FONKSĠYONLAR
‘’Fonksiyon’’ kavramı , matematiğin en önemli
konusudur. Ö.S.S Matematik II sorularını
çözebilmek için fonksiyon konusunu çok iyi
bilmek ve özümsemek gerekir.
ÖRNEK:
f(1)=3 , f(2)=3 , f(3)=4 , f(-1)=7
( f={(1,3),(2,3),(3,4),(-1,7)} )
Ģeklinde tanımlanan f fonksiyonu için ;
a) f fonksiyonunun tanım kümesini
yazınız?
Y: {1,2,3,-1}
TANIM:
A kümesinin her elamanını, B kümesinin bir
ve yalnız bir elemanı ile eĢleyen A dan B ye
her f bağıntısına A dan B ye bir fonksiyon
denir.
f : AB
gösterilir.
veya
A
f
B
b) f fonksiyonunun görüntü kümesini
yazınız?
Y: {3,4,7]
Ģeklinde
ÖRNEK:
f ( x)
A ya TANIM , B ye DEĞER kümesi
adı verilir.
x
x 1
Ģeklinde tanımlanan
2
f fonksiyonu için f(2)=?
(x,y) f için ; y=f(x) veya f : x y veya
f(2) =
x
y yazılır ve y’ ye x’ in
f fonksiyonu altındaki görüntüsü denir.
f
f(A)={y : y=f(x) , x A} kümesine de A nın f
fonksiyonu altındaki görüntü kümesi denir.
2
2
2 1 5
2
ÖRNEK:
f(x)=x2 Ģeklinde tanımlanan
f fonksiyonu için;
Tanım kümesi R alınırsa f(R)=?
f(R) = {y R | Y 0 } = [0, )
ÖRNEK:
A={0,1} ve B=R olmak üzere ;
A dan B ye
f:0 17
f:1 17 Ģeklinde tanımlanan
( f={(0,17),(1,17)} )
f bağıntısı bir fonksiyondur.
Tanım kümesi [-3,2] alınırsa f([-3,2]) = ?
f([-3,2]) = [0,9]
ÖRNEK:
f(x) = x2
fonksiyonu için ;
f(x+1) = (x+1)2 = x2+2x+1 ,
f(x2) = (x2)2 = x4 olur.
! A kümesinin her elemanı eĢlenmiĢtir.
! A kümesinin herhangi bir elemanı, birden
fazla elemanla eĢlenmemiĢtir.
ÖRNEK:
A={0,1} ve B=R olmak üzere ;
A dan B ye
f:0 17
f:0 20
f:1 17
Ģeklinde tanımlanan
( f={(0,17),(0,20),(1,17)} )
f bağıntısı bir fonksiyon değildir.
f(x) = sin x
f(x2) = sin x2
f(
fonksiyonu için ;
,
x 1) sin x 1
olur.
UYARI:
f(x) = x3-3x2+12x+10
Ģeklindeki
polinom
fonksiyonlar
x’in tüm gerçel
değerleri için tanımlıdır.
! A kümesinin her elemanı eĢlenmiĢtir.
! A kümesinin elemanlarından 0 , hem 17 ile
hem de 20 ile eĢlenmiĢtir.
1
FONKSĠYONLAR
ÖRNEK:
ÖRNEK:
2 x 3x
2
f(x) =
f ( x)
fonksiyonunun
x 2 3x 2
UYARI:
Rasyonel fonksiyonlarda payda sıfır olamaz.
Kareköklü fonksiyonlarda , karekök içindeki
ifade negatif olamaz.
1
2
veya x >
1
2
ÖRNEK:
g ( x)
4 x2
x 1
fonksiyonunun
tanım kümesini bulunuz?
ÖRNEK:
4-x2 0
x-1 0
x ; x < 0 ise
x2 ; x
-2 x 2
x1
ve
0 ise
fonksiyonu için ;
f(-2) = -2 , f(-1/2) = -1/2 , f(0) = 0 ,
f(1/2) = 1/4 , f(3) = 9 dur.
ÖRNEK:
h( x )
ÖRNEK:
1 x
1 x
fonksiyonunun
tanım kümesini bulunuz?
x 3 ise
|x|
;
2x+9
; -3
x3-c
;
1-x 0
x 1 ve
1+x > 0
x > -1 olmalıdır.
Tanım kümesi -1 < x 1 dir.
x 3 ise
x 3 ise
ifadesinin
bir
fonksiyon
bilindiğine göre c kaçtır?
tanımladığı
ÖRNEK:
f ( x)
f(3) = 2(3)+9=6+9=15
f(3) = 33-c=27-c
27-c = 15 olmalıdır. c = 12 dir.
x 1
ve g ( x)
x 1
f (x) için :
x 1
x2
x 1
x 1
fonksiyonlarının tanım kümelerini bulunuz?
ÖRNEK:
f ( x)
x
2x2-1 > 0
x2-3x+2 > 0 olmalıdır.
(x-1)(x-2) > 0
fonksiyonun tanım kümesi : ( ,1) (2, )
f(x)=
fonksiyonunun
2x 2 1
tanım kümesini bulunuz?
tanım kümesini bulunuz.
f(x) =
x
fonksiyonunun
x 1
0 ve x 1 olmalıdır.
x 1
Tanım kümesi : (,1) [1, )
g (x) için : x 1 0
x 1 0
x 1 ve
x 1 olmalıdır.
Tanım kümesi : [1, )
tanım kümesini bulunuz.
x-1 0 ve x 1 olmalıdır.
aynı zamanda x-2 0 ve x 2 olmalıdır.
2
FONKSĠYONLAR
ÖRNEK:
f ( x) 4 2 x 1
FONKSĠYONLARIN EġĠTLĠĞĠ:
Tanım kümeleri eĢit f ve g fonksiyonları
verildiğinde ; tanım kümesinin her x elemanı
için f(x) = g(x) oluyorsa f = g dir denir.
1
fonksiyonunun
x 1
tanım kümesini bulunuz?
ÖRNEK:
1
ve
2
x 1 olmalıdır.
2x 1 0
x
x 1 0
f(x) = x ve
eĢitmidir?
fonksiyonları
Her iki fonksiyonun tanım kümeleri R dir.
ÖRNEK:
f ( x)
x3 x
g ( x) 2
x 1
1
3 x2 4
fonksiyonunun
g ( x)
tanım ve görüntü kümelerini bulunuz?
Tanım kümesi :
olduğundan f = g dir.
x2 4 0
(,2] [2, )
Görüntü kümesi :
1
3 x 4
2
ÖRNEK:
y
3 x2 4
x 3 x x( x 2 1)
x f ( x)
x2 1
x2 1
g ( x)
f(x) = x ve
1
y
eĢitmidir?
x3 x
x2 1
fonksiyonları
f fonksiyonunun tanım kümesi R dir.
g fonksiyonunun tanım kümesi R – { 1 } dir.
1
3
y
1
0 x2 4 3
y
1
0 3
y
1
ve
y
y0
3
1
0 y
3
x2 4
Tanım kümeleri eĢit olmadığından f
ÖRNEK:
f(x) = x+2
g(x) =
g dir.
x R
x2 x 2
x 1
x 1 için
3
x 1 için
fonksiyonları eĢitmidir?
Her iki fonksiyonun tanım kümeleri R dir.
x 1 için g ( x)
x2 x 2
x 1
( x 2)( x 1)
x 2 f ( x)
x 1
olduğundan f = g dir.
3
FONKSĠYONLAR
( f g )(x) f ( x) g ( x)
ÖRNEK:
1
f ( x)
x 1 x
ve
Toplam
fonksiyonun
tanım
kümesi
,
fonksiyonların tanım kümelerinin kesiĢimidir.
g ( x) x 1 x fonksiyonları eĢitmidir?
( fg)(x) f ( x) g ( x)
x 1 0 ve x 0
x 1 x 0
Çarpım
fonksiyonun
tanım
kümesi
,
fonksiyonların tanım kümelerinin kesiĢimidir.
Her iki fonksiyonun tanım kümeleri
0, ) dur.
f ( x)
ÖRNEK:
x 1 x
1
f ( x) x ve g ( x) sin x için ;
x 1 x
x 1 x
( f g )(x) f ( x) g ( x) x sin x
x 1 x g ( x)
( f g )( x) f ( x) g ( x) x sin x
ÖRNEK:
f ( x)
( fg )(x) f ( x) g ( x) x sin x
x
x2 x x
g ( x) x 2 x x
ve
f fonksiyonunun tanım kümesi [0, ) ,
g fonksiyonunun tanım kümesi R dir.
f g , f g ve fg fonksiyonlarının
tanım kümeleri [0, ) R [0, ) dur.
fonksiyonları
eĢitmidir?
x = 0 için ; f fonksiyonu tanımsız ,
g fonksiyonu tanımlıdır.
Tanım kümeleri eĢit olmadığından
f
f ( x)
( x)
g
g ( x)
f g dir.
(
g ( x) 0 )
Bölüm fonksiyonun tanım kümesi ,
KoĢuluyla fonksiyonların tanım kümelerinin
kesiĢimidir.
k R için ; (kf )(x) kf ( x)
f ve kf fonksiyonlarının tanım kümeleri
ÖRNEK.
eĢittir.
f ( x) x 3
,
5 f ( x) 5 x 2
g ( x) sin x
,
1
1
g ( x) sin x
2
2
ve
g ( x) x 2 1 için ;
f
f ( x)
x3
( x)
2
g
g ( x) x 1
ÖRNEK:
f ( x) x 2
g ( x) 0
Her iki fonksiyonun tanım kümeleri R dir.
g(x) = x2-1 = (x-1)(x+1) = 0 , x=1 veya x=-1
Bölüm fonksiyonunun tanım kümesi
4
R {1}
FONKSĠYONLAR
BĠLEġKE FONKSĠYON:
ÖRNEK:
Ģeklinde tanımlanan
F ( x) (3 x 3 2 x 1) 6 fonksiyonunu
f ve g fonksiyonlarının bileĢkesi olarak
( fog)(x) f ( g ( x))
fog fonksiyonuna
f ve g fonksiyonlarının bileĢke fonksiyonu
denir.
ifade ediniz?
f ( x ) x 6 ve g ( x) 3 x 3 2 x 1 olarak
fog fonksiyonunun tanım kümesi ,
alınırsa ;
g fonksiyonunun tanım kümesine eĢittir.
( fog)( x) f ( g ( x)) ( g ( x)) 6
(3x 3 2 x 1) 6 F ( x)
g fonksiyonunun görüntü kümesi ,
f fonksiyonunun tanım kümesinin bir alt
kümesi olmalıdır.
y = f(x)
fonksiyonunun
verildiğinde ; c > 0 için
ÖRNEK:
f ( x) sin x
ve
g(x) = f(x-c) fonksiyonunun grafiğini çizmek
istersek , y = f(x) in grafiği c birim SAĞA
kaydırılır.
g ( x) x 2
fonksiyonları için;
( fog )( x) f ( g ( x)) f ( x 2 ) sin( x 2 )
g(x) = f(x+c) fonksiyonunun grafiği için ,
y = f(x) in grafiği c birim SOLA kaydırılır.
g fonksiyonunun görüntü kümesi [0, )
f fonksiyonunun tanım kümesi R olup,
[0, ) R dir.
g(x) = f(x)+c fonksiyonunun grafiğini çizmek
istersek , y = f(x) in grafiği c birim
YUKARI kaydırılır.
fog fonksiyonunun tanım kümesi ,
g fonksiyonunun tanım kümesine eĢit olup
g(x) = f(x)-c fonksiyonunun grafiği için ,
y = f(x) in grafiği c birim
AġAĞI kaydırılır.
R dir
ÖRNEK:
f ( x) x 5 ,
grafiği
Fonksiyonlar ;
1- Polinom Fonksiyonlar
2- Rasyonel Fonksiyonlar
3- Cebirsel Fonksiyonlar
olarak sınıflandırılabilirler.
g ( x) sin x ve h( x) x
fonksiyonları için;
( fogoh)( x) f ( g (h( x)))
f ( g ( x ) f (sin x ) (sin x ) 5 sin 5 x
n N+ için ;
y = a0 + a1x + a2x2 + … + an-1xn-1 + anxn
Ģeklindeki fonksiyonlara n. dereceden
POLĠNOM FONKSĠYON denir.
Tanım kümeleri R dir.
ÖRNEK:
y u 4 , u v 2 1 ve v sin x için ,
y nin , x cinsinden ifadesi nedir?
P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere ;
u v 2 1 ve v sin x olduğundan
u sin 2 x 1 dir.
y u 4 ve u sin 2 x 1 olduğundan
y (sin 2 x 1) 4 dir.
f ( x)
P( x)
Q( x )
Ģeklindeki fonksiyonlara
RASYONEL FONKSĠYON denir.
Tanım kümeleri
5
x R
|
Q( x) 0
dır.
FONKSĠYONLAR
LİMİT
ÖRNEK:
x’i
a’nın yeterince küçük bir komĢuluğu
içinde aldığımızda, f(x)’in olabildiğince
yaklaĢabileceği bir L sayısı varsa ;
x a’ya yaklaĢırken f(x)’in limiti L’dir denir,
lim f ( x) L yazılır.
lim(3x 2 2 x 1) 3.2 2 2.2 1 9
x2
f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0
Ģeklindeki polinom fonksiyonlar için ;
x a
lim f ( x) f (a) dır.
a, c R için;
lim c c dir.
