BÖLÜM-8 8.1 SINIR ETKİLERİ Bundan önceki bölümde belli bir
advertisement
BÖLÜM-8 8.1 SINIR ETKİLERİ Bundan önceki bölümde belli bir ortamda ilerleyen dalgaları inceledik. İlerleyen bir dalga farklı bir ortam ya da bir engele rastladığı zaman yansıma, kırılma, girişim, kırınım ve kutuplanma gibi olaylar ortaya çıkmaktadır. Bu bölümde bu olayları anlamaya çalışacağız. Önce gerilmiş bir ip üzerinde ilerleyen dalgaların bir süreksizliğe rastladığı zaman gelişen olaylara bakacağız. Daha sonra bir elektromanyetik dalganın dielektrik bir ara yüzeye dik gelme durumunu ele alacağız. Elektromanyetik dalgaların kutuplanması uygulamada özel bir öneme sahiptir. Kısaca kutuplanma kavramından ve kutuplayıcılardan söz edeceğiz. Bu bölümün sonunda Huygens ilkesi ve uygulamaları, girişim ve kırınım olaylarına değineceğiz. Kutuplanma, girişim ve kırınım olaylarını Fizik Lab. III dersinde deneysel olarak inceleyeceksiniz. 8.2. DALGA ATMALARININ YANSIMASI Daha önce gerilmiş bir ip üzerinde ilerleyen ve duran dalgalar arasındaki ilişkiyi tartışmıştık. İpin bir ucunun titreştirilmesi ile oluşturulan ilerleyen dalganın, ipin diğer ucundan yansımasından sonra duran dalga meydana getirdiğini görmüştük. Böylece kaynaktan çıkan ve geri dönen dalgaların üst üste binmesi ile duran dalgaların oluştuğunu belirlemiştik. Sonuç olarak iki ucu bağlı bir ip üzerindeki bir normal moda, zıt yönlerde ilerleyen aynı frekans, aynı genlik ve aynı dalga boyuna sahip iki sinüzoidal dalganın üst üste gelmesi olarak bakabileceğimizi biliyorsunuz. İki ucu bağlı gerilmiş ip üzerinde normal modun: 𝑛𝜋𝑥 𝑦𝑛 (𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑛 𝑠𝑖𝑛 ( 𝐿 ) 𝑐𝑜𝑠𝑛 𝑡 (8.1a) ifadesi ile verildiğini daha önce görmüştük. Bu modun ip üzerinde zıt yönde ilerleyen iki dalganın toplamından elde edilebileceğini de incelemiştik: 𝑦𝑛 (𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑛 2 𝑛𝜋𝑥 𝑠𝑖𝑛 ( 𝐿 − 𝑛 𝑡) + 𝐴𝑛 2 𝑛𝜋𝑥 𝑠𝑖𝑛 ( 𝐿 + 𝑛 𝑡) (8.1b) 1 Burada 𝑥 = 0 ve 𝑥 = 𝐿'deki sınır koşulları kullanırsa 𝑦𝑛 (0, 𝑡) = 𝐴𝑛 𝑦𝑛 (𝐿, 𝑡) = 𝐴𝑛 2 = 2 𝑠𝑖𝑛(−𝑛 𝑡) + 𝐴𝑛 2 𝑠𝑖𝑛𝑛 𝑡 = − 𝑠𝑖𝑛(𝑛𝜋 − 𝑛 𝑡) + 𝐴𝑛 2 𝐴𝑛 2 𝐴𝑛 2 𝑠𝑖𝑛𝑛 𝑡 + 𝐴𝑛 2 𝑠𝑖𝑛𝑛 𝑡 = 0 𝑠𝑖𝑛(𝑛𝜋 + 𝑛 𝑡) [𝑠𝑖𝑛𝑛𝜋𝑐𝑜𝑠𝑛 𝑡 − 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋𝑠𝑖𝑛𝑛 𝑡 ] + 𝐴𝑛 2 [𝑠𝑖𝑛𝑛𝜋𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋𝑠𝑖𝑛𝑛 𝑡 ] = 0 elde edilir. Bu sonuç, zıt yönlerde hareket eden iki ilerleyen dalganın, her zaman sabit uçlarda eşit ve zıt yer değiştirmelere sahip olduklarını (toplamları sıfır) ifade eder ve dalga katı bir sınıra ulaştığı zaman yansıma işlemini de belirtir. Dalga yansımaları ve dalga ortamının sınırlarının rolüne örnek olarak yine gergin ip üzerindeki enine dalgalara bakalım. Bir dalga atması ya da sinüzoidal dalga ipin ucuna geldiğinde ne olur? Bu soruya yanıt vermek için Şekil-8.1’i incelemek faydalı olacaktır. Şekil-8.1 İpteki bir dalga atmasının (a) ipin sabit ucundan, (b) ipin serbest ucundan yansıması. Her iki şekilde de zaman geçişi soldan sağa doğrudur. 8.2.1 Sabit uçtan yansıma İpin ucu sert bir desteğe bağlanmış ise, bu uç hareket edemeyen sabit bir uçtur. Gelen dalga ipin bağlandığı desteğe bir kuvvet uygular. Bu kuvvete tepki olarak destek tarafından ip üzerine uygulanan kuvvet, ipi geri teper ve Şekil-8.1a’da görüldüğü gibi gelen atma ile ters yönlü bir atma oluşturur. Yansıyan atma ip üzerinde, gelen atmanın tersi yönünde, ilerler. 2 8.2.2 Serbest uçtan yansıma Şekil-8.1b’deki gibi, ip kendisine dik bir sürtünmesiz çubuk üzerinde kayan hafif bir halkaya bağlanmış ise halka ve çubuk ipteki gerilimi korurlar fakat enine kuvvet uygulamazlar. Bir atma bu serbest uca geldiğinde halka çubuk boyunca kayar. Halka maksimum yer değiştirmeye ulaşır ve ip ile birlikte anlık olarak durur Bu anda ip daha da gerilmiştir ve dolayısıyla ipin serbest ucu aşağı doğru çekilir, bu da yansımış bir atma oluşturur. Serbest uçta, yansıyan atma gelen atmaya göre ters yönde hareket eder, ancak ipteki enine yer değiştirme gelen atma ile aynı yöndedir. 8.2.3 Yansıma ve geçme katsayısı İlerleyen bir dalga, çizgisel kütle yoğunlukları farklı iki ipin birleşme noktasına geldiğinde ikinci ortama geçme yanında yansıma da ortaya çıkar (Şekil-8.2). Şekil-8.2 İlerleyen bir dalganın çizgisel kütle yoğunlukları farklı iki ipin birleşme noktasındaki yansıması ve geçmesi (Şematik çizim). Boyca kütle yoğunlukları 𝜇1 ve 𝜇2 olan iplerin Şekil-8.2’deki gibi 𝑥 = 0 noktasında birleştiğini kabul edelim. İp üzerinde harmonik dalgaların yayıldığını kabul edelim. Ancak dalgaların harmonik olma zorunluluğu yoktur. Daha genel olarak gelen dalga 𝑓1 (𝑥 − 𝑣1 𝑡) , yansıyan dalga 𝑓2 (𝑥 + 𝑣1 𝑡) ve geçen dalga 𝑔(𝑥 − 𝑣2 𝑡) fonksiyonları ile temsil edilerek de hesaplamalar yapılabilir. 3 Bu durumda aşağıdaki bağıntıları yazabiliriz: 𝑦𝐼 (𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘1 𝑥 − 𝑡) (8.2a) Yansıyan dalga (-x yönünde) 𝑦𝑅 (𝑥, 𝑡) = 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝑘1 𝑥 + 𝑡) (8.2b) Geçen dalga (+x yönünde) 𝑦𝑇 (𝑥, 𝑡) = Ccos(𝑘2 𝑥 − 𝑡) (8.2c) Sol taraftaki bileşke dalga 𝑦1 (𝑥, 𝑡) = 𝑦𝐼 (𝑥, 𝑡) + 𝑦𝑅 (𝑥, 𝑡) (8.2d) Sağ taraftaki bileşke dalga 𝑦2 (𝑥, 𝑡) = 𝑦𝑇 (𝑥, 𝑡) (8.2e) Gelen dalga (+x yönünde) i) 𝒙 = 𝟎 noktasında iplerdeki enine yer değiştirmeler eşit olmalıdır. 𝑦1 (0, 𝑡) = 𝑦2 (0, 𝑡) veya 𝑦𝐼 (0, 𝑡) + 𝑦𝑅 (0, 𝑡) = 𝑦𝑇 (0, 𝑡) veya 𝐴𝐶𝑜𝑠(−𝑡) + 𝐵𝐶𝑜𝑠𝑡 = 𝐶𝐶𝑜𝑠(−𝑡) veya 𝐴𝐶𝑜𝑠𝑡 + 𝐵𝐶𝑜𝑠𝑡 = 𝐶𝐶𝑜𝑠𝑡 yazabiliriz. Burada her iki taraf 𝑐𝑜𝑠𝑡 ’ye bölünerek gelen, yansıyan ve geçen dalgaların genlikleri arasında 𝐴+𝐵 =𝐶 (8.3) ilişkisi elde edilir. ii) 𝒙 = 𝟎 noktasında ipler üzerindeki enine kuvvetler (gerilme kuvvetleri) her an eşit olmalıdır. Daha önce küçük salınımlarda enine kuvvet için 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝐹𝑦 = 𝑇 ( ) alınabileceğini göstermiştik (Bölüm 7.13’e bakınız). Bunu sınır koşulunda kullanarak (Birleşme noktasında iplerdeki T gerilimlerinin eşit olduğunu kabul ediyoruz). 𝑇 𝜕𝑦1 (𝑥,𝑡) 𝜕𝑥 | 𝑥=0 =𝑇 𝜕𝑦2 (𝑥,𝑡) | 𝜕𝑥 𝑥=0 veya 𝑇 𝜕𝑦𝐼 (𝑥,𝑡) 𝜕𝑥 | 𝑥=0 +𝑇 𝜕𝑦𝑅 (𝑥,𝑡) 𝜕𝑥 | 𝑥=0 =𝑇 𝜕𝑦𝑇 (𝑥,𝑡) 𝜕𝑥 | 𝑥=0 4 yazabiliriz. Burada Eşitlik-8.2’deki değerler kullanılarak −𝑇𝐴𝑘1 sin(−𝑡) − 𝑇𝐵𝑘1 sin(𝑡) = −𝑇𝐶𝑘2 sin(−𝑡) veya 𝑇𝐴𝑘1 sin𝑡 − 𝑇𝐵𝑘1 sin𝑡 = 𝑇𝐶𝑘2 sin𝑡 veya her iki taraf 𝑇sin𝑡’ye bölünerek 𝐴𝑘1 − 𝐵𝑘1 = 𝐶𝑘2 (8.4) elde edilir. Şimdi (8.3) ve (8.4) denklemlerini yeniden yazalım: 𝐴+𝐵 =𝐶 𝐴𝑘1 − 𝐵𝑘1 = 𝐶𝑘2 Birinci denklemi 𝑘1 ile çarpalım ve ikinci denklem ile taraf tarafa toplayalım: 𝑘1 𝐴 + 𝑘1 𝐵 = 𝑘1 𝐶 + 𝑘1 𝐴 − 𝑘1 𝐵 = 𝑘2 𝐶 2𝑘1 𝐴 = (𝑘1 + 𝑘2 )𝐶 Buradan 𝐶 𝐴 = 2𝑘1 (8.5) 𝑘1 +𝑘2 sonucunu elde ederiz. Eşitlik-8.3’den 𝐵 = 𝐶 − 𝐴 𝑣𝑒𝑦𝑎 𝐵 𝐴 𝐶 = −1 𝐴 yazabiliriz ve (8.5) denklemini burada kullanırsak 𝐵 2𝑘1 2𝑘1 − 𝑘1 − 𝑘2 𝑘1 − 𝑘2 = −1= = 𝐴 𝑘1 + 𝑘2 𝑘1 + 𝑘2 𝑘1 + 𝑘2 veya 𝐵 𝐴 = 𝑘1 −𝑘2 (8.6) 𝑘1 +𝑘2 sonucunu elde ederiz. İpteki dalganın ilerleme hızının 𝑣 = 𝑘 𝑇 = √ olduğunu biliyoruz. Buradan 𝜇 𝜇 𝑘 = √ = 𝑇 √𝑇 √𝜇 yazabiliriz. Birleşme noktasında dalgaların açısal frekansı () ve ipteki gerileme kuvveti (𝑇) eşit olacağından 𝑘1 = √𝑇 √𝜇1 (8.7a) 5 𝑘2 = √𝑇 √𝜇2 (8.7b) yazabiliriz. 𝐶 𝐵 𝐴 𝐴 Bu değerleri (8.5) ve (8.6) denklemlerinde kullanarak ve oranları için 𝐵 𝐴 𝐶 𝐴 =√ 𝜇1 −√𝜇2 (8.8a) √𝜇1 +√𝜇2 2√𝜇1 √𝜇1 +√𝜇2 = (8.8b) yazabiliriz. 𝑇 𝑣 oranına karakteristik empedans denir ve Z ile gösterilir yani 𝑍 = 𝑇𝑣 dir. Burada v hızı için 𝑣 = √𝑇⁄𝜇 değerini kullanırsak karakteristik empedans için 𝑍= 𝑇 𝑣 = 𝑇 = √𝑇 ⁄𝜇 𝑇 √𝜇 √𝑇 = √𝜇𝑇 ve 𝑍= 𝑇 𝑣 𝜇𝑣 2 = = 𝜇𝑣 𝑣 𝑍 yazabiliriz. İpin her yerinde T gerilimleri eşittir ve bundan dolayı √𝜇1 = 1 ve √𝑇 𝑍 2 √𝜇2 = √𝑇 yazılabilir. Bu değerler (8a) ve (8b) ifadelerinde kullanılarak 𝐵 𝐴 𝐶 𝐴 𝑍1 −𝑍2 = = 𝑍1 +𝑍2 2𝑍1 𝑍1 +𝑍2 (8.9a) (8.9b) sonuçları elde edilir. 