Kuantum Mekaniği II Sınavı Bahar 15.06.2015 (Örgün)

Kuantum Mekaniği II Sınavı Bahar 15.06.2015 (Örgün)
1. Hidrojen atomunun ince ve süper ince Hamiltoniyenindeki terimleri açıklayınız. Temel durum
için hidrojen atomunun ince yapısını hesaplayınız.
2. Hidrojen atomunun 1s seviyesinin aşırı ince yapısına Zeeman etkisini düşük manyetik alanlar için
hesaplayınız. Sistemin Hamilton operatörünü 𝐻𝐻 = 𝒜𝒜𝒜𝒜. 𝑆𝑆 + 2𝜔𝜔0 𝑆𝑆𝑧𝑧 + 𝜔𝜔𝑛𝑛 𝐼𝐼𝑧𝑧 olarak alınız. Manyetik
alan çekirdek etkileşmesini ihmâl ediniz.
3. Özdeş parçacıklar kuantum mekaniğinde neden önemlidir, yerdeğiştirme (Exchange) ve
doğrudan terimler arasındaki girişimini ele aldığınız bir örnekle, klasik ve kuantum mekaniksel
olasılıkları hesaplayarak gösteriniz.
4. S=1 olan bir parçacık z yönünde B şiddetinde bir üniform manyetik alanın etksisi altındadır.
a. Sistemin Hamiltonyeninin uzay kısmı ihmal edilerek 𝐻𝐻 = 𝜇𝜇𝑩𝑩 ∙ 𝑺𝑺 olarak ifade edildiğini
varsayınız. Bu durumda sistemin enerji özdeğerlerini ve bu özdeğerlere tekabül eden
özketleri bulunuz.
b. t=0 anında sistem taban durumunda iken b = (𝑏𝑏 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 , 𝑏𝑏 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 , 0) manyetik alanı
uygulanmaya başlanıyor. Bu manyetik alanın (a) şıkkındaki Hamiltonyene katkısını,
𝑊𝑊(𝑡𝑡) = 𝜇𝜇𝒃𝒃 ∙ 𝑺𝑺 pertürbasyonu olarak alınız. Zamana bağlı pertürbasyon yöntemini kullanarak
bir t anında sistemin birinci uyarılmış seviyesinde bulunma olasılığını birinci mertebeden
hesaplayınız.
c. Sistemin bir t anında ikinci uyarılmış seviyesinde bulunma olasılığı, (b) şıkkındaki
pertürbasyon için birinci mertebeden hesaplanabilir mi? Açıklayınız.
Y. Gürkan Çelebi
𝐻𝐻 = 𝑚𝑚𝑐𝑐 2 +
𝑊𝑊ℎ𝑓𝑓 = −
𝑃𝑃2
𝑃𝑃4
1 1 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑅𝑅)
ℏ2
+ 𝑉𝑉(𝑅𝑅) −
+
𝐿𝐿.
𝑆𝑆
+
∆𝑉𝑉(𝑅𝑅) + ⋯.
2𝑚𝑚
8𝑚𝑚3 𝑐𝑐 2 2𝑚𝑚2 𝑐𝑐 2 𝑅𝑅 𝑑𝑑𝑑𝑑
8𝑚𝑚2 𝑐𝑐 2
8𝜋𝜋
𝜇𝜇0 𝑞𝑞
1
[
]
3(𝑀𝑀
+
�
𝐿𝐿.
𝑀𝑀
+
.
𝑛𝑛)(𝑀𝑀
.
𝑛𝑛)
−
𝑀𝑀
𝑀𝑀
𝑀𝑀 . 𝑀𝑀 𝛿𝛿(𝑅𝑅)�
𝐼𝐼
𝑠𝑠
𝐼𝐼
𝑠𝑠
𝐼𝐼
3 𝑠𝑠 𝐼𝐼
𝑅𝑅3
4𝜋𝜋 𝑚𝑚𝑅𝑅3
∞
𝐼𝐼(𝑘𝑘, 𝑝𝑝) = ∫0 𝑟𝑟 𝑘𝑘 𝑒𝑒
−
𝑝𝑝𝑝𝑝
𝑎𝑎0
𝑑𝑑𝑟𝑟
𝑎𝑎
𝐼𝐼(𝑘𝑘, 𝑝𝑝) = 𝑘𝑘! � 0 �
𝑝𝑝
𝑘𝑘+1
𝑅𝑅1,0 (𝑟𝑟) = 2(𝑎𝑎0
−𝑟𝑟
−3�
2 )𝑒𝑒 �2𝑎𝑎0