( a R )
x a
x a
lim x a
ÖRNEK:
dır.
x a
( x 2 3x 2)
x 2 3 x 2 xlim
1
lim
x 1 2 x 3 x 4
lim (2 x 3 x 4)
lim( f ( x) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)
x a
x a
x 1
x a
lim(cf ( x)) c lim f ( x)
x a
x a
lim( f ( x) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)
x a
x a
x a
(1) 3(1) 2
6
3
7
2(1) (1) 4
2
lim f ( x) f (1)
x 1
lim
x a
f ( x)
f ( x) lim
x a
g ( x) lim g ( x)
lim g ( x) 0
x a
ÖRNEK:
xa
lim x a
n
6
7
( x 3 x 2 4 x 3)
x 3 x 2 4 x 3 lim
x2
lim
x 2
x 2 3x 6
lim( x 2 3x 6)
n
xa
x 2
SÜREKLĠLĠK:
Tanım kümesindeki a sayısı için;
lim f ( x) f (a) ise
2 2 4(2) 3
1
2
4
2 3(2) 6
3
2
x a
f fonksiyonu
x=a
noktasında süreklidir
lim f ( x) f (2)
x 2
denir.
ÖRNEK:
x2 ,
x
f ( x)
0 ise
f(x) =
17 ,
1
4
P( x)
Q( x )
Ģeklindeki Rasyonel fonksiyonlar için;
a tanım kümesinin bir elemanı ise
lim f ( x) f (a) dır.
x = 0 ise
x a
fonksiyonu ;
lim f ( x) 4 f (2) olduğundan
x 2
x=2 için sürekli ,
lim f ( x) 0 f (0) olduğundan
x 0
x=0 için sürekli değildir.
6
FONKSĠYONLAR
ÖRNEK:
ÖRNEK:
lim
lim
x 2
x2
?
2
x x2
3x 2 2 x 1
?
1
3x 1
x
3
lim( x 2 x 2) 2 2 2 2 0
lim(3x 2 2 x 1) 0
x2
lim( x 2) 2 2 0
x
x 2
1
3
lim(3x 1) 0
x
x2
x2
lim 2
lim
x2 x x 2
x 2 ( x 1)( x 2)
1
1
lim
x2 x 1
3
1
3
3x 2 2 x 1
(3 x 1)( x 1)
lim
1
1
3x 1
3x 1
x
x
lim
3
3
lim( x 1)
1
x
3
ÖRNEK:
x 2 4x 3
?
x 1 2 x 2 x 1
4
3
lim
ÖRNEK:
t 2 2t 1 1
?
t 1
t 1 t 2
lim ( x 2 4 x 3) (1) 2 4(1) 3 0
lim
x 1
lim (2 x 2 x 1) 2(1) 2 (1) 1 0
x 1
lim
t 1
x 2 4x 3
( x 1)( x 3)
lim
2
x 1 2 x x 1
x 1 ( x 1)(2 x 1)
x3
2
lim
x 1 2 x 1
3
lim
t 2 2t 1 1
t 2 (1 2t t 2 )
lim
t 1
t 1 t 2
t 2 (t 1)
lim
t 1
(t 1) 2
lim(t 1) 0
t 1
t 1
ÖRNEK:
ÖRNEK:
lim
x 2
lim
x 3 x 2 2x
?
x2 x 6
x 3
x( x 1) 3 3000
19
2x 2 1
ÖRNEK:
lim( x 3 x 2 2 x) 2 3 2 2 2(2) 0
lim( x 2 1) 23 10 23
x 2
x 3
lim( x 2 x 6) 2 2 2 6 0
x 2
ÖRNEK:
x3 x 2 2x
x( x 2)( x 1)
lim
2
x 2 x x 6
x 2 ( x 2)( x 3)
x( x 1) 6
lim
x2 x 3
5
lim
lim 17x 3 23x 2 9 7
x 1
7
FONKSĠYONLAR
lim g ( x) b
ve
x a
b,
ÖRNEK:
f ’in tanım
x2 1 1
x2 1 1 x2 1 1
lim
lim
x 0
x 0
x2
x2
x2 1 1
x2
1
1
lim
lim
x 0 2
x ( x 2 1 1) x0 x 2 1 1 2
kümesinde ise ;
lim f ( g ( x)) f (lim g ( x))
x a
x a
dir.
n N ve a , tanım kümesinde ise ;
ÖRNEK:
f ( x) n x için :
lim f ( x) lim x a
dır.
lim n g ( x) n lim g ( x)
dir.
n
x a
n
x a
xa
xa
3x 4 2
3x 4 2 3x 4 2
lim
x 0
x 0
x
x
3x 4 2
3
3
lim
x 0
3x 4 2 4
lim
ÖRNEK:
x 2
x 2
lim
x4 x 4
x4 x 4
1
1
lim
x4
x 2 4
ÖRNEK:
lim
lim x 2 3x lim( x 2 3x) 10
x 2
x 2
ÖRNEK:
2
lim(t 3 5t 1) 3 lim(t 3 5t 1)
t 1
t 1
2
3
2
53
ÖRNEK:
lim 4 x 3 2 x 4 lim( x 3 2 x) 4 56
x 4
x 4
ÖRNEK:
3
lim(2 x 2 3x 5) 2 lim(2 x 2 3x 5) 3
x 1
4
1
3 2
x 1
1
2
8
ÖRNEK:
3
lim
x 4
x 2 3x 3
x 3 2x
3
4 2 3(4) 3
4 3 2(4)
1
4
8
x 2
x 2
g ( x) f ( x) h( x) ve
lim g ( x) lim h( x) L
x a
x a
lim f ( x) L
x a
FONKSĠYONLAR
ÖRNEK:
ise
lim
x 0
dir.
sin 4 x
sin 4 x
4 lim
4(1) 4
x
0
x
4x
ÖRNEK:
ÖRNEK:
x
x
sin
5 1 lim
5 1
lim
x 0
x
0
x
x
5
5
5
sin
1
lim x 2 sin( ) ?
x 0
x
1
( x 0 için )
1 sin( ) 1
x
1
x 2 x 2 sin( ) x 2
x
2
g ( x) x
h( x ) x 2 dersek
ve
g ( x) f ( x) h( x) olur.
lim g ( x) lim h( x) 0 olduğundan ;
x 0
ÖRNEK:
sin 99x
sin 99x
99 lim
99
x 0
x 0
x
99x
lim
ÖRNEK:
x 0
lim
x 0
1
lim x 2 sin( ) 0
x 0
x
dır.
x
1
1
lim
x
0
sin 99 x 99
sin 99 x
x
ÖRNEK:
lim sin x 0
x 0
lim cos x 1
lim
x 0
dir.
tan x
sin x 1
lim
1.1 1
x
0
x
x cos x
x 0
ÖRNEK:
sin x
lim
1
x 0
x
tan 7 x
tan 7 x
7 lim
7.1 7
x 0
x 0
x
7x
lim
dir.
ÖRNEK:
sin 4 x
sin 4 x
lim
lim x
x 0 sin 6 x
x 0 sin 6 x
x
sin 4 x
sin 4 x
4
4 x 4 lim 4 x 2
lim
x 0
sin 6 x 6 x0 sin 6 x 3
6
6x
6x
ÖRNEK:
x
1 2 sin 2 1
cos x 1
2
lim
lim
x 0
x
0
x
x
x
x
sin
sin
x
x
2 ) lim( sin ) lim
2
lim( sin
x 0
x 0
2 x
2 x 0 x
2
2
0.1 0
9
FONKSĠYONLAR
ÖRNEK:
ÖRNEK:
sin 5 x
sin 5 x
lim
lim x
x 0 sin 3 x
x 0 sin 3 x
x
sin 5 x
sin 5 x
5
5
5
lim 5 x lim 5 x
x 0
sin 3 x 3 x 0 sin 3 x 3
3
3x
3x
f(x) =
x2 ;
x 2
x3 ;
x>2
lim f ( x) ?
x 2
lim f ( x) lim x 2 2 2 4
x 2
x 2
lim f ( x) lim x 3 2 3 8
x 2
x 2
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) YOK
x 2
ÖRNEK:
x
sin
x
5
sin
5 lim x
lim
x 0 sin 3 x
x 0 sin 3 x
x
x
x
sin
sin
1
5
5
x
1
x
5
5 5 lim 5 1
lim
x 0
sin 3 x 3 x 0 sin 3 x 15
3
3x
3x
ÖRNEK:
f(x) =
ÖRNEK:
x 2
x 2
6x2-3x+1
;
x < -1
3-3x2-2x3
;
x 1
lim f ( x) ?
tan 8 x
tan 8 x
lim
lim x
x 0 tan 4 x
x 0 tan 4 x
x
tan 8 x
tan 8 x
8
8 x 8 lim 8 x 2
lim
x 0
tan 4 x 4 x0 tan 4 x
4
4x
4x
x 1
lim f ( x) lim (6 x 2 3 x 1)
x 1
x 1
lim (6(1) 2 3(1) 1) 10
x 1
lim f ( x) lim (3 3 x 2 2 x 3 )
x 1
x 1
lim (3 3(1) 2 2(1) 3 ) 2
x 1
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) YOK
x 1
10
x 1
x 1
FONKSĠYONLAR
ÖRNEK:
f(x)=
x2-2x
1-2x3
7x-1
; x 2
; -2 < x 1
; x>1
lim f ( x) ?
() ()
() ()
lim f ( x) ?
x 2
x 1
a ()
a ()
a 0 a()
a 0 a()
lim f ( x) lim ( x 2 2 x)
x 2
x 2
lim ((2) 2 2(2)) 8
x 2
a 0 a()
a 0 a()
lim f ( x) lim (1 2 x 3 )
x 2
x 2
lim (1 2(2) 3 ) 17
x 2
a
a
,
0
0
a
a
a 0 ,
0
0
a0
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) YOK
x 2
x 2
x 2
lim f ( x) lim (1 2 x 3 )
x 1
a
0
x 1
lim (1 2(1) ) 1
3
x 1
lim f ( x) lim (7 x 1)
x 1
x 1
BELĠRSĠZ
lim (7(1) 1) 6
x 1
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) YOK
x 1
x 1
() (_ ) BELĠRSĠZ
x 1
0.() BELĠRSĠZ
0
BELĠRSĠZ
0
a R için ;
lim x a dır.
xa
11
FONKSĠYONLAR
ÖRNEK:
ÖRNEK:
x
1
x 1 0
lim
x 1
lim 2 x 2 3 x 5 lim (2 x 2 3 x 5) 6 6
x 1
ÖRNEK:
ÖRNEK:
x x 3 1
1 x
0
2
lim
x 1
1
x ( )
2
1
1 2x
t 6
lim
lim
2t 1
t 4
ÖRNEK:
lim
x 1
t 4
t 6
2t 1
2
3
ÖRNEK:
1
0
lim
x 0
1
x2
ÖRNEK:
lim
x 2
x 1
1
2
6 x x
0
ÖRNEK:
lim sin
x 0
lim f ( x) lim f ( x) L lim f ( x) L
x a
YOK
ÖRNEK:
x a
x a
1
x
x ; x 2
f(x)=
ÖRNEK:
x2 ; x > 2
x 1
?
x 3 ( x 2)( x 3)
lim f ( x) ?
x 1
2
lim
x 3 ( x 2)( x 3)
0
x 1
2
lim
x 3 ( x 2)( x 3)
0
x2
x 2
lim
x 1
x 3 ( x 2)( x 3)
lim
lim f ( x) lim x 2
x 2
lim f ( x) lim x 2 4
x2
x 2
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x)
x 2
YOK
12
x 2
x 2
YOK
FONKSĠYONLAR
ÖRNEK:
ÖRNEK:
lim(2 x 5) 2(3) 5 6 5 11
x2 1 1
x2 1 1 x2 1 1
lim
x 0
x 0
x2
x2
x2 1 1
1
1
lim
2
x 0
x 1 1 2
x 3
lim
ÖRNEK:
lim(6 x 1) 6(1) 1 5
x 1
ÖRNEK:
lim (3x 1) 3(1) 1 4
ÖRNEK:
x 1
1
x 1 ( x 1) 2
lim
ÖRNEK:
lim(7
x
3
2
2
32
x)
5
5
f ve g fonksiyonları x=a noktasında
sürekli , a , c R için ;
ÖRNEK:
lim(5 x 2) 8
x 2
f + g fonksiyonu x=a da süreklidir.
c.f fonksiyonu x=a da süreklidir.
f.g fonksiyonu x=a da süreklidir.
ÖRNEK:
lim (4 6 x) 22
x 3
f
fonksiyonu x=a da süreklidir. ( g(a) 0)
g
lim(mx b) ma b
x a
ÖRNEK:
lim x 2 25
x 5
ÖRNEK:
lim x 2
x 4
ÖRNEK:
x2
x2
lim
x2 x x 2
x 2 ( x 2)( x 1)
1
1
lim
x2 x 1
3
lim
2
13
FONKSĠYONLAR
TÜREV
ÖRNEK:
f(x) = 3x2 fonksiyonunun a = 1 için türevi?
y = f(x) fonksiyonu için ;
f ( x h) f ( x)
lim
h0
h
f(a)=f(1)=3
f(a+h)=f(1+h)=3(1+h)2=3+6h+h2
f(a+h)-f(a)=6h+3h2
limitine fonksiyonun
türevi denir .
f (a h) f (a) 6h 3h 2
6 3h
h
h
dy
veya f’(x) Ģeklinde gösterilir.
dx
dy
f ( x h) f ( x)
lim
dx h0
h
f ' (a) lim
f ( a h) f ( a )
h
f ' (1) lim
f (1 h) f (1)
lim(6 3h) 6
h0
h
h0
f ( a h) f ( a )
ifadesine ;
f (a) lim
h0
h
'
h0
y = f(x) in x = a daki türevidir.
f(x)=3x2 nin x=1 deki teğet denklemi :
x = a+h dersek , h = x-a olur ki ;
h 0 için x a dır. Bu durumda:
f ' (a) lim
x a
y = f’(a)(x-a) + f(a)
f ( x) f ( a )
xa
y = 3+6(x-1)
y=6x-3
fonksiyonun x = a daki türevidir.
