REZONANS DEVRELERİ ve TÜMLEŞİK (ON

REZONANS DEVRELERİ
ve
TÜMLEŞİK (ON-CHIP) ENDÜKTANSLAR
(Duran Leblebici, Ocak-2005)
Giriş
“Rezonans devreleri”, en temel fiziksel sistemlerden biri olan “salınımlı sistemler”in
elektrik alanında kullanılan örneklerine verilen addır. 19. yüzyıldan beri bilinmekte olan elektriksel
rezonans, 20. yüzyılın ilk yarısında “radyo” alıcı ve vericilerinin gerçekleştirilmesinde sağladığı
katkı nedeni ile büyük önem kazanmış ve o yıllarda etraflı olarak incelenmiştir.Telekomünikasyon
sistemlerinde kullanılan çeşitli türden L-C filtreleri de rezonans olayından dolaylı olarak
yararlanan yapılar olarak önem kazanmış ve bir süre, devreler teorisi disiplininin temel uğraşı
alanı olmuştur.
20. yüzyılın ikinci yarısında elektroniğin etkinlik alanının olağanüstü genişlemesi ile bir
yandan radyonun (ve televizyonun) toplam alan içindeki payının küçülmesi, öte yandan aktif
filtrelerin telekomünikasyon sistemlerinde kullanılan L-C filtrelerinin yerini alması, endüktanslara
ve rezonans devrelerine olan ilginin azalmasına yol açmış ve zamanla bu konular derslerden,
ders kitaplarından ve araştırma konuları arasından çıkmıştır. Sonuçta teknoloji dünyasında bu
konulara vâkıf mühendis sayısı önemli ölçüde azalmıştır.
Bir rezonans devresi bir bobin (endüktans) ile bir kondansatörün (kapasitenin) seri yahut
paralel bağlanması ile gerçekleştirilir ve “seri rezonans devresi” yahut “paralel rezonans devresi”
olarak anılır. Rezonans devrelerinin gerçekleştirilmesinde kullanılan bobinler, sargı dirençleri
nedeni ile ideal endüktanslar değildir. Bir bobinin belirli bir frekansta ideal bir endüktansa ne
kadar yakın olduğunun ölçütü olarak endüktansın “o” frekanstaki reaktansı ile bobin direncinin
oranından yararlanılabilir. Devrede kullanılan kondansatör –genel olarak olduğu gibi- kayıpsızsa
yahut kayıpları ihmal edilebilecek kadar küçükse, bu oran rezonans devresinin –ilerde temel
tanımı verilecek olan- “o” frekanstaki “iyilik katsayısı”na (Q ya ) eşit olur.
Radyo uygulamalarında endüktans olarak çeşitli yapıda “bobin”ler kullanılmıştır.
Endüktansın değeri yaklaşık olarak sarım sayısının karesi ile ve ayrıca ortamın bağıl magnetik
geçirgenliği (µ) ile orantılıdır. Bu bobinlerle 100...1000 mertebesinde Q değerleri, gerekli özen
gösterildiğinde kolayca sağlanabilir. Bu nedenle rezonans devreleri ile ilgili olarak 1930’lu, 40’lı
yıllarda yapılmış olan temel yayınlarda bağıntılar hep Q>>1 kabul edilerek çıkartılmış yahut
basitleştirilmiştir.
Son on yıl içinde haberleşme sistemlerinde kullanılan frekansların GHz ler düzeyine
yükselmiş olması ve bunun sonucu olarak gerekli olan endüktans değerlerinin nH ler mertebesine
düşmesi, “mobil” sistemlerin gerektirdiği boyut sınırlamaları ve mikroelektronik teknolojisinde
sağlanan gelişmeler bir arada, endüktansların tümdevre içinde gerçekleştirilmesi konusunu
gündeme getirmiş, bunun sonucu olarak endüktanslar ve rezonans devreleri teknoloji
gündeminde yeniden yer almıştır.
