Hızlandırıcı Fiziği

HPFBU
Hızlandırıcı Fiziği
Enine Demet Dinamiği I
Dr. Öznur METE University of Manchester
The Cockcroft Institute of Accelerator Science and Technology
İletişim Bilgileri
oznur.mete@cockcroft.ac.uk
oznur.mete@manchester.ac.uk
www.cern.ch/omete
1
Temel Taşlar
Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları
HPFBU
Demet Bükülmezliği (rigidity)
Hızlandırıcılarda, parcacıklar önceden belirlenmiş yörüngelerde hareket ederler.
‣
‣
Nasıl? Saptırıcı magnetik alanlar kullanılarak.
Ne kadar? Parcacıkların merkezcil kuvvetleri ve Lorentz kuvveti arasındaki dengeye bağlı olarak.
gnet
a
M
lu
p
u
t
u
K
i
İk
FLorentz = qE + q[v ⇥ B]
Fmerkezcil =
mv 2
p
B. =
q
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
2
Temel Taşlar
Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları
HPFBU
Demetin enine ölçüleri, demetin gezinge yarıçapına (~hızlandırıcının çevresi) göre küçük olduğu
için magnetik alanı ideal gezinge (trajectory) civarında seriye açabiliriz.
Taylor Açılımı:
f (x) = f (x0 ) +
(x
x0 )
(x x0 )2
f (x0 ) +
f (x0 ) + ...
1!
2!
B magnetik alanının demetin ilerleme eksenine dik eksen civarında Taylor açılımına bakalım:
dBy
1 d2 By 2
1 d3 By 3
By (x) = By0 +
x+
x +
x + ...
dx
2! dx2
3! dx3
y
momentuma normalize edelim, p/e
B(x)
B0
g
1 g0 2
1 g 00 3
=
+
x+
x +
x + ...
p/e
B0
p/e
2! p/e
3! p/e
B(x)
1
1
1 3
2
= + kx + mx + ox + ...
p/e
2!
3!
s
dairesel koordinat sistemi
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
3
Temel Taşlar
Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları
Magnetin kutup sayısı
Magnetik yetkinliği
1
iki-kutuplu (dipole)
dört-kutuplu (quadrupole)
HPFBU
Etkisi
=
e
Bz0
p
yönlendirme (steering)
k=
e dBz
p dx
odaklama (focusing)
altı-kutuplu (sextupole)
e d2 Bz
m=
p dx2
renklilik karşılama (chromaticity compensation)
sekiz-kutuplu (octupole)
e d3 Bz
o=
p dx3
alan hataları ve hata karşılama
(field errors and compensation)
...
...
v.b.
B(x)
1
1
1 3
2
= + kx + mx + ox + ...
p/e
2!
3!
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
4
Temel Taşlar
Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları
HPFBU
Bir İki Kutuplunun (Dipolun) Alan Kuvveti (yetkinliği)
1
e
= B
p
1
e
=
B
⇥
mv
1
ec
=
B
⇤
⇥m cc
1
ec
=
B
⇥
E
Hatırlatıcı
p = mv
v= c
1
B⇥[T.m] =
E
ec
“normalize alan kuvveti”
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
1
[m
1
B⇥[T.m] =
E[GeV ]
0.2998
1
0.2998.B0 (T )
]=
p(GeV /c)
5
Temel Taşlar
Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları
Bir Dört Kutuplunun (Quadrupole) Odaklama Kuvveti (yetkinliği)
Doğrusal olarak artan bir Lorentz kuvveti gerekiyor:
“normalize alan kuvveti”
k[m
“bir dört-kutuplunun odak uzakligi”
Dört Kutuplu Magnet
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
Bx = gy By = gx
6
2
0.2998.g
]=
p(GeV /c)
1
f=
k · lq
HPFBU
Temel Taşlar
Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları
HPFBU
CERN, PS 1959
CERN, SPS 1976
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
7
Temel Taşlar
Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları
HPFBU
Bundan sonrası için yapacağımız yaklaşımlar:
‣
Hesapları ideal parçacığı ve tasarım yörüngesini göz önünde
bulundurarak yapalım.