ÖRNEK:
f(x) = 5x2-2 fonksiyonunun a=1 için türevi?
y = f(x) fonksiyonunun grafiği üzerindeki
P(a , f(a)) noktası için ;
mt f ' (a)
f(a)=f(1)=3
f(a+h)=f(1+h)=5(1+h)2-2=3+10h+5h2
f(a+h)-f(a)=10h+5h2
f ( a h) f ( a )
h
değeri grafiğin P noktasındaki teğetin
eğimidir.
f (a h) f (a) 10h 5h 2
10 5h
h
h
y = f(x) fonksiyonunun grafiği üzerindeki
P(a , f(a)) noktası için ;
f ' (a) lim
h0
y = f’(a)(x-a) + f(a)
f ' (1) lim
h 0
teğet denklemidir.
s = f(t)
yol-zaman denkleminde ;
v(t ) lim
h0
f ( a h) f ( a )
h
f (1 h) f (1)
lim(10 5h) 10
h0
h
f(x)=5x2-2 nin x=1 deki teğet denklemi :
f (t h) f (t )
h
y = f’(a)(x-a) + f(a)
y=3+10(x-1)
değeri hareketlinin hızını verir.
14
y=10x-7
FONKSĠYONLAR
ÖRNEK:
f(x) = x2 fonksiyonunun a=2 için türevi ?
f ' ( x) lim
h 0
f(a)=f(2)=4
f(a+h)=f(2+h)=(2+h)2=4+4h+h2
f(a+h)-f(a)=4h+h2
f ( x h) f ( x )
h
ÖRNEK:
f(x) = x2 için f’(x) = ?
f(x+h)-f(x) = (x+h)2-x2 = 2hx+h2
f (a h) f (a) 4h h
4h
h
h
2
f ' ( x) lim
h 0
f ( a h) f ( a )
f ' (a) lim
h0
h
f ( x h) f ( x )
h
lim(2 x h) 2 x
h 0
f (2 h) f (2)
lim(4 h) 4
h 0
h
f ' (2) lim
h 0
f(x)=x
2
ÖRNEK:
f(x) = 5x2-2 için f’(x) = ?
nin x=2 deki teğet denklemi :
f ( x h) f ( x) [5( x h) 2 2] (5 x 2 2)
h
h
y = f’(a)(x-a) + f(a)
y=4(x-2)+4
y=4x-4
10x 5h 2
ÖRNEK:
f(x) =
f ' ( x) lim
2 x fonksiyonunun x=3 için türevi ?
h 0
f (a h) f (a) f (3 h) f (3)
h
h
6 2h 6
h
lim(10 x 5h 2 ) 10 x
h 0
6 2h 6 6 2h 6
.
h
6 2h 6
ÖRNEK:
f(x) =
f ( x h) f ( x )
h
2x
için f’(x) = ?
2
6 2h 6
2( x h) 2 x
f ( x h) f ( x )
h
h
f (3 h) f (3)
2
1
'
f (3) lim
lim
h 0
h 0
h
6 2h 6
6
2
2 x 2h 2 x
ÖRNEK:
x
2
f ' ( x) lim
; x rasyonel.
h 0
f ( x h) f ( x )
h
f(x) =
0
; x irrasyonel
lim
h 0
fonksiyonu için f’(0)=0 dır.
15
2
2 x 2h 2 x
1
2x
FONKSĠYONLAR
ÖRNEK:
TEOREM:
f fonksiyonunun tanım kümesinin bir
a elemanı türevi bulunabiliyorsa ,
f fonksiyonu bu noktada süreklidir.
f ( x) 3x için f (x) = ?
’
3( x h) 3x
f ( x h) f ( x )
h
h
SONUÇ: f fonksiyonu x = a noktasında
sürekli değil ise , f fonksiyonunun x = a için
türevi alınamaz.
3
3x 3h 3x
ÖRNEK :
f ( x h) f ( x )
f ' ( x) lim
h 0
h
lim
h 0
3
3x 3h 3x
x2 ; x 0
f(x) =
x+1 ; x > 0
fonksiyonunun x=0 da türevli olmadığını
gösteriniz.
3
2 3x
lim f ( x) lim x 2 0 f (0)
x 0
x 0
lim f ( x) lim ( x 1) 1 f (0)
x 0
ÖRNEK:
f ( x)
x0
1
x
f fonksiyonu x = 0 da sürekli değildir.
x = 0 da sürekli olmayan f fonksiyonunun
x = 0 da türevi alınamaz.
için f’(x) = ?
f ( x h) f ( x ) 1 1
1
h
h xh
x
x 0
lim f ( x) yoktur
SOLDAN VE SAĞDAN TÜREV:
1
f ' ( x) lim
f ( x h) f ( x )
h
f ' ( x) lim
f ( x h) f ( x )
h
x 0
x x h( x x h)
f ' ( x) lim
h 0
lim
h 0
f ( x h) f ( x )
h
1
x x h( x x h)
x 0
NOT: f fonksiyonunun sol (veya sağ)
limitinden söz edilebilmesi için, fonksiyonun
o noktanın solunda (veya sağında) tanımlı
olması gerekir.
1
2x x
TEOREM:
f fonksiyonu açık arılıkta tanımlı ,
bu aralıktaki bir x değeri için türevli olması
için gerek ve yeter koĢul ;
bu noktada soldan ve sağdan türevlerinin var
ve eĢit olmasıdır.
16
FONKSĠYONLAR
ÖRNEK:
ÖRNEK:
f ( x) x
1
f ( x) x 3
fonksiyonunun x = 0 noktasındaki türevini
araĢtırınız?
f (0 h) f (0)
h
lim
1
h0
h
h
f ' (0) lim
h0
f ' (0) lim
h0
fonksiyonunun x=0 noktasındaki türevini
araĢtırınız?
f ' (0) lim
h 0
f (0 h) f (0)
h
lim 1
h0 h
h
lim
h 0
1
3
h
1
lim 2
h h 0 3
h
f ' (0) 1 1 f ' (0) olduğundan
f ' (0) lim
f ' (0) yoktur.’
h 0
ÖRNEK:
0
f(x) =
x2
lim
; x<0
h 0
; x0
f (0 h) f (0)
h
f (0 h) f (0)
h
1
3
h
1
lim 2
h
0
h
h3
f ' (0) f ' (0)
fonksiyonu için f’(0) = ?
f (0 h) f (0)
lim 0 0
h0
h0
h
f
(
x
h
)
f
(
x
)
f ' (0) lim
lim (2 x h) 0
h0
h0
h
f ' (0) lim
f ' (0) 0 f ' (0) olduğundan
f ' (0) 0 dır.
Hareketlinin doğru boyunca t zamanda
aldığı yol s ile gösterildiğinde ;
ÖRNEK:
f ( x) x
v(t )
2
3
fonksiyonunun x=0 noktasındaki türevini
araĢtırınız?
ds
v ' (t )
dt
t anındaki HIZ’ı verir.
2
f ( x h) f ( x) f (h) f (0) h 3
1
1
h
h
h
h3
1
f _' (0) lim 1
h 0
h3
1
f ' (0) lim 1
h 0
h3
'
f (0) f ' (0) olduğundan
f ' (0) yoktur.
17
FONKSĠYONLAR
f
c R ve f(x) = c için ; f (x) = 0 dır.
’
d
c0
dx
g ( a) f ' ( a) g ' ( a)
'
u f (x) ve v g (x) için:
d
du dv
dir.
(u v)
dx
dx dx
n N ve f(x) = xn için ; f’(x) = nxn-1 dir.
d n
( x ) nx n 1
dx
ÖRNEK:
d
d
d
(3x 4 6 x 5 )
(3x 4 ) (6 x 5 )
dx
dx
dx
4
5
dx
dx
3
6
3(4 x 3 ) 6(5 x 4 )
dx
dx
3
12x 30x 4
ÖRNEK:
dx 4
4x 3
dx
,
dx123
123x122
dx
ds 5
5s 4
ds
,
dw10
10w9
dw
( fg )' (a ) f ' (a) g (a) f (a) g ' (a)
TEOREM:
Bir açık aralıkta tanımlı ve
bu aralıktaki x=a için türevli olan
f ve g fonksiyonları için ;
cf , f g , f g , fg ve
u f (x) ve v g (x) için:
d
du
dv
dir.
(uv)
vu
dx
dx
dx
f
( g ' ( a) 0 )
g
ÖRNEK:
d 3
x (2 x 9 12) = ?
dx
dx 3
d
(2 x 9 12) x 3 (2 x 9 12)
dx
dx
2
9
3
3x (2 x 12) x (18x 8 )
fonksiyonları da x = a için türevlidir.
(cf )' (a ) cf ' (a )
u f (x) için
d (cu )
du
dir.
c
dx
dx
6 x11 36x 2 18x11 24x11 36x 2
12x 2 (2 x 9 3)
ÖRNEK:
ÖRNEK:
d (4 x 6 )
dx 6
4
4(6 x 5 ) 24x 5
dx
dx
y x12 (1 x 2 ) için
d (21s 3 )
ds 3
21
21(3s 2 ) 63s 2
ds
ds
dy d 12
x (1 x 2 )
dx dx
dx12
d
(1 x 2 ) x12
(1 x 2 )
dx
dx
11
2
12
12x (1 x ) x (2 x) 2 x11 (7 x 2 6)
5
d w4
4
4 5 dw 5 4w 3 5w 3
dw
4 dw 4
dy
?
dx
18
FONKSĠYONLAR
'
f
f ' (a) g (a) f (a) g ' (a)
(a )
g (a)2
g
r Q için ;
ÖRNEK:
u f (x) ve v g (x) için:
du
dv
vu
d u dx
dx
dir.
dx v
v2
7
1
4
3
ds 2
1
s 2
ds
2
d 3x 3 2 x
?
dx 4 5x 2
1
dx
1
x 2
dx
2
dx
3x 4
dx
ÖRNEK:
dw 3 7 3
w
dw 3
ÖRNEK:
d 5
dx 4
20
5
20x 5 5
4
dx x
dx
x
(9 x 2 2)(4 5 x 2 ) (3x 3 2 x)(10x)
(4 5 x 2 ) 2
3x 2 (12 5 x 2 )
(4 5 x 2 ) 2
ÖRNEK:
1
3
1
d
d
d 2 3 2 3
x x
xx 2
x x
x
dx
dx
dx
2
2
ÖRNEK:
s2
w 4
3s 2
1
2
3
dx r
rx r 1 dir.
dx
ÖRNEK:
dw
için
?
ds
5
2
7
d 6
d 6
dx
15
2
6
15
x
3
5
2
dx x x dx 2
dx
x x
x
ds 2
d
(3s 4 2) s 2 (3s 4 2)
dw ds
ds
ds
(3s 4 2) 2
ÖRNEK:
3
1
d x2 1 d x2
1 d 2
x x 2
dx
dx x
x
x dx
2s(3s 4 2) s 2 (12s 3 ) 2s(3s 4 2)
(3s 4 2) 2
(3s 4 2) 2
1
3
3
1
3
1
x2 x 2
x
2
2
2
2x x
ÖRNEK:
ÖRNEK:
d 7x6
?
dx 6 x 8 1
d 7x6
d
(6 x 8 1) 7 x 6 (6 x 8 1)
dx
dx
8
2
(6 x 1)
1
1
2 x x 1 ( x 2 1)( x 2 )
2
d x 1
2
2
dx x 1
( x 1)
42x 5 (6 x 8 1) 7 x 6 (48x 7 )
(6 x 8 1) 2
42x 5 (2 x 8 1)
(6 x 8 1) 2
19
3
1
3
1
1 2 1 2
x x 2x
x x
2
2 x
2
2
2
2
( x 1)
( x 1)
2x x 2x
FONKSĠYONLAR
y f (x) fonksiyonu için ;
ÖRNEK:
1
)
x4
dy
f ' ( x) Ģeklinde gösteriliyordu.
dx
dy f ' ( x ) dx ifadesine
F ( x) f (
y’nin diferansiyeli denir.
F ' ( x) 4 x 5 f ' (
ise
F ( x) g ( x)
ise
6
için ;
du r
du
ru r 1
dx
dx
F ' ( x) ?
F ' ( x) 6g ( x) g ' ( x)
5
dir.
u f (x) ve
1
)
x4
ÖRNEK:
y f (u) ve u g (x) fonksiyonları
dy dy du
dx du dx
F ' ( x) ?
ÖRNEK:
r Q için ;
d
(5 x 4 12x 2 ) 3 ?
dx
3(5 x 4 12x 2 ) 2 (20x 3 24x)
dir.