𝐵 𝐴 𝐶 oranına yansıma katsayısı ve oranına ise geçme katsayısı adı verilir. Birinci 𝐴 ortamdan ikinci ortama gelen bir dalganın yansıma katsayısını R12 ile, birinci ortamdan ikinci ortama geçen dalganın geçme katsayısını 𝑇12 ile göstereceğiz. Bu tanımlama kullanılırsa (8.9a) ve (8.9b) ifadelerinden 𝑅12 = 𝑇12 = 𝐵 𝐴 𝐶 𝐴 = = 𝑍1 −𝑍2 𝑍1 +𝑍2 2𝑍1 𝑍1 +𝑍2 (8.10a) (8.10b) 6 yazabiliriz. Burada verilen yansıma ( 𝑅12 ) ve geçme ( 𝑇12 ) katsayılarının genlik yansıma ve geçme katsayıları olduğuna dikkat ediniz. Bazen yansıma ve geçme katsayıları gelen, yansıyan ve geçen dalganın enerjileri veya gücü cinsinden de tanımlanmaktadır. Burada kısaca bu konuya da değinmekte yarar vardır. Daha önce ip üzerinde ilerleyen bir dalganın bir dalga boyu uzunluğundaki kısmının taşıdığı enerjiyi hesaplamıştık (Eşitlik-7.104’e bakınız): 1 𝑊 = 𝜇2 𝐴2 (8.10c) 2 Buradan birim uzunluktaki enerji için 1 𝑊/ = 𝜇2 𝐴2 (8.10d) 2 yazabiliriz. Bu değeri dalganın ilerleme hızı v ile çarparsak enerji taşınma hızını yani gücü (P) elde ederiz (Eşitlik-105’e bakınız): 1 𝑃 = 𝜇2 𝐴2 𝑣 (8.10e) 2 Bu durumda ipte ilerleyen dalganın enerji taşıma hızını karakteristik empedans (𝑍 = 𝜇𝑣) cinsinden 1 1 2 2 𝑃 = 𝜇2 𝐴2 𝑣 = 𝑍2 𝐴2 (8.10f) ifadesi ile verebiliriz. Şimdi gelen, yansıyan ve geçen dalgaların birim zamanda taşıdıkları enerjileri yani gücü kullanılarak 𝑌𝑎𝑛𝑠𝚤𝑦𝑎𝑛 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑗𝑖 𝐺𝑒𝑙𝑒𝑛 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑗𝑖 𝐺𝑒ç𝑒𝑛 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑗𝑖 𝐺𝑒𝑙𝑒𝑛 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑗𝑖 = = 𝑌𝑎𝑛𝑠𝚤𝑦𝑎𝑛 𝑔üç 𝐺𝑒ç𝑒𝑛 𝑔üç 𝐺𝑒𝑙𝑒𝑛 𝑔üç 𝐺𝑒𝑙𝑒𝑛 𝑔üç = 1 𝑍 2 𝐶 2 2 2 1 𝑍 2 𝐴2 2 1 = = 1 𝑍 2 𝐵2 2 1 1 𝑍 2 𝐴2 2 1 𝐵 2 𝑍1 −𝑍2 2 𝐴 𝑍1 +𝑍2 =[ ] =[ 𝑍2 𝐶 2 𝑍2 𝑍1 𝐴 𝑍1 𝑍1 +𝑍2 [ ] = [ 2𝑍1 2 ] (8.10g) 4𝑍1 𝑍2 2 1 +𝑍2 ] (8.10h) ] = [𝑍 ifadelerini yazabiliriz. Bu ifadeler enerjiler için yansıma ve geçme katsayısı olarak adlandırılmaktadır. Şimdi bazı özel durumlara bakalım: i) Kusursuz dalga direnci (empedans) denkleşmesi. Eğer 𝑍1 = 𝑍2 ise yansıyan dalga yoktur yani 𝑅12 = 0’dır. Geçirme katsayısı 𝑇12 = 1 olur. Burada 𝑍1 = 𝑍2 olması iki ortamın özdeş olmasını gerektirmediğine dikkat 7 ediniz. Örneğin bu durum, aynı gerilme (T) ve aynı çizgisel kütle yoğunluğa sahip iki ipin birer uçlarının bir araya getirmesi ile mümkün olabilir. ii) Sonsuz karşı koyma Eğer 𝑍2 𝑍1 oranı sonsuz ise 𝑅12 = −1 ve 𝑇12 = 0 olur. Bu durumda 𝑥 = 0 noktası durgun kalır. 𝑥 = 0 'da gelen ve yansıyan dalgalar üst üste gelerek sıfır yer değiştirme ve sıfır hız verirler. Yukarıya doğru artı yer değiştirmeli bir gelen dalga pulsu yansımadan sonra aşağı yönelmiş eksi bir pulsa döner. 𝑥 = 0'da ipe etkiyen kuvvet kusursuz bitişteki ile aynı doğrultuda ancak kusursuz bir bitiş sağlamak için gerekli olandan iki kez daha büyük olur. Böylece gelen dalga ile eşit büyüklükte, eksi genlikli bir yansımış dalga oluşturur (Şekil-8.1a'ya bakınız). iii) Sıfır karşı koyma Eğer 𝑍2 ⁄𝑍1 = 0 ise (𝑍2 = 0), ipin 𝑥 = 0'daki ucu bir serbest uçtur. O zaman ipin eğimi 𝑥 = 0 noktasında sıfır kalır. Bu durumda 𝑅12 = 1 ve 𝑇12 = 0 olur. Artı yer değiştirmeli olarak gelen puls (veya dalga) yansıdıktan sonra da bir artı yer değiştirmeli puls (veya dalga) olarak geri döner (Şekil-8.1b'ye bakınız). Burada yansıma ve geçirme katsayıları arasında 𝑇12 = 1 + 𝑅12 (8.11) ilişkisinin olduğuna dikkat ediniz. 8 8.2.3 Elektromanyetik dalganın dielektrik ara yüzeyden yansıması z-ekseni yönünde ilerleyen bir düzlem elektromanyetik dalgayı kompleks üstel fonksiyon gösterimini kullanarak 𝐸⃗ = 𝐸⃗0 𝑒 𝑖(𝑘𝑧−𝜔𝑡) (8.12) ifadesi ile tanımlayabiliriz. Burada ⃗𝐸0 elektrik alanın genliği, 𝑘 = 2𝜋/ dalga sayısı ve açısal frekanstır. Elektromanyetik dalganın, kırma indisi 𝑛1 olan dielektrik bir ortamdan kırma indisi 𝑛2 olan dielektrik bir ortamın ara yüzeyine (x-y düzlemi) dik geldiğini kabul edelim (Şekil-8.3). Elektromanyetik dalganın yüzeye eğik geldiği durumu bu ders kapsamında ele almayacağız. Şekil-8.3. Bir düzlem elektromanyetik dalganın iki farklı dielektrik ortamı ayıran ara yüzeye (x-y düzlemi) dik gelmesi durumunda yansıyan ve geçen dalgaların 𝑛2 > 𝑛1 ve 𝑛2 < 𝑛1 durumu için gösterimi. Burada B=µH dir. Şekil-8.3’de gelen, yansıyan ve geçen düzlem elektromanyetik dalganın elektrik ve manyetik alan vektörlerinin doğrultu ve yönleri belirtilmiştir. Burada gelen, yansıyan ve geçen dalgalar doğrusal kutuplu dalgalardır. Elektromanyetik dalganın ⃗ vektörel çarpımının yönünde olduğuna dikkat ediniz. ilerleme yönü 𝐸⃗ 𝑥𝐵 Birinci ortamın (z<0 bölgesi) kırma indisi 𝑛1 , ikinci ortamın (z>0 bölgesi) kırma indisi ise 𝑛2 ’dir. Gelen ve geçen dalga +z yönünde, yansıyan dalga ise –z yönünde ilerlemektedir. Gelen dalganın elektrik alan bileşeninin x-ekseni doğrultusunda manyetik alan bileşeninin ise y-ekseni doğrultusundadır. Bu durumda gelen, 9 yansıyan ve geçen elektromanyetik dalganın elektrik ve manyetik alanları için (Şekil-8.3): Gelen dalga 𝐸⃗𝐼 (𝑧, 𝑡) = 𝐸0𝐼 𝑒 𝑖(𝑘1 𝑧−𝜔𝑡) 𝑖 (8.13a) Yansıyan dalga 𝐸⃗𝑅 (𝑧, 𝑡) = 𝐸0𝑅 𝑒 𝑖(𝑘1𝑧+𝜔𝑡) 𝑖 (8.13b) Geçen dalga 𝐸⃗𝑇 (𝑧, 𝑡) = 𝐸0𝑇 𝑒 𝑖(𝑘2𝑧−𝜔𝑡) 𝑖 (8.13c) Gelen dalga ⃗ 𝐼 (𝑧, 𝑡) = 𝐸0𝐼 𝑒 𝑖(𝑘1 𝑧−𝜔𝑡) 𝑗 𝐵 (8.14a) Yansıyan dalga ⃗ 𝑅 (𝑧, 𝑡) = − 𝐸0𝑅 𝑒 𝑖(𝑘1 𝑧+𝜔𝑡) 𝑗 𝐵 (8.14b) Geçen dalga ⃗ 𝑇 (𝑧, 𝑡) = 𝐸0𝑇 𝑒 𝑖(𝑘2𝑧−𝜔𝑡) 𝑗 𝐵 (8.14c) 𝑣1 𝑣1 𝑣2 ifadelerini yazabiliriz. İki ortamı ayıran ara yüzeyde (z=0) elektrik alanının ve manyetik alanın yüzeye teğet bileşenleri her an eşit olmalıdır: 𝐸⃗𝐼 (0, 𝑡) + 𝐸⃗𝑅 (0, 𝑡) = 𝐸⃗𝑇 (0, 𝑡) (8.15a) ⃗ 𝐼 (0, 𝑡) + 𝐵 ⃗ 𝑅 (0, 𝑡) = 𝐵 ⃗ 𝑇 (0, 𝑡) 𝐵 (8.15b) Eşitlik-8.13’de verilen ifadeler Eşitlik-8.15a’da kullanılırsa (z=0 alınarak): 𝐸0𝐼 𝑒 𝑖(−𝜔𝑡) 𝑖+𝐸0𝑅 𝑒 𝑖(𝜔𝑡) 𝑖 = 𝐸0𝑇 𝑒 𝑖(−𝜔𝑡) 𝑖 (8.16a) 𝐸0𝐼 +𝐸0𝑅 = 𝐸0𝑇 (8.16b) veya elde edilir. Benzer şekilde Eşitlik-8.14’de verilen ifadeler Eşitlik-8.15b’da kullanılırsa (z=0 alınarak): 𝐸0𝐼 𝑣1 𝑒 𝑖(−𝜔𝑡) 𝑗 − 𝐸0𝑅 𝑣1 𝑒 𝑖(𝜔𝑡) 𝑗 = 𝐸0𝑇 𝑣2 𝑒 𝑖(−𝜔𝑡) 𝑗 (8.17a) veya 𝐸0𝐼 𝑣1 elde edilir. Burada 𝑣1 𝑣2 = 𝑛2 𝑛1 − 𝐸0𝑅 𝑣1 = 𝐸0𝑇 𝑣2 (8.17b) olduğu kullanılarak 10 𝐸0𝐼 − 𝐸0𝑅 = 𝑣1 𝑣2 𝐸0𝑇 = 𝑛2 𝑛1 𝐸0𝑇 (8.17c) yazılabilir ve (8.16b) ve (8.17c) ortak çözülerek 𝐸0𝑅 = 𝐸0𝑇 = 𝑛1 −𝑛2 𝑛1 +𝑛2 2𝑛1 𝑛1 +𝑛2 𝐸0𝐼 (8.18a) 𝐸0𝐼 (8.18b) elde edilir. Böylece yansıyan ve geçen dalganın genliği gelen dalganın genliği cinsiden ifade edilmiş olur. Burada da mekanik dalgalardakine benzer şekilde yansıma (𝑅12) ve geçme (𝑇12) katsayıları tanımlayabiliriz: Yansıma Katsayısı 𝑅12 = Geçme Katsayısı 𝑇12 = 𝐸0𝑅 𝐸0𝐼 𝐸0𝑇 𝐸0𝐼 = = 𝑛1 −𝑛2 𝑛1 +𝑛2 2𝑛1 𝑛1 +𝑛2 (8.19a) (8.19b) Eğer 𝑛2 > 𝑛1 ise 𝑅12 <0 ve dolaysıyla 𝐸0𝑅 < 0 olacaktır. Bu durumda Eşitlik-8.13a ve 8.13b’de verilen 𝐸⃗𝐼 (0, 𝑡) ve 𝐸⃗𝑅 (0, 𝑡) vektörleri zıt yönlü olacaktır (Şekil-8.3). Dolaysıyla ara yüzeyden yansıyan elektromanyetik dalganın kadarlık bir faz değişimi olacağı açıktır. Eğer 𝑛2 < 𝑛1 ise 𝑅12>0 ve dolaysıyla 𝐸𝑅 > 0 olacaktır. Bu durumda Eşitlik-8.13a ve 8.13b’de verilen 𝐸⃗𝐼 (0, 𝑡) ve 𝐸⃗𝑅 (0, 𝑡) vektörleri aynı yönlü olacaktır (Şekil-8.3). Bu durumda ara yüzeyden yansıyan elektromanyetik dalgada faz değişimi olmayacaktır. Kırma indisinin tanımından 𝑛1 = 𝑐 𝑣1 ve 𝑛2 = 𝑐 𝑣2 olduğunu biliyoruz. Bunlar kullanılarak yansıma (𝑅12) ve geçme (𝑇12) katsayıları, dalganın ortamada yayılma hızları cinsinden, Yansıma Katsayısı 𝑅12 = Geçme Katsayısı 𝑇12 = 𝐸𝑅 𝐸𝐼 𝐸𝑇 𝐸𝐼 = = 𝑣2 −𝑣1 𝑣2 +𝑣1 2𝑣2 𝑣1 +𝑣2 (8.20a) (8.20b) şeklinde yazılır. 