eme 3105 sıstem sımülasyonu

19.11.2013
1
Giriş
EME 3105
2
SISTEM SIMÜLASYONU
Önümüzdeki
2
hafta
simulasyon
girdilerinin
modellenmesinde kullanılan kesikli ve sürekli
dağılımlar hatırlatılacaktır.
Simulasyonda İstatistiksel Modeller-I
Ders 4
Olasılık Dağılımı
Rassal Degiskenler
3
4
Tanım: Rassal Degisken, örnek uzaydaki deney sonuçlarını
gerçel bir sayıya atayan bir fonksiyondur.
S örnek Uzay
ω1
ω2
Olasılık
Dağılımı
Rassal
Değisken
X(ω1)
ω4
ω5
ω6
Gerçel Sayılar
Örnek Uzay
ω3
X: Her w ÎS'ye gerçel bir sayı atar.
1
Sayı
Olasılık
19.11.2013
Kesikli Rasgele Değişkenin
Olasılık Fonksiyonu
Kesikli Rasgele Değişkenin
Dağılım Fonksiyonu
6
Tanım:
X,
sonlu
sayıdaki
x1,
…,
x2,
xN
değerlerini
Tanım:
f(xi)=P(X=xi), i=1, 2,…, N olasılıkları ile alabilen kesikli rasgele
(Dağılım
fonksiyonu)
Bir
X
rasgele
değişken olsun. Bu durumda aşağıdaki koşulları sağlayan f(x)
değişkeninin dağılım fonksiyonu F(x) ile gösterilir ve
fonksiyonuna X’in olasılık fonksiyonu denir.
X’in x’e eşit ya da daha küçük olması olasılığıdır.
1. f ( x)  0, tüm x'ler için
N
2.
 f(x )  1
F ( x)  P( X  x)   f ( xi )
i
i=1
xi  x
X=x
x1
x2
…
xN
f(x)=P(X=x)
f(x1)
f(x2)
…
f(xN)5
Olasılık Yoğunluk
Fonksiyonu
7
Olasılık Yoğunluk
Fonksiyonu
8
d
Tanım : X, şekilde gösterilen (, ) aralığında tanımlanan
P(c < X < d) =
c
sürekli rasgele değişken olsun. Aşağıdaki koşulları sağlayan
f (x) egrisi, x-ekseni ve x=c, x=d dogruları ile sınırlı alandır.
f(x) fonksiyonuna X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk
fonksiyonu denir.
1. f ( x)  0,
Histogram of C2
f(x)
Normal
Mean
StDev
N
1,156
2,981
1000
-  x  

Density
2.  f ( x)dx  1,
ò f (x) dx
P (c  X  d )  P (c  X  d )  P (c  X  d )  P ( c  X  d )
olduğuna dikkat etmeliyiz.
f(x)
Histogram of C2
Normal
Mean
StDev
N
C2
0
c
d
x
( f(x) eğrisi altında kalan ve
x-ekseni ile sınırlanan alan 1’e
eşittir. )
Density

C2
c
0
2
d
x
Sürekli X rasgele değişkeninin
belli bir x değeri alması olasılığı
sıfırdır.
P(X=x)=0
1,156
2,981
1000
19.11.2013
Sürekli Rasgele Değişkenin
Dağılım Fonksiyonu
9
Rasgele Değişkenlerin
Beklenen Değeri ve Varyansı
10
Tanım: (Dağılım
Fonksiyonu)
X, f(x) olasılık
E( X) = å x. f (x)
yoğunluk
X:Kesikli Rassal Degisken
x
fonksiyonuna
sahip
sürekli
rasgele
değişken
olsun.
V( X) = E éë( X - E[ X])2 ùû
X’in dağılım fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanır.
x
F ( x)  P( X  x) 