ÖRNEK:
1
d
(3x 3 6 x) 2 ?
dx
1
1
3
(3x 6 x) 2 (9 x 2 6)
2
ÖRNEK:
F ( x) ( x 2 1)10
F ' ( x) ?
ise
F ' ( x) 10( x 2 1) 9 2 x 20 x( x 2 1) 9
ÖRNEK:
ÖRNEK:
F ( x) (3 x 3 x) 7
ise
d
(1 3x 3 )10 10(1 3x 3 ) 9 (9 x 2 )
dx
90x 2 (1 3x 3 ) 9
F ' ( x) ?
F ' ( x) 7(3 x 3 x) 6 (9 x 2 1)
ÖRNEK:
ÖRNEK:
F ( x) (3x 5 x)
4
1
2
ise
d
ds
F ( x) ?
'
3
4
?
3
ÖRNEK:
ise
( s s 1)
4
d 4
( s s 1) 4
ds
7
3
( s 4 s 1) 4 (4 s 3 1)
4
1
1
F ( x) (3x 4 5 x) 2 (12x 3 5)
2
'
F ( x) f ( x 3 )
1
F ' ( x) ?
F ' ( x) 3x 2 f ' ( x 3 )
20
FONKSĠYONLAR
ÖRNEK:
ÖRNEK:
d
(4 x 2 1) 23 23(4 x 2 1) 22 (8 x)
dx
184x(4 x 2 1) 22
d ( s 1) 3
?
ds (2 s 1) 5
ÖRNEK:
d
x 5
(
) ?
dx 1 x
x
5
1 x
4
d
sin x cos x
dx
1(1 x) 1.x
5x 4
2
(1 x) 6
(1 x)
d
cos x sin x
dx
ÖRNEK:
d 3
x 1 3x 2 ?
dx
1
d 3
x (1 3x 2 ) 2
dx
1
2
d
tan x sec2 x
dx
d
cot x csc2 x
dx
1
1
3x (1 3x ) x (1 3x 2 ) 2 (6 x)
2
2
2
3x (4 x 1)
1 3x 2
2
2
3( s 1) 2 (2s 1) 5 ( s 1) 3 (5)(2 s 1) 4 (2)
(2 s 1)10
3
d
sec x sec x. tan x
dx
d
csc x csc x. cot x
dx
ÖRNEK:
3
d 4
x (2 x 1) 2 ?
dx
3
ÖRNEK:
1
3
(2 x 1) 2 (2)
2
x 3 (11x 4) 2 x 1
4 x 3 (2 x 1) 2 x 4
d
(3 cos x) 3 sin x
dx
ÖRNEK:
d
(5 sec t ) 5 sec t. tan t
dt
ÖRNEK:
d
w w
?
dw (3w 3 1) 6
ÖRNEK:
y sin x eğrisinin x
3
d
w2
dw (3w 3 1) 6
1
3
teğetinin denklemini yazınız?
3
3 2
w (3w 3 1) 6 w 2 (6)(3w 3 1) 5 (9 w 2 )
2
(3w 3 1)12
1
mt f ' ( ) cos
3
3 2
3
P( , sin ) P( , )
3
3
3 2
3 1
y
x
3
2
3
3 w (1 33w 3 )
2(3w 3 1) 7
21
noktasındaki
FONKSĠYONLAR
ÖRNEK:
y tan x eğrisinin x
3
ÖRNEK:
d
tan(sin x) (cos x) sec2 (sin x)
dx
noktasındaki
teğetinin denklemini yazınız?
ÖRNEK:
d
sin(tan 4 3 x 3 ) ?
dx
d
cos(tan4 3x 3 ) tan 4 3 x 3
dx
d
cos(tan4 3x 3 )4 tan 3 3 x 3
tan 3 x 3
dx
d
cos(tan4 3x 3 )4 tan 3 3 x 3 . sec2 3 x 3 3 x 3
dx
4
3
3
3
2
3
cos(tan 3x ).4 tan 3 x . sec 3 x .9 x 2
mt f ' ( ) sec2 4
3
3
P( , tan ) P( , 3 )
3
3
3
y 3 4( x )
3
ÖRNEK:
d
tan x sec2 x
dx
olduğunu kanıtlayınız?
36 x 2 (sec2 3 x 3 )(tan 3 3 x 3 ). cos(tan4 3x 3 )
d
d sin x cos x. cos x sin x( sin x)
tan x
dx
dx cos x
(cos x) 2
d
du
sin u cos u.
dx
dx
cos2 x sin 2 x
1
sec2 x
2
2
cos x
cos x
d
du
cos u sin u.
dx
dx
ÖRNEK:
d 3
x sin x 3x 2 sin x x 3 cos x
dx
x 2 (3 sin x x cos x)
d
du
tan u sec2 u.
dx
dx
ÖRNEK:
d
du
cot u csc2 u.
dx
dx
d
sin 6 x 3 18x 2 cos 6 x 3
dx
d
du
sec u sec u. tan u.
dx
dx
ÖRNEK:
d
du
csc u csc u. cot u.
dx
dx
d
sin x 2 2 x cos x 2
dx
F ( x, y) 0
ÖRNEK:
d
cos 3x 4 12x 3 ( sin 3x 4 )
dx
12x 3 sin 3x 4
ise
Fx'
dy
'
dx
Fy
dy
dy
dt
x f (t ) ve y g (t ) ise
dx
dx
dt
22
FONKSĠYONLAR
ÖRNEK:
f ( x) x
ÖRNEK:
için ;
5
f ( x) =? ve
'
f ( x ) =?
''
f ( x) x 5
f ' ( x) 5 x 4
f '' ( x ) 20 x 3
f ''' ( x) 60 x 2
f ( 4) ( x) 120x
f
f
(6)
( 5)
( x) 120
( x) 0
f ( n ) ( x) 0
y
x
için ;
2x 1
y'
(1)(2 x 1) x(2)
1
(2 x 1) 2
(2 x 1) 2
(2 x 1) 2
y ' ' (2)(2 x 1) 3 (2) 4(2 x 1) 3
n6
y ' ' ' (4)(3)(2 x 1) 4 (2) 24(2 x 1) 4
ÖRNEK:
y sin 2x
y' 2 cos 2x
y' ' 4 sin 2x
y' ' ' 8 cos 2x
y ( 4 ) 16 cos 2 x
y (5) 32 cos 2 x
y ( 6) 64 sin 2 x
y ( n ) 2 n sin(2 x
ÖRNEK:
x2 y2 1
y 1 x2
n
)
2
n=1,2,3,4, ….
y 1 x2 ,
dy
dx
d dy d 2 y
y' '
dx dx dx 2
y'
y 1 x2 ,
d d2y d3y
y' ' ' 2 3
dx dx dx
y ( 4)
y (n)
( x 1 )
dy
x
( x 1)
dx
1 x2
dy
x
dx
1 x2
1 3
dy
1
,
2 3 için , dx 3
d d3y d4y
dx dx 3 dx 4
1
3
,
için , dy 1
2
3
dx
3
d d n1 y d n y
dx dx n1 dx n
dir.
ÖRNEK:
x10 2 xy y 10 0 için y ?
ÖRNEK:
y x 4 için ;
y ???????
dy
d2y
d3y
2
,
4x 3 ,
12x
24x
dx
dx 2
dx 3
d5y
d4y
,
0 , ....
24
dx 5
dx 4
dy
??????
dx
23
( x 1)
FONKSĠYONLAR
ÖRNEK:
ÖRNEK:
x2 y2 1
ise
dy
?
dx
x sin xy 1
ise
d 2
d1
(x y 2 )
dx
dx
d
d1
x sin xy
dx
dx
dx 2 dy 2
0
dx
dx
(1) sin xy x
2x 2 y
dy
0
dx
dy
?
dx
d
sin xy 0
dx
sin xy x cos xy.
d
xy 0
dx
dy
)0
dx
dy
x
dx
y
sin xy x cos xy(1. y x
1 3
dy
1
,
2 3 için , dx 3
sin xy xy cos xy x 2 cos xy.
1
3
,
için , dy 1
2
3
dx
3
dy
sin xy xy cos xy
dx
x 2 cos xy
dir.
ÖRNEK:
ÖRNEK:
x 2 xy y
10
10
0
ise
x2 y2
1
4
9
dy
?
dx
ise
d 10
d0
( x 2 xy y 10 )
dx
dx
d x 2 y 2 d1
dx 4
9 dx
dx10 d 2 xy dy10
0
dx
dx
dx
x 2 dy
y
0
2 9 dx
10x 9 2(1.
(5 y 9 x)
dy
dy
dy
x ) 10 y 9
0
dx
dx
dx
dy
9x
dx
4y
dy
5x 9 y
dx
dy 5 x 9 y
dx 5 y 9 x
24
dy
?
dx
dy
0
dx
FONKSĠYONLAR
ÖRNEK:
ÖRNEK:
x2 y7 x3 y 2 1
ise
sin y x ise ;
dy
?
dx
d
dx
sin y
dx
dx
dy
cos y. 1
dx
dy
y'
sec y
dx
d 2 7
d1
(x y x3 y 2 )
dx
dx
2 xy 7 x 2 7 y 6
dy 2 2
dy
3x y x 3 2 y 0
dx
dx
(7 x 2 y 6 2 x 3 y )
dy' d
sec y
dx dx
dy
sec y. tan y
dx
sec y.tan y.sec y
dy
3x 2 y 2 2 xy 7
dx
y' '
dy x(7 y 5 2 x)
dx y (3x 2 y 5 )
sec2 y.tan y
ÖRNEK:
y ' ' ' sec2 y (3 sec2 y 2)
x y 1 ise ;
2
2
f (y )
1
f ( xo )
1 '
dy
x
bulundu ,
dx
y
o
'
f ( x) arcsin x ise f ' ( x)
d 2 y d dy d x
dx 2 dx dx dx y
(1) y xy'
y xy'
2
y
y2
x
y x
2
2
y y x 1
y2
y3
y3
y' '
1
y3
f ' ( x)
f ( x) arccos x
1
1 x2
1
1 x2
1
1 x2
1
f ( x) arc cot x ise f ' ( x)
1 x2
f ( x) arctan x ise f ' ( x)
olur.
dy' ' d
dy
y' ' '
( y 3 ) 3 y 4
dx dx
dx
x
3x
3 y 4 5
y
y
f ( x) a x
ise
f ' ( x) a x . ln a
f ( x) e x
ise
f ' ( x) e x
f ( x) log a x
f ( x) ln x
3x
y' ' ' 5
y
25
ise
ise
f ' ( x)
f ' ( x)
1
x. ln a
1
x
FONKSĠYONLAR
f:[a, b] R fonksiyonu bu aralıkta
sürekli, (a, b) aralığında türevli olsun.
Bu fonksiyon xo (a, b) noktasında extremum
değerini alıyorsa, bu nokta için türevi
sıfırdır.
ÖRNEK:
f ( x) x
fonksiyonunu inceleyiniz?
x1 , x2 R ve x1 x2 için ;
f ( x1 ) x1 x2 f ( x2 ) olduğundan
fonksiyon artan.
ÖRNEK:
f ( x) 3 4 x 3x 3
fonksiyonunu [-1 , 2] aralığında inceleyiniz?
f ( x) 4 9 x
'
ÖRNEK:
f ( x) x 2
2
fonksiyonunu ( ,0) ve ( 0. )
f ' ( x) 4 9 x 2 0
4
2
9x 2 4 x 2 x
9
3
aralıklarında inceleyiniz?
0 x1 x2 olsun.
f ( x 2 ) f ( x1 ) x x12
( x 2 x1 )( x 2 x1 )
0
f ( x1 ) f ( x2 ) olup
( 0. ) aralığında
2
2
f (1) 2
2 11
Yersel minimum.
f ( )
3
9
2
43
Yersel (Mutlak) maksimum.
f( )
3
9
f (2) 13 Mutlak minimum.
fonksiyon bu aralıkta artandır.
x1 x2 0 olsun.
f ( x 2 ) f ( x1 ) x x12
( x 2 x1 )( x 2 x1 )
0
f ( x2 ) f ( x1 ) olup
( ,0) aralığında
2
2
[a, b] de sürekli, (a, b) de türevli
f fonksiyonu için;
f(a) = f(b) ise f’(c) = 0 olacak Ģekilde
c (a, b) vardır.
fonksiyon bu aralıkta azalandır.
[a, b] de sürekli, (a, b) de türevli
f fonksiyonu için;
f ' (c )
f (b) f (a)
olacak Ģekilde
ba
. f:[a, b] R fonksiyonu bu aralıkta
sürekli, (a, b) aralığında türevli olsun.
c (a, b) vardır.
x (a, b) de f ' ( x) 0 oluyorsa,
fonksiyon bu aralıkta artandır.
[a, b] de sürekli, (a, b) de türevli
f fonksiyonu için;
x (a, b) de
f:[a, b] R fonksiyonu bu aralıkta
sürekli, (a, b) aralığında türevli olsun.
f ' ( x) 0 oluyorsa,
fonksiyon [a, b] de sabit değerler alır.
x (a, b) de f ' ( x) 0 oluyorsa,
fonksiyon bu aralıkta azalandır.
f ve g , [a, b] de sürekli, (a, b) de
türevli fonksiyonlar olsun.
x (a, b) için
x (a, b) için
f ' ( x) g ' ( x) ise
f ( x) g ( x) C dir.