11 Burada karakteristik kullanılarak 𝜇1 𝐸𝐼 𝐵𝐼 empedans tanımı 𝑍 = = 𝑍1 = 𝜇1 𝑣1 ve 𝜇1 𝐸𝑅 𝐵𝑅 𝐸 𝐻 = 𝜇𝐸 𝐵 = 𝜇𝑣𝐵 𝐵 = −𝑍1 = −𝜇1 𝑣1 ve = 𝜇𝑣 = 𝜇2 𝐸𝑇 𝐻𝑇 𝜇 √𝜇𝜀 =√ 𝜇 𝜀 = 𝑍2 = 𝜇2 𝑣2 yazılabilir (Burada B=µH). İsotropik homojen dielektrikler için 𝜇 = 𝜇0 olduğundan 𝑣1 = 𝑍1 𝜇0 ve 𝑣2 = 𝑍2 𝜇0 alınır ve bu değerler (8.20a) ve (8.20b) eşitliklerinde yerine yazılırsa yansıma (𝑅12) ve geçme (𝑇12) katsayıları empedanslar cinsinden 𝑅12 = 𝑇12 = 𝐸𝑅 𝐸𝐼 𝐸𝑇 𝐸𝐼 = = 𝜇 𝑍2 −𝑍1 (8.21a) 𝑍2 +𝑍1 2𝑍2 (8.21b) 𝑍2 +𝑍1 4𝜋×10−7 şeklinde ifade edilebilir. Boşluk için 𝑍0 = √ 0 = √ ≅ 377 Ω dir. 𝜀 8,854×10−12 0 Bu ders kapsamında bu konuya daha fazla zaman ayırmayacağız. Elektrik ve Manyetizma dersinde bu konular daha genel olarak ele alınacaktır. Ancak yansıma ve geçme katsayı kavramlarının hem mekanik ve hem de elektromanyetik dalgalar için geçerli olduğuna dikkat ediniz. Bir dielektrik malzemede (D=E) ’nin değeri uygulanan elektrik alan (E) ile değişmiyorsa lineerdir; madde içinde noktadan noktaya değişmiyorsa homojendir ve madde içinde doğrultuya bağlı değişmiyorsa isotropiktir denir. Buradaki tartışma bu tanımlamaya uyan iki dielektrik ortamın ara yüzeyine dik gelen elektomanyetik dalgalar için geçerlidir. 8.3 KUTUPLANMA (Polarizasyon) Kutuplanma enine dalgaların bir özelliğidir. Burada sadece elektromanyetik dalgaların kutuplanmasından söz edeceğiz. Bir elektromanyetik dalgada elektrik ve manyetik alan vektörleri yayılma yönüne diktir. Ayrıca elektrik alan vektörü ile manyetik alan vektörünün de birbirine dik olduğunu biliyoruz. Şimdi bir düzlem elektromanyetik dalganın kutuplanmasını kısaca ele alalım. 12 8.3.1 Düzlem elektromanyetik dalgaların kutuplanması Bir elektromanyetik dalganın kutuplanma doğrultusu her zaman elektrik alan vektörü 𝐸⃗ `nin doğrultusunda alınır. Bunun nedeni, birçok elektromanyetik dalga dedektörünün elektromanyetik dalganın elektrik alan bileşenine duyarlı çalışmasıdır. 8.3.2 Doğrusal (düzlemsel) kutuplu elektromanyetik dalgalar 𝐸⃗ (𝑥, 𝑡) = 𝑗𝐸0 cos(𝑘𝑥 − 𝑡) (8.22a) ⃗ 𝐵0 cos(𝑘𝑥 − 𝑡) ⃗ (𝑥, 𝑡) = 𝑘 𝐵 (8.22b) ifadeler ile tanımlanan elektromanyetik dalga y-ekseninde kutupludur (Elektrik alanın sadece y-bileşeni vardır). Bu dalgaya doğrusal kutuplanmıştır denir. Bazen buna düzlem kutupludur da denir. Elektrik alanın titreşim doğrultusu (bu örnekte y-ekseni) ile yayılma doğrultusunun (bu örnekte x-ekseni) oluşturduğu düzleme kutuplanma düzlemi (bu örnekte xy-düzlemi) denir. Fizik Lab. III dersinde mikrodalga elektromanyetik deneylerinde dalgalar doğrusal kullanacaksınız ve (veya düzlemsel) kutuplanma kutuplu doğrultusunu belirleyeceksiniz. Radyo vericisi tarafından yayınlanan elektromanyetik dalgalar genellikle doğrusal kutupludur. Radyo yayınları için kullanılan dik antenler, antenin etrafındaki yatay düzleme dik kutuplu dalgalar yayarlar. Çatı antenleri genelde ABD’de yatay, AB ülkelerinde dikey elemanlar içerir. 8.3.3 Dairesel ve eliptik kutuplu elektromanyetik dalgalar Bazı durumlarda bir düzlem dalganın 𝐸⃗ alanının verilen bir noktadaki doğrultusu zamanla değişebilir. İki doğrusal kutuplanmış dalganın üst üste bindirilmesini düşünelim. Biri y-doğrultusunda kutuplanmış diğeri z-doğrultusunda kutuplanmış ve zaman fazında 𝜋⁄2 radyan gecikmeli olsun. Bu durumda bileşke elektrik alan vektörü 𝐸⃗ 'yi 13 ⃗ 𝐸𝑧 (𝑥, 𝑡) = 𝑗𝐸0𝑦 cos(𝑘𝑥 − 𝑡) + 𝑘 ⃗ 𝐸0𝑧 cos(𝑘𝑥 − 𝑡 + 𝜋) 𝐸⃗ (𝑥, 𝑡) = 𝑗𝐸𝑦 (𝑥, 𝑡) + 𝑘 2 (8.23) şeklinde yazabiliriz. Verilen bir noktada t değişirken 𝐸⃗ 'nin yön değişimini incelemek için 𝑥 = 0 almak işimizi kolaylaştırır (Ancak bunu yapmak şart değildir.) Böylece (8.23)’de verilen 𝐸⃗ alanını 𝑥 = 0 düzleminde ⃗ 𝐸0𝑧 cos (−𝑡 + 𝜋) = 𝑗𝐸0𝑦 cos 𝑡 + 𝑘 ⃗ 𝐸0𝑧 cos (𝑡 − 𝜋) 𝐸⃗ (0, 𝑡) = 𝑗𝐸0𝑦 cos(−𝑡) + 𝑘 2 2 veya ⃗ 𝐸0𝑧 sin𝑡 𝐸⃗ (0, 𝑡) = 𝑗𝐸0𝑦 cos𝑡 + 𝑘 şeklinde yazabiliriz. Burada 𝑡 , 0'dan 𝜋⁄2 , 𝜋 ve 3𝜋 2 (8.24) 'ye artarak 2𝜋'de döngüyü tamamlarken 𝐸⃗ (0, 𝑡) vektörünün ucu saat ibrelerinin tersi yönünde eliptik bir yörünge çizer. Eşitlik-8.24’ü yeniden ⃗ 𝐸0𝑧 sin𝑡 = 𝑗𝐸1 (0, 𝑡) + 𝑘 ⃗ 𝐸2 (0, 𝑡) 𝐸⃗ (0, 𝑡) = 𝑗𝐸0𝑦 cos𝑡 + 𝑘 (8.25) Şeklinde yazabiliriz. Burada 𝐸1 (0, 𝑡) = 𝐸0𝑦 cos𝑡 (8.26a) 𝐸2 (0, 𝑡) = 𝐸0𝑧 sint (8.26b) veya cos 𝑡 = 𝐸1 (0,𝑡) sin 𝑡 = 𝐸2 (0,𝑡) 𝐸0𝑦 𝐸0𝑧 veya sin 𝑡 + cos 𝑡 = [ 2 2 [ 𝐸2 (0,𝑡) 2 𝐸0𝑧 𝐸2 (0,𝑡) 2 ] +[ 𝐸0𝑧 𝐸1 (0,𝑡) ] +[ 𝐸0𝑦 𝐸1 (0,𝑡) 𝐸0𝑦 2 ] 2 ] =1 (8.27) yazabiliriz. Bu eşitlik merkezi orijinde olan bir elips tanımlar. Böylece birbirine uzayda ve zamanda dik iki doğrusal kutuplanmış dalganın toplamı olan 𝐸⃗ , eğer 𝐸0𝑧 ≠ 𝐸0𝑦 ise eliptik kutuplanmış ve eğer 𝐸0𝑧 = 𝐸0𝑦 ise dairesel kutuplanmıştır. Eğer 𝐸2 (𝑥) ve 𝐸1 (𝑥) uzayda dik ama zamanda eş fazlı ise 𝐸⃗ 'nin 𝑥 = 0 'daki anlık ifadesi ⃗ 𝐸0𝑧 )𝑐𝑜𝑠𝑡 𝐸⃗ (0, 𝑡) = (𝑗𝐸0𝑦 + 𝑘 (8.28) 14 olur. 𝐸⃗ (0, 𝑡) vektörünün y-ekseni ile = 𝑡𝑎𝑛−1 (𝐸0𝑧 ⁄𝐸0𝑦 ) açısı yapan doğru boyunca doğrusal kutuplanmış olduğunu söyleriz. Bu üç durum Şekil-8.4'de özetlenmiştir. Şekil-8.4 Elektromanyetik dalganın kutuplanması. Bu şekillerde, şekillerin görünümünün karışık olmaması için, elektromanyetik dalganın sadece elektrik alanları çizilmiştir. Elektromanyetik dalga kutuplayıcıları, dalga boyuna bağlı olarak farklı şekilde yapılır. Bir kaç santimetrelik dalga boyuna sahip mikrodalgaların kutuplanması için genellikle birbirinden yalıtılmış ve birbirine paralel iletken tel dizini kullanılır (Fizik Lab-III dersinde bunun deneyini yapacaksınız). Etrafı yalıtkan madde ile çevrilmiş bir tel ızgara düşünün (Şekil-8.5). Şekil-8.5. Mikrodalganın paralel telli ızgaradan geçerken kutuplanması. Gelen dalganın elektrik alanı tel doğrultusunda olduğunda, tellerin içindeki elektronlar, elektrik alanın etkisiyle tel boyunca serbest hareket ederler. Tellerde oluşan elektrik alanı 𝐼 2 𝑅 ile orantılı ısı oluşturacağından enerji kaybına yol açar. Bu enerji dalganın enerjisidir ve ızgaradan geçen dalganın genliğinin azalmasına 15 yol açar. Bu ise gelen dalganın tel doğrultusundaki bileşeninin tel tarafından soğurulduğu yani geçemediği anlamına gelir. Gelen dalganın elektrik alanı tellere dik doğrultuda olduğunda elektronlar teller arasındaki havadan geçemeyeceği için elektrik alan enerjisini kaybetmez ve ızgaradan hemen hiç etkilenmezler. Bu nedenle böyle bir filtreden geçen dalgalar tellere dik doğrultuda kutuplanmış olur. Görünür ışık için en sık kullanılan kutuplandırıcı filtre Polaroid markası ile bilinen ve güneş gözlüğü ve fotoğraf makinesi filtresi olarak da sıklıkla kullanılan malzemedir. Bu filtreler Edwin H. Land tarafından geliştirilmiştir. Polaroid malzemesi, çift renkli denilen ve bir kutuplu ışığın diğer kutba göre çok daha fazla soğrulmasına neden olan yapılar içerir (Şekil-8.6). Bir polaroid filtresi, kutuplaştırma ekseni denen filtre içinden belli bir eksene paralel kutuplu ışığın %80 ve fazlasını, bu eksene dik kutuplu ışığın ise sadece %1'ni geçirir. Şekil-8.6 Bir polaroid filtresinin kutupsuz doğal ışığı kutuplaması. Başka tür bir polaroid filtresinde de, uzun zincirli moleküller, eksenleri kutuplaştırma eksenine dik olacak şekilde yerleşmiştir. Bu moleküller, yukarıdaki iletken tel örneğinde olduğu gibi, sadece eksenlerine paralel kutuplu ışığı soğururlar (Laboratuvardaki deneylerde bu türden kutuplayıcılar kullanacaksınız). 