3.12.14 1

3.12.14 1
EME 3105
Girdi Analizi Prosedürü
2
•  Modellenecek sistemi (prosesi) dokümante et
Sistem Simülasyonu
•  Veri toplamak için bir plan geliştir
•  Veri topla
•  Verilerin grafiksel ve istatistiksel analizini yap
Dağılıma İyi Uyum Testleri
Ders 11
•  Olası dağılımları hipotez et
•  Dağılımların parametrelerini tahmin et
•  Hipotezlenen dağılımların uygunluğunu kontrol et
•  Simulasyon çıktıları üzerinde girdilerin duyarlılığını kontrol et
Örnek 2 (Devam)
(Sınıflandırılmış Serinin Hazırlanması)
Ki-kare Uyum Testi (Devam)
Örnek 2: Eczane Servis Süreleri
n 
n 
Eczane örneğinde müşterilere
servis süreleri (dk.) rassal
olarak gözlemlenmiş ve yanda
verilen 100 örneklem verisi
oluşturulmuştur.
Servis sürelerinin Üstel
dağılıma uyup uymadığını
Ki-kare Uyum testiyle kontrol
edin.
1,02%
0,98%
6,25%
3,26%
3,1%
4,48%
4,29%
7,93%
1,29%
1,48%
1,8%
1,58%
4,07%
3,84%
6,18%
2,67%
1,75%
1,72%
2,34%
3,23%
4,65%
1,18%
13,04%
0,77%
2,11%
1,83%
4,9%
7,23%
3,52%
4,44%
1,2%
1,09%
1,19%
2,59%
1,39%
2,47%
0,77%
1,29%
1,74%
5,86%
3,24%
2,53%
3,09%
2,01%
6,13%
2,45%
1,23%
7,35%
5,5%
1,63%
0,89%
4,67%
2,05%
0,5%
8,59%
0,94%
1,25%
3,14%
4,63%
1,59%
0,92%
0,97%
10,68%
6,82%
1,45%
0,98%
1,19%
2,03%
1,62%
5,02%
1,15%
4,61%
8,3%
3,88%
0,87%
2,4%
1,44%
1,78%
3,06%
3,65%
6,64%
1,45%
2,29%
2,86%
2,26%
4,86%
3,12%
2,9%
15,19%
3,36%
2,5%
2,72%
11,3%
4,26%
6,6%
3,03%
9,23%
2,05%
1,49%
9,11%
k = n = 100 = 10
X max− X min 15.19 − 0.5
=
= 1.469 ≈ 1.5
k
10
S=
Sınıflar
2.0’den az
2.0 - 3.5
3.5 - 5.0
5.0 - 6.5
6.5 - 8.0
8.0 - 9.5
9.5 - 11.0
11.0 -12.5
12.5 -14.0
14,0’ten çok
1 (S: sınıf genisligi)
µ = E [ X ] = E ⎡⎣ X ⎤⎦ = 1 / λ
fi
37
28
15
6
6
4
1
1
1
1
(k:sınıf sayısı)
SORU: Üstel Dağılımın
parametresini
n
100
nasıl hesaplarsınız?
∑ xi ∑ xi
E[X] = 1 / λ =
i=1
n
=
i=1
100
≈ 3.5 (dk)
1
λ=
≈ 0.285
3.5
***
Sınıflardaki frekanslar belirlenirken alt
Sınıf değeri dahil üst sınıf değeri hariç tutulur
3.12.14 Örnek 2 (Devam)
Örnek 2 (Devam)
(Üstel Dağılımdan Olasılık Hesabı)
(Beklenen Frekansların Belirlenmesi)
100 * 0, 435 = 43,5
H 0 : Müsterilerin servis süreleri Üstel dagılıma uyar.
H1 : Müsterilerin servis süreleri Üstel dagılıma uymaz.
X(Servis Süresi)  Üstel(λ )
b
b
P(a < X < b) = F(b) − F(a)
P(a < X < b) = ∫ f (x)dx = ∫ λ e− λ x dx
a
a
F(x) = 1− e− λ x
f (x) = λ e− λ x
x>0
F(b) = 1− e− λb
;
F(a) = 1− e− λa
Sınıf
F(x)
P(a<X<b)
Bi
<2
0,435
0,435
43,5
2 - 3,5
0,632
0,197
19,7
3,5 - 5
0,76
0,128
12,8
5 - 6,5
0,844
0,084
8,4
6,5 - 8
0,898
0,054
5,4
8 - 9,5
0,934
0,036
3,6
9,5 - 11
0,957
0,023
2,3
11 - 12,5
0,972
0,015
1,5
12,5 - 14
0,982
0,01
1
>14
1
0,018
1,8
F(2) = 1− e−(0,285)2 ≈ 0, 435
;
Beklenen frekans 5’ten küçük
sınıflar, önceki sınıfla birleştir
Sınıf
Gi
Bi
<2
37
43,5
2 - 3,5
28
19,7
3,5 - 5
15
12,8
5 - 6,5
6
6,5 - 8
6
5,4
>8
8
10,2
F(3,5) = 1− e−(0,285)3,5 ≈ 0,632
P(2 < X < 3,5) = F(3,5) − F(2) = 0,632 − 0, 435 = 0,197
Örnek 2 (Devam)
Normal Dağılıma Sahip Bir Kitlenin Varyans
2
χ 0.01,4
= 13.28
ve Standart Sapması İçin Hipotez Testi
(Test Prosedürü)
1.ilgilenilen degisken müsterilerin servis süreleridir.
