğal sayı 1 ve 2
5 • (-1) - 4 x < 0 = > -5 < 4 x = > —— < x
olduğundan,
ise dizi monoton azalandır.
4 +7
11
8+7
,.. ...
a-| = ——— = — — , a£ = ——— = 15 sayılarından kuçuk
x = - 1 olur.
11
olanı ebas(an) = — — , büyük olan eküs(an) = 15tir.
CEVAP B
Buna göre, x = — 11
— , y = 15
11 +15
hc = —
19
x + y = ------y
2
2
. (an) = I
|, n = —
p < 1, p > -1 ise monoton
l n+ p )
an + b
cn +d
3p -1 • 0 > 0 =?■p > 0 ise monoton artan
p nin en küçük değeri 1 olur.
dizisi verilsin.
cn + d = 0=>n = ------< 1 isean monotondur.
c
CEVAP B
Bu durumda ai =
liman = — sayılarından
c+d
c
küçük olan ebas, büyük olanı eküs'tür.
18.
(an) = ( n
j , n = -10 < 1 monoton
Örnek:
1-10 —1-k > 0 => 10 > k ise monoton artan,
(a" H İ T T ) ’ n= T <1mo,loton
a-. = 5 + 4 = 9, iiman = — olduğundan
1 3 -2
n 3
k = 9 olmalıdır.
ebasan = — , eküsan = 9
CEVAP D
— <a„ £ 9 olur.
3
CEVAP B
19.
Pozitif terimli, monoton artan bir dizi
21.
n+ 1
olsun.
n+ 2
1 2 -a n =12-
n+ 1
n +2
(an) = ^ gn +ı ı ) ' n = ~ Y = 5,5> ^monotondeğil,
12n + 2 4 - n - 1
n +2
n = 5,5 sayısına en yakın iki sayısı 5 ve 6 olduğundan
11n + 23
n+2
bu dizi n = - 2 < 1 olduğu için monoton,
a5 = -Ş j- = -20. a6 = - ^ - = 23
2-11-1-23 < 0 => -1 < 0 olduğundan
ebas(an) = - 20, eküs(an) = 23
(12 - an) dizisi monoton azalandır.
- 20 + 23 = 3 olur.
CEVAP E
CEVAPA
320
TÜME VARIM VE DİZİLER
22.
24.
/
(an) = ( - ^ r ) dizisinin
1
4
J_
12 < n + 3 < 6
( 2 0 + 1^1
•j
|an - 2 |
koşulunu sağlayan terimler komşuluğun
dışında kalır.
1 2 > ^ -> 6
4
2n + 1
24 < n + 3 < 48
n+ 3
21 <n < 45 =>n: 4 5 -2 1 -1 = 23 tane terimi
f—
l 12 ’ —6 1
J
2n+1-2n-6
n+ 3
CEVAP D
-5
n+ 3
aralığının içinde bulunur.
-2
10
10
>J_
10
n+ 3
£10
5
23.
61 'j
61
J t 20 ’ 20 J
- 60
( 3n + 1 'I r 59
l
n+ 4
n + 3 < 50
n < 47 => 1< n < 47 olduğundan
(an) dizisinin 47 terimi verilen komşuluğun dışındadır.
verilen aralık
20
yazılabileceğinden 3 ün
20 J şeklinde
CEVAP D
komşuluğudur.
25.
(an) =
r n2 -3 6
l
|an - 3| >
koşulunu sağlayan terimler komşuluğun
n
-c o
-
3
^_L
20
I 3n + 1 -3 n -1 2
n+ 4
a-j = -
>_L
©
6
«
35
T
=-
olur.
CEVAP E
20
-11
n+ 4
II
,
-*■ O)
a n
3n + 1
n+4
• 0
+
1
dışında kalır yani verilen aralıkta bulunmaz. Buna göre,
5n
26.
(an) = (-n2 + 6 n -1 l)
T(r.k)
20
dizisinin en büyük terimi,
kolları aşağı doğru bakan
şekideki gibi bir parabolün
tepe noktasının ordinatıdır.
n+4
<20
11
n + 4 <220
n<216
Buna göre,
1 £ n £ 216 olduğundan (an) dizisinin 216 terimi verilen
aralığın dışındadır.
™ = T( - W
U V flR I
! | an - 3 |< * ^ -
komşuluğun
= T(3,a3 ) = T(3,-32 +18
(aralıktaki) terimleri vereceğinden burada bulunan
aralığın dışı alınabilir.
k)
içindeki
___________________________________________________
1l)
= T (3,-2)
y
a3 = - 2 dizinin en büyük terimi olur.
CEVAP B
CEVAP C
321
TÜME VARIM VE DİZİLER
29.
27.
(an) = ^n2 -8 n + 25j
(an) = (-4n2 +32n + l)
dizisinin en büyük alt sınırı
kolları yukarı doğru bakan
şekildeki gibi bir parabolün
tepe noktasının ordinatıdır.
= T(4.a4)= T {4 ,-4 -4 2 +32-4 + l)
tW
0 -t ( - £
= T(4,65) olduğundan bu dizinin en büyük terimi
)
a
a4 =65olur.
= T(4,a4 )
CEVAP B
= t (4/42 - 8 - 4 + 25)
= T(4,9)
a4 =9 bu dizinin en büyük alt sınırı olur.
CEVAPA
30.
1
28.
(an) = [ 1 + y
3
(an) = (n2 + 12n + 24)
1
H
\n+1
T (r- k) =
36 -
= T (-6 ,-12 )
■lütr-, İ
r.i
K
72+24)
i r j
-(t )
'- i
ü'
• .•
Iiman = — olduğundan
h Wr = -6 olamayacağı için en küçüklerim - 1 2 olamaz,
n = 1 alınırsa en küçük terim a, = 37 olur.
eküs(an) = — olur.
CEVAP E
CEVAP C
322
TÜ M E VARIM V E DİZİLER
ÇÖZÜMLÜ TEST - 7
5.
B ir a ritm e tik d izinin ,
Aritm etik dizi ile ilgili uygulamalar:
ilk terimi 7,
1.
sekizinci terimi 28,
B irin c i te rim i 16,
ortak farkı r
O rtak farkı 2 olan b ir a ritm e tik dizin in
oldu ğun a göre, r kaçtır?
ilk 15 te rim in in top lam ı kaçtır?
A) 325
B) 360
C)375
D) 420
E) 450
*> İ
B) 2
C )T
D.) 3
E) T
B ir a ritm e tik dizin in
B ir aritm e tik dizinin,
ilk 20 teriminin toplamı 160,
8. te rim i a oldu ğun a göre,
ortak farkı 2
2. ve 14. te rim le rin in toplam ı kaçtır?
oldu ğun a göre, ik in c i te rim i kaçtır?
A) 3a
3.
B) 2a
C);
D)
E)
A )- 9
C )-7
D) 6
E) 9
(an) a ritm e tik dizisinde,
7.
(an) a ritm e tik dizisinde,
a5 = 6
a3 + a6 = 39
3,5 = 26
a6 + a 7 « 54
oldu ğun a göre, an aşağıdakilerden hangisine e ş ittir?
A) 2n + 4
B )2n - 4
D )-2 n -4
4.
B) - 8
oldu ğun a göre, bu dizin in o rta k farkı kaçtır?
C )-2 n + 4
A )- 3
B ir a ritm e tik dizinin,
8.
D) 2
E) 3
dokuzuncu terimi 28
5. ve 10. terimlerinin toplamı 82
olan b ir aritm e tik d izin in o n b e şin ci te rim i kaçtır?
olduğuna göre, bu dizinin ortak farkı kaçtır?
B) 2
. C)1
Beşinci terimi 12
2. ve 7. terimlerinin toplamı 64
A) 1
B) - 2
E) 4n -2
C) 3
D) 4
A) 48
E) 5
323
B) 52
C) 54
D) 56
E) 60
TÜME VARIM VE DİZİLER
S.
3, 6, 7 + a, x + 2a, •••
14.
dizisi, bir aritmetik dizi olduğuna göre, x kaçtır?
A) 8
B) 6
C) 5
D) 4
a, 2a +1, 3a + 2,
aritmetik dizisinin 11. terimi 98 olduğuna göre, ilk
terimi kaçtır?
E) 3
A) 5
B) 6
C) 7
D)
E)'
10. İlk n teriminin toplamı n-(n + 2) olan bir aritmetik
dizinin yedinci terimi kaçtır?
A) 12
B )13
C ) 14
D )15
15.
E )16
3
3
3
aritmetik dizisinin baştan kaç teriminin
toplamı 128 dir?
11.
A) 16
B )18
C )20
D )24
E )28
4, 4- - , 5,- 2
aritmetik dizisinin 10. terimi kaçtır?
A) 6-
C) 8 y
B) 7-
D) 9 -1
E) 10
16. Yaşları toplamı 48 olan 6 kardeşin yaşları bir aritmetik
dizi oluşturmaktadır.
12. Bir aritmetik dizinin,
onuncu terimi 21,
En küçük kardeş 3 yaşında olduğuna göre, en büyük
kardeşin yaşı kaçtır?
yirminci terimi 26
A) 9
B )13
C ) 14
D )15
E )17
olduğuna göre, beşinci terimi kaçtır?
A)
B )f
o
f
o
f
e ,f
17.
denkleminin kökleri bir aritmetik dizi oluşturduğuna
göre, ortanca kökün değeri aşağıdakilerden
hangisine eşittir?
13.
10
3
aritmetik dizisinin ilk onbeş teriminin toplamı kaçtır?
A) 175
B ) 140
x3 + ax2 + bx + c = 0
0)125
D )110
A)
a + b+ c
B)
a+b
o - !
E) 75
D)
324
a -b
E> - f
TÜ M E VARIM VE D İZİLER
18. Dışbükey bir dörtgende açılar bir aritmetik dizinin ardışık
dört terimidir.
22. Bir aritmetik dizinin ilk terimi a, onuncu terimi 5a
olduğuna göre, yedinci terimi aşağıdakilerden
hangisidir?
En küçük açı 30° olduğuna göre, en büyüğü kaç
derecedir?
A) 160
B )155
C ) 150
D )145
11a
B> —
E) 140
23.
c >4a
D)3a
E)
10a
- 4 ile 28 arasına bu sayılarla bir aritmetik dizi oluşturacak
biçimde 7 sayı yerleştiriliyor.
B una göre, ye rle ştirile n 6. terim kaç o lu r?
A) 8
19. (an) aritmetik dizisinde,
B) 12
016
D) 20
E) 22
a8 = 6 + sin22x
a18 = - 9 + cos22x
24.
olduğuna göre, dizinin ilk 25 teriminin toplamı kaçtır?
A )- 2 5
B) - 24
C ) -2 2
D)22
6 ile 45 arasına bu sayılarla bir aritmetik dizi oluşturacak
biçimde 12 terim yerleştiriliyor.
E)25
Buna göre, yerleştirilen terimlerin toplamı kaç olur?
A) 286
B) 290
C)294
D) 300
E) 306
25. - 8 ile 167 sayıları arasına bu sayılarla bir aritmetik dizi
oluşturacak biçimde 24 terim yerleştiriliyor.
20. İlk n teriminin toplamı,
O lu ş a n d iz in in g e n e l te r im i a ş a ğ ıd a k ile rd e n
n2- 2 n
hangisidir?
olan bir aritmetik dizinin genel terimi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 2n
B) 2n + 1
D) 2n - 1
A)7n - 1 5
B)7n
D) 6n
C) 2n + 2
13
12
O 7n
E)6n- 15
E) 2n - 3
CEVAP ANAHTARI
21.
x3 - 3ax2 + 6x - 4 = 0
denkleminin kökleri bir aritmetik dizinin ardışık üç
terimi olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerin
çarpımı kaçtır?
A )- 3
B )-2
C ) -1
D)
E) 3
325
1. E
2. B
3. B
4. C
6. E
7. E
8. B
9. A
10. D
11. C
12. E
13. C
14. D
15. A
5. D
16. B
17. E
18. C
19. A
20. E
21. B
22. B
23. D
24. E
25. A
10
TÜME VARIM VE DİZİLER
TEST - 7 ÇÖZÜMLERİ
4.
1.
a 2 + a7 = 6 4 = > a 1+ r + a1+ 6r = 64=>
2a1+7r = 64
^ =16, r = 2, s,5 =?
a 5 + a 10 = 82 => aı + 4r + aı + 9r = 82 => ^28! ^ 13r = +82
Bir aritmetik dizide ilk n terim toplamı:
■6r = -18
= -^-[2aı+ (n-1>r] dir.
r = 3 olur.
SlS' - "V *[2 •16 + (15 ~ 1) - 2]
CEVAP C
s,5 ~ ( 3 2 + 26)
5-
a! = 7. a8 = 28 ise r = ?
ag = aı + 7r
S l5 = -y --6 0
28 = 7 + 7r
^ 5 =450 olur.
21 = 7r
CEVAP E
r = 3 olur.
2.
Bir aritmetik dizide:
CEVAP D
an = a1+ (n - 1)r veya an = ap + (n - p)r dir.
âg = â İS0 â2 ^ a14 = ^
as = a2 + (®.“ 2)r => a = a2 + 6r
ra 6.
s2q =160,
r = 2 ise a2 = ?
a2 - a - 6r
sn = _2"(a1+ a2)
ai4 = a8 + O4 “ ®)r => at4 = a8 + 6r
20
160 = - ^ - ( aı+ a 2)=> a-|+a2 =16
=>a14= a + 6r
a2 = a-| + r => a2 = a-, + 2 => a2 - a-, = 2
a2 + a14 = a - 6 r + a + 6r
= 2a olur.
2a2 =18
CEVAP B
3.
a2 = 9 olur.
a5 = 6. ai5 =26
CEVAP E
ai 5 = a5 +(15-5)r
26 = 6+10r
20=10r=>r=2
7.
an = a 6 + (n -5)-2 veyaan = a 15 +(n-15)-2
83+85 = 3 9= > a ı+ 2r+ aı+ 4 r = 39=>
2aı + 6r = 39
ag +a7 = 54=>a1+ 5r + aı + 6r = 54=> ?2aı t 11r= t 54
an= 6 + 2 n -1 0 veyaan *2 6 + 2 n -3 0
—5r= —15
an = 2 n -4 veyaan = 2 n -4 olur.
r = 3 olur.
(an nin a5 veya a15 yardımıyla bulunabileceğini görelim.)
CEVAP E
CEVAP B
326
TÜME VARIM VE DİZİLER
8.
a5 = 12 ,
a9 = 28
12.
15 — r
a9 = a5 + 4r
a i 5 = 35 + 10 r
28 = 12+4r
a15 =12+10-4
4r = 16
a15 =12 + 40
r=4
a! 5 = 52 olur.
a20 = aıo + (20 - 10 )r
26 = 21 + 10 r=>r =
a10 = a5 +5r
21 = a* + 5 •— => a5 = 21 - —
5
2
5
2
CEVAP B
3, 6, 7 + a,
a10 = 21, a20 =26 ise a5 =?
37 .'
=>a5 = - ^ - olur.
x + 2a, •••
r = 6 —3 = 3, 7 + a —6 = 3
CEVAP E
a + 1 = 3 => a = 2
x + 2-2 = x + 4
13.
x + 4 -9 = 3
x -5 = 3
4 7 10 13
3 ’ 3 ’ 3 ’ 3 ’
3
x = 8 olur.
—■
CEVAPA
3
3
3
4 - + ( n - 1)- 1 =>an = 4 — 1 + n 10.
n r. i
.A 1
-+n :
sn_1=(n-1)(n + 1) = n2 -1
s n — s n -1 = a n
=>a15= T1 + i1** = .4<
^ 3- •'-••
15
(a1 +a-|5)
S15 = ~2~
15 ( 4
46
s15 = ~2~1 3 + 3
a 7 = 2 -7 + 1
a 7 =15 olur.
CEVAP D
11.
,
sn =n(n + 2) = n2 +2n
15 50 c
------- = 5S l5 = ^ _ 3
CEVAP C
4,4— ,5,--2
1
a1= 4. r = y
14.
an = a1+(n-1)r
an = 4 + ( n - 1 ) ~
^
a„ =
1
"2 "
310 = ~2
J1o
r.
.a-
r = 2a + 1 -a = > r = a+1,
a-jı = a-j + 10 r
1
2
o- .ı'l
98 = a + 10(a + 1)
an
n = 3 ^2 - + —
2 n
1
a , 2 a + 1,3a + 2,•••
â-j ■)= 98 İS6 3-f = ?
98 = a + 10a + 10
1
2
10
2
11-a = 88
,
.
a= 8
aj = a = 8 olur.
- ~ = 8 - l- olur.
2
2
CEVAP C
327
ila uf?f.
CEVAP D
TÜME VARIM VE DİZİLER
15.
17.
3, ü , J l .
3
3
13
3
x3 + ax2 + bx + c = 0 denkle minin kökleri
....
Xı, X2 , x3 ise
3
11
3 ^
2
X2 = X1+ X3
2
2
3
a-| =3
2x2 = X-, + x3
an =aı + (n-1)r
v ! *2+
Jx =
an = 3 + (n-1)-^-
2Xn
3xo =
S p = y (a ı+ a n)
3 x9
-----
128 = — f3 +— n +— 1
2 l
3
3J
Xo =
2
3
olur.
CEVAP E
28 = J L f A n + J l )
2 3
3 J
{
128 =
n + 8 n -1 2 8 -3 = 0 1
n2 + 8n -1 6 ■24 = 0
18. Açılar A, B, C, D ise
(n-16)(n + 24) = 0
m(Â) + m(B) + m(C) + m(D) = 360°
n = 16 olur.
İlk 16 teriminin toplamı 128 olur.
m(Â) = 30°, m(e ) = m(§)^ m(5)
CEVAPA
2m(C) = m(B) + m(D)
[3 de yazılırsa
30°+2m(C)+m(C) = 360°
3m(C) = 330°
16.
sg = 48 a1 = 3
m(C) = 110°
ise a6 = ?
m(B) =
m(Â) + m(C)
2
s6 = — (3 + a6)
m(B) =
30°+110°
z
48 = 3(3 + a6)
m(B)= 70°
48 = 9 + 3a6 )
r=m(B) - m(Â) = 70°-30o=40°
= ~ 2 (a 1 + a n )
(a6 =en büyük kardeşin yaşı)
3a6 = 39
m(Â) = 30°, m(B) = 70°, m(C) = 110°,
aR =13 olur.
m(D) = 110®+40°=150° olur.
CEVAP C
CEVAP B
328
TÜME VARIM VE DİZİLER
19.
21.
a8 =6 + sin2 2 x
3ax2 + 6x - 4 = 0
Kökler x1t x2l x3 ise
aıe = - 9 + cos2 2 x ise ^ 5 = ?
Xj + X3
a^Q + a8 = -3 + sin2 2x + cos2 2x
'
2x2 = x1 + x3
1
a 18 + a 8 = “ 2
X, + X2 + X3
a18 - afl = -1 5 + cos2 2 x - sin2 2 x
2x2
cos4x
2a18 = -1 7 + cos4x
3x* 2 -- — 3a
3
~
i
3x2 = 3a
2 •(-9 + cos2 2x) = -17 cos4x
x2 = a
-18 + 2 cos2 2x = -17 + cos4x
a3 -3 a 3 + 6 a - 4 = 0
2cos2 x -1 = cos4x
cos4x = cos4x olduğundan x = 0 alınabilir.
-2a3 + 6 a - 4 = 0
Bu durumda a8 = 6 , a18 = -8 olur.
a3 - 3a + 2 = 0
a18 =a 8 + 10 r
2
a.) •a2 •a3 = — — = -2 olur.
- 8 = 6 + 10 r=>r = —\
(ax3 +bx2 +cx + d = 0 denkleminde
5
a8 =aj + 7 r= > 6 = a 1+ 7 ^ - y j = > a 1= - y -
a25 = aı
79
+ 24r =
nA(
7\
+ 2 4 ^ -—
J =>
a25 -
xr x2 x3 =
a
yı hatırlayalım.)
89
— —
CEVAP B
'7 9
s25 = - y - ( aı +a
i l |
2 i. 5
8 9 'L
5
,I
*
2
.
1
s25 = -2 5 olur.
22.
CEVAPA
a^ = a, a^Q = 5 a a7 = ?
a 10 = a 1 + 9r
5a = a + 9r
9r = 4a
4
r=— a
9
20.
sh =n2 -2n
a7 =a^ + 6r
a1+a2 +a3 + - ^ = s h = n2 -2n
a7 = a + 6 — a
9
+ a2 + 83 + ••-an.-ı = Sn_-j = (n -1)^-2(n - 1 ) = n2 - 4n+3
a7 —a ■
8a
^ =sn- s n-1 = 2 n -3
= 2 n -3 olur.
a7 =
7
3
olur.
CEVAP E
CEVAP B
329
TÜME VARIM VE DİZİLER
23.
25. - 8 ile 167 arasına 24 terim yerleştirilirse
a ile b arasına bu sayılarla birlikte bir aritmetik dizi
oluşturacak şekilde n tane sayı yerleştirilirse oluşan
n + 2 terimli aritmetik dizinin ortak farkı,
r
b -a
■
------— olur.
...n+1
24 + 2 = 26 terimli bir aritmetik dizi oluşur.
.....................
f '
Buna göre, - 4 ile 28 arasına bu sayılarla birlikte bir
aritmetik dizi oluşturacak, şekilde 7 sayı yerleştirilirse
oluşan 9 terimli aritmetik dizin ortak farkı,
an =aı + (n-1)r
an = - 8 + (n-1)-7
an = 7 n -1 5 olur.
28 - (-4 j "32
A
r = — - V ' = - — = 4=>r = 4
7+ 1
8
CEVAPA
an = a 1+ (n —1)r
an = —4 + (n —1)4
an = 4n - 8
yerleştirilen 6. terim andizisinin 7. terimi olduğundan,
a7 = 4 -7 = 2 8 - 8 = 20
.... .
a7 =20 olur.
S* İ f i c
'
. .. :
V : v . v
Vî* l
'
CEVAP D
24. 6 ile 45 arasına 12 terim yerleştirilirse.,12..+ 2 = 14 terimli
bir dizi oluşur.
a, = 6,%jip*45.-:’i;-:
S n = y (a ı+ a 'r,V
5 1 4 = ^ ( 6 + 45)
3 ,4 -7 -5 1
.v'} ö'^4 =‘357 •
- • •’
1 6 7 -(-8 )
175
=>r = 7
24 + 1 " 25*
• • : '*.■
yerleştirilen terimlerin toplamı istendiğinden s14 ten
6 + 45 = 51 i çıkaralım.
357 -+51 =306 olur.
CEVAP E
330
TÜME VARIM VE DİZİLER
ÇÖZÜMLÜ TEST - 8
G eom etrik dizi ile ilgili uygulamalar:
D ö rd ü n c ü te r im i 1, y e d in c i te r im i —
o
o la n b ir
ge om etrik dizin in y irm in c i te rim i kaçtır?
1.
B ir ge om etrik dizinin,
E)
üçüncü terimi
220
altıncı terimi
o ldu ğun a göre, ilk te rim i kaçtır?
5.
A) 9
B) 3
C) 1
E)
B ir ge om etrik dizinin,
27
ilk terimi a
ortak çarpanı 2
n. terimi b dir.
Bu dizin in ilk n terim toplam ının a ve b ye bağlı olarak
İfadesi aşağıdakilerden ha n g isid ir?
A) b - 2a
B) b + a - 1
D) b - a
2.
C )b -a + 1
E) 2 b - a
Bir geometrik dizinin, birinci ve üçüncü terimleri
çarpımı 25, beşinci terimi 40 olduğuna göre, yedinci
terimi kaçtır?
A) 80
B) 120
C) 160
D) 170
E) 240
6.
Bir geometrik dizinin ilk üç terimi,
a - 3, 2 a - 3 , 4a + 3 tür.
Buna göre, bu d izin in be şin ci te rim i kaçtır?
A) 243
3.
7,
B ir ge om etrik dizinin,
B) 81
C) 63
D) 54
E) 45
Bir geometrik dizinin ilk altı teriminin toplamının, ilk üç
teriminin toplamına oranı 2-J2 dir.
ilk terimi — ,
B una göre, bu d izin in r ortak çarpanı kaçtır?
ikinci terimi 3
A) 2\/ÎF
B) 2-J2
C) 2>İ2 ^1
olduğuna göre, altıncı terimi kaçtır?
A) 28
B) 30
C) 32
D) 39
D)
E) 48
331
E) 3/272 -1
TÜME VARIM VE DİZİLER
8.
Bir geometrik dizinin üç terimi sırasıyla
12. Bir geometrik dizinin,
beşinci terimi 4,
x - 2 , x + 1,x + 5
olduğuna göre, x kaçtır?
A )-1 1
B) - 10
C)1.0
D) 11
ortak çarpanı —
E)12
olduğuna göre, onikinci terimi kaçtır?
A)^ f
9.
B> lV
C>T
°>T
E )y
Bir (an) geometrik dizisinin
onüçüncü terimi 16,
onyedinci terimi 8
13.
olduğuna göre, yirmibeşinci terimi kaçtır?
A) 2
B )y
C) 27
D) 2-
x3 - 2x2 + ax - 8 = 0
denkleminin kökleri, bir geometrik dizinin ardışık üç
terimi olduğuna göre, a kaçtır?
E) 24
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
1
I
10. Ortak çarpanı 2 olan bir geometrik dizinin ilk üç
teriminin çarpımı 216 olduğuna göre, bu dizinin
beşinci terimi kaçtır?
A) 16
B) 24
C) 48
D) 96
2x3 - 3x2 - ax - 16 = 0
14.
denkleminin kökleri, bir geometrik dizinin ardışık üç
terimi olduğuna göre, a kaçtır?
E) 112
A )- 6
B) —4
C )-3
D) 3
E) 4
11. Bir geometrik dizinin,
ortak çarpanı —
15.
C)
arasına bu sayılarla birlikte bir geometrik
Oluşan bu dizinin üçüncü terimi kaçtır?
olduğuna göre, bu dizinin tüm terimlerinin toplamı
kaçtır?
B) T
8
dizi oluşturacak biçimde 4 sayı yerleştiriliyor.
dördüncü terimi
A) T
9
— ile
27
D )—
A)
E) 18
332
B)
C)
D) 1
E)
TÜME VARIM VE DİZİLER
16.
14 ile 896 arasına, bu sayılarla bir geometrik dizi
oluştaracak biçimde 5 sayı yerleştiriliyor.
20.
Bir geometrik dizide ilk n terimin toplamı
Sp = —— —— dir.
^
4
4 -3n
Oluşan bu dizinin dördüncü terimi kaçtır?
A) 112
B) 98
C) 84
D) 70
E) 56
a 6 -3X =-~olduğuna göre, x kaçtır?
A)
4
a, 3, b bir geometrik dizinin ilk üç terimi olduğuna
göre, a2 + b2 kaçtır?
B)48
C)46
D) 45
C) 6
D) 7
E) 8
21. (an) pozitif terimli geometrik dizisinde,
17. a, 4, b bir aritmetik dizinin ilk üç terimi,
A) 64
B) 5
= 73
a5 +a6
E) 36
olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
D) 112
E ) 128
22. (an) geometrik dizisinde,
18.
a -2 ,
3a, 2a + b
64
27
dizisi hem aritmetik, hem de geometrik dizi olduğuna
göre, a - b kaçtır?
A) 2
B) 1
C )0
D ) -1
E) - 2
olduğuna göre, a3 kaçtır?
A) 16
B) 64
C) 84
CEVAP ANAHTARI
19.
2x3 + ax2 + bx + 2 = 0
1. B
denkleminin kökleri hem aritmetik, hem de geometrik
bir dizi oluşturuyorsa, a + b kaçtır?
A) 6
B) 8
C)10
D )12
E) 14
333
2. C
3. E
4. B
5. E
10. C
6. A
7. E
8. D
9. A
11. B
12. A
13. D
14. A
15. D
16. A
17. C
18. C
19. D
20. C
21. E
22. D
TÜME VARIM VE DİZİLER
TEST - 8 ÇÖZÜMLERİ
1.
3.
1
1
o
a3 = y . a6 = *ğ3j” ,se aı = ?
J1 = — . a2 = 3 ise a6 = ?
Bir geometrik dizinin genel terimi,
a2 = a f
an =a1 rn_1 veya an = ap rn_p dir.
3=± r
2
Buna göre,
r=2
= a1r
3
o5
3g —3-16
a6 =48 olur.
a6 = a3 ■r6 3
CEVAP E
36 = a3 •r3
—L = _1_. r?
81
3
3
r.
4.
1
27 ^ f
a3 =
1.
3
1
a4 =ı, a7 = —
.
a20 = ?
20 -4
a 7 - aa 4 rr7 " 4
a20 "3*1 T'
a7 = a4r3
a20
■r3-1 veya a6 =.a1• r6-1
y1 = a r r2
veya j ^1 = B y r5
■ '( i) '
= 1 •r
|
olur.
= ar ( ± ) 2 veya J r = ar ( | ) S
1 •O
al = -—
9 veya—1 = a1-—1 —
•3
81 1 243
CEVAP B
a1 = 3 veya a! = 3 olur.
CEVAP B
a-\ ■a3 = 25,
•aj •r2 = 25
(af)2 = 25
5.
a5 = 40 ise a7
a-| = a, r = 2, an = b ise Sf, = ?
Bir geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı:
a f 4 = 40
1 -r n
sn = a1
( r * 1) dir.
a n = a 1r"~1
Sn = 3'
— •r4 = 40
af =5
5
a'~ T
1 -2 n
1-2
b = a-2n- 1
r=2
-7—5
37=85 -r'
2 b = a •2 n
3 7 = 85^
2n = _2b_
f a -2 b
a7 = 40 •22
sn = 2 b - a olur.
a7 =160 olur.
CEVAP E
CEVAP C
334
TÜME VARIM VE DİZİLER
6.
a1 = a - 3,
9.
Bir geometrik dizide
a13=16, a-|7 = 8 , 825 = ?
a
- a
r1 7 " 13
a 17 “ a 13 ' r
a n = a n -p ' a n+p d ir -
,r4
a i 7 = a 13
a
- a
r 2 5 " 17
a 2 5 “ a 17r
(-4 )
a 2 5 = a 17r
a | =a, a3
4
8 = 16 •r
3 2 5 = 8 d
(2a - 3)2 = (a - 3) •(4a + 3)
_4
4/0Z"-12a + 9 = 4/az /- 9 a - 9
1
:
.
a25 = 2 olur.
18 = 3a=>a = 6
CEVAPA
(a-| = 3, a2 = 9, r = 3)
a5 =a1 r
10. r = 2, a\ -a2 a3 =216
a s = 3 .3 4
a5 =35
a y a f a f =216
a5 = 243 olur.
a13 -r3 = 6 3
a f = 6 => &-\= 3
CEVAPA
a5 = a ,-r4
7.
a5 = 3 •24
^ - = 2-j2
s3
a5 =3-16
1 -r6
a1'
1 -r
a1'
1 -r
a5 = 48 olur.
:2V2"
CEVAP C
1-r
1 -r
.e 11.
2V2"
1
1
r = — , a a = — ise sh = ?
3
4
9
n
1 -r
sn = ar -
= 2-^2
1 -rn
1 -r
H iJ
1+ r3 = 2>/2”
İ - H
i î
1-
r3 = 2~J2 -1
r = yj2-j2 -1 olur.
CEVAP E
8.
TT = a1
27
aı = 3
a1 = x -2 , a2 = x + 1, a3 = x + 5 ise x = ?
2
a2 = a-| •a3
lim | —
n-»«o
(ir -
olduğundan
(x + 1)2 = (x - 2) •(x + 5)
»
x2 +2x + 1 = x2 + 3x~10
i
olur.
x = 11 olur.
CEVAP B
CEVAP D
335
TÜME VARIM VE DİZİLER
12.
35=4, r = y
15. J _ ile 3
arasına bu sayılarla birlikte bir geometrik dizi
4
27
oluşturacak biçimde 4 sayı yerleştiriliyor a3 = ?
ise £H2 = ?
ai 2 = as •r
a12
- m '
UVRRI: a ve b pozitif reel sayıları arasına bu sayılarla
birlikte bir geometrik dizi oluşturacak şekilde n tane
a12 = 22 - ^ .
sayı yerleştirilirse, oluşan n + 2 terimli geometrik dizinin
ortak çarpanı, r =n+1—
ai2 = ~ r - 32 °iur2
CEVAPA
Buna göre,
13. x3 -2 x 2 + a x -8 = 0 denkleminin Kökleri xv X2>x3
x2 = x-j • x3 tür.
.
8
27
r = 4+1
bunlar bir geometrik dizinin ardışık üç terimi ise,
X4
dir.
8
27
4
XO . XO
s- => r = ■
—
5
3
a 3 = a 1r
9
a3 = — ■
x2 = 8 => x2 = 2
Kök denklemi sağlayacağından
83 “ T
23 - 2-22 + a- 2 - 8 = 0
_4_
9
a3 = 1 olur.
8 - 8 + 2 a -8 = 0
CEVAP D
2a = 8 => a = 4 olur.
CEVAP D
16. 14 ile 896 arasına 5 sayı yerleştiriliyor.
14. 2x3 - 3x2 - ax -1 6 = 0
=5+1/
x 2 = X1 • x 3
896
14
x1 x2 x3 = - —
r = V 64
x2 = 8
r=W=>r =2
x2 = 2
2-23 - 3-22 - a - 2 - 1 6 = 0
a4 = a-f ■r3
> ^ -1 2 -2 a > ^ = 0
a4 = 14 -23
2a = -12
a4 =14 •8
a = -6 olur.
(a-| =14)
a4 =112 olur.
CEVAPA
CEVAPA
336
TÜME VARIM VE DİZİLER
17.
a, 4, b =>4
a+b
2
19.
2x3 +ax2 + bx+ 2 = 0 denkleminin kökleri
Xl.*2>x3 ise X1 = x2 = x3 olmalıdır.
=>a + b = 8
x1+ x2 + x3 = - —
a
a, 3, b => 32 = a •b
=>ab = 9
Xı
a2 + b2 = (a + b)2 -2ab
X1 • X2 • X3
------
= 82 - 2 •9
= 6 4 -1 8
x? = — y => x f = -1 => x-| = -1
= 46 olur.
CEVAP C
2 •(-1) + 6 -1 -b + 2 = 0=>b = 6
a + b = 6 + 6 = 12 olur.
CEVAP D
I
20.
4-3n
I
18. a - 2, 3a, 2a + b hem aritmetik hem de geometrik dizi
ise a - b = ?
ae -3>
Sn= T
42
ise x = ?
lim — - 0 İ
n—
»od 3'in
J
p ( + ^ + p ^ + - - ^ + an = — /
\
+ p li + ' " +
U Vflfll s a, b, c sayıları hem aritmetik dizi hem
4 -3n
■+ 4 A 4 ■3n_1
1
1
geometrik dizi oluşturuyorsa a = b = c dir.
4-3° ‘ 4 • 3n_1
1
3
Bir dizi hem aritmetik hem de geometrik dizi ise sabit
4 -3n
2
dizidir. Aritmetik dizi gibi düşünüldüğünde ortak fark 0,
geometrik dizi olarak düşünüldüğünde ortak çarpan 1
4 • 3n
4 -3n
1
dir.
2-3n
n = 6 için a6 =
Buna göre,
E
2-3
a - 2 = 3a = 2a + b
•3 = —
2
1
a - 2 = 3a=>a = -1
a6
2-3x
[3 ve [2 ] nin ikinci yanlan eşitlenirse
1
1
3a = 2a + b => -3 = -2 + b
=>b = -1
i
2-3x
2-3
2 3X 2-36
3 =3
x = 6 olur.
a - b = -1 + 1= 0 olur,
dizi: -3, - 3, - 3 tür.
CEVAP C
CEVAP C
337
TÜMEVARIM VE DİZİLER
21.
a5 +
a5
22 .
a8 _ 73
a3
_
+ a6
a f 4 + a f7
64
27
a1r‘
= 73
a-ı •r + a f 5
al rv
64
27
X r4 '(1+ r3) = 73
^ r 4 (1+ r)
( H - r ) d - r t r 2)
1+r
r3 = ^
64
= 73
■m ’ - ı
a4 +85 =147
1 -r + r2 =73
a f 3 + a f 4 =147
r2 - r - 72 = O
-9
a1 -|r + r2j = 147
8
(r —9) (r+8) = O
ar r‘
'( ! * ! ) =
r, = 9, r2 = - 8
(4)
an pozitif terimli bir dizi olduğu için r = 9 olur.
CEVAP E
ar r
1 f)-
147
2 _ > ^ -16
— 1 T ”
a1 r2 = 11 2 =»a3 =112 olur.
CEVAP D
338
TÜME VARIM VE DİZİLER
ÇOZUMLU TEST - 9
5.
1 < y < 3 olmak üzere,
Sonsuz toplam (seri) ile ilgili uygulamalar:
1.
(II
toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
sonsuz toplamının değeri kaçtır?
A)
A)
D) 2
C)
B)
B)
3 -y
3
c)
3 -y
E) 3
3+ y
E) 6 - 3 y
D) 3y
i—j n2n
n=0 o
6.
sonsuz toplamı (seri) nin değeri kaçtır?
A)
3
3
B>t
c>ır
D)
1 < x < y olmak üzere,
5
5
e
E)
I
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
ra
S
A) İ Z .
3x
3.
B)
3x
C)
4y
3y
3 x -5 y
yJ+2^_
t —i on
n=0
D)
4
4y
4 y -3 x
E)
4y + 3x
4y
toplamının değeri kaçtır?
A) T
B) T
0)3
D) 5
E) 10
4.
7.
00 / o \2 - n
«
8 16 + •••
6 - 4^ + —----—
3
9
S®
sonsuz toplamının değeri kaçtır?
toplamının değeri kaçtır?
A)
b> t
C)1
D) 3
14
A )- r
11
E)
339
16
b) t
"
17
C )t
D)
18
E)
19
TÜME VARIM VE DİZİLER
8.
12.
(1
M i
n=3
\n-1
n =0
toplamının değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?
sonsuz çarpımının değeri kaçtır?
ir
B)
1
c>
7 1 -1
A)
B) 81
C
) f
D)4
E)
D) 16
E) 18
D)
E) 5
E)
D) —
TC
7C2 + 1
13.
9.
y
fa
S (0,5
K=-3
1____ 1
f
l n2 +7n + 12
)
i
toplamının değeri kaçtır?
toplamının değeri kaçtır?
A) 3
C)
B)
A) 13
D)
B) 14
C ) 15
E)
14.
10.
00 ,
\-2n
2n + 3 n
E
4n
n =1
toplamının değeri kaçtır?
toplamının değeri kaçtır?
B)
~2Ö~
C)
D)
A)
E)
C )4
B)
11.
2n_1+4
s
n =1
15.
3n
toplamının değeri kaçtır?
A) T "
B) T "
c) T
0,27 + 0,027 + 0,0027 + 0,00027+
sonsuz toplamının değeri kaçtır?
D)
A)
E) 3
340
27
19
B)
10
C)
D)
11
E) 9
TÜME VARIM VE DİZİLER
16.
20. 0° < x < 90° olmak üzere,
' 0+1
n-1 V
■14n
co
^ 6 c o s nx = 12
84n
n=0
toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
20
B> ^
A) 6
olduğuna göre, x kaç derecedir?
E)
C )7
A) 15
21.
17.
O 2
0,5 + 0,05+0,005 + 0,0005 ı-
B)
9
C )T
C) 45
2
D) 60
E) 75
2
5n-1
+ 3 + 9 + 27
toplamının değeri kaçtır?
A)
B) 30
toplamının değeri kaçtır?
D) 2
E) 3
A ) f
22.
18.
B ) |
O
f
D) 2
E) 3
45 m yükseklikten yere atılan bir top düz bir zemine
çarparak 30 m yükselmiştir. Bundan sonra top serbest
5 + 5 -|
düşme ile her yere düşüşünde, bir önceki yüksekliğinin
2
— ü kadar yükselmiştir.
(+ H + H + M + J -
toplamının değeri kaçtır?
B) 2
O f
o f
Buna göre, bu topun duruncaya kadar aldığı toplam
yol kaç metredir?
E) 3
A ) 190
B)225
C)230
D )240
E) 255
23.
19.
V
192 + 4 8 + 12 + 3 + -
f 2 V1-1
toplamının değeri kaçtır?
A) 256
B) 298
D) 328
toplamının değeri aşağıdakilerden hangisidir?
C) 304
A) 3
E) 364
341
B) 4
C) 9
D) 12
E) 16
TÜME VARIM VE DİZİLER
27.
24.
2-
I
n=ı
toplamının değeri kaçtır?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
ABCD bir kenarının uzunluğu 2 cm olan bir karedir. Bu
karenin kenarlarının orta noktaları birleşterilerek içteki
kare, daha sonra bu karenin kenarlarının orta noktaları
birleştirilerek daha içteki kare elde ediliyor. Bu işleme
sürekli devam edilerek sonsuz sayıda kare elde ediliyor.
Buna göre, elde edilen sonsuz sayıdaki karenin
alanları toplamı kaç cm2 dir?
A) 6
C) 7
15
D )—
E) 8
D) 8
E) 9
lnx + ln-v/x~ ı-ln^/x" + ln^x” + -ln2V>T + --« 1 0
25.
olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
B )1
C)'
g
E) e
D)
28.
1 < a < 9 olmak üzere,
V
an -1
k
23
s" = s
olduğuna göre, a kaçtır?
3
a> t
9
B )t
c)
26.
CEVAP ANAHTARI
£ ( - 1 ) k+1-92_k
k=3
toplamının değeri kaçtır?
3
A> - 1 Ğ -
1
B )- ^
1
C )T
D)
10
E) 10
342
1. E
2. A
3. B
4. D
5. E
6. D
7. D
8. C
9. D
10. E
11. E
12. B
13. D
14. C
15. B
16. D
17. A
18. D
19. B
20. D
21. E
22. B
23. C
24. E
25. A
26. D
27. B
28. C
TÜME VARIM VE DİZİLER
TEST - 9 ÇÖZÜMLERİ
1.
3.
a r -
n=0
3
n=0^ J '
n = 0 v> ' * '
biçiminde iki ayrı seri olarak yazılırsa
Uyarı:
£> 1+ 2" = 1 1 — + «1-------1
on
, 1
co
J^a-j •rn_1 geometrik serisinde,
n=1
n=0
J
1) |r | £ 1 ise seri ıraksaktır. (Toplamı <x>dur.)
1 -—
3
1— =3
= 1 — + 1-3
2
2) | r | < 1 ise seri yakınsaktır.
— + 3 = — olur.
2
2
Bu durumda toplamı:
CEVAP B
00
1
n=1
1” r
^ a r rJ1“ 1 = a l + a1r + a 1r2 +---a)rn-1 + -*-= a r - —
dir.
4.
A
+ 3
(A ?
+l
3
<*> / r. \D—1
(A f
J +i 3 J
i
. K
S (t )
- r - ı r
= 1-
toplamı r = — olan bir geometrik seridir.
= 1-3 = 3 olur.
CEVAP D
3
3
CEVAP E
1<y<3
2.
n=0 3
n=0
1
1__
=1
y
3
1
,_ X
3
i
= — olur.
8
7
* +. y
2
X
1 , y
2
3 -y
X
3 -y
3+y
6 -3 y
olur
CEVAPA
CEVAP E
343
TÜME VARIM VE DİZİLER
9.
yf
1 < x < y => — <1
y
«> / „
f
1
n2 +7n + 12 J
yı-1
B
.
n2 +7n+12
§ (!■ )
- ’T ÎE
(n + 3)(n + 4)
4 =4
-----n+ 4
4
n+ 3
■
A
n - -3O •için
A
4y
n = -4 için B
4 y -3 x
4
^
S ( n(n + 3)(n + 4)
4y
4y
4 y -3 x
n+ 3
4 r 1
l. n + 3
n+4
1 1
n+ 4 )
olur.
CEVAP D
7.
. ,
8
16
6 - 4 + -— + ••• serisi
3
9
■6+6( - f ) +6( " f ) 2+6{ " f ) a
+3
=
a
n+ 4
( — ------------—
1
n+ 4 )
{A
biçiminde r = ——, a-j = 6 olan bir geometrik seridir. Bu
serinin toplamı,
6 ------ —1
n+ 4
* - ğ1=6
= 1 - lim — —
n->co n + 4
fi)
=
1 -0
= 1 olur.
18
CEVAP D
olur.
10 .
CEVAP D
00
/
o \ -2 n
<» f
9
N2n
-.s ,( 4 )
c0 r * \n-1
S(1J
■ 2
n=-1v
serisinde
4
-(ır -l
T
r = — < 1, aı =
9
^
olduğundan
1
7Ü
w-1
M
-
f
1 -' ±
9_ _J_
4 ' A
9
1
jü(tü-1)
1
= — olduğundan
4
bu geometrik serinin toplamı:
t
7c2
r 4
A.A
4 ' 5
olur.
7ü2 -71
81
olur.
20
CEVAP C
CEVAP E
344
TÜME VARIM VE DİZİLER
14.
11.
2n“1 + 4
■
W
J__2_
1
. 1
v f 2"+ 3 n |
v
n = ll
n=1 4
4
J
2n
V
3"
n=1 4
1
-^— + 4 -----------2
3
2 ’ 3 ' 1- —
3
1- T
_1
1_
3 ’ J_
3
_4_ _ 1 _
3
'
_
J
2
2.
3
:± . 3 + - 1 . a
3
3 2
1
1-4- 4 i - 3
* *
1+ 2
t *
= 1+ 3
3 olur.
= 4 olur.
CEVAP E
CEVAP C
n-1
-
fl,«
n=0
15.
x = 0,27 + 0.027 + 0,0027 + 0,00027 + • ••
£
0,27
ı-J L
0,027
0,0027
2-2 = 4 yerine yazılırsa
0,00027
34 = 81 olur.
+ 0,000027
CEVAP B
13.
0,29999---
S<o.5> * k== -E3 v-(zi)' k
k = -3
X = 0,29999
r=
ai = ( - 1 )
k = - 3 V' ^ /
= 23 = 8 olduğundan
27
x " 100
0,29:
27
1000
2 9 -2
90
27
x _ 100
= 8-
1
1
2
= 8-2
1
10
1
veya
27
10000
X-J Z L f ı+_ L + _ L +.
100 I
10
103
1 ------ -
27
90
27
100
1
10n
10
9
x = ----- olur.
10
= 16 olur.
CEVAP B
CEVAP D
345
TÜME VARIM VE DİZİLER
16.
19. 192 + 48 + 12 + 3 + -- - = ?
f 6 T _y f 14 V
y
6n -6 _ y _14^_ = 6y
84"
^84"
^ U 4 j
£
a2
= « İB I-§ W
= 6.
=6
14
1__ 1_
14
1 X
y
6
13
(5)
1
6
48
r~ a1 ~ 192
a-f =192
j^ı l 84 J
Sn “ aı
1
1
~ 3
1 -r "
1 -r
r = - y < 1 olduğundan
6
sn = a ı
1 ^
13 " ~ jfT ’ 5
1 -r
^ =192
1-
1
5
(13)
S n = 1 9 2 -y
30--13
65
sn = 298 olur.
CEVAP B
17
olur.
65
CEVAP D
20.
^6co s"x= 12
17. 0,5 + 0,05 + 0,005 +0,0005 +
n=0
5
“ 10
5
100
5
1000
00
6 ^ c o s " x = 12
n=0
5 fı+ _ l_ + 1
= 10 t
10
102
5
10
_ 5
'T
£cos"x = 2
1
5
10
n=0
1"To
(cos x)° +(cosx)1+ (cosx)2 + ---(cosx)n + •• • = 2
1°
9
0 < x < 90° olduğundan
0 < cosx < 1 dir.
olur.
1+(cosx)1 + (cosx)2 + (cosx)^ + - - •+ (cosx)r + •■• = 2
CEVAPA
a1 = 1, r = cosx
18.
=5
1-— - -------= 2
1-cosx
■(4H4H + H + J
H+H+K+H+I-
2 -2 c o s x = 1
2 -1 = 2cosx
1
cosx=---2
= 5-
B)
= 5-
cosx = cos60°
x = 60° olur.
I
— - 5c —4 = —20 olur.
3
7
7
T
CEVAP D
CEVAP D
346
TÜME VARIM VE DİZİLER
21.
2
2
2
2 + — + —- + —— + ••• +
3
9
27
23.
2
n-1
= 2-
=2
t
1 31 3
4 2 -
= 3 olur.
1 -3
1 "3
S = 3-3
s = 9 olur.
CEVAP E
U V R R I:
| r | < 1 olmak üzere,
i —
f e î »
’- T j
J
3 )
3* = 9 olur.
CEVAP C
topun aldığı toplam yola s dersek
s=45 +2-30+2-30 — +2-30
3
(IJ «Kil
(Yükseldiği kadarda düşeceği
)\ için 2 ile çarpılır.)
çar
s.2
s = 45+ 2-30
■ - H il
24.
(il
2-
s = 45 + 2-30
K T -K i'
*° f A V1-1
n=A
0
2-1
s = 45 + 60 ■
/
K i)
1
V -+ 3 -1
1
-
2 - 5 + V - - 4 —= 10 + 4
s = 45 + 60 •3 = 45 +180
s = 225 m olur.
= 14 olur.
CEVAP B
CEVAP E
347
TÜME VARIM VE DİZİLER
25.
27.
lnx + ln'/x~ + ln3/x- + ln^x~ + ” -ln27x~ = 10
0
2 . karenin alanı = (>/2") = 2
( '[ 'f
1
3. karenin alanı = —
=—
(2 ) 2 4
1
1
1
1
1•lnx + — lnx + —-lnx + — lnx + •■•+ ——lnx + ••• = 10
1
1 .(ilk) karenin alanı = 22 = 4
■lnx = 10
4. karenin alanı 1 E .
4
5. karenin alanı
^
r 2
n. karenin alanı:
2 lnx = 10
lnx = 5 => x = e
olur.
Bu alanların toplamı:
sn -1
CEVAPA
S= 6 + •
13 cm2 olur.
,
6« + —1 = —
2
2
CEVAP B
I
S
28.
1< a < 9
y
k
an -1 _ 23
9n
"
8
y f_ a _ T
= _23_
i f e UJ &UJ ■ e
26.
\n+1
04 -2 n
i
an = (-iy ’+1-34"2" dir.
r
an+1
H İT 2' ^
n+1 34 -2 n
HJ
>2- 2 n
a
9 ’
n+1 g 4 - 2 n _ J _
K -1 )
(-1 )
1+ —
9
1 9
9 ‘ 10
10
r~~9‘
1
1
aı = “9“
1
r" 9
1
1
23
8
•
- i
a
9
1 9 _ 23
9 ‘ 9 -a
9 ‘ 8 = 8
a
1
23
9- a
8
8
a
23
1
9- a
8 + 8
a
=3
a ı = H ) 3+1-34- 2-3 = 3 -2 =>a ı = - i
n=3
1
a
1“ 9 ’
a
n=3
a = 27 - 3a
4a = 27
27
a=
olur.
4
olur.
.
CEVAP D
CEVAP C
348
BOLÜM - 6
FONKSİYONLAR
)
ÇÖZÜMLÜ TEST - 1
4.
Tanım aralığı ile ilgili uygulamalar:
f (x) —log!
x +1
1.
fonksiyonunun en geniş tanım aralığı aşağıdakilerden
hangisidir?
f(x ) = x3 +3x2 -4x->- * +12fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) R - {0}
B) R - {-2,0}
D) R - {-12,0,2}
f(x )'
B ) ( - 00, 00 )
C)
D) (0, 00)
(-oo,0)
C) R - {0,2}
E ) ( • co, 00 )
E) R
İS
S 5.
1- x
3|X‘i H-5x-24
51~2 ~
A
f(x ) = -31------------------ + vx‘I +4x
3 -x
x2 +1
fonksiyonunun tanım aralığı aşağıdakilerden
hangisidir?
A) (—«».—I)
B) [-1,1]
D)
A ) (-c o , - 1 ) u ( 1 , c o )
(1,4)
fonksiyonunun tanımsız olduğu x e R sayılarının
toplamı kaçtır?
îg
0 (0 ,1 )
A) - 1
B) 0
C)1
D )2
4 /|x -1 |-5
x2 + 9
x+ 3
E )3
E) (1, co)
6.
3.
f(x ) = >/3 - | 2 x - 1 |
f(x ) =
fonksiyonunun tanım aralığı aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
[2,3]
B) (-2,1)
D) [-1 .2 ]
fonksiyonunun tanım aralığındaki tamsayıların
toplamı kaçtır?
C) [-1.0]
A )- 9
E) (-1,1)
349
B )-6
C )-4
D) 0
E) 4
F O N K S İY O N LA R
10.
7.
+ x- 2
f(x ) = Jlog
1 -x
fonksiyonununengeniştanımaralığı aşağıdakilerden
hangisidir?
A) (-1 0 ,-3 ]
B) (0,3]
C)(1,3)
D) (-2,3)
E) (-«>,-3]
Grafiği verilenf fonksiyonuiçinaşağıdakilerdenkaç
tanesi doğrudur?
8.
I.
f(-4) < 0
II.
f(-1) = 0
III.
f (1)* f (3) < 0
IV.
f(0) < 0
V.
f(-2 )-f(1 )> 0
A) 5
B) 4
03
D) 2
E) 1
f ( x ) = >/x2 + 4x + 2 m -3
fonksiyonununtanımkümesi Rolduğunagöre, mnin
alabileceği enküçüktamsayı değeri kaçtır?
A) 2
B) 3
04
D) 5
E) 6
I
s,
™ 11.
.Ç
2x
V x2 -2 x + 1
fonksiyonunun tanım kümesindeki tamsayıların
toplamı kaçtır?
A) 6
f(x ) =
9.
B)7
0 8
D) 9
E) 10
V x -V x 7
fonksiyonununengeniştanımaralığı aşağıdakilerden
hangisidir?
12.
B) x >1
A) x > - 1
f(x ) =
1 -7 5 "
ı + T i f ')
C)
E) x £
D) x >
7 lxl - x
1+ 75"
fonksiyonununengeniştanımaralığı
aşağıdakilemdenhangisidir?
ı+ T i"
A) (-<o, - 1)
B) ( - oo.O)
D) (-1 ,1 )
350
C) (-1,0)
E) (0,oo)
F O N K S İY O N LA R
16.
f(x) tek fonksiyonu için,
Tek ve çift fonksiyonla ilgili uygulamalar:
f ( x ) - 7 f ( - x ) = 4x3 - 8 x
olduğuna göre, f(4) kaçtır?
13.
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi tek fonksiyondur?
A) 24
B) 26
C) 28
D) 30
E) 32
A) f(x) = 4 - 2x* + sin2x
B) f(x) = sinx + cosx
' C) f(x)=3x4- 5 x z + 12
D) f(x) = (x - 4)2 + 6
E) f(x) = 4x3 + 5sinx
17.
;f:R -> R , f(x ) + 3 f(-x ) = 16x2 -1 2
ile verilen f fonksiyonu çift fonksiyon olduğuna göre,
görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (-» , -3]
14.
f(x ) = ( a - 2 ) x 3 + 4x2 + (b -3 a )x + b
B) [-3, » )
D) (-3, 3)
C) [3,12)
E) (-3, co)
fonksiyonu çift fonksiyon ise f(1) kaçtır?
A) 0
B) 2
C)‘4
D) 6
E) 10
18.
15.
f(x ) = x2 + ax + b olmak üzere,
g(x) = f ( x - 2 )
f( x ) = ( 2 a - 3 ) x 4 + 4 x 3 + ( 2 b - a )x 2 +8âbx
fonksiyonu tek fonksiyon olduğuna göre, f(-2) kaçtır?
fonksiyonu bir çift fonksiyon olduğuna göre,
g(-3) kaçtır?
A) 14
A) 12
B) 13
C) 12
D) 7
E) 5
351
B) 11
C) 9
D) 8
E) 5
F O N K S İY O N LA R
22.
Ters fonksiyon, bileşke fonksiyon v.b ile ilgili
uygulamalar:
f : N - » R, f(2x + 3) = f(2x + 1)+-£O
fonksiyonu için f(1) = 9 olduğuna göre, f(2007) kaçtır?
19.
f :R -> R , f(x ) = (a + 1)x3 - 6 x 2 + 4 x - 3
A) 98426
fonksiyonu veriliyor.
B )115417
D )167501
C )155490
E )167510
f-1 bağıntısının grafiği (-5 ,1 ) noktasından geçtiğine
göre, a sayısı kaçtır?
A) - 3
20.
B) —2
f : ( _ c o ,- 3 ]->
C )-1
D) 0
E) 1
[-2.no), f(x )= X2 + 6x + 7
S,
olduğuna göre, f~1(14) kaçtır?
A )- 4
B )-5
C) - 6
23.
Sı
D )- 7
E )- 8
e*.
İS
,e
f:R -» R , f(x ) = x3 - 3x2 + 3 x - 7
olduğuna göre, f"1(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) ^ T e ' + I
B) 3/x + 6
D) ^x + 5 +2
21.
f :R - » R, f ( 3 x - 4 ) = 3x4 - 4 x 3 + (m -2 )x 2 + 5 x -1
24.
olduğuna göre, f~1(9) kaçtır?
A )- 2
A) 1
C) 2
D) 5
E) 7
352
E) yJx + 5 - 2
f : R —>R, f(x ) = 33x_4
fonksiyonunun grafiği (-7,4) noktasından geçtiğine
göre, m kaçtır?
B) 0
C)^/x + 6’ -1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
FO N K S İY O N LA R
28.
25.
4x,
x< 2is e
f ( X):
X2 -2x , x<2 ise
f(X) = 3 x -1 , 2 < x < 3 is e
g(x)=
2x
4x + 1
4 - x 2 , 2^x ise
1 -2 x , 3 < x ise
olduğuna göre, f |
-(i)
| fonksiyonunun f(x) türünden
ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, (f + g) | — | kaçtır?
-f(x)
A) 2 f( x ) -2
17
A )-—
B )~ 4
C)
17
D) 6
B
) - ^
2 —f(x)
C)
2f(x)^-2
f(x)
23
E)
2f(x) + 2
D)
29.
2f(x)
E)
f(x )
f :R —{3} -» R -{ -2 } , f(x) =
1 -f(x )
2 x -1
3 -x
olduğuna göre, (fof-1) (x) aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
A) 2x
B)
26.
f:R ^ - T h R - - T
f(x ) =
D)
-3 x + 4
x -1
x+2
2 x -1
3- x
C) x
E)
3x + 1
x+2
2x + 1
=» 30. f. g fonksiyonları tanım aralıklarında (1-1) örtendir.
olduğuna göre, f“1 (-2) kaçtır?
A )- 6
B )-4
C )-2
S
D) 0
E) 3
!i5
f(x) in grafiği g(x) in grafiğinin y = x doğrusuna göre
simetriğidir.
'ofog)(x) =
4 x -3
2x + 5
olduğuna göre, h(3) kaçtır?
A) 9
27.
B) 6
f(x) = 2x - 4,
olduğuna göre, g(x) fonksiyonu aşağıdakilerden
hangisidir?
B) 2x2 —4x+3
D) x2 + 5x + 13
D )- 6
E)
CEVAP ANAHTARI
(gof)(x) = 4x2 - 6 x + 9
A) 2x2 —3x + 7
C )-2
C)4x2-6 x + 10
E) 4x2 - 6x + 13
353
1. C
2. B
3. D
4. A
5. E
6. A
7. E
8. C
9. E
10. B
11. C
12. B
13. E
14. E
15. A
16. C
17. B
18. B
19. C
20. D
21. D
22. E
23. A
24. B
25. C
26. A
27. D
28. A
29. C
30. E
F O N K S İY O N LA R
TEST - 1 ÇÖZÜMLERİ
4.
f(x) = x3 +3x2 - 4 x + - „+12
x -2 x
( x2 -1 ^
f(x) = log i —j ----^ y r +1 )
x2 -2 x * 0 için tanımlı olacağından
> 0 için tanımlıdır.
f(x),
x (x -2 ) = 0
x1= 0, x2 = 2 için f(x) tanımsızdır.
(R+ sayıların logaritmaları alınabilir.)
x2 + 1 daima pozitif olduğundan
Buna göre, f(x) in tanım aralığı:
x2- 1 > 0 olmalıdır.
R -{0 ,2 } olur.
- 0 0 - 1
X
CEVAP C
x2 - 1
1
llt l
CO
İl!1
-
T.A. Ho,-1) u(1,oo) olur.
CEVAPA
f(x)
1 -x *
x2
5.
+1
1"■X
o
f(x), —^— £ 0, x2 +1 * 0 için tanımlıdır.
x2 +1
f(x) =
i-
x + 5x - 24
3 -x
4x
tek kuwetten köklerin tanım aralığına etkisi olmadığı için
x
x2 + 5 x -2 4
f(x) ın tanım aralığı, g(x) = ----- — -
x2 +1 * 0 daima doğru olduğundan
2 „
+ x *+ 4 x
fonksiyonunun tanım aralığı ile aynı olur. Buna göre,
00- 1
1 -x 2 >0
1 -x
1
x2 + 5x - 24
3 -x
oo
■
3 - x = 0 = o x = 3 iç in f ( x ) t a n ı m s ı z d ı r .
CEVAP E
f(x) in tanım arılığı [-1,1] olur.
6.
CEVAP B
f(x)
x +3
|x —1| —5 > O, x2 - 4 i* O,x -i- 3 9* O
x2 = 4
x3 = -3
x1 = -2, x2 = 2
3.
(-3, - 2 , 2 için f(x) tanımsız.)
f(x) = V3 -|2 x -1 |
|x -lj^ 5 = > x - 12:5 veyax - 1 ^ -5
f(x ),3 -|2 x -1 |s 0 için tanımlıdır.
x > 6 veya
|2x - 1| < 3 => -3 < 2x -1 < 3
-2 £2x^4
'imıiMmıııım
x < -4
%ıi!iİim ıiiim
B u a r a lı k ta f ( x ) t a n ı m s ı z .
-1 ^ x £ 2
Buna göre, f(x) in tanım aralığındaki tamsayıların
toplamı: - 5 + {-A) = - 9 olur.
f(x) in tanım arılığı: [-1,2] olur.
CEVAPA
CEVAP D
354
F O N K S İY O N LA R
7.
9.
f(x)=
0
log
y f + x -2
log
1 -x
x2 + 1 daima sıfırdan farklı olduğu için dikkate alınmaz.
> 0 = log1
x -V x + 1 > O olmalıdır.
X* + x - 2
I-
> 0 olmalıdır.
1 -x
•v/x + 1 < x
0 ve [2 ] karşılaştırılırsa
kök içi x + 1 * 0 = > x * - 1 0 için tanımlı olduğundan bu
x ta x 2
£1 olacağı görülür.
1 -x
1 -x
V x -> /x + 1
f(x)
1 -x
saptamayı yaptıktan sonra her iki tarafın karesini alalım.
1*0
■
( V jT k T )
x + x -2 -1 + x
1 -x
< X2
x + 1sx2
x2 - x - 1 * 0
x2 + 2 x -3
1
>0
A = 12 - 4 •1•(-1)
X
A=5
(x + 3 )(x -1 )
x -1
5
x + 3 < 0 (x * 1)
*1
1 -V T
î + yfS
ö
• x2 =
ö----
x < -3
1
T.A. = (-oo, - 3] olur.
CEVAP E
|
I
X
I
X
ıs
l-V ö
X
—co
2
■\+S 5
2
00
t a ■m
0 de dikkate alınırsa x * 1+^ ~ olur.
CEVAP E
f(x) = -v/x2 +4x + 2 m -3
x2 + 4x + 2 m -3 > 0 olmalıdır.
Bunun için A < 0 olması yeteıiidir.
A =( y )
10. I., II., III., IV. ile verilen doğru.
22 -1 -(2 m -3 )< 0
f(-2 )> 0 , f(1) < O olduğundan
4 - 2m + 3 <>O
f(-2 )(1 )< 0 olmalıdır.
7<2m
Buna göre, V ile verilen yanlıştır.
— <m=>m = 4 olur.
2
O halde 4 tanesi doğrudur.
CEVAP C
CEVAP B
355
F O N K S İY O N LA R
11.
14.
2x + 6
f(x) =
+ >/10-2x
V x2 - 2 x + 1
2x + 6
W 1 0 -2
x
>0
0
x‘ -2x +1
x2-2x+1*0, 10-2xz0
a - 2 = 0: >a = 2
b -3 a = 0; • b = 3a
b = 3-2 = ı
x£5 olmalı [H
(x - 1)2 Ti 0,
x
f(x) = (a -2 )x +4x + (b -3 a )x + b
çift fonksiyon ise tek kuvvetten terimlerin katsayıları sıfır
olmalıdır. Buna göre,
f(x )-4 x +6
1 olmalı,
f (1) = 4 •12 + 6
0 in pozitif olması 2x + 6 > 0 olmasına bağlıdır.
f(1) = 10 olur.
2(x + 3 )£ 0
CEVAP E
x + 3>0
x> -3
[3]
15. f(x) = (2a - 3)x4 - 4x3 + (2b - a)x2 +8abx
[2] ve [3 ] karşılaştırılırsa,
fonksiyonu tek fonkisyon ise çift kuvvetten terimlerin
katsayıları sıfır olmalıdır. Buna göre,
- 3 £ x < 5 bulunur.
s * , ^ . - 1 . 0 , 0 , İ , X.4,5
2 a -3 = -0 = > a = —
2
-1 + 0 + 4 + 5 = 8 olur.
CEVAP C
2 b -a = 0 = > b = — = —
2
4
f(x) = -4x3 + 8 •— •— x
2 4
12.
f(x) =
f(x) = - 4 •(-2 ) + 9 •(-2)
V I x I _x
| x | - x > 0 olmalıdır.
f(-2 ) = 32 -1 8
x > 0 is e x -x > 0
f(-2 ) = 20 olur.
0 > 0 olmaz.
CEVAPA
x < 0 ise - x - x > 0
-2 x > 0
x < 0 doğru.
16.
^(x) tek fonksiyon ise
f( -x) = -f(x ) tir.
Buna göre,
f(x ) in tanım aralığı: (-co, 0) olur.
f(x )-7 [-f(x )] = 4x3 -8 x
CEVAP B
f(x) + 7f(x) = 4x3 -8 x
8f(x) = 4x3 - 8 x
13. A) çift
8 • f(4) = 4 •43 - 8 •4
B) ne tek, ne çift
8 f ( 4 ) = 2 5 6 -3 2
C) çift
8f(4) = 224
D) ne tek, ne çift
f(4) = 28 olur.
E) tek fonksiyon
CEVAP C
CEVAP E
356
FO N K S İY O N LA R
17.
20.
f(X) çift fonksiyon ise f(-x)= f(x) tir.
f : (-00.-3] ^ [-2, co), f(x) = x2 + 6x + 7
f-1(14) = a olsun.
f (x)+ 3f(-x) = 16x2 -1 2
f(a )=14
f(x) + 3f(x) = 16x2 -12
a2 + 6a + 7 = 14
4f(x) = 4(x2 - 3)
a + 6a - 7 = 0
f(x) = x2 - 3 in görüntü kümesi,
/
\
a1 = - 7 , a2 = 1
f"1(x) = Vx + 3 ün tanım kümesidir. Buna göre,
f nin tanım aralığı (-oo,-3] olduğundan - 7 bu aralıkta
bulunur.
f-1(x), x + 3 £ 0 = > x > -3 için tanımlı olduğundan tanım
kümesi:
[ - 3 , co)
CEVAP D
olur.
21.
CEVAP B
f : R -> R, f(3 x -4 ) = 3x4 - 4 x 3 + (m -2 )x 2 + 5 x-1
f(-7 ) = 4 olacağından
f(3 x -4 ) te x = -1 yazılmalıdır,
f(-7) = 3 (-1)4 - 4(-1)3 + (m - 2) •(-1)2 + 5(-1) -1 = 4
3 • 1- 4(-1) + ( m - 2 )- 1 -5 - 1 = 4
18. f(x) = xz +ax + 6
f(x - 2 ) = ( x -2 )2 + a (x -2 ) + 6
3+ 4 +m -2 -6 = 4
m -1 = 4
m = 5 olur.
f(x - 2 ) = x2 - 4 x + 4 + a x -2 a + 6
f(x - 2) = x2 + (a - 4)x - 2a +10
CEVAP D
tek fonksiyonda x ile terim olmayacağı için
22'
a
f(2x+3)-f(2x + 1) = - î-
4 = 0 => a = 4 olmalıdır.
x =0
için 0
-
f(1) - -Ş-
g(x) = f(x - 2 ) = x2 +2
g(- 3) = f(-5) = (-3)2 + 2
x= 1
için 0 ,
-
x= 2
için f j r f
-
g(-3) = f (-5) = 9 + 2 = 11 olur.
CEVAP B
jjtf
x = 1002 için f(2007)- f (2005) =
1002
19- f(x) = (a + 1)x3 - 6x2 + 4x - 3
f-1 bağıntısının grafiği (-5,1) noktasından geçtiğine göre,
-f(1)+f(2007) = — (1+ 2 + 3 +■•• + 1002)
f nin grafiği ( 1 ,- 5 ) noktasından geçer.
Yani, f(1) = —5 olur.
-9 + f(20Q7) - — ■ 5° W - 1
3
A-,
f(1) = (a + 1)-1-6-1 + 4 -1 - 3 = - 5
-9 + f(2007) =
û03
501-1003
a + 1 - 6 + 4 - 3 = -5
-9 + f(2007) = 167 •1003
-9 + f(2007) = 167 •(1000 + 3)
a - 4 = -5
a ^ -1 olur.
- 9 + f(2007) = 501+ 167000
- 9 + f(2007) = 167501
f(2007) = 167510 olur.
CEVAP C
357
CEVAP E
F O N K S İY O N LA R
26.
23. f : R -» R, f(x) = x3 - 3 x 2 + 3x - 7
f(x) =
f(x) = x3 - 3x2 + 3x -1 - 6
-3x + 4
2x + 1
1. Yol:
(x-1)3
f(x) = (x-1 )3 - 6
f 1(x) =
y = (x —1)3 —6
r\ -2 )=
(x -1 )3 = y + 6
x -1 = ^y + 6
-X +4
2x + 3
~(~2)+ 4
2 (-2) + 3
F 1(-2 )= 2 + 4
4+3
x = ^y + 6 +1
f"1(-2 ) =
6
f-1(x) = yJx + 6 +1 olur.
f-1(-2) = -6
CEVAP A
2. Yol:
24. f:R -» R , f(x) = 33x_4
f-1(-2) = a => f(a)= -2 olur.
f-1(9) = a olsun.
f(a) = 9 olacağından
33a“4 = 32
-3a + 4 = - 4 a - 2
3a - 4 = 2
a = -6
3a = 6
f 1(-2) = -6 bulunur.
a = 2 olur.
CEVAPA
CEVAP B
•m
25.
4x, x < 2 ise
x - 2x. x < 2 ise
f(x ) = 3x-1, 2 < x < 3 ise
27.
g(x)=
4 -x ^ .
1-2x, 3 ^ xis e
f(x) = 2 x - 4 = > f 1(x) = - ^ -
2 < xis e
(gof)(x) = 4x2 - 6x + 9 ise g(x) = ?
(gof )of_1(x) = (4x2 - 6x + 9)of_i(x)
g(x) = (4x2 - 6 x + 9)o[■1+ 4 -
-)
25
+9
İ1 + 3 -Ü
2
4
g(x) = 4-
30 + 1 2 -2 5
4
x +8x + 16
3 x -1 2 + 9
g(x) = x +8x + 1 6 -3 x - 1 2 + 9
4 2 -2 5
g(x) = x2 + 5x + 13
17
olur.
CEVAP C
CEVAP D
358
F O N K S İY O N LA R
28.
f(x):
30.
2x
4x + 1
g = f 1 veya
2—
h_1ofog](x) =
f ( — ) =— f(x)
2x-+ 1
2x
4x + 1
f 1(x)=
h(x) =
4 f(x )-2
f(x)
2 - f - f^ - ] + 1
l 4 f(x )-2 )
f(x)
4 f(x )-2
2f(x)
■+ 1
4 f(x )-2
-f(x)
bulunur.
CEVAPA
29.
h(3) =
-1 5 -3
6 -4
h(3) =
-18
2
CEVAP E
- 2f ( x) +4f ( x) - 2
2 f(x )-2
2 x -4
h(3) = - 9 olur.
—f(x)
U J
-5x - 3
-5 -3 -3
h(3) =
2 -3 -4
[D. 13 de yazılırsa,
f ( jO _
4 x -3
2x + 5
h_1(x) = 4X" 3
2x + 5
"X
4 x -2
-f(x)
4
=f
fog = x olur.
X +1
1
4^ —
l. 2 J
f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafikleri y = x doğrusuna
göre simetrik ise bu fonksiyonlar birbirinin tersidir. Yani,
(fo r1)(x) = (f_1of)(x) = x
olduğundan işlem yapmadan sonucun x olduğunu
görmeliyiz.
CEVAP C
359
F O N K S İY O N LA R
ÇÖZÜMLÜ TEST - 2
Parçalı fonksiyonlarla ilgili uygulamalar:
Ac R
R yefvegfonksiyonları
ff(x), f(x )> 0 ise
[2x3 +1, x < 0
f(x ) = M x + 3,
[-3x2 ,
9 (x ) ;
ise
0 < x < 4 ise
4^x
B ) - 146
C )-1 3 2
f(x) = x2 - 4 x - 1 2
D) -1 1 6
E )- 9 4
olduğuna göre, g (-3 ) + g(3) toplamı kaçtır?
A )- 6
2.
4 -x,
f(x )< 0 ise
biçiminde veriliyor.
ise
olduğuna göre, (fofof)(-1) + (fof)(1) toplamı kaçtır?
A) - 1 4 7
1,
B) - 1
C) 7
D) 10
E) 15
x < 2 ise
f(x ) = 10,
x = 2 ise
f, g
R -» R ye tanımlı fonksiyonları
2x2 - 1 2 , 2 < x ise
f(x) = x - 2, g(x) = |x| + 1 ile verilmiştir.
fonksiyonu için f(x) = 6 eşitliğini sağlayan
değerlerinin toplamı kaçtır?
A )- 2
B) - 1
C) 0
D) 1
x
h(x)=(gof)(x)
fonksiyonunun grafiği
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
E) 3
A)
y
3.
f :R -> R , f(x ) =
1, x < -1 ise
x, x > -1 ise
-r s /ı
-1
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
A)
B)
C)
D)
-1:
: 0
-1 0
f :R
E)
R, f(x ) =
14- x 2 , x < 3 ise
[1 -2 x ,
x > 3 ise
olduğuna göre, (fof) (3) kaçtır?
Y .l
A) —9
360
B) —6
C) - 4
D) 2
E) 7
F O N K S İY O N LA R
7.
10. f.g N de tanımlı iki fonksiyondur.
R -> R ye f ve g fonksiyonları
f(x) = 2x, (xeN)
2x + 1, x<1 ise
f(x ) = x - 4 ,
g(x)
3 x -2 , x>1 ise
9(x) =
biçiminde tanımlandığına göre, (gof) (x) fonksiyonu
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
C)
2 x -7 ,
3 x -1 4 , x>1 ise
2 x -3 ,
3 x -4 ,
x £1 ise
x>1ise
E)
8.
0,
D)
x tek ise
olduğuna göre, h (x) = (gof) (x) fonksiyonu
aşağıdakilerden hangisidir?
|2 x - 7 , x < 5 i
B) |3x -1 4 , x > 5 i
x<1 ise
— , x çift ise
2
A) x, xeN
12x —6, x < 4 ise
3 x -1 2 , x>4ise
B)
— , x çift ise
4
x, x tek ise
C)
— , x çift ise
2 •
0,
x tek ise
X, x çift ise
| 2 x - 3 , x £ 4 ise
[ 3 x - 4, x > 4 ise
D) 2x, x e N
E)
0, x tek ise
R -> R ye f ve g fonksiyonları
3x + 1, x<1 ise
f(x )= 2 x -3 ,
g(x) =
2 x -1 , x>1 ise
b iç im in d e ta n ım la n d ığ ın a
g ö re ;
0 ,1 , — ,2 ,3
sayılarının gof fonksiyonundaki görüntülerinin
toplamı kaçtır?
A )- 5
B )-.
C )0
D) 3
E) 4
11.
f, g fonksiyonları,
, x2 +1, x > 0 ise
f(x ) =
3 x -4 , x <0 ise
R - > R ye f(x ) =
2x -1,
x < -1 is e
g(x,y) =
3 1x | —4, x > -1 is e
biçiminde tanımlandığına göre, (fog) (-4,5) kaçtır?
ve g(x) = |x| fonksiyonlarının kesim noktalarının
apsislerinin toplamı kaçtır?
A )- 3
B) —2
C )-1
D) 1
büyük olan (x,y), x > yise
küçük olan (x,y), x< yis e
A )-2 0
E) 2
361
B ) - 16
C )-4
D) 16
E) 17
F O N K S İY O N LA R
12. Grafik f fonksiyonuna
aittir.
14.
a < -3 olmak üzere,
2
f3x
x > 0 ise
f(x) =
6 -x ,
x < 0 ise
fonksiyonu veriliyor.
[9,
h( * H
f(x )< 0 is e
2
[ ( x - i r , f(x )£ 0 is e
(fof)(1) = 8 olduğuna göre, a kaçtır?
biçiminde
A) - 3
tanımlanan h fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
B )-4
C) - 5
D) - 6
E )-7
15.
-1,
x < 0 ise
f(x )=
x -1 , x ^ 0 ise
1,
x < 0 ise
g (x)= X + 1, 0 ^ x < 1 ise
0,
1<x ise
olduğuna göre, (f+g) (x) in grafiği aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
A)
X
ö
-1
C)
E)
1/2 1
13.
f :R
R,
İ3x2 -1 2 ,
f(x )= 2 x - 4 ,
x < 0ise
0 < x < 3 is e
16.
[x2 - x -1 2 x > 3 ise
f(x ) =
x - 9 , x < 2 is e
x -3 ,
fonksiyonunun grafiğinin x eksenini kestiği
noktaların apsislerinin toplamı kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
x £ 2 ise
olduğuna göre, f(x )< 0 eşitsizliğini sağlayan x in
farklı tamsayı değerlerinin toplamı kaçtır?
E) 7
A) 0
362
B) 4
C) 8
D) 9
E) 10
F O N K S İY O N LA R
17.
20. Grafik, f fonksiyonuna
aittir.
1 -x ,
x< 0ise
f ( x) = ■ 2 ,
x = 0ise
x +1,
x > 0 ise
x,
x < 0 ise
g(x) = * —1,
fx,
[-x, f (x )< 0 ise
biçiminde tanımlanan g fonksiyonunun grafiği
aşağıdakilerdenhangisi olabilir?
x = 0ise
2 -x ,
f(x )£ 0 ise
9(x) =
x> 0is e
biçiminde tanımlı f ve g fonksiyonları veriliyor.
Bunagöre,
(f+g) (x) fonksiyonuaşağıdakilerdenhangisidir?
A) 2 - x
B ) 3+x
C)1
1, x < 0 ise
1, x < 0 ise
D)
E)
3. x > 0 ise
3, x > 0 ise
18.
-x + 1 ,
x > -1 is e
x + 3,
x < -1 ise
f(x ) =
olduğunagöre, f(x)>0 eşitsizliğini sağlayankaçtane
xtamsayısı vardır?
A) 3
C) 5
B)
D) 6
E) 7
19.
x - 2 , x > 0 ise
[x,
x < 0 ise
olduğunagöre, (fof) (x) aşağıdakilerdenhangisidir?
x - 2 , x > 2is e
A)
C)
x,
x < 2 ise
x -4 ,
x > 2 ise
x -2 ,
x,
0 < x < 2 ise
x < 0 ise
E)
x - 4 , x ^ 0 ise
B)
x,
□)
x < 0 ise
x -2 ,
x £ 2 ise
x -1 ,
0 < x < 2 is e
x,
x -4 ,
x £ 2 ise
x -2 ,
x < 2 ise
CEVAP ANAHTARI
x < 0 ise
363
1. A
2. D
3. E
4. D
5. E
6. A
7. B
8. C
9. D
10. A
11. B
12. E
13. B
14. C
15. B
16. A
17. D
18. C •19. E
20. A
F O N K S İY O N LA R
TEST - 2 ÇÖZÜMLERİ
f(x), f(x )> 0 ise
2x3 +1, x < 0 ise
9 (X ) =
f(x )’
1,
4x + 3, 0 < x < 4 ise
f(x) < 0 ise
f(x) = x2 - 4 x - 1 2 olduğuna göre,
-3x2, 4 < x ise
g (-3 )x g(3)=?
(fofof) (-1) + (fof) (1) = - 1 -147 = -148 olur.
1 "
x - 4x - 12 = 0
e
-147
- 1
v
CEVAP A
f(x):
4 -x ,
x < 2 ise
10,
x = 2 ise
0-2 0
f(x)
6
oo
W
2x2 -12 , 2< xis e
f(x)=6
g(- 3) = f (—3) —(—3) —4 -(—3) —12
1) x< 2is e
g(—3) = 9 + 12 —12
4 - x = 6=>x-]=-2
9(—3) = 9
2) 2 < x ise
8(3)-1
2x 2 -1 2 = 6
g(-3) + g(3) = 9 + 1 = 10 olur.
2x2 =18
x2 = 9 => X2 = -3, x3 = 3
- 3,
CEVAP D
2 < x ile çeliştiği için olmaz.
O halde bu değerlerin toplamı: - 2 + 3 = 1 olur.
CEVAP D
f(x) = x - 2 , g(x) = | x |+1
h(x) = (gof )(x) in grafiğini bulmak için x = - 1, 0,1, 2, 3
yazıp karşılık gelen doğru y değerlerini hangi seçenekteki
grafiğin sağladığını kontrol edelim.
1, x < -1 ise
f : R -» R, f(x) =
x, x s -1 ise
x < —1 için y =1
h(x) = g(f(x))
x ^ -1 için y = x
h(-1) = g (f(-D ) = g(-3) = 4 => (-1.4)
x = 0 için y = 0 olduğundan bu koşulların sağlandığı grafik,
h(0) = g(f(0)) = g(-2) = 3=> (0,3)
y
h(i)= g(f(i)) = g (-i) = 2 => (1,2 )
h(2) = g(f(2)) = g(0) = 1:-> (2,1)
h(3) = g(f(3)) = g(1) = 2 r-> (3,1)
bulunan bu noktalar E seçeneğindeki grafik üzerindedir.
CEVAP E
CEVAP E
364
FO N K S İY O N LA R
14 - x 2, x < 3 ise
2x -1,
f(x)
[1-2x,
3 1x | -4, x > -1 ise
(fof )(3) = f (f(3)) = f (5) = 1 -2 - 5
=
x < -1 ise
f(x) =
x > 3 ise
g(x) = | x | fonksiyonlarının kesim noktalarının apsislerini
1-10
veren denklem f(x) = g(x) tir. Buna göre,
= - 9 olur.
1) x £ —1 ise
f(3) = 1 4 -3 2
f(3) = 14 - 9
2x2 -1= |x |
f(3) = 5
2x2 -1 = -x
CEVAPA
o
1
2x + x - 1 = 0=> Xı = — , x2 = —1
x < -1 olduğundan x2 = -1 alınabilir.
2) x > -1 ise
3 1x| -4 = |x|
7.
2|x| = 4
2x + 1, x^1 ise
f(x) = x - 4 , g(x);
|x| = 2=>x1 = -2 , x2 =2
3 x -2 , x>1 ise
2f(x) +1, f(x) <?1 ise
x > - 1 olduğundan x2 = 2 alınabilir.
3 f(x )-2 , f(x)>1 ise
Bunların toplamı: - 1 + 2 = 1 olur.
(gof)(x) = g(f(x)):
2 (x -4 ) + 1, x -4 ^ 1 is e
CEVAP D
3 (x - 4 )- 2 , x -4 > 1 is e
2 x -7 , x < 5 ise
3x-14, x > 5 ise olur.
CEVAP B
10.
f(x) = 2x, (X e N)
— , x çift ise
g(x)=
0,
8.
x tek ise
h(x) = (gof)(x) = g(f(x))
3x +1, x < 1 ise
f(x) = 2 x -3 , g(x):
f(x)
2x-1, x >1ise
h(x) =
(gof)(x) = g(f(x)) olduğundan
f(x)
çift ise
2
f(x)
f(0) = -3, f(1)
tek ise
f(2) —1, f(3) = 3
x, x çift ise
h(x) -
g(-3) = -8, g(-1) = -2, g(0) = 1. g(1) = 4, g(3)= 5
h(x) = x, x<=N olur.
0, x tek ise
- 8 - 2 + 1+ 4 + 5 = 0 olur.
CEVAP A
CEVAP C
365
F O N K S İY O N LA R
11 .
13.
