STATİK

STATİK
Ders_3
Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR
DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü
Ders notları için:
http://kisi.deu.edu.tr/serkan.misir/
2017-2018 GÜZ
NOKTASAL CİSMİN DENGESİ, SERBEST CİSİM
DİYAGRAMI VE EŞDÜZLEMLİ KUVVET SİSTEMLERİ
Bugünün Hedefleri:
a) Serbest cisim diyagramının (SCD) çizilmesi,
b) Denge denklemlerinin iki boyutlu (2D) bir
problemin çözümü için kullanılması.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
Sınıf Etkinliği:
• Sözel Yoklama
• Uygulamalar
• SCD için Ne, Niye,
Nasıl
• Denge Denlemleri
• Yay ve Makaraların
Analizi
• Kavramsal Yoklama
• Örnek Problem Çözümü
• Dikkat Yoklaması
3- 2/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.61
SÖZEL YOKLAMA
1) Eğer bir parçacık dengedeyse, üzerine etkiyen toplam
kuvvet ___ . (En uygun cevabı bulunuz.)
A) sabittir
B) bir pozitif sayıdır
D) bir negatif sayıdır E) bir tamsayıdır
C) sıfırdır
2) Sürtünmesiz bir makara ve bir kablo için, kablodaki
kuvvetler (T1 ve T2) içi hangisi doğrudur?
A) T1 > T2
B) T1 = T2
C) T1 < T2
D) T1 = T2 sin 
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 3/67
UYGULAMALAR
Vinç ile bir yük taşınmaktadır.
Vincin kancası ile yük arasındaki
polyesyer sapanların yük altında
kopup kopmayacağına karar
vermek için, sapanlardaki kuvveti
bilmeniz gerekir. Bu kuvvetleri
nasıl buluruz?
Straps
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 4/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.62
UYGULAMALAR (devam)
Ağırlığı bilinen bir makaranın
taşınması sırasında AB ve AC
kablolarında oluşacak kuvvetleri
nasıl buluruz? Burada kullanılan
BC dağıtma kirişinin tasarımı ve
sistemin göçmeyeceğinden emin
olmak için kuvvetleri bilmemiz
gerekir.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 5/67
UYGULAMALAR (devam)
Geminin iskeleye bağlı ana taşıma halatında oluşacak kuvvet
biliniyorsa gemiye uzanan tali halatlardaki kuvvetler nedir?
Kullanılması gerekli halat kalınlığı nedir?
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 6/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.63
EŞDÜZLEMLİ KUVVET SİSTEMLERİ (Bölüm 3.3)
İki boyutlu veya düzlemsel bir
kuvvet sistemine bir örnek
yanda görülmektedir.
Eğer sistem dengedeyse,
A parçacığı da dengededir.
Bir parçacık, başlangıçta hareketsizken halen
durağan halde bulunuyorsa veya başlangıçta
hareketli iken halen sabit hıza sahipse
dengededir.
Belirli bir C ağırlığı sebebiyle
kablolardaki çekme kuvvetlerini
hesaplamanız için Serbest Cisim
Diyagramını nasıl çizeceğinizi ve
denge denklemlerini nasıl
kuracağınızı öğrenmeniz gerekir.
“denge” veya “statik denge” ifadesi çoğu
zaman durmakta olan bir nesneyi tanımlamak
için kullanılır
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 7/67
BİR SERBEST CİSİM DİYAGRAMININ (SCD)
NEYİ, NİYESİ VE NASILI
Serbest cisim diyagramlarını nasıl çizeceğinizi ve
kullanacağınızı bilmeniz, statik ve diğer konular içinde
bilmeniz gereken en önemli konulardan biridir!
Ne? – Bir parçacık üzerine etkiyen tüm dış kuvvetlerin
gösterildiği çizimdir.
Neden? – Denge denklemlerinin yazılabilmesini ve
bilinmeyenlerin (genellikle kuvvet veya açılar) çözülmesini
sağlayan kilit noktadır.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 8/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.64
Nasıl?
1. A parçacığının çevresinden kesilerek çıkarıldığını veya izole
edildiğini hayal edin.
2. Parçacık üzerine etkiyen tüm kuvvetleri gösterin. Bunlar:
Etki kuvvetleri: Parçacığı harekete geçirmeye çalışırlar.
Tepki kuvvetleri: Hareketi engellemeye çalışırlar.