2. H 0 :Servis süreleri λ =0,285 olay/dk. olan Üstel dagılıma uyar.
3. H1 : Servis süreleri λ =0,285 olay/dk. olan Üstel dagılıma uymaz.
4. α =0,01
5. Test istatistigi:
k
(Gi − Bi )2
i=1
Bi
χ 02 = ∑
p=1; k=6; v=6-1-1=4
2 8,4
3.12.14 Örnek 2 (Devam)
Örnek 2 (Devam)
(Test Prosedürü)
(P-Değeri Yaklaşımı)
f (x)
f (x)
α /2
7. Hesaplamalar:
χ
2
0
0
2
19.7
χ 02 =
α /2
! 21 – α /2, n – 1
(a)
( 37 − 43.5 )2 + ( 28 − 19.7 )2 + ...+ ( 8 − 10.2 )2 = 6,073
=
43.5
f (x)
! 2nχ–α1,v
! 2n – 1
2
6. Eger χ 02 > χ 0.01,4
= 13.28 ise H 0 red
! 2α /2, n – 1
x
2
χ0
=! 2α6.073
,n–1
43.5
α
(
Pα
0
( 37 − 43.5 )2 + ( 28 − 19.7 )2 !+2...+ ( 8 − 10.2 )2 = 6,073
19.7
P= P χ >
x
0
6.073
2
2
χ
0
n–1
) = P( χ
2
10.2
)
> 6.073 = ?
x
! 21 – α , n – 1
(b)
(c)
10.2
MONTGOMERY: Applied Statistics, 3e
Fig. 9.10
W-160
8. Sonuclar:
Testin
sonucu
ne olur?
2
χ 02 = 6.73SORU:
< χ 0.01,4
= 13.28
oldugu
için H 0 reddedilemez.
0.10 < P < 0.50
Bu nedenle servis sürelerinin Üstel dagılıma uydugu kabul edilir.
Örnekte,
2
χ0
= 6.073 tur ve tablodaki 3.36 ve 7,78 değerleri arasındadır.
Bu nedenle, P değeri, 0.50 ve 0.10 arasında olmalıdır.
Örnek 2 (Devam)
Kolmogorov Smirnov Uyum Testi
(Minitab Çözümü)
Kolmogorov Smirnov testi bir örneklemin hipotezlenen sürekli
bir dağılımdan gelip gelmedigine karar vermek için kullanılır.
Test, Deneysel (Birikimli) Dağılım fonksiyonuna dayanır.
H0 Kabul
0
1
P=0.194
x1, ... , xn ; F(x) Sürekli Birikimli Dağılımından alınan rassal
örneklem olsun.
Deneysel Birikimli Dağılım F̂n (x) aşağıdaki gibi ifade edilir:
Cumulative Distribution Function
Chi-Square with 4 DF
x
P( X <= x )
6,073 0,8060237
H0 Red
SORU: Testin sonucu ne olur?
P değeri=1-0,806
≈ 0,194
n
F̂n (x) =
Sonuç: α=0.05<P=0.194
olduğundan H0 Kabul
3 ∑I
Xi ≤x
i=1
n
"$ 1 , x ≤ x
i
I Xi ≤x = #
$% 0 , degilse
3.12.14 Kolmogorov Smirnov Uyum Testi
Anderson Darling Uyum Testi
(Devam)
Test istatistiği:
Dn = max{ Fˆn ( x) − F ( x)}
x
1.0
Cumulative
frequency
Birikimli frekans
•  Test, sıfır hipotezi altında
gözlenen birikimli dağılımla,
beklenen birikimli dağılımı
karşılaştırır.
Anderson Darling testi, Kolmogorov Smirnov testi gibi
gözlenen birikimli dağılım fonksiyonunu, beklenen
birikimli dağılım fonksiyonu ile karşılaştırır.
0.8
0.6
0.4
Bu test, kuyruklara Kolmogrov Smirnov testinden
daha fazla ağırlık verir.
Dmax
0.2
X
Test istatistiği Dn, tablodan elde edilen kritik değerden
büyükse seçilen α anlam düzeyinde H0 hipotezi
reddedilir.