.x +1, x ^ 0 ise
f(x)=
3x -12,
[büyük olan (x,y), x > y
g(x,y) =
[3x-4, x < 0 ise
f(x) = 2 x -4 ,
[küçük olan (x,y), x < y
x < 0 ise
0 £ x < 3 ise
x - x -12. x > 3ise
(fog)(-4,5) = f (g(-4,5))
x eksenini kestiği noktaların apsisleri f(x) = 0 denkleminin
kökleridir. Buna göre,
= f(-4 )
=3 -H )-4
= -1 2 -4
1) 3x2 - 1 2 = 0 = > 3 x 2 = 1 2 = > x 2 = 4 = > x l = - 2 , x 2 = 2
= -16 olur.
- 2 uyar.
CEVAP B
2 ) 2 x - 4 = 0 = > x = 2 verilen aralıkta olduğu için uyar.
3) x2 - x - 1 2 = 0
=> x1= - 3 ,
x2 =
4
sadece 4 verilen aralık olduğu için 4 uyar.
12 .
- 2 + 2 + 4 = 4 olur.
CEVAP B
14.
< - 3 => 3 + a < 0
[3x + a, x £ 0 ise
f(x) =
6 -x ,
x < 0 ise
(fof)(1) = 8
f(f(1)) = 8
h(x) =
f(3 + a) = 8
(x-1 )2, f(x )>0
6 -3 -a =8
f nin grafiğinde gördüğümüz x değerleri - 2, 0, 4, 1
3 -8 = a
olduğundan bu değerleri h(x) te yazarak h nin doğru
a = -5 olur.
grafiğine ulaşmaya çalışalım.
CEVAP C
h(-2) = (-2 - 1)2, f(-2) = 0
15.
1,
h(—2 )= 9
1-1,
g(x)
f(x ) =
h(0) = (0 - 1)2, f(0) = 2 > 0
x < 0 ise
x < 0 ise
x-1, x > 0 ise
0,
h(0) = 1
0,
h(4) = (4 -1 f , f (4) = 0
x + 1, 0 < x < 1 is e
1< x ise
x < 0 ise
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = 2x, 0 < x < 1 ise
h(4) = 9
x -1,1 < x ise
h(1) = (1—1)2, f(1) > 0
x < 0 ise y = 0
h(1) = 0
0 £ x < 1 ise y = 2x
A ve E seçenekleri benziyor, h(1) = 0 olduğunu gördük A
da h(2) = 0 verildiği için doğru grafik E de verilmiştir.
1< x ise y = x -1 olduğu B seçeneğindeki grafikte
açık-seçik görülmektedir.
CEVAP E
CEVAP B
366
F O N K S İY O N LA R
19.
16.
-2 , x > 0 ise
x2 - 9, x < 2 ise
f:R -» R , f(x) =
f(x) =
x -3 ,
x £ 2 ise
x < 0 ise
r
(fof)(x) = ?
f(x)< 0
f(x )-2 , f(x )£ 0 ise
1) x < 2 ise
- co
(fof)(x) = f(f(x))
—3
f(x),
2
x
f(x) < 0 ise
x - 2 - 2 , x -2 > 0 is e
(fof)(x) =
x1 = -3, x2 = 3
x - 2,
- 3 £ x < 2 -=>-3, - 2 , -1 ,0 ,1
x - 2 < 0 ise
x - 4, x > 2 ise
(fof)(x) =
2) x > 2 ise
x -2 , x < 2is e
olur.
X -3 S 0
CEVAP E
x £3
2<X<3=>2,3
- / - / - / + 0 + / + / + / = 0 olur.
20 .
CEVAPA
17.
1 -x , x<0ise
f(x) = ^2,
x = 0ise
g(x)
x +1, x > 0 ise
x,
x < 0 ise
-1,
x = 0 ise
2 - x, x > 0 ise
1- x + x,
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = -i 2 -1
x < 0 ise
x = 0 ise
x + 1+ 2 - x , x > 0 ise
f1, x < 0 ise
(f+ g )M =
fx,
f(x)>0 ise
g(x)=
[3, x> 0is e olur.
[-X , f{x )< 0 ise
CEVAP D
x
18.
f—x +1, x £ -1 ise
[x + 3, x < -1 is e
f(x)
f(x )£ 0
1) x £ -1 ise
-x + 1 ^ 0
|
1
♦
|
co
♦
f(x)>0, x > -1 ise olduğundan
U
[ x, x £ -1 ise
g(x) = <
olur. Yani
[-x, x < -1 ise
2) x < -1 ise
x + 3£0
x > -3
-3 ^ x < -1 = > -3 ,-2
-
-1
f(x)<0, x < -1 ise
x£1
-1 < X < 1 => -1.0.1
- oo
g(x), x £ -1 için y = x (1.açıortay)
[|
x < -1 için y = -x (2.açıortay)
0 ve [H den -3 , - 2, - 1, 0, 1 olmak üzere 5 tamsayı
olduğu görülür.
doğrusuna eşittir. Bu grafik A seçeneğinde verilmiştir.
CEVAPA
CEVAP C
367
F O N K S İY O N LA R
ÇÖZÜMLÜ TEST - 3
5.
M utlak değer fonksiyonu ile ilgili uygulamalar:
||2x—41—
x|=10
denklem inin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
1.
x> 0
A) {-6 ,-2 , 14}
B) {-6,14}
C)
D ){ -2 .-j-,1 4 |
f ( x ) = |—4x —12+1—x ||-3 x
fonksiyonu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
x - 12
B) 12
D)3x
{-2.14}
C)-3x+12
E) 2x + 12
e ) {_6, . 2, ^ , 14}
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi
düşey ekseni ordinatı 4 olan noktada keser?
6.
| x - 4 | - | x + 3 |< 7
A) y = |x2 - x + 4| - |x| - 1
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
B) y = —|x2 —6| —2
C) y = x |x + 4 | - x
A) R —{—3}
B)
R —{—3,4}
C) (-3,4]
D) y = |x2 - x + 4| - 2
D)
E) y = |x2 - x - 4| + |x|
(-0 0 ,-3 )
E) R
f(x)=||x-3| + |2 -x | + 4|
olduğuna göre,
7.
aşağıdakilerden hangisine
f (x ) = |3 x - 1 |+ x -1 5
fonksiyonunun grafiği yatay ekseni A ve B
noktalarında kestiğine göre, |AB| kaç birimdir?
eşittir?
A) 1+
B) 4
C) 5
D) 2 + y/5
A) 8
B) 9
C)10
D) 11
E) 12
E) 6
(x+3)2 + 5 |x+3| - 36 = 0
f(x ) = 6 —| x—16—x| |
denklem inin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
{-1,1}
B) {-7,1}
fonksiyonunun grafiğiyle x ekseninin sınırladığı
bölgenin alanı kaç birimkaredir?
' C) {-1, 7}
A) 18
D) {-3,1}
E) ( - 7 ,- 3 , 1, 3}
368
B) 15
C) 12
D) 9
E) 6
F O N K S İY O N LA R
9.
13.
f:R -> R , f (x ) = |3 x - 1 2 |- x
f(x ) = fonksiyonunun görüntü kümesinin en küçük elemanı
kaçtır?
A )- 4
10.
B )~
C )-3
D )-y
2 |x|
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
E )- 2
|3 x -1 2 | + |x + 6| = 14
eşitliğini sağlayan x tamsayılarının çarpımı kaçtır?
A) - 8
11.
B) - 6
C) 4
D) 10
E ) 18
f:R -> R , f ( x ) = | x - 2 | - | 3 x - 4 1
fonksiyonunun en büyük değeri kaçtır?
A)
12.
B) —
0
~
D)0
E)
14.
12x + 1 1< | x —3 1
e şitsizliğinin çözüm aralığı aşağıdakilerden
hangisidir?
Grafik aşağıdaki fonksiyonlardan hangisine ait
olabilir?
A)
A) y =
|x - a |
|a|
B)
y = |x| + |x-a|
D) y = |x| - |x-a|
369
C) y = x |x-a|
E) y = |x-a| - |x|
F O N K S İY O N LA R
15.
f(x ) = | x—| x —2 11
17.
f(x ) =| x -2 1 -y[x?~
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
'
A)
\
1
2 3\
C)
1 2
E)
\
2
1 2
i
1
y
18. Grafik, f fonksiyonuna aittir.
Buna göre, f|( M
- )
o
I
fonksiyonunun grafiği
s
aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
A)
C)
B)
y
0 /
-1
" S
, x
s
11x - 2 1- 1 1< 3
16.
B) (—2,3)
D) (-1,3)
0
<■1
X
eşitsizlğinin çözüm aralığı aşağıdakilerden
hangisidir?
A) (-2,1)
y
D)
E )'
y
C) (—2,6)
0
E) (-3,2)
-1
/
370
\
,
F O N K S İY O N LA R
22 .
I x2 - 4 I
f : (—2,2) —» R, f(x ) = - L _ l -
f(x) = | Ix | —2
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
fonsiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
I
*
23.
|x |+ y < 2
bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
20.
f(x ) = ||x |-3 | + a
fonksiyonunun grafiği x eksenini dört noktada
kesmektedir.
Buna göre, a nın değer alabileceği en geniş aralık
aşağıdakilerden hangisidir?
A) (0,2)
B) (2,3)
D)
21.
(3,4)
C) (-3, 0)
E) (-4, -3 )
||x |4 4 |« a
denkleminin farklı iki kökünün olması için
a ne olmalıdır?
A)a>4
B )-4 < a < 4
D)0<a<4
C) a > 0
E)a<4
371
F O N K S İY O N LA R
24. Grafik, aşağıdaki
bağıntılardan hangisine
ait olabilir?
27.
f ( x ) = |x - 2 |+ x
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
2..-'
S 2
-2
A) | y | - 1x|= 2
B )|x |-|y | = 2
C )|x -y | = 2
D) |x+y| = 2
E) |x| + |y| = 2
25.
Ac R
f : A ->R, f(x) V1 - lln( x - 2 )l
fonksiyonu veriliyor.
En geniş Atanım aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
A) (-oo.oo)
D)
B) (0, co)
2+— , 2+e
e
C)
E)
( 2 +İ ' H
H
26. Yandaki grafik f
fonksiyonuna aittir.
9(x) = |f(x+1)|
*x
£
*
fonksiyonunun grafiği
aşağıdakilerden
hangisidir?
28.
İIX | -6 | > 4
eşitsizliğini sağlayan pozitif gerçek sayıların
bulunduğu en geniş aralık aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
C)
[ 1 . 2 ] u [ 1 0 , oo)
[1,2] u [6,10]
B)
D). [2,4] u[10,co]
E) [4,6] u[10,co)
372
[ 1 .2 ] u [ 1 0 ,1 6 ]
F O N K S İY O N LA R
29.
31.
3x + 1 £ 15x —3 1
eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
denklem inin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) {-1 2 ,-8 }
B) [2,oo)
b i
| |x-10| h10|=12
B) (8, 12}
D)
C)
o, t
H 2,00^
E)
{2,10,12}
C ) { -8 ,-2 ,1 2 }
E) {-8 ,-1 2 }
D) ( | . 2)
(-10,2)
32.
f:R -» R , f(x ) = | | x - 3 | - 7 |
fonksiyonu veriliyor.
f_1 (6) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
30.
f(x )= |2 -x |-x -2
A)
{-10,16}
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
D)
B) {-10,4,16}
{4,16}
C) {2,4}
E) {-10,2,4,16}
CEVAP ANAHTARI
1. B
373
2. E
3. C
4. B
5. C
6. A
7. D
8. A
9. A
10. D
11. E
12. B
13. C
14. E
15. D
20. C
16. C
17. E
18. C
19. B
21. A
22. C
23. D
24. B
25. D
26. D
27. B
28. A
29. C
30. A
31. B
32. E
F O N K S İY O N LA R
TEST - 3 ÇÖZÜMLERİ
1.
x>o
4.
(x+ 3)2+5 |x + 3 |-3 6 = 0
(x + 3)2 = |x + 3|2
f(x) = | - 4 x - 1 2 + | - x | | —3x
| x + 3 12 + 5 1x + 3 1-36 = 0
|—x | = —(—x) = x
| x + 3 1= t diyelim.
f(x) = |-4 x -1 2 + x |-3 x
t2+ 5t - 3 6 = 0
f(x) = |—3x —12| —3x
/
x > 0 ise - 3 x - 1 2 <0
\
t, * - 9 .
f(x) = -(-3 x -1 2 ) - 3x
4
^ =4
|x + 3| = -9= > Ç = 0
|x + 3| = 4=>x + 3 = 4, x + 3 = -4
x1=1,
x2 = - 7
f(x) = ^ x + 1 2 - / x
f(x) = 12 olur.
Ç = {-7,1} olur.
CEVAP B
CEVAP B
2.
| 12x —4 1—x | = 10
Grafiğin düşey ekseni (y ekseni) kestiği noktada x = 0
olduğundan seçeneklerde x = 0 yazıp y = 4 ü bulmaya
çalışalım.
A)
x = 0 içiny = 3
B)
x = 0içiny = - 8
1. Yol:
x = 0içiny = 2
E)
x = 0içiny = 4 olduğundan
12x - 4 1-x = -10
| 2 x -4 |=x + 10
|2 x - 4 | = x -1 0
x + 10 £ 0 => x £ -10 0]
x -1 0 £ 0 = > x £ l0 İD
2x - 4 = x -10
2 x -4 = x + 10
C) x = 0içiny = 0
D)
2)
1) |2 x - 4 | - x = 10
*1=14
CEVAP E
x = -6
-2x + 4 = x +10
-2 x + 4 = x -1 0
3x = -6
3x = 14
x2
14
= -2
X4= —
X., vex2 B] i
*3 vex4 |H yi
sağladığından köktür
sağlamadığından kök olmaz.
Ç = {-2,14} olur.
3.
f(x) = || x - 3 1+ 12 - x | +4|
2. Yol:
= 2 ,-" olduğundan
|2 x - 4 | 2 = ( x + 1 0 ) 2
| x - 3 1= -x + 3
4x2 - 1
12 - x | = -2 + x
6 x + 1 6 = x2
+ 20x +180
3x2 - 36x - 84 = 0
f(x) = |-x + 3 - 2 + x + 4|
x2- 12x - 2 8 = 0
f(x) = 5 sabit fonksiyon olduğundan
2
f(V5~) = 5 olur.
/ \
-14
X, = - 2 , x2 =14
Ç = (-2 , 1 4 j olur.
CEVAP C
CEVAP C
374
F O N K S İY O N LA R
6.
| x - 4 | - | x + 3| < 7
f(x ) = 6 - | x - | 6 —x ||
| x - 4 | < |x + 3| + 7
x = 0 için y = 6 - 10-16 - 0 1| = 0 => (0,0)
iki taraf da pozitif olduğundan, her iki tarafın karesini
alabiliriz.
y = 0 için |x—| 6 —x || = 6
x-1 6 - x | = 6 veya x—16 —x | = —6
x —6 = | 6 —x |, x + 6 = 16 - x |
| X - 4 12< (| x + 3 1+7)2
X1 = 6
x 2 - 8x + 16 < |x + 3 |2 +14| x + 3 |+ 4 9
X2 — 0
|x • | 6 - x || = 0 için f(x) en büyük değerini alır.
x 2 - 8x + 1 6 < x 2 + 6x + 9 + 1 4 |x + 3 | +49
x—| 6 —x | = 0
-1 4 x + 1 6 - 5 8 < 1 4 | x + 3|
x =| 6 - x | =>
—14x —42 < 1 4 1X + 3 1
= 3 6 -"\2x + ^
=>x = 3 f(3) = 6
—14(x + 3) < 14 1x + 3|
Buna göre grafik çizilirse,
- ( x + 3 ) < |x + 3|
ikinci taraf x = - 3 hariç daima pozitif olduğu için bu
eşitsizlik R de sağlanır. Buna göre, eşitsizliğin çözüm
kümesi R —{—3} olur.
CEVAPA
7.
f(x) = |3 x -1 |+ x -1 5 ^ 0
denkleminin kökleri, eğrinin yatay ekseni kestiği noktaların
apsisleridir. Buna göre,
1. Yol:
6- 6
|3 x - 1 |+ x -1 5 = 0
s = 18 birimkare olur.
|3x —11=15 —x
CEVAPA
1 5 -x £ 0
1) 3 x -1 = 1 5 -x
4x = 16
2) 3 x -1 = -15 + x
2x = -14
. Xı = 4
X2 = -7
A(4,0)
B(-7,0)
|AB | = 4 + 1- 7 1=4 + 7 = 11 birimdir.
2. Yol:
f : R - » R, f(x )= |3 x -1 2 |-x
13x—11= 15 —x
13x - 1 2| = 0 olursa f(x) en küçük olur.
(3x-1)2 = (1 5 -x )2
Buna göre,
x2 + 3x - 28 = 0
3 x -1 2 = 0
x=4
x1= 4, x2 = -7
f(4) = -4 olur.
| AB |=4 + 7 = 11 olur.
CEVAPA
CEVAP D
375
F O N K S İY O N LA R
10.
12.
|3 x -1 2 | + |x + 6| = 14
3 x -1 2 = 0
x+ 6= 0
x1 = 4
x2 = -6
X
-00
3x - 1 2
-
- 6
|2x + 1 |< |x -3 | iki tarafta pozitif olduğu için her iki tarafın
karesi alınabilir.
|2x + lp < |x —3 12
)
4 x2 + 4 x + 1< x2 - 6 x + 9
00
4
3x2 +10x - 8 < 0
*
3x
x+6
I)
-3x+12
-x -6
+
-3x+12
X+6
1 2 x -2 x = 10x
+
. ^X
x
3x-12
X+6
4
(3 x -2 )(x + 4 )< 0
X ı = y , X2 = - 4
-oo < x < -6 => -4x + 6 = 14=>x = -2 |j]
-6 < x < 4 = > -2 x +
18 = 1 4 = > x = 2
- 4
- co
[2 ]
■
3x +10x-8
4 < x < c o = > 4 x -6 = 1 4 = > x= 5 [3]
çözüm aralığı: -4 < x < — veya
[2 ] ve [3] verilen aralıklarda olduğu için 2 -5 = 1 0 olur.
K )
olur.
CEVAP B
CEVAP D
i
I
| 13.
11.
f : R —> R, f(x) = | x —2 1—13x —4 1 fonksiyonunun en
f (X ) = -
2 1x |
%
x < 0 için f(x)
büyük değeri bulunurken,
-2x
x
f(x) = 2
x - 2 = 0 = >x = 2
x > 0 için f(x) = ——
x
3 x - 4 = 0 = > x = — değerlerif(x)te yazılır.
f(x) = -2
Bulunan karşılıklardan büyük olan alınır.
f—2, x > 0 ise
f(x) =
f(2) = 0 - 13 2 - 4 1
Grafiği,
f(2) = -2
(t )-
[2 , x < 0 ise
4
- 2 -0
f | — I = — , f(x) in en büyük değeri olur.
olur.
(f(x) in x = 0 için tanımsız olduğuna dikkat edelim.)
CEVAP E
CEVAP C
376
F O N K S İY O N LA R
17. f(x) = | x —| x —2 11
14.
x - 0 için y = 2 => A(0,2)
y = 0 için | x -| x - 2 | | = 0
x —| x —2 1= 0
x = | x —2|
- 4x + 4
4x = 4
x= 1
B(1,0)
x = 2 için y = 2 C(2,2)
Seçeneklerde x = 0. x = a yazılırsa
x = 3içiny = 2
x = 0 için y = a
(O.a)
A, B, C, D noktaları E seçeneğindeki grafik üzerindedir.
x = a için y = - a
(a,-a)
D(3,2)
CEVAP E
olduğu görülür. Bunları da sadece E seçeneğindeki grafik
sağlar.
18.
CEVAP E
15. f(x )H x -2 |-V x 2 "
f(x) H x —2 1—| x |
x = 0 için y = 2 => A(0,2)
y = 0 için | x —2 1—| x | = 0
IX —2| = |x|
( x -2 )2 = x2
S
/X ^ -4 x + 4 =
4x = 4
x=1
1
x < 0 ise | x | = - x => f^
%
j = f(° ) = “ 1
x = 0 ise|x| = 0 => f (0) = —1
x >0 ise | x | = x=> f{ * +
B(1,0)
x = 1 için f(1) = 0
x = 2 için y =| 2 —2 1—12 1
C seçeneğindeki grafik-bu koşulları sağlar.
y = -2
CEVAP C
C(2,-2)
A, B, C noktaları D seçeneğindeki grafik üzerindedir.
19.
CEVAP D
16. 11 x - 2 1- 1 1 < 3=>
x = 0 için y = 2
A(0,2)
-3 < |x - 2 | -1 <3
y = 0 için *x2 4 * =0
2 —| x |
—2 < |x —2|< 4
1) —2 < | x —2 1 =>Ç = R
|x 2 - 4 | = 0 = > x 1 = -2, x2 = 2
2) |x —2 1< 4 =>
B(-2,0), C(2,0)
-4 < x -2 < 4
x1 = - 2, x2 = 2 için payda sıfır olduğu için ifade
- 2 < x < 6 = > Ç 2 =(-2.6)
tanimsızdır. Bu nedenle bu noktalar açık çizilmiştir. Bu
koşullara uyan grafik B seçeneğinde verilmiştir.
Çl 0 Ç2 = (-2,6) olur.
CEVAP B
CEVAP C
377
F O N K S İY O N LA R
20.
24.
f(x) = | | x | —3 | + a = 0
| | x | -3 | = -a (-a > 0 => a < 0)
1) | x | -3 = -a
2) | x | - 3 = 0
| x | = 3 —a
| x| = 3 + a
f, x eksenini dört noktada kestiği için,
3 -a > 0
3+a>0
3>a
a > -3
-3 < a < 3
y = 0 için x1 = -2, x2 = 2
3 < a < 0 olmalıdır.
(a <0 idi)
x > 2 için yi < 0, y2 > 0
CEVAP C
21. || x | -f4| = a
1)
x < -2 için y1 < 0, y2 > 0
(a> 0)
| x | +4 = a
olmaktadır. Bu koşulları sadece B seçeneğindeki bağıntı
sağladığından
2) | x | +4 = -a
| x | = a —4
| x | = —a ■ 4
a -4 > 0
(a>4 ise - a - 4 < 0
a > 4 olmalıdır.
CEVAP B
bu kısmın çözüm kümesi 0 olur.)
CEVAP A
22.
f(x) = j| x | -2|
x = 0 için y = 2
I
A(0,2)
sı
25.
f ( x ) = V 1- M
x - 2 )l
1—| ln(x —2 )| £ 0 için tanımlı.
y = 0 için || x | -2| « 0 => | x | -2 - 0
| ln(x —2) | < 1
Ix|= 2
1) x - 2 > 0 = > x > 2 ise
x1 = -2, x2 = 2
ln (x -2 )^ 1 = lne
B(-2,0), C(2,0)
x -2 < e = > x < 2 + e
Bu koşullar A ve C seçppş ferindeki grafiklerde
sağlanıyor. x < -2 ve x > 2 için f tanımlı olduğu için
doğru seçenek C dir.
Q)
2) 0 < x - 2 < 1 = > 2 < x < 3 is e
-ln (x -2 ) < 1
CEVAP C
ln ( x - 2 ) > -1 = ln —
e
23.
|x |+y
<2
x -2 S —
e
x < 0 için - x + y < 2
x > 0 için
x+ y£2
doğrularının grafikleri çizilirse,
[H
Q] ve [2 ] karşılaştırılırsa
2 + — < x < 2 + e ya da
e
bulunur.
2+— , 2+e
olduğu görülür.
CEVAP D
CEVAP D
378
F O N K S İY O N LA R
26.
29.
3x + 1 < |5 x - 3 |
İ.Y o l:
3x + 1>0 olmak üzere,
her iki tarafın karesini alalım.
(3x + 1)2 s ( 5 x - 3 ) 2
9x2 + 6x +1 < 25x2 - 30x + 9
g(x) = |f(x + i)i
16x2 -3 6 x + 8 > 0
x = 0 için g(0) =| f(1) | = 1=> g(0) = 1
x = -1 için g(-1) =\ f(0) | = => g(-1) = 0
4 x2 - 9 x + 2 > 0
x =1
4x_
için g(1) =| f(2) | = 1 => g(1) = 1
-1
•X.
x = -2 için g(—2) = | f(-1) | = 1
Bu koşulların D deki grafikte sağlandığı görülmektedir.
8x - x = - 9x
(4x-1) (x-2) = 0
CEVAP D
X ı= — , x2 =2
27.
f(x) = | x - 2 1+x
X
x = 0 iç in y = 2
- co
4x2-9x+2
y = 0 için | x - 2 |+x = 0denkleminin
2
4
(0,2)
||§ §
-
00
f | § g
çözümü olmadığı için grafik
tabloya göre, bu eşitsizliğin en geniş çözüm aralığı
x eksenini kesmez
(- 00, —11 '
x = 1 için y = 2
l
(1,2)
4 .
u [2. °°) olur.
x = -1 için y = 2 (-1,2)
2.
x = 3 için y = 4
3x + 1 ^ |5x —3|
(3,4) olduğundan grafik
B seçeneğindeki grafik olabilir.
Yol:
5x- 3 > 0 ise 3x + :U ^ k - 3
CEVAP B
4 < 2x
2 <x
0
5x - 3 < 0 ise 3x +1 < - (5x - 3)
28.
| | x |-6 | £ 4
3x + 1 ^ -5 x + 3
| x |-6 £ 4
veya
| x | -6 < —4
8x<2
|x |£ l0
veya
|x | S 2
1
x£■
x £ l 0 veya x < -1 0 0
- 2 < x < 2 [2j
i
0 ve [2 ] den yine
Eşitsizliği sağlayan pozitif gerçek sayıların bulunduğu
aralık istendiğ için,
,- ^ - ju [2 , 00) elde edilir.
0 ve [2] den [1,2] u [10,co) bulunur.
CEVAP C
CEVAPA
379
F O N K S İY O N LA R
30 .
f(x) =|2~ x| —x —2
32.
x = 0 için y = 0 => (0,0)
f : R -> R. f(x) = 11 x - 3 1- 7 |
f-1(6) = a dersek
x = 2 için y - - 4 =>(2,-4)
f(a) = 6 olur.
y = 0 için x = 0
11 a - 3 1- 7 | = 6
A seçeneğinde verilen grafik bu koşulları sağlar.
| a - 3 1-7 = 6 veya | a —3 1—7 = —6
CEVAP A
| a - 3 1=13
veya | a - 3 1= 1
a - 3 = 13 veya a - 3 = -1 3
a-)=16,
a2 ~ -1 0
a - 3 = 1 veya a - 3 = -1
83= 4,
a4 = 2
f- 1(6) = {-10,2,4,16} olur.
(f-1 in bir fonksiyon olmadığını görelim.)
CEVAP E
31 .
| |x -1 0 |+ 1 0 | = 12
|x —101-+-10 = 12 veya |x -1 0 |+ 1 0 = -12
|x —1 0 1= 2
veya
|x -1 O | = -2 2 = > Ç = 0
x -1 0 = 2, x -1 0 = -2
x1=12f
x2 =8
•
Ç = {8,12} olur.
CEVAP B
380
F O N K S İY O N LA R
ÇÖZÜMLÜ TEST - 4
4.
Karma uygulamalar:
1.
(a,b), f(x ) = vx +4
f(x) =
x -3
log (3-x)
fonksiyonunun en geniş tanım aralığı aşağıdakilerden
hangisidir?
fonksiyonunun
grafiği üzerinde bir nokta ise aşağıdakilerden hangisi
A) (1,2)
B)x < 3
C) (2,3)
D )R -{ 3 } E) (0,2)
aynı grafiğin başka bir noktasıdır?
A) (b,a)
B) (-a.b)
D) (b, -a )
C) (a, -b)
E)(-a.-b)
f ( x ) = 2 x - 1 - >/ ( 2 - x ) 2
f(x)
fonksiyonu, değişkenin x < 2 değerleri için
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
fonksiyonunun en geniş tanım aralığındaki
tamsayıların toplamı kaçtır?
A) x - 1
A) 4
B) x + 2
C) 3x - 3
D )3x+ 1
E ) 3 x -2
D) [0,2]
D) 7
E)-
D) 18
E) 20
f(-2 ) = 6
fonksiyonunun en geniş tanım aralığı aşağıdakilerden
hangisidir?
B) (-1,2)
C) 6
f(x ) = f(|x |)
f(x ) = J —
+ \/x 2 +4x
V x+ 1
A) ( -1 ,2 ]
B) 5
C) [-1, 2]
E) (-2, 4)
g(x) = 3f(x)- 2
olduğuna göre, g(2) kaçtır?
A) 12
B) 14
C) 16
F O N K S İY O N LA R
7.
İV
3
J
10.
f
0
/
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
g(x) = | f(x
y
<
Grafik, f fonksiyonuna aittir.
2) |
o------ '1
T
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
y
B)
------7t ' "
0
-71
0
n
t
»-1
8.
f(x) = 1+log(x+2) f
fonksiyonunun tersi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 10X"1 + 1
B) 10x“1- 2
D) 10x + 2
C) 10X+1-1
E )1 0 *-1
11.
12
eşitsizliğini sağlayan en geniş aralık aşağıdakilerden
hangisidir?
f :R -> R ,
f(x ) = 2 f ( - x ) - 3 x
+12
ile verilen f fonksiyonunun grafiği y eksenine göre
simetrik olduğuna göre, f(-3) kaçtır?
A) 15
B) 16
C)17
D) 18
A) (-12,4)
B) (-1 2 ,- 4) u (4,12)
C)
D) (-12,12)
(-12,0) u (4,6)
E) (-4,0) u (4,6)
E) 19
382
F O N K S İY O N LA R
12.
15.
{ | x | + |y |= 4 ; (x ,y )e RxR)
denklem inin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A)
x e R, |x| —1= |x —1|
B)
A ) (- 0 0 ,co)
B ) (- 0 0 ,0 )
D) (O.co)
C ) [1,oo)
E) (0,1]
0
-4
D)
16.
13y- 9 1-x = 0
bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
M
- 4 ..'
13.
§
f ( x ) = | x - 4 | + |x + 6|+3
fonksiyonu aşağıdaki aralıkların hangisinde sabit
fonksiyon olur? .
A)
[-6,3]
B) [-6.4]
D) (-7.4)
14.
C)
[3.8]
e
^
^
E) [-4.9]
«
|y -1 | = x + 1
bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
y
A)
B)
\
2
1
>
/
C)
-1
0
-1 0
y
D)
2
\ V
1
>
01
/
y
2
—
►
X
E)
-1
/
1
0
17.
*
f(x ) = x 2
g(x) = 3x + a olduğuna göre,
<y
(g o ff1(-4 ) = 1
/
olması için a kaç olmalıdır?
1
0
<1
\
A )- 3
■
383
B) —2
C )-1
D) 4
E) 6
F O N K S İY O N LA R
18.
{ |x
20.
1, | y - 1 1< 1; (x,y) e RxR }
A)
B)
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
A)
-1
0
1
-1
y
C)
D)
îy
y
B)
G 1
>y
V
1
0
-1
V '" y
C)
-1
X+ 2
|x + 2|
f(x )= |x + 2|
bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
D)
y
P .
o 1
0 a—
1
x
/
\
-2
I
V
co
E)
1
L
v
/
1
u
' x
v
-3
E)
-1
19.
21.
f(x )= x3 —(2a —1)x2 + 3x + a + b
A (x) =
fonksiyonu tek fonksiyon olduğuna göre,
a b f(-1 ) çarpımı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
|x|+1
|x|-1
olduğuna göre, A yı pozitif tamsayı yapan kaç tane
x tamsayısı vardır?
E) 5
A) 2
384
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
F O N K S İY O N LA R
25.
22.
x, x e Z
M -
sgnf(x) =
x ten büyük olmayan en büyük tamsayı x « Z
ile tanımlanan sayıya x in tam kısmı ya da tamdeğeri
denmektedir.
-1,
f(x ) < 0 ise
0,
f(x ) = 0 ise
1,
f ( x ) > 0 ise
ile tanım lanan sgnf fonksiyonuna f nin işaret fonksiyonu
denmektedir.
B una göre,
f :R -» R , f(x )= | x | - [ x j
Buna göre,
fo n k s iy o n u [- 3 , - 2 ) a ra lığ ın d a a ş a ğ ıd a k ile rd e n
h a n g isi ile ifade e d ile b ilir?
A) f(x) = x —2
B) f(x) = x + 2
D) f(x) = x + 3
A c R , f :A -» R
C) f(x) = - x + 3
E) f(x) = x - 2
f(x ) = 1 - s g n (x
- 9 x + 14)
fon ksiyonun un en geniş tanım aralığı aşağıdakilerden
h a ngisidir?
A) [1,5]
B) (1,6)
C) [2,7]
D) [3,8]
f(x )= [3 -x |+ [x -3 |
23.
o ld u ğ u n a göre, f(n) n in değeri nedir?
A) 3 -te
B ) ti
C )ti - 1
D )n -4
E)
te-3
5
^
26. Grafik, f fonksiyonuna aittir.
Buna göre
h(x)=|f(x)|+ sg n|f(x)|
24. [
fo n k s iy o n u n u n grafiği
aşağıdakilerden ha n g isid ir?
] tam değ eri gö sterm ek üzere,
{(x ,y )e R x R [x ] = 1, [y + 1] = l}
B)
bağıntısının g ra fiğ i aşağıdakilerden h a n g isi ola b ilir?
A)
2
B) ^y
y
W-1
0
0
2
1 2
D)
C)
D) . y
y
C)
w
1
0
1
0
2
1 2
*
y
S)
ıy
E)
V
1 n
-1:
i 0
-1
-1 ö
|1
385
y .
1
0
1
E) (3,8)
F O N K S İY O N LA R
27.
- 1 < x < 0 olmak üzere,
f(x ) =
30.
f(x ) = | 1-lnx |
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
\x<
T İ - S9{ ^ t ) +I x + 1]
olduğuna göre, f(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) x
B) x + 1 C)2x
28. f(x)=2x+1,
D )-x
E )-2 x + 1
g(x) = |x| - x
olduğuna göre, y = (fog) (x)
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
A)
y
B)
1
0
C)
\
\
■
y
D)
\
1
/
0
:.y
E)
1
0 :1 • *
29.
f :R -> R , f(x ) = |x —| —x11-2
fonksiyonu parçalı fonksiyon biçiminde yazılırsa
aşağıdakilerden hangisine eşit olur?
2 x -2 ,
-2 x -2 ,
x > 0 is e
A)
B)
- 2 x - 2 , x < 0 ise
-2x,
C)
x > 0 ise
f2 x -2 ,
D). .
; lyr:
2x - 2 , ; x < 0 ise
E)
. 2,
-2 ,
x £ 0 ise
2 x -2 ,
x < 0 is e
CEVAP ANAHTARI
x ^ 0 ise
x< 0is e
x £ 0 ise
x <0 ise
386
1. B
2. C
3. A
4. C
5. D
6. C
7. C
8. B
9. A
10. B
11. B
12. C
13. B
14. B
15. C
16. D
17. C
18. D
19. A
20. E
21. A
22. C
23. E
24. A
25. C
26. C
27. D
28. C
29. E
30. A
F O N K S İY O N LA R
TEST - 4 ÇÖZÜMLERİ
1.
(a.b)
f(x) = Vx2 + 4 üzerinde ise
m -.
f(a) = b
I
x -3
log(3 —x)
X- 3
Va2 + 4 =b
lo g ( 3 - x )
a2 + 4 = b2 olur.
(-a.b)
0
lo g (3 - x ) * 0
f(-a ) = b
-Ja2+ 4
3 -x > 0
=b
x<3
a2 + 4 = b2
|2|
x - 3 < 0 olduğundan 0 in pozitif olması için !og(3-x) < 0
olmalıdır.
0 ve [2] bağıntıları eşit olduğundan (-a, b) noktası
grafiğin başka bir noktasıdır.
S
■
Io g (3 -x )< 0 = log1
CEVAP B
3 - x <1
2.
2<x
f(x) =2x-1-y/(2-xf
m
i v e !
f(x) = 2 x - 1 - | 2 —x |
karşılaştırılırsa 2 < x < 3 veya (2, 3) olur.
x ^ 2 = > 2 - x > 0 verildiğinden
CEVAP C
f(x) = 2 x - 1 - ( 2 - x )
f(x )
f(x) = 2 x - 1 - 2 + x
f(x) = 3 x - 3
olur.
CEVAPC
.§
«5
X
4 -x
£0
x+3
ve
| —1
I x I -1 > 0
4 - x = 0=>x-ı = 4
|x |^ 1
x + 3 = 0=>x2 = - 3
x ^ 1 veya x < - 1 [2 ]
3.
f(x)
V x+1
+
+ yjx2
s +4x
II.
f(x) in II. kısmı tek kuvvetten kök altında polinom şeklindi
olduğundan R de tanımlıdır.
I. kısmı,
(-3.4]
2- x
> 0 için tanımlıdır.
x +1
0
00
4
n
-
T
0
ve [2 ] aralıklarının kesişimi
-1
1
4
/////////////////////////////
lllllllllllllllllllllllllllll
uuuııımniHiuınııııınniHiıımı
x2 î* —1 olmalıdır.
-1
2 -x
x+1
—3
"
-3
2 - x = 0, x + 1= 0
X1 2
—00
x
4-x
x+3
Çift taralı bölge (-3 ,-1 ] w [1,4] aralığı f(x) in en geniş
tanım aralığıdır. Bu aralıktaki tamsayıların toplamı:
m
Buna göre. f(x) in en geniş tanım aralığı: (-1,2] olur.
- ^ - / + 9 + / + ^ + 3 + 4 = 7 olur.
CEVAPA
CEVAP D
387
F O N K S İY O N LA R
6.
f(x) = f(| x |)
9.
f(—2) = 6
f:R -> R , f(x) = 2 f(-x )-3 x 2 + 12
9 (x )-3 f(x )-2
f nin grafiği y eksenine göre simetrik ise f çift fonksiyondur.
Yani f(- x )- f (x ) tir.
g(2) = 3 f(2 )-2
f(x) = 2f(x) -3x2 +12
f(2) = f (| —2 1) = 6
f(x) = 3x2 -1 2
g(2) = 3 - 6 - 2
f(-3 ) = 3 (-3)2 -1 2
g(2) = 1 8 -2
f( -3) = 3 -9 -1 2
f( 3) = 2 7 -1 2
g(2) = 16 olur.
f( 3) = 15 olur.
CEVAP C
CEVAPA
10.
cos
f :(-k , 7 t)-{0 }-> R , f ( x )
3ft . .
x=—
sınx
5rc
JL
3k
JL
3n 'I
.(
için 1[—
2
J-
=1
2
7i ^
n . .
(
=1
J -g(x) = | f(x —2)|
7t . . . ( 7C^ COS7
* -T m i T —
x '
cin_
g(O) = | f ( 0 - 2 )|
g(0) = | f(—2)| = o => g(0) = o
g(2) = |f(2 -2 )j
3n . .
J
3tc ^
9(2) = |f(0)| = 3 => g (2) = 3
g(4) = |f (4 - 2 )|
5n
cos----4
371
4
2
2
Bu koşulları B seçeneğindeki grafik sağlar.
g(4) = |f(2)| =3=> g(4) = 3
CEVAP B
g(—3) = | f(—3 —2)|
11.
g(-3) - 1f(-5) | = + => g(-3) = + olur.
J
Ix |
1_
1
1_
6 < 12
1
1
6 < 12
1
1_ _1_
1
12 + 6 4 v e |x |< 1 2
y = f(x) = 1+ log(x + 2) => log(x + 2) = y -1
=> x + 2 = 10y_1
x > 4 veya x < -4 ,
-12 <x <12
=>x = 10y_1 - 2
-12
-4
«----------- em m i H o-
-d im m o -
= i» r1(x) = 10x"1 - 2 olur.
Çözüm aralığı (-1 2 ,-4 )u (4 ,1 2 ) olur.
4
12
CEVAP B
CEVAP B
388
F O N K S İY O N LA R
12.
15. x e R, |x |- 1 « |x
{ |x | + |y |= 4 ; (x ,y )e R x R }
x = 0 için 0 + 1y |= 4 =>| y |= 4=> y-j =
y2 =2
X
y = O için | x |= 4 => x-j = -2 , x2 = 2
x = -1 için | y |=3
1|
-oo
CC
o
X
y-| = -3 , y2 = 3
x -1
x = 1 için | y |= 3 => y1 = -3, y2 =3
-
+
+
-
+
Bu koşullar C seçeneğindeki grafikte sağlanmaktadır.
-oo < x < 0 için - x -1 = - x +1
CEVAP C
-1 ^ 1 olmaz,
bu aralıkta f(x) tanımsız.
13.
f ( x ) = | x - 4 |+ |x + 6|+3
0 < x <1 için x -1 = - x + 1
x - 4 = 0=>x = 4
2x = 2
x + 6 = 0=>x = -6
x=1
X
—00
—6
1
bu aralıkta
oo
olmadığı için f(x ) bu aralıkta da tanımsız.
x-4
_
-
+
1 < x < oo için x -1 = x -1
x+6
+
-
1
O« O daima sağlandığı için
+
f(x) bu aralıkta tanımlıdır.
-< o < x < -6 için f(x ) = • x ; 4 —x —6
-6 < x < 4
4 < x < oo
O haldef(x) in tanım aralığı :[1, oo) olur.
f(x) = - 2 x - 2
için f(x ) = - x + 4 + x + 6
f(x ) = 10
için f(x ) = x - 4 + x + 6
CEVAP C
f(x )= 2x + 2
I
açık-seçik görüldüğü gibi f(x), [-6,4] aralığında sabit
fonksiyondur.
16.
1 3 y —9 1 —x = O
13y —9 1= x
3 y -9 = x
x>O olmalıdır.
veya 3 y - 9 = - x
Yani -6 < x < 4 için f(x) = 10 olur.
x -3 y + 9 = 0 veya x + 3 y - 9 = 0
doğruların grafiğini çizelim:
UVARI : Sabit fonksiyonda x bulunmayacağı için
x -4 ^ 0 , x + 6>0
olduğundan
bu
olduğu tablo yapmadan da
x = O için y = 3
veya x = O için y = 3
10
8
x = 1 ıçıny = —
x = 1 ıçıny = y
görülebilir.
CEVAP B
y = O için x = -9
14. |y-11 =x +1
y = Oiçin x = 9
x = O için |y —1|=1=> y —1 = 1, y —1= —1
yi =2. y2 - 0
y = 0 için |-1 | = x + 1=>1 = x + 1
x=0
x = 1 için|y- 1| = 2 = > y -1 = 2, y -1 = -2
yi =3, y2 = -1
x = -1 İçin |y - 1 | = 0 = > y —1= 0
y =1
x ^ 0 olduğundan y ekseninin sağ tarafındaki kısım
verilen bağıntının grafiğidir.
B seçeneğindeki grafik bu koşulların tümünü sağlar.
CEVAP D
CEVAP B
389
F O N K S İY O N LA R
17.
20.
f(x) = x -2
g(x) = 3x + a
(gof- 1 )(—4 ) = 1 ise a = ?
f (x) =| x + 2 1—
x+2
|x+21
g(f_1 H ) ) = ı = > g '1( ı)= f " 1 (4)
f(x) = - x - 2 + 1
=>g(1) = f(4 )
f(x ) = - x - 1
3-1 + a = 4 - 2
x + 2 > 0 = > x > -2 isef(x) = x + 2 -
3+ a = 2
a = -1 olur.
x+ 2
x+2
f(x ) = x + 2 -1
f(x ) = x + 1 olduğundan
CEVAPC
18.
x+2
-(x + 2)
x + 2 < 0 = > x < -2 isef(x) = - x - 2
f(x ) =
{| x | £1, |y-1|<1;(x,y)eR xR }
-1, x < - 2 ise
[x + 1,
x > -2 ise
olur.
Bunun grafiği çizilirse,
| x |< 1 => —1^ x < 1
| y —1|<1=>—1<y —1<1
= > 0 < y < 2 olduğundan
grafik
-*rx
bulunur.
CEVAP E
olur.
I
CEVAP D
19.
I
**
21-
a
= N ±1
I x | —1
A ise
A A = -------“ X + 1 =5- A
A = - X_1
x<0
-x -1
x+ 1
f(x ) = x3 - (2 a - 1 ) x 2 +3x + a + b tek fonksiyon ise
x+1
X-1
x ^ 0 ise A
f (—x) = —f(x ) olacağından çift kuvvetten terimlerin
katsayıları sıfır olur. Buna göre,
x -1
, x <0 ( x * - 1 ) ise
x+1
A(x) =
2 a -1 = 0 => a
x+1
, x > 0 (x * 1 ) ise
x -1
(a+b) x° gibi düşünülürse a + b = 0
x+1
/-1
o
II
.o
+
+ /
2
b= —
1
x + 1 x -1
1
1
1
-2
t
* x±1
2
1-
, x < 0 ( x * - 1 ) ise
f(x )= x 3 +3x
A ( X) :
f(-1 ) = (-1)3 + 3 .(-1 )
1+
2
x ^ 0 (x * 1 )
ise
f< -1 ) = - 1- 3
x + 1, - 1 için, x —1,1 için tanımsız olduğundan
f(-1 ) = -4
x + 1 = - 2 = > x = -3
•b f(
1 olur.
x - 1 = 2 = > x = 3olmak üzere2 tanex tamsayısı vardır.
CEVAPA
CEVAPA
390
F O N K S İY O N LA R
22.
25.
f:R -> R , f ( x ) = |x |- [ x ]
fX
f(x) = -
| x | = -x , x e [-3 ,-2 )
-6
1-sgn(x'1 - 9 x + 14)
- 3 < x < - 2 ise [x] = - 3 olduğundan,
1-sgn(x2 - 9 x + 1 4 )* 0 için tanımlı olduğu için
[ - 3 ,- 2 ) aralığında f(x ) = - x - ( - 3 )
sgn(x2 - 9 x + 1 4 )*1 olmalıdır.
f(x ) = - x + 3 olur.
x2- 9x + 14 = 0
CEVAPC
.
'
—1
x, = 2,
X
x2-9x+14
sgn(x2-9x+14)
23.
f ( x ) = | 3 - x | + [x -3 ]|
—oo '
+
2
l
©
1
oo
-
<1
+
0
'1
© '
Tabloda açıkça görüldüğü gibi tanım aralığı: [2,7] olur.
x = 7t = 3,14--- yazılırsa
CEVAP C
f(7 i)= |3 -7 t|+ [3 ,1 4 -3 j
f(7t) = - 3 + 7t + [0,14]
(3 —7t < 0)
I
§
f(7t) = -3 + 7t + 0
26-
1 ( n ) = n - 3 olur.
s
CEVAP E
h(x) = |f(x )| + sgn|f(x)|
x = -1 için h(—1) = |f(—1)| + sgn|f (-1)|
24.
h(-1) = 0 + 0 => h(-1)î='D
{ (x,y) e RxR; [x j = 1, [y + 1] = 1}
x = 0 için h(Qı) = |f(0)|+ sgn|f(0)|
[x] = 1 = > 1 < x < 2
h(ûj = |-1| + sgn|-1|
[y + l j = 1=>1<y + 1<2
h(0) = 1+ 1=î>h(0) = 2
0 ^ y < 1 olduğundan
x = 1 için h(1) = |f(1)| + sgn|f(1)|
grafik,
h(1) = 0 + 0=>h(1) = 0
.
x = 3 için h(3) = (+)+sgn|f(3)|
y
h(3) = (+)+sgn|+|
h(3) = (+)+1
h(3)> 1
1
0
1
%
2
î
Bu koşulların sadece C seçeneğinde sağlandığı
görülmektedir.
CEVAP C
CEVAPA
391
F O N K S İY O N LA R
27.
-1 < x < 0
29.
.2 'l
x- 1
-c o 0 O
1
f ( x ) =| 2x | -2
co
f(x ) = - 2 x - 2
+
X
2
X
1
♦
f(x )= | x + x |- 2
I
♦
x < 0 ise - x > 0 => f (x) =| x - ( - x ) | -2
+ [x + 1l
o _
X2- 1
X -1
8
X
-sgn
x -1
I
8
I
o
f(x ) = -
f :R -+ R , f(x ) = | x - 1 - x 11-2
x > 0 ise - x < 0 = > f(x ) = | x - [ - ( - x ) ] | - 2
f(x )= | x - ( x ) | - 2
—1< x < 0 için x - 1 < 0
f(x )= | x - x | -2
- ( x 2 -1 )
x -1
(x -1 )(x + 1)
^ = - x - 1 . [x + 1| = [x] +1
:
f(x ) = |0 | 2
f(x ) = - 2
= -1 + 1 = 0
-2x - 2, x < 0 ise
f(x) = - x - 1 + 1+ 0
f (x)
f(x ) = - x olur.
-2,
x > 0 ise
olur.
CEVAP D
CEVAP E
30.
f(x ) = | 1-lnx |
x = 0 için f(0 ) =| 1-InO |=| 1 - c o
|= co
y = 0 için 11—lnx |= 0
1-lnx = 0
lnx = 1
X= ı,1
x=e
A(e,0)
x = 1 için f (1) =| 1—In11
28. f(x ) = 2x + 1, g (x )= |x |-x
f(1 )= |1 -0 |
y = (fog)(x)
f(1)=|1|
y = f(g (x ))
f(1) = 1
B(1.1)
x =0 için y = f(g(0)) = f(0 ) = 1
x = 1 için y = f(g(1)) = f(0 ) = 1
x = 2 için y = f(g (2» = f(0 ) = 1
x = -1 için y = f(g(-1)) = f(2 )= 5
Sadece C seçeneğindeki grafiğin bu koşuları sağladığı
görülmektedir.
Sadece A seçeneğindeki grafik bu koşulları
sağlamaktadır.
CEVAP C
CEVAPA
392
m
u
at
B
BOLUM - 7
D
LİMİT VE SÜREKLİLİK
ÇOZUMLU TEST - 1
4.
Bir fonksiyonun sağdan ve soldan limiti, özel
fonksiyonların limiti ile ilgili uygulamalar:
lim
1- x + -
x -» r
i)
in değeri kaçtır?
1.
lim (3 x 2 + 4 x - 1 2 İ
x-»1 +
}
A) - 2
B ) -1
C )0
D )1
E) 2
nin değeri kaçtır?
A) - 6
B )-5
C) —4
D) 3
E) 5
2.
1 5.
lim ( x | x | + 3 x )
x-H-2)-
A )- 1 0
B) - 8
C )-6
lim
I
in değeri kaçtır?
D) 2
x-»0"
3x
|x|
| x2 - 2 x |
I x -2 1
nin değeri kaçtır?
E) 10
A )t
B )t
C )0
D) —1
E) "T
3.
6.
( y2 + x y -2 x 2 )
lim
y -—
44x)
x) J
y—
>x_ [v, |I x - yy|I-*((y
in değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Grafiği verilen f fonksiyonunun [-5, 5] aralığındaki
tamsayılar için var olan limitleri toplamı kaçtır?
A) 9
B) 10
C)11
D) 12
A) —3
E) 13
393
B )-2
C ) -1
D) 1
E) 2
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
10.
r
f : R -> R, f(x )= J
*r + 1,
x > 1 ise
4x,
x = 1 ise
x -1
, x<1
x -1
olduğuna göre, lim f(x) kaçtır?
x -> 1
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
D) 5
E) 6
Grafik f fonksiyonuna aittir.
h ( x ) = f ( x ) + - i ^ - + r 1(x)
■W
olduğuna göre,
lim h(x) in değeri kaçtır?
x -> 3 +
A) —2
B ) -1
C)1
D) 2
E) 3
11.
lim ( [2 x - 3 ] + 4)
x-»2”
ün değeri kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
8.
lim
x-»2h
I x —2 1
3 x -4
2 -x
ün değeri kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
12.
Hm ([x + [-3 x + 4 ]] + 12)
x -» 1 +
nin değeri kaçtır?
A) 10
x - 2x + 3,
f:R -» R ,
f(x) = |
B) 11
C) 12
D) 13
E ) 14
D )- 3
E )- 4
x > 2 ise
4,
x = 2 ise
7 -2 x ,
x < 2 is e
13.
olduğuna göre, lim f(x) kaçtır?
x-»2
A) 2
B) 3
C) 4
lim
x-»0‘
D). 5 .
|2x + 3[x]1~2
x +2
. E ) <3.
nin değeri kaçtır?
A) 3
394
B) 1
C )-2
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
18.
14.
lim
X-»4'
lim
|[|[x + 2 ] + 2 x l
in değeri kaçtır?
A )4
B )3
15.
l.3>
■W ]
*İ± )
X
in değeri kaçtır?
C) 2
D) 1
E) O
A) - 1
B) O
C) 1
D) 2
E) 3
lim sgn(-4x2 + x + 5)
x-> 1
in değeri kaçtır?
19.
A) - 1
B) O
C) 1
D)
E> i
16.
G ra fiği ve rile n f fo n k s iy o n u n u n kaç noktada lim iti
yo ktu r?
lim [3x+4 + sgn(2x-3)]
'3 "
A) 2
B) 3
C)
D)
5
E )6
ün değeri kaçtır?
a>
15
-
B) 6
D) 5
E> i
17.
20.
Ilm b î i - ı i ü d
x->4+
Ilm+ ( Sgn(x2 - 4 x + 4 )+ [ | + ± ] + ^
sgn(x-4)
ün değeri kaçtır?
A) 4
B) 5
| T)
x -» 2
ifad esinin değeri kaçtır?
C) 6
D) 7
E) 8
A) - 1
395
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
24.
21.
lim
[ x f -4
x -»2
X
lim
x->2T
—4
fx +
ün değeri kaçtır?
nin değeri kaçtır?
A) O
A) 4
B) 1
C) 2
D) —1
E) - 3
B) 2
2l|- x 2
x“ 2
C) O
D )- 4
E )- 6
25.
22.
[xl|2 - 4
lim
x -> 2 "
X
lim
x-»(-3) +
—4
in değeri kaçtır?
ün değeri kaçtır?
A) - 1
|- 2 x - 1 j + sgn(x2 - 9 )
B) O
C) - 00
D) 1
E) oo
B)
A)
23.
D)
o —
10
CEVAP ANAHTARI
f
f(x)=
x2
-9
I x —3 1
[ax + 6,
0 .
, x <3 ise
1. B
x> 3 ise
fonksiyonunun VxeR için limiti varsa a kaçtır?
A) 6
B )4
C )-4
D )- 5
E )-6
396
2. A
3. C
4. D
5. E
6. D
7. B
8. A
9. B
10. B
11. C
12. D
13. D
14. B
15. C
16. A
17. E
18. B
19. B
20. D
21. A
22. E
23. C
24. D
25. D
e> T
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
TEST - 1 ÇÖZÜMLERİ
1.
4.
lim ( 3 x 2 + 4 x - 1 2 ) = 3 -1 2 + 4 - 1 - 1 2
x->1
lim
= 3 + 4 -1 2
f l - x + — - —1 =
1-x+
= 7 -1 2
^
= - 5 olur.
- co
(Polinom şeklindeki fonksiyonların sağdan ya da soldan
limitleri doğrudan O noktadaki limitine eşit olduğu için,
x = 1 yazdık.)
1
l
lim
x^ı + L
I x —11)
J
= lim ( 2 - x )
oo
\ U
x->1
= lim(2-1)
x- 1
= lim1
= 1 olur.
CEVAP B
CEVAP D
2.
(|x |x |+ 3 x ) = ?
(-x 2 + 3x j = -(-2J2 + 3 •(-2)
x->(- 2 )“ v
lim
= -4 -6
= -10 olur.
+
+
lim f(x)=
X->-5
lim
f(x)>
-
1
f- -3x +-İ*Lİ
Ix—2|J
x^ 0 " U x2 - 2 x |
x2 - 2 x
s lim
x-»ffl- lvx -2
CEVAPA
3.
CO
2
|f°
X ı
İSD
X
_x
II
o
x
O
2x = 0
8
I
lim
x2
©
5.
x, —2 ye yaklaştığı için |x| = - x tir.
rS=
II
ro
lim
x->(- 2 )“
1
- ( x - 2)
x -2 J
_3___ 0_
! -2 + -2
.<3
: - İ +0
I
=
i
3 ,
olur.
2
CEVAP E
y2 xy - 2x2
y ^ x - I x —y I (y —4x)
= ||m
y2 + xy - 2x2
y_x
( x -y )(y -4 x )
= ,jm
lim f(x) = lim f(x) = c
x -> a
y >x
x _ , a+
= lim
lim f(x)= lim f(x) —d dir. Yani
x -> b
_(_yj^)(y^x)
- (y - x )( y -4 x )
y+2x
--------
y >x- 4 x - y
x-» b ~
x + 2x
a noktasındaki limit sadece sağdan limitle,
4 x -x
b noktasındaki limit sadece soldan limitle bulunur.
lim f(x) = 0, lim f(x) = 2,
x -> (-4 )
x -> (-3 )
lim f(x) = 2, lim f(x) = 2,
x -> ( - 1 )
X-»0
3x
3x
A olur.
s
lim f(x) = 2
x -> (-2 )
lim f(x) = 2, lim f(x) = 1
x -> 2
x -> 3
©
lim f(x) = 1, lim f(x) = 1, bu limitlerin toplamı
x -> 4
x- y
x -> 5
- % + 0 + X + 2 + 2 + 2 + 2 + 1+1 + 1 = 11 olur.
x
y2+ xy - 2x2 = (y - x)(y + 2x)
4,
4y
2x
y
-x
CEVAP D
CEVAP C
397
LİM İT VE S Ü R E K L İL İK
10.
f : R -> R, f(x) =
X2 +1,
x > 1 ise
4x.
x = 1 ise
X -1
x-1
x<1 ise
lim f(x) = 1 +1 = 1+ 1 = 2
X -» 1 +
lim f(x) = lim
x
-> 1~
|im (x + 1) = 1+ 1 = 2
x >1
x -» 1 “
lim f(x) = lim f(x) = 2 olur.
x—
>1_
x->1 +
lim h(x)= lim ff(x) + 4 r ^ - + r 1(x)
-43+
x-»3 + \
f(x )
CEVAP B
= lim+ ( f ( x ) + f 1( x ) - l)
11.
= f(3 )+ f-1(3)-1
= 0 + 0 -1
lim ([2 x -3 ] + 4) = ?
x-> 2“
= —1 olur.
e e R+ sıfıra çok yakın ama asla sıfır olmayan pozitif
reel bir sayı olmak üzere, a- = a - e ile a+ = a + e ile
gösterilirse
CEVAP B
lim ( [ 2 x ] - 3 + 4 ) = lim ([2 x J+ 1)
x->2 “
x->2 8.
lim f
Iİm f "' o 2| + 3 x ~ 4l
x->2+
V 2_x
J
X 2 . + 3 x -4
= [2 (2 -s )] + 1
x->2+l “(x “ 2 )
x = 2 + iç in |x - 2 |= x - 2 d ir . =
= [4 -2 e ]+ 1
lim ( 3 x - 4 - 1 )
x-+2 +
(2e yerine tekrar e yazılabilir.)
= lim ( 3 x - 5 )
x->2+
= [4 -e ] + 1
= 3 -2 -5
= 6 -5
= 3+1
= 1 olur.
= 4 olur.
CEVAP C
CEVAPA
12.
lim (|x + [-3x + 4]|J + 12)
x-+1 +
9.
x - 2x + 3,
f :R - 4 R,
f(x) = |4,
7 -2 x ,
= lim ([x + [ - 3 x ] ] + 4 + 12]
x-» 1 +
x > 2 ise
x = 2 ise
x < 2 is e
= [ l + s + [ - 3 ( 1 + e )]] + 16
= [1 + 8 + [ _ 3 -3 e ]] + 16
lim f(x) = 7 - 2 2 = 7 - 4 = 3
x -+ 2 "
= [1 + e—4 J +16
= [-3 + e ] + 16
lim f(x) = 2 2 - 2 2 + 3 = 4 - 4 + 3 = 3
x -+2 +
= - 3 + 16
lim f(x)= lim f(x)= lim f(x) = 3 olur.
x -*2“
x -»2 +
x_>2
= 13 olur.
I
CEVAP B
İ
398
CEVAP D
LİM İT VE S Ü R E K L İL İK
13.
lim
x-»0
16.
|2x + 3 [x ] ] - 2
x+2
x = 0 - s = -s yazalım
Hm
[3x+4 + sgn(2x-3)]
KIT
lim
lim
(3x + 4 )+ '
x -» lf
nabilir.)
lim
sgn(2x-3)
- ( ir
■
[ - s + 3 ■(-!)] - 2
2
[ ~ 3 ~ el ~ 2
2
_ -4 -2
2
_ -6
2
- — + 4 -1
2
= - 3 olur.
CEVAP D
=— +3
2
15
14.
lim
X—>4"
[x + 2 ] + 2 x ]
[ [4 —e + 2 ] + 2(4 —s)1
x
4
4“ = 4 - 8 yazalım.
olur.
CEVAPA
[5 + 8 -2 e ]
4
[13- e ]
17.
Hm
x->4 +
|x -t- 3 - [ 4 - x ] |
sgn(x-4)
12
4
4
3 olur.
s g n ( x -4 )
CEVAP B
15. lim sgn (-4x + x + 5) = lim sgn(-4 •1z +1 + 5)
x-»1
x->1
x->1
x-»1
©
1
[7 -[4 -.4 -e ]]
1
... .1 .
[M -H
1
= lim sgn(-4 + 6)
= lim sgn2
O
[ 4 + 3 - [ 4 - ( 4 + e) l l
lim
x -» 4
00
W/
x- 4
(sgn2 = 1 idi)
= [7 -(-1 )1
= lim 1
■ -w
X-+1
■ = 8 olur..
= 1 olur.
CEVAP E
CEVAP C
399
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
18.
lim _ [3 x - [x ] ] =
3 -^ y -e j- - l- s ]
[Mx ]‘2 - 4 _ [2 + «]‘
X2
2 _- .4
lim
x-»2+
4—
= lim
x->2 + X - 4
= lim
—
x->2 + xz - 4
= |1 - e] (3e -> e yazılabilir.)
= 0 olur.
= lim 0
CEVAP B
= 0 olur.
CEVAPA
19.
lim f(x) = 1,
x_
lim f(x) = 0,
x-»(-2)“
olduğundan
lim^f(x) = yoktur,
lim f(x) = 2
x-»(-2)+
22.
lim f(x) = 2,
x -*0 '
lim [ * f
x->2“ a
lim f(x) = 0 olduğundan
x-»0
-4- = lim P - l - 1
t
x~>2~ (2 - s ) - 4
limQf (x ) - yoktur.
lim f(x) = -co,
x-»1
1 -4
4 - 4s + e —■
lim f(x )= co olduğundan
-3
—e
x->1 +
lim f(x) = yoktur.
x->1
Buna göre, f(x) in x1 = - 2, Xg = 0, x3
üç noktada limiti yoktur.
1 olmak üzere,
CEVAP B
s
u
3
e
= —
l
lim
x2 - 4 x + 4 İ + ||-^- + -^x->2 +(S9n(
olur.
(3 ün çok küçük e sayısına bölümü +°o olur.)
s
te
CEVAP E
23.
20.
= oo
x -2
I x —2 1
f(x)=
x -9
x < 3 ise
| x —3 1
[ax + 6,
x > 3 ise
x = 2+ için | x —2 1= x —2
x < 3 için |x —3 1 = - { x - 3 )
.J İm + (s9n ( x - 2 f + [ | + ± ] + - ^ f - )
f(x)=
'
= lim 1+
x-»2 +
2
[ax+6,
1
5 + 2
V (2) (5 )]
[ (> ^ ) < y 3 ) . x < 3 i Se
-(^ 3 )
+1]J
x > 3 ise
-x -3 ,
x < 3 ise
lax+6,
x > 3 is e
f(x) =
lim f(x) = - 3 - 3 = -6 - 6 = 3a+ 6 olmalıdır.
x-»3“
3a = -12
lim f(x) = 3a + 6
x->3 +
a = - 4 olur.
{ 2i M
2 +0
2 olur.
CEVAP C
CEVAP D
400
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
25.
24.
lim
X -> 2 h
x-2
=
= lim
x
=
-> 2 h
lim
f - 2 x - 1 ] + sgn(x 2 - 9 )
_
lim
x-> 2 +
x-2
X2 + 1
x -»(-3)+
4 - X ‘i
x-2
0
^ x 2 +x>
x 2- 9
= lim (-2 - x)
x -»2 +
3
co
......._
.
©
t
sgn(x2-9 )
s
-3
©
-(^ S T )
—oo
©
x -> 2 J
X
= -2 -2
= -4 olur.
Im
CEVAP D
x -> (-3 ) +
(-3)2 +1
[[6 -2 E İ-2
9+1
_ [6 -« ]-2
10
5 -2
10
3
10
olur.
CEVAP D
401
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
ÇÖZÜMLÜ TEST - 2
5.
Polinom şeklindeki fonksiyonların limiti ile ilgili
uygulamalar.
Jim3(
j(x
x “- 44))|x
( x 2<; +4x + 16|
nın d eğeri kaçtır?
1.
A )- 3 7
lim (3 x 4 - 2 x 3 + x 2 - 3 x + 5)
B) —32
C) —27
D) 12
E) 24
in d eğeri kaçtır?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
lim (2x4 - 3x3 +10x2 + x - 8-)
X—Ko\
/
in d eğeri nedir?
2.
lim (4 x2 - 6
A )-oo
x +10)
B) 0
C)1
D) 100
E)
x -*2 '
nun değeri kaçtır?
A) 10
B )14
C) 16
D) 20
E )24
7.
3.
lim (3x200t- 4 x20°6 +12)
x -n +v
lim f - 3 x 6 + 4 x 5 + x - 1 2 )
X-KOV
'< • • •
/
nin değeri nedir?
nin değeri kaçtır?
A) 9
B) 10
C)11
D) 12
A) -0 0
E) 13
4.
D )- 1 2
E) 00
lim f3x 4 - 3 x 3 + 15x2 + x + 15İ
X->-ooV
nun d eğeri kaçtır?
B) 18
C )-3
8.
lim |x° -18x + 1 08 x -2 1 0|
x->9'
,(* 3 -
A) 15
B) 0
in değeri nedir?
C) 24
D )27
E) 33
A) -00
402
B) 0
C) 3
D) 15
E).
LİM İT VE S Ü R E K L İL İK
13.
9.
-4 x + 3
lim ------------
lim ( - 2 x 2 + 6 x -5 ^
X—
>-oo\
)
x ->
in d eğeri nedir?
A )-o o
B) - 5
-1 +
5 - 3 x
in değeri kaçtır?
C )0
D) 1
E) 00
A)
B)
C)
D)
E)
10.
lim f — x3 + — x +
X—
>-co\^ 2
14.
nin d eğeri nedir?
lim -
X—
A ) oo
B )t
C )0
D )-.
E) 5
2x3 - 4x2 + x +10
nun d eğeri nedir?
A) 0
B)
C) 2
x_lim
>^>
2x3 4- 3x2 - x + 5
x2 + 3 x _2
D)
E)
D) 1
E ) oo
D) 3
E) oo
Rasyonel fonksiyonların limiti ile ilgili
uygulamalar:
11.
lim
x->1
15.
3x - 4x + 2
x+5
in d eğeri kaçtır?
nin d eğeri nedir?
A)
B)
C)
D) 1
A )-o o
E) 2
12.
3x -4x4-5
lim
X-*-00 x 4-10x-8
ün değeri kaçtır?
B) 2
C )0
16.
8x + 5
lim
x_>2+ 2x4-3
A) 1
B )-2
in değeri kaçtır?
C) 3
D) 4
E) 5
A )-o o
403
B) 0
C) 1
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
17.
21.
5. x2°°6 + 3x2 _ 2007
X --
lim
x->5
4 . x 2006 + x 2 + 96
B) 0
x2 - 2 5
in değeri kaçtır?
nın değeri kaçtır?
A)
x ^ -7 x + 10
C )T
D) 1
E )2007
A>
3
îF
1
B> " T
1
c> 1
1
F
d> T
e> f t
D)
E) 2
22.
18.
x'i + '\
2 ----Xlim,~
->-1 x^
+1
2007x +10x -1 5
lim ------- »----------------x->-«o 4x -8 x ~ 27
in değeri kaçtır?
nin d eğeri kaçtır?
A) -co
B) - 1
C )0
D) 1
E)
A) 0
19.
C) 1
B)
23.
lim
x->4 x2 - x - 20
lim
4x - x + 12
nin değeri kaçtır?
A) 0
B)-
3
nin değeri kaçtır?
C)
8
D> T
10
A) O
20.
lim
nin değeri nedir?
B) 0
b> t
C) 1
D) 4
E)'
C) 1
D) 2
E) 4
24.
2007
lim
*-»2 ( x - 2 f
A )-o o
(2x - 1)(3x + 5)(4x - 7)
2x + 3
in d eğeri kaçtır?
C)1
D) 2007
E) oo
A) - 1
404
B) O
LİM İT VE S Ü R E K L İL İK
29.
25.
lim ( » - g f r /İT - H
x + x +1
lim
x->w 14 + xVx
in değeri kaçtır?
in d eğeri kaçtır?
A)-oo
B) 0
C)1
D) 2
E)oo
B) O
A) - 1
30.
26.
lim
x-»-a
( 6-2x .
fx +5
o ldu ğ u n a göre, m + n
B) 0
E) 2
D) 1
S
lim
+ (m + 4)x + n I = 10
X ->C0l x + 3
in d eğeri kaçtır?
A )-1
C)
C) 1
D) 5
E) co
D) 12
E ) 18
A )- 8
B) - 6
)
kaçtır?
C) 8
E) 15
D) 12
27.
y m i2 x - 3 £ M
x -» c o
6x
+10
nun değeri kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 6
CEVAP ANAHTARI
1. E
2. B
3. C
4. E
5. A
x —4
6. E
7. A
8. E
9. A
10. D
x -3
11. B
12. C
13. E
14. E
15. A
16. D
17. C
18. C
19. D
20. E
21. E
22. A
23. E
24. D
25. E
26. C
27. D
28. A
29. B
30. C
28.
lim
x —>3‘+
tin değeri kaçtır?
A) - 00
B) - 1
C) O
D) 1
E) oo
405
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
TEST - 2 ÇÖZÜMLERİ
1.
5.
lim (3x4 - 2x3 + x2 - 3x + 5)
x-»-1
lim (x -4 )(x 2 + 4x + 16)= lim(x3 - 4 3)
X —>3
X -» 3
= 3 ■(-1)4 - 2(-1)3 + (-1 f - 3(—1) + 5
= 33 - 43
= 3 --2 -(-1 ) + 1+ 3 + 5
= 2 7 -6 4
=3+2+1+3+5
= -3 7 olur.
CEVAPA
= 14
CEVAP E
2.
lim (4x2 -6 x + 1 0 ) = 4-22 - 6-2 + 10
x-»2-
6.
lim (2x4 - 3x3 +10x2 + x - 8) = lim (2x4)
X —>co
X —»<»
= 4 -4 -1 2 + 10
= oo olur.
= 1 6 -1 2 + 1 0
= 14 olur.
UVflRI : Polinom şeklindeki fonksiyonların T00 için
limiti bulunurken en yüksek dereceli terimin limitine
bakılır.
Polinom şeklindeki fonksiyonlarda sağdan ve soldan
limitler daima eşit olduğu için 2+, 2r yerine 2 yazılır.
CEVAP B
CEVAP E
H3
I
3.
lim (3x‘2 0 0 7
x-»1+
006
4,, -xv 2 wo
+ 1 2 )= 3 -12.0 0 7 -4A-1a 2 0 0 6 ■12
w 7.
lim (-3x6 + 4x5 + x -1 2 ) = lim (-3x6)
X —»co
J
= 3 -1 -4 -1 + 12
= -3-oo6
= 3 -4 + 1 2
= -3-oo
= 11 olur.
=—
co olur.
CEVAP C
4.
CEVAPA
lim (x3 - 1 8x2 +108x-2 1 0 )= lim T(x-6)3 + 6 İ
x-»9
x-+9İ-
J
= (9 - 6)3 + 6
8.
= 33 +6
lim (3x4 -3 x 3 + 15x2 +x + 15)= lim (3x4)
x _»_00
= 3-(-00)fl
= 27 + 6
= 3-00
= 33 olur.
= 00 olur.
(ifadenin (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 e benzediğini
görmek işlem hamallığından kurtarır.)
CEVAP E
CEVAP E
406
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
13.
lim (-2x2 + 6x - 5) = lim (-2x2)
X—>-oo
X—>-oo
-4x + 3
lim
x->(-1)+ 5 -3 x
-4 -(-1 )+ 3
5 -3 -(-1 )
4+ 3
= —2(—co)2
5+3
= -2 o o
olur.
= -<» olur.
CEVAP E
CEVAPA
14.
10.
,im f i x3+ 3 x + ± ' ) = lim f ± x » 'l
x->-<© ^ 2
2
2 ) x >—co^ 2
J
..
3x4 + 5x3 - x 2 + 4x + 1
lim
^
=--------------- = lim
x -w
2x - 4 x +x + 10
2x2
lim I — x
x—
>co[ 2
ı /
2
3x
(-« )
2
= co olur.
= -oo olur.
(co a yaklaşırken pay ve paydanın en yüksek dereceli
terimlerini almak yeterlidir.)
CEVAP D
CEVAP E
11.
lim
x->1
3x - 4x + 2
x+5
3-1 -4 -1 + 2
1+ 5
3 -4 +2
6
15,
olur.
2x3 +3x2 - x + 5
2xv
lim ----------------------- -- lim
x >-co
x2 + 3x - 2
x->-oo|^ xlim (2x)
CEVAP B
=2 •(-oo)
= -oo olur.
12.
8x + 5
lim
x->2 + 2x + 3
CEVAPA
8-2 + 5
2-2 + 3
16 + 5
16.
4+ 3
o
..
3x - 4x + 5
lim —=--------------
lim
3x2
21
7
= lim (3)
X -> -00
3 olur.
=3
CEVAP C
olur.
CEVAP D
407
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
20-
17.
..
lim
5 . x2° °6 + 3 x2 _ 2 00 7
..
s-----------= lim
2007
2007
lim -------* - = lim
x -*2 ( 2 - 2 f
( x -2 )
x -> 2
f 5 * 2006
4 - x '2006
x-*«>ı
2007
O2
= lim
X-*»
2007
0
5 .
= — olur.
oo olur.
4
U Y A R I:
CEVAP C
A * 0 olmak üzere,
A > 0 ise — = +»
0
18.
2007x‘
2007x + 1 0 x -1 5
lim ------- ^------------------------ = lim
X —>-oo
8 x + 27
4x
A < 0 ise —
v____________ 0
4x3
olur,
= -c o
_______ S
CEVAP E
- x-»-col^
iim
4x
)
= 0 olur.
21.
lim
(Rasyonel fonksiyonlarda paydanın derecesi, payın
derecesinden büyükse Tco a yaklaşırken limit sıfır olur.)
x -» 5
X2 - 2 5
5 -2 5
2 5 - 3 5 + 10
CEVAP C
2 5 -2 5
= — belirsiz.
0
19-
lim
X2 -16
4 -1 6
X-»4 x 2 + x - 2 0
42 + 4 -
1 6 -1 6
20
lim _*L~ 7 x + 10 = |im ( x - 5 ) ( x - 2 )
25
x-»5 (x -5 )(x + 5)
x -» 5
belirsiz.
20 - 20
..
x -2
= lim -------x->5 x + 5
UYARI :
5 -2
5+5
— belirsizliği limitin var ve hesaplanabilir olduğunu
belirtir. Yani bu belirsizlik kaldırılabilir bir belirsizliktir.
10
^
x->4
X2 +x -
- lim
20
x->4
olur.
CEVAP E
(> ^)(X +5)
22.
x3 + 1 _ (~ 1)3 + 1
Iim —«-------------- o
..
x+ 4
= x-»4
lımx x + 5
T
x ->~ı x + 1
H r+ ı
_ -1 + 1
1+ 1
4+4
~ 4+5
= _0_
8
.
= — olur.
2
= 0 olur.
CEVAP D
CEVAPA
408
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
23.
27.
, m (2x-D (3x + 5)4x-71 = |jm 2 x .3x .4 x.
4x - x + 1 2
x -» c o
*->»
= lim
X—
»oo
lim
X—»oo
4x
(2 x -3 )3 (3x -1 ):2
..
8x3 • 9x2
= lim
=—
6x5 + 10
X->eo
6X“
72x5
= lim
=—
6x
= lim (12)
6x
X-»oo
= lim (6)
= 12 olur.
x-»co
= 6 olur.
CEVAP D
CEVAP E
28.
24.
3 -4
X -4
lim
x-»3 + x - 3
3+ı
2x + 3
..
2x
lim
= lim ----x-»^o x W
X—
»-co X
-1
= lim (2)
X—
»—
a>
= -oo olur.
= 2 olur.
CEVAP D
UVARI :
e istenildiği kadar küçük düşünülebilen, sıfıra çok
1
yakın pozitif bir gerçek sayı olduğu için — = «> olur.
25.
lim
x-»°o 1 4 +
j= xvx
E
lim ■
X->03
_1_
X X 2
CEVAPA
■14
29.
= lim -
lim
<x-2)fc/x"-1)
x-»1
X—
»00 3_
•x + 1
x 2 +14
= lim X-»00
= lim x
X—
»oo
(1-2)(V îr -1)
12 +1 + 1
-10
3
= _0_
3
= 0 olur.
CEVAP B
2
v
= lim x 3
. ( 6 -2 x
lim
ım --------- + (m + 4)x + n =10
X-»co x + 3
=3/ lim x
lim
X—
»oo
30.
VX—
»oo
-2x + 6
x+3
a
+ lim r (m + 4 )x l+ lim(n) = 10 [2 ]
Hm [(m + 4)x]=sonlu bir sayı olursa^]
=oo olur.
limiti 10 çıkarılabilir. m + 4 = 0=>m = - 4 olursa bu limit
sonlu bir sayı çıkar bu durumda [Tj limiti de sonlu bir
sayı olur. Buna göre,
CEVAP E
26.
lim
lim f
x —»00^
. — . ■= lim —
X—
»—
COX
^ x3 + 5
2 * * —1
x+ 3 )
= -2,
lim (n) = n
x—
»co
lim r(m + 4 )x l = 0 olduğundan bunlar [D de yazılırsa.
X—
»00
' J
- 2 + 0 + n = 10
n = 12
m + n = - 4 + 12
m + n = 8 olur.
CEVAP C
= lim (1)
X—
»-co
= 1 olur.
CEVAP C
409
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
ÇOZUfVlLU TEST - 3
5.
Trigonometrik fonksiyonların limiti ile ilgili
uygulamalar:
COsj^X + y j
lim
x-»0
1.
in değeri kaçtır?
lim (cos2x + sin3x)
in değeri kaçtır?
A) 3
5
B)
« i
C) 2
D)
C)
D) 0
E )-1
D)
E) 3
D) 1
E) 4
E) 1
2.
lim
B) 1
lim
x-»o
1-cosx
x + tan x
sinx
in değeri kaçtır?
*-»° 3sin2 x
in değeri kaçtır?
A) 1
» i
B)
C )0
C) 2
B)i
°) - y
I
7-
sin(2cos2x)
lim
1
x-»4- sin2 x — —
4
....... 2
3.
x + 3sinx
lim
x-»o 3 ta n x -4 x
in değeri kaçtır?
in değeri kaçtır?
A) —1
B) —3
C) —4
D) 0
A )- 4
E) 4
B) - 2
C)
8.
X
lim •
4.
X
cos — sin—
2
2
cosx
~ i
lim
x->0 1 -c o s x
in değeri kaçtır?
in değeri kaçtır?
A) -1 .
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
A) 1
410
B)
y/3
C) 2
D)
42
2
E)3
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
13.
lim
lim
x->o x + tanx
in değeri kaçtır?
2sinx-2
cos2x + 1
in d eğeri kaçtır?
B) 1
c' T
D) 2
E) 3
A) - 2
B )-|
C) -
D) 1
E) 2
10.
cos2x
lim
x-»0 sinx + cosx
14.
..
sin2 3x
lim — =--------9x cosx
in değeri kaçtır?
A) - 1
C )0
B )- T
D)İ
in değeri kaçtır?
E)1
A) T
B) T
C )0
D) 1
e) t
11.
•Jl cosx-1
lim
15.
1 - tan2 x
•ı m( 1 sın—
- O
lim
x-»0 x
3 )
in değeri kaçtır?
ün değeri kaçtır?
A) —
B) " T
C) 1
d> t
e> t
A) 3
B) 2
C)1
°> Y
E)
‘ > 1
D) T
E) 1
12.
lim
16.
tan3x
lim
x->0 tan5x
sgn(cosx)
2J
in değeri kaçtır?
in değeri kaçtır?
A) - 2
B) - 1
C) 0
D) 1
E) 2
A>4
411
LİM İT VE S Ü R E K L İL İK
21.
17.
lim (x •sec x • cosecx)
x-»0
lim
x-»0
nin değeri kaçtır?
in değeri kaçtır?
A) - 1
cosx-cos~ x
C)0
B) -
D )y
E) 1
A) T
C)
B)
D) 1
E) 2
D) 1
E) 4
18.
lim
2sinx-tanx
cosx
22.
lim (-4x-cot4x)
x- >o
in değeri kaçtır?
in değeri kaçtır?
A) - 4
A) -273"
B)-73"
D) 7 3 '
B )-2
C ) -1
C )0
E) 273
19.
sınx + cosx
lim ----------------JL_X
6
3
23.
ljm r_sin^inx)_ + x '|
)
x-» 7il^ s ı n ( x - 7i)
in d eğeri kaçtır?
in değeri aşağ ıd a k ile rd e n hangisidir?
A) O
B) 73 "-
D) — (1 + 73")
A )%
lim
D) 2 — 7i
E )tc-1
D)
E)
cosx-cos7x
sin2 4x
T
in değeri kaçtır?
in değeri kaçtır?
B) 2
+ îi
24.
sin2x
n sin(cosx)
A)
C) 2
E> y
20.
lim
B )1 + ti
C)
D) 1
A)
e>t
412
B) 1
C)
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
25.
28.
s in x
X
(
lim | arctan
| x - s in x
lim
x ->0 l, sinx J
x -*o
in değeri aşağ ıd a k ile rd e n hang isidir?
in değeri aşağ ıd a k ile rd e n hang isidir?
B) e
A)
D)
C)
1>
VJ
A)
E) e3
B)
O
f
f
E) it
D) O
E)1
D) 2
E)
O
29.
sınx
l,m “T 7“
..
x -> 0"
IXI
in değeri kaçtır?
A) - 1
B )-f
O —g
26.
lim | x-sin— 1
xJ
in değeri kaçtır?
1
a>T
1
Oy
1
C)T
D) 2
E) 3
S
I
30.
lim
x- >Jt
1+ cos° x
sin x
in değeri kaçtır?
1
A) y
27.
B) 1
o y
CEVAP ANAHTARI
.. r
. ( -3x + 4 V
lim | arcsın ------------ ,
x->4
^ 1+6x JJ
in değeri a şağ ıdakilerden hangisidir?
A ) - f
B )-f
C )f
D )f
E)
413
1. D
2. A
3. C
4. D
5. E
6. C
7. A
8. D
9. B
10. E
11. D
12. B
13. C
14. D
15. D
16. B
17. E
18. C L19. D
20. B
21. D
22. C
23. E
24. A
25. B
26. E
27. B
28. D
29. A
30. C
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
TEST - 3 ÇÖZÜMLERİ
4.
lim (cos2x + sin3x) = cos2 — + sin3 —
w
6
k
6
n
6
.
x s ın x
lim
x—
>o 1- cosx
0-sin0
1-cosO
0
— belirsiz.
0
Pay ve paydayı (1 + cosx) ile çarpalım.
ti
= cos— + sın—
3
2
|jm xsinx-(1 + cosx)
x->0 (1-cosx)(1 + cosx)
+1
x-sinx-(1 + cosx)
x->0
= lim
x-»0
3 olur.
.
=—
2
CEVAP D
= lim
x-*o
1-cos2 x
x s in x (1 + cosx)
x (1 + cosx)
= lim
lim(l + cosx)
x—
>o sinx
1-cosx
limrt
?
x-»o 3sin x
1- gosO
1- 1
?
30
3 • sin 0
1-cosx
= lim
x->0 3(1 - cos2 x)
= 1(1 + cos0)
belirsiz.
= 1-(1 + 1) = 1-2 = 2 olur.
CEVAP D
1-£0£>r
= lim
X
—>( 3-(1-_£0S5T)(1 + cosx)
x-»0
2J
lim -
1
x->0
= lim
x->0 3(1 + cosx)
X
7t
1
3(1 + cos0)
~2
1
3(1 + 1)
X-+0
J
K
lim -
sin(-x)
2
= lim I
x->0İ
X
OM I.
=- Iım----
= — olur.
6
x-»0
CEVAPA
x
= —1 olur.