Ancak endüktansların ve rezonans devrelerinin bu “ikinci baharında” birinci dönemden
farklı olarak kullanılan frekanslar GHz ler mertebesindedir ve
tümleşik olarak gerçekleştirilen
endüktansların iyilik katsayıları Q>>1 kabul edilemeyecek kadar küçük, genellikle 5..10
mertebesindedir. Bu seminer hem rezonans devrelerinin “unutulmuş” temel özelliklerini
hatırlatmak, hem de iyilik katsayısının küçük değerli olmasının getireceği etkileri vurgulamak
amacı ile hazırlanmıştır.
1. Paralel Rezonans Devresi
L
Rg
i
C
r
Şekil-1
r , bobinin –deri olayı dahil-sargı
direncini ve magnetik kuplajla gelen
diğer kayıpların tümünü temsil eder.
G=1/R iletkenliği i akım kaynağının
İç direnci de dahil olmak üzere tüm
paralel kayıpları temsil eder.
Y
Y = sC +
Y (ω ) =
(1 − ω 2 LC ) + jωCr
r + j ωL
=
G (ω ) =
(1)
1
(1 + s 2 LC ) + sCr
=
r + sL
r + sL
[(1 − ω 2 LC ) + jωCr ](r − jωL)
= G (ω ) + jB (ω )
r 2 + ω 2 L2
r
(3)
r + ω 2 L2
2
B (ω ) = ω
(2)
(Cr 2 − L) + ω 2 L2 C
r 2 + ω 2 L2
(4)
Devrenin öz salınım frekansı:
ω0 =
1
LC
(5)
Y’nin ve Z=1/Y nin gerçel olduğu frekans:
ωr =
1
r2
− 2
LC L
(6)
|Y| nin maksimum olduğu frekans d|Y|/dω=0 dan hesaplanabilir:
ω max =
1
C r2
1 + 2r 2 − 2
LC
L L
(7)
Görüldüğü gibi bu üç karakteristik frekans biribirinden farklıdır:
ω max f ω 0 f ω r
Bu üç frekans ancak r nin çok küçük, yani Q iyilik katsayısının çok büyük
olması halinde yaklaşık olarak biribirine eşit sayılabilir. r ≠ 0 ve r = 0 halleri için
Şekil-2 (a) ve (b) de verilmiş olan Z(ω) yer eğrilerinden durum daha iyi görülebilir.
Şekil-2(c) de ise iyilik katsayısı küçük olan bir paralel rezonans devresinde1 (a)
empedansın modülünün maksimum olduğu frekansın, empedansın gerçel olduğu
frekanstan farklı ve daha büyük olduğu, (b) rezonans bölgesine göre küçük olan
frekanslarda faz dönmesinin (+π/2) değerine ulaşamadığı, Şekil-2(a) nın da
öngördüğü gibi, bir maksimumdan geçtikten sonra sıfıra düştüğü görülmektedir.
Im(Z)
Im(Z)
ω
Z(ω)
ω= ∞
Z(0)=r
ω
ω= 0
R
Zmax
ω0
Re(Z)
ω= ∞
ωmax
300
2
ω0
Re(Z)
(a)
1
Z(ω)
Z(ω0) = R
(b)
2.0
1.0
200
0
100
-1.0
0
>>
-2.0
0Hz
1
0.5GHz
ABS(V(1)/I(IIN)) 2
1.0GHz
1.5GHz
ARCTAN(IMG(V(1)/I(IIN))/R(V(1)/I(IIN)))
Frequency
(c)
Şekil-2
1
L =10 nH, C =2 pF, r =20 ohm, Q =3,5
2.0GHz
Paralel rezonans devresinin empedansının, gerçel
frekansındaki değeri (3) ve (5) den yararlanılarak hesaplanırsa
Z (ω r ) = R = r +
olduğu
ωr
(8)
L
L
≅
rC rC
bulunur. Bu bağıntı, bobinin r seri direncinin rezonans frekansında (ve rezonans
yakınlarında) L/rC değerinde bir paralel dirence eşdeğer olduğunu gösterir.