16 Radyo frekansında yayılan elektromanyetik dalgalar için dairesel ve eliptik kutupluluk, birbirine dik iki anten kullanılarak oluşturulabilir. Antenler aynı verici ile beslenirler ancak uygun faz farkını yaratan bir faz kaydırıcı devre ile birlikte düzenlenmişlerdir. Işık için gerekli faz farkı çiftkırılım gösteren malzemelerin kullanılmasıyla oluşturulabilir. Bu malzemeler farklı kutuplanmalar için farklı kırılma indisi gösterir. Çok kullanılan bir örnek kalsit (CaCO3) kristalidir. Bir kalsit kristali kutupsuz ışığın önüne uygun bir şekilde yerleştirildiğinde, bir yöndeki kutuplu ışık için kırılma indisi (boşlukta dalga boyu 598 nm olan ışık için) 1,658, ona dik yöndeki kutuplu ışık için ise 1,468 nm’dir. Eşit genlikteki fakat birbirine dik kutuplu iki dalga böyle bir malzeme içinde farklı hızda hareket eder. Maddeye girerken aynı fazda olsalar da, çıktıkları zaman artık aynı fazda değildirler. Eğer kristal tam bir çeyrek devirlik faz farkı oluşturacak kalınlıkta ise, doğrusal kutuplu ışık dairesel kutuplu ışığa çevrilir (Şekil-8.7). Böyle bir kristal çeyrek-dalga levhası olarak adlandırılır. Şekil-8.7. Doğrusal kutuplu bir ışığın çeyrek-dalga levhasından geçtikten sonra dairesel kuruplanması. 8.3.4 Yansıma ile kutuplanma Kutuplanmamış ışıktan kutuplanmış ışık üretmenin diğer bir yolu ise yansımayı kullanmaktır. Kutupsuz ışık, yansıma yoluyla kısmen veya tamamen kutuplu hale getirilebilir. Şekil-8.8’da kutupsuz doğal ışık saydam iki optik malzeme arasındaki yüzeye gelmektedir. Gelen ve yansıyan ışıkları ve yüzeyin normalini içeren düzleme gelme düzlemi denir. Çoğu gelme açısı için, elektrik alan vektörü 𝐸⃗ ‘nin 17 bu gelme düzlemine dik olduğu başka bir deyişle yansıtıcı yüzeye paralel olduğu dalgalar, elektrik alanları bu düzlemde olan dalgalara göre daha çok yansıtılır. Bu durumda yansıyan ışık, gelme düzlemine dik yönde kısmen kutuplanmış olur. Şekil-8.8. Kutupsuz ışığın yansıma ile kutuplanması. 1812 yılında Britanyalı bilim adamı Sir David Brewster, gelme açısının kutuplanma açısı 𝜃𝑃 ’ye eşit olduğunda, yansıyan ışın ile kırılan ışının birbirine dik olduklarını keşfetti Bu durumda kırılma açısı 𝜃𝑏 , 𝜃𝑃 ’nin tamlayanıdır yani 𝜃𝑏 = 90𝑜 − 𝜃𝑃 dir. Kırılma yasasından 𝑛1 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑃 = 𝑛2 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑏 (8.29) 𝑛1 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑃 = 𝑛2 sin(90𝑜 − 𝜃𝑃 ) = 𝑛2 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑃 (8.30) dolaysıyla 𝑡𝑎𝑛𝜃𝑃 = 𝑛2 𝑛1 (8.31) yazılır. Bu ilişki Brewster yasası olarak bilinir. Kutuplanma açısına (𝜃𝑃 ) aynı zamanda Brewster açısı denir. Bu açı çoğu kez 𝜃𝐵 ile gösterilir ve (8.31) bağıntısı 𝑡𝑎𝑛𝜃𝐵 = şeklinde verilir. Eğer birinci ortam hava ise 𝑛2 𝑛1 𝑛2 𝑛1 (8.32) = 𝑛 alınabilir (n bağıl kırma indisi). Bu durumda (8.32) bağıntısı 𝑡𝑎𝑛𝜃𝐵 = 𝑛 (8.33) şeklinde yazılabilir. Bu yasa başlangıçta deneysel olarak bulunmasına rağmen, dalga modeli ve Maxvell denklemleri kullanılarak kuramsal olarak da gösterilebilir. Bu ders 18 kapsamında buna giremeyeceğiz. Fizik Lab. III dersinde bu yasayı deneysel olarak gözleyeceksiniz. 8.3.4 Malus yasası Şekil-8.9’da x-ekseni doğrultusunda ilerleyen kutuplanmamış bir ışık bir kutuplayıcı üstüne düşürülüyor. Elektrik alan vektörünün kutuplama ekseni üzerindeki izdüşümü boyunca, kutuplanmış ışık kutuplayıcıdan geçer, diğer doğrultudaki bileşenleri soğrulur. Kutuplayıcının kutuplanma ekseni y-ekseni doğrultusunda seçildiği için polarize olmuş ışık y-ekseni doğrultusunda olacaktır. Şekil-8.9. Malus yasası. Kutuplayıcıdan geçen elektrik alan vektörünün genliği 𝐸1 ile gösterilirse, kutuplanmış ışığın şiddeti: 𝐼1 = 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑡 × 𝐸12 (8.34) şeklinde ifade edilebilir. Kutuplanmış ışığın önüne yeni bir kutuplayıcı daha yerleştirelim (Buna analizör denir). Analizörün kutuplayıcı ekseni ile kutuplanmış ışığın arasındaki açı 𝜃 olsun. Analizörden geçen ışığın elektrik alanı 𝐸1 𝑐𝑜𝑠𝜃 olacaktır. Dolayısıyla analizörden geçen ışığın şiddeti 𝐼 = 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑡 × (𝐸1 𝑐𝑜𝑠𝜃)2 = 𝐼1 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 (8.35) 19 olacaktır. Bu bağıntıya Fransız bilim adamı Étienne-Louis Malus (1775– 1812)’un adını anmak için Malus yasası denir. Malus yasası sadece analizöre gelen ışık doğrusal kutuplu ise geçerlidir. Fizik Lab. III dersinde mikrodalga kullanarak bu bağıntıyı sınama şansınız olacaktır. (Bu konular için Young and Freedman, University Physics kitabına bakabilirsiniz). 8.4 HUYGENS İLKESİ İlk defa Hollandalı bilim adamı Christian Huygens (1629-1695) tarafından 1678'de ifade edilen bu ilke, belirli bir zamanda bilinen bir dalga cephesini kullanarak daha ileri bir zamandaki dalga cephesini bulmaya yarayan geometrik bir yöntemdir. Huygens'in varsayımına göre, bir dalga cephesi üzerindeki her nokta, her yöne doğru yayılan ve ana dalga ile aynı hıza sahip ikincil dalgaların kaynağı olarak düşünülebilir. Bu durumda, ileri bir zamanda oluşacak yeni dalga cephesi de bu ikincil dalgacıklara teğet veya zarf oluşturarak bulunur (Şekil-10). Huygens ilkesiyle bulacağımız tüm sonuçlar Maxwell denklemleriyle de bulunabilir. Ancak Huygens ilkesi birçok durumda dalga hareketini içeren olayların hesaplarında kolaylık sağlar. Şekil-8.10. Huygens ilkesi: (a) İlk dalga cephesi düzlemsel. (b) İlk dalga cephesi küresel. Başlangıçta AA' ile gösterilen dalga cephesi, oklarla gösterildiği gibi kaynaktan dışa doğru ilerlemektedir. Dalganın hızı v ise t süresi içinde alacağı yol = vt olur. AA' eğrisi üzerindeki noktaların merkez olduğu ve r = vt yarıçaplı birçok çemberler (ikincil dalgaları temsilen) çizelim. Bu dalgacıkların zarfı olan BB' 20 eğrisi yeni dalga cephesini oluşturur. Burada v hızının her nokta ve yön için aynı olduğunu kabul ediyoruz. Kaynaktan dışarıya doğru yayılan dalgalar, dalga boyu ile karşılaştırıldığında oldukça küçük olan bir yarık içeren bir engelle karşılaşırsa bu yarık, dairesel dalgalar yayan yeni bir dalga kaynağı gibi davranır. Sonuçta, delikten geçişi takiben delik kenarlarından dışarı yayılan bir dalga oluşur. Dalganın, deliğin kenarları etrafındaki yayılmasına kırınım denir. Bu olaya deneysel bir örnek Şekil-8.12'de gösterilmiştir. Şekil-8.11a'da birincil dalgalar dairesel; Şekil8.11b'de ise birincil dalgalar doğrusaldır. Bu deneyi laboratuvarda bulunan dalga leğeninde siz de yapabilirsiniz. Şekil-8.11. Dalga leğeninde dalga cephelerinin genişlemesi ve dar bir yarıkta Huygens dalgacıklarının meydana gelmesi. (a) Birincil dalgalar dairesel. (b) Birincil dalgalar doğrusal. 8.4.1 Huygens ilkesi ve yansıma Dalgaların bir yüzeyden yansıma yasasını Huygens ilkesini kullanarak çıkarmak mümkündür. Bunun için düz ve yansıtıcı bir yüzeye gelen bir düzlem dalga düşünelim (Şekil-8.12a). Bu şekilde MM' ara yüzeyine gelen düzlem dalganın ardışık dalga cepheleri AA', OB' ve NC' olarak gösterilmiştir. Şekilde AA' dalga cephesinin A noktası bu yüzeye henüz gelmiştir. Huygens ilkesini kullanarak t zamanı sonrasında dalga cephesinin konumunu bulabiliriz. AA' üzerindeki noktalar merkez olacak şekilde r = vt yarıçaplı birçok ikincil dalgacıklar çizelim. AA' dalga cephesinin üst ucu yakınlarında oluşan dalgalar bir engelle 21 karşılaşmadan ilerler ve bunların zarfı yeni bir dalga cephesinin OB' kısmını oluşturur. Şekil-8.12. Huygens ilkesini kullanarak yansıma kuralının çıkarılması. (a) 𝐴𝐴′ düzlem dalgasının art arda gelen konumu düzlem yüzeyden yansıyor. (b) (a)’nın büyütülmüş bir kısmı. Yansıtıcı yüzey olmasaydı AA' dalga cephesinin alt ucu yakınlarında oluşan dalgacıkların alacağı şekil kesikli çizgi ile gösterilmiştir. Ancak bu dalgacıklar yansıtıcı yüzeye çarpmıştır. Yansıtıcının etkisi, üzerine çarpan dalgacıkların ilerleme yönünü değiştirmektedir. Dolayısıyla ara yüzey olmasaydı ilerleyecek olan bu dalgacıklar şimdi şekilde kesiksiz çizgi ile gösterildiği gibi yüzeyin solunda yer alır. Böyle dalgacıklardan ilki A noktası merkezlidir. Bu şekilde yansıtılan dalgacıkların zarfı da dalga cephesinin OB kısmıdır. Bu anda tüm dalga cephesinin yolu BOB' kıvrımıdır. Benzer şekilde, yine t zamanı sonrasında dalga cephesi CNC' olur. Düzlem geometri bilgisinden, gelen dalga cephesi ile yüzey arasındaki 𝜃𝑎 açısı, gelen ışın ile yüzeyin normali arasındaki açıya, yani gelme açısına ve benzer şekilde 𝜃𝑟 de yansıma açısına eşittir Bu açılar arasındaki ilişkiyi bulmak için Şekil-8.12b'den yararlanacağız. O noktasından 𝐴𝐴 ' çizgisine dik 𝑂𝑃 = 𝑣𝑡 çizgisi çizelim. Bu çizime göre 𝑂𝐵 doğrusu, 𝐴 merkezli ve 𝑣𝑡 yarıçaplı çembere teğet olur. A noktasından teğet noktasına 𝐴𝑄 çizgisi çizilirse, 𝐴𝑃𝑂 ve 𝑂𝑄𝐴 dik üçgenleri, 𝐴𝑄 kenarları ortak ve 𝐴𝑄 = 𝑂𝑃 = 𝑣𝑡 olduğundan eş üçgenler olur. Dolayısıyla 𝜃𝑎 açısı 𝜃𝑟 açısına 22 eşittir, bu sonuç yansıma yasasıdır. Özetlersek yansım olayında, gelen ışın, yansıyan ışın ve normal aynı düzlemde olup, 𝜃𝑎 gelme açısı, 𝜃𝑟 yansıma açısına eşittir. 