HİPERBOLİK VE DE SITTER UZAYLARINDA SABİT AÇILI
advertisement
HİPERBOLİK VE DE SITTER UZAYLARINDA SABİT AÇILI
YÜZEYLER
Tuğba MERT
DOKTORA TEZİ
MATEMATİK
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
ŞUBAT 2014
ANKARA
Tuğba
MERT
tarafından
hazırlanan
“HİPERBOLİK
VE
DE
SİTTER
UZAYLARINDA SABİT AÇILI YÜZEYLER” adlı bu tezin Doktora tezi olarak
uygun olduğunu onaylarım.
Prof. Dr. Baki KARLIĞA
Tez Danışmanı, Matematik Anabilim Dalı
…….…………………….
Doç. Dr. Hesna KABADAYI
Tez Danışmanı, Matematik Anabilim Dalı
…….…………………….
Bu çalışma, jürimiz tarafından oy birliği ile Matematik Anabilim Dalında Doktora
tezi olarak kabul edilmiştir.
Prof. Dr. Mustafa ÇALIŞKAN
Matematik Anabilim Dalı, G.Ü.
…….…………………….
Prof. Dr. Baki KARLIĞA
Matematik Anabilim Dalı, G.Ü.
…….…………………….
Prof. Dr. Aysel VANLI
Matematik Anabilim Dalı, G.Ü.
…….…………………….
Prof. Dr. H. Hüseyin UĞURLU
Matematik Eğitimi Anabilim Dalı, G.Ü.
…….…………………….
Prof. Dr. Yusuf YAYLI
Matematik Anabilim Dalı, A.Ü.
…….…………………….
Prof. Dr. Nejat EKMEKCİ
…….…………………….
Matematik Anabilim Dalı, A.Ü.
Doç. Dr. Hesna KABADAYI
…….…………………….
Matematik Anabilim Dalı, A.Ü.
Tez Savunma Tarih: 24 /02/2014
Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Doktora derecesini
onamıştır.
Prof. Dr. Şeref SAĞIROĞLU
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
…….…………………….
TEZ BİLDİRİMİ
Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde
edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu
çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf
yapıldığını bildiririm.
Tuğba MERT
iv
HİPERBOLİK VE DE SİTTER UZAYLARINDA SABİT AÇILI YÜZEYLER
(Doktora Tezi)
Tuğba MERT
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
ŞUBAT 2014
ÖZET
Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. Birinci ve ikinci bölümlerde, sırası ile ,
Öklidyen ve Hiperbolik uzaydaki çalışmaların tarihçesi ve temel kavramlar
verilmiştir. Üçüncü ve beşinci bölümlerde, sırasıyla, Hiperbolik ve de Sitter
uzaylarındaki eğriler ve yüzeylerin diferensiyel geometrisi verilerek ilk defa
sabit açılı yüzeylerin parametrizasyonları bulunmuştur. Dördüncü ve altıncı
bölümlerde ise Hiperbolik ve de Sitter uzaylarındaki sabit açılı teğet yüzey
örnekleri elde edilerek, bunlardan bazılarının açıları koruyan stereografik
izdüşümler
altındaki
görüntüleri
bulunarak
mathematica
proğramında
çizdirilmiştir.
Bilim Kodu
Anahtar Kelimeler
Sayfa Adedi
Tez Yöneticisi
: 204.1.049
:Sabit Açılı Yüzey, Hiperbolik uzay, de-Sitter uzayı, helis
: 113
: Prof. Dr. Baki KARLIĞA
v
CONSTANT ANGLE SURFACES İN HYPERBOLİC AND DE SİTTER
SPACES
(Ph. D. Thesis)
Tuğba MERT
GAZİ UNIVERSITY
GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLİED SCİENCES
FEBRUARY 2014
ABSTRACT
This thesis consists of six chapters. In first and second chapter, we have given
historical information and principal concepts about studies of Euclidian and
hyperbolical spaces, respectively. In thirth and fifth chapters, we have obtained
parametrization of constant angle surfaces giving differential geometry of
curves and surfaces in hyperbolic and de Sitter spaces, respectively. In forth
and sixth chapters, examples of constant angle tangent surfaces in hyperbolic
and de Sitter spaces are obtained. Under the streografic projection which
preserves angles, the range of some of these are obtained and drow by
mathematica programs.
Science Code : 204.1.049
Key Words : Constant Angle Surfaces, Hyperbolic space, de-Sitter space
Page Number : 113
Supervisor : Prof. Dr. Baki KARLIĞA
vii
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET........................................................................................................................... iv
ABSTRACT ................................................................................................................. v
TEŞEKKÜR ................................................................................................................ vi
İÇİNDEKİLER .......................................................................................................... vii
ŞEKİLLERİN LİSTESİ ............................................................................................... x
SİMGELER VE KISALTMALAR ............................................................................. xi
1. GİRİŞ ....................................................................................................................... 1
2.TEMEL KAVRAMLAR........................................................................................... 3
2.1. Öklidyen Uzay ................................................................................................... 3
2.2. Lorentz Uzayı ..................................................................................................... 5
2.3. Bir Manifoldun Alt manifoldunun Hiperyüzeyleri ............................................ 8
2.4. Hiperbolik ve de Sitter Uzayı ........................................................................... 10
2.5. Öklidyen ve Hiperbolik Uzayda Tanımlar ....................................................... 12
3. HİPERBOLİK UZAYDA EĞRİLER VE YÜZEYLER ....................................... 16
3.1. Hiperbolik Uzayda Eğriler .............................................................................. 16
3.2. Hiperbolik Uzayda Sabit Açılı Eğriler ............................................................ 17
3.3. Hiperbolik Uzayda Yüzeyler........................................................................... 18
3.4. Hiperbolik Uzayda Sabit Açılı Yüzeyler ........................................................ 22
3.4.1. Hiperbolik uzayda sabit timelike açılı yüzeyler .................................... 28
3.4.2. Hiperbolik uzayda sabit spacelike açılı yüzeyler .................................. 44
4. HİPERBOLİK UZAYDA SABİT AÇILI YÜZEY ÖRNEKLERİ........................ 53
viii
Sayfa
4.1. Hiperbolik uzayda Sabit Açılı Teğet Yüzeyler ............................................... 53
4.1.1. Spacelike eksenli sabit timelike açılı teğet yüzeyler .............................. 54
4.1.2. Spacelike eksenli sabit spacelike açılı teğet yüzeyler ............................ 57
5. DE SİTTER UZAYINDA EĞRİLER VE YÜZEYLER. .................................... 59
5.1. De Sitter Uzayında Sabit Açılı Yüzeyler ...................................................... 62
5.1.1. Sabit açılı spacelike yüzeyler ................................................................ 62
5.1.2. Sabit açılı timelike yüzeyler ................................................................... 84
6. DE SİTTER UZAYINDA SABİT AÇILI YÜZEY ÖRNEKLERİ ..................... 100
6.1. De Sitter Uzayında Sabit Açılı Spacelike Teğet Yüzeyler............................ 100
6.1.1. Timelike açılı spacelike eksenli spacelike teğet yüzeyler .................... 101
6.1.2. Timelike açılı timelike eksenli spacelike teğet yüzeyler...................... 104
6.2. De Sitter Uzayında Sabit Açılı Timelike Teğet Yüzeyler ............................ 106
6.2.1. Timelike açılı spacelike eksenli timelike teğet yüzeyler..................... 107
6.2.2.Spacelike açılı spacelike eksenli timelike teğet yüzeyler .................... 108
KAYNAKLAR ........................................................................................................ 110
ÖZGEÇMİŞ ............................................................................................................. 113
x
ŞEKİLLERİN LİSTESİ
Şekil
Sayfa
Şekil 3.1. Lorentz uzayında spacelike vektörler arasındaki timelike açı ................... 23
Şekil 3.2. Lorentz uzayında spacelike vektörler arasındaki timelike açı ................... 23
Şekil 3.3. Lorentz uzayında spacelike vektörler arasındaki spacelike açı ................. 24
Şekil 3.4. Lorentz uzayındaki lightlike vektörler aasındaki açı ................................. 25
Şekil 4.1. Hiperbolik uzayda spacelike eksenli sabit timelike açılı teğet yüzey ........ 56
Şekil 4.2. Hiperbolik uzayda spacelike eksenli sabit spacelike açılı teğet yüzey ...... 58
Şekil 6.1. De Sitter uzayında timelike açılı spacelike eksenli spacelike teğet yüzey102
Şekil 6.2. De Sitter uzayında timelike açılı timelike eksenli spacelike teğet yüzey 104
xi
SİMGELER VE KISALTMALAR
Bu çalışmada kullanılmış bazı simgeler açıklamaları ile birlikte aşağıda sunulmuştur.
Simgeler
Açıklama
IR n1
n 1
dE
Öklidyen uzaklık fonksiyonu
dH
Hiperbolik uzaklık fonksiyonu
En
n-boyutlu Öklidyen uzay
-boyutlu vektör uzayı
H3
Hiperbolik uzay
S13
De Sitter uzay
,L
Lorentzien iç çarpım
1
1. GİRİŞ
Üç boyutlu Öklid uzayında sabit açılı yüzey, E 3 deki sabit bir vektör alanı ile sabit
bir açı yapan yüzeydir. E 3 Öklid uzayında sabit açılı yüzeyler M.I. Munteanu ve
A.I. Nistor tarafından [1] de çalışılmış ve E 3 de ki sabit açılı yüzeylerin tüm sınıfı
elde edilmiştir.
[2]-[3] de A. J. Scala ve G. R. Hernandez tarafından E n deki sabit açılı yüzeyler
sınıfı çalışılmıştır.
[4] de P. Germelli ve A. J. Scala sabit açılı yüzeyleri sıvı katmanlar ve sıvı kristaller
teorisine uygulamışlardır.
S 2 ve H 2 küresel ve hiperbolik düzlemler olmak üzere; S 2 IR , H 2 IR ve Nil3
çarpım uzaylarındaki sabit açılı yüzeyler, sırasıyla; [5], [6] ve [7] de çalışılmıştır.
Minkowski uzayında sabit açılı yüzey; yüzeyin birim normal vektör alanı ile E13 de
sabit bir timelike vektör alanı arasındaki açı sabit olacak şekildeki spacelike bir
yüzeydir. [8] de R. Lopez ve M. Munteanu E13 de bu tip yüzeyleri çalışmış ve
sınıflandırmışlardır. Ayrıca, bu çalışmalarında, açılabilir bir teğet yüzeyin sabit açılı
bir yüzey olması için gerekli ve yeterli koşulu vermişlerdir.
Öklid ve Lorentz uzaylarında iyi bilinen ve teknikte birçok uygulaması olan
Helisoid yüzeylerin Lorentz uzayındaki benzeri olan sabit açılı yüzeyler, henüz
Hiperbolik ve de Sitter uzaylarında çalışılmamıştır. Bu tezde, Hiperbolik ve de Sitter
uzaylarındaki bir yüzeyin sabit açılı yüzey olma koşulları belirlenmiş ve bu
yüzeylerin değişmezleri araştırılmıştır.
Günümüzde bildiğimiz yöntemlerle çözülemeyen problemleri farklı bir yöntem
kullanarak çözüp, bu çözümlerin bu yöntemdeki yorumlarını vermek çalışmalarda
önemli yer tutar. Kullanılan bu yöntemlerden biri de, çözülemeyen problemlere farklı
uzaylarda modeller aramaktır. Lorentz, Hiperbolik ve de Sitter uzayları fiziksel
2
olaylar için birer model olup, birçok fiziksel olay bu modellerle açıklanabilmektedir.
Farklı uzaylardaki yüzey çeşitleri mimari, geometrik dizayn gibi günlük yaşantımızla
alakalı alanlara rehberlik edeceğinden bu tip yüzey çeşitlerinin önemi büyüktür.
Bunu, mimarlık tarihinde önce Öklidyen, ortaçağda küresel ve yakın çağımızda
hiperbolik çizgilerin kullanıldığı yapılardan görmek mümkündür. Gelecekte de Sitter
çizgilerini kullanan mimari yapılar ve geometrik dizaynlar günlük hayatımıza
girecektir.
3
2. TEMEL KAVRAMLAR
2.1. Öklidyen Uzay
n- boyutlu Öklid uzayı için standart analitik model, n- boyutlu IR n reel vektör uzayı
ile eşleşen IR n afin uzayıdır. IR n üzerindeki Öklidyen iç çarpım non-dejenere,
simetrik, bilineer ve pozitif tanımlıdır.
, , V vektör uzayı üzerinde non-dejenere, simetrik, bilineer ve pozitif tanımlı bir iç
çarpım olmak üzere v V nin bu iç çarpıma göre normu
v v, v
1
2
şeklinde tanımlı reel sayıdır [9].
2.1. Tanım
x, y IRn olmak üzere iki vektör arasındaki Öklidyen uzaklık
d E x, y x y
şeklinde tanımlanır [9,10].
2.2. Tanım
IR n üzerinde tanımlanan d E metriğine Öklid metriği denir [10].
2.3. Tanım
: IRn IRn dönüşümünün bir ortogonal dönüşüm olması için gerek ve yeter şart
x, y IR n için
x , y x, y
olmasıdır [9].
4
2.4. Tanım
a, b , IR
de kapalı bir aralık ve a b olmak üzere : a, b X
sürekli
fonksiyonuna X metrik uzayında bir eğri denir.
Eğer X E n ise eğrisinin lineer olması için gerek ve yeter şart t a, b için
a t b a a t b a
olmasıdır [9].
2.5. Tanım
E n nin x, y, z gibi üç noktası için y x t z x olacak şekilde bir t 0,1 reel
sayısı varsa bu üç noktaya doğrusaldır denir [9].
( X , d ) bir metrik uzay olmak üzere aşağıdaki tanımları verebiliriz.
2.6. Tanım
a, b , IR
de kapalı aralık ve a b olmak üzere;
: a, b X
dönüşümü uzunluk koruyan sürekli fonksiyon ise ya X metrik uzayında bir
jeodezik eğri yayı denir
Bu durumda geodezik yayın başlangıç noktası a ve bitiş noktası b dir [9].
2.7. Tanım
x, y X ayrık çifti için x ve y yi içeren bir tek jeodezik parça varsa X ’e
jeodezik olarak konveks metrik uzay denir [9].
2.8. Tanım
5
: IR X dönüşümüne jeodezik doğru denir [9].
2.2. Lorentz Uzayı
x, y IRn iki vektör ve n 1 olsun. x ile y nin Lorentzian iç çarpımı
x, y L x1 y1 ... xn1 yn1 xn yn
ile tanımlanan indefinit bir iç çarpımdır. Bu çarpım ile birlikte IR n uzayına Lorentz
uzayı denir ve IR1n ile gösterilir. IR1n uzayında bir x vektörünün Lorentz normu
x x, y L
1
2
ile, x ve y noktaları arasındaki Lorentz uzunluk
d L x, y x y
ile tanımlanır [9].
2.9. Tanım
IR1n Lorentz uzayında
x IR
n
1
: xn2 x12 ... xn21
şeklindeki C n1 kümesine ışık konisi (light koni) denir. x, x L 0 ise x vektörüne
ışık benzeri (lightlike veya null) vektör denir [9].
2.10. Tanım
x IR1n için, x, x L 0 ise x vektörüne uzay benzeri (spacelike) vektör denir. C n1
hiperkonisinin dışı, IR1n nin uzay benzeri vektörlerinden oluşan açık alt kümesidir
[9].
6
2.11. Tanım
x IR1n için, x, x L 0 oluyorsa x vektörüne zaman benzeri (timelike) vektör denir.
C n 1 hiperkonisinin içi, IR1n nin zaman benzeri vektörlerinden oluşan açık alt
kümesidir. Eğer x1 0 x1 0 ise x vektörüne pozitif (negatif) zaman benzeri denir
[9].
2.12. Tanım
Sıfırdan farklı x, y IR1n için x, y L 0 oluyorsa x, y vektörlerine Lorentz
ortogonaldir denir [9].
