tc selçuk üniversitesi fen bilimleri enstitüsü başlangıç değer

T.C.
SELÇUK ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİNİN
NÜMERİK İNTEGRASYONUNDA
ADIM GENİŞLİĞİ TESPİTİ
Gülnur ÇELİK KIZILKAN
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Konya, 2004
T.C.
SELÇUK ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİNİN
NÜMERİK İNTEGRASYONUNDA
ADIM GENİŞLİĞİ TESPİTİ
Gülnur ÇELİK KIZILKAN
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Bu tez 23/07/2004 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği / oyçokluğu ile kabul
edilmiştir.
Yrd. Doç. Dr. Kemal AYDIN
Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL
Prof. Dr. Ali SİNAN
(Danışman)
(Üye)
(Üye)
ii
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİNİN
NÜMERİK İNTEGRASYONUNDA ADIM GENİŞLİĞİ TESPİTİ
Gülnur ÇELİK KIZILKAN
Selçuk Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Yrd. Doç. Dr. Kemal AYDIN
2004, 71 sayfa
Jüri: Yrd. Doç. Dr. Kemal AYDIN
Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL
Prof. Dr. Ali SİNAN
Bu çalışmada, Cauchy probleminin nümerik integrasyonu için Picard teoremi
tabanlı değişken adım genişliği seçimi ve hata analizi tabanlı değişken adım genişliği
seçimi elde edilmiştir. Bu seçimlere bağlı olarak adım genişliği ve yaklaşık çözüm
hesaplayan algoritmalar verilmiştir. Bu algoritmalarda, üzerinde çalışılan konveks
kümenin yapısına bağlı olarak oluşabilen bazı problemleri ortadan kaldırmak için Picard
teoremi ve hata analizi tabanlı değişken adım genişliği seçimi verilerek bu seçime bağlı
her bir adımda adım genişliği, yaklaşık hesap ve oluşan lokal hatayı hesaplayan bir
algoritma elde edilmiştir. Verilen algoritmalarla ilgili nümerik örnekler verilmiştir.
Anahtar Kelimeler: Cauchy Problemi, Adım Genişliği Seçimi, Picard Teoremi,
Nümerik İntegrasyon, Lokal Hata, Global Hata
iii
ABSTRACT
Master Thesis
ON THE FINDING OF STEP SIZE IN THE NUMERICAL INTEGRATION OF
INITIAL VALUE PROBLEM
Gülnur ÇELİK KIZILKAN
Selçuk University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Yrd. Doç. Dr. Kemal AYDIN
2004, 71 pages
Jury: Yrd. Doç. Dr. Kemal AYDIN
Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL
Prof. Dr. Ali SİNAN
In this study, we have obtained that variable stepsize choice based on Picard
theorem and variable stepsize choice based on error analysis for numerical integration
of Cauchy problems. Depending on those choices we have given algorithms that
calculates stepsizes and approximations for solutions. In order to defeat some problems
arising from the structure of convex set on which the study is carried on, giving the
variable stepsize choice based on Picard theorem and error analysis, an algorithm has
been obtained which calculates depending on this choice stepsizes, approximations for
solutions and local error taken place in each step. Some numerical examples related to
given algorithm have been demonstrated.
Key Words: Cauchy Problems, Finding of
Integration, Local Error, Global Error
iv
Stepsize, Picard Theorem, Numerical
v
İÇİNDEKİLER
ÖZET ………………………………………………………………………………. iii
ABSTRACT ……………………………………………………………………….. iv
ÖNSÖZ ……………………………………………………………………………... v
SEMBOLLER ……………………………………………………………………… vi
1. GİRİŞ …………………………………………………………………………….. 1
2. BİRİNCİ MERTEBEDEN CAUCHY PROBLEMİ …………………………..…10
3. NÜMERİK METOTLAR VE HATA ANALİZİ ………………………………..16
3.1. Metotlar ………………………………………………………………………...16
3.1.1. Euler metodu …………………………………………………………………16
3.1.2. Runge- Kutta metodu ………………………………………………………...17
3.2. Hata Analizi …………………………………………………………………....18
3.2.1. Euler metodu için hata analizi ………………………………………………..19
3.2.2. Runge-Kutta metodu için hata analizi ………………………………………..24
4. ADIM GENİŞLİĞİ STRATEJİSİ ……..…………………………………………29
4.1. Picard Teoremi Tabanlı Adım Genişliği Seçimi..……………………................29
4.2. Hata Analizi Tabanlı Adım Genişliği Seçimi ………………………………….36
4.3. Picard Teoremi ve Hata Analizi Tabanlı Adım Genişliği Seçimi……………....39
4.4. Pratik Adım Genişliği Seçimi….……………...………………………………..42
4.5. Adım Genişliği Kontrolü………………...……………………………………..42
5. ALGORİTMALAR………………………………………………………………44
5.1. Picard Teoremi Tabanlı Adım Genişliği İçin Algoritma……………………….44
5.2. Hata Analizi Tabanlı Adım Genişliği İçin Algoritma…………………………..45
5.3. Picard Teoremi ve Hata Analizi Tabanlı Adım Genişliği İçin Algoritma...........49
6. NÜMERİK ÖRNEKLER ………………………………………………………...51
7. DEĞERLENDİRMELER ………………………………………………………..67
8. KAYNAKLAR …………………………………………………………………..69
vii
ÖNSÖZ
Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Fen- Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü
Öğretim Üyesi Yrd. Doç. Dr. Kemal AYDIN yönetiminde yapılarak, Selçuk
Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur.
Tezimi büyük bir sabır ve titizlikle yöneten hocam Yrd. Doç. Dr. Kemal AYDIN’ a,
tez çalışmam süresince artık geleneksel hale gelen Prof. Dr. Haydar BULGAK
yönetiminde haftalık yapılan lisansüstü seminer programında çalışmalarımı
anlatmama fırsat sağlayan ve bu vesileyle değerli öneri ve eleştirilerinden
faydalandığım Prof. Dr. Haydar BULGAK’ a teşekkürlerimi ve saygılarımı sunarım.
Aynı zamanda, çalışma esnasında beni maddi ve manevi desteğinden yoksun
bırakmayan sevgili ailem ve eşim Mustafa KIZILKAN’ a da teşekkürü bir borç
bilirim.
Gülnur ÇELİK KIZILKAN
v
KULLANILAN SEMBOLLER
t i : Grid noktaları
hi : i inci adımdaki adım genişliği
x(t i ) : Cauchy probleminin tam çözümünün t i noktasındaki değeri
y i :Cauchy probleminin t i noktasındaki nümerik metot kullanarak elde edilen
yaklaşık çözümünün değeri
LE i : i inci adımda oluşan lokal hata
GE i : i inci adımdaki global hata
h * : Pratik adım genişliği parametresi
 : İstenilen hata seviyesi
 L : i inci adımda lokal hata için istenilen hata seviyesi
i
 g : Global hata için istenilen hata seviyesi
vi
1
1. GİRİŞ
Diferensiyel denklemler, birçok fiziksel problem ve olayı matematiksel olarak
tanımlamaya yarar. Dolayısıyla diferensiyel denklemlerin analitik çözümü için doğru
çözüm işlemleri bulmak önemli bir problemdir.
x   f (t , x )
x(t 0 )  x0 , t0  t  T
(1.1)
Cauchy problemini ele alalım. Hemen şu sorular akla gelir: Problemin çözümü var
mı? Eğer varsa hangi şartlarda tektir? Literatürde bu soruların cevabını Picard
Teoremi vermektedir. Ayrıca, genellikle pratikte tam çözüm bulmak ya mümkün
değildir yada hesaplanması çok zordur. Dolayısıyla son yıllarda, yaklaşık çözüm
bulmak için nümerik çözüm yöntemleri oldukça önem kazanmıştır.
1.1. Problemin Tanıtımı
Nümerik metotlar iteratif olduklarından (1.1) Cauchy probleminin çözümünün
hesaplanmasında büyük kolaylıklar sağlamasına rağmen nümerik metot kullanılması
ile elde edilen çözüm problemin tam çözümün yerine kullanılabilecek kadar yakın
olmayabilir. Bu nedenle nümerik metotlarla hesaplama yapılırken adım genişliği
seçimi öne çıkmaktadır. Literatür çalışmalarının çoğunda sabit adım genişliği
seçilerek hesaplama yapılmıştır. Fakat sabit adım genişliği seçildiğinde yaklaşık
çözümün tam çözümden uzaklaşmaması için adım genişliğinin çok küçük seçilmesi
gerekmektedir. Bu ise pratik değildir.
2001-2002
eğitim öğretim
yılında
Uygulamalı
Matematik
Araştırma
Merkezi’nde Prof. Dr. Haydar Bulgak yönetiminde yapılan lisansüstü seminer
çalışmalarında, Cauchy probleminin nümerik integrasyonunda Picard Teoremi
üzerinde temellenen adım genişliği stratejileri, N. Chumakova, H. Bulgak, A. Bulgak
ve K. Aydın tarafından tartışılmıştır. Ancak bu çalışmalar sonuçlandırılmamıştır. Bu
tez çalışması bu seminerden esinlenerek yapılmıştır.
2
Bu çalışmada (1.1) Cauchy probleminin nümerik integrasyonuda kullanılacak
nümerik metodun analitik çözüme yakın sonuçlar vermesi için uygun hj- adım
genişliği belirlemek hedeflenmiştir.
1.2. Literatür Özeti
(1.1) Cauchy probleminin nümerik çözümü için kullanılan birçok nümerik
metot vardır. bunlardan birisi üç adım BDF (backward differentiation formulae)
metodudur. Guglielmi ve Zennaro (2001) çalışmalarında;  j,i ler h j ye bağlı
fonksiyonlar olmak üzere
u j 3   j , 2 u j  2   j ,1u j 1   j , 0 u j ,(j=0,1,…)
homojen lineer fark denkleminin companion matrisini ele alarak üç adım BDF
metodunun kararlı olmasını sağlayan h j  t j 1  t j (j=0,1,…) adım genişliği spektral
yarıçap yardımıyla elde etmişlerdir.
Beyn ve Garay (2002); homojen birinci mertebeden diferensiyel Cauchy
probleminden hareketle homojen olmayan yarı lineer diferensiyel Cauchy problemi
için adım genişliği önermişlerdir. Ancak, tahminlerinin adım genişliği seçimine
temel bir kural oluşturmak için yeterli olmadığını belirtmişlerdir.
Rice ve Do (1995), adım genişliğini kontrol eden iki metottan bahsetmişlerdir.
Bunlardan birisi Bailey (1969) tarafından önerilen bir metottur. Herhangi bir
integrasyon metoduna uygulanabilen bu metotta y = (y1,y2,…,yN)T ve y(tn) = yn
vektörü için  y= |y(tn+1)-y(tn)| farkı hesaplanır.  y nin i-inci bileşeni için a) eğer
 yi/yi<0,01 ise h adım genişliğinin yerine 2 h alınır. b) Eğer  yi/yi>0,1 ise h adım
genişliği yerine h /2 alınır. c) a ve b şıkları sağlanmıyorsa h adım genişliği aynı kalır.
Rice ve Do, Bailey’ in adım genişliği kontrolü ile ilgili önerdiği bu metot hakkında
detaylı bilgi vermemiştir.
3
Rice ve Do’ nun bahsettiği ikinci metot Michelsen (1976) nın önerdiği bir
metottur. Michelsen O( h 3 ) kesme hatası ile üçüncü mertebeden bir metot kullanarak
h
en 1  y n 1 ( )  y n 1 (h) olmak üzere
2
h 1
y n 1  y n 1 ( )  en 1
2 7
h
elde etmiştir. Burada y n1 (h) ve y n1 ( ) , tn+1 noktasında nümerik metotta sırasıyla h
2
h
ve h /2 adım genişliği kullanılarak elde edilen çözümdür. yn+1 ise y n1 (h) ve y n1 ( )
2
çözümlerinden elde edilen ve t = tn+1 noktasında gerçek çözüme daha yakın olan bir
tahmindir. Verilen  toleransı için
q  max |
i
en 1