8.4.2 Huygens ilkesi ve kırılma Şekil-8.13'de Kırılma indisleri 𝑛𝑎 ve 𝑛𝑏 olan a ve b ortamlarını ayıran SS' ara yüzüne gelmekte olan AA' dalga cephesi, A noktası b ortamına tam değerken gösterilmiştir (yansıyan dalgalar burada gösterilmemiştir) Huygens ilkesini kullanarak, t zaman sonrasında kırılan dalga cephesinin konumunu bulabiliriz. Şekil-8.13. Huygens ilkesi kullanılarak kırılma yasasının çıkarılması. (a) 𝐴𝐴′ düzlem dalgasının art arda gelen konumu düzlem yüzeyde kırılmaya uğruyor. (b) (a)’nın büyütülmüş bir kısmı. AA' üzerindeki noktalar merkez olmak üzere birçok ikincil dalgacık çizelim. AA' dalga cephesinin üst ucu yakınlarında oluşan dalgacıklar 𝑣𝑎 hızı ile hareket ederler ve t zamanı sonrasında 𝑣𝑎 𝑡 yarıçaplı küresel yüzeyler oluştururlar. A noktasından çıkan dalgacıklar ise ikincil malzeme b içinde 𝑣𝑏 hızı ile hareket ederler ve t zamanı sonrasında 𝑣𝑏 𝑡 yarıçaplı küresel yüzeyler oluştururlar. Başlangıçtaki dalga cephesinden çıkan dalgacıkların zarfı BOB' kıvrımıdır. Benzer şekilde, yine bir t zamanı sonrası dalga cephesi de CPC' olur. Gelen ve kırılan dalga cepheleri ile yüzeyler arasındaki açılar 𝜃𝑎 𝑣𝑒 𝜃𝑏 sırasıyla gelme ve kırılma açılarıdır. Bu açılar arasındaki ilişkiyi bulmak için Şekil-8.13b'ye bakalım. AQ' ya dik 𝑂𝑄 = 𝑣𝑎 𝑡 ve BO' ya dik 𝐴𝐵 = 𝑣𝑏 𝑡 çizelim. 𝐴𝑂𝑄 dik üçgeninden 23 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑎 = 𝑣𝑎 𝑡 𝐴𝑂 (8.36a) ve 𝐴𝑂𝐵 dik üçgeninden 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑏 = 𝑣𝑏 𝑡 𝐴𝑂 (8.36b) Bu denklemler birleştiririlirse 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑎 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑏 = 𝑣𝑎 (8.36c) 𝑣𝑏 yazabilir. Bir malzemenin kırma indisi n, ışığın malzeme içinde yayılma hızının boşlukta yayılma hızına oranı olarak tanımlıdır: 𝑛𝑎 = 𝑐⁄𝑣𝑎 ve 𝑛𝑏 = 𝑐⁄𝑣𝑏 . Sonuç olarak 𝑛𝑎 𝑛𝑏 = 𝑐 ⁄𝑣 𝑏 𝑐 ⁄𝑣𝑎 = 𝑣𝑎 𝑣𝑏 (8.37) olduğunu kullanarak Eşitlik-8.36c'yi yeniden , 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑎 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑏 = 𝑛𝑏 𝑛𝑎 (8.38a) veya 𝑛𝑎 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑎 = 𝑛𝑏 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑏 şeklinde yazabiliriz. Bu denklem Snell yasasıdır. (8.38b) Böylece dalga modeli kullanılarak Snell yasası elde edildiğine dikkat ediniz. 24 8.5 GİRİŞİM Girişim ve kırınım olaylarında sık sık kullanacağımız bazı kavramları tekrar tanımlamada fayda vardır. Girişim: İki veya daha fazla dalganın uzayda aynı noktada birleştiği her durum için geçerlidir. Böyle bir durum üst üste binme ilkesiyle belirlenir. Şekil-8.14a’de dalga leğeninde iki nokta kaynağın yarattığı dalgaların girişimi gösterir bir deney sonucu verilmiştir. Şekil-8.14b’de iki nokta kaynaktan çıkan dalgalar geometrik çizimle gösterilmiştir. İki tepe veya iki çukurun kesiştiği yerlerde yapıcı girişim; bir tepe ile bir çukurun kesiştiği yerlerde ise yıkıcı girişim oluştuğuna dikkat ediniz. Şekil-8.14 (a) Dalga leğeninde iki nokta kaynağın yarattığı dalgaların girişimini gösteren bir deneysel fotoğraf. (b) iki nokta kaynaktan çıkan dalgaların yarattığı girişim olayının geometrik çizimi. Üst üste binme ilkesi (Süperpozisyon): İki veya daha fazla dalga uzayda bir araya gelirse, herhangi bir noktada ve herhangi bir anda oluşan yer değiştirme, dalgaların her birinin o noktada ve o anda tek başına sahip olacağı yer değiştirmelerin toplanmasıyla bulunur. Bundan önceki bölümlerde bu konu ayrıntılı olarak ele alınmıştı. Yer değiştirme: Burada yer değiştirme sözcüğü genel anlamıyla kullanılmıştır. Bir sıvı yüzeyindeki dalgalar için bu terim sıvının normal yüksekliğinden aşağıda 25 veya yukarıda olmasına karşılık gelir; ses dalgalarında da basınç farkına işaret eder; elektromanyetik dalgalarda ise elektrik veya manyetik alandaki değişmeye karşılık gelir. Tek renkli ışık: Girişim olayı en kolay 𝑓 frekanslı ve λ dalga boylu iki sinüzoidal dalganın birleşmesinde görülür. Optikte sinüzoidal dalga tek renkli ışığı tarif eder. Tek renkli ışık üretmek zordur. Bunun için bazı özel filtreler kullanılır. Tek renkli ışığa en yakın kaynak lazerlerdir. He-Ne Lazerinin dalga boyu yaklaşık 632,8 nm’dir. Burada bir yanlış anlamanın önüne geçmek için tek renkli bir ışığın faz uyumlu olma zorunluluğunun olmadığını belirtemeden geçmeyeceğiz. Fizik Lab. III dersinde tek renkli ve faz uyumlu lazer ışığı, mikrodalga ve ultrasonik ses dalgaları kullanarak girişim deneyleri yapacaksınız. Faz uyumluluğu: Aynı frekansa ve belirli ve sabit bir faz ilişkisine sahip (aynı fazda olmak zorunda değil) tek renkli iki dalga kaynağı faz uyumlu olarak tanımlanır. Türkçe kaynaklarda faz uyumluluğu yerine koherentlik de denmektedir. Koherentlik aynı zamanda frekans uyumluluğu olarak da tanımlanmaktadır. Yapıcı girişim: İki veya daha fazla kaynaktan çıkan dalgalar bir noktaya aynı fazda geldikleri zaman oluşan dalganın genliği her bir dalganın genliğinin toplamına eşittir yani dalgalar birbirlerini güçlendirirler. Bu olaya yapıcı girişim denir (Şekil-8.15). Yapıcı girişim oluşan noktalara karın noktaları denir. Şekil-15’deki 𝑆1 ’den perde üzerindeki P noktasına uzaklık 𝑟1 , 𝑆2 ’den perdeye olan uzaklık ise 𝑟2 olsun. P noktasında yapıcı girişim olması için iki kaynağın P noktasına olan uzaklıkları farkı başka bir deyişle yol farkı ( 𝑟2 − 𝑟1 ) , dalga boyunun (λ) tamsayı katı olmalıdır: 𝑟2 − 𝑟1 = m λ m = 0, ±1, ±2, . .. (8.39) 26 Şekil-8.15 İki yarıktan çıkan dalgaların yapıcı girişimi. (a) Perde üzerinde yarıklardan eşit uzaklıkta bir noktada oluşan yapıcı girişim. (b) Perde üzerinde yarıklardan farklı uzaklıkta bir noktada oluşan yapıcı girişim. Yıkıcı girişim: İki veya daha fazla kaynaktan çıkan dalgalar bir noktaya yarım periyot faz farkı ile geldikleri zaman bir dalganın tepesi ile diğerinin çukuru aynı anda bu noktaya ulaşır. Oluşan genlik iki genliğin farkıdır. Genlikler eşit ise toplam genlik sıfır olur. Tek tek dalgaların tamamen veya kısmen söndürülme olayına yıkıcı girişim denir (Şekil-8.16). Yıkıcı girişim oluşan noktalara düğüm noktaları denir. Şekil-8.16 Yıkıcı girişim. Yukarıda tanımlanan P noktasında yıkıcı girişim olması için iki kaynağın yol farkı (𝑟2 − 𝑟1 ) , yarım dalgaboyunun (λ/2) tek katı olmalıdır: 𝑟2 − 𝑟1 = (2m + 1) λ⁄2 m = 0, ±1, ±2, … (8.40a) Bu eşitlik bazen 𝑟2 − 𝑟1 = (m + 1⁄2)λ m = 0, ±1, ±2, . .. (8.40b) şeklinde de verilir. 27 Girişim desenleri duran dalgalar değildir. Duran dalgada girişim zıt yönde yayılan iki dalga arasındadır ve değişmeyen bir karın ve düğüm deseni oluşur, iki yönde de net bir enerji akışı yoktur. Şekil-8.15 ve 8.16’de verilen durumlarda ise dışarı doğru net bir enerji akışı vardır. 