3. Herbir kuvveti tanımlayın ve bilinen tüm büyüklükleri ve
yönleri gösterin. Bilinmeyen tüm büyüklük ve/veya yönleri
birer değişkenle ifade edin.
y
A’nın SCD’si
FD A
FB
A
30˚
x
FC = 392.4 N (Bu nedir?)
Not: Asılı kütle = 40 Kg
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 9/67
İKİ BOYUTLU DENGE DENKLEMLERİ
A’nın SCD’si
FD A
y
A
30˚
FB
A parçacığı dengede olduğundan
A’daki net kuvvet sıfırdır.
x
Dolayısıyla FB + FC + FD = 0
A
FC = 392.4 N
veya F = 0
FBD at A
Genel olarak dengedeki bir parçacık için,
 F = 0 veya
 Fx i +  Fy j = 0 = 0 i + 0 j (bir vektör denklemi)
Veya skaler formda yazılacak olursa,
 Fx = 0 ve  Fy = 0
Bunlar dengenin iki skaler denklemidir (DD). En fazla iki
bilinmeyenin çözümü için kullanılabilirler.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 10/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.65
İKİ BOYUTLU DENGE DENKLEMLERİ (devam)
A’nın SCD’si
FD A
y
A
30˚
FB
x
FC = 392.4 N
Not: Asılı kütle = 40 Kg
Skaler DD’yi yazınız.
+   Fx = FB cos 30º – FD = 0
+   Fy = FB sin 30º – 392.4 N = 0
İkinci denklemin çözümü ile: FB = 785 N
İlk denklemin çözümü ile de: FD = 680 N ←
Sonraki üç
slaytta en çok
kullanılan üç
birleşim türü ile
ilgili bilgiler
bulunmaktadır.
3- 11/67
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
BASİT YAYLAR
Lineer elastik bir yayın uzamadan önceki boyu
l0 ‘dır. Yayın ucuna bir F kuvveti uygulandığında,
boyu F kuvveti ile orantılı olarak uzayacaktır.
Uzama yönü ise F kuvvetinin yönü ile aynıdır.
Yayın elastikliğini tanımlayan parametreye yay
sabiti veya rijitlik denir ve genellikle k harfi ile
gösterilir.
Yay kuvveti = yay sabiti * yayın uzaması
veya
F=k*s
F
k
1
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
s
3- 12/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.66
KABLOLAR VE MAKARALAR
Sürtünmesiz bir makara ve kablo durumunda
T1 = T2
T1
Kablo sadece çekme kuvveti taşıyabilir ve bu
kuvvet her zaman kablonun doğrultusundadır.
T2
Kablo çekmededir
Aksi söylenmedikçe kabloların ağırlıksız
olduğu ve uzama yapmadığı kabul edilecektir.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 13/67
YUMUŞAK TEMAS
Eğer bir cisim düzgün bir yüzey üzerine
dokunuyorsa, bu durumda yüzey cisme,
temas noktasında ve yüzeyin normali
doğrultusunda (yüzeye dik) bir kuvvet
uygulayacaktır.
Bu normal kuvvet N ’e ilave olarak, cisim
üzerine kendi ağırlığı W ve kablodaki T çekme
kuvveti etki etmektedir.
Bu üç kuvvet aynı düzlemde ve silindirin
merkezinde bulunduğundan, bu “parçacığa”
denge denklemleri uygulayabiliriz, ki bu silindire
uygulanacak denklemler ile aynı anlama gelir.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 14/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.67
ÖRNEK I
Verilen: Kutu 5500 N ağırlıktadır
ve geometri şekilde
verilmiştir.
İstenen: AB ve AC halatlarındaki
kuvvetler.
5500 N
Plan:
1. A noktası için SCD’yi çiz.
2. AB ve AC halatlarındaki kuvvetleri bulmak için
DD’yi uygula.
3- 15/67
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
ÖRNEK I (devam)
A’nın SCD’si
y
FB
5
30˚
3
4
A
5500 N
FC
x
FD = 5500 N
A’ya skaler denge denklemi (DD) uygulanırsa;
+   F x = – FB cos 30° + FC (4/5) = 0
+   F y = FB sin 30° + FC (3/5) - 5500 N = 0
Yukarıdaki denkemler çözülürse;
FB = 4780 N
ve FC = 5180 N
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 16/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.68
ÖRNEK II
Verilen: C silindirinin kütlesi 40
kg’dır ve geometri
şekildeki gibidir.
İstenen: DE, EA ve EB
kablolarındaki çekme
kuvvetleri.