|i
tanımlanmıştır. Eğer q>1 ise q<1 oluncaya kadar tn adımındaki işlemler h adım
genişliği yerine h /2 alınarak tekrarlanır. q<1 olduğunda adım genişliğini
hn 1  hn min[( 4q )
1
4
,3]
şeklinde vermişlerdir.
Sardar ve Higham (1997), Huthinson denklemini ele almışlardır. R , reel
sayılar cümlesi olmak üzere R N de kısmi fark Hutchinson denklemini
d
 (t )  (N 2 ) M (t )   (t   ) , t  0
dt
 (t )   (t ), t  [ ,0]
4
şeklinde vermişlerdir. Burada  >0 difüzyon katsayısı,  >0 denklemdeki gecikme
miktarı ve M, çalışmalarında tanımladıkları N boyutlu karesel matristir.  (t   ) ya
yaklaşım için q( t   ) Lagrange enterpolasyon polinomu kullanmışlardır.
f (t ,  (t ), q (t   ))  (N 2 ) M (t )  q (t   )  R N
olmak üzere n-inci adımda adım genişliği için aşağıdaki algoritmayı vermişlerdir:
k1  f (t n ,  n , q (t n   )
k 2  f (t n  t n ,  n  t n k1 , q (t n  t n   ))
1
t n ( k 2  k1 )
2
TOL 12
(
) t n ,   (0,1)
|| est n 1 ||
est n 1 
t new
TOL: Kullanıcının belirlediği parametre
Eğer || est n 1 ||  TOL ise adım genişliği kabul edilir ve t n 1 = t new alınarak işleme
devam edilir. || est n 1 || > TOL ise || est n 1 ||  TOL oluncaya kadar
t n 1 = t new
alınarak işleme devam edilir.
Conte ve Boor (1980), p-inci mertebeden Runge- Kutta metodunun lokal
asimptotik hata açılımını
y h ( x n 1 ) = y ( x n 1 ) + C ( x n 1 ) h p + O(h p 1 )
şeklinde vermişlerdir. Burada y h ( x n 1 ) ; Runge- Kutta metodunda h adım genişliği
ile x = x n 1 noktasında y(x) çözümüne yaklaşımı gösterir. C ( x n 1 ) , x = x n 1 noktası
ile y   f ( x, y ) fonksiyonuna bağlı olan bir sabittir ve
y h ( x n 1 )  y h ( x n 1 )
h
Cn ( ) p  2
2
1 2p
5
dir.   <  olacak şekildeki  ve   verilen lokal hata toleransları ve
| y h ( x n 1 )  y h ( x n 1 ) |
Dn 
2
2 p 1
olmak üzere Runge- Kutta metodu için adım genişliği kontrolünü aşağıdaki şekilde
vermişlerdir:
i)   <
Dn
<  ise; y h ( x n 1 ) değeri kabul edilir ve aynı h adım genişliği
h
2
kullanılarak x n 1 noktasından integrasyona devam edilir.
ii)
Dn
>  ise; bu durumda hata çok büyüktür. h yerine h /2 alınır ve x= x n
h
noktasında yeniden integre edilir.
iii)
Dn
<   ise; istenenden daha iyi bir doğruluk elde edilmiştir. Dolayısıyla
h
y h ( x n 1 ) değeri kabul edilir. h yerine 2 h alınarak x n 1 noktasından integrasyona
2
devam edilir.
Conte ve Boor (1980) çalışmalarında ele aldıkları bu yöntemi kullanarak, adım
genişliğini iki ile çarpma veya iki ile bölme gibi bir sınırlandırma olmaksızın adım
genişliği kontrolü için ikinci bir yöntem vermişlerdir. Çözümde bir adım sonra
2 C n (h / 2) p 1  h olacak şekilde h adım genişliği araştırmışlardır.
Dn  2 C n (h / 2) p 1
olduğunu göz önüne alarak h adım genişliğini
1
h  h(h / Dn )
olarak bulmuşlardır.
p
6
Wille (1998) de Adams metotları için hata kontrolü ele alınmıştır. Bu metotlar
için
hn  t n  t n 1 olmak üzere hata tahmini E (hn ) ile verilmiştir. Wille bu
çalışmasında |C|<1 olacak şekilde bir sabit ve tol kullanıcının belirlediği bir sabit
olmak üzere E (h * ) =Ctol şeklindeki bir denklemin çözümü olan h * adım genişliğini
tanımlamıştır. Böylece E (h * ) =Ctol denkleminin çözümü, non- trivial polinomun
kökünü bulma problemine indirgenmiş olur.
Hairer ve Wanner (1991) nümerik metotlar için R(z) kararlılık fonksiyonu ve
SC- kararlılık (step control stability) kavramlarını tanımlamışlardır. R(z) kararlılık
fonksiyonu yardımıyla nümerik metotların SC- kararlılık şartını elde etmişlerdir.
Usman ve Hall (1998) nümerik çözümler için sıkça kullanılan bir başka metot
olan Adams metotlarını ele almışlardır. E n 1 lokal hata tahmini, k ve k+1-inci
mertebeden iki doğrulama formülü arasındaki fark ve tol (tolerance), kullanıcının
belirlediği ihmal edilebilen hata derecesi olmak üzere adım genişliğini;
hn 1  (
tol 1k 1
)
hn ,0    1
|| E n 1 ||
(1.2)
olarak vermişlerdir.
Hall ve Usman (1999), 1998’ de yaptıkları çalışmalarındaki teoriyi kullanarak
değişken mertebeli Adams kodu için modifiye edilmiş adım genişliği ve mertebe
stratejisi geliştirmişlerdir. Çalışmalarında, ERK; k ve k+1-inci mertebeden iki
doğrulama formülü arasındaki fark, tol (tolerance); kullanıcının belirlediği ihmal
edilebilen hata derecesi ve rtol; kullanıcının tol değerinden oluşturduğu rölatif
tolerans (hata) olmak üzere olmak üzere (1.2) e benzer olarak
fact  (
0,5tol 1k 1
)
ERK
7
sayısını tanımlamışlardır. Buna göre yeni adım genişliğini
hnew  rhold
şeklinde vermişlerdir. Burada r aşağıdaki gibi seçilir:
r
2
fact  2
1
1  fact<2
0,9
0,9  fact<1
fact
0,5  fact<0,9
0,5
fact<0,5
Adım genişliği, kararlılıkla sınırlandırıldığı zaman adım genişliğinde
titreşimler gözlenmektedir. Usman ve Hall (2000) adım genişliğinin davranışını
düzleştirecek alternatif bir adım genişliği önermişlerdir. 1998 deki çalışmalarını,
Runge- Kutta metodu için Gustafsson (1981) tarafından geliştirilmiş olan PI- adım
genişliği kontrolcüsünü (controller) ile birlikte düşünerek bu fikri Adams metotları
için değerlendirmişlerdir. E n 1 , k ve k+1-inci mertebeden iki doğrulama formülü
arasındaki fark, H n 1 =  hn 1 ve tol (tolerance), kullanıcının belirlediği ihmal
edilebilen hata derecesi olmak üzere Adams metotları için
H n 1  (
tol  || E n || 
) (
) Hn ,0    1
|| E n 1 ||
tol
elde etmişlerdir. Burada  ve  değerleri , kararlılık matrisinin spectral yarıçapı her
zaman 1 den küçük olacak şekilde seçilmelidir.
Carroll (2002), yine başlangıç değer problemlerinin çözümünün var ve tek
olması için gereken kavramlar verilmiştir. Ayrıca tek adım metotları hakkında genel
bilgi verilerek bazı tek adım metotlarının hata kontrolü için algoritma verilmiştir.
8
Aydın et al. (2001) de (1.1) Cauchy probleminin çözümünün nümerik metotla
hesaplanmasından kaynaklanan lokal kesme hatası ve global hata kavramları ele
alınmıştır. Sabit adım genişlikli Euler metodu için lokal hata ve global hata analizleri
incelenmiştir.
Bulgak (2000), pratik düzenli interval matris kavramı tanımlamış ve interval
matrisin pratik düzenli olup olmadığını tespit eden bir algoritma vermiştir. Bulgak ve
Bulgak (2001) de de, interval matrislerin pratik terslenebilirliği ile ilgili bu
algoritmaya yeniden yer verilmiştir. Tez çalışmamızda, interval matrisler için verilen
bu algoritma ve pratiklik kavramı Cauchy problemi için değerlendirilmiştir.
Cauchy probleminin nümerik çözümleri ile ilgili literatür çalışmalarının
çoğunda, maalesef çözümün varlığı ve tekliği incelenmeden çözümler araştırılmıştır.
Bu durum, Cauchy probleminin çözümleri için bazı sakıncaları beraberinde
getirmektedir. Mesela çözümün olmadığı bölgede probleme çözüm aranabilir ve
hatta bir yaklaşık çözüm verilebilir. Bu ise olabilecek en kötü değerlendirmedir. H.
Bulgak henüz basılmamış olan “Diferensiyel Denklemler” isimli kitabında, Brock
ve Malliaris (1989) ve Carroll (2002) Cauchy probleminin çözümünün var ve tek
olduğunu gösteren Picard Teoremini vermiş, Cauchy problemlerinin çözümünde
Picard teoreminin oynadığı rolü incelemişlerdir.
1.3. Tezin Yapısı
Bu tez çalışması altı bölümden oluşmaktadır.
1. bölümde; problem tanıtılmış ve literatür özeti verilmiştir.
2. bölümde; iyi bilinen
x   f (t , x )
x(t 0 )  x0 , | t  t 0 |  a, | x  x0 |  b
(1.3)
9
birinci mertebeden Cauchy probleminin çözümünün var ve tek olduğunu gösteren
Picard teoremi (lokal varlık ve teklik teoremi) ve ispatı incelenmiştir. Bu bölümde
incelenen Picard teoremi dördüncü bölümde kullanılmıştır.
3. bölümde; (1.3) Cauchy problemine yaklaşık çözüm bulmak için nümerik
metotlar ele alınmış bu metotlar için lokal kesme hatası ve global hata kavramları
incelenmiştir.
4. bölümde; Picard teoremi tabanlı adım genişliği seçimi incelenmiştir. Daha
sonra literatürde sıkça karşılaşılan hata tahminine göre adım genişliği belirleme
stratejisinden fikir edinilmiş ve üçüncü bölümde incelenen hata analizine göre Hata
analizi tabanlı adım genişliği seçimi verilmiştir. Son olarak verilen bu iki adım
genişliği seçimi fikri birleştirilerek Picard teoremi ve Hata analizi tabanlı adım
genişliği seçimi verilmiştir.
5. bölümde; dördüncü bölümde verilen adım genişliği stratejileri için adım
genişliği ve (1.3) Cauchy problemi için yaklaşık çözüm veren algoritmalar
verilmiştir.
6.bölümde; beşinci bölümde verilen algoritmalarla ilgili nümerik örnekler
verilmiştir. Bu bölümde yapılan hesaplamalarda, MVC- Matrix Vector Calculator
kullanılmıştır. Grafik çizimleri için de Graphics Constructor 2.0 programı
kullanılmıştır.
7.bölümde ise bu tez çalışmasının değerlendirilmesi yapılarak elde edilen
sonuçlar verilmiştir.
10
2. BİRİNCİ MERTEBEDEN CAUCHY PROBLEMİ
D ={(t,x): | t  t 0 |  a, | x  x0 |  b} bölgesi üzerinde
x   f (t , x )
x(t 0 )  x0
(2.1)
birinci mertebeden Cauchy problemini ele alalım. Diferensiyel denklemlerdeki temel
problemin, çözümlerin varlığı ve tekliği üzerine olduğu bilinmektedir. Bu kısımda
(2.1) birinci mertebeden Cauchy probleminin çözümünün varlığı ve tekliği ile ilgili
kavramlar incelenmiştir.
(2.1) Cauchy probleminin çözümünün varlığı ve tekliği ile ilgili kavramlardan
birisi Lipschitz şartıdır. ( t , x1 ), ( t , x 2 )  D olmak üzere
| f ( t , x1 ) - f ( t , x 2 )|  L | x1 - x 2 |
olacak şekilde bir L>0 sabiti varsa f ( t, x ) fonksiyonu R 2 deki D kümesi üzerinde
x değişkenine göre Lipschitz şartını sağlar denir. Burada L’ ye de Lipschitz sabiti
denir (Estep 2002, Carroll 2002, Bulgak (Henüz basılmadı), Aydın et al. 2001,
Miranker 1981, Brock and Malliaris 1989).
Bu çalışma
konveks bölge üzerinde çalışılmıştır. Eğer ( t , x1 ) ve ( t , x 2 )
noktaları D kümesi içindeyken 0    1 aralığındaki her bir  için
((1-  )t1+  t2 , (1-  ) x1 +  x 2 )
noktası da D kümesine ait oluyorsa R 2 deki D kümesine konveks küme denir
(Carroll 2002).
Konveks küme aşağıdaki gibi de tanımlanabilir:
11
Bir kümeye ait olan iki nokta düz bir çizgiyle birleştirildiğinde, bu çizgi
üzerindeki bütün noktalar küme içinde kalıyorsa, kümeye konveks küme denir.
f ( t, x ) in Lipschitz şartını sağladığı, kısmi türevi yardımıyla pratik olarak
aşağıdaki teoremle kontrol edilebilir.
Teorem 2.1. D konveks kümesi üzerinde sürekli olduğunu varsayalım. Ayrıca
f
x
mevcut ve D bölgesi üzerinde sürekli olsun. Bu takdirde f , D üzerinde x
değişkenine göre Lipschitz şartını sağlar (Brock and Malliaris1989).
Fakat bu teoremin tersi doğru değildir. Yani f fonksiyonu Lipschitz şartını
sağlayabilir, ancak bu bölgede diferensiyellenebilir olmasına gerek yoktur. Örneğin;
D ={( t, x ): | t |<1, | x |<1} bölgesi üzerinde f (t , x) = t 2 | x | fonksiyonunun Lipschitz
şartını sağlamasına ( | t 2 | x 2 |- t 2 | x1 ||  1.| x1 - x 2 | olduğundan) rağmen
f
(t ,0) tanımlı
x
değildir.
Şimdi çalışmamızda temel alınan Picard teoreminin ispatı için gerekli olan
aşağıdaki lemmayı verelim.
Lemma 2.1. Eğer f (t , x) , D bölgesinde sürekli ise (2.1) Cauchy problemi
t
x(t )  x0   f ( s, x( s ))ds, | t  t 0 | a
(2.2)
t0
integral denklemine denktir (Brock and Malliaris 1989).
f (t , x) , D bölgesinde sürekli olsun. (2.2) de verilen integral denkleminin bir
çözümünün oluşturulması için ard arda yaklaşımlar metodu olarak bilinen metodu
tanıtalım. Bu metot ayrıca iterasyon metodu veya Picard metodu olarak da bilinir. Bu
metot; x 0 (t ) , x1 (t ) ,…, x n (t ) fonksiyonları (2.2) integral denkleminin, dolayısıyla
(2.1) Cauchy probleminin bir çözümüne ard arda yaklaşımlar olmak üzere
12
x 0 (t ) = x0
t
x n (t ) = x0 +  f ( s, x n 1 ( s ))ds , n=1,2,…
(2.3)
t0
şeklinde tanımlanan fonksiyonların bir dizisini gerektirir.
(2.3) ile tanımlanan { x n (t ) } fonksiyonlarının dizisi D0 üzerinde (2.2) nin
çözümü olan bir x(t ) limit fonksiyonuna yakınsar. Aşağıda verilen Picard teoremi,
(2.3) ard arda yaklaşımlar dizisi üzerine kurulmuştur.
Teorem 2.2.(Picard teoremi) D ={( t, x ): | t  t 0 | a, | x  x0 |  b} konveks bölgesi
üzerinde (2.1) Cauchy problemini ele alalım. Eğer f (t , x) , D bölgesi üzerinde
sürekli ise ve bu bölgede Lipschitz şartını sağlıyorsa bu takdirde (t 0 , x0 ) noktasını
içine alan bir alt bölgede (2.1) Cauchy probleminin çözümü var ve tektir. Bu bölge
max | f ( , ) |  M
( , )D
,
h = min(a,b/M)
olmak üzere D0 ={( t, x ): | t  t 0 | h , | x  x0 |  b } dir (Brock and Malliaris 1989,
Bulgak (Henüz basılmadı), Carroll 2002, Estep 2002).
x
D0
x0+b
D
x0
x0-b
t
0
t0-a
t0-a
t0
Şekil 2.1
t0+a
t0+a
13
Örnek 2.1. D ={( t, x ): | t |  5, | x -2|  10} bölgesi üzerinde
x    x  x 2 , x ( 0)  2
Cauchy problemini ele alalım. Burada f (t , x)   x  x 2 dir. f (t , x) fonksiyonu D
bölgesinde süreklidir ve Lipschitz şartını sağlar. O halde Picard teoremi gereği (0,2)
noktasını içine alan bir alt bölgede bu Cauchy probleminin çözümü var ve tektir. Bu
alt bölge;
max | f ( ,  ) | max |  x  x 2 | 132  M ve h  min{5,
( , )D
( , )D
10
}  0,0757576
132
olmak üzere
D0  {(t , x) :| t | 0,0757576, | x  2 | 10}
dir.
Problemin bir çözümünün varlığı temin edildikten sonra ayrıca problemin iyi
konulmuş olması da temin edilmelidir. Yani, verilen problemde küçük bir
pertürbasyon yapıldığında çözüme
küçük bir değişiklik olarak yansımalıdır. İyi
konulmuşluk çok yararlı bir şarttır. Çünkü, farklı bir problem çözülebilecek şekilde
nümerik yaklaşımda pertürbasyonlar yapılabilir ve pertürbasyonlar yine küçük
kalacak şekilde çözümün elde edilmesi istenir. Lipschitz şartı Cauchy probleminin
iyi konulmuş olması için yeterli bir şarttır (Gear 1971). Bunu göstermek
için  0 ve  (t) küçük pertürbasyonlar olmak üzere
z  (t) = f (t , z ) +  (t), |t-t0|<a,z(t0)= x0 +  0
(2.4)
pertürbe edilmiş problemini ele alalım.  (t), z ile x çözümü arasındaki fark olsun.
  (t) = f (t , z ) - f (t , x) +  (t), |  (t0)|= |  0 |
Buradan
|   (t)|  | f (t , z ) - f (t , x) |+|  (t)|, (L,Lipschitz sabiti)
14
dir. Eğer |  (t)|<  ,|  0 |<  ise; bu eşitsizlik t0 dan t’ ye integre edilirse
|  (t)| 