26
FONKSĠYONLAR
ÖRNEK:
ÖRNEK:
f ( x) x 8 x 2
4
f ( x) x 4 8 x 2 2
2
fonksiyonunu inceleyiniz?
fonksiyonunu inceleyiniz?
f ' ( x) 4 x 3 16x
4 x( x 2)( x 2)
f ' ( x) 4 x 3 16x
4 x( x 2)( x 2)
(,2) için
(2,0) için
için
(0,2)
(2,) için
f ' ( x) 0 f ( x) azalan.
f ' (2) f ' (0) f ' (2) 0
x=-2 , x=0 , x=2 kritik noktalar.
f ' ( x) 0 f ( x) artan.
f ' ( x) 0 f ( x) azalan.
(,2) için f ' ( x) 0 f ( x) azalan.
f ( x) 0 f ( x) artan.
'
x=-2 yerel minimum
(2,0)
için f ( x ) 0 f ( x ) artan.
'
x=0 yerel maksimum
ÖRNEK:
f ( x) x ( x 2)
3
için f ( x ) 0 f ( x ) azalan.
'
(0,2)
4
x=2 yerel minimum
fonksiyonunu inceleyiniz.
(2,) için f ' ( x) 0 f ( x) artan.
f ' ( x) 4 x 3 ( x 2) 4 x 3 (4)( x 2) 3
x 2 ( x 2) 3 (7 x 6)
(,0)
6
(0, )
7
6
( ,2)
7
(2,)
ÖRNEK:
f ( x) x 3 ( x 2) 4
için f ( x ) 0 f ( x ) artan.
'
fonksiyonunu inceleyiniz.
için f ( x ) 0 f ( x ) artan.
'
f ' ( x) 4 x 3 ( x 2) 4 x 3 (4)( x 2) 3
için f ( x ) 0 f ( x ) azalan.
x 2 ( x 2) 3 (7 x 6)
'
için f ( x ) 0 f ( x ) artan.
'
6
f ' (0) f ' ( ) f ' (2) 0
7
6
x=0 , x=
, x=2 kritik noktalar.
7
f fonksiyonunun kritik noktası x=c olsun.
( f ( c ) 0)
'
(,0) için f ' ( x) 0 f ( x) artan.
x=0 büküm noktası
c’den küçük değerler için f ( x ) 0 ,
'
6
(0, ) için f ' ( x) 0 f ( x) artan.
7
6
x=
yerel maksimum.
7
6
( ,2) için f ' ( x) 0 f ( x) azalan.
7
c’den büyük değerler için f ( x ) 0 ise
'
x=c de fonksiyon yerel maksimum yapar.
c’den küçük değerler için f ( x ) 0 ,
'
c’den büyük değerler için f ( x ) 0 ise
'
x=c de fonksiyon yerel minimum yapar.
x=2 yerel minimum.
(2,) için f ' ( x) 0 f ( x) artan.
27
FONKSĠYONLAR
İNTEGRAL
ÖRNEK:
(a,b) tanım aralığında türevi alınabilir bir
fonksiyon olan ve
F ' ( x) f ( x)
f (t ) (t 2 1) 2 fonksiyonunun ,
g (t ) 4t (t 2 1) nin bir ilkeli olduğunu
x (a, b)
gösteriniz?
koĢulunu sağlayan bir y = F(x) fonksiyonuna
f(x) in x’e göre belirsiz integrali veya
ilkel fonksiyonu denir.
f ' (t ) g (t ) olmalıdır.
f ' (t ) 2(t 2 1)2t
F ( x) f ( x) dx
4t (t 2 1)
g (t )
seklinde gösterilir.
olduğundan doğrudur.
ÖRNEK:
ÖRNEK:
f ( x) 2x fonksiyonunun ilkelini bulunuz?
H (s) cos 2s fonksiyonunun ,
g (s) 2 sin 2s nin bir ilkeli olmadığını
F ( x) x 2 alınırsa ;
gösteriniz?
F ' ( x) 2 x f ( x) olduğundan
F ( x) x 2 fonksiyonu , f ( x) 2x in bir
H ' (s) g (s) olmalıdır.
H ' ( s ) sin 2 s (2)
- 2sin2s
2sin2s g(s)
ilkelidir.
Genel olarak F ( x ) x C Ģeklindeki tüm
2
fonksiyonlar ilkel fonksiyon olarak alınabilir.
( C , integral sabiti )
olduğundan H(s) , g(s) nin bir ilkeli değildir.
ÖRNEK:
f ( x) x 3
F(x) ve G(x) , aynı f(x) fonksiyonunun
birer ilkeli iseler ;
F(x) = G(x) + C
eĢitliği vardır.
fonksiyonunun ilkelini bulunuz?
1 4
x C alınırsa ;
4
F ' ( x) x 3 f ( x) olduğundan
1
F ( x) x 4 C fonksiyonu f ( x ) x 3 in
4
F ( x)
ÖRNEK:
f ( x ) x 7 ilkeli ;
1
F ( x) x 8 C dir.
8
.
ilkel fonksiyonudur.
f ( x) 4 x ilkeli ;
2
F ( x) x 6 C dir.
3
5
ÖRNEK:
f ( x) 16(4 x 1) 3
fonksiyonunun
bir ilkelinin
F ( x) (4 x 1) 4 olduğunu gösteriniz?
f ( x) 4 x 5 x 7 ilkeli ;
2 6 1 8
F(x)= x x C dir.
3
8
F ' ( x ) f ( x ) olmalıdır.
F ' ( x) 4(4 x 1) 3 (4)
f ( x) 3 cos x ilkeli ;
F ( x) 3sin x C dir.
16(4x 1) 3
f ( x)
olduğundan doğrudur.
28
FONKSĠYONLAR
ÖRNEK:
ÖRNEK:
fonksiyonunun ilkeli ;
s. cost.ds 2s
f ( x) 3 cos x 4 sin x
1
F ( x) 3sin x 4 cos x dir.
2
cos t C
s. cost.dt s.sin t C
NOT: Yukarıdaki örneklerde ;
F ' ( x ) f ( x ) olduğunu görünüz.
0.dx C
ÖRNEK:
h(t ) 4t 7 6t 2 10
fonksiyonunun ilkeli ;
r
x dx
1
H (t ) t 8 2t 3 10t C dir.
2
x r 1
C
r 1
( r Q , r 1 )
ÖRNEK:
ÖRNEK:
3x
4
dx
3 5
x C
5
b
(a. cos z bz)dz a.sin z 2 z
3x
2
2
C
2
x dx
x3
C
3
3
x dx
x4
C
4
x11
x dx 11 C
10
dx x 3 C
20
t dt
cos x.dx sin x C
sin t.dt cost C
t 21
C
21
8
w dw
ÖRNEK:
w9
C
9
ÖRNEK:
d
f ( x).dx f ( x)
dx
dx
x 2
1
3
x 3 x dx 2 C 2x 2 C
d
( x sin x)10 dx ( x sin x)10
dx
ÖRNEK:
dt
t 4
1
5
t
dt
C 4 C
t5
4
4t
d
tan 12 s.ds tan 12 s
ds
ÖRNEK:
dw
w 22
1
23
w
dw
C
C
w23
22
22w 22
29
FONKSĠYONLAR
ÖRNEK:
ÖRNEK:
cost.dt sin t C
5
3
2
3
x
3x3 x 2
x dx x dx
C
C
5
5
3
2
3
ÖRNEK:
csc
ÖRNEK:
3
s.ds cot s C
ÖRNEK:
1
2
3
u3
u du
C 33 u C
2
1
u
3
du
2
(sin
2
x 3 cos2 x 3 )dx (1)dx dx x C
ÖRNEK:
z
dz
24
z
z
3
11
4
z
dz
7
4
7
4
4
C
4
7z z
3
cf ( x)dx c f ( x)dx
C
ÖRNEK:
ÖRNEK:
16 5
4
4
4
(2 x) dx 16x dx 16 x dx 5 x C
6
6
4x dx 4 x dx 4
ÖRNEK:
t
t
3
5
2
dt t dt
t
3
2
3
2
x7
4
C x7 C
7
7
ÖRNEK:
5
C
2
3t t
3
2
t2
12
6
t
t
dt
6
t
dt
6
C t2 t C
5
5
2
C
cos x.dx sin x C
f ( x) g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx
sin x.dx cos x C
sec
2
x.dx tan x C
ÖRNEK:
2
csc x.dx cot x C
(3x
4
6 x 2 )dx 3 x 4 dx 6 x 2 dx
3 x 4 dx 6 x 2 dx
sec x. tan x.dx sec x C
csc x. cot x.dx csc x C
30
3 5
x 2x3 C
5
FONKSĠYONLAR
u g (x) ve du g ' ( x)dx için ;
ÖRNEK:
2
3 x
2
8 x12 dx x 6 dx 8 x12 dx
3
2
8
x 7 x13 C
21
13
6
f g ( x).g ' ( x).dx f (u).du
ÖRNEK:
ÖRNEK:
(8 sec x 6 sec x. tan x)dx
8 sec x.dx 6 sec x. tan x.dx
( x 1)
2
15
dx
2
u x 1 du dx
8 tan x 6t sec x C
u 15 du
ÖRNEK:
(t 4t )
(t 8t
4
3 2
8
7
dt
1 16
u C
16
1
( x 1)16 C
16
16t 6 )dt
1
16
t9 t8 t7 C
9
7
ÖRNEK:
(2 x 1)
15
dx
u 2 x 1 du 2dx dx
ÖRNEK:
1
du
2
2
3 1
w w 2 dw
1
w 6 2 w 4 dw
w
1
1
w7 w2 3 C
7
3w
u 15
1
1
1 1 16
du u 15 du
u C
2
2
2 16
1
(2 x 1)16 C
32
ÖRNEK:
(3x 1)
ÖRNEK:
(sec x tan x) dx
(sec x 2 sec x. tan x tan
2
2
1 tan x sec x
2
2
dx
1
u 3x 1 du 3.dx dx du
3
x)dx
1 20
1 1 21
u du
u C
3
3 21
1
(3x 1) 21 C
63
2
tan 2 x sec2 x 1
20
olduğundan
(2 sec2 x 2 sec x. tan x)dx
2 tan x sec x C
31
FONKSĠYONLAR
ÖRNEK:
ÖRNEK:
cos 2 x.dx
3
2
x(3x 5) 4 dx
u 2 x du 2.dx dx
1
du
2
u 3x 2 5 du 6 x.dx x.dx
1
1
1
cos u. du cos u.du sin u C
2
2
2
1
sin 2 x C
2
3
7
2
sec 3x.dx
1
u 3x du 3.dx dx du
3
2
(3x 2 5) 4 C
21
2(3x 2 5) 4 (3x 2 5) 3
C
21
ÖRNEK:
x
1
1
1
sec2 u. du sec2 u.du tan u C
3
3
3
1
tan 3x C
3
83
6 x 9 12dx
u 6 x 9 12 du 54x 8 x 8 dx
u
u r 1
u du r 1 C
7
1
2
u 4 du u 4 C
6
21
ÖRNEK:
r
1
du
6
1
3
1
du
54
4
3
1
1 u
1 3
du
C
u u C
4
54
54
72
3
( r 1 )
(6 x 9 12)3 6 x 9 12
C
72
ÖRNEK:
ÖRNEK:
(5x 3) dx
x
4 3x 2
dx
9
1
u 4 3x 2 du 6 x.dx x.dx du
6
1
u 5 x 3 du 5.dx dx du
5
1
2
1u
1
1
u du
C
u C
1
6
3
6
2
1
1
1 u 10
u du u 9 du
C
5
5
5 10
(5x 3)10
C
50
9
32
1
2
4 3x 2
C
3
FONKSĠYONLAR
ÖRNEK:
(3x
3
ÖRNEK:
1)(3x 4 x 1)
4
1, 45
sec
dx
u 3x 4 4 x 1 du (12x 3 4)dx
du 4(3x 3 1) (3x 3 1)dx
u
1, 45
2
4 x.dx
u 4 x du 4.dx dx
1
du
4
1
1 u 2, 45
5 2, 45
du
C
u
C
4
4 2,45
49
1
1
sec2 u.du tan u C
4
4
1
tan 4 x C
4
1
du
4
5
(3x 4 4 x 1) 2, 45 C
49
ÖRNEK:
sin x
x
dx
ÖRNEK:
1
sin 5x.dx
u x du
1
u 5 x du 5.dx dx dx
5
2 2 sin u.du 2 cos u C
1
cos 5 x C
5
ÖRNEK:
dx 2.du
2
tan x 2 sec2 (sec x 2 )dx
u sec x 2 du sec x 2 tan x 2 2 x.dx
1
x. sec x 2 tan x 2 dx du
2
tan x dx
2
u x 2 du 2 xdx x.dx
x
ÖRNEK:
x.sec x
x.sec x
1
2 cos x C
1
1
sin u.du cos u C
5
5
2
2 x
dx
1
du
2
1
1
secu. tan u.du secu C
2
2
1
sec x 2 C
2
33
1
1
sec2 u.du tan u C
2
2
1
tan(sec x 2 ) C
2
FONKSĠYONLAR
ÖRNEK:
cos 2 x.dx
u 2 x du 2.dx dx
1
1
cos u.du sin u C
2
2
1
sin 2 x C
2
1
du
2
ÖRNEK:
x
2
2 x 1.dx
u 2 x 1 du 2.dx dx
ÖRNEK:
sec 3x
2
2
.x.dx
u 3x 2 du 6 x.dx x.dx
1
1
sec2 u.du tan u C
6
6
1
tan 3x 2 C
6
x
1
du
6
100
1
u3 u u2 u u u
C
28
10
12
u x 1 du dx
x u 1
(2 x 1) 3 2 x 1 (2 x 1) 2 2 x 1
28
10
(2 x 1) 2 x 1
C
12
(u 1)u 100 du (u 101 u 100 )du
u 102 u 101
C
102 101
( x 1)102 ( x 1)101
C
102
101
1
2
(u 1) u 1
du
4
2
2
1
(u 2 2u 1)u 2 du
8
5
3
1
1
2
2
(u 2u u 2 )du
8
5
3
7
2
2
1u
2u
u 2
C
5
3
8 7
2
2
2
dx
u 1
2
ÖRNEK:
x( x 1)
1
du
2
34
FONKSĠYONLAR
ÖRNEK:
x
(3x 2)
4
dx
x
n
(ax b) m dx.
