uzay geometri - Google Groups

UZAY GEOMETRÝ
Matematikte nokta, doðru, düzlem ve uzay gibi
bazý kavramlar tanýmsýz olarak kabul edilir.
* Paralel farklý iki doðru bir düzlem belirtir. Her
parallel iki doðrudan bir tek düzlem geçer.
* Kesiþen farklý iki doðru bir düzlem belirtir. Her kesiþen
farklý iki doðrudan bir tek düzlem geçer.
1. Düzlemle Doðrunun Durumlarý
Cetvelin kenarý ile bir doðru çizebiliriz. Sýnýfýn
duvar, pencere camý birer düzlemdir. Odanýn
içerisi, herhangi bir cismin kapladýðý yer birer
uzay belirtirler.
Nokta
‹‹ . ›› Biçiminde ifade edilir ve genellikle
büyük harfle gösterilir. Nokta boyutsuzdur.
‹‹ . ›› nokta, ‹‹ .A ›› A noktasý
Doðru
Ýki ucuna ok iþareti koyulmuþ düz bir çizgi ile
gösterilir. Doðru küçük harfle veya üzerindeki
iki nokta ile gösterilir.
B
A
d (d doðrusu)
veya AB doðrusu diye okunur.
Buradaki A ve B noktalarý doðrunun birer
elemanýdýr.
AÎ
d ve BÎ
d biçiminde yazýlýr.
* Farklý iki noktadan bir tek doðru geçer.
* Farklý iki nokta bir doðru belirtir.
Doðru bir boyutludur. Yani sadece uzunluk söz
konusudur.
Düzlem
Her yöne doðru sonsuza uzayýp giden düz bir
yüzeydir. Düzlem iki boyutludur. Sayfa
üzerinde paralelkenar gibi gösterilebilir.
Paralelkenarýn köþesine harfle ismi yazýlabilir.
A
B
E
C
d
Þekildeki düzlem
E düzlemi diye
isimlendirilir.
Burada A,B ve C
noktalarý E düzlemi
üzerindedir.
Dolayýsýyla B ve C noktalarýndan geçen d
doðrusu da E düzlemi üzerindedir.
AÎ
E , BÎ
E , CÎ
E ve dÌ
E yazýlabilir.
* Ayný doðru üzerinde olmayan farklý üç nokta bir
düzlem belirtir.
* Bir doðru ile, bu doðru üzerinde olmayan bir nokta,
bir düzlem belirtir.
* Bir doðrunun farklý iki noktasý bir düzlem üzerinde ise
bu doðru (doðrunun bütün noktalarý) bu düzlem
üzerindedir.
K
d1
b
a
d
d2
Bir doðru düzlemin ya üzerinde, ya dýþýnda
veya düzlemi bir noktada keser.
d1 Ç
a
= d1 ,
d2 Ç
a
=Æ
ve
dÇ
b
= {K} olur.
K noktasý, kesiþen bir doðru ile bir düzlemin
arakesitidir.
2. Düzlemle Ýki Doðrunun Durumlarý
* Bir düzlemde farklý iki doðru ya paraleldir, ya da bir
noktada kesiþirler.
d1
d1
d2
A
a
d2
a
3. Düzlemde Üç Doðrunun Durumlarý
d1
d2
d3
Üç doðru paralel olabilir.
d1 // d2 // d3 ve
d1 Ç
d2 Ç
d3 = Æ
a
* Düzlemde paralel iki doðrudan birine paralel olan
doðru diðerine de paraleldir.
d1 // d2 ve d2 // d3 ise d1 // d3 olur.
Yalnýz ikisi paralel
l
3
ise, üçüncü doðru
A
l
1
paralel doðrularý
B
birer noktada keser.
l
2
l
1 // l
2 // l
3 = {A} ise
a
l
l
2 Ç
3 = {B} gibi
*Düzlemde paralel iki doðrudan birini kesen bir doðru,
diðerini de keser.
*Düzlemde paralel iki doðrudan birini dik kesen bir
doðru, diðerini de dik keser.
k1
Üç doðru bir noktada
kesiþebilir.
k1 Ç
k2 Ç
k3 ={P}
k2
P
1. Uzay Belirtme Aksiyomlarý
k3
a
t2
t3
B
a
Üç doðru ikiþer ikiþer
kesiþebilir.
t1 Ç
t2 = {A}
t1 Ç
t3 = {B}
t2 Ç
t3 = {A}
t1 Ç
t2 Ç
t3 = Æ
t1
A
C
* Düzlemde doðrunun üzerindeki bir noktadan geçen ve
bu doðruya dik olan bir tek doðru çizilebilir.