[(L+1) e L (t t ) -1]
L
0
elde edilir. Sonuç olarak, pertürbe edilmiş problemin çözümündeki en büyük
değişiklik k,  dan bağımsız bir sayı olmak üzere
max
t0  a t t 0  a
|  (t)|  
1
[(L+1) e La -1]=k 
L
ile sınırlıdır.
Böylece iyi konulmuşluk tanımı aşağıdaki gibi verilebilir.
Tanım 2.1.  istenildiği kadar küçük ve |  0 |<  ve |  (t)|<  olmak üzere eğer (2.4)
probleminin
|z(t)- x (t)|<  ,|t-t0|<a
koşulunu sağlayan bir tek z(t) çözümü ve  ,  pozitif sabitleri varsa, (2.1) Cauchy
problemi iyi konulmuştur denir (Gear 1971).
Cauchy probleminin iyi konulmuşluğunu gösteren teorem aşağıda verilmiştir.
Teorem 2.3. D0 bölgesi üzerinde f, sürekli ve x değişkenine göre Lipschitz şartını
sağlarsa (2.1) Cauchy problemi iyi konulmuş problemdir (Gear 1971).
Örnek 2.2. x    x , 0  t  2, x (0)=1 Cauchy problemini ele alalım. Bu problemin
Lipschitz şartını sağladığı açıktır:
| f (t , x 2 ) - f (t , x1 ) )| = |  x 2  x1 |  1.| x 2  x1 |L=1
Şimdi bu problemin iyi konulmuş olduğunu gösterelim.
z  (t) =-z +  (t), 0  t  2, z(0) = 1+  0
pertürbe denklemini alalım.
15
  (t) = -z+ x +  (t), |  (0)|= |  0 |

  (t) = -  (t)+  (t)
 |   (t)|=|  (t)|+|  (t)|
de  t |  (t ) |
 e t  

dt
t
t
de  t |  (t ) |
t
t dt dt  t e dt
0
0
 |  (t ) |  (e t  1) |  (t ) |  (e 2  1)
 = e 2 -1 olmak üzere |z(t)- x (t)|<  olacak şekilde  ,  pozitif sabitleri vardır.
Dolayısıyla ele alınan Cauchy problemi iyi konulmuştur.
Çalışmamızın bundan sonraki kısmında Lipschitz şartını sağlayan Cauchy
problemleri
ele alındığından, Teorem 2.3 ten dolayı bu problemlerin iyi
konulmuşluğu tekrar incelenmeyecektir.
16
3. NÜMERİK METOTLAR VE HATA ANALİZİ
(2.1) Cauchy problemini göz önüne alalım. Cauchy probleminin tam
çözümlerini bulmak her zaman kolay olmayabilir. Teorik olarak tam çözüm bulunsa
bile pratikte bu çözümü hesaplamak zordur.Teorik olarak çözümü hesap edilemeyen
Cauchy problemlerinin hesaplanması için algoritmik yapıya sahip olan nümerik
metotlara ihtiyaç vardır. Nümerik metotlar Cauchy problemleri için yaklaşık çözüm
verirler.
3.1. Metotlar
Tez çalışmamızın dördüncü ve beşinci bölümlerinde nümerik metotlara ihtiyaç
duyulmaktadır. (2.1) probleminin nümerik integrasyonu için kullanılan bir çok
nümerik metot vardır. Fakat bu kısımda, sadece çalışmamızda kullandığımız Euler
Metodu ve İkinci Mertebeden Runge- Kutta Metodu ele alınmış ve bu metotların hata
analizleri incelenmiştir. Diğer nümerik metotlar için de aynı incelemeler yapılabilir.
3.1.1. Euler metodu
(2.1) Cauchy problemi için
t i  [t 0  a, t 0  a ] ve hi = t i  t i 1 olmak üzere
Euler metodu
y i 1  y i  hi 1 f i , i=0,1,…,n
(3.1)
şeklinde tanımlanır. Burada eğer hi adım genişlikleri uygun seçilmezse Euler
metodu gerçek çözüme yakınsamaz.
17
Euler metodunu bilgisayarda uygulamak çok kolaydır. Geometrik olarak Euler
metodu, t i noktasındaki çözüm ile t i 1 noktasındaki çözüm eğrisinin teğetinden
meydana gelir (Şekil 3.1).
x
x(ti)
x(ti)-x(ti-1)

x(ti-1)
ti-1
ti
t
Şekil 3.1
3.1.2. Runge- Kutta metodu
Cauchy problemlerinin çözümünde kullanımı en yaygın olan metotlardan birisi
de Runge- Kutta metodudur. Farklı mertebelerde Runge- Kutta formülleri vardır.
Fakat
burada en çok kullanılan
ikinci mertebeden Runge- Kutta formülü
verilecektir.
hi = t i  t i 1
s1 f (ti , yi )
s2  f (ti  hi 1 , yi  s1hi 1 ) , i=0,1,…,n
olmak üzere ikinci mertebeden Runge- Kutta metodu
y i 1  y i  hi 1 (a s1 +b s2 ), i=0,1,…,n (a,b Q;a+b=1)
18
şeklinde tanımlanır. Literatürde genellikle a=b=1/2 alınmaktadır. Bu çalışmada da
a=b=1/2 alınacaktır. Buna göre ikinci mertebeden Runge- Kutta metodu yeniden
yazılacak olursa
y i 1  y i 
1
hi 1 ( s1 + s2 ),i=0,1,…,n
2
(3.2)
şeklinde olur. Burada F( t i , y i ) = s1 + s2 denilirse
F( t i , y i )= s1 + s2 = f (t i , y i ) + f (ti  hi 1 , yi  s1hi 1 )
(3.3)
olur. F( t i , y i ) fonksiyonuna artış fonksiyonu denir.
Runge- Kutta metodu da Euler metodu gibi programlanması kolay olan bir
metottur. Çözümün başında özel hesaplamalar gerektirmez. Ancak iç içe
hesaplamalar içerdiğinden bilgisayar içinde kullanımı zaman alır.
3.2. Hata Analizi
Nümerik metotlarla hesaplanan çözümün hatalı olacağı açıktır. Bu hatanın iki
temel kaynağı vardır:
1. Sonlu fark yaklaşımındaki orijinal diferensiyel denklemin değişkeninin
yerine koyulabilen elemanın sonucu olarak oluşan hata
2. Fark metotlarının aritmetik işlemlerini hesaplarken yapılan yuvarlama veya
kesme hatası
Şimdi, Cauchy probleminin nümerik metotlarla çözümünde kaçınılmaz olarak
karşılaşılan iki önemli yaklaşım hatası olan lokal kesme hatası ve global hatayı ele
alalım.
t i 1 noktasında nümerik metotla elde edilen yaklaşık çözüm y i 1 ile gösterilsin.
y i 1 çözümünün gerçek çözümden ne kadar uzak olduğunu kontrol etmek için z (t )
19
fonksiyonu tanımlansın. [ti-1 , ti) aralığında (2.1) Cauchy probleminin çözümü z (t )
olsun. z (t )
z (t) = f (t , z )
z (t i 1 ) = y i 1
(3.4)
şeklinde alınsın. Lokal hata LEi ile gösterilir. ti noktasındaki lokal hata, nümerik
metotla elde edilen y i çözümü ile z (t i ) çözümü arasındaki farktır (Aydın et al.
2001). Yani;
LEi = y i – z (t i )
(3.5)
şeklindedir.
Global hata ise;
GEi = y i – x(t i ) ; i=0,… ,M
(3.6)
veya onun maksimum değeri
GE[0,T] = max |GEi|
0  i M
şeklinde ifade edilir (Golub and Ortega 1992, Aydın et al. 2001).
Aydın et al. (2001) de sabit adım genişlikli Euler metodu için yapılan hata
analizini şimdi değişken adım genişlikli Euler ve Runge-Kutta metotları için yeniden
inceleyelim.
3.2.1. Euler metodu için hata analizi
a) Lokal Hata Analizi: Lokal kesme hatası Euler formülünde ( t i 1 , y i 1 ) noktasına hi
adım üstündeki ( t i , y i ) noktası verilmesiyle oluşur. (Şekil 3.2)
20
z
z(t2)
z(t1)
(ti-1,yi-1)
LE2
LE1
(t2,y2)
z(ti)
(t1,y1)
(t0,y0)
t0
t1
ti-1
t2
ti
t
Şekil 3.2
[ti-1,ti] aralığında z (t ) fonksiyonu için ikinci mertebeden Taylor açılımını
yazalım:
z (ti )  z (ti 1 )  z(ti 1 )(ti  ti 1 ) 
1
z( )(ti  ti 1 ) 2 ;   (ti 1 , ti )
2!
Euler metodu için (3.5) tekine benzer olarak lokal kesme hatası;
|LEi |= | yi  z (ti ) |
= | yi 1  hi f i 1 [ z (ti 1 )  f i 1hi 
1
2
z( )hi ]|
2!
1
2
 |LEi |= | z( )hi |
2
şeklinde elde edilir. Bu durumda lokal hata için;
1
1
1
2
2
2
|LEi| = | z( )hi |  max | z( )hi |  max | z( )hi |
t