( x N )
ġeklindeki integrallerde ;
1
u 3 x 2 du 3.dx dx du
3
u2
x
3
u ax b x
değiĢimi uygulanır.
1
1
(u 2)u 4 du
3
3
1
(u 3 2u 4 )du
9
1 u 2 2u 3
(
)C
9 2
3
u b
1
dx .du
a
a
ÖRNEK:
x.sin x
2
. cos(cosx 2 ).sin 3 (cos x 2 ).dx
u sin(cos x 2 )
du cos(cosx 2 )( sin x 2 ).2 x.dx
1
2
C
2
18(3x 2)
3(3x 2) 3
-2x.sin x 2 . cos(cosx 2 ).dx
değiĢimi uygulandığında ;
ÖRNEK:
x2
6x 1
dx
u 6 x 1 du 6.dx dx
x
1 3
1
u du u 4 C
2
8
1
sin 4 (cos x 2 ) C
8
1
du
6
u 1
6
ÖRNEK:
x
(u 1) 2 2 1
.u
du
36
6
1
1
2
2
(
u
2
u
1
)
u
du
216
3
1
1
1
2
2
(u 2u u 2 ).du
216
5
3
1
1 2 2 4 2
u u 2u 2 C
216 5
3
33
x 4 3.dx
1
u x 4 3 du 4x 3 dx
değiĢimi uygulandığında ;
1
4
1
3
u 3 du u 3 C
4
16
u u 2 2u
1 C
108 5
3
6 x 1 (6 x 1) 2 2(6 x 1)
1 C
108
5
3
35
3( x 4 3)3 x 4 3
C
16
FONKSĠYONLAR
ÖRNEK:
x
2
ÖRNEK:
( x 1) dx
2
2
x ( x 2 x 1).dx
2
4
2
( x 6 2 x 4 x 2 ).dx
csc2
x2
1
x dx
1
1
du 2 dx
x
x
u
değiĢimi uygulanırsa ;
1
2
1
x7 x5 x3 C
7
5
3
csc2 u.du cot u C
1
cot C
x
ÖRNEK:
x 1
x
dx
ÖRNEK:
u x 1 du
1
2 x
dx
değiĢimi uygulandığında ;
2 u.du u C
değiĢimi uygulanırsa ;
( x 1) 2 C
1
x 1
dx
u x 1
x u 2 1 dx 2u.du
değiĢimi uygulanırsa ;
(u 2 1) 2
.2u.du 2 (u 2 1) 2 du
u
2 (u 4 2u 2 1)du
u 5 2u 3
2
u C
3
5
2
x 1(3x 2 4 x 8) C
15
36
1
1 2
u du u 2 C
2
cos x 2 C
ÖRNEK:
cos x
dx
2
u cos x 2 du sin x 2 .2x.dx
2
x2
x. sin x 2
FONKSĠYONLAR
BELĠRLĠ ĠNTEGRAL
[a,b] aralığında tanımlı ve negatif olmayan
f fonksiyonunun bu aralıkta x ekseni ile
sınırladığı alan
ÖRNEK:
2
(3x 1)dx ?
o
b
A f ( x).dx
dir.
f(0)=1 , f(2)=7
taban uzunlukları
2-0=2
yüksekliği olan bir yamuk.
a
f ( x) x 2
0 x 1
eğrisinin
aralığında x ekseni ile sınırladığı bölgenin
2
(3x 1)dx 8
1
alanı :
(7 1)2
8 br.2
2
A
ÖRNEK:
dir.
f ( x).dx
dir.
o
0
ÖRNEK:
f ( x) x 4 x
eğrisinin [1,4] aralığında
4
(x
x).dx
b
a
a
cf ( x).dx c f ( x).dx
x ekseni ile sınırladığı bölgenin alanı :
4
b
dir.
1
b
b
b
a
a
a
( f ( x) g ( x)).dx f ( x)dx g ( x)dx
b,h R
ve
f(x) = h
için;
c [a, b] için;
b
h.dx bh
dır.
0
b
a
ÖRNEK:
f(x) = 4x eğrisinin [0,5] aralığında
x ekseni ile sınırladığı bölgenin alanı ;
c
b
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
x [a, b] için f ( x) 0 ise ;
Tabanı 5 br. , yüksekliği f(5)=20 br. olan
bir üçgensel bölgedir.
b
f ( x)dx 0
20.5
A
50 br2. dir.
2
dır.
a
5
A 4 x.dx 50
x [a, b] için
0
b
ÖRNEK:
0
0
0
0
4 x.dx 4 x.dx 50
a
37
f ( x) g ( x) ise ;
b
f ( x)dx g ( x)dx
a
dir.
FONKSĠYONLAR
b
ÖRNEK:
b
f ( x) dx f ( x) dx
a
dir.
1
(x
a
2 x)dx
4
2
1
x5
( x2 )
5
2
a
f ( x)dx 0
(1) 5
(2) 5
(1) 2 ) (
(2) 2 )
5
5
6 52 46
5 5
5
a
a
(
b
f ( x)dx f ( x)dx
b
a
ÖRNEK:
TEMEL TEOREM:
2
(x
2
f, [a,b] aralığında sürekli bir fonksiyon ve
2
x 3 5x 6
8 80 8 80
6 2 3 3 3
3
3
x
F(x) =
f (t ).dt
, x [a,b]
ise ;
a
F fonksiyonu (a,b) aralığında türevi alınabilir
bir fonksiyon olup
F’(x) = f(x)
,
x (a,b)
5 x 5 )dx
2
dir.
16
3
ÖRNEK:
3
(3x
f fonksiyonunun ilkeli ( belirsiz integrali)
F iken ;
3
2 x 2 )dx
2
3
3x 4 2 x 3
3 2
4
16
243
18 12
3
4
793
12
b
f ( x)dx F ( x)
b
a
F (b) F (a) dır.
a
ÖRNEK:
3
x3
2 x dx 3
3
2
2
33 2 3 19
3
3
3
ÖRNEK:
2
ÖRNEK:
4
4
3
2
5 4
2
0 x x .dx 0 x dx 5 x 2
2
1
3
1 x 3 .dx 1 x
2
x 2
1
1
( )
2 1
8
2
0
5
2
2
64
(4 0)
5
5
38
3
8
FONKSĠYONLAR
ÖRNEK:
ÖRNEK:
1
2
x x 3.dx
2
sin 2 x.dx
0
0
u x 2 3 du 2x.dx
1
3
1 2 1 2
2
x
x
3
.
dx
u
u
2
3
2
1
cos 2 x
2
0
1 1
1
2 2
( x 2 3) x 2 3
C
3
( x 2 3) x 2 3
0 x x 3.dx
3
1
ÖRNEK:
1
1
2
x
0
0
integrali için ;
8
3
3
u x 2 3 du 2x.dx
değiĢimi yapıldığında
x=0 u 3
x=1 u 4 olacağından ;
ÖRNEK:
0
(x
2
2
x
.dx
1) 3
1
4
1
1
0 x x 3.dx 2 3 u 2 du
2
u x 2 1 du 2x.dx
x
2
3
( x 2 1) 3 .dx ( x 1) x.dx
1
1
u 3 du 2 C
2
4u
1
C
2
4( x 1) 2
4
u u
3
3
8
3
3
iĢlemi de yapılabilir.
ÖRNEK:
3
1
(1 4 x)
5
.dx
2
0
(x
2
2
x 2 3.dx
x
.dx
1) 3
1
4( x 1) 2
0
2
2
u 1 4x du 4.dx
değiĢimi yapıldığında
1
1
(
)
4
100
x 2 u 9
x 3 u 11 olacağından ;
3
11
1
1
.
dx
u 5 du
2 (1 4 x) 5
4 9
6
25
39
1
16u 4
11
9
1 1
1
4 4
16 11 9
x [a, a] için
FONKSĠYONLAR
f ( x) f ( x) ise ;
ÖRNEK:
f fonksiyonu çift fonksiyon olup , grafiği
1
1
y eksenine göre simetriktir.
0
1
1
1
1
1
1
x 6 dx x 3 dx
a
f ( x).dx f ( x).dx
a
( x 6 x 3 )dx
2 x 6 dx x 3 dx
0
1
4 1
0
a
a
a
f ( x)dx 2 f ( x)dx
olur.
2x
7
7 1
0
0
x
4
1
2 1
(1 1)
7 4
2
7
ÖRNEK:
2
2
2 3
2 x dx 20 x dx 3 x
2
2
2
0
16
3
x [a, a] için f ( x) f ( x) ise;
f fonksiyonu tek fonksiyon olup , grafiği
baĢlangıç noktasına göre simetriktir.
ÖRNEK:
1
(x
4
2 x 2 1) dx
0
1
a
1
2 ( x 4 2 x 2 1) dx
a
f ( x).dx f ( x).dx
0
a
0
f ( x)dx 0
1
x5 2x3
2
x
3
5
0
a
1 2
2 1
5 3
44
15
ÖRNEK:
1
x dx 0
3
1
ÖRNEK:
ÖRNEK:
4
sin x
x x4 x2 1
8
cos xdx
4
ÖRNEK:
0
2 4 cos xdx
1
1
2 sin x 04
( x 6 x 3 )dx
1
1
1
1
1
x 6 dx x 3 dx
2
2 x 6 dx 0
0
2x 7
7
40
1
0
2
7
dx 0
FONKSĠYONLAR
[a, b] aralığında tanımlı ve sürekli olan
f ve g fonksiyonlarının bu aralıkta
ÖRNEK:
y x 2 2 x 3 ve
y 3x 7
eğrileri ile sınırlı bölgenin alanı kaç birim
karedir?
sınırladıkları bölgenin alanı :
b
A f ( x) g ( x) .dx dir.
Önce eğrilerin kesim noktaları aranır.
a
x 2 2x 3 3x 7
x 2 5x 4 0
( x 1)(x 4) 0
x1 1 , x2 4
ÖRNEK:
f ( x) x ve g ( x) x 2 eğrilerinin
0 x 1 aralığında sınırladıkları bölgenin
noktalarında kesiĢirler.
alanı kaç birim karedir?
b
A f ( x) g ( x) .dx
b
A f ( x) g ( x) .dx
a
4
a
1
A x 2 5x 4 .dx
1
A x x .dx
2
0
0 x 1 için x 2 x olduğundan
x x 2 x x 2 dir.
x
5x 2
4x
3
2
1
A x x 2 .dx
3
4
1
9 9
2 2
0
1
( x x 2 )dx
ÖRNEK:
0
y 3x , y 2 x ve x 3 doğruları ile
1
x
x
1 1 1
3 0 2 3 6
2
2
3
sınırlı bölgenin alanı kaç birim karedir?
y=3x ve y=2x doğruları
3x=2x
3x-2x=0
x=0 da kesiĢirler.
ÖRNEK:
f ( x)
1
x 1 ve g ( x) x 2 1 eğrilerinin
2
A
0
[0,2] aralığında sınırladıkları bölgenin alanı
kaç birim karedir?
y x 2 ve
a
A
0
2
0
2
0
9
2
x
x x 0
x1 0 , x2 1 de kesiĢirler.
2
2
0
y x eğrileri ile
Eğriler ; x
1
x x 2 .dx
2
1
3
sınırlı bölgenin alanı kaç birim karedir?
1
x 1 x 2 1.dx
2
x2 x3
4
3
x2
xdx
2
ÖRNEK:
b
A f ( x) g ( x) .dx
2
3
1
A x 2 x .dx
8 5
3 3
0
x3 2x x
3
3
41
1
0
1 1
3 3
FONKSĠYONLAR
ÖRNEK:
ÖRNEK:
y 4 x
2
f ( x) x ve g ( x) x 2 eğrilerinin
0 x 2 aralığında sınırladıkları bölgenin
y 1 2x eğrileri ile
ve
sınırlı bölgenin alanı kaç birim karedir?
alanı kaç birim karedir?
4 x 1 2x
x 2 2x 3 0
( x 1)(x 3) 0
2
3
1
x1 1 , x 2 3
0
1
NOT:
0 x 1 için x x 2
1 x 2 için x 2 x
A x 2 x 3 .dx
2
1
x3
x 2 3x
3
2
A ( x x 2 )dx ( x 2 x)dx
3
1
2
x2 x3
x3 x2
( ) ( )
2
3 0
3
2 1
1
32
3
32
3
1 5
6 6
1
ÖRNEK:
f ( x) sin x ve g ( x) cos x eğrilerinin
aralığında sınırladıkları bölgenin
0 x
2
ÖRNEK:
f ( x) ( x 2) 2 4 ve g ( x) x
eğrileri ile sınırlı bölgenin alanı kaç birim
karedir?
alanı kaç birim karedir?
sin x cos x x
( x 2) 2 4 x
x 5x 0
4
2
x( x 5) 0
x1 0 , x 2 5
A (cos x sin x)dx 2 (sin x cos x)dx
4
0
4
5
A (5x x 2 )dx
4
0
5 2 1 3
x x
2
3
(sin x cos x) 04 cos x sin x 2
2( 2 1)
5
0
125
6
42
FONKSĠYONLAR
ÖRNEK:
xy
ÖRNEK:
ve x y 4 y 4 eğrileri ile
3
2
y 3 1 x
sınırlı bölgenin alanı kaç birim karedir?
y3 y2 4y 4 0
( y 1)( y 2)( y 2) 0
y1 1 , y 2 2 ve y 3 2
A
1 x
isteniyor.
y 3 1 x y3 1 x
2
3
Bu integrali bulmak zor olacağından,
eğrinin y ekseni ile sınırladığı alandan
yararlanalım.