Bu eşdeğerlikten yararlanılarak rezonans devresine paralel bağlı bir
direncin (örneğin Şekil-1 deki Rg işaret kaynağı iç direncinin) devre davranışı
üzerindeki etkisi kolayca hesaplanabilir. Rg ile R nin paralel eşdeğerine Re (efektif
paralel direnç) denilip buna karşı düşen efektif seri direnç hesaplanırsa
Re =
R.R g
re =
R + Rg
L
Re C
(9)
bulunur.
1.1. Q İyilik Katsayısının Temel Tanımı:
Salınımlı bir sistemin iyilik katsayısı:
Qe =2 π. (Sistemdeki toplam enerji) / (Bir
peryotta kaybolan enerji)
(10)
Bu temel tanımdan yararlanarak, self endüktansı L ve direnci r olan bir
bir bobinle buna paralel bağlı kayıpsız bir kapasiteden oluşan bir paralel
rezonans devresinin iyilik katsayısını hesaplayalım. Sistem uyarıldığında toplam
enerjisi, kapasite kolu ile bobin kolu arasında potansiyel ve kinetik enerji olarak
salınır. Bobinden akan akımın tepe değerinde enerji tümü ile kinetik enerjidir.
Akımın tepe değeri, V devreye uygulanan gerilimin tepe değeri olmak üzere
V
IL =
(ωL) 2 + r 2
1
ve endüktansa yığılan enerji
WL = L.I L2
dir.
2
r direncinde harcanan güç (1 saniyede kaybolan enerji)
1 2
r .I L
2
ve salınımın bir peryodunda harcanan enerji
Pr =
1 ⎛1 2⎞ π
⎜ r.I L ⎟ =
f0 ⎝ 2
⎠ ω0
Bu bilgiler (10) tanım bağıntısına uygulandığında;
E (T ) =
⎛1 2⎞
⎜ r.I L ⎟ dir.
⎝2
⎠
Lω 0
1
=
(11)
r
rCω 0
yahut (8) bağıntısından yararlanılarak paralel direnç cinsinden
R
(12)
Q = ω 0 RC =
Lω 0
elde edilir. Bu bağıntı ve (8) den, ve ω 0 ≅ ω r olduğu göz önünde bulundurularak,
Q=
R = r (Q + 1) ≅ r.Q
(8-a)
bulunur.
Hem endüktansa seri bir direnci, hem de paralel bir direnci bulunan bir
paralel rezonans devresinin iyilik katsayısı (etkin iyilik katsayısı) ise (9)
bağıntısından yararlanılarak bulunabilir:
Qe =
Lω 0
R
1
=
= ω 0 Re C = e
re
re Cω 0
Lω 0
(13)
1.2. Iyilik Katsayısı, Bir Başka Açıdan
Bir akım impulsu ile uyarılan bir paralel rezonans devresinin uçları
arasında meydana gelecek gerilim, Z=1/Y olmak üzere
V ( s ) = I ( s ).Z ≅
(s − s z )
I 1
s C ( s − s p1 )( s − s p 2 )
(14)
bağıntısından hesaplanabilir:
V(s) nin sıfır ve kutupları (1) bağıntısı yardımı ile
1 ⎛ r ⎞
r
r
−⎜ ⎟
m j
s z = − , s p1, s p 2 = −
L
2L
LC ⎝ 2 L ⎠
2
bulunur. Bağıntılar
σ =−
r
, ω 0=
2L
1
,
LC
ϖ 0 = ω 02 − σ 2
konularak
s z = 2σ ,
s p1 , s p 2 = σ m jϖ
yazılabilir. ІszІ<<lspl olduğu göz önünde bulundurularak (14) bağıntısı
(15)
I 1
s
s C ( s − s p1 )( s − s p 2 )
şeklinde basitleştirilip buradan v(t) çözülürse
V ( s ) = I ( s ).Z ≅
I
1
s .t
s .t
(e p 1 − e p 2 )
C ( s p1 − s p 2 )
v(t ) =
≅
I 1 σ .t jϖ 0 t
I 1 σ .t
e (e
− e − jϖ 0 t ) =
e .sin(ϖ 0 .t )
C 2 jϖ 0
C ϖ0
v(t ) = V .eσ .t .sin(ϖ 0 .t )
bulunur. Bu bağıntı (11) ve (15) den yararlanılarak ve ω 0 = ϖ 0 olduğu göz
önünde bulundurularak
v(t ) = V .e
−
ω0
2Q
.t
. sin(ω 0 .t )
(16)
şeklinde yazılabilir. Buradan Q salınım sonundaki genlik hesaplanırsa
v(Q) = V .e −π
(17)
ve salınımın genliğinin başlangıç genliğinin 1/e sine düşmesi için yapılması
gereken salınım sayısı
n=
Q
(18)
π
bulunur.