Plan:
1. E noktası için bir SCD çiz.
2. DE, EA ve EB kablolarındaki kuvvetleri bulmak için
Denge Denklemlerini - DD’yi uygula.
3- 17/67
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
ÖRNEK II (devam)
E’nin SCD’si
y
TEB = 40*9.81 N
TED
30˚
E
x
TEA
E noktası için skaler DD uygulanırsa;
+   F x =  TED + (40*9.81) cos 30° = 0
+   F y = (40*9.81) sin 30°  TEA = 0
Yukarıdaki denklemler çözülürse;
TED = 340 N  ve TEA = 196 N 
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 18/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.69
KAVRAMSAL YOKLAMA
(A)
100 ton
100 ton
(B)
100 ton
(C)
1) Kabloların geometrisini bildiğimizi kabul edelim, yukarıdaki
sistemlerin hangisinde kablolardaki kuvvetleri hesaplayamayız?
2) Neden?
A) Ağırlık çok fazladır.
B) Kablolar çok incedir.
C) Denge denkleminden daha fazla sayıda bilinmeyen vardır.
D) 100 ton kütleye göre çok fazla sayıda kablo vardır.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 19/67
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ
Verilen: Lambanın kütlesi 20 kg’dır
ve geometri şekilde
verildiği gibidir.
İstenen: Herbir kablodaki kuvvet.
Plan:
1. D noktası için SCD çiz.
2. Bilinmeyenleri (FCD ve FDE) bulmak için D noktasına denge
denklemlerini uygula.
3. FCD bulunduğu için, aynı işlemi C noktasında tekrarla.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 20/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.610
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ (devam)
D’nin SCD’si
y
FDE
FCD
30˚
D
x
W = 20 (9.81) N
D’ye skaler denge denklemi uygulanırsa;
+  Fy = FDE sin 30° – 20 (9.81) = 0
+  Fx = FDE cos 30° – FCD = 0
yukarıdaki denklemlerin çözülmesiyle:
FDE = 392 N
ve
FCD = 340 N
3- 21/67
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ (devam)
C’nin SCD’si
y
FAC
4
5
FCD =340 N
3
FBC
C
x
45˚
C’ye skaler denge denklemi uygulanırsa;
+  Fx = 340 – FBC sin 45° – FAC (3/5) = 0
+   Fy = FAC (4/5) – FBC cos 45° = 0
yukarıdaki denklemlerin çözülmesiyle;
FBC = 275 N
ve FAC = 243 N
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 22/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.611
DİKKAT YOKLAMASI
1. A parçacığı için uygun SCD’yi bul.
30
A 40
10 ton
A)
F1
A
B)
30
10 ton
C)
40°
A
F
30°
F2
D)
A
F1
30°
F2
40°
A
10 ton
10 ton
3- 23/67
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
DİKKAT YOKLAMASI
2. C noktasının SCD’si kullanılarak
x doğrultusundaki kuvvetlerin toplamı
( FX) _________.
İşaret kabulü + 
F2
20 N
50°
C
F1
A) F2 sin 50° – 20 = 0
B) F2 cos 50° – 20 = 0
C) F2 sin 50° – F1 = 0
D) F2 cos 50° + 20 = 0
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 24/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.612
ÖDEV
5 kg’lık A kütlesi AC çubuğu ve AB yayı tarafından
taşınmaktadır. C makarası düşey doğrultuda serbest hareket
edebilmektedir. Yayın yük etkimeden önceki boyu 200 mm ise
ve A ağırlığı d = 100 mm’de iken denge durumuna gelmişse,
yayın k rijitlik sabitinin ne olduğunu bulunuz?
Cevap: k = 1334.5 N/m
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 25/67
ÜÇ BOYUTLU KUVVET SİSTEMLERİ
Bugünün Hedefleri:
3D parçacıkların denge denklemlerinin;
a) Üç boyutlu SCD’lerin çizimi ile çözümü,
b) Dengenin üç skaler denkleminin (bir vektör denklemine dayanan)
uygulanması ile çözümü.
Sınıf Etkinliği:
• Sözel Yoklama
• Uygulamalar
• Denge Denklemleri
• Kavramsal Yoklama
• Örnek Problem Çözümü
• Dikkat Yoklaması
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 26/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.613
SÖZEL YOKLAMA
1. P parçacığı, üç boyutlu uzayda üzerine etkiyen beş (5) kuvvet ile
dengededir. P noktası için kaç tane skaler denge denklemi
yazılabilir?