2.1. Teorem
x, y vektörleri, IR1n de sıfırdan farklı Lorentz ortogonal iki vektör olsun. Eğer x
vektörü zaman benzeri ise y vektörü uzay benzeridir [9].
İspat
[9] da sayfa 60-61 den görülebilir.
2.1. Önerme
IR1n nin bir V alt vektör uzayının;
1) Zaman benzeri olması için gerek ve yeter şart V nin en az bir zaman benzeri
vektöre sahip olmasıdır.
2) Uzay benzeri olması için gerek ve yeter şart V deki sıfırdan farklı her vektörün
uzay benzeri olmasıdır.
3) Işık benzeri olması için gerek ve yeter şart V deki sıfırdan farklı her vektör için
x, x L 0 olmasıdır [9,11].
7
İspat
[9] da sayfa 61 den görülebilir.
2.13. Tanım
x ve y , IR1n de pozitif (negatif) zaman benzeri iki vektör olsun.
x, y L x y cosh x, y
olacak şekilde negatif olmayan bir tek x, y reel sayısı vardır. x ve y arasındaki
Lorentz zaman benzeri (timelike) açı, x, y olarak tanımlanır [9,11].
2.14. Tanım (Timelike vektörler arasındaki timelike açı)
x ve y , IR1n nin pozitif (negatif) timelike vektörleri olsun. x, y negatif olmayan
bir reel sayı olmak üzere
x, y L x y cosh x, y
dir. Buna göre x ve y arasındaki Lorentzian timelike açı x, y dir. Eğer
x, y 0 ise x ve y nin birbirlerinin pozitif skalar çarpımıdır [9].
2.15. Tanım (Spacelike vektörler arasındaki spacelike açı)
x ve y , IR1n 1 in spacelike vektörleri olsun. Böylece 0 ve arasında bir tek
x, y reel sayısı vardır ki
x, y L x y cos x, y
dır. x ve y arasındaki Lorentzian spacelike açı x, y ile tanımlanır [9].
2.16. Tanım (Spacelike vektörler arasındaki timelike açı)
8
x ve y , timelike alt vektör uzayı tarafından gerilen IR1n 1 in spacelike vektörleri
olsunlar. Bir tek x, y reel sayısı vardır ki
x, y L x y cosh x, y
dir. x ve y arasındaki Lorentzian timelike açı x, y ile tanımlanır [9].
2.17. Tanım (Timelike ve spacelike vektörler arasındaki açı)
IR1n 1 de x spacelike vektör ve y pozitif timelike vektör olsun. Böylece bir tek negatif
olmayan x, y reel sayısı vardır ki
x, y L x y sinh x, y
dir. x ve y arasındaki Lorentzian timelike açı x, y ile tanımlanır [9].
2.3. Bir Manifoldun Alt Manifoldunun Hiperyüzeyleri
Bu bölümde [12] de C. Thas tarafından verilen bir manifoldun alt manifoldunun
hiperyüzeyleri kavramı özetlenecektir. N , E m Öklid uzayının
n 1 boyutlu
alt
manifoldu ( m n 1 ) ve N , N nin n boyutlu bir alt manifoldu olsun. N üzerinde bir
p N noktasının bir U komşuluğunda N deki birim normal vektör alanını
düşünelim. E m , N ve N nin standart Riemann konneksiyonları sırasıyla D, D ve D
olsun. N de N nin Weingarten dönüşümü
D x L X , X N p
ile verilir ve det L , N de N hiperyüzeyinin bir p noktasındaki Gauss eğriliğidir.
V ' Y , Z , N de N nin ikinci temel formu ve Y , Z ( N ) olmak üzere Gauss
formülünden
9
DY Z DY Z V ' Y , Z , Y , Z N .
Ayrıca
DY Z DY Z L Y , Z
şeklindedir. Ohalde V U ,W , E m de N nin ikinci temel formu olmak üzere
DUW DUW V U ,W , U ,W N .
Eğer V Y , Z , E m de N nin ikinci temel formu ise
DY Z DY Z V Y , Z
ve buradan da
V Y , Z L Y , Z V Y , Z
olur. A , N nin teğet uzayında bir self adjoint lineer dönüşüm ve D , N normal
demet de bir metrik konneksiyon olmak üzere, E m de N nin birim normal vektör
alanına göre Weingarten denklemi
D X A X DX , X N p
ile verilir. Ayrıca
D X D X V X ,
veya
DX L X V X , .
10
O halde
L X A X
ve
DX V X , , X N p
elde edilir. Dolayısıyla
det L det A .
Yani K p, p , E m de N nin p noktasındaki Lipschitz-Killing eğriliği olmak üzere
N de N hiperyüzeyinin p noktasındaki Gauss eğriliği K p, p ye eşittir. R, N
nin eğrilik tensörü ve U1 ,U 2 ,U3 ,U 4 N olsun. O halde, E m de N nin Gauss
denklemi
U1 , R U 2 ,U3 U 4 V U 2 ,U1 ,V U3 ,U 4 V U 2 ,U 4 ,V U3 ,U1
ile verilir. Eğer, X N p ise N nin iki boyutlu
X , yönünde
p
p noktasındaki
Riemann eğriliği
K X , p
X , R X , p p
X, X
ile verilir.
2.4. Hiperbolik ve de-Sitter Uzayı
S1n IR1n1 ve S1n x IR1n1 : x, x 1 kümesine n-boyutlu birim pseudo-küresel
uzay (de-Sitter uzayı), H 0n x IR1n1 : x, x 1 kümesine de n- boyutlu birim
11
pseudo-hiperbolik uzay denir. H 0n uzayının iki bağlantılı bileşeni H 0,n ve H 0,n
olmak üzere, bu bileşenlerin her biri n-boyutlu hiperbolik uzayın modeli olarak
alınabilir. Biz literatüre bağlı kalarak hiperbolik uzayın modeli olarak pozitif bileşeni
göz önüne alacağız, yani; H 0,n H n IR1n1 olarak alacağız [9].
2.18. Tanım
x, y H n IR1n1 ve x ile y arasındaki Lorentzien zaman benzeri açı x, y olsun.
x ve y arasındaki hiperbolik uzunluk
d H x, y x, y
şeklinde tanımlı bir reel sayıdır.
x, y L x y cosh x, y
olduğundan
cosh d H x, y x, y L
olur [9,13].
2.2. Teorem
d H hiperbolik uzunluk fonksiyonu H n üzerinde bir metriktir [9].
İspat
[9] dan görülebilir.
2.19. Tanım
d H metriği ile birlikte H n uzayı hiperbolik n-uzay olarak adlandırılır [9].
2.20. Tanım
12
H n nin bir doğrusu IR1n 1 in iki boyutlu zaman benzeri alt vektör uzayı ile H n nin
arakesitidir. x, y H n
vektörleri IR n1 in V x, y ile gösterilen iki boyutlu bir
zaman benzeri alt uzayını gererler. Böylece L x, y H n V x, y , x den geçen
y yi içeren H n nin bir doğrusudur [9].
Buna göre H n nin jeodezikleri onun doğrularıdır.
2.21. Tanım
H n nin bir m-düzlemi, IR1n 1 in m 1 -boyutlu zaman benzeri alt vektör uzayı ile
H n nin arakesitidir [9].
2.22. Tanım
H n nin bir hiperbolik 1-düzlemi onun hiperbolik doğruları, hiperbolik
n 1
-
düzlemi onun hiperdüzlemi olarak adlandırılır [9].
2.5. Öklidyen ve Hiperbolik Uzayda Tanımlar
Aşağıda vereceğimiz tanımlarda X E n , H n , S1n olarak alınacaktır.
2.23. Tanım
V bir reel vektör uzayı olsun.
g : V V IR dönüşümü bilineer ve simetrik ise
g ’ye V üzerinde simetrik bilineer form denir [11].
2.24. Tanım
V vektör uzayı üzerinde g : V V IR simetrik bilineer form ve W, V nin bir
altvektör uzayı olsun. Bu durumda gW : W W IR kısıtlaması negatif tanımlı
olacak şekildeki en büyük boyutlu W alt vektör uzayının boyutuna g ’nin indeksi
denir.
13
Eğer indeks v ise 0 v boyV dir.
Ayrıca V nin indeksi, üzerinde tanımlı olan g ’nin indeksi olarak tanımlanır [11].
2.25. Tanım
V reel vektör uzayı üzerinde tanımlı simetrik, bilineer, non-dejenere forma, V reel
vektör uzayı üzerinde bir skalar çarpım denir. Bu çarpım ile birlikte V vektör
uzayına da skalar çarpım uzayı denir. [11].
2.26. Tanım
M bir diferensiyellenebilir manifold ve P, M nin altkümesi olsun. Eğer
i) P, M nin manifold topolojisinin, alt topolojik uzayıdır,
ii) j : P M , j ( p) p inclusion dönüşümü C diferensiyellenebilir ve her bir
p P için dj p : Tp P Tp M türev dönüşümü birebir dönüşümdür,
özellikleri sağlanıyorsa, P ye M nin bir altmanifoldu denir [11].
2.27. Tanım
M ve N diferensiyellenebilir manifoldlar ve : M N , C diferensiyellenebilir
dönüşüm olsun. Eğer her bir p M noktası için d p : Tp M T ( p ) N dönüşümü
birebir ise ye bir immersiyon (daldırma) denir.
Eğer M, N nin altmanifoldu ise M ye N nin immersed (daldırılmış) altmanifoldu denir
[11].
2.28. Tanım
M ve N , C diferensiyellenebilir manifoldlar olsun.
: M N birebir immersiyon ise ye bir embedding denir.
14
Eğer M, N nin altmanifoldu ise M ye N nin embedded altmanifoldu denir [11].
2.29. Tanım
M, C diferensiyellenebilir manifoldu üzerinde simetrik, nondejenere ve sabit
indeksli (0,2)-tipinden g tensör alanına metrik tensör denir [11].
2.30. Tanım
M, C diferensiyellenebilir manifold ve g , M üzerinde bir sıfırdan farklı indekse
sahip metrik tensör olmak üzere ( M , g ) ikilisine bir yarı-Riemann manifoldu denir
[11].
2.31. Tanım
M yarı-Riemann manifoldu üzerinde tanımlı g metrik tensörünün indeksine, M yarıRiemann manifoldunun indeksi denir [11].
2.32. Tanım
M yarı-Riemann manifoldunun indeksi 1 ise M ye bir Lorentz Manifoldu denir [11].
Böylece n-boyutlu M Lorentz manifoldu üzerindeki metrik tensör,
n
g p (v p , wp ) v1.w1 vi wi , p M , v p , wp Tp M
i 2
şeklinde tanımlanır.
2.33. Tanım
M bir yarı-Riemann manifoldu ve M , M nin altmanifoldu olsun. j : M M
inclusion dönüşümü olmak üzere her bir p M için, ( j ( g ))( p) g ( j ( p)) ile tanımlı
15
j ( g ) dönüşümü M üzerinde bir metrik tensör ise M ye M nin bir yarı-Riemann
altmanifoldu denir [11].
2.34. Tanım
IR1n Minkowski uzayında,
H n x x1 ,..., xn1 IR1n1 x, x 1, x1 1
kümesine n-boyutlu hiperbolik uzayın hiperboloidal (Minkowski) modeli denir [9].
2.35. Tanım
2 r n için U, IR nr nin bir açık altkümesi olmak üzere,
X : U IR1n immersiyonu ile belli olan X (U ) M , IR1n nin (n-r)-altmanifoldu
olsun.
Buna göre p M noktasındaki M nin teğet uzayı Tp M olmak üzere,
i) Tp M , IR1n nin spacelike altuzayı ise X e spacelike immersiyon ve M ye IR1n nin
spacelike (n-r)-altmanifoldu denir.
ii) Tp M , IR1n nin timelike altuzayı ise X e timelike immersiyon ve M ye IR1n nin
timelike (n-r)-altmanifoldu denir.
iii) Tp M , IR1n nin lightlike altuzayı ise X e lightlike immersiyon ve M ye IR1n nin
lightlike (n-r)-altmanifoldu denir [9].
16
3.HİPERBOLİK UZAYDA EĞRİLER VE YÜZEYLER
Bu bölümde H 3 uzayında eğriler ve yüzeylerin diferansiyel geometrisi özetlenecek
ve H 3 uzayının Lorentzian modeli alınacaktır.
3.1. Hiperbolik Uzayda Eğriler
H3
de eğrilerin [14] de verilen extrinsic diferansiyel geometrisini
özetliyelim. : I H 3 birim hızlı regüler eğri ve nın ( s) noktasındaki teğet
vektörü t ( s) olmak üzere nın normal vektörü
ns
D t ( s ) s s
D t ( s ) s s
olarak verilir. nın binormal vektörüde es s t s ns şeklinde tanımlanır.
Buradan elde edilen
s , t s , ns , es
çatısına - boyunca IR14 ün pseudo
ortonormal çatısı denir.
t ' s , t ' s 1 olmak üzere; : I H 3 birim hızlı eğrisinin
h s Dt ( s ) t s s
değerine nın hiperbolik eğriliği
ve
h s
det s , ' s , '' s , ''' s
h s
2
değerine de nın hiperbolik burulması denir [14]. Ayrıca nın s , t s , ns , es
çatısından elde edilen
17
D t ( s ) s t s
D t ( s )t s s n s s
h
Dt ( s ) n s h s t s h s e s
Dt ( s ) e s h s n s
eşitliklerine eğrisinin Frenet-Serret denklemleri denir [14].
h s nin tanımından
t ' s , t ' s 1 koşulu h s 0 olmasına denk olduğu
kolaylıkla görülür [14].
s eğrisinin h s 0 şartını sağlaması için gerekli ve yeterli koşul s c
geodezik olacak şekilde bir c lightlike vektörünün var olmasıdır [14].
h s 0 şartını sağlayan eğriye equidistant eğri denir. Ayrıca h s 1 ve
h s 0 ise bir Horo-çemberdir [14].
3.2. Hiperbolik Uzayda Sabit Açılı Eğriler
Teğeti sabit bir doğru ile sabit bir açı yapan eğriye IR3 de genel helis eğrisi denir.
Bir eğrinin genel helis eğrisi olması için gerekli ve yeterli koşul bu eğrinin eğriliğinin
burulmasına oranının sabit olmasıdır. Bu sonuç 1802 yılında M.A.Lancret tarafından
verilmiştir ve ilk olarak 1845 yılında B.de Saint Venant tarafından ispatlanmıştır.
3.1. Teorem (Öklid Uzayında Lancret Teoremi)
IR3 de bir eğrinin genel helis eğrisi olması için gerekli ve yeterli koşul b
olacak şekilde sabit bir b sayısının var olmasıdır [15].
3.2. Teorem (Hiperbolik Uzayda Lancret Teoremi)
Hiperbolik uzaydaki bir eğrisinin genel helis eğrisi olması için gerekli ve yeterli
koşul
18
1. 0 ve , H 2 (1) hiperbolik düzleminde bir eğridir,
veya
2. , H 3 (1) hiperbolik uzayında bir helisdir [15].
3.3. Hiperbolik Uzayda Yüzeyler
H 3 de yüzeylerin [14] de verilen extrinsic diferansiyel geometrisini özetliyelim.
v IR14 ve c IR için HP v, c x IR14 | x, v c, c IR
şeklinde v pseudo normalli hiperdüzlem tanımlayalım.
3.1. Tanım
a) v timelike ise HPv, c ye bir spacelike hiperdüzlem denir.
b) v spacelike ise HPv, c ye bir timelike hiperdüzlem denir.
c) v lightlike ise HPv, c ye bir lightlike hiperdüzlem denir.
e0 , e1 , e2 , e3 , IR14
ün doğal tabanı ve xi x0i , x1i , x2i , x3i olmak üzere herhangi
x1 , x2 , x3 IR14 için
e0
x1 x2 x3
1
0
2
0
3
0
e1
e2
e3
1
1
2
1
3
1
1
2
2
2
3
2
x
x
x
x31
x
x
x
x32
x
x
x
x33
şeklindedir. Ayrıca
x, x1 x2 x3 det x, x1 , x2 , x3
ve x1 x2 x3 herhangi xi ye ortogonaldir.