t
t



t
i 1
i
i 1
i
2
2
2
1
 |LEi|  max | z( ) | hi2
t i 1   t i 2
(3.7)
21
şeklinde bir üst sınır elde edilir. Bu eşitsizlikten (2.1) Cauchy probleminin [ti-1 ,ti] alt
aralığındaki lokal hatasının verilen problemin özelliklerine ve hi adımına bağlı
olduğu görülmektedir.
b) Global Hata Analizi: Global hatanın (3.6) eşitliği ile ifade edildiği belirtilmişti
(Şekil 3.3).
x
x(ti)
GEi
yi
x(ti-1)
GEi-1
yi-1
ti-1
ti
t
Şekil 3.3
(2.1) Cauchy problemindeki f (t , x)  f
i alalım. (3.1) Euler formülünde
L( t i 1 , hi ) nin aksaklığı belirttiği düşünülürse:
L(ti-1 , hi) =
x(t i 1  hi )  x(t i 1 )
 f (t i 1 , x(t i 1 ))
hi
olur. O halde LEi lokal hatası,
LEi = y i – z( t i )
= y i 1  hi f (t i 1 , z (t i 1 ))  z (t i )
= z (t i 1 )  hi f (t i 1 , z (t i 1 ))  z (t i )
22
= hi L( t i 1 , hi )
(3.8)
şeklinde olur. x ( t i 1 + hi ) nin Taylor açılımı,
x(t i 1  hi )  x(t i )  x(t i 1 )  x (t i 1 )hi 
1
x ( )hi2 ,  (t i 1 , t i )
2!
idi. Eğer;
max | x ( ) | M ti
ti 1  ti
(3.9)
ise bu takdirde Taylor formülünden,
hi2
| x(t i 1  hi )  [ x(t i 1 )  hi x (t i 1 )] | M ti
2
olur.
LEi = hi L( t i 1 , hi )
olduğundan
hi2
|LEi|  M ti  O(h 2 )
2
(3.10)
eşitsizliği doğrudur. O halde;
GEi  y i  x(t i )
 y i 1  hi f (t i 1 , y i 1 )  x(t i 1 )  hi x (t i 1 )  hi L(t i 1 , hi )
 y i 1  hi f (t i 1 , y i 1 )  x(t i 1 )  hi f (t i 1 , x(t i 1 ))  hi L(t i 1 , hi ) (3.11)
 GEi 1  hi [ f (t i 1 , y i 1 )  f (t i 1 , x(t i 1 ))]  hi L(t i 1 , hi )
Buradan t i 1 noktasındaki GEi-1 hatasından GEi için tekrarlanan bir formül elde
edilir.
23
(2.1) diferensiyel denkleminin sağ tarafındaki f (t , x) nin x e göre birinci
türevi bütün t’ ler için sınırlı ve | x |<  olduğundan
|
f
(t , x) | M 0
x
dir. O halde ortalama değer teoremine göre, bazı   (0,1) için
| f (t i 1 , y i 1 )  f (t i 1 , x(t i 1 )) ||
f
(t i 1 , y i 1  (1   ) x(t i 1 ))( y i 1  x(t i 1 )) |
x
dir. Bu ise, (2.1) başlangıç değer problemi için Lipschitz şartının kısmi türev
yardımıyla ifade edilmesidir. Yani;
| f (t i 1 , y i 1 )  f (t i 1 , x(t i 1 )) | M 0 | GEi 1 |
eşitsizliği doğrudur. Buradan
| GEi || GEi 1 |  hi M 0 | GEi 1 |  hi | L(t i 1 , hi ) |
| GEi || GEi 1 | (1  hi M 0 )  M ti
hi2
2
(3.12)
olduğu görülür.
| GEi || GEi 1 | (1  hi M 0 ) | LE i |
 (| GEi  2 | (1  hi 1 M 0 ) | LE i 1 |)(1  hi M 0 ) | LE i |
| GEi  2 | (1  hi 1 M 0 )(1  hi M 0 ) | LE i 1 | (1  hi M 0 ) | LE i |
| GE i 3 | (1  hi  2 M 0 )(1  hi 1 M 0 )(1  hi M 0 ) | LE i  2 | (1  hi 1 M 0 )(1  hi M 0 ) | LE i 1 | (1  hi M 0 ) | LE i |

i
i
i
| GE 0 |  (1  h j M 0 )   | LE j | (  (1  hk M 0 ))
j 1
j 1
k  j !
24
i
bulunur. Burada
 (1  h M
j
0
) =1 alınmıştır. |GE0|=0 olduğundan
j i 1
i
i
| GE i |  | LE i | (  (1  hk M 0 ))
j 1
(3.13)
k  j 1
hi2
elde edilir. |LEi|  M ti olduğundan bu eşitsizlik
2
i
| GEi |  M t j
j 1
h 2j
2
i
(  (1  hk M 0 ))
(3.14)
k  j 1
şeklinde de yazılabilir.
3.2. Runge- Kutta metodu için hata analizi
a) Lokal Hata Analizi: [ti-1 , ti] aralığında z (t ) fonksiyonu için üçüncü mertebeden
Taylor açılımı
z (ti )  z (ti 1 )  z (ti 1 )(ti  ti 1 ) 
 z (t i 1 )  hi z (t i 1 ) 
1
1
z (ti 1 )(ti  ti 1 ) 2  z (ti 1 )(ti  ti 1 ) 3  O(hi4 )
2!
3!
hi2
h3
z (t i 1 )  i z (t i 1 )  O(hi4 )
2
6
şeklindedir.
z (t i 1 )  y i 1
z (t i 1 )  f (t i 1 , y i 1 )
z (t i 1 )  ( f t  f . f x )(t i 1 )
z (t i 1 )  ( f tt  2 f . f tx  f 2 f xx  f x f t  f . f x2 )(t i 1 )
25
olduğu göz önüne alınırsa
z (ti 1  hi ) = y i 1 + hi f (t i 1 , y i 1 ) +
hi2
( f t  f . f x )(t i 1 ) +
2
hi3
( f tt  2 f . f tx  f 2 f xx  f x f t  f . f x2 )(ti 1 ) + O(hi4 )
6
elde edilir. Ayrıca
f (ti 1  hi , yi 1  hi f (ti 1 , yi 1 ))  f (ti 1 , yi 1 )  hi ( f t  f . f x ) 
hi2
( f tt  2 f . f tx  f 2 f xx  f x f t  f . f x2 )  O(hi3 )
2
olduğundan
yi  yi 1  hi f (ti 1 , yi 1 ) 
hi2
h3
( f t  f . f x )  i ( f tt  2 f . f tx  f 2 f xx  f x f t  f . f x2 )  O(hi4 )
2
4
dır. O halde Runge- Kutta metodu için lokal kesme hatası
|LEi |= | yi  z (ti ) |
=| [ yi 1  hi f (ti 1 , yi 1 ) 
[ y i 1 + hi f (t i 1 , y i 1 ) +
=|
 |LEi | 
elde edilir.
hi2
h3
( f t  f . f x )  i ( f tt  2 f . f tx  f 2 f xx  f x f t  f . f x2 )] 2
4
h3
hi2
( f t  f . f x ) + i ( f tt  2 f . f tx  f 2 f xx  f x f t  f . f x2 ) ]+ O(hi4 ) |
6
2
hi3
( f tt  2 f . f tx  f x f t  f . f x2  f 2 f xx )(ti 1 )  O(hi4 ) |
12
hi3
max | ( f tt  2 f . f tx  f x f t  f . f x2  f 2 f xx )( ) |


12 [ ti 1 ,ti ]
(3.15)
26
b) Global Hata Analizi: (3.2) Runge- Kutta metodu için L( t i 1 , y i 1 ) aksaklığı,
F( t i 1 , y i 1 ) artış fonksiyonuna bağlı olarak
L( t i 1 , y i 1 ) =
x(ti 1  hi )  x(ti 1 ) 1
 F (ti 1 , x(ti 1 ))
hi
2
şeklinde yazılırsa
LEi = y i  z (t i )
= y i 1 +
1
hi F( t i 1 , y i 1 )- z (t i )
2
= z (t i 1 ) +
1
hi F( ti 1 , z (t i 1 ) ) – z (t i )
2
= hi L( ti 1 , hi )
(3.16)
olur. O halde;
(3.17)
GEi  yi  x(ti 1 )
1
hi F (t i 1 , y i 1 )  x(t i 1 )  hi x (t i 1 )  hi L(t i 1 , hi )
2
1
 GE i 1  hi [ F (t i 1 , y i 1 )  f (t i 1 , x(t i 1 ))]  hi L(t i 1 , hi )
2
1
 GE i 1  hi [ f (t i 1 , y i 1 )  f (t i 1 , x(t i 1 ))  f (t i 1  hi , y i 1  hi f (t i 1 , y i 1 ))  f (t i 1 , x(t i 1 ))]  LE i
2
 y i 1 
f (t , x) nin x e göre birinci türevi bütün t’ ler için sınırlı ve aynı zamanda
| x |<  olduğundan
|
f
(t , x) | M 0
x
dır. Çok değişkenli fonksiyonlarda ortalama değer teoremine göre;
i) | f (ti 1 , yi 1 )  f (ti 1 , x(ti 1 )) ||
f
(ti 1 , yi 1  (1   ) x(ti 1 ))( yi 1  x(ti 1 )) | ,   (0,1)
x
27
 | f (ti 1 , yi 1 )  f (ti 1 , x(ti 1 )) | M 0 | GEi 1 |
ii)
| f (ti 1  hi , yi 1  hi f (ti 1 , yi 1 ))  f (ti 1 , x(ti 1 )) ||

f
( (ti 1  hi )  (1   )ti 1 , x(ti 1 ))hi
t
f
(ti 1 ,  ( yi 1  hi f (ti 1 , yi 1 ))  (1   ) x(ti 1 ))[ yi 1  hi f (ti 1 , yi 1 )  x(ti 1 )] | ;  ,   (0,1)
x
max |
t[ ti 1 ,ti ]
f
(t , x) | M ti
t
olsun. f (t , x) D bölgesinde sürekli olduğundan bu bölgede sınırlıdır. Yani;
| f (t , x) |  M
dir. O halde;
| f (t i 1  hi , y i 1  hi f (t i 1 , y i 1 ))  f (t i 1 , y (t i 1 )) | hi ( M ti  M .M 0 )  M 0 | GEi 1 |
olur. i) ve ii) ye göre;
1
| GEi || GEi 1 |  hi [ M 0 | GEi 1 |  hi ( M ti  M .M 0 )  M 0 | GEi 1 |] | LEi |
2
(3.18)
h3
1
 (1  hi M 0 ) | GEi 1 |  hi2 ( M ti  M .M 0 ) + i max | ( f tt  2 f . f tx  f x f t  f . f x2  f 2 f xx )( ) |
12  (ti1 ,ti )
2
olur. Euler metodunda yapılan iterasyona benzer olarak işlem yapılırsa
i
| GE i || GE 0 |

k 1
(1  hk M 0 ) 
i
i


1
[ hk2 ( M t k  M .M 0 ) | LE k |]
(1  h j M 0 )
2
k 1
j  k 1
28
elde edilir. | GE0 | =0 olduğundan
| GEi |
i
i