v(t)
V
t
Şekil-3
1.3. Yüksek Q lu Paralel Rezonans Devresinin Frekans Cevabı
Bir paralel rezonans devresinin Z empedansı rezonans frekansı yakınları
için ve Q>>1 koşulu ile (1) den
Z (ω ) =
ve
1
r + j ωL
L
=
≅
2
Y (ω ) (1 − ω LC ) + jωCr Cr
∆ω = (ω − ω 0 ) , β =
2∆ω
1
1+ j
1
(ω 2 LC )
ωCr
ω0
konularak
1
(19)
1 + jβ Q
bulunur. Şekil-4 de Z nin modülünün ve açısının (βQ) ile değişimleri verilmiştir.
Z (ω ) = Z (ω 0 )
Şekil-4
Yorum:
- ω0 frekansında empedans maksimumdan geçer ve gerçeldir.
- βQ=±1 e karşı düşen frekanslarda, yani ω0+∆ω ve ω0+∆ω için empedansın modülü rezonanstaki
değerinin 1/√2 sine düşer.
- Devrenin band genişliği B=2∆f dir.
- Band uçlarında faz dönmesi ± π/4 dür.
1.4. Paralel Rezonansta Kol Akımları
v (ω o ) = i.Z (ω 0 ) = i.Re
Kapasite üzerinden akan akım
iC (ω 0 ) = v (ω 0 ).( jω 0 C ) = i.Re . jω 0 C = j.i.Qe
(20)
(Yorum: Kapasite üzerinden akan akım ana kol akımından 90° ilerde ve giriş akımının Qe katı ! )
Bobin kolundan akan akım (QS=Lω0/r >>1 varsayımı ile):
iL (ω0 ) = v(ω0 ).
R
1
1
≅ v(ω0 )
= − j.i e
jω 0 L
ω0 L
( r + jω 0 L )
(21)
(Yorum: Bobin üzerinden akan akım ana kol akımından - yaklaşık- 90° geride ve giriş akımının Qe katı !
Bu durum bobin iletkeni üzerinde “electro-migration” riski bakımından önemli ! )
1.5. Tümleşik (on-chip) Endüktanslar
Silisyum tümdevreler içindeki endüktanslar genellikle birinci (en üstte
bulunan ve en kalın) metal katmanda, metale litografi ile aşındırılarak
öngörülmüş olan biçimin verilmesi ile gerçekleştirilir. Metal genellikle
aluminyumdur2 ve kalınlığı 0,5 ...1 µm mertebesindedir. En yaygın olarak
kullanılan yapılar dörtgen, altıgen ve sekizgen spiral yapılardır. Şekil-5 de iki
sarımlı keresel bir endüktans görülmektedir. İçerde kalan uç bir alt katmana
dalınıp çıkılarak üst katman düzeyine getirilmiştir. Bobinin direnci metal yolun
direnci ile dalıp çıkmada yararlanılan saplamaların (“via” ların) direncinin
toplamıdır ve deri olayı, akım yığılması gibi nedenlerle frekansla artar. Bobinden
akan akımın, alt taraftaki iletken (yahut yarıiletken) malzemede endüklediği
akımların sebep olduğu kayıplar da bobinin toplam kayıplarını arttıran (dolayısı
ile iyilik katsayısını küçülten) bir etkendir. Bu endüksiyon kayıplarının
küçültülmesi amacı ile alt katmanlardan birinde, endüksiyonla oluşan akımların
yolunu kesecek şekilde biçimlendirilmiş bir “ekran” oluşturulması genellikle
uygulanan bir yoldur. Bobin metalinin bu ekranla yahut taban yarıiletkeni ile olan
“dağılmış” kapasitesi de, mutlaka hesaba katılması gereken parazitik bir etkendir.