A) 2
B) 3
D) 5
E) 6
C) 4
2. Bir parçacık 3D uzayda dengedeyse aşağıdaki hangi denklem
kullanılabilir?
A) ( Fx) i + ( Fy) j + ( Fz) k = 0
B)  F = 0
C)  Fx =  Fy =  Fz = 0
D) Yukarıdakilerin hepsi.
E) Yukarıdakilerin hiçbiri.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 27/67
UYGULAMALAR
Elektro-mıknatısın ağırlığını ve
taşıdığı yükü biliyorsunuz.
Fakat, kullanılan techizatın
güvenli olup olmadığını görmek
için zincirlerdeki kuvvetleri
bilmeniz gerekir. Bunu nasıl
yapabilirsiniz?
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 28/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.614
UYGULAMALAR (devam)
Sapma mesafesi
Bu kollu vinç en fazla
200 kg’lık balığı
kaldırmak için
tasarlanmıştır.
Sapma mesafesinin,
kablodaki ve vincin
ayaklarındaki
kuvvetler üzerine
etkisini nasıl
bulabilirsiniz?
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 29/67
ÜÇ BOYUTLU DENGE DENKLEMLERİ
Eğer bir parçacık dengedeyse, parçacık
üzerine etkiyen kuvvetlerin vektörel toplamı
sıfır olmalıdır ( F = 0 ) .
Bu denklem, vektörün x, y ve z bileşenleri
cinsinden aşağıdaki gibi yazılabilir.
( Fx) i + ( Fy) j + ( Fz) k = 0
Bu vektörel denklem sadece aşağıdaki koşullar altında sağlanır;
Fx = 0 (parçacığa etkiyen tüm kuvvetlerin her üç eksen
Fy = 0 doğrultusundaki bileşkelerinin ayrı ayrı toplamı
Fz = 0 sıfıra eşittir)
Bu denklemler, dengenin üç skaler denklemi olarak bilinir. Denge
halindeki cismin üzerindeki tüm noktalar için geçerlidir ve en fazla
üç bilinmeyene sahip problemlerin çözümüne izin verir.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 30/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.615
ÖRNEK I
Verilen: Kuvvet ve sistemin
geometrisi verilmiştir.
İstenen: AB, AC ve AD
kablolarında gelişen
kuvvet.
Plan:
300 N
1) A parçacığı için SCD çiz.
2) Bilinmeyen TB, TC ve TD kablo kuvvetlerini Kartezyen
vektör formunda yaz.
3) Kablolardaki çekme kuvvetlerini bulmak için üç denge
denklemini kullan.
3- 31/67
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
ÖRNEK I (devam)
A’nın SCD’si
Çözüm:
TB = TB i
TC
TD
TC =  (TC cos 60) sin30 i
+ (TC cos 60) cos30 j
+ TC sin 60 k
TB
TC = TC (-0.25 i +0.433 j +0.866 k )
300 N
TD = TD cos 120 i + TD cos 120 j +TD cos 45 k
TD = TD ( 0.5 i  0.5 j + 0.7071 k )
W = -300 k
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 32/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.616
ÖRNEK I (devam)
Denge denklemlerini uygula;
FR = 0 = TB i
+ TC ( 0.25 i +0.433 j + 0.866 k )
+ TD ( 0.5 i  0.5 j + 0.7071 k )
 300 k
İlgili i, j, k bileşenlerinin toplamını sıfıra eşitle;
Fx = TB – 0.25 TC – 0.5 TD = 0
(1)
Fy = 0.433 TC – 0.5 TD = 0
(2)
Fz = 0.866 TC + 0.7071 TD – 300 = 0
(3)
(2) ve (3) kullanılarak TC = 203 N, TD = 176 N olarak hesapla,
TC ve TD ’yi, (1) içinde yerine koy, TB = 139 N
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 33/67
ÖRNEK II
Verilen: 600 N ağırlığındaki bir
yük şekilde geometrisi
verilen üç kablo
tarafından taşınmaktadır.
İstenen: AB, AC ve AD
kablolarındaki çekme
Plan:
1) A’nın SCD’sini çiz. Bilinmeyen kuvvetlerinin büyüklükleri
FB, FC ve FD olsun.
2) Herbir kuvveti Kartezyen vektör formunda göster.
