MAXWELL DENKLEMLERİ ve ZUSF YÖNTEMİ

Zaman Uzayı Sonlu Farklar Yöntemi
Dr. Serkan Aksoy
MAXWELL DENKLEMLERİ ve ZUSF YÖNTEMİ
Elektromanyetik bir olay konum-zaman (
) uzayında diferansiyel Maxwell denklemleri
(
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
kullanılarak incelenebilir. Burada ( ) ve ( ) elektrik ve manyetik alan vektörlerini, ( ) ve ( )
ise yer değiştirme ve manyetik indüksiyon alan vektörlerini gösterir. ( ) iletkenlik nedeni ile oluşan ve
( ) ise kaynakların akım yoğunluğunu gösterir. ( ) ise hacimsel yük yoğunluğu olarak bilinir.
Bu gösterilen denklemler sırası ile
- Faraday yasası,
- Amper yasası,
- Elektrik alan Gauss kanunu,
- Manyetik alan Gauss kanunu
olarak bilinir. Her bir farklı koordinat sistemi için ZUSF güncelleme denklemlerinin yeniden düzenlenmesi
gerekmektedir. ZUSF bakımından sadece ilk iki Maxwell denklemlerinin kullanılması yeterlidir. Çünkü
( )’nin yerleşimleri nedeni ile otomatik olarak
Gauss kanunu ZUSF hücrelerinde ( ) ve
sağlanmaktadır. Bu aşamada öncelikle merkezi farklar kullanılarak Maxwell denklemleri ayrıklaştırılmaya
çalışılsın.
 Zaman Uzayında Ayrıklaştırma:
ZUSF zamanda iteratif bir algoritma olduğundan tamsayı olarak zaman adımı ve
hesaplama zaman
aralığı olmak üzere toplam
hesap süresince işlem yapılmaktadır. Buna göre
(
)|
gösterimi ile birinci Maxwell denklemi,
(
)
( )
anında zaman türevi merkezi farklar ile ifade edilerek ve
yerleşimi dikkate alınarak
( )
bulunur. Bu denklem
( )
( )
( )
( )
( ) çekilerek düzenlenirse
( )
( )
[
( )]
) olmak üzere yarım zaman adımlarında
bulunur. Buradan görüldüğü üzer manyetik alanlar (
hesaplanırken, elektrik alanlar
olmak üzere tam zaman adımlarında hesaplanır. Bu durumda alan
bileşenleri bakımdan hesap zaman adım uyumunun sağlanabilmesi için, ikinci Maxwell denklemi (
)
olmak üzere yarım zaman adımlarında ele alınarak, zamanda türetme işlemi merkezi farklar
biçiminde yapılırsa
Zaman Uzayı Sonlu Farklar Yöntemi
( )
bulunur. Buradan
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) çekilerek düzenlenirse
( )
bulunur. Burada
Dr. Serkan Aksoy-2015
( )
( )
[
( )]
( ) elektrik akım yoğunluğunu olup, ara-değerleme (interpolasyon) ile
( )
( )
[
( )
( )
( ) ve ( ) değerleri (
olarak verilir. Burada görülen
Anlatılanlar kapsamında ZUSF ana zaman döngüsü
( )]
) bilindiğinden kolaylıkla hesaplanabilir.
ZUSF zaman döngüsü.
olarak verilir. Buna göre yarım zaman adımlarında hesaplanan manyetik alanların zamanda bir sonraki yarım
zaman adımındaki değerini hesaplamak için arada kalan tam zaman adımını atlamak gerekmektedir. Aynı
durum elektrik alanlar içinde geçerli olup, bu algoritmaya kurbağa sıçraması (leap frog) adı verilir. Yine
zaman döngüsüne göre kaynakların zaman adımlamadaki yerine göre elektrik ve manyetik alanlar için uygun
sıralama sağlanmalıdır. ZUSF yönteminin konum döngüsü ile ilgili bilgiler aşağıdaki bölümde anlatılacaktır.
ZUSF yöntemi uygulanırken, elektromanyetik problemin fiziği iyi anlaşılmalı ve uygun şekilde
modellenmelidir. Diğer koordinat sistemlerinde ZUSF uygulamaları mevcuttur.