‣Diğer
parçacıkların demet içinde sayılması için gereken koşul:
x, y <<
‣Magnetik
kılavuz alan için koşul: Alanın x,y bileşenler cinsinden
sadece doğrusal terimleri göz önünde bulundurulacak.
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
8
Hareket denklemi
Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları
d2 ⇥
ar = 2
dt
Yarıçapsal ivmelenme
d 2
⇥( )
dt
Genel gezinge
İdeal yörünge
= constant
HPFBU
+x
d
=0
dt
d2
F = m 2 (x + )
dt
{
{
d 2
F = m⇥( ) = m⇥⇤ 2
dt
mv 2
= eBy v
x+
F = mv 2 /⇢ = m⇢! 2
2
x
2
d
d
(x + ) = 2 x
2
dt
dt
mm
1
x+
⇥
1
(1
y
d2 x
m 2
dt
s
Dairesel koordinat (eşgüdüm) sistemi
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
9
mv 2
(1
x
) = eBy v
m
x
)
Türetim - 1
‣
By
By = B0 + x
x
Doğrusal yaklaşıma göre kılavuz alan
d2 x
m 2
dt
mv 2
(1
x
d2 x
dt2
⇥By
) = ev(B0 + x
) :m
⇥x
v2
(1
‣ Bağımsız değişkenin değişimi: t -> s
2
dx
dx ds
d
x
d dx ds
d dx ds ds
=
= (
)=
(
)
2
dt
ds dt
dt
dt ds dt
ds ds dt dt
x v
x
x
2
v2
1
1
x
(1
x
(1
+
x
2
B0
xg
=
+
p/e p/e
x + x(
1
evB0
evxg
)=
+
m
m
\
d2 x
dx dv
2
=x v +
v
2
dt
ds ds
evB0
evxg
)=
+
m
m
eB0
exg
)=
+
mv
mv
Review of CAS - Accelerator Physics' 09 May/2010
x
:v^2
mv=p
g/(p/e)=k
k) = 0
2
10
O.Mete
Hareket denklemi
Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları
Özetle
‣
‣
Doğrusal yaklaşım altında kılavuz alanı,
Bağımsız değişken değişimi, parçacık momentumuna normalizasyon,
önceki sayfa...
d2 x
m 2
dt
mv 2
x + x(
(1
1
x
) = eBy v
k) = 0
2
k = 0, x =
1
2
x
YORUM: Dört-kutuplu magnetler olmaksızın bile iki-kutuplu
magnetin eğme düzleminde bir geri-çağırıcı kuvvet var.
“Zayıf odaklama”.
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
11
HPFBU
Hareket denklemi
Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları
HPFBU
Özetle
‣
‣
‣
Doğrusal yaklaşım altında kılavuz alanı,
Bağımsız değişken değişimi, parçacık momentumuna normalizasyon,
ve bazı hesaplamalar,
önceki sayfa...
d2 x
m 2
dt
mv 2
x + x(
(1
1
x
) = eBy v
k) = 0
2
Equation for the vertical motion
1
2
=0
k⇥
k
no dipoles...in general...
quad field changes sign
y + ky = 0
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
12
Hareket denklemi
Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları
x + x(
1
2
k) = 0
Tanım:
1
Yatay düzlemde:
K=
Dikey düzlemde:
K=k
x
2
k
Kx = 0
Harmonik salınıcının hareket denklemi!
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
13
HPFBU
Hareket denklemi
Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları
HPFBU
Harmonik salınıcı denklemini genel
çözümü: x0
x(s) = x0 cos( Ks) +
sin( Ks)
K
x (s) =
x0
⇥
M=
⇥
⇥
Ksin( Ks) + x0 cos( Ks)
⇤
cos |K|s
⇤
⇤
|K|sin |K|s
s = s1
s = s0
Odaklama
⇥
⇤
⇥1 sin |K|s
|K|
⇤
cos |K|s
K>0
Bir parçacığın, S0 konumundaki (x,x’) noktalarını M matrisini kullanarak S1 konumu için
hesaplayabiliriz. Bu M matrisine “iletim matrisi” denir.
x
x
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
⇥
=M
s1
14
x
x
⇥
s0
Hareket denklemi
Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları
M=
⇤
cos |K|s
⇤
⇤
|K|sin |K|s
Gezinge boyunca magnet yoksa…
⇥
⇤
⇥1 sin |K|s
|K|
⇤
cos |K|s
p
sin |k|x
lim p
=x
k!0
|k|
K=0
1
0
M=
s
1
⇥
Sürüklenme boşluğu için iletim matrisi.