Şekil-5
Endüktans değeri bobinin biçimine ve boyutlarına bağlıdır. Tümleştirilmiş
endüktansların tasarımı için literatürde verilmiş olan bağıntıların tümü yaklaşıktır
ve verdikleri sonuçlar hatalıdır. Bu amaçla yazılmış ve pazarlanmakta olan
yazılımların doğruluk dereceleri de tartışma konusudur3. Bu tartışmaların
nedenlerinden biri, tümleştirilmiş endüktansların modellenmeleri ve ölçülmeleri ile
ilgili sorunlardır.
Bazı yeni süreçlerde ara bağlantılar ve endüktanslar için bakır da kullanılmaktadır.
Bu yazılımların en başarılı olanları arasında “OEA International, Sunnyvale, CA.(USA)” ve bu
firmanın Türkiye uzantısı olan “Akçasu Yazılım Sistemleri Ltd Şti.”nde geliştirilmiş olan
2
3
Tümleştirilmiş bir endüktans genellikle Şekil-6.a daki gibi, bir iki-kapılı
olarak modellenir4. Burada r endüktans iletkeninin direnci, Cox, Csub ve Rsub
endüktansın altındaki dağılmış admitansın iki uçta toplanmış yaklaşık eşdeğeri,
Rsub(m) bobin akımının tabanda endüklediği akımın sebep olduğu kayıpları temsil
eden direnç ve CF bobinin iki ucu arasındaki parazitik kapasitedir. Deri olayı,
akım yığılması, alan düzensizliği gibi ikincil olaylar nedeni ile bu parametrelerin
çoğu frekansla –az veya çok- değişir.
Endüktansın karakterize edilebilmesi için bu parametrelerin herbirinin (hiç
değilse L ve Qe nin ölçme yolu ile belirlenmesi gerekir. Yaygın olarak kullanılan
yöntem, GHz ve yukarısı frekanslarda, en kolay yol olarak, endüktansın S
parametrelerinin ölçülmesi, bunlardan yararlanılarak y parametrelerinin
hesaplanması ve –yapılabiliyorsa- bunlardan yararlanılarak da devre
parametrelerinin hesaplanmasıdır. Bir ucu referansa bağlı olan bir endüktansın
karakterizasyonunda y11 parametresinden , simetrik bir endüktansın
karakterizasyonu için ise y12 parametresinden yararlanmak uygundur.
Şekil-6.a daki iki kapılının y11 parametresine ilişkin eşdeğer devre Şekil-6.b
de verilmiştir. Literatürde bu tek kapılının belirli bir frekansta Şekil-6.c deki gibi bir
eşdeğerinin olduğundan hareketle
Rsub(m
L
Cox
Rsub
Csub
r
Cox
Rsub
Csub
r
Rsub
L
Cp
(b)
L
Rp
r
Re
Zi
Rsub(m)
CF
Csu
Zi
(a)
L
Co
Zi
(c)
(d)
Şekil-6
4
R.L. Bunch,D.I. Sanderson, S. Raman, “Quality Factor and Inductance in Differential IC
Implementations, IEEE Microwave Magazine, June 2002
Z in =
1
= r + jX
y11
⎛ (1 / y11 ) ⎞
L = Im⎜
⎟
⎝ ω ⎠
(19)
⎛ 1 ⎞
⎟⎟
r = Re⎜⎜
y
⎝ 11 ⎠
Im(1 / y11 )
Q=
Re(1 / y11 )
yazılmakta ve yaygın olarak kullanılmakta, L ve Q değerleri bu bağıntılardan
yararlanılarak bulunmaktadır. Ancak;
a) (19-2) bağıntısı ile hesaplanan endüktans gerçekte bobinin L
endüktansı değil, Şekil-6.b deki devrenin giriş empedansının ölçmenin yapıldığı
frekanstaki sanal kısmına karşı düşen ve devredeki tüm reaktif bileşenlerin bir
kombinasyonu olan bir eşdeğer endüktanstır ve değeri frekansa bağlıdır.