1
[ hk2 ( M t k  M .M 0 ) | LEk |]
(1  h j M 0 )
2
k 1
j  k 1
i
bulunur. Burada
 (1  h M
j
j i 1
0
) =1 olarak alınmıştır.
(3.19)
29
4. ADIM GENİŞLİĞİ STRATEJİSİ
Cauchy problemlerine, nümerik metotlarla çözüm aramaya başlamadan önce
problemin çözümünün hangi bölgede var ve tek olduğu incelenmelidir. Sadece
çözümün var ve tek olduğu tespit edilen bölgede işlem yapılmalıdır. Çoğunlukla
problem çözümlerinde bu gözden kaçmaktadır. f(t, x) fonksiyonunun sonsuz
sürekliliğe sahip olduğu durumlarda Picard teoremi dikkate alınmadığı zaman
genellikle nümerik metotlar yanlış çözümler bulmaktadır. İkinci bölümde ele alınan
Picard teoremi, tek bir adımda çözümün var ve tek olduğu bölgeyi garanti eder.
Dolayısıyla bu bölümde, Picard teoremi tabanlı adım genişliği seçimi incelenmiştir.
Çözümün, var ve tek olduğu bölge tespit edildikten sonra nümerik metotla
analitik çözüme ne kadar yaklaşılacağı sorusuna yanıt aranmalıdır. Genel durumlarda
sonlu fark metotları bir tek adımda bile hata üretmeye başlar. O halde adım genişliği
tespiti yapılırken, ele alınan nümerik metodun hata analizi dikkate alınmalı ve
istenilen hata seviyesi geçilmeyecek şekilde adım genişliği seçilmelidir. Bu nedenle,
bu bölümde ikinci olarak hata analizi tabanlı adım genişliği seçimi incelenmiştir.
Daha sonra; Picard teoremi tabanlı adım genişliği fikri ile hata analizi tabanlı adım
genişliği fikri birleştirilerek Picard teoremi ve hata analizi tabanlı adım genişliği
seçimi verilmiştir.
Verilen adım genişliği seçimleri ile teorik olarak istenilen bölge üzerinde
yaklaşık çözüm elde edilebilir. Fakat, bu teorikte mümkün olmayabilir. Bulgak
(2000) de interval matrisler için verilen pratiklik kavramı, burada adım genişliği için
verilmiştir.
4.1. Picard Teoremi Tabanlı Adım Genişliği Seçimi
D ={( t, x ): | t  t 0 |  a , | x  x0 |  b }
bölgesi üzerinde (2.1) Cauchy problemini
30
x   f (t , x )
x(t 0 )  x0
ele alalım. f (t , x) fonksiyonu için Picard teoreminin şartlarının sağlandığını kabul
edelim. (2.1) Cauchy probleminin çözümünün var ve tek olduğu bölge
D0 ={( t, x ):| t  t 0 |  ĥ , | x  x0 |  b}
olsun. [ti-1 , ti) aralığında (2.1) Cauchy probleminin çözümü z (t ) olmak üzere;
kullanılan herhangi bir nümerik metodun ilk adımda
h1
adım genişliği,
max | f ( , ) |  M olmak üzere Picard teoremindeki ĥ =min{a,b/M} parametresi
( , )D
olarak seçilerek ( t1 , y1 ) noktası hesap edilir ve
D1  {(t , z ) :| t  t1 | a, | z  y1 | b}
bölgesi üzerinde
z   f (t , z )
z (t1 )  y1
(4.1)
Cauchy problemi göz önüne alınır. Picard teoremi gereği (4.1) Cauchy probleminin
çözümünün var ve tek olduğu
D01  {(t , z ) :| t  t1 | hˆ2 , | z  y1 | b}
bölgesi elde edilir. h2 adım genişliği ĥ2 alınarak ( t 2 , y2 ) noktası hesaplanır. İşleme
bu şekilde devam edilirse i inci adımda
Di 1  {(t , z ) :| t  ti 1 | a, | z  yi 1 | b}
31
bölgesi üzerinde
z   f (t , z )
z (ti 1 )  yi 1
(4.2)
Cauchy problemine ulaşılır. Picard teoremi gereği bu problemin çözümünün var ve
tek olduğu bölge
D0i 1  {(t , z ) :| t  ti 1 | hˆi , | z  yi 1 | b}
dir. Adım genişliği ĥi seçilerek işlem yapılır.
Adım genişlikleri bu şekilde seçilerek (2.1) Cauchy probleminin yaklaşık
çözümü D bölgesi boyunca elde edilir. Böylece (2.1) Cauchy probleminin
çözümünün analitik devamı sağlanmış olur (Şekil 4.1).
x
D0 N
D01
D02
D0
…
…
t0
t1 t2
ti
tN-1
tN
Şekil 4.1
Örnek 4.1. D = {( t, x ): | t  1 |  3, | x  1 |  3} bölgesi üzerinde
x(t )  x(t ) , x(1) =1
t
32
Cauchy probleminin çözümü Picard teoremi tabanlı adım genişliği seçerek
hesaplanmıştır. Hesaplamalarda kolaylık açısından Euler metodu kullanılmıştır.
Problemin çözümü için aşağıdaki tablo elde edilmiştir.
i
hi
0
ti
yi
1
1
1
0.75
1.75
1.75
2
0.631579
2.38158
2.85526
3
0.51236
2.89394
4.31818
4
0.409938
3.30388
6.53065
5
0.314774
3.61865
8.58633
6
0.258926
3.87758
10.8095
7
0.122424
4
13.1578
Tablo 4.1
Grafik 4.1. Tablo 4.1 den elde edilen spline fonksiyonunun grafiğinin şekli
33
f(t, x) fonksiyonu sonsuz süreksizlik noktasına sahip değilse, nümerik
hesaplamalar için Picard teoremi tabanlı adım genişliği seçimi yapılması uygundur.
Fakat f(t,x) fonksiyonun sonsuz süreksizlik noktası varsa, adım genişliği seçiminde
ilk adımdan sonra analitik çözüm yerine hesap edilen nümerik çözüm
kullanıldığından,
problemin
çözümünün
olmadığı
bir
bölgede
çözüm
hesaplanabilmektedir. Bu ise, nümerik hesaplamalarda elde edilebilecek en kötü
sonuçtur. Bu durumun daha iyi anlaşılması için aşağıdaki örneği inceleyelim.
i
hi
ti
yi
1
0.0757576
0.0757576
2.15152
2
0.0737965
0.149554
2.33435
3
0.0715299
0.221084
2.55715
4
0.0689062
0.289999
2.93152
5
0.065869
0.355859
3.19312
6
0.0623605
0.41822
3.30313
7
0.0583287
0.476548
4.15022
8
0.0537407
0.530289
4.85284
9
0.0486018
0.578891
5.76155
10
0.0429803
0.621871
6.94067
11
0.0370308
0.658902
8.46753
12
0.0309999
0.689902
10.4277
13
0.0251976
0.715099
12.9049


53
0

0.81506

314.887
Tablo 4.2
Örnek 4.2. D  {(t , x) :| t | 5, | x  2 | 10} bölgesi üzerinde
x (t )   x  x 2 , x(0)  2
34
Cauchy problemini ele alalım. Basitlik için Euler metodunu kullanarak Picard
teoremi tabanlı adım genişliği seçelim. Problemin çözümü Tablo 4.2 de verilmiştir.
Tablo 4.2 de görüldüğü gibi bir {hn } (n=2,3,…,53) dizisi elde edilmiş ve
[0,0.81506] aralığında verilen problemin çözümü yaklaşık olarak hesap edilmiştir.
Verilen problemin gerçekte t  ln 2  0.693 değeri için çözümü olmamasına rağmen
nümerik metot ile t=0.81506 değerine kadar sanki çözüm varmış gibi işlem yapılmış
ve çözümün tanımsız olduğu nokta (sonsuz süreksizlik noktası) atlanmıştır. Tablo 4.2
den elde edilen ikinci dereceden spline fonksiyonu aşağıda Grafik 4.2.i ve Grafik
4.2.ii de verilmiştir.
Grafik 4.2.i. [ t0 ,t12 ]=[0,0.689902] aralığında spline fonksiyonunun grafiğinin şekli
35
Grafik 4.2.ii
Grafik 4.2.ii de ise Tablo 4.2 nin [0.658902,0.762225] aralığı için spline
fonksiyonu verilmiştir. Burada [0.689902,0.715099] aralığında t  ln 2  0.693
noktasında çözüm yoktur. Dolayısıyla işaret edilen noktadan itibaren çizilen grafik
gerçekten verilen problemin çözümünü ifade etmez.
Picard Teoremi tabanlı adım genişliği seçiminde yapılan tespitler:
1) Her bir adımda x(t i ) tam çözümü yerine
nümerik çözümle elde edilen y i
yaklaşık çözümü kullanıldığından, elde edilen yaklaşık çözüm problemin çözümüne
yeterince yakın olmayabilir.
2) Çözümü sonsuz süreksizlik noktasına sahip olan problemlerde çözümün tanımsız
olduğu noktayı da içine alan bir bölgede çözümün var ve tek olduğu görülebilir.
Dolayısıyla, aslında çözümün var olmadığı bir noktada çözüm hesaplanabilir. Bu
şekilde elde edilen sonuç ise yanlıştır.
36
4.2. Hata Analizi Tabanlı Adım Genişliği Seçimi
(2.1)
Cauchy
probleminin
çözümü
nümerik
metot
kullanılarak
hesaplanacağında, elde edilecek yaklaşık çözümün problemin tam çözümüne ne
kadar yakın olacağı önemlidir. Bu ise, lokal ve global hata ile ölçülür. Dolayısıyla
hata tahminine göre adım genişliği seçilerek yaklaşık çözümün tam çözümden fazla
uzaklaşmaması sağlanabilir. Problemin çözümünün var ve tek olduğu bilinen bir
bölgede, hata analizi tabanlı adım genişliği seçimi herhangi bir nümerik metot için
verilebilir. Mesela bu kısımda, üçüncü bölümde hata analizleri incelenmiş olan Euler
ve Runge- Kutta metotları için hata analizi tabanlı adım genişliği seçimi verilmiştir.
a) Lokal hataya göre adım genişliği seçimi
Lokal hata için Euler metodunda (3.7) üst sınırı elde edilmişti. Lokal hata
verilen  L sayısından küçük kalacak şekilde adım genişliği aşağıdaki şekilde seçilir.
1
|LEi|  max | z( ) | hi2 <  L
t i 1   t i 2
 hi2 <
2 L
max | z ( ) |
 [ ti 1 ,ti ]
1
 hi < (
2 L
) 2 , ( i=1,2,…,N)