3) Üç bilinmeyeni bulmak için denge denklemlerini kullan.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 34/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.617
ÖRNEK II (devam)
A’nın SCD’si
FD
z
FC
2m
1m
2m
30˚
A
y
FB
x
600 N
FB = FB (sin 30 i + cos 30 j) N
= {0.5 FB i + 0.866 FB j} N
FC = – FC i N
FD = FD (rAD /rAD)
= FD { (1 i – 2 j + 2 k) / (12 + 22 + 22)½ } N
= { 0.333 FD i – 0.667 FD j + 0.667 FD k } N
3- 35/67
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
ÖRNEK II (devam)
Şimdi ilgili i, j ve k bileşenlerinin
toplamını sıfıra eşitletle.
 Fx = 0.5 FB – FC + 0.333 FD = 0
 Fy = 0.866 FB – 0.667 FD = 0
 Fz = 0.667 FD – 600 = 0
FD
A’nın SCD’si
z
FC
2m
1m
y
2m
A
30˚
FB
x
600 N
Üç denklemin beraberce çözümü ile;
FC = 646 N (pozitif olduğundan, kabul edildiği yöndedir: yani çekme)
FD = 900 N
FB = 693 N bulunur.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 36/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.618
KAVRAMSAL YOKLAMA
1. Üç boyutlu uzaydaki bir kuvvetin yönünü biliyor fakat
büyüklüğünü bilmiyorsanız bu kuvvetle ilgili bilinmeyen sayısı
kaçtır?
A) Bir
B) İki
C) Üç
D) Dört
2. Eğer bir parçacığın üzerine 3D kuvvetler etkiyorsa ve parçacık
bu kuvvetler altında dengede ise, bileşke kuvvetin bileşenleri
( Fx,  Fy, and  Fz ) için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) toplamları sıfırdır, örn., -5 i + 3 j + 2 k
B) herbiri sıfıra eşittir, örn., 0 i + 0 j + 0 k
C) pozitif olmalıdır, örn., 5 i + 5 j + 5 k
D) negatif olmalıdır, örn., -5 i - 5 j - 5 k
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 37/67
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ
Verilen: 400 N’luk sandık, şekilde
görüldüğü gibi dengededir
ve iki kablo ve AD çubuğu
ile tutulmaktadır.
İstenen: Herbir kablodaki çekmenin
büyüklüğü ve AD çubuğu
üzerinde gelişen kuvvet.
Plan:
1) A noktasının Serbest Cisim Diyagramını çiz.
Bilinmeyen kuvvetlerin büyüklükleri FB, FC, F D olsun.
2) Herbir kuvveti Kartezyen vektör formunda göster.
3) Üç bilinmeyeni bulmak için denge denklemlerini uygula.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 38/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.619
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ (devam)
A’nın SCD’si
z
FC
FB
FD
x
W
y
W = sandığın ağırlığı = - 400 k N
FB = FB(rAB/rAB) = FB {(– 4 i – 12 j + 3 k) / (13)} N
FC = FC (rAC/rAC) = FC {(2 i – 6 j + 3 k) / (7)} N
FD = FD( rAD/rAD) = FD {(12 j + 5 k) / (13)} N
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 39/67
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ (devam)
A parçacığı dengededir, dolayısıyla;
FB + FC + FD + W = 0
Şimdi, ilgili i, j, k bileşenlerini sıfıra eşitle
(yani, dengenin üç skaler denklemini uygula).
 Fx = – (4 / 13) FB + (2 / 7) FC = 0
(1)
 Fy = – (12 / 13) FB – (6 / 7) FC + (12 / 13) FD = 0
(2)
 Fz = (3 / 13) FB + (3 / 7) FC + (5 / 13) FD – 400 = 0
(3)
Üç denklemin birlikte çözümü ile kuvvetleri bul.
FB = 274 N
FC = 295 N
FD = 547 N
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 40/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.620
DİKKAT YOKLAMASI
1. A noktasına dört kuvvet etkimektedir
ve A noktası dengededir. P vektörünü
doğru şekilde seçin.
A) {-20 i + 10 j – 10 k}N
z
F3 = 10 N
P
F1 = 20 N
F2 = 10 N
y
A
B) {-10 i – 20 j – 10 k} N
C) {+ 20 i – 10 j – 10 k}N
x
D) Yukarıdakilerden hiçbiri.
2. Üç boyutlu uzayda, bir kuvvetin yönünü ve büyüklüğünü
bilmiyorsak, bu kuvvetle ilgili bilinmeyen sayısı kaçtır?