1
1
49
0
A ( y 3 y 2 4 y 4)dy
0 x 49
aralığında x ekseni ile sınırladığı alan
kaç birim karedir?
y3 4y 4 y2
2
eğrisinin
x y 3 1 x ( y 3 1) 2
y f (0) 1 y f (49) 2
(-y3 y 2 4 y 4)dy
71
6
2
A 2.49 ( y 3 1) 2 dy
1
ÖRNEK:
f ( x) 1 x
eğrisinin
0 x4
1209
14
aralığında x ekseni ile sınırladığı bölgenin
alanı kaç birim karedir?
A
4
0
f (x) eğrisinin a x b aralığında
1 x .dx isteniyor.
x ekseni etrafında döndürülmesinden oluĢan
dönel cismin hacmi ;
Bu intagrali bulmak zor olduğundan ,
eğrinin y ekseni ile sınırladığı alanı bulup
dikdörtgenin alanından çıkartacağız.
b
V [ f ( x)]2 dx
a
dir.
y 1 x
y2 1 x
ÖRNEK:
f ( x ) x 2 eğrisinin 1 x 2
x y 1
x ( y 2 1) 2
2
y f (0) 1
aralığında x ekseni etrafında
döndürülmesiyle oluĢan dönel cismin hacmi
kaç birim küptür?
y f (4) 3
2
V ( x 2 ) 2 dx
3
A 4 3 ( y 2 1) 2 dy
1
2
1
x 4 dx
1
8
1 2 3
5
2
1
x5
5 1
43
31
5
FONKSĠYONLAR
GENEL TEKRAR
ÖRNEK:
ÖRNEK:
en geniĢ tanım kümesini bulunuz?
2 x 1
f ( x) 3
x 2
x2 2 0 x2 2
lim f ( x) ?
f ( x) x 2 2
fonksiyonunun
x 2
T.K = x : x 2
=
x : x
=
(, 2 ] [ 2 ,)
2 veya x 2
ise ;
x 1
lim f ( x) lim (2 x 1) 3
x 1
x 1
lim f ( x) lim ( x 3 2) 1
x 1
x 1
lim f ( x) lim f ( x)
x 1
x 1
olduğundan
lim f ( x) YOK.
ÖRNEK:
x1
f ( x) x 2
2
fonksiyonu için ;
f ( x ) ve tanım kümesini bulunuz?
ÖRNEK:
f ( x ) ( x )2 2
lim
x2
x 2
x20 x 0
T.K =
x 1
; x 1
9x 2 4
?
x2
9.2 2 4 0
22
0
[2,)
belirsizliği var.
9x 2 4
9x 2 4 9x 2 4
lim
x
2
x2
x2
9x 2 4
9( x 2)
9
lim
lim
x 2
( x 2)( 9 x 2 4) x2 9 x 2 4
9
8
lim
x 2
ÖRNEK:
x2 5
lim
?
x2 3x 2
=
22 5 3
3 .2 2
4
ÖRNEK:
ÖRNEK:
x 2 3x 2
lim
?
x 1
x 1
f ( x)
2
'
için f ( x ) ?
x
f ( x)
2
2
2 x 1 f ' ( x) 2 x 2 2
x
x
12 3.1 2 0
belirsizliği var.
11
0
ÖRNEK:
x 2 3x 2
( x 1)( x 2)
lim
lim
x 1
x 1
x 1
x 1
lim( x 2) 1 2 1
d
tan 3x 2 6 x. tan 2 3x 2
dx
x 1
44
FONKSĠYONLAR
ÖRNEK:
ÖRNEK:
d
sincos x 3 ?
dx
2
3sincos x . cos(cosx)( sin x)
x 3 y 3 1 ise
3x 2 3 y 2 y ' 0
3 sin x. cos(cosx).sin(cos x)
2
y'
ÖRNEK:
d
2 x 13 4 x 52 ?
dx
3(2 x 1) 2 (2).(4 x 5) 2 (2 x 1) 3 .2(4 x 5)(4)
2(4 x 5)(20x 19)(2 x 1) 2
2 xy 2 x 2 2 yy'
y4
2 xy( y xy' )
y4
y' '
2 x( y 3 x 3 )
y5
2x
5
y
dy
?
dx
ise
x2
y2
x2
2 x( y x. 2 )
y
3
y
ÖRNEK:
xy 2 sin y 1
1. y 2 x.2 yy' cos y. y' 0
y' (2 xy cos y) y 2
y2
y'
2 xy cos y
d2y
2x
5
2
dx
y
ÖRNEK:
ÖRNEK:
d3y
y 3x 1 için
?
dx3
y 3x 1 (3x 1)
1
2
f ( x) x 3 3x
fonksiyonunun
[-2,3] aralığındaki ekstremum değerlerini
bulunuz?
1
2
f ' ( x) 3x 2 3 3( x 2 1)
1
2
1
3
(3x 1) (3) (3x 1)
2
2
3
3
3
9
y ' ' (3x 1) 2 (3) (3x 1) 2
4
4
5
5
27
81
2
y' ' '
(3x 1) (3) (3x 1) 2
8
8
3
d y
81
3
dx
8(3x 1) 2 3x 1
y'
d2y
?
dx 2
3( x 2 1) 0 x1 1 ve x2 1
kritik noktalar.
f (2) 2 minimum
f (1) 2
yerel minimum
f (1) 2
mutlak maksimum
f (3) 18
45
FONKSĠYONLAR
ÖRNEK:
2
1
ÖRNEK:
(3x 2 4 x).dx ?
3x ( x 2 4) 2
?
x 2 2x 1
lim
x 3
x3 2x 2
2
1
3.3 (32 4) 2 75
2
32 2.3 1
(2 3 2.2 2 ) ((1) 3 2(1) 2 )
(8 8) (1 2)
3
ÖRNEK:
t2 4
?
t 2 t 2
lim
ÖRNEK:
x3 x
x2 x
.dx ?
22 4 0
belirsizliği var.
22 0
x3
x
.dx
2
2
x
x
x
x
t2 4
(t 2)(t 2)
lim
lim
t 2 t 2
t 2
t2
lim(t 2) 2 2 4
12
x x 2 .dx
t 2
3
2
x 2 x 1
3
2x x 1
3
x
ÖRNEK:
lim
t 2
22
4
2 2 0
ÖRNEK:
x( 4 x
2
1) 4 x 2 1.dx ?
ÖRNEK:
x2 5
f ( x) x 2
x2
3
2
(4 x 2 1) x.dx
u 4x 1 du 8x.dx
2
değiĢimi uygulanırsa ;
3
x2
x2
ise
lim f ( x) ?
1
u 2 du
8
5
12 2
u C
85
5
1
(4 x 2 1) 2 C
20
t2
?
t 2
x 2
lim f ( x) lim x 2 5 1
x 2
x 2
lim f ( x) lim
x 2
(4 x 2 1) 2 4 x 2 1
C
20
x 2
x2
1
x2
lim f ( x) lim f ( x) 1 lim f ( x) 1
x 2
46
x 2
x 2
FONKSĠYONLAR
ÖRNEK:
ÖRNEK:
f:R R , f(3)=2 ve f(x+3)=f(3).f(x) ise
f(-3) değeri kaçtır?
1
f ( x). f ' ( x)dx 0
ve
0
1
f ( x) . f ' ( x)dx 18
x=0 için ; f(0+3)=f(3).f(0)
f(3)=f(3).f(0) f(0)=1
ise
2
0
1
f ( x)
4
x=-3 için ; f(-3+3)=f(3).f(-3)
f(0)=f(3).f(-3)
1 = 2.f(-3)
f ' ( x)dx ?
0
u f ( x) du f ' ( x)dx
f(-3)=
değiĢimi uygulanırsa ;
1
0
b
u2
f ( x). f ' ( x)dx u.du
2
a
b
ÖRNEK:
a
log 1 log 2 log 3 log 4 ……
log 66 toplamının değeri kaçtır?
1
f (1)2 f (0)2 0
2
f (1) p ve f (2) k dersek
p 2 k 2 0 ( p k )( p k ) 0
1
b
u3
f
(
x
)
.
f
'
(
x
)
dx
u
du
0
a
3
2
2
1
f ( x)
4
b
f ' ( x)dx u 4 du
b
a
0
a
a
1
f (1)5 f (0)5 ?
5
ÖRNEK:
x(x ) x x
x
1 5
(p k5) ?
5
x
denkleminin pozitif köklerini bulunuz?
x
ln x ( x ) ln x x
x x ln x x. lnx x
x x ln x x 2 ln x
ln x.( x x x 2 ) 0
ln x 0 x 1 veya
x x x2 0 x x x2 x 2
x
( p k )( p k ) 0
p k 0 p k veya
p k 0 p k olmalıdır.
p k olmaz.
3
3
Çünkü p k 54 verilmiĢ.
Öyleyse p k dır.
p 3 k 3 54 2 p 3 54 p 3
2
olduğundan toplam :
2.1+4.2+8.3+16.4+32.5+3.6=276 dır.
5 b
u
5
2
log2 1 0
log 2 2 den log 2 4 e kadar tam kısım 1,
log 2 4 den log2 8 e kadar tam kısım 2,
log2 8 den log2 16 ya kadar tam kısım 3,
log2 16 dan log32 ye kadar tam kısım 4,
log 2 32 den log 2 64 e kadar tam kısım 5 ve
log 2 64 den log2 67 ye kadar tam kısım 6
2
2
2
1
f (1)3 f (0)3 18
3
3
p k 3 54 ( p k )( p 2 pk k 2 ) 54
1
2
Ç={1,2}
1 5
1
486
p k 5 243 243
5
5
5
47
FONKSĠYONLAR
1.
f ( x)
6.
1 x
x
f(x)=
fonksiyonunun en geniĢ tanım aralığı
aĢağıdakilerden hangisidir?
A) (0,1]
B) [-1,0)
D) R-{-1,0}
E)
2.
f ( x)
A) 1/2
1 x
7.
x
A)
1
1
1
B) f ( x)
2
1 x
1 x2
1
x
1
1
C) f ( x)
D) f ( x)
2
(1 x)
1 x
1 x
1
E) f ( x)
x
8.
A) 0
4.
1 x
x
x 0
B) 1
A) -1
B) 0
D)
1 x
ise
x
C) 2
E) yok
1
f ' ( ) =?
2
D) -2
E) 1
x2+2y2=6 eğrisinin
(2,1) noktasındaki teğetinin denklemi
aĢağıdakilerden hangisidir?
B) y=
D) y=-2x+5
C) 1
cos xy y 2 ise
D) -1
E) -2
y' ?
y 4 x ve y 2 x eğrilerinin hangi
B) x= -1
C) x= ln 2
D) 2
x
+2
2
9.
f ( x) ln x
A) 1
B) ee+1
10.
y 2 ( x 1) 2
ex
C) ee
ise
E) 0
f ' (e) ?
D) ee-1
fonksiyonunun grafiği aĢağıdakilerden
hangisi olabilir?
5.
A) y=x-1
B) 2
değeri kaçtır?
C)
f ( x)
, x0
noktalarındaki teğetleri paraleldir?
A) x=1
lim
2x-1
y sin xy
y sin xy
B)
2 y x sin xy
2 y x sin xy
1
y sin xy
y
C)
D)
E)
x sin xy
2 y x sin xy
2y
f 1 ( x)
3.
, x <0
fonksiyonu sürekli ise k kaçtır?
C) (-1,0)
fonksiyonunun tanımlı olduğu aralıkta tersi
aĢağıdakilerden hangisidir?
A)
sin kx
x
C) y=-x+3
E) y=2x-5
48
E) e
FONKSĠYONLAR
11.
lim
x 0
A) 0
B)
17 , 18 , 19 ve 20. sorular için :
1
değeri nedir?
x5
C)
f(1)=2 , f(2)=1 , f’(1)=1 ve f’(2)=2 dir.
D) 1
E) yok
17.
a ( x) f ( 2 x ) ise a' (1) ?
A) 2.ln2
12.
lim
A) 0
B)
x0
lim
x 0
A) 3/4
D) 4.ln4 E) 2
1
değeri nedir?
x5
C)
D) 1
E) yok
18.
A) 4
13.
B) (ln2)2 C) 4
b( x) ( fof )(2x) ise b' (1) ?
B) 2
C) 1
D) 8
E) 6
x cot 3x. sin 4 x
değeri nedir?
sin 3x
B) 4/9
C) 1/4
D) 4
19.
E) yok
c( x) f ( x) ise c' (1) ?
x
A) 2 B) 2(ln2+1) C) 4 D) 2ln2+1 E) 8
2 x 2 3x 1
değeri nedir?
lim
x
3( x 1) 2
14.