8.6 Çift yarıkta girişim (Young deneyi) Şekil-8.17’de, oldukça dar ve eşit 𝑆1 ve 𝑆2 yarıklarına yaklaşan bir dalga cephesi gösterilmiştir. Basitleştirmek açısından, bu yarıkların orijinal dalga kaynağı olarak davranan bir noktadan eşit uzaklıklarda olduğunu varsayacağız. Böylece 𝑆1 ve 𝑆2 ikincil kaynakları aynı fazda olurlar. Şekil-8.17 Çift yarıkta girişim: Young deneyi. Orijinal dalgamız sürekli ve harmonik bir dalga ise 𝑆1 ve 𝑆2 kaynakları bu dalgayı harmonik özdeş dalgalara dönüştürür. Perde üzerindeki herhangi bir P noktasındaki dalga, 𝑆1 ve 𝑆2 kaynaklarından gelen katkıların toplanması ile elde edilir. 𝑆1 ve 𝑆2 kaynaklarından P noktasına gelen dalgaların genlikleri farklıdır. Bunun iki nedeni vardır: 1. 𝑟1 ve 𝑟2 uzaklıkları farklıdır ve dairesel genişleyen bir dalganın genliği kaynaktan uzaklaştıkça azalır. 2. 𝑆1 ve 𝑆2 kaynaklarından P noktasına gelen dalgaların sapma açıları farklıdır ve bir Huygens dalgacığı artan sapma açısı ile azalan bir genliğe sahiptir. 28 Dalga hızı v olmak üzere P noktasına ulaşan dalgalar arasında 𝛥𝑡 = (𝑟2 − 𝑟1 )⁄𝑣 zaman farkı ile tanımlanan bir faz ilişkisi vardır. Burada 𝑆1 ve 𝑆2 ikincil kaynakları arasındaki d uzaklığının, 𝑟1 ve 𝑟2 uzaklıkları ile karşılaştırdığında çok küçük olduğu durumu ele alacağız. 𝑆1 ve 𝑆2 kaynaklarından çıkan dalgaları, 𝑦1 (𝑟1 , t) = 𝐴1 𝑐𝑜𝑠(𝑘 𝑟1 − 𝜔𝑡) (8.41a) 𝑦2 (𝑟2 , t) = 𝐴2 𝑐𝑜𝑠(𝑘 𝑟2 − 𝜔𝑡) (8.41b) şeklinde yazabiliriz. Şekil-8.17’deki perde üzerinde P gibi herhangi bir noktada (P noktasının yerini tanımlayan 𝑟1 ve 𝑟2 değerleri sabittir) zamanın fonksiyonu olarak yer değiştirme ifadesi, 𝑦𝑝 (𝑡) = 𝐴1 𝑐𝑜𝑠(𝑘 𝑟1 − 𝜔𝑡) + 𝐴2 𝑐𝑜𝑠(𝑘 𝑟2 − 𝜔𝑡) (8.42) şeklinde yazılabilir (Burada yer değiştirmenin yukarıda tanımladığımız anlamda olduğunu tekrar hatırlatalım). P noktası S1 ve S2 kaynaklarından yeterince uzakta alındığı zaman 𝑆1 ve 𝑆2 kaynaklarından çıkan dalgaların genliklerini eşit alabiliriz (𝐴1 = 𝐴2 = 𝐴0 ) . Bu durumda Eşitlik-8.42’den 𝑦𝑝 (𝑡) = 𝐴0 [𝑐𝑜𝑠(𝑘 𝑟1 − 𝜔𝑡) + 𝑐𝑜𝑠(𝑘 𝑟2 − 𝜔𝑡)] = 2 𝐴0 𝑐𝑜𝑠[ 𝑘 𝑟2 +𝑟1 2 − 𝜔𝑡] 𝑐𝑜𝑠[𝑘 (𝑟2 − 𝑟1 )/2] (8.43) yazabiliriz. Burada zamandan bağımsız olan 𝑐𝑜𝑠[𝑘(𝑟2 − 𝑟1 )/2] çarpanını sıfır yapan yerlerde yıkıcı girişim (düğüm noktaları) olacaktır. Bu çarpanın sıfır olabilmesi için 𝑘 (𝑟2 − 𝑟1 )/2 = (2𝑚 + 1)(π/2) veya 𝑟2 − 𝑟1 = (2𝑚 + 1)𝜋/𝑘 = (2𝑚 + 1)𝜋/(2𝜋/𝜆) = (𝑚 + 1/2) 𝜆 veya 𝑟2 − 𝑟1 = (𝑚 + 1⁄2)𝜆 𝑚 = 0, ±1, ±2, . .. (Düğüm noktaları) (8.44) olmalıdır. 29 Yarıklardan verilen bir uzaklıkta bileşke yer değiştirmenin maksimum olduğu noktalar vardır. Bunun olması için 𝑐𝑜𝑠[𝑘(𝑟2 − 𝑟1 )/2] çarpanı maksimum olmalıdır (±1) yani, 𝑘 (𝑟2 − 𝑟1 )/2 = 𝑚𝜋 veya 𝑟2 − 𝑟1 = 2𝑚𝜋/𝑘 = 2𝑚𝜋/(2𝜋/𝜆) = 𝑚 𝜆 veya 𝑟2 − 𝑟1 = 𝑚 𝜆, 𝑚 = 0, ±1, ±2, . .. (Karın noktaları) (8.45) olmalıdır. Yarıkların perdeye olan L uzaklığının yarıklar arası uzaklık olan d’den çok büyük olduğunu kabul edersek dalgalar arası yol farkı için 𝑟2 − 𝑟1 = 𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 (8.46) yazabiliriz (Şekil-8.17) . Bu durumda yapıcı girişim şartı (Görünür ışıkla yaptığınız deneylerde aydınlık bantlar): 𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑚 𝜆 , 𝑚 = 0, ±1, ±2, … (8.47a) Yıkıcı girişim şartı (Görünür ışıkla yaptığınız deneylerde karanlık bantlar): 𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 = (𝑚 + 1⁄2)𝜆 , 𝑚 = 0, ±1, ±2, . .. (8.47b) yazabiliriz. Eşitlik-8.43’de 𝑟2 − 𝑟1 = 𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 yazarsak 𝑦𝑝 (𝑡) = 2 𝐴0 𝑐𝑜𝑠[𝑘𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃/2] 𝑐𝑜𝑠[ 𝑘 𝑟2 +𝑟1 2 − 𝜔𝑡] (8.48) elde ederiz. Bu durumda bileşke dalganın herhangi bir doğrultudaki genliği için 𝐴(𝜃) = 2 𝐴0 𝑐𝑜𝑠[𝑘𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃/2] = 2 𝐴0 𝑐𝑜𝑠[𝜋𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃/𝜆] (8.49) 30 yazabiliriz. Bu ifade bize, yarıklardan oldukça uzak mesafelerdeki girişimin doğrultuya bağımlı olduğunu gösterir. Yani, eğer girişimin maksimum ve minimum konumları iki yarığı birleştiren çizgiye paralel bir çizgi boyunca (perde üzerinde) gözlenmiş ise arka arkaya maksimumların (ya da minimumların) aralıkları yarıklardan olan uzaklıkla orantılı olarak artar. Perdedeki aydınlık bantların merkeze uzaklığı için 𝑦𝑚 = 𝐿𝑡𝑎𝑛 𝜃𝑚 (8.50) yazabiliriz (Şekil-8.17). Bu tür deneylerde ym mesafesi genellikle L mesafesinden çok küçüktür. Dolaysıyla 𝑦𝑚 𝐿 = 𝑡𝑎𝑛𝜃𝑚 ≈ 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑚 = 𝑚⁄𝑑 (8.51) yazabiliriz. Aydınlık saçaklar için L, d ve ym ölçülebilir ve buradan dalga boyu λ‘nın değeri hesaplanır. Bu koşulda perdedeki ardışık maksimumlar arasındaki mesafenin 𝐿𝜆/𝑑 ifadesi ile verileceği açıktır. Bu ilişkiden faydalanarak dalga boyu hesabı yapmak çoğu kez yeterli olmaktadır. Young deneyi ışığın dalga boyunun ilk olarak ölçüldüğü deney olduğunu belirtmek gerekir. Bu deney bilim tarihi açısından da önemlidir. Ardışık aydınlık bantlar arası mesafe, d ile ters orantılıdır. Yarıklar birbirine yaklaştıkça desen dışa doğru yayılır. Yarıklar uzaklaşırsa bantlar birbirlerine yaklaşırlar. Fizik Lab. III dersinde Young deneyini faz uyumlu lazer ışığı, ultrasonik ses dalgası ve mikrodalga kullanarak yapacaksınız. Bu deneylerde de algılama noktası L, kaynaklar arası mesafe olan d’den çok daha büyük seçilmelidir. Eşitlik-8.49’de 𝑘 = 2𝜋 𝜆 𝑣𝑒 𝑟 = (𝑟2 + 𝑟1 )/2 (8.52) 31 yazarak 𝑦𝑝 (𝑡) = 2 𝐴0 𝑐𝑜𝑠[ 𝜋 𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃/ 𝜆 ] 𝑐𝑜𝑠[ 2𝜋𝑟/𝜆 − 𝜔𝑡] (8.53) elde ederiz. Burada r’yi, kaynaklardan P’ye olan ortalama uzaklık olarak alabiliriz. P noktasındaki dalganın şiddeti için (P noktası kaynaklardan çok uzakta seçildiğinde) 𝐼 = 1 𝑇 𝑇 2 1 ∫0 [𝑦𝑝 (𝑡)] dt = 𝑇 1 2 𝑇 ∫0 [2 𝐴0 𝑐𝑜𝑠[ 𝜋 𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃/ 𝜆 ] 𝑐𝑜𝑠[ 2𝜋𝑟/𝜆 − 𝜔𝑡] ] dt = T 4[𝐴0 ]2 𝑐𝑜𝑠 2 [ 𝜋 𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃/ 𝜆] ⏟ 2[𝐴0 ]2 𝑐𝑜𝑠 2 [ 𝜋 𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃/ 𝜆] ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 [ 2𝜋𝑟/𝜆 − 𝜔𝑡] = ⏟ 𝑇 0 𝐼0 1/2 𝐼 = 𝐼0 𝑐𝑜𝑠 2 [ 𝜋 𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃/ 𝜆] (8.54) yazabiliriz. Şiddetin 𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃’ye bağlı değişimi Şekil-8.18a’da verilmiştir. Maksimum şiddetli yönler 𝑐𝑜𝑠[ 𝜋 𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃/ 𝜆 ]’nin +1 veya -1 değeri aldığında yani, 𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑚𝜆, 𝑚 = 0, ±1, ±2, . .. (8.55) olduğunda gerçekleşir. İki yarıklı girişim deneylerinde girişim deseni yarıklardan L uzaklığına konan bir perdede gözlemlenir. Perdedeki konumları y koordinatı ile ifade edebiliriz. Aydınlık saçakların konumu, y<<L olduğu zaman, 𝑦 = 𝐿𝑡𝑎𝑛 𝜃 ≅ 𝐿𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝐿 𝜆/𝑑 (8.56) ifadesi ile verilebileceğini biliyoruz. Eşitlik-8.54’de 𝑠𝑖𝑛𝜃 ≅ 𝑦 𝐿 kullanılarak perdedeki herhangi bir noktadaki şiddeti 𝐼 = 𝐼0 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑘𝑦𝑑/2𝐿) = 𝐼0 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜋𝑦𝑑/𝜆𝐿) (8.57) şeklinde yazmak mümkündür ( 𝑘 = 2𝜋/𝜆 ). Şiddetin y’ye bağlı değişim grafiği Şekil-8.19b’de verilmiştir. Bunu Şekil-8.18c’deki deneysel resimle karşılaştırabilirsiniz. Ancak Şekil-8.18c’deki resimde en yüksek şiddet merkezden uzaklaştıkça solmaktadır. Bunun nedenlerini kırınım konusunu işlerken göreceğiz. 32 Şekil-8.18 Young deneyi: (a) Eş-8.54’nin 𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃’ye bağlı çizimi; (b) Eş-8.57’nin 𝑦’ye bağlı çizimi; c) Deneysel sonuç. 