A) Bir
B) İki C) Üç
D) Dört
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 41/67
BİR KUVVETİN MOMENTİ (SKALER GÖSTERİM),
ÇAPRAZ ÇARPIM, BİR KUVVETİN MOMENTİ
(VEKTÖREL GÖSTERİM) VE MOMENTLERİN PRENSİBİ
Bugünün Hedefleri:
a) Momenti tanımlamak ve anlamak,
b) 2D ve 3D uzaydaki bir kuvvetin
momentini hesaplamak.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
Sınıf Etkinliği:
• Sözel Yoklama
• Uygulamalar
• İki Boyutta Moment
• Üç Boyutta Moment
• Kavramsal Yoklama
• Örnek Problem
Çözümü
• Dikkat Yoklaması
3- 42/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.621
SÖZEL YOKLAMA
F = 12 N
1. 12 N’luk kuvvetin A noktasında
oluşturduğu moment (MA) kaçtır?
A) 3 N·m
B) 36 N·m
D) (12/3) N·m
E) 7 N·m
C) 12 N·m
• A
d=3m
2. F kuvvetinin O noktası etrafında
oluşturduğu moment MO = _______
olarak tanımlanır.
A) r × F
B) F × r
C) r • F
D) r * F
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 43/67
UYGULAMALAR
Kirişler genellikle duvarlardaki boşlukları geçmek için kullanılır.
Üzerindeki kuvvetin kirişe ne gibi bir etkisi olduğunu bulmak
için kirişin, mesnetlerine olan etkisini bilememiz gerekir.
A ve B noktalarında ne olduğunu tahmin edebilir misiniz?
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 44/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.622
UYGULAMALAR (devam)
Marangozlar çakılmış bir çiviyi çıkarmak için çekici
genellikle böyle kullanırlar. Çekicin sapındaki FH kuvveti
nasıl bir etkiyle çiviyi çıkarmaktadır? FH kuvvetinin O
noktasındaki etkisini matematiksel olarak modelleyebiliriz?
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 45/67
BİR KUVVETİN MOMENTİ – SKALER GÖSTERİM
(Bölüm 4.1)
Bir kuvvetin bir nokta etrafındaki momenti, o yönde döndürme
eğiliminin bir ölçüsüdür (bazen tork olarak da isimlendirilir).
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 46/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.623
BİR KUVVETİN MOMENTİ – SKALER GÖSTERİM
(devam)
İki boyutlu durumda, bir momentin büyüklüğü: Mo = F d
dönme yönü
Şekilden görüldüğü gibi, O noktasından kuvvetin etki çizgisine
olan dik mesafe d ’dir.
İki boyutta, kuvvetin yönü ve dolayısıyla dönme eğilimine bağlı
olarak MO ’nun yönü saat ibreleri yönünde veya saat ibrelerine
ters yönde olabilir.
3- 47/67
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
BİR KUVVETİN MOMENTİ – SKALER GÖSTERİM
(devam)
a
b
O
F
Örneğin yandaki çizimde
MO = F d ve yönü saat ibreleri
tersi yöndedir.
d
Fy
MO ’yu hesaplamanın kolay yolu
görüldüğü gibi genelde F kuvvetinin b
bileşenlerini kullanmaktır.
O
a
F
Fx
Böylece MO = (Fy a) – (Fx b). Terimlerdeki farklı işaretlere dikkat!
İki boyutlu bir moment için tipik işaret kabulünde saat ibreleri
tersi yön pozitiftir. O noktasına bağlı cismin ne yöne döndüğü, kuvvet
altındaki cismin hangi yolu izlediğine karar vererek belirlenebilir.
Bileşke Moment: Aynı düzlemdeki kuvvetlerin O’daki momenti cebirsel toplandı!!
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 48/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.624
VEKTÖRLERİN ÇAPRAZ ÇARPIMI (Bölüm 4.2)
İki boyutta, eğer d dik mesfesini biliyorsak bir kuvvetin
momentini bulmak oldukça kolaydır. Eğer üç boyutlu kuvvetler
ile çalışılıyorsa, dik mesafenin bulunması bazen daha zor bile
olabilir.
Bu sebeple bir kuvvetin momentini bulmak için daha genel bir
yaklaşım bulunmaktadır. Bu genel yaklaşım çoğunlukla üç
boyutlu kuvvetlerin hesaba katılmasında kullanılır ama iki
boyutlu durumlar için de sonuç verir.