A)
B) 2/3
C) 0
D) 1/3
20.
E) yok
A) -1
d ( x)
B) 0
f (x 2 )
ise d ' (1) ?
x
C) 2
D) -2
E) 1
15.
x2 x 2
değeri nedir?
lim 2
x 2 x 3 x 2
21.
A) 3
B) 1/3
eĢitliğinde N sayısının kaç farklı asal
çarpanı vardır?
C) 0
D) 1
E) yok
A) 1
16.
A) 1
x
lim
2
x2
x2
B) 3/4
D) 3/5
B) 2
C) 3
D) 4
E) 7
YANITLAR.
1.B 2.B 3.D 4.C 5.C 6.D 7.B 8.B 9.D
10.B 11.C 12.E 13.B 14.B 15.A 16.B
17.D 18.A 19.D 20.B 21.A
değeri nedir?
C) 4/3
log 2 log3 log5 log 7 N 11
E) yok
49
FONKSĠYONLAR
1.
x2+2
f(x)=
1
11.
; x1
12.
için;
; x=1
13.
lim f ( x) ?
x 1
2.
3.
4.
5.
14.
x 1
?
x 1
x
x3 1
lim
?
x 1 x 1
2 x 2
lim
?
x 0
x
2
f(x)=
16.
17. lim cos x ?
x
18. lim
x 1
20.
; x>3
21.
x2
f ( x) 2
x 3x 10
f(x)=
; x -1
ax+b
; -1 < x < 3
-2
fonksiyonu
a+b=?
8.
9.
10.
x
?
?
lim 4 x 2 ?
x 2
4 x2 ?
lim
x 2
22. lim
4 x2 ?
23. lim
4 x2 ?
x 1
fonksiyonu x’in hangi değerleri için sürekli
değildir?
2
x
x
19. lim
için;
x 3
7.
x
x 0
lim f ( x) ?
6.
x 1
sin x
lim
?
x
x
x
; x 3
12 2 x
3
lim ( x 3 200x 2 ) ?
x
15. lim 100x ?
lim
x2
2
1
?
x
1
lim ?
x 0 x
3x 4 5 x 2
lim 4
?
x 2 x 6 x 3 7
lim
x 0
x 3
24.
lim x 2 4 ?
x 2
2x
; x 3
f(x)=
3x-2
; 3<x
fonksiyonu için;
; x3
25. lim f ( x) ?
x 3
x R için sürekli ise
26. lim f ( x) ?
x 4
x2 2
?
x 2 x 2 x 2
1
lim 2 ?
x 0 x
1
lim =?
x 0 x
YANITLAR:
lim
1.3 2.-2 3.3 4.1/ 2 2 5.YOK 6.-2 ve 5
7.0 8. 9. 10. 11.
12.YOK 13.3/2 14. 15.100 16.0
17.YOK 18.YOK 19.1 20.0 21.0 22. 3
23.TANIMLI DEĞĠL 24.0 25.YOK 26.10
50
FONKSĠYONLAR
1.
f ( x)
15.
1
f ' ( x) ?
x 1
tersinin olması için k ne olmalıdır?
2.
16. g(x)=x (x -4)
f(x)=x2+1 eğrisinin (2,5)
noktasındaki teğetinin denklemini yazınız?
3.
f ( x) 4 x 3 cos x f ' ( x) ?
4.
f ( x ) x e x eğrisinin (0,1)
2
2
fonksiyonunun kritik
noktalarını bulunuz?
17. f(x)=x -12x
3
fonksiyonunun [0,4]
aralığındaki ekstremum noktalarını bulunuz?
18. f(x)=(x-1) (x+2)
noktasındaki teğetinin denklemini yazınız?
5.
f ( x) kx sin x fonksiyonunun
2
fonksiyonunun
değiĢimini inceleyiniz?
f ( x)
2
eğrisinin (5,0)
x
19.
f(x)=sin x.cos x fonksiyonunun
(0,2 ) aralığında değiĢimini inceleyiniz?
noktasından geçen teğetinin denklemini
yazınız?
20. y=x-ln x
6.
y
7.
f ( x) e x . sin x f ' ' ( x) ?
8.
f ( x) (9 x ) f ' ( x) ?
9.
x
f ( x) ln 2
f ' ( x) ?
x 1
10.
f ( x) x(1 sin x) f ' ( x) ?
2e x
y' ?
x2 1
2
11. x
3
inceleyiniz?
21. f(x)=2x -3x -12x
3
y 3 2 xy
22.
2
y 2 16
24. Bir eĢkenar üçgen ile bir karenin
çevrelerinin toplamı 10 birimdir. Bu düzlemsel
bölgelerin alanları toplamı en az kaç
birimkaredir?
d2y
?
dx 2
14.
f ( x) arctan x f ' ( x) ?
1
x3
grafiğinin
x2 1
23.
dy
in (1,1) için
dx
y (1 x) x
f ( x)
Çarpımları 192 olan pozitif iki sayının
toplamlarının en küçük değeri kaçtır?
3
13.
fonksiyonunun
asimptotlarını bulunuz?
değeri nedir?
12. x
2
değiĢimini inceleyiniz?
2
3
2
fonksiyonunun değiĢimini
25.
dy
?
dx
51
FONKSĠYONLAR
7.
ÇÖZÜMLER:
1. f ( x) 1
x 1
0( x 1) 1.1
1
f ' ( x)
2
( x 1)
( x 1) 2
2.
f ' ( x) e x . sin x e x . cos x e x (sin x cos x)
f ' ' ( x) e x (sin x cos x) e x (cos x sin x)
2e x cos x
8.
2
f(x)=x +1 eğrisinin (2,5)
noktasındaki teğetinin denklemini yazınız?
f’(x)=2x ,
y-5=4(x-2)
f ( x) (9 x )
2
2
3
1
f ' ( x)
mt=f’(2)=2.2=4
,
4x-y-3=0
4x
2
(9 x 2 ) 3 (2 x)
3
33 9 x 2
9.
x
f ( x) ln 2
x 1
1.( x 2 1) 2 x.x
( x 2 1) 2
x2 1
f ' ( x)
x
x( x 2 1)
x2 1
3.
f ( x) 4 x 3 cos x
2
f ' ( x)
3 sin x
x
4.
f ( x) e x . sin x
f ( x ) x e x eğrisinin (0,1)
noktasındaki teğetinin denklemini yazınız?
10.
f’(x)=1+ex , mt=f’(0)=1+e0=1+1=2
y-1=2(x-0) ,
2x-y+1=0
f ' ( x) 1(1 sin 2 x) 3 x.3(1 sin 2 x) 2 (2 sin x. cos x)
5.
f ( x)
(1 sin 2 x) 2 (1 sin 2 x 3x. sin 2 x)
2
eğrisinin (5,0)
x
11. x
noktasından geçen teğetinin denklemini
yazınız?
3
y 3 2 xy
değeri nedir?
dy
in (1,1) için
dx
dy
dy
2 y 2x
dx
dx
dy
dy
3.12 3.12
2.1 2.1
dx
dx
dy
1
dx
3x 2 3 y 2
2
1
f ' ( x) 2 , mt f ' (a) 2
x
a
2
2
y 2 ( x a)
a
a
2
4
x y 0
2
a
a
(5,0) noktasından geçiyorsa ;
12. x
d2y
?
dx 2
dy
dy x
2x 2 y
0
dx
dx y
dy y x. x
1. y x.
2
d y
y y2 x2
dx
dx 2
y2
y2
y3
16
3
y
2
4
5
.5 0 0 , 10-4a=0 , a=
2
a
2
a
8
8
x y 0 , 8x+25y-40=0
25
5
6.
f ( x) x(1 sin 2 x) 3
2e x
x2 1
2e x ( x 2 1) 2 x.2e x
y'
( x 2 1) 2
y
52
2
y 2 16
FONKSĠYONLAR
13.
1
x
y (1 x)
17. f(x)=x -12x
dy
?
dx
3
fonksiyonunun [0,4]
aralığındaki ekstremum noktalarını bulunuz?
ln(1 x)
x
dy
1
.x 1. ln(1 x)
dx 1 x
y
x2
1
dy
ln(1 x)
y
dx
x 2
x(1 x)
ln y
Yerel maksimum veya minimum noktalarında
türevi sıfır olacağından ;
f’(x)=3x2-12x=0
, 3x(x-4)=0
x1=0 ,
x2=4
kritik noktalardır.
x<0
için f’(x) > 0
0 < x < 4 için f’(x) < 0
4<x
için f’(x) > 0 olduğundan
x=0 yerel maksimum
(0,0)
x=4 yerel minimum noktalarıdır. (4,16)
1
dy
ln(1 x)
(1 x) x
dx
x 2
x(1 x)
1
14.
UYARI: Bu noktalar aynı zamanda verilen
aralık için mutlak maksimum ve minimum
değerlerini verir.
f ( x) arctan x f ' ( x) ?
1
1
2 x
f ' ( x)
1 x 2 x (1 x)
15.
18. f(x)=(x-1) (x+2)
2
f ( x) kx sin x fonksiyonunun
tersinin olması için k ne olmalıdır?
x=0 için y=2 , y eksenini kestiği nokta .
(x-1)2(x+2)=0 , x1,2=1 , x3=-2 x eksenini
kestiği noktalar. ( x=1 de teğet )
f(x) ‘in tersinin olabilmesi için ;
bire-bir ve örten olmalıdır.
bire-bir olması için ;
daima azalan veya daima artan olması gerekir.
Bunun içinde türevi x’in tüm değerleri için
daima negatif veya daima pozitif olmalıdır.
f’(x)=2(x-1)(x+2)+(x-1)2=3(x-1)(x+1)=0
x1=1 ve x2=-1 kritik noktalar.
x < -1 için f’(x) > 0
ARTAN
x=-1 için f’(-1)=0 , f(-1)=4 maksimum.
-1 < x < 1 için f’(x) < 0 AZALAN
x=1 için f’(1)=0 ,
f(1)=0 minimum.
1 < x için f’(x) > 0
ARTAN
f ' ( x) k cos x
1 cos x 1 olduğundan
k 1 f ' ( x) 0
k 1 f ' 0 dır. k 1 olmalıdır.
f ( x) kx sin x fonksiyonu tanımlı olduğu
f’’(x)=6x=0 x=0
x < 0 için f’’(x) < 0
x=0 için f’’(0)=0
X > 0 için f’’(x) > 0
değerler için örtendir.
16. g(x)=x (x -4)
2
2
fonksiyonunun kritik
noktalarını bulunuz?
g’(x)=2x(x2-4)+x2(2x)=4x3-8x
Türevi sıfır yapan değerler kritik noktalardır.
g’(x)=4x3-8x=0 ,
4x(x2-2)=0
x1=0
,
x 2=
2
,
x3=
(0,0)
( 2 ,-4)
(
noktaları kritik noktalardır.
fonksiyonunun
değiĢimini inceleyiniz?
2
2 ,-4)
53
konkav.
dönüm noktası.
konveks.
FONKSĠYONLAR
19. f(x)=sin x.cos x
(0,2
f(x)=sinx.cosx=
sin2x=0
1
sin 2 x
2
2x= ,2 ,3
f’(x)=cos2x=0
2x=
3 5 7
x2-1=0 , (x-1)(x+1)=0 , x1=1 , x2=-1
DüĢey asimptotlar.
3
x= , ,
2
2
f ( x)
3 5 7
x3
x
x 2
2
x 1
x 1
y=x Eğik asimptot.
, , ,
2 2 2 2
23.
kritik noktalar.
, , ,
4 4 4 4
x3
grafiğinin
f ( x) 2
x 1
asimptotlarını bulunuz?
x eksenini kestiği noktalar.
x=
22.
fonksiyonunun
) aralığında değiĢimini inceleyiniz?
Çarpımları 192 olan pozitif iki sayının
toplamlarının en küçük değeri kaçtır?
x.y=192 , y=
T=x+y=x+
Konkav
Konveks Konkav
f’’(x)=-2sin2x=0
2x= ,2 ,3
,
x=
dönüm noktaları .
2
, ,
y’’=
,
çevrelerinin toplamı 10 birimdir. Bu düzlemsel
bölgelerin alanları toplamı en az kaç
birimkaredir?
10 3a
4
2
2
a 3 10 3a
T=
4
4
3a+4b=10 , b=
1
x2
T’=
f ' (1) 0 AZALAN
f ' (1) 0 VE f ' ' (1) 0 yerel MĠNĠMUM.
x > 1 için f ' (1) 0 ARTAN
x < 1 için
3
2
192
0
x2
24. Bir eĢkenar üçgen ile bir karenin
3
2
x=1 kritik nokta
21. f(x)=2x -3x -12x
T’=1
T=x+y= 8 3 + 8 3 = 16 3
20.
1
0
x
192
x
x= 8 3 , y= 8 3
Konveks
y=x-ln x fonksiyonunun değiĢimini
inceleyiniz?
y’= 1
192
x
a=
a 3
10 3a 3
2
0
2
4 4
90
94 3
25.
fonksiyonunun
değiĢimini inceleyiniz?
f’(x)=6x2-6x-12=0
x2-x-2=0
, (x+1)(x-2)=0 , x1=-1 , x2=2
f’’(x)=12x-6=0 , x=1/2 Dönüm noktası
f’(-1)=0 , f’’(-1)=-18<0
Maksimum
f’(2)=0
, f’’(2)=18>0
Minimum
54
olmalıdır.