max | z ( ) |
 [ ti 1 ,ti ]
Runge- Kutta metodunda ise
(3.15) elde edilmişti. Euler metodundakine
benzer olarak adım genişliği
1
hi < (
12 L
) 3 , (i=1,2,…,N)
2
2
max | ( f tt  2 f . f tx  f x . f t  f . f x  f f xx )( ) |
 [ ti 1 ,ti ]
şeklinde seçilir.
37
b)Global hataya göre adım genişliği seçimi
Euler metodu için
max | x ( ) | M ti , |
ti 1  ti
hi2
f
M ti
(t , x) | M 0  0 , |LEi| 
2
x
ifadelerini göz önüne alalım. Ayrıca
| GEi || GEi 1 | (1  hi M 0 ) | LE i |
(4.3)
eşitsizliği verilmişti. Euler metodunda (4.3) eşitsizliği kullanılarak global hata verilen
bir  g sayısından daha küçük kalacak ve | LE1 |   L1 olacak şekilde adım genişliği
için ilk adımda
h1  (
2 L1
M t1
)
1
2
ve bundan sonraki adımlarda  Li ,
i 1
i
 g   L
j 1
 (1  h M
k
j
0
)
k  j 1
eşitsizliğini sağlayacak şekilde olmak üzere
g L
hi  ( i 1
 1)
i
i 1
   (1  h M
Lj
j 1
elde edilir.
Runge- Kutta metodu için
k
k  j 1
0
)
1
M0
38
max | x ( ) | M ti , |
ti 1  ti
f
(t , x) | M 0 ve | f (t , x) |  M
x
olmak üzere
1
| GEi | (1  hi M 0 ) | GEi 1 |  hi2 ( M ti  M .M 0 ) | LE i |
2
eşitsizliğinden faydalanarak adım genişliği seçmek için aşağıdaki işlemler yapılır.
i 1
i 1
i 1
i 1
1
Ci = [ h 2j ( M t j  MM 0 )  (1  hk M 0 )    L j  (1  hk M 0 )]   Li1   Li   g
j 1 2
j 1
k  j 1
k  j 1
olmak üzere Ci < 0 olacak şekilde  Li seçilir. Buna göre
Ai =
1
( M ti  MM 0 )
2
i 1
i 1
i 1
i 1
1
Bi = M 0 [ h 2j ( M t j  MM 0 )  (1  hk M 0 )    L j  (1  hk M 0 )]
j 1 2
j 1
k  j 1
k  j 1
i 1
i 1
i 1
1 2
Ci = [ h j ( M t j  MM 0 )  (1  hk M 0 )    L j  (1  hk M 0 )]   Li1   Li   g
j 1 2
j 1
k  j 1
k  j 1
i 1
 i  Bi2  4 Ai Ci
olmak üzere hi
 Bi   i
 Bi   i
,(i=1,2,…,N)
 hi 
2 Ai
2 Ai
olacak şekildedir.
39
4.3. Picard Teoremi ve Hata Analizi Tabanlı Adım Genişliği Seçimi
D ={( t, x ): | t  t 0 |  a , | x  x0 |  b } bölgesi üzerinde (2.1) Cauchy problemini
x   f (t , x )
x(t 0 )  x0
ele alalım. f (t , x) fonksiyonu için Picard teoreminin şartlarının sağlandığını kabul
edelim. (2.1) Cauchy probleminin çözümünün var ve tek olduğu bölge
D0 ={( t, x ):| t  t 0 |  ĥ , | x  x0 |  b}
olsun. [ti-1 , ti) aralığında (2.1) Cauchy probleminin çözümü z (t ) olmak üzere;
kullanılan herhangi bir nümerik metodun ilk adımda
h1
adım genişliği,
max | f ( , ) |  M olmak üzere Picard teoremindeki ĥ =min{a,b/M} parametresi
( , )D
olarak seçilerek ( t1 , y1 ) noktası hesap edilir ve
D1  {(t , z ) :| t  t1 | a, | z  y1 | b01 }
bölgesi üzerinde (4.1) Cauchy problemi göz önüne alınır. Burada b01 değeri;
kullanılan nümerik metodun lokal hata analizinin ilk adımında elde edilen
| z  y1 | b1 sonucundaki değer b1 olmak üzere b01  min{b, b1 } dir. Picard teoremi
gereği bu problemin çözümün var ve tek olduğu
D01  {(t , z ) :| t  t1 | hˆ2 , | z  y1 | b01 }
bölgesi elde edilir. h2 adım genişliği ĥ2 alınarak ( t 2 , y2 ) noktası hesaplanır. İşleme
bu şekilde devam edilirse i inci adımda
40
Di 1  {(t , z ) :| t  ti 1 | a, | z  yi 1 | b0i 1}
bölgesi üzerinde (4.2) Cauchy problemine ulaşılır. Burada b0i 1 değeri; kullanılan
nümerik metodun lokal hata analizinin (i-1) inci adımında elde edilen | z  yi 1 | bi 1
sonucundaki değer bi 1 olmak üzere b0i 1  min{b0i  2 , bi 1} dir. Picard teoremi gereği
bu problemin çözümünün var ve tek olduğu bölge
D0i 1  {(t , z ) :| t  ti 1 | hˆi , | z  yi 1 | b0i 1}
dir ve adım genişliği ĥi seçilerek işlem yapılır.
Adım genişlikleri bu şekilde seçilerek (2.1) Cauchy probleminin yaklaşık
çözümü D bölgesi boyunca elde edilir.
Picard teoremi tabanlı adım genişliği seçimi ile ilgili yapılan tespitler kısım 4.1
de verilmişti. Bununla ilgili sakıncaların ortadan kaldırılması için Picard teoremi
tabanlı adım genişliği fikri ile Hata analizi tabanlı adım genişliği fikri birleştirilmiş
ve bu kısımda Picard teoremi ve hata analizi tabanlı adım genişliği seçimi verilmiştir.
Şimdi, Örnek 4.2 de ele alınan problemin çözümünü Picard teoremi ve hata analizi
tabanlı adım genişliği seçerek yeniden hesap edelim. Hesaplama için yine Euler
metodunu kullanalım.
Örnek 4.3. D  {(t , x) :| t | 5, | x  2 | 10} bölgesi üzerinde
x (t )   x  x 2 , x(0)  2
Cauchy probleminin çözümünü Picard teoremi ve hata analizi tabanlı adım
genişliği seçerek yeniden hesap edilmiş ve Tablo 4.3 te verilmiştir. Hesaplama için
yine Euler metodunu kullanılmıştır.
41
i
hi
ti
yi
1
0.0757576
0.0757576
2.15152
2
0.0813039
0.157062
2.35295
3
0.0871048
0.244166
2.63024
4
0.092008
0.336174
3.02476
5
0.0926331
0.428807
3.592008
6
0.0811714
0.509979
4.34786
7
0.04966187
0.559598
5007012
8
0.0140228
0.57362
5.35949
9
0.000972842
0.574593
5.38222
6
0.574598
5.38233
0.574598
5.38233
10
11
4.62105* 10
0
Tablo 4.3
Görüldüğü gibi [0,0.574598] aralığında yaklaşık çözüm hesaplanmıştır ve
t  ln 2  0.693 noktası geçilmemiştir.
Grafik 4.3.Tablo 4.3 den elde edilen ikinci dereceden spline fonksiyonunun grafiğinin şekli
42
4.4. Pratik Adım Genişliği Seçimi
(2.1) Cauchy probleminin yaklaşık çözümü için kısım 4.1, kısım 4.2. ve kısım
4.3. te verilen adım genişliği seçimleri ile teorik olarak D bölgesi boyunca çözüm
elde edilebilir. Fakat pratikte bu mümkün olmayabilir. Cauchy problemlerinin
çözümleri nümerik metotlarla hesaplanmak istendiği zaman bilgisayar sayıları
dikkate alınmalıdır. Bilgisayar sayıları kümesinin en küçük elemanının var olduğu
bilinmektedir (Godunov et al. 1993, Akın and Bulgak 1998, Aydın et al. 2003,
Çıbıkdiken 2002). Bilgisayarla işlem yapılırken bu sayıdan daha küçük bir sayıyı
bilgisayar “0” (sıfır) olarak görür. h* , kullanıcının belirlediği istenildiği kadar küçük
bir parametre olmak üzere hn < h* olduğu zaman hesaplama işlemi sona erer. Burada
hn pratik adım genişliği parametresi olarak adlandırılır.
Bulgak 2000 de interval matrisler için kullanılan pratiklik kavramı, burada
Cauchy problemlerinin nümerik integrasyonunda adım genişliği için yeniden
değerlendirilerek pratik adım genişliği parametresi tanımlanmıştır.
Şimdi, adım genişliği kontrolünü aşağıda verelim.
4.5. Adım genişliği kontrolü (K)
k; adım sayısı, ĥk ; ele alınan adım genişliği seçiminde hesaplanan adım
genişliği ve h * , pratik adım genişliği olmak üzere adım genişliği kontrolü aşağıdaki
şekilde verilir.
k 1
K:
1.
h
i
 hˆk  a ise;
i 1
1.1. hˆk  h * ise hk  hˆk alınır.
1.2. hˆ  h* ise h =0 alınır ve işlem sona erer.
k
k
43
k 1
2.
 h  hˆ
i
i 1
k
k 1
ˆ
 a ise hˆk  a   hi alınır.
i 1
ˆ
ˆ
2.1. hˆk  h * ise hk  hˆk alınır.
ˆ
2.2. hˆk  h * ise hk =0 alınır ve işlem sona erer.
44
5. ALGORİTMALAR
Bu bölümde,
dördüncü bölümde incelenen adım genişliği stratejileri
doğrultusunda D ={(t,x): | t  t 0 |  a, | x  x0 |  b} bölgesi üzerinde verilen (2.1)
Cauchy problemi için adım genişliği ve yaklaşık çözümünü hesap eden algoritmalar
verilmiştir. Hesaplamalarda dikkate alınan nümerik metot ne olursa olsun verilen
algoritmalar kullanılabilir.
5.1. Picard Teoremi Tabanlı Adım Genişliği İçin Algoritma
(2.1) Cauchy probleminin nümerik çözümü için Picard teoremi tabanlı adım
genişliği seçen ve problemin yaklaşık çözümünü hesaplayan algoritmayı verelim.
Bunun için t  [t i 1 , t i ] aralığı için Picard teoreminde verilen
max
 [ti 1  a ,ti 1  a ]
 [ yi 1 b , yi 1  b ]
| f ( , ) |  M i ,
ĥi = min(a,b/ M i )
ifadelerini göz önüne alalım. Algoritma aşağıdaki şekildedir.
0. Adım (Giriş Elemanları): a, b ve h * sayıları girilir.
1.Adım: M 1 sayısı hesaplanır.
1.1. ĥ1 sayısı hesaplanır.
1.2. K- kontrolü yapılır.
1.3. t1 = t 0  h1 ve y1 hesaplanır.
k. Adım: M k sayısı hesaplanır.
k.1. ĥk sayısı hesaplanır.
k.2. K- kontrolü yapılır.
45
k.3. t k = t k 1  hk ve y k hesaplanır.
Burada algoritmayı durduran adım K- kontrol adımıdır. Kontrol adımında,
N
h
k
 a veya hN  h * olduğunda işlem durur.
k 1
5.2. Hata Analizi Tabanlı Adım Genişliği İçin Algoritma
Dördüncü bölümde hata analizi tabanlı adım genişliği stratejisi örnek olarak
Euler ve Runge Kutta metotları için verilmişti. Bu kısımda verilen algoritmanın da
yine herhangi bir metot için verilebileceğini belirtmekle beraber örnek olarak Euler
ve Runge-Kutta metotları için algoritma verelim. Bu algoritmalar her bir adımda hata
analizine dayalı adım genişliği ve (2.1) Cauchy problemi için yaklaşık çözüm
hesaplar.
a) Lokal hata analizi tabanlı adım genişliği için algoritma:
Euler Metodu için;
1
max | z( ) |  M ti olmak üzere algoritma aşağıdaki
t i 1   t i 2
şekilde olur.
Algoritma 1:
0. Adım (Giriş Elemanları): a, b, h * ve  L sayıları girilir.
1. Adım: M t1 hesaplanır.
1
2
1.1. ĥ1 < ( L ) 2 olacak şekilde ĥ1 hesaplanır.
M t1
1.2. K- kontrolü yapılır.
46
1.3. t1 = t 0  h1 ve y1 = y 0  h1 f (t 0 , y 0 ) hesaplanır.
k. Adım: M t sayısı hesaplanır.
k
k.1. ĥk < (
2 L 12
) olacak şekilde ĥk sayısı hesaplanır.
M tk
k.2. K- kontrolü yapılır
k.3. t k = t k 1  hk ve y k = y k 1  hk f (t k 1 , y k 1 ) hesaplanır.
Runge- Kutta metodu için;
max | ( f tt  2 f . f tx  f x . f t  f . f x2  f 2 f xx )( ) |  M ti
 [ ti 1 ,ti ]
olmak üzere algoritma aşağıdaki şekilde olur.
Algoritma 2:
0. Adım (Giriş Elemanları): a, b, h * ve  L sayıları girilir.
1. Adım: M t1 hesaplanır.
1
1.1. ĥ1 < (
12 L 3
) olacak şekilde ĥ1 hesaplanır.
M t1
1.2. K- kontrolü yapılır.
1.3. t1 = t 0  h1 hesaplanır.
1
1.4. s1,1 f (t0 , y0 ) , s1, 2  f (t0  h1 , y0  s1,1h1 ) ve y1  y0  h1 ( s1,1 + s1, 2 ) hesaplanır.
2
k. Adım: M t sayısı hesaplanır.
k
1
k.1. ĥk < (
12 L 3
) olacak şekilde ĥk sayısı hesaplanır.
M tk
k.2. K- kontrolü yapılır.
k.3. t k = t k 1  hk hesaplanır.
47
1
k.4. sk ,1 f (t k 1 , yk 1 ) , sk , 2  f (t k 1  hk , yk 1  sk ,1hk ) ve yk  yk 1  hk ( sk ,1 + sk , 2 )
2
hesaplanır.
b) Global hata analizi tabanlı adım genişliği için algoritma:
Euler metodu için
max | x ( ) | M ti , |
ti 1  ti
h2
f
(t , x) | M 0  0 , |LEi|  i M ti
2
x
olmak üzere global hataya dayalı algoritma aşağıdaki şekildedir.
Algoritma 1:
0. Adım (Giriş Elemanları): a, b, h * ,  L1 ve  g sayıları girilir.
1. Adım: M t1 hesaplanır.
1
2
1.1. ĥ1 < ( L ) 2 olacak şekilde ĥ1 hesaplanır.
M t1
1.2. K- kontrolü yapılır.
1.3. t1 = t 0  h1 ve y1 = y 0  h1 f (t 0 , y 0 ) hesaplanır.
k. Adım: M t sayısı hesaplanır.
k
k
k.1.  g    L j
j 1
k.2. ĥk < (
k 1
 (1  h M
i
0
) olacak şekilde  Lk hesaplanır.