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
15
HPFBU
Hareket denklemi
Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları
⇤
cos |K|s
⇤
⇤
|K|sin |K|s
M=
⇤
⇥1 sin
|K|
|K|s
⇤
cos |K|s
K<0
x
x
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
⇥
=M
s1
16
⇥
s = s1
s = s0
Dağıtma
HPFBU
x
x
⇥
s0
İnce lens yaklaşımı
Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları
HPFBU
Kullanışlılık açısından aşağıdaki gibi bir durum incelenebilir:
1
f=
>> lq
klq
lq
0
klq = constant
Genellikle bir magnetin uzunluğu odak uzunluğundan mertebece küçüktür.
matrix of a focusing quadrupole
matrix of a defocusing quadrupole
⇥
⇥
MQF =
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
1
1
f
0
1
MQD =
17
1
1
f
0
1
İnce lens yaklaşımı
Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları
HPFBU
Kullanışlılık açısından aşağıdaki gibi bir durum incelenebilir:
1
f=
>> lq
klq
lq
0
klq = constant
Genellikle bir magnetin uzunluğu odak uzunluğundan mertebece küçüktür.
[
p
cos( |K|s) = 1
p
p
1
p
sin( |K|s) = s
|K|
2
p
s |K|
+ ...
2
|K|sin( |K|s) =
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
s3 |K|2
s|K| +
6
18
...
cos(
p
|K|s) = 1
s2 |K|
+ ...
2
s2 |K|2
+ ...
2
]
Örgü birimleri boyunca demet iletimi
Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları
HPFBU
Tek örgü birimleri için ayrı ayrı bulunmuş sonuçlar, bu birimlerin
iletim matrislerinin çarpılması ile birleştirilir.
Mtotal = MQF
MD
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
MBend MD
19
MQD
MD
MBend MD ...
Örgü birimleri boyunca demet iletimi
Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları
HPFBU
Tek örgü bileşenleri için ayrı ayrı bulunmuş sonuçlar, bu
bileşenler,m iletim matrislerinin çarpılması ile bulunur.
Mtotal = MQF
MD
MBend MD
MQD
MD
MBend MD ...
Örnek: FoDo Örgüsü
MF oDo = MQF
=
1
1
2f
MD
0
1
MQD
⇥
⇥
MD
1 l
0 1
yarım hücre
MQF
⇥
1
⇥
1
f
0
1
⇥
⇥
1 l
0 1
⇥
FODO örgüsü için iletim matrisi
MF oDo =
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
l2
2f 2
1
l
2f 2 (1
+
20
l
2f )
2l(1
1
l
2f )
l2
2f 2
⇥
⇥
1
1
2f
0
1
⇥
Hill Denklemi
Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları
HPFBU
Periyodik odaklama koşulları altında hareket denklemi…
George William Hill (1838 - 1914) Mathematician - Astronomer http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hill.html
Hill Denklemi
x (s)
k(s)x(s) = 0
k(s) demek, odaklama
özellikleri hızlandırıcı
boyuncaki konuma bağlı
demektir.