8.6.1 Faz farkları cinsinden yapıcı ve yıkıcı girişim tanımı Girişim olayına yol farkları yerine faz farkları cinsinden de bakabiliriz. Dalga boyu (λ) kadarlık yol farkının 2 kadarlık faz farkına karşı geldiği açıktır. Bu durumda (𝑟2 − 𝑟1 ) kadarlık yol farkının 𝜑 = 2𝜋 𝑟2 −𝑟1 𝜆 = 𝑘 (𝑟2 − 𝑟1 ) (8.58) ifadesi ile tanımlı faz farkı yaratacağı açıktır. Eşitlik-8.43’deki 𝑐𝑜𝑠[𝑘(𝑟2 − 𝑟1 )/2] çarpanını faz farkı cinsinden yazabiliriz: 𝑐𝑜𝑠[𝑘(𝑟2 − 𝑟1 )/2] = 𝑐𝑜𝑠 (𝜑/2) (8.59) Bu çarpanı maksimum yapan faz farkı 𝑐𝑜𝑠(𝜑/2)= ±1 olduğunda gerçekleşir, yani 𝜑/2 = 𝑚𝜋 veya 𝜑 = 2𝑚𝜋 𝑚 = 0, ±1, ±2, …(yapıcı girişim) (8.60) olmalıdır. Bu çarpanı minimum yapan faz farkı cos(φ/2) = 0 olduğunda gerçekleşir, yani 𝜑 = (2𝑚 + 1) (𝜋/2) veya 𝜑 = (2𝑚 + 1)𝜋 𝑚 = 0, ±1, ±2, . .. (yıkıcı girişim) (8.61) olmalıdır. 2 33 8.6.2 İnce filmlerde girişim Işık, kalınlığı t olan ince bir filmin iki yüzeyinden yansıtıldığı zaman (Şekil-8.19) yüzeylerde faz kayması olmazsa ve 2t yolu dalga boyunun (λ) tamsayı katı ise yansıyan dalgalar arasında yapıcı girişim oluşur. Yüzeylerden birinde yarımperiyod faz kayması olursa bu yıkıcı girişim şartına dönüşür. İkinci ortamın kırma indisi birinciden büyükse yansıma esnasında yarım-periyot başka bir deyişle kadar faz kayması olur (Elektromanyetik dalgaların yansımasının anlatıldığı kesime bakınız). Aradaki film boşluktan farklı bir ortam ise, hesaplamalarınızda ışığın o ortamdaki dalga boyu kullanılır yani 𝜆 = 𝜆0 /𝑛 alınır. Burada 𝜆0 ışığın boşluktaki dalga boyu ve n = aradaki filmin kırma indisidir.). Şekil-8.19 İnce bir hava kamasında girişim. Özetlersek: İnce filmde yapıcı girişim, göreceli faz kayması yok (n1>n2 ise): 2𝑡 = 𝑚 𝜆 𝑚 = 0, 1, 2, . .. (8.62a) İnce filmde yıkıcı girişim, göreceli faz kayması yok (n1>n2 ise): 2𝑡 = (𝑚 + 1/2) 𝜆 𝑚 = 0, 1, 2, . .. (8.62b) İnce filmde yapıcı girişim, göreceli faz kayması yarım periyot (n1<n2 ise): 2𝑡 = (𝑚 + 1/2) 𝜆 𝑚 = 0, 1, 2, . .. (8.62c) İnce filmde yıkıcı girişim, göreceli faz kayması yarım periyot (n1<n2 ise): 2𝑡 = 𝑚 𝜆 𝑚 = 0, 1, 2, . .. (8.62d) 34 yazabiliriz. Fizik Lab III dersinde Newton halkaları deneyinin anlaşılmasında bu sonuçlardan yararlanacaksınız. 8.6.3 Çok yarıkta girişim (Girişim ızgarası): Birbirlerinden eşit uzaklıklarda yerleşmiş N tane yarığa sahip bir düzenlemenin (girişim ızgarası) girişim desenini analiz edeceğiz. Çift yarıkta olduğu gibi, yarıkların eşit ve oldukça küçük genişliğe sahip olduklarını kabul edeceğiz. Ardışık yarıklar arası mesafeyi d olarak alalım. Eğer yarıklara gelen dalga düzlem dalga ve dalga cephesi de yarık düzlemine paralel ise bütün yarıkların aynı fazda sürüldüklerini kabul edebiliriz (Şekil-8.20). Şekil-8.20 Eşit aralıklı çoklu yarık sistemi (Girişim ızgarası). Ardışık yarıklardan P noktasına ulaşan ikincil dalgalar arasındaki yol farkı 𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃’ya eşittir. Bunun sonucu olarak, 𝛿= 2𝜋𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜆 (8.63) ifadesine eşit bir faz farkı vardır (Eşitik-8.58’ye bakınız). Böylece P noktasındaki bileşke yer değiştirme ifadesi 𝑦𝑝 (𝑡) = 𝐴0 cos(𝑡 − 𝜑1 ) + 𝐴0 cos(𝑡 − 𝜑1 − 𝛿) + 𝐴0 cos(𝑡 − 𝜑1 − 2𝛿) + ⋯ (8.64) 35 şeklinde N tane terimin toplamıdır. Burada 𝜑1 = 2𝜋𝑟1 𝜆 terimi ilk yarık ile P noktası arasındaki 𝑟1 uzaklığı ile ilgili faz farkıdır. Daha önce üst üste gelme olayını ele almıştık Bileşke vektörün A genliği, her biri en yakınındaki komşusu ile 𝛿 açısı yapan 𝐴0 uzunluğunda N tane vektörün toplanması 𝐴 = 𝐴0 𝑠𝑖𝑛( 𝑁𝛿 ) 2 (8.65) 𝑠𝑖𝑛(𝛿 ⁄2) şeklinde elde edilmişti (2. Bölüm ders notlarına bakınız). P noktasında bileşke dalganın şiddeti, bileşke dalganın uzanımın karesinin zaman ortalaması ( 𝐼 1 𝑇 2 𝑇 ∫0 [𝑦𝑝 (𝑡)] dt) = alınarak 1 2 𝐼= 𝐴 = 2 1 𝐴2 2 0 𝑁𝛿 ) 2 𝛿 𝑠𝑖𝑛2 ( ) 2 𝑠𝑖𝑛2 ( = 𝐼𝑠 𝑁𝜋𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 ) 𝝀 𝜋𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛2 ( ) 𝝀 𝑠𝑖𝑛2 ( = 𝐼𝑠 𝑠𝑖𝑛2 (𝑁𝛽) (8.66) 𝑠𝑖𝑛2 (𝛽) 1 elde edilir. Burada 𝐼𝑠 = 𝐴20 her bir yarıktan gelen dalganın (optikte ışığın) şiddeti 2 ve 𝛽 = 𝛿 2 = 𝜋𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 𝝀 ’dir. Eğer N = 2 alırsak 𝐼 = 𝐼𝑠 𝑠𝑖𝑛2 (𝑁𝛽) 𝑠𝑖𝑛2 (𝛽) = 𝐼𝑠 (2𝑠𝑖𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽)2 𝑠𝑖𝑛2 𝛽 1 2 𝛿 = 4𝐼𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 = 4𝐼𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 (𝛿 ⁄2) = 4 𝐴0 𝑐𝑜𝑠 2 ( ) 2 2 veya 𝜋𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 𝐼 = 2𝐴0 2 𝑐𝑜𝑠 2 ( 𝝀 ) (8.67) elde ederiz. Bu daha önce çift yarıktaki Young deneyi sonucundan başka bir şey değildir. Şimdi N yarık içeren girişim ızgarası deneyinde şiddet deseninin (Eşitlik-8.66 ile verilen) davranışına bakalım: i) 𝛿 = 0 ise üst üste gelen vektörler birbirlerine paralel olup birbiri ile toplanırlar: 𝐴 = 𝑁𝐴0 Bu durumda A değeri mümkün en büyük bileşke vektör genliğini ifade etmekte olup aynı zamanda 𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑛 𝜆 36 ifadesi ile tanımlı θ’nın her değeri için mümkündür. Yani d aralıkları ile yan yana gelmiş N tane yarıktan oluşan bir düzenleme, aynen çift yarık örneğinde olduğu gibi aynı doğrultularda temel maksimumlara sahiptir. ii) δ=2/N, 4π/N, 6π/N, … ise vektör bileşenleri kapalı bir çokgen oluşturur ve A = 0 durumuna sahip olunur. Bu sonuç, Eşitlik-8.65’den açık bir şekilde anlaşılır. Çünkü 𝑁𝛿 2 açısı, π’nin tam katlarına eşit olduğu zaman pay (=𝑠𝑖𝑛 𝑁𝛿 2 ) sıfır olur. iii) Bu sıfırlar arasında maksimum yer değiştirmelerin ara değerlerine karşılık gelen 𝛿 ve θ değerleri de vardır. Bu maksimumlara çok yarıklı girişim deneyinin ikincil maksimumları denir ve Eşitlik-8.66’dan de hesaplayarak göreceğimiz gibi bu ikincil maksimumların açısal konum ve bağıl genlik değerleri tam olarak bilinmemesine rağmen bunların genlikleri temel maksimumların genliklerinden daha küçüktür. Şekil-8.21’de N=2, N=4, N=6 ve N=8 için Eşitlik-8.66 ile verilen I şiddetinin 𝛽 ’ye karşı grafiği verilmiştir. Bu şekilde temel maksimumlar arasında ikincil maksimumlar da görülmektedir. Ardışık iki temel maksimum arasında N-2 adet ikincil maksimum değer olduğuna dikkat ediniz. Şekil-8.21 N=2, N=4, N=6 ve N=8 için Eşitlik-8.66 ile verilen şiddetin 𝛽’ya karşı çizilmiş grafiği. 37 Daha çok yarığın kullanılması temel maksimumu daha da keskinleştirir. Bu özellik, spektroskopide kırınım ızgarasını kullanışlı bir alet yapar. Çünkü kırınım ızgarası belli bir dalga boyundaki ışık için oldukça keskin bir açısal çözünürlük (resolution) ifade eder. 8.7 KIRINIM Günlük yaşantımızda sesin bir köşe etrafında büküldüğünü biliyoruz. Kapının arkasındaki bir kişinin bizi işitmesi gibi birçok gözleminiz olmuştur. Benzer şekilde noktasal bir kaynaktan çıkan ışık keskin bir köşeye gelip gölge oluşturulduğunda, gölgenin köşesi hiçbir zaman keskin olmaz. Gölgeli olduğunu düşündüğümüz bölgede bir miktar ışık vardır ve aydınlatılan bölgede ardışık aydınlık ve karanlık saçaklar gözlemleriz. Noktasal tek renkli bir ışık kaynağı ile aydınlatılan jilet bıçağının Şekil-8.22’deki fotoğrafı bu olaya güzel bir örnektir. Kırınım bazen “ışığın köşelerden geçerken eğilmesi” olarak anlatılır ve her türlü dalga olayı için geçerlidir. Şekil-8.22 Tek renkli bir ışık ile aydınlatılan bir jilet bıçağının fotoğrafında gözlenen kırınım olayı. 