2011-2012 SONBAHAR D¨ONEM˙I MAT102 MATEMAT˙IK

2011-2012 SONBAHAR DÖNEMİ
MAT102 MATEMATİK II
ÇALIŞMA SORULARI 3
1. Fonksiyonun tanım kümesini bulunuz. Fonksiyonun değer kümesini bulunuz. Fonksiyonun seviye
eğrilerini tanımlayınız. Fonksiyonun tanım kümesinin sınırını bulunuz. Tanım kümesinin açık,
kapalı, veya ne açık ne kapalı olduğunu belirleyiniz. Tanım kümesinin sınırlı olup olmadığını
belirleyiniz.
q
y
1
(c) f (x, y) = tan−1 ( )
(b) f (x, y) = 9 − x2 − y 2
(a) f (x, y) = √
x
16 − x2 − y 2
2. Fonksiyonların değerlerini iki şekilde gösteriniz: z = f (x, y) yüzeyini çizerek ve fonksiyonun tanım
kümesindeki seviye eğrilerinden birkaçını çizerek. Her eğriyi fonksiyon değeriyle isimlendiriniz.
(a) f (x, y) = 4x2 + y 2
(b)f (x, y) = 4x2 + y 2 + 1
3. Aşağıdaki fonksiyonların tipik seviye yüzeylerini çiziniz.
(a) f (x, y, z) = ln(x2 + y 2 + z 2 )
(b) f (x, y, z) = x + z
(c) f (x, y, z) = x2 + y 2
(d) f (x, y, z) = z − x2 − y 2
(e) f (x, y, z) = (x2 /25) + (y 2 /16) + (z 2 /9)
4. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
(a)
lim
(x,y)→(2,−3)
1 1
+
x y
!2
(b)
lim
(x,y)→(0,ln 2)
ex−y (c)
x sin y
(x,y)→(1,0) x2 + 1
lim
5. Aşağıdaki kesirleri yeniden yazdıktan sonra limitleri hesaplayınız.
x2 − 2xy + y 2
(x,y)→(1,1)
x−y
x6=y
x+y−4
(c) lim √
(x,y)→(2,2)
x+y−2
x+y6=4
(a)
xy − y − 2x + 2
(x,y)→(1,1)
x−1
x6=1
√
√
x− y+1
(d) lim
(x,y)→(4,3)
x−y−1
x6=y+1
lim
(b)
lim
6. Aşağıdaki fonksiyonlar düzlemde hangi (x, y) noktalarında süreklidir?
(a) f (x, y) = sin
1
xy
(b) g(x, y) =
x2 + y 2
x2 − 3x + 2
7. Farklı yollardan yaklaşarak (x, y) → (0, 0) için aşağıdaki fonksiyonların limitlerinin olmadığını
gösteriniz.
(a) f (x, y) =
x4 − y 2
x4 + y 2
(b) g(x, y) =
xy
|xy|
(c) h(x, y) =
x2 + y
y
8. (x, y) → (0, 0) iken aşağıda verilen fonksiyonların limitlerini hesaplayınız veya limitin olmadığını
gösteriniz.
x3 − xy 2
(a) f (x, y) = 2
x + y2
x3 − y 3
(b) f (x, y) = cos 2
x + y2
1
!
(c) f (x, y) = tan
−1
|x| + |y|
x2 + y 2
!