Genel Çözümü
x(s) =
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
⇥
(s)cos(⌅(s) + ⇤)
21
Türetim - 2
(1)
(2)
(3)
x(s) =
Evre uzayı
⇥
Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları
(s)cos(⌅(s) + ⇤)
cos(⌅(s) + ⇤) =
x(s)
(s)
⇥
x (s) =
⇥
⇤
⇥(s)
HPFBU
[ (s)cos(⇧(s) + ⌅) + sin(⇧(s) + ⌅)]
sin(⇧(s) + ⌅) =
⇥x + x
⇥
⇥(s) ⇤
2
x
(s)
2
cos (⌅(s) + ⇤) =
⇥ (s)
1 2
sin (⇧(s) + ⌅) =
(⇥ (s)x 2 (s) + 2⇥(s) (s)x (s)x(s) +
⇤⇥
2
(4)
sin2 (⇥(s) + ) + cos2 (⇥(s) + ) = 1
(5)
⌅ = ⇤(s)x(s)2 + 2 (s)x(s)x (s) + ⇥(s)x (s)2
Ek olarak:
(s) =
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
1 + 2 (s)
⇤(s) =
⇥(s)
1
⇥ (s)
2
22
2
(s)x2 (s))
Evre uzayının korunumu
Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları
HPFBU
Demetin evre uzayındaki yayımı (emittance) korunumludur.
‣
Demetin x-x’ uzayındaki davranışı, s konumuna göre parametrik bir elips ile tanımlanır.
⌅ = ⇤(s)x2 (s) + 2 (s)x(s)x (s) + ⇥(s)x 2 (s)
x
( ⇥ ,
⇥/
.
.
⇤/⇥ )
.
(
⇥ ,
⇤/⇥ )
Max. genlik
.
‣Büyük
beta fonksiyonu geniş bir demetin
ve küçük açılmanın (divergence)
x
göstergesidir. Tersi de doğrudur.
⇥/
‣Dört-kutuplu magnetin ekseninin ortasında,
⇥ = maximum, = 0
x =0
‣
‣
x, x’ uzayında bir elipsin parametrik gösterimidir.
Bu elipsin şekli ve yönelimi α, β, γ parametrelerince (Twiss parametreleri)
belirlenir.
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
23
Evre uzayının korunumu
Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları
HPFBU
Demetin evre uzayındaki yayımı (emittance) korunumludur.
‣
Demetin x-x’ uzayındaki davranışı, s konumuna göre parametrik bir elips ile tanımlanır.
⌅ = ⇤(s)x2 (s) + 2 (s)x(s)x (s) + ⇥(s)x 2 (s)
x
( ⇥ ,
⇥/
.
.
ık
c
a
rç r. a
i
p
d
i
n
na elliğ
a
ps l öz
a
k
e
a
m
c
!
ın n te
z
n
e
la
nu ğişm
a
⇥/
u
’
ğ
x
e
u
D
x, plul
to
.
Liouville Teoremi: Evre uzayında demetin kapladığı
alan korunumludur.
⇤/⇥ )
.
(
⇥ ,
⇤/⇥ )
✏/
x
r r
Normalize yayınım
(emittance):
✏⇤ = (
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
1
24
r r )✏
Betatron Fonksiyonu
Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları
HPFBU
Daha önce görmüş olduğumuz matris formalizmi, çok parçacıktan oluşan bir sistemin,
yani demetin, bileşke davranışı hakkında bilgi vermez.
courtesy B. Holzer
x(s) ile tanımlanan ideal yörünge civarında gerçekleşen enine salınımlara “Betatron salınımları” denir.
Hızlandırıcı boyunca magnetik örgünün odaklama özelliklerinin tanımlandığı periyodik fonksiyondur.
(s + L) = (s)
“0” ve “s” noktaları arasındaki “evre ilerlemesi” (phase advance)
⇥(s) =
0
1
Q=
2⇥
Tam bir devir için,
tur başına salınım sayısına “ayar” (tune) denir.
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
s
25
ds
(s)
ds
(s)
Betatron Ayarı
Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları
“0” ve “s” noktaları arasındaki “evre ilerlemesi” (phase advance)
s
⇥(s) =
0
Tam bir devir için,
1
Q=
2⇥
tur başına salınım sayısına “ayar” (tune) denir.
HPFBU
ds
(s)
ds
(s)
Betatron ayarı enine düzlemde parçacık hareketini tanımlamak için kullanılan önemli bir parametredir.