19
IR14 deki hiperdüzlemler ve H 3 ün kesişmesiyle verilen H 3 de yüzeylerin üç tipi
vardır.
a) HPv, c spacelike ise H 3 HPv, c yüzeyine Küre denir.
b)) HPv, c timelike ise H 3 HPv, c yüzeyine Equidistant yüzey denir.
c) HPv, c lightlike ise H 3 HPv, c yüzeyine Horoküre denir [14].
U IR 2 bir açık alt küme, M xU ve x embedding olmak üzere x : U H 3 bir
regüler yüzey olsun. O zaman
x
u1
x1 , xu2 x2 ,
x ile tanımlanan yüzeyin teğet
düzleminin bazı olmak üzere
e u
x u x1 u x2 u
x u x1 u x2 u
vektörüne H 3 de M yüzeyinin birim normali denir.
E : U R 2 S13 , E u e u
şeklindeki dönüşüme x parametrizasyonu ile verilen yüzeyin de Sitter Gauss
dönüşümü denir.
LC* x x0 , x1 , x2 , x3 IR14 | x0 0, x, x 0
orjin merkezli future light konisini alalım. xu H 3 , eu S13 ve
xu , eu 0
olduğundan xu eu LC* .
L : U R2 LC* , L u x u e u
şeklindeki dönüşüme x parametrizasyonu ile verilen yüzeyin light koni Gauss
dönüşümü denir.
20
Dv , v teğet vektörüne göre kovaryant türev olmak üzere herhangi p xu0 M ve
TpM için Dv L TpM dir [14].
U ve M nin özellikleri altında dxu0 türevi TpM teğet uzayı üzerinde I TpM
özdeşlik dönüşümü ile özdeştir
p xu0 .
Dolayısıyla
L u xu eu
olduğundan
dL u0 dx u0 de u0
ve buradan da
dL u0 ITpM dE u0
yazılır.
S p : dL u0 : TpM TpM
şeklinde tanımlı lineer dönüşüme
p xu0 noktasında M xu yüzeyinin
hiperbolik şekil operatörü denir.
Ap : dEu0 : TpM TpM
tanımlı lineer dönüşümüne p xu0 da M xu yüzeyinin de Sitter şekil
operatörü denir.
Ki ( p) ve Ki ( p) , ile sırasıyla S p ve Ap dönüşümünün öz değerlerini gösterelim.
Ki ( p) ve Ki ( p) ,
i 1,2
ye p xu0 da M xu yüzeyinin sırasıyla asli
hiperbolik ve asli de Sitter eğrilikleri denir.
S p ve Ap aynı öz vektörlere sahiptir ve
Ki p 1 Ki p .
21
s xu1 s , u2 s , M xu yüzeyi üzerinde p s0 noktasında birim hızlı eğri
olsun. k s t ' s s hiperbolik eğrilik vektörü olmak üzere p s0 noktasında
s nin de Sitter normal eğriliği
Kn s0 k s0 , L u1 s0 , u2 s0 t ' s0 , L u1 s0 , u2 s0 1
[14].
de Sitter Gauss eğriliği sadece p noktasına ve p noktasındaki M yüzeyinin birim
teğet vektörüne bağlıdır. Bu yüzden de Sitter normal eğriliği p M noktasında
maksimum ve minimuma sahiptir. p noktasında de Sitter normal eğriliğinin
maksimum veya minimumu K i p de Sitter asli eğriliklerine eşittir. Böylece
aşağıdaki Hiperbolik tip Rodrig formülünü verebiliriz. Eğer s xu1 s , u2 s bir
eğrilik çizgisi ise K n s , s nin de Sitter asli eğriliklerinden biridir. Yani
dL
u1 s , u2 s Kn s 1 dx u1 s , u2 s
ds
ds
[14].
Burada Kn s K n s 1 şeklinde tanımlanır ve
K n s ye s nin hiperbolik
normal eğriliği denir.
p xu0 noktasında M xu yüzeyinin Hiperbolik ve de Sitter Gauss eğrilikleri
Kh u0 det S p K1 p K2 p
ve
Ke det Ap K1 p K2 p
Hiperbolik ve de Sitter ortalama eğrilikleri
22
1
K p K 2 p
H h u0 izS p 1
2
2
ve
1
K p K2 p
H d u0 izAp 1
2
2
olarak tanımlanır.
de Sitter ortalama eğriliği tam olarak M nin ortalama eğriliğidir. Dolayısıyla H d
yerine H yazılır ve
H h u H u 1
[14].
3.4. Hiperbolik Uzayda Sabit Açılı Yüzeyler
Sabit açılı yüzeyler Hiperbolik-3 uzaydaki yüzeylerin özel bir sınıfıdır. Teğet
düzlemi H 3 de sabit bir vektör alanı ile sabit bir açı yapan yüzeye sabit açılı yüzey
denir.
x : M IR14 bir immersiyon olsun. Eğer
x üzerindeki indirgenmiş metrik
Lorentzian ise x ’e Timelike immersiyon, Riemanian ise x ’e spacelike immersiyon,
dejenere ise x ’e Lightlike immersiyon denir. Eğer x, x 1 ve x0 1 ise x ’e H 3
ün bir immersiyonu denir.
Bu bölümde H 3 deki yüzeylerin iki özel sınıfı olan sabit timelike ve sabit spacelike
açılı yüzeyler araştırılmıştır. Teğet düzlemi H 3 deki sabit bir vektör alanı ile sabit bir
timelike açı yapan yüzeye H 3 de sabit timelike açılı yüzey denir. Benzer şekilde ;
teğet düzlemi H 3 deki sabit bir vektör alanı ile sabit bir spacelike açı yapan yüzeye
H 3 de sabit spacelike açılı yüzey denir.
23
IR14 Minkowski uzayında bir vektör alanının causal karekterlerinin çeşitliliğinden
dolayı keyfi iki vektör alanı arasında doğal bir açı kavramı vardır. x, H 3 de
spacelike immersion olduğundan , M yüzeyi üzerinde birim spacelike vektör
alanıdır. Eğer U , H 3 de birim spacelike vektör alanı ise S p U p , p alt uzayı ya
spacelike ya timelike ya da lightlike olur.
1. Eğer S p p ,U p timelike alt uzay ise;
QR hiperbolik doğru parçasının uzunluğuna p ve U p arasındaki açının ölçüsü
denir.
Şekil 3.1. Lorentz uzayında spacelike vektörler arasındaki timelike açı
24
Şekil 3.2. Lorentz uzayında spacelike vektörler arasındaki timelike açı
Bu durumda p ,U p cosh p ,U p olacak şekilde bir tek pozitif p ,U p reel
sayısı vardır. Bu p ,U p reel sayısına p ve U p spacelike vektörleri arasındaki
timelike açı denir [9].
2. Eğer S p p ,U p spacelike alt uzay ise;
O halde her bir p M için QR çember parçasının uzunluğuna p ve U p arasındaki
açının ölçüsü denir.
25
Şekil 3.3. Lorentz uzayında spacelike vektörler arasındaki spacelike açı
Bu durumda p ,U p cos p ,U p olacak şekilde bir tek p ,U p 0, reel
sayısı vardır. Bu p ,U p reel sayısına p ve U p spacelike vektörleri arasındaki
spacelike açı denir [9].
3. Eğer S p p ,U p lightlike alt uzay ise;
Şekil 3.4. Lorentz uzayındaki lightlike vektörler aasındaki açı
QR parçasının d E Q, R öklid uzunluğuna p ve U p arasındaki açının ölçüsü denir.
Bu durumda p ,U p d E Q, R olacak şekilde bir tek p ,U p IR reel sayısı
vardır.
M , M üzerindeki teğet vektör alanlarının modülü olsun. D, D , D ile sırasıyla
~
IR14 , H 3 ve M nin Levi-Civita konneksiyonlarını belirtelim. O zaman V , M nin
IR14 deki ikinci temel formunu, T ve simgeleri de D X Y nin teğet ve normal
bileşenlerini göstermek üzere X , Y M için
26
T
DX Y D X Y ,
~
V : M M M , V X ,Y D X Y
,
ve
~
D X Y D X Y X , Y x, D X Y DX Y V X , Y .
(3.1)
(3.1) denklemlerinin birincisine M nin H 3 deki, ikincisine de M nin IR14 deki
Gauss denklemi denir.
, M nin H 3 deki birim normal vektör alanı olmak üzere S X ve Ax X
dönüşümlerine D X ve D X x teğet bileşenlerine karşılık gelen M nin H 3 ve
IR14 deki Weingarten dönüşümleri denir. Buna göre
S X D X D X x, x
Ax X D X x D X x,
(3.2)
S (X ) ve Ax (X ) in her bir p M için lineer ve self adjoint operatörler olduğu
[11] den görülebilir.
S (X ) ve Ax X in K i ( p) ve K i P öz değerlerine M yüzeyinin sırasıyla H 3 ve
IR14 deki asli eğrilikleri denir.
Ayrıca X , Y M için
~
S X , Y V X , Y ,
ve
27
~
A X , Y V X , Y , x .
V X , Y , M nin IR14 deki ikinci temel formu olduğundan
V X , Y 1 2 x
şeklinde yazılabilir. Buradan da
~
V X , Y S X , Y A X , Y x
bulunur. v1 , v2 , TpM teğet düzleminde bir bazı olmak üzere bundan sonra
~
~
Vij V vi , v j , S vi , v j
~
~
Wij V vi , v j , x Avi , v j
kısa gösterimini kullanacağız. O halde
~
Dvi v j Dvi v j Vij vi , v j x
(3.3)
olarak yazılır. v1 ,v2 bazının ortonormal olması halinde de
~
D vi v j Dvi v j Vij
(3.4)
Gauss denklemlerini elde ederiz. Benzer şekilde Weingarten denklemleri de
D vi v~i1v1 v~i 2v2
(3.5)
~ v w
~ v
D vi x w
i1 1
i2 2
(3.6)
şeklindedir.
28
3.4.1. Hiperbolik Uzayda Sabit Timelike Açılı Yüzeyler
3.2.Tanım
x : M H 3 bir spacelike immersion ve , M nin birim normal vektör alanı olsun.
Eğer M üzerinde ,U timelike açısı sabit olacak şekilde bir U spacelike
doğrultusu varsa M ye H 3 de sabit timelike açılı yüzey denir.
, M yüzeyinin H 3 de birim normal vektör alanı olmak üzere M yüzeyi spacelike
eksenli sabit timelike açılı yüzey olsun. O zaman , U spacelike vektörleri
arasındaki timelike açıyı , U spacelike vektörü ile x timelike vektörü arasındaki
timelike açıyı da ile gösterelim. O halde
,U cosh , U , x sinh
olur. Eğer 0 ise U olur. 0 ve M üzerinde U , x sabit almak
genelliği bozmaz. U IR14 olmak üzere
U U T U N
şeklinde yazılır. O halde;
U U T 1 2 x
olarak yazılabilir. Buradan
U U T (cosh ) (sinh ) x
olur ve
UT
sinh 2 sinh 2 0
şeklinde elde edilir. Dolayısıyla
29
UT
e1 T
U
olmak üzere
U
sinh 2 sinh 2 e1 (cosh ) (sinh ) x
(3.7)
bulunur. O halde hiperbolik uzaydaki sabit doğrultu
Uh
sinh 2 sinh 2 e1 (cosh )
(3.8)
şeklinde tek olarak bulunur.
e2 , M üzerinde e1 e ortogonal vektör alanı olmak üzere e1 , e2 , , x M nin her
noktasında IR14 ün ortonormal bazı olur. U h , H 3 hiperbolik uzayında sabit bir vektör
alanı olduğundan D e2U h 0 dır. Dolayısıyla
D e2U h D e2U h 0
dır. O halde
De2U h
sinh 2 sinh 2 De2 e1 (cosh ) De2 0
olduğundan
sinh 2 sinh 2 De2 e1 (cosh ) De2 0
elde edilir. Buradan
sinh 2 sinh 2 De2 e1 , cosh De2 , 0
olduğundan
(3.9)
30
sinh 2 sinh 2 De2 e1 S e2 , e1 e2 , e1 x, 0
veya
v~21 v~12 0
olarak elde edilir. Dolayısıyla (3.9) denkleminden
sinh 2 sinh 2 De2 e1 (cosh ) v21e1 v22e2 0
veya buradan da
De2 e1
cosh
sinh 2 sinh 2
(3.10)
v22e2
eşitliği elde edilir. Benzer şekilde U h , H 3 de sabit bir vektör alanı olduğundan
D e1U h 0 dır. Ayrıca
De1U h De1U h e1 ,U h x
olduğundan
D e1U h 0 ve De1U h
sinh 2 sinh 2 x
(3.11)
elde edilir.
De1U h
sinh 2 sinh 2 De1 e1 (cosh ) De1
(3.12)
ve (3.11) eşitliğinden
sinh 2 sinh 2 De1 e1 (cosh ) De1
sinh 2 sinh 2 x
olur. (3.13) denkleminin her iki tarafını ile iç çarpıma tabi tutarak
(3.13)
31
v~11 0
bulunur. Ayrıca (3.13) den
D e1 e1 x
(3.14)
eşitliği elde edilir.
3.1. Teorem
H 3 Hiperbolik uzayında spacelike eksenli sabit timelike açılı bir yüzey için D Levi-
Civita konneksiyonu aşağıdaki şekildedir.
De1 e1 0
De2 e1
De1 e2 0
De2 e2
cosh
sinh sinh
2
cosh
sinh 2 sinh 2
İspat
De1 e1 De1 e1 S e1 , e1 e1 , e1 x
olduğundan
x De1 e1 x
veya
De1 e1 0
elde edilir.
e1 , e2 0
2
v22e2
v22e1
32
olduğundan
De1 e2 , e1 0
olur. e2 , e2 1 olduğundan da De1 e2 , e2 0 olur. Böylece
De1 e2 0 .
Diğer taraftan
De2 e1 De2 e1 S e2 , e1 e2 , e1 x
olduğundan
De2 e1 De2 e1 .
Ayrıca
De2 e1
cosh
sinh sinh
2
2
v22e2
olduğundan da
De2 e1
cosh
sinh 2 sinh 2
v22e2
olarak elde edilir. Son olarak De2 e2
De2 e2 1e1 2e2
olacak şekilde yazılabilir. Buradan
cosh
sinh 2 sinh 2
v22e1 olduğunu gösterelim.
33
1 De e2 , e1 , 2 De e2 , e2 0
2
2
olur. O halde
De2 e2 De2 e2 , e1 e1
olduğundan
De2 e2 De2 e2 , e1 e1
(3.15)
ve e2 , e1 0 olduğundan (3.10) kullanılarak
De2 e2 , e1
cosh
sinh sinh
2
2
v22
bulunur. Bu eşitlik (3.15) de yerine yazılarak
De2 e2
cosh
sinh 2 sinh 2
v22e1
elde edilir.
3.1. Sonuç
H 3 de sabit açılı bir spacelike M yüzeyi verilsin. O zaman u, v , M yüzeyi
üzerinde diferansiyellenebilir bir fonksiyon olmak üzere M yüzeyi üzerindeki
metrik , : du 2 2 dv 2 olacak şekilde u ve v lokal koordinatları vardır.
Yüzey Parametrizasyonunun Bulunması
Şimdi Sonuç 3.1 de verilen M yüzeyi üzerindeki metrik , : du 2 2 dv 2 olacak
şekilde x xu, v yüzeyinin parametrizasyonunu elde edelim.
34
3.2. Teorem
H 3 de spacelike eksenli sabit timelike açılı yüzeyin x x(u, v) parametrizasyonu
x x
uu
u
x
xuv
v
v
xv 2v22 2 x
xvv u xu
kısmi türevli denklem sistemini sağlar.