b) Giriş empedansı devredeki L nin parazitik kapasiteleri ile bir frekansta
paralel rezonansa gelir. Bobinin öz frekansı (ω0) diyeceğimiz bu frekansta
empedans gerçel (yani sanal kısmı sıfır) ve modülü maksimumdur. ω0 dan daha
küçük frekanslarda empedans endüktif (sanal kısmı pozitif), daha büyük
frekanslarda kapasitif (sanal kısmı negatif)tir. Dolayısı ile öz frekans ve
yukarısında bir eşdeğer endüktanstan söz edilemez.
c) Öz rezonans frekansında giriş empedansının sanal kısmına karşı
düşürülen eşdeğer endüktansın değerinin sıfır olması nedeni ile (19) dan
hesaplanan Q değeri sıfır çıkar.
d) Ayrıca (19-4) bağıntısı ile verilmiş olan Q değeri de tartışmaya açıktır.
Bu devrenin giriş empedansının gerçel ve sanal kısımları hesaplanabilir.
Devrenin Şekil-6.d de verilmiş olan basitleştirilmiş halinden hesaplanan Re ve Le
değerleri
L
( LG p + rC p )
r
Re = r
(1 + rG p − ω 2 LC p ) 2 + ω 2 ( LG p + rC p ) 2
(1 + rG p − ω 2 LC p ) − ω 2
Cp
) − ω 2 LC p
L
Le = L
(1 + rG p − ω 2 LC p ) 2 + ω 2 ( LG p + rC p ) 2
(1 − r 2
endüktansın kendi seri direnci ile iyilik katsayısı
Qs =
1
Lω
=
r
rCω
(20)
(21)
ve genellikle Qs2>>1 olduğundan,
Le ≅ L
1 − ω 2 LC p
(1 + rG p − ω 2 LC p ) 2 + ω 2 ( LG p + rC p ) 2
(21-a)
dir. Görüldüğü gibi her iki bileşen de frekansın fonksiyonudur ve ancak rezonans
frekansına göre küçük frekanslarda Le, L ye ve Re, r ye eşit olmaktadır. Le bir
eşdeğer endüktans olarak tanımı gereği uçları arasındaki gerilimle içinden akan
akım arasında 90º lik bir faz farkı oluşturmakla beraber içeriğindeki r ve Gp
elemanları nedeni ile enerji harcayan bir iki uçludur. Dolayısı ile (19-4)
bağıntısından hesaplanan Q, iyilik katsayısının temel tanımı ile de uyumsuzdur.
Şekil-7 da tipik bir tümleştirilmiş endüktans için yukarda eleştirilen yöntemle elde
edilmiş olan tipik deneysel L ve Q eğrileri, Şekil-8 de ise ideal bir L endüktansı,
buna seri bağlı ideal bir r direnci ve bunlara paralel bağlı ideal bir kapasiteden
oluşan bir rezonans devresinin5 pSpice simülasyonu ile, (19-1) ve (19-4)
bağıntılarına göre hesaplanmış L ve Q eğrileri verilmiştir.
Görüldüğü gibi yöntem L ve Q değerlerini ancak rezonans frekansına göre
hayli küçük frekanlar için gerçeğe uygun olarak vermektedir. Rezonans frekansı
yakınlarında bu yöntemle elde edilen değerler, kabul edilemiyecek düzeyde
hatalıdır.
.
Şekil-7
5
Eleman değerleri: L= 5 nH, r = 30 ohm ve C = 200 fF dır.
20n
L?