CEVAP E
3.
x + 3sin x
lim
x-»o 3 ta n x -4 x
pay ve paydadaki her terimi
sınx
= lim x-»0
..
x+tanx .. ( x
tanx
Iım
;------- = lim —— + — —
x-»0 sınx
x-*o^ sınx
sınx
xılebölelim.
1+ 3-
..
x
..
sinx
1
= Iım
+ Iım ------------- :—
x->0 sınx x-»0 cosx sınx
= lim -
sınx
x -» 0
cosx
..
sınx
Iım -------x-»0 x
= 1+ lim
..
X
lim
= 1 olduğu hatırlanırsa
x-»0 sinx
1+ 3-1
4
4
3 -1 -1 -4
3 -4
3-1-4
cosO
1
x -» 0 C O S X
=
1+
=1+ İ
1
cos 0
1
= 1+1
= -4 olur.
= 2 olur.
CEVAP C
CEVAP C
414
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
7.
9.
Iim sin(2cos2x2 _ lim
x-> 4 - sin2 x - - - -
x-> 4 -
2
4
- ( 1 - 2 sin x]
4
'
2 sin 2 t '
sınx
1+ x
lim
i .
= lim
1.
sınx
x—
»o x | sınx
x-+0
1+
X
X
cosx
1+1
' 2 - 2 sin 2 t
lim----------- = lim-------------t-*0
-t
- 2t
= -4 lim
t->o
0 + sin0
0+0
0 . .. .
= ------- = — belirsiz.
0 + tan0
0+0 0
Pay ve paydayı x e bölelim.
•
1 - 2 sin2 x = t diyelim.
t-»0
x + sınx
lim
x-»0 x + tanx
sin2t
2t
1+ 1- — cosO
2
1+ 1
■1 olur.
= -4-1 '
= -4 olur.
CEVAPA
8.
cos
lim
X
.X
71
CEVAP B
.7 1
sın—
cos-------sın—
2_____ 2 _ _ ____ 4_____ 4.
10.
cos—
_
2
cos2x
lim
x-»0 sinx + cosx
2
0
1
= — belirsiz
0
cos
lim
x
2
1 olur.
x
sin—
2
CEVAP E
(cos2x = cos2 x -s in 2 x olduğundan
2 x
cosx - c o s
2
X
11.
.
lim
. 2 * ..
sın — dır.
2
^ c o s x -1
'/ T c 0 ST - 1
1-tan x
1—tan2-^-
X
cos— -s in —
2
2
lim
Ji
2 X
. 2 *
— cos*
sın* —
2
2
2
2
1- r
1-1
1-1
lim
X
X
cos— + sin-~
2
2 •)
..
V^cosx-1
lim ---------- -----71 . sin* x
= lim
n
X
X
x->— cos— + sın—
2
2
71
4
o
belirsiz
o
(•v/2eosx-l)cos2x
lim
cos2x-.sin2x
cos2x
cos2x
2
(V2"cosx-l)
= lim
n
x->
71
cos— + sın—
4
4
1
= 2
V2~
V2~
2-J2
2 + 2
2
cosO
sinO + cosO
1
,0 + 1. •
_1_
2 cos2 x - 1
'
, ■
4
(VİFcosx-l)
= lim
7
1
î_ (V2^cosx-l)(V2^cosx+l)
X-*—
1
-J2
4
1
olur.
A
CEVAP D
— = — olur.
1+1
4
2
CEVAP D
4T5
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
14.
12.
lim
- =?
s g n (c o s x )
W
..
sın2 3x
lırrı— 5---------*->° 9x -cosx
..
sin3x
sin3x
= lim ---------- lim
3 x -*0
3x
3 x-> 0
3x
lim
x-»o cosx
= 1.1-—
1
=
1-11
= 1 olur.
CEVAP D
15.
lim tan x = -oo
lim
n+
lim
( 1
x -> 0 U
X *~2
c o s x = - = > s g n (c o s x )
. x
..
sın— = lim
lıı
3 J x- >0
= -1
n+
x -> —
— lim 3 x->o
2t a n x + s i n x
lim
n + sgn(cosx)
2
+ s in T
sgn(-)
= — olur.
3
— +1
2"
CEVAP D
=
0+1
-1
—1 o lu r .
CEVAP B
13.
16.
2 s in x -2
j.
2(sinx-1)
lim
x , * cos2x+1
l-2 s in 2 x + 1
2
2
2(sinx-1)
= lim
x_>— 2 (1 -sin11x)
2
_
s in x - 1
(1-sinx)(1 + sinx)
2
= l im
1+
.. tan3x
..
sin3x cos5x
Iım
= lim
x-»0 tan5x x-»0 cos3x sin5x
3sin3x
5x
= lim
x -»0
3x
5sin5x
5
cos5x
cos3x
_pe^u1
= — olur.
5
—
s ın x
UYARI:
2
-1
tan
9
lim - — ——■=-— pratik kuralı bilinirse, hemen
x-*0 tanbx
b
1+ sin—
2
-1
1+ 1
..
tan3x
Iım
x->o tan5x
i—— olur.
2
3
. ....
— yazılabilir.
5
(ikisini de bilmenizi öneriyorum.)
CEVAP C
CEVAPB
416
Ü M İT VE S Ü R E K L İL İK
17.
20.
lim (x-secx-cosecx) = ıim f x . ^
x-»o
x-»o^ cosx
1_1
sinx )
s in 2 ~
2
sin2x
lim
n_ sin(cosx)
2
I)
= lim
lim
x-»o sinx x—
>o cosx
=1
=
sin 0
1
cosO
- —
0
1.1
1
lim
= 1 olur.
X-> 2 -
belirsiz.
sin2x
2-sinx-cosx
= lim
sin(cosx) x->o sin(cosx)
CEVAP E
= lim 2sinx- lim
Y n sin(cosx)
2
18.
2sinx-tanx
lim
cosx
2sin-
= 2 -sin—
2
tan
lim
n_ sin(cosx)
= 2 - 1-1
= 2 olur.
2 -4 -J 5 -
ÜVfiRI :
cosx = t denirse
a/3~-V3~
x
J_
2
-
t -» 0
0
1
*2
y
lim
= lim
« sin(cosx) t->o sint
2
=1 olduğunu görelim.
0 olur.
CEVAP B
CEVAP C
21.
lim
19.
X—>0
lim
sinx + c o s x
cosx-cos~x
lim
cosx(1-cos'i x)
x->0
s in ~6 +COS~j~
= lim
x—
>0
cosx sın x
lim (cosx)- lim sin0 x->(T
x->0 X2
.
sınx
sınx
= cos0- Iım
Iım -------x->o x
x->o x
= 1-1-1
= 1 olur.
= l ( l + >/3~) olur.
CEVAP D
CEVAP D
417
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
22.
24.
lim (-4 x c o t4 x ) = - 4 0 cot4 0
x-»o
lim
x-»0
= O-cotO
cos4x >
sin4x
= - lim [
x ->o^ sin4x
cosO-cosO
sin24x
sir^O
1-1
0 . .. .
= — belirsiz.
0
0
„ . x + 7x . x -7 x
-2 sın—
sın— - —
2
2__
= lim
x-»0
sin2 4x
-2 sin
• sin(-3x)
= lim----------- -?--------x->0
sin>xsin4x
= O-oo belirsiz.
= lim —
x-»0^
cx)sx-cos7x
cos4x
2sin3x
sin4x
..
3-sin3x
4x
= lim 2 --------------x—
>o
3x
4-sin4x
.. « 3 sin3x
4x
= lim 2 --------------x->o
4 3x
sin4x
= lim
x->o
= - lim | — — ]• lim (cos4x)
x-vO^ sın4x ) x-»0
= -1-cosO
= -1-1
= 2- — -1-1
4
3 olur.
,
= —2
= —1 olur.
CEVAP C
UVflfil:
..
1)
.
.a +b . a - b
cosa - cosb = -sın— —— sın— - —
2)
..
sınax
lim
x-»0 sinbx
a ..
— dır.
b
Pratik olarak, lim 2sin3x = 2 •— = — yazılabilir.
x->0 sin4x
4
2
CEVAPA
23.
25.
jşm(şjnx>
x— sin(x-7t)
lim
x -> 0
f— T
l, sınx )
sın x
( sin(sinx)
= lim
x->n^-sin(7t-x)
( \
= lim 1+ —— -1
x—>0 \(' sınx
)
sin(sinx) + x'|
= ,.m r jin^inx)_
x->nv,
sinx
)
= - lim
x
- mi
sin(sinx)
sinx
h
lim
x->0
■f—
- ili
sinx
;
1 = t dersek
sinx
x = O için t = O
lim x
X—
>71
sinx = t diyelim.
x = 7i için sin 7i = t
x - s in x
= lim (1 + t) t = e olur.
t-» (T
t=0
■t sint + tc
= - lim
t-»0 t
= —1+ re
= 7i-1 olur.
CEVAP E
418
’
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
26.
29.
lim
oo belirsiz.
..
sınx
..
sınx
Iım ----------- Iım-------x _>0 -
X —>00
lx l
x -> 0 -
~x
3
— = t diyelim => x = ^
..
sinx
= - Iım-------x -> o
x
x-»ooiçin t -+ 0
= —1 olur.
3
lim
t_>o t
sint
sin t = lim 3
t->0
t
= 3- lim
t->0
CEVAPA
sint
t
= 3-1
= 3 olur.
CEVAP E
27.
-3x + 4 "l
lim arcsin
1 + 6x J.
x —* »
= arcsın lim
( -3x + 4 ^
{ 6x + 1 J
I
X—>oo
£
arcsjnf - - l J
i»S
= -arcsin olur.
30-
CEVAP B
Iım
1+ cos3 x
1+ cos3 7t
1-1
O
belirsiz.
(jm (1 + cosx)(1 - cos x + cos2 x)
1- cos2 x
28.
_ |.m (^-eoS)T)(1-cosx + cos2 x)
lim arctan—
x->0+ \
x
X —>
..
= Iım
i arctan( lim — 1
\x -> 0 + x
X->7i
J
arctan oo
r t
(1 - C O S X )(J j~ e O $ X
1 -C 0 S X + C0S2 X
)
l-COSTT + COS''
1-C 0 S X
1 - ( - 1 ) + H f _ _ 1+ 1 + 1
1+ 1
1 -(-1 )
------------
71
1-COSJI
olur.
= — olur.
2
CEVAP C
CEVAP D
419
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
ÇÖZÜMLÜ TEST - 4
Belirsiz şekillerle ilgili uygulamalar:
x+1
lim
*->-1 -v/x + 5 - 2
nin değeri kaçtır?
1.
3 —5x + 2x
Iım ---------------x - 42
2x- 3
A) - 4
B) - 1
C) 2
D) 3
E) 4
ün değeri kaçtır?
A)
B) 1
C )T
D )~ y
E )-1
6,
•27
lim
x->0
9X -1
in değeri kaçtır?
2.
A) 9
Iım
B)
27
33
C) 15
D)
C )0
D) 1
E) 2
1
D )T
E )T
E) 16
2 x -V 4 x
x-»ı
x -1
in değeri kaçtır?
A)-oo
B) - 1
C) 0
D) 1
E)
i
7’
lim
x_>1
3.
x
-1
lim
x->1 x2 + x - 2
in değeri kaçtır?
A )- 2
nin değeri kaçtır?
A)
B) 2
>/?
—
C)
D) 3
B )-1
E )y
8.
4.
lim
x->-2
lim
-2
2x + 4
49
un değeri kaçtır?
ifadesinde a , beR olduğuna göre, a b kaçtır?
A)
B) 1
C> T
2 -V jT ^ '
B)~ k
D) 2
420
1
C )-1 T
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
13.
x -8
lim
x -> 8
lim
f -x r +1
x-»
-*-1 1
3 / T -2
in değeri kaçtır?
nin değeri kaçtır?
A) 6
B) 8
I
xV
+ 1J
C)10
D) 12
E ) 14
B) 1
C )y
D) 0
e> 4
D)
E)
10.
3 -V 5 + x
lim
x-»4 1 - v 5 - x
14.
lim
x->2 t e
in değeri kaçtır?
A)
y
b )_ T
nın d eğeri kaçtır?
D)
0 )0
e> t
A)
11.
lim
x >o
rl + x -1
^1 + X -1
in değeri kaçtır?
A) -
3
B> İ
15.
lim
B) - 1
C) 0
D)
-4x"
E)
nin değeri a ş a ğ ıd a k ile rd e n hang isidir?
A )-o o
B )- 4
C )- 3
D )0
E)'
12.
lim
xr - (a + 1)x+«
x -> a
ün d eğeri aşağ ıd a k ile rd e n hang isidir?
16.
A) - 4
C)
B} " T
lim (Vx + i
X »co '
■>/x
3a"
in değeri aşağ ıd a k ile rd e n hang isidir?
a -1
D)
2a2
a -1
A )- 2
E)
421
B )-1
C )0
D) 1
E) 00
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
17.
21.
lim jv x > fx + a
—x j
lim ^\/x2 + 4x + 2 x j
X -» C Û \
in değeri aşağ ıd a k ile rd e n hang isidir?
in değeri a şağ ıdakilerden hang isidir?
A )- 2
A )-a
B)
C )0
D) 1
B )-1
0 )0
D )-»
E) i
E )t
22.
18.
lim f x + 3 -> /x 2 + 5 x - 3 |
x-»«o\
y
lim
im f x + 37 İ ^ T |
X -K ö
ün d eğeri kaçtır?
ün değeri a ş a ğ ıd a k ile rd e n h ang isidir?
A )-o o
B )-1
C )0
D) 1
E) oo
A )- 3
*
B )'
C )0
D)
E)
23.
19.
lim ^ 4 x - 2 + 7 l 6 x 2 - a x - 1 j =1
x-» <
iım
X —»oo
olduğ una gö re, a kaçtır?
in değeri a şağ ıd a k ile rd e n hang isidir?
A) —1
B) - 4 -
C) 0
D>T
A) 22
B) 24
C) 26
D) 28
E) 30
E) 1
24.
20.
lim ^Vx2 - x + 5 - V x 2 + 2x + 3 j
lim |V x2 -5 x + 4 - x j
X —»—o o \
ün d eğeri kaçtır?
A )~
B>"2
°) "Y
°)2
A )t
E)
422
B) 1
‘>1
D) 2
E)
ro | en
in değeri kaçtır?
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
25.
28.
lim
in değeri kaçtır?
A )4
lim
x -*o
2x + Ş
( H
in değeri aşağıdakilerden hangisidir?
B )3
» T
D) 2
A)
E> i
1
E) 2
D)
C)«
B) 1
29.
lim
X -K O
(■S t T
in değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) e-2
26.
B)e~1
C )e
D) 1
E) e2
x - v x2 + x + 2
lim
2x
V 4x2 + x
in değeri kaçtır?
A) T
B) 1
<=>!
D) —
E )-1
30.
..
I 2x + 3 x -1
,2 x - 3
2x2+ x + 4
ün değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) e-1
B) 2
C) e
.
D) e2
CEVAP ANAHTARI
27.
+x
1 .C
2. D
3. A
4. C
5. E
x_KO 3 x - 2 + vx2 +1
6. B
7. C
8. A
9. D
10. B
11. E
12. C
13. B
14. C
15. A
16. C
17. E
18. C
19. D
20. A
21. D
22. E
23. B
24. C
25. B
26. A
27. D
28. D
29. A
30. D
lim
2x + 1+
in değeri kaçtır?
A)
B) 1
«
i
D)
E) 2
423
E) e3
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
TEST - 4 ÇÖZÜMLER!
1.
3 -5 — + 2
2
..
3 - 5x + 2x
Iım ----------- —
x -v4
2x~ 3
x4 -1
1-1
0 . .. .
Iım —=
= ------------ = — belirsiz.
x + x- 2
1+ 1 -2
0
x->1
(U
|jm (x-1)(x + 1)(x2 +1)
x—
>1
(x —1)(x + 2)
2 -|-3
|jm (x + 1)(x2+ 1)
x-+ı
x+2
2 2
3
3 -3
4 ,
= — olur.
3
3 -3
3 -3
O
x_ 3
CEVAPA
belirsiz.
O ^ X x - 1 ) = |,
p m
xV
lim
x-»-2
7x + a - 2
=b
2x + 4
7 -2 + a - 2
2 •(-2) + 4
= — olur.
2
CEVAP C
7 - 2 + a"- 2
-4 + 4
7 -2 + a - 2
Payda 0 (sıfır) olduğundan, pay sıfır olursa
£
5
kaldırılabilir belirsizliğine dönüşür.
İ
7 -2 + a - 2 = 0
*
7 -2 + a* = 2
-2 + a = 4=>a = 6 olmalıdır.
lim
x->-2
7x+ 6 -2
2x + 4
0
0
(7x + 6 -2 ) ( 7 x + 6 +2)
2.
lim
x-+1
2 x --j4 x
2 -1 -7 4 T
x -1
1-1
2 -2
lim
:2
x+ 6 -4
lim
x—
^ 2 2(x + 2)(^< + 6" + 2)
0 . .. .
= — belirsiz.
1-1
2(x + 2)(7x + 6" + 2)
x+2
= lim —
. ____
x->-2 2( x + 2 )(7 x + 6 +2
0
1)
2 x -2 V T
Iım---------------= Iım . _
w _
.
x->1
x -1
x->1 ( 7 ) T - l) ( 7 x +1)
= lim — . .
— r
x-*-2 2 (7 x + 6 +2)
2 -Jx
2 (7 -2 + 6 +2)
Iım —f= ----x-*1 VX +1
2(2 + 2)
2-1
: 1+1 =
8
b = 6 — = — olur.
8
4
1 olur.
CEVAP C
CEVAP D
424
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
lim
.
x+ 1
-
x -> -l Vx + 5 - 2
7.
-1 + 1
O ... .
- —!= -----■=—
------ belirsiz.
-JÂ -2
O
Pay ve paydayı, paydanın eşleniği ile çarpalım.
Vx2 - 1
Iım ■
x_>1 \/x3 -1
V ı2 - 1
= .
o
u
.
= — belirsiz.
7 l3-1
0
Pay ve paydanın kök kuvvetlerini eşitleyelim.
(x + 1)(7x + 5 +2
lim
-1 (7x + 5 -2 ) ( 7 x + 5 + 2)
2-3 = 6
(x + 1)(7x+5 +2)
: lim --------— -------x-+ 1
= lim
x->-1
|im y - l f
X+ 5 - 4
x->1 ^(x3 - 1)2
_ |im 61
(x-1 )3(x + 1f
X~>1\ (x - lf(x 2+x+lf
(>*f1’)(7x + 5 + 2 )
f
(x2 +x + 1):
= lim (Vx + 5 +2İ
x->-1 V
J
= 7 -1 + 5 +2
= 0 olur.
= 74" + 2
= 2 + 2 = 4 olur.
CEVAP C
CEVAP E
•>x+3 27
lim x-»0 9X_1
2 -V x -3
2 -2
.....
lim — x----------------------- r - —- belirsiz.
x->7 x^_49
4 9 -4 9
0
33 - 2 7
9 °-1
[2 -7 x - 3 ) ( 2 + 7 x - 3
lim
X -> 7
2 7 -2 7
0 ,
------------ = — belirsiz.
1-1
0
(x - 7 ) (x + 7)(2 + V x - 3 )
4 -x + 3
: lim
x -> 7
27 - 3X - 27
27(3X -1)
Iım
~--------= Iım
'
x ->0 (3Xf _ 1
x-*0 (3X _ 1)(3X + 1 )
(x - 7 ) (x + 7)(2 + V j T T )
-(x -7 )
x->7 (
ı27
= Iım--------x-»0 3 X + •]
= lim —
27
3°+1
X -> 7 (
27
1+ 1
-1
14-4
= 27 olur
2
=
CEVAP B
1
olur.
56
CEVAPA
425
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
9.
11.
X -8
x->8 3 /^ _ 2
8 -U .
O
2 -2
h m - % = -------- = ■
O
O
,
lim
1 = J _ L = İ L belirsiz.
x-»0 3/ı + x -1
1-1.0
= — — — = — - b e lir s iz .
W
fa3 - b 3 = (a-b )(a 2 + ab+b2) İdi.)
Pay ve paydayı (7 l + x + l ) ^ ( l + x)2 -+ ?f1+x +1^ ile
çarpalım.
[ W ~ 2 ) ( p ~ +2 W + 4
= lim
x ->8
W ^2
(71+ x - l ) ( 7 l + x + l) ^ ( 1 + x)2 + 3(1+ x + l)
lim
x ->0
= lim f ^ + 2 ^ + 4
X-+8k
lim
= 4 + 2-2 + 4
(^1 + x - l ) ^ ( 1 + x ) 2 + ^1 + x + lj( V l+ x +1)
(1 + x -1 )f$ (1 + x)2 + fyl + x + l ]
. .
— r-——
x-»0
(1 + x - 1 ) ( 7 1 + x + 1 )
•
= 12 olur.
^ (1 + x f + ^ n ö r +ıj
CEVAP D
>/1 + x +1
1+ 1+ 1
1+ 1
3
.
:— olur.
2
CEVAP E
10.
Hm
3 -7 5 + X
,
x->4 1 - V5 - x
3 -3
O ...
.
= —-—— = — belirsiz.
1 -1
O
12.
Pay ve paydayı (i + 75 - x ) (3 + >/5 + x ) ile yani hem
payın hem de paydanın eşleniği ile çarpalım.
lim
x2 - (a + 1)x + a
a2 ~(a+1)a+a
x —ı
(3 - 7 5 + x )(3 + 75 + x )(1 + 7 5 ^
( i - - İ 5 ^ ) ( 1 + s/5 ^ T )(3 + v/5 ^ T )
= Hm
x -> 4
= — belirsiz.
0
( 9 -5 - x ) (l + 7 5 -x )
;------- (
(1 -5 +
x )(3
+ 7 5 + >T)
x - (a+ 1 ) x+a = (x-a) ( x - 1 )
•(x -4 )(l + 7 5 -x )
- a ^ V l
= lim
* * * (x - 4 ) ( 3 + 7 5 + x )
lim
= lim
— 7=
f
x->4 (3 + 75 + x )
3+3
(x~ a2>(x- 1> 2
*-*a ( x - a ) ( x
-(1 + 7 5 ^ T )
+ax + a )
x -1
= lim
x->a x2 + ax + a2
a -1
a2 + a2 +a2
a -1
6
olur.
3a
- 4 - olur.
CEVAP C
CEVAP B
426
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
13.
3
1 )
x+1)
0
1 N|
x + 1 ,I
3
lim (
x->- ^ x3 +1
Tl f
3
►-1l X3 + 1
1
0
16.
co-oo belirsiz.
Bu ifadenin paydasını 1 gibi düşünüp, pay ve paydasını
(Vx + a~-Vx") jn eşleniği ile yani Vx + a + V>T ile
(x2 -x + 1 )
çarpalım.
3 - x + x -1
= lim
x-»-1
x3 +1
-(x2 - x + 2)
= lim
X —>-1
(Vx + a -V )T )(V x + a™+ -v/)T)
lim
X-*»
x3 +1
(x + 1)(x-2) }
lim x->-il (X:+ 1)(x2 - x + 1) )
x-2
= lim f x—
>—
11^ x2 - x +1
-
lim (Vx + a -V )T ) = oo-co belirsiz.
X—
KO'
'
/x
' + a +•" 7 T )
= lim= lim
— =X-»00 Vx + a + vx
1-2
1+ 1+ 1
-3
3
= 1 olur.
= 0 olur.
CEVAP B
CEVAP C
14.
lim ( — -_____
x-+2 l x - 2
x2 + x - 6
)
o
= 00-00 belirsiz.
x + x - 6 = (x-2) (x+3)
/
3
\
1 17-
lim (,/x (x + a ) - x j = oo-co belirsiz.
(>/x(x + a) -x)(^/x(x + a) +x)
I
lim
X -* 0
Vx(x + a)
-2
x(x + a ) - x :
,
-----
: lim
x-*° ^ x (x + a ) + x
lim
x->2 ( x - 2 )
(x -2 )(x + 3 )
(x+ 3)
x -2
= lim
x-+2 (x -2 )(x + 3 )
2
: lim ■
X-*o
p
X -\
= lim —
x-»2 x + 3
1
2
x + ax —X*
X
lim
= lim
X—
KO 2x
X->TO(
D
= — olur.
2
2+3
:— olur.
5
CEVAP E
CEVAP C
18.
15.
lim
X-w»l x* + ı
X—
>—
«o X-»-oo
lim fx + \ / l - x 3
X—
»00^
= lim x - lim x = oo-oo belirsiz.
X—
>00 X-»oo
lim fx + \ / l - x 3 ] = lim ( x - x )
X—
)oo
) X-*oox
= lim O
X—
>co
= 0 olur.
= -oo-(+oo)
= - 0 0 -0 0
= -oo olur.
CEVAP C
CEVAPA
427
LİM İT VE S Ü R E K L İL İK
19.
21.
lim |V x2 + x - x j = «
x-><»
(Vx2 + x -x Y V x * + X + X
im
lim
VT lim X + ■
X —>cO
A -------------------------- — --------
X —>co
lim | v x 2 + 4x +2x = 00-00 belirsiz.
>v
)
\/x 2 + X + x
+ lim 2x
X -> -c o
= 1- lim ( -x - 2 + 2 x )
X -> -00
X2 + X —X2
= lim -
4
2-1
X- >00
= lim ( x - 2 )
X—
>—
OO
+1
= -co olur.
lim x->»
C EVAP D
= lim
X->co
+1
22.
lim ^x + 3 -> /x 2 + 5 x -3 j = o o - w belirsiz.
X —>oo
V1 + 0 +1
1
1+ 1
5
lim x + 3 -V Î~ X + ------2-1
X -K O ^
= — olur.
2
= lim x + 3 - x
X —>COy
CEVAP D
20.
lim
kov
= lim
v x 2 - 5 x + 4 - x ] = oo-cobelirsiz.
|Vx2 -5 x + 4 -x j^ V x 2 - 5 x + 4 + x j
= lim
X —>co^
2] )
2 )
X —> 00^
lim
X —>oo
4
i 2l )
Vx2 -5 x + 4 +x
= — olur.
-5x + 4
lim -
2
X -> o o
x(l ff î
= lim
X —>oo
CEVAP E
x ^ +1
-5x + 4
2x
= —— olur.
2
23.
UVflRI :
lim Vax2 + bx + c = %/cT lim
X —>oo
X —>ce
lim | 4 x - 2 + VÎB" x + - = 5 _
x >-0©^
2-16
2a
olduğundan pratik olarak,
5
Vî" lim
2-1
X —>oo
= 1- lim
X —>oo
H
= lim
X—
>00( - 1
lim {4 x -2 +V l6x2 - a x - 1 1 = 1
)
x->-«>k
= lim | 4 x - 2 - 4 x + — 1 = 1
x->-«>lv
32)
lim x
X —>co
= lim ( m - 2 - # + ■ £ } -
" )
)
= 3 =0 a = 24 olur.
=
2
bulunabilir.
CEVAP B
CEVAPA
428
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
24.
26.
lim ^•y/x2
X—
>—
«3
lim
- X + 5 - > / ) ? + 2x + 3 j
- ^x2 + x + 2
lim
\lax2+ bx + c
-1
= lim -«/T
X■->-«>
2-1
= |jm x-1 x | ]
,
1
2
1+ --- + —TT
2x-1 2x |
= Vâ~limx + - ^ - olduğundan
2a
-
lim
X—
>—
OO
JV î+—
4x
x—| x | -1
= lim
x—
>"-oo 2x-12x I -1
2-1
x -(-x )
= lim
x—
>-oo 2 x -(-2 x )
1
lim x --------- lim |x + 1|
X —>—OO
2
2x
= lim
X—
>—
oo 4x
1
—Y 4-__
X->-00 .
2
lim
= lim ( ±
x->-»l 2
lim r_x + ±
X —> -c o l
2
olur.
lim
x->-<» ( i *
= xİ ^ (
t
')
CEVAPA
)
3 .
= — olur.
2
CEVAP C
§
I
97
*■>’
..
2 x +1 + V x 2 +
lim
------------------------ .
x
-
x_>co 3 x -2 + vx2 +1
1
x + ——
2-1
0
3 x -2 + >/r x + ——
2-1
2x + 1+ ^
= lim
X—>oo
2x+1+ x+= lim ----------- 1— |—r
x —xo
25.
lim
5x •Vx2 - :
2x + 5
= lim
5x + x-1
2x + 5
x—>-oo
3 x - 2 + |x |
2x + 1+ x + —
= lim ----------------- —
x—
>oo 3 x -2 + x
5x-1 x |
X—>—oo
2x + 5
lim
3x + —
2
x—
>oo 4x - 2
= lim
= lim
X—
>—
OO©
- li m M
X-KOİ^ 4x )
= lim (3) = 3 olur.
X—>—
co
=
| lim |x | = lim (-x ) = oo olduğuna dikkat edelim)
\X—
>-oo
X—
>—
oo
)
ıim m
x-x»l^ 4 )
3
.
= — olur.
CEVAP D
CEVAP B
429
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
28.
30.
lim ( £ +1r . 1°° belirsiz.
X->co\ X
..
hm
)
, 2x + 3x -1
x- ko^
Bu tip belirsizliklerin giderilmesine şu uyarılardan
yararlanacağız.
2 x -3
= 1W belirsiz.
------ ^ ---------------
2x + x + 4
Payı paydaya bölelim
2x2 + 3x -1
2x2 + x + 4
1
+ 2x2 T x ^ 4
2 x -5
2 x -3
lim I
28.
2x2 + 3x -1
9
1
2x + x + 4 J
= lim 1 +
2 x -5
2 xr +
sorudaki uyarı 0 egöre,
olur.
CEVAP D
Buna göre, [2 ] den
lim|1 + — ] = e2 olur.
x-*»t
x)
CEVAP D
29.
lim f X M =1°° belirsiz.
+1)
x->oolv X
Not: Limitteki belirsiz şekiller türev konusundaki
0 00
testlerle tekrar ele alınmaktadır. — , — belirsizlikleri
0 00
Önce payı paydaya bölelim.
x -1
+ x *1
X -ı-
1
1
x+1
= 1-
ile bu belirsizliklere dönüştürülebilen diğer belirsizlikler
x+1
L'Hospital kuralıyla kolayca kaldırılabilmekte ve limit
-2
..
f .1 Iım
x -*» ^
daha çabuk bulunabilmektedir. Bu nedenle bu
belirsizlik durumlarında L'Hospital kuralını
2 Y
x+ 1 J
uygulamanızı öneririm.
4 -1
=e 1
Buradaki çözüm yolları da limiti daha iyi anlamanıza
= e 2 bulunur.
olgunlaştırmanıza ve sevmenize yardımcı olacaktır.
CEVAPA
430
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
ÇOZUMLU TEST - 5
4.
Süreklilik ile ilgili uygulamalar:
f(x)
1.
sgn(x - 5 x + 4)
I x —5 1
fo n ksiyo n u n u n süreksiz oldu ğu no ktaların a p sisle ri
top lam ı kaçtır?
f(x) = Vx2 + x - 2 +3x2 - 4 x + —X + 1
x+2
A) 7
0 9
B) 8
D ) 10
E ) 11
fo n k s iy o n u a ş a ğ ıd a k i a r a lık la r ın h a n g is in d e
sü re k lid ir?
A)
( - w , 0 ) u (1,2)
B ) (-oo, - 2 ) u [1, co)
C) (-0 0 ,-2 ] <j [1,oo)
D) (-2,1)
E)
( 0 ,1 ]
5.
f :R R ,
s
3.
B) O
C )1
D) 2
x + 4x —7
*
■
3x -12x + 4m
t
fo n ksiyo n u V x e R için sü re kli oldu ğun a göre, m nin
de ğer alab ile ce ğ i en g e n iş aralık aşağıdakilerden
h a n gisidir?
I
A ) (-oo, 3)
B) R - { 3 }
D) (-3 ,1 2 )
G ra fiğ i v e rile n f fo n k s iy o n u n u n s ü re k s iz o ld u ğ u
noktaların a p s is le ri top lam ı kaçtır?
A) - 1
f(x)=
C ) (-3,3)
E) (3,oo)
E) 3
a, b e R olmak üzere,
İ bx -
a,
a,
x -b ,
6.
x < 3 ise
I 2x + a,
x = 3 ise
x > 3 ise
fo n k s iy o n u R de süre k li ise b kaçtır?
4
A )—
B) 1
6
C )y
D) 2
x < 2 ise
10,
x = 2 ise
bx + 4, x > 2 ise
b içim in d e tanım lanan f fo n k s iy o n u x = 2 noktasında
süre kli o ldu ğun a göre, a + b kaçtır?
A) 8
E )i
431
B) 9
0 10
D)11
E)12
LİMİT VE SÜREKLİLİK
7.
11.
3x + 5,
3 -x
_
, x < -2
x+ 1
5 + a,
x = -2
2 + bx, x > - 2
f(x) =
sgn(4a - 2x), x < -2 ise
ise
ise
fo n ksiyonu x = - 2 noktasında sü re kli olduğuna göre,
a için aşağıdakilerden ha ngisi d o ğ ru d u r?
A) a < - 1
fo n k s iy o n u R de süre k li o ldu ğun a göre, a b kaçtır?
A )- 3 5
B) —30
C) —15
D) 5
B )a > - 1
D) a = 2
4
f (x)
8.
V
4-
x+2
İ0®(x+3)^2 + 4 >
x + x2
fon ksiyonun un - 3 < x ^ 8 aralığında süreksiz olduğu
kaç no kta vardır?
x * 3 ise
x -9
f(x) =
A) 5
x = 3 ise
a + 1,
fo n k s iy o n u x = 3 noktasında sü re k li oldu ğun a göre,
a kaçtır?
A) 2
C )a = 0
E) - 1 < a < 1
E) 20
12.
4 -V 6 x -2
x ^ - 2 ise
f(x) =
.
ise
C)
B)
D)
C )7
B) 6
D) 8
E) 9
13.
E)
f(x) =
-, x <-1 ise
x -4
fo n ks iy o n u hangi x d eğeri için sürek s izd ir?
A )- 2
f (x) = "s
( x - 2 ) ( ^ T -1)
.2
x +x- 2
C )0
D) 1
E) 2
x ît 1 ise
x = 1 ise
I a x - 1,
B) —1
14.
fo n k s iy o n u x = 1 için sü re k li olduğuna göre, a kaçtır?
5
A) 1
B )T
2
o
t
1
DJy
1
e) t
10.
Grafik, f :R - » R fonksiyonuna aittir.
f(x) = —5—-----+ \/x 2 - 9 -2ln(x 2 +3)
x - 6x
f(x) in lim iti o lu p , s ü re k s iz o ld u ğ u x d e ğ e rle rin in
top lam ı kaçtır?
fo n k s iy o n u n u n süre k s iz oldu ğu kaç nokta vardır?
A) 2
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
432
B) 3
C )4
D) 5
E) 6
LİM İT VE S Ü R E K L İL İK
15.
18.
f(x)=<
-4sinx,-
x< —
.
a s ın x + b ,
n
cosx,
2
6-3*
n
<x<—
2
f(x) =
.
ise
{
3a + x,
x *'0 ise
x > 0 ise
fonksiyonunun x = 0 noktasında sürekli olması için
a kaç olmalıdır?
x £ — ise
2
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
fonksiyonu Vx e R için sürekli ise a b kaçtır?
A) 10
B) 8
C )-6
D) - 4
E )-2
19.
1
n
— (2x 4-3),
5
f(x )=
16.
-co< x < 1 ise
6 -5 x ,
1 < x < 3 ise
x -3 ,
3 < x < oo ise
S
f ( x ) = l X2 - i |+ -
1
i
— + sgn(x + 10)
x‘ + 4x
fonksiyonu x in kaç değeri için süreksizdir?
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E
fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaların apsisleri
toplamı kaçtır?
a
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
E) 2
20. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Sürekli iki fonksiyonun toplamı da süreklidir.
17.
...
fW
3x + 4
° 2x
r r +mx
~ +n
fonksiyonu
B) Sürekli iki fonksiyonun çarpımı da süreklidir.
C) Sürekli bir fonksiyonun bir sabitle çaıpımı da
süreklidir.
' j kümesinde sürekli olduğuna
D) Sürekli iki fonksiyonun bölümü de paydadaki
fonksiyonun sıfırdan farklı değerler aldığı aralıkta
süreklidir.
göre, m2 + n kaçtır?
A) 8
B) 9
C)10
D)11
E)12
E) Sürekli bir fonksiyonun mutlak değeri sürekli
olmayabilir.
433
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
21.
24.
ax + b,
1<x ise
12,
x=1ise
x2 +.b,
x<1 ise
f( x ) H
2x + x - 3
3 x -1
’
[ 5k,
x * 4 ise
x = 4 ise
fonksiyonu x = 4 noktasında sürekli olduğuna göre,
k kaçtır?
fonksiyonu R de sürekli olduğuna göre, a b kaçtır?
A) 9
B ) 10
C )1 1
D) 12
3
B ) y
A) 1
E ) 13
22.
x >1 ise
xVx~ -1
f(x) =
f(x) =
2
D )-T
C) -
B) - 1
6
D) —
E) 2
2cotx + 1
(cosx-3)(4sinx + 1)
fonksiyonu [0, 2n) aralığında kaç tane x değeri için
süreksizdir?
x^1 ise
12
E) —
B) 3
A) 2
fonksiyonu x = 1 noktasında sürekli olduğuna göre,
m nin negatif değeri kaçtır?
A) - 2
4
—
25.
X "-1
m x--
O
D) 5
C) 4
E) 6
3
23.
r costüc,
x<1 ise
f(x) = < [a x + 3 ],x = 1 ise
l l - 2 x 2,
x>1 ise
CEVAP ANAHTARI
fonksiyonu x = 1 noktasında sürekli olduğuna göre,
a e R sayılarının değer aldığı en geniş aralık
aşağıdakilerden hangisidir?
A) M , -3 )
D)
'
B) [-3 , - 2 )
[-2 ,-1 )
C ) [-3 ,.t . İ ) . ;
E ) [ - 3 , oo).
434
1.
B
2.
A
3.
C.
4.
D
6.
B
7.
A
8.
D
9.
B
5.
E
10. C
11.
A
T2.
B
13.
A
14.
E
15.
D
16;
D.
17. C
18.
A
19.
D
20.
E
21.
C
22.
E
23.
A
24.
B
25.
C
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
TEST - 5 ÇÖZÜMLERİ
1.
f(x) = Vx2 + x - 2 + 3 x 2 - 4 x +
5x+1
x+2
b x-a , x< 3is e
f :R -> R , f(x) = a,
x = 3 ise
x + x - 2 > 0 ve x + 2 * 0 için sürekli
x - b.
x > 3 ise
x +x - 2 = O
x = 3 kritik değer olduğu için f(x), x = 3 dışında Vx e R
için süreklidir.
x * -2
2
-1
x = 3 için sürekli olması için
- 00
X
-2
1
lim f(x)= lim f(x) = f(3) olmalıdır.
oo
x -> 3 “
X2+X -2
f
x -» 3 +
a
b -3 -a = 3 -b = a
(-oo, - 2) u [1,oo) aralığında süreklidir.
3b - a = 3 - b,
CEVAP B
a + b = 3 H]
4b - a = 3 0
0 ve [D yi ortak çözelim.
4b - a = 3
+
2.
b+ a = 3
lim f(x) = 2
x-x»
5b = b
- 4 için süreksiz.
f ( - 4 ) = yok
b = — olur.
5
lim f(x) = -3
x->-1
1 için süreksiz.
CEVAP C
f(—1) = yok
lim f(x) = 0
x -» 1 “
lim f(x) = yok
f(x) =
x-> 1
lim f(x) = 1 x = 1için süreksiz.
x->1+
f(3 ) = 4
sgn(x -5 x + 4 )
.
I x —5 1
fonksiyon tanımsız olduğu değerler ile limitinin olmadığı
değerler için süreksizdir. Buna göre,
f(x), x - 5 = 0=>x = 5
süreksiz,
ı x = 3 için süreksiz.
için tanımsız olduğundan
x -5x+4 = O
-4 -1 +1 + 3 = -1 olur.
-4
UVflRI:
-1
X1 = 4 x2 = 1 değerlerinde sgn (x2- 5x + 4) in sağdan ve
Fonksiyonun süreksiz olduğu noktalarda ya eğriye ait
soldan limitleri farklı olduğu için limiti yoktur, yani bu
değerlerde de f(x) süreksizdir.
bir nokta yoktur, (f tanımsızdır.) Ya da eğriye ait nokta
beklenen yerde değildir.
5 + 4 + 1 = 10 olur.
CEVAPA
CEVAP D
435
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
[ 4 -V 6 x -2
x + 4 x -7
f(x ) =
fonksiyonu
f(x)=
3x 2 - 1 2 x + 4m
x ^ 3 ise
x2 - 9
a + 1,
x = 3 ise
3x - 1 2 x + 4 m * 0 için süreklidir.
6x - 2 > 0 ve x2 - 9 * 0
3x 2 - 1 2 x + 4m = 0
süreksizdir.
için f(x ) ta n ım s ız o la c a ğ ı için
6x S 2
A < 0 için paydanın kökleri olmayacağından f(x) sürekli
olur.
1
x>
ve
( x - 3 ) ( x + 3 );*0
ve
x - 3 * 0, x + 3 * 0
x ît 3, x ît - 3
A = 6 ~ 3 •4m < 0
ve
x *-3
için tanımlı
3
3 6 -1 2 m < 0
36 < 12 m
3 < m => (3,oo) olur.
( 4 - V 6 x - 2 )(4 + V 6 x - 2 )
lim f(x ) — lim
,---------x-*3
x >3 ( x - 3 ) ( x + 3 )(4 + V 6 x - 2 )
CEVAP E
(1 6 -6 x + 2)
= lim
x->3 ( x - 3 ) ( x + 3 )(4 + V 6 x - 2 )
6.
2 x + a, x < 2 ise
İ
10 ,
x = 2 ise
bx + 4,
x > 2 ise
)(X + 3 )(4 + 7 6 x - 2 )
lim f(x ) = f ( 2 )
lim f ( x ) =
x -+ 2 “
lim
x->3
-6
= lim
x->2+
x-»3 (x + 3)(4 + V 6 x - 2 )
2 - 2 + a = 2b + 4 = -1 0
-6
4 + a = 10=>a = 6
6 -(4 + 4)
2b + 4 = 1 0 = > b = 3
1_
8
a + b = 9 olur.
CEVAP B
lim f(3 ) = f(3 )
x -> 3
3 -x
7.
f(x ) =
x < - 2 ise
x+1
5 + a,
x = - 2 ise
2 + bx,
x > - 2 ise
8 " a+1
x = - 2 kritik değer olduğu için f(x) sadece bu noktada
süreksiz olabilir.
x = - 2 de sürekli olması için
a=
lim
f(x ) =
x - > ( - 2 )“
^
-2 + 1
f( x ) = f ( - 2 ) olmalıdır.
x - » ( - 2 )+
=2
-5 = 2 - 2b
•5 = 2
lim
2b = 5 + a
■5 + a
2
-5 = 5 + a = > a = - 1 0
1_
2
olmalıdır.
CEVAP D
2 b => b = —
b = -1 0
8
- 3 5 olur.
CEVAP A
436
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
9.
\ x - 27T 1 V>T-1
f( * H x + x - 2 •
.
11.
.
I-
x
1 İE
|ax-1,
x = 1 ise
f3x + 5,
x > - 2 ise
[sgn(4a-2x), x < -2 is e
lim
f(x)=
x - > ( - 2 )+
x + x - 2 * 0 olmalı
lim
f(x )= f(-2 )
x > (-2)~
3 •(-2 ) + 5 = 4a - 2(-2) = 3 •(-2) + 5
( x + 2 ) (x - 1 ) = (x + 2 )(> /x "-1 XV x“ +1)
-1 = 4a + 4 = -1
pb
f(x) = j (x + 2 ) ( ^ -1 ) ( V > T + 1)
ax-1,
, x * 1 ise
4a = -5
x = 1 ise
x -2
a = —— < —1 olmalıdır.
x * 1 ise
CEVAPA
f ( X) = J (X +2)(-v/>T.+ 1)
(ax-1,
x = 1 ise fonksiyonu
lim f(x ) = f(1) ise sürekli olacağından
12. f(x) = J 1 - A + 4 - +
x+2
] + |0 9 ( x + 3 ( x 2 + 4 )
x -v i
1 - 2 __
(1
+ 2)(1 + 1) =
1-1
1—^ -+ -^ -£ 0 , | X g 2 ||: tamsay' yapan değerler için yani
- A + 1= i
x -4 x + 4
— olur.
6
(x “ 2)
£0,
x = -2, x = 1, x = 4, x = 7 süreksiz.
log(x+3)(x2 +4),
CEVAP B
x + 3 > 0 için sürekli
x = 0 için süreksiz
x+3=0
x = -3 için süreksiz.
O halde f(x); - 3 , - 2 ,0 ,1 .4 ,7 olmak üzere verilen aralıkta
altı noktada süreksizdir.
10.
f(x) — . 1—
x -6x
CEVAP B
+ \/x 2 - 9 - 2ln(x2 + 3)
13.
fonksiyonu tanımsız olduğu noktalarda süreksizdir.
6x = 0
f(x) =
—,
x > -1 ise
3
1
—=------ , x < -1 ise
v r - 9 daima sürekli
x(x2 - 6) = 0
tek kuvvetin etkisi yok,
X1 = o,
x2 - 6 = 0
x2 + 3 daima pozitif
x2 = -\/6 ~
olduğundan ln(x2 +3) tanımlı
x = - 1 kritik değere bakalım.
lim
x - > ( - 1) ~
f(x) — lim = f ( - i) = - ^ - = ^ L
x - > ( - 1 )+
J
olduğundan x = - 1 için sürekli
x3 = VĞ"
yt - 4 * 0 olmalı
x-j = -2, x2 = 2 sadece x = -2 < -1 olduğundan
O halde f(x),
süreksizdir.
0,
olmak üzere üç noktada
bu fonksiyon x= -2 için süreksizdir.
CEVAPA
CEVAPC
437
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
14.
16.
lim f(x)= lim f(x) = 1 l. . ,, „
x >2 ~
x->2 +
l''7' 3 olduğundan
f(2) = 3
j x = 2 için süreksiz
lim f(x)= lim f(x) = 3
| x —11 her V xeR için sürekli
x2 + 4x = 0
3 * 1 olduğundan
X-, = 0, x2 = -4 için süreksiz.
x = 4 için süreksiz
f(4) = 1
+ sgn(x + 10)
f(x)=|x2 - 1 |+ -
sgn(x + 10)
x+10=0
CEVAP E
x = - 1 0 için sağdan ve soldan limitler farklı olduğu için
limit yok, dolayısıyla süreksiz.
O halde f(x) - 10, - 4, 0 olmak üzere üç noktada
süreksizdir.
C EVAP D
15.
71 •
x < ------ise
2
-4sinx,
n
n
.
a-sinx + b, ------< x < — ise
2
2
^
1
1
•
cosx,
x £ — ise
2
f(x M
| 17.
n
JC
3x + 4
f(x) = -
fonksiyonu
2x +mx + n.
ve x = — kritik değerler olduğu için bu
2
X ~~~2
noktalarda sürekli olursa R de sürekli olur.
M
kümesinde sürekli olduğuna göre,
lim
f(x) =
lim
f(x) =
-fr)
w
x-j = —■ve x2 = 1 değerleri için süreksizdir. Bu değerler
paydayı sıfırlıyor demektir. Buna göre,
= a s in
l
2
,)
— —
{
+ b = - 4 s in
2 )
{.
(
2 )
1
—
\2
T
l2 J
1 +n= 0
n
+ m -----
2
4-1 = - a + b = 4 = * b - a = 4
m + n = 0A
—' + —
2
2
lim f(x) = lim f(x) = f f — 1
n“
n+
\2 )
x -» —
2
in
m + 2n = -1
0
2 - 12 + m l + n = 0
2
m + n = -2
[2]
a + b= 0
0 ve [2] yi ortak gözersek
+ b -a = 4
m + 2n = -1
2b = 4
+
m+ n = ± 2
b= 2
n = 1, m = -3
a = -2
m2 + n = (-3)2 +1 = 9 + 1 = 10 olur.
a b = -4 olur.
CEVAP C
CEVAP D
438
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
21 .
18.
f(x) =
x < 0 ise
6-3
3a+ x, x £ 0
ise
f(x) =
lim f(x) = lim f(x) = f(0)
x -» 0
ax-t-b,
1< xise
12,
x - lise
x2 + b,
x < 1 ise
x -> 0 +
x = 1 için sürekli ise Rde süreklidir.
6-3° =3a + 0 = 3a+0
6-1 = 3a
lim f(x) = lim (fx) = f(1)
x 4 i" ‘
x->ı+
a = 2 olur.
12 + b = a + b = 12
CEVAPA
1+ b = 12=>b = 11
a + b = 12=>a + 11 = 12
a=1
a b = 1 -1 1 = 11 olur.
19.
CEVAP C
— (2x2 + 3),
5
f(*M
-
oo< x ^ 1
ise
6 -5 x ,
1 < x < 3 ise
x -3 ,
3 < x<co ise
x = 1. x = 3 Kritik değerler olduğu için bu noktalarda
süreksizlik söz konusu olabilir.
22
lim f(x)= lim (fx) = f(1)
x~>T
x-» 1 +
.
x -1
xVx" - 1 ’
-^-(2-12 +3) = 6 -5 -1 = 1
mx-
x = 1 için sürekli.
1= 1= 1
x > 1 ise
f(x) =
D
1
12
x<1 ise
lim f(x)= lim f(x) = f(3)
x -> 3 “
/
x -> 3 +
(Vx~-1)(VST+ 1)
6 - 5 3 = 3 -3 = 3 -3
f(x) =
6 -1 5 = 0 = 0
x >1 ise
(V 5 T -ı)(x + 7 > T + 1)
1 I
12
- 9 ^ o olduğundan x = 3 için süreksiz.
x ^ 1 ise
CEVAP D
lim f(x)= lim f(x)
x—>1+
x->1“
12
1
2
7
m + ------ = — => m = ------12
3
12
20. Sürekli bir fonksiyonun mutlak değeri daima sürekli
olduğundan, olmayabilir ifadesi yanlıştır.
1
m+—
12
CEVAP E
2
------ => m
3
3
4
.
olur.
CEVAP E
439
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
23.
25.
costdc,
f(x) =
x<1 ise
Î
[ax+3], x=1 ise
2cotx + 1 fonksiyonu [0, 2ti) aralığında x = 0 ve x = n
x > 1 ise
1-2JC2,
için süreksizdir. (cotO = oo, cotn = -oo)
cosx - 3 = 0 => cosx = 3 => Ç = 0 olduğundan bu
çarpanda süreksiz yapan x değeri yoktur.
lim f(x)= lim f(1) = f(1)
x -* 1 “
2cotx + 1
(cosx-3)(4sinx + 1)
x -* 1 +
4sinx + 1= 0=>sinx =
c o s n = 1-2 = |a + 3|
[ a + 3 ]= - 1
denkleminin biri
[a] + 3 = -1
[a ]= —1—3
2^1 aralığında
süreksizdir.
[a] = -4 => - 4 s a < - 4 ya da
CEVAP C
[ -4 ,- 3 ) olur.
CEVAPA
£
£
i
i€
x * 4 ise
lim f(x) = f(4) olmalıdır.
ı
x -> 4
2 -4 + 4 - 3 t_5k
3 4 -1
32 + 1
1 2 -1
biri de
olmak üzere iki kökü olduğundan f(x) dört noktada
= 5k
33
= 5k
11
3 = 5k
k=
5
olur.
CEVAP B
440
LİM İT VE S Ü R E K L İL İK
ÇÖZÜMLÜ TEST - 6
5.
Karm a uygulamalar:
1
2 + 10 X”1
lim
1
x -» r
1.
3 + 1 0 x -1
lim
x-»3+
fx +2 - [ 3 - x ] 1
indeğeri kaçtır?
s g n (x -3 )
ündeğeri kaçtır?
A) 2
B) 3
C )4
D) 5
E) 6
1
1
A>T
B>T
2.
3x - 2
lim -
X—>—
co
lim
*->3
x^ + 2
yf + ax + 6
= b, (b e R )
x2 + x - 1 2
olduğunagöre, a b kaçtır?
nindeğeri kaçtır?
A) - 4
D )1
Oİ
B )-3
C )-2
D) 0
E) 3
6
A )-—
5
B )-—
C)
3
D)
E)
D) 1
E) 2
I
S
3.
lim
V x2 + 5
x-»2
x2
_ 2x
lim ^ 9 x 2 + 1 - 3 x j
indeğeri kaçtır?
indeğeri kaçtır?
C )0
A) ~ T
D) i
E) T
A )- 2
B )-1
C )0
8.
4.
lim
W
lim --------X_>J_ 1 - s in x
- 2^ r + ı
x->1
in değeri kaçtır?
nin değeri kaçtır?
A)
B)
C)
D)
A) - 1
E)1
441
B )--J -
C)
°>
t
E) 1
I
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
9.
13.
n elem anlı b ir küm enin r- li bütün kom binasyonlannın
^ r +2
lim
n!
sayısı C(n,r) =
x+8
oldu ğun a göre,
r!(n —r)!
in değeri kaçtır?
• 1
C (x ,1 )C (x ,4 )
lim
x—xx> C (x,2) C (x,3)
A)t
-
1
1
b) t
c) t
D)
10
E)
ün değeri kaçtır?
a
>t
b> I
c> t
D) 1
E) 2
14.
..
7x2 + 3x+ 1
Iım ■ .
10 .
* “?■? v16 x2 + x + 2
lim
nin değeri kaçtır?
X -K O
in değeri kaçtır?
B>T
A) 0
C>T
b>t
D) 2
C) 7
D>T
E) 3
15.
11 .
lim
lim
V3x2 + ;
X— <X)
B) 72"
x -M
in değeri kaçtır?
in değeri kaçtır?
A) 73"
IX2 - ! |+ s g n ( x - 1 ) - 1
X -> 1 +
A )- 2
C) 0
D) - 7 3 "
B )-1
cj 1
D) 2
E) 3
C) 3
D) 4
E) 5
E )- 2
12.
16.
lim (1 + 3 x )
x->ov
’
x->2
in değeri aşağıdakilerden h a ngisidir?
A) e3
B) e2
C) e
D) e' 2
n in değeri kaçtır?
E)e-
A) 1
442
B) 2
12
LİM İT VE S Ü R E K L İL İK
17.
21.
lim
X—»oo
f e r
in değeri kaçtır?
A) - 4
B )-3
C )-2
D) 3
E) 4
G rafiği verilen f fonksiyonu için aşağıdakilerden
hangisi yanlıştır?
18.
A)
x -3
f(x)
lim f(x ) = - 3
YT- 4
B) —3
C) - 2
D) 2
lim f(x ) = 1
C) lim f(x ) = 0
x_>2
x -* ı~
D)
olduğuna göre, aşağıdaki noktalardan hangisinde
lim f(x) yoktur?
A) —4
B)
x -» ı+
lim f(x) = 5
X -» 3 +
E)
lim f(x ) = 2
‘ x -» 3 ~
E) 4
22 .
lim logX—>-oo
n/9x2 + 4 x + 5
+2x2 '
- x 2 + 2 x + 10
un değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) —1
B) O
C )1
D) 2
E) yoktur
D)
E)1
D> ı r
E)
19.
sinx + 10 ,anx
lim
n+
sgn(cosx)
23.
in değeri kaçtır?
A) - 2
B) - 1
lim
C) O
D)
^1 + x - 1
x -»0
E) 2
İn değeri kaçtır?
A)
B)
C)
24.
20.
lim
6x - s g n ( x 2 - 4 x + 4)
x -»2
lim
in değeri kaçtır?
nin değeri kaçtır?
A) 8
B) 9
sin2 3x
4 x -7
C)10
D) 11
E) 12
A) 9
443
B) 6
C) 3
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
25.
29 .
(1 + c o s 2 x) tanx
x-»0
x < 3 ise
f(x) =
x + sinx
x > 3 ise
in değeri kaçtır?
fo n k s iy o n u n u n R de s ü r e k li o lm a s ı iç in a kaç
olm alıdır?
C )0
B)
D)1
E) 2
A) - 3
B) - 2
C) 3
D) 6
E)
26.
3 + 2 -5
lim
X—»co
4 + 5 1+x
in değeri kaçtır?
5
A )T
3
B )T
2
o
t
D) 1
30.
E) 2
f(x) = ln(cosx)
fo n k s iy o n u a ş a ğ ıd a k i k ü m e le rd e n h a n g is in d e
süreksizdir?
27.
lim
A) x = kît (k e Z )
B) x = 2 k 7t + y
(k e Z )
C) x = 2krc (k e Z)
D) x = 2krc +
(k e Z )
v 4 x + V 2 x + >/>r
— ------------- = -----------
x- •>«
Vx
E) x = 2kn + — (k e Z )
4
in değeri kaçtır?
A) 0
C) 2
B)
D) 4
E) 5
C EVAP A N A H T A R I
28.
lim
x->1
2x - 2
26+ x -3
ün değeri kaçtır?
A) 18
B) 27
C) 36
D )48
E) 54
444
1. E
2. B
3. D
4. A
5. C
6. B
7. C
8. D
9. C
10. E
11. D
12. A
13. E
14. C
15. D
16. B
17. A
18. C
19. B
20. D
21. E
22. B
23. A
24. A
25. D
26. D
27. C
28. E
29. A
30. B
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
TEST - 6 ÇÖZÜMLERİ
1.
|im
[ x + 2 - [3 - x]|] . =
x_>3+
s g n (x -3 )
.
«m
|x h - 2 - 3 - [ - x ]1
x . >3+
sg n (x -3 )
,.Iım --------------^ x 2~ -2 7 > T + 1
0
t-------= —
x-»1
(x -1 )
h i± k M
x->3+
u
belirsiz.
0
( 3 / 7 - ı f ^ + ^ T + ı }2
s g n (x -3 )
lim
x-»1
_ -1 + [ 3 + s ] - 1 -(3 + s)J
( x - ı f ^ +%
sgn(tf +e-/()
- 1 + 3 - [ - 3 - e]
+ r
( x - 1)2
lim ■
x-»1
sg n £
( X - 1)2 {
+ ^ T + 1)
^
2+4
1
6 olur.
lim x >1
1_______
[ C r + ? / r + ı ]2
CEVAP E
3x - 2
Iım
.
x“ >- w -Jx? + 2
3 x -2
= Iım -------- ,
x-+-<o
2
olur.
|x|r ^
..
3x
CEVAPA
= Iım -----x->-w - x
= lim (-3)
X -)-0 0
= - 3 olur.
CEVAP B
3.
Iım
Vx2 + 5 - 3
3 -3
----------- = ----------
x ->2
x -2 x
4 -4
1,
0 .,
— belirsiz.
1
0
lim
Pay ve paydayı payın eşleniği ile yani
x ->1"
7 x 2 + 5 + 3 ile çarpalım
>
2 + 1 0 X~1
3 + 10 x-1
1
2 + 10 1-e-1
(V x 2 + 5 - 3 ^ > / j ? + 5 + 3
lim
x->2
3 + 1 0 1 -6 -1
(x 2 - 2 x)^V x 2 + s " + 3^
x2 + 5 - 9
= Iım ---------------.
------x_>2 x(x - 2 ) ( v x 2 + 5 + 3 )
( x - 2 )(x + 2 )
= lim
x >2 x ( x - 2 )(V x 2 + 5 + 3 )
x+2
= lim
x->2
x |V x 2 + 5 + 3 ^
.2 + 10 e
3 + 10 «
— =00 olduğundan
e
2 + 10-05
3 + 10'
2 +2
10-*0 = —
= 0 olduğundan da istenen limit
2 (7 9 " + 3)
=—
olur.
2- 6
CEVAP C
— olur.
3
CEVAP D
445
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
6.
9.
6
Hm ,
x->3 x + x - 1 2
9 + 3a + 6
3 a + 15
9 + 3 -1 2
O
x->w C (x,2) C(x,3)
X (X -1 )(x -2 )(x -3 )
O
belirsizliği kaldırılabilir bir belirsizilk olduğu için
________ 4!_________
= lim
x->« x ( x - 1 ) x ( x - 1 ) ( x - 2 )
3a + 15 = 0 = > a = - 5 olursa bu limitin sonucu verildiği
2
gibi bir reel sayı olur.
6
/ • / l x ^ ) Q ^ ) ( x - 3)
= lim
XHW> / ( > ^ f ) / ( x - 1 ) ( > ^ )
~ 5x + ^ - Hm <x~3Xx.-2> = „
lim
* - > 3 x2 + x - 1 2
x- » 3
x -3
1
,
- Iım ------------ = — olur.
x-»oo2 ( x - 1)
2
(x - 3 ) ( x + 4 )
= lim
=b
x-»3 x + 4
CEVAP C
4 a b = - 5c —1 =
7
5 olur.
,
7
10.
lim
f
>t
X —K o l
CEVAP B
. 3 "l
x s-sın—
i n — |=■co sin O
xJ
= 0 oo belirsiz.
7.
3
3
— = t => x = — dersek
x
t
0
x —» co için t =0
lim f sf$ x + — —- - 3 x |
X-»co^
2-9
)
= lim ( 3 x - 3 x )
im [ — -sint ]
-»ot t
J
X —»00
= lim (0)
X —»05
3 lim
t-»o
= 0 olur.
CEVAP C
8.
(" )
3 -1 = 3 olur.
,2 n
lim
JL 1 - s h r x
-
1 - sin
2 — = — belirsiz.
3 n
O
2
CEVAP E
..
1 - sin2 x
Iım -------------- -------------------— r-
11.
x - > - |- ( 1 - s in x )^1 + sinx + sin x j
..Iım
X —>-eo
(1 - s in x )(1 + sinx)
= lim
X —»' L
V 3x 2 + x
oo
.
---------------- = — belirsiz.
oo
X
( 1 - s i n x ) | l + sinx + sin2 x j
= lim
1 + sinx
= lim
|x | V
3+ —
x
X -» -a>
X
JL 1+ sinx + s in *x
= lim -
-x -j3
X—»—
co
= lim (-y/3)
X—>-eo *
1+ 1
)
= ->JZ olur.
1+ 1+1
2
=—
3
olur.
CEVAP D
CEVAP D
446
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
12 .
15.
lim (1 + 3x)
X-»00
=1® belirsiz.
| x - 1 |+ s g n ( x - 1 ) - 1
-
X -» 1 +
— = t =^> x = — dersek
x
t
i X<
x -> oo için t = 0
x 2- 1
-
X
-J x ]
-1
00. .
‘
1
©
I
»
t
..
t
lim
t -»0
(1+f )
olur.
CEVAPA
= lim
*-> 1 +
x —1 + 1 —.1
x -[x ]
x -1
lim
"“ M
13.
lim
$T +2
x-> -8
= lim
x—
»—
X+8
1 + = 1 + s=> Jl + e| = 1
-2 + 2
- — belirsiz
8-8
O
.= .lim
x-+1 '*
^ r +2
(x —1 )(x + 1)
x -1
= lim (x + 1)
(^ r)
X->1 +
= 1+1
lim ■
x—+ 8
(^ r+ 2 )[^ --2 ^ r+ 4 )
= 2 olur.
CEVAP D
3 ^ -_ 2 ^ 8 - +4
+4 +4
1
olur.
İ 2~
CEVAP E
16.
= log2 f lim y x ~-2— l — - ~ belirsiz
U -*2 V x + 2 - 2 J
o
( x - 2 )(V x + 2 + 2 )
■i a
14.
.•
v x 2 + 3x + 1
hm
.
x“ >“ °° v16x2 + x + 2
lim
1+ —
x| V
L
1
..
Iım
1~
16x + 8x 2
14x | \
..
Iım
- x -1
x-»-co -4 x-1
lim
X—>-co
x-»2 (V x +
= lim
x +2
:
2 - 2 )(V x + 2 + 2 )
( x - 2 )(V x + 2 + 2 )
--------------- x + 2 -4
= lim (V x + 2 + 2 ]
x -+ 2 '
'
=2+2=4
(i)
log24 = 2 olur.
olur.
CEVAP C
CEVAP B
447
Ü M İT VE S Ü R E K L İL İK
17.
19.
lim
X->eo
= ln
(M )
olduğundan
Iım
X—
>co
(M )
lim
x—>eo
x -1
sgn(cosx)
tan
hesaplayıp yerine yazalım.
(S )" 5
I x+3
T x+3 ;
sinx + 10 tanx
lim
x -1
= 1x+3
x+3
1
sin— + 10 '
2
sg n (-)
-4
1+
x -5
lim
X->Co(.
1
10 °°
x -3 )
_ 1+0
İne-4 = -4 ln e
-1 ’
= -4-1
1
“ -1
- -4 olur.
= —1 olur.
CEVAPA
C E VA P B
20.
X
1
"4
6x - s g n ( x 2 - 4 x + 4)
x->2
18.
Padyanın kökleri x2 - 4 = 0.
sgn(x - 2 )
2 - 4
00
+
(
+
1
<
1
x —>2'
0
lim s g n ( x - 2 ) = 1 olur.
x -»2
belirsizliği kaldırabilir bir belirsizlik olduğundan
(x =2 için sgn (2 - 2 ) = 0 olduğundan bu noktada süreksiz
olduğu dikkatinizi çeksin.)
lim f(x ) vardır.
x->2
..
.. .
V 7 -2 - 3
!ım f(x ) = ------- -t.------(-2 )
2
2
lim s g n ( x - 2 r = lim s g n ( x - 2 ) = 1
x -»2
ıı tı \ ’V'7 + 2 —3
0 . ..
Iım f(x ) = -----= — belirsiz.
x— 2 V
r - 10
x1
için limite bakalım.
x->2
— co
X
v/7 + x - 3
X1
f(X):
6 -2-1
12-1
Iım ------------ = ---------x ~>2 4 - 2 - 7
8 -7
■v/5"- 3
- 4
=J1
1
olduğundan lim f(x) = yoktur.
x f-2
= 11 olur.
;e v a p c
CEVAP D
448
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
2 1.
24.
lim f(x ) = 3 olduğu için
x-+3~
lim
>0
lim f(x ) = 2 yanlıtır.
x->3~
belirsiz
-(
sin3x ..
sin3x ..
1
= Iım ------------- Iım ------------ Iım --------x -»0
x
x -»0
x
x ->0 cosx
CEVAP E
.. . sin3x
= Iım 3 - —
x ->0
3x
22.
lim
X->—
co
.
x-\/9x2 + 4 x + 5 + 2x 2
log
- x 2 + 2 x + 10
= 3 -1 -3 .1 .
.. _ sin3x
Iım 3 - —
3x
x ->0
..
1
Iım --------cosx
x ->0
cosO
= 3-3-1
log
lim X—»-«o
V 9x 2 + 4 x + 5 + 2 x 2
= 9 olur.
-x + 2 x +10
CEVAPA
25.
x ^ 9 x 2 + 4x + 5 + 2 x 2
Iım -----------^--------------------- u hesaplayalım.
- x + 2 x + 10
*|3 x |
lim X—
>-«>
1, 4
9x
,
5
9x 2
(1 + cos 2 x )-ta n x
0 . .
Iım ------------------------------- ; belirsiz.
x-*o
x + sinx
0
+ 2 x"
( l + 2 cos2 x - l ) = lim
x -->0
2fi——- i l i
sinx
cosx
x + sınx
2.
sinx
cosx
x + sinx
2 cos x
=
lim
X—>-k>
|.
-3 x 2 -1 + 2 x :
—X
..
2 c o s x s in x
= Iım ------------------x->0
x + sinx
-X 2
=
Iım — r X->-oo -yf-
=
lim (1)
X—>—
co
=1
= lim
x—>o
bunu 0
= lim —:s—— — pay ve paydayı x e bölelim
x-»0 x + sinx
2 sin 2 x
de yazalım.
= lim
log 1 = 0 olur.
-----
x-»0
1+-
CEVAP B
2
~ 1+ 1
= 1 olur.
23.
CEVAP D
h+x -1
1 -1
o . ..
lim - ------------= --------= — belirsiz.
x->0
x
0
26.
0
Iım
X—»co
n + x = t= > t° = ı + x = > x = t ° - ı
x -» 0 için t
4 + 5 1+ x
1
lim — = 0 o ld u ğ u n d a n
..
t -1
= Iım - s —
X—>co
X-+1 t 6 - 1
x
3 + 2-5°
4 + 5°
3 + 2-1
t -1
= lim-
3 + 2 -5 x
—
_“
(t - 1)(t + 1 + 1 + 1 + 1+1)
4 +1
: 1 olur.
-4- olur.
CEVAPA
CEVAP D
449
L İM İT VE S Ü R E K L İL İK
27.
ı
j
fx 2,
V4x + V2 X + yJx
Iım —-------------------------
x < 3 is e
f(x) =
(4x + a, x > 3 ise
X -» o
x -> oo a yaklaştığı zaman pay ve paydanın en yüksek
x = 3 kritik nokta olduğundan f bu noktada sürekli ise
dereceli terimleri alınarak limite bakılacağından,
R de sürekli olur.
lim f(x ) = lim f(x ) = f(3)
x->3x->3+
3 2 = 4 • 3 + a = 32
= lim %/4~
X -+ ö
9 = 12 + a
= lim (2 )
x—><*>
a = - 3 olur.
= 2 olur.
CEVAPA
CEVAP C
28.
cü
lim - 2x — —
X-»1 il 26 + x
-3
,c
= — belirsiz.
o
30.
f(x) = ln(cosx)
c o s x > 0 için sürekli
\j26 + x = t= > t 3 = 26 + x
cosx = 0 için süreksiz olduğundan
= *X = t3 - 2 6
cosx = cosO
x -» 1 için t -» 3 yazalım.
71
cosx = cos----
2 t' - 2 6 )
lim t-» 3
= lim
x-»3
t -3
belirsiz.
t- 3
= lim ^ 2
t-»3
x = 2 k 7t + Y
2t 3 - 54
Z
küm esinde süreksiz olur.
CEVAP B
! = l i m _ 2 < t- 3 X < ^ 3 U 9 )
t-3
t->3
(k e Z )
t-3
= lim [2 (t 2 + 3t + 9)
x-»3
= 2-(9 + 9 + 9)
= 2-27
= 54 olur.
CEVAP E
450
TÜREV VE UYGULAMALARI
BOLUM- 8
S
ÇÖZÜMLÜ TEST - 1
5.
Türevin tanım ı, sağdan-soldan türev ve özel
fonksiyonların türevleri ile ilgili uygulamalar:
f(x ) = | 2x - 5 x - 4 | + 2x3 - 8
oldu ğun a göre, f'(3 ) kaçtır?
1.
f(x ) = 2x - 5 x
o ldu ğun a göre,
A )-6 1
lim
x->3
B ) -5 8
C )-4 8
D) 24
E )47
D) 1
E) 2
D) 1
E) yoktur.
X- 3
ün değeri kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
f(x ) = | 3 x + 4 J
oldu ğun a göre, f'( 0 ,4 ) kaçtır?
A )- 2
2.
B )-1
O O
f(x ) = ( 3 - 2 x )2 ( 2 x2 + 1)3 o ldu ğun a göre,
lim
h->0
f (1 + h ) - f ( 1)
nin değeri kaçtır?
A ) -2 1 6
B) - 212
C) 0
D ) 96
E) 124
f(x ) = [ 8x 2 - 4 x + 15
oldu ğun a göre, f'| — | kaçtır?
3.
4x 2 -1 ,
f :R -> R , f(x ) =
x > 1 ise
1 2 - 5 x 3, x < 1 is e
a
) 4-
B)
C)
oldu ğun a göre, f '(1 ) kaçtır?
A )-1 8
B) —15
C )1 0
D) 12
E) 15
4.
8.
f(x ) = | (x + 2 )
f(x ) = 2 x 3 - 1 + sgn(x + 2 )
|
oldu ğun a göre, f '( - 2 ) kaçtır?
o ldu ğun a göre, f '( - 2 ) kaçtır?
A )- 2
B )-1
C )0
D) 1
E) 4
A) O
451
B)yoktur. O y
D) ^
E) 1
TÜ R E V VE U Y G U L A M A L A R I
13.
f(x ) = sgn(2x 2 ı-3x -5)
9-
.. ,
-2 x + 3
f( x ) =
4 x -5
oldu ğun a göre, f'(25) kaçtır?
A )- 2
B )-1
C )0
D) 1
o ldu ğun a göre, ■
E) yoktur.
A )-1 8
4
B )- 15
kaçtır?
C )- 1 2
D) 18
E)21
D) 6
E) 10
14.
10.
f(x )
= 3 x4 12x—11+ sgn(x 2 - 2x + 3)
f(x)
X‘ + 6 X
oldu ğun a göre, f'(-4 0 ) kaçtır?
oldu ğun a göre, 5 f'(- 1 ) kaçtır?
A )-4 0
B) - 1 0
C )-1
D) 1
E) 10
A )- 2
B) — 1
C )1
ax 2 h 3x, x < 1 ise
f(x ) =
11.
f(x ) = (x - 2)2 •| x + 2 |
bx + 2 x, x > 1 ise
fo n k s iy o n u
o ldu ğun a göre, f'( 2 ) kaçtır?
V x < = R iç in t ü r e v li o ld u ğ u n a g ö re ,
f'( - 4 ) + f'( 4 ) kaçtır?
A )- 2
B) - 1
C )0
D) 1
E) yoktur.
A )-3 0
16.
B )-2 7
C) 14
D) 18
E) 24
f( x ) = X2 (x 3 - 1 ) 4 ise
12.
f'(x ) aşağıdakilerden ha n g isid ir?
f(x ) = — X2008 - — x 2007 + 2006
8
9
A) 2 (x3 - 1 ) 3 (7x?
dy
1)
B) (x 3 - 1 ) 3 (7 x 3 - 1 )
oldu ğun a göre, —— in x = 1 için değeri kaçtır?
dx
C) 2x3 ( x3 -1)4
A) 14
B )18
C )20
D )24
E) 28
E) 3x2( x3 1)5
452
D) 2x(x3 -1)3(7x3 -1)
TÜ R E V VE U Y G U L A M A L A R I
17.
20 .
y = 3 5V(x 3 - 2 )4
olduğunagöre,
108
A )-—
dx
B )-2 0
f(x ) = x 2 ^ x ^ olduğuna göre,
inx=1içindeğeri kaçtır?
6
C )y
lim
h->o
nindeğeri kaçtır?
D) 48
E) 5
A )- 4
18.
f (“1 + h ) - f ( - 1)
21.
f (x) = x 2 - \ f î + x 3
lim
x -*-2
B) —
f(x ) —f ( —2 )
x+2
olduğunagöre, f'(2) kaçtır?
A )-1 8
B ) - 14
C) 16
10
D) 18
7
D )y
-16
g '( - 2 ) kaçtır?
B )-2 4
C ) - 16
D )0
E) 28
olduğunagöre,
C E VA P A N A H T A R I
lim
f( x ) - f( 6 4 )
1. D
2. C
3. B
4. C
5. E
x -6 4
6. C
7. E
8. B
9. C
10. D
11. C
12. E
13. A
14. B
15. B
16. D
17. C
18. E
19. D
20. C
x -» 6 4
ündeğeri kaçtır?
A>-lV
B> -1
c>lV
E) 6
9(x) = (2x + 3 )2 -f(x)
E) 20
A )-3 2
f(x ) = yfx + Vx~
8
f ( —2 ) —4
oldu ğun a göre,
19.
O )—
21. A
E) 1
453
TÜ R E V VE U Y G U L A M A L A R I
TEST - 1 ÇÖZÜMLERİ
1.
Bir f(x) fonksiyonunun x = a noktasındaki türevi:
f ( x ) = | ( x + 2 y> |
Iım - L - i — i - L = f (a) dır.
x->a
x -a
f(-2 ) = 0
Buna göre,
f(x ) = (x + 2)3
f'(x ) = 3(x + 2 )2
lim fM - f<3) . f p )
x->3
X -3
f'( - 2 ) = 3 • (- 2 + 2J2
f(x ) = 2x 2 - 5 x
f'( - 2 ) = 3 0
f'(x ) = 4x - 5
f ( - 2 ) = 0 olur.
f'(3 ) = 4 - 3 —5
CEVAP C
f'(3 ) = 7 olur.
CEVAP D
f(x ) = |2x2 - 5 x - 4 | + 2x3 - 8
2.
mutlak değer içinde x = 3 yazalım
Bir f(x) fonksiyonunun x = a noktasındaki türevi:
2 - 9 - 5 - 3 - - 4 = 1 8 -1 9 = -1 olduğundan
f(a + h ) - f ( a )
h->0
h
f(x ) = -2 x + 5x + 4 + 2x - 8
biçiminde de tanımlanabilir. Buna göre,
f (x) = 2x 3 - 2x 2 + 5x - 4
Iim f( 1 + h ) - f ( 1)
h->0
h
f'(x ) = 6x 2 - 4x + 5
f (x) = (3 - 2x )2 • (2x2 + 1)3
f'(3 ) = 6 -3 2 - 4 -3 + 5
f'(x ) = 2 •(3 - 2x)(-2) •(2x 2 + 1)3 + 3(2x2 + 1)2 •4x •(3 - 2x j 2
f'(3 ) = 5 4 - 1 2 + 5
f'(1) = 2 -1 -(-2 )-2 7 + 3 -9 -4 -1
f'(3 ) = 47 olur.
CEVAP E
f'( 1) = -108 + 108
f'( 1) = 0 olur.
f(x ) = [3 x + 4 ]
2
CEVAP C
x = 0,4 = — için
5
3 — +4 = — +4
5
5
4x -1 , x > 1 ise
3 . f : R -> R, f(x ) = j
[ l 2 - 5 x 3, x <1 ise
26
x = 1 “ için f(x ) = 1 2 - 5 x 3 olduğundan
e Z olduğundan
f'(0 ,4) = 0 olur.
f'(x ) = -1 5 x 2
UVARI :
f'(1) = -1 5 1
[g ( x ) ]
f'(1) = -15 olur.
ise
g (x)i
tam sayı yapan d e ğ e rle r için
türev yok, diğer yerlerde türev sıfırdır.
CEVAPC
CEVAP B
454
TÜ R EV VE U Y G U L A M A L A R I
7.
1 0 - f(x ) = 3x + 12x - 1 1+ sgn(x 2 - 2x + 3)
f(x ) = [8 x 2 - 4 x + 15]
x = -4 0 için 2 •(-4 0 ) - 1 = -81 < 0
x =y
x=
iç in 8 - ( y j - 4 — +16
x = -4 0 için (-4 0 )2 - 2 - ( - 4 0 ) + 3 * 0 olduğundan
= 2 - 2 + 15
f(x ) = 3x - 2x +1 + sgn(x 2 - 2x + 3)
= 15<=Z olduğundan yani
f(x ) = x +1 + sgn(x 2 - 2x + 3)
f'(-4 0 ) = 1 + 0
tamdeğer içini tamsayı yaptığından
f'(—40) = 1 olur.
yoktur.
CEVAP D
CEVAP E
1 1 . f(x ) = ( x - 2)2
8.
f'(x ) = 2 ( x - 2 ) | - î - + 2 j + 0 - ( x - 2 ):
f(x ) = 2 x 3 - 1 + sgn(x + 2 )
x = - 2 için x + 2 = - 2 + 2 = 0
ra
§
sg n (x - 2 ) = sgn 0 = 0 olduğundan
I
f '( - 2 ) yoktur.
f'( 2 ) = 2 • (2 - 2 )
İ -
f'( 2 ) = 0 + 0
(x = 2 i ç i n | - + 2 = | - + 2 = | - g Z
UVAAI
1
t
f(x ) = s g n [g (x )]= > f'(a ) =
0,
g(a) * 0 ise
olduğundan bu kısmın türevi sıfırdır.]
yoktur, g(a) = 0 ise
CEVAP C
CEVAP B
1 x;
x2008 _ _ L x2007 + 2006
1 2 . f(x ) = —
°8
9
f'(x ) = — • 2008 ■x 2007 - — • 2007 • x 2006
9.
f(x ) = sgn(2x 2 + 3 x - 5 )
,
2008
2007
8
9
(
x = 25 için 2 ■252 + 3 • 25 - 5 * 0 olduğundan
f'(1) = 2 5 1 -2 2 3
f'(25) = 0 olur.
f'( 1 ) = 28
CEVAP C
455
TÜ R E V VE U Y G U L A M A L A R I
13. f(x) =
f'(x)
f'(x )
f '( x ) ;
15.
-2 x + 3
ax + 3x, x < 1 ise
4 x -5
-2 (4 x - 5) - 4 (-2 x + 3)
f(x ) =
[bx 3 + 2 x, x > 1 ise fonksiyonu
( 4 x - 5 )2
x = 1 için türevli ise R de türevlidir.
—8x + 10 + 8x - 1 2
( 4 x - 5 )2
f '(1 “ ) = 2ax + 3 = 2a + 3
-2
f'(1+ ) = 3bx 2 + 2 = 3b + 2
(4 x -5 f
2a + 3 = 3b + 2 :=> 2a - 3b
-1
0
lim f(x ) = lim f(x ) = lim f(x) de sağlanmalıdır.
~
f (2)
x—>1—
= 4 ■[——1 = -1 8 olur.
l
2J
UYARI :
f(x ) =
ax + b
cx + d
=> f #(x) =
a
b
c
d
2a - 3b - -1
(cx + d)
a d -b c
,.
T dır.
-3 /■
a - b=
1 1-3
- a = 2 =>a = -2
CEVAPA
- 2 - b = - 1 => b = - 1
2x 2 - 3 x + 5
2 + c6-----f(x ) = ------YT
X
-2 x ^ + 3x, x < 1 ise
f(x );
-x3 + 2 x, x > 1 ise
( 4 x - 3 ) ( x 2 + 6 x ) - ( 2 x + 6)(2x 2 - 3 x + 5 )
(X2 + 6 x )2
(X )=
f'(x ) =
|â
[ij ve [2 ] ortak çözülürse
(cx + d)
f„ s
x_>1
a - b = -1
f (x) =
14.
x-»1+
a+3 =b+2
x = -4 için f'(x ) = -4 x +3
15x - 1 0 x - 3 0
f /(—4) = - 4 (-4 ) + 3
(x 2 + 6x )2
15 + 1 0 -3 0
-5
( - 5 )2
25
f'( - 4 ) = 19
x = 4 için f'(x ) = -3 x 2 + 2
f'(4 ) = - 3 - 4 2 + 2
f'(4 ) = -4 6
UYARI :
f'( -4) + f (4) = 19 - 46 = -2 7 olur.
ax 2 + bx + c
CEVAP B
f(x )= “
a'x + b'x + c'
f'(x ) =
f(x ) =
f'(x ) =
a
b
a'
b'
„a
0
x +2
c
+
a! c'
b
c
b'
c'
dir.
2x - 3 x + 5
x 2 + 6x 2
-3
1
6
16. f(x ) = x 2(x 3 - 1)4
x2 + 2
2
5
1 0
x+
-3
5
6
0
f'(x ) - 2x • (x 3 - 1)4 + 4(x 3 - 1)3 • 3x 2 • x 2
(x 2 + 6x )2
.
15x - 1 0 x - 3 0
f (x ) -----------
ö------
f'(x ) = 2 x(x 3 - 1)3 (6x 3 + x 3 - 1 )
...
. .
f'(x ) = 2 x -(x 3 -1 ) 3 (7x 3 - 1 ) olur.
aynı türev bulunur.
(x + 6x)
CEVAP D
CEVAP B
456
TÜ R E V VE U Y G U L A M A L A R I
17.
20.
y = 3 ^ (x 3 - 2 )4 - 3 (x 3 - 2 ) 5
A
A
f(x ) = x2 - 7 ? = x 2 - x 3 = X 3
|im f( - 1 + h ) - f ( - i )
h->0
dy = y ' . - 3 — (x 3 - 2 ) 5 -3 x 2
dx
ı
y
36 2
5 X
f'(x ) = y x 3
h
=y 7 ?
5/w3
./
36 d
y^d)= —5 -1 1
36
CEVAP C
olur.
y (i)
CEVAP C
18.
f(x ) = x2 • v 1 + x 3
f'(x ) = 2 x - 7 l + x 3 + — -7= = = = - • x3
2 7 ü ?
2 1.
f(-2) = 4
f'(x ) = 2 x V l + x 3 + ■■ 3x4
2 7 l + x3
f'( 2 ) - 2 -2 -3 +
|im f (x ) f( - - )- =: f ,( - 2 ) = -1 6
x ->-2 x —(—2 )
V 7
g(x) = (2x + 3 )2 -f(x)
3-16
s
2 3
f'( 2 ) = 12 + 8 = 20 olur.
CEVAP E
g'(x) = 2(2x + 3) • 2 •f (x) + f'(x ) •(2x + 3J2
I
g,(“ 2 ) = 2 • ( - 1 ) • 2 • f<- 2 ) + f '( - 2 ) • 1
g
g '(-2 ) = - 4 • 4 +1 • (-1 6 ) = -3 2 olur.