İspat:
D xu xu Dxu xu S xu , xu xu , xu x
ve
xuu D xu xu
olduğundan
xuu x
bulunur.
xuv D xv xu
ve
Dxv xu D xv xu
olduğundan
(3.16)
35
xuv Dxv xu
olur. Ayrıca
cosh
De2 e1
v22e2
sinh 2 sinh 2
olduğundan da
xuv
cosh
sinh 2 sinh 2
v22 xv
(3.17)
bulunur. Bu eşitliği xv ile çarpıma tabi tutarak
xuv , xv
cosh
sinh sinh
2
2
v22 2
ve
xv , xv 2
eşitliğinden
cosh
v22
sinh 2 sinh 2
u
bulunur. Bu son eşitliği (3.17) de yerine yazarak
xuv
u
xv
elde edilir.
D xv / xv xv / xv
v
3
xv
1
2
xvv
36
ve
x x
D xv / xv xv / xv Dxv / xv xv / xv S v , v
xv xv
xv xv
,
xv xv
x
olduğundan
D xv / xv xv / xv
cosh
sinh 2 sinh 2
v22 xu v22 x
bulunur. Böylece ;
xvv u xu
v
xv 2v22 2 x
olur.
3.2. Sonuç
, sabit açılı M yüzeyinin birim normal vektör alanı olmak üzere M yüzeyinin
parametrizasyonu
u D xu 0
~
v D xv v22 xv
denklem sistemini sağlar.
İspat:
u
D xu
v11 xu v12
olduğundan
xv
xv
(3.18)
37
u 0
olur. Öte yandan
v D x ve D x D x / x
v
v
v
v
olduğundan
v v22 xv
bulunur.
3.1.Önerme
M sabit timelike açılı spacelike eksenli bir yüzey ise (u, v)v22 (v)
olacak
şekilde v diferansiyellenebilir fonksiyonu vardır.
İspat :
uv vu 0 olduğundan
D xu v~22 xv 0
veya
v~22 u xv v~22 D x xv 0
(3.19)
u
olur. Ayrıca (3.19) ve Teorem 3.1 den
v22 u
cosh
sinh 2 sinh 2
v22
2
0
diferansiyel denklemi elde edilir. Dolayısıyla
38
v~22 u u v~22 0
(3.20)
veya
v~22 u 0
(3.21)
denkleminden
v~22 (v)
(3.22)
olacak şekilde v diferansiyellenebilir fonksiyonu bulunur.
3.2. Önerme
x x u, v , H 3 Hiperbolik
uzayında
sabit
açılı
spacelike
bir
yüzeyin
parametrizasyonu olsun. Eğer M üzerinde v~22 0 ise x x(u, v) hiperbolik düzlem
belirtir.
İspat
M üzerinde v~22 0 olsun. , sabit açılı M yüzeyinin birim normal vektör alanı
olmak üzere M yüzeyinin parametrizasyonu (3.18) kısmi türevli denklem sistemini
sağladığından
u 0
v 0
sistemi sağlanır. Buradan da , M boyunca sabit bir vektör olmalıdır. Dolayısıyla
M yüzeyinin normali sabit olduğundan x x(u, v) hiperbolik düzlem belirtir.
Tezin kalan kısmında v~22 0 olduğunu kabul edeceğiz. (3.20) den elde edilen
39
cosh
v22 u
v22
sinh 2 sinh 2
2
0
kısmi türevli diferansiyel denklemin çözümünü arayalım.
(3.23)
v~22 v~22 (u, v) iki
değişkenli bir fonksiyon olmasına rağmen (3.23) denklemi değişkenlerden sadece
birinin türevini ihtiva eden bir denklem olduğundan (3.23) denklemini adi türevli
diferansiyel denklem gibi düşünebiliriz. Dolayısıyla
v22 u
2
v22
cosh
sinh sinh
2
2
0
ve buradan da
v22
sinh 2 sinh 2
u cosh v
, v
sinh 2 sinh 2 v
olacak şekilde bir v fonksiyonu vardır.
(3.22) denkleminden
u, v
v
sinh sinh
2
2
elde edilir.
Özel olarak
v v sinh 2 sinh 2
ve
v
1
v
u cosh v
40
alarak (3.16) denkleminde yerine yazarsak
xuu
x
uv
x
vv
x
v cosh
xv
uv cosh 1
(3.24)
u cosh
v cosh uv cosh 1 xu
xv
uv cosh 1
v sinh 2 sinh 2 uv cosh 1 uv cosh 1 x
2
kısmi türevli denklem sistemini elde ederiz.
Şimdi aşağıdaki teoremi verebiliriz.
3.3. Teorem
(3.24) denklem sistemini sağlayan x spacelike immersiyonu M üzerinde u, v lokal
koordinatlarına göre
xi u, v
C1i v
C2i v , i 1,2,3,4
2
2v cosh uv cosh 1
(3.25)
şeklindedir.
İspat
x xuu , xv
uv cosh 1
xuv
v cosh
eşitliklerini (3.24) denklem sisteminin üçüncü denkleminde
yerine yazarsak
uv cosh 1 xuu xvv
2
u
xuv v cosh uv cosh 1 xu
v
v sinh sinh uv cosh 1
2
2
(3.26)
41
elde edilir.
Şimdi verilen kısmi türevli diferansiyel denklemde u, v fonksiyonunun
analitik ifadesi bilinmediğinden u 0 eşitliğinden yararlanarak verilen denklemi
homojen kısmi türevli denkleme indirgeyelim.
(3.26) nın her iki tarafının u -ya göre türevini alarak
v cosh uv cosh 1xuu
v cosh
u cosh
1
xvv
xvu
uv cosh 1
v uv cosh 1
cosh
uv cosh 2
2
v 2 cosh 2 uv cosh 1 xu
x
2
2 v
uv cosh 1 uv cosh 1
v 2 cosh sinh 2 sinh 2
elde edilir. Son eşitliğin u ya göre tekrar türevini alarak
uv cosh 1
2
xuu 3v cosh uv cosh 1 xu 0
sistemi elde edilir. Buradan
xuu
3v cosh
xu 0
uv cosh 1
elde edilir. Buradan
xi
c1i v
c2i v , i 1,2,3,4
2
2v cosh uv cosh 1
parametrizasyonu bulunur.
3.1 Örnek
42
Hiperbolik uzayda spacelike eksenli sabit timelike açılı yüzeyler için Gauss
eğrilikleri, ortalama eğrilikler ve normal eğrilikleri hesaplayalım.
X M , M olmak üzere
DX DX
olduğundan
Dvi 1v1 2v2 3
olarak yazılır. Buradan
D v , v
i
1
1
2 D vi , v2
3 0
olmak üzere
Dvi vi1v1 vi 2v2
olarak elde edilir.
Dolayısıyla S vi Dvi lineer dönüşümüne karşılık gelen matris
0 0
S ~
0 v22
ve
v22
v sinh 2 sinh 2
1 uv cosh
.
43
S p lineer dönüşümünün karakteristik değerleri yani yüzeyin asli eğrilikleri
K1 p 0 ve K 2 p v~22
olur. Dolayısıyla p x u0 noktasında M xu yüzeyinin Hiperbolik Gauss
eğriliği ve hiperbolik ortalama eğriliği
K h 0
ve
H h
1~
v22
2
olarak elde edilir. Öte yandan S p ve AP aynı öz vektörlere sahiptir ve
Ki p 1 Ki p
olduğundan
K1 p 1
K 2 p 1 v~22
olur. O halde p x u0 da M yüzeyinin de Sitter Gauss eğriliği ve de Sitter
ortalama eğriliği
Ke (1 v22 )
ve
Hd
2 v~22
2
olarak elde edilir.
44
p s0 noktasında s nin de Sitter normal eğriliği ve hiperbolik normal eğriliği
K n s0 0
ve
K n s 1
olur.
3.4.2. Hiperbolik Uzayda Sabit Spacelike Açılı Yüzeyler
3.3. Tanım
x : M H 3 bir spacelike immersiyon ve , M nin birim normal vektör alanı olsun.
Eğer M üzerinde ,U spacelike açısı sabit olacak şekilde bir U spacelike
doğrultusu varsa M ye H 3 de sabit spacelike açılı yüzey denir.
, M yüzeyinin H 3 de birim normal vektör alanı olmak üzere M yüzeyi spacelike
eksenli sabit spacelike açılı yüzey olsun. O zaman
arasındaki spacelike açıyı
, U spacelike vektörleri
ve U spacelike vektörü ile x timelike vektörleri
arasındaki timelike açıyıda ile gösterelim. O halde
cos ,U ve U , x sinh , 0
olur. Eğer 0 ise U olur. 0 ve M yüzeyi üzerinde U , x sabit almak
genelliği bozmaz. U IR14 olmak üzere
U U T U N
şeklinde yazılır. O halde
U U T 1 2 x
45
olarak yazabiliriz. Buradan
U U T (cos ) (sinh ) x
olur ve
U T sin 2 sinh 2
şeklinde elde edilir. Dolayısıyla
UT
e1 T
U
olmak üzere
U sin 2 sinh 2 e1 (cos ) (sinh ) x
bulunur. O halde hiperbolik uzaydaki sabit doğrultu
U h sin 2 sinh 2 e1 (cos )
(3.27)
şeklinde tek olarak bulunur.
e2 , M üzerinde e1 ’e ortogonal vektör alanı olmak üzere e1 , e2 , , x M nin her
noktasında IR14 ün ortonormal bazı olur. U h , H 3 hiperbolik uzayında sabit bir
vektör alanı olduğundan D e2U h 0 dır. Dolayısıyla
D e2U h De2U h 0 .
O halde
De2U h sin 2 sinh 2 De2 e1 (cos ) De2 0
olduğundan
46
sin 2 sinh 2 De2 e1 (cos ) De2 0
(3.28)
elde edilir. Buradan
sin 2 sinh 2 De2 e1 , cos De2 , 0
veya
v~21 v~12 0
olarak elde edilir. Böylece (3.28) denkleminden
sin 2 sinh 2 De2 e1 cos v21e1 v22e2 0
ve buradan da
De2 e1
cos
sin 2 sinh 2
v22e2
(3.29)
eşitliği elde edilir. Benzer şekilde U h , H 3 de sabit bir vektör alanı olduğundan
D e1U h 0 .
Ayrıca
De1U h De1U h e1 ,U h x
olduğundan
De1U h 0 ve De1U h sin 2 sinh 2 x
elde edilir.
De1U h sin 2 sinh 2 De1 e1 (cos ) De1
47
olmak üzere
sin 2 sinh 2 De1 e1 (cos ) De1 sin 2 sinh 2 x
(3.30)
olur. (3.30) denkleminin her iki tarafını ile iç çarpıma tabi tutarak
v~11 0
buluruz. Ayrıca (3.30) dan
D e1 e1 x
(3.31)
eşitliği elde edilir.
3.4.Teorem
H 3 Hiperbolik uzayında spacelike eksenli sabit spacelike açılı bir yüzey için D
Levi-Civita konneksiyonu aşağıdaki şekildedir.
De1 e1 0
De2 e1
De1 e2 0
De2 e2
cos
sin 2 sinh 2
cos
sin sinh 2
2
v22e2
v22e1
3.3. Sonuç
H 3 de sabit spacelike açılı sabit spacelike eksenli bir spacelike M yüzeyi verilsin.
O zaman u, v , M yüzeyi üzerinde diferansiyellenebilir bir fonksiyon olmak
üzere M yüzeyi üzerindeki metrik , : du 2 2 dv 2 olacak şekilde u ve v lokal
koordinatları vardır.
Yüzey Parametrizasyonunun Bulunması
48
Şimdi M yüzeyi üzerindeki metrik , : du 2 2 dv 2 olacak şekilde x xu, v
yüzeyinin parametrizasyonunu elde edelim.
3.5. Teorem
H 3 de sabit spacelike açılı sabit spacelike eksenli bir spacelike M yüzeyinin
x x(u, v) parametrizasyonu
x x
uu
u
xv
xuv
v
2
2
xvv u xu xv v22 x
(3.32)
kısmi türevli denklem sistemini sağlar.
3.3. Önerme
x x u, v , H 3
Hiperbolik
uzayında
sabit
açılı
spacelike
bir
yüzeyin
parametrizasyonu olsun. Eğer M üzerinde v~22 0 ise x x(u, v) hiperbolik düzlem
belirtir.
Tezin kalan kısmında v~22 0 olduğunu kabul edeceğiz.
3.4. Sonuç
, sabit açılı M yüzeyinin birim normal vektör alanı olmak üzere M yüzeyinin
parametrizasyonu
u D xu 0
v D xv v22 xv
kısmi türevli denklem sistemini sağlar.
(3.33)
49
3.4. Önerme
M sabit spacelike açılı spacelike eksenli bir yüzey ise (u, v)v22 (v) olacak
şekilde (v) diferansiyellenebilir fonksiyonu vardır.
İspat
uv vu 0 olduğundan D x v~22 xv 0 veya
u
v~22 u xv v~22 D x xv 0
(3.34)
u
olur. Diğer taraftan
D xu xv Dxu xv , D xv xu Dxv xu ve D xu xv D xv xu
olduğundan
Dxu xv Dxv xu
bulunur. Ayrıca (3.34) ve Teorem3.4 den
cos
v22 u
sin sinh
2
2
v22
2
0
(3.35)
diferansiyel denklemi elde edilir. Dolayısıyla
v~22 u u v~22 0
veya
v~22 u 0
denkleminden
(3.36)
50
v~22 (v)
(3.37)
olacak şekilde v diferansiyellenebilir fonksiyonu elde edilir.
Şimdi (3.35) kısmi türevli diferansiyel denklemin çözümünü arayalım. v~22 v~22 (u, v)
iki değişkenli bir fonksiyon olmasına rağmen (3.35) denklemi değişkenlerden sadece
birinin türevini ihtiva eden bir denklem olduğundan (3.35) denklemini adi türevli
diferansiyel denklem gibi düşünebiliriz. Dolayısıyla
v22 u
2
v22
cos
sin sinh 2
2
0
ve böylece
v22
sin 2 sinh 2
, v sin 2 sinh 2 v
u cos v
olacak şekilde bir v fonksiyonu vardır.
O halde (3.37) denkleminden
u, v
v
sin 2 sinh 2
u cos v
şeklinde elde edilir.
Özel olarak v v sin 2 sinh 2 ve v
yerine yazarsak
1
alarak
v
(3.32) denkleminde
51
xuu
x
uv
x
vv
x
v cos
xv
vu cos 1
(3.38)
u cos
v cos uv cos 1 xu
xv
uv cos 1
v sin 2 sinh 2 uv cos 1 uv cos 1 x
2
denklem sistemini elde ederiz.
Şimdi aşağıdaki teoremi verebiliriz.
3.6. Teorem
(3.38) denklem sistemini sağlayan x spacelike immersiyonu M yüzeyinin u, v lokal
koordinatlarına göre
xi u, v
C2i v
C2i v , i 1,2,3,4
2
2v cos uv cos 1
(3.39)
şeklindedir.
3.5. Sonuç
Hiperbolik uzayda spacelike eksenli sabit timelike açılı ve spacelike açılı yüzeyler
hiperbolik düzlemseldir.
3.6. Sonuç
Hiperbolik uzayda sabit spacelike eksenli timelike açılı ve spacelike açılı minimal
yüzeyler sadece düzlemdir.
3.4.Tanım
52
Eğer K1 p K 2 p ise u U veya p xu noktasına umbilical nokta denir. S p
ve Ap nin öz vektörleri aynı olduğundan bu koşul K1 p K 2 p koşuluna denktir.
Eğer M üzerindeki tüm noktalar umbilical nokta ise M xu ya total umbilical
denir [14].
3.7. Sonuç
Hiperbolik uzayda spacelike eksenli sabit timelike açılı yüzey için K1 0 ve
K 2 v~22 olduğundan bu yüzey üzerinde umbilical nokta yoktur.