10n
0
-10n
-20n
0.1GHz
1.0GHz
2.0GHz
(IMG(V(1)/ I(IIN)))/(6.28*frequency)
3.0GHz
4.0GHz
5.0GHz
6.0GHz
Frequency
4.0
Q
3.0
A
2.0
B
1.0
0
0.1GHz
1.0GHz
2.0GHz
(IMG(V(1)/I(IIN)))/(R(V(1)/I(IIN)))
3.0GHz
4.0GHz
5.0GHz
6.0GHz
Frequency
A: Q =
Lω
r
B: Q =
Im(Z in )
Re( Z in )
Şekil-8
Bütün bu nedenlerle, tümleşik endüktansların öz frekans yakınlarında da
geçerli olacak şekilde karakterize edilebilmesi için başka yöntemler aranması
gerekir. Şekil-9 da önerilen yöntemde karakterize edilmek istenen endüktans,
girişi geniş bantta 50 Ω olan bir kaskod kuvvetlendiricinin yükünü oluşturan
rezonans devresinin bir elemanıdır. Kuvvetlendiricinin çıkış gerilimini ölçmek için
giriş empedansı rezonans devresini yüklemeyecek kadar büyük olan ve 50Ω luk
bir yük (ölçü düzeni) ile yüklenebilen bir “on-chip” prob devresi kullanılacaktır
(Şekil-9). Bir örnek olarak 0.6u AMS teknolojisi için yapılan bir tasarımla sağlanan
özellikler: M1 ve M3 W/L=6µ/.6µ , M2 W/L=60µ/.6µ için
rin=1.47 Mohm @ 3GHz, 0.44 Mohm @ 10GHz
Cin= 7.25fF @ 3GHz, 7.29fF@ 10GHz
Gerilim kazancı=-38.7 dB, 3dB frequency > 10GHz
P=0.286 mW (VDD=3V)
+V
L,r
C
1/ω
2
50Ω
Cascode
amplifier
On-chip
probe
50Ω
1/ω0
2
+V
vin
50Ω
M1
M2
+Vbias
vout
M3
Şekil-9
C3 C0 C1 C2
Şekil-10
Önerilen ölçü süreci:
- Şekil –9 daki düzenin girişine 50Ω iç dirençli bir osilatör, yahut bir devre
analizörünün işaret çıkışını uygula.
- Çıkışa 50Ω giriş dirençli bir geniş bantlı osiloskop, yahut yahut bir devre
analizörünün işaret girişini bağla.
- Osilatör frekansını L nin ölçüleceği (f0) değere ayarla. C ile devreyi çıkış
genliği maksimum olacak şekilde akord et6 . C0 değerini not et.
6
Akord işini kırmık üzerinde güvenilir biçimde yapabilmek için C nin yeterli sayıda paralel
bağlanmış eş varaktorlardan oluşturulması, kaba akordun uygun sayıda varaktorun seçilmesi,
ince akordun giriş frekansı ile yapılması uygun olur. Parazitik etkileri minimuma indirmek için –
geri dönüşsüz bir yöntem olmakla beraber- varaktorların laser kesici ile ayrılarak devre dışı
bırakılması önerilir.
C
- Frekansı f0 ın iki yanına doğru değiştirerek –3dB frekanslarını bul ve 2∆f
bant genişliğini belirle.
- Qe=f0/2∆f iyilik katsayısını hesapla7.
- C nin başka değerleri (dolayısı ile başka frekanslar) için işlemleri
tekrarla.
- y=1/ω2 yi C nin fonksiyonu olarak işaretle (Şekil-10). Ölçüm noktalarını
birleştiren (ortalayan) doğruyu çiz.
- Çizilen doğrunun eğimi L değerini verir.
- Bu doğrunun düşey ekseni kestiği noktaya karşı düşen ω değeri, bobinin
kendi parazitikleri ile rezonansa geldiği öz frekanstır.