i  j 1
2 L 12
) olacak şekilde ĥk sayısı hesaplanır.
M tk
k.3. K- kontrolü yapılır.
k.4 t k = t k 1  hk ve y k = y k 1  hk f (t k 1 , y k 1 ) hesaplanır.
Runge- Kutta metodu için
48
max | x( ) | M ti , |
ti 1  ti
f
(t , x) | M 0 ve | f (t , x) |  M
x
olmak üzere global hataya dayalı algoritma aşağıdaki şekildedir.
Algoritma 2:
0. Adım (Giriş Elemanları): a, b, h * ve  g sayıları girilir.
k. Adım: M t1 hesaplanır.
k 1
k 1
k 1
k 1
1
k.1. Ck = [ h 2j ( M t j  MM 0 )  (1  hi M 0 )    L j  (1  hi M 0 )]   Lk 1   Lk   g
j 1 2
j 1
i  j 1
i  j 1
olmak üzere Ck < 0 olacak şekilde  Lk hesaplanır.
k.2. Ak =
1
( M tk  MM 0 )
2
k 1
k 1
k 1
k 1
1
Bk = M 0 [ h 2j ( M t j  MM 0 )  (1  hi M 0 )    L j  (1  hi M 0 )]
j 1 2
j 1
i  j 1
i  j 1
k 1
k 1
k 1
k 1
1
Ck = [ h 2j ( M t j  MM 0 )  (1  hi M 0 )    L j  (1  hi M 0 )]   Lk 1   Lk   g
j 1 2
j 1
i  j 1
i  j 1
 k  Bk2  4 Ak Ck sayıları hesaplanır.
k.3.
 Bk   k
2 Ak
 Bk   k
ĥk olacak şekilde hesaplanır.
 hˆk 
2 Ak
k.4. K- kontrolü yapılır.
k.5. t k = t k 1  hk hesaplanır.
1
k.6. sk ,1 f (t k 1 , yk 1 ) ve sk , 2  f (t k 1  hk , yk 1  sk ,1hk ) ve yk  yk 1  hk ( sk ,1 + sk , 2 )
2
hesaplanır.
Global hata göz önüne alınarak adım genişliği seçildiği zaman tam çözüme
oldukça yakın bir çözüm elde edilmesine rağmen verilen bölgenin tamamında
49
yaklaşık çözüm elde edilemeyebilir. Seçilen  Li ve hi lere bağlı olarak  g kadar
hata yapıldığı zaman işlem durur ve bir sonraki adıma geçilemez. Dolayısıyla Global
hata taban alarak adım genişliği yapmak pratik değildir.
5.3. Picard Teoremi ve Hata Analizi Tabanlı Adım Genişliği İçin Algoritma
(2.1) Cauchy probleminin nümerik çözümü için Picard teoremi ve hata analizi
tabanlı adım genişliği seçen, problemin yaklaşık çözümünü ve her bir adımda oluşan
lokal hatayı hesaplayan algoritmayı verelim. Bunun için t  [t i 1 , t i ] aralığı için
Picard teoreminde verilen
max
 [ti 1  a ,ti 1  a ]
 [ yi 1 b , yi 1  b ]
| f ( , ) |  M i ,
ĥi = min(a,b/ M i )
ifadelerini göz önüne alalım. bi , kullanılan nümerik metodun lokal hata analizinin i
inci adımında | z  yi | üzerine elde edilen üst sınır olsun. Algoritma aşağıdaki
şekildedir.
0. Adım (Giriş Elemanları): a, b, h * ve  L sayıları girilir.
1.Adım: M 1 sayısı hesaplanır.
1.1. ĥ1 sayısı hesaplanır.
1.2. K- kontrolü yapılır.
1.3. t1 = t 0  h1 ve y1 hesaplanır.
2. Adım: b01 =min{ b,b1 } sayısı hesaplanır.
2.1.
max
 [ t k 1  a ,t k 1  a ]
 [ y k 1 b0 k 1 , y k 1  b0 k 1 ]
| f ( , ) |  M 2 olacak şekilde M 2 sayısı hesaplanır.
2.2. ĥ2 sayısı hesaplanır.
2.3. K - kontrolü yapılır.
50
2.4. t 2 = t1  h2 ve y2 hesaplanır.
k. Adım: b0 k 1 =min{ b0 k  2 , bk 1 } sayısı hesaplanır.
k.1.
max
 [ t0  a ,t0  a ]
 [ y0 b01 , y0  b01 ]
| f ( , ) |  M k olacak şekilde M k sayısı hesaplanır.
k.2. ĥk sayısı hesaplanır.
k.3. K - kontrolü yapılır.
k.4. t k = t k 1  hk ve yk hesaplanır.
51
6. NÜMERİK ÖRNEKLER
Bu bölümde verilen örnekler MVC- Matrix Vector Calculator (Bulgak and
Eminov 2001) hesaplama programı ile yapılmıştır. MVC programında ara işlemler
virgülden sonra14 rakama kadar alınmasına rağmen buradaki sonuçlarda virgülden
sonra 7 rakam alınmıştır.
Öncelikle verilen D bölgesi üzerinde çözümü var ve tek olan iki örneği
inceleyelim.
Örnek 6.1. D = {( t, x ): | t  1 |  0.5, | x  3 |  5} bölgesi üzerinde
x (t ) 
1
( x(t )  t 2  3)
2t
x(1)  3
6( .1)
Cauchy problemi verilsin. Dördüncü bölümde incelenen adım genişliği stratejilerini
sırasıyla (6.1) problemine uygulayalım.
Çözüm 6.1.1. Picard teoremi tabanlı adım genişliği seçerek D bölgesi üzerinde (6.1)
Cauchy probleminin yaklaşık çözümü Tablo 6.1.1 deki şekilde elde edilmiştir.
Burada işlem kolaylığı için nümerik metot olarak Euler metodu kullanılmıştır.
hi
ti
1
-3
-3
-3
0
0
1
0.416667
1.416667
-3.20833
-3.27224
-3.27224
0.06391
0.06391
2
0.0833333
1.5
-3.27349
-3.34175
-3.276
0.0025084
0.0682631
i
0
yi
x(t i )
z (t i )
| LE i |
| GEi |
Tablo 6.1.1
Grafik 6.1.1 deki üstteki eğri Tablo 6.1.1 den elde edilen spline fonksiyonunun
eğrisidir. Alttaki eğri ise verilen problemin tam çözümüdür.
52
Grafik 6.1.1
Grafik 6.1.1 deki alttaki eğri problemin tam çözümünü, üstteki eğri ise Picard
teoremi tabanlı adım genişliği kullanılan nümerik metot ile elde edilen yaklaşık
çözümünü gösterir.
Çözüm 6.1.2. Hata analizine göre adım genişliği seçerek D bölgesi üzerinde (6.1)
Cauchy probleminin yaklaşık çözümünü hesap edelim.
(i) Lokal hata  =0.05 sayısından küçük kalacak şekilde adım genişliği seçelim.
Elde edilen çözümler aşağıda verilmiştir.
hi
ti
1
-3
-3
-3
0
0
1
0.16903
1.16903
-3.08452
-3.09514
-3.09514
0.0106231
0.0106231
2
0.190268
1.3593
-3.20261
-3.22727
-3.21581
0.013205
0.02466
3
0.140702
1.5
-3.30872
-3.34175
-3.31585
0.00712562
0.03303
i
0
yi
x(t i )
z (t i )
| LE i |
Tablo 6.1.2.i (a): Euler metoduyla elde edilen çözüm
| GEi |
53
Grafik 6.1.2.i (a) da üstteki eğri yukarıdaki tablodan elde edilen spline
fonksiyonunun grafiği ve alttaki eğri de problemin tam çözümünü ifade eden eğridir.
Grafik 6.1.2.i (a): Tablo 6.1.2.i (a) dan elde edilen spline fonksiyonunun grafiğinin şekli
Hata analizi tabanlı adım genişliği seçildiğinde, Picard teoremi tabanlı adım
genişliği seçimi ile elde edilen yaklaşık çözümden daha iyi bir yaklaşık çözüm elde
edilmiştir.
i
hi
ti
1
-3
-3
-3
0
0
0.5
1.5
-3.375
-3.34175
-3.34175
0.03325
0.03325
0
1
yi
x(t i )
z (t i )
| LE i |
| GEi |
Tablo 6.1.2.i (b): İkinci mertebeden Runge- Kutta metoduyla elde edilen çözüm
Tablo 6.1.2.i (b) den elde edilen spline fonksiyonu Grafik 6.1.2.i (b) de alttaki
eğridir. Üstteki eğri problemin tam çözümüdür.
54
Grafik 6.1.2.i (b)
Runge-Kutta metodu kullanıldığında, Euler metoduna göre daha az adımda
çözüm hesaplanmıştır.
(ii) Global hata  g =0.006 sayısından küçük kalacak şekilde adım genişliği
seçelim. Elde edilen sonuçlar aşağıda verilmiştir.
i
hi
0
ti
yi
x(t i )
z (t i )
| LE i |
| GEi |
1
-3
-3
-3
0
0
1
0.16903
1.16903
-3.08452
-3.09514
-3.09514
0.0106231
0.0106231
2
0.11111
1.28014
-3.15348
-3.16911
-3.15799
0.0045153
0.01563018
Tablo 6.1.2.ii (a):  L1 =0.005 alınarak Euler metodu ile elde edilen çözüm
55
Grafik 6.1.2.ii (a)
Global hata göz önüne alındığında istenilen bölgenin tamamında çözüm
hesaplanamamıştır. Çünkü [1,1.28014] aralığında  g =0.006 kadar hata yapılmıştır.
Nümerik metot kullanılarak 1.28014 noktasından itibaren yapılan hesaplamalarda
mutlaka yine hata yapılacağından, bu noktadan itibaren global hata  g =0.006
sayısından küçük kalacak şekilde yaklaşık çözüm bulunamaz. Grafik 6.1.2.ii (a) da
üstteki eğri Tablo 6.1.2.ii (a) dan elde edilen spline ve alttaki eğri problemin tam
çözümüdür.
i
hi
ti
1
-3
-3
-3
0
0
0.03849
1.03849
-3.0394
-3.0198
-3.0198
0.0195959
0.01959589
0
1
yi
x(t i )
z (t i )
| LE i |
Tablo 6.1.2.ii (b): Runge- Kutta metodu ile elde edilen çözüm
| GEi |
56
Grafik 6.1.2.ii (b)
Grafik 6.1.2.ii (b) de alttaki eğri Tablo 6.1.2.ii (b) den elde edilen spline
fonksiyonudur. Euler metodunda olduğu gibi Runge- Kutta metodunda da global hata
göz önüne alınarak adım genişliği belirlendiğinde verilen bölgenin tamamında
yaklaşık çözüm hesap edilememiştir. Çünkü ilk adımda  g =0.006 kadar hata
yapılmıştır. Aynı grafikte üstteki eğri problemin tam çözümünü gösterir.
Çözüm 6.1.3. Picard teoremi ve hata analizi tabanlı adım genişliği seçerek D
bölgesi üzerinde (6.1) Cauchy probleminin yaklaşık çözümü Tablo 6.1.3 deki şekilde
elde edilmiştir. Burada işlem kolaylığı için nümerik metot olarak Euler metodu
kullanılmıştır. Tablo 6.1.3 den elde edilen spline fonksiyonu ve problemin tam
çözümü Grafik 6.1.3 de verilmiştir.
57
i
hi
0
ti
yi
x(t i )
z (t i )
| LE i |
| GEi |
1
-3
-3
-3
0
0
1
0.416667
1.416667
-3.20833
-3.27224
-3.27224
0.06391
0.06391
2
0.065759
1.482426
-3.25975
-3.32668
3.26131
0.0015627
0.0069317
3
0.001266
1.483692
-3.25801
-3.32776
-3.2608
0.002784
0.069744
Tablo 6.1.3
Verilen problemin çözümünün tanımsız olduğu bir nokta olmadığı için Picard
teoremi tabanlı adım genişliği seçildiğinde elde edilen sonuç ile hemen hemen aynı
sonuç elde edilmiştir.
Grafik 6.1.3
Örnek 6.2. D = {( t, x ): | t  1 |  1, | x  4 |  5} bölgesi üzerinde
x (t )  t  x(t )
x(1)  4
(6.2)
58
Cauchy problemi verilsin.
Çözüm 6.2.1. Picard teoremi tabanlı adım genişliği seçerek D bölgesi üzerinde (6.2)
Cauchy probleminin yaklaşık çözümü Tablo 6.2.1 deki şekilde elde edilmiştir.
Burada işlem kolaylığı için nümerik metot olarak Euler metodu kullanılmıştır.
hi
ti
1
4
4
4
0
0
1
0.416667
1.41667
6.08333
6.68472
6.68472
0.601385
0.601385
2
0.37037
1.78704
10.3943
9.5233
0.66219
1.53319
3
0.21296
2
13.3097
11.41266
0.99384
0.932
i
0
yi
8.86111
12.4065
x(t i )
z (t i )
| LE i |
| GEi |
Tablo 6.2.1
Grafik 6.2.1
Buradaki alttaki eğri Tablo 6.2.1 den elde edilen spline fonksiyonunun
eğrisidir.Üstteki eğri ise verilen problemin tam çözümüdür.
59
Çözüm 6.2.2. Hata analizine göre adım genişliği seçerek D bölgesi üzerinde (6.2)
Cauchy probleminin yaklaşık çözümünü hesap edelim.
(i) Lokal hata  =0.5 sayısından küçük kalacak şekilde adım genişliği
seçildiğinde elde edilen çözümler aşağıda verilmiştir.
hi
ti
1
4
4
4
0
0
1
0.288
1.288
5.44
5.71454
5.71454
0.2745
0.2745
2
0.288
1.576
7.37766
8.09745
7.7313
0.35362
0.71979
3
0.288
1.864
9.95631
11.3718
10.4118
0.45545
1.41548
4
0.136
2
11.5639
13.3097
11.688
0.12413
1.74583
i
0
yi
x(t i )
z (t i )
| LE i |
| GEi |
Tablo 6.2.2.i (a): Euler metodu kullanılarak elde edilen çözüm
Burada f(t, x) fonksiyonunun maksimum değeri tüm bölgede aynı olduğundan
adım genişliği eşit bulunmuştur.
Grafik 6.2.2.i (a)
60
Grafik 6.2.2.i de üstteki şekil problemin tam çözümü, alttaki eğri ise Tablo
6.2.2.i (a) dan elde edilen spline fonksiyonudur.
i
hi
0
ti
yi
x(t i )
z (t i )
| LE i |
| GEi |
1
4
4
4
0
0
1
0.469434
1.469434
7.00827
7.1251
7.1251
0.11683
0.11683
2
0.469434
1.938868
12.0323
12.4036
12.2168
0.1845
0.3713
3
0.061132
2
12.9144
13.3097
12.9149
0.0005
0.3953
Tablo 6.2.2.i (b):Runge- Kutta metodu kullanılarak elde edilen çözüm
Burada f(t, x) fonksiyonunun maksimum değeri tüm bölgede aynı olduğundan
adım genişliği eşit bulunmuştur.
Grafik 6.2.3.i