.S
C EVAPA
19.
J_
J_
f(x ) = ^ x " + 7>T = x 3 + x 2
lim
x_>64
= f'(64) olduğundan
x -6 4
2
f'(x ) = ü x 3 +
3
f'(x ) =
1
2-77
1
1
37?
^
1
1
$7 ö 42
2707
f'(64) =
1
1
f (64) = --------- + -----v '
3-16
16
f'(64) = — = —
48
12
olur.
CEVAP D
457
TÜ R EV VE U Y G U L A M A L A R I
ÇÖZÜKLÜ TEST - 2
5.
Trigonom etrik fonksiyonların türevi ile ilgili
uygulamalar:
f(x ) = 4cos 3 x - 3 s in 2 x
olduğuna göre, f'(x ) in en kısa şekil aşağıdakilerden
1.
h a ngisidir?
f(x ) = 4sin 5 2x oldu ğun a göre,
Hm
A) - 3sin6x
B )2cos2x(1-sinx)
,2 x -s ln x
C )4co s£
D) ~ 3 sin2 x(2co sx + 1)
ALZ
X-H3r
E) 3 s ln 2 x (1 -c o s x )
x —3
ün değeri kaçtır?
A )-1 2
45
-
B)
4
45
D )—
C )-1 0
b
f(t)= 2 8, n ( | - f )
E) 12
o ldu ğun a gö re f'( 0) kaçtır?
f(x ) = 4x + sln2 (3x)
2.
B ) ~
A) - 1
C) 0
D )y
E )1
o ldu ğun a göre, f k a ç t ı r ?
A) 4
C) 6
B) 5
E) 8
D) 7
y = . 1 - ta n 2 x
2 tan x
f(x ) = 4 sin - Ş - + 5 c o s A O
u
dy
Ti
oldu ğun a göre, “^ " ln x = ‘ 4_ İçin değeri kaçtır?
İt)
o ldu ğun a göre, f ' —
A)
kaçtır?
A )- 4
1
1
B> T
c> T
D)
B) - 3
C )-1
D )y
E)
E)
y = sln 2 ( n - x )
4.
8.
o ld u ğ u n a gö re,
dy
'
v
A) 16cos8x
e ş ittir?
A) sin2x
- A — ( cos2 4 x ) In değeri nedir?
dx
a ş a ğ ıd a k ile rd e n h a n g is in e
B) - sin2x
D) s in x c o s x
B) 8cos 8x
D) 328ln8x
C) cos2x
E )-cos2 x
458
C) - 32cos8x
E) 8cos4x + 4sln4x
TÜ R E V VE U Y G U L A M A L A R I
9.
13.
f(x ) = cot — sinx
U
f(x ) = log3(x + 4 )
J
o ld u ğ u n a göre, f'(—2 ) a şa ğ ıd a kile rd e n h a n g isin e
e şittir?
o ldu ğun a göre, f
are' f’(—f )
nin değeri kaçtır?
B) - y l o g 3 '
A) - y
°) - T
/ö~
A)-2V3~tt
C)
B)
D) - y l o g 3 e
■log3 e
E)
D)
Logaritma fonksiyonu ve üstel fonksiyonun
türevi ile ilgili uygulamalar:
14.
f(x ) = ln(cosx)
o ldu ğun a göre,
10 .
e şittir?
f :R + -> R , f ( x ) = ------ oldu ğun a göre,
lnx
B) - ( i + tan2 x)
A) cotx
x-»e
d 2f(x)
ö— aşağıdakilerden ha ngisine
dx
x -e
D) sin x -co t x
C )-in (c o s x )
E) İn (sin x)
nin değeri kaçtır?
A) —2
B) —1
C )0
D) 1
E) 2
f(x ) = 2 x[sin(lnx) + cos(lnx)]
15 .
11‘
/
4 \3
f(x ) = ln (l + 3x4 )
fo n ksiyo n u n u n x = e " no ktasınd aki tü re v i kaçtır?
A )- 4
o ldu ğun a göre, f'( 1 ) kaçtır?
A) 9
12.
B) 6
C) 4
D) 3
B) - 2
C )0
D) 2
E) 4
E) 2
y = ln (s in 2x)
16.
o ldu ğun a göre,
A) 2tanx
dy
aşağıdakilerden ha n g is id ir?
B) 2cotx
D) 2cosex
f : R+ —> R+, f(x ) = x - ln x - x
oldu ğun a göre, f '( 1 ) kaçtır?
A )- 2
C) 2secx
E) 1+cot2x
459
B) —1
C )0
D) 1
E) 2
TÜ R E V VE U Y G U L A M A L A R I
17 .
2 1.
f'(x ) = log2 x
f(x ) =
=lnh r r )
y - f ( 2 x + 4)
oldu ğun a göre,
A) 1
18.
dy
B) 2
oldu ğun a göre, f'( 0) kaçtır?
in x = 2 İçin değeri kaçtır?
D) 6
C) 4
A) - 1
dy
19 .
B) - e
D )2
C) 1
E )3
2 2 . f(x ) = ex, g(x) = cosx olm a k üzere,
h(x)=(fog)(x)
in
x =1
için değeri
aşağıdakilerden ha n g is id ir?
A) - e2
B) 0
E ):
y = e x İn—
x
olduğuna göre,
+ ex + 3X • log3 1
C) 1
D) e
E)
oldu ğun a göre, h1
n
A) - 2
C )-e
B) - 1
' n değeri kaçtır?
D) 0
E) e
x
f(x ) = cos— + ln(cos x)
23.
y = x'
o ldu ğun a göre, f'(rc) kaçtır?
A) 1
o ldu ğun a göre, ü ! y . in x = - 1
dx 2
B)
0 -1
D )—
iç in değeri kaçtır?
E) —
A )-7 e
B )-4 e
C ) 6e
D) 7e
E) 10e
20 .
y = ex - 4x + 2x+3
24.
dv
o ldu ğun a göre, —
dx
A) In16
in x = 2 için değeri kaçtır?
B )4 + ln2
D) 32ln2
( sin x ^
f(x ) = ex
dx* \
C ) 4 - ln 2
ex
J
ile verile n f fo n k s iy o n u iç in f(« ) nin değeri kaçtır?
E) 8ln2
A )- 2
460
B) —1
C )0
D) 1
E) 2
TÜ R E V VE U Y G U L A M A L A R I
28.
y = (lnx)
L o g a r itm ik tü re v a lm a ile ilg ili u y g u la m a la r:
oldu ğun a göre,
25.
lnx
dy
aşağıdakilerden ha n g isid ir?
y = xv
o ldu ğun a göre,
dy
A) — lnx
' x
aşağıdakilerden ha n g is id ir?
B) — [ln ( ln x ) + l](ln x ) ln x
A)
1
^
xcosx -s in x - ln x + — cosx
X
)
C ) (x +
1) ( l n x ) ,nx
D) x ln(lnx) + 2
B) xcosx( - s in x -ln x + cosx)
E) lnx + x
C) xGOSX(- c o s x lnx + sinx)
= xy*-l
y=
29.
D) xGOSXf - s i n x + — lnx
o ld u ğ u n a gö re,
E) xsınx|- c o s x - ln x + -^-sin x
dy
a ş a ğ ıd a k ile rd e n h a n g is in e
e ş ittir?
A) ( x - 1 ) ( ln x - x )
B) ( x - 1 ) x x_1
C) (x - 1 )x 2 ( ln x - x )
D) xx_1^ ln x + - ^ - j
26.
E) ( x - 1 ) - x x_1 ( ln x - x )
f(x ) = (sinx)x+C0SX
oldu ğun a göre, f
n ‘n değeri aşağıdakilerden
30.
h a ngisidir?
A)
V F ti
D) 3n
o ld u ğ u n a göre, f'( 0)
V3"
B) 2îi
C)
f(x ) = ( l + ex )X
_ 2 —71
e şittir?
A) 1
D)
E) — *
a ş a ğ ıd a kile rd e n ha n g isin e
B) In2 + e
C) In2
1+e
E) 1+ In2
CEVAP ANAHTARI
1. B
27.
f(x ) = (2x 2 + 3 )x+1
2. D
3. C
4. A
5. D
6. D
7. B
8. C
9. C
10. c
11. A
12. B
13. E
14. B
15. A
olduğuna göre, f '( l) in değeri kaçtır?
16. C
17. D
18. B
19. E
20. D
A) In8 + 1
21. D
22. B
23. D
24. E
25. A
26. C
27. D
28. B
29. D
30. C
B) 10 In2 + 5
C)25ln4 + 40
D) 25ln5 + 40
E) 30ln4
461
TÜ R E V VE U Y G U L A M A L A R I
TEST - 2 ÇÖZÜMLERİ
1.
y = sin (rc -x ) ise
f(x ) = 4sin 2x
X->^-
^
x - ^
3
3
dv
—r ~ = y = 2 s in ( 7 i-x )- c o s (n -x )- (-1 )
dx
olduğundan
- ^ - = y/ = - s in 2 (7t - x )
dx
f'(x ) = 4 -5 sin4 2 x - cos 2 x ■2
- ^ - = -s in (2 7 i-2 x )
f'(x ) = 40 • sin4 2x • cos2x
,
sin—
•cos
3 )
' . 271 \4
(t ) -
•cos
9 r
40
r
16
f'l — I = ——
^ - { - s i n 2 x)
= sin 2 x olur.
1'
. 2J l
IfJ 1
dx
CEVAPA
2 ,
l
f(x )= 4 c o s 3 x - 3 s in 2 x
olur.
f'(x ) = 12cos2 x - ( - s in x ) - 6 s in x c o s x
CEVAP B
2.
f'(x ) = - 6 sin x cos x(2 cos x +1)
f(x ) = 4x +sin 3x
f'(x ) = - 3 s in 2 x (2 c o s x + 1) olur.
f'(x ) = 4 + 2sin3x • cos3x • 3
f'(x ) = 4 + 3sin6x
C EVAP D
4 + 3 -sin 6 -
ü r)
fe }
71
12
4 + 3sin —
2
4 + 3-1 = 7 olur.
f m —«
- 2 <;inl
ın ı —
^ - JLİ
3
CEVAP D
J
J
t)
fı ' m —
- iiuuaı
2 ro sl —
^ ■
2x
3
S 3
L
< f )I
7C 5
71
cos----------- sın—
3
3
3
6
1
1
)
3 Sm 3
8
I- 8
I 3
ı-
5 . x
1
_8
"♦t
o
II
o
0
OT
f'( x ) =
II
o
0
OT
f(x ) = 4 s in - ^ - + 5 • cos
3
3
2x
. X ^ 1
f'(x ) = 4cos
+ 5 - s ın — —
3 ) 3
H -
3
3.
f'(0 ) = c o s - ^
1
5
1
8 -5
2
3
2
6
f(0 ) = y
olur.
olur.
2
CEVAP C
CEVAP D
462
T Ü R E V VE U Y G U L A M A L A R I
7.
y=-
10 .
2 tanx
dy _ - 2 tanx(1 +tan 2 x ) 2 ta n x - 2(1 + tan2 x)(1 -ta n 2 x)
lim
= f'(e ) olduğundan
x->e
x- e
f(x ) =
in türevini alıp x = e yazalım.
4tan2 x
dx
dy
-4tan 2 x(1+tan2 x )~ 2 (1 -tan4 x)
dx
4 tan2 x
1 -ln x
f '( x ) = —
-x
—
dy _ - 2 tan2 x(1 + tan2 x) - { 1 - tan4 x)
dx
ln2x
2 tan2 x
. ln e - 1
f'( 0) =
dy .
7t . . . „ .
—r~ ın x = — için değen:
dx
4
-2-1 -2 —1—1
-4 -2
2-1
= - 3 olur.
1 -1
f'(e) = y
f'(e )^ 0 olur.
CEVAP B
CEVAP C
8.
—
= y " olduğundan verilen fonksiyonun ikinci türevini
dx 2
alalım.
y = cos 2 4x => y' = 2co s4x (-s ln 4 x ) -4
|
y ' = -4 s in 8 x
j*
11.
f(x ) = ln(1 + 3x 4)3
,
f(X)r-
3(1+ 3x 4)2 12x
1
y " = ^ c o s 8x -8
1
y " = -3 2 c o s 8 x olur.
f /(x) =
'---------
(1 + 3x 4)3
36x
1 + 3x^
CEVAP C
f'( 1 ) =
36
1+ 3
f'(1) = 9 olur.
9.
CEVAPA
(x) = cot| -^-s ln x
(x) = - [ i + cot2 ^ ~ -s in x J
n
n
2
6
— cos—
“ -Î
1 2 . y = ln(sin 2 x)
V3"
(fH
y =■
,
( j O __2 JL ^
{ 6)
’ 2 ’ 2
y '=
2 s ln x -c o s x
sin x
2 cosx
slnx
y'= 2 cotx olur.
(■
n olur.
CEVAP B
CEVAP C
463
T Ü R EV VE U Y G U L A M A L A R I
17. f'(x) = log2 x
13- f( x ) - lo g 3 (x 2 + 4 )
y = f(2 x + 4 )
f'(x) = —^ — log:
- ^ - = f'(2 x + 4 )-2 de x = 2 yazarsak
f '( - 2 ) = ^ ± - l o g 3 .
2 ■f '(2 • 2 + 4) = 2 ■f'( 8)
= 2 ■log2 8
f '( - 2 ) = —— -log3 e olur.
= 2 -3
CEVAP E
= 6 olur.
CEVAP D
14. f(x ) = ln(cosx)
^
= f"(x ) olduğundan
dx
_ //
18. y = e x İn—
.
f (x ) =
x
O ll I A
—
cosx
dy
dx
f'(x ) = - ta n x
f"(x ) = -( 1 + tan2 x) olur.
-x • ( —1 ^ -İn-----------. 1
1 e Tx
Vx )
x
x
dy
dx
C EVAP B
dy
dx
15. f(x)=2x[sin(lnx)+cos(lrıx)]
f'(x )= 2 ■[sin(lnx)+ cos(lnx)]
x = 1 yazalım.
= e(1 -In1 —1)
cos(lnx)-—— sin(lnx)—
x
x
= e (0 - 1)
f'(x) r- 2 sin(lnx)+ 2 cos(lnx)+ 2 cos(lnx) - 2 sin(lnx)
f'(e 7l ) = 2 sin7i + 2 cos 7i + 2 c o s n - 2 sinîi
= e ( - 1)
^Ine71 = 7ij
= - e olur.
C E VA P B
f'(en) = 0 - 2 - 2+0
f'(e!t) = ^
olur.
19.
C EVAP A
f(x ) = cos— + ln(cosx)
.
f (x) =
16. f(x) = x ln x - x
1 .x
-s in x
sın— + ---------2
2
cosx
f'(x ) = — ^-sin -£ - - tanx
2
f'(x ) = 1 lnx + - ^ - - x - 1
f'(rc) =
f'(x ) = lnx + 1 - 1
2
2
sin
2
tan 7t
f'(x ) = lnx
f'( 1 ) = ln 1
f'( 1 ) - 0 olur.
CEVAP E
CEVAP C
464
TÜ R E V VE U Y G U L A M A L A R I
20-
y = e x2 - 4 x +
23. y = x-
2 x+ 3
_dy
_dy_ = ex2 -4x .( 2 x _ 4 ) + 2x+3 ln 2 de
dx
dx
dy
x = 2 yazılırsa,
dx
-1) • X*
= e * ( 2x - x “ )
= e“ x(2 x - x 2 )+ (2 - 2 x)e-x
e4-8 • (4 - 4) + 22+3 •In2
dx
= e ^ l 0 + 25 ln 2
= - e“ x(x 2 - 2 x) + (2 - 2 x) • e~x
dx
= 0 + 32 In2
d2V___ _y O
— ^- = e (x - 4 x + 2 ) burada x = - 1 yazalım.
dx^
= 32ln2 olur.
CEVAP D
e1(1 + 4 + 2) = e -7
= 7e olur.
2 1.
CEVAP D
f(x ) = ln | —^ — |-ftex + 3 X log3 e
V. YT + 1 ) [■
24.
...
- 2x
— + ex + 3X • loge 3 • log3 1
f'(x ) =
(x 2 +1) + ex + 3x
2x
(X2 +1 f
X
ex )
e2x
c o s x - s in x
(loge 3-log3 e = 1)
d2 T sinx ^ _
dx2 l
f'(x ) =
d2 f sinx ^
d ( _sinx_>
sınx |_
l
cosx e ~ - e " sınx
dx
x +1
f'(x )
x
ex )
, 2X + e x + 3 x
d ( c o s x - s in x ^
dx[
ex
J
( - s in x - c o s x ) e x - e x (c o s x -s in x )
x +1
e2x
f'( 0 ) = 0 + e ° + e °
-C O SX-C O SX + ,ŞHTX
ex
f'( 0 ) = 1 + 1 = 2 olur.
- 2 cosx
CEVAP D
f(x ) =
22.
f(x ) = ex, g(x) = cosx
ö
^ - 2 cosx j
h(x) = (fog)(x)
f(x ) = - 2 cosx
f(îi) = —2 costc
h(x) = f(g(x))
f ( 7t) = —2(—1)
f(rc) = 2 olur.
h(x) = e9(x>=>h,(x) = eg(x)-g'(x)
CEVAP E
h(x) = ecosx => h'(x) = eC0SX(-s in x )
=>h'(x) = - s in x e C0SX
25.
=> h''(— 1 = - s in —
L 2 J
2
y = xC0SX in iki tarafının logaritmasını alalım.
lny = lnxC0SX
Iny -c o s x - ln x
"'(t ) - - '- "
y'
.
1
— = -s ın x -ln x + — cosx
y
x
y ' = y ^ -s in x • lnx + -^-co sxJ
1 olur.
' ( t ) -
y' = xcosx^-sin x-ln x + -^-co sxj olur.
CEVAP B
CEVAPA
465
TÜ REV VE U Y G U L A M A L A R I
26.
28.
f(x) = (sinx)x+cosx
y = (inx)lnx
Iny = ln x ln (ln x )
lnf(x) = ln(sinx)x+C0SX
lnf(x) = (x + cosx) ln(sinx)
f'(x )
. x . cosx .
x
— 1- r - - ( 1 -sın x)ln(sınx) + -----------(x+.cosx)
f(x )
sınx
— = — • ln(lnx) + — • lnx
y
x
lnx
f'(x ) = (sin x)x: cosx [(1 - sin x) • ln(sin x ) + cot x • (x + cos x)]
— = — ln (ln x)+ —
y
x
x
- ^ . = - l . [ l n ( l n X) + 1]
f 1 - sin ~ jIn s i n + c
o
t
y' = -^-[ln(lnx) + 1]-(ln x )lnx olur.
+ cos—- j
CEVAP B
{t ) -
0-0 + 0 -
lf)-°
olur.
C EVAP C
29.
y = xx 1
Iny = ( x - 1 )lnx
\j'
*|
— = 1 lnx + — ( x —1 )
y
X
y'
.
x -1
— = lnx + -------y' = xx_1^lnx + -^ — î - j olur.
CEVAP D
30. f(x) = (1 + ex )x
27. f(x ) = (2 x 2 + 3 )x+1
lnf(x) = xln (1 + ex ]
lnf(x) = (x + 1)ln(2x2 + 3)
^ ^ = 1-ln(2x 2 + 3 ) + f(x )
4x
ln(2x 2 + 3)+
f'(x) = 1 -ln (1 + ex ) + f(x)
(x + 1 )
f'(x ) = (1 + ex )x
4x(x +1)
1+ı
ln (1 + ex ) +
2x + 3 J
f'( 0) = (1 + e°)°
( ln 5 + l )
xeA
1 + ex
. 0-
i n ( i + e ° ) 1+ +^eu
V
f'(0) = 2 -(ln2 + 0)
f'(1) = 25 ln5 + 25 ~
f'(0) = 1-ln2=ln2 olur.
f'(1)= 25ln5 + 40 olur.
CEVAP D
CEVAP C
466
TÜ R E V VE U Y G U L A M A L A R I
ÇÖZÜMLÜ TEST - 3
f(x) = arctan(cosx)
Ters trigonom etrik fonksiyonların türevi ile ilgili
uygulamalar:
n,n de 9e rl kaçtır?
o ldu ğun a göre,
1.
f(x ) = arcsin |3 x 2 - ö j
A) y
o ld u ğ u n a gö re , f'(x ) a ş a ğ ıd a k ile rd e n h a n g is in e
B) y
C) 1
D) — —
'
4
E) ——
2
e şittir?
3x
B)
A)
Vöx 4 - 10 x 2 + 4
V3x 4 - 1 0 x + 12
6x
C)
6x
D)
yİ9xA 24
a/ - 9 x 4
+ 3 0 x2
24
E)
V l- 9 x 2
f(x ) = arcsin (tanx)
df
n
o ldu ğun a göre, — — in x = —
ax
o
iç in değeri kaçtır?
A)
C)
D)
2.
3s/6
E)
2-JZ
2 a/6"
-------< x < 0 olmak üzere,
2
5.
f(x ) = arccos(sinx)
oldu ğun a göre, f'( 1 ) kaçtır?
ise f'(x ) aşağıdakilerden ha n g isid ir?
A) - 1
B) secx
C) cosecx D) tanx
f(x ) = ln(arccotx)
E) 1
A)
467
3
n
B) —
2
iz
C) —
1
K
2
D) —
K
« i
TÜ R E V VE U Y G U L A M A L A R I
6.
f(x ) = arctan(lnx)
9.
— < x < n olm ak üzere,
o ldu ğun a göre, e2 f'(e ) nin değeri nedir?
y = arcsin(cosx)
B) e
A)
C)
D) 1
E )2
olduğuna göre,
A) cosex
dy
B) 1
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
C) secx
D) - 1
E) cotx
Kapalı fonksiyonların türevi ile ilgili
uygulamalar:
10 .
7.
2x 2 - y 2 + 4 = 0
y -a rc ta n ex
dy
oldu ğun a göre, —
1
a> t
8.
olduğuna göre,
2
3
B )t
dy
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
in x = In 2 için değeri kaçtır?
c )t
1
d ) -2
A) ~
*
3
2x
B) ~
C )x y
D) y
E) —
e> t
f(x ) = cot(arctanx)
11.
x3 + y 3 - 2 xy = 0
o ldu ğun a göre, f'(x ) aşağıdakilerden ha n g is id ir?
oldu ğun a göre,
2
A) - —
x
C)
B) “ "32"
D) x^+1
dy
in x = 1 iç in değeri kaçtır?
1
2
X*
A) - 1
E) x2
468
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
T Ü R E V VE U Y G U L A M A L A R I
15.
F(x,y) = 2x 3y - x 2 + y 3 -1 1 = 0
12.
o ld u ğ u n a g ö r e ,
A )- 5
B)
F '( 1 , 2 )
ile ta n ım la n a n y = f( x ) fo n k s iy o n u n u n x = 0
noktasındaki tü re v in in değeri kaçtır?
n in d e ğ e r i k a ç t ı r ?
C) 5
D )—
ex y + 3 x 2 y - y 3 = 0
A)
E) —7
C )0
B)
D)
E )t
Param etrik fonksiyonların türevi ile ilgili
uygulamalar:
16. y = f(x ) fonksiyonu,
13.
± x + ~Vyr = 2
x = t - 5t
ile ta n ım la n a n y = f( x ) fo n k s iy o n u n u n x = 1
no ktasınd aki tü re v in in değeri kaçtır?
A) - 4
B) - 3
C )-2
D) 1
i
y = 3t2 + 1
E) 2
ile veriliyor.
dy
B una göre, - j — in t = 2 iç in değeri kaçtır?
A) 12
B) 9
C) 4
D) - 13
E )- 1 4
17.
14.
y = 1 —t
x 3 = (y - x 2)2
fo n k s iy o n u n u n x = 1 noktasındaki tü re v in in değeri
aşağıdakilerden ha ngisi o la b ilir?
o ld u ğ u n a g ö re ,
dy
a ş a ğ ıd a k ile rd e n h a n g is in e
e şittir?
A)
B) - 3
C)
D) 2
E)
A )-t
469
B) —
C) t
D )T
E )t +
TÜ R E V VE U Y G U L A M A L A R I
18.
20 .
x = e' cost
x = ln (1 + t2 )
y = t2
y = e1 - sint
oldu ğun a göre,
in t = y
A )- 2
C )0
B )-1
oldu ğun a göre,
için değeri kaçtır?
D) 1
E) 2
A)
3
2 1.
19.
y = t3 + 1
1
1
C )y
D) 1
E) 2
x = acost
JS
dy
o ld u ğ u n a gö re,
B)
* y . nin t = 0 için değeri kaçtır?
dx2
y = bsint
I
a ş a ğ ıd a k ile rd e n h a n g is in e
**
e ş ittir?
A) 3t2 -cosect ec
B) O 2 -®0081
C) 3 i 2 s e c t-e °°st
D) St2 ^ 0081
d2y
n
olduğuna göre, — y - nin x = — için değeri nedir?
dx
2
A)
C)
B) 1
D)
E) 6te'c o s t
E)
C EVAP A N A H T A R I
1. D
2. E
3. A
4. E
5. B
6. C
7. B
8. C
9. D
10. E
11. A
12. B
13. C
14. C
15. E
16. D
17. B
18. B
19. A
20. D
21. E
470
TÜ R E V VE U Y G U L A M A L A R I
test
1.
g'(x)
f(x ) = arcsin g(x)= > f'(x) = -
- 3 çözüm ler!
tir.
f(x ) = arctang(x) => f'(x ) = —
—
1 + 9 (x )
V 1 “ 92 (x)
f(x ) = arctan(cosx)
Buna göre,
.
- s in x
f'(x ) =
1 + cos2 x
f(x ) = arcsln(3x 2 - 5 )
1-i)- 1 -5ln[ - f ]
1 *6x
f'(x ) =
+ cos'
^ / l - (3x - ö )2
6x
f'(x ) =
a /i- ( 9 x 4
t-f)
sın-
30x + 25 )
< -*)-
1 + cos2 —
6x
f'(x ) =
\ n - 9 x 4 + 3 0 x2 - 25
6x
f'(x ) =
*
olur.
V -9 x 4 + 30x2 - 24
CEVAP D
2
’t - i )
_
1+ —
+ 4
2
—
4
B K 4
CEVAPA
2.
2
4.
<x<0
f'(X ):
f(x ) = arccos(slnx)
f'( x ) = -
f(x ) = arcsin(tanx)
1 + tan2)<
V l - ta n 2 x
cosx
V l- s ln 2 x
f'( x ) = -
cosx
Vcos2 x
1+-
CQ3X
f'( x ) = -
f'(X) = -
|cosx|
4
cosx
*/3~
f' l 6 J " 3 '
■COSX
f . J L , M L o lu r .
f'(x ) = 1 olur.
CEVAP E
CEVAP E
471
TÜ R EV VE U Y G U L A M A L A R I
5.
8.
f(x ) = ln(a rccotx)
1
tany = x
f'(x ) = — l ± ü î _
arccotx
c o ty = —
x
a rc c o tl
a rc c o tl
olur.
1
-i)
f(x ) = c o ty = — in türevi alınırsa
J _ ±_
" 2 ‘ 71
f'( 1 ) =
f(x) = cot (arctan x)
arctanx = y dersek
f'(x ) = — =- bulunur.
x
olur.
n
CEVAP C
CEVAP B
6.
f(x ) = arctan (lnx)
9.
1
dy
dx
f '(X) = _ x
1 + ln x
f'(e ) =
y = arcsin (cos x)
dy
dx
1 + ln^
f'(e ) = -
U V
e 2 •f '( e ) = e 2 • — — = — e
2e
2
olur.
- s in x
V
1-c o
s
V sin2 x
dy
sinx
dx
| sinx |
dy
sinx
dx
sınx
dy
dx
x
-s in x
< x < n için sinx > o j
= - 1 olur.
C E VA P C
7.
CEVAP D
y = arctan ex
dy _
dx
10. F(x,y) = 0 ise F'(x,y) = ^ - = - ^ dx
ex
te x = ln 2 yazalım.
l + e2>
olduğundan.
Jn 2
1+ " , 2 ln 2
Fy
F(x, y) = 2x 2 - y 2 + 4 - 0
1+
ı
4x
F'(x,y) =
-2 y
1+ 4
2
olur.
F'(x.y) = -2x- olur.
y
= x olduğunu hatırlayalım.
CEVAPB
CEVAP E
472
T Ü R EV VE U Y G U L A M A L A R I
11.
x3 + y 3 - 2 xy = 0
14.
m
^ dy
F'x
F (x ,y ) = —— = — —
dx
Fy
x = 1 için 1 = (y —1)2
Iy -11 - 1
3x 2 - 2 y
dy
X4 - x
3y 2 - 2 x
dx
x 3 = ( y - x 2 )2
4x 3 - 3x 2 - 4yx
dy
dx
x = 1 için 13 + y 3 - 2 y = 0
y3 - 2 y + 1 = 0
y i = 2 . y2 = o
2 - 2 x 2y + y 2 = 0
- 2 x2 + 2 y
(1,2 ) noktasını alalım.
y = 1 olduğundan
4 -1 -3 -1 -4 -2 -1
-2 ■1 + 2 • 2
dv
—— te x = 1, y = 1 yazalım.
dx
3 - 1 -2 - 1
3 -2
, .
------------------- ------------= - 1 olur.
3 -1 -2 -1
3 -2
=—
olur.
2
CEVAP A
CEVAP C
+ 3 x 2y - y 3 = 0
15 .
F(x,y) = 2x 3y - x 2 + y 3 -1 1 = 0
1
s
1
F'(1,2) = - 6 2 1 - 2 1
V '
2-1 + 3 -4
x + 3x 2 - 3 y 2
x = 0 için y = 1 olduğundan bu değerleri yazalım.
e° - 1 + 6 - 0-1
î° .
o |
II
c\T
LL
F'(1,2) = - y
exy -y + 6xy
dy
dx
.
6yx 2 - 2 x
F (x ,y ) = — *=------- T
2x + 3y
0 + 3 -0 -3 -1
i
olur.
- — olur.
3
C EVAP B
CEVAP E
=
16 .
13 .
—
x
1
2=0
dy
dt
dt
dx
olduğundan
x = t 2 - 5t
dy
dx
y = 3t 2 + 1
(x = 1 için y = 1)
2
dy
(3 |2 + i) '
6t + 1
dx
(t 2 - 5 t ) '
2t —5
burada t = 2
-2 olur.
CEVAP C
6 -2 + 1
13
2 -2 -5
-1
yazılırsa
= -13 olur.
CEVAP D
473
TÜ R EV VE U Y G U L A M A L A R I
17. x=-~t2
20. x = ln(1 + t2)
2
y = t2
y = 1—t
2t
2t
dy .
dx
dy = / t _ O -* )*
dx
x't
^
t2j ,
= 2 t-
1+r
2t
= 1+ t"
1+t
dy'
d ( dy "ı_ d / _
Jzy _
dx2
J
dx l. dx
dt
dx
C E VA P B
yazılırsa
dt
M '
dx2
18.
[ln (1 + t2 ) ]'
x = et cost
d2y
1+t"
2t
2t
y = e* • sin t
:1 + t
1 + t"
dy
( e> s|n t)'
dx
^e* cos t) '
dy
e1 s in t + c o s t-e 1
dx
e1 c o s t - s in t e *
t = 0 yazılırsa 1 + 0 = 1 olur.
CEVAP D
dy _ sint + cos t
5
dx
I
l
c o s t- s in t
t=
yazılırsa
V.J
n
n
n
. n
2
2
e
sın— + cos —
2 ______ 2 _
21. x = acost
y = bsint
_dy_ = _bcost = . j _ c o tt
dx
-a s in t
a
cos------- sın—
_ 1+ 0
0-1
d y
d/
dx 2
dx
d/
dt
dx
[-(1+C°ı2t)1
-a s in t
dt
= —1 olur.
b(1 + cotz t)
CEVAP B
Sİnt
burada x = —
19.
b ^1 + cot'2 *
x = e~cosl
y = t3 + 1
dy =
dx
yazılırsa
• n
r2 - sın—
2
3t 2
b(1 + 0)
e“ cost-sint
a2 -1
- ^ - = 3t 2ecost cosect olur.
dx
olur.
CEVAP E
CEVAP A
474
TÜ R E V VE U Y G U L A M A L A R I
ÇÖZÜMLÜ TEST - 4
4.
Türevin geom etrik yorumu, teğ et ve normal
denklem leriyle ilgili uygulamalar:
y = x 2 - 3x
e ğ ris in in hangi noktasındaki teğeti,
y = - 5x + 3 d o ğrusu na paraleld ir?
1.
f(x ) = 4x 3 + ax2 - 3 x + 2
A) (- 1 ,3 )
fo n k s iy o n u n u n e ğ ris in in x = - 1 n o k ta s ın d a k i
te ğ e tin in eğim i - 3 o ldu ğun a göre, a kaçtır?
A) - 8
2.
B )-4
C) 6
D) 8
s- 5.
eğ risine, ap sisi x = 2 o
olafı
la n rnoktasından çizilen teğ et
x ekse ni ile 135° lik
göre, a kaçtır?
ik açı yaptığına
yapt
B )-4
C) - 2
D)
D) 1
(- 1 .4 )
C )(1 ,2)
E) (- 1 ,5 )
E) 10
y = axz + 15x + 12
A) -6
B) ( 1 . - 2 )
g
§>
P
y = x 2 - 2x + 3 ve y = ax 2 + bx + 1
e ğ rile rin in a p sisi aynı olan no ktalarında ki teğetleri
b irb irine paralel olduğuna göre, (a, b) aşağıdakilerden
ha ngisine e ş ittir?
E) 4
A) (1,2)
B) (2,1)
O H .D
D) (2,3)
E) (1 ,-2)
6.
3.
f(x) = -
f(x)=x3+mx+n
B ) - 12
0 -8
D) 10
x -1
fon ksiyo n u n u n eğrisine üzerindeki x = O noktasından
ç iz ile n te ğ e t, 4x + 5y = O d o ğ ru s u n a p a ra le l
o ldu ğun a göre, a kaçtır?
fo n k s iy o n u n u n eğ risi, ap s is i x = - 2 olan noktada
x eksenine teğ et oldu ğun a göre, n kaçtır?
A )-1 6
a x +1
E) 14
A ) - i
475
B >4-
C )|
D )-l
E )-l
TÜ R E V VE U Y G U L A M A L A R I
fo n k s iy o n u n e ğ risi x = - 1 a p s is li noktada y
do ğ ru su n a teğ et oldu ğun a göre, b kaçtır?
fo n k s iy o n u n u n g ra fiğ in in x ekse nine p a ralel olan
teğ etlerin in değm e noktalarının a p s is le ri top lam ı 10
o ldu ğun a göre, a kaçtır?
B )-2
A )- 5
f(x ) = -
8.
C) 3
y = x 3 + ax 2 - x + b
10 .
f(x ) = x + --------x -a
D) 5
B) 6
A) 9
D )- 2
C) 4
10
E )- 3
E) 6
(x -a r
2x - 3
g r a f iğ in in a p s is i x = 2 o la n
Q
oldu ğun a göre,
9
a n in a lab ileceği değerlerden b iri aşağıdakilerden
fo n k s iy o n u n u n
n o ktasınd aki te ğ e tin in e ğ im i
11.
h a ngisidir?
A )- 2
B) 0
C) 1
D) 2
y = 2 x - x2
e ğ risinin, 2x - y + 3 = 0 do ğrusu na d ik olan teğ etinin
değm e noktasının a p s is i kaçtır?
E) 3
A)
9.
B)
C)
D)
E )y
a > 0 olm a k üzere,
|x |
fo n k s iy o n u n u n x = a ve x = - a noktalarındaki
teğ etleri iç in aşağıdakilerden ha ngisi do ğru d u r?
12.
A) Birbirine diktir.
f(x ) = ax^ - 2x + 3
C) 30° lik açıyla kesişirler.
f o n k s iy o n u n u n e ğ r is in e , ü z e rin d e k i A (2 ,3 )
noktasından çizilen teğetin denklem i aşağıdakilerden
h a ngisidir?
D) x ekseni üzerinde sabit bir noktada kesişirler.
A) y = x - 1
B) Birbirine paraleldir.
E) y ekseni üzerinde sabit bir noktada kesişirler.
B) y = x
D) y = 2x - 3
476
1
C) y = 2x - 1
E) y = 2x + 3
TÜ R EV VE U Y G U L A M A L A R I
f(x ) = x 3 + 2 x 2
13.
4x - 3
e ğ ris in in A(1,k) no ktasınd aki n o rm alin in denklem i
aşağıdakilerden ha n g is id ir?
1
1
1
11
A) y = ~ ____ yA 4T.____
3
3
B) y =
D) y -
3 X ’ 3
E)
mx
15.
3
e ğ ris in in y = - 2 do ğrusu na teğ et olm ası iç in m nin
a la b ile c e ğ i d e ğ e rle rd e n b ir i a ş a ğ ıd a k ile rd e n
h a ngisidir?
+ 2
1
11
3
3
A ) - 12
C) - 8
B) - 10
D) 6
E) 10
------- X + -------
y = — 3~x + 4
y = ax 3 + ( a - 1 ) x 2 + a - 3
16.
e ğ ris in in ü z e rin d e k i x = - 2 n o k ta s ın d a k i te ğ e ti
x - 4 y = 0 d o ğrusu na d ik ise a kaçtır?
I
A) - 3
B )-2
C )-1
E) 2
D) 1
14.
I
d d o ğ ru s u y = f(x ) fo n k s iy o n u n a A(3,2) noktasında
teğettir.
17.
y = x2 - 3 x + 10
e ğ risin in y = 3 x - 4 doğrusuna en yakın noktasının
bu do ğruya uzaklığı kaç b irim d ir?
o ldu ğun a göre, h'(3) ün değeri kaçtır?
A) 4
B )-|
Q -f
D) ±
A)
'f-
B)
3/Û T
C)
E)
D) 8
477
E) 10
5/10
TÜ R E V VE U Y G U L A M A L A R I
18 . 2y = 1 + xy 3 e ğ ris in in A(1,1) noktasındaki te ğ e tin in
2 1 . D enklem i f{x) = sin (co s5x) o la n e ğ rin in x
e ğ im i kaçtır?
A) 3
B) 1
C )0
D )- 2
A)
4
t
1
B>-y
1
c>t
D)
E)
2x 2 + 3xy + y2 + x - 2y + 1 = 0
19.
e ğ ris in in A (-2 ,1 ) n o ktasınd aki n o rm a lin in denklem i
aşağıdakilerden h a n g is id ir?
A) 3x - 2y = 0
B) 3x - 2y - 8 = 0
C) 3x + 2y - 8 = 0
D )3 x -2 y + 8 = 0
22.
( x - 4 )2 + (y + 3 )2 = 2
ç e m b e rin in A (5, - 4) n o k ta s ın d a k i n o rm a lin in
x e kse nini ke stiğ i noktanın a p sisi kaçtır?
A )- 9
E) 2x —3y + 8 = 0
20.
10
no ktasınd aki n o rm a lin in e ğ im i kaçtır?
E) - 1
B) - 6
C) 2
D) 5
E) 9
y < 0 olm a k üzere,
x2 + y 2 = 9
y2 = 6x + 9 ve y 2 = p2 - 2 px
23.
ç e m b e rin in x = V3~ n o k ta s ın d a k i te ğ e tin in e ğ im i
kaçtır?
p a rabo lleri x = 0 noktasında d ik k e siştikle rin e göre,
p kaçtır?
A )- 4
A) ~ w
B) ~ w C) ~ w D) ^
E) ^
478
B) —3
C) 2
D) 3
E) 4
TÜ R E V VE U Y G U L A M A L A R I
24 . x 2 - y 2 = 5 h ip e rb o lü ile 4x 2 + 9y 2 = 72 elip sin in
4x2 - 5y 2 = 20
27.
kesim no ktalarında ki teğ etleri iç in aşağıdakilerden
ha ngisi do ğru d u r?
A) Birbirine paraleldir.
h ip e rbo lüne üzerindeki P(m,n) noktasından çizilen
teğet, y = x - 3 d o ğrusu na paralel o ldu ğun a göre,
m + n kaç o la b ilir?
B) Birbirine diktir.
A) - 4
B) - 3
C )1
D) 6
E) 9
C) 45° lik açıyla kesişirler.
D) 30° lik açıyla kesişirler.
E) x = - 6 doğrusu üzerinde kesişirler.
f(x ) =
25 .
x - ax + b
fo n k s iy o n u n u n g ö s te rd iğ i e ğ ri x = 2 n o k ta s ın d a
x eksenine te ğ e t oldu ğun a göre, a + b kaçtır?
A)- 8
. f(x) = mx2 - (3m + n) x - 7
İ 28‘
B )-2
C) 4
E) 8
D) 7
İ
1
fo n k s iy o n u n u n g r a fiğ in e ü z e rin d e k i A (1 ,2 )
noktasından çizilen teğet y = - x + 1 do ğrusu na dik
o ldu ğun a göre, m n kaçtır?
A )-5 6
B )-4 8
C) - 32
D )44
E) 56
C EVAP A N A H T A R I
26 . A (1 ,-7 ) no ktasınd an y = 2x 2 - 1 eğ risin e çizilen
te ğ etlerin değm e noktaları K ve L o ldu ğun a göre,
|KL| uzunluğu kaç b irim d ir?
A) 9
B)
D) 4J Î 7
10-J2
1.C
2. B
3. A
4. D
5. E
6. A
7. D
8. C
9. B
10. A
11. B
12. C
13. C
14. B
15. C
16. C
17. A
18. E
19. D
20. C
21. C
22. A
23. D
24. B
25. E
26. D
27. E
28. A
C) 14
E) 17
479
TÜ R E V VE U Y G U L A M A L A R I
TEST - 4 ÇÖZÜMLERİ
y = f(x) fonksiyonunun x = a apsisli noktasındaki teğetinin
eğimi m ise
y = x 2 - 3x
eğrisinin A (x0, y0) noktasındaki teğeti
y = -5 x+ 3 doğrusuna paralel ise teğetin eğimi - 5 tir.
m = f'(a ) dır. Buna göre,
y' = 2 x - 3
f(x ) = 4x 3 + ax 2 - 3x + 2
2Xq - 3 = -5
x0 = - 1
f'(x ) = 12 x2 + 2 a x - 3
yo = (—1)2 —3 •( - 1 )
f'(-1 ) = 3 olduğundan
y0 = 1 + 3
f'(—1) = 12*1 —2a •1 —3 = —3
y 0 = 4 olduğundan
A (-1,4) olur.
9 - 2a = -3
CEVAP D
2 a = 12
a = 6 olur.
Apsisi aynı olan noktanın apsisi Xq olsun.
C EVAP C
2.
y = x 2 - 2x + 3
y = ax 2 + bx +1
y = ax + 15x + 12
y ' = 2x - 2
y ' = 2 ax + b
y ' = 2 ax + 15
2 xq - 2 = 2 ax 0 + b polinom özdeşliği
2 a -2 + 15 = tan135°
kullanılırsa 2 = 2 a => a = 1
b=- 2
4a+15 = -1
(a,b) = ( 1 , - 2 ) olur.
4a = -1 6
I
a = - 4 olur.
C EVAP E
CEVAP B
6.
3.
f(x ) =
ax + 1
x-1
x = 0 için y = —
f(x)=x 3 + mx + n eğrisinin birteğetix ekseni olduğundan
x ekseninin eğimi,
tan 0° = 0 dır.
a
1
1
-1
f'(x ) =
(x - 1 )
f'(x ) = 3x 2 + m
= -1
A(0, -1)
-a -1
( k - 1)2
f y(0 ) g —8 1 = - a - 1
f'(- 2 ) = 3 •4 + m = 0
4x + 5y = 0 => y =
m = -1 2
x
5
f(x ) = x 3 - 12 x + n
f ( - 2 ) = 0 olduğundan
(—2)3 - 1 2 - ( - 2 ) + n = 0
-1 + -
- 8 + 24 + n = 0
a = —— olur.
5
n = -1 6 olur.
CEVAP A
CEVAPA
480
TÜ R E V VE U Y G U L A M A L A R I
9.
f(x ) = x + -
f(x ) =
x 2 - ax
a> 0
4
X3
f'(x ) =
( x - a )2
f'(x )
9
x = a için y = -----x
(2x - a)(x - a) - 1(x - ax + 4)
x^
m ı = y 'a = a 2
x 2 - 2 a x + a2 - 4
X3
x = - a için y = —- = - x
(x -a f
x eksenine paralel teğetlerin eğimi sıfır olduğundan
2
m2 = y (-a) = a
f(x ) = 0 => x 2 - 2ax + a2 - 4 = 0 olmalıdır. Bu denklemin
kökleri değme noktalarının apsislerini vereceğinden,
m 1 = m 2 = a 2 olduğundan bu noktalardaki teğetleri
kökleri toplamı yani
paraleldir.
CEVAP B
b
X1 + x2 = ——
10 .
a
y = x3 + ax2 - x + b
x = - 1 deki teğetinin eğimi
~2a
HA
x 1 + x 2 = ----— = 10
y' = 3x 2 + 2 a x - 1
2a = 10=>a = 5 olur.
y'(- D = 3 -1- 2a- ı
CEVAP D
y,(—1) - 2 - 2 a
y = 10 doğmsu x eksenine paralel olduğundan eğimi sıfırdır.
8.
f(x ) =
f(x ) =
f'(x ) =
f'(x )= -
( x - a )2
Buna göre,
x2 - 2 x - 3
2 - 2a = 0
x 2 - 2 ax + a 2
a =1
x2 - 2 x - 3
eğri ile
1 - 2a
1 a
- 2a
a l
1
1 -3
-2
-3
-2
y
= 1 0 doğrusunun kesim noktası ( - 1 , 1 0 )
olduğundan
( - 1)3 + a • ( - 1)2 - ( - 1 ) + b = 10
-1+1-1+1+b=10
(x 2 - 2 x - 3 )2
-2 + 2a )x2 + (-6 - 2 a2 )x + (6a + 2 a2)
(x 2 - 2 x - 3 )2
b = 9 olur.
CEVAPA
11. Bu değme noktasının apsisi Xq olsun.
y = 2 x -x 2
2 x -y + 3 = 0
/ = 2 - 2x
(-2 + 2a)4 + (-6 - 2a2 )2 + 6a + 2a2
(4 - 4 - 3 )2
m2 = 2
m1 = y 'x0 ' 2 " 2X°
-2 a 2 + 14a - 2 0 = -8
m! -m 2 = - 1 ise doğrular dik olacağından
2a2 - 1 4 a + 12 = 0
(2 - 2 x o ) 2 = - 1
a2 - 7a + 6 = 0
4 -4Xq = -1
a1 =1,
5 = 4xn
a2 = 6
seçeneklerde 1 verildiğinden
x0 - — olur.
4
CEVAP C
CEVAP B
481
TÜ R E V VE U Y G U L A M A L A R I
12. f(x ) = a x 2 - 2 x + 3
15 .
w=
f(2 ) = 3
4a-4 + 3 = 3
eğrisi y = - 2 doğrusuna teğetse, teğet olduğu
mx
x2 + 4
noktada türevi sıfırdır, (y = - 2 nin eğimi sıfırdır.)
4a = 4 => a = 1
f'(x ) = 2 x - 2
y =
f'( 2 ) = 2 • 2 - 2 = 2
m = f '( 2 ) = 2
y -y 1=
m -(x 2 + 4 ) - 2 x - m x
(x2 + 4 )2
, _ mx2 + 4 m -2 m x 2
m (x
X-,)
(x 2 + 4 )2
y - 3 = 2 (x -2 )
y = 2 x - 1 olur.
-m x 2 + 4m
,
(x 2 + 4 )2
C EVAP C
y' = 0 => -m x 2 +4m = 0
13. f(x ) = x3 + 2 x2 - 4x - 3
f( 1 ) = k
=> -m (x 2 - 4 ) = 0
1 + 2 - 4 - 3 = k = > k = -4
x2 - 4 = 0
A(1,-4)
Xt = - 2 , x2 = 2
f'(x ) = 3x 2 + 4 x - 4
A (-2 ,-2 ), B(2,-2) noktalarında teğet olacağı için,
mt = f'(1) = 3 + 4 - 4
o
mt = 3
m (-2 )
-16 = - 2 m
4+4
mn = — — olur.
m! = 8
y + 4 = ~ ( x - i)
y=
1
3
11
x
3
-2 =
4+4
=> -1 6 = 2m
.
olur.
=> m2 = -8
-8 seçeneklere yazıldığı için
CEVAP C
CEVAP C
14. Grafiğe göre,
f(3) = 2
f'(3 ) = f
nin x = 3 n o k ta s ın d a k i te ğ e tin in y an i
d doğrusunun eğimi:
f'(3 ) = m = —
—
| - 3 1+3
3+3
3
h(x) = - ^ ^ - in türevini alalım.
16. y = ax 3 + (a - 1 )x2 + a -- 3
h,(x )= f ( x ) . x - 1 .f(x )
h'(3) =
y ' = 3ax2 + 2(a - 1)x
y '(- 2 ) = mt = 3 a -(-2 ) 2 + 2 (a -1 )(-2 )
3 f '( 3 ) - f ( 3 )
m( = 1 2 a -4 a + 4 = ^ t
3 -z--2
mt = 8a = -8
h'(3) =
a = - 1 olur.
h'(3) = .
olur.
CEVAP C
CEVAP B
482
TÜ R E V VE U Y G U L A M A L A R I
17.
19.
2x 2 + 3xy + y 2 + x - 2 y + 1 = 0
F'(x,y) = - - ^ Fv
,
4x + 3y + 1 .
F (x ,y ) = --------------------de x = -2 ,
3x + 2 y - 2
F'(-2.1) =
y = 1 yazalım.
-8 + 3 + 1
-6 +2 - 2
-4
F (-2,1) = -----—
-6
Eğrinin y = 3x - 4 doğrusuna en yakın noktası A(x0, y0)
^ D
noktası olsun.
- _ § . » m ı- 4
A noktası, eğrinin y = 3x - 4 doğrusuna paralel teğetinin
değme noktasıdır.
Buna göre, normalin denklem i:
y = x2 - 3 x + 10
y - y ı = m n ( x - x 1)
y' = 2 x ~ 3
y'x0 =
y - 1 = y ( x + 2)
-3 = 3
2 x0 = 6
2 y - 2 = 3x + 6
x0 = 3, y 0 = 32 - 3 ■3 +10
3 x - 2 y + 8 = 0 olur.
CEVAP D
y 0 = 10
A(3,10) noktasının 3x - y - 4 = 0 doğrusuna
uzaklığı:
t-
|3 -3 -1 0 -4 |
\]32 + ( - 1)2
e=
|-5 |
5
V îö "
VTÖ"
T îö "
20 . y < 0
y 2 = 9 => x = \/3~, y-ı = —n/ö” ,
olur.
x 2 + y 2 -9 = 0
C EVAPA
18.
2 y = 1 + xy =>xy - 2 y - 1 = 0
v,
\
F' x
F *x- y > = - ^ r
F'(x,y):
F'(1,1)-----
— ^ ------ burada x = 1, y = —1 yazılırsa
3xy - 2
3 -2
dy
dx
F'x
F'y
dy
dx
2x
dy
dx
x
dy
dx
J3
-J 6
2y
y
dy _
1
dx - -JT
F'(1.1) = -1=> m = -1 olur.
olur.
CEVAP C
CEVAP E
483
TÜ R EV VE U Y G U L A M A L A R I
2 1 , f(x ) = sin(cos5x)
23.
noktasındaki teğetleri birbirine dikse yani,
f '(x ) = - 5 sin 5x • cos(cos 5 x )
fe )-
f ,(x 0) g ,(x 0) = —1 ise
5n
-5 • sin
•cos cosIc T
eğriler dik kesişiyor denir. Buna göre,
-5 sin— cos cos—
"(■*)-
y = f(x), y = g(x)
eğrileri x 0noktasında kesişen iki eğri olsun. Bu eğrilerin x0
f'(x ) = cos(cos5x) (- sin5x)-5
-5 • 1• cosO0
T = 6x + 9
y 2 = p2 - 2 px
6x - y 2 + 9 - 0
dy _
6
dx
2y
2 px + y
3
m ,-T
-5-1-1
p2 = o
2p
2y
dy ^
dx
P
m ı = -----y
mr m2 = - 1 => m 1 • m2 = —
3p
m t = -5
(+ )-
-1
=1
y
m n -(-5 ) = -1
1
x = 0 için Y
6 -0 + 9
y 2 = 9 olduğundan y 2
olur.
yazılırsa,
CEVAP C
=1 => p = 3 olur.
CEVAP D
24.
x2 - y 2
mı
4x + 9y = 72
2x
- 2y
dy _
dx
dy _
dx
dy
dx
m2 =
22. (x - 4 )2 + (y + 3 )2 = 2
F (x ,y ) = —
r-H
K
F (x ,y ) =
F'(x,y) = -
9/ x - y
2 (X -4 )
2(y + 3)
dy
4x
dx
9y
= 5 /9
+ 4x 2 + 9y 2
X- 4 .
r - te
y+3
8x
18y
72
13x = 11 7
x = 5, y = -4 yazalım.
x2 = 9, y 2 = 4
5 -4
1 => m , = 1
-4 + 3
mı ■m2 = —
(-S-)
normalin de nklem i:
y + 4 = -1 (x + 5)
/
y = -x -9
y = 0 için x = - 9
^
T T
olur.
o ld u ğ u n d a n k e s im n o k t a s ın d a k i te ğ e tle r i b ir b ir in e d ik tir.
CEVAPA
CEVAP B
484
TÜ R E V VE U Y G U L A M A L A R !
x -a x + b
25. f(x ) =
f'(x ) =
(2 x - a)x - 1 • (x - ax + b)
legeıın egımı: -------= ı
5n
f'(x ) =
4m = 5n olmalıdır,
f'( 2 ) = 0 olduğundan
i ^ - = 0 => b = 4
4
f( 2 ) = 0 olduğundan
4 - 2a + 4
hiperbolde x = m , y = n = - ^ - yazı
4 m 2 -5 - l ^ = 2 0
25
g
2
2a = 8
=>
4m2 =100
a=4
a + b = 8 olmalıdır.
m2 = 25
rrij = -5, m2 = 5
C EVAP E
n—
4 (-5)
g - = * n , = -4
n=
26.
=> ri2 = 4
m2 + n2 = 5 + 4 = 9 verildiği iç
CEVAP E
S
S
IS
28. f(x ) = mx 2 -( 3 m + n)x - 7
f( 1 ) = 2 olduğundan
Değme noktasının apsisi x0 olsun.
m -1 -(3 m + n ) - 1 - 7 = 2
K ^Xq, 2 xq - l j
m -3 m -n -7 = 2
noktasındaki teğetin eğimi,
2m + n = -9
0
y' = 4x
m = y' = 4x 0
f'( 1 ) = 1 olduğundan
Teğetin denklemi,
f /(x) = 2 m x -(3 m + n)
y - ( 2 x § - l j - 4 x 0( x - x 0)
f'(1) = 2m -1 - 3m - n = 1
m+ n = -1
A (1 ,-7 ) noktası teğet üzerinde olduğundan denklemi
sağlar yani
0 ve [2] ortak çözülürse
2m + n = - 9
■7 - 2xq +1 = 4x 0( 1 - x 0 )
+ m + n = ±1
- 6 - 2xg = 4 x 0 - 4 x g
Xq - 2
x0
[2]
- 3 = 0 olur.
m = -8
x0 =
xo = 3
K ( - 1 , 1), L (3 ,17)
n= 7
m • n = -8 • 7 = -5 6 olur.
|KL| = 4 V Î7 " olur.
CEVAP A
CEVAP D
485
T Ü R E V VE U Y G U L A M A L A R I
ÇOZUİVSLU TEST - 5
fo n k s iy o n u ( 1 ,2 ) aralığında azalan o ldu ğun a göre,
a kaçtır?
A )-1 2
f(x ) = x 4 - 4x 3
1-
f(x) = 2x 3 + ax 2 + 12x - 3
4.
Artan ve azalan fonksiyonlarla ilgili
uygulamalar:
C) - 6
B) - 9
D) 4
E) 9
fo n k s iy o n u n u n a z a la n o ld u ğ u en g e n iş a ra lık
aşağıdakilerden ha n g is id ir?
A) (-oo,0)
B) (0,3)
D)
2.
(3.oo)
C) (-3 ,0 )
E ) (-oo.O )u(0,3)
f(x ) = - x 2 + p x - 3
fo n k s iy o n u (2 ,oo) aralığında daim a azalan oldu ğun a
göre, p kaçtır?
A )- 2
B) - 1
C )0
D) 4
f(x) = - x 3 + mx 2 - 3x + 6
5.
fo n k s iy o n u n u n daim a azalan olm ası iç in m yerine
yazılabilecek en küçü k tam sayı kaçtır?
E) 6
A)
6.
G ra fiği verile n f(x) fo n k s iy o n u için aşağıdakilerden
h a ngisi ya n lış tır?
-4
B) —3
C )-2
D) 3
E)4
f(x)=x 3 + x2 + ax + 11
fo n k s iy o n u n u n daim a artan olm ası için a aşağıdaki
aralıkların ha ngisind e bu lunm alıdır?
A ) x < - 3 için f(x) azalandır.
B) - 2 < x < 1 için f(x) artandır.
B)
C) 2 < x < 3 için f(x) = 2 sabittir.
(- « .3 )
D) 3 < x < 4 için f(x) azalandır.
E) - 3 < x < - 2 için f (x) artandır.
e > <3.“ )
486
C )(-3 .y ]
TÜ R E V VE U Y G U L A M A L A R I
7. f(x) fonksiyonu(a,b) aralığındapozitifolaraktanımlı
ve azalan bir fonksiyon olduğuna göre,
aşağıdakilerdenhangisi aynı aralıktaartandır?
1
A )~ lw
10 .
Vx e [a,b] için f'(x ) > 0
o ld u ğ u n a g ö re , V x e [a ,b ] iç in a ş a ğ ıd a k ile rd e n
9
B) f(x ) + 3
0 < a f(a)
D> M
8.
*
E>
D)
fö<y+T
B) f(x) > 0
f(x) > f(b)
C) f(x) < 0
E) f(x) = f(b)
f(x ) = - x 3 + 2x 2 - (m + 1)x - 3
fo n k s iy o n u d a im a aza la n o ld u ğ u n a göre, m n in
b u lu n d u ğ u e n g e n iş a r a lık a ş a ğ ıd a k ile rd e n
h a ngisidir?
1
A) y < m
ve g bir A aralığında türevli fonksiyondur.
Bu fo n k s iy o n la r iç in aşağıdaki bağıntılardan hangisi
1
B) — <m
D )~ < m
11.
C ) m <0
sağlanırsa f(x ) g(x) çarpım ı A aralığında artan olur?
|
A) f(x) > g(x)
|
B) f(x )-g (x )> f'(x )-g (x )
E )~ < m
S
^
C) f'(x ) g ( x ) > - f( x ) g'(x)
I
D) f(x ) g '(x ) > f'(x ) g(x)
9.
E) f(x ) -g ( x )> -f'(x ) -g '(x )
12.
y = f(x) fonksiyonunun (a,b) açık aralığındaki grafiği
yukarıda verilmiştir.
f :R
R, f(x ) = x 3 + 6x 2 +m x
fonksiyonu veriliyor.
A şağıdakilerden hangisi (a, b) aralığında azalandır?
f(x), (-oo,co) aralığında artan o ldu ğun a göre,
A> - f2(x)
B>
c) n
m için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
r
A) m = - 3
D) f2(x)
E) f3(x)
B) m = - 1
D) m < 6
487
C) m < - 2
E) m > 12
TÜ R EV VE U Y G U L A M A L A R I
13.
f(x) = arcsin (1 +x)
16.
fo n ksiyonu aşağıdaki aralıların hangisinde artandır?
A ) (O, 2 )
B) (-3 , - 2 )
D)
(-2 ,0 )
C ) ( - c o ,- 2 )
E ) ( 0 , oo)
Buna göre, aşağıdakilerden ha ngisi do ğru d u r?
A)
f'(1) > f'(5 )
D)
B) f'(0 ) > f'( - 2 )
f'( 4 ) > f'( - 3 )
C) f'(- 2 ) < f'(3 )
E) f'( - 3 ) > f'(2 )
17.
f(x) = xlnx
fo n ksiyo n u aşağıdaki aralıların ha ngisind e artandır?
14.
a
G
f(x ) = x 4 + 4ax 3
fo n k s iy o n u (2 ,oo) aralığında daim a artan oldu ğun a
göre, a kaçtır?
A )—
15.
B) — 1
A) (0,1)
B)
İ
D) (0,0)
.e
C)
■»-T
d (« v )
i. - )
E)- T
f(x) = 2x 3 - 9x2 + 12x - 3
fo n k s iy o n u iç in aşağıdakilerden ha ngisi y a n lış tır?
18.
A) ( -oo, 1) aralığında artan
f(x ) = 4ex2- 6x
B) (1,2) aralığında azalan
fon ksiyonu aşağıdaki aralıkların hangisinde artandır?
C) (2,oo) aralığında artan
A)
(3,oo)
B ) (-o o ,3 )
D) ( - 00,6)
D) x = 2 için sabit
E) x = - 1 için sabit
488
C ) (0 ,3 )
E) (0,6)
TÜ R E V VE U Y G U L A M A L A R I
19.
2 1.
f / \ 2x3
5(2 e
f(x ) = ^ —
r +5
fo n k s iy o n u a ş a ğ ıd a k i a r a lık la r ın h a n g is in d e
azalandır?
A)
(iM
f(x) = tanx + cosx
fo n k s iy o n u n u n
(0,2 ti)
ha ngisi do ğru d u r?
aralığın daki d e ğ işim i iç in
A) 0 < x < - ^ - aralığında azalan
c>(iH
B) x = -j - için sabit
°)(°4)
e>(-M )
3 71
C ) n < x < ——
aralığında azalan
3 tc . .
D) x = ~ ^ ~ !Ç|n sabit
E) (0,27t) aralığında artan
20.
f(x ) = sinx + >/3^cosx
fo n k s iy o n u n u n (0,2 tc) a ra lığ ın d a k i d e ğ iş im i iç in
ha ngisi y a n lış tır?
A )0 < x < -^ -
aralığında artan
6
B) - £ - < x < - Ş b
aralığında azalan
b
C) - Ş - < x < 2 ti
6
C E VA P A N A H T A R I
aralığında artan
D) x = - J - için f(x ) = 2 sabit
b
1. E
2. D
3. E
4. B
5. C
6. D
7. E
8. A
9. D
10. A
11. c
12. E
13. E
14. C
15. E
16. D
17. B
18. A
19. E
20. E
21. E
5n
E) x = —— İçin sabit
b
489
TÜ R EV VE U Y G U L A M A L A R I
TEST - 5 ÇÖZÜMLERİ
1.
3.
f(x) fonksiyonunun birinci türevinin - olduğu aralıkta
fonksiyon azalan, + olduğu aralıkta fonksiyon artan sıfır
A, B, C, D seçenekleri doğru,
- 3 < x < - 2 aralığında x büyüdükçe karşılık gelen
olduğu noktalarda fonksiyon sabittir.
y küçüldüğü için f(x) azalandır. Artandır İddiası yanlıştır.
Bunu tablo ile gösterelim:
CEVAP E
xv x2 f'(x ) = 0 denkleminin kökleri ise
X
1
—oo
ı
+
f ’(x)
*2
4.
oo
-
*
azalan
^artan^
f(x), (1,2 ) aralığında azalan olduğu için x n = 1, x 2 = 2
birinci türevin kökleri olmalıdır.
f(x ) = 2x 3 + ax 2 + 1 2 x - 3
f'(x ) = 6x 2 + 2 ax + 12
f(x)
artan
f'( 1) = 0
f(x ) = x4 - 4x 3
6 + 2 a + 12 = 0
f'(x ) = 4x 3 -1 2 x 2 = 0
2 a = -1 8
4 x2 ( x - 3 ) = 0
a = -9
x 1 = x 2 = 0 çift kök
f'(2 ) = 0 dan a = - 9 bulunur.
. x3 = 3
x
-o o
f(x)
)
-
f'(x)
-
(ı
x
CQ
C
I
-
+
f'(x)
+
f(x)
azalan
azalan
00
oo
(
artan
artan
-
*
azalan
artan
CEVAP B
(-c o ,0 )u (0,3) aralığında f(x) azalan
x = 0 için f(x) sabittir.
5.
C EVAP E
2.
f(x), (2 ,oo)
f(x) = - x 3 + m x 2 - 3x + 6 fonksiyonunun daima azalan
olması için,
f'( x )< 0 olmalıdır.
aralığında azalan ise x = 2 birinci türevin
köküdür.
Bunun için de f'(x ) = 0 denkleminin kökleri olmamalı yani
A < 0 olmalıdır.
f(x ) = - x 2 + p x - 3
f'(x ) = -3 x 2 + 2mx - 3 = 0
f'(x ) = - 2 x + p
f'( 2 ) = - 2 • 2 + p = 0
a=(t
p = 4 olur.
) ' ac<0
A = m2 - (—3)(—3) < 0
f" ( 2 ) = - 2 < 0 olduğundan
A = m2 - 9 < 0
x = 2 yerel maksimum noktasının apsisidir.
m^ = —3, m2 —3
X
f'(x)
-00
m
co
+
()
A
-
- co
-3
+
i
00
3
I
+
- 3 < m < 3 olduğundan m yerine yazılabilecek en küçük
f(x)
artan
tamsayı - 2 olur.
azalan
CEVAP C
CEVAP D
490
TÜ R E V VE U Y G U L A M A L A R I
6.
f(x) = -X 3 + 2x 2 - (m + 1)x - 3 fonksiyonu
f(x ) = x 3 + x 2 + ax + 11 fonksiyonu
f'(x) < 0 ise daima azalandır.
f'(x ) > 0 ise daima artandır.
f'(x) = -3 x 2 + 4 x - m - 1 < 0 olması için
f'(x ) = 3x 2 + 2x + a > 0 olması için
A <0 olmalıdır.
A <0 olmalıdır.
s2
■di
A=(y) _ac<0
-ac <0
A = 22 - (-3 )(-m -1 ) < 0
A = 12 - 3 a < 0
4 -3 m -3 < 0
1 < 3a
1< 3 m
— < a veya
3
— <m olur.
3
C EVAPA
a e f — , oo| olur.
I 3
J
CEVAP D
9.
Seçeneklerdeki fonksiyonların tek tek türevleri alınıp
işaretlerine bakılırsa sadece D şıkkındaki
f 2 (x)
2 f(x )f'(x ) = 2 .( - ) .( + ) = - < 0
türevinin - olduğu görülür. O halde f 2(x) fonksiyonu
azalandır.
CEVAP D
f'(x )
A) f (x)
[f( x )f
azalan
"
B) f(x ) + 3 - » f'( x ) = - azalan
C) [f( x )]2 - > 2 f( x ) f'( x ) = 2- (+ )(-) = - azalan
10.
f'(x ) > 0 verildiğinden f(x) artandır. Yani a < x 3 [f(x )]2 - f'( x )= 3 ■(+ )(-)= - azalan
CEVAPA
-f(x)
f( x )+ 1
E)
- f'( x ) .[f( x ) + 11 - f '( x ) [ - f ( x ) ]
[(f(x )+ f
- f '(X) •f (X) - f f(x) + f (X) •f(x )
11.
[ f( x ) + 1]2
-rw
[f(x ) + l f
■■
h(x) = f(x) g(x) çarpım ı b ir A a ralığın da artan ise
h'(x) > 0 olmalıdır. h(x) in türevi alınırsa,
^ z I = j L = + >0
+
+
h'(x) = f'(x ) • g (x)+ g'(x) • f(x ) > 0
f,( x ) g ( x ) > - f ( x ) g '( x )
olduğundan bu fonksiyon artandır.
CEVAP E
olur.
CEVAP C
491
TÜ R E V VE U Y G U L A M A L A R I
16.
1 2 - f(x ) = x3 + 6x 2 + mx
f ( x ) = arcsin (1 + x )
f '( x ) =
f'(x ) = 3x 2 + 12x + m > 0
n/i - (1 + x )2
A < 0
1
f '( x ) :
a=(t
) "ac<0
62 - 3 •m < 0
V -x 2 -2 x
3 6 -3 m < 0
> 0 ^ -> -X 2 - 2 x > 0 olmalıdır.
x 2 + 2 x < 0 =>Xı = - 2 . x 2 =0
12 < m olur.
A ) f'(1 )> f'(5 ) yanlış
co
İÜ
f'(x)
-< +
B) f'( 0 ) > f'( - 2 ) yanlış
—2
— co
X
CEVAP E
13 .
>0 için
V -x 2 - 2 x
f ( x ) ar tan olacağından
İÜ
+
f(x)
artan
t' yyyyyyb
0<+
t' yyyyyfo
türev fonksiyonu sadece ( - 2 , 0) aralığında tanımlı ve
pozitif olduğu için f(x) bu aralıkta artandır.
C) f'(- 2 ) < f'(3 ) yanlış
+< D) f'( 4 ) > f'( - 3 ) yanlış
0
=
CEVAP D
0
17.
E) f '( - 3 ) > f '( 2 ) doğru
f'(x) = lnx + 1< 0
0> -
f'(x) = 0 =>lnx + 1 = 0
CEVAP E
14.
f(x) = x ln x
=> lnx = - 1
f(x ) = x4 + 4a x 3
f'(x ) = 4x 3 +12ax 2 > 0
X
f'( 2 ) = 0 olmalıdır.
4 -2 3 + 1 2 -a -2 2 = 0
32 + 48a = 0
a=
0
00
e
-
f'(x)
ıı
+
(t -“) aralığında artandır.
f(x)
2
3
.
olur.
fi4 1 = - 4
C EVAP C
CEVAP B
15. f(x ) = 2x3 - 9x 2 + 1 2x - 3
18.
f'(x ) = 6x 2 - 1 8x + 12 = 0
f'(x ) = 4 - e x2_6x ( 2 x - 6)
x 2 - 3x + 2 = 0
f'(x ) = 8 ( x -3 )e x2 6x >0 olmalıdır.
X-| = 1, X2 = 2
X
f(x ) = 4ex ~6x
f'(x ) = x - 3 = 0
00
—00
x=3
-
m
+
x
f(x )
f(x)
sa bit
sa Dİt
0
3
-
co
+
f(x)
Tablo incelenirse A, B, C, D şıklarının doğru E şıkkının
yanlış olduğu görülür.
CEVAP E
f(x), (3,oo) aralığında artandır.
CEVAPA
TÜ R EV VE U Y G U L A M A L A R I
19.
20. f(x)=tanx+cosx
f'(x)=-1+tan2x-sinx
f(x ) = sinx + >/3~cosx
f'(x ) = cos x - >/Fsin x = 0
tanx =
1
_
=»
JZ
jı
1
7n
f'(x)=1- sinx+tan2x>0
= — , Xo = -----6
2
6
olduğundan f(x), (0,2n) olarak verilen değişim aralığında
X
TC
0
f'(x)
6
7n
6
artandır.
2n
+
*
f(x) in verilen aralıkta azalan olduğu alt aralık veya sabit
olduğu nokta yoktur.
f(x)
CEVAP E
a/3
İ t )=2 İ t ) - 2
Tablo incelenirse A, B, C, D şıkları doğru
x1=— vex2=-Ş- türevinkökleri olduğundan
6
b
bu değerler için sabittir. x = - ^ - da sabit değildir.
6
CEVAP E
493
TÜ R EV VE U Y G U L A M A L A R I
ÇÖZÜMLÜ TEST - 0
Ekstremum (m akslm um -m inim um ) noktalar ve
ekstrem um değerlerle ilgili uygulamalar:
f(x ) = — x 3 - 2 x 2 + 3 x + 2
3
fo n ksiyo n u n u n
f(x ) = — x3 —2 x 2 + 3 x
3
1.
fo n k s iy o n u n u n
y e re l
m a k s im u m
aşağıdakilerden h a ngisidir?
A) ( 3 , - 1 )
B) (3 . 0)
D)
(1 ,3 )
[ 1 ,5 ]
aralığında alabileceği
en küçük değer kaçtır?
A) - 2
n o k ta s ı
B )-1
C )1
D) 2
E) 3
C,H )
E)
(•d )
f(x ) = sinx + 2 cosx
f(x ) = x + ax + b
fo n ksiyo n u n u n
fon ksiyonun un yerel m inim um noktası (1,3) olduğuna
göre, b kaçtır?
A )- 2
B )-1
C )1
D) 3
aralığında alabileceği
en bü vü k değer kaçtır?
E) 4
A) 2
B) 72 "
C) 3
D) 73~
E) 75"
f(x ) = x 3 - a x 2 + (b + 2 )x + c
fo ksiyo n u n u n x = 2 noktasında yerel m inim um u
varsa b aşağıdakilerden ha ngisi ola b ilir?
A) 9
B)10
C) 11
D) 12
E) 13
Grafikte f(x) fonksiyonu ve x = a noktasındaki teğetleri
çizilmiştir.
B una göre, aşağıdakilerden kaç tanesi d o ğ ru d u r?
I. f fonksiyonunun maksimum noktası (2,3)
II. f'(2 ) = 0
f(x ) = x 3 + m x 2 +4m x + 12
f ( 2 +) =
IV.
fo n k s iy o n u n u n y e re l e k s tre m u m n o k ta la rın ın
olm am ası için m nin değer alabileceği en geniş aralık
aşağıdakilerden h a ngisidir?
y
f'(1 )-f'(3 )< 0
A) (-2 ,1 0 )
V f'(2“ ) =
A) 1
1
D) (12,18)
2
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
494
C ) H , 6)
B) (0,12)
E) (0,14)
TÜ R EV VE U Y G U L A M A L A R I
8.
Çevresi 28 m olan b ir dikdörtgenin alanının en büyük
değeri kaçtır?
A) 38
B) 42
C) 45
D) 49
12 .
f(x) = x2 + 6x
fo n k s iy o n u n g ra fiğ i üzerinde ko o rd in a tla rı çarpım ı
en bü yü k olan noktanın o rdinatı kaçtır?
E) 54
A )-1 2
9.
B ) - 10
C) - 8
D) 4
E) 6
Toplam ları 54 olan ik i do ğal sayıdan b irin in karesi ile
diğe rinin çarpım ı en büvük olduğunda küçük sayı kaç
olur?
A)
36
B) 30
C) 24
D) 20
E) 18
13.
f(x) = 3x 5 - 20x 3
fo n ksiyo n u n u n g ra fiğ i üzerindeki yerel m aksim um
noktasının x eksenine uzaklığı kaç birim d ir?
10 .
A) 64
B )4 8
C) 32
D) 24
E) 16
£
C
i
s
■g 14. Bir dikdörtgenin iki köşesi x ekseni üzerinde, diğer iki
,6
köşesi x ekseninin üst tarafında y = 12 - x 2
üzerindedir.
parabolü
G ra fik 3. dereceden b ir f(x) fo n k s iy o n u n a ait
o ldu ğun a göre, aşağıdakilerden ha ngisi y a n lış tır?
B u d ik d ö r tg e n in a la n ı e n b ü y ü k (m a k s im u m )
olduğunda, parabol üzerindeki köşesinin ordinatı kaç
olur?
A)
x = —2 İçin f(x) = 0 dır.
A) 2
B)
x = - 2 için f'(x ) = 0 dır.
B) 4
C) 6
D) 8
E) 12
C) x = 0 için f(x) = 3 tür.
D) x = 1 için f(x) = 0 dır.
E)
x = - 1 için f'( x ) < 0 dır.
15 .
11.
Hipotenüsü 6 cm olan bir dik üçgen dik kenarlarından
biri etrafında döndürülüyor.
O luşan en bü yü k ha cim li ko n in in hacm i
f(x ) = 3x 4 - 4 x 3 - 12 x 2
kaç n cm 3 tü r?
fo n k s iy o n u n u n yerel m inim um de ğerle rinin top lam ı
kaçtır?
A )- 4 0
B) —37
C) —32
D) 16
A)1873~
E) 28
495
B) 16yj3
0 )1 2 7 3 " D) 8 ^3
E) 4 ^2
TÜ R E V VE U Y G U L A M A L A R I
16.
19.
Taban yarıçapı 3 cm, yüksekliği 6 cm olan bir koni içine
tepesi bu koninin taban düzleminin merkezinde bulunan
bir koni şekildeki gibi yerleştiriliyor.
ABCD dikdörtgeninin B köşesi y2 = x parabolü, C köşesi y
= 12 doğrusu üzerindedir.
B una göre, bu d ik d ö rtg e n in alanı en ç o k kaç b r 2
o la b ilir?
A) 256
B ) 192
C )12 8
D ) 108
Bu kon in in hacm i en ço k kaç cm 3 o la b ilir?
E) 64
A) 2n
20.
4n
5n
Sn
B)
E ) 3jt
AB _L BC
|AB| = 18 cm
|BC| = 12cm olan
17.
Y arıçapı 6 cm olan b ir ç em ber iç in e ç iz ile b ile c e k
A B C d ik ü ç g e n in in iç in e
ş e k ild e k i g ib i y e rle ş tirile n
K B M L d ik d ö rtg e n in a lan ı
en çok kaç cm 2 o lab ilir?
^
d ik d ö rtg e n in alanı en ço k kaç cm 2 o la b ilir?
A) 36
B ) 48
C ) 60
D )72
E) 108
A) 36
B )42
C )48
D )52
E) 54
21.
18.
a, b e R olm a k üzere,
B ir köşesi A(8,4) olan A K L dik üçgeninin K , L köşeleri
k o o r d in a t e k s e n le r i ü z e rin d e o ld u ğ u n a g ö re ,
|KL| en küçü k kaç b r o la b ilir?
f(x ) = y x 3 + a x 2 - b x
fo n k s iy o n u n u n x1 = - 1 ve x 2 = 2 noktalarında yerel
A) 3V5"
ekstrem um u o ldu ğun a göre, b - a farkı kaçtır?
A) 6
B) 8
C)10
D) 12
E) 14
B) 4>/5"
D) 6>/5"
496
C) 5
E) 6
TÜ R E V VE U Y G U L A M A L A R I
22.
U z u n lu ğ u 56 c m o la n te ld e n e ld e e d ile b ile c e k
d ik d ö rtg e n in alanı en çok kaç cm 2 o la b ilir?
A ) 196
B ) 192
C ) 169
D ) 156
25.
E) 144
3 cm
8 cm
23.
Şekildeki gibi boyutları 8 cm ve 3 cm olan dikdörtgen
metal bir levhanın köşelerinden, bir kenarı x cm olan
kareler kesilip, kıvrılarak dikdörtgenler prizması şeklinde
bir kutu yapılacaktır.
Bu kutu nun hacm i en ço k kaç cm 3 olu r?
A) 5-
C )6
B) 7
13
D) 8
E) 7-
OPRS dikdörtgeninin R köşesi d : x + 3 y - 6 = 0 doğrusu
üzerindedir.
*
Bu d ik d ö rtg e n in alanı en bü yük değeri aldığında
R kö şe sin in ordinatı kaç olur?
A)
y
B) 2
C) 1
D )y
E) 3
24.
C E VA P A N A H T A R I
C(x,y) noktası y = x 2 pa rabolüne a it b ir nokta, bu
noktanın y ekseni üzerindeki d ik izdüşüm ü B(o,y) dir.
A(o,12) olm ak üzere,
A BC üçgenin alanı en büyük olduğunda C noktasının
a p s is i kaç o lu r?
A) y
B)1
C )y
D) 2
E) 3
497
1. C
2. E
3. D
4. B
5. E
6. A
7. B
8. D
9. E
10. E
11. B
12. C
13. A
14. D
15. B
16. A
17. D
18. C
19. D
20. E
21. B
22. A
23. C
24. D
25. E
TÜ R EV VE U Y G U L A M A L A R I
t e s t - 6 ç ö z ü m le r !
1.
Birinci türevin kökleri ekstremum (maksimum-minimum)
noktalarının apsisleridir.
f(x ) = - L x 3 - 2 x 2 + 3x
f'(x ) = x 2 - 4 x + 3 = 0
x = 2, y = 3
x1 = 1, x 2 = 3
(2,3)
I. (2,3) maksimum noktası, doğru
ikinci türevi pozitif yapan kök minimum noktasının apsisi,
II. f'( 2 ) = 0 türevin kökü olmadığı için yanlış
negatif yapan kök maksimum noktasının apsisidir.
III. d2 :y = — — x + 6
2
f"(x ) = 2 x - 4
f"(1) = 2 - 4 = - 2 < 0 olduğundan
x = 1 maksimum noktasının apsisidir.
f'( 2 +) — -1 - doğru
f(1 )= -l-1 -2 .1 + 3-1
IV. x < 2 için f(x ) artan olduğundan
f'( 1 ) > 0
x > 2 için f(x ) azalan olduğundan
f'(3 ) < 0
f( 1 ) . f ( 3 ) < 0 doğru
V.
d j:y = — x + 2
/ =
f (1 ) = - f
|
f (3) = 0
f'( 2 “ ) = ^ - doğru
CEVAPC
II hariç dört tanesi doğru
2-
CEVAP D
f(x ) = x2 + a x + b
f'(x ) = 2 x + a
4.
f(x ) = y X 3 - 2 x 2 + 3 x + 2
x = 1 için f'( 1 ) = 0 olacağından
f'(x ) = x 2 - 4x + 3 = 0
2 • 1 + a = 0 => a = - 2
x 1 = 1, X2 = 3
f(x ) = x2 - 2 x + b
f"(x ) = 2 x - 4
f(1) = 3 olacağından
f"( 1 ) = - 2 < 0, xı = 1 de maksimum,
f"(3 ) - 2 > 0, X2 - 3 te minimum var.
1 -2 + b = 3
minimum değer:
b = 4 olur.
f(3 ) = —1 olur. O halde [1,5] aralığındaki
en küçük değer - 1 dir.
CEVAP E
CEVAP B
498
TÜ R EV VE U Y G U L A M A L A R I
5.
f(x ) = sinx + 2cosx
7.
f(x ) = x 3 + mx 2 + 4 m x + 1 2
f'(x ) = c o s x - 2 sinx = 0
f'(x ) = 3x 2 + 2mx + 4m = 0
tanx = — = tan a
2
denkleminin kökleri yoksa yerel ekstremum noktaları yoktur.
Bunun için,
A<0
1
A = m 2 - 3 - 4 m <0
v r
2
A = m2 - 1 2 m < 0
Vö"
A = m ( m -1 2 )< 0
= 0, m2 = 12
f(a ) = s ina + 2 cosa
1
2
5
-J5
Jö
0
f ( a ) « - jL + 2 — F=- = - ? f(a ) = ^
12
m
olur.
0 < m < 12 olmalıdır.
CEVAP B
CEVAP E
S
6.
f(x ) = x 3 - ax 2 + (b + 2 )x + c
s
f'(x ) = 3x 2 - 2ax + b + 2
1
f'( 2 )= 0
8.
lı
d
f'(2 ) = 3 -2 2 - 4 a + b + 2 = 0
4 a - b = 14
0
... ......
x = 2 de yerel minimumu olduğu için
E
Çevre : 2x + 2y = 28
f " ( x ) = 6x - 2 a
X + y = 14 => y = 1 4 - X
f" ( 2 ) = 1 2 - 2 a >0
A =xy
1 2 > 2a
A (x) = x - ( 1 4 - x )
a < 6 olmalıdır.
0 de a = 6 yazarsak
A (x ) = - x 2 + 1 4 x
4 - 6 - b = 14=> b = 10
A '(x) = -2 x + 14 = 0
a < 6 yazabileceğimizden
x=7
A "(x ) = - 2 < 0 olduğundan
b < 1 0 yani seçenekler arasındaki 9 olabilir.
x = 7 için alan en büyük olur.
A(7) = 7 (1 4 -7 )
A(7) = 7 7 = 49 m2 olur.
CEVAPA
CEVAP D
499
T Ü R E V VE U Y G U L A M A L A R I
9.
1 2 . f(x ) = x + 6x in grafiği üzerinde koordinatları çarpımı en
x + y = 54=>y = 5 4 -x
büyük olan nokta
s(x) = x 2 • (54 - x) = - x 3 + 54x 2
P(x,y) olsun.
s'(x) = -3 x 2 + 108x = 0
P(x,x 2 + 6x) olacağından
s'(x) = - 3 x ( x - 3 6 ) = 0
x1 = 0 ,
X
OO
0
36
A '(x) = 3x 2 +12x = 0
co
x 2 + 4x = 0 => x-) = 0, x 2 = -4
-
+
-
s'(x)
A (x) - x • (x 2 + 6x) - x 3 + 6 x 2
x 2 = 36
X
- cc
- 4
co
s(x)
m n.
ms X.
A'(x)
+
-
♦
x = 36 için y = 54 - 36
A(x)
y = 18 olur.
max.