- Bu doğrunun yatay ekseni kestiği noktaya karşı düşen C değeri bobinin
toplam parazitik kapasitesine eşittir. Bu kapasiteye dahil olan kaskod devrenin
çıkış kapasitesi ayrıca ölçülerek yahut hesaplanarak bu değerden düşülebilir. Bu
durumda öz frekans üzerinde de gerekli düzeltme yapılmalıdır.
2. Seri Rezonans Devresi
Şekil-11 deki seri rezonans devresinde r işaret kaynağının iç direnci de dahil
olmak üzere toplam seri direnci temsil eder. Kapasitenin kayıpsız olduğu
varsayılmıştır. Buradan,
r
+
v
i
L
C
Şekil-11
1
)
sC
1
1
s
Y=
=
1
1
r
L 2
r + sL +
s +s +
sC
L LC
Z = (r + sL +
(2.1)
Yalnızca kaskod devrenin çıkış direncinden ileri gelen (hesaplanan) Qk iyilik katsayısı belirlenen
Qe den yeterince büyükse, kaskod devrenin etkisi ihmal edilebilir. Değilse bobinin gerçek etkin
iyilik katsayısı (Qee) , (1/Qe)=(1/Qk)+(1/Qee) bağıntısından yararlanılarak hesaplanabilir.
7
Y=
1
s
L ( s − s p1 )( s − s p 2 )
2
ve ω 02 =
1
,
LC
r
1 ⎛ r ⎞
m j
s p1, p 2 = −
−⎜
⎟
2L
LC ⎝ 2 L ⎠
Lω 0
ω
ω
r
Qe = 0 =
= 0 ,
σ =−
2 L 2Qe
2σ
r
(2.2)
olmak üzere
s p1, p 2 = σ m j ω 02 − σ 2
(2.2-a)
bulunur. Bu bağıntılardan yararlanılarak admitansın ve empedansın modülü ve
açısı hesaplanabilir ve frekansla (yahut βQe ile) değişimleri çizilebilir (Şekil-12)
Z (ω ) = r 1 + ( β Qe ) 2
Z (ω 0 ) = r
(2.3)
Φ(ω) = arctan (βQe)
Yorum:
- ω0 frekansında empedans minimumdan geçer ve gerçeldir. Değeri r ye eşittir.
- βQ=±1 e karşı düşen frekanslarda, yani ω0+∆ω ve ω0+∆ω için empedansın modülü rezonanstaki
değerinin √2 katına yükselir .
- Devrenin band genişliği B=2∆f dir.
- Band uçlarında faz dönmesi ± π/4 dür.
2.1. Seri Rezonansta Eleman Gerilimleri
Bir seri rezonans devresinde L ve C elemanlarının uçları arasındaki
gerilimin değeri, (2.1) bağıntısı ω domeninde yazılarak kolayca hesaplanabilir:
Y (ω ) =
jω
1
2
L − ω − j 2σω + ω 02
Y (ω 0 ) = −
1 jω 0
1
=
L j 2σω 0 r
i (ω 0 ) = v (ω 0 ).
1
r
Şekil-12
Kapasite kolunun uçları arasındaki gerilim
vC (ω 0 ) = i (ω 0 ).
1
jω 0 C
= v(ω 0 )
1
= − jv(ω 0 ).Qe
jω 0 Cr
(2.4)
(Yorum: Kapasite kolunun uçları arasındaki gerilim, girişe uygulanan gerilimden 90º geridedir ve onun Qe
katıdır. Bu durum seri rezonans devrelerindeki kapasitelerin dielektriğinin delinmesi bakımından bir risk
oluşturur ve göz önünde bulundurulması gerekir.)
Endüktans kolunun uçları arasındaki gerilim
v L (ω 0 ) = i (ω 0 )( jω 0 L + r ) = v(ω 0 )
jω o L + r
r
= v(ω 0 ).( j.Qe + 1) ≅ jv(ω 0 ).Qe
(2.5)
(Yorum: Endüktans kolunun uçları arasındaki gerilim, yaklaşık olarak ,girişe uygulanan gerilimden 90º
ilerdedir ve onun Qe katıdır.)