L4.13
2001
Anderson Darling Uyum Testi
(Devam)
H0: Örneklem verileri hipotezlenen dağılıma uyar.
H1: Örneklem verileri hipotezlenen dağılıma uymaz.
Rassal Sayıların Uygunluk Testi
•  Herhangi bir sayı dizisinin Rassal Sayı dizisi olabilmesi için
[0,1] aralığında bağımsız ve özdeş Sürekli Düzgün dağılmış
olması gerekir. Buna göre X: Rassal Sayı olmak üzere;
Test istatistigi (A 2 ) :
⎧ 1
=1
⎪
f(x) = ⎨1 − 0
⎪⎩0
1 n
A = −n − ∑ ( 2i − 1) ⎡⎣ ln F(xi ) + ln (1− F ( xn−i+1 )) ⎤⎦
n i=1
2
Test istatistigi A2, tablodan elde edilen kritik değerden
büyükse seçilen α anlam düzeyinde H0 hipotezi reddedilir.
⎧0
⎪ x − 0
⎪
F(x) = ∫ f(x)dx = ⎨
=x
⎪ 1 − 0
⎪⎩1
4 0 ≤ x ≤1
aksi Halde
x<0
0 ≤ x ≤1
x >1
3.12.14 Örnek
Bağımsızlık Testleri
•  Aşağıda verilen sayı dizisinin (0,1) rassal sayı dizisi olup
olmadığını test edin.
0.64 0.99 0.94 0.37 0.79 0.27 0.38 0.31 0.53 0.59
0.88 0.29 0.32 0.50 0.69 0.59 0.15 0.46 0.82 0.20
0.57 0.46 0.26 0.87 0.04 0.05 0.02 0.12 0.83 0.69
•  Öncelikle verilen sayıların birbirinden bağımsız olup
olmadığını kontrol edelim. Bunun için;
•  Önceki haftalarda gördüğünüz otokorelasyon testi
•  Koşu Testi
•  Aşağıda verilen sayı dizisinin (0,1) rassal sayı dizisi olup
olmadığını test edin.
•  Poker Testi
kullanılabilir.
Otokorelasyon Grafiği
Kolmogorov Uyum Testi
(Test Prosedürü)
1. ilgilenilen degisken Rassal Sayılardır.
2. H 0 : Verilen sayı örneklemi en küçük=0, en büyük=1 parametreli Düzgün Dağılıma uyar.
3. H1: Verilen sayı örneklemi en küçük=0, en büyük=1 parametreli Düzgün Dağılıma uymaz.
4. α =0,05
5. Test istatistigi: Dn = max {Dn+ , Dn− }
Dn aşağıdaki sekilde hesaplanabilir:
n = 30
Var (rk ) ≅
1
≅ 0.033333
30
s.e.(rk ) = 0.033333 ≅ 0.183
GüvenAralığı = [ ± 2 s.e.] = [ ± 0.366]
Otokorelasyonlar Güven Sınırları içinde olduğu için sayılar birbirinden bağımsızdır.
i
Dn+ = max{ − Fˆ (x ( i ) )},
1≤i ≤ n n
Dn− = max{Fˆ (x ( i ) ) −
1≤i ≤ n
i −1
}
n
UYARI:
Test İstatistiğini hesaplamaya başlamadan önce gözlem verilerini
sıralı istatistik olarak yeniden düzenleyin.
5 3.12.14 Kolmogorov Uyum Testi
Kolmogorov Uyum Testi
(Test istatistiğinin hesabı)
(Test istatistiğinin hesabı)
+
D20,23
= 0.07667
;
D20,23 = max {D
, D8− }
+
20,23
D8− = 0.03667
= max {0.07667 ; 0.03667}
= 0.07667
F ( x) = x ,
0<x<1
F0 (x1 ) = F0 (0.02) = 0.02
1
− F0 ( X (1) )
30
= 0.033333 − 0.02
= 0.013333
D1+ =
1 −1
D1− = F0 ( X (1) ) −
6
= 0.02 − 0
= 0.02
Kolmogorov Uyum Testi
Kolmogorov Uyum Testi
(Kritik Değerin Tablodan Belirlenmesi)
(Test Prosedürü)
6. Eger D 20,23 > D0,05;6 = 0.24170 ise H 0 red
7. Hesaplamalar:
+
D20,23
= 0.07667
;
D8− = 0.03667
+
D20,23 = max {D20,23
, D8− }
= max {0.07667 ; 0.03667}
8. Sonuclar:
= 0.07667
D20,23 = 0.07667 < 0.24170 oldugu için H 0 hipotezini reddedecek
istatistiksel delil mevcut degildir.
Verilen sayı dizisi (0,1) parametreli Sürekli Düzgün Dağılıma uyar.
6