E [Y ] =
f ( s )ds
+¥
ò y. f (y)dy
Y:Sürekli Rassal Degisken
-¥

+¥
V[Y]= ò ( y - E[Y ]) f (y)dy
2
-¥
Yaygın Kesikli Dağılımlar (1)
Yaygın Kesikli Dağılımlar (2)
11
Dağılım,
X rassal Degişkeni
Bernoulli (p)
Tek denemedeki basarı sayısı
Binom (n,p)
n tane Bernoulli denemesindeki
basari sayisi
Geometrik (p)
Sıralı bernoulli denemelerinde ilk
basarıya kadarki deneme sayısı
Negatif Binom (k,p)
Sirali Bernoulli denemelerinde
k’ninci basariya kadarki deneme
sayisi
12
Olasılık Fonksiyonu
f(x)
f (x) = px .(1- p)1-x , x = 0,1
æ n ö x n-x
f (x) = ç
÷ .p .q ,x=0,1,2,...,n
è x ø
f (x) = qx-1.p,
x = 1,2,...
æ
ö
f (x) = ç x - 1 ÷ .pk .(1- p) x-k
è k -1 ø
x=k, k+1,...
E[X] ve V[X]
m = E( X) = p
s 2 = p.q = p.(1- p)
Dağılım,
X rassal Degişkeni
Poisson (λ)
m = E( X) = np
Belli bir zaman süresince gerçekleşen
olayların sayısı
s 2 = npq
Kesikli Düzgün (a,b)
E( X) =
Olasılık Fonksiyonu
f(x)
1
q
, s2 = 2
p
p
f (x) =
e- l .l x
, x=0,1,2,... l >0
x!
1
b- a
x = a,a +1,...,b ; a £ b
f (x) =
Kesikli Düzgün
m = E( X) = k / p
f (x) =
s 2 = kq / p2
3
1
, x = x1 , x2 ,..., xN
N
E[X] ve V[X]
  E( X )  
s2 =l
(b+ a)
2
(b- a +1)2 -1
s2 =
12
m = E( X) =
N 1
2
N2 -1
s2 =
12
  E( X ) 
19.11.2013
Örnek
a) Binom Dağılımı (4;0,8)
13
14
Bir pastane günde belli bir tip yaş pastadan kaç adet pişirmesi
æ n ö x n-x
f (x) = ç
÷ .p .q ,x=0,1,2,...,n
è x ø
gerektiğini belirlemeye çalışmaktadır. Pastaneye belirtilen yaş pastadan
almak için bir günde gelen müşteri sayısının dağılımı
a) (n=4, p=0.8) parametreli Binom dağılıma uymaktadır.
æ 4 ö
0
4-0
4
f (0) = P( X = 0) = ç
÷ .(0,8) .(0,2) = 1.1.(0,2) = 0,0016
è 0 ø
b) Ortalaması 4 olan Geometrik dağılıma uymaktadır.
c) (k=3, p=0.9) parametreli Negatif Binom dağılıma uymaktadır.
d) λ= 3 parametreli Poisson dağılıma uymaktadır.
e) min.=0, max.=4 parametreli Kesikli Düzgün dağılıma uymaktadır.
5 günde gelen toplam müşteri sayısını simüle edin.
Rassal Sayılar:
0.7213
0.5409
0.2267
0.9235
0.0521
æ 4 ö
1
4-1
3
f (1) = P( X = 1) = ç
÷ .(0,8) .(0,2) = 4.(0,8)(0,2) = 0,0256
è 1 ø
æ
ö
f (2) = P( X = 2) = ç 4 ÷ .(0,8)2 .(0,2) 4-2 = 6.(0,8)2 (0,2)2 = 0,1536
è 2 ø
æ 4 ö
3
4-3
3
1
f (3) = P( X = 3) = ç
÷ .(0,8) .(0,2) = 4.(0,8) (0,2) = 0,4096
è 3 ø
æ 4 ö
4
4-4
4
f (4) = P( X = 4) = ç
÷ .(0,8) .(0,2) = 1.(0,8) 1 = 0,4096
è 4 ø
a) Binom Dağılımı (4;0,8)
Minitab Olasılık Hesaplamaları
a) Binom Dağılımı (4;0,8) (devam)
15
ì0,0016
ï
ïï0,0256
f (x) = í0,1536
ï0,4096
ï
ïî0,4096
16
, x=0
, x=1
, x=2
, x=3
, x=4
x
f(x)
F(x)
RS Atama
0
0,0016
0,0016
1
0,0256
0,0272
0,016< RS <=0,0272
2
0,1536
0,1808
0,0272< RS <=0,1808
3
0,4096
0,5904
0,1808< RS <=0,5904
4
0,4096
1
0,5904< RS <1
RS
Talep
0,7213
4
0,5409
3
0,2267
3
0,9235
4
0< RS <=0,016
0,0521
1
Toplam
15
4
19.11.2013
a) Binom Dağılımı (4;0,8)
Minitab Birikimli Olasılık Hesaplamaları
17
a) Binom Dağılımı (4;0,8)
Minitab Ters Fonksiyondan Değer Hesaplama
18
P(X £ x) = 0,016 ise x=?
19
a) Binom Dağılımı (4;0,8)
Minitab Olasılık Grafiği
20
a) Binom Dağılımı (4;0,8)
Minitab Ampirik Birikimli Olasılık Grafiği