CEVAP E
mın.
f(- 4 ) = (-4 ) 2 + 6 - ( - 4 )
f(- 4 ) = 1 6 -2 4
f(—4) = -8 olur.
1 0 . x = - 2 kök olduğu için f(—2 ) = 0 doğru.
CEVAP C
x = - 2 de minimum olduğu için f '( - 2 ) = 0 doğru.
x = 0 için f(0) = 3 doğru.
x = 1 kök olduğu için f( 1) = 0 doğru.
x = - 1 in bulunduğu aralıkta f artan olduğu için
f 'M ) > o
f ' ( - 1 ) < 0 yanlış.
13 .
f(x ) = 3x 5 - 20x 3
CEVAP E
f'(x ) = 15x4 - 6 0 x 2
f'(x ) = x 4 - 4x 2 = 0
11.
x 2 (x 2 - 4 ) = 0
f(x ) = 3x 4 - 4x 3 - 1 2x 2
x 1 = x2 = 0, X3 = - 2 , x 4 - 2
f'(x ) = 12x 3 - 1 2x 2 - 24x = 0
x(x 2 - x - 2 ) = 0
x1 = 0,
X
f'(x)
f(x)
x 2 = - 1,
f'(x)
x3 = 2
-1
-oo
-
(
co
+
(
f(x)
çift kök
♦
f(- 2 ) = 3 (-2 )5 - 20 • (- 2 )3
m n.
rric x.
f ( - 1 )— 5
f(-1 ) + f(2) = - 5 - 32 = - 37
rt in.
f(-2 ) = -9 6 + 160
f(2 )= —3 2
f(- 2 ) = 64 olur. (x eksenine uzaklık ordinattır.)
olur.
CEVAP B
CEVAPA
T Ü R E V VE U Y G U L A M A L A R I
16.
14. A (x) = 2 x ( 1 2 -x 2)
Taralı dikdörtgenin alanı:
y
12
A(x) = x(1 2 - n/x")
A (x) = -2 x 3 + 24x
A(x) = 12x - xV>T
12- ^ J
3_
A '(x) = -6 x 2 + 24 = O
A(x) = - x 2 +12x
x2 = 4 => X-, = -2, x2 = 2
-
(x,Vx)
O
3 —
A'(x) = - | x 2 +12 = 0
X
-00
A'(x)
00
- 2
l
-
|
X2 =12
x = 64
+
A"(64) < 0 olduğundan x = 64 için
A(x)
mın.
3 -i
-
A(x) en büyük olur.
max.
A(64)=64(12 - 8)
A(2) = 2 - 2 (1 2 -2 2 )
A(64) = 64-4 - 256 birimkare olabilir.
A (2) = 4 • 8 = 32
CEVAPA
y = 1 2 -x 2
17.
y = 1 2 -2 2
y = 8 olur.
e.y
CEVAP D
a -Ti
e
I
,r-:
45
X2 + y2 = 144 => y = V l 4 4 - x 2
A (x ) = x - V l 4 4 - x 2
Koninin hacmi:
A '(x) = 1 -> /l4 4 -x 2 +•
“ 2X
2>/l 44 - x
V = |V .x
A '(x) = V l 4 4 - x 2 -■
V (x) = -^ -rc (3 6 -x 2 )x
V i4 4 - x 2
144 - 2x
V (x) = 1 2 7 lX -y 7 lX 3
A ' (x ) =
V '(x ) = 1 2 7 t-n x 2 = 0
i
v 1 4 4 -x
r
144 - 2 x 2 = 0 => X-,
0
=
- ö T T , x2 = 6V 2"
1 2 - X 2 = 0 =>X 1 = -2 ^ /3 -I x2 = 2V3"
X
V'(x)
- 2 /3
-CO
-
>
2</3
+
l
X
co
A'(x)
-
- 6 V2
—
>
00
6 -/J
+
(ı
-
A(x)
V(x)
m n.
V ( 2 V 3") = y
-co
min.
m«3X.
*(36 -1 2 )- 2 ^ "
max.
A(6'/2~) = 6 r / 2 " 4 4 - 7 2 = 6 ^ 2 -Q^2 =72
birimkare olur.
v(2V 3 "j = 16"y3"7t birim küp olur.
CEVAP D
CEVAP B
501
TÜ R EV VE U Y G U L A M A L A R I
18 .
4 o
o
f(x ) = — x3 + a x 2 - b x
3
A
f'(x ) = 4x2 + 2ax - b
A
AKL ~ ABC
x _ 1 8 -y
f'(-1 ) = 0 , f'(2 ) = 0 olacağından
12
f'(-1 ) = 4 - 1 - 2 a - b = 0 = > 2 a + b = 4
18
y = 18 —-
f'(2 ) - 4 - 4 + 4 a - b = 0 = o 4 a - b = - 1 6
6a = -1 2
a = -2
b=8
A (x) = x
b - a = 8 + 2 = 10 olur.
A (x) = 18x — —■x2
CEVAP C
A '(x) = 1 8 - 3 x = 0 = > x = 6
A "(6) = - 3 < 0 olduğundan
alan x = 6 için maksimum değerini alır.
A (6) = 6 ( 1 8 - 9 )
19.
A (6) = 6 -9 = 54 cm2 olur.
CEVAP E
A
21 .
A
TPE ~TO B
x _ 6 -y
3
6
y = 6 -2x
m AK ‘ m A L = “ 1
V (x ) = 1
t t x 2( 6
- 2 x)
4 -y
4 -0
l- O
8 -X
4 -y
= -1 :
=
8
8 -x
=> y = 20 - 2x
V (x) = 2nx2 - y 7 r x 3
-1
| KL |= V x2 + ( 2 0 - 2 x )2
V '(x ) = 47tx-27tx2 = 0
s (x )
2x - x2 = 0
X
-
5 x -4 0
1— =
V5 x - 80x
5'(x )= - { — =
2V5x - 8 0 x
1
- co
x
10x - 8 0
X-] = 0, X2 = 2
V '( x )
= V 5 x2 - 8 0
)
CO
+
(•
î'(x) = 0 = > 5 x - 4 0 = 0 = > x = 8
-
X
s'(x)
V (x )
m n.
m
-oo
oo
-
(I
+
3X.
s(x)
miri.
V(2) = y i t - 2 2( 6 - 4 )
8 (8 )- >/64 + 16 = V5 -16 -
V(2) = - y - c m 3 olabilir.
CEVAP B
CEVAP D
502
TÜ R E V VE U YG U LA M A LA R I
24.
Dikdörtgenin alanı:
x
A(x) = x ( 2 8 - x )
A(x) = 28x - x2
A'(x) = 2 8 -2 x = 0
x = 14
| BC| = x
A'(14) = - 2 < 0 olduğundan
A(ABC) = y x(12 - x2)
x = 14 için alan maksimum değerini alır.
A(14) = 14-14 =196 cm2 olur.
A(x) = 6x - y x 3
CEVAPA
AJ(x) = 6 -
23.
—x
—0
x = 4 => x = 2
C(2,8) olur.
CEVAP D
25.
r
Buna x diyelim.
3 cm
P(x,0), y =
İ\
I
X + ^ olduğundan
8-2x
8 cm
olur|OP| = x, IPRI
V(x) = (8 - 2x)(3 - 2x)x
-x + 6
V(x) = 4x 3 -2 2 x 2 + 24x
A(OPRS)
( -x+6 'l
■ *{—
J -
V'(x) = 12x2 - 44x + 24 = 0
■2 x
V'(x) = 3x 2 - 1 1x + 6 = 0
A(x) = —^ - + 2x
(3 x - 2 ) (x - 3 ) = 0
A'(x) = - - x + 2 = 0
x1 =
— x = 2 =>x = 3
3
■ (+)
2
<0 olduğundan
( 2 \ 200
-3 + 6
, .
y = ------------=> y = 1 olur.
UJ
CEVAP C
x2 = 3
27 “
_ 11
7
27
olur.
CEVAP E
5 03
TÜ R EV VE U YG ULAM ALARI
ÇÖZÜMLÜ TEST - 7
4.
İkinci türevin geom etrik yorumu, bir fonksiyo
nun dönüm noktaları, eğrilerin iç bükeyliği ve
dışbükeyliği ile ilgili uygulamalar:
f(x) = x3 + bx2 + cx - 2
fonksiyonunda apsisi x = 1 olan nokta dönüm
(büküm) noktasıdır. Fonksiyonun bu noktadaki
teğetinineğimi2olduğunagöre, c kaçtır?
A) 6
f(x) = x 3 - 3x2 9x + 14
B) 5
D) 3
C) 4
E) 2
fonksiyonuiçinaşağıdakilerdenhangisi yanlıştır?
A) ( - o o , 1 ) aralığında f içbükeydir.
B) (1,co) aralığında f(x) dışbükeydir.
5. a* 0 olmaküzere,
C) (1,3) noktası f(x) in dönüm noktasıdır.
y = ax3 +bx 2 + cx + d .. -
D) (3, - 13) noktası f(x) in yerel minimum noktasıdır.
fonksiyonuileilgili olarak
E) (-1,3) aralığında f(x) artandır.
I. Dönüm(büküm) noktası vardır.
II. Yerel minimum noktası vardır.
III. Yerel maksimum noktası vardır,
yargılarındanhangileri herzamandoğrudur?
A) Yalnızı
B) Yalnız II
D) I ve II
2.
C) Yalnız
E) II ve III
f(x) = ax4+ 24x2 + bx
fonksiyonunun dönüm noktalarından biri (-1, 6)
olduğunagöre, b kaçtır?
A) 10
B) 14
C ) -1 0
D ) - 14
6.
E ) - 16
Grafik, f(x) fonksiyonunun f'(x) türev fonksiyonuna aittir.
Bunagöre, aşağıdakilerdenhangisi yanlıştır?
A) - 3 < x - 2
y = x3 + mx2 + (m+4) x - 2
B) 2 < x < 3
fonksiyonunun dönüm noktasının apsisi
x=-1 olduğunagöre, ordinatı kaçtır?
A) - 12
B) - 9
C )-7
D) 4
aralığındaf(x)artandır.
aralığında f(x) azalandır.
C) x = 1 bağıl maksimum noktasının apsisidir.
D) x = - 2 dönüm noktasının apsisidir.
E) 6
E) x = 3 dönüm noktasının apsisidir.
504
TÜ R EV VE U YG ULAM ALARI
10.
f(x) = X4 - 24x2 + X - 10
7.
A) ( - 2,2)
B) (-co,-2M 2,«>)
D) 0
8.
E)
f(x) = X4 + x3 + px2 + 2x
fonksiyonunun dönüm noktalarından birinin apsisi
- 1 olduğuna göre, diğer dönüm noktasının apsisi
kaçtır?
fonksiyonu aşağıdaki aralıkların hangisinde
dışbükey (konveks) dir?
C) (-3.3)
A) 3
( - co. - 1 M - 1 . oo)
B)
C) 2
D)
E) 1
f(x) = x3 - ax2 - 3bx + 6
fo n k s iy o n u n u n x = 1 a p s is li n o kta d a y e re l
maksimumu, x = - 2 apsisli noktada dönüm noktası
olduğuna göre, b - a kaçtır?
A ) 15
B) 14
C ) 13
D ) 12
11.
E ) 11
Grafik f(x) = ax3 + bx2 + cx + d fonksiyonuna aittir.
9.
Buna göre, eğrinin dönüm noktasının apsisi kaçtır?
A)
B) 2
C)
D) 3
E)
Grafik, y = f(x) fonksiyonunun f'(x) türev fonksiyonuna
aittir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) - 4 < x < - 3
B) x =1
için f(x) in yerel maksimumu vardır.
C) x = 2
f(x) in dönüm noktasının apsisidir.
D) - 4 < x < - 3
E) 2 < x < 3
12.
aralığındaf(x)artandır.
f(x) = x3 + 3x2 + 2ax - 4
fonksiyonunun (eğrisinin) dönüm noktası y = 3x+4
doğrusu üzerinde olduğuna göre, a kaçtır?
içinf(x) in eğriliği dışbükeydir.
A) - 2
için f(x) in eğriliği içbükeydir.
505
C)0
D) 1
E)
TÜ R EV VE U Y G U L A M A L A R !
f(x) = x3 + 2mx2 + 4x - 1
16.
eğrisinin dönüm noktasının y ekseni üzerinde olması
için m kaç olmalıdır?
A)
- 2
B) - 1
C) O
D )y
E )y
Grafik y = f(x) fonksiyonunun P(x) türev fonksiyonuna aittir.
Buna göre, f(x) fonksiyonu İçin aşağıdakilerden
hangisi yanlıştır?
A) x = 0 için yerel maksimum vardır.
B) -3<x< 0aralığındafartandır.
C) x = - 3 t e yerel maksimum vardır.
D) Dönüm noktalarının apsisleri toplamı - 2 dir.
E) (—
00, -3 ) aralığında fadandır.
f(x) = 2 x3 - 2 (m - 1 ) x2 - 2 x+1
fo n k s iy o n u n u n dönüm n oktası, g(x) = 3x 2 + x
fonksiyonunun minimum noktası olduğuna göre,
m kaçtır?
a>~T
B> -y
°>y
0)1
E)2
f : R -» R, f(x) = X4 - 4x3
14 .
fo n k s iy o n u n u n d önüm n o k ta la rın d a n b irin in
x eksenine uzaklığı kaç birimdir?
A)
8
B) 10
C) 12
D) 14
E) 16
f(x) = x 3 - 3x2
18.
f(x) = x3 - 6x2 + 4x + m
15 .
fo n k s iy o n u n u n dönüm noktasın d a ki te ğ e tin in ,
koordinat eksenleriyle oluşturduğu üçgenin alanı kaç
birimkaredir?
fonksiyonunun dönüm noktası x ekseni üzerinde
olduğuna göre, m kaçtır?
A )- 8
B) - 6
C) 4
D) 8
E) 12
A )1
506
B )T
C )T
d)
1T
e >2
TÜ R EV VE U Y G U L A M A L A R I
21.
19.
Türevinin (f') grafiği verilen f fonksiyonu için
aşağıdakilerdenhangisi yanlıştır?
Grafik y = f(x) fonksiyonunun türevine aittir.
A) f"{2) = 0 dır.
Bunagöre, y=f(x) fonksiyonuiçinaşağıdakilerden
hangisi yanlıştır?
B) f(1) > f(-1 ) dir.
A) x > 5
C) (-oo, -5 ) aralığında eğrilik yukarı doğrudur.
için f artandır.
D) (-2, 2) aralığında eğrilik yukarı doğrudur.
B) 1 < x < 3 aralığında içbükey (konveks) dir.
E) x = -2 de dönüm noktası vardır.
C) x = 1 ve x = 3 dönüm noktalarının apsisleridir.
D) x s 5 te yerel minimum vardır.
22.
E) x < 5 için f negatiftir.
Grafik f'(x) türev fonksiyonuna ait olduğuna göre,
aşağıdakilerdenhangisi doğrudur?
A) x = - 2 noktasında f(x) in yerel minimumu vardır.
B) x = a noktasında f(x) in yerel maksimumu vardır.
C) —co < x < —2 aralığında f"(x) > 0 dır.
D) - 2 < x < a aralığında f"(x) < 0 dır.
E) x - 3 noktasında f(x) in yerel maksimumu vardır.
20.
f(x) = x3 + bx2 + cx + 1
fonksiyonunun x = - 2 apsisli noktada yerel
maksimumu, x=1apsisli noktada yerel minimumu
olduğunagöre, hangi noktadadönümnoktası vardır?
CEVAP ANAHTARI
» (K K )
D)
( 4
» K
İ )
i)
« ( K
E) (1,-4)
5 07
1. E
2. D
3. C
4. B
5. A
6. E
7. B
8. E
9. E
10. D
11. A
12. B
13. C
14. E
15. D
16. C
17. C
18. D
19. E
20. A
21. D
22. E
TÜ R E V VE U YG U LA M A LA R I
TEST - 7 ÇÖZÜMLERİ
1-
3.
f(x ) = x3 - 3 x 2 - 9 x + 14
f ( x ) = 3x 2 - 6 x - 9
x2 - 2 x - 3 = 0
y' = 3x2 + 2mx + (m + 4)
Xı = - \ x 2 = 3
X
f'(x)
—00
y = x3 + mx2 +(m + 4 )x-2
x =-1 y" nün köküdür,
+
y" = 6x + 2m
co
—1
6-(-1)+2m=0
2m=6
♦
-
m= 3
f(x)
max.
min.
f(3)=- 13
y = x3 +3x2 + 7 x -2 de x = -1
yazılırsa ordinat, y = -1 + 3 - 7 - 2
f" (x ) = 6 x - 6 = 0
x =1
X
f"(x)
y = -7 olur.
00
- 00
-
I
CEVAP C
+
4.
f(x)
f(1) = 3 dönüm nok.
(-oo,1 )
aralığında f iç bükey
(1.03)
aralığında f dışbükey
(1.3)
noktası dönüm noktası
f(x) = x3 + bx2+ c x -2
f'(x) = 3x2 + 2bx + c
5
f"(x) = 6x + 2b
e
f"(1) = O olacağından
*
(3 ,-1 3 ) f nin yerel min. noktası
6-1 + 2b = 0
«§
_“3
(-1 ,3 ) aralığında tabloda görüldüğü gibi f azalandır. Artan
iddiası yanlıştır.
f'(1) = 2 olacağından
3-1 + 2 (-3 )-1 + c = 2
CEVAP E
3 -6 + c = 2
2.
c = 5- olur.
Dönüm noktalarının apsisleri ikinci türevin, bu türeve
işaret değiştirten kökleridir.
CEVAP B
f(x ) = ax 4 + 24x2 + bx
5.
f'(x ) = 4ax 3 + 4 8x + b
f" (x ) = 12ax 2 + 48 = O
a * O, y = ax3 + bx2 + cx + d
y' = 3ax2 + 2bx + c
ax2 + 4 = 0
y" = 6ax + 2b = O
x = - 1 bu denklemin kökü olduğundan
x=—3a
a -1 + 4 = 0 = » a = - 4
f(x ) = - 4 x 4 + 2 4x 2 + bx
a * O verildiği için
te
f (—1 ) = 6 olacağından
y" = 0 denkleminin daima kökü bulunacağından y nin
- 4 - 1 + 2 4 -1 + b-1 = 6
dönüm noktası vardır. Yani I her zaman doğrudur.
b = -14 olur.
C EVAP A
CEVAP D
5 08
TÜ R EV VE U YG ULAM ALARI
6.
- 3 < x < - 2 de f'(x)> 0 olduğundan fadandır.
9.
- 4 < x < - 3 aralığında f' >
o
olduğunda f artan.
x = 1 de f'( 1 ) = 0 ve f' + dan - ye geçtiği için maksimum
2 < x < 3 te f'(x) < 0 olduğundan f azalandır.
var.
x = 1, f'(x) = 0 ın k ö k ü v e f' + dan - ye geçtiği için
bağıl maksimum noktasının apsisidir.
x = 2 , f' nün minimum noktasının apsisi olduğu için
f" (2 ) = 0 dır. Yani x = 2 fn in dönüm noktasının apsisidir.
x = -2, f'(x) fonksiyonunun maksimum noktasının apsisi
7.
o lduğun dan f"(x) = 0 denklem inin kökü olm ak
zorundadır. Yani x = -2 fnin dönüm noktasının apsisidir.
- 4 < x < - 3 aralığında f# artan olduğu için türevi yani
x= 3, f'(x) = 0 denkleminin kökü olduğundan dönüm
noktasının apsisi değildir.
2 < x < 3 aralığında da ? artan yani
> 0 olduğundan
f(x) dışbükeydir. İç bükey iddiası doğru değildir.
CEVAP E
CEVAP E
f" > o dır. O halde f(x) bu aralıkta dışbükeydir.
f"
f(x) = x4 - 2 4 x 2 + x - 1 0
10 .
f'(x) = 4x3 - 4 8 x + 1
f"(x) = 12x2 - 4 8 = 0
f " ( - 1 ) = 0 olacağından
x2 - 4 = 0 => Xı = -2, x2 = 2
X
f '( x )
f'(x ) = 4x 3 + 3x 2 + 2 p x + 2
-t
— oo
CO
+
f" (x ) = 1 2 x2 + 6 x + 2 p = 0
&
+
-
§
S»
«00
dışbükey
f(x ) = x 4 + x 3 + p x 2 + 2 x
içbükey
dışbükey
a
f, (-«o, - 2)u(-2,oo) aralığındadışbükeydir.
f " ( - 1) = 1 2 - 1 + 6 -( - 1) + 2 p = 0
12 —6 + 2p = 0 = > p = - 3
f"(x ) = 1 2 x2 + 6 x - 6 = 0
2 x2 + x - 1 = 0
CEVAP B
diğer dönüm noktasının apsisi de bu denklemin ikinci
köküdür. Yani 2 x 2 + x - 1 = 0 => x-| = -1,
8.
x2 = - y dir.
f(x) = x3 - a x 2 -3 b x + 6
CEVAP D
x = 1 de yerel maksimum varsa f'(1) = 0
x = - 2 de dönüm noktası varsa f"(-2) = 0 dır.
11. f(x)=ax3+bx2+cx+ d
f(0)= 0=>d = 0
f(4) = 0 64a +16b + 4c = 0
f'(x) = 3x2 - 2 a x - 3 b
f'(1) = 3 -1 -2 a -1 -3b = 0
2a + 3b = 3
16a + 4b +c = 0
0
x = 0 da minimum olduğundan f'(0) = 0 dır.
0
f'(x) = 3ax2 + 2bx + c
f"(x) = 6x - 2a
f'(0) = c = 0=>c = 0
f"(-2) = 6 •(-2 ) - 2a = 0
0 de yazılırsa
16a +4b=0=> — = 4
a
f"(x) = 6ax + 2b = 0
1 b
1 / .>. 4
x = — ------- =
(- 4 ) = — olur.
3 a
3 v ' 3
2a=-12=>a =-6
0 de yazılırsa - 1 2 +3b = 3= »b = 5
b - a = 5 + 6 = 11 olur.
CEVAPA
CEVAP E
509
TÜ R E V VE U YG U LA M A LA R I
12.
16.
f(x ) = x 3 + 3 x 2 + 2 a x - 4
f'(x ) = 3x 2 + 6 x + 2a
f(x ) = x 3 + 2 m x 2 + 4 x - 1 in
dönüm noktası y ekseni üzerinde ise apsisi sıfırdır.
f" (x ) = 6x + 6 = 0
f'(x ) = 3x 2 ı 4m x + 4
x = —1
f(- 1 ) = •-1 + 3 - 2a
f" (x ) = 6 x + 4m
4
dönüm noktasının apsisi 0 olduğundan
f( - 1) = - 2 a - 2
f"(0) = 6 - 0 + 4m = 0=î>m = 0 olur.
dönüm noktası ( - 1. - 2a - 2 ) dir. Bu nokta y = 3x+4
doğrusunu sağlayacağından
CEVAP C
-2 a - 2 = 3 - ( - 1 ) + 4
17.
-2 a - 2 = - 3 + 4
f(x ) = 2 x3 - 2 m (m
g(x) = 3 x2 + x
noktayı bulalım.
-2 a = 3
a= 2 olur.
g'(x) = 6 x + 1 = 0
CEVAP B
1 )x 2
2x + 1
in d ö nüm n o k ta s ı,
m inim um noktası olduğ undan bu
X
6
6 > 0 olduğundan x
13.
x = 0 türevin kökü ve f' + dan - ye geçtiği için bu noktada
yerel maksimum var.
- 3 < x < - 2 aralığında f ' > 0
6 da
g(x) in minimumu vardır.
H~~^
) =3'~36~~Q=~ 12
olduğundanfartandır.
x = - 3 türevin kökü olduğu halde bu noktada türev işaret
değiştirmediğinden f nin yerel maksimumu yoktur. Bu
seçenek yanlıştır.
dönüm noktası -
T ,_ı r ) olur'
f(x ) = 6 x - 4(m - 1)x - 2
f' nün yerel maksimum ve yerel minimum noktalarının
f"(x ) = 1 2 x - 4 ( m - 1 )
apsisleri, f nin dönüm noktalarının apsisleri olduğundan
bunların toplamı
f" |
— l= 0 olacağından
- 3 - 2 + 1 + 2 = - 2 olur.
(-c o , - 3 ) aralığında
f
+ olduğundan tartandır.
-4 m + 2 = 0
CEVAP C
m = —
14-
2
f(x ) = x4 - 4 x 3
CEVAP C
f'(x ) = 4x 3 - 1 2x 2
f"(x ) = 12x 2 - 2 4 x = 0
18.
x2 - 2 x = 0
x(x - 2 ) = 0
f(x ) = x3 - 3x 2
f'(x ) = 3x 2 - 6 x
f"(x) = 6x - 6 = 0
xı = 0 , x2 = 2 dönüm noktasının apsisleri olduğundan
x=1
dönüm no ktaları: (0 ,0 ) ve (2 , - 1 6 ) olur.
İkinci dönüm noktasının x eksenine uzaklığı |-1 6 | = 16
f( 1 ) = 1 - 3 1 = - 2
olur.
dönüm noktası ( 1 , - 2 ) bu noktadaki teğetin eğimi:
CEVAP E
15.
olur.
f'(1) = 3-1 —6*1 = 3 —6 = - 3
f(x ) = x3 - 6 x 2 + 4x + m
m = f'(1) - - 3
dönüm noktası x ekseni üzerinde ise ordinatı sıfırdır.
teğetin denklemi:
f'(x ) = 3x 2 - 1 2 x + 4
y-
f" (x ) = 6 x - 1 2 = 0
y + 2 - -3 x + 3
x=2
olduğundan dönüm noktası (2 ,0 ) dır.
y = -3 x + 1
( - 2 ) = -3 (x -1 )
f(2 ) = 0 = > 2 3 - 6 - 2 2 + 4 - 2 + m = 0
8 - 2 4 + 8 +m = 0
1
m = 8 olur.
br2 olur.
CEVAP D
CEVAP D
510
TÜ R E V VE U YG U LA M A LA R I
o olduğundan f artandır. 1 < x < 3 için
19 . x > 5 için f ' >
2 1 . x = 2 de f ' nün minimumu olduğundan bu nokta f wnün
f'(x ) azalan olduğu için f" (x ) < 0 dır. Yani f içbükeydir.
köküdür. Yani f"(2) = 0 dır.
x = 1 de maksimum x = 3 te minimum olduğundan bu
(-2, 2) aralığında
değerler f " ( x ) = 0 denkleminin kökleridir. Yani dönüm
V> 0
olduğundan f artandır. Yani
- 1 < 1 için f(—1 ) < f( 1 ) olur.
noktalarının apsisleridir.
x = 5, f'(x ) = 0 denkleminin kökü ve f'(x ) - den + ya
(- 00, - 5 ) aralığında f' artan olduğu için f" >0 yanif(x)
geçtiği için bu noktada yerel minimum vardır.
in eğriliği yukarı doğrudur.
x < 5 aralığında f '( x ) < 0 olduğundan bu aralıktaf(x)artı
( - 2 ,2 ) aralığında f
değerlerden azalarak gelmiş ve x = 5 te minimum değerini
doğrudur. Yukarı doğru olmaz.
almıştır. Aralığın tümünde negatif olamaz.
x = - 2 f'(x) in maksimum noktasının apsisi olduğundan
CEVAP E
azalan olduğu için eğrilik aşağı
f(x) in dönüm noktasıdır.
2 0 . f(x ) = x3 + b x 2 + c x + 1
CEVAP D
f '( - 2 ) = 0 , f ( 1 ) = 0 olmalıdır.
f'(x ) = 3x 2 + 2bx + c
f '( - 2 ) = 3 • ( - 2 ? + 2 b (-2 ) + c = 0
f '( - 2 ) = 1 2 - 4 b + c = 0
4 b -c =12
0
f'(1) = 3 -1 2 + 2 b -1 + c = 0
S
S
f'( 1 ) = 3 + 2 b + c = 0
2b + c = - 3
0 ve 0
0
ortak çözülürse
ta
4 b -c =12
+ 2b + c = - 3
6b = 9
c = -6
b= — ,
2
f(x ) = x3 + — x2 - 6 x + 1
22.
2
yoktur.
f'(x ) = 3x 2 + 3 x - 6
f" (x )= 6 x + 3 = 0
B) x = a türevin kökü olmadığı için ekstremum yoktur.
1
X
l
2, J
2
8
j = _J_
f(-L
8
l 2, I
fl
2, )=t
C) -co < x —2 aralığında f'(x) azalan olduğu için
L
2 4
l
f"(x) < 0 dır.
2,
D) - 2 < x < a aralığında f'(x) artan olduğu için
3 +3 + i
8
+4=>,(- t )
HrSnıım nrıktacı
* ( __1
ı
U U I IU 1 11 l U M a o i .
12
A) x = -2 de türev işaret değiştirmeliği için ekstremum
— ,
_
f"(x) > 0 dır.
17
4
E) x = 3 te türev + dan - ye geçtiği için yerel maksimum
17 '
_____ j olur.
4.
var.
CEVAP E
CEVAPA
511
TÜ R E V VE U YG U LA M A LA R I
Ç Ö Z Ü M L Ü TEST - 8
4.
1 +cos 7tx
lim
x_>1 tan2 jix
L’Hospital (Lopital) kuralı ile ilgili uygulamalar:
indeğeri kaçtır?
1.
lim
A)
2 x2 - 11 x + 12
B)
x—
•
x->4
D) 1
E) 2
C)1
D) 2
E) 3
C) -
D )- 2
E) - 1
C>T
ündeğeri kaçtır?
A) - 5
B) - 1
C )2
D )3
E) 5
5.
lim
x 2004 + x 2007
Iım -------------------x->-i
sin(x + 1)
indeğeri kaçtır?
indeğeri kaçtır?
A )- 3
B )-1
C) 3
D) 4
E) 6
1
A)
3.
2x
lim
x-»o Sin x - x ‘i
B )-2
C )-1
3~
1
B )- T
xlim
-»1
indeğeri kaçtır?
indeğeri kaçtır?
A) - 3
ta n x - 1
sin4x
D) 2
E) 3
A> T
512
b> T
TÜREV VE U YG U LAM ALAR I
10.
7.
lim
x »o
s in ( 1 - c o s x )
indeğeri kaçtır?
^bx
lim
x-»osinax-sinbx
indeğeri kaçtır?
A) - 2
A) - 1
B)O
C>T
D)
11.
8.
l i m --------------- —
x-»3
B) - 1
C) O
D) 1
E) 2
E)
( x - 3 j2
-2
xlim
-»0 1 - c o s x
indeğeri kaçtır?
nindeğeri aşağıdakilerdenhangisidir?
T
B)
12
C)
d)
B) 2
c> !
D) 3
E)
12.
9.
lim
c o s -^ -x
y fl c o s x -1
lim
2
x->1 1- V>T
indeğeri kaçtır?
indeğeri kaçtır?
A )-y
B )-t
C )0
°> T
A) 71
E)
513
B )y
C )0
D)
E ) - tc
TÜ R E V VE U Y G U LA M A LA R I
13.
lim
x->0
16.
arctan 2x
sin3x
lim
x -»0
in değeri kaçtır?
A)
B) -
2 -c o s 2 x -ı
ln(1 + 2 x)
in değeri kaçtır?
C)
D)
A )- 2
O)-— D) —
B) - 1
17.
E) 2
c o s x - 2 sin x - 1
lim
x-»o cos2 x + sin 2 x - 1
in değeri kaçtır?
A) - 1
C )0
B)
Î4.
lim
°) T
E)1
D) 1
E) 2
2ln(x + 1) - 2 x + x
x-»0
ün değeri kaçtır?
A)
B>T
C)
D) 1
E) 2
18.
lim
lnsinx
nin değeri kaçtır?
A) -
1
B)
1
8 C)
19.
15.
tan3x
3x2 - 3 t 2
lim
t—
>x 2 sin(x —t)
in değeri kaçtır?
nin değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A ) 2x
B )3 x
C )4 x
D) 5 x
E )6 x
A)
514
B )—
C )-T
D )T
I
TÜ R E V VE U Y G U L A M A L A R I
20.
23.
lim ( 1 -ta n x )-s e c 2 x
lim
x-»1
B) - |-
21.
U
x -1 J
indeğeri kaçtır?
indeğeri kaçtır?
A) 2
fJ
U nx
C)1
.
°> 1
1
A )-T
E)
B) —
1
C)
1
—
D) 1
24.
e -1
lim (4x +e3x) x
x->0 v
1
indeğeri aşağıdakilerdenhangisidir?
Iım -------=----------x-*o ln (x J + x + 1 )
indeğeri kaçtır?
C) 2
A)t
D) 3
A) e2
E)'
22.
B) e4
C) e 7
D) e14
E) 12
25.
lim
x->0
lim (cotx)sınx
x-»0 '
'
ex - l j
indeğeri aşağıdakilerdenhangisidir?
in değeri kaçtır?
A) 1
A)
B)
C) 1
D) T
E) 2
515
B) 2
C) e
D) e2
E) e3
TÜ R EV VE U YG ULAM ALARI
26.
30.
lim ( l + sinx) *
lim
x >0
indeğeri aşağıdakilerdenhangisidir?
A) 4
B) e3
C) e2
X—>oo
D) e
indeğeri aşağıdakilerdenhangisidir?
E)1
A) 1
B) e
31.
X -5
indeğeri aşağıdakilerdenhangisidir?
indeğeri kaçtır?
A) 1
A) 10
B) 10ln10
D)
10
E)e ~2
lim
x-»o ln (1 + tanx)
log(x + 9 5 ) - 2
x->5
D) e"1
-1
27.
lim
C) e2
C)
B)
D)'
C)
E) 2
10 •In10
E) 100
In10
2 32. f : R -> Rher noktadatürevli birfonksiyonve
I^
•=1
f'(1) = 3 olduğuna göre,
S
28.
lim
indeğeri aşağıdakilerdenhangisidir?
A) 15
A) —
B) 1
C) e
D) e2
f(1 + 2 h )- f(1 - 3 h )
h->0
nindeğeri kaçtır?
lim [1 + tan(sinx)] sinx
x->0
B ) 12
C)
9
D) 6
E) 3
E) e3
CEVAP ANAHTARI
29.
lim ( 1 - x )
Inx
X->1
indeğeri aşağıdakilerdenhangisidir?
A) 2
B)
C)
D)
E )1
516
1. E
2. C
3. D
4. A
5. B
6. E
7. B
8. D
9. E
10. D
11. B
12. A
13. E
14. C
15. B
16. C
17. A
18. B
19. A
20. C
21. E
22. B
23. C
24. D
25. A
26. D
27. C
28. C
29. E
30. B
31. A
32. A
TÜ R EV VE UYG ULAM ALAR!
TEST - 8 ÇÖZÜMLERİ
1.
L'Hospital Kuralı:
4.
1 +cosnx
lim
1-1
O
1 +cosn
.
f, g fonksiyonları [a, b] aralığında sürekli ve (a.b)
aralığında türevli iki fonksiyon olmak üzere,
ta n 7tx
= - belirsiz.
rIım f(x>= —0
x->c g(x)
Iım
O
varsa
0
lim — .
f'(x)
.
..
f(x)
,.
vardır ve Iım
x->c g(x)
g'(x)
-/sin n x
O . .. .
r-------= — belirsiz.
x->12/tan7tx(1+tanZ7rx) O
f'(x) ..
Iım . ■■■■ tır.
x—
»c g'(x)
tekrar L'Hospital kuralını uygulayalım
0 oo
O 00
~/cOSltX
= lim
Bu kural — , — belirsizliklerinde (dolayısıyla bu
*-*1 2 / •(1+tan2 7tx)-(1+ tan2 rcx)+2/ tan jcx(1+tan2 7tx)
belirsizliklere dönüştürülebilen belirsizliklerde) uygulanır.
lim
x->4
2x - 1 1x +12
x -4
2-1-1+20-1
2 -1 6 - 1 1 4 + 12
4 -4
2+0 2
olur.
= — belirsiz.
O
CEVAPA
4 x -1 1
lim *
= 4 4 - 1 1 = 16-11
x->4
1
= 5 olur.
CEVAP E
I
2.
1-1
<
x Iim
- > -1
■ (/x + 1-)
s ın
s in O
5-
lim
n
&
belirsiz.
4
ta n -71 - 1
4
sin k
ta n x - 1
sin4x
1-1
0
O
belirsiz.
2004 -x 2003 + 2007 -x 2006
lim
x »-1
cos(x + 1)
1 + tan x
= lim
ti
X 4cos4x
2004(-1) + 2007-1
cos O
1 + tan'
4cos n
-2004 + 2007
1+1
4(-1)
olur.
= 3 olur.
CEVAP C
3.
lim -
CEVAP B
2x
x->o
sinO-O
6.
= - — belirsiz.
0
2
Iım
( ------lnx ^
x->1 ^ 1 - x )
In1
1 -1
0 . .. .
= — belirsiz.
0
2
lim -----------------= — = 2 olur.
x-»0 c o s x -2 x
1
= lim
x-»1 -1
-1 olur.
CEVAP D
CEVAP E
517
TÜ R EV VE U YG ULAM ALARI
7.
[jm sin(1 -c o s x ) _ sin(l-cosO )
x->0
x
0
sin(1 - 1)
11.
lim
x-»0
1 -c o s x
1-cosO
1+1-2 = —
O .belirsiz.
..
0
1-1
sinO
0 . .. .
= -------- = — belirsiz.
0
= lim
x->0
O
= lim
x-»o
cos(1 -c o sx)-sin x
1-0
sinx
O
belirsiz.
sin O
1+ 1
1
ex +ex _ e° + ec
= lim
X-+0 cosx
cos O
0 olur.
1
-2 olur.
CEVAP
CEVAP B
8.
1 + s in — x
lim
—
x^3 (x—
3)2
1 + sin —
2
1- 1
( 3 - 3 )2
0
12 .
belirsiz.
K K
— COS — X
2
= lim
x-»3
n
—
2
lim x->3
7T
2
071
cos—
2______2
2( x —3)
belirsiz.
2 (3 -3 )
71 . 7t
sın— x
2
2
7t
COS—X
cos2__
1-1
X-+1 1- r/îT
7
t
.
7
t
— — sın—- x
belirsiz.
lim
= lim =
2
7t
2
2
71
sın —
2
ti
x-»1
Tt2
37
sın—
4
2
2V7
7t olur.
CEVAPA
olur.
CEVAP D
9.
^cosx-1
S
a
1 13.
vS
^-«»- 4— 1
arctan2 x
Iım -------------x->0 sın3x
arctanO
O , .. .
-------------= — belirsiz.
sın O
O
1
Iım —-------- =--------------------- -------
lim ^1+ 4x2
x-»o 3cos3x
1-2
2
3cos0
3-1
2
^ 4 -1
1-1
CEVAP E
■VT.
-\l2 sinx
lim
X_>JL -2tanx(1 + tanz x)
4
(^a
* 2—
n
-2 tan *
—1
1+ tan
14.
—
2-1•(1+1)
0bx
lim
. .
x->0 sınax-sınbx
a -b
0
f,
_ O
O , .. .
= — belirsiz.
0
belirsiz.
2 +2
= lim
x-»o
acosO -bcosO
a -b
- 2 + 2x
= lim x + 1
x->0
3x2
e -e u
1 -1
O , ..
T~r— r-r-= -z ——=— belirsiz.
sınO-sınO
0 -0
O
a •eax - bebx
= lim
x-»0 acosax-bcosbx
2ln1-0 + 0
x-
2
CEVAP E
,ax
.. 2ln(x + 1 )-2 x + x 2
Iım
------ +5------------
x->0
— olur.
4
10.
olur.
belirsiz.
Y
(x + 1
6x
4
— belirsiz
O
(x + 1)3
4
2 ,
= Iım —
— = — = — olur.
= 1 olur.
x—>0
CEVAP D
6
6
3
CEVAP C
518
T Ü R E V VE U Y G U LA M A L A R I
15‘
3x2 - 3t2
Iım
t-+x 2 s in (x -t)
3x2 - 3x2
2 s in (x -x )
18.
O
u „ •
= —Obelirsiz.
sınO
O
-61
İnsin—
2_
(n-nf
Ilm lnsln—
x-»— ( * - 2 x )2
2
0
- 6x
-2 cos O
= lim
« 2(7t—
2x)(—
2)
cotO
= 3x olur.
(1 + cot x)
-8
= lim ir
X~*T
CEVAP B
2
0 . .. .
= — belirsiz.
0 0
- ( w f)
2-1
(t - » x olduğu için değişkenin t olduğuna dikkat edelim.)
•(1 + 0 )
=
'*■ ..
2 -c o s 2 x - e x
Iım
x->0
ln(1 + 2x)
cotx
= lim
X_JL - 4 ( * - 2 x )
T
- 6x
-
0
= — belirsiz.
- 6x
-2 co s(x-x)
lim
t—
>x - 2 c o s (x -t)
İni
8
olur.
CEVAP B
2 -c o s 0 - e °
In1
2 - 1-1
0
= — belirsiz.
0
= lim
x->0
2 sin 2 x - e x
2 sin 0 - e °
1 + 2x
0-1
1+0
19.
2
=
2
tan3x = 0 -co belirsiz.
l ( x_f
olur.
sine
. _
sin3x
tan3x = ---------- yazılırsa
cos:
cos3x
CEVAP C
H
I „•
2 J1,>,n 2
37C
I(*2
)
cos3x
17.
c o s x - 2 sin x - 1
lim
x-»0 cos 2 x + sın2 x - 1
0-(-1)^- = —o belirsizliğine
, .. . ....
co sO - 2 sinO - 1
cosO + sinO-1
—
dönüşür v e L ’Hospital kuralı uygulanabilir.
1- 0 - 1
n
2
1 sin3x + 3cos3x | x -----
1+ 0 - 1
lim
= — belirsiz.
-3sin3x
0
- s i n x - 2 cosx
lim
x+o - 2 sin 2 x + 2 cos 2 x
-s in 0 - 2 cos0
- 2 sin 0 + 2 cos 0
0 - 2-1
sın
3
it + 3cos
2„n 71 71
2
2
-3 sin
-2•O+2•1
-2
1 olur.
2 =—
-1 + 0
—3 ( —1)
CEVAPA
3
~2~~~2~J
3ti
olur.
CEVAP A
519
TÜ R E V VE U YG U LA M A LA R I
20 .
23.
lim (1 -ta n x ) sec 2 x = 0 oo belirsiz.
lim
U
x->1 I, lnx
lim
x-»1
..
c o s x -s in x 'j 0 , .. .
= Iım --------------------I = — belirsizliğine
* V c o s x c o s 2x
0
J
X_> 4
lim
n
x->1
71
K —. 7t
-4 Î
-4 1
0
0
1 lnx-
1-1
1
X->1
71
0-0
( x - 1)
lim
-s ın ------- cos- _________ 4______4______
71
1 —1 —İn 1
(1 —1) •In1 '
X
lim
-sin x -c o s x
-s in x cos2 x - 2 sin 2x cosx
7t
x - 1 -ln x
( x —1 )lnx
1-±
dönüşür ve L'Hospital kuralını uygulayabiliriz,
-
belirsiz.
)
Paydalar eşitlenirse
sinx
~
1
tanx = ---------, sec 2 x= -------— yazılırsa
cos2 x
(
UL.
x -1
1+ 1
belirsiz.
belirsiz.
1 .
= — olur.
2
-sın— c o s - - 2 sın— cos4
2
2
4
0 - 2 - 1-
İ2
CEVAP C
= 1 olur.
-42
CEVAP C
2 1.
lim
X-»0 ln(x 3 + x + 1 )
e -1
In1
4e‘4x
x-»o 3x2+1
1-1
=
0
0
” 0
4e° ^ 4
lim
1
x3 + x + 1
I 24%
1
1
Iim f4x + e3x| x =1 c0 belirsiz.
x->0v
/
= 4 olur.
y = (4x + e3x) x
CEVAP E
lny = — ln(4x + e3x)
22.
..I ı m(-----------------|
1 1 ^= co- oo belirsiz.
x->o^ x
lim (Iny) = lim -^-ln (4 x + e3x]
x->0
x-»0
'
ex -1 J
paydayı eşitlersek
= lim
x->0
ex - x - 1
x(e - 1)
2ln(4x + e3x)
lim
x->0
eu - 0 - 1
0
= — belirsizliği oluşur.
0 -(e° - 1) 0
e° - 1
e°
= lim
x^ ° 1 -(ex - 1)+ e x -x
«x
= lim
x-*o ex +ex -x + l-e x
e - 1 +e -0
4 + 3-e'3x
= Hm
= — belirsiz.
0
4x +
x->0
-3x
1
2-7
= I ı m ---------
x->0
e °+ e ° 0 + 1 -e°
1
1
lim (Iny) = 14 => İni lim y | = 14
x-»0
“ 1 + 0 +1
'
lx->0
/
lim v = e14 olur.
x-»o
= — olur.
2
CEVAP D
CEVAP B
520
TÜREV VE U Y G U LA M A LA R I
25.
lim ( c o t x ) s in x =
x-»(T
28.
oo° b e lir s iz .
lim h + ta n ( s in x ) l sinx" = 1 “
x-»0
■\
y = ( c o t x ) s in x
I n y = — ;---------ln [ 1 + t a n ( s i n x ) ]
In y = s in x ln ( c o t x )
lim ( ln y ) = l i m s i n x • ln ( c o t x )
lim ( I n y ) =
x->0
lim ( I n y ) =
x->o
lim
ln ( c o t x )
_
g
s in x
O
x-»0
1 + ta n 2 ( s in x )
oo
1
x-»0
l n [ l + ta n ( s in x ) ]
lim
x-»0
lim ( I n y ) = 0 -o o
00
1 + ta n ( s in x )
lim ( I n y ) = lim -
x->0
s in x
x->0
cosx
L 'H o s p it a l k u r a lı u y g u la n ı r s a
1 + ta n O
-1
lim ( I n y ) = lim
x-»0
lim ( l n y ) =
x->0
..Iım („I n y ). =
x -> 0
1
lim ( I n y ) = lim — = lim 1
x->0
In f
sınx s»rrx
5—
cosx cos x
1
lim y
= 1 = > lim y - e 1
V.x-*0 )
x->0
I ı m ------ — ?---------------------^
x-»0
1
lim ( I n y ) = lim
x -> 0
x -» o
İn
1
c o tx
cosx
lim -
x->0
1 + la n 0 cosO
x->0
=> lim y = e
x -*o
o lu r .
CEVAP C
s ın x
s in O
Q -q
cos O
29.
1
lim (1 —x ) lnx = 0 ° b e lirs iz .
x—>1
lim y I = O = > lim y = e ° = 1 o lu r .
\x -» 0 /
x-»0
'
y = (1 - x ) lnx
CEVAPA
e
In y = ln x - İ n (1 —x )
I
26.
xlim
-»0(1 + s in x ) x
lim ( I n y ) = lim f ln x ln (1 —x ) l
x-»1
= 1 °° b e lir s iz .
x-»1
J
lim ( In y ) = lim
x->v
y = (1 + s i n x ) x
ln (1 ~ x ^ = -Ş -
x-»ı
_1_
O
b e lirs iz
ln x
In y = — ln (1 + s i n x )
x
lim ( I n y ) = lim
x -> 0
x —>0
ln (1 + s i n x )
_0_
x
0
cosx
lim ( l n y ) =
x->0
7'
lim -
x-*1
cos O
1 + s in x
x->0
lim (In y ) = l i m --------
x->1
_
1
1 + s in O
1
l n [ lim y ] = 1 = > lim y = e 1 = e
lx - » o J
x -*o
İn x
1 1
.. „
,
..
x l n 2x
Iım (In y ) = I ı m
o lu r .
x -v r
x->ı
O
= —
1 -X
lim (In y ) = l i m
2 7 _
|jm
lo g ( x + 9 5 ) - 2
x ->5
x -5
x—>1
lo g 1 0 0 - 2
x—>1
5 -5
2-2
x + 95
-
—1
ln2x + 2lnx
O .. .
lim ( In y ) = lim
= — belirsiz.
5 -5
O
lim -
O
o
1x
1 ln x + 2 ln x
CEVAP D
x->1
lim (In y ) = —
lo g e
x->1
31
-1
= 0
x->5
1
100
İn
lo g e
100ln10
In y
\X—
>1/
= 0 = > lim y = e
x_>1
=> lim y = 1 olur.
x ->1
o lu r .
CEVAP E
CEVAP C
521
TÜ R E V VE UYG U LA M A LA R I
30.
( 1
lim
X->00
eTx
32.
^X
1
+—
f ° belirsiz.
x
lim
h-»0
f(1 + 2h) -f(1
h
3h)
0
lim (lny)= lim x İn
X -)C 0
X
X -X »
—
L’Hospital kuralı uygulanırsa,
r 1
— 1>
İn e x +-• -
X-KO
X
V
1
X
0
0
= lim
h-»0
f'(1) = 3 verildiğinden,
— 1
X -» 0 0
= 5-3 = 15 olur.
CEVAPA
i
exX + 1
İni lim yI = lim -------- ^4 - = 1
,
1
= 5 f'( 1 )
e x +—
lim ----------------^
X—
2 - f'( l + 2h) + 3 f'(1 -3 h )
= 2-f'(1) + 3f'(1)
ı i _1
\X—>eo )
belirsiz
■
M
h
lim y = e1 = e olur.
CEVAP B
S
esinx - 1
e° - 1
1 -1
0u
.
Iım ---------------- = ------------- = --------= — belirsiz.
x-»o ln(1 + tanx) İn(1 + 0)
In1
0
..
co sx-e sinx
cos 0 -e°
= lim -------------=-------- =— t—■=—
x-+0
1 + tan x
1+ 0
-
1 + tanx
^+ 0
11
.1 olur.
.
= -------=
1
CEVAPA
522
TÜ R E V VE U YG U LA M A LA R I
ÇÖZÜMLÜ TEST - 9
4.
f(x) = (2x-3 )4 - 1 0ln(x2 + 1) olduğuna göre,
K a rm a u y g u la m a la r: 1
,im ^±hH a
h->0
1.
f(x) =x2-Vl 3x"
nindeğeri kaçtır?
A) 102
f(x)- İnenkısaşekli aşağıdakilerden
olduğunagöre, d^
hangisidir?
3x 4 + 2x
A)
B)
2 v 1 -3 x a
- 12 x 4 + x
C)
D)
:V l- 3 x 3
-21 x
B) 148
C) 196
D) 210
E) 216
+4x
2 V l- 3 x 3
-1 5 x
+ 2x
2 > /l-3 x 3
E)
-4 x 3 +3x
>/l —3 x 3
5.
d . 2
sın
dx
ifadesinin
2.
h
A) 1
f(x) = (x3 + 2 x )3 - 2 x + 1
x
1 'I
4 )
X+— n
=— içindeğeri kaçtır?
C) 0
B)
D) —
E) -1
fonksiyonunun x = - 1 noktasındaki türevinin
değeri kaçtır?
A) 127
B) 126
C)120
D) 118
E) 110
6.
f
f(3x-2) = 4x3 + 3x - f(x)
3.
dx
olduğuna göre, y = f(x) fonksiyonunun x = 1
noktasındaki türevinindeğeri kaçtır?
«
i
B)4
C)
15
D)
17
1
X
l 2
1
3
71
.
ifadesinin x = 0 için değeri kaçtır?
E) 6
A) T
523
B)
C )0
□) - y
E) —1
TÜ R E V VE U YG U LA M A LA R I
10.
y=x2.(elnx-lnx2)
h(t)=6+3cos^-^-7itj
olduğuna göre,
dh
d2y
olduğuna göre, —
dx^
nin t = 1 için değeri kaçtır?
A) - 1
A )-i
8.
B) " T
C)- f
° )f
İS
e
f(3) + (x - 3) f '(3) = 10 e ş itliğ in i
11.
B) 20
^
f(x)=
C )28
D )35
D) 2
E) 3
f :R
sağlayan x değeri kaçtır?
A) 15
C) 1
E) T
f(x)=Vl +x
o ld u ğ u n a göre,
B) 0
nin x = 1 için değeri kaçtır?
E )40
x.
x<1 ise
ax2+b, x>1ise
fo n ksiyo nu apsisi
x = 1 olan noktada tü re vli
olduğuna göre, a + 3b kaçtır?
A )- 3
f(x3)=3-g(5-8x)
9.
B) - 2
ün değeri kaçtır?
’ f( ı 9 ü
B) - 42
E) 2
f(x) =cot2x--^-(lncos32x'l
dx v
1
olduğuna göre,
A ) - 45
D) 1
12 .
g '( 3 ) = -
olduğuna göre
C )0
C) —40
D) 24
A) 6
E) 30
524
B) 4
f(2008) kaçtır?
C) - 1
D )- 2
E)
TÜ R E V VE UYG U LA M A LA R I
13. f :R-» R
16.
f(x) = x 3 - 26
f(x) = ta n ^
(T )
olduğuna göre, f'(2) aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
olduğunagöre, (f —
1V(1) indeğeri kaçtır?
1
1
B>*T
1
1
C>İ8-
1
A) - 6n
B )-4 k
D) 6rc
C )0
E)
7%
E>İ2"
17.
14.
f(x) = | x - (a - 2) x + 3a - 1 1 1
f(x) = e x -İn —
x
fonksiyonlarının VxeR detürevli olması içinanın
değer alabileceği en geniş aralık aşağıdakilerden
olmalıdır?
olduğunagöre, f'(1) hangisineeşittir?
A )-e 2
B )-e
C) 1
E) e2
D) e
A) - 4 ^ a £ 8
B) - 2 < a ^ 1 2
D )4 < a < c o
C )0 < a < 1 2
E) 4 < a < 1 2
15.
y = x -arctan x ------ ln (l + X2)
18. P(x) polinomfonksiyonununtürevi P'(x) ve
olduğuna göre, dy aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
A)
x
~7~~T
D)
x
B ) _______
arctan x
arctanx + ln(1+x2)
P ( x ) - P '( x ) = 2x2 + 3 x -1
olduğuna göre, P(x) in katsayılarının toplamı kaçtır?
A) 11
.. In(1 + x2)
C)
x
E) arctanx
525
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
TÜ R E V VE U YG U LA M A LA R I
21.
19>
f(-1 + x-e x ) = x 4 + x2 - 3 x
9(x)=- 7 İ ö
olduğunagöre, f'(-1) indeğeri kaçtır?
A)
-3
B )-2
C )0
D )2
olduğunagöre, g'(x) aşağıdakilerdenhangisineeşittir?
E )4
A )_J^
b)_ ^
f 4(2 x)
_Ş2*>_
f (2 x)
f ( 2 x)
4f'(2x)
4 f,(2x)
f 3(2 x)
f 4(2 x)
22.
20. f : R
R
f(x) =
sgn(lnx),
0 < x < 1 ise
x + [x ],
x>1
ise
y = f(x) fonksiyonunun türevinin grafiği yukarıdaki gibidir.
fonksiyonuveriliyor.
Bunagöre,
Bunagöre, aşağıdakilerdenhangisi doğrudur?
f'( - 2 ) + f
(*M H
toplamınındeğeri kaçtır?
A )- 7
B) - 6
C )-2
A)
(-2,-1) aralığında f sabittir.
B)
(-4,-2) aralığında f azalandır.
C) x =
1 için f nin yerel minimumu vardır.
D) x = 3 için f nin yerel maksimumu vardır.
D) 3
E) 7
E) x = - 4
526
için f nin yerel minimumu vardır.
TÜ R E V VE U YG U LA M A LA R I
23.
x3 - 3xy2 + y3 = 1
25.
f(x)
g (3 x -i)
eğrisinin A(2, -1 ) noktasındaki normalinin denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
biçim inde tanımlanan f fonksiyonu için f(1) = 7,
g(2 ) = - 6 olduğuna göre, g'( 2) kaçtır?
A )- 2
B )‘
C )-1
D)
A) 5 x - 3 y - 13 = 0
B) 5 x - 3 y + 13 = 0
C) 5x - 3y = 0
D) 3x - 5y - 1 3 = 0
E) 4
E) 3x - 5y + 4 = 0
24.
x = 3t - 12
26.
y = 2t + 3
p a ra m e trik d e n k le m le riy le v e rile n y = f(x)
fonksiyonunun t = 1 noktasındaki teğetinin denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = 2x + 3
Grafik, y = f(x) fonksiyonun türevine aittir.
B) y = - 2x + 1
D) y = 2x - 4
C) y = 2x + 1
E) 2x + y = 9
B una göre, y = f(x) fo n k s iy o n u n u n g ra fiğ i
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
27. x + y = 0 doğrusu y = x 2 - 2 m x + 3n parabolüne
A(-1,1) noktasında teğet olduğuna göre,
m - n kaçtır?
A) -
527
B ,- l
O
f
□)
E) 1
TÜ R EV VE U Y G U LA M A LA R I
28.
y = 2 x2 - (a + 2 ) x + a
31.
eğrilerinin ekstremumnoktalarının geometrik yer
denklemi aşağıdakilerdenhangisidir?
A) y = - 2x2 + 4x
B) y = - x2 + 4x - 2
C) y = - 2x2 + 2x
D) y = 2x2 - 4x + 2
E)
f(x) = x + —
fonksiyonunungrafiğininxeksenineparalel teğetleri
arasındaki uzaklıkkaçbirimdir?
A) 4
B) 6
D) 10
E )12
08
y = - 2x2 + 4x - 2
29. RdenRye
f(x) = x2 - 2x +3 ve g(x) = ax2 + bx+1
fonksiyonlarınıngrafiklerineaynı apsisli noktalardan J
çizilen teğetler birbirine paralel olduğuna göre, ^
(a,b) sRxRaşağıdakilerdenhangisidir?
A) (1 .-2 )
B) (-1,1)
C)(1,2)
D) (2,1)
E) (2,3)
|
CEVAP ANAHTARI
1. B
2. A
3. C
4. D
5. E
6. B
11. C
7. C
8. D
9. C
10. B
12. E
13. A
14. B
15. E
16. D
17. E
18. E
19. A
20. B
21. D
22. E
23. B
24. B
25. A
26. C
27. B
28. E
29. A
30. D
31. C
30.
f(x) = - 2x3 + 6x + a
fonksiyonunungrafiği iley=0doğrusununfarklı üç
noktada kesişmesi için a nın bulunduğu en geniş
aralıkaşağıdakilerdenhangisi olmalıdır?
A )3 < a < 5
B )a < -4
D)-4<a<4
C )-5 < a < 4
E)a>4
528
TÜ R EV VE UYGULAM ALARI
TEST - 9 ÇÖZÜMLERİ
f(x) =x2->/l-3x3
-9x
df^ -=2x>/l-3x3
dx
2>/l-3x3
4x(l-3x3)-9x4
2\J1- 3x3
4x- 12x4-9x4
2-y/1—3x3
-21x4+4x olur.
2>/l-3x3
sin2|^x+-2-uj =2sin^x+-2-ttj •cos^x+-2-tcj •1
=sini 2| x+—n
=sin|^2x+-2-jıj
x=— içindeğeri: s;in|
in 7i+ — u | = : 3tc
l 2 )
CEVAP E
CEVAP B
2.
f ( x ) = (x 3 + 2 x )3 - 2 x + ~ d
- - COS
f'(x )= 3 (x 3 + 2x )2 -(3x 2 + 2 ) - 2 — | -
2(
1X 1
^
7ü
lx
l2 3 J
n
• M—x 1 ît^ —1
2cosM—x 1 kY -sın
l 2 3 A l 2 3 )) 2
f'(-1 ) = 3 ( - 1 - 2 )2 (3-1 + 2 ) - 2 - 6
f'(-1 ) = 3 -9 - 5 -8
f'(—1)=135—8
1
f'(- 1) = 127
2
CEVAPA
2n}
cosf x----l
3J
x=0 içindeğeri:—2-Cos-^- =—
f ( 3x - 2 ) = 4x 3 + 3x - f(x)
=—
4 olur.
3 •f'(3x - 2) = 12x2 + 3 - f'(x)
3-f'(1) = 12 + 3 - f /(1)
CEVAP B
4f'(1) = 1 5
CEVAP C
4.
h (t) = 6 + 3cos^-2-7it j
f ( x ) = ( 2 x - 3 )4 - 10 ln (x 2 + 1 }
1- = (^ -3os ın
• —
1 jctJ-—
*") 1 it
lim f(3+h)—1122. =f'(3) olduğundan
h-»0
h
f'(x) = 4(2x ~ 3 )3 •2 - 1 0 -
f'(3) =4(6-3) 2-10
= - H in( ı H
x +1
1 . 1
=—2
—
rcsın—n
6
6
10
1
1
2 71 2
f'(3) = 8 - 2 7 - 6
f'(3) = 2 1 6 - 6
= — — olur.
4
f'(3) = 210
CEVAP C
CEVAP D
529
TÜ R E V VE UYG U LA M A LA R I
f(x ) = V 1 + x
11.
1
f'(x)>
x s 1 ise
f ( x) =
ax + b,
2^1 + x
x > 1 ise
f '( 1 ~ ) = f '( 1 + ) = f '( 1 ) olmalıdır.
f (3 ) = 2, f '( 3 ) = —
3x =2ax = 3x^
f ( 3 ) + ( x - 3 ) f ' ( 3 ) = 10
3 = 2a = 3 => a = —
2
2 + ( x - 3 ) ~ = 10
diğer yandan x = 1 için türevli olması için bu noktada
8 + x -3 = 4 0
limiti de olmalıdır.
x+5=40
lim f = lim f = lim f
x->1~
x-vt+
x-»1
x = 35
13 =a + b = 1
CEVAP D
9*
3 , - .
1
2
2
— + b = 1 =>b = —
f(x3) = 3 g ( 5 - 8 x )
3x 2f'( x 3 ) = 3 g'(5 - 8x ) -( - 8)
a + 3b = — + 3 | — —| = 0
2
l
2)
olur.
x2 -f'(x 3) = - 8 g '( 5 - 8 x )
g'(3) =
16
f(x) = cot 2 x--^— (incos 3 2 x)
dx
verildiğinden
3cos2 2 x(-sin 2 x)-2
x = — yazılırsa
4
f(x) = cot 2 x-
—
- 6 -sin 2 x
f(x) = cot 2 xcos2 x
V- 8- g' ( 3)
16
164 J
16
l 64
te )-
J
CEVAP C
cos3 2 x
f(x) = - 6cot 2 x t a n 2 x
16
f(x) = -6
40
f (2008) = -6
olur.
CEVAP E
CEVAP C
10 .
13.
y = x2 (elnx -lnx2)
f : R —» R, f (x) = x3 - 26
y = x 3 - 26
y = x 2 (x - 2 lnx) = x3 - 2 x2 lnx
dy
dx
x3 = y + 26
3x 2 -4 x -ln x + ----- (_2x2)
f “ 1 (x) = Vx + 26
_dy_= 3x 2 - 2 x - 4 x ln x
f “1 (x) = (x + 26) 3'
dx
(f-,)W=^-(x+26)-y
#y_ = 6 x - 2 - 4 - ln x + ----- (-4x)
dx2
d2y = 6x - 4lnx - 6
(f- ’ ) '( 1 ) - y - 2 7 ' T
dx2
( r 1)'(1) = ^ r
x = 1 için d e ğ e ri: 6 - 0 - 6 = 0
o'ur.
CEVAP B
CEVAPA
5 30
TÜ R E V VE U YG U LA M A LA R I
14.
18. P (x )-P '(x ) = 2x 2 + 3 x -1
f(x) = e * -İn—
x
olduğundan P (x) = ax2 + bx + c
1
—
1 1
f ( x ) — — e * İ n—
x x
—
ex
yr
P '(x) = 2ax + b gibidir.
Bunları verilen eşitlikte yazalım.
f '( 1 ) = - 1 e O - 1 e1
ax2 +bx + c - 2 a x - b = 2x 2 + 3 x -1
f'(1 )— e
CEVAP B
15.
ax2 + (b -2 a )x + c - b = 2x 2 + 3 x -1
a = 2,
y = x a rc ta n x — —İn ( l + x2)
b -2a = 3,
c - b = -1
c -6
b»7
dy
1
- r - = 1 - arctan x + x
dx
1+ x
= arctan x
1
2
2x
a + b + c = 2 + 7 + 6 = 15 olur.
1 + x2
CEVAP E
olur.
CEVAP E
19. f(-1 + x e x) = x 4 + x2 - 3 x
16.
(1 •ex + x •ex) •f '(-1 + x • ex) = 4x 3 + 2x - C
f(X>= tan3( i r )
- 1 + x -e x = - 1
olacağından
x-e x =0
f'(2 )= 3 ta n 2 - j - ( l+ t a n 2 - j - j ~
x=0
(e° + 0 )-f'(-1 + 0) = 4 0 + 2 - 0 - 3
f'(2 ) = 3 -3 (1 + 3 ) ~
6
f'(-1 ) = -3
olur.
f '( 2 ) = 6n olur.
CEVAPA
CEVAP D
20 .
17. f(x) = | x2 - ( a - 2 ) x + 3 a - 1 l|
|x 2 - 3 x + 2|,
Mutlak değer içindeki ifadenin, bu ifadeye işaret
değiştirten köklerinde f(x) in türevi olmadığından
f(x )=
x 2 - (a - 2 ) x + 3 a -1 1 = 0
A ^O
+
,
0 < x <1 ise
x + [x ]
,
x >1
ise
f'(x ) = 2x - 3
0 < x < 1 is e f( x ) = s gn — = 1
4
a2 - 1 6 a + 48 <0
A
sgn(lnx)
f'( - 2 ) = -7
a2 - 4a + 4 - 1 2a + 44 £ 0
-c o
ise
x < 0 ise f(x) = x2 - 3x + 2
olmalıdır.
A = (a - 2)2 - 4 •1 •(2a -11) ^ 0
X
x£0
a ,= 4 ,
a2=12
4
12
/y y Q
(1 )“
x >1
co
ise f '[ — I = 1+0 = 1
+
f '( - 2 ) + f '[- 5- ) + f ' [ - f- ) = - 7 +0 +1
4 < a < 12
olur.
CEVAP E
CEVAP B
531
TÜ R E V VE U YG U LA M A LA R I
2 1.
25.
g(x)=
f z (2 x)
g '(*) =
g'(x)
F(x,y) = x 3 - 3 x y 2 + y 3 =1
f (2 x)
3x^ - 3 y
F'(x,y) = ~
- 6xy+ 3y 2
4 f'(2 x )
f 3 (2 x)
x2 - y 2
F '(x.y) = -
- 2 xy + y 2
CEVAP D
F/(2, -1 ) = —
4 -1
4+1
3
22. A) (-2, - 1) de türev sabittir, f sabit değil yanlış
B) (-4, -2 ) de f ' > O olduğundan f artan yanlış
C) x=1 de, f'( x ) ^ 0 ın kökü olmadığı için minimum yok
yanlış
y + 1 = ^ - ( x - 2)
D) x = 3 için f ' nün maksimumu var yanlış
E) x = - 4
3y + 3 = 5 (x -2 )
f'(x ) = 0 in kökü ve önce (-) sonra (+)
olduğu için doğru
5 x - 3 y - 1 3 = 0 olur.
CEVAP E
23.
CEVAPA
g (3 x—1)
f(x) =
, f/^
'
3 g '( 3 x - 1 ) x 2 -2 x -g (3 x -1 )
f/(<|)
3 .g '(2 ).1 -2 .g (2 )
A
7 = 3 g '( 2 ) - 2 ( - 6 )
7 = 3 g '( 2 ) + 12
g,( 2 ) = — —
26. x = 3 t - t z
y = 2t + 1
olur.
dy
dt
dx_
"d t
CEVAP B
24. Grafiğe bakılarak türev tablosu yapılırsa
X
- 00
-1
00
4
3 -2 t
-
♦
f'(x )
y'(1) = 2
f(x)
t = 1 için x = 2, y = 5
m n.
m 3X.
A (2.5)
x = - 1 de f(x) in yerel minimumu
y - 5 = 2 x -4
x = 4 te f (x) in yerel maksimumu olduğu bunu da B nin
sağladığı görülür.
y = 2x + 1
olur.
C EVAP C
CEVAP B
532
T Ü R E V VE U Y G U L A M A L A R I
30.
2 7 . x + y = 0 => y = - x
m, = - 1
y = x 2 -2 m x + 3n
y '- - 2 x - 2 m
y '( - 1) = - 2 - 2 m
m, =y'(-1)
Verilen eğri ile y = 0 doğrusunun (x ekseni) farklı üç
noktada kesişmesi için y = 0 ın f(x) in maksimum ve
minimum değerleri arasında olması gerekir.
-1 = -2 -2 m = > m =
y = x + x + 3n
• f(x) = - 2 x 3 + 6x + a
A ( - 1 ,1) bu parabol üzerinde olduğundan
1 = 1 -1 +3 n ^ n = 1
1
2
3
f'(x ) = - 6 x2 + 6 = 0
1
x2 =1
x, = - 1 , x5 = 1
olur.
V
X
-OO
co
CEVAP B
♦
f'(x )
,
-
f(x)
mın.
28.
y = 2 x2 - ( a + 2)x + a
max.
f(-1 ) = a-4 f(1) = 4 + a
f ( - 1) < y = 0 < f( 1 )
y ' = 4x - a - 2 = 0
a -4 < 0 < 4 + a
4x =a + 2
a - 4 <0=>a <4
a = 4 x - 2 yi
parabol denkleminde yazarsak
0 < 4 + a = > -4 < a
istenen geometrik y e r:
-4 < a < 4
olur.
CEVAP D
y = 2xz - ( 4 x - 2 + 2)x + 4x - 2
y = -2 x 2 + 4 x -2
31.
olur.
4
f (x) = X+ —
CEVAP E
f*(x) = 1 — y -
29.
x0 noktasındaki teğetler x eksenine paralel is
f(x) = x2 - 2 x + 3 = > f'(x ) = 2 x - 2
f'(X c) = 1 - 4 - = °
g(x) = ax2 +bx + 1 =>g'(x) = 2 ax + b
x0 noktasından çizilen teğetler paralel ise:
x2 = 4 => x 0 = -2, x0 = 2
f'(x 0 ) = g'(x 0 )=> 2 x0 - 2 = 2 aXo +b
y0 = f(x 0) dan
2 a = 2 , b = -2
y0 - f (-2) => y0 = - 4
a=1
(a,b) = (1 , - 2)
y0 = f (2) => y0 = 4
olur.
İstenen uzaklık : | - 4 | +4 = 4 + 4 = 8 olur.
CEVAP C
CEVAPA
533
TÜ REV VE UYGULAM ALARI
ÇÖZÜMLÜ TEST - 10
4.
Asim ptotlar ve fonksiyonların grafikleriyle ilgili
uygulamalar:
x = 3 ve y = 2 doğrularını asimptot kabul eden ve
y eksenini - 2 noktasında kesen eğrinin denklemi
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
1.
A) y =
2x - 3
f(x )-
ax + b
fo n k s iy o n u n u n g ra fiğ in in a sim p to tla rı K(-1,3)
noktasında kesiştiğine göre, a + b kaçtır?
A) 1
C) 2
B)
D)
C) y =
E) 4
2x - 6
x+3
2 x -3
E) y -
f(x) =
B) y =
x+6
x -3
D) y =
x- 6
x+3
2x + 6
x -3
■ax + b
X -c
fonksiyonunun grafiğinin sim etri merkezi (3, - 2)
olduğuna göre, a kaçtır?
A ) -1 1
2.
f(x):
B) —10
C )-9
D) - 8
E )-7
ax + 3
2 x + ab
fonksiyonunun grafiğinin sim etri merkezi P(4,-3)
noktası olduğu
noktada keser?
f(x) = (x—1) (x+2)2
A )- 2
C) 2
B)
°> T
E)4
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
3.
y=-
3x + 4x - 5
x+3
fonksiyonunun eğrisine ait eğik ve düşey asimptotlar
(a,b) noktasında kesiştiğine göre, b - a kaçtır?
A )- 1 3
B) - 12
C )-1 1
D) 4
E) 7
534
T Ü R E V VE U Y G U L A M A L A R I
7.
1 0 . Yandaki grafik aşağı
Yandaki grafik aşağıdaki
fonksiyonlardan
hangisine ait olabilir?
daki fonksiyonlardan
hangisine ait olabilir?
A) y = 2 (x + 3)(x- 1)2
B) y = - l ( X- 1 ) 2(x + 3)
x+1
A) y = -------
x -1
B) y= --------
X
C)
y = A ( X-3 )(x + 1)2
o
X
D) y = J L (x + 3 )(x -1 )2
3
D) y =
E) y = J-<x + 3)(x + 1)2
8.
x+1
x -1
E) y =
c>y =—
x -1
x+1
Yukarıdaki grafik
y = (x+1)2 (x—1) (ax+4)
fonksiyonuna ait
S
olduğuna göre,
i
a kaçtır?
•S 1 1
y=
A) —4
9.
B) —3
C) —2
D) 1
x2 +3x
x+3
(x + 2)2
B) V " x + 2
v
X2 -3x
(x + 2)2
x+3
C)
(x -3 )2
fo n ksiyo nu n u n gra fiğ i a şa ğ ıdakilerden h angisi
olabilir?
E) 2
Grafik aşağıdaki
fonksiyonlardan
hangisine ait olabilir?
A)V
(x + 1 )(x-2)
(x + 2)2
x2 +3x
E )y = " 7 7 T “
535
TÜ R EV VE U YG U LAM ALAR I
15.
12. Grafiği verilen
fonksiyonundenklemi
aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
f(x) =
2*r - 6x +a
fonksiyonunun grafiğinin düşey asimptotu
olmadığına göre, a nin en küçük tamsayı değeri
kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
A) y:
C)
x -1
D) y =
E) y =
(x + 1) (x —1)
(x + 1) ( x - 1)
13.
16.
y = . x + ax + b
x +2
f(x) = x + 3 - V x 2 + 6 x - 7
fonksiyonunun grafiği x=1noktasındaxeksenine
teğet olduğuna göre, bu eğrinin eğik asimptot
denklemi aşağıdakilerdenhangisidir?
A )y = x + 2
B) y = x - 2
D) y = x - 1
fonksiyonun grafiğinin asimptotları ile y ekseni
arasındakalanbölgeninalanı kaçbr2dir?
A) 6
C )y = x + 1
B) 7
C) 8
D)
E) 10
E )y = x
14. Yandaki grafikaşağıdaki
fonksiyonlardan
hangisineait olabilir?
17.
A) y =
C) y =
x -x +2
B) y =
X +1
x - x -2
D) y =
x -1
2x+l f x
2x J
fonksiyonuna ait grafiğin yatay asimptotu
aşağıdakilerden hangisidir?
x2 + x - 2
x-1
y=
x2 - x - 2
X+ 1
A )y = 3
E) y:
B )y = - 3
C )y :
x2 - 3x + 2
D )y = 1
x -1
536
E) y = e3
TÜ R EV VE U Y G U LA M A LA R I
18.
fo n k s iy o n u n u n g ra fiğ i aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
B)
O 1
x-2
A) y
(x -ı
D)
b
y
) y :
D) y =
C) y =
-2 x
(x + 1)2
(x -ır
1 2
( x + 1) ‘
E) y =■
(x-1V
E)
19.
3x2
y
(x+fl?
CEVAP ANAHTARI
fonksiyonuna ait grafiğin yatay asimptotunu kestiği
noktanın apsisi kaçtır?
A )y
B) 1
C )y
D ) ~
2. B
1. D
E )-1
537
3. C
4. E
5. D
10. B
6. E
7. D
8. C
9. A
11. A
12. D
13. E
14. C
15. B
16. D
17. E
18. B
19. D
20. C
.
TÜ R E V VE U YG U LA M A LA R I
T E S T - 1 0 ÇÖZÜMLERİ
1.
ax + b
biçimindeki fonksiyonların (homografik
cx + d
fonksiyonlar) asimptotlarının kesim noktasına simetri
merkezi denir.
f(x) =
3.
y=-
3x + 4 x - 5
x+3
düşey asimptot: x + 3 = 0 => x = -3
Buna göre,
eğik asimptot:
3x + 4x - 5
cx + d = 0 =>x = —— düşey asimptot
+ 3x2 T 9x
-5 x -5
lim f( x )= — =>y = — yatay asimptot
X—
c
x+3
3 x -5
C
± 5x± 15
simetri merkezi: K f - İ , A
V.
c
olur.
10
c ,
x = - 3 için y = 3 •(-3) - 5
2x - 3
r~ nin asimptotları simetri merkezinde
ax + b
kesiştiğinden
f(x) =
y = -9 -5
y = -14
(a,b) = (-3,-14)
b - a = -14 + 3 = -1 1 olur.
CEVAP C
=- 1:
n
2
2 . 2
— = 3 = > a = —, b = —a
3
3
2
2
4
a + b^ — + •— = — olur.
3
3
3
CEVAP D
f(x)
ab
ax + 3
2 x + ab
= 4=>ab = -8
4.
— = -3= > a = -6
2x + 6 „ . . .
y = — —— eğrisinde
2
f(x)
Seçenekler tek tek incelenirse
b = -i
3
- 6x + 3
2 x -8
düşey asimptot: x - 3 = 0 = > x = 3
yatay asimptot: y = 2
x = 0için y = —— = -2 olduğu görülür.
y = f(0) = — — olur.
CEVAP B
C EVAP E
538
T Ü R E V VE U Y G U L A M A L A R I
5.
f(x)
yt
9.
+ ax + b
X —c
simetri merkezi: (3, -2 ) olduğundan
düşey asimptotu : x - c = 0= >x = c = 3
f(x ) = -
CEVAPA
x 2 + ax + b
x -3
yatay asimptot:
x 2 + ax + b
x *± 3 x
Rasyonel fonksiyonların paydasının çift katlı köklerinde
baca, tek katlı köklerinde kelebek oluşacağından ilk
bakışta B ve E nin olamayacağı görülür. C deki x eksenini
tek noktada kestiği için olmaz D deki x eksenini 0 ve 3
noktalarında kestiği için olmaz. A da düşey asimptot
x = -2 , yatay asimptot y = 1 ve x eksenini -3 , 0
noktalarında kestiği için bu grafik A daki fonksiyona aittir.
10 .
X = 0 da kelebek oluştuğu için A ve B olabilir. x eksenini
başlangıç noktasının sağında (pozitif tarafta) kestiği için
B olabilir. A da negatif tarafta kesiyor.
x -3
x+(a+3)
CEVAP B
(a + 3)x + b
11. x = 3 paydanın çift katlı kökü olduğu için bu noktada baca
X (a + 3 )x ± 3 a ± 9
vardır. Sadece A ve E olabilir. Fonksiyonun yatay
asimptotu y = 1 olduğundan A daki grafik fonksiyona ait
olabilir.
3a + b + 9
y=x+a+3
CEVAPA
-2 = 3 + a + 3=>a = -8 olur.
CEVAP D
6.
5
6 1 2 . x = - 1 de x ekseni teğet, x = 1 de kesen olduğundan ilk
®=j
bakışta D ve E olabilir. Grafikte de D deki fonksiyonda
yatay asimptot y = 1 olduğundan
f(x) = ( x - 1) ( x + 2)2
f(x) = 0 için x-) = 1, X2 = X3 = -2
(E de eğik asimptot var.)
tek kat köklerde x ekseni kesen, çift kat köklerde x ekseni
teğet olur.
CEVAP D
x = 0 için f(0) = - 4 olduğundan bu koşulların sadece E
deki grafikte sağlandığı görülmektedir.
CEVAP E
yt+ ax + b
.-
13. y = --------- —
x+2
7.
mn
x = - 3 tek kat kök kesen
(x + 1)2 = x2 +ax + b
x = 1 çift kat kök teğet
x = 0 için y = 2 olduğundan
= 2 , b = 1 olur.
CEVAP D
y=-
8.
i x = 1 noktasında x eksenine
teğet olduğundan x = 1 payın çift katlı köküdür. Yani
x2 + 2x + 1
x +2
x +2
x = 2 de x ekseni kesen olduğundan
(ax+4) te x = 2 yazılırsa,
a - 2 + 4 = 0 = > a = - 2 olur.
eğik a s im p to t d e n k le m i: y = x olur.
CEVAP C
CEVAP E
539
TÜ R E V VE U YG U LA M A LA R I
14. Düşey asimptot: x = 1 olduğundan A ve D olmaz.
17.
x = 0 için y = 2 olduğundan E de olmaz. Grafik x eksenini
f
■
M
H
İ
x = - 1 ve x = 2 noktalarında kestiğinden
CEVAP C
lim y
lim
K
İ
X -» c o \
X—KO
lim y = e3 => y = e3 olur.
15.
X->«o
nın düşey asimptotu olmadığına
f(x) =
2 x - 6x + <
göre, paydanın kökleri yoktur.
CEVAP E
2 x2 - 6x + a = 0
A <0 olacağından
18. Payın çift katlı kökü olduğundan grafik x eksenine teğettir.
Paydanın çift katlı kökü olduğundan baca vardır.
ac <0
*-(t J
x = 0 düşey asimptot,
A=3 -2 a < 0
y = 1 yatay asimptot olduğundan bu fonksiyonun grafiği
B seçeneğindeki grafik olabilir. (Eğri, düşey asimptot
dışındaki asimptotları kesebilir.)
9 - 2a < 0
9 <2a
CEVAP B
4,5 < a
a = 5 olur.
CEVAP B
^
|
19.
y=
16.
yjax2+
f(x) =
bx + c fonksiyonunun grafiğinde a < 0 i
asimptot yoktur.
3x
3x"
(x + 1)2
x 2 + 2 x +1
olduğundan
yatay asimptot y = 3 tür.
3x
a > 0 ise eğik asimptotlar vardır.
x + 2 x +1
Bunların denklemi:
: 3 => 3x2 = 3x 2 + 6x + 3
6x + 3 = 0
/— x + ——
D dır.
y = Va
2a
x = —— olur.
2
f(x ) = x + 3 - V * 2 + 6 x - 7
CEVAP D
a = 1 > 0 olduğundan eğik asimptotlar,
y = VÎ’
6
2-1
20 . x = 0 için y = 0
y = |x + 3|=>y = - x - 3 , y = x + 3 olur.
y = 0 için x, = 0, x 2 = 2
düşey asimptot: x = 1
yatay asimptot: y = 1
grafikte baca olduğu için fonksiyonun paydasının çift katlı
kökü var ve bu kök x = 1 dir.
Bu koşular sadece C seçeneğinde sağlandığı için
CEVAP C
540
TÜR EV VE UYGULAM ALARI
ÇÖZÜMLÜ TEST -1 1
f ( x ) ^ x ln 2x
K a rm a u y g u la m a la r: 2
fo n k s iy o n u n u n
y e re l m aksim um
aşağıdakilerden hangisidir?
1.
n o kta sı
f(x) = 2 ex _4x
A) (1.0)
fo n k s iy o n u n u n azalan o ld u ğ u en geniş aralık
aşağıdakilerden hangisidir?
A) (-00,-4)
B)(-oo, 3)
D) (- 00, 2 )
2.
f(x) =
C) (-4,-2)
B) (e,e)
D)
( e2
' t2 )
C)
E) (e2, 4e2'
E) (2, oo)
A (1 ,-3 ) noktası,
,x ln x
f(x) = x 2 + ax + b
fonksiyonunun yerel minimum değeri aşağıdakilerden
hangisine eşittir?
fonksiyonunun yerel minimum noktası olduğuna
göre, (a,b) aşağıdakilerden hangisidir?
A) (1.1)
B) e
A) 1
3.
C)
D) e~e
2y = x2
6.
E) (0,1)
f(x) = (m-2)x 3- 12x2 + 5 - m
A )- 2
B )(0’0)
C) (-2.-2) D) (1,2)
fonksiyonunun dönüm noktasının apsisi - 1 olduğuna
göre, ordinatı kaçtır?
e ğ ris in in , A(4,1) noktasına en yakın noktasının
koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) ( 3' T )
B) (-1,1)
E)
O) (- 2 ,2 )
541
B) —1
C)1
D) 2
E) 3
TÜ R EV VE U YG ULAM ALARI
fonksiyonunun yerel ekstremumu olmadığına göre,
a nin alabileceği kaç farklı tamsayı değeri vardır?
A) 4
C) 6
B) 5
f(x) = x 3 - mx2 - (m- 6) x - 3
10.
f(x) = 2x 3 + 3ax2 + 9x+1
7.
D) 7
fonksiyonunun her noktasındaki teğetinin eğim açısı
dar açı olduğuna göre m nin alabileceği en büyük
tamsayı değeri kaçtır?
E) 8
A) - 8
8.
B) - 6
C) - 5
D) 2
E) 5
[a,b] aralığında tanımlı y = f(x) fonksiyonu için,
I. x <0
II. f(x) > 0
III. f'(x) < 0
IV. f"(x ) > 0
olduğuna göre, f(x) in grafiği aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
A)
x 2 -(m + 2 )x + 3 m - 2 =0
11.
denkleminin diskrim inantını en küçük (minimum)
yapan m değeri kaçtır?