* Doðrunun dýþýndaki bir noktadan geçen ve bu doðruya
dik olan bir tek doðru çizilebilir.
* Doðrunun dýþýndaki bir noktadan geçen ve bu doðruya
paralel olan bir tek doðru çizilebilir.
* Dördü ayný düzlemde bulunmayan farklý dört nokta
uzay belirtir. Uzayda herhangi üç nokta daima ayný
düzlemin içindedir. (Üç nokta uzay belirtmez)
* Bir düzlem ile bu düzlemin dýþýndaki bir nokta, uzay
belirtir.
* Bir düzlem ve düzlem üzerinde olmayan bir doðru
uzay belirtir.
* Farklý iki düzlem daima uzay belirtir.
Doðrularýn Düzlemde Ayýrdýðý Bölge Sayýsý
Genel olarak, n adet doðru bir düzlemi;
?
en az (n +1) bölgeye (paralellik hali)
2
?
en fazla n +n +2
2
ÖRNEK : 4 doðru için
2
6
1
5
3
7
bölgeye ayýrýr.
1
2
3
4
8
9
11
10
a
a
4
5
UZAYDA DOÐRU ve DÜZLEMLER
Cisimlerin kapladýðý yer ve içinde bulunduðu
mekan uzaydýr.
Doðruda sadece uzunluk, düzlemde uzunluk ve
geniþlik sözkonusu idi. Uzayda ise uzunluk ve
geniþliðin yanýnda bir de yükseklik kavramý
vardýr. (Derinlik de denilebilir.) Dolayýsýyla
uzay üç boyutludur.
Uzayda x,y,z eksenleriolduðu için kartezyen
koordinat olarak
RxRxR veya R3 ile sembolize edilir.
Aþaðýda üç boyutlu cisimlerin bazýlarý
belirtilmiþtir.
z
y
KÜP
x
SÝLÝNDÝR
KONÝ
* Uzayda farklý iki düzlem ya paraleldir ya da kesiþirler.
* Paralel olmayan farklý iki düzlem daima kesiþir.
*Kesiþen iki düzlemin ortak noktalarýnýn oluþturduðu
doðruya arakesit doðrusu denir.
Farklý K ve L düzlemleri uzay belirtir. E ve F
düzlemlerinin kesiþim kümesi d doðrusudur.
EÇ
F = d dir.
2. Uzayda Doðrularýn Durumlarý
Uzayda iki doðru için üç durum söz konusudur.
* Ýki doðru uzayda paralel olabilir.
* Ýki doðru uzayda kesiþebilir.
* Ýki doðru uzayda aykýrý olabilir. (Aykýrý doðrular,
kesiþmeyen ve paralel olmayan doðrulardýr.)
* Uzayda bir doðruya dýþýndaki bir noktadan sadece bir
tane dik doðru çizilebilir.
* Uzayda bir doðruya, üzerindeki bir noktadan sonsuz
sayýda dik doðru çizilebilir.
* Aykýrý doðrular düzlem belirlemez. Aykýrý doðrular
düzlemsel olmadýðýndan uzay belirtir.
* Aykýrý iki doðruya dik olan sadece bir tane doðru
vardýr.
* Uzayda üç doðru paralel olabilir.
* Uzayda paralel doðrulardan birine paralel olan bir
doðru diðerlerine de paraleldir.
* Uzayda paralel üç doðru ayný düzlemin elemaný olmak
zorunda deðildir.
*Uzayda paralel iki doðrudan birini kesen bir doðru
diðerini kesmeyebilir.
*Paralel iki doðrunun ikisini de kesen bir doðru birini
dik kesiyorsa diðerini de dik keser.
* Bir düzleme, dýþýndaki bir noktadan geçen ve bu
düzleme dik olan bir tek doðru çizilebilir.
* Paralel düzlemler kendilerini kesen doðrularý ayný
oranda bölerler.
* Bir düzleme, dýþýndaki bir noktadan sonsuz tane
paralel doðru çizilir. Bu doðrular bir düzlem
oluþtururlar.
a
,b
,g
paralel düzlemlerinde
* Uzayda üç doðru düzlemsel veya düzlemsel olmayan
bir noktda kesiþebilir.
* Bir düzlem paralel düzlemlerden birini keserse,
diðerini de keser.
* Bir düzlem paralel düzlemlerden birine dik ise diðerine
de diktir.
* Paralel düzlemleri kesen düzlemlerin arakesit
doðrularý paraleldir.