5
19.11.2013
b) Geometrik Dağılım (E[X]=4)
(devam)
b) Geometrik Dağılım (E[X]=4)
22
21
f (x) = qx-1.p,
x = 1,2,...
1
q
E( X) = , s 2 = 2
p
p
4=
1
® p=0,25
p
x
f(x)
F(x)
RS Atama
1
0,25
0,25
0< RS <=0,25
2
0,1875
0,4375
0,25< RS <=0,4375
3
0,1406
0,5781
0,4375< RS <=0,5781
RS
Talep
f (1) = (0,75)1-1.(0,25) = 0,25
f (7) = (0,75)7-1.(0,25) » 0,0445
4
0,1055
0,6836
0,5781< RS <=0,6836
0,7213
5
f (2) = (0,75) .(0,25) = 0,1875
f (8) = (0,75) .(0,25) » 0,0334
5
0,0791
0,7627
0,6836< RS <=7627
0,5409
3
0,0593
0,8220
0,7627< RS <=8220
0,2267
1
f (3) = (0,75)3-1.(0,25) = 0,14062
f (9) = (0,75)9-1.(0,25) » 0,0250
6
7
0,0445
0,8665
0,8220< RS <=8665
0,9235
9
f (4) = (0,75)4-1.(0,25) » 0,10547
f (10) = (0,75)10-1.(0,25) » 0,0188
8
0,0334
0,8999
0,8665< RS <=8999
0,0521
1
f (5) = (0,75)5-1.(0,25) » 0,0791
f (11) = (0,75)
9
0,0250
0,9249
0,8999< RS <=0,9249
Toplam
19
10
0,0188
0,9437
0,9249< RS <=9437
f (6) = (0,75) .(0,25) » 0,0593
f (12) = (0.75)12-1.(0,25) » 0,0106
.
..
11
0,0141
0,9578
0,9437< RS <=0,9578
12
0,0106
0,9684
0,9578< RS <=0,9684
>12
0,0316
1
RS>0,9684
2-1
6-1
8-1
11-1
.(0,25) » 0,0141
b) Geometrik Dağılım (E[X]=4)
(devam)
Negatif Binom Dağılımı (3;0.9)
24
æ x-1 ö k
x-k
f (x) = ç
,
÷ .p .(1- p)
è k -1 ø
x=k, k+1,...
k = 3; p = 0.9
æ 3-1 ö
3
3-3
f (3) = ç
÷ .(0,9) .(0,1) = 0,729
è 3-1 ø
æ 4 -1 ö
3
4-3
f (4) = ç
÷ .(0,9) .(0,1) = 0,2187
è 3-1 ø
æ
ö
f (5) = ç 5 - 1 ÷ .(0,9)3 .(0,1)5-3 » 0,0437
è 3-1 ø
æ 6 -1 ö
3
6-3
f (6) = ç
÷ .(0,9) .(0,1) » 0,0073
è 3-1 ø
æ 7 -1 ö
3
7-3
f (7) = ç
÷ .(0,9) .(0,1) » 0,0011
è 3-1 ø
.
.
.
6
Günde en az 3 müşteri gelir.
19.11.2013
Negatif Binom Dağılımı (3;0.9)
d) Poisson Dağılımı (λ=3)=
25
26
x
f(x)
F(x)
RS Atama
3
0,729
0,729
0< RS <=0,729
4
0,2187
0,9477
0,729< RS <=0,9477
5
0,0437
0,9914
0,9477< RS <=0,9914
6
0,0073
0,9987
0,9914< RS <=0,9987
7
0,0011
0,9998
0,9987< RS <=0,9998
>7
0,0002
1
f (x) =
e- l .l x
, x=0,1,2,... l >0
x!
𝑓 0 =
0,9998< RS <1
RS
Talep
0,7213
3
0,5409
3
0,2267
3
0,9235
4
0,0521
3
Toplam
16
d) Poisson Dağılımı (λ=3)=
d) Poisson Dağılımı (λ=3)=
27
28
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
𝑒 −3 30
= 0,049787
0!
F(x)
0,04979
0,19915
0,42319
0,64723
0,81526
0,91608
0,96649
0,98810
0,99620
0,99890
0,99971
0,99998
1
Rassal Sayı Atama
0< RS <=0,04979
0,04979< RS <=0,19915
0,19915< RS <=0,42319
0,42319< RS <=0,64723
0,64723< RS <=0,81526
0,81526< RS <=0,91608
0,91608< RS <=0,96649
0,96649< RS <=0,98810
0,98810< RS <=0,99620
0,99620< RS <=0,99890
0,99890< RS <=0,99971
0,99971< RS <=0,99998
RS>0,99998
RS
Talep
0,7213
5
0,5409
4
0,2267
3
0,9235
7
0,0521
2
Toplam
21
7
19.11.2013
d) Kesikli Düzgün Dağılım (0;4)
d) Kesikli Düzgün Dağılım (0;4)
29
f (x) =
1
,
b- a
x = a,a +1,...,b ; a £ b
f (0) = f (1) = f (2) = f (3) = f (4) =
(a = 0,b = 4)
1
1
= = 0,20
5- 0 5
x
f(x)
F(x)
RS Atama
0
0,20
0,20
0< RS <=0,20
1
0,20
0,40
0,20< RS <=0,40
2
0,20
0,60
0,40< RS <=0,60
3
0,20
0,80
0,60< RS <=0,80
4
0,20
1
8
0,80< RS <1
RS
Talep
0,7213
3
0,5409
2
0,2267
1
0,9235
4
0,0521
0
Toplam
10