İdeal bir hızlandırıcı (ideal magnetler ve hizalama) ve tamamen monochromatic bir demet için betatron
ayar değerleri sistemdeki quadrupollerin kuvvet değerlerine uygun herhangi bir değer olabilir. Ancak
gerçekte, magnetik alanlarda ve bileşenlerin hizalanmasında ufak hatalar oluşması kaçınılmazdır. Bu tür
kusurlardan kaynaklanan karasızlıklardan kaçınmak için hızlandırıcının betatron ayarı çok dikkatli
seçilmelidir.
Basit bir örnek verelim: Ayarın tamsayı bir değer olduğu bir hızlandırıcıda dipole alanında bir hata
olduğunu düşünelim. Bu durumda parçacık perturbasyon bölgesine her turda aynı faz ilişkisi ile
varacaktır. Alan hatasında kaynaklanan tekme (“kick”) parçacıkların her turunda sistematik olarak
eklenecek, salınımın genliği ta ki parçacıklar hızlandırıcının duvarlarında yok olana dek artacaktır.
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
26
Betatron Ayarı
Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları
HPFBU
Ayar Rezonansı
‣Çok
kutuplu magnetlere ilişkin alan hataları aynı dereceden ayar rezonanslarına sebep olacaktır.
Kaynak alan
İki kutuplu
Rezonans koşulu
Q=p
Dört kutuplu
2Q=p
Altı kutuplu
3Q=p
Sekiz kutuplu
4Q=p
vs.
…
‣ Her hızlandırıcı için iki ayar değeri tanımlanır: Qx
‣ Yüksek dereceden kutuplarda bir düzlemdeki alan
ve Qy.
kuvveti bir diğer düzlemde demetin konumuna
bağlıdır. Yani, betatron salınımı bu iki düzlemde bağlaşımlıdır.
pQx + qQy = m
‣
‣
‣
m, n, p, : tam sayılar
|p| + |q| değerine rezonansın derecesi denir.
Bir hızlandırıcı için tanımlanan Qx ve Qy çiftine, o hızlandırcının çalışma noktası denir.
Rezonansın kuvveti derecesi arttıkça hızla düşeceğinde, sadece 5. dereceye kadar olan rezonanslar
göz önünde bulundurulabilir.
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
27
Betatron Ayarı
Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları
HPFBU
Rezonans Diagramı
pQx + qQy = m
m, n, p, : tam sayılar
Rezonanslara sebep olan istenilmeyen ayar
kombinasyonları bir ayar diagramında
gösterilebilir. Demetin ayar uzayında kapladığı
alana “ayar ayakizi (tune footprint)” denir. Hızlandırıcının performansı ve deneylerdeki
parçacık ardalanı ayar diagramındaki ayakizine
hassas bir şekilde bağlıdır.
CERN-SL-2000-037-DI
https://jwenning.web.cern.ch/jwenning/documents/lepmain_sl.pdf
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
28
Betatron Ayarı
Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları
HPFBU
Rezonans Diagramı
ALIŞTIRMA
Qx=0:1, m=-3:3 aralığında 4. dereceye kadar olan
rezonans dogrularını çiziniz.
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
29
homojen olmayan hareket denklemi
Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları
HPFBU
Homojen olmayan hareket denklemi için parçacık gezingeni
y
p/p = 0
‣
Demet içinde momentum yayılımının
sıfırdan farklı olduğu durumu inceleyelim.
dairesel koordinat sistemi
x + x(
1
2
k) =
p1
p0
Sonraki sayfaya gidiniz. -->
Homojen olmayan hareket denkleminin çözümü
p
x(s) = x (s) + D(s) ·
p
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
30
s
Türetim - 3
Homojen olmayan hareket denkleminin türetilmesi
1
x
Türetim 2‘den hatırlayalım:
(1
x
eB0
exg
)=
+
mv
mv
p = p0 +
p
Hesabımızı küçük bir momentum hatası olduğunu göz önüne alarak yineleyelim:
1
p << p0 ⇤
p0 +
x
1
+
x
2
eB0
⇥
p0
1
⇥
p
p0
p20
p
exg
eB0 +
2
p0
p0
k x
1
2
k) =
xeg
p
p20
}
}
}
1
x + x(
p
0 (x, p
small)
p1
p0
Momentum yayılımı hareket denkleminin sağ tarafına ek bir terim getiriyor.