Grafik 6.2.2.i (b) de alttaki şekil Tablo 6.2.2.i (b) den elde elde edilen spline
fonksiyonun şekli, üstteki ise problemin tam çözümünü gösterir.
61
(ii) Global hata  g =0.6 sayısından küçük kalacak şekilde adım genişliği
seçelim. Elde edilen sonuçlar aşağıda verilmiştir.
i
hi
0
ti
yi
x(t i )
z (t i )
| LE i |
| GEi |
1
4
4
4
0
0
1
0.288
1.288
5.44
5.71454
5.71454
0.2745
0.2745
2
0.009
1.297
5.5006
5.77789
5.500866
0.000266
0.27729
3
0.012
1.309
5.5822
5.86337
5.582735
0.000535
0.28117
4
0.00006
1.30906
5.5826
5.8638
5.582613
0.000013
0.2812
Tablo 6.2.2.ii (a):  L1 =0.5 alınarak Euler metodu ile elde edilen çözüm
Grafik 6.2.2.ii (a)
Grafik 6.2.2.ii (a) daki üstteki eğri, problemin tam çözümünü, alttaki eğri ise
Tablo 6.2.2.ii (a) dan elde edilen spline fonksiyonunu gösterir.
62
i
hi
0
ti
yi
x(t i )
z (t i )
| LE i |
| GEi |
1
4
4
4
0
0
1
0.0778
1.0778
4.407158
4.407638
4.407638
0.00048
0.00048
2
0.00004
1.07784
4.407377
4.407858
4.407377
0.0000004
0.00048
Tablo 6.2.2.ii (b): İkinci mertebeden Runge- Kutta metodu kullanılarak elde edilen çözüm
Grafik 6.2.2.ii (b)de işaret edilen noktaya kadar olan kısım tablodan elde
edilen fonksiyonun şeklidir. Görüldüğü gibi neredeyse tam çözümle aynıdır.
Grafik 6.2.2.ii (b)
Çözüm 6.2.3. Picard teoremi ve hata analizi tabanlı adım genişliği seçerek D bölgesi
üzerinde (6.1) Cauchy probleminin yaklaşık çözümü Tablo 6.2.3 deki şekilde elde
edilmiştir. Burada işlem kolaylığı için nümerik metot olarak Euler metodu
kullanılmıştır. Tablo 6.2.3 den elde edilen spline fonksiyonu ve problemin tam
çözümü Grafik 6.2.3 de verilmiştir.
63
hi
i
0
ti
yi
x(t i )
z (t i )
| LE i |
| GEi |
1
4
4
4
0
0
6.08333
6.68472
6.68472
0.601385
0.601385
1
0.416667
1.416667
2
0.10917
1.525837
6.9021
7.62541
6.95465
0.05255
0.72331
3
0.00599
1.531827
6.95258
7.68041
6.95275
0.00017
0.72783
4
0.000018
1.531845
6.95273
7.68057
6.95273
0
0.72784
Tablo 6.2.3
Grafik 6.2.3
Üçüncü örnek çözümü sonsuz süreksizlik noktasına sahip olan bir problem
olsun.
Örnek 6.3. D = {( t, x ): | t |  2, | x  1 |  5} bölgesi üzerinde
x (t )  x 2 (t )
x ( 0)  1
(6.3)
64
Cauchy problemi verilsin.
Çözüm 6.3.1. Picard teoremi tabanlı adım genişliği seçerek D bölgesi üzerinde (6.3)
Cauchy probleminin yaklaşık çözümü Tablo 6.3.1 deki şekilde elde edilmiştir.
Burada işlem kolaylığı için nümerik metot olarak Euler metodu kullanılmıştır.
i
hi
0
ti
yi
0
1
1
0.138889
0.13889
2
0.132675
0.271564
1.138889
3
0.125538
0.397103
1.52674
4
0.117376
0.514478
1.80033
5
0.108121
0.622599
2.15077
6
0.0977832
0.720383
2.6031
7
0.0864946
0.806877
3.18919
8
0.745569
0.881434
3.94751
9
0.0624548
0.943889
4.92073
10
0.0508022
0.994691
6.15084
1.31098
11
0.040212
1.0349
7.67217
12
0.0311364
1.06604
9.50492
13
0.0237651
1.0898
11.6519
14
0.0180319
1.10784
14.1001
Tablo 6.3.1
Tablo 6.3.1 den elde edilen spline fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.
t=1 noktası verilen problemin sonsuz süreksizlik noktasıdır. Fakat Tablo 6.3.1 de de
görüldüğü gibi bu noktayı içine alan bir bölgede problemin çözümü hesap edilmiştir.
Grafik 6.3.1 de işaret edilen noktadan itibaren verilen problemin çözümünü
ifade etmez.
65
Grafik 6.3.1
Çözüm 6.3.2. Picard teoremi ve hata analizi tabanlı adım genişliği seçerek
D
bölgesi üzerinde (6.3) Cauchy probleminin yaklaşık çözümü Tablo 6.3.2 deki şekilde
elde edilmiştir. Burada işlem kolaylığı için nümerik metot olarak Euler metodu
kullanılmıştır. Tablo 6.3.2 den elde edilen spline fonksiyonu Grafik 6.3.2 de
verilmiştir.
hi
ti
0
1
1
0.138889
0.13889
1.138889
2
0.148022
0.286911
1.33088
3
0.15433
0.4134
1.60442
4
0.150566
0.591909
1.992
5
0.121314
0.713223
2.47339
6
0.0610369
0.77426
2.84679
7
0.0119709
0.786231
2.94381
8
0.000423915
0.786655
2.94748
9
0
0.786655
2.94748
i
0
Tablo 6.3.2
yi
66
Grafik 6.3.2
Picard teoremi ve hata analizi tabanlı adım genişliği seçildiğinde problemin
çözümünün var ve tek olduğu bölgede çözüm hesaplanmıştır.
67
7. DEĞERLENDİRMELER
Bu
çalışmada,
birinci
mertebeden
integrasyonunda adım genişliği seçiminin
Cauchy
probleminin
nümerik
önemi üzerinde durulmuştur. Cauchy
problemini nümerik metotla çözmeye başlamadan önce çözümün var ve tek olduğu
bölgeyi belirlemek gerektiği tespiti yapılmıştır. Çözümün var ve tek olduğu bölge
tespit edildikten sonra nümerik metot kullanıldığında elde edilen hesaplamaların,
problemin tam çözümü yerine kullanılabilecek kadar yakın olması
için adım
genişliğinin uygun şekilde seçilmesi gerektiği belirtilmiştir.
Burada, Cauchy problemi için Picard teoremi (lokal varlık ve teklik teoremi)
ele alınmıştır. Picard teoremi taban seçilerek adım genişliği seçimi verilmiştir. Eğer
ele alınan Cauchy probleminin tam çözümünün tanımsız olduğu nokta (sonsuz
süreksizlik noktası) yoksa, Picard teoremi tabanlı adım genişliği seçildiğinde iyi
sonuçlar elde edilmektedir. Fakat problemin sonsuz süreksizlik noktası varsa bu
noktalarda da çözüm varmış gibi hesap edilebildiği tespiti yapılmıştır. Daha sonra
hata analizi tabanlı adım genişliği seçimi verilmiştir. Global hata göz önüne alınarak
adım genişliği seçildiği zaman tam çözüme oldukça yakın bir çözüm elde edilmesine
rağmen verilen bölgenin tamamında yaklaşık çözüm elde edilmeyebilmektedir.
Seçilen  Li ve hi lere bağlı olarak  g kadar hata yapıldığı zaman işlem durur ve bir
sonraki adıma geçilemez. İlk adımdan itibaren her bir adımda  Li hataları ne kadar
küçük seçilirse bölgede o kadar ilerlerlenebilir. Dolayısıyla global hataya bağlı adım
genişliği seçmek pratik değildir. Ayrıca, problem sonsuz süreksizlik noktasına sahip
ise, Picard teoremi dikkate alınmadan işlem yapıldığında yine çözümün olmadığı
noktada çözüm hesaplama problemi ile karşılaşılmaktadır. Verilen adım genişliği
stratejilerinden sonuncusu Picard teoremi ve hata analizi tabanlı adım genişliği
seçimidir. Picard teoremi ve hata analizi tabanlı adım genişliği seçildiğinde, verilen
Cauchy problemine sadece çözümün var ve tek olduğu bölge üzerinde çözüm
hesaplanmaktadır. Burada verilen adım genişliği stratejileri için birinci mertebeden
Cauchy probleminin nümerik integrasyonunda adım genişliği ve yaklaşık çözüm
hesaplayan algoritmalar verilmiştir. Ayrıca; Picard teoremi ve hata analizi tabanlı
68
adım genişliği seçimi için verilen algoritma, her bir adımda adım genişliği ve
yaklaşık çözüm ile birlikte oluşan lokal hatayı da hesaplamaktadır.
Son olarak; verilen algoritmalarla ilgili nümerik örnekler verilmiştir.
69
8. KAYNAKLAR
Akın Ö. ve Bulgak H., “Lineer Fark Denklemleri ve Kararlılık Teorisi”, Selçuk
Üniversitesi Yayınları, Konya, (1998)
Aydın K., Bulgak A. ve Bulgak H., “Bilgisayarla Matematik Analiz”, Selçuk
Üniversitesi Yayınları, Konya, (2003)
Aydın K., Bulgak A., Bulgak H., Chumakova N.A., “Global Error Estimation in
Numerical Integration of Ordinary Differential Equations”, Report No.4/2001,
Konya, (2001)
Beyn Wolf-Jürgen and Garay Barnabes M., “Estimates of Variable Stepsize
Runge- Kutta Methods For Sectorial Evolution Equations With Nonsmooth Data”,
Applied Numerical Mathematics, 41: 369-400, (2002)
Brock W.A. and Malliaris A.G., “Diferential Equations,Stability and Chaos in
Dynamic Economics”, Elsevier Science Publishers, Amsterdam, (1989)
Bulgak A., “İnterval Matrislerin Pratik Terslenebilirliğini Bilgisayarda Tespit Eden
Bir Algoritma”, Doktora Tezi, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Konya,
(2000)
Bulgak H., “Diferensiyel Denklemler”, (Henüz basılmadı)
Bulgak H. and Eminov D., “Computer dialogue system MVC”, Selcuk J. Appl.
Math., vol. 2, No.2, pp. 17-38, (2001).
Bulgak A. ve Bulgak H., “Lineer Cebir”, Selçuk Üniversitesi Yayınları, Konya,
(2001)
70
Bulgak A. and Eminov D., “Graphics Consructior 2.0” , Selcuk J. Appl. Math.,
vol. 4, no. 1, 99. 42-57, (2003)
Conte S. D. and de Boor Carl , “Elemantary Numerical Analysis”, Mc Graw-Hill,
Singapore, (1981)
Carroll J., “webpages.dcu.ie/~carrollj/ms202.html ”, Outline Lecture Notes,
Numerical Solution of ODE Initial Value Problems, MS202- Numerical Analysis II,
(2002)
Çıbıkdiken A. O., “Elemanter Matris İşlemlerinde Hata Tahmini”, Yüksek Lisans
Tezi, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Konya, (2002)
Gear C. W., “Numerical Initial Value Problems In Ordinary Differential Equations”
, Prentice- Hall, New Jersey, (1971)
Godunov S. K., Antonov A. G., Kiriljuk O. P. And Kostin V. I., “Guaranteed
Accuracy in Numerical Linear Algebra”, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht,
(1993)
Golub G. H. and Ortega J. M., “Scientific Computing and DifferentialEquations”,
Academic Pres Limited, London, (1992)
Guglielmi N. and Zennaro M., “On the Zero- Stability of Variable Stepsize
Multistep Methods: The Spectral Radius Approach”, Numerische Mathematik, 88:
445-458 (2001)
Hairer E. and Wanner G., “Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff and
Differential- Algebraic Problems”, Springer- Verlag, New York, (1991)
71
Hall G. and Usman A., “Modified Ordeer and Stepsize Strategies in Adams Codes”
, Journal of Computatıonal and Applied Mathematics,111: 113-122 (1999)
Miranker W. L. , “Numerical Methods for Stiff Equations and Singular
Perturbation Problems”, D. Rediel Publishing Company, Holland, (1981)
Rao M. Rama Mohana, “Ordinary Diferential Equations Theory and
Applications”, Indian Institue of Tecnology, Kanpur, (1979)
Rice Richard G. and Do Duong D., “Applied Mathematics and Modeling For
Chemical Engineers”, John Wiley&Sons, Inc, Canada, (1995)
Sardar Tasneem K. and Higham Desmond J., “Dynamics of Constant and
Variable Stepsize Methods For a Nonlinear Population Model With Delay”, Applied
Numerical Mathematics, 24: 425-438 (1997)
Usman A. and Hall G., “Equilibrium States for Predictor- Corretor Methods”,
Journal of Computatıonal and Applied Mathematics, 89: 275-308 (1998)
Usman A. and Hall G., “Alternative Stepsize Strategies for Adams PredictorCorretor Codes”, Journal of Computatıonal and Applied Mathematics,116: 105-120
(2000)
Wille David R., “Experiments in Stepsize Control for Adams Linear Multistep
Methods”, Advances in Computational Mathematics, 8: 335-344 (1998)