3.8. Sonuç
Hiperbolik uzayda spacelike eksenli sabit spacelike açılı yüzey için K1 0 ve
K 2 v~22 olduğundan bu yüzey üzerinde umbilical nokta yoktur.
3.5. Tanım
Hiperbolik uzayda total umbilical bir yüzeye Horoküre denir [14].
3.9. Sonuç
Hiperbolik uzayda spacelike eksenli sabit timelike ve sabit spacelike açılı yüzeyler
horoküre değildir.
4. HİPERBOLİK UZAYDA SABİT AÇILI YÜZEY ÖRNEKLERİ
4.1. Hiperbolik Uzayda Sabit Açılı Teğet Yüzeyler
: I H 3 IR14 yay parametresi ile verilen regüler eğri olsun.
x s, t (cosh t ) s (sinh t ) ' s , s, t I IR
(4.1)
53
olmak üzere -eğrisi ile üretilen M teğet yüzeyini tanımlayalım. M yüzeyinin
s, t noktasındaki teğet düzlemi xs , xt ile üretilir.
xs (cosh t ) ' s (sinh t ) '' s
xt (sinh t ) s (cosh t ) ' s
olmak üzere xs , xt tabanına göre M yüzeyinin birinci temel formunun katsayıları
E 1 K h2 sinh 2 t , F 1, G 1
şeklindedir. O halde EG F 2 0 olduğundan M yüzeyi spacelike bir yüzeydir. O
halde
s , t s , n s , e s , IR
4
1
ün pseudo ortonormal çatısı olmak üzere Frenet-
Serret tip formüllerden yararlanırsak
x s, t (cosh t ) s (sinh t )t s
xs s, t (sinh t ) s (cosh t )t s K h s (sinh t )n s
xt s, t (sinh t ) s (cosh t )t s
(4.2)
olarak elde edilir. Öte yandan yüzeyimizin normal vektörü
e
x xs xt
' ' '
x xs xt
Kh
şeklindedir.
4.1.1. Spacelike Eksenli Sabit Timelike Açılı Teğet Yüzeyler
Burada özel olarak hiperbolik uzayda spacelike eksenli sabit timelike açılı teğet
yüzeyleri ele alacağız. Sabit spacelike eksenli sabit timelike açılı bir yüzeyin U h
doğrultusu
Uh
sinh 2 sinh 2 e1 (cosh )
54
idi. O halde
e1
xs
, xs 1 (sinh 2 t ) Kh2
xs
olmak üzere spacelike eksenli sabit timelike açılı teğet yüzeyin doğrultusu
U h (sinh t
sinh 2 sinh 2
1 sinh 2 tK h2
( K h s sinh t
) s (cosh t
sinh sinh
2
2
1 sinh 2 tK h2
sinh 2 sinh 2
1 sinh 2 tK h2
)t s
(4.3)
)n s (cosh )e s
şeklinde elde edilir.
4.1. Teorem
: I IR H 3 hiperbolik doğrudan farklı bir eğri olsun. Eğer (4.1) de verilen teğet
yüzeyi sabit spacelike eksenli sabit timelike açılı yüzey ise s eğrisi hiperbolik
düzlemseldir.
İspat
: I H 3 hiperbolik doğrudan farklı bir eğri olmak üzere xs, t teğet yüzeyi sabit
spacelike eksenli timelike açılı yüzey olsun. O halde
x xs xt
es
x xs xt
(4.4)
olduğundan
,U h e s ,U h cosh
(4.5)
olacak şekilde 0 reel sayısı vardır. Buradan (4.5) eşitliğinin her iki tarafının s ye
göre türevini alırsak
55
e' s ,U h 0
olur. Ayrıca Frenet denklem sisteminden
n s ,U h 0 veya h s 0
(4.6)
olur. Eğer (4.6) denkleminde ns ,U h 0 ise (4.3) denkleminin her iki tarafının
ns ile iç çarpımını alırsak
n s ,U h K h s sinh t
sinh 2 sinh 2
1 K h2 sinh 2 t
0
olduğundan
K h s sinh t 0, K h s 0
ve buradan da
sinh t 0
olacağından
t 0
olur ki bu da teğet yüzeyin tanımıyla çelişir. O halde (4.6) denkleminden
h s 0
olur. Bu ise -eğrisinin hiperbolik düzlemsel bir eğri olduğunu gösterir.
4.1. Örnek
: I H 3 IR14 , (s) ( 1 s 2 , s cos(arcsin h(s)), s sin(arcsin h(s)),0)
şeklinde
yay uzunluğu parametresi ile verilmiş regüler bir eğri olsun. eğrisi yardımıyla
56
üretilen x( s, t ) teğet yüzeyinin Stereografik izdüşüm altındaki görüntüsü aşağıdaki
gibidir.
Şekil 4.1. Hiperbolik uzayda spacelike eksenli sabit timelike açılı teğet yüzey
4.1.2 Spacelike Eksenli Sabit Spacelike Açılı Teğet Yüzeyler
Bu bölümde hiperbolik uzayda spacelike eksenli sabit spacelike açılı teğet yüzeyleri
çalışacağız. Sabit spacelike eksenli sabit spacelike açılı bir yüzeyin U h doğrultusu
U h sin 2 sinh 2 e1 (cos )
idi. O halde
e1
xs
, xs 1 K h2 sinh 2 t
xs
ve e olmak üzere spacelike eksenli sabit spacelike açılı teğet yüzeyin doğrultusu
57
U h (sinh t
sin 2 sinh 2
sin 2 sinh 2
)
s
(cosh
t
)t s
1 K h2 sinh 2 t
1 K h2 sinh 2 t
sin 2 sinh 2
( K h s sinh t
)n s (cos )e s
1 K h2 sinh 2 t
(4.7)
şeklinde elde edilir.
4.2. Teorem
: I IR H 3 hiperbolik doğrudan farklı bir eğri olsun. Eğer (4.1) de verilen teğet
yüzeyi sabit spacelike eksenli sabit spacelike açılı yüzey ise s eğrisi hiperbolik
düzlemseldir.
4.2. Örnek
: I H 3 IR14 , ( s) ( 2 cosh(
s
s
), 2 sinh( ),1, 0) şeklinde yay uzunluğu
2
2
parametresi ile verilmiş regüler bir eğri olsun. eğrisi yardımıyla üretilen
x( s, t ) teğet yüzeyinin Stereografik izdüşüm altındaki görüntüsü aşağıdaki gibidir.
58
Şekil 4.2. Hiperbolik uzayda spacelike eksenli sabit spacelike açılı teğet yüzey
59
5. DE SİTTER UZAYINDA EĞRİLER VE YÜZEYLER
Bu bölümde S13 uzayında eğriler ve yüzeylerin diferansiyel geometrisi özetlenmiştir
[22].
v IR14 ve c IR için HP(v, c) {x IR14 | x, v c}
şeklinde v pseudo normalli hiperdüzlemleri tanımlayalım.
5.1. Tanım
a) v timelike ise HP(v, c) bir spacelike hiperdüzlemdir.
b) v spacelike ise HP(v, c) bir timelike hiperdüzlemdir.
c) v lightlike ise HP(v, c) bir lightlike hiperdüzlemdir [22].
5.2. Tanım
U IR 2 bir açık küme olmak üzere x : U S13 bir embedding ve M x U olsun.
p M için Tp M spacelike (timelike) ise M ’ ye spacelike (timelike) hiperyüzey
denir [22].
5.3. Tanım
Pd HP(v, c) S13 kümesine S13 ün bir düzlemi denir. Eğer HP(v, c) sırasıyla
timelike, spacelike veya lightlike ise Pd ye S13 de sırasıyla timelike, spacelike veya
lightlike düzlem denir.
60
S13 ün timelike, spacelike veya lightlike düzlemlerine sırasıyla hiperbolik
hiperkuadrik, eliptik hiperkuadrik veya de Sitter hiperhoroküre denir [22].
Şimdi [22] de verilen S13 ün eğrilerinin extrinsic diferansiyel geometrisini
özetleyelim. : I S13 birim hızlı regüler spacelike ( veya timelike) bir eğri ve t ( s)
nın ( s) noktasındaki teğet vektörü olmak üzere nın normal vektörü
n( s )
t ' ( s) ( s)
t '( s) ( s)
(veya n( s)
)
|| t '( s) ( s) ||
|| t ' ( s) ( s) ||
olarak verilir.
nın binormal vektörü de e(s) (s) t (s) n(s) şeklinde
tanımlanır. Buradan elde edilen { (s), t (s), n(s), e(s)} çatısına -boyunca IR14 ün
pseudo ortogonal çatısı denir.
: I S13 eğrisinin spacelike (veya timelike) olması halinde
d (s) || t '(s) (s) || ( veya d (s) || t '(s) (s) || )
değerine nın de Sitter eğriliği
d ( s)
det( , ', '', ''')
d2 ( s)
değerinede
nın de Sitter
burulması denir. Ayrıca
{ (s), t (s), n(s), e(s)} çatısından elde edilen
'( s) t ( s)
t '( s ) ( s )n( s ) ( s )
d
n '( s ) d ( s )t ( s ) d ( s )e( s )
e '( s ) d ( s )n( s )
eşitliklerine spacelike eğrisinin Frenet- Serret formülleri denir.
spacelike eğrisinin
61
Benzer şekilde timelike eğrisinin { (s), t (s), n(s), e(s)} çatısından elde edilen
'( s) t ( s)
t '( s ) ( s )n( s ) ( s )
d
n '( s ) d ( s )t ( s ) d ( s )e( s )
e '( s ) d ( s )n( s )
eşitliklerine timelike eğrisinin Frenet-Serret formülleri denir.
d ( s) nin tanımından
t ' ( s), t ' (s) 1 olması d (s) 0 olmasına denk olduğu
kolaylıkla görülür.
Şimdi de S13 ün yüzeylerinin extrinsic diferansiyel geometrisini özetliyelim.
U IR 2 nin bir açık alt kümesi olmak üzere x : U S13 bir regüler yüzeyin
parametrizasyonu olsun. O zaman xu1 x1 , xu2 x2 , x ile tanımlanan yüzeyin teğet
düzleminin bazı olmak üzere
e(u )
x(u ) x1 (u ) x2 (u )
|| x(u ) x1 (u ) x2 (u ) ||
vektörüne S13 de yüzeyin birim normali denir.
E : U IR 2 S13 , E (u) e(u)
şeklindeki dönüşüme x parametrizasyonu ile verilen yüzeyin de Sitter Gauss
dönüşümü denir.
Ap : dE(u0 ) : TpM TpM
tanımlı lineer dönüşüme p x(u0 ) noktasında M x(u) nun de Sitter şekil
operatörü denir. K1 ( p) ve K 2 ( p) , p x(u0 ) noktasında M x(u) yüzeyinin asli
de Sitter eğrilikleri olmak üzere ;
62
Ke det Ap K1 ( p) K2 ( p)
değerine M x(u) yüzeyinin extrinsic de Sitter Gauss eğriliği denir.
Benzer şekilde
K ( p) K 2 ( p)
1
H d izAp 1
2
2
değerine de M x(u) yüzeyinin de Sitter ortalama eğriliği denir.
5.1. De Sitter Uzayında Sabit Açılı Yüzeyler
Bu bölümde de Sitter uzayında sabit açılı yüzeyler incelenecektir. Sabit açılı
yüzeyler de Sitter uzayındaki
spacelike ve timelike yüzeyler için ayrı ayrı ele
alınacaktır.
5.1.1. Sabit Açılı Spacelike Yüzeyler
U IR 2 bir açık küme, x : U S13 embedding ve M x(U ), S13 uzayında spacelike
bir yüzey olsun. ( M ) , M üzerindeki teğet vektör alanlarının modülü olsun. D, D
ve D ile sırasıyla IR14 , S13 ve M nin Levi-Civita konneksiyonlarını belirtelim. O
zaman V , M yüzeyinin IR14 deki ikinci temel formunu, T ve simgeleri de D X Y
nin teğet ve normal bileşenlerini göstermek üzere X , Y (M ) için
DX Y ( D X Y )T ,
V : (M ) ( M ) ( M ),V ( X , Y ) ( D X Y )
ve
D X Y D X Y X , Y x, D X Y DX Y V ( X , Y ) .
(5.1)
63
(5.1) denklemlerinin birincisine M nin S13 deki, ikincisine de M nin IR14 deki
Gauss denklemi denir.
, M nin S13 deki normal vektör alanı olmak üzere A (X ) ve Bx (X ) dönüşümlerine
D X ve D X x teğet bileşenlerine karşılık gelen M nin S13 ve IR14 deki
Weingarten dönüşümleri denir. Buna göre
A ( X ) D X D X x, x
Bx ( X ) D X x D X x, .
(5.2)
A (X ) ve Bx (X ) operatörlerinin her bir p M için lineer ve self adjoint olduğu
[11] den görülebilir.
~
A (X ) ve Bx ( X ) in Ki (P) ve Ki ( P) öz değerlerine M yüzeyinin sırasıyla S13 ve
IR14 deki asli eğrilikleri denir.
Ayrıca X ,Y (M ) için
~
A ( X ),Y V ( X , Y ),
ve
~
Bx ( X ),Y V ( X , Y ), x .
V ( X , Y ), M nin IR14 deki ikinci temel formu olduğundan
V ( X , Y ) 1 2 x
olacak şekilde yazılabilir. Buradan da
V ( X , Y ) A ( X ), Y Bx ( X ), Y x
(5.3)
64
bulunur. {v1, v2},TpM teğet düzleminin bir bazı olmak üzere bundan sonra
~
aij V (vi , v j ), A (vi ), v j
(5.4)
~
bij V (vi , v j ), x Bx (vi ), v j
(5.5)
kısa gösterimini kullanacağız. O halde
Dvi v j Dvi v j aij vi , v j x
(5.6)
olarak yazılır. {v1 , v2 } bazının ortonormal olması halinde de
Dvi v j Dvi v j aij
(5.7)
Gauss denklemlerini elde ederiz. Benzer şekilde Weingarten denklemleri de
Dvi ai1v1 ai 2v2
(5.8)
ve
Dvi x bi1v1 bi 2v2
(5.9)
şeklindedir.
Sabit Timelike Açılı Spacelike Eksenli Spacelike Yüzeyler
5.4. Tanım
U IR 2 bir açık küme, x : U S13 embedding ve M x(U ), S13 uzayında spacelike
bir yüzey olsun. , M üzerinde timelike birim normal vektör alanı olmak üzere eğer
M üzerinde ( ,W ) timelike açısı sabit olacak şekilde bir
doğrultusu varsa M ye S13 de sabit timelike açılı yüzey denir.
W sabit spacelike
65
, M yüzeyinin S13 de birim normal vektör alanı olmak üzere M spacelike eksenli
sabit timelike açılı spacelike yüzey olsun. O zaman timelike vektörü ile W
spacelike vektörü arasındaki timelike açıyı ile gösterelim. O halde
,W sinh( )
(5.10)
olur. 0 almak genelliği bozmaz.
5.1. Teorem
x,W IR14 iki spacelike vektör olsun. W , x spacelike vektörleri arasındaki açı
olmak üzere
i) spacelike iki vektör arasındaki spacelike açı ise W , x cos olmak üzere
W sin 2 sinh 2 e1 (sinh ) (cos ) x
ve de Sitter uzayındaki sabit doğrultu
Wd sin 2 sinh 2 e1 (sinh )
(5.11)
şeklindedir.
ii) spacelike iki vektör arasındaki timelike açı ise W , x cosh olmak üzere
W
cosh 2 cosh 2 e1 (sinh ) (cosh ) x
ve de Sitter uzayındaki sabit doğrultu
Wd
cosh 2 cosh 2 e1 (sinh )
şeklindedir.