Bir kuvvetin momentini bulmak için kullanılan genel yöntem,
iki vektörün çapraz çarpımı (vektörel çarpımı) olarak
adlandırılan vektörel bir işlemi gerektirir.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 49/67
ÇAPRAZ ÇARPIM (Bölüm 4.2)
Genelde, A ve B vektörlerinin çapraz çarpımı, başka bir C
vektörü ile sonuçlanır, C = A  B. Sonuç vektörün büyüklüğü ve
yönü aşağıdaki gibi yazılabilir:
C = A  B = A B sin  uC
Görüldüğü gibi, uC , hem A hem de B vektörüne dik olan birim
vektördür (veya A ve B vektörlerini barındıran düzleme dik).
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 50/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.625
ÇAPRAZ ÇARPIM (devam)
Sağ el kuralı, çapraz çarpım ile bulunan vektörün yönünü
hesaplarken kullanılabilecek çok yararlı bir araçtır.
Örneğin: i  j = k
Bir vektör kendisiyle çapraz çarpıldığında sonuç sıfırdır,
örn. i  i = 0
3- 51/67
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
ÇAPRAZ ÇARPIM (devam)
i  j = k ; i  k = -j ; i  i = 0
Kartezyen birim
j  k = i ; j  i = -k ; j  j = 0
vektörlerin çarpımı.
k  i = j ; k  j = -i ; k  k = 0
A ve B gibi kartezyen koordinatlarda ifade
edilmiş vektörlerin çapraz çarpımı:
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 52/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.626
ÇAPRAZ ÇARPIM (devam)
Vektörel çarpımın kuralları:
Değişme özelliği geçerli değildir:
⇒ Skalerle çarpma yapılabilir:
her durumda şiddeti aynıdır
yönü belirleyen ise A ve B ’nin çarpım sırasıdır.
Dağılma özelliği geçerlidir:
3- 53/67
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
ÇAPRAZ ÇARPIM (devam)
Ayrıca çapraz çarpım determinant olarak da yazılabilir.
Her bileşen 2  2 determinantlar kullanılarak hesaplanır ve
toplanır.
Negatif işarete
dikkat!!
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 54/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.627
BİR KUVVETİN MOMENTİ – VEKTÖREL
GÖSTERİM (Bölüm 4.3)
3D uzaydaki momentler skaler (2D) yaklaşım kullanılarak
hesaplanabilir, fakat bu zordur ve zaman alıcıdır. Bu sebeple,
vektörel/çapraz çarpım olarak adlandırılan matematiksel bir yaklaşım
kullanmak daha kolaydır (Şiddet ve yön hep doğru bulunur!)
Vektörel/çapraz çarpım kullanılarak, MO = r  F ( F  r)
Buradaki r, O noktasından F kuvvetinin etki çizgisi üzerindeki
herhangi bir noktaya doğru olan konum vektörüdür.
3- 55/67
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
BİR KUVVETİN MOMENTİ – VEKTÖREL
GÖSTERİM (devam)
Taşınabilirlik ilkesi
r  F r  F
r  F
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
Vektörel çarpım işlemi, üç
boyutlu problemlerde sıklıkla
kullanılır. Çünkü kuvvetin etki
çizgisinden O noktasına olan
dik mesafeyi bulmaya gerek
yoktur.
O noktasından F kuvvetinin
etki çizgisinin herhangi bir
yerine ölçülen r vektörü
moment hesabı için
kullanılabilir.
F kuvveti, etki çizgisi üzerinde
herhangi bir yere etkiyebilir,
ve O noktasında aynı moment
etkisini yaratır.
3- 56/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.628
BİR KUVVETİN MOMENTİ – VEKTÖREL
GÖSTERİM (devam)
Böylece, çapraz çarpım
kullanılarak bir moment
yandaki şekilde ifade
edilebilir:
2  2 determinant kullanarak yukarıdaki denklem genişletilirse
(bkz. Bölüm 4.2), aşağıdaki eşitliği elde edebiliriz (Örnek birimler
N.m veya lb.ft)
MO = (ry Fz - rz Fy) i  (rx Fz - rz Fx ) j + (rx Fy - ry Fx ) k
Yukarıdaki denklemin fiziksel anlamı, kuvvet bileşenlerinin ayrı
ayrı ele alınması ve 2D yaklaşımının aynen kullanılması olarak
açıklanabilir (Skaler değeri MO = r F Sin θ olur).
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 57/67
ÖRNEK I
Verilen: 100 N’luk bir
kuvvet çerçeveye
etkimektedir.
İstenen: Kuvvetin O
noktasındaki
momenti.