8.7.1 Girişim kırınım ayrımı Kırınım ile girişim arasında gerçekte bir ayırım yoktur. Tarihsel nedenlerle, sonlu sayıda, ayrı, eş fazlı kaynakların katkılarının üst üste gelimi ile oluşmuş genlik ya da şiddet örneğine genellikle bir girişim deseni denir. Sürekli, eş fazlı bir kaynaklar dağılımının katkılarının üst üste gelimi ile oluşmuş genlik ya da şiddet örneğine ise, genellikle kırınım deseni denir. Böylece iki dar yarığın oluşturduğu 38 girişim örneği ya da, bir geniş yarığın oluşturduğu kırınım örneği, ya da geniş iki yarığın oluşturduğu bileşik girişim ve kırınım örneği söz konusu olur. Her iki olay da üst üste binme ve Huygens ilkesi tarafından belirlenir. Kırınım olayını iki başlık altında incelemek mümkündür: i) Fresnel kırınımı: Yarığın perdeye yakın olduğu kırınım olayı Fresnel kırınımı olarak adlandırılır (Şekil-8.23a). ii) Fraunhofer kırınımı: Yarığın perdeye uzak olduğu kırınım olayı Fraunhofer kırınımı olarak adlandırılır (Şekil-8.23b). Bu durumda yarıktan çıkan ışınların birbirine paralel olduğu söylenebilir. Bu ders kapsamında Fraunhofer kırınımı koşulunu sağlayan kırınım olayları ele alınacaktır. Şekil-8.23 (a) Fresnel kırınımı; (b) Fraunhofer kırınımı. 8.7.2 Tek yarıkta kırınım Şekil-8.24’de genişliği D olan bir yarığa gelen dalganın kırınımı şematik olarak verilmiştir. Tek yarık içindeki tüm noktaların gelen dalga düzlemi tarafından aynı fazda sürüldüklerini kabul edeceğiz. Yarığın iki ucu arasından gözlem noktasına (P noktası) ulaşan dalgalar arasında ∆𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1 = 𝐷𝑠𝑖𝑛𝜃 (8.68) kadarlık bir yol farkı ve bu yol farkı nedeniyle 𝐹𝑎𝑧 𝐹𝑎𝑟𝑘𝑖 = 2𝜋 𝝀 𝐷𝑠𝑖𝑛𝜃 (8.69) 39 kadarlık bir faz farkı oluşur. Burada D yarık genişliği, θ ise yarık merkezinden yarığa dik çizgi ile yarık merkezini perde üzerindeki P noktası ile birleştiren çizgi arasındaki açıdır. Şekil-8.24 Tek yarıkta kırınım. Bir düzlem dalganın D genişliğindeki yarık üzerine düşmesiyle oluşan kırınımı, Huygens ilkesi ile inceleyebiliriz. Yarık içerisinde N tane Huygens dalga kaynağı olduğunu düşünebiliriz. Bu durumda ardışık iki Huygens kaynağı arasındaki d uzaklığı için 𝑑= 𝐷 𝑁−1 (8.70) yazabiliriz. P noktası yarıktan yeterince uzak alındığında her bir Huygens dalgacığının P’deki A(r) genlikleri eşit alınabilir. Ayrıca Huygens dalgacıklarının eşit fazda olduğunu kabul edeceğiz. Bu durumda P noktasında yer değiştirme, üst üste binme ilkesi kullanılarak, 𝑦 = 𝐴(𝑟) cos(𝑘𝑟1 − 𝑡) + 𝐴(𝑟) cos(𝑘𝑟2 − 𝑡) + ⋯ + 𝐴(𝑟) cos(𝑘𝑟𝑁 − 𝑡) (8.71) şeklinde yazılabilir. Bu ifade yerine üstel kompleks fonksiyon kavramını kullanılarak 𝑦𝑘 = 𝐴(𝑟)𝑒 −𝑖𝑡 (𝑒 𝑖𝑘𝑟1 + 𝑒 𝑖𝑘𝑟2 + ⋯ + 𝑒 𝑖𝑘𝑟𝑁 ) (8.72) yazabiliriz. Bu formda çalışmak cebirsel işlemler bakımından daha kullanışlı olmaktadır. Bu eşitlikteki 𝑦𝑘 niceliğinin gerçel kısmının Eşitlik-8.71’deki y’ye karşı geldiğine dikkat ediniz. Burada 𝑟2 = 𝑟1 + 𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝑟3 = 𝑟1 + 2𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃,..., 𝑟𝑁 = 𝑟1 + (𝑁 − 1)𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 dir (Şekil-8.25). 40 Şekil-8.25 Bir kırınım ağının bir bölümü. Komşu yarıklar arası mesafe d’dir. Eşitlik-8.72’deki, tüm terimlerde ortak olan, 𝑒 𝑖𝑘𝑟1 ifadesini parantez dışına alarak 𝑦𝑘 = 𝐴(𝑟)𝑒 −𝑖𝑡 𝑒 𝑖𝑘𝑟1 (1 + 𝑒 𝑖𝑘(𝑟2 −𝑟1 ) + 𝑒 𝑖𝑘(𝑟3 −𝑟1 ) + ⋯ ) = 𝐴(𝑟)𝑒 −𝑖𝑡 𝑒 𝑖𝑘𝑟1 𝑆 (8.73) yazabiliriz. Burada S, parantez içindeki geometrik seriyi göstermektedir: 𝑆 = 1 + 𝑒 𝑖𝑘(𝑟2 −𝑟1 ) + 𝑒 𝑖𝑘(𝑟3 −𝑟1 ) + ⋯ = 1 + 𝑒 𝑖𝑘𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑒 𝑖𝑘2𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 + ⋯ + 𝑒 𝑖𝑘(𝑁−1)𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 (8.74a) S’nin terimlerindeki 𝑘𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 niceliği d aralıklı kaynaklardan gelen dalgaların faz farkıdır ve bunu 𝛥𝜑 ile gösterirsek 𝛥𝜑 = 𝑘𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 = 2𝜋𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃/𝜆 yazabiliriz. Bu durumda N terimli S geometrik serisi 𝑆 = 1 + 𝑒 𝑖𝛥𝜑 + 𝑒 𝑖2𝛥𝜑 + ⋯ + 𝑒 𝑖(𝑁−1)𝛥𝜑 (8.74b) olur. Bu geometrik serisinin toplamı için 𝑆= 𝑒 𝑖𝑁𝛥𝜑 −1 (8.74c) 𝑒 𝑖𝛥𝜑 −1 yazabiliriz (Bölüm 2 ders notlarına bakınız). Bu ifade yeniden 𝑆= 𝑒 𝑖(1⁄2)𝑁𝛥𝜑 [𝑒 𝑖(1⁄2)𝑁𝛥𝜑 −𝑒 −𝑖(1⁄2)𝑁𝛥𝜑 ] 𝑒 𝑖(1⁄2)𝛥𝜑 [𝑒 𝑖(1⁄2)𝛥𝜑 −𝑒 𝑖(1⁄2)𝛥𝜑 ] =𝑒 1 𝑖( )(𝑁−1)𝛥𝜑 𝑠𝑖𝑛(1⁄2)𝑁𝛥𝜑 2 [ ] 𝑠𝑖𝑛(1⁄2)𝛥𝜑 (8.75) şeklinde yazılabilir. Bu durumda Eşitlik-8.73 1 𝑦𝑘 = 𝐴(𝑟)𝑒 −𝑖𝑡 𝑒 𝑖𝑘𝑟1 𝑆 = 𝐴(𝑟)𝑒 −𝑖𝑡 [𝑒 𝑖(𝑘𝑟1+2 (𝑁−1)𝛥𝜑) 𝑠𝑖𝑛(1⁄2)𝑁𝛥𝜑 ] 𝑠𝑖𝑛(1⁄2)𝛥𝜑 (8.76) 41 𝑦𝑘 = 𝐴(𝑟)𝑒 −𝑖𝑡 𝑒 𝑖𝑘r 𝑠𝑖𝑛[(1⁄2)𝑁𝑘𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃] 𝑠𝑖𝑛[(1⁄2)𝑘𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃] (8.77) haline gelir. Burada 1 1 2 2 𝑟 = 𝑟1 + (𝑁 − 1)𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑟1 + 𝐷𝑠𝑖𝑛𝜃 (8.78) olup, yarığın orta noktasından perde üzerindeki P noktasına olan uzaklıktır (Şekil8.26). Eşitlik-8.77’in gerçel kısmını alarak, P noktasındaki yer değiştirme için 𝑦(𝑟, 𝜃, 𝑡) = 𝐴(𝑟) 𝑠𝑖𝑛[(1⁄2)𝑁𝑘𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃] 𝑠𝑖𝑛[(1⁄2)𝑘𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃] cos(𝑘𝑟 − 𝑡) = 𝐴(𝑟, 𝜃) cos(𝑘𝑟 − 𝑡) (8.79) elde ederiz. Burada 𝐴(𝑟, 𝜃) genliği 𝐴(𝑟, 𝜃) = 𝐴(𝑟) 𝑠𝑖𝑛[(1⁄2)𝑁𝑘𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃] 𝑠𝑖𝑛[(1⁄2)𝑘𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃] ifadesi ile tanımlıdır. N =2 için bu eşitlik 𝑦(𝑟, 𝜃, 𝑡) = 𝐴(𝑟) 𝑦(𝑟, 𝜃, 𝑡) = A(𝑟) 1 2 𝑠𝑖𝑛[(1⁄2)2𝑘𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃] 𝑠𝑖𝑛[𝑘𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃] cos(𝑘𝑟 − 𝑡) = 𝐴(𝑟) cos(𝑘𝑟 − 𝑡) 1 𝑠𝑖𝑛[(1⁄2)𝑘𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃] 𝑠𝑖𝑛 [2 𝑘𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃] 1 2 2𝑠𝑖𝑛[ 𝑘𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃]𝑐𝑜𝑠[ 𝑘𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃] 1 2 𝑠𝑖𝑛[ 𝑘𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃] 1 2 cos(𝑘𝑟 − 𝑡) = 2𝐴(𝑟)𝑐𝑜𝑠 [ 𝑘𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃] cos(𝑘𝑟 − 𝑡) 1 1 𝑦(𝑟, 𝜃, 𝑡) = 2𝐴(𝑟)𝑐𝑜𝑠 [2 𝑘𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃] cos(𝑘𝑟 − 𝑡) = [2𝐴(𝑟)𝑐𝑜𝑠(2 𝛥𝜑)] cos(𝑘𝑟 − 𝑡) (8.80) şeklini alır. Bu bağıntının daha önce çift yarık Young deneyinde elde ettiğimiz sonuç ile aynı formda olduğuna dikkat ediniz. 8.7.3 Tek yarık kırınım deseni Şimdi D’yi sabit tutalım ve N sonsuza gitsin. Bu durumda d aralığı sıfıra ve bu nedenle de ardışık yarıklardan gelen dalgalar arasındaki Δ𝜑 faz farkı sıfıra gider. Birinci ve N’inci kaynakların P’deki katkıları arasındaki toplam faz kaymasını ile gösterirsek = (𝑁 − 1)𝛥𝜑 yazabiliriz. 𝑁 >> 1 olduğu için 42 𝑁2𝜋𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑘𝑁𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑘𝐷𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜆 yazabiliriz. Bu değer kullanılarak Eşitlik-8.79’daki A(r,θ) genliği için = (𝑁 − 1)𝛥𝜑 ≅ 𝑁𝛥𝜑 = 𝐴(𝑟, 𝜃) = 𝐴(𝑟) 𝑠𝑖𝑛(1⁄2)𝑁𝛥𝜑 𝑠𝑖𝑛(1⁄2)𝛥𝜑 ≅ 𝐴(𝑟) 𝑠𝑖𝑛 2 (8.81a) 𝑠𝑖𝑛[(1⁄2)( )] 𝑁 yazılabilir. N’nin yeterince büyük olduğu sınırda paydayı seriye açar ve yalnız ilk terimle yetinebiliriz: 1 1 𝑠𝑖𝑛 [ ]≅ 2𝑁 2𝑁 Bu durumda 𝐴(𝑟, 𝜃) = 𝐴(𝑟) 𝑠𝑖𝑛 2 1 2𝑁 ≅ 𝑁𝐴(𝑟) 𝑠𝑖𝑛 2 2 (8.81b) yazabiliriz. Eşitlik (8.81b)’de θ sıfıra giderken sıfıra gideceği için Lim →0 𝑠𝑖𝑛 2 2 = 1 olur. Bu durumda (8.81b) denkleminden 𝐴(𝑟, 0) = 𝑁𝐴(𝑟) yazılabilir. Böylece P ’deki bileşke alan için 𝑦(𝑟, 𝜃, 𝑡) = 𝐴(𝑟, 0) [ 𝑠𝑖𝑛 2 2 ] cos(𝑘𝑟 − 𝑡) (8.82) yazılabilir. Burada = 𝑘𝐷𝑠𝑖𝑛𝜃 olduğunu tekrar hatırlatalım. P noktasındaki bileşke dalganın şiddeti 1 𝑇 2 𝑇 ∫0 [𝑦𝑝 (𝑡)] 𝑑𝑡 integrali kullanılarak hesaplanır ve şiddetin açıya bağlılığı için (r=sabit) 𝐼(𝑟, 𝜃) = 𝐼0 [ 𝑠𝑖𝑛 2 2 ] (8.83) ] = 𝐼0 [sin(𝜋𝐷𝑠𝑖𝑛 𝜃⁄𝜆) /(𝜋𝐷𝑠𝑖𝑛 𝜃⁄𝜆)]2 (8.84) 2 1 sonucu elde edilir.Burada 𝐼0 = [𝐴(𝑟, 0)]2 dir. 2 8.7.4 Tek yarıkta kırınım deseninin şiddeti Eşitlik-8.83’ü yeniden ele alarak 𝐼(𝑟, 𝜃) = 𝐼0 [ 𝑠𝑖𝑛 2 2 2 yazabiliriz. 43 Şekil-8.24’deki 𝑟2 − 𝑟1 = 𝐷𝑠𝑖𝑛𝜃 ile