(5.12)
66
İspat
i) W IR14 olmak üzere
W WT W N
şeklinde yazılır. O halde
W W T 1 2 x
olarak yazılabilir. Buradan
W W T (sinh ) (cos ) x
olur ve
|| W T || sin 2 sinh 2 0
şeklinde elde edilir. Dolayısıyla
e1
WT
|| W T ||
olmak üzere
W sin 2 sinh 2 e1 (sinh ) (cos ) x
olur. O halde de Sitter uzayındaki sabit doğrultu
Wd sin 2 sinh 2 e1 sinh
şeklinde tek olarak bulunur.
ii) Birinci şıkka benzer şekilde kolaylıkla gösterilebilir.
67
e2 , M üzerinde e1 ’e dik vektör alanı olmak üzere {e1 , e2 , , x}, M nin her noktasında
IR14 ün ortonormal bazı olur. Wd , S13 de Sitter uzayında sabit bir vektör alanı
olduğundan De2 Wd 0 dır. Dolayısıyla
De2Wd De2Wd 0 .
O halde
De2Wd sin 2 sinh 2 De2 e1 (sinh ) De2 0
olduğundan
sin 2 sinh 2 De2 e1 (sinh ) De2 0
(5.13)
elde edilir. Buradan
a21 sin 2 sinh 2 0
veya
a21 a12 0
(5.14)
olarak elde edilir. Dolayısıyla (5.13) denkleminden
De2 e1
sinh
sin sinh 2
2
a22e2
(5.15)
eşitliği elde edilir. Benzer şekilde Wd , S13 de sabit bir vektör alanı olduğundan
De1Wd 0 dır. Ayrıca
De1Wd De1Wd e1 ,Wd x
olduğundan
68
De1Wd 0 ve De1Wd sin 2 sinh 2 x
(5.16)
elde edilir. Öte yandan
De1Wd sin 2 sinh 2 De1 e1 (sinh ) De1
ve (5.16) eşitliğinden
sin 2 sinh 2 De1 e1 (sinh ) De1 sin 2 sinh 2 x
(5.17)
olur. (5.17) eşitliğinin her iki tarafını ile iç çarpıma tabi tutarsak
a11 0
(5.18)
bulunur. Ayrıca (5.17) den
De1 e1 x
(5.19)
eşitliği elde edilir.
5.2. Teorem
S13 de Sitter uzayında sabit timelike açılı spacelike eksenli spacelike yüzey için D
Levi-Civita konneksiyonu aşağıdaki şekildedir.
De1 e1 0
De2 e1
De1 e2 0
De2 e2
sinh
sin 2 sinh 2
sinh
sin 2 sinh 2
İspat
De1 e1 De1 e1 A (e1 ), e1 e1 , e1 x
a22e2
a22e1
69
olduğundan
De1 e1 0
elde edilir.
e2 , e1 0
olduğundan
De1 e2 , e1 0
olur. e2 , e2 1 olduğundan da
De1 e2 , e2 0 olacağından De2 e2 0 elde edilir.
Diğer taraftan
De2 e1 De2 e1 A (e2 ), e1 e2 , e1 x
olduğundan
De2 e1 De2 e1
olur. O halde (5.15) den
sinh
De2 e1
sin sinh 2
2
a22 e2
olarak elde edilir. Son olarak De2 e2
De2 e2 1e1 2e2
olacak şekilde yazılabilir. Buradan
1 De e2 , e1 , 2 De e2 , e2 0
2
2
sinh
sin 2 sinh 2
a22 e1 olduğunu gösterelim :
70
olur. O halde
De2 e2 De2 e2 , e1 e1
(5.20)
olur ve e2 , e1 0 eşitliği ve (5.15) kullanılarak
De2 e2 , e1
sinh
sin 2 sinh 2
a22
bulunur. Bu eşitlik (5.20) de yerine yazılarak
De2 e2
sinh
sin 2 sinh 2
a22 e1
elde edilir.
5.1. Sonuç
S13 de Sitter uzayında sabit timelike açılı spacelike eksenli spacelike yüzey verilsin.
O zaman (u, v) , M üzerinde diferansiyellenebilir fonksiyon olmak üzere
M yüzeyi üzerinde metrik
, : du 2 2dv 2 olacak şekilde u
ve v lokal
koordinatları vardır.
Yüzeyin Parametrizasyonunun Bulunması
Şimdi M yüzeyi üzerindeki metrik , : du 2 2dv 2 olacak şekilde x x(u, v)
yüzeyinin parametrizasyonunu elde edelim.
5.3. Teorem
S13 de Sitter uzayında sabit timelike açılı spacelike eksenli spacelike yüzeyin
x x(u, v) parametrizasyonu
71
x x
uu
u
xv
xuv
v
xv 2 a22 2 x
xvv u xu
kısmi türevli denklem sistemini sağlar.
İspat
D xu xu Dxu xu A ( xu ), xu xu , xu x
ve
xuu D xu xu
olduğundan
xuu x
bulunur.
xuv D xv xu ve D xv xu Dxv xu
olduğundan
xuv Dxv xu
olur. Ayrıca
De2 e1
sinh
sin 2 sinh 2
olduğundan da
a22 e2
(5.21)
72
xuv
sinh
sin 2 sinh 2
(5.22)
a22 xv
bulunur. (5.22) eşitliğini xv ile iç çarpıma tabi tutarak
xuv , xv
sinh
sin sinh
2
2
a22 2
ve
xv , xv 2
eşitliğinden
sinh
a22
sin 2 sinh 2
u
(5.23)
bulunur. Bulduğumuz bu eşitliği (5.22) de yerine yazarak
xuv
u
x
v
elde edilir.
D xv /||xv || xv /|| xv ||
v
3
xv
1
2
xvv
ve
x x
xv
x
D xv /|| xv || xv /|| xv || Dxv /|| xv || xv /|| xv || A v , v
, v x
|| xv || || xv ||
|| xv || || xv ||
olduğundan
D xv /|| xv || xv /|| xv ||
sinh
sin 2 sinh 2
a22 xu a22 x
73
bulunur. Böylece
xvv u xu
v
xv 2 a22 2 x
olur.
5.2. Sonuç
, S13 de Sitter uzayında sabit timelike açılı spacelike eksenli M yüzeyinin birim
normal vektör alanı olmak üzere M yüzeyinin parametrizasyonu
u D xu 0
v D xv a22 xv
kısmi türevli denklem sistemini sağlar.
İspat
u D x a11 xu a12 xv
u
olduğundan
u 0 .
Öte yandan
v D x
v
ve
D xv a21 xu a22 xv
olduğundan
(5.24)
74
v a22 xv
bulunur.
5.1. Önerme
M , S13 de Sitter uzayında sabit timelike açılı spacelike eksenli bir yüzey ise
a22 (v) olacak şekilde (v) diferansiyellenebilir fonksiyonu vardır.
İspat
uv vu 0 olduğundan D x (a22 xv ) 0 veya
u
(a22 )u xv a22 D xu xv 0
olur. Dolayısıyla Teorem5.1 den
(a22 )u
sinh
sin sinh
2
2
(a22 ) 2 0
(5.25)
diferansiyel denklemi elde edilir. Böylece
(a22 )u
u
a 0
22
(5.26)
veya
( a22 )u 0
(5.27)
denkleminden
a22 (v)
olacak şekilde v -ye bağlı (v) diferansiyellenebilir fonksiyonu bulunur.
5.2. Önerme
(5.28)
75
x x(u, v), S13 de Sitter uzayında sabit timelike açılı spacelike eksenli spacelike bir
yüzeyin parametrizasyonu olsun. Eğer M üzerinde a22 0 ise x x(u, v) de Sitter
uzayında bir düzlem belirtir.
İspat
M üzerinde a22 0 olsun. , sabit açılı M yüzeyinin birim normal vektör alanı
olmak üzere M yüzeyinin parametrizasyonu (5.24) kısmi türevli denklem sistemini
sağladığından
u 0
v 0
kısmi türevli denklem sistemi sağlanır. Buradan da , M boyunca sabit bir vektör
olmalıdır. Dolayısıyla M yüzeyinin normali sabit olduğundan x x(u, v) düzlem
belirtir.
Tezin kalan kısmında a22 0 olduğunu kabul edeceğiz. (5.25) de verilen
(a22 )u
sinh
sin sinh
2
2
(a22 ) 2 0
diferansiyel denklemini çözersek
a22
sin 2 sinh 2
, (v) sin 2 sinh 2 (v)
u sinh (v)
olacak şekilde bir (v) fonksiyonu vardır.
(5.28) denkleminden
(u, v)
(v )
sin sinh 2
2
(u sinh (v))
(5.29)
76
olarak elde edilir.
Özel olarak (v) ev sin 2 sinh 2 , (v)
1
alarak (5.21) denkleminde yerine
ev
yazarak
xuu x
v
x e sinh x
uv 1 uev sinh v
v
xvv ev sinh (uev sinh 1) xu ue sinh xv
uev sinh 1
ev sin 2 sinh 2 (uev sinh 1) (uev sinh 1) 2 x
(5.30)
denklem sistemini elde ederiz.
Şimdi aşağıdaki teoremi verebiliriz.
5.4. Teorem
(5.30) denklem sistemini sağlayan
x
immersiyonu
M nin
u ve
v
lokal
koordinatlarına göre
xi (u, v)
d1i (v)
d 2i (v), i 1, 2,3, 4
2e sinh (uev sinh 1) 2
v
şeklindedir.
5.1 Örnek
de Sitter uzayında sabit timelike açılı spacelike eksenli spacelike M yüzeyi verilsin.
X (M ), (M ) olmak üzere
D x D x
olduğundan
77
Dvi 1v1 2v2 3
olarak yazılır. Buradan
1 Dv , v1 , 2 Dv , v2 , 3 0
i
i
olmak üzere
Dvi ai1v1 ai 2v2
olur. Dolayısıyla A (vi ) lineer dönüşümüne karşılık gelen matris
0 0
A
0 a22
dir. A lineer dönüşümünün karakteristik değerleri yani yüzeyin asli eğrilikleri
K1 0, K2 a22
olur. Dolayısıyla p x(u0 ) noktasında M x(u) yüzeyinin de Sitter Gauss eğriliği
ve de Sitter ortalama eğriliği
Ke 0
ve
Hd
1
a22
2
olarak elde edilir.
Sabit Timelike Açılı Timelike Eksenli Spacelike Yüzeyler
5.5 Tanım
78
U IR 2 bir açık küme, x : U S13 embedding ve M x(U ), S13 uzayında spacelike
yüzey olsun. , M üzerinde timelike birim normal vektör alanı olmak üzere eğer
( ,W ) timelike açısı sabit olacak şekilde bir W sabit timelike doğrultusu varsa M
ye S13 de sabit timelike açılı timelike eksenli spacelike yüzey denir.
, M yüzeyinin S13 de birim normal vektör alanı olmak üzere M yüzeyi timelike
eksenli, sabit timelike açılı spacelike yüzey olsun. timelike vektörü ile W timelike
vektörü arasındaki timelike açıyı , W timelike vektörü ile x spacelike vektörü
arasındaki timelike açıyı da ile gösterelim. O halde
,W cosh , W , x sinh
olur. Eğer 0 ise W olur. 0 ve M üzerinde
genelliği bozmaz. W IR14 olmak üzere
W WT W N
şeklinde yazılır. O halde
W W T 1 2 x
olarak yazılabilir. Buradan
W W T (cosh ) (sinh ) x
olur ve
|| W T ||
sinh 2 sinh 2 0
olarak elde edilir. Dolayısıyla
W , x sabit almak
79
WT
e1
|| W T ||
olmak üzere
W
sinh 2 sinh 2 e1 (cosh ) (sinh ) x
bulunur. O halde de Sitter uzayındaki sabit doğrultu
Wd
sinh 2 sinh 2 e1 (cosh )
(5.31)
şeklinde tek olarak bulunur.
e2 , M üzerinde e1 ’e dik vektör alanı olmak üzere {e1 , e2 , , x}, M nin her noktasında
IR14 ün ortonormal bazı olur. Wd , S13 de Sitter uzayında sabit bir vektör alanı
olduğundan De2 Wd 0 dır. Dolayısıyla
De2Wd De2Wd 0 .
O halde
De2Wd
sinh 2 sinh 2 De2 e1 (cosh ) De2 0
elde edilir. Buradan
sinh 2 sinh 2 a21 0
veya
a21 a12 0
olarak elde edilir. (5.32) denkleminden
(5.32)
80
De2 e1
cosh
sinh 2 sinh 2
a22e2
(5.33)
eşitliği elde edilir. Benzer şekilde Wd , S13 de sabit bir vektör alanı olduğundan
De1Wd 0 dır. Ayrıca
De1Wd De1Wd e1 ,Wd x
olduğundan
De1Wd 0 ve De1Wd sinh 2 sinh 2 x
(5.34)
elde edilir. Öte yandan
De1Wd
sinh 2 sinh 2 De1 e1 (cosh ) De1
ve (5.34) denkleminden
sinh 2 sinh 2 De1 e1 (cosh ) De1 sinh 2 sinh 2
(5.35)
olur. (5.35) denkleminin her iki tarafını vektörü ile iç çarpıma tabi tutarak
a11 0
bulunur. Ayrıca (5.35) den
De1 e1 x
eşitliği elde edilir.
5.5. Teorem
(5.36)
81
S13 de Sitter uzayında sabit timelike açılı timelike eksenli spacelike yüzey için D
Levi-Civita konneksiyonu aşağıdaki gibidir.
De1 e1 0
De2 e1
De1 e2 0
De2 e2
sinh
sinh 2 sinh 2
sinh
sinh 2 sinh 2
a22e2
a22e1
5.3. Sonuç
S13 de sabit timelike açılı timelike eksenli spacelike bir M yüzeyi verilsin. O halde
(u, v), M üzerinde diferansiyellenebilir bir fonksiyon olmak üzere M yüzeyi
üzerindeki metrik
, : du 2 2 dv2 olacak şekilde u ve v lokal koordinatları
vardır.
Yüzey Parametrizasyonunun Bulunması
Şimdi M yüzeyi üzerindeki metrik , : du 2 2dv 2 olacak şekilde x x(u, v)
yüzeyinin parametrizasyonunu elde edelim.
5.6. Teorem
S13 de Sitter uzayında sabit timelike açılı timelike eksenli spacelike bir M yüzeyinin
x x(u, v) parametrizasyonu
x x
uu
u
x
xuv
v
v
2
2
xvv u xu xv a22 x
(5.37)
82
kısmi türevli denklem sistemini sağlar.
5.4. Sonuç
, S13 de Sitter uzayında sabit timelike açılı timelike eksenli spacelike M yüzeyinin
birim normal vektör alanı olmak üzere M yüzeyinin parametrizasyonu
u D xu 0
v D xv a22 xv
(5.38)
kısmi türevli denklem sistemini sağlar.
5.3. Önerme
M , S13 de Sitter uzayında sabit timelike açılı timelike eksenli spacelike bir yüzey ise
a22 (v) olacak şekilde v -ye bağlı (v) diferansiyellenebilir fonksiyonu
vardır.
İspat
uv vu 0 olduğundan
D xu (a22 xv ) 0
veya
(a22 )u xv a22 D xu xv 0
(5.39)
olur. Dolayısıyla (5.39) ve Teorem5.6 dan
(a22 )u
cosh
sinh sinh
2
2
(a22 )2 0
diferansiyel denklemi elde edilir. Dolayısıyla
(5.40)
83
(a22 )u
u
a 0
22
(5.41)
veya
( a22 )u 0
(5.42)
denkleminden
a22 (v)
(5.43)
olacak şekilde v -ye bağlı (v) diferansiyellenebilir fonksiyonu vardır.
5.4. Önerme
x x(u, v) , S13 de Sitter uzayında sabit timelike açılı timelike eksenli spacelike bir
yüzeyin parametrizasyonu olsun. Eğer M üzerinde a22 0 ise x x(u, v) de Sitter
uzayın bir düzlemini tanımlar.
Tezin bundan sonraki kısmında a22 0 olduğunu kabul edeceğiz. (5.40) diferansiyel
denklemini çözersek
a22
sinh 2 sinh 2
u cosh (v)
, (v) sinh 2 sinh 2 (v)
(5.44)
olacak şekilde bir (v) fonksiyonu vardır.