Plan:
1) 100 N ’luk kuvveti x ve y-ekseni doğrultularındaki
bileşenlerine ayır.
2) İki kuvvet bileşeni için skaler analiz kullanarak MO ’yu
hesapla, sonra bu iki momneti topla.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 58/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.629
ÖRNEK I (devam)
Çözüm:
+  Fy = – 100 (3/5) N
+  Fx = 100 (4/5) N
+ MO = {– 100 (3/5)N (5 m) – (100)(4/5)N (2 m)} N·m
= – 460 N·m
veya 460 N·m saat ibreleri yönünde.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 59/67
ÖRNEK II
Verilen: F1={100 i - 120 j + 75 k}N
F2={-200 i +250 j + 100 k}N
o
İstenen: Kuvvetlerin O noktası
etrafındaki sonuç momenti
Plan:
1) F = F1 + F2 ve rOA ’yı bul.
2) MO = rOA  F vektörünü bul.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 60/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.630
ÖRNEK II (devam)
Çözüm:
Öncelikle, bileşke vektör F ’i bul.
F = F1 + F2
= { (100 - 200) i + (-120 + 250) j + (75 + 100) k} N
= {-100 i +130 j + 175 k} N
Konum vektörü rOA ’yı bul.
rOA = {4 i + 5 j + 3 k} ft
Sonra, vektörlerin çapraz çarpımlarını kullanarak momenti bul.
MO =
i
4
j k
5 3 = [{5(175) – 3(130)} i – {4(175) –
3(-100)} j + {4(130) – 5(-100)} k] N·ft
-100 130 175
= {485 i – 1000 j + 1020 k} N·ft
3- 61/67
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
KAVRAMSAL YOKLAMA
1. F büyüklüğündeki bir kuvvet eğer 2D düzende dört farklı
şekilde uygulanabiliyorsa (P,Q,R ve S), civataya uygulanan en
büyük ve en küçük momentlere karşılık gelen kuvvetler
hangileridir (En büyük, En küçük).
A) (Q, P)
B) (R, S)
C) (P, R)
D) (Q, S)
P
S
Q R
2. Eğer M = r  F ise, M • r ’nin değeri nedir?
A) 0
B) 1
C) r 2 F
D) yukarıdakilerin hiçbiri.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 62/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.631
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ I
20 N
x
y
Verilen: Çekice 20 N’luk bir
kuvvet uygulanmaktadır.
İstenen: Kuvvetin A noktasındaki
momenti.
5 cm
18 cm
Plan:
Bu iki boyutlu bir problem
olduğundan:
1) 20 N’luk kuvveti çekicin x ve y
eksenleri doğrultusundaki
bileşenlerine ayır.
2) Skaler analiz kullanarak MA’yı
hesapla.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 63/67
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ I (devam)
20 N
x
y
5 cm
18 cm
Çözüm:
+  Fy = 20 sin 30° N
+  Fx = 20 cos 30° N
+ MA = {–(20 cos 30°)N (18 cm) – (20 sin 30°) N (5 cm)}
= – 361.77 N·cm = 362 N·cm (saat ibreleri yönünde)
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 64/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.632
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II
Verilen: Şekilde görülen kuvvet
ve geometri.
İstenen: F kuvvetinin A noktası
etrafındaki momenti.
Plan:
1) F ve rAC’yı bul.
2) MA = rAC  F vektörünü hesapla.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 65/67
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ II (devam)
Çözüm:
F ={ (80 cos30) sin 40 i
+ (80 cos30) cos 40 j  80 sin30 k} N
={44.53 i + 53.07 j  40 k } N
rAC ={0.55 i + 0.4 j  0.2 k } m
Çapraz çarpım kullanarak momenti bul.
i
j
k
MA = 0.55 0.4  0.2
44.53 53.07  40
= { -5.39 i + 13.1 j +11.4 k } N·m
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 66/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.633
DİKKAT YOKLAMASI
10 N
3m
P
2m
5N
1. Saat ibreleri yönü pozitif kabul ederek, iki kuvvetin P noktası
etrafındaki bileşke momenti nedir?
A) 10 N  m
B) 20 N  m
C) - 20 N  m
D) 40 N  m
E) - 40 N  m
2. Eğer r = { 5 j } m ve F = { 10 k } N ise r × F momenti
{ _______ } N·m’dir.
A) 50 i
B) 50 j
D) – 50 j
E) 0
C) –50 i
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
3- 67/67
Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.634