B)
A )- 2
a
b
a
b
B )-1
C )0
D) 3
E) 4
a
e
C)
D)
■S
a
b
a
b
E)
a
b
12.
X3 + 2p (3 -4 p )x —4 = 0
denkleminin kökleri x1t x2, x 3 tür.
Buna göre,
1
1
1
Xı + x2 + 'x 3
9.
f(X) = $ X 2 - 1 )2
toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
fo n k s iy o n u n u n m aksim um n o kta sı b a şla n g ıç
noktasına kaç birim uzaklıktadır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
3
A) 'T
E) 5
542
9
B) "T C)"2
9
D)T
9
TÜ R E V VE U YG U LA M A LA R I
13.
f(x) = 3x4 + 4x3 + 3mx2 - 10x + k
fonksiyonunun dönüm noktası
olduğuna göre,
A) - 6
16.
( - 1 ,0)
m+k kaçtır?
B )- 5
C) 3
D) 5
E) 7
Bir koninin içine şekildeki gibi tabanına ve yan yüzlerine
teğet olacak şekilde yarıçapı 6 cm olan bir küre yerleştiriliyor.
Taban yarıçapı kaç cm olduğunda, koninin hacmi en
küçük olur?
A) 672
B) 1272~
C) 12
D) 1872"
E) 24
14.
Grafik f fonksiyonuna aittir.
* 17.
g(x) = f 2(x) + 2
x2 - (m+2 ) x + m 3 - m 2- m + 1 = 0
denkleminin kökler çarpımı en çok kaç olabilir?
ile tanımlandığına göre, g(x) aşağıdaki aralıkların
h a ngisind e daim a artandır?
A)
A) (-00,-5)
B) (-3, 2)
15. Bir sayfa üzerine basılacak metnin alanı 24 cm 2 dir.
Metnin sağ ve solunda bırakılan boşluklar 2 cm,
alt ve üstünde bırakılan boşluklar 3 cm olacağına
göre, bu sayfanın alanı en az kaç cm 2 olabilir?
B) 84
B)
32
27
C) 3
D)
11
E) 2
E) (-3, 00)
D) (-5 ,0 )
A) 96
16
C) (-5. -3)
C) 72
D)
18.
f(x) = x4 + 4 x 3 + ax2 + bx + 6
fon ksiyo nu (x+ 1)2 ile tam b ö lü n eb ild iğ in e göre,
a kaçtır?
E) 48
A) 13
543
B) 12
G ) 11
D) 10
E) 9
TÜ R E V VE U YG U LA M A LA R I
19.
54 m uzunluğundaki bir çubuk x v e y gibi iki parçaya
ayrılıyor.
x •y - 2 x2
ifadesinin en büyük olması İçin y uzunluğu kaç m
olmalıdır?
A) 30
B) 36
C) 42
D) 45
E) 48
ABCD ve BKLM birer kare, şeklin çevresi 120 cm dir.
Şeklin alanı en küçük olduğunda |AK| kaç cm olur?
A) 24
B) 36
C) 40
D) 48
E) 60
2x + (a -3 )x + 4
20 .
y=
e ğ ris in in a s im p to tla rın ın ke sim n o k ta la rın ın
geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = 4x
B) y = 5x + 3
D)
y = 4x - 3
C) y = 3x - 3
E) y = 5x - 3
I
s
13 23. Bir kenarı 12 cm olan kare şeklindeki bir tenekenin
•§
köşelerinden eşit kareler keserek ve katlayarak, üstü açık,
en büyük hacimli bir kutu yapılacaktır.
Köşelerden kesilecek karelerin b ir kenarı kaç cm
olmalıdır?
a) y
24.
B) 1
C)
D) 2
E) 3
R de tanımlı,
21. Bir konfeksiyoncu haftada x adet gömlek üreterek gömlek
başına 1 2 -(0 ,0 0 4 ). x TL kâr sağlıyor.
f(x) = x3 + 2 (m - 1) x 2 + 3x + m - 6
Bu konfeksiyoncu maksimum kâra ulaşmak için
haftada kaç adet gömlek üretmelidir?
fo n k s iy o n u ( 1 - 1 ) ö rten o ld u ğ u n a göre, m nin
alabileceği en büyük tamsayı değeri kaçtır?
A) 1500
A) - 2
B) 1200
C )1000
D) 900
E) 80
544
B) - 1
C )0
D) 1
E) 2
TÜ R EV VE UYG U LA M A LA R I
28.
25.
lim (cos 2 x ) x
x-»0
nin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) e2
B) e
D) e"3
C) 1
E) er
G rafik,
f(x) =
x + ax + b
x 2 + 2 px + k
fonksiyonuna ait olduğuna g ö re ,
A) 2
B) 3
a+b
p+k
kaçtır?
C) 4
26.
lim
x-m
cos 2x - s in —
—
1 + cosx
in değeri kaçtır?
15
A )—
B) 4
C)
15
4
D) 0
E) - 4
29.
Grafik,
f(x) = x 3 - 3x2 + (m - 2) x + 12
27.
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
fonksiyonunun grafiğinin dönüm noktası x ekseni
üzerinde olduğuna göre, m e R sayısı kaçtır?
A) 9
B) 8
C )7
D) - 8
fonksiyonuna ait olduğuna göre, m + n kaçtır?
A> - f
E) - 9
545
B)
C)
°>T E) T
TÜ R E V VE U YG U LA M A LA R !
32.
30.
G rafik aşağıdaki fo n ksiyo n la rd a n hangisine ait
olabilir?
Grafik,
f(x) = (x + 1)2 •(p •x - 3) •(kx +
B) y =
Af
(x —1)(x —3)
(x + 2)2
fonksiyonuna ait olduğuna göre, p - k kaçtır?
A) - 4
B )-3
C )0
D) 4
E) 5
C) y =
(x + 2)
D) y =
E )y =
(x + 1 )(x-3 )
(x + 2
(x + 1 )(x-3)
x+2
31.
f(x) =
8x
(x - 2
Y
fo n k s iy o n u n u n g ra fiğ i aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
CEVAP ANAHTARI
546
1. D
2. C
3. E
4. D
5. C
6. B
7. B
8. E
9. A
10. D
11. E
12. E
13. B
14. C
15. A
16. A
17. B
18. C
19. D
20. C
21. A
22. B
23. D
24. E
25. E
26. C
27. D
28. C
29. B
30. E
31. C
32. D
f
TÜ R E V VE U YG U LA M A LA R I
T E S T - 1 1 ÇÖZÜMLERİ
1.
f(x) = 2e
4x
3.
2y = x2 => y =
p(x,y)
f'(x) = 2ex2-4x •(2x - 4)
A(4.1)
d=|PA| = V ( x - 4 )2 + ( y - 1 )2
-X
f'(x) = ex2-4x •(x - 2 ) = O
d = J ( X - 4)2+1 - y
x - 2 = 0 => x = 2
X
CO
-<©
1
f(x)
d2 = ( x - 4 ) 2 + ^ - 1 J
+
2dd' = 2 ( x - 4 ) + 2 ^ - ^ - - lj- x = 0
f(x)
8zalan
artan
mın.
2 dd' = 2x - 8 + x3 - 2x = O
(-oo,2 ) aralığında azalan
2 dd' = x3 - 8 = O
x3 = 8 => x = 2 için
| PA | minimum olacağından
(2 ,oo) aralığında artan
x=2
için
sabittir.
22
x = 2 için y = —
CEVAP D
=2
P(2,2) olur.
CEVAP E
2.
::
f(x) = exlnx
2.
*
f'(x) = ex lnx •^1 •lnx + ~ • x j
4.
f(x) = x •lnzx
f'(x) = 1 ln2x + 2 lnx
f'(x) = ex lnx •(lnx + 1) = O
x
f'(x) = ln2x + 2 lnx = 0
lnx(lnx + 2 ) = 0
lnx + 1 = 0
lnx = -1
x
lnx = O=» x = e° = 1
x =e 1=—
9
1
lnx + 2 = O=> x = e~ = —
X
f(x)
00
-oo
-
I
+
X
f'(x )
f(x)
azalan
+
(I
1
-
°o
()
artan
+
^ o
f(x) 0
(x -> O=> xlnx
e2
0
CO
o
/ ^
min.
O => f(x) = 1
f(3)=-13
x->oo=ox-lnx-»co=> f(x) = oo
1
ı 2 1
1
—
e = e
~
e*2~'
olduğuna dikkat edelim.)
„
4
T
~2
* ~T'
*■ = ~e^
_ji_
Tabloya göre, ye rel m inim um değeri e
o lduğundan m aksim um noktası: | —7 -, — — j olur.
e2 ' e2 ')
9 olur.
CEVAP C
CEVAP D
547
TÜ R EV VE U YG ULAM ALARI
5.
A (1,-3)
8.
f(x) = x2 + a x+ b
E seçeneğindeki grafikte
f'(1)=0
f(1) = -3 olacağından
x < 0, f(x) > 0, f'(x) < 0 (f azalan)
f'(x) = 2x + a
f"(x) > 0 (çukurluk yukarı doğru) olduğundan
f'(1) = 2-1 + a = 0=>a = -2
CEVAP E
f(x) = x2 - 2x + b
f (1) = -3
1- 2 + b = -3
b = -2
9.
(a,b) = (-2,-2) olur.
CEVAP C
f(x) = ^ (x2 -1)2 = (x2 1)3
9
—
f'(x) = y ( X 2 -1 ) 3 -2x
4x
f'(x );
f(x) = (m -2 )x 3 -1 2 x 2 + 5 - m
3\/>
f"(-1) = 0 olacağından
f'(x) = 0=>4x = 0 = > x - 0
f'(x) = 3(m - 2)x2 - 24x
f"(x) = 6 (m -2 )x -2 4
f"(0) < 0 olduğundan x = 0 için f(x) in maksimumu var.
f"(-1) = 6(m - 2)(—1) —24 = 0 => m = -2
f(0) = 1 olduğundan da maksimum noktası (0,1) olur. Bu
noktanın başlangıç noktasına uzaklığı: 1 birimdir.
f(x) = -4x3 - 1 2x2 + 7
f ( - 1) = 4 - 1 2 + 7 = -1 olur.
CEVAP B
f(x) = 2x3 + 3ax2 ı-9x + 1
I
f'(x) = 6x2 + 6ax + 9 = 0 denkleminin kökleri yoksa yerel
ekstremum noktaları olmaz.
';S 10.
f'(x) < 0 ise f(x) in her noktasındaki teğetinin eğim
açık dar açıdır.
f'(x) = 2x2 + 2ax + 3 = 0
f(x) = x3 - mx2 - (m - 6)x - 3
A <0 olmalıdır.
-B -J
f'(x) = 3x2 - 2mx - m + 6 < 0
ac <0
A<0
a2 - 2 - 3 < 0
a
•ac <0
- tö f
<0
-oo
VĞ
A = m - 3 •(-m + 6) < 0
«>
m + 3m - 18 < 0
A=a2- 6
•
I
■ ■ i
*
-n/6~ < a < V6~
6
-3
m1 = - 6,
m2 =
m
- 2, - < a < 2,--2 < a < 2
oI>
,2
I
8
7.
CEVAPA
J
e
m2+3m-18
+
- 2 ,- 1 , 0,1,2 o lm a k üzere
f
oo
3
+
I
6 < m < 3 olduğundan m nin en büyük değeri 2 olur.
a beş fa rklı d e ğ e r alabilir.
CEVAP D
CEVAPB
548
TÜ R EV VE UYG U LA M A LA R I
11.
13. f(x) = 3x4 + 4x 3 + 2mx2 - 1 0x + k
x 2 -(m + 2 )x + 3 m -2 = 0
A = (m + 2 )2 - 4 • 1(3m - 2)
f " ( - 1) = 0. f(—1) = 0 olmalıdır.
A = m2 + 4m + 4 -1 2 m + 8
f'(x) = 12 x3 + 12 x2 + 6mx -1 0
A - m2 - 8 m + 1 2
f"(x) = 36x2 + 24x + 6m
A' = 2m - 8 = O
m- 4
m
f"(-1) = 36 - 24 + 6m = 0
—»
cc
-
A' = 2 m -8
6m = -1 2
+
m = -2
f(x ) = 3 x 4 + 4x 3 - 6 x2 - 1 0 x + k
A
-
f ( - 1 ) = 3 —4 - 6 + 10 + k - 0
O halde A yı minimum yapan m değeri 4 tür.
k = -3
CEVAP E
m + k = - 2 - 3 = - 5 olur.
12.
CEVAP B
UVftRI:
ax 3 + bx2 + cx r d = 0 denkleminin
kökleri xv x2, x3 ise,
11)\
b
X! + x2 + x 3 = ---
2 ) X1 X2 + X 1 X3 + X 2 X3 = —
3) xr x2 x3
x + 2 p (3 -4 p )x -4 = 0
1
1
t
x2
1 __ X ı •X 2 + X ı • x3 + x2 • x3 _
xr x2 x3
X3
d_
a
c
d~
2 p (3 —4p)
f(p) = Y P - ( 3 - 4 p )
14.
g(x) = f 2 (x ) + 2
f(P ) = y P _ 2 P2
g,(x) = 2 f(x)-f'(x)
f/(p) = y - 4 p = 0
f(x ) in grafiğine göre,
- 5 < x < - 3 için f(x )> 0
4p = |
- 5 < x < - 3 a ra lığ ın d a f(x ) artan olduğu fçin f'(x ) > 0
3
P
f
olduğu görülmektedir. Buna göre,
(±}m± .L ( 3 - 4
k8J
2
g'(x) = 2 •(+ )(+ ) = + > O olduğundan ( - 5 , - 3 ) aralığında
e l
g(x) daima artandır.
f ( ± ) mJ _ . A = _ L
\ 8)
16 2
32
olur.
CEVAP C
CEVAP E
549
TÜ R E V VE U YG U LA M A LA R I
15.
16.
f
r
ı
sz
A M
\ A
24
x • y = 24 => y = ----x
A
A
TM N ~ T B O
Sayfanın alanı:
| TNI2 +62 = ( h - 6)2
A - (x + 4)(y + 6) = xy + 6x + 4y + 24
\ TN? =( h ~6f - 6 2
24
24
A(x) = x — + 6x + 4 — + 24
x
x
|TN|2= h2 - 12h =>|TN|= Vh2 -12h
A(x) = 24 + 6x + —— + 24
x
A(x) =
A'(x) =
h
6x + 48x + 96
h2 - 12 h
(12x + 48) • x - 1(6x + 48x + 96)
=>
yr = •h36h
-1 2
Koninin hacmi:
V = -L n x -h
3
X2
A'(x) = O=> 6x - 96 = O => x-| = -4, x 2 = 4
X
-c o
A'(x)
v/ = 1
V
3
—
~n
V'(x) = 12 n
00
+
II
-
(|
36h h
u = 12tc----------ho
h2
h —12
h -1 2
. ^ ^ ) - 1± i
( h - 12)2
+
V' = 12rc-
A(x)
h2 - 24h
( h - 12)2
V' = 0 =»h2 -2 4 h = 0 = * > = 0, h2 = 24
h
A(4) =
6 •4 + 48 ■4 +!
V'
-»
0
♦
24
00
-
vk
A(4) = 6 -4 + 48 + 24
max.
A(4) = 48 + 48
m n.
2 36-24
36-24
x = - ,
= — —— =>
2 4 -1 2
12
A(4) = 96cm 2 olur.
„ rr .
y. 2= 72 => x = 6v2
olur.
CEVAPA
CEVAPA
550
TÜ R EV VE UYG ULAM ALAR!
17. x2 -(m + 2)x + m3 - m 2 - m + 1= 0
20.
+ (a - 3)x + 4
x -a
c
m3 - m - m +1
xr x2 = — =
----------
eğrisinin düşey ve eğik asimptotları vardır.
xı • x2 = f(m) = m3 - m2 - m + 1
x - a = 0 =>x = a düşey asimptot
2x2 + (a -3 )x + 4
f'(m) = 3m2 - 2m -1 = O
+ 2x ± 2ax
1
m1 = —ğ". m2 = 1
x -a
2x+(a -3 ) = > y = 2x + a - 3
eğik asimptot
(a -3 )x + 4
m
f'(m )
-co
+ (a -3 )x ± a (a - 3 )
co
+
(
-
Asimptotların kesim noktası :(a, 2x + a - 3)
*
i
f(m )
y = 2x + a - 3 te a = x yazılırsa
max.
min.
geometrik yer denklemi,
y = 2x + x - 3
olur
y = 3 x -3
CEVAP B
olur.
CEVAP C
18.
f(x) = x 4 + 4x 3 + ax2 + bx + 6 polinom fonksiyonu
(x+1 )2 tam bölünebildiğine göre,
x + 1 = 0 =>x = ~1
f(-1 )= 0 ve f'(-1) = 0 olmalıdır. Yani hem fonksiyon
hem de birinci türevi x +1 ile bölünmelidir.
f(—1) = 1 - 4 + a - b + 6 = 0 = > a - b = -3
f'(x) = 4x 3 + 12x2 + 2ax + b
f'(-1) = -4 + 1 2 -2 a + b = 0 = > 2 a -b = 8
a - b = -3
2 1 . x adet gömlekten
T 2 a ± b = T8
K(x) = [12-(0,004) x] -x
-1 1 => a = 11 olur.
kâr sağlar
K(x) = 12x - (0,004)x2
CEVAP C
K'(x) = 12 - 2 • (0,004)x = 0
19. x + y = 54=>y = 5 4 - x i
2 ■(0,004)-x = 12
x - y - 2 x2 de yazalım.
(0,004)x = 6
f(x) = x - ( 5 4 - x ) - 2 x 2
6
X _ 0,004
f(x) = 5 4 x -x 2 - 2 x 2
6000
f(x) = -3 x 2 +54x
f'(x) = - 6x + 54 = 0= >x = 9
x=1500 adet gömlek üretmelidir.
y = 5 4 -9 = 45 m olmalıdır.
CEVAP A
C EVAP D
551
TÜ R EV VE U YG ULAM ALARI
22.
24. f(x) = X3 + 2(m -1) x2 + 3x + m - 6 fonksiyonu (1-1) örten
ise R de hep artan ya da azalan olmalıdır.
f'(x) = 3x2 + 4(m - 1)x + 3
a = 3 > 0 olduğundan
f'(x )>0 olabilir yani f(x) hep artan olmalıdır.
f'(x) = 3x2 + 4(m - 1)x + 3 > 0
Şeklin çevresi;
A<0
3x + 3y + x - y = 4x + 2y = 120
y = 60 - 2x
Şeklin alanı:
A=( y )
x2 + y2 = x 2 + (60 - 2 x )2
- a c <0
A = [2(m - 1)]2 - 3 • 3 < 0
A(x) = x2 + (6 0 -2 x )2
4m2 - 8m - 5 < 0
A'(x) = 2x + 2(60 - 2x)(-2)
A'(x) = 10x - 240 = 0 => X = 24
= 36 olur.
CEVAP B
1 2 cm
5
00
2
+
4m 2-8 m - 5
|AK| = x + y = 24 + 12
1
■2
-00
m
y = 12
23.
m2 = y
mı =
A'(x) = 2x - 240 + 8x
I
+
-
t
1 < m < —5 => m =o2 olur.
.
—
^
2
6
2
CEVAP E
!
25.
- 1
lim (cos2 x) X2 =
x->0
y = (cos 2 x ) x
Kesilecek karenin kenar uzunluğu: x cm
Kutunun tabanı karenin kenar uzunluğu: 1 2 -2 x c m
Kutunun derinliği: x cm
Kutunun hacmi:
lim (Iny) = lim
x-»0
x-»0
V(x) = (1 2 -2 x )2 x
lim (Iny) = 3- lim
x—
>0
x-»0
V'(x) = 2(12 - 2x)(-2)x +1 •(12 - 2x )2
V'(x) = 12x2 -9 6 x + 144 = 0
lim (Iny) = 3 ■ lim
x-»0
x->0
V'(x) = x2 - 8x +12 = 0 => X-) = 2, x 2 =6
X
V'(x)
co
-cc
+
-
)
belirsiz.
lim (Iny) = -6 lim
x->0
x->0
+
ln(cos 2 x)
ln(cos2 x) 1 _ 0
J_0
X2
-2 sin 2 x
cos2 x
2x
sin 2 x
2x
cos2 x
lim (Iny) = -6-1-1
x->0
V(x)
İn
x = 2 için ku tu n un hacm i m aksim um olur.
lim y
x-»0 .
-6 => lim y = '
x-»o
olu r.
C EVAP E
CEVAP D
552
TÜ R EV VE U YG U LA M A LA R I
26.
cos 2 x - s in —
lim ---------------- 2
x->k
1 + cosx
-2 sin 2x
= lim -
29.
*■
b
Xi + x2 + x 3 = -----
1-1
x
2 cos—2
n
0
-5 + 1+ 3 = - — => — = 1
a
a
X —>71
f'(x) = 3ax + 2bx + c = 0
4cos2x + 4 -s in -^ ________ 4
2
= lim --------x-> n
denkleminin kökleri maksimum ve minimum noktalarının
apsisleri olduğundan m ve n dir.
-C O S X
1 ,
.
1
-4 -1 ■ — -1
-4 + —
______ 4
4
2b
2 b
2 .
m + n = -------■= ------------= 1
3a
3 a
3
-( -D
15
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
olur.
m+n =
3
olur.
CEVAP C
27.
CEVAP E
f(x) = x3 - 3 x 2 + (m -2 )x + 12
30.
f'(x) = 3x2 - 6x + m -2
f(x) = (x + 1)2•(px - 3) •(kx + 4 )2
f" ( x ) = 6x - 6 = 0 =>x = 1
x = 1 için p -1 -3 = 0 => p = 3
dönüm noktası: (1,0) olur,
x = 2 için k-2 + 4 = 0=>k = -2
f (1) = 0 olacağından
p - k = 3 + 2 = 5 olur.
1 -3 + m -2 + 1 2 = 0
CEVAP E
m = -8 olur.
CEVAP D
28.
x = 2 de baca olduğu için 2 paydanın çift katlı köküdür.
31.
Yani x 2 + 2px + k = ( x - 2 )2
x2 + 2px + k = x2 - 4 x + 4
x = —2 için y = -
2p = -4 => p = -2
-
2- 8
M )2
-16
=> y = -1
16
olduğundan verilen fonksiyonun grafiği C seçeneğindeki
grafik olabilir.
k=4
x = - 2 de x eksenine teğet olduğu - 2 payın çift katlı
köküdür.
Yani
x = 2 paydanın çift katlı kökü olduğu için x = 2 de baca
vardır. Buna göre sadece A ve C olabilir.
CEVAP C
x2 +ax + b = (x + 2 )2
x2 + ax + b = x2 + 4 x + 4
a = 4, b =4
a+b
p+k
32.
4+4
8 . .
= -----------= — = 4 olur.
-2 + 4
2
(x = 0 için y = 1 in sağlandığını da görelim.)
x - - 2 de baca var, x = - 1 ve x = 3 te x eksenini kesiyor,
y = 1 yatay asimptot olduğu için bu koşulları sağlayan
tek fonksiyon D deki fonksiyondur.
CEVAP D
CEVAP C
553
BOLUM- 9
IN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
1
ÇÖZÜMLÜ TEST - 1
4.
Toplam ve farkın integrali ile ilgili uygulamalar:
J ( ^ T - ı ) . [ ^ r + ^ T + ı) d x
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
1.
J V - 6x
-1 0 x + 5|dx
B ) x 2 + 2x + c
A) - y - + 2x + c
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
C) x 2 • 2 x+ c
A) 2x4 - x 3 - 5x2 + 5x+c
B)
X4 -
x 3 - 5x2 + 5x + c
C)
X4 -
2x3- 5x2 + 5x + c
D)
X4 -
3x3 + 4x2 + 5x + c
E)
X4
+ 2x3 + 5x2 - 5 x
D)
x2
2
2x + c
E)
X2
2
x+c
+ c
5.
2.
*yir
| ( x - 1 ) 2 -(x2 + x + l) 2 dx
dx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) — x6 - — x3 + x + c
' 7
2
A )2 V x " + x + c
B) — x7 - — x4 + x + c
7
2
D)
' 3
B) ’/x 3_ + x + c
+x+c
C) 2 ^ + V 7 + c
_E) —1 3vx*
rr
+x+1
C) — x6 — —x2 + x + c
6
2
D) x7 - 2 x 4 + x + c
—,
7
' y.
E)
x
4
1
+ —
2
x
6.
+c
J ^ 5 x 4 + -^ -+ \/x 2” - 12 İ dx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
3.
J 6x3 + 2x2 - x +1 ^
A) x 5 + ln |x|
-1 2 x + c
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 2x3 + x2 - x + ln |x|+ c
B) x 5 + 3ln| x |+ v x ^ - 1 2 x + c
B) x3 + x2 - x + - y ln |x |+ c
O
C) x 5 + 3 ln |x |+ — V
5
)T -X + C
C) 4x3 +3x 2 - x |x| +c
D) x 5 + 3 ln |x |+ — \/x^~-12x + c
D) -^-x 4 + x 3 - x 2 + ln |x|+ c
E) x 5 + ln |x |+ —
5
E) x 3 +3x 2 - 2 x + -^-ln |x |+ c
3
554
- 6x + c
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
7.
ex + 2 X - >/l —x 2
Değişken değiştirm e yöntemiyle integral
alma uygulamaları:
j
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) eX + “j^ 2— arcsinx + c
B) ex + 2X—arcsinx + c
C) ex +2X In 2 -a rc s in x + c
D) ex + 2 + arcsinx+c
11.
J ( 4 x - 3 ) dx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
E)
S) -2 5 -(4 x -3 )6 + c
A) ^ - ( 4 x “ 3) +c
e*+2*
C)
i y
D) y ( 4 x - 3 )6+ c
(4 x _ 3 )6 + c
E) - f ( 4 x “ 3) + °
8.
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
a)
—
in |x |+ c
B)
12 .
J x 3 .(x 4 - 3 )5dx
+ 3 ln |x |+ c
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
C)
x
3ln |x|+c
D) - x - İn |x| + e
E) x + İn |x| + c
4 v
A>x(*43v)6-
B ) ^ - ( x 4 - 3 ) 6 +o
c ) ı V ( x4- 3)8+ c
D) ^ ( x4- 3)
9.
E) İ ( x4- 3f + 0
J (1 -x)N /xdx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) ^ - V
13.
^ +c
J ( 3 + x 3)2
'2 3x2dx
c ) V )T -^ r+ c
° ) ^ x ~ -V i? ”
E)
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
o
A) (3 + x3)3 + c
i—+ c
™
D) i (3+x3)
—
10 .
5
1 ■+ 1 — dx
J ( - 2 V 7 cos2 x 1 + x2 /
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
C) t 3 '
B )3 (3 + x3) k
E) (3 + x"
+x + c
14.
J x 2 -(5 - 3 x 3)6
A) 5V>T-tanx+arctanx+c
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
B) -|-V x ~ -a rc ta n x + c
1
5 -3 x I + c
A) (5 -3 x 3)7 + c
B)
C) - y ( 5 - 3 x 3) + c
D) — — ( 5 - 3 x 3)7 + c
21 '
'
C) 5 V )T -ta n x + c
D) \A T -ta n x + arctanx + c
E) N /x~ -cotx+arctanx+c
E) — ğ 5 -(5 _ 3 x 3 )7 + c
555
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
15.
J x V 3 -2 x 2
f
dx_
x-lnx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
dx
J
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) ln(lnx)+c
A )- ı W
C)
(3 - 2x2)3 + c
—^ V ( 3 - 2 x 2)3 + c
B>
~i-J(3- 2x2f
B) lnx+c
D)
+c
x
+
C)2ln(lnx)+c
lnx + c
E)
x2 + 2lnx + c
D) - y 7 ( 3 - 2 x )3 + c
J ( x + 2 )(2 x -3 )5dx
E)
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
- y ^ / { 3 - 2 x 2 )2 + c
A) 7 5 - ( 2x - 3)7 + c
B) l f g (12x + 3 1 )(2 x-3 )6 + c
J \ / x 2 - 4 x + 5 (x -2 ) d x
C) i V (2x_3)7+c
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
C)
y ^ / ( x 2 - 4 x + ö )4 + c
4x+5f
+c
D) - ^ ( 1 2 x + 3 1 )(2 x-3 )7 +c
B) y / S c 2 - 4 x + 5 + c
D) -g -^ (x 2 - 4 x + 5)4 + c
E) - ^ - ( 2 x + 31) (2x - 3)7 + c
|
J x ( x - 4 ) 6dx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A> y ( * - 4 )7 + - f- ( x ~ 4 )6 + c
B) y ( x - 4 ) 7 + y ( x - 4 ) 6 +c
C)
y ( x - 4 )8+ y ( x - 4 ) 7 +c
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
D) y ( x - 4 ) 8 + y ( x - 4 ) 7 +c
A)
ln| 2x + V)T | + c
B ) in V jr + c
E) ( x - 4 )8 + 6 ( x - 4 )6 + c
C)
4ln| V>T-2 | + c
E)
D) ln| >/)T-2 | + c
2 ln| V>T- 2 J+ c
CEVAP ANAHTARI
18.
f 2 c o s x -3 s in x
J 2 sinx + 3cosx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
1 .C
2. B
3. A
4. E
5. D
6. D
7. A
8. C
9. E
10. A
11. B
12. C
13. D
14. E
15. B
A)
ln| 2 c o s x -3 s in x | + c
16. A
17. E
18. B
19. A
20. B
C)
ln| tanx + 3 |+ c
E)
B)
ln| 2sinx + 3cosx | + c
D) ln| sinx + 2cosx |
21. C
ln| 4 s in x -3 s in x |+ c
556
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
TEST - 1 ÇÖZÜMLERİ
5.
1.
x + Vx^
J (4x3 - 6 x 2 -1 0 x + 5)dx
dx
= 4 J x3dx-6 J x2dx-10 J xdx + 5 Jdx
= J V x d x + 1 - j " dx
4 - — 6—— 10— + 5x + c
4
3
2
CEVAP C
j
2.
x 2 dx + x
= — ^ x 3 +X-İ-C olur.
3
CEVAP D
J (x-1)2(x2+ x+l)2dx
= J*[(x —1)(x2+ x+1)]2 dx
J fö x 4 +-^j-+>/x2" —12 ^ dx
= J(x3-I)2dx
= 5 J x4dx + 3 J — dx + J x 3 dx - 1 2 J dx
= J(x8-2x3+l)dx
= x 5 +3ln|x|+-g-^/x® ~-12x + c olur.
CEVAP D
= J x6dx-2 J x3dx+ J dx
i
— x7 - — x4 + x + c olur.
7
2
CEVAP B
7-
S
3.
6x + 2 x - x + 1
i
= ex + 2X
In2
dx
8.
= 6 J x2dx + 2 J x d x - 1 j*d x + J y d x
= 2x3 + x2 - x + ln |x |+ c olur.
,
arcsınx + c olur.
CEVAPA
f(* ~ D dx
= 4 J x - d x - 3 J - l dx
CEVAPA
= — - — 3 ln|x|+c olur.
J ( ^ r -1
CEVAP C
)(%F+ ^ r + ı)dx
9.
( a - b ) (a 2 + ab + b2) = a3 - b 3 olduğundan
= J77dx- J xVxdx
= J ( x - 1)dx
x2
J (1-x)V>Tdx
= | x^dx- J x^dx
x + c olur.
CEVAP E
= — %/x3_
+c
olur.
CEVAP E
557
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
14.
10 .
dx
J(-
J x 2 (5 - 3 x 3f d x
x + 1+ x2 )
5 1
z V x “ dX
I
c o I 2 x dX + I
1 +1X2
5 —3 x 3 = t => d t = - 9 x 2 d x
dx
dx =
= 5 V ) T - t a n x + a r c t a n x + c o lu r .
dt
-9 x
CEVAPA
dt
11 .
-9 x
J (4 x
—3 ) 5
dx
t dt
4 x - 3 = t= > 4 d x = d t
dx =
= J'5'
dt
dt
7
CEVAP E
15.
2x
m±t_ + c
4
t'
_ J _ ( 5 - 3 x 3 )7
63 ^
>
4
t5 d t
4 1
1
9
3 -2 x
6
= ——(4 x -3 )
24 v
'
+c
dx
= t => d t = - 4 x d x
dx
o lu r .
dt
4x
CEVAP B
12 .
J x3(x4 - 3 ) 5d x
x
~ t H «
- 3 = t => d t = 4 x d x
dt
d x =■
3 t5
■ i»
-t J
dt
4x
= —
3 - 2 x 2 )3 + c
o lu r .
CEVAP B
t dt
1 t6
16.
4
| 3>/x 2 - 4 x + 5 ( x - 2 ) d x
= 4 ( x4 - 3)6 + c olur
J (3
Â
1
6
= ------1 2 + c
4x
xz - 4 x + 5 = t= > d t = ( 2 x - 4 ) d x
CEVAP C
=> d t = 2 ( x - 2 ) d x
dt
dx =
2 (x - 2 )
+ x 3 )2 - 3 x 2d x
3 rÜ
r'x-2 )
= JV
3 + x 3 = t = > d t = 3 x 2d x
= J t2dt
dt
2 (x - 2 )
■ î-J
= — +c
3
=—
8
= — (3 + x3)3 + c olur.
"'
- 4x + 5)4 + c olur.
CEVAPA
CEVAP D
558
İN 7 E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
17.
20.
■2yfx
J (x + 2 )(2 x -3 )5dx
dx
2 x - 3 = u => du = 2 dx
dx = 2 udu
.
du
dx = -----
2 udu
u+3
.
u+7
X = — -— => x + 2 = --------
=2 \
u (g -2 )
1
=2 h
u-du
= f u + 7 u5
J
2
du
2
= t J (u6+7u>
= 2 ln| u - 2 | + c
= 2 ln| V)T - 2 | + c olur.
=
J u6du + -^- J u5du
CEVAP E
1 u 7 7
+
4
7 4
u6
6
+c
1 7 7 0
——u ' + ——ub +c
28
24
(6 )
18.
(7)
1 7 49
6
u' + ------- u° + c
168
168
2 c o s x -3 s in x
dx
J 2sinx + 3cosx
1
2sinx + 3cosx = u ^ du = (2cosx -3 s in x )d x
168
1
du
168
= lnu + c
1
168
= ln| 2sinx + 3cosx | + c olur.
u6( 6u + 49) + c
(2x - 3)6[6 •(2x - 3) +149] + c
(2x - 3)6(12x + 31) + c olur.
CEVAP B
21,
19.
İT
dx
lnx
CEVAP B
J x - ( x - 4 ) 6dx
x - 4 = t= ^ d x -d t
x = t +4
lnx =u=> du = — dx
x
| (t + 4) • t6dt
dx = xdu
= | t7dt + 4 J t6dt
[* xdu
J xu
= — 18+ — t7 +c
8
7
-J v
= - jj- ( x - 4 ) 8 + - y - ( x - 4 )7 + c olur.
= lnu+ c
= ln(lnx)+c olur.
CEVAP C
CEVAPA
559
In t e g r a l
ve u yg u lam alar i
ÇÖZÜMLÜ TEST - 2
Değişken değiştirm e yöntemiyle integral alma
uygulamaları: 2
r ___
J 2006 + X2007
T xdx
x2 + 5
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
J
dx
A) |n(x2 + l) + c
B) İn12x| ıc
C) ln(x2 + 5 )2 + .
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
D)ln7x2 +5 + c
A) — î— İni 2006+ x2007 |+ c
2007 1
1
E) ln(x2 + ö) + c
5.
2x
dx
J (2x —1)
B) ln| x2007 |+ c
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 4 ln |2 x -1 | + 4 x - 2 + c
C) w
lnl 1 + x 2007l + c
B) — ln |2 x - 1 |+ 2 x -1 + c
4
D) — — |n| 2006+ x2007 |+ c
2006 1
1
C) ----- İn 12x—11+ — -— + c
2
2x - 1
E) ln| 2006+ x2007 |+ c
D) - y l n | 2 x - 1 | - _ ,.1 .. +c
2 1
' 2( 2 x - 1 )
|
2.
I
J(3 x -2 ).)e3*2-4xdx
E) 2 ln |2 x -1 |+ x ln x n c
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) -r-e °* + c
B )2 3x " 4x + c
D ) —L © 3*2 - 4 * + c
2
1
2x
r
J 7■Jî-r
i- *
*2
C ) e x - 4 x +c
•dx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) - 7 l - x 4 + c
E ) - - L e 3x2" 4x + c
B) 7 l - x 4 + c
D) — L 7 i_ x 4
2
3.
E) x 7 l- x 4 + c
+ c
7.
dx
ı
C ) y 7 l - x 4 +«
A
2e
■dx
5 -e-3
3 7 7 +4x
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) ln(3 + 7 7 ) + c
B) ln(3 + 27x ) + c
C) y l n ( 3 + 4 7 7 )
D) y l n ( 3 + 4 7 7 ) + c
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A ) - y l n | 5 - e 3x |+ c
B) —Ş-ln| 5 - e 3x |
C) —İni 5 —e3x |+ c
D) İn 5 + 2e3x +c
E) 2ln 1 - e 3x + c
E) — İn (4 + 3-77) + c
560
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
12 .
8.
f i arctan2x)10 dx
J
1 + x4
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) tand x + ta n x + c
B) tan4 x + c
*|
C) — tan4x + c
D) — tan x + c
'
2
A)
(arctan x)
Tî
B) arctanx + 1 + x2 + c
+c
_(arctanx)— + c
E) — cot4x + c
4
D)(arctanx)11+ c
arctan x
12
+C
-dx
J b + c ■ex
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
13.
dx
B) aln| b + cex |+ c
A) ln| b+cex |+ c
J x-sin 2 (lnx)
C) — ln| b + cex | + c
D) — ln| cex |+ c
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
E) — ln| b + ex |+ c
A) -c o tx + lnx + c
B) -cot(ln x) + c
C )-c o tx + tan(lnx) + c
D) -sin(lnx) + c
E) -tan(lnx) + c
10 .
-dx
J
1+ı
14.
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
1
*
A) — arctane + c
B) arctanex + c
C) arccotex + c
D) ln (i + e2x) + c
|~Jrf_(sjnx)_ dx
J
tanx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
E) arctane
11.
T (arcsin x )3
C) — ln3(cosx) + c
D) ln3 (sinx) + c
E) ln3 (cos2 x) + c
15.
J tanx + cotx
B) — (arcsin x) + c
C) — > / l - x 2 + c
^ '"2
B) —
İn (sinx) + c
O
dy
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) (arcsin x) + c
A) -^-ln 3(sinx) + c
+c
1
dx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
3
D) — (arcsinx) + c
A) - sin 2x+c
B) sin 2x + c
D) -cos2x+c
E) -^-(arcsin x)4 + c
561
C) cos2x+c
E) - sec2x + c
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
16.
19.
f s in f-î- 7c - — x )dx
J U
r _ 1
dX
J ex + 4 e 'x
2 )
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) - 2 c o s e c ^ - î t —^"x) +c
A)
B) 2 s e c ^ - ~ ît- - ^ - x j + c
C)
1
-^-arctan ex +c
B) — arctanx + c
' 2
arctanex + c
'
D) a rc ta n ^ -lex) + c
A
1 arctan
♦ M
E} —
— e
c ) c o s (-y w -y x J + c
l 2 J+ c
2
D) _2 co s^-İ7 t - - i x j + c
E)
2cos[— 7C -— x l + c
U
2
J
20 .
J ^
17.
x
xln‘£x
J
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
f — L _dX
J 2 +e x
A)
y ^ ( 1 + ln x )3 - J - + |n(lnx)+c
B)
—
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) — ln(2e x + l) + c
C)
- l|n ( 2 e x - l ) + c
B) -y ln (e x + l) + c
D)
yj(1+lnxf
+lnx + c
™ (1 + lnx)
,
C)
— + lnx + c
y ln ( 2 e x + l) + c
— ln(2ex + x) + c
E)
E)
'
18.
f
dx
J
x V l- ln 2x
J î+ ln x
1
.
—— -------- -— +lnx + c
3
nx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) arccos(lnx) + c
C)
— arcsin(lnx) + c
B) xarccos(lnx)+c
D)
CEVAP ANAHTARI
- arcsin (lnx)+c
E) a rcsin (ln x) + c
562
1. A
2. D
3. C
4. D
5. D
6. A
7. B
8. D
9. C
10. B
11. E
12. C
13. B
14. A
15. D
16. E
17. D
18. E
19. E
20. A
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
TEST - 2 ÇÖZÜMLERİ
2006+ x‘i
4-
-dx
r
xdx
J x2 + 5
2006 + x 2007 = t => dt = 2007 •x 2006 ■dx
dx =
x + 5 = t => dt = 2xdx
dt
2007x2006
dt
2x
dt
2007
1
r dt
" 2007 J t
2007
dt
dx =
2x
■Int
- — İni 2006+ x2007 | + c olur.
1D7 I
!
2007
- y ln t
CEVAPA
2.
lnVx2 +5 + c olur.
CEVAP D
| ( 3 x -2 )e 3x2- 4xdx
3x2 - 4x = u => du
( 6x - 4)dx
du = 2 (3 x -2 )d x
dx =
du
2 (3 x -2 )
du
J eudu
2x
J (2 x -1
2 x - 1 = u => du = 2 dx => dx =
= — e3x2' 4x + c olur.
CEVAP D
3.
u+1
2
dx
J 3V)T + 4x
x = u2 ^ dx = 2udu
f 2 udu
r_ 2
j
3u + 4u2
du
=21 3 + 4u
3 + 4u = t=> dt = 4du
u+1
du
2
2
U2
± | r u+ıdu
2 JI u2
Ir * l +±
2J u 2
1. 1
—Inu-—u
2
2
—
dt
du = ■
=
-dx
f
2-
= — Int+c
2
y 'n | 2 x -1
= — ln ( 3 + 4V>T) + c olur.
[
,
-
-du
2 (2 x -1 )
+ c olur.
CEVAP D
CEVAP C
5 63
IN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
6.
9.
2x
r
dx
——
—- ——dx
J b + c •e
V I- ÎT
1 - x 4 = u => du = - 4 x 3dx
du
dx = ■
-4xJ
du
b-*-c-ex = u = > d u = c- exdx
du
dx =
c e
du
—4 x
J
■yır
__1_ f du
2 J ^
- ı
j *
= — Inu + c
c
2 7 lT
=-yf\T+C
b + cex + c olur.
CEVAP C
= —y / l- x 4 h c olur.
CEVAP A
7.
r
2e
■dx
J 5 -6
5-e
10 .
= u => du = -3e dx
.-dx =
du
•dx
Jt
-3e3
ex = u => du = exdx
f
du
+c
ö~=arctanu
;
J 1 + u2
arctanex + c olur.
J v
CEVAP B
-Inu + c
= —|-ln | 5 - e 3x | + c olur.
11
CEVAP B
8.
(arcsinx)
■dx
V l- x 2
J tan3 x ■sec2 xdx
arcsinx = u => du =
J u3 •
■
-dx
V l- x 2
tanx = u =5- du = ( i + tan2 x)dx = ------^— dx = sec2 xdx
cos x
du
dx =
dx = V l - x 2 du
du
du
du
= J u ’ dU
= I u3
+c
— tan4 x + c olur.
4
— (arcsinx)4 + c olur.
C EVAP D
CEVAP E
564
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
"I* (arctaı
(arctanx)10
û:
J
15.
dx
tanx + cotx
arctan x = u => du =
1+ x
f
:r-dx
■dx
4
sınx
cosx
dx = (l + x2)du
cosx
sınx
-dx
4sinxcosxdx
<• u10 •(1 -i x2)du
J
1+ x2
-’f
= fu 10-dU
sin2xdx
2 - ^ - J - cos2xJ
cos2x+c olur.
11
(arctan x)
11
CEVAP D
•+ c olur.
16.
CEVAP C
13.
I*
1
dx
—
3
J x sin2(lnx)
1
ti------ x =
2
u => du =
1
2
dx
dx = -2du
lnx = u => du =
f
x
=> dx = xdu
J sinu(-2du)
xdu
=-2 J sinudu
du
sın u
= -2(-cosu) + c
■cotu + c
= 2cosu + c
-cot(lnx) + c olur.
= 2cos
+ c olur.
CEVAP B
CEVAP E
14.
17.
In2(sinx)
dx
tanx
dx
. . .
cosx .
,.
K sınx)
= t => —:----- dx = dt
dx
sınx
2 + —-■
=> dx = tanx-dt
tanx
J 2ex +1
tanx-dt
2 e x +1
+ 1 == uu =>
— du = 2exdx
2ex
=
rd t
= J _ f du
2 J u
= — Inu + c
2
= - ^ -ln 3 (s in x ) + c olur.
= - ^ - ln ( 2 e x + l ) + c olur.
CEVAPA
CEVAP D
565
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
18.
20 .
r dx
J xVl —
ln2x
f ( Vl+lnx 1+lnx \ dx
\{ x ' xln2x J
1+lnx=u=>—dx=du
lnx=u du=—dx
x
dx=xdu
x
dx=xdu
f-^-xdu+ f--- -—2~xdu
J
r
x
J x (u -1 )
= -Juöu+ —u _du
J
J (u—
1)
du
j > /W "
=arcsinu+c
=arcsin(lnx) +c
(u-1)2
u
-1
(u-1)
(u-1)2
u= A u -A + B => A = B = 1
CEVAP E
f u 2 du+ f — -— du+ f
J
=
J u-1
3
+ ln|
— =-du
J (u-1)2
u-11--- —+c
u—
1
= -|->/(1 + lnx)3 + ln (ln x )--j^ - +c olur.
CEVAPA
I 9.
J
-
ı ^
JH e
ex
x+ 4
e
= I -? 7 + 4
dx
dx
^
dx
ex=u=>exdx=du
f du
J
u2 +22
=—a
rctan{| —e
*))•
2
2
CEVAP E
566
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
ÇÖZÜMLÜ TEST - 3
4.
Kısmi integral yöntemiyle integrai alma
uygulamaları:
J x2e4xdx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
1.
x •lnxdx
A)
(x2 +x)e4x+c
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) x2 l n x - - ~ - + c
B)
1 9
— v r lnx + x + c
C) — xlnx + x + c
D)
x2
x2
— |nx- ^ - + c
4
2
B) f ± X2 _ J L X+ n e4x+c
D} { 4
8
32 )
C) (x2 - 2 x + 2)e4x
D) (x2 - 4 x )e 4x+c
E)
E) ^-^-x2 + 2 x - 2 je 4x+c
5.
2.
J e* ■sin xdx
| (2x2 -3 x )e "xdx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
1
A) — ex(sinx + cosx) + c
A)
C)
1
B) — exsinx + c
1
— ex(cosx-sinx) + c
-e_x(l + x + 2x2)
C) e_x (2x - 6x2) + c
1
D) — ex(sinx -cosx) + c
E)
B ) - e X(l + x + x2)-
D) - e- x(x + 1)2 + c
_e-x(x -1 )2 +c
E )— ex(cosx-1)
6.
J (x -1)sinxdx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
3.
| ( 3 x 2 - x + 4)exdx
A)
xsinx + cosx + c
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
B) cosx-xcosx + sinx + c
A)
(3x2 - 4 x + l)e x +c
B) (3x2 - 7 x + 4)ex+ c
C) xsinx + c o s x -x + c
C)
(3x2 - 7 x + 1l)ex +c
D) (6x -1 1 )e x + c
D) xcosx + c o s x -x + c
E) xtanx + xcosx + c
E) ( x 2 - 7 x + 1 l) e x + C
567
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
10.
xe
J x 2 lnxdx
-dx
7
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
-^-x2 lnx— —x2 + c
3
3
1 1
C) — x3 — —lnx+c
' 3
9
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
B) x2 lnx— ^-x3 +c
9
A)
1
1
D) — x ln x - - x3 +c
’ 3
9
B)
'
>/l + ex ■ xln>/l + ©x + c
— ln-v/l + ex -> /l + ex + <
2
C) 2 x /l + ex -ln |x | + c
1 ■»
1 ^
E) — X*5 lnx----- xd+c
; 3
9
(2 x -4 )V l + ex - 2 l n ^ l +eX 1
D )'“
------------------+ e +1
E) 2x>/1+ ex - 2 l n - ^ ^ —- + c
>/1 + ex +1
8'
Jcos2 xdx
Basit kesirlere ayırma yöntemleriyle integral
alma uygulamaları:
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
-^-(cos2x - l ) + c
B) -^-(sinx + cosx) + c
c
•S
11dx
Jf —
2x + 1
i
C)
2_(s'nx cosx + x) + c
D)sinx-cosx + x + c
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
E) sinx(cosx + x) + c
A )-~ln| 2x + 1 | + c
B )-^ -x + ln| 2x + 1 | + c
C )-1 -x --1 -ln |2 x + 1|4-c
D)
— x— ^-ln|2x + 1 |+ c
9.
J x3arctan xdx
E) T
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
x2 "
T
x+c
12.
J X2 - !
A) — (x4 -lW c ta n x — —x3 + -^ -+ c
' 4 v
>
3
2
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
B) — (x4 -lW c ta n x — — x3 + — x + c
4 t
;
12
4
A) x5 + x3 + x + -y -ln |x -1 |+ c
1
1
C) —^~(x4 +l)arctanx + — x3 + c
B)
y x 5 + y x3 + x + y ,nl x - 1 | - y l n | x + 1 | + c
C) -ğ-x5 + x3 + -^ -ln |x -1 |+ c
D) x2arctanx— —ln(l + x2) + c
D) — x4 + — x2 + — ln |x - 1 |- 4 -ln |x + 1l+c
5
3
2 '
1 2 1
1
E) x4arctanx--^-ln(l + x2) + c
E) x5 + — x3 + x + c
u
568
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
13.
r
16.
dx
P
J x2 +6x
3x + 1
J x2 - x -112
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
dx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
A) y l n | x | - y l n | x + 6| + c
ln| ( x - 4 ) - ( x + 3) | + c
B) ln|x + 6 |-ln |x | + c
13. I x + 3 I
B ^ 7r ,n —
x - 4T I +c
c ) J_|n| x | — l | n | x + 6 | + c
C)
^ - l n | x - 4 | + -^-ln|x + 3| + c
D) -^ ln | x + 6 | + -g ln| x | + c
D)
“^” ln| (x - 4 )(x + 3 ) | + c
E) ln| x2 + 6x | + c
E) 4ln|— — | + c
x +3
14.
f ^ d x
J x -4
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) ln| x - 2 | + x + c
B) ln| x2 + 2x | + c
!
S
C) ln| x2 - 4 | + c
D) ln| x - 2 | + ln| x + 2 | + c
17.
xdx
E) 2ln| x - 2 | + ln |x + 2 | + c
I
(x -1 )(x + 1)2
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
15.
f
1_x
J (x + 1)(x+2) X
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
ln| x —1 | + 2ln|x + 1|+c
B)
-^ -ln |x-1 | + ^ -ln |x + 1 |—~ + c
C)
— x ----İn -------- +c
2
4 I x+1 I
A) ln|x2 + 2x| + c
B) 2ln|x + 1|-3ln|x + 2| + c
C) ln|x + 1| + ln|x + 2 |+ c
D )
1
1 . I x —1 I
1
1 ,
X -1
- + — İn
+c
2(x + 1)
4
x+4
D) -^-ln|x + 1|-3ln |x + 2 |+ c
E)
'
E) 2ln|x + 1|--^ -ln |x + 2| + c
569
1
I x —1 I
— İ n - — - -2 x + c
4
x+4
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
20.
18.
I* (x + 1)dx
f x + 3 x:-2
-
J
J
x3 + x
dx
x2-1
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
1
A) l n | x - 1 | - — ln|x | + arctan x + c
A)
x + ln |x -1 |+ -^ -ln |x + 1 | + c
B) ln|x+1|-arctanx+c
B)
x + ln| x -1 | + 2ln| x + 1 | + c
C)
İn
C) ln|x2 + x| + c
D) ln| x| + — ln(x2 + 1 ) - arctanx + c
D)
E) ln |x|--^ -ln (x 2 + l) + arctanx + c
E)
10.
C)
'
(
2x
+
1)(1 +
dx
x2)
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
1 . I x —1
-İn
-arctanx + c
2
x+1
A) — ln|2x + 1| + arctanx + c
1 ı I x —1 1 1 a rc ta n x + c
4 |x + 1 | 2
B) — ln|2x + 1| + arctanx + c
-ln |x 2 - l | + ^ l n ( x 2 + l) + c
C) ln|x + 1| + arctanx + c
- - - İ n ----------
D) — ln|2x + 1| + arccotx + c
1
.
1 x —1
D) —-arctan x + — ----- +c
' 2
2 x+1
E)
x + ln|x2 - 2 x | + c
J
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
'
x + x -1
3x2 + 2x + 4
J ( xz -1 )( xz + 1)
R)
A + 2 x -3
X^
21.
dx
A)
x -1 I
x+2 |
İn
E)
I x —1 1
+ a r c ta n x + c
x+1
570
— ln |2 x + 1| + 3 a rc c o tx + c
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
24.
22.
f x3 + 2x2 - 1 0x + 9 .
5-------------- dx
J
•11
Jf —
rx
(x ++22') ( 3 x - 1 )
X -9
dx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
fi.) — x2 +2x + lnl x ~ —l + c
A)
3ln|x + 2 |-2 ln |3 x -1 | + c
B)
2x + — -— + ln|x + 2| + c
x+2
1
1
C)
ln| (x + 2)(3x-1) | + x + 2 + c
D)
ln| x + 2 | + ln| 3x-11 + — + c
E)
|n| x + 2 |— Ş-ln| 3 x - 1 1 - —l ^ - + c
2
| x+ 3 |
'
B) - y x 2 +2x + 4ln|x-3|-5ln |x + 3|+c
C) -y-x2 - 2x + 4ln|x + 9| + c
D) -^-x3 +3x2 + 2 x -ln |x + 3| + c
E) -^-x2 +2x + 2 ln |x -3 |-ln |x + 3| + c
25.
x -7 x -6
dx
x2( x - 3 )
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
in |x |-ln |x -3 | + — + c
B) 4 ln |x -3 |-2 ln |x | + 2x + c
C) l n | x - 3 |- 2 ln |x |- x + 2
23.
r
J
2dx
x (x
D)
3ln| x | —2ln| x —3 1— ^- + c
E)
ln|x| + 2ln|x —3 1— ^-+c
2 - 1)
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
ln|2x + 1| + 2x + c
B) ln |x -1 |+ 2 ln |2 x -1 | + c
C)
ln|x2 - l |- 2 l n |x | + c D) 2ln|x + 1| + ln|x| + c
CEVAP ANAHTARI
E)
ln(x2 + l) + 2ln|x| + c
571
1. E
2. D
3. C
4. B
5. A
6. B
7. E
8. C
9. B
10. D
1 1 .C
12. B
13. A
14. E
15. B
16. C
17. D
18. E
19. B
20. B
21. A
22. B
23. C
24. E
25. D
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
TEST - 3 ÇÖZÜMLERİ
1.
3.
x lnxdx
UYARI ;
u = lnx -i- du = - -dx
x
x2
xdx = dv => v = —
f(x) bir polinom fonksiyon olmak üzere,
J f(x)exdx = [f(x )-f'(x )+ f" (x )—
J udv = u •v - j* v •du olduğundan
x2
f
Jxlnx
n x -^ -- J •
xlnx = llnx
= — x2lnx
2
J (3x2 - x + 4)exdx
X2
1
2
x
s
Buna göre,
dx
J (3x2 -
x +4) exdx = [(3x2 - x + 4) - (6x -1 ) + 6] ex + c
xdx
i l
= (3x2- 7 x + 1l)ex +c olur.
2
_ı_
1
X
= — x ln x ------------+c
1
2,
2
2
CEVAP C
2
M ınx- i )
+ c o lu r .
f x2 • e4xdx
CEVAP E
2.
j ex sinxdx
I dv = l exdx -^> v = ■
sinxdx = sinx ex -
=U
2
X
= ---16
:
U2
Jı
dx = ■
du
4
= —L (u 2 - 2u + 2)eu + c
64 '
'
■cosxdx
A
du =
u2eudu
=—
64 Jf
Jdv=J
dv = exdx
4X
f J^Leu,
J 16
u = sinx => du - cosxdx
J ex
] ex +c dir.
= _J_fl6x2 - 8 x + 2)e4x+c
64 '
'
olsun
A ya tekrar kısmi integral uyguyalım.
= ( — x2 — L x + J - ) e 4x+c olur.
U
8
32 J
cosxdx
CEVAP B
■ ı
u ^co sx= > v = e
J
A = co s x •e x
A = cosx
e
e x ( - s in x ) d x
J (2x2 -3x )e "x dx
|ex sinxdx bunu yerine yazalım.
/■
J exsinxdx = ex-sinx-^cosxex+ J ex sinxdxl
+
- x = u => du = -dx => dx = -du
-J
(2u2 +3u)eüdu
= -[2u 2 + 3u - (4u + 3) + 4 ]e u+ c
J e* sinxdx = exsinx- cosx•ex- Jex•sinxdx
= -(2 x 2 - 3x + 4x - 3 + 4)e_x + c
2 J*exsinxdx = ex(sinx-cosx)
= -(2 x 2 + x + l)e “x
J ex sinxdx =-i-ex(sinx-cosx) + c olur.
= - e x(l + x + 2x2)olur.
CEVAPA
CEVAP D
572
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
6.
8.
J cos2 xdx = J cı osxcosxdx
J ( x - 1 ) sinx-dx
u = cosx => du = -sinxdx
= J xsinxdx- J si
sinxdx
dv = cosx•dx => v =
v=I
cosx-dx
v = sinx
■j
xsinxdx + cosx
Jcos2xdx = cosx s in x - J sin x-( sinx)d
u - x => du = dx
j* cos2 xdx = cosx •sinx + J sin2 xdx
dv = sinxdx => v = I sinxdx
J cos2 xdx = cos x sin x + J (1 - cos2 x) dx
- i
V
= -cc
= -cosx
= cos:x + x •(■ cosx)-
J cos2 xdx = cos x ■sin x +
J -cosxdx
M
cos xdx
2 J cos2 xdx = cos x •sin x + x
= cosx-xcosx + sinx + c olur.
J*cos2xdx = -^-(x + cosx sinx) + c olur
CEVAP B
UVftftl
Bu soru cos2x = 2cos2x - 1 r-> cos2x
2cosx + 1
2
yazılarak daha kolay çözülebilir. Ama buradaki
kurnazlığı görmenizde yarar var.
/
CEVAP C
9.
J
x3 arctanxdx
u = arctan x => du
1+ x
•dx
x3dx
dv = x dx
x3 arctanxdx
x2 -lnx
= arctanxu = lnx => du = — dx
x
i p
J
dx_
4
1+ x
İ J l
+x
-dx
olduğundan
X +1
■dx
1 X4 a rc ta n x -^ - J ( x 2 - l ) d x - ^ - J ^ f d x
—
4
1 4
1 3 1
1
— x •arctanx------- x + — x
arctanx + c
4
12
4
4
1
1 1
— ( x 4 - l ) a r c t a n x --------- x 3 + — x + c olur.
a v
/
12
A
= _ l x3 -ln x --^ - |x*dx
i f
1
_ Cjâ
- l x 4 •arctanx
-J
dx = x2dx => v = — x3
3
1 3 .
— xJ lnx3
X4
1
= — x 3 l n x — — x 3 + c olur.
CEVAP E
CEVAP B
573
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
10.
2
N
. - f _ = M + - î — (t-1)
t+1
t+1
dx
J Vl + ex
1+ 1
u = x => du -d x
t +1 ile çarpıpı t+1 = 0 => t = 1 yazalım
: -dx
dv
exdx
-
\/î
j VT
2
t -1
1+ e = l => e •dx = 2tdt
M
t-1
(t +1)+N
2
= N => N = -1
-2
f 2tdt
V=J —
A=2
v = 2 J dt
A = 2t + ln|t 1|-ln|t + l|
v = 2t
f dt+ f — d t- f —— dt
J
J t-1
J t+1
/o -4)v1
Ai + ex" - 01
V l+ e=x -1 +c olur.
^xe*— - = (2x
2ln-y—
1+ex
v1+ex +1
J
v = 2>/l + ex
CEVAP D
f ,xe
dx = x - 2 V l + e x - f 2^1 + e x dx
J v1 + e x
J
= 2xVÎ+ex~-2 J Vl + exdx
Basit kesirlere ayırma yöntemiyle integral
alma uygulamaları:
+ ex dx
1+ ex = t2 => exdx = 2tdt
11.
x = t.2 - 1
h
ex
-dx
2x + 1
^ = ------2tdt
dx
2x+1
1
2
X
2 t2d t
r
1
J t2 -1
2t*
1
t2 -11
”2
T 2^+2
2x + 1
-K “ A
(t-1 )(t + 1)
)
2
2x + 1
dx
dt
T
M
N
t-1
t+1
I
dx~ T
1
2
1
4
J
2x + 1
(2x + 1 = u=>du = 2dx)
— x - — İni 2 x + 1 | + c olur.
İki tarafı t - 1 ile çarpıp t - 1 = 0 = ^ t= 1 yazalım.
CEVAP C
574
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
14.
12.
Jf —x2 -1
r 3x+
dx
4
3x + 2
(x - 2 ) ( x + 2)
dx
J
Pay,paydaya bölünürse
V6
X
4
2 ^
—=------= x + x +1+•
x -1
x -1
olur.
B = 3X+.2 de x + 2 = 0 ;
x -2
B
x+1
B=
-6 + 2
x = -2 yazalım.
B =1
-4
dx
x+2
2ln|x-2| + ln|x + 2| + c olur.
x -1 = 0 => x = 1 yazalım.
x +1
x+2
A=2
Her tarafı x -1 ile çarpıp,
—-— = A
x -2
3y + 2
A=
— d e x - 2 = 0=>x = 2 yazalım
x +2
6+2
A=
J (x4+x2+l)dx+ J -^^j(x -1 )(x + 1)
X2 -
CEVAP E
A =—
2
x +1 ile çarpıp x + 1 - 0=>x = -1 yazalım.
1
„
„
= B => B =
x -1
1
I v
İ S
dx
5
^
' T
- İ I
~x+T
+ -^— + x + — İni x -1 1 — —İni x + 1 | + c olur.
3
2 1
1 2 1
1
CEVAP B
15.
13.
h
=±
B
x+2
6 J
1+ 1
=> A = 2
-1 + 2
B - 1_X de
d x + 2 = 0 = >x = -2 yazalım.
x+ 1
1
^__ 1 f
6 J x
A
x+ 1
A
B
x+6
a
1
=A=>A=0 +1 6 =>A
- —
6
JL f
1 -x
(x + 1)(x + 2)
1- x
de x +1 = 0=>x - -1 yazalım.
x+2
dx
+ 6x
x(x + 6)
1
x+6
1
1 -x
dx
(x + 1)(x + 2)
B=
dx
x+6
2 f
1+2
=>B = -3
-2 + 1
dx
J x+1
|n | x | - l | n l x + 6 | + c olur.
„ f
dx
x +2
= 2 ln |x + 1 |- 3 ln |x + 2| + c olur.
CEVAP B
CEVAPA
575
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
18.
16.
3x + 1
-dx
J ( x - 4 ) ( x + 3)
(x +1)dx
r _ ^ ± ı _ dx=r
J x -x -1 2
3x + 1
( x - 4 ) ( x + 3)
A
x -4
x3 + x
B
x+ 3
x
A = _?x + 1 te x = 4 yazarsak
x+ 3
*
x+1
A
Bx + C
+•
( x 2 + 1)
x
x2 + 1
x+ 1
A=
x +1
de x = 0 yazarsak A = 1
1
x +1
x (x
•3y . 1
B=
x -4
B
-7
+•
Bx + C
x* +1
+1)
(X)
r +1j
te x = -3 yazarsak
x + 1 = (B + 1)x2 + Cx + 1
B + 1 = 0 r > B = -1, C = 1
7
-x + 1 ,
13 f dx | 8 I* dx
7 J x -4 + 7 J x + 3
I >
+J
x
+1
= ln|xl+ f —~-X dx + f
= --y-ln| x - 4 | + -|-ln| x + 3 | + c olur.
1 1 J x +1
CEVAP C
— dx
J x*+1
= l n | x | - — ln(x2 + l) + arctanx + c olur.
CEVAP E
e
17.
xdx
S
* 19.
(x -1 )(x + 1 )
x
(x -i)(x + ır
x = 0 yazalım.
0
A
x -1
x+1
de
(x-1)(x+1)(x2+ f
= -A + B + C=>B + C = A
1
A=
x-1
x+1
x2 + 1
de x -1 = 0=>x = 1 yazalım.
( x + 1)(x2 +1)
(x + 1)
de x -1 = 0 => x = 1 yazalım.
A --ÎB=
(1 + 1)
x -1
-1
B
1
( x + 1)
- 1-1
A-
dx
J (x2-l)(x 2+ l)
= B(x + 1) + C de x + 1 - 0 => x = -1 yazalım.
(x-1)(x2+l)
dex+1 = 0 = î> x = -1
B= — 4
= B(-1 + 1) + C = > C = t
(x-1)(x+1)
B + — = — => B
2
4
J_ Ir ^ _ _ ± ı j* dx + 1 f
4 J x+ 1
2 J
4 JI x -1
y a z a lım
x2 -1
dex2 +1 = 0=>x2 - - 1 yazalım
C= - —
2
dx
_1 f dx 1 f dx
4 J x -1 4" J x+1
(x +1)
1 r dx
J ' x2+1
2
= — İni x - 1 I - — İni x + 1 1-----—^— - + c
4 1
1 4 1
1 2(x + 1)
1
1
1
= — ln| x—1|——ln| x -t-1|——arctanx+c
1
1 , I x -1 I
= ---------------- + — in ---------- + c olur.
2 (x + 1)
4
x+4
1 | x —1 I 1
= — İn
arctanx+c olur.
4 | x+ 1I 2
CEVAP D
CEVAP B
576
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
20.
f
X2
22.
+ 3x - 2
x2 -1
J
x2 + 3
x3 + 2x2 - 1 0x + 9
dx
x2 - 9
x2 -1
x-2
+ 2x2 -1 0 x +9
1
x2 ±1
2x2 - X + 9
3x-2
xz +
1+ -
x2 -1
3 x -1
3x-1
3 x -1
(x -1 )(x + 1)
T 2x ± 18
- x + 27
____
A ______
B
( x - 1 ) ( x + 1)
A=
x -1
de
x3 + 2x2 - 1 0x + 9
+ x + 1
x2 - 9
- x + 27
( x - 3 ) (x + 3)
= 1 yazılırsa
x
x+1
A
3 " 1 => AA = —
2
a
A
A
= -------=> A
=1
1+ 1
2
D
B =
3x-1
.
— de x =
x -1
-3 -1
-
x2 - 9
X+2
+ ,x^±9x
3 x -1
dx
.
-1
.
-x + 27
A = ----------- te
x+ 3
.
-x + 27
x -9
A
B
-+ x -3
x+3
._
x= 3 yazalım.
y a z ı lı r s a
B= 2
1-1
x+2+
_
B=
dx
x+1
x + ln| x -1 | + 2ln|x + 1| + c
CEVAP B
6
-x + 27
._
:— tex = -3
yazalım.
x -3
30
= -5
J (x + 2)dx + 3 | ^ j - 5 j
dx
x+3
-x2 +2x + 3 ln |x -3 |-5 ln |x + 3| + c olur.
CEVAP B
21.
r
3x2 + 2x + 4
23.
J (2x
(2 x +
+ 1)(l + x2
3x2 + 2x + 4
(2x + 1)(1 + x2)
x=0
.
A
için
2x + 1
Bx + C
1+ x
C
2
x (x -1 )(x + 1)
A+C = 4
3x2 +2x + 4 .
1
-----------=----- de x = ------ yazalım.
1+ x
2
A=
2
x -1
C
x+1
d e x -1 = 0 = > x = 1 yazalım.
X (X + 1)
3 1
4+ 4
>.
15 —
A=—
=—
= 3 = >A = 3
1+ -
A 1-2 =1
B=
C=1
B=
D
. 3x +2x + 4
2
,
Bx +1 = ------------------ de x = -1 yazalım.
2x + 1
D
. -3 + 2x + 4
2x + 1
Bx + 1 = ---------------2x + 1
2x + 1
6x + 1 = 1=>B =0
3 J[ 2x+1
dX ■+ Jf
2dx
J x fx 2Z-1
—)
C=
C=
( x —1)(x +1)
de x = 0 yazalım.
-T T = ' 2
2
de x = -1 yazalım.
x(x-1 )
2
=1
-1(-2)
dx
r _ ^ _ _ 2 r ^ + r. dx
J x -1
J x
J x+1
= ln |x -1 |-2 ln |x | + ln|x+1| + c
x^ + 1
= — ln | 2 x + 1 | + a rc ta n x + c olur.
= ln|x2 —1|—2ln|x| + c olur.
CEVAPA
CEVAP C
577
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
„r
9
25.
AA
x -1 1
dx
x2 -11
A
(x + 2) (3x -1 )
(x + 2)
B
(x + 2)
C
x2 - 7 x - 6
3 x -1
x2 ( x - 3 )
4 -1 1
-6 -1
9 -^ -6
a
= — ——~(3x + 1 )
x+2
(x + 2)
- l 8
9
.1 1
y +2J
5 -(3 x -1 )
(x
+ 2)2(3 x - 1)
H )
1
B
2
4
4
9
2
y c2 + - s - • xr
°
X -3
= -2
C=^ - =2
1
B
x+2
(x + 2)2
de
3 x -1
+2
X2 - 7 x - 6
2
xr ( x - 3 )
x -3
1 -7 -6
-2
1(1-3)
1 -3
B
2
+ — + - s - de x = 1 yazalım.
X
x
B
2
-+ — + •
1 1
6 = 1+ 2 + B=>B = 3 (1 i küçük ve sade bir değer
olduğu için B yi bulmada öylesine kullandık.)
11
10
B
_ ,
— =
+ — =>B = 1
4
,- jB
(x + 2)
x = O yazalım.
-11
C
2
-4---------
+C
9
x -11
x
Her iki tarafı x2 ile çarpıp x = O yazalım.
B
+—
x -7 x x -3
± -1 1
9
1 + 2 ^2
B
9
3
x2 _ 1 1
fi
x- 3
_
x2 - 7 x - 6
.
B ,
..
C ,
..
■
^
= A + — ( x - 3 ) + - r (x -3 )
-7
-7
Her iki tarafı 3x -1 çarpıp x = — yazalım.
- i— LL
dx
Her iki tarafı x —3 ile çarpıp x = 3 yazalım.
Her iki tarafı (x + 2) ile çarpıp x = -2 yazalım.
x —11
3 x -1
2- 7 x - 6
(x -3 )
(x + 2) (3x -1 )
4
r_ d x _ + r
dx
J x + 2 + J (x + 2)2
2f
dx
J 3 x -1
= —2ln| x —3 14- 3ln| x (—2 ——+ c
= ln|x +2l+ J(x +2)-2d x - | J ± ± T
= 3 ln |x |- 2 ln |x - 3 |------ + c olur.
CEVAP D
= ln|x+2|" 7 7 2 " T ,nl 3x_1' +c olur'
CEVAP E
578
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
ÇÖZÜMLÜ TEST - 4
Köklü fonksiyonların integrali ile ilgili
uygulamalar:
r
x2dx
J
J
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
5V4 x - 17 dx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
^ (4
x -1 7 )6 + c
C)
y (4 x -1 7 )s+ c
A ) y 3
V ? 7 7 +C
C
E)
B) ^ ( x 3 + l f
+C
B ) - ^ / (4x- 1 7)6 + c
) ^
M
+c
D) - j y l (x3 + 1)2 +c
D) ^ /(4x-17)6 + c
E)
- ^ ( 4 x - 1 7 ) 6 +0
\/x3 +1 + c
5.
| ( V x + 7 ~ \/x + 7 )dx
|
^ - d x
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) %/4x-9 -4 arctan
B) x-arctan
^ -+c
A) \ V (x + 7)3 - y ^ ( x + 7)4 +c
5
1
V 4 x -9
3
+c
C) 2\/4x- 9 -6arctan———— + c
3
B)
I
+ y \ / ( x + 7)2 +c
C ) y / ( x T 7 f - | - ^ T +c
D) 2x%/4x- 9 + c
D) y \ / ( x + 7)2 - x + c
E) 2 \/4 x -9 -18arctan———— + c
E) Vx + 7 -y](x. + 7)2 + c
3.
xdx
V4x + 1
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
■j _____
A) — v4x + 1 +C
6.
I*
dx___
J 3/1 + 5x
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
B) — yİ4x + '\ - — J(4x + 1)3 +c
12
2
C) —— ■J(4x + 1)3
24
8
D) >/4x + 1 — — J(4x + 1)3 + c
24
E)
A) y p / ( 1+5x)2 +c
b i^
C) y ^ /1 + 5x +c
D)
-^ T T ^ T + c
V4x + 1 + c
V(4x + 1)3 + c
E ) ^/(1 + 5 x )2 + e
579
(1 + 5x)4 + e
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
10.
7.
e
V3x + 2 +4
dx
J
J V 7 +w
S
dx
%/3x + 2
Integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 4\/x~ - 6ln| 1+ \/x~ | + c
A) U 3x + 6 +2^/3x + 2 +c
B)
2-7>T-3\/>r+6\/>T-ln| 1+
B) y 3x + 2 + c
|+ c
C) 2Vx"-6x/x + 3ln|l + Vx] + c
D) 2Vx” —3Vx" + 6 >/x”—lnj^/x~| + c
E) 6ln| 1+ \/x~ | + x + c
C)
y
V (3x + 2)7 + c
D)
— >/ (3x + 2)5 + 3V 3x + 2 + c
E)
y ^ /( 3 x + 2)7 + 2>/ (3x + 2)2 +c
11
dx
1-x"
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
J (2 x +1
( x 2 + x + 1)3 d x
A)tan(arcsinx) + c
B) tan(sinx)+c
C) arctan x + x + c
D) tan(arccosx) + c
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) ^ (x 2 + x + 1)5 +c
C) y )/(x 2 + X + 1)5
B) - j - J (x2 + x +1) + <
+C
E) tan(arccotx) + c
D) y ^ ( x 2 + X + l ) 2 + C
12.
r v4
V4 -- x 2
E)
J
5/( x 2 + x + 1)4
dx
X'
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) tanx + arcsin— + c
'
2
9.
Y
. x^
.x
B) -cotl a rc s ın y l-a r c s ın y + c
x4 dx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
C) — tanf arcsin— l + arcsin— + c
A)
C)
\/l-x 4 + c
2
B) 3 \/l- x4 +x + c
D)
l
2J
2
D) 2tan|^arcsinyj + a rc s in y + c
-
İ 'R
E) cot faresin y j + arc s in y + c
580
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
Trigonometrik özellik ve özdeşliklerden yararla
narak integral alma uygulamaları:
16.
J tan xdx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
13.
J
1
T
A) — tan x + ta n x -x + c
'
3
cos3 xsin2 xdx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
'
B)
1
.
9
C) — tan x- tan x + x + c
' 3
1
1
— sin2x
sin4x + c
3
5
D)
1
■?
— tan,îx -ta n x + x + c
3
E)
tan3 x -ta n x + c
'
1
1
B) — sin3x
sin5x + c
'3
5
C)
3tan3x -ta n x + x + c
sin3 x - 1-sin4x + c
1
1 c
D)• —
O sin3x -----C5 cos5 x + c
3
17.
J* sin7x cos5xdx
E) sin3 x-sin 5 x + c
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
|
1+ sin*" x
J
cos2x
B)
«
C) — — (cos12x + cos2x) + c
12
dx
D)
B) 2 ta n x -2 x + c
D) ta n x -x + c
(cos6x + 12cos2x) + c
12
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) x + tanx + c
1
g,
SI
.S
t.
14.
(cos12x + 6cos2x) + c
24
E)
1
(cos6x + cos12x)+c
——(cos12x + cos6x) + c
C) x + 2tanx + c
E) 2 ta n x -x + c
18.
J cos4xcos2xdx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A') -61-sin6x + -21-sin2x + c
15.
dx
B) —^-cos6x + — cos2x + c
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
tanx + cotx + c
C) sinx + ln \ cosx | + c
'
12
2
B) tanx-cotx + c
C) — sin6x + — sin2x + c
' 12
4
D) sec2 x + cosec2x + c
D) sin6x + sin2x + c
E) sin4x + cos3x + c
E) ln| ta n x | + c
581
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
19.
22.
dx
J 2sinx-cosx + 5
J sin5xsin4xdx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) ——- cos9x+-S-cosx+c
‘
18
8
1
1
cos9x + — cosx + c
18
2
'
1
1
C) — sin9x + — sinx + c
' 18
2
D)
sin9x + — sinx + c
2
E)
'
1
1
sin9x + — sinx + c
18
2
' 18
3 ta n -~ + 1
2
>/5"
A) arctan
B) -g-arctanj^3tan-^- + lj-
C)
arccot ^3tan-^-+1 l + c
D)
arctan
3tan — +1
2
E)
_ arctan
V3
3tan— + 1
2
V3"
20.
x dx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
|
9
x ı
o
A) — arccosx+— v 9 - x
İ
9
X 9
(
x^
r \ — arcsin— + — sin 2arcsin— +c
’ 2
3
4
l
3 J
§
«v
9
.
X
x
fZ
C) — arcsın— + — yj 9 - x
3
3
T
+
D) -^-sin^2arcsin-~j + c
E)
2
• X
+ arcsm— + c
3
21.
CEVAP ANAHTARI
dx
J 1+ cosx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) —cotx + C)
sınx
—İn | cotx | + c
E)
B) cotx + -
sınx
■+ c
D) -tanx + c
İn | 1+ sinx | + c
582
1. B
2. C
3. C
4. D
5. A
6. A
7. B
8. C
9. D
10. E
11. A
12. B
13. B
14. E
15. B
16. D
17. A
18. C
19. E
20. B
21. A
22. D
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
TEST - 4 ÇÖZÜMLERİ
3.
xdx
V 4 x -1 7 dx = ?
V4x+1
4 x -1 7 = t5 => t = 5V 4 x -1 7
4x +1 = t2 => 4dx = 2tdt => dx = — t •dt
2
4dx = 5t4dt
t2 -1
4x +1 = t2 => x
dx = — t4dt
4
4
t dt
r
xdx
r
J V4x + 1
_5_
4 ’ 6
t2 - 1
1
-— - - - t d t
JJ
t
_ _1
" 8
5
t +c
24
_5_
(5V 4 x -1 7
24
1 t3
1
8 3
8
= — t3 - — t
24
8
5 5
(t = V4x + 1 yazalım.)
= J _ ^ /( 4 x + 1)3
24
CEVAP B
V4x + 1 + c
8
CEVAP C
2.
J J 4 x -9
dx = ?
4x - 9 = t => 4dx = 2tdt
t+9
dx = — tdt
2
4.
f
*
, ± t d t = [ J 2t2dt
J _f_+9 2
J t +9
~ 4
t2dt
"2Jı
t2 + 9
t2
T t2 +9
x dx
J \/? + T
x3 +1 = t3 => 3x2dx = 3t2dt
t2 +9
1
dx =
♦2,
t dt
2 t2dt
y. — s—
dt
=2I ( 1- 7 ^ ) dU2I d,-18J t2 +9
= 2 t-1 8 ~ a r c ta n -J - + c
3
3
2 +C
= 2 t - 6 arctan— + c
3
= 2 \ / 4 x - 9 - 6 arcta n
4 Î P İ )2
V 4 x -9
CEVAP D
3
CEVAP C
583
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
5.
K
dx
> /5 riT -> /x+ 7 lcix= ?
Kök kuwetlerinirı okeki: (2,3) = 6 olduğundan
Kök kuvvetlerinin okeki: (2,3) = 6
x+7 = t6 dersek t = ^x+7
x = t6 =>dx = 6t5dt
dx = 6t5dt olur.
t-# x "
J (^ T -^ T 7 )d x =
f
dx
J v^+^r
= 6 f t8dt —6 f t7dt
J
J
t+1
t3
t2
1+1
T t3? t2
.9
= 6-------6— +c
9
8
3
f 6t5 dt _e f t3dt
J t3 + t2
J t+ ı
-t2
± t2 t t
t
+ t+ 1
4
= - | V ( x + 7 f - İ- V ( X + T ) 4 +0
dt
=6 J t2dt- 6 J tdt+6 J dt—
6 J*
t+1
CEVAPA
t—
3
t2
=6 —
6 — +6t- 6ln|t +1|+c
3
2
1 1
= 2t3 - 3 t 2 + 6t- 6ln|t+1|+c
=2V)T-3Vx"+6 Vx~-6 ln| Vx~+11l+c
6.
dx
j
-o
CEVAP B
\/1 + 5x
1+ 5 x = t3 = 5dx = 3t2dt=>dx = y t 2dt
t = %/l + 5x
r _ d* —
J V l + 5x
3 t2dt
r x
J
1
J
(2 x + 1 ) / ( x2 + x + 1)3 dx = ?
x2 + x +1 = t2 => (2 x + 1)dx = 2t •dt
-4 1 '
dx = -
3 t2
5 2 +C
J (2x + 1
=-L t*+c
10
2tdt
2x + 1
) ^ + x + 1)3 dx =
J (2x +1) •t3 •
2t -dt
2x + 1
= 2 JVdt = 2 ~ -
3 3
V ( 1 + 5 x )2 +c
10
■^(x2 + x +1)5 + c
CEVAPA
CEVAP C
584
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
9.
11.
dx
x4 -dx = ?
J" (1
1 -x 4 = t7 =>-4 x 3dx = 7t6dt
dx
x = sin t =î>dx = cost-dt
7t dt
I*
—4x
Jx»VTVdX- J X
dx
(*
J (1 —x2)>/1 —x2
cost-dt
J (1 —sin2 1)>/1 —sin2 1
M .™
-4x
P
cost-dt
•* cos2 1 cost
■ - r j* '-
=Jf—
cos2 1
7 tö
= ------------ +
4 8
c olur. Burada
= tant + c olur t yerine
x = sint=> t = arcsinx yazarsak
t = V l - x4 yazarsak
= tan(arcsinx) + c olur.
CEVAP A
CEVAP D
1 12I
fo
74-x2
dx = ?
x = 2sint=> dx = 2costdt
x2 = 4 sin21
10.
V 3 x + 2 +4
J
T ^ 2"
dx = ?
7 4 -4 s in 2
- f
\l 3x + 2
Kök kuvvetlerinin okeki (2,3) = 6 olduğundan
sın t
4^ 1- si
4sin2t
3x + 2 = t6 diyelim.
f cos2<t
3dx = 6t5dt=>dx = 2t5dt
J
V3x + 2 +4
J sin2 1
dx
%/3x + 2
f t 3 + ‘ •215 dt
“J
t2
= | (t3 + 4 )2 t3<
•2costdt
4sin2t
cost-dt
dt
=J
cot 2tdt
=J
(cot21+ 1—l)dt
= 2 | t6dt +8 J f dt
dt
t7
t4
= 2 — +8 — +c
7
4
= -c o tt-t + c
x = 2sint => t = a rcsiny yazarsak
= y t 7 + 2t4 + c
= y
= -c o t
V ( 3 x + 2 )7 + 2 V ( 3 x + 2)2 + c
CEVAP E
a rc s in —
- a r c s in — + c olur.
CEVAP B
585
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
13.
16.
J cos3xsin2x-dx=?
J tan2 x • tan2 xdx
sin2x+cos2x=1=>cos2x=1- sin2x
J cos2x•sin2x•cosxdx= J*(1- sin2x)sirf x•cosxdx
= j* tan2 x (l + tan2x -l)d x
= Jsin2x cosxdx- Jsin4xcosxdx
sinx = t=i>dt=*costdt
t dt
+c
1 sın
-3
—
3
J tan4 xdx = ?
=
J*tan2 X.[(1 + tan2 x) - 1]
=
J tan2 x (l + tan2 x )d x - J tan2xdx
=
J tan2 x (l + tan2 x)dx - J (1 + tan2 x -
=
J tan2 x(l+tan 2 x )d x - J (l + tan2 x)dx+ J dx
=
co
dx = ?
CEVAP D
f 1+sinz x .
J
J u2du-tanx + x
H
= — u3 -tanx + x
3
•|
= — tan3 x -ta n x + x + c
3
14.
r 1+ i
l)dx
tan x = u => du = (1 + tan2 x)dx
1 ,5
5
X - — SM TX + C
CEVAP B
J
dx
r
1
,
r,tan x
cos2 x dx= J —
cos—x dx+ J '
= tan x + J (1 + tan2 x - 1)<
)dx
= tanx+ J ( l + tan2 x )d x - J dx
17.
tanx + ta n x -x + c
2 ta n x -x + c
/
s!n7x-cos5xdx = ?
sina •cosb = — [sin(a + b) + sin(a - b)]
CEVAP E
olduğu hatırlanırsa,
J sln7x •cos5xdx = J ~-[sin(7x + 5x) + sin(7x -
15.
1 dx
=
5x)]
?