(5.43) denkleminden
(u, v)
elde ederiz.
(v )
sinh 2 sinh 2
(u cosh (v))
(5.45)
84
Özel olarak (v) ev sinh 2 sinh 2
ve (v) ev alarak (5.37) denklem
sisteminin çözümünü aşağıdaki teoremdeki gibi ifade edebiliriz.
5.6. Teorem
(5.37) denklem sistemini sağlayan
x
immersiyonu
M nin
u ve
v
lokal
koordinatlarına göre
xi (u, v)
d1i (v)
d 2i (v), i 1, 2,3, 4
e cosh (uev cosh 1)2
v
şeklindedir.
5.1.2. Sabit Açılı Timelike Yüzeyler
U IR 2 bir açık küme , x : U S13 embedding ve M x(U ), S13 uzayında timelike
yüzey olsun. (M ) , M üzerindeki teğet vektör alanlarının modülü olsun. D, D ve
D ile sırasıyla IR14 , S13 ve M nin Levi-Civita konneksiyonlarını belirtelim. O zaman
~
V , M nin IR14 deki ikinci temel formunu, T ve simgeleri de D X Y nin teğet ve
normal bileşenlerini göstermek üzere X ,Y (M ) için
DX Y ( D X Y )T ,
~
V : (M ) (M ) (M ) , V ( X , Y ) ( D X Y )
ve
D X Y D X Y X , Y x , D X Y DX Y V ( X , Y ) .
(5.46)
(5.46) denklemlerinin birincisine M nin S13 deki, ikincisine de M nin IR14 deki
Gauss denklemi denir.
85
, M nin S13 deki normal vektör alanı olmak üzere A (X ) ve Bx (X ) dönüşümlerine
D X ve D X x teğet bileşinlerine karşılık gelen M nin S13 ve IR14 deki
Weingarten dönüşümleri denir. Buna göre
A ( X ) D X D X x, x
Bx ( X ) D X x D X x,
(5.47)
şeklindedir. A (X ) ve Bx (X ) in her bir p M için lineer ve self adjoint operatörler
olduğu [11] den görülebilir.
A (X ) ve Bx ( X ) in Ki (P) ve Ki ( P) öz değerlerine M yüzeyinin sırasıyla S13 ve
IR14 deki asli eğrilikleri denir.
Ayrıca X ,Y (M ) için
~
A ( X ),Y V ( X , Y ),
ve
~
Bx ( X ),Y V ( X , Y ), x .
V ( X , Y ) , M nin IR14 deki ikinci temel formu olduğundan
V ( X , Y ) 1 2 x
şekilde yazılabilir. Buradan da
~
V ( X , Y ) A ( X ),Y Bx ( X ),Y x
bulunur. {v1 , v2 }, TpM teğet düzleminin bir bazı olmak üzere bundan sonra
86
~
aij V (vi , v j ), A (vi ), v j
~
bij V (vi , v j ), x Bx (vi ), v j
kısa gösterimini kullanacağız. O halde
Dvi v j Dvi v j A (vi ), v j vi , v j x
(5.48)
olarak yazılır. {v1 , v2 } tabanının ortonormal olması halinde de
Dvi v j Dvi v j aij
(5.49)
Gauss denklemini elde ederiz. Benzer şekilde weingarten denklemleri de
Dvi ai1v1 ai 2v2
(5.50)
Dvi x bi1v1 bi 2v2
(5.51)
şeklindedir.
Sabit Timelike Açılı Spacelike Eksenli Timelike Yüzeyler
5.6. Tanım
U IR 2 bir açık küme, x : U S13 embedding ve M x(U ), S13 uzayında timelike
yüzey olsun. , M üzerinde spacelike birim normal vektör alanı olmak üzere eğer
M üzerinde ( ,W ) timelike açısı sabit olacak şekilde bir W sabit spacelike
doğrultusu varsa M ye S13 de sabit timelike açılı spacelike eksenli timelike yüzey
denir.
87
, M yüzeyinin S13 de birim normal vektörü olmak üzere M spacelike eksenli sabit
timelike açılı timelike yüzey olsun. O zaman , W spacelike vektörleri arasındaki
timelike açıyı ile gösterirsek
,W cosh
olur. Eğer 0 ise W dir. 0 almak genelliği bozmaz.
5.7. Teorem
x,W IR14 iki spacelike vektör olsun. W , x spacelike vektörleri arasındaki açı
olmak üzere
i) spacelike iki vektör arasındaki spacelike açı ise W , x cos olmak üzere
W
sin 2 cosh 2 e1 (cosh ) (cos ) x
ve de Sitter uzayındaki sabit doğrultu
Wd
sin 2 cosh 2 e1 (cosh )
(5.52)
şeklindedir.
ii) spacelike iki vektör arasındaki timelike açı ise W , x cosh olmak üzere
W cosh 2 sinh 2 e1 (cosh ) (cosh ) x
ve de Sitter uzayındaki sabit doğrultu
Wd cosh 2 sinh 2 e1 (cosh )
şeklindedir.
(5.53)
88
WT
, M üzerinde birim teğet vektör alanı, e2 , M üzerinde e1 ’e dik vektör
e1
|| W T ||
alanı olmak üzere {e1 , e2 , , x}, M nin her noktasında IR14 ün ortonormal bazı olur.
Wd , S13 de Sitter uzayında sabit bir vektör alanı olduğundan De2Wd 0 dır.
Dolayısıyla
De2Wd De2Wd 0
olur. O halde
De2Wd
sin 2 cosh 2 De2 e1 (cosh ) De2 0
olduğundan
sin 2 cosh 2 De2 e1 (cosh ) De2 0
(5.54)
elde edilir. Bu eşitliğin her iki tarafının vektörü ile iç çarpımı alınırsa
sin 2 cosh 2 a21 0
ve buradan da sin 2 cosh 2 0 olmak üzere
a21 a12 0
elde edilir. Dolayısıyla (5.54) denkleminden
De2 e1
cosh
sin 2 cosh 2
a22e2
(5.55)
eşitliği elde edilir. Benzer şekilde Wd , S13 de Sitter uzayında sabit bir vektör alanı
olduğundan De1Wd 0 dır. Ayrıca
89
De1Wd De1Wd e1 ,Wd x
olduğundan
De1Wd 0 ve De1Wd
sin 2 cosh 2 x
(5.56)
elde edilir.
De1Wd
sin 2 cosh 2 De1 e1 (cosh ) De1
ve (5.56) eşitliğinden
sin 2 cosh 2 De1 e1 (cosh ) De1
sin 2 cosh 2 x
(5.57)
elde edilir. (5.57) denkleminin her iki tarafını ile iç çarpıma tabi tutarsak
a11 0
bulunur. Ayrıca (5.57) den
De1 e1 x
(5.58)
eşitliği elde edilir.
5.8. Teorem
S13 de Sitter uzayında sabit timelike açılı sabit spacelike eksenli timelike bir yüzey
için D Levi-Civita konneksiyonu aşağıdaki şekildedir.
De1 e1 0
De2 e1
cosh
sin 2 cosh 2
a22e2
90
De1 e2 0
De2 e2
cosh
sin 2 cosh 2
a22e1
5.5. Sonuç
S13 de Sitter uzayında sabit timelike açılı spacelike eksenli timelike bir M yüzeyi
verilsin. O zaman (u, v), M yüzeyi üzerinde diferansiyellenebilir bir fonksiyon
olmak üzere M yüzeyi üzerindeki metrik , : du 2 2dv2 olacak şekilde u ve v
lokal koordinatları vardır.
Yüzey Parametrizasyonunun Bulunması
Şimdi yukarıdaki sonuçta verilen M yüzeyi üzerindeki metrik , : du 2 2dv2
olacak şekilde x x(u, v) yüzeyinin parametrizasyonunu elde edelim.
5.6. Sonuç
S13 de Sitter uzayında sabit timelike açılı spacelike eksenli timelike bir M yüzeyinin
x x(u, v) parametrizasyonu
x x
uu
u
x
xuv
v
v
2
2
xvv u xu xv a22 x
(5.59)
kısmi türevli diferansiyel denklem sistemini sağlar.
5.7. Sonuç
,sabit timelike açılı spacelike eksenli timelike M yüzeyinin birim normal vektör
alanı olmak üzere M yüzeyinin parametrizasyonu
91
u D xu 0
v D xv a22 xv
(5.60)
kısmi türevli diferansiyel denklem sistemini sağlar.
5.5. Önerme
M , sabit timelike açılı spacelike eksenli timelike bir yüzey ise a22 (v) olacak
şekilde (v) diferansiyellenebilir fonksiyonu vardır.
İspat:
uv vu olduğundan
D xu (a22xv ) 0
veya
(a22 )u xv a22 D xu xv 0
olur. Buradan da
(a22 )u
cosh
sin 2 cosh 2
(a22 ) 2 0
(5.61)
diferansiyel denklemi elde edilir. Dolayısıyla
(a22 )u
u
(a ) 0
22
(5.62)
veya
( a22 )u 0
denkleminden
(5.63)
92
a22 (v)
(5.64)
olacak şekilde v -ye bağlı (v) diferansiyellenebilir fonksiyonu bulunur.
5.6. Önerme
x x(u, v), S13 de Sitter uzayında sabit timelike açılı spacelike eksenli timelike yüzey
olsun. Eğer M üzerinde a22 0 ise x x(u, v) de Sitter uzayında bir düzlem
belirtir.
Tezin kalan kısmında a22 0 olduğunu kabul edeceğiz. (5.61) denkleminden
a22
sin 2 cosh 2
, (v) sin 2 cosh 2 (v)
u cosh (v)
olacak şekilde bir (v) fonksiyonu vardır. (5.64) denkleminden
(u, v)
(v)
sin 2 cosh 2
(u cosh (v)) .
(5.65)
Özel olarak (v) v sin 2 cosh 2 ve (v) ln v seçelim. Şimdi aşağıdaki
teoremi verebiliriz.
5.9. Teorem
(5.59) denklem sistemini sağlayan x immersiyonu M nin u, v lokal koordinatlarına
göre
xi (u, v)
d1i (v)
d 2i (v), i 1, 2,3, 4
2cosh (u cosh ln v)2
şeklindedir.
93
Sabit Spacelike Açılı Spacelike Eksenli Timelike Yüzeyler
5.7 Tanım
U IR 2 bir açık küme, x : U S13 embedding ve M x(u), S13 uzayında timelike
yüzey olsun. Eğer M üzerinde ( ,W ) spacelike açısı sabit olacak şekilde sabit bir
W spacelike doğrultusu varsa M ye S13 de sabit spacelike açılı spacelike eksenli
timelike yüzey denir.
, M yüzeyinin S13 de birim normal vektör alanı olmak üzere M yüzeyi sabit
spacelike açılı sabit spacelike eksenli timelike bir yüzey olsun. O zaman , W
spacelike vektörleri arasındaki spacelike açıyı , W , x spacelike vektörleri
arasındaki timelike açıyı da ile gösterelim. O halde
,W cos , W , x cosh
olur. Eğer 0 ise W olur. 0 ve M üzerinde
genelliği bozmaz. W IR14 olmak üzere
W WT W N
şeklinde yazılır. O halde
W W T 1 2 x
olarak yazılabilir. Buradan
W W T (cos ) (cosh ) x
olur ve
|| W T ||
sin 2 cosh 2 0
W , x sabit almak
94
WT
şeklinde elde edilir. Dolayısıyla e1
|| W T ||
olmak üzere
W
sin 2 cosh 2 e1 (cos ) (cosh ) x
bulunur. O halde de Sitter uzayındaki sabit doğrultu
Wd
sin 2 cosh 2 e1 (cos )
(5.66)
şeklinde tek olarak bulunur.
e2 , M üzerinde e1 ’e dik vektör alanı olmak üzere {e1 , e2 , , x}, M nin her noktasında
IR14 ün ortonormal bazı olur. Wd , S13 de sabit bir vektör alanı olduğundan De2 Wd 0
dır. Dolayısıyla
D e2 Wd D e2 Wd 0 .
O halde
De2Wd
sin 2 cosh 2 De2 e1 (cos ) De2 0
olduğundan
sin 2 cosh 2 De2 e1 (cos ) De2 0
elde edilir. Buradan
a21 a12 0
olarak elde edilir. Dolayısıyla (5.67) denkleminden
(5.67)
95
De2 e1
cos
sin 2 cosh 2
a22e2
(5.68)
eşitliği elde edilir. Benzer şekilde Wd , S13 de sabit bir vektör alanı olduğundan
De1Wd 0 dır. O halde
De1Wd 0 , De1Wd
sin 2 cosh 2 x
(5.69)
elde edilir.
De1Wd
sin 2 cosh 2 De1 e1 (cos ) De1
ve (5.69) eşitliğinden
sin 2 cosh 2 De1 e1 (cos ) De1
sin 2 cosh 2 x
(5.70)
olur. (5.70) denkleminin her iki tarafını ile iç çarpıma tabi tutarak
a11 0
bulunur. Ayrıca (5.70) den
De1 e1 x
(5.71)
eşitliği elde edilir.
5.10. Teorem
S13 de Sitter uzayında sabit spacelike açılı spacelike eksenli bir yüzey için D Levi-
Civita konneksiyonu aşağıdaki şekildedir.
De1 e1 0
De2 e1
cos
sin 2 cosh 2
a22e2
96
De1 e2 0
De2 e2
cos
sin 2 cosh 2
a22e1
5.8. Sonuç
S13 de sabit spacelike açılı sabit spacelike eksenli timelike bir M yüzeyi verilsin. O
zaman (u, v), M üzerinde diferansiyellenebilir bir fonksiyon olmak üzere M
yüzeyi üzerindeki metrik
, : du 2 2dv2 olacak şekilde u
ve v lokal
koordinatları vardır.
Yüzey Parametrizasyonunun Bulunması
Şimdi yukarıdaki sonuçta verilen M yüzeyi üzerindeki metrik , : du 2 2dv2
olacak şekilde x x(u, v) yüzeyinin parametrizasyonunu bulalım.
5.11 Teorem
S13 de sabit spacelike açılı sabit spacelike eksenli timelike M yüzeyinin x x(u, v)
parametrizasyonu
x x
uu
u
xv
xuv
v
xv 2 a22 2 x
xvv u xu
(5.72)
kısmi türevli denklem sistemini sağlar.
5.9. Sonuç
, sabit spacelike açılı sabit spacelike eksenli timelike bir M yüzeyinin normal
vektörü olmak üzere M yüzeyinin parametrizasyonu
97
D x 0
u
u
v D xv a22 xv
(5.73)
kısmi türevli denklem sistemini sağlar.
5.6. Önerme
M , sabit spacelike açılı sabit spacelike eksenli timelike bir yüzey ise
a22 (v) olacak şekilde (v) diferansiyellenebilir fonksiyonu vardır.
İspat
uv vu 0 olduğundan
D xu (a22xv ) 0 .
O halde
(a22 )u
cos
sin 2 cosh 2
(a22 ) 2 0
(5.74)
diferansiyel denklemi elde edilir. Dolayısıyla
(a22 )u
u
a 0
22
(5.75)
veya
( a22 )u 0
(5.76)
denkleminden
a22 (v)
(5.77)
98
olacak şekilde (v) diferansiyellenebilir fonksiyonu vardır.
5.7. Önerme
x x(u, v), S13 de Sitter uzayında sabit spacelike açılı spacelike eksenli timelike
yüzeyin parametrizasyonu olsun. Eğer M üzerinde a22 0 ise x x(u, v) de Sitter
uzayında bir düzlem belirtir.
Tezin kalan kısmında a22 0 olduğunu kabul edeceğiz.
cos
(a22 )u
sin cosh
2
2
(a22 ) 2 0
diferansiyel denkleminden
a22
sin 2 cosh 2
u cos (v)
, (v) sin 2 cosh 2 (v)
(5.78)
olacak şekilde bir (v) fonksiyonu vardır.