* Bir düzlemin, dýþýndaki bir noktadan geçen ve bu
düzleme paralel olan bir tek düzlem vardýr.
* Uzayda ikiþer ikiþer kesiþen üç doðru bir düzlem
belirtir.
* Uzayda bir doðru, kesiþen iki doðrunun ikisini de
kesmeyebilir.
* Uzayda kesiþen iki doðrunun kesiþim kümesi bir
noktadýr.
* Uzayda paralel ve aykýrý doðrularýn kesiþim kümesi
boþ kümedir.
3. Uzayda Düzlemlerin Durumu
a
// b
ve AB // CD dir.
* Bir doðru paralel düzlemlerden birini keserse
diðerlerini de keser.
* Bir doðru paralel düzlemlerden birini dik keserse
diðerlerini de dik keser.
* Bir doðruya dik olan farklý düzlemler paraleldirler.
* Paralel iki düzlemden birine paralel olan düzlem
diðerine de paraleldir.
* Bir düzleme, üzerindeki bir noktadan geçen ve bu
düzleme dik olan bir tek doðru çizilebilir.
L düzlemi dýþýndaki M noktasýndan geçen ve L
düzlemine paralel olan bir tek K düzlemi vardýr.
* Bir düzlemin üzerindeki bir noktadan geçen ve bu
düzleme dik olan birden fazla düzlem olabilir.
* Bir düzlemin dýþýndaki bir noktadan geçen ve bu
düzleme dik olan birden fazla düzlem çizilebilir.
* Üç düzlem bir doðru boyunca kesiþebilir.
a
düzlemi dýþýndaki P noktasýndan geçen ve a
düzlemine dik olan b
ve g
düzlemleri gibi çok
sayýda düzlem olabilir.
dÎ
a
,
[AB] ^
d ve
[AC] ^
a
ise
a
düzlemi üzerindeki K noktasýndan geçen ve
a
düzlemine dik olan sonsuz sayýda düzlem
vardýr.
l^
d olur.
a
,b
,g
düzlemleri bir doðru boyunca kesiþirse
d doðrusuna dik [AB] nin dik izdüþümünün
üzerinde olduðu l doðrusu d doðrusuna diktir.
a
Ç
b
Ç
g
= d olur.
DÝK ÝZDÜÞÜM
1. Doðru Parçasýnýn Ýzdüþümü
[AB] nýn, a
açýsý yaptýðý d doðrusu üzerine dik
izdüþümü[A’B’] olur.
* n tane düzlem uzayý en az n + 1 bölgeye ayýrýr.
* Üç düzlem uzayý en az dört, en çok sekiz bölgeye ayýrýr.
Düzlemlerin uzayý en az bölgeye ayýrdýðý
durum, paralel olduklarý durumdur. Üç
düzlemin uzayý sekiz bölgeye ayýrdýðý durumu
görmek için bir elmayý üç býçak darbesi ile
nasýl sekize bölebileceðimizi düþünelim.
Doðru parçasý ile izdüþümünün uzunluklarý
oraný a
açýsýnýn kosinüsüdür.
Yani, |A’B’|=|AB|.cosa
olur.
4. Temel Diklik Teoremi
Bir düzlemin kesiþen iki doðrusuna, kesiþme
noktasýnda dik olan bir doðru, bu düzleme
diktir.
2. Düzlemin Ýzdüþümü
d1 Î
a
,
d2 Î
a
,
lÇ
d1Ç
d2Ç
a
={A}
veriliyor.
açýsý yapan ABCD
l^
d1 ve l^
d2 ise l^
a E düzlemi ile a
dikdörtgeninin E düzlemi üzerindeki dik
olur.
izdüþümü A’B’C’D’ dikdörtgenidir.
* Paralel doðrularýn dik izdüþümü yine paraleldir.
[AB] // [DC] ?
[A’B’] // [D’C’]
[AD] // [BC] ?
[A’D’] // [B’C’] olur.
5. Üç Dikme Teoremi
Bir düzlemin dýþýnda bulunan bir noktadan, bu
düzleme ve düzlem içindeki bir doðruya birer
dikme çizilirse, iki dikme ayaðýný birleþtiren
doðru düzlem içindeki doðruya diktir.
* Eþit uzunluktaki doðru parçalarýnýn dik izdüþümleri
yine eþit uzunluktadýr.
|AB|=|DC| ?
|A’B’|=|D’C’|
|AD|=|BC| ?
|A’D’|=|B’C’| olur.
* Düzlemle açý oluþturan uzunluklar ve alanlar cosa
oranýnda küçülür.
|A’B’|=|AB|.cosa
S’=S.cosa