= — f sln12 xdxr-^- f sin2 xdx
2 J
sin2 x + cos2 x = 1 yazalım.
sin‘ x + cosfcx .
r
1
.
f _£İI
dx= f ------=
— ~2— dx •+ f — 5
J cos*x
J sın“
J si
2 J
1
1
= —-— cosl 2x — -cos2x + c
24
4
■dx
24
ta n x - c o tx + c
(co s 1 2 x + 6 c o s 2 x ) + c olur.
CEVAPA
CEVAP B
586
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
18.
21.
i
dx
=?
J 1+ cosx
cos4x •cos2x •dx = ?
1. yol:
cosa •cosb =■— [cos( a + b)+ cos(a - b)]
1-(1-cosx)
olduğu hatırlanırsa,
(1-cosx)dx
L
. dx
2x
,
cosx)(1-cosx) - = J ^ 1 cos~
J (1+cc
Jcos4x ■cos2xdx = J -y[cos(4x+2x) + cos(4x-2x)]dx
-cosx
dx
= f—
J sin2x
= Y Jcos6xdx+y Jcos2x-dx
f
1
.
I* cosx .
—
dx- —
dx
J sıırx
J sımx
=
1
1
= — sin6x+— sin2x+c olur.
12
4
CEVAP C
= -cotx _
19.
J u2
Jsin5xsiı
sin4xdx=?
= -c o tx-- j| u“2du
.
sina •sinb= ——[cos(a+b) -cos(a-b)]
1
= -cotx+ — + c
u
olduğu hatırlanırsa,
= -co tx+
J sin5x-sin4x-dx= j*--2-[cos(5x+4x)-cos(5x-4x)]dx
tan-^- = t diyelim. ^1 + tan2-^ jd x = d'
1
1
sin9x+— sinx+c
18
2
(l + t2)dx = dt
CEVAP E
9 -x
+c
2. yol:
= - ~ fcos9xdx+— fcosxdx
2 J
2 J
20.
sinx
%
6
dx
dx = ?
2
x = 3sint => dx = 3costdt
VI + \f
dt
1+t
x
1
cos— =
2
V ı+ t2
cosx = 2cos2- X
— 1
t = arcsin—
3
J V9-9sin2 t
cosx = 2
-3cost-dt
1+ t2
dt
-sin21 -3costdt
dt
1+ t2
= 9 J cost •costdt = 9 J cos2tdt
cos2t + 1
cos t = -------------
1+ t2
2 t+°
1.
2
X
= — ta n —
y
JcO S 2 td t+ y jd t
2
+ c
(İki sonucun eşit olduğunu görelim.)
9 sın2t
• + —9 t. + c
=—
4
2
CEVAPA
9
.x
. 9 . (n
= — arcsın— + sın— sın 2arcsın— + c
2
3
4
l
3
CEVAP B
587
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
22.
i
dx
=?
2sinx-cosx
+5
2sir
du
1
75"
2 r vs" v
u +u - j
tan— = t => -^-(1 + t2)dx = dt
2dt
dx
1
1
73
75_
.
75
u
73"
7İT
= —= ----- = — arctan— = —+ c
1+ t2
1
.
73u
- — -arctan — = - + c
T tf
75
73_f73 't + - l _ - l
arctan
— —
7sT
1
f
—=■ arctan
75
2
3t + 1
75
+c
Vl + t2
X
[ 3 arctan— +1 |
_______2 ___ I .. = —p^arctanı\—
75^
75^
X
sinx = 2sin— cos2
2
sinx = 2-
7 5 " ; +c
-J5
t
1
y fi7 ? "
2t
(Bu soruyu meraklıların çözmesini öneririm.)
1+ t2
Ju İF
CEVAP D
cosx = 2cos2 -r - -1
1 - 1 = ----1 -t cosx - 2o -------—
1+ t2
1+r
2dt
1+ t2
2t
1 -t*
2
+5
1+ t2
1+ t2
dx
2sinx-cosx + 5
2dt
1+ t2
4 t—1+ t2 + 5 + 5t2
1+ t*
2dt
■f
6t2 + 4t + 4
- I
_ dt
3t?+2t + 2
dt
f73"t
1
73't + - 7L - = u=>du = 73dt
7T
588
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
ÇÖZÜMLÜ TEST - 5
4.
Belirli integral alma uygulamaları:
dx
1+ V>T
1.
t
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
| (4x3 -3 x 2 + x -l)d x
A) 4
integralinin değeri kaçtır?
9
B) y
A) 4
B) 2ln3
D) 8 -2 ln 3
C )2 -ln 3
E )6 -3 ln 4
C) 5
5.
Vex -1 dx
integralinin değeri nedir?
J xV>?
•1 dx
A) 2-
B )1 -y
c) T
integralinin değeri kaçtır?
D)2 +f
A)i
B>y
D)
c >2
E) 1+ T
E) 3
T
6.
3.
XX" + l)dx
j
(x2 +1) + 4
integralinin değeri kaçtır?
Grafik, f(x) fonksiyonuna aittir. Buna göre,
3
B) — In3
A) In5
ff(x) dx
' 2
f(x)
D) — In2
E) — İn—
'
4
integralinin değeri nedir?
5
A ) ln 2
589
B ) ln 3
C ) In4
D ) In5
E ) In6
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
7.
10.
no
*---
f
ex7ex -1
J
ex + 3
o
dx
| | 2x2 - 1 1x + 12 |dx
integralinin değeri nedir?
A) 4ln3
B) 3ln2
integralinin değeri kaçtır?
C) In2
D) In4
E)2ln5
A )4
8.
C) 3
10
D )—
E) 2
D) 4
E)
13
D )—
E) 7
11.
D
|
B )^ ~
(4x + 3)dx = 120 ve b - a = 8
x2 - 4 [ X] |dx
olduğuna göre, a + b kaçtır?
A) 10
B) 9
C) 8
D) 7
integralinin değeri kaçtır?
E) 6
A) İ T
B)3
C)
" 3
J (x4 - 3 x 2)dx
12.
O
_ -2
J x2( x - [ x ] ) d x
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) x4 - 3x2
B)
D )0
x5
— — x3
O
integralinin değeri kaçtır?
C) - 1
A) 5
E) 20
590
11
B )—
C) 6
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
13.
16.
ı
J (3 -4 x )-s g n (4 -x 2)dx
integralinin değeri kaçtır?
A)12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
Grafiği verilen bire bir ve örten
f : [1,2] -> [2,4] fonksiyonunun tersi f-1 dir.
Buna göre,
2
4
1
2
Jf(x)dx+Jf_1(x)dx
14.
toplamı kaçtır?
A) 2
f fonksiyonunun grafiği ile x ekseni arasındaki
taralı alan A = 24 br2 olduğuna göre,
B) 4
C)
6
D) 8
E) 10
İntegral işareti altında türev alma
uygulamaları:
I
J
17.
(2 + x )-f(4 x + x2 )dx
J
F(x) =
integralinin değeri kaçtır?
A) 6
B) 9
C) 12
D) 18
E) 24
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) ex
B) x ex
18.
15.
cos3 x - sin x • cos2 x +1
(
B) 1
C) 2
C)2xex
D )ex- 2
E )ex +2
lnx
f(x)=
dx
J
t-e'dt ise f'(e)
In2
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
integralinin değeri kaçtır?
A) 0
Int-dt ise F'(x)
2
D)
42
A) 0
E)
591
B )y
C) 1
D) e
E) e 2
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R !
19.
22.
f(x)
B) 33
C) 34
h
dt
+4
olduğuna göre, f'(1) kaçtır?
olduğuna göre, f'(2) kaçtır?
A) 32
A
f(x)
log2tdt
D) 35
E) 36
A) 0
B)
3
25
C)
D> l
e> t
D) - 1
E) - 2
51
23.
cost-dt
20.
sin3x-dx
lim
dt
1 -ta n —
4
v. 0
o l
ifadesinin değeri kaçtır?
integralinin değeri kaçtır?
A) —
2
B) —2
3
C) —
A) 2
B) 1
21.
CEVAP ANAHTARI
Inx
f(x)~ J e*dt
1. B
2. D
3. E
4. D
5. A
lnx
6. C
7. C
8. E
9. D
10. B
11. E
12. A
13. D
14. C
15. D
16. C
17. B
18. C
19. D
20. E
21. B
22. D
23. E
olduğuna göre, f'(e) nedir?
A ) 2e2 - e
C) 0
D) 3
B )2 e -1
C )e 2- 1
D )2 e
E) e
592
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
TEST - 5 ÇÖZÜMLER!
1.
3.
L
J (4x3 -
x(x2 + l)dx
3x2 + x - l)dx = ?
(x2 + 1)2 + 4
1
2
2
2
2
x +1 = t => 2xdx = dt
J 4 x 3d x -3 J x 2dx+ J x d x - Jdx
dt
dx
3
-1 + 2
C
M
co
X
1
II
X
&
x2 2
2
X3
2
dt
2x
tz +4
—X
-1
2 + * 2
T
2
1
x •t -
-1
2
-1 +
2x
tdt
—2
JI -V + 4
-X
•1
du
t2 = u => 2tdt = du => tdt =
•«CM
II
- ( - 1 ) 4 - [2 3 - ( - 1 ) 3] + -
_du
~2
1 6 -1 -(8 + 1) + -— ( 4 - 1 ) - ( 2 + 1)
u+ 4
= 1 5 -9 + — - 3
2
du
■ 4- Jf -uu+ 4
= 3+-
= — İn (u + 4)
= T ln ('2 + 4 )
CEVAP B
l| n [ ( x2 + 1)2 + 4 ] [
2.
= -j-(ln 8 -ln 5 )
xVx2 +1 dx = ?
=i|n ±
4
5
x +1 = t => 2xdx = 2t •dt
CEVAP E
dx
xdx = tdt
I
.
tdt
=> dx = -----
?
x = t2 => dx = 2t •dt
x = Oiçin t = O
x = 4 için t = 2
2
2
t dt
1
* J îîL
j ! _ |2
3
=
1+77
o
o
1+ t
1-1
l ^
■2)
3]
= 2t
= y ( 8 - D = y ° lu r -
—2ln(t +1)
1-1
= 4 - 2 ln 3
CEVAP D
CEVAP D
593
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R !
5.
7.
In2
J
exvex -1
dx = ?
ex +3
V e *-7 d x = ?
îx -1 = t
=>
exdx = 2t •dt
ex - 1 = t => exdx = 2tdt -> dx
2t dt
e* = t2 +1
dx =
x = O için t O
x = In2 için t = 1 |dx = -^— -
2tdt
t2 +1
ex = ^ + 1
x = O için t = O
x = ln5 için eln5 ^ t 2 +1
5 = t2 +1
J
t+ 1
t2
■f t2T İ
t2 = 4
t= 2
2tdt
J t+ 1
t2 +1
1
t+ 1
= 1-
r+ 4
t+ 1
l i
2tdt
+4
In5
-1
f
o
Inu
In5
(’ - 7 + )
= ln (t2 + 4)
O
2
= İn (t2 + 4)
=2) « - 2) t 7
+1
O
o
o
I1
I1
= 2t -2arctant
lo
lo
= 2-2arctan1
= ln8 —İn 4
- In2
CEVAP C
= 2 2 -4 -
CEVAPA
u
J (4 x + 3)dx -120, b - a = 8
3
b
b
4 J xdx +3 J dx =s120
y
6.
2
lb
4—
+3X
2 L
f(x) = t=>f'(x)dx = dt
lb
=120
x = O için f (0) = 1
2x
+ 3x
=
120
x = 3 için f(3)=4
2(b2 - a 2) + 3 (b -a ) = 120
3f M
J f(x)
dx=[
J
l =lnt
2 (b -a ) (b + a) + 3 (b -a ) = 120
8
8
16(b + a)+ 24 = 120
t
In 4 —In1
16(b + a) = 96
In4 olur.
b+ a = 6
CEVAP C
CEVAP E
594
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
9.
11. 4
o
d
dx
J | x2 - 4 [ x ] |dx =?
J (x4 - 3 x 2) dx = ?
1 ^ x < — = > |[x ]-1
Köşeli parantez içindeki belirtili integralin sonucu sabit
bir sayı olduğundan, bunun türevi sıfırdır.
3_
2
J | x2- 4 ■11dx = ?
CEVAP D
x - 4 = 0=>x1= -2 , x2 = 2
- ot
X
oo
x 2- 4
*
J1
x2 - 4 x
I
*
■ .I
|dx= J - ( x2 - 4 x ) d x
10.
J |2x2 -11x + 12|dx=?
■
2
( 4 * 4 )
2x2-11x + 12 = 0 = > (2 x -3 )(x ~ 4 ) = 0
x3 + 2x2
-8x - 3x = - 1 1x
X
9
1
9
8 + 3 + 2
3
X ı = y , X2 = 4
(3 )
2
2 x -1 1 x + 1 2
— 00
3
2
2
4
\
-
\
(12)
2
1
(24)
-2 7 + 8 + 1 0 8 -4 8
24
1 1 6 -7 5
41
24
24
i
X
(8 )
oo
CEVAP E
+
+
12
4
J x2(x-[x])dx = ?
1
4
1£ x < 2 =>[xj = 1
2 £ x < 3 => [xj = 2
J |2 x 2 -11x + 12|dx = - J (2 x 2 -11x + 12)dx
2
•3
2
2
. - f a i L - n J d . . + 12x
^ 3
2
3
| x2(x-1)dx+ J x2(x-2)dx
1
2
2
3
= J (x3-x2)dx +J* (x3-2x2)dx
= - |_ (6 4 - 8 ) + lL (1 6 -4 ) -1 2 ( 4 -2 )
2
4
x4
x3
+ - — 2—
4
3
14
= ± ( i 6 _ 1 ) _ ± ( 8 _1) + ± ( 8 1 - 1 6 ) - | - ( ; !7 -8 )
3
=
CEVAP B
15
7
65
38
_ .
----------- + ------------------ = 2 0 - 1 5 = 5 olur.
4
3
4
3
CEVAPA
5 95
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
13.
15.
,
J
( 3 - 4 x ) s g n ( 4 - x 2)dx = ?
cos3 x -s in x c o s 2x + 1
î(
4 - x2 = O=c- x, = -2, x2 = 2
-CO
X
4 -x 2
+
sgn(4-x2)
-1
dx = ?
COS X
Pay paydaya bölünüp, toplamın integrali uygulanırsa,
-t
©
(
-
♦
1
-1
2
İt
oo
= | | cosx-sinx + - — -=— |dx
J v
cos^ x )
o
n
4
J
a
cosxdx
0
J (3-4x)-1-dx = ^ 3 x - 4 ~ j
k
4
J
4
sinxdx+
0
T
1
= (3 x -2 x 2)
——=— dx
cos x
4"
+ cosx
= s in x
J
0
0
+ ta n x
o
I
-2
= ^sin-^- - sinOj + ^cos~p - cosOj + ^tan -^-- tanOj
= (3 -2 )-(-6 -8 )
=1+14=15
=^ L _0 +^ L -1 +1-0
2
CEVAP D
2
= -J2 olur.
14.
î?
CEVAP D
a
w
I
16.
A = 24 br2
1
| (2 + x )f ( 4 x + x2)dx = ?
-1
4x + x2 = t => (4 + 2x)dx = dt
=> dx = •
dt
2(2 + x)
x = -1 için t - - 3
x = 1 için t = 5
Taralı bölgelerin alanları S ve T ile gösterilirse, belirli
integral tanımına göre,
5
S=
J f(x) dx, T = J f"1(x) dx olur.
1
A=
• j
f(t)dt = 24 olduğundan, yerine yazılırsa
2
S + T = A(02A4)-A(01 B2)
S+ T=
2 • 4 -
2 • 1
S + T = 8 - 2 = 6 olur.
24 = 12 b r olur.
CEVAP C
CEVAP C
596
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
19.
f(x) =
F(x) = J Intdt ise F'(x)^?
J log21•dt ise f'(2) = ?
2
v (x )
F(x)=
f'(x) = log2 x3 •3x2 - log2 x •1
f f(t)dt ise
f'(x) = 9x2 • log2 x - log2 x
u (x )
F,(x) = f[v(x)] • v'(x)-f[u(x)]-u'(x)
f,(2) = 9-22 -log22-lo g 22
olduğu hatırlanıp, verilen fonksiyonun türevi alınırsa,
f'(2) = 9 -4 -1 -1
f'(2) = 3 6 -1 = 35 olur.
F'(x) = lnex (ex) '- ln 2 (2 ) '
CEVAP D
F'(x) = xlne-ex -ln 2 0
F'(x) = x e x bulunur.
CEVAP B
20. „ r
Inx
^t
= J t-e ldt ise f'(e}=?
sin3x dx
ö
In2
dt
J
) = lnx •e,nx •— - In2 •eln2(In2)'
sin3xdx
=lnx-x
x
sin3t
0
Tl
:lnx=>f'(e) = lne = 1 olur.
sin3tdt =
I si
3
CEVAP C
=
cos3t!
Io
( c o s 3 t i- c o s 0 )
= ——(cosn-cosO)
-
1
2
(-1 -1 )^ —
3 V
3
olur.
CEVAP E
597
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
21.
23.
,nx2
f(x) =
X
J costdt
J e* dt ise f'(e ) = ?
lim
Inx
x-> n
f'(x) = elnx2 (lnx2) ' - e lnx (lnx)'
f'(x) = elnx2 ■— - elnx •—
x
x
costdt
lim
f'(e) = e,n®2 .— - elne •—
f,(e) = “2 2
e
1-tan-
0 = —0 u
.• •
belirsiz.
1 -1
0
U Y A R I:
e—
e
a
f'(e) = 2 e -1
J
f(x)dx = 0 olduğunu hatırlayalım.
U Y A R I:
L'Hospital kuralı uygulanırsa,
= e olduğunu hatırlayalım,
costdt
CEVAP B
lim——
1-tan-
= lim
X -+ n
-H w
t
)
C0S7T
- 1 (w
t
)
= - 2 bulunur.
CEVAP E
22'
>
t*
f(x)= J - ^ - dt
f'(x)
ise
f'(1) = ?
x2
x +4
12
13+4
CEVAP D
598
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
ÇÖZÜMLÜ TEST - 6
4.
Belirli integralle olan ve hacim hesabı
uygulamaları:
1.
y = 2x2 ve y2 = 4x
eğrileri arasında kalan bölgenin alanı kaç br2 dir?
y = 3x2 -4 x + 1
A)
3
O T
B)
2
D) y
E) T
eğrisi ile x ekseni arasında kalan bölgenin alanı
kaç birimkaredir?
A)
B)
D)
C)
27
5.
2.
f(x) —6+x-x2 eğrisi ile x + y = 3 doğrusu arasında
kalan bölgenin alanı kaç br2 dir?
y = x2 - 8 ve y + x2 = 0
eğrileri arasında kalan bölgenin alanı kaç br2 dir?
A)
32
B)
52
C)
64
D)
A)
28
B)
32
C) 12
D )-Ş -
E) 15
76
6.
3.
Grafikteki taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
Grafikteki taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
A) e + 2
9
A )T
9
B )-
C)
8
B) (e —1)2
C )e2 +1
7
D) t
E) T
D)
599
(e ~1)
E)
e2 + e +1
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
7.
10.
y = x-(lnx)
eğrisi ile x ekseni arasında kalan bölgenin alanı kaç
birimkaredir?
A)
B)
D)
C)
E) 4
f fonksiyonunun grafiği ile x ekseni arasındaki kapalı
bölgelerin alanları A1 ve A2 ile gösterilmiştir.
A1 = 18 br2, A2 = 21 br2 olduğuna göre,
u
J [f(x)+| f(x) |] dx
integralinin değeri kaçtır?
8.
A) 36
y = V 4 — X2
B) 39
C) 42
D) 45
çemberi y ekseni ve y = x doğrusu arasında kalan
bölgenin alanı kaç br2 dir?
A) n
b>T
c> İ
D> f -
E>2*
j
J [V 9 -x 2 -(3 -x )]d x
integralinin değeri nedir?
A) y ( * - 2 )
D) y ( * + 2)
9.
_5_
72
25- x
12.
-x d x
J
^5 + 4 x - x 2 dx
-1
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
integralinin değeri nedir?
A) ~ 7 " '
4
B)
o
C ) 167i
D ) 25
E) 36
!K )~ -
600
B) 3 ıt
C
) ^
D )4 n
E) 48
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
13.
15.
Grafikteki taralı bölgenin alanı A ile gösterilmiştir.
Şekildeki parabol ile x ve y eksenleri arasında kalan
bölgenin alanı A ile gösterilmiştir.
A kaç birimkaredir?
A kaç birimkaredir?
A )T
8)1
C )T
0 )2
A) 3
E )T
B) 5
C) 9
D) 18
E) 21
i 16.
I
Şekildeki kapalı bölgelerin alanları Av A2, A3 ile
gösterilmiştir.
14.
J V1 6 -x 2
J f(x)dx = 14
dx
a
2
A1 + A2 + A3 = 42 olduğuna göre,
integralinin değeri nedir?
A)
-~ 7 C
—2>/3~
B)
C)
b
16 jt-V 3“
J
f(x)dx in değeri kaçtır?
o
4
d >t
*
E) f .
A) 15
601
B) 18
C) 24
D) 28
E) 56
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R !
20. y = x3 eğrisi, y = 8 doğrusu ve y ekseni arasında
kalan bölgenin y ekseni etrafında döndürülmesiyle
oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
17. y2 = 6x parabolü, x = 2 doğrusu ve x ekseni
arasında kalan bölgenin x ekseni etrafında
döndürülmeslyle oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
A) 15ıt
B) 127i
C) 9rc
D )6 ti
E)4 tc
A)
24ti
7
B)
D)
18. y = x2 eğrisi ile y = x doğrusu arasında kalan
bölgenin x ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan
cismin hacmi kaç br3 tür?
A) n
C)
n
30"
D)
2n
15
96ti
5
128ti
C)
E)
96n
7
128tt
21. y2 + 7x2 - 1 4 x = 0 eğrisi ile x ekseninin sınırladığı
bölgenin x ekseni etrafında döndürülmesinden
oluşan cismin hacmi kaç t i br3 tür?
E) 2n
A)
22
3
B) 8
C)
28
D) 10
E)
19.
CEVAP ANAHTARI
Şekildeki taralı bölgenin x ekseni etrafında
döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi kaç n br3 tür?
A) 1
B )-|
C) 2
D )-f-
1. D
2. C
3. A
4. D
5. B
6. D
7. A
8. B
9. B
10. c
11. E
12. E
13. E
14. A
15. C
16. D
17. B
18. D
19. C
20. B
21. C
E) 3
6 02
32
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
test
1.
- 6 çözüm ler!
y = 3x2-4x+1 eğrisi ile x ekseni arasındaki alanı bulurken
bu eğrinin x eksenini kestiği noktaları bulalım.
y = x2- 8 ve y + x2 = 0 arasındaki alanı bulmak için önce
bu eğrilerin kesim noktalarını bulmalıyız.
3x2 - 4 x + 1= 0 = > (3 x -1 )(x -1 ) = 0
y1 = x‘
3xv^
y, = y2 =* x2 - 8 = -x 2
j f —1
X
y + x2 = 0 => y2 = -x 2
=> -3x - x = 4x
=> 2x2 = 8
x
=> x = 4 => x1 = -2, x2 = 2
2
2
| (yi - y2)dx = J (x2 •2
8- (-x2)) dx
-2
2
= J (2x2 -8)d x
I
A=
I
J | 3x2 -4x+.1
|dx = -
3
J (3x2 - 4 x
=2 —
3
+ l)dx
3
8x
= ^ - 2 3 -8 -2 j-^ - |- (- 2 ) 3- 8 ( - 2 ) j
1
= J (-3x2 + 4 x -l)d x
o X3
= -3
16
3
« _ ıe + «L_„
3
3
X2
+ 4 —— - x
32
3 2 -9 6
■32
= —x + 2x': - x
3
= (-1 + 2 -1 )
=0
CEVAP C
'U
M
_1_ _2
27 + 9
1_
3
27
l 27 J
iH
3.
9
■y
y - 3 y = 0 = > y (y -3) = 0
yi = 0. y2 = 3
l
)
27
İstenen bölgenin alanı,
J (y 2-3 y )
J1 f(.x)dx
1
3
Alanı istenen bölge x ekseni altında olduğu için
3
0
dy = - y - - 3 -
integrali (-) çıkar (-) ile çarpılırsa alanı
(+) buluruz.
27
9
3
2
9 - - ^ - | = — br2
CEVAP D
2
2
CEVAPA
603
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
4.
y, = 2x2, y22 = 4x
Yi = e . y2 - e
yi = y2 => ex = e"x
y2 = 2-Jx
=>ex — ^ - = 0
e
e2x -1 = O
ex = 1
x=0
1
y, = y2 => 2x2 = 2-Jx
x4 = x
x4 - x = O
x (x
3 - 1)
=
0
1
| (ex- e-x)dx = J exdx- J e‘xdx
x, = O, x3 -1 = O
(x -1 )(x 2 + x + l) = O
=e
x2 = 1 olduğundan
+e
lo
İstenen bölgenin alanı:
1
1
3o)+ (e- ı _ eo)
= e -1 +
| ( y ı- y 2)d x = J (2 x 2 -2V>T)dx
o
o
1
'
2e+ 1 _ (e -1 )
e
e
e + —- - 2
= 2 j ( x 2 - V 7 ) dx
CEVAP D
y = x(ln x)
— 4 7
3
x (ln x )2 =0
X., = O, lnx = O=> x2 =1
= 2İ - - — I
I 3
= 243 =
3 |
istenen bölgenin alanını
1
4 br2
3
I
CEVAP D
Bu integrali kısmi integralle bulalım,
İ
u = (lnx)2 => du = 2(lnx) •— dx
5.
jd v = |x d x = 4
f(x) = 6 + x - x 2, x + y = 3=>y = - x + 3
6+x -x = -x +3
Jx(lnx)2dx = -^--(lnx)2- J -^--2lnx — dx
x2 - 2x - 3 = O
x1 = —1, x2 = 3
= -| (.n x )Z- J
3
J (6 + x - x 2 - ( - x
+ 3))dx
-1
I
xlnxdx
x ■lnxdx i tekrar kısmi integralle bulalım
3
v = | d v = |x d x = - | - , v = lnx=>du
l
= — dx
x
= J (6 + x - x 2 + x -3 )d x
-1
3
=J
(-x 2 +2x + 3)dx
x2 .
r X2
1
. x2 .
2
J 2
x
2
xlnxdx = — -lnx-
1
x2 .
—------dx=— - ln x - — —- olur.
22
Bunu yerine yazarsak,
1
J x(lnx)2dx = -y-(lnx)2— — lnx+-^j-x2
= | - — x3 +x2 +3x|
I 3
. | ( - 9 + B + 9 ) - ( | + 1 - 3 ) | . | 9 - i + 2|
r , ,
J
32 u 2
~3~
1 1 1
1
,
=-2- t +t =t olurCEVAP A
CEVAP B
604
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R !
1 0 . A, =18br2,A 2 = 21 br2
y = V4 -x2 => y2 = 4 - x2
=> x2 + y2 = 4 çemberinin
dx
Yarıçapı r = 2 birimdir.
= J [f(x)-f(x)]dx+J [f(x)+f(x)]dx
a
0
ü
b
■-=J 0-dx +J 2f(x)dx
a
0
b
= 2 1 f(x)dx = 2A2 = 2-21 = 42
İstenen bölgenin alanı şekilden de görüldüğü gibi çeyrek
1
çemberin alanının yarısı ya da çemberin alanının - O
ine eşittir.
br2
N
UVflRI :
0
b
- J f(x )d x = A 1, J f(x)dx = A2
Çemberin alanı: n r2 = n •22 = An
a
0
olduğuna dikkat edelim.
istenen bölgenin alanı: — -47t = -^- br2 dir.
8
2
J
CEVAP C
CEVAP B
5
n/2
3
- x 2 - x jd x integralinin değeri
11.
y = V25- x2 r->x2 +y2 = 25 çemberi, y ekseni ve
y = x doğruları arasında kalan bölgenin alanına eşittir.
Bu alanda çeyrek çemberin alanının yarısıdır.
J [ \f e - x 2
-(3 -x )]d x
\
integralinin değeri de
f
y = V 9 -x 2 => x2 + y2 = 9
çemberi ile y = - x +3 arasında
kalan şekilde görülen taralı
alana eşittir.
/
l
V
y
0
X
J
—
Taralı alan: çeyrek çemberin
alanı - dik üçgenin alanı
Taralı alan :
İntegralinin üst sınırı
^25 - x2 =:
------1 -3-3
4
2
_ 9 ti
9
4
2
=
br2
2 5 - x 2 = x2
J
Vaz -• x2 dx
tipindeki integraller x = asint
dönüşümüyle hesaplanabilir. Ancak çözüm daha uzun
sürer, 8., 9., 11. soruların çözümünde gösterilen
Çember ile y = x doğrunun kesim noktasıdır.
Çemberin alanı
N
UVfiflI :
2x =25
: 71• 5 =25n
kurnazlık gayet yerindedir. Belirli integralin alanla ilgisini
kuralım.
257i
istenen integral (alan): — — br2
8
CEVAP E
CEVAP B
605
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
14.
12.
•J5 + 4 x - x 2 dx = ?
sj
16- x 2 dx = ?
716” = 4, x = 4 sint => dx = 4costdt
75 + 4 x - x 2 = y denirse
yeni sınırlar x = 2 için t = —
6
x2 + y2 - 4x - 5 = O denklemi
x = 4 için t = —
r = y V A 2 + B2 -4 C
r = y V ( “ 4)2+02- 4 (-5 )
= j*y 7 l6 -1 6 s in 2t -4cost' dt
^
r =-l-v/16 + 20"
sim t) -4cost dt
6
•6
yarıçapı r = 3
merkezi M(0,2) olan bir çember belirtir.
Bu çember x eksenini
4cost-4costdt
- 1 . J cos2tdt
x2 - 4 x - 5 = 0
X) = 1, x2 - 5
cos2t
noktalarında keser.
İstenen belirli integralin
çemberin alanına eşittir.
Buna göre,
6
n
i şekilde görülen yarım
= 16
a
| y - +y C 0 S 2 t j d t
2
J 75 + 4 x -x 2 dx =
71
=-y
br2 olur.
CEVAP E
d ,+ 8 f
= 8t I
+8— sin2t
F
y1 = x:
.2 = x eğrileri
y2
cos2tdt
=a £
In
13.
„
2
İn
T
o
y=x
= — % - 2-Jz olur.
Yi =Y2
3
x2 = V T
15. Taralı bölgenin alanı:
x4 =x=> x(x3 - l ) = 0
x* = O, x2 = 1 noktalarında kesişir.
A=-
(x2 - 2 x - 3)dx integralinin değerine eşittir.
Jo
Buna göre, istenen şekildeki taralı bölgenin alanı:
1
1
I (y 2- y ı ) dx = J
CEVAPA
A=
- x - 3x
(V>T-x2)dx
0
13
A = -(9 -9 -9 )
3
2 1
1 br
--------------—
3
3
3
A = 9 br2
f(x) = a(x + 1 )(x -3 )
(o
,
olur.
f(0) = a - 1 ( - 3 ) = -3
a=1
CEVAP E
f(x) = (x + 1)(x-3)
f(x) = x2 - 2 x ~ 3
CEVAPC
606
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
16.
I
19.
f(x)
C
f(x)dx = 14
u
O
O
b'
c
J* f(x)dx+ J f(x)dx+ J
A,
+
A2
A'j
+
A2
f(x)dx = 14
A, =14
+
A3 —42
V = ti-4 -—-= > V = 2ti br
2
2A2 = 56
CEVAP C
A2 = 28
20.
b
y = x => x
-W
J f(x) dx = A2 = 28 olur,
o
V = 7t J x2dy
CEVAP D
17.
o
a
V - . J y2dy
o
J
V=n
o
2
V = 7t 8r y-3 dy
V = n J 6 xdx
" Jo
o
3_
5
V = 716 - ^i|2
2 io
2
V = 3rcx2
V = 71-
4
V = 3 tc22
CEVAP B
18.
V = 71—
x2 = x = > x 2 - x = 0
x (x -1 ) = 0
x , = 0, x2 = 1
Parabol ile doğru x 1 = 0 ve
x2 = 1 apsisli noktalarında
32
V =-^ b r3
5
CEVAP B
21.
kesişmektedir. Buna göre,
istenen hacim,
y +7x -1 4 x = 0
y2 = -7 x 2 + 14x .
-7x2 +14x = 0
1
-7 x (x -2 ) = 0=> x, =0, x2 = 2
2
v = 71J (y| - y? )dx
0
1
V
W
V = 7i— -25
5
V = 12îi br3
V = 71J y2dx
o
= 71 J(x2-x4)dx
2
V = 7 i| (-7x2 +14x) dx
V
= 71
..
f 7 x3
x2 1
[
2
V = 71 - 7 ------ + 14 ------
V = TCV = —
15
3
J
V = n ^ - y X 3 +7x2j
15
V = 7r| - y -8 + 7-4
b r3
CEVAP D
V = 71
607
- 5 6 + 84 ^
\/
28
br
CEVAP C
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
ÇÖZÜMLÜ TEST - 7
1.
4.
J
dx
x-v/l + x2 dx
J
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
x2 - 3x + 2
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 2 ln |x -1 |+ 3 ln |x -2 |+ c
j ^ 1 + x2 +c
B) ln| x2 —2x | + c
C)
T>/(1+x2)3
D)
4 - İ İ 1 **2
C) ln |x -1 | + 2 ln |x -2 | + c
D) 2 ln |x - 2 |- ln |x - 1 |+ c
E ) y j( n x 2
E) lnx + ln |x -3 |+ c
2.
dx
h
(2x - 5)
5.
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
C)
J_
1
6 (2 x - 5 ) 3
J
1__
2
(2 x -5 )3
E)
•+ c
f
J
1_
B) ” 3
5- (2 x - 5 ) 3
D)
1
-
co sx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) V2 + cosx +c
B) 272 + sınx + c
C) Vsinx + cosx + c
D) 2>/2 + cotx +c
+c
(2 x -5 )<
E) 2 J 2 -co s x +c
(2 x -5 )*
j* sec2x dx
J 1+ 2tanx
f 2x+3■dx
J
sinxdx
n/ 2
x+2
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
x + ln|x + 2| + c
C ) - 2 x + ln | x + 2 | + c
B) 2x + ln|x + 2| + c
A) — ln|1 + tanx| + c
B)
-^-ln|tanx| + c
D) x ln | x + 2 | + c
C) — ln|1 + 2 ta n x | + c
D)
2tanx + c
E ) x 2 + 2 ln |x + 2 | + c
E)
608
ln|2 + tanx| + c
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
10.
n
J
J* | cos 11 dt
Vl + sinx dx
o
integralinin değeri kaçtır?
Integralinin değeri kaçtır?
A )- 2
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
B) - 1
C)0
E) 2
D)1
E) 5
11.
8.
j* 2x3 ex4dx
dx
integrali aşağıdakilerden hangisidir?
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
1
1
arctan —
A) a • e
arctan
B) — e
a
^a ' + c
4
y4
B) • - e x +C
C)ex +C
^
D) y X e x4+C
D) a-ea
C) x + e,anx+c
1
4
A) — ex +C
4
E) 4x2ex3+C
arctan —
E)
e
' 3 • +C
12.
S.
j k •y j 3x -2 dx = V (3 x - 2)3 + c
J
eşitliği k nin hangi değeri için doğrudur?
A)
B) 5
C)
11
D )6
integralinin değeri kaçtır?
13
E )—
A) 1
609
B) 2
C)
4
D) T
8
E) T
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
13.
f x + 55x
: - 6 dx
J
x:
J (e3x - e x)dx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
M x2 c
6
A) ----- + 5x + - + c
2
x
•} r.
6
B) x + 5x + — + c
C) 5x2 +
D) - r - + — + c
2
x
+c
integralinde ex = t dönüşümü yapılırsa aşağıdaki
integrallerden hangisi elde edilir?
A)
J>-‘)
B) J ( « M ) dt
C)
J
D)
dt
E) - | - + 5 x + 6ln|x| + c
(e3 ,- e ’ )e'dt
J
(t3 -t)d
o
E)
J
(In3t -In t) dt
o
14.
2
sin x-cos xdx
17.
f . d( î l
J
x2 + 1
o
integralinin değeri kaçtır?
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
b )T
29
C )1 F
30
D )1 T
31
E) 32
A) 2
B) In3
C) In2
D)
E)
18.
i p
15.
J
?
dx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
tanx-İn | cosx | dx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) ___ in 2icosxj + c
B) -ln2|cosx| + c
C ) --— İn2 ! c o s x J+ c
D) ln|tanxj + c
A) — V arcsin x + c
O
B) /(arcsin x)3 +c
C ) — f a r e s in x + c
D)
E)
E) s in x - ln |c o s x | + c
610
arcsinx +c
(a rc s in x )3 + c
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
19.
21.
f — — ---- dx
J x2 - 9x +14
71
j* (sinx + cosx)dx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) ln| x - 2 | + ln| x + 5 | + c
integralinde t = 7 i-x dönüşümü yapılırsa aşağıdaki
integrallerden hangisi elde edilir?
B) 2ln| x - 2 | + 2ln| x + 5 | + c
C) 2ln| x - 7 | —İn | x - 2 | + c
A)
D) ln| x -1 |-2 ln | x + 3 | + c
2
f (sint + cost)dt
o
B) J (sint-cost)dt
o
E) 5ln| x - 7 | + 3ln| x - 2 |+ c
rt
C)
İt
J (sint-cost)dt
E)
20.
g
JL
2
D) J (cost-sint)dt
| (sint-cost)dt
22. y = f(x) eğrisinin (-2, 3) noktasındaki teğeti x ekseni ile
135 lik açı yapmaktadır.
J sin(arccosx)dx
f"(x)= 16x
olduğuna göre, eğrinin y eksenini kestiği noktanın
ordinatı kaçtır?
integralinde t = arccosx dönüşümü yapılırsa
aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
A) -
125
69
B )-—
0 -1
D) - 2
E) - 3
4
4
A)
J* sintdt
B)
C)
J
D)
f i
cos22tdt
4e
-costdt
J
- 2 cos2tdt
CEVAP ANAHTARI
4
E)
f —s in 2 td t
611
1. C
2. A
3. B
4. D
5. E
6. C
7. B
8. B
9. A
10. E
11. B
12. D
13. A
14. E
15. C
16. B
17. C
18. E
19. C
20. E
21. B
22. A
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
te s t 1.
7
ç ö z ü m le r !
5.
1+ x2 = t2 => 2xdx = 2t ■dt
xdx = t •dt
dx = •
sin xdx
j*
J 72Tcosx
•dx = ?
2 + cosx = t2 =>sinx dx = 2t dt yazalım,
t-dt
dt
dt
CEVAP E
CEVAP C
6.
1+ 2tanx = t=>2sec2xdx = dt
dt
2 x -5 = t= > 2 d x = dt
dx
H
dt
f
CEVAP C
dt
t dt
g 7.
CEVAP A
I
(
X
X
1+ sinx = l sin— + cos— | yazalım.
2
2 i
x
x
■J1+ sinx = | sın— + cos
2
2
f f sin— + cos— | dx = -2cos— + 2sin—
J1
3.
2
2)
2
2
x+2
2x + 3
+ 2x + 4
2
&
'2
-1
2x + 3
x+2
x+2
42/
=2
+ 7 f-l-H + ° )
yazalım.
olur.
CEVAP B
CEVAP B
arctan — I = t => dt
•dx
dt i
j
a2 + x2
dx = -------------dt
dx
'
f
(x -2 )(x -1 )
yazalım .
x -2
±
x -1
a
CEVAP D
r e1(a2 + x2)dt
1 r ,
J
a
a2 + x2
J
dt
CEVAP B
612
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
14.
9.
J
sin x •cos4 x •dx
k V 3 x -2 dx = ^ (3 x -2 )3
3x -2 = t2 diyerek sonucu •N
/(3 x -2 )3
1+ cos5 x = t => dt = 5cos4 x • (-sinx)dx
ne eşitleyelim.
dt = -5sin xco s4 xdx
CEVAPA
diyelim.
CEVAP E
10.
15.
J | cost |dt= J costdt+ J -costdt
o
0
J tanx ln|cosx| dx
JL
2
ln| cosx | = t=>dt = —^ ^ -d x
yazıp devam edelim.
dt = -tanx-dx diyelim.
CEVAP E
CEVAP C
11. x4=t diyelim
CEVAP B
I 16.
|n3
| (e3x - e x)dx
e =t
x = 0 için t = 1
x = In3 için eln3 = t => t = 3 yazıp devam edelim.
12.
CEVAP B
ı
ı
ı
J x3d(x4) = J x3 •4x3dx = J 4x6dx
CEVAP D
17.
r d(x)2 = r 2dx _ C_dt^
J x2+1 " J x2+1 " J t
0
1
x2+1 = t =>dt = 2xdx
f
i j—
-
13.
0
x3 + 5x2 - 6 .
J I x
Ç(
—
_
J
6 V
x = 0 için t = 1
yaza|ım-
x = 1 için t = 2
CEVAPA
CEVAP C
613
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
18.
21. „
f ^
J V 1-X
^
J
dx
arcsinx = t=>dt = '
d
x
=
f V T -dt
J
J ( sinx + cosx )dx
diyelim.
t=
>R-
tc—x
=> dt = -dx => dx = -dt
7i . . .
x = — için t = 7i
CEVAP E
2
n
n
2
—
2
X = 71 için t = 7t-7t = 0
X = 7t —t
bunları verilen integralde yerlerine yazalım.
J [sin( 7 t - t ) + cos( 7c—t )] ( - d t )
T
x+3
19.
x
o
= - J ( sint-co st) dt olur.
deyip A ile B yi bulalım.
- 9x +14
x -7
x -2
n
2
CEVAP C
b
a
J f(x)dx = - J f(x)dx olduğundan
bu integralin sınırları değiştirilirse
J ( s in t-c o s t ) d t olur.
20-
VF
2
J
CEVAP B
sin(arccosx)dx
22.
o
t = arccos x => dt = -
f'(x) = 8x2 + c
V l-x 2
x = cost
| f"(x)dx= J 16xdx = 1 6 -J -+ C = 8x2 +
-dx
f'(-2) = -1 => 32 + c = -1 => c = -33
dx
dt = -
dt = -
"/i-cos2 t
J f'(x)dx =
dx
sint
f(-2 ) = | - ( - 2 ) 3 + 66 + C = 3
dx = -sin tdt
64
J (8x2 -33)dx = -|-x 3 -33 x -
189
x = 0 için t = 0
•Jl
. . .
125
71
3
x = ~ 2 ~ 'çın = T
f( x ) = - | - x 3 - 3 3 x
4
J
+c=0
125
4
sint • (—sintdt) =
J
—sin2 tdt den devam edelim.
f(0)
125
CEVAP A
CEVAP E
614
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
ÇÖZÜMLÜ TEST - 8
4.
Karma uygulamalar:
f -J2 + 2cosx dx
1.
5x
integralinin değeri kaçtır?
•dx
V7
A)1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) Vx9 - 1 0 + c
B)
C) — Vj?" + — Vx*"" + c
' 7
7
D) —■fy?' — —VSi9” + c
'3
4
P(x) = x3 + mx2 + 2x + 4
polinomu x + 2 ile tam bölünmektedir.
Buna göre,
2.
r
2dx
J 3 x -6
J
[ x s-3]dx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) _ | n | x - 2 | + c
•i
B) ~ ln |3 x -6 | + c
C) y l n | 3 x - 6 | + C
D) — ln| x - 2 | + c
integralinin değeri kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
E) — ln |x -4 | + c
ö.
J
(3sin2t + 4cos3t) dt
dx
1+ sinx + cosx
integralinin değeri kaçtır?
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A )- 2
B) —
5
C)1
A) 3ln2
°> T
e> T
615
B)ln2
C)4ln2
D) 2
E) 4
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
10.
I* (1 + lnx)dx
2 + xlnx
dx
J
Vl -x4
0,5
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
integralinde x = sint dönüşümü yapılırsa aşağıdaki
integrallerden hangisi elde edilir?
n
B)
Vl + sin2 ı
C)
f
r
B) ln| 2 + xlnx |+c
C) İn| 1+ lnx |+c
D) ln| x + lnx |+ c
■3
dt
a> j
A) 2 + xlnx + c
r
?
dt
V1 + sin2t
d)
dt
E) İn | 2 + x |+c
V l + s in 2 t
dt
r — =
r v1 + cos t
*
E)
f
11.
dl
J -v/l + cos21
[2 x '-5 J e x dx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
4xex + c
B) (2x2 - 5x + l)e x + c
C )(4 x -5 )e x+c
8.
j
xsec2x2 -tanx2dx
E)
D) (2x2 - 4 x - l ) ex +c
ln |x -5 |-e x +c
Integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) J_tan2x2 +c
4
B) sec2 x + c
1
C )— cosecx2 +c
2
1
9
E) — secx + c
D) cosecx'i
12.
x3 +3x
dx
x2 +2
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
J
x + -^-ln| x 2 + 2 | + c
„4
C)
integralinin değeri kaçtır?
..
2n
B)(x2 +3x) ln|x2 +2| + c
|^sin2( 7 t - x ) + sin2^ - ^ - - x j j d x
A) —t—
3
Tl
B) —
2
K
C) —
3
.
7t
D) —
4
r .
II
E) —
' 6
-i
+ x3 + ln| x2 +2 | + c D) —-ln| x2 + 2 | + x + c
E) - l x 2 + y | x 2 + 2 | + c
616
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
13.
15.
f
1
3f T ^ T
J (1
+ x)
x)2 V 1+ x
(1 +
J sin2 x •cos2 xdx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
integrali aşağıdakilerden
şağıdakilerden han
hangisine eşittir?
C)
v 1 -x
D) 3/(1-x)(1 + x) +c
(1 + x)2
x
1
A ) ------------ sin4x + c
' 4
16
B) x -4 s in 8 x + c
O - — — sin4x + c
' 6
8
x
1
D ) ------------ sin4x + c
' 8
32
E)
'
x
1
-+
sin8x + c
12
32
16.
J ( tanx + cotx )dx
integralinde t = 27i - x dönüşümü yapılırsa aşağıdaki
integrallerden hangisi elde edilir?
A) - J (tant + cott)dt
o
B) | ( tant + cott )dt
o
n
14.
C)
yjx +4 ~3y/x + 4
dx
Jî
D) J ( tant + cott)dt
2
J ( cott-tant)d t
0
_n_
2
A
y jx +4 - 6yjx + 4
E)
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
J ( tan t-co tt)d t
A) -^-Vx + 4 + -|" ^ (x + 4 )2 +c
5
(
B)
p / ( x + 4 f + A e / ( x + 4)7 + c
17.
C ) y ^ / ( X + 4 )3 + C
j xf(x)dx = - ^ - - 2 x 2 + 10
D) ^/(x + 4)7 +c
olduğuna göre, f(x) fonksiyonun x ekseni ile
sınırladığı bölgenin alanı kaç br2 dir?
E) y > / ( x + 4 )3 + r p / ( x + 4 )5 + C
A) 4
617
16
B )—
32
C )—
D) 12
64
E) —
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
21. y = x3 eğrisi, y = 0 ve x = 2 doğruları ile sınırlı
bölgenin y ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan
cismin hacmi kaç n br3 tür?
18. Apsisi x = 2 olan noktada yerel ekstremumu bulunan
bir f fonksiyonunun ikinci türev fonksiyonu
f"(x) = 3x2 +2x + 1 olduğuna göre, f fonksiyonunun
x = 1 noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
A) 10
B) 6
C) 4
D )-1 1
A)
E )- 1 2
B) 36
C )40
D )48
E )54
A)
20.
C)
32
5
D)
48
128
B)
64
o
f
D)
16
y = — x2 parabolü, x = 3 doğrusu ve x ekseni ile
sınırlı bölgenin x ekseni etrafında döndürülmesiyle
CEVAP ANAHTARI
oluşan cismin hacmi kaç it br3 tür?
v 13
A> —
17
B> —
_ 19
C) T
^ 27
D )—
64
E )‘
22. y 2= 1 6 - x parabolünün koordinat sisteminin birinci
bölgesindeki parçası ile x = 0 ve y = 0 doğruları
tarafından sınırlanan bölgenin alanı kaç br2 dir?
x2 = 8y parabolü ile x - 2y + 8 = 0 doğrusunun
sınırladığı bölgenin alanı kaç br2 dir?
A) 32
B )f
32
) _ 5~
618
1. B
2. A
3. E
4. D
5. C
6. B
7. C
8. A
9. E
10. B
11. D
12. E
13. A
14. B
15. D
18. D
19. B
20. D
16. A
17. C
21. E
22. A
E)
8
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
TEST - 8 ÇÖZÜMLER!
7.
1.
V>T = x 2 yazıp, payı paydaya bölelim.
r
CEVAP B
2.
x = sint=>dx = cost-dt
3 x - 6 = t diyelim.
CEVAPA
3.
x = 0,5 için t = —
6
Terim terim integral alalım.
x = 1 için t = —
2
CEVAP E
4.
dx
J 4ÜÜS
0 ,5
^ 1 *
cosx = 2 cos2-^ --1 yazalım.
cost-dt
it
C
^(1-sin2 t)(l + sin2 t)
CEVAP D
J
dt_
Vl + sin2 1
5- x+2=0=>x=-2
CEVAP C
P(-2) = 0 => m = 2
2
2
Jl
o
sec2 x2 •tan x2dx
o
1
=
8.
J 3dx
x | dx +
I*
2
2
tanx2 = t => 2xsec2 x2dx = dt
J 0■dx + J xdx + J 3dx
0
e
1
CEVAP C
—
2 ıf «tdt
d .==—
^ -—
‘2 = — tan2 x2 + C
2 J
2 2
4
S
CEVAPA
6.
2r —
J 1+ sinx + <
. (3 n
\
sini-^--x
l = -cosx
x =t. diyelim. jdx= 2dt—
tan—
2
1+t2
.
x
t
sın— = —= =
cos-
e
y/1 + r
*
.4 ü ?
sin(7i-x) = sinx
x
6
J (sin2x+cos2x)dx = J 1-dx= x
1
o
o
2 = Sı+r
CEVAP E
2t
1 -r
sinx = ------ —, cosx =
1+ t2
1+ t2
10.
2dt
2 + x lnx = t diyelim. Kolay gelsin.
± £ _ _ _ _ _ = f dt
2t
O ^ ----------0
1+ t2
^ ln | 1 + t |
1-t2
9~
1+ t2
CEVAP B
J 1+t
o
11.
In 2 -ln 1 = ln2
2x2 - 5 = u
ex -dx = dv diyerek kısmi integral uygulayalım.
(T-1 soru:26)
CEVAP B
CEVAP D
619
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
12.
16.
Payı, paydaya bölüp, devam edelim. Kolay gelsin.
CEVAP E
13.
J ( tanx + cotx )dx
3n
f
sfE-x _
1
J
( 1 + X) 2
V 1 +
1" x = t3 =*.
1+x
2
t = 2rt - x => dt = -dx => dx = dt
dx = ?
X
2dx
(1 + x)
x=
= 3t2dt
3n . . .
.
için t =
2k
3n
n
=—
2 y
2
x = 2n için t = 2tc- 2tt = 0
2
3 •(1 + x)212 „
=> dx = —
dt
-2
bunları integralde yerlerine yazarsak
o
J [ tan( 2 7 i-t) + cot( 2tc- x ) ] ( - d t )
il
~2
1
.t . i C ± î £ f . dt
J (1 + x)“
-2
._ ±
2 J
2 4
n
0
= ——t4 + c olur.
8
J 1~ *
V 1+ x
2
| f ( t )dt = —J f(t)dt olduğundan
yazılırsa
+c
- J ( - ta n t- c o tt) ( - d t)
bulunur
o
71
2
CEVAPA
y/x+ 4 ■ 3-Jx+4
r
= - | (ta nt + cott)dt olur.
dx = ?
t/x + 4 - 6
Vx+4
Kök kuvvetlerinin okeki: (2, 3 ,4,6)okek = 12 olduğundan
CEVAPA
(f 17.
f(x) dx = —— 2x2 +10
4
x + 4 = t12 =>dx = 12t11dt
12 J -|3 ~
• t11dt = 12 J (t14 + t13)dt
xf(x) = x3 -4 x
f(x) = x2 - 4
= ± , ' 5 + A t» +c
5
7
x2 - 4 - 0
x1 = —2, X2 = 2
t = 1V ^ + 4 yazılırsa sonuç bulunur.
CEVAP B
|
15.
J sin2 x •cos
(x2 -4 )d x = - | — 4x
xdx =?
-l - O I
sin2x -sin2xdx
3
~ h
CEVAP C
f'(2) = 0
cos4x = 1-2sin2 2x
sin22x =
J
1-cos4x
8
J (3x2 + 2x + l)dx
f'(2) = 8 + 4 + 2 + c = 0
c = -14
J (1-cos4x)dx
32
f"(x)dx =
f'(x) = x3 + x2 + x + c
1 f 1-cos4x .
--------------- dx
—
4 J
2
8
3
sin2 2xdx
f'(x) = x3 +x2 + x -1 4
f'(1) = 1 + 1+ 1-14
■sin4x + c
f'(1) = —11
CEVAP D
CEVAP D
620
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
19.
21.
x2 = 8 y, x - 2y + 8 = O
r = 2, h = 8 olan silindirin hacmi:
Vj ssıc•22 ■8 = 327i
Beyaz bölgenin y ekseni etrafında döndürülmesiyle
oluşan cismin hacmi:
2y = x + 8
x = 4x + 32
x+8
x2 - 4x - 32 = O
O
ö
V2 = n J x2dy = n J ^y2"dy
= -4, x2 = 8 olduğundan bölge grafikteki gibidir.
o
8
Taralı alan:
v 2 = * J y 3 dy = n— y 3
5
A(-4) 8 B yamuğunun alanı
-dx
9071
(2-4-8)12
2
Taralı alan:
1 xJ
8 3
Bizden istenen taralı bölgenin y ekseni etrafında
döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi:
V = V ,-V 2
« 6 0 -J -.J l-J -.A 8 1
8
3
8
3
w oo
9671
64rc
3
V = 327i--------- = --------- br olur.
5
5
= 6 0 -A _ J l
3
3
CEVAP E
= 6 0 -2 4 = 36 br'
22.
CEVAP B
y2 = 16-x
x = 0 için y 1 = -4. y2 = 4
y = 0 için x = 16
20.
V = k J y2dx
v - R *
..
1 x5
V = — n ----9
w
V
5
1
1
9
5
-------------- 7tX
H
s
V =± . ± n.243=
9
5
*r
A = J xdy = J (16 —y2)dy
27
n
r
A =
5
CEVAP D
16y
=l 64-
64 I 128 u 2
—— = —r— br
CEVAPA
621
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
ÇOZUMLU TEST - 9
3.
Karma uygulamalar:
+ ln | x| dx
J Vx~
............ı--.
x
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
r ı~ 4 x
dx
J 4 + 3x
A ) x + ln|x| + c
B)x2 +2ln|x| + c
ı— İn21x I
C) Vx + ----- ——+ c
2
D) V)Tln2|x| + c
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) ——ln|3x + 4| + c
E) 2Vx" + ln2|x | + c
B) —^-x + ^ -ln |3 x + 4| + c
C) — —ln|3x + 4| + x + c
O
D) — x + 8ln|3x + 4 |+ c
4.
E) —|-ln |3 x + 4 |--^ -x + c
( » M dx
x4 - 4x +1
integralinin değeri nedir?
A) İn2
B) In3
C) In5
E) - l n 7
D) — In6
4
x(5x2 - 3 ) ?dx
in te g ra li a ş a ğ ıd a k ile rd e n h a n g is in e e ş ittir ?
A) ~8^5X2" 3)8+°
B)
‘ 3)8+°
5.
J
C) ı V ( 5x2_3)8+c
(x2 +3x)f-1(x)dx = 2x3 - x2 +10
d) t ( 5x2- 3)7+c
olduğuna göre, f(2) kaçtır?
A) 10
E) -^-(5x2_3)7+C
622
B) 8
C) 6
D )4
E )2
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
t'..
-y/l + ln|xj
j
dx
■dx
J cosn x
x
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
integralinin değeri kaçtır?
A, ± ( ? S - - 1)
1
B) tanx + — cotx + c
3
C)tanx + — tan x + c
3
D) sinx + — sin +c
3
C) 4 ^ 4 - 1
4
B, ± * 2
E) 4
D) 2
A) tan°x + c
1 o
E) — cotx + cosx + c
' 3
4
dx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
4 2 -3 x
A) 42_3x - In2 !•c
C) -
'
B> ■I6ln2- + C
- 4 2_3x +c
3
E)
' 6
D)
In2
42_3x + c
10.
j sin10x-cos3x dx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
«s sin12x
A) ----------- + c
'
12
os sin13x
B) —
- +c
'
13
12 X
„
COS
C) — —— + c
11
13 X
COS X
COS
D ) ----------- + -------------+ c
'
11
13
Grafikler R de türevli f ve g fonksiyonlarına aittir.
Buna göre,
f [f'(x)g(x) + f(x)-g'(x)]dx
integralinin değeri kaçtır?
sin11x
sin13x
E ) -----------------------------+ c
'
11
13
A )- 3
623
B) - 2
C) 4
D) 5
E )'
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
11.
14. Bir f(x) fonksiyonu A(-1,2) ve B(4,-6) noktalarından
geçmektedir.
\ ^
el ax
x f ,(x )-f(x )
in te g r a li a ş a ğ ıd a k ile rd e n h a n g is in e e ş ittir ?
dx
f2(x)
A) - 2 e x + c
B) -e *
D) — e * + c
' x
C) 2 e x + c
hc
integralinin değeri kaçtır?
1
E) xe x +c
A) " T
1
B)-
1
C)y
t
D )t
-
e, t
12 .
Vx2 +1
dx
15.
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
1+ .
dx
A) Vx + 1 + ln|x| + c
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
vx2 +1
B ) ------------- + x + c
A) 1- etenx + c
B) tanx + elanx +c
C) inU/x +1 - x + c
C) sinx + eIanx +c
D) cosx + eCQlx + c
E) 1 -e cotx +c
p,. . i
r 2 7 | Vx2 +1
D) İn x + vx + 1 ---------------+ c
I
I
x
E) ln|x + Vx2 +1 |- V x 2 +1 + C
16.
cosxsin2x
13.
3cos3x + 2
nx
f(x).
r ^ d t
J t+1
integralinin değeri kaçtır?
fonksiyonunun eğrisinin x = e3 noktasındaki teğetinin
eğimi kaçtır?
A) 1
B) 0
C) T
dx
T
D) —
e )T
624
C )fln 2
B) | l n 2
A) | l n 2
İH2
E) In2
İN T E G R A L V E U Y G U L A M A L A R I
17.
f(x) = -“
20. Ordinatekseni ile x=2 -y -y 2 parabolü tarafından
sınırlananbölgeninalanı kaçbirimkaredir?
ve g(x) = 4 - y x 2
parabolleri arasındakalanbölgeninalanı kaçbr2dir?
B)
18.
28
3
y = 2 - x2
C)
22
ve
D)
A) 3
32
B )l i ~
21.
y3 = x 2
c >4
D)
f(x) = a x - x 2
39
15
E)
A)
6
4na
B)
E)
8na
327t
C)
E)
16rca
64ua
CEVAP ANAHTARI
(a > 0 )
parabolüilexekseniarasındakalanbölgeninxekseni
etrafında döndürülmesinden oluşan cismin hacmi
kaç br3 tür?
te
A)
D)
x = a doğrusu ve y2 = 4ax parabolü ile sınırlanan
bölgenin y ekseni etrafında döndürülmesinden
oluşan cismin hacmi kaç birimküptür?
D)
19.
C)
18
eğrileri arasındakalanbölgeninalanı kaçbr2dir?
A)
B) 4
1. B
2. A
3. C
4. D
5. E
6. A
7. B
8. E
9. C
10. D
11. A
12. D
13. E
14. D
15. B
16. C
17. A
18. B
19. D
20. E
21. C
45
6 25
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
TEST - 9 ÇÖZÜMLERİ
7.
1.
J 4
r j z i > L dx= f ^ i ± l dx
J 4 + 3x
J 3x + 4
dx = ?
2 - 3x = t
yazıp, payı paydaya bölelim.
y j '
-3dx = dt
dt = -
1
3
4 2 -3 x
In4
-6ln2
CEVAP 3
2.
CEVAP B
J x(5xz - 3 ) 7dx
8.
5x - 3 = t^>10xdx-dt diyelim.
j
sin10x-cos3x-dx = ?
CEVAPA
cos3x = (l-s in 2x)cosx
3.
J
J sin10x ( l- s in 2x)cosxdx
j dxyazıp, toplamın integralini alalım.
= f sin10xcosxdx- f sin12xcosxdx
J
J
CEVAP C
kurnazlığından sonra,
4.
x4 - 4 x + 1- t diyelim.
sinx = t => cosx •dx = dt dönüşümü yapılırsa
CEVAP D
t
j*t10 d t- J t12
I
dt olur (tamamlamayı unutmayalım.)
CEVAP E
j* (x2 + 3x)-f"1(x)dx =2x3 - x 2 + 10
(x2 + 3x)-f_1(x) = 6x2 -2 x
9.
r
dx
_ r
dx
f-1(x) =
x(6x - 2 )
x(x + 3)
f- 1(x) =
6x - 2
x+3
=
f(x) = -
3 x -2
x- 6
•- M1 + tan2x](l + tan2 x)dx
f(2) = ^
=4
J cos4 x
sec x •sec xdx ya da
= m + tan2 x)d(tanx)
J
CEVAP E
3V1 + In|x|
J cos2 x •cos2 x
= J d(tanx)+ J tan2x d (tan x)
=
J (l + tan2x)dx + J tan2x(l + tan2x)dx
- dx = ?
1
?
= tanx + — tan x + c
dx
1 + ln|x' = t= > ------= dt
x
diyelim.
CEVAP C
CEVAPA
626
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
10.
14.
J
f '( x ) - f ( x )
[ f ' ( x ) - g ( x ) + f ( x ) g '( x ) ] d x
-1
-3
X
dx
f(x )
(X )
P a r a n t e z iç in in f ( x ) - g ( x ) in t ü r e v i o ld u ğ u n u g ö r ü r s e k
2
|
fV]
[ f '( x ) g ( x ) + f ( x ) g '( x ) j d x = f( x ) - g ( x )
■ -(+ 4 )
= f(2) •g(2)—f(—3)g(—3)
= 3 -(—1)—(—2)• 4 = —3 + 8 = 5 bulunur.
CEVAP D
CEVAP D
11.
* -d x = ?
15.
t d iy e lim .
CEVAPA
f i ± Ç l dx= f _ ! 5_ d x +
J co s*x
J cos X
J
dx
COS X
yazıp, tanx = t dersek
12.
+1
= tanx + elanx+ c olur.
dx = ?
CEVAP B
dt
x = tant=>dx =
16.
cos21
>/tan2t+1
dt
tan t
cos* t
sect-cos2t
sin21
cos21
f
dt
f (sin2t+cos2t)dt
J cost sin21 J
cost sin21
dt
costdt
J cost J sin21
Vx2 +1
3cos x + 2
sin2x = 2sinxcosx yazıp,
J
= ln 1tant + sect I
sint
= ln tant + \/i + tan2t
f cosx sin2x
cos3x = t diyelim.
CEVAP C
+c
17- f(x )= J r *
X2
V1+tan2t
tan t
x2 =4
2, x 2
2
CEVAP D
x, = lnx
f(x) =
J t+1
2
_>f_ + _2x^
3 + 3
Vx2 + 1 + c
= .ln I x + V/ x2* +h1I-----------13.
g (x )= 4 - f x2
= 4 -----x 2
3
3
.
4
=
2
dt
2
f(x ).
elnx
1
lnx + 1 x
f'(e3)='
e2
2+1
e |fıe3
1
lne*+1
e“
3+1
— -1 6 + —
3
3
16
16
e
f'(e3) =|
CEVAPA
CEVAP E
627
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
18.
y = 2 - x2, y3 = X2
y = 2 - y 3 =>y3 + y - 2 = 0=>y = 1
1 = 2 - x2 =?• x 2 ^ 1 => x 1 = -1 , x2 = 1
A = 8 - 3 — - = — br2
2
2
Taralı alan:
CEVAP E
| f2-xz- x ^
dx
21
x3 — 2
S = 2 x — — + -^ -x 3
3
5
-1
32
15
br'
CEVAP B
y2 = 4ax ile x = a mn kesim noktaları,
y2 = 4a2 =>y-\= -2a, y2 = 2a
Taralı bölgenin y ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan
cismin hacmi:
19.
a x -x 2 = 0=> x (a - x ) = 0
Taban yarıçapı a, yüksekliği 4a olan silindirin hacmi ile A
ile gösterilen bölgelerin y ekseni etrafında
döndürülmesiyle oluşan cismin hacimleri farkına eşittir.
x, = O, x2 = ;
a
V = it J* ( a x - x 2^
v2dx
Vs =
o
tc•a2 • 4a
= 4na3
a
V=
tcJ (a2x2 -2 a x 3 + x4) dx
VA = x } x zdy = x J ^ f = l i L _ Jtj / d y
0
0
(2
V
tc a
1
V
*[-
X3
0
2a
3
X4
4
5 12a
xM
VA = — V * 16a2
£
+ ----5 J
1
32 3
•tc•——
—a
16a
VA = -~ n a
3
2
5
2VA = -—tc
( 10a5 - 1 5a5 + 6a5 ‘I
l
V = TC
30
J
V =4TCa3 —— TCa3
V =^ - b r 3
30
V=
CEVAP D
16tc3'
br3
CEVAP C
628
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
Ç Ö Z Ü M L Ü
T E S T - 1 0
Karma uygulamalar:
J sinx( 1+ cos5 x )dx
1.
integralinin değeri kaçtır?
dx
ı
A )- 3
m
B) —2
C) 1
D) 2
E) 3
integralinin değeri kaçtır?
D> l
e> i f
f lnx
a
J ı ^ dx
2.
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
| x (2 - x ) 7 dx
lnx
1
B ) ----------------+c
x
x
.. Inx
1
A) ------ + — + c
X
integralinin değeri kaçtır?
X
D)/ — xa- + x + c
C) lnx + c
A )- * T
b>
- - 24-
C )- 1 7
E> ı r
E) lnx + — + c
x
3.
J x(x2 + l)2dx
6.
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
dx
> /l-4 x 2
A) - L ( x 2 + 1)3 + c
B) y ( x 2 + 1)3 + c
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
C ) y ( x 2 + 1)3+ c
'
D ) y ( x 3 + x)2 +c
A)
e)
4 ( x3+1)3 + c
629
B)
C)
12
D)
2n
E)
5n
16
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
7.
10.
I
J (3 + ex) ( 2 - e “*)dx
dx
integralinin değeri nedir?
A) 4 - — + 2e
integralinin değeri kaçtır?
B) 2 e - —
D) 8 - — + 2e
e
C )8 -—
e
A)
C) 3
B)
E) 4
D)
E )8
11.
-dx
integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir?
8.
2 x -4
x - 4x + 5
..
dx
B) In2
C) In3
D) In4
1 .
1
B) — İn -— — +c
4
2+e
2 + ex
~2^er + °
1 . 2 -e x
D) T
2
+c
C) ex - 2 + c
integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) O
1 ,
T
E) In6
E) ln(ex - l ) + c
12.
dx
9.
o (1 -X 2)
x -2
J
dx
integralinin değeri nedir?
x +1
integralinin değeri nedir?
A) 3arctanx + c
C) x - 3arctanx + c
1
TC
C) — + —
1 4
8
A)i
B) arctanx + c
D) 2x + arccotx + c
d )-i r
E) x2 + 3x + tanx + c
630
e>
T +İ
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
13. Bir fonksiyonun grafiğinin M(x,y) noktasındaki teğetini
eğimi - 2 x + 6 dır.
17.
Bu eğri (3,2) noktasından geçtiğine göre, denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = -x 2 + 6x
B) y = -x 2 + 6x - 7
C) y = -x 2 + 6x + 5
D) y = -x 2 + 6x + 9
.
X2
f(x )« —
-1
—
fonksiyonun grafiği, x ekseni ve x = 3 doğrusu
arasında kalan bölgenin alanı kaç birim karedir?
« i
A) 2
C) 3
E) 4
d ) .t
E) y - - x 2 +6x + 12
18.
14.
fonksiyonunun grafiği y eksenini A, x eksenini B
noktasında kesiyor.
y = 2x2 parabolü ile y = 4x doğrusu arasında kalan
bölgenin alanı kaç birim karedir?
D)
3) 4
f(x) = 2x3 - 3 x +1
A noktasının ordinatı, x ekseni ve AB yayı arasında
kalan bölgenin alanı kaç birim karedir?
9
A) -
15.
B) y
C) -
E) 2
D) 1
f(x) = x3 - 4 x 2 + 3x
19.
eğrisi ile x ekseni arasında kalan bölgenin alanı
kaç birim karedir?
A)
21
C)
34
35
D> ı r
37
Grafikte gösterilen, y
- 3 eğrisi iley = 9 - 3 x
x -1
doğrusu arasındaki alan kaç birimkaredir?
16.
y = 3x2 + 2
A) y - 6 l n 2
parabolü ile x = 1 ve x = 3 doğruları arasında kalan
bölgenin alanı kaç birim karedir?
A) 21.
B) 24
C )27
D )30
E) 33
D) — -6ln2
631
C)
B) 121n2
'
E) 6
61n2
2
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
2U.
23. y =3x - x2 parabolü, y = 0, y = x doğruları arasında
kalan bölgenin x ekseni etrafında
360° döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi
kaç birim küptür?
integraii ile belirtilen bölgenin alanı kaç birimkaredir?
A> T
B)
A)
C )-Ş -
D )^
E)2n
B> T
24. y2 = 4 - x eğrisi ile x = 3 doğrusu arasında kalan
bölgenin x ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle
oluşan cismin hacmi kaç 7i birim küptür?
A) Y
B) 1
C) Y
D) 2
E )y
25.
21.
3 doğruları ve x ekseni
y = — eğrisi, x = 1, x
arasında kalan bölgenin x ekseni etrafında 360°
döndürülm esiyle oluşan cism in hacmi kaç
birim küptür?
A )-^
B> f
C) 71
D)
3ît
E)
5n
y = x2 parabolü ile y = 4 ve x = 0 doğruları arasında
~6~
kalan taralı bölgenin y ekseni etrafında
360° döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi
kaç birim küptür?
A) 5n
B)6rc
C)7îi
D) 8n
E)9n
CEVAP ANAHTARI
22.
y = V x -1
eğrisi ile x = 3 doğrusu arasında kalan
bölgenin x ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle
oluşan cismin hacmi kaç birim küptür?
A ) f
B )f
C)
2 ti
D)
3n
2
E) 2rc
632
1. B
2. A
3. C
4. D
5. B
6. C
7. D
8. B
9. C
10. D
11. A
12. C
13. B
14. C
15. E
16. D
17. D
18. C
19. A
20. E
21. B
22. E
23. C
24. A
25. D
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
TEST - 10 ÇÖZÜMLERİ
4.
n
jt
n
j*sinx(l + cos5x) = j*sinxdx+ j*sinxcos5xdx
1.
o
J ( |- +ı?-)dx=J(x3+^ ) dx
J
I 4
4 l 2
81
16
2
3
o
cos6x
= -cosx
= -(COS71- cosO)
3
(cos6n - cos60)
(1-1)
-U ı
4
= 2- - - 0
6
=2
olur.
CEVAP D
CEVAP B
2.
I* lnx
i
dx
W
Kısmi integral uygulayalım:
J x (2 - x ) 7dx
lnx = u =^>du = — dx
x
2- x=t
dt = -dx
x = 2 - tx = 1 için t = 1, x = 2 için t = 0
1
1 ^ = dv=>v
w
1
—=-dx
- —
J ( 2 - t ) t 7(-dt)
:------lnx _ t . ± . ± dx
x
J
X
X
1
=
= J (t —2)t7 dt
o
=
x
1
X
lnx +
1
lnx------ + c olur.
X
CEVAP B
t3
6.
tfl
dx
J___1_
9
4
36
j
olur.
V l- ( 2 x ) 2
2x = t => dt = 2dx
x = O için t = O
CEVAPA
1 . . ,
1
x = — için t = —
4 v
2
3.
J x(x2 + l)2dx
1 f
dt
1
—
—— — - — arcsınt
2 J JT T
2
x2 +1 = t=>dt = 2xdx
t
J
t2dt = — ~ + c
2 3
= - 1 (
x2
+ 1)3 +
1
. 1 1
— arcsın-----------arcsınO
2
2
2
o
— •— -O
2 6
olur.
CEVAP C
12
CEVAP C
633
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
1
1
J (3 + ex) (2 - e " x)dx= J (6 + 3e"x +2ex +l)dx
11.
-dx
= 7 x -3 e "x +2e +
= t => dt = e dx
= (7-3e~ 1+ 2 e ) - ( - 3 + 2)
4- 1
dt
= 8 ------ + 2e olur.
e
4 -t
1 . 2 + e*
= — In+ c olur.
2 -e x
B
2+t
2 -t
CEVAP D
CEVAPA
8.
f ^ - d x =
J xz - 4x + 5
[ ^ l n
J u
u
= ln2-ln1
12.
dx
= ln2 olur.
J [U S ]
x2 -4 x + 5 = u=>du = (2 x -4 )d x
x = tan t => dx = sec2 tdt
x = 2 için u = 1
x = 3 için u = 2
x = 0 için t = 0
CEVAP B
x = 1 için t =
fi
9.
x - 2
x2 +1
x2- 2
f
J —(1 + ta
tan t)
dx
■sec2 tdt
_ V sec2 tdt
J
o
sec4 1
n
xz + 1
„
3
;
=> 1—•
x +1
4
f — —dt = f cos2 dt
J sec2t
J
-3
dx = x-3arctanx + c olur.
= 4 - + - 7-sin 2 t
2
4
CEVAP C
4
7t
. =Y
=y J (1 + cos2t)dt
o
1 ,
+ — olur.
4
CEVAP C
10.
13.
f'(x) = -2x + 6
f(x) =
J (-2x n6)dx = - x2 + 6x + c
•+ x dx
-
■
■■
f(x) = - x 2 + 6x + c
f(3) = 2
^ -« 1 2 ^ +4 x
2
f(3) = -9 + 18 + c = 2
— -2 4 + 8 + 9 + 12 - —
4
2
9 .
;— olur.
4
c = -7
f(x) = - x 2 + 6 x - 7 olur.
CEVAP B
CEVAP D
634
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
16.
14.
2x = 4x=>2x - 4 x = 0
x2 - 2x = O
= O, x2 = 2
= J (3x2 + 2)dx = 3 - j - + 2x
2
A = x3 + 2x
J (2 x 2 -4x )d x = 2
0
0
=A
3
A = 27 + 6 A = 3 3 -3
x3 _ 2x2
A = 30 birim kare olur.
= — • 23 - 2 - 22
3
CEVAP D
17.
= | 1-8|
= — birim kare olur.
3
CEVAP C
|
I
15. f(x) = x3 - 4 x 2 +3x
f(x) = x(x2 - 4 x + 3) = 0=>x1 =0, x2 =1, x3 = 3
CEVAP D
18.
ı
A=
J
X3
(x3-4 x 2 + 3 x )d x = -^ --4 -y -
3
3 + 2
4
X3 — 4x2 +
3x) d x =
' 4
——------ — X3 +
3
A(0,1)
5
birim kare
12
/
2
12
/f
B(1,0)
0
I
S = | (2x3 -3 x 2 + l)dx = y î
= ü _ 3 6 +^ - ± + A _ A
4
2
4
3
2
I 32 I 32
" | 12 P 12
A D 5
32
37 . . . .
A + B= — +
asbirim kare olur.
12
y
3x2
+ 2
-y -1 + 1
birim kare olur.
12
CEVAP E
CEVAP C
635
İN T E G R A L VE U Y G U L A M A L A R I
19.
22.
6
y = 9 -3 x
-3
X -1
y = O için O = 9 -3 x => x = 3
y
3
V = it
3
J y 2dx = J (V x - 1 f dx
tc
1
3
1
3
J h V 3- H d*
= n J (x -1)dx
2
= I (~x^T+3x~12^dx
- 2■n birim
( Wküp* olur.
')
= 6ln(x- 1) + - |-x 2 -12x
CEVAP E
= 6ln2 + — -3 6 + 18
2
27
= 6ln2+— — 18
J
=
«
1
g
23. 3x - x2 = x
x2 - 2x = 0
x -(x -2 ) = 0
x1= 0, x2 = 2
- i ı
2 I
6ln2 birim kare olur.
2
V
CEVAP A
y = 3 x -x
V =71
T ^Vl - x2
V3~xj integrali ile belirtilen alan
g
1
y = > /l-x 2 =>x2 + y2 =1 çemberinin birinci bölgedeki
V =—
g
s*
birim küp olur.
CEVAP C
parçası, y = V 3x doğrusu ve y ekseni arasında kalan
alandır.
24.
V = 7tJ y2dx = n j (4 -x )d x
iII
30e
taralı alan i
-n -r
360°
12
y
1—*—
O
20.
-
3
^4
1 6 -8 -1 2 + “
birim kare olur.
CEVAP E
= — n birim küp olur.
CEVAPA
1
25.
1
=*(+)
271
birim küp olur.
CEVAP B
636
BOLUM -1 0
M A T R İS D E T E R M İN A N T V E D O Ğ R U S A L D E N K L E M S İS T E M İ
ı
ÇÖZÜMLÜ TEST - 1
5.
'-1
2a
3'
. 2 0.
1.
A=
C=
1 2 -3
2 4
-2
B=
5
’1 -2 k
3
n
6
1 -p
4
'
. 4 2a2 - 2 .
olduğuna göre, a kaçtır?
1 0
4
6
II
Matrislerle ilgili uygulamalar:
A) - 3
3 -1
B )- 2
C ) -1
D) 0
E) 1
matrisleri veriliyor.
A+B = C olduğuna göre, k + n + p toplamı kaçtır?
A )- 1 0
B) - 9
C) - 8
D) 6
E) 7
A=
2.
k-
3'
'-4
. 5
7
-E
matrisi veriliyor.
r-3 -14 '
-4 ‘
2. “ [25
24.
AT, A matrisinin transpozesi olmak üzere, A + AT
matrisi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
olduğuna göre, k kaçtır?
A) - 2
3.
A=
B) - 1
'-2 kİ 0 M
, B=
1 3_
D) 2
C) 1
A )-A
E) 3
C)AT
D) A
E) 41
31 matrisleri veriliyor.
|_ m 0.
3A -2B =
-4
121
7
7.
gj
A=
olduğuna göre, k + m toplamı kaçtır?
A) 5
B) O
B )4
0 )0
D )- 2
["3 m-<
[2
E )-3
matrisinin transpozesi
n
A 1=
3 2
7
5
olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 16
E) 18
D) 8
E) 6
'-2 1'
'2 -2 '
F3 -11
BA=
,c =
3 -4 j
2 4j
3 1.
matrisleri veriliyor.
Buna göre, 3A + 2B - C matrisi aşağıdakilerden
hangisidir?
'1
B)
.9 3.
' 3
D) -9
-1'
2.
-2
C)
9.
E)
-3
3'
.
6.
1
'3
9'
.2
-1.
k‘
.0 1 .
n 105'
c
A)
' 2 3"
0
8.
'3 1'
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 14
637
B) 12
C)10
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
9.
A*, A matrisinin transpozesi olmak üzere,
Amxn matrisi ve B = A1+ A verildiğine göre,
B* aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) B"1
B) B
C) A-1
D) A1
13. A J - 2
1 ve
L3
olmak üzere,
E) A
A A matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 5
[il]
10.
-u t]
-1 2
D) 5
-2
3
r
0
a -b
4
A=
r
• B =L
r
A1, A matrisinin transpozesi
E) 10
2 3
3
61
2a+ b 4 j
2
. 3 -2 j
«
1 -2
-1
3
14.
matrisleri veriliyor.
M=
B )-2
C )0
3 '
'2a+ 2'
1 N=
, P=
-1
10
2J
-a
AT = B olduğuna göre, a kaçtır?
A) - 6
' 2 b
D) 2
matrisleri veriliyor.
E) 4
M1, M nin transpozesi ve M* N =P olduğuna göre,
a + b kaçtır?
A )- 2
B )-2
C)0
D) 6
E) 8
5
I
11.
A=
'2
4
-3
, B=
1.
-1
2 -1
S 15.
' 5 -2
.1
3.
3 a'
matrisleri için, B + X = A eşitliğini sağlayan
X matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
A)
-2 1'
3 2
B)
D)
-2
5
3
-2
trj
olmak üzere,
3.
b 8.
olduğuna göre, b - a kaçtır?
r-3 L 5
a
A ) - 10
B) 0
C) 5
D) 10
E) 15
E)
16.
A=
r-1
ıı
. 1 Oj
^
X y' olmak üzere,
z t.
A B = A -B
olduğuna göre, B matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
12.
f1 k'
1‘
T
Lo 1.
2_
.2.
A)
'-3
2'
B)
. 6 3.
-5
' 2
C) - 1
0'
. 1 T.
olduğuna göre, k kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
D)
E) 6
638
'1
2’
7 8
'4
E)
3'
1 -2
-r
1.
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
-İ7.
r2
2 8.
a"
b_
r
ttHt
’91
ej
olduğuna göre, a + b kaçtır?
A) 2
B) 3
C ) 4
D) 5
olduğuna göre, a + b toplamının en küçük değeri
kaçtır?
E) 6
A )- 3
B) 0
D) 7
C ) 4
E) 8
13.
2
21.
+
-3
4_
0
ro
21
I
ro
1 1
L -3
4.
,0
\2
1.
01 '1
a
3 1 j .b -1.
toplamı aşağıdaki matrislerden hangisine eşittir?
6
A)
•9
C)
3j
D)
[6
61
[9
3 j
-9
8 5
cîduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
-6 6'
-6 1
2 4
A ) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
3
22.
r3
0
A -
Lo
19.
a b
olduğuna göre, A15 matrisinin bütün terimleri
toplamı kaçtır?
21
r-r
c d
-3
co
a b
1
c d
A ) 9 1° + 4 1°
-11
B ) 96 + 166
D ) 3 15 + 4 1 5 + 1
C ) 3 15 + 4 15
E ) 3 12 + 4 10
eşitlikleri veriliyor.
a b’
c d
Buna göre,
m atrisi aşağıdakilerden
hangisidir?
1
CEVAP ANAHTARI
1
B)
A)
7
-1
r,
f1 Fİ
C)
L-7
L7 -1 J
1
D)
?1
T 2
.-1 7.
E)
3
.4
7.
639
1. C
2. D
3. B
4. A
5. C
6. E
7. D
8. A
9. B
10. D
11. C
12. e
13. A
14. E
15. D
16. C
17. E
18. C
19. B
20. D
21. E
22. C
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
t e s t - 1 ç ö z ü m le r i
[1 2 -3
j_2 4 5
-2 1
4 3
-1 3 -•
6 7
1—2k
M -2 k
ı
|
6
3
n
1 -p
4
3 -1
4.
C
2
3
1 p
4
-a-c i
+2
9 -4 -2
6 + 6 -3
-3 + 2 + 2
1 2 -8 -1
3 1'
olur.
9 3
CEVAP A
olduğundan,
5.
-1 = 1 -2k =>k = 1
-2
6‘
'2a
6
A
0.
4
2a2 -2_
'
-2 = 2a => a = -1
n = -3
0 = 2a2 —2 =» a, = -1, a2 = 1
1 -p = 7 = > p = -6
-1 ortak olduğundan a = -1 olur.
k + n + p = -8 olur.
CEVAP C
CEVAPC
6.
J - 4 3l + 5 .p - 41 = [ - 3 - 141
L 5 7j
L3 2 j [25
24J
r—4k + 5 3k - 20"
|_5k +15 7k + 10
UVflRI:
"3 -141
25
24;
olduğundan
|
S
A~
a b"
3 C
c d_ iseAnıntranspozesi: AT = b d. dir.
1
At =
'2 a'
'2 -a*
=>A t =
dir.
■a 2.
a 2
-4k + 5 = -3^ > 4k = 8=>k = 2 olur.
a
CEVAP D
+at =
'2
-a
2.
a
4
a’
2
L-a 2.
'4 0‘
0 4.
1 o'
P 1.
»[i a-t: a-[i ”]
3k 6
4
121
3 -2 m
9 -0
7
9j
3k- 6'
-4
12]
9
.7
9j
[-4
|_3-2m
3k - 6 - 1 2
CEVAP E
7.
A'
k
3 m -4 ‘
' 3
*T
=>AT =
2
n
m-4
3
m -4
2'
n_
11
-6 + 2
41 olur.