Dolayısıyla (5.77) denkleminden
(u, v)
(v )
sin 2 cosh 2
(u cos (v))
(5.79)
elde ederiz. Burada özel olarak (v) v sin 2 cosh 2 ve (v) ln v seçelim.
Şimdi aşağıdaki teoremi verebiliriz.
5.11. Teorem
(5.72) denklem sistemini sağlayan x immersiyonu M nin u, v lokal koordinatlarına
göre
99
xi (u, v)
d1i (v)
d 2i (v), i 1, 2,3, 4
2cos (u cos ln v)2
şeklindedir.
100
6. DE SİTTER UZAYINDA SABİT AÇILI YÜZEY ÖRNEKLERİ
6.1. de Sitter Uzayında Sabit Açılı Spacelike Teğet Yüzeyler
Bu
bölümde
de
Sitter
uzayında
spacelike
teğet
yüzeyleri
çalışacağız.
: I S13 IR14 yay parametresi ile verilen spacelike eğri olsun.
x(s, t ) (cos t ) (s) (sin t ) '(s),(s, t ) I IR
(6.1)
olmak üzere eğrisi ile üretilen M teğet yüzeyini tanımlayalım. M yüzeyinin
( s, t ) noktasındaki teğet düzlemi {xs , xt } ile üretilir.
xs (cos t ) '( s) (sin t ) ''( s)
xt ( sin t ) ( s) (cos t ) '( s)
olmak üzere {xs , xt } tabanına göre M yüzeyinin I. temel formunun katsayıları
E 1 (sin 2 t ) Kd2 (s), F 1, G 1 ,
olur. O halde EG F 2 0 olduğundan M yüzeyi spacelike bir yüzeydir. O halde
x( s, t ) cos t ( s) sin t t ( s)
xs ( s, t ) sin t ( s) cos t t ( s) d ( s)sin t n( s)
xt ( s, t ) sin t ( s) cos t t ( s)
şeklinde elde edilir. Öte yandan yüzeyimizin normal vektörü
e
x xs xt
' ''
|| x xs xt ||
| d |
şeklindedir.
101
6.1.1. Timelike Açılı Spacelike Eksenli Spacelike Teğet Yüzeyler
Burada özel olarak de Sitter uzayında sabit timelike açılı spacelike eksenli teğet
yüzeyleri inceleyelim. Sabit timelike açılı spacelike eksenli spacelike yüzeyin Wd
doğrultusu
Wd ( sin 2 sinh 2 )e1 (sinh )
şeklinde idi.
e1
xs
,|| xs || 1 sin 2 t d2 ( s), e
|| xs ||
olmak üzere timelike açılı spacelike eksenli spacelike teğet yüzeyinin doğrultusu
Wd
( sin t
sin 2 sinh 2
sin 2 sinh 2
)
(
s
)
(cos
t
)t ( s)
1 sin 2 t d2 ( s)
1 sin 2 t d2 ( s)
( d ( s) sin t
sin 2 sinh 2
)n( s) (sinh )e( s)
1 sin 2 t d2 ( s)
olarak elde edilir.
6.1. Teorem
: I IR S13 , d 0 olacak şekilde bir eğri olsun. (6.1) teğet yüzeyinin sabit
timelike açılı, spacelike eksenli bir yüzey olması için gerekli ve yeterli koşul
( s) eğrisinin de Sitter uzayında düzlemsel olmasıdır.
İspat
: I S13 , d 0 olacak şekilde bir eğri olmak üzere x(s, t ) teğet yüzeyi sabit
timelike açılı, spacelike eksenli bir yüzey olsun. O halde,
102
x xs xt
e( s)
|| x xs xt ||
olduğundan
,Wd e(s),Wd sinh
(6.2)
olacak şekilde 0 reel sayısı vardır. (6.2) eşitliğinin her iki tarafının s ye göre
türevini alırsak
e' ( s),Wd 0
olur. Ayrıca Frenet denklem sisteminden e' (s) d (s)n(s) olduğundan
d (s) n(s),Wd 0
olur. O halde
n(s),Wd 0 veya d (s) 0
olur. Eğer n(s),Wd 0 ise o halde
d ( s)sin t
sin 2 sinh 2
0
1 sin 2 t d2 ( s)
buradan da
d (s)sin t 0, d 0
olacağından
sin t 0
olur ki bu da
(6.3)
103
t 0
olması demektir. Bu da teğet yüzeyin tanımıyla çelişir. O halde (6.3) eşitliğinde
d (s) 0 olur. Bu ise - eğrisinin de Sitter uzayında düzlemsel bir eğri olduğunu
gösterir.
6.1. Uyarı
Burada de Sitter uzayında sabit timelike açılı spacelike eksenli spacelike yüzeyin
sabit doğrultusu
Wd
cosh 2 cosh 2 e1 sinh
olarak alınırsa da benzer sonuçlar elde edilir.
6.1. Örnek
: I S13 IR14 , (s) (s sinh(arccos hs), s cosh(arccos hs), 1 s 2 ,0)
parametrizasyonu ile verilen regüler bir eğri olun. - eğrisi yardımı ile üretilen (6.1)
M teğet yüzeyinin stereografik izdüşüm altındaki görüntüsü aşağıdaki gibidir.
104
Şekil 6.1. de Sitter uzayında timelike açılı spacelike eksenli spacelike teğet yüzey
6.1.2 Timelike Açılı Timelike Eksenli Spacelike Teğet Yüzeyler
Bu bölümde de Sitter uzayında sabit timelike açılı timelike eksenli teğet yüzeyleri
inceleyeceğiz. Sabit timelike açılı timelike eksenli spacelike yüzeyin Wd doğrultusu
Wd
sinh 2 sinh 2 e1 cosh
şeklinde idi. O halde
105
e1
xs
,|| xs || 1 sin 2 t d2
|| xs ||
olmak üzere timelike açılı timelike eksenli spacelike teğet yüzeyin doğrultusu
Wd ( sin t
sinh 2 sinh 2
1 sin 2 t d2 ( s)
( d ( s)sin t
) ( s) (cos t
sinh 2 sinh 2
1 sin 2 t d2 ( s)
sinh 2 sinh 2
1 sin 2 t d2 ( s)
)t ( s)
)n( s) (cosh )e( s)
olarak elde edilir.
6.2. Teorem
: I IR S13 , d 0 olacak şekilde bir eğri olsun. Eğer (6.1) teğet yüzeyi sabit
timelike açılı timelike eksenli bir yüzey ise ( s) eğrisi de Sitter uzayında
düzlemseldir.
6.2. Örnek
: I S13 IR14 , ( s) (1, 2 cos
s
s
, 2 sin
, 0) parametrizasyonu ile verilen
2
2
regüler bir eğri olun. - eğrisi yardımı ile üretilen M teğet yüzeyinin stereografik
izdüşüm altındaki görüntüsü aşağıdaki gibidir.
106
Şekil 6.2. de Sitter uzayında timelike açılı timelike eksenli spacelike teğet yüzey
6.2. de Sitter Uzayında Sabit Açılı Timelike Teğet Yüzeyler
Bu bölümde de Sitter uzayında timelike teğet yüzeyleri çalışacağız. : I S13 IR14
yay parametresi ile verilen timelike regüler eğri olsun.
x(s, t ) cosh t (s) sinh t '(s),(s, t ) I IR
(6.4)
olmak üzere - eğrisi ile üretilen M teğet yüzeyini tanımlayalım. M yüzeyinin
( s, t ) noktasındaki teğet düzlemi {xs , xt } ile üretilir.
107
xs cosh t '( s) sinh t ''( s)
xt sinh t ( s) cosh t '( s)
olmak üzere {xs , xt } tabanına göre M yüzeyinin birinci temel formunun katsayıları
E 1 sinh 2 t Kd2 (s), F 1, G 1
olur. O halde EG F 2 0 olduğundan M yüzeyi timelike bir yüzeydir. Dolayısıyla
x( s, t ) cosh t ( s) sinh t t ( s)
xs ( s, t ) sinh t ( s) cosh t t ( s) d ( s ) sinh t n( s )
xt ( s, t ) sinh t ( s) cosh t t ( s)
olur. Şimdi yüzeyimizin normal vektörünü bulalım. e
x xs xt
idi. Burada
|| x xs xt ||
x xs xt sinh t ( ' ' ' ), || x xs xt ||| d sinh t |
olmak üzere
e
' ''
, d ( s) 0
| d |
olarak elde edilir.
6.2.1. Timelike Açılı Spacelike Eksenli Timelike Teğet Yüzeyler
Burada özel olarak de Sitter uzayında sabit timelike açılı spacelike eksenli timelike
teğet yüzeyleri inceleyeceğiz. Sabit timelike açılı spacelike eksenli timelike bir
yüzeyin Wd doğrultusu
Wd
sin 2 cosh 2 e1 (cosh )
idi. O halde
108
e1
xs
,|| xs || 1 d2 ( s)sinh 2 t , ( s) e( s)
|| xs ||
olmak üzere timelike açılı spacelike eksenli timelike teğet yüzeyin doğrultusu
(sinh t
Wd
sin 2 cosh 2
1 sinh 2 t d2 ( s)
( d ( s)sinh t
) ( s) (cosh t
sin 2 cosh 2
1 sinh 2 t d2 ( s)
sin 2 cosh 2
1 sinh 2 t d2 ( s)
)t ( s)
)n( s) (cosh )e( s)
olarak elde edilir.
6.3. Teorem
: I IR S13 , d 0 olacak şekilde bir eğri olsun. Eğer (6.4) teğet yüzeyi sabit
timelike açılı spacelike eksenli timelike bir yüzey ise ( s) eğrisi de Sitter uzayında
düzlemseldir.
6.2.2. Spacelike Açılı Spacelike Eksenli Timelike Teğet Yüzeyler
Bu bölümde de Sitter uzayında sabit spacelike açılı spacelike eksenli timelike teğet
yüzeyleri çalışacağız. Sabit spacelike açılı spacelike eksenli timelike yüzeyin Wd
doğrultusu
Wd
sin 2 cosh 2 e1 (cos )
idi. O halde
e1
xs
,|| xs || 1 sinh 2 t d2 ( s)
|| xs ||
olmak üzere spacelike açılı spacelike eksenli timelike teğet yüzeyin doğrultusu
109
Wd (sinh t
sin 2 cosh 2
1 sinh 2 t d2 ( s)
( d ( s)sinh t
) ( s) (cosh t
sin 2 cosh 2
1 sinh 2 t d2 ( s)
sin 2 cosh 2
1 sinh 2 t d2 ( s)
)t ( s)
)n( s) (cosh )e( s)
olarak elde edilir.
6.4. Teorem
: I IR S13 , d 0 olacak şekilde bir eğri olsun. Eğer (6.4) teğet yüzeyi sabit
spacelike açılı spacelike eksenli timelike bir yüzey ise ( s) eğrisi de Sitter uzayında
düzlemseldir.
110
KAYNAKLAR
1. Munteanu, M.I., Nistor, A.I., “A new approach on constant angle surfaces in E³” ,
Turk T.Math.,33:169-178 (2009).
2. Di Scala, A.J., Ruiz-Hernandez, G., “Helix submanifolds of Euclidean space”,
Monatsh. Math. DOI 10.1007 / s00605-008-0031-9.
3. Ruiz-Hernandez, G., “Helix, shadow boundary and minimal submanifolds”,
Illinois J. Math.,52:1385-1397 (2008).
4. Cermelli, P., Di Scala, A.J., “Constant angle surfaces in liquid crystals”, Phylos.
Magazine, 87:1871-1888 (2007).
5. Dillen, F., Fastenakels, J., Van der Veken, J., Vrancken, L., “Constant angle
surfaces in S²×R” , Monaths. Math. , 152:89-96 (2007).
6. Dillen, F. and Munteanu, M. I., “Constant angle surfaces in H²×R” , Bull. Braz.
Math. soc. , 40:85-97 (2009).
7. Fastenakels, J., Munteanu, M. I. , Van der Veken, J., “Constant angle surfaces in
the Heisenberg group”, Acta Math. Sinica (English Series), 27:747-756 (2011).
8. Lopez, R., Munteanu, M.I., “Constant angle surfaces in Minkowski space”,
Bulletin of the Belgian Math. So. Simon Stevin, 18:2,271-286 (2011).
9. Ratcliffe, J.G., “Foundations of Hyperbolic Manifolds”, Springer-Verlag, Berlin,
36 (1994).
10. Hacısalihoğlu, H.H., “İki ve Üç Boyutlu Uzaylarda Dönüşümler ve Geometriler”,
A.Ü.Fen Fakültesi, Ankara, 18-43 (1998).
11. O’neil, B., “Semi-Riemannian Geometry”, Academic Press., London, (1983).
111
12. Thas, C., “A gauss map on hypersurfaces of submanıfolds ın Euclıdean spaces”,
J.Korean Math.Soc., 16:1 (1979).
13. Vinberg, E.B., “Geometry II, Encyclopaedia of Mathematical Sciences”,
Springer-Verlag, 4-79 (1993).
14. Izumıya, S., Sajı, K., Takahashı, M., “Horospherical flat surfaces in Hyperbolic
3-space”, J.Math.Soc.Japan, 87:789-849 (2010).
15. Barros, M., “General Helices and a Theorem of Lancret”, Proceedıngs of the
American Marhematical Society, 125:1503-1509 (1997).
16. Izumıya, S., Peı, D., Fuster, M.D.C.R., “The horospherical geometry of surfaces
ın hyperbolic 4-spaces”,Israel Journal of Mathematıcs, 154:361-379 (2006).
17. Izumıya, S., Peı, D., Sano, T., “Sıngularities of hyperbolic gauss map”, London
Math.Soc.,3:485-512 (2003).
18. Takızawa, C., Tsukada, K., “Horocyclic surfaces in hyperbolic 3-space”, Kyushu
J.Math., 63:269-284 (2009).
19. Izumıya, S., Fuster, M.D.C.R. , “The horospherical Gauss-Bonnet type theorem
in hyperbolic space”, J.Math.Soc.Japan, 58:965-984 (2006).
20. Fenchel, W., “Elementary Geometry in Hyperbolic Space”, Walter de
Gruyter,New York , 1989.
21. Lopez, R., “Differential Geometry of Curves and Surfaces in Lorentz-Minkowski
Space”, Instituto de Matematica e Estatıstica (IME-USP) University of Saol
Paulo, Brasil, 1-4 (2008).
22. Kasedou, M., “Differential Geometry of Spacelike submanıfolds ın de Sitter
Space” , Hokkaido Universty Sapporo 060-0810, Japan.
23. Kasedou, M., “Spacelike Submanifolds in de Sitter Space” , Demonstratıo
Mathematıca, XLIII , 2010.
112
24. Karlığa, B.,“On the Generalized Stereographic Projection”, Beitrage zur Algebra
and Geometrie Contrıbutıons to Algebra and Geometry, 2:329-336,37(1996).
25. Mak, M., “Genelleştirilmiş Stereografik İzdüşüm ve İnversiyon”, Gazi
Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara, Yüksek Lisans Tezi, 26-37(2008).
113
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Soyadı, adı
: MERT, Tuğba
Uyruğu
: T.C.
Doğum tarihi ve yeri : 21.12.1984, Sivas
Medeni hali
: Bekar
Telefon
: 0 (346) 219 10 10 – 3140
e-mail
: tmert@cumhuriyet.edu.tr
Eğitim
Derece
Eğitim Birimi
Yüksek lisans
Cumhuriyet Üniversitesi /Matematik Bölümü
2009
Lisans
Cumhuriyet Üniversitesi/Matematik Bölümü
2006
Lise
Sivas Lisesi
1996
Mezuniyet tarihi
İş Deneyimi
Yıl
2007-
Yer
Cumhuriyet Üniversitesi
Yabancı Dil
İngilizce
Hobiler
Yüzme , Müzik , Tenis
Görev
Araştırma Görevlisi