Review of CAS - Accelerator Physics' 09 May/2010
31
O.Mete
homojen olmayan hareket denklemi
Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları
HPFBU
Homojen olmayan hareket denklemi için parçacık gezingeni
matris formalizmi
x(s) = x (s) + D(s) ·
p/p
x(s) = C(s) · x0 + S(s) · x0 + D(s) ·
x
x
⇥
=
s
C
C
S
S
⇥
x
x
⇥
p
+
p
0
p/p
D
D
⇥
veya
⇤
⇥
x
C
⌅ =⇤ C
x
p/p s
0
S
S
0
⇥
D
D ⌅·⇤
1
⇥
x
⌅
x
p/p 0
‣
‣
‣
İdeal parçacığın sahip olduğu yörünge dp/p = 0 için tanımlıdır.
‣
‣
Dağılıma iki-kutuplu magnetler sebep olur.
Herhangi bir parçacığın yörüngesi ise xβ ve dağılımdan gelen terimin toplamına eşittir. D(s), örgünün odaklama özelliklerine bağlı diğer bir yörüngeyi tanımlar.
Çarpıştırıcıların etkileşme noktalarında dağılım değeri sıfır olmalıdır.
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
32
momentum sıkıştırması
Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları
HPFBU
Homojen olmayan hareket denklemi için parçacık gezingeni
Momentum Sıkıştırma (compaction) Katsayısı
Dağılım (dispersion) fonksiyonu aracılığı ile parçacığın momentum dağılımı
ve boyuna hareketini ilişkilendirir.
Momentumu sapmış parçacıklar için yörüngenin uzaması:
cp
1
=
L
⇥l
=
L
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
D(s)
ds
⇥(s)
cp
33
p
p
momentum sıkıştırması
HPFBU
Basic concepts of transverse and longitudinal beam dynamics
Homojen olmayan hareket denklemi için parçacık gezingeni
Dört Kutuplu Hataları ve Renklilik (Quadrupole Error and Chromaticity)
‣
‣
‣
Quadrupole hataları ayar (tune) kaymasına sebep olur.
ΔQ, quadrupole içindeki β fonksiyonu ile orantılıdır.
Renklilik momentumdaki hatayı ayar kayması ile ilişkilendiren
katsayıdır.
Q=
s0 +l
s0
K(s) (s)ds
4⇥
Q =
p
Q=Q
p
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
34
1
4⇥
K(s) (s)ds
Alıştırma
HPFBU
CERN’de bulunan Super Proton Synchrotron’undan LHC’ye aktarılacak demetin enine
genişliğinin hesaplanması.
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
35
Alıştırma
HPFBU
CERN’de bulunan Super Proton Synchrotron’undan LHC’ye aktarılacak demetin enine
genişliğinin hesaplanması.
Konum=~3969.26 m ("@QF.41610")
βx = 106.6 m
Dx = -0.44 m
εx = 1x10-8 m
Δp/p = 0.287x10-3
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
36
Alıştırma
HPFBU
CERN’de bulunan Super Proton Synchrotron’undan LHC’ye aktarılacak demetin enine
genişliğinin hesaplanması.
Konum=~3969.26 m ("@QF.41610")
βx = 106.6 m
Dx = -0.44 m
Quadratic Toplam
s
⇤x,y =
⇥x,y
x,y
+ (Dx
εx = 1x10-8 m
Δp/p = 0.287x10-3
Doğrusal Toplam
p 2
)
p
⇤x,y =
p
⇥x,y
x,y
+ |Dx
p
|
p
Toleranslar
⇤x,y = ⌅
p
⇥x,y
x,y
+ ⌅ |Dx
p
|+c
p
τ = 1.1, c = 100 μm alarak ve doğrusal toplam yolunu kullanarak demetin enini
hesaplayınız.
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
37
HPFBU
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
38
HPFBU
www.cern.ch/acctr
Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I
39