2'
n
‘3 2]
7
aj
=> n - 5
3 -2 m = 7=>m = -2
m + n = 16 olur.
k + m = 4 olur.
CEVAP D
CEVAP B
640
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
8,
1 2'
0 1.
1 3
0 1
EM
1 n
n 105
0 1
0
13.
-2
AA1
ntane
.0
-4
3
L 1 "4.
4 -i 1
-6 -4
’n 105"
1+ 1+1+-:-+1 1+2+3 + ---+n
0
1+ 1+ 1 f:-t + 1
1' f -2
3
n
-6 -4
9 + 16
n
5
-10
ntane
n(n + 1) =105 ^ n(n + i) = 210
= 5 [ 1 - 2l olur.
L-2
3j
->n(n+1) = 14-15
CEVAPA
=!>n = 4 olur.
14.
CEVAPA
M=
B - A 1+ A => B1 = (A ’ + A )'
-a"
' 2 b'
=> M1= İ 2
-a 2
Lb 2
=>B* = (A <)' + A1
'2a+ 2
E IH - ÎM
=> B' = A + A' = B olur.
((A *)'= A olduğunu görelim,)
10
"6+a‘
r-ı
,3b- 2
CEVAP B
1li.
6 + a = 2a + 2=s>a = 4
-2
3 a -b '
.1 0
. 1
4
3 b -2 = 10=>b = 4
3
61
2a + b 4_|
-2
a + b = 8 olur.
a —b =6
CEVAP E
a
+ 2a + b = 0
1
15-
CEVAP D
11.
B
r 5 -2"
[-1
+X =
3j
*-E1
"E
2 -5
4+1
T4-1
-1
3 a
3 J*Ll 3
b 8
—2 —3"l_ T3 al
1.2 + 3 -1 + 9_|_ [_b öj
A
+X =
2 -1 1 p
1
3a = 6 => a = 2 olur.
"2 -3"
'3 -5"
'3 a"
4
5
b 8.
1
3
CEVAP D
-3 + 2 1 1 -3
1 -3 P
5
olur.
16.
A
CEVAP C
B
A
-1 1' x y'
12.
1 0. z t_
—x + z -y + t
1 kW
P i j Ls
1+ k-2'
0 - 1 + 1-2
2k + 1
=>a = -5, b 5
b - a = 5 + 5 = 10 olur.
5 -2
-1
8.
-1 -x
B
1 -y l
1 -z 0 - t j
1 -x 1 -y '
x+0
y+0
1 -z
-x + z = -1 - x => z = - 1
-El
-t
—y + 1= 1—y => t = 1
x = 1 -z = > x = 2
?k + 1= 7
y = —t => y = —1 olduğundan
2
k = 3 olur.
B
2
-1
CEVAP B
i
1J
olur.
CEVAP C
641
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
17.
'9'
.6.
2
1'
3 -1
29,
-1
.6.
r
3a - 0
- a 2 - 3a
2a+^=Q
1 '9'
t
3 a - ^
12 .
+
= 6
-a
Şa = 1 § => a = 3
,2
az +
•3 a = - 4
3 a -4 = o
0 = 3
9 ı = 1, %
a + b - 6
= -4
o lu r .
b = 11
CEVAP E
a + 0 = -4 + n
= 7
o lu r .
CEVAP D
18.
1
1 %
- 3 -4
-3
[1 -6
2+8
[-3 -1 2
19
- 1 i
10.
%2
+
oı
iJ
21.
t! : h; a
+
-5
al rı
4 r [ p
-4"
. §
+
r?
o ı
n
a ı = rg
[2 + 9
2 9 + 0
r1 0r
L3+ 0
3g«
,0 1.
'2
:?]+* a
2a '
2
I
4'
8 5
3 + 0 39-1.
6
4 i
Ll 1J [b h J ' Ls §J
2ş = 4 => a = 2
o lu r .
3 + 0 = g = *0 = §
C E V A P C
9 + 0 = 7
o ly r .
CEVAP E
19.
9
0T
r
.6
0r
,3 _
Y
§ *3 0 =
.§ + 3 0 . 1
.4 .
3
X
8 *3 9 -2
4.
§ + 3 0 -4
22,
- İl
A
A? -
-11
- 3 r
= g a -§ & = -3
;]■L "11
-2 6 - 3 0 -- 1 1
30
|_ - g § -3 0 .
0
l§9
0 4
3 Q
3
0 ’
0 4
.9
4 r
3? 9
0 + 0
32 + 9
.9 + 0
0 + 4 \
'
3?
.0
0
'
4?_
3
9 '
.9
4.
.0
4 '.
:3
9
¥
0
.0
4.
.0
44_
3»
0
'
A * s
.0
9 *3 0 = 2
+ -rgarrŞb = =r3
42
33 0
■
A 4 -
0
-a --l= * a = 1
43
b ,J 3
§ + 3 0 -4
t
A«
-2 § -3 0 --1 1
31§
l
o ld u ğ u n d a n 0 u m a tr is in
.9
1 4 15.
-6 - -7 =* 6 = 7
t e r i m l e r i t o p l a m ı ; 3 15 + 4 15 o l u r .
0 --1
a
b'
p
d.
(K a ş ın e ı k u v v e t a lın ıy o r s a 3 v § 4 ü n ü s tü n e o k u y v e tin
olur.
1 İ
L7 -1 1
g e l d i ğ i n i $ ö F e lim . )
.
CİVAR i
642
C iV A P C
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
ÇÖZÜMLÜ TEST - 2
1.
[-3
! 0
2'
4
a -1
xt 2
b+ 3
y
matrisleri eşit olduğuna göre,
-r
m
(a -1 ).
L2
"0
4'
4 -1
3
+
2
-61
0
7]
olduğuna göre, a kaçtır?
A) - 2
B) - 1
C) 1
D) 2
E) 3
Mmatrisi aşağıdakilerden hangisidir?
A)
2X2 birim matris
-3
D)
O l2 - 3
|_0 4
B)
2.
-2 3'
0
olduğuna göre,
2 4
A2-4 A + 4I işleminin sonucu aşağıdaki matrislerden
[1 3
5
1 2
A
hangisidir?
'3
0
B)
A) I
|_8 8
3 6
C)
6 9
2.
A=
1 0'
D)
2 3
olmak üzere, B = A + A1 matrisi tanımlanıyor.
Buna göre, B( matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
A)
'2
'2 2"
B)
2 6.
\2
21
D) [e
2.
.1
'2 2*
61
C)
1J
E)
J
5 2'
ea
E)
2 8
t
&
™ 6.1
A=
6.
1 a
b 0
olmak üzere,
2 1
3 6.
A =
2 1
1 1
olması için a kaç olmalıdır?
A) - 1
3.
B) 0
C)1
' 1 -1'
2 1
1 2 4
D) 2
E) 3
A ve B matrisleri için aşağıdakilerden hangisi
yanlıştır?
A) B = A - A t =>Bt = -B
B) B = A + At =>Bt =B
-1
c , (A -')T = (A^)-'
2
.2 1 5.
—
’a • • '
• b •
• •
c
olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
D) (A • B)“1 = A-1 •B-1
A) 11
E) det(AT) = det(A)
643
B) 10
C) 2
D) - 1
E )- 2
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
8.
A=
'3 a
b 1.
matrisleri için
toplamı kaçtır?
,
b
L-ı.
12.
b'
, c=
=r
A fcosa
sina
A= .
Lsına - cosa.
3.
olduğuna göre, A2007matrisi aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
AT - B = C olduğuna göre, a + b
A) 20091
11
A) ~2 ~
B) 5
D) 4
c) T
B) 2009A3
D) 2009 A2009
E> i
C)A2
E)A
13' A - [ a , , ] ^ , B = [b „.]4,3 matrisleri veriliyor.
B -A matrisi tanımlı olduğuna göre,
9.
a m
İ.2 a + 1 k
'-1'
2
r3
m + n toplamı en az kaç olabilir?
A) 7
olduğuna göre, a kaçtır?
A) - 3
B )- 2
C )-1
D)
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
E) 2
14. A-1, A matrisinin çarpmaya göre tersi olmak üzere,
10.
A=
-3
-1
7
2
A=
0 1
0 1
B)
A)
B)
-2
uj
1
D) [ 2
L-7 -3 .
D)
'1 • 2"
.3
2 -1_
, B+ C =
3 -1
Q|
0
ro
A=
'1
1
2'
■-1 -2 ]
C)
. 1 3
1'
3
-2
E)
. 1
3j
3'
1 4.
1.
15. A =
11.
matrisi aşağıdakilerden
-1
1 1]
C) 1 1'
0 1
1 0
1
olduğuna göre, A-1
hangisine eşittir?
olduğuna göre, A2009 matrisi aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
3 -2
-1
2
-2
7
-1
4
matrisi veriliyor.
Buna göre, 2 A-1 matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
olmak üzere,
I
A)
co
'14 -4"
AB + AC = [a y] 2x3
B)
T"2
8“
'14 41
C) . 8
14_
olduğuna göre, a12 kaçtır?
A) - 1
B) 0
C) 1
D) 2
'4 -14'
D) 2 -8
E) 3
644
-8
E)
-2
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
16.
20.
*1 -2 ’
A=
.0
3.
, B=
‘1 -3 '
.6
A=
0.
olmak üzere,
matrisi için A-1 A = A2 olduğuna göre,
a b çarpımı kaçtır?
A • X = B eşitliğini sağlayan X matrisinin tüm
elemanları toplamı kaçtır?
A) 3
C) 5
B) 4
17.
M
11
L -ı
2.
.
B=
D) 6
A) - 3
' 1
2
-1
-3
0 11.
.-1
D)
18.
' 1 0'
1 2
-1 3
A=
'a
c"
.1
0.
A '1 =
4
3 -2
k
3
-2
5
B) - 3
A)
02
D) 4
E) 6
_1_
4 .
f1
1 4
E) L-1 2 -1 .
|
2 2 .
I
1 11
A=
o 1J
1
olduğuna göre, A -B = A eşitliğini sağlayan
B matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
0 -c
b
2
A)
B) 0
C) 2
D) 3
B)
t il
E) 4
D)
19.
E) 3
türünün) 15 olması için k kaç olmalıdır?
olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
A )- 2
D) 2
determinantının a33 elemanının eş çarpanının (kofak-
'1 -1 '
2
C) 1
r
2 1
B)
C )-1
21.
'1 0 3'
olduğuna göre, Bt At matrisi aşağıdakilerden
hangisine eşittir?
'1 - T
2
A) 0
4 1
B )- 2
E) 7
ro
- 45'
[1
1.
'1
0'
2
- 1.
C)
E)
'1
-4 4 '
0
1.
n
1
. 12
matrisinin tersi, kendisine eşit olduğuna göre,
a aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0
CEVAP ANAHTARI
B> İ 2
D)
y fn
E)
V35"
645
1. B
2. A
3. D
4. E
5. D
6. C
7. B
8. A
9. C
10. D
11. D
12. E
13. D
14. A
15. E
16. B
17. C
18. B
19. E
20. A
21. E
22. E
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
te s t 1.
-3 2 l_ T a -1
0
2
ç ö z ü m le r i
x+ 2
4 _ r[b + 3
‘1 -1*
(a -1 )
y
-3 = a -1 = > a = -2
2
0
4
3j
4"
-1
+
‘2 -6 '
0 7
2 -2 '
4
6
2 = x + 2=> x = 0
'a -1
2a- 2
-a 1- 1 '
3a-3
0 = b + 3=>b = -3
a -1 = 2=>a = 3 olur.
CEVAP E
y=4
-3
0
4
olur.
'1
2'
II
-2
.2 4.
CEVAP B
|_2 6
5
=>B' =
'2 2'
2 6.
4+16
10
+
.10 20
0 " ’1 2'
+
[2 3 .
0 3.
p
t H
B :«]
2+8
2+8
A = [12 a] İSeA' = [o
T2 2'
1.
A2 - 4A + 41 = ?
1+4
B= A + A
0
M=
'-4
î
-8 '
0‘
4 4.
-16. 4 Lo
-8
5 2_ olur.
,
olur.
CEVAP D
e
CEVAPA
I
s
6-
1 a
1 a
b 0
b 0
3.
'1 + ab a + 0 1
_b + 0 ab + Oj
A) B = A - A t =>Bt = ( A - A t )T
1+ ab
^> bt = a t - ( a t )t
b
=> bt = a t -
a
= -(a -
2 1
1 1
at )
ab
h?;ı
1+ ab = 2 =^>ab = 1
Bt = -B doğru
a=1
b= 1
B) B = A + At =>Bt =(A + At )T
CEVAP C
Bt = A t + A
Bt =B doğru
1 -1'
C)(A"1)T = (A t )~1 doğru
2
1
-1
2
1 2 4
2 1 5
D) (A •B)"1= B"1■A-1 olduğundan
' 1 -2
2+2
(AB)"1= A-1 -B_1 yanlış
2 -1
4+ 1
4 -5
8+5 =
-1 + 4 -2 + 2 -4 + 10
E) det(AT] = detA doğru
-1 1 -1'
a ■ •'
4 5 13 = • b •
3 0 6
• c
olduğundan a + b + c = -1 + 5 + 6 = 10 olur.
CEVAP D
CEVAP B
646
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
A=
11,
03
IT
8.
'3 a
=>A t =
b 1.
.a 1.
A .(B *« -|> 4 »
B = C
e i] "j-ra
£
: «
=>
]
AB*AG = 0 i 4 3
3 - b = b=>b = -r-
2
=4
p -1 = 3
'1
0'
'1
2
-1 _
.3
%
-1
0=
_ r
J2x3
2
'1 + 0
2 + 0
0 + Q r
1 2
J - 3
4 + 1
0 -? .
-1 3
olduğundan a12 = g©lyr,
C iV A P P
a + b = 4 + - |- = - ^ -
2
p lu r .
2
CEVAPA
12,
s ın » i
A^
.s in »
9.
3
2 + (g + 1)x
h;
=?
1 r§9S»
Jİs in »
A?;
îj-B -r a
2 8-H
3 + ax
IS8
■sosa.
3 + a x -1
sin»''
ö e s a s ın » -- 6 © § « s ın »
:» + § ı m »
;§ i ı f a * e © § a = s in & - e e § et
a * = -1
25
_ gos^+sin2»
A5
2 + a x + x = 2
x = 1
§g§fit§inçı-gQ§(xsingt'
!»+§0g2»
.§ jn » § @ Ş » - § İn » 6 0 § »
a -1 = -1
8 = « 1 Q |g r .
-c ;ıCEVAP C
A 2 b i r i m m a t r is © e ş i t e l d u ğ u iç in ,
10.
20071 2 _
P -4
-1 1
L-7
?
3
A=
'2
-7
J
3 -7
-1
2J
L—2 1 + 1 4
1‘
"= 3
- f
-3 .
. 7
2
3 -2
—7 —4 J
-6 + 7
2
1'
-=7
=3.
= 2+2
,2 1 - 2 1
7 -g .
Q İV A P i
ı
r
,0
1.
-I
1 3 ' A " [ Bii] mW' B "L HİU4»3
b ir im m a t r is o ld u ğ u iç in b ü tü n k u v v e t le r i b ir im m a t r is tir -
(A3f W
^ A M .A M -[*
J
2
1
®! A s
P: A
-7
ü] 4*8 ’ Ca ii ] m*n ^ Ce ij] 4»B
te n ım lı © Id u â u iş in i
n in s ü t u n s a y ıs ı A n in s a t ı r
savısına asitalaeaam dan
e lu r ,
-3
3 -m
P r a t i k o l a r a k , A 3 b i r i m m a t r i s i v e r d i ğ i iç i n
= $ m - 3 e lm a lıd ır ,
n an §2
2Q Q 9
e ly F r
ise A2009=?
[7 Z
A -A
A ?0P7 = A 1 - A
1 s a ş ila s a ğ in r ia
3
n s i a lın ır s a
m
m + n -§ + 1 -4
ra
.2 ' % r
[2| - * A * =
- 7 -3.
a la b ilir :
PEVAP0
egVAP D
347
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
14.
r~
ı
17.
A=
UVflRI
A - ra bi •ise A
a-1 = -----1 r d - bi ^
dır.
A
Lc dj
|A| L-c
aj
3 -2
IA|:
-1
1 2
A-1 *
■K ? î]
B' -A' = 0 1
=> A-1 = I
3 1
olur.
•■[i
1 3
'1 0'
ise Bt = 0 1
3 1
1 0'
= 3 -2 = 1
1
' 1 1'
’1 -1*
ise At =
-1 2 .
.1 2
1+ 0
'1 -1'
1
-1
+
0’
0 +1
0+2
3 + 1 -3 + 2
2
1 -1'
2 olur.
1
CEVAP A
4 -1
'4
-7 '
.1
-2
2
-2 .
■[: a>
jşe |A|=
ekA =
14'
olur.
4
I
-1
= > 2 A "1=
A
-7"
CM
7 '
i4
Lı
I
-4
■
18.
O
O
A"1=
-
CEVAP C
- -8 + 7 = -1
■1 4
-1
'0
A-1 =
CEVAP E
1
01
1
-1
A- =■
-2 7
7
=>|A|
4
0
-2
-1
15.
0 -c"
, A~1= - —
c -1
a.
a.
1'
0 -c")
a =
b 2J
c.
1= —e => c ■=—1
-1 = b => b = -1
a
a=2
= 2=>
c
-1
a + b + c = 2 - 1 - 1 = 0 olur.
.ç
1ö. A =
. B=
P
Lo i 3 .
'1
-3 '
6
0_
A-X = B=> X = ?
I.y o l
CEVAP B
a b
olsun.
c d
1 -2 ‘ a b'
1 -3
c d
6 0.
0 3
a -2 c b -2 d
0 + 3c 0 + 3d
A
J1
d-0
a=5
5 -3
Oj
b = -3
olur.
' 2
1
36
a + ------
1
î
36
X = A-1 B olduğundan
1 k
3
:1=> a = 1
;ı
1
36
35
" 36
1 -3
6 0
0 -1
3.
1+ 4 -3 + 0'
X=
0+2 0+0
1
3
— a+— b
—11 au+ — 1 b — + w
b2
.1 2
12
36
A X = B = > (A A _1) X = A-1 B
1f
0
[o 1
2. yol
X=
A = I olduğundan
b - 2d = -3
3d = 0
3c = 6
c =2
2
ise A 1 =
1 -3 '
6 0
a - 2c = 1
X=
19.
V35”
olur.
CEVAP E
olur.
CEVAP B
646
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
20.
22.
ra
2-
|b
-2.
1
a+b
b
2a + 2b
=> A-1 =
1
1
a+b
a
-2 a -2 b
0
A=
J
A =
'1 T
1+ 0
0 1
0 +0 0+1
A -1 *a = A* ise A"-1 = A dır. Yani
a+b
b
2a + 2b
A •A = A =
1
= a=>a(a + b) = 1
a+b
1
= 2 => a + b = —
a+b
2
A
[j] de yazarsak,
CEVAP A
B=
s
I
■«**
Cis
2 İ.
3 m
2 3
•1 k
|o
1
0 1
K
?
'1 + 0 1+-3İ 1 PT
0 +0 0 +1 J- 0 1 .
=
-45
1
-E İT. 1
-3 olur.
( 1f
1 1
A45 B = A => 8 =(A 45) 1-/
2 + b = ---- : b = - —
2
2
k i
3
(A -r-iU
2
2
n
0+1
5]
— = 1=*a = 2
-1
Ö 1+ 2'
o1 1
ı 1=P
j Lc0 +0
A =
1
a+b
â
-2 a -2 b
1
1+1
determinantında
:1• (2k + 3) = 15
2k + 3 -1 5
2k = 12
k = 6 olur.
CEVAP E
649
[1 + 0
1+ 45
0+1
Lo+o
1 -44
0
1
olur.
CEVAP E
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
ÇÖZÜMLÜ TEST - 3
4.
Determinantlarla ilgili uygulamalar:
A=
a+b a + 2b
a -b a-2b
'3
-1 '
2 a+1
rriâtrisi İçin,
I A A1 1= 196
determinantının değeri aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, a rtın pozitif değeri kaçtır?
A ) -a b
A) 6
B )-2 a b
C)û
D) ab
E)2ab
2.
a b
C d
= 6,
ka kc
b
d
B) 1
C )-3
D) 3
E) 4
D) 3
E) 2
c
!
D )- 4
C) 2
g .
İS 5.
= -18
olduğühâgöre k kaçtır?
A) 2
B) 5
matrisi veriliyor.
E )- 5
A" =81
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 6
B) 5
04
3.
920Ö8 92006
92007 92ÛÖ5
2 4'
3
determinantının değeri kaçtır?
A) - 2
B )-9 2 1 0
D )2
8
m atrisinin tersi olmadığına göre, a kaçtır?
0 -4
E )920
A) 2
650
S
)
0 3
D) - 4
E )- 4
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
7.
11.
2
x -1
x -1
8
3
4
=0
olduğuna göre, x in pozitif değeri kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
olduğuna göre, sin2x-2cos2x ifadesinin değeri
kaçtır?
E) 5
A)
8.
1
A=
olduğuna göre, aeR sayısının alabileceği değerlerin
toplamı kaçtır?
A) 2
D) - 1
4
-12
3
-9
B) 2
13.
A=
4
1
B )-4
C) 3
D) 4
E) 5
a 1
2 b
2 1
1 3
1 -3
6
matrislerinde a, b birer pozitif tamsayıdır.
2
olduğuna göre, x değerlerinin toplamı kaçtır?
A) - 6
E)
E) - 2
I
Ix —2 1 -3
C )0
D )4
d e t(A B ) = 5
E) 8
olduğuna göre, a-b farkı kaçtır?
A)1
14.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
3x - 2y = 6
5x + (a-4)y = 14
denklem sisteminin çözümü yoksa a kaçtır?
matrisinin rankı 1 olduğuna göre, a kaçtır?
A) 4
B) 5
18
25
D)
matrisinin rankı kaçtır?
A) 1
C )0
B) 1
C)1
B)
12.
a 3
2 4
1
~ 1 I= 8
tanx |
C) 6
D) 7
E) 8
A)
651
B>!
c>!
D) 1
E)
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
15.
12 a
I8 2
I4 1
18.
-1
7
0
A=
determinantının değeri a kaç olursa O(sıfır) olur?
A) y
B)2
- 1
D) 1
3'
r ° 2
m 1 -1
[-1 1 1
matrisinin rankının 3 olması için m ne olmalıdır?
A) m * - 5
E )t
B) m * -3
D) m = 3
C) m * 0
E) m = 5
19.
2 3
1 0
a 2
matrisinin rankı 2 olduğuna göre, a kaçtır?
A) 3
B) 2
C)1
D) - 1
E)
16.
1 a b+ c
1 b c +a
| 1 c a+b ı
determinantının değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) - 2ab
B )-a b
D) ab
C )0
E) a + b
20.
2x, + 5x2 - x3 = 4
4Xt +
-2x1-
8x 2 - 2 x 3 = 1
3x2
+ mx3 = 5
denklem sisteminin çözümü varsa m aşağıdakilerden
hangisi olamaz?
A) 2
B) 1
C)0
D) - 1
17.
1 -x
1 0
2 0 x = x -7 x
-1 x 4
CEVAP ANAHTARI
denklem inin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) {0.2}
B) {1.4}
C) {1.2}
D) {2,4}
E) {3.4}
652
1. B
2. C
3. A
4. D
5. E
6. D
7. E
8. B
9. D
10. C
11. D
12. A
13. B
14. C
15. E
16. C
17. D
18. A
19. D
20. B
E) - 2
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
te s t
- 3 ç ö z ü m le r i
1.
a
a+b a + 2 b |
a -b a - 2 b|
- 2sâ&+ jatf - 2$ - ja^+
matrisinin tersi yoksa determinantı
-3 8
sıfırdır. Yani
= (a + b )(a - 2b )-(a -b )(a + 2b)
=
"a+ 2 4'
- 2a b + ^
a+2 4
|A|
I
= - 2ab olur.
CEVAP B
=0
o |
8 a + 1 6 -(-1 2 ) = 0
8 a + 16 + 12 = 0
2.
= 6.
b
d I
a c
II
|c d
ka
0
Ia b
b d
8 a = -28
= -18 de
a = —— olur.
2
ad -b c = 6 yazılırsa
CEVAP D
k -6 = -18=>k = -3 olur.
CEVAP C
3.
92008
92006
92007 92005
x+3
x+ 2
7.
te 92005= x diyelim.
x-1 I
2
x -1
x+ 1
= x(x + 3) - (x + 1)(x + 2)
x
8 |
= 0 = > 1 6 -(x -1 ) =0
( x -1 ) = 1 6 = > x -1 = -4, x -1 = 4
= -3, x2 = 5 olur.
=/ + $ { - / - $ < - 2
CEVAP E
= - 2 olur.
CEVAPA
S.
8.
1
4.
3
-•
a 3
=6
2 4
a3 a2
1
a2 - ( 4 a - 6 ) = 6
|=> |A| = 3 a + 3 + 2 = 3 a + 5
2 a + 1_
a2 - 4 a + 6 = 6
|A| = |Al| olduğundan
=0
|A •A‘| = İA •A| = |A2| = |A |2 = 196 = 142
a1 + a2 + 83 ——
|A| = 14
1 olur.
CEVAP B
3a + 5 = 14
3a =9
a = 3 olur.
jx -2 |
CEVAP D
4
5.
A=
-3
1 -3
1
6
2
| x - 2 | + 12 = 2 + 18
1 -5'
=>|A| = 4 + 5 = 9
1 4
|x —2| = 20 —12
| x - 2 | = 8 =>x - 2 = - 8 , x - 2 = 8
|An| = |A|n =81
x1 = - 6 ,
9n =81 = 92
x2 =10
Xı + x2 = -6 + 10 = 4 olur.
n = 2 olur.
CEVAP E
CEVAP D
653
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
-3
2'
matrisinin determinantı sıfırdan farklı ise
a
4_
rankı 2, sıfır ise rankı 1 dir. Buna göre,
10 . . . t
13.
3 2
İA| =
a 11
2 1
|A|=;
B=[l2 3]~|B|=6- b
=0
41
a
Ai
det(A B) = 5
4 a -1 2 - 2 a =0
|A| *|B| = 5
2a = 12
( a - 2 ) ( 6 - b ) = 5 = 1-5
a = 6 olur.
a ve b birer pozitif tamsayı olduğundan
CEVAPC
1) a - 2 = 1=>a = 3
11.
6 -b = 5 = > b =1
= 8=>3tanx + 4 = 8
4 tanx
a - b = 3 -1 = 2
=>3tanx = 4
2) a - 2 = 5=>a = 7
4
=> tanx = —
6 - b = 1=>b = 5
a - b = 7 - 5 = 2 olur.
CEVAP B
14.
s
cosx
UVARI :
a1x + b1y = c1 |
sin2x-2cos2x = 2sinx cosx -2cos2 x
a2x + b2y = c2J
-.2
:2 .A .A .2
5 5
24
25
denklem sisteminin çözümü yoksa
(çözüm kümesi 0 ise) katsayılar determinantı 0 dır.
(t)
I a1 &1
18
25
; a2 ^2
6
olur.
25
5 a -4
3
-2
0 dır. Buna göre,
= 0=* 3a-1 2 + 10 = 0
3a = 2
CEVAP D
= — olur.
3
12.
4
-12
81
3
-9
6J
CEVAP C
matrisinin
15. İlk iki satırı 3. satırdan sonra tekrar yazarsak sarrus
kuralını uygularsak,
2. mertebeden karesel alt matrislerinin determinantlarına
bakarsak,
Aı =
[4
-12'
L3 -9 .
-1 2
A2 - [_ ,
9
8
6
2x
det At =0
V
1
8x 2x 7
-*
• detA2 =0
81 =>detA,
[3 6^
hepsinin sıfır olduğunu görürüz.
a 3 = [4
4X 1X 0
2 > < a ><-1
A = 2-2-0 + 8-1(-1) + 4 a - 7 - 4 - 2 - ( - 1 ) - 2 - 1 - 7 - 8 a - 0
A = 0 - 8 + 28a+ 8 - 1 4 - 0 = 0
[4]=>det[4] = 4
28a =14
[—12] => det[—12] = —12 v.b. olduğundan A matrisinin
rankı 1 dir.
CEVAPA
1
a = — olur.
2
CEVAP E
654
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
16.
19. A matrisi 3. mertebeden olduğu için determinantı sıfırdan
farklı olursa rankı 3 olur. Determinantı sıfır olursa, İkinci
mertebeden alt matrislerden en az birinin determinantının
sıfırdan farklı olduğu da hemen göze çarptığından rankı
2 olur.
1 a b+ c
1 a a + b+c
1 b c + a ~ 1 b a + b+ c
1 c a+b
1 c a + b+c
1 a 1
(a + b + c)- 1 b 1 = (a + b + c) 0 = 0 olur.
1
G
1
|A| =
2
a
2
İkinci sütunu, üçüncü sütuna ekleyip a + b + c yİ dışarı
alırsak, determinantın birinci ve üçüncü sütunları aynı
olacağıhdah değeri sıfır olur.
4
1 x ° x “1
2
^
5
4
0
-1
CEVAP C
|A| = 0 + 8 - 3a- 0 + 4 -1 5 = 0
17.
1-x
1
3a + 3 = 0
0
3a = -3
"
,
- ,21x °x x4 ;
X . x n
' V
2
0
\ °
x .
a = -1 olur.
x
X
+
CEVAP D
*
A=(1-x)0-4+2-X-0+(-1)4x-(-1)-0-Q-(1-x)-x-x-2-1-4
A = 0 + 0 - x + 0 - x2 + x 3 - 8
A = /Xar- x 2- x - 8 = /xar-7 x
X2
-6 x + 8 = 0
x1=2,x2 =4
Ç = {2,4} olur.
CEVAP D
18.
20. X.), x2, x3 lerin katsayılarından oluşan katsayılar
determinantının değeri sıfıra eşitse denklem sisteminin
bir tek çözümü Vardır. Buna göre,
A matrisi 3. mertebeden bir matris olduğundan rankınin
3 olması için determinantı sıfırdan farklı olmalıdır.
5
0
|A| = m
-1 V
x
0
m
A=
2x
£
s8
4X
-2
-3
l
4
..-1
-2
m
-1
-2
A = 16m + y i + 2 0 - 1 6 - y i - 20m = 0
|A !=0 + 3m + 2 + 3 - 0 - 2 m * 0
4m = 4
m+ 5 *0
m = 1 olur.
m * - 5 olur.
CEVAP B
CEVAP A
655
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
ÇÖZÜMLÜ TEST - 4
Karma uygulamalar: 1
■1 3
5
3 ö
7
1 3 a -9
1.
a b'
matrisinih tersinin olmaması için a kaç olmalıdır?
matrisi için detA = 1
c a
A) 15
A
B) 14
C) 11
D) 6
E) 5
A =I
olduğuna göre, a2 kaçtır?
A) -1
C)
B)
D) 1
E) 2
5.
A=
2.
3x2 + 12x + 2 = 0
A )- 3
a+3
b+ 3
b
6
4
matrisinin tersi varsa a aşağıdakilerden hangisi
olamaz?
denkleminin kökleri a ve b olduğuna göre,
2a
3 a -1
B) - 2
C )0
D) 1
E) 3
D) 1
E) 2
determinantının değeri kaçtır?
A) 4
11
B )-ğ -
C )2
D)
E) 3
6.
2005
3.
x
In3
log3e 4x
B)4
10
8
1999
2001
2003
15
determinantının değeri kaçtır?
olduğuna göre, x in pozitif değeri kaçtır?
A) 5
2006 2007
12
C) 3
D) 2
A )- 2
E) 1
656
B )-1
C )0
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
7.
matrisi veriliyor.
11.
X
1
-3 iti
1 -3
|A| = 12 olduğuna göre, |~4A| riih değeri kaçtır?
A) -96
i ) -48
C)144
D) 180
S) 192
determinantı m nin hangi değeri için daima
ö (sifır)dan farklı ölür?
A) “ 4
l)-3
C)0
D) 2
E) 3
2X^ + 5 x2 -><3 = 1
-2X1-m x 2 + X3 =0
12» I2= - i olmak üzere
denklem Sisteminin çözümü olmadığına göre*
m kaçtir?
A )- 3
O I
A
B )-2
OO
D)1
İ
İ)
Ö
öldüğüne göre, A2009 aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
A) I
2X1- x 2 +3 x3 =14
B)A
O A2
D) A3
E) A4
13.
x, + x2 - x 3 = -3
P(X);
mx1+2x2 3x3 =8
X 1 1
1 X 1
1 1 x
polınomunun x + 3 ile bölümünden kalan kaçtır?
denklem sisteminin tek çözümü olduğuna göre,
m aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 3
10.
B) 2
C) 1
D)
A )- 1 6
B) —11
05
D) 8
E) 14
E)
14.
x - y - 2 z =0
1 a 3
2y + z = O
2 3 4
-1 0
4x + 2 y - m z = 0
5
denklem sisteminin sonsuz çözümlü olması için
m kaç olmalıdır?
matrisinde a31 elemanının eşçarpanı (kofaktörü) 7
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 6
A) 2
B) 5
04
D )- 2
E) - 5
65 7
B) 3
04
D) 5
E) 6
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
15. AT, A matrisinin transpozesi (devriği) dir.
1 olmak üzere,
3 -b "
u
A=
b -1 .
'2 -3 i
-2 '
1+ i
1-i_
matrisi veriliyor.
matrisi için AT = A olduğuna göre, b kaçtır?
A )- 2
B) - 1
C)1
D) 2
(a11+a12) ~ a21‘a22
E) 3
ifadesinin değeri kaçtır?
A )- 1 2
B ) - 11
C ) -1 0
D) 9
E)
16.
2 1
olmak üzere,
1 1
X = A2 - A
olduğuna göre, detX kaçtır?
A) 2
B) 1
C) 0
D) - 1
E) - 3
3 -2
20.
17.
olduğuna göre, M-81 matrisi aşağıdakilerden
hangisidir?
4 a
b c
matrisinin tersi kendisine eşit olduğuna göre,
A)
a b-c kaçtır?
A) 60
4 -3
B) 66
C) 68
D) 70
\2
'-3
2
-4
3.
3 -2 '
-1'
C)
3.
E) 72
D)
E)
[i a
-1
A -3
3
2 4
18.
A=
2 -5
-1 3
olduğuna göre,
A ■X ;
CEVAP ANAHTARI
eşitliğini sağlayan X matrisi aşağıdakilerden
hangisidir?
'-1 '
A)
2
B)
-2.
D)
C)
4.
E)
'14
5
1 .C
2. B
3. D
4. B
5. E
7. E
8. E
9. D
10. B
'3
5'
6. C
.1
2.
11. E
12. B
13. A
14. C
15. B
16. E
17. A
18. D
19. B
20. C
25]
9
658
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
T E S T -
1.
A=
a b"
c d
ise A2 =
a2 +bc
1.
J
3.
ab + bdl
In3
:X
I log3e 4x
ac + cd bc + d2 J
=
n
4 Ç Ö Z Ü M L E R İ
a2 +bc
ab + bd
ac + cd bc + d2
I
J 1 °l
|_o l j
a ~ a - bc b -a b -b d
'1 0'
c -a c -c d
-0 1.
d -b c -d 2
4x
15
ln3log3e = 15
i
4x =16
x2 = 4=> x, = -2, x2 = 2
CEVAP D
a - a 2 -b c = d - b c - d 2 =1
a - a2 -
= d - )n6 - d2
a - d = a2 - d2
( a - d ) = (a -d )(a + d )
(a -d )(a + d -1 ) = 0
4.
a -d = 0
Bir kare matrisin tersinin olmaması için determinantı sıfır
olmalıdır. Yani
+ a + d= 1
A-
2a = 1=> a = 4 - olur.
2
s
Ig
CEVAP C
x
S,
2,
S
3
3X
5
7
a-9
5
£
=0
7
^
+
A = 0 + 45 + . 2 l ' - 0 - /2 < -9 a + 8 1 -0
2.
3x2 +12x + 2 = 0
9a = 126
a = 14 olur.
a+ b = -4, ab =
2a
a+ 3
b+ 3
b
CEVAP B
= 2ab - [ab + 3 (a + b) + 9]
= a b -3 (a -b) -9
= J _ _ 3 .(-4 )-9
5.
=-
3
|A|>-
= — +3
3
11
A matrisinin tersi varsa det A * 0 olmalıdır.
+ 1 2 -9
3 a -1
6
4
= 12-6 a + 6 * 0
6a Ti 18
olur.
a *3
CEVAP B
CEVAP E
659
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
6.
2005
2006
2007
12
10
8
1999
2001
2003
~2-
9.
2005
6
2006 2007
5
4
1999
2001
2005
Verilen denklem sisteminin çözümü varsa x1( x2, x3 ün
katsayılarından oluşan katsayılar determinantının değeri
sıfırdan farklı olmalıdır.
2„
ı x
mx
2x
2003
2006
-1
1
2
-1
1
2007
X
X
X
X
3
-1
-3
3
-1
6
5
4
1999 + 6 2001 + 5 2003 + 4
A=
2005 2006 2007
6
5
4
+ ^ + m - 3m + 4 - 3 * 0
= 2-0 = 0 olur.
2m *1
2005 2006 2007
m
(Herhangi iki satır veya sütunu aynı olan determinantın
değeri sıfırdır.)
2
olmalıdır.
CEVAP C
CEVAP D
10. Katsayılar determinantı sıfır olmalıdır.
UYARI :
A matrisi nxn tipinde bir kare matris ise
det(k-A) = kn -detA dır.
=0
4
X-
o > < -m
1
2
Buna göre, A ^ olmak üzere,
0
|A| =12 ise
2
1
I —4A | = (—4)2 •12
A = -2m + 0 - 4 + 1 6 - 2 - 0 = 0 => -2m + 10 = 0
| —4A | = 16-12
m = 5 olur.
|-4 A | = 192 olur.
CEVAP B
CEVAP E
8.
Verilen denklem sisteminin çözümü yoksa xv x2, x3 ün
katsayılarından oluşan katsayılar determinantının değeri
sıfır olmalıdır.
5
2X
-8
X
-2
-m
0X
5
X
4
-8
X
X
X
X
-1
2
11.
\
1 X
XX - „ >X
^ +
=0
1
-1 ^ +
2
A = mx + 1 8 -1 - 2 m - 3 x + 3?i0
A = (m - 3) x - 2m + 20 * 0
A = ->6 ” + 4m - 20 +
m -3 = 0
+ 4m - 20 = 0
m = 3 için
8m = 40
A * 0 olur.
m = 5 olur.
CEVAP E
CEVAP E
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
1*t.
-1
ro n
oj
A=
{i
1°
JLi
a31 = -1 in kofaktörü :
0 + i2 o + o ‘
o j*
0+0
1 0
0 1
' 1 a 3 ‘
2 3 4 matrisinde
_-1 0 5
a 3
i2 + 0
(-1)3
3 4
= 1-
a 3
=7
3 4
= -1 -I
-9 =7
4a = 16
A2009 = ( A2)1°04.A
a = 4 olur.
CEVAP C
■(-e
■t r - ’1 ° l . A
o ıj
= A olur.
CEVAP B
1
15-
S
s
s
a
4 İfa
3 -b
ra
3 -b '
b —1 1—14 b -1
4 = 3 —b=>b = —1 olur.
ıS
CEVAP B
13. x + 3 = 0 = *x = -3
kalan:P(-3) tür.
16.
P(-3)=
-n
1x " 3 x
1
r
1
-3
3 > < 1 >< 1
A =
'2 11J 2
.1 l j ' [ l
1'
1.
'2 + 1 2 + 1] _ '3 31
2 + 1 1+ 1j
3 2J
1 2
2 1
P (-3 ) = -2 7 + 1+ 1+ 3 + 3 + 3
P (-3) = -2 7 + 11
detX
= 1 -4 = _3 olur.
P (-3) = -1 6 olur.
CEVAPA
CEVAP E
661
V
c
4 c -a b
-1
.
1
4 c -a b
c -a ]
1
er
17.
’4 a'
1_
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
b c.
19. j2=-ı
' 2 - 3i - 2 I
1 +i
—A
-a
4 c -a b
= 4,
4c - ab = -1
c = -4,
1-iJ
matrisinde
(a^ + a12)2 - a 2ı a22
= (2 - 3i - 2)2 - (1 + i)(1 - i)
4 -(-4 )-a b = -1
“ (-3İ)2 - ( 1 - i 2)
. -1 6 + 1 = ab
= 9i2 - 1 + i2
ab - - 1 5
= 10i2 -1
abc = (-1 5 )-(-4 ) = 60 olur.
= -1 0 -1
CEVAPA
= -11 olur.
CEVAP B
18.
A2 =
A2 =
2 -5
.-1
2 -5
-1
3.
9 -25
-5
-10-15"
-2 -3
5+9
20.
-M " r3
.
2
M2
-
. - 5 + 18.
CEVAP D
-4 3
=M
-3 .
3 -2'
4 -3
3 -2
3 -2
4 -3
4 -3
'1
0'
0
1.
40
(m 2)4° - M =
M81= M “81 =
'3
8
HE
-6 + 61
12 -8 +9J
-2 1
co'
l
o lu r .
-3 2
3 -2
M-81 =
'-14 + 50'
detM = -1
4 -3
4
(A2) 1=pg ^gj olduğundan,
-1'
3 -2
M-1 =
ise X:
'14 25'
_ 5 9.
M=
M-1 = -1
=>detA =1
14
A •X=
3
4+5
1 0
3 -2
0 1
4 -3.
3 -2'
4
-3
oiur.
CEVAP C
662
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
ÇOZUSVÜLU TEST - 5
4.
Karma uygulamalar: 2
'2 -3 '
3
B=
'4'
6.
matrisleri Veriliyor,
1.
‘a + 1
1 1 [m İ
1
[m-
A C=B+G
3 —aJLrî J = Ln.
olduğuna göre, a kaçtır?
A) - 3
B )-2
olduğuna göre, C matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
C )-1
D) 0
E)1
A)
2.
,
4.
A=
■1
01
1
B+ C =
2
0'
3 -1 2
.2 - i j
' 5 '
2
_J_
. 2.
B)
'5'
2
J_
.2.
C)
.
‘ 1
2
D) 5
.2.
5’
2
1
2.
'
1
2
E)
.5
. 2 .
olmak üzere,
A ■B + A •O —[a |jJ,
S
olduğuna göre, a12 kaçtır?
A) - 1
B) 0
D) 2
C) 1
E) 3
!
I
3
5'
a
2 a+1
1
-1
x
2
eşitliğinde a nın hangi değeri için bir x değeri vardır?
A) - 3
3.
B )-2
C )-1
D) 1
E )2
m2x2 matrisi için
3M =
1 0
' 3 31
2 3
-1 oj
olduğuna göre, M~1 m atrisi aşağıdakilerden
hangisidir?
6.
A=
'-1
2 -1*
A)
-1
1.
B)
2
'1 1'
C)
. 1 -1,
.1 2
r- 1
11
L 2 -1.
E)
2
1
1
1
için An =
1 48
0
1
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 6
D)
1 2'
0 1
663
B) 8
C) 12
D) 16
E) 24
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
7.
11.
■-1 2
'1
6
. 3
a
b + 1'
c -1
d
-3 '
0.
A = [ a i|]( m-1)x3
B = [ b lk J(n+1)xp
olduğuna göre, a + b + c + d toplamı kaçtır?
A) 23
B) 20
C) 18
D) 17
C " [ c lk ] 4x5
E) 15
matrisleri için A B = C olduğuna göre,
m + n + p toplamı kaçtır?
A) 8
1
0'
2 -1
12.
olduğuna göre A matrisinin eşiti aşağıdakilerden
hangisidir?
M=
B) 9
3 5
1 2
G) 10
D ) 11
E) 12
olmak üzere,
M-1 + MT = N
A) 21
C)
B)
'1
D) 2
olduğuna göre, N matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
n
A)
'0 11
E) 0 ı j
0"
0 1.
li
g
RJ
S
il
B> i
L-ı
-5'
-3.
D)
I
E)
ra
i
9.
'1
2
31
2
.0
1
4J •
1 -2
X
4'
13.
3
determinantının değeri a b x olduğuna göre,
aşağıdakilerden hangisi x in bir çarpanıdır?
detM = 19 olduğuna göre, x kaçtır?
A )- 3
B) —2
C ) -1
D) 0
E) 2
B) b
A)
10.
C) b - a
D)
E) a + b2
14.
A=
2 4
•1 2
B
a a a
a b b = x (b -c )
a b c
ea
matrisleri veriliyor.
olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A -B + 3 = C
eşitliğinde C matrisinin elemanları toplamı kaçtır?
A) 37
B) 30
C) 27
D) 23
A) a ( c - a )
E) 16
B) a ( c - a )
D) a ( b - a )
664
C) a -(a -b )
E) (b a)(c + a)
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
18.
olmak üzere,
0 b
'a
t
olması için b aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?
B )- 1
'6 2'
.b -1 .
A2k+1 = A (ksN)
A )- 2
2
C )0
D) 2
a
E) 3
olduğuna göre,
co
a 1
15. A
b
3 -4
determinantının değeri kaçtır?
A )-1 1
B ) - 10
C) —9
D) 6
i ) 11
D) 2
E) 4
16. Terimleri 2 x 2 tipinde matrisler olan bir aritmetik
dizide,
A1 =
' 3 -1'
-8
2
r -4 - 1 '
' A8 = | r.
8 L 6 -5.
olduğuna göre, As aşağıdakilerden hangisidir?
A)
-3 6
rc 1
141
12 4.
B ) [«
-1 2
D)
17. A
a b'
c d
8
.
-6
'-1
-1 '
0 -2.
C)
0
r 4
61
16
E ) [ '1 8
14j
S 19.
2009
2007
I
2008
+ 3x =10
2006
olduğuna göre, x kaçtır?
A )- 4
B) t* 3
C )-2
olmak üzere,
20.
detA = m olduğuna göre,
A=
3a b - 4a
a b
b a
matrisinin elemanları pozitif tamsayılardır.
3c d - 4c
determinantının m cinsinden değeri aşağıdakilerden
hangisidir?
A2 matrisinin tüm elemanlarının toplamı 18
olduğuna göre, a+b toplamı kaçtır?
A )-2 m
A) 1
B )-m
C)2m
D) 3m
E)4m
665
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
21.
24.
x
y 1
A=
1 3 2
'1
0'
B=
0 -1
cosa -sina
sina
cosa.
,-2 0 4
olduğuna göre, det(BAB“ 1) jn değeri kaçtır?
doğrusunun eğimi kaçtır?
A )-4
A)
B)
C) 1
D)
B) - 3
Ç) —2
D) - 1
E) 1
E) 2
25.
3x + y + 8z = 3
22, Bir ABC üçgçninjn köşelerinin koordinatları,
2 x ^ y + §? = 0
A(1,-4), i(ö.m), C H .3 )
x + 2y + a- z = 2
alanı 26 cm2 olduğuna göre, m aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
A) 3
i) 4
0 )6
denklem sisteminin çözümü olmadığına göre,
a kaçtır?
E) 7
A) 7
B) 6
C) 5
0 )4
E) 3
23.
CEVAP ANAHTARI
1 1
2 1
olduğuna göre, x en çok kaçtır?
A) 0
i) 2
Q )§
0 )8
E)9
666
1- i
2 ,P
3, A
4, A
6, e
i. i
7, P
İ. i
0, E
10, A
11, E
12. Q
13, Q
14, S
15, i
16. Q
17, P
1§, A
19, E
20 , e
21, P
22, B
26. B
24. D
25, E
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
TEST - 5 ÇÖZÜMLERİ
1.
m
m
n
n
am +m +n
_ m
a+1 1
1
3-
m +3 n - a n j
C=
olsun.
A C -B + C olduğundan
[_n .
am + m + n = m=>am + n = 0
m + 3n - an = n => m + (2 - a)n = 0 da
2 x -3 y 1 _ [4 + x'
3x + 4yJ
n = -am yazarsak
[_6 + y_
2 x -3 y = 4 + x=>
m + (2 -a )(-a m ) = 0
x -3 y = 4
3x + 4y = 6 + y= *+ 3x + 3y = 6
m + (a2 -2a )m = 0
4x = 10=> x =
(a2 - 2 a + l)m = 0
(a - 1)2 m = 0
y=—
a -1 = 0= >a = 1 olur.
5_
CEVAP E
2.
C =
2
J_
2
olur.
A-B + A -C = [ajj]2
CEVAPA
A(B + C) = [ai|]2)
0
ol
-1 .
3
CM
‘1
.2
‘1+ 0
-1 2
.2 - 3
2 + 0 0+01
4 + 1 0 - 2J
1 2 0"
-1 5 -2_ 2x3
î12 = 2 olur.
CEVAP D
3
a '
2 a+ 1
3-
3M =
3M =
Ha a
[3 + 0
Lö- 3
3+0
6+0
2 + (a + 1)x
]-[■a
2 + ax + x = 2
1 2.
ax + x = 0
-4 + x = 0
detM = 2 -1 = 1
1 2
■ra
3 + ax = -1 => ax = -4
1 1
1 11
EHî
3 + ax
x=4
M"1 =
2 -1'
-1
olur.
a-4 = -4
1
a = -1 olur.
CEVAP C
CEVAPA
667
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
6.
9.
M=
-c ;
A =
A =
AH =
z a-c
i z :h: a
'i
'2
4
1 -2
1 2
0 1
x
3
'2 + 2 + 3x 4 - 4 + 9 ‘
M=
0 + 1 + 4 x 0 - 2 + 12.
’4 + 3x
91
_1+ 4x
detM = 19
1oJ
M=
'1 2i n 6i _n sı
_oıJ'[o 1 J“Lo ıj
40 + 30x - 9 - 36x = 19
- 6 x = -12
2. kuvvette 2. terim 2 -2 = 4
x = 2 olur
3. kuvvette 2. terim 2-3 = 6
CEVAP E
4. kuvvette 2. terim 2 -4 = 8 olduğundan
10.
x y
z
n. kuvvette 2. terim 2 •n = 48
t
olsun.
n = 24 olur.
2 4
-1 2
CEVAP E
'13 12'
3
9
7.
f]-Ctli-- “:1
t
4 8
]*G
[x
y
U
t
X
0+12
-1 + 4 0 + 6
x y
z t
0
1
ı>r
2+8
1 ° ı+3n
2 3_|
|0
Z
t.
x + y + z + t = 13 + 12 + 3 + 9 = 37 olur.
CEVAPA
b+ 1
12
4
'-5
11'
a
b + 1'
d
7
4
c -1
d
fi
11*
A • B =C
h
I(m-1)x3 [ bJk lm+1)xp = t C|k l»x5
a = -5, 11 = b + 1=>b = 10
C matrisi 1. den satır, 2. den sütun alacağından,
7 = c -1 = > c = 8, d = 4
m -1 = 4=>m = 5
P=5
a + b + c + d = - 5 + 10 + 8 + 4 = 17 olur.
diğer yandan A nın sütun sayısı B nin satır sayısına
eşit olacağından
3 = n + 1=> n = 2
CEVAP D
m + n + p = 5 + 5 + 2 = 12 olur.
CEVAP E
8.
A
1
0
1
2 -1
=
A"
0
1 ü
2 -1
0 1
'1
0'
0
1.
12.
olduğundan
» .[;
;]» » '
i]
1004
°1 = I olur.
o 1J
’1
~ t î 1]
4-î 1]*E3-C1]
olur.
CEVAP B
668
CEVAP C
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
13.
16. Aritmetik dizinin genel terimi
a a a
a b b
a c c
x (b -c )
an = a1 + (n-1 )r olduğundan
a8 = a1+7r
I. satırı •1 ileçarpıp 2. ve 3. satırlardan çıkaralım,
a
b
A8 = A, + 7r
abx
3
- 1i
-8
2j
r-4 - r
1
L 6 -5 ,
ab° - a • b = a •b •x
7r =
,atf(b2 - a 2) = ^ 6 ^ -x
x = ( b - a ) ( b + a ) olur.
-7
0'
14 -7
7r = 7
CEVAP C
-1 0
2 -1
0‘
-1
14. 1. satırı - 1 ile çarpıp 2. ve 3. satırlardan çıkaralım.
a
a
0 b -a
0 b -a
a
b -a
c -a
A5 = A ,+ 4 r
a5 -
= x -(b -c )
' 3
-1 ‘
-8
2
3
-1'
•ı 4—
-1
0'
2
T.
1
01
.1|b - a b ■
(-1)1
= x (b -c )
|b a c - î
Aç
a - j^(b —a)(c - a) - (b - a)2J = x •(b - c)
a • (bc - ac - ab
- b2 + 2ab -
olur.
-
CEVAP C
= x •(b - c)
a •(ab + bc - ac - b2) = x ■(b - c)
a [a ( b - c ) -b (b -c ) ] = x ( b - c )
a(b
c )(a -b ) = x -(b -c )
x = a (a - b)
CEVAP C
17.
15.
(A2) •A = A olduğundan A2 birim matris olmalıdır.
a 1
0 b
a c
b d
^>detA = m
3a b -4 a
3c d -4 c
A2k+1 = A
A =
A=
or
a+b
=3
1 0"
0
a
=3
a = 1=> a = 1
3
b = 1=> b = -1
a + b = 0 olduğundan a ile b ters işaretli seçilmelidir.
=3
a b -4 a
c d -4 c
a b
a -4a
c d
c -4c
a b
a a
c d
c c
o-
la b I
, =3m olur,
c d■
CEVAP D
CEVAP B
669
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
18.
2‘ 2
'a
21.
'6 2'
b -1
=4
1 3
-2 *
6 2'
a +2b 2a- 2
a b -b
2b + 1
-
.1 3.
^
1
0 -
4
y *
1
—
2 ^ +
3
2 a - 2 = 2=>a = 2
2b + 1 = 3 = ^ b -1
1 2 x 0 -4 y +6 -0 -4 y = 4
2 1
- - 8 - 3 = -11 olur.
3 -4
1 2 x -8 y + 2 = 0
6 x -4 y + 1= 0
CEVAP A
3 x+—
1 =o
y=—
0
2
4
m=
2
- olur.
CEVAP D
2009
2007
22. Köşelerinin koordinatları A(x1y1), B(x2, y2), C(x3, y3) olan
ABC üçgeninin alanı:
2008
+ 3x = 10
2006
X1
A(ABC)— - x2
2006 = a dersek,
2009
2007
2008
2006
a+3 a+2
a+1
Yi 1
y2 1 = — A dır.
2
x3 y3 1
a
Buna göre, A(1 ,-4), B(5,m), C(-2,3) ise ABC üçgeninin
alanı,
= a2 + 3a - a2 - 3a - 2
= -2
-4
-2 + 3x = 10=>x = 4 olur.
A =
CEVAP E
2 - 3 5
20.
m
A = m + 15 + 8 + 2 m -3 + 20
Ta. b ir a
[b
b'
a j |_b a.
a +b
_2ab
2ab
A = 3m + 40
a2 + b2
S = — A = 26
2
î 2 +b2 +2ab + 2ab + a2 +b2 =18
2(a2 +2ab + b2) = 18
S = — |3m + 401 = 26
2 1
1
a2 + 2ab + b2 =9
3m + 40 = 52
(a + b)2 = 9
3m = 12
a + b = 3 olur.
m = 4 olur.
CEVAP C
CEVAP B
670
MATRİS DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ
25. Bu denklem sisteminin çözümü yoksa x, y, z nin
katsayılarından oluşan katsayılar determinantının değeri
sıfır olmalıdır.
x2 + 2 + 4x - 4 - 2x2 - x = 0
-X 2 + 3 x -2 = 0
x2 - 3x + 2 = 0
—3a + 32 + 5 + 8 —30 • 2a —0
x, = 1, x2 = 2
- 5 a + 15 = 0
5a =15
CEVAP B
a = 3 olur.
CEVAP E
24.
A=
1
0"]
0 -1
fcosa
-sin a ]
Lsina
cosa J
B-A
1 0
cosa -sın a
sina cosa _ 0 -1
B •A =
cosa + 0 0 + sina
sjna + 0 0 -c o s a
B:A
cosa sjna
sina
cosa
p -1 = rCQ3a
[-s in a
sina
cosa.
dot(B •A •B"1) = cjet(BA) • detB"1
det(B • A •ET1) = (-cos2 a - sin2 a)(cos2 a + sjn2 a)
= -(cos2 a + şjn2a)(cos2 a + sin2 a)
= -1-1
= —1 olur.
CEVAP D
671
www.sanaldogru.com
ACIPAYAM
DERSHANESİ
“B
iz im C e
k a z a n a c a k s ın ız
”
w w w .s a n a ld o g ru .c o m
C
j j VflT€A/lflTjy
ö s s
Trigonometri
< Ö T F - 1 2.
1.
20000" nin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 5° 13'2 0 ”
B ) 5 ° 3 '2 ”
D) 4° 5 3 '1 2 "
E) 20° 3' 5"
6.
C) 5° 3 3 '2 0 "
A) 30°
7.
10° 10' 10" kaç saniyedir?
A ) 36070
B )36160
D) 37600
E) 42100
C )36610
8.
3.
1830° nin esas ölçüsü aşağıdakilerden hangisidir?
D) 80°
E) 90°
-1915° nin esas ölçüsü kaç derecedir?
A) 115°
B)
D) 245°
E) 270°
225°
C) 240°
I
47 ji
—q - radyanın esas ölçüsü kaç radyandır?
4 ji
A) f
B) 70°
C) 80°
D) 90°
B)
x = 15° 2 9 '3 8 "
9.
E)
C) n
( x - y) açısı aşağıdakilerden hangisidir?
B) 10° 39' 13"
D) 11° 2 0 '1 3 "
E) 11° 3 9 '4 7"
2009 - ÖSS /ÖTF-12
3jt
C)
5 ji
D)
3 ji
E) T
ün esas ölçüsü kaç radyandır?
3jı
ve y = 4° 4 9 '5 1 " olduğuna göre,
A) 10° 20' 47”
B)
E) 100°
100 grad kaç radyandır?
A) f
5.
C) 60°
-ğ- radyan kaç derecedir?
A) 60°
4.
B) 45°
A) f
10.
5sin^
B)
2n
C) n
D> f
E)
3 ifadesinin alabileceği en büvûk ve
en küçük değerlerin toplamı kaçtır?
C) 10° 39' 47"
A) - f
B)
C) -1
D) 0
E)
5 ji
www.sanaldogru.com
Ödev Takip Fasikülü-12
11.
ÖSS
sin2x - 4sinx ifadesinin alabileceği kaç farklı tam
sayı değeri vardır?
A)
3
B)
6
C) 7
D)
8
Trigonometri
16.
x
e ( o , için,
4 cos2x - sin2x = 3 olduğuna göre, tanx kaçtır?
E) 9
A ,î î
12.
2sin(4x - 1 ) + 5cos(2y + 3) ifadesinin alabileceği kaç
farklı tamsayı değeri vardır?
A) 7
B) 14
C) 15
D) 1!
E) 21
17.
sinx + cosx = ^ olduğuna göre, sinx . cosx kaçtır?
A) _ ±
13.
B|î
3|seca| + 4|cosecp| ifadesinin alabileceği en kûçûk
değer kaçtır?
18.
B)
sinx + cosx;
C)
1
V3
E)
D)
olduğuna göre,
sin®x + cos®x ifadesinin değeri kaçtır?
A) O
B) 3
C) 4
D) 5
E) 7
A)
14‘
4
B) 1
sin x
1
2İ în x~+ 3cosx = 4 ° 'duğuna 9Öre’ tanX ka5tlr?
-tanx
1
E)
c> !
cos* ): (2 sinxcosx)
+ c o tx /
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C) sinx . cosx
a = sin390°, b = cot470°, c = cos220°, d = tan(-210)°
ifadelerinin işaretleri sırayla aşağıdakilerden han
gisinde doğru olarak verilmiştir?
A) +, +, —,
B) +, —, +, —
D) +, - , - , -
E) +, - , +, +
C) +, —, —,+
2 0 0 9 - Ö S S /Ö T F - 1 2
i
www.sanaldogru.com
Ödev Takip Fasikülü-12
ÖSS
Trigonometri
25.
tan J(170°). sin (et)
0 olduğuna göre, a açısı aşağı-
cot (P).cos(305°)
üçgeninde
|AB| = 5 br ve
dakilerden hangisi olabilir?
A) 170°
B) 180°
C) 205
Şekildeki ABC
D) 245°
E) 315°
tana = ^ ise
|AC| uzunluğu kaç
br dir?
A) 5V2
22.
xe
(!•*)
A)
ve sinx =
B) - f r
V7
B) 10
C) 5 İ5
D) 12
E) 15
olduğuna göre, tanx kaçtır?
C) 2^2
D)
İ7
26.
I
Şekildeki ABC
üçgeninde
T
|AB| = |BC| dir.
A
sin (ÂCB) = f- ve
O
|AB| = 10 br ise
|AC| kaç birimdir?
23.
xe
Jt,
3ji
A) 18
B) 16
C) 14
D) 12
5 _ 12
olduğuna göre, sinx + cosx kaçtır?
sinx cosx
A)
17
13
D) -
i
b> t
E)
13
17
'13
27.
Şekildeki ABC
üçgeninde
|AB| = |AC| =
8
br ve
cosÂ = § ise
O
24.
x6
v,
için,
|BC| kaç br dir?
3cosx + 2sinx = 0 olduğuna göre, sinx . cosx kaçtır?
A)
E) 10
için,
"VTİ3
D> &
2 0 0 9 - Ö S S / Ö T F -1 2
B)
E)
_6_
"13
13
C)
13
A) 3V5
B) 4V5
D) 6V5
E) 7V5
C) 5V5
w w w .s a n a ld o g ru .c o m
Trigonomotrl
ÖSS
Ödev Takip Fasikülü-12
28.
31.
Şekildeki ABC
üçgeninde
|BC| =
6
br ve
cotB + cotC = 2 ise
Şekilde |AC| = |DC| ve |BC| = 3|DC| dir.
Buna göre,
A )-f
tan(DÂB)
A(ABC) kaç
birimkaredir?
kaçtır?
tan(ADB)
3
b j- 2
A )3
C)
D* - |
B)
6
C) 8
D) 9
E) -2
32.
Şekildeki ABCD
s
dikdörtgeninde
29.
E) 12
a
tan a = g ise
F
^1
Şekildeki ABC
E
[DE]
oranı kaçtır?
İECİ
ikizkenar üçgeninde
A ve B açıları dar
açılardır.
A) I
|AB| = |BC| = 1 ise
B )f
4
9
D> !
E> î
D) 2
E) 3
ABC üçgeninin
alanının ötüründen
eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
D)
s ın a
B)
2
tana
E)
cos a
2
C)
sın a. COSa
c o ta
33.
Yandaki şekil 9 eş
kareden oluştuğuna
göre, tana kaçtır?
A)
30.
B)
C) |
Şekildeki d, doğrusu
birim çembere A nok
tasında teğettir.
m (DOC) = a ise
|AB| uzunluğunun a
34.
türünden eşiti aşağıdakiierden hangisidir?
A) V 2sin a
D)
Vsin2a +1
B) VT^2 cos2a
E) V 2 s in a .c o s a
O < 2 x < — için,
tan 2 x =
H
olduğuna göre, cotx kaçtır?
C) V 2 - 2 s in a
A)
49
B>£
D) Ş
E) 7
G
2009 - ÖSS / ÖTF-12
w w w .s a n a ld o g ru .c o m
ÖSS
Trigonometri
35.
cos420°. sin(-120°). tan765° ifadesinin değeri kaç
tır?
A)
V3
B)
4
Ödev Takip Fasikülü-12
sin |f
3n)
l.ta n (x -5 jt)
2 )
39.
co s (x -n ).c o tl
O) - i
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
D) “ 7
36
E)
-VI
A) -1
B) -tanx
D) 1
E)
tanx
cotx
sin(- 690) + tan (225)
cot(1 50)-co s(-1 5 0 ) i§leminin sonucu kaçt.r?
40.
A )f
D)
-VI
B) VI
E) -
C)
VI
x ve y pozitif açılardır.
x + y = f ve tan(2x + 3y) = ~ ^ ise cosy kaçtır?
VI
A) -j=
VI
C)7f
E)
D) vf
37.
C) cotx
sin (8 jt - x) + c°s(- 7p + x) + t a n ( l| ^ + x j - cot(-x)
41.
x + y
=
5 jt
VI
olmak üzere,
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
38.
A) sinx - cosx
B) 2cosx
D) 2tanx
E) O
sin(2x + 3y) + cos(3x + 4y) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C) cotx - tanx
A) 2sinx
B) -2siny
D) -2sinx
E) 2siny
C) O
a = sin60°
b = cos25°
c = tan50°
42.
sin20° = a ise tan 2 200° - sin2290°
d = cot2 0 °
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi
doğrudur?
A)b>c>a>d
B)d>a>c>b
C)d>c>b>a
D)a>c>b>d
E)c>d>a>b
2009 - ÖSS / ÖTF-12
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) -1
D) a2 - 1
B)
E)
1
a2+ 1
C > 4a *
w w w .s a n a ld o g ru .c o m
43.
42x = n olmak üzere:
sin 56x. tan 62x
cos77x.cotx
Trigonometri
ÖSS
Ödev Takip Fasikülü-12
47.
<x <y <
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden
I. cosy > cosx
II. sinx > siny
hangisidir?
B) -tan7x
A) -tanx
C) -1
III. cotx > coty
IV. tany > tanx
E) cot7x
D) 1
ifadelerinden kaç tanesi doğrudur?
A) O
44.
olmak üzere,
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
a = sin135°
b = sin(- 2 2 0 °)
48.
c = -sin310°
ifadelerinin doğru sıralanışı
hangisinde verilmiştir?
A) a > c > b
B) a > b > c
D) b > c > a
E) c > a > b
x = 2 - sina ve y = cosa + 1 olduğuna göre,
x ile y arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangi
sidir?
aşağıdakilerden
C) b > a > c
A) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 1
B) (x - 2) 2 + (y + 1) 2 = 1
C ) y + y2 =1
D) x + y = 4
E)
45.
(x —2) . (y —1) = —1
ABC dik üçgeninde
iAB| = 3 br,
|AC| = 5 br
49.
m (MAC) = a
m(NCA) =
(3dır.
Bir ABC üçgeninde B dar açıdır.
sin(90 - Â ) = sin(180 - B ) ise tan(2C ) kaçtır?
Buna göre,
A) -1
B) - 1
D) 1
E) tanımsız
C) O
ta n a -ta n p kaçtır?
A) ^1 2
B)
D)
E)
'
12
12
C) 1
_25
12
/ sin 13°. cos 17° + cos 13°. sin 17°\.______ 1______
V
tan23°.tan22° - 1
/ t a n 23° + tan 2 2 °
46.
f(jr + x) = sin3x ise f(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) sin3x
B) -sin(3x)
D)
E) 3cos3x
cos(-3x)
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C) cos3x
A )“İ
B )~ f
C )“^
D )^
E) ^
2009 - ÖSS / ÖTF-12
w w w .s a n a ld o g ru .c o m
Ö SS
Trigonometri
51.
Bir üçgenin iç açıları olan A, B, C açılarının tanjantları
55.
Ödev Takip Fasikülü-12
Şekildeki
sırasıyla 1, 2, 3 ile doğru orantılıdır.
ABCD karesinde
Buna göre, tanB kaçtır?
|_EÇİ _ İ_FD| _ J_
İDEİ [AFİ 3
A) -2
C)
B)
D) 2
E) 4
m(FBE) = x ise
cotx kaçtır?
A)
52.
11
B) 1
13
C)
l i
E) —
’ 13
13
Şekildeki ABCD
dikdörtgeninde
6
|BE| = 3|EC| = |AB|
56.
Yandaki şekil
birbirine eş karelerden
ve m (EÂC) = a ise
oluşmuştur.
tana kaçtır?
Buna göre,
A)
6
B)
13
C> î !
13
E)
°>Tİ
tana kaçtır?
13
A)
53.
D)
B> !
tan10° = x ise sin70° nin x türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1
+x
B)
1 +x2
1
-x
C)
1 +x2
57.
1
Şekildeki ABC
dik üçgeninde
1 —x
[AB] x [BC]
D)
1
E)
VT + x
1 —x
1
|EB| = |DC| = |BD| = 1 br
+ x2
|AE| = 2 br
olduğuna göre,
sina kaçtır?
A)
54.
Şekildeki ABCD
B)W
dikdörtgeninde
IEB | _5_
İBCT12
58.
I AE| 3
I BC | ~ 4 Ve
x, y e ^0, —) için,
cos (x + y)
1
m (DEC) = 0 ise cos8 kaçtır?
A)
27
65
B)
33
65
2009 - ÖSS / ÖTF-12
C)
13
D> î !
E)
63
65
y açısı kaç derecedir?
A) 15
B) 30
C) 45
D) 60
E) 75
w w w .s a n a ld o g ru .c o m
59.
Trigonometri
ÖSS
Ödev Takip Fasikülü-12
63.
5
3 •
Bir ABC üçgeninde sinA = j g , sinB = ğ ise
lerden hangisidir?
A)
sinC kaçtır?
B)
A) 1
60
tan 10° = a ise cot70° in a türünden eşiti aşağıdaki-
56
65
sin 40 +V3.cos40
-c o s 10
C)
51
65
D) 10
13
E) ^
1 65
D)
2
a
B)
1 +a2
E)
-a
1
1- a
C)
1 +a2
1 +a
Vl - a 2
2a
1
- a2
ifadesinin eşiti aşağıdakiler64.
den hangisidir?
sin 3 2 0 _ cos 2 0
/cos
.n o on
csin
in 2
o0
n
20°
jfacjesinin eşiti aşağıdakilerden
T
hangisidir?
A) -2
B)
- 7
D) 1
C)
E) 2
n\
C) -2tan40
F, tan 40
cot 40
u)
61‘
B) 2tan40
A) -2cot40
*-/
n
O
cos(30° + x) = 3 0lduğuna 9Öfe’ t3nX k3Çt,r?
C)
B)
65.
V3
sin 50°
cos 40°
cos 50° ifadesinin eşiti aşağıdakilerden
sin 40°
hangisidir?
D)
V3
E)
V3
A)
cos 1 0
cos 2 0
2
B) 2
E) 2cosec10
D) 0
62.
sinx + siny =
1
ve cosx + cosy = V3 olduğuna göre,
66.
tan(x - y) kaçtır?
A) -
B)
C)2sec10
C) O
D)
1
E) 2
sinx + cosx = tan30° olduğuna göre, sin2x kaçtır?
A)
1
B)
1
D>- i
E) - !
2009 - ÖSS /ÖTF-12
67.
a=
Ödev Takip Fasikülü-12
ÖSS
Trigonometri
olmak üzere,
.
68
B)
C)
1
E) 1
D) i
V3
sin 2 0 °
cos 2 0
.tan40° ifadesinin eşiti aşağıda-
kilerden hangisidir?
cosa . cos2a . cos4a ifadesinin değeri kaçtır?
16
1
71.
A) 4
B) 2sin20‘
D) -cot20°
E) -2
C) 2tan20°
- - ~ + cot2x ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) cotx
B) tanx
D) cosx
E) sinx
C) tan2x
72.
sin 2 x
A)
69.
C)f
B)
D )§
sin38° = a olduğuna göre, cos14° ün a türünden eşi
ti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2aVl - a2
B)
D)
70.
- C_°.S_1PX = 2 olduğuna göre, sin22x kaçtır?
cos 2 x
2
E)
sinx + sin 2 x
4 cos 3 x
2a
C)
Vl
- a2
1 +a2
73‘
“ 0 olduğuna göre’ ta n a k a Stlr?
A) 5
2a
B) 4
C) 3
ifadesinin en sade biçimi aşağıdaki74.
a G
için,
lerden hangisidir?
A) 2sin-~D) c o s |
2009 - ÖSS / ÖTF-12
B) 2 t a n |
C) 2 c o t’
" c o s t f '" ' = 4 oidu9 una 9 ° re’ tana kaçtır?
E)
25
ÖSS
Ödev Takip Fasikülü-12
79.
için,
X e (|,n ) V
x
Trigonometri
Şekildeki ABC
üçgeninin çevrel
1
çemberinin yarıçap
ta n ^ = -^ olduğuna göre, cos2x aşağıdakilerden
uzunluğu 4 /3 br ise
hangisi olabilir?
|BC| = x kaçtır?
B> !
C )f
E)
D)
25
A) 8 /3
B) 4 /6
C) 10/3
D) 12
E) 15
80.
76.
sin4 ~ + cos4 f
A) | f
I
B) f
ifadesinin değeri kaçtır?
o f
of
E)
Şekilde ABD dik üçgendir,
m (ABD) = m (DAC) ve
4|DC| = |AC| olduğuna göre, tan(DAC) kaçtır?
A’ f
B)
C)
Of
77.
81.
Şekildeki ABC
dik üçgeninde
m(ÂDB) = 30°,
2|AB| = |BC| = 2 br ise
Şekildeki DAC dik üçgeninde |AB| = |AC| = 4 br,
|BD| = x kaç br dir?
|AD| = 3 br ve m(BAD) = x olduğuna göre,
A) /ÎÖ
cosx kaçtır?
A> I
B)
13
25
C)
16
25
D)
24
25
3 /2
D)
E) 1
82.
C ,iŞ
B) /5
E)
i
Şekildeki ABC
üçgeninde
verilenlere göre,
78.
Bir ABC üçgeninde b = 5 /2
~ oranı
sıny
br,m(Â) =105°,
kaçtır?
m(B) = 45° olduğuna göre, c kaçbr dir?
9
A) 5 İ5
B) 4 /6
D) 5 /3
E) 5 /6
C) 5
A)
11
8
B) 4
C) 2
of
E)
8
2009 - ÖSS / ÖTF-12
83.
Ödev Takip Fasikülü-12
ÖSS
Trigonometri
87.
Şekilde verilenlere
Şekildeki ABCD
kirişler dörtgeninde
göre, cos0 kaçtır?
a açısının kosinüsO
kaçtır?
Şekildeki ABC
üçgeninin çevrel
çemberinin yarıçapı
13 br dir.
|AB| = 10 br ise
tan3a kaçtır?
88.
Şekilde d 1 // d2,
m (OAB) = y,
m (ABC) = x
[BC] ± d2 ve
2 siny
= sinx ise
cosy kaçtır?
85.
Şekildeki ABC
üçgeninde
|AB| = 5 br,
|AC| = 10 br ve
|BC| = 13 br ise
cosÂ kaçtır?
*>-g
m -g
89.
Şekildeki küpte
Y ve X noktaları
bulundukları kenarların
orta noktalarıdır.
Buna göre, cos(YBX)
kaçtır?
B)
Şekilde [AC]
A)
5
1
B)
2009 - ÖSS /ÖTF-12
2V2
15
[DC] dir. Buna göre, x kaçtır?
2 İ6
6
C)
8
D) 10
E) 12
15
90.
Trigonometri
Ö SS
Ödev Takip Fasikülü-12
94.
Şekilde ABCD
paralelkenarı
Şekilde
A(AEF) = A(FCD)
verilmiştir.
|AE| = 3 br,
Buna göre,
|EB| = 5 br ve
tana kaçtır?
|BC| = 15 br
olduğuna
göre,
|CD| = x kaç br dir?
A) 7
91.
B) 2 ff 4
C) 2VT5
D) 3 f f
E)
A) 5
B)
6
8
Bir ABC üçgeninin kenarlan a, b ve c dir.
2.(a - b - c ) . (a + b - c) = -3 a c olduğuna göre,
cosB kaçtır?
95.
1
B)
C)
D) f
Şekilde
AB x BC ve
E) —
; 16
AC X CD dir.
|AC| = 9 br
|BC| = 4 br ve
|CD| =
92.
Şekildeki ABC
6
br
olduğuna göre,
üçgeninde
A(BCD) kaç
m (ABC) = 15°,
birimkaredir?
m(ÂCB) = 105°,
A)
B
16
B)
6
C)
8
D) 12
E) 1€
|AC| = 3 br ise
|AB| = x kaç br dir?
A) 6 - 3 V 3
B) 6 - V 3
D)
E)
6
+ 2V3
6
C)
6
+ V3
+ 3/3
96‘
93.
Şekilde
İBDİ
DC |
^ n l ^ T s f â f İ§ İ0mİnİn SOnUCU k a ? t , r ?
a |27î
B,f
C)
Ş-
D)
Ş-
E)
Ş-
I AB | = {2 br
|AC| = 4 br ve
m(DAC) = 45°
olduğuna göre,
tana kaçtır?
A) 1
97.
m 1
B)
V5
sin38° = x olduğuna göre, cos264° - cos226° ifadesinin
x türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C)f
E) 2
A) -2 x
13
B) - x
C) x
D) 3x
E) 4x
2009 - ÖSS/ÖTF-12
Ö SS
Trigonometri
98.
cos 2x + cos 5x + cos 8 x
sin2x + sin 5x + sin 8 x
Ödev Takip Fasikülü-12
102.
den hangisidir?
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) tan5x
B) cot5x
C) sec5x
A)
sin 4x
cos 6 x
E)
D) cosec5x
103.
99.
A) 5
B)
E)
C)
2a
1
C)
15
B )4
C) 3
D) 2
E) 1
s in ^ a rc ta n ^ + arccos-^-j ifadesinin eşiti aşağıda-
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A)
{ 2 + {5
D)
V2 + 2 V5
C)
3ji
D) §
E)
B)
Ve
E)
V3+2V5
VTö
C)
2 V3 +V5
10
Vs + VTö
15
sin^arctan^-j ifadesinin değeri aşağıdakilerden
105. a r c t a n ^ ~ ^ + arccot 2 =
hangisidir?
B)
V2
10
2009 - ÖSS / ÖTF-12
C)
10
2a
kilerden hangisidir?
* > 1
Ü
Vl - a2
arccos ^ - 7^ - arctan (-V3)
B) T
E)
D> f
2 V1 - a2
104.
A) jt
VTo
a rc ta n ^ ^ -J j = arccot^-^— j olduğuna göre,
a türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
vr
m
B)
15
x kaçtır?
D) f
101.
V3
cos50° = a olduğuna göre, cos25°. cos65° ifadesinin
A)
100.
c o s ^ + a rc c o t^ j ifadesinin değeri aşağıdakiler-
VTo
D) i
E)
A) 7
14
B)
6
C) 5
ise x kaçtır?
D) - |
E)
106. y = sin(2 x -
1)
Trigonometri
ÖSS
Ödev Takip Fasikülü-12
110. f(x) = (sin4x).(sinx) fonksiyonunun esas periyodu
fonksiyonunun tersi aşağıdakilerden
kaçtır?
hangisidir?
1
+ arcsin x
A) 2arcsinx + 1
B)
C) arcsin - | + 1
D) arcsin
n
A) 5n
B) 4ji
C)
D) 3n
E) 2ji
arcsin ( x + 1 )
'
o
111. f : [0, it] - * R,
y = f(x) fonksiyonunun
grafiği şekildeki gibidir.
Buna göre,
f(x) fonksiyonu
aşağıdakilerden hangisi
107.
olabilir?
y = arcsin^™^j fonksiyonunun en geniş tanım
kümesinde kaç tane tamsayı vardır?
A) 5
B)
6
C) 7
D)
8
E) 9
A) y = sin2x
B) y = 2sinx
C) y = 2sinx - 1
D) y = sinx - 1
E) y = sin2x - 1
112.
y = 2 s i n ^ - 1 fonksiyonunun [0, 4jt] aralığındaki
grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
108.
f(x) = sin2 ^2x^~3 ) + 4 fonksiyonunun esas periyo
du aşağıdakilerden hangisidir?
A)
5;t
B) 2ji
C) §
D) f
E)
10
109. f(x) = 2 - sin3 (3x - 5) + 4tan 4 (2x - 4)
fonksiyonunun esas periyodu aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
a
B)§
C)
D)
5ıt
E) 2k
15
2009 - ÖSS / ÖTF-12
Ödev Takip Fasikülü-12
ÖSS
Trigonometri
117. sin(10 + x) = cos(40 + 2x) denklemini sağlayan
113. Yandaki grafik
en kOcûk pozitif x açısı kaç radyandır?
y = a + tanbx
fonksiyonuna aittir.
A)
Buna göre,
2 jt
27
B)
JI
E)
C)
27
a + b kaçtır?
A> !
B) f
C)
D)
118.
2 cosx + 2sinx = { e denklemini sağlayan en küçük
iki pozitif x açısının toplamı kaç derecedir?
A) 150
114.
2sin(5x + 30) = İ3
B) 120
C) 110
D) 90
E) 75
denkleminin [0, 2n] aralığında
kaç tane kökü vardır?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
119. 2sin2x - 3sinx . cosx + 3cos2x - 1 = 0 denkleminin
[0, 2ıt] aralığında kaç tane kökü vardır?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
115. tan(4x - 35) = tan(25 - 2x) denkleminin [0, re] aralı
ğında kaç kökü vardır?
A) 10
B) 9
C) 8
D) 7
E) 6
120. A = 3sinx + 4cosx ifadesinin en küçük değeri k,
A ifadesini en büyük yapan x açısının tanjantı m
olduğuna göre, k + m kaçtır?
116. 7 - 3sin2x - 8cosx = 0 denkleminin [0, 2n] aralığında
kaç kökü vardır?
A) 0
B) 1
2009 - ÖSS / ÖTF-12
C) 2
D) 3
E) 4
A)
D)
23
B>
Ş
C ) f
Bandrol Uygulamasına İlişkin Usul Ve Esaslar Hakkında liğin
5. Maddesinin İkinci Fıkrası Çerçevesinde Bandrol Taşıması Zorunlu Değildir.
………SON……..
Buraya Yüklediğim E-Bookları Download Ettikten 24 Saat Sonra Silmek Zorundasınız.
Aksi Taktirde Kitabin Telif Hakkı Olan Firmanın Yada Şahısların Uğrayacağı Zarardan
Hiç Bir Şekilde Sitemiz Sorumlu Tutulamaz ve Olmayacağım.
Bu Kitapların Hiçbirisi Orijinal Kitapların Yerini Tutmayacağı İçin Eğer Kitabi
Beğenirseniz
Kitapçılardan Almanızı Ya Da E-Buy Yolu İle Edinmenizi Öneririm.
Tekrarlıyorum Sitemizin Amacı Sadece Kitap Hakkında Bilgi Edinip Belli Bir Fikir
Sahibi Olmanız Ve Hoşunuza Giderse Kitabi Almanız İçindir.
Benim Bu Kitaplar Da Herhangi Bir Çıkarım Ya Da Herhangi Bir Kuruluşa Zarar
Verme Amacım
Yoktur.
Bu Yüzden E-Bookları Fikir Alma Amaçlı Olarak 24 Saat Sureli Kullanabilirsiniz.
Daha Sonrası
Sizin Sorumluluğunuza Kalmıştır.
1)Ucuz Kitap Almak İçin İlkönce Sahaflara Uğramanızı
2)Eğer Aradığınız Kitabı Bulamazsanız %30 Ucuz Satan Seyyarları Gezmenizi
3) Ayrıca Kütüphaneleri De Unutmamanızı Söyleriz Ki En Kolay Yoldur
4)Benim Param Yok Ama Kitap Okuma Aşkı Şevki İle Yanmaktayım Diyorsanız
Bizi Takip Etmenizi Tavsiye Ederiz
5)İnternet Sitemizde Değişik İstedğiniz Kitaplara Ulaşamazsanız İstek Bölümüne
Yazmanızı
Tavsiye Ederiz
Bu Kitap Bizzat Benim Tarafımdan By-Igleoo Tarafından
www.CepSitesi.Net - www.MobilMp3.Net - www.ChatCep.Com www.İzleCep.Com
Siteleri İçin Hazırlanmıştır. E-Book Ta Kimseyi Kendime Rakip Olarak Görmem
Bizzat Kendim Orjinalinden Tarayıp Ebook Haline Getirdim Lütfen Emeğe Saygı
Gösterin.
Gösterinki Ben Ve Benim Gibi İnsanlar Sizlerden Aldığı Enerji İle Daha İyi İşler
Yapabilsin. Herkese Saygılarımı Sunarım .
Sizlerde Çalışmalarımın Devamını İstiyorsanız Emeğe Saygı Duyunuz Ve Paylaşımı
Gerçek Adreslerinden Takip Ediniz.
Not Okurken Gözünüze Çarpan Yanlışlar Olursa Bize Öneriniz Varsa Yada Elinizdeki
Kitapları Paylaşmak İçin Bizimle İletişime Geçin.
Teşekkürler. Memnuniyetinizi Dostlarınıza Şikayetlerinizi YönetimeBildirin
Ne Mutlu Bilgi İçin Bilgece Yaşayanlara.
By-Igleoo www.CepSitesi.Net

Matematik 2 Çözümlü Soru Bankası Final Yayınları www.CepSitesi.Net

Related documents

Products

Support

Matematik 2 Çözümlü Soru Bankası Final Yayınları www.CepSitesi.Net

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib