λ χ χ - SABİS

Asli eğriliklerin geometrik yorumu:
Yüzeyin normalini içeren normal düzlem ile yüzeyin arakesitinden bir düzlem eğrisi elde
edilir. Bu eğri P noktasındaki farklı normal düzlemler için farklı eğriliklere sahip olacaktır.
P noktasındaki bu eğriliğin maksimum ve minimum değerlerine asli eğrilikler denir.
Yani normal eğriliğinin maksimum ve minimum değerleridir. Bu normal düzlemlerin
doğrultularına asli doğrultular denir.
Not: M , E n de hiperyüzey
S : TM ( P ) → TM ( P )
XP ≠ 0
XP → S ( XP ) =
λXP
eşitliğini sağlayan
λ sayılarına M hiperyüzeyinin asli eğrilikleri ve X P vektörüne λ ya karşılık gelen asli
vektör (asli doğrultu) denir.
Not: Şekil operatörü cebirsel değişmezleri
M hiperyüzeyinin bir P noktasında TP ( M ) tanjant uzayında baz değişiminden bağımsız
olan parametreler asli doğrultular, Gauss eğriliği, Ortalama eğrilik ve normal eğrilik
Not: S lineer dönüşümünün karakteristik değerleri S nin karakteristik polinomu olan PS ( λ )
polinomlarının sıfırlarıdır. ∀P ∈ M için TP ( M ) deki baz değişiminden bağımsızdır. Bu ise ψ
ve φ bazlarına göre karakteristik polinomların aynı kaldığını gösterir.
Not: Şekil operatörü matrisi baz değiştiği zaman değişir. Yani farklı bazlara farklı matrisler
karşılık gelir ancak determinant ve iz değişmez.
Ayrıca bazın değişimi karakteristik polinomu ve polinomun köklerini de değiştirmez. Bu
nedenle herhangi bir baz ile işlem yaparak şekil operatörü determinantı, izi, karakteristik
değerleri hesaplanabilir.
Not: S : χ ( M ) → χ ( M ) dir.
i) M nin birim normal vektör alanı N ise N , N = 1 dir. X ∈ χ ( M ) için
X  N , N  = X [1]
DX N , N + N , DX N =
0
DX N , N = 0
S ( X ), N = 0
olup S ( X ) ∈ χ ( M ) dir. O halde
S : χ (M ) → χ (M )
X → S(X )
S lineerdir.
∀X , Y ∈ χ ( M ) , ∀a, b ∈  için;
S ( ax + by ) =
Dax +by N
= aDX N + bDY N
= aS ( X ) + bS (Y )
Not: E n de bir hiperyüzey M olsun. M üzerinde S şekil operatörü simetriktir.
∀x, y ∈ χ ( M ) için
S ( x ) , y = x, S ( y ) olduğunu göstermeliyiz.
X , Y ∈ χ ( M ) olduğundan;
0
X , N + Y, N =
i )  X , N  =0
0
DY X , N + X , DY N =
ii ) X  Y , N  =0
0
DX Y , N + Y , DX N =
0
Y , DX N − X , DY N + DX Y , N − DY X , N =
0
Y , S ( X ) − X , S (Y ) + DX Y − DY X , N =
O halde
Y , S ( X ) = X , S (Y ) olur. Bu da self adjoint olduğunu gösterir.
Not: M üzerinde şekil operatörü S ise χ ( M ) deki herhangi bir baza göre S nin matrisi
simetriktir.
I. ve II. Temel formun şekil operatörü yardımıyla ifadesi;
E n nin M hiperyüzeyinin q. temel formu 1 ≤ q ≤ n için
I q : χ (M ) → χ (M ) → C∞ (M , y)
( x,
y ) → I q ( x, y ) =
S q −1 ( x ) , y
I q fonksiyonudur.
I. Temel form
II. temel form
III. temel =
form
III ( x, y )
I ( x, y ) = x, y
II ( x, y ) = S ( x ) , y
=
S 2 ( x), y
(S2 S  S )
λ 2 − ( k1 + k2 ) λ + k1k2 =
P3 ( λ )
Cayley Hamiltondur. (Her matris kendi karakteristik denklemin köküdür.)
S 2 ( x ) − ( k1 + k2 ) S ( x ) + k1k2 x =
0
S 2 ( x ) , y − ( k1 + k2 ) S ( x ) , y + k1k2 x, y =
0
III − H .II + K .I =
0
dır.