2017 ÖABT İlköğretim Matematik Öğretmenliği Soyut Cebir
advertisement
önce bİz sorduk
KPSS
2017
50 Soruda
30
soru
ÖABT
İLKÖĞRETİM
MATEMATİK
SOYUT CEBİR - LİNEER CEBİR
Eğitimde
30. yıl
Komisyon
ÖABT İlköğretim Matematik Öğretmenliği
Soyut Cebir - Lineer Cebir Konu Anlatımlı
ISBN: 978-605-318-656-4
Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.
© Pegem Akademi
Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları
Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.
Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,
kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt
ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.
Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.
Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında
yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları
satın almamasını diliyoruz.
3. Baskı: Kasım 2016, Ankara
Proje-Yayın: Seher Reyhani
Dizgi-Grafik Tasarım:Şölen Görgülü
Kapak Tasarımı: Gürsel Avci
Baskı: Vadi Grup Ciltevi A.Ş.
İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105
Yenimahalle/ANKARA
(0312 394 55 91)
Yayıncı Sertifika No: 14749
Matbaa Sertifika No: 26687
İletişim
Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA
Yayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51
Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60
Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08
Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38
Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60
İnternet: www.pegem.net
E-ileti: pegem@pegem.net
ÖN SÖZ
Sevgili Öğretmen Adayları,
ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz
dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "İlköğretim Matematik Öğretmenliği Soyut Cebir - Lineer Cebir 2. Kitap" adlı yayınımız Soyut Cebir - Lineer Cebir bölümünü
kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) İlköğretim Matematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri
ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza
kılavuz olarak hazırlanmıştır.
Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde
olması hedeflenmiştir.
Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve
çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir.
Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitapla ilgili görüş
ve önerilerinizi pegem@pegem.net adresini kullanarak bizimle paylaşabilirsiniz.
Kitabımızın hazırlanmasında emeği geçen hocalarımız Sayın Kerem Köker, Fikret
Hemek'e, yayın projede Seher Reyhani'ye ve dizgicimiz Şölen Görgülü'ye teşekkürü
bir borç biliriz.
Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi
ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle...
Başarılar...
MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER
MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı
Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir.
Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel
olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.
Genel Yüzde
Alan Bilgisi Testi
Yaklaşık Yüzde
% 80
1 - 40
a. Analiz
% 28
b. Cebir
% 18
c. Geometri
% 18
d. Uygulamalı Matematik
% 16
Alan Eğitimi Testi
% 20
Soru Numarası
41 - 50
Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen
bu bilgiler 2014-2015-2016 MATEMATİK ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklikleri
ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.
İÇİNDEKİLER
SOYUT CEBİR
1. Sayılar ve Özellikleri................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 3
1.1. Rakam ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 3
1.2. Sayma Sayıları .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 3
1.3. Doğal Sayılar ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 3
1.4. Tam Sayılar ....................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................... 3
1.5. Aralarında Asallık ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 3
1.6. Rasyonel Sayılar ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 3
1.7. İrrasyonel Sayılar......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 3
1.8. Reel Sayılar .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 3
1.9. Tek ve Çift Sayılar ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 3
1.10. Ardışık Sayılar ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 4
1.11. Negatif ve Pozitif Sayılar ile İlgili Özellikler ................................................................................................................................................................................................................................................... 4
1.12. Tam Sayılarda Bölünebilme........................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 4
1.13. En Büyük Ortak Bölen....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6
1.14. En Küçük Ortak Kat ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 6
3. Euler {-Fonksiyonu .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 9
{-Fonksiyonunun Bazı Özellikleri .................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 9
4. Kongrüanslar ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................11
Tam Sayılar ve Modüler Aritmetik ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................11
7.1. Tek İşlemli Cebirsel Yapı Türleri ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................21
7.2. Mertebe....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................23
8. Alt Gruplar ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................24
8.1. Normal Alt Gruplar .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................26
9. Simetrik (Permütasyon) ve Alterne Gruplar .....................................................................................................................................................................................................................................................................27
10. Gruplarda Homomorfizm ve İzomorfizm .................................................................................................................................................................................................................................................................................28
vi
10.1. Homomorfizma .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................28
10.2. İzomorfizma......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................28
11. Bölüm Grupları ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................31
12. Devirli Gruplar.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................32
12.1. Devirli Grupların Alt Grupları .............................................................................................................................................................................................................................................................................................33
12.2. Üreteç Sayısı .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................34
13. Çarpım Grupları .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................34
İzomorf olmayan Abelyan Gruplar.................................................................................................................................................................................................................................................................................................35
14. Halka, Cisim ve Tamlık Bölgesi ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................35
14.1. Alt Halka..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................37
14.2. Sıfır Bölenler ve Tamlık Bölgesi .........................................................................................................................................................................................................................................................................................37
14.3. Bölüm Halkası .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................38
14.4. İdeal...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................38
14.5. Nilpotent Eleman .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................38
15. Polinom Halkası ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................38
16. Cisim ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................39
16.1. Cebirsel Sayı .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................39
16.2. Transandant Sayı ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................39
16.3. Sayılabilir Küme...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................39
Çözümlü Test 1 .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................42
Çözümler ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................44
Çözümlü Test 2 .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................46
Çözümler ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................48
Çözümlü Test 3 .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................50
Çözümler ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................52
Çözümlü Test 4 .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................54
Çözümler ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................56
vii
LİNEER CEBİR
1. Vektör Uzayları ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................62
2. Alt Vektör Uzayı ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................64
2.1 Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık.......................................................................................................................................................................................................................................................................68
3. İç Çarpım Uzayları......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................70
3.1. İç Çarpım ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................70
3.2. Norm ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................72
4. Ortonormal Baz..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................77
5. Direkt Toplam Uzayı................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................82
6. İç Çarpım Uzaylarının Alt Uzayları....................................................................................................................................................................................................................................................................................................83
7. Lineer Dönüşümler.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................85
8. Matrisler ve Matris Uzayları ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................92
8.1. Matris Toplamı .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................93
8.2. Skaler ile Matris Çarpımı .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................93
8.3. Matris Çarpımı .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................93
8.4. Bir Matrisin Transpozu.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................95
8.5. Kare Matrisler.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................96
8.6. Bir Matrisin Tersi.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................96
9. Elemanter Operasyonlar (Basit İşlemler) ...........................................................................................................................................................................................................................................................................106
10. Determinantlar .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................107
10.1 Sarrus Kuralı ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................108
10.2 Minör ve Kofaktör................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................110
11. Alterne ve Çok Lineer Fonksiyonlar ........................................................................................................................................................................................................................................................................................117
11.1 n-Lineer Fonksiyonlar .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................117
12. Bir Lineer Dönüşümün Determinantı ve İzi ..................................................................................................................................................................................................................................................................118
Determinantlarda Alan ve Hacim Hesabı..........................................................................................................................................................................................................................................................................118
13. Matrislerin Polinomu ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................119
13.1. Karakteristik Değerler ve Karakteristik Vektörler .........................................................................................................................................................................................................................120
13.2. Karakteristik Uzay .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................121
13.3. Karakteristik Polinom ve Karakteristik Denklem.................................................................................................................................................................................................................................122
viii
Çözümlü Test 1 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................127
Çözümler ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................129
Çözümlü Test 2 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................131
Çözümler ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................133
Çözümlü Test 3 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................135
Çözümler ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................137
Çözümlü Test 4 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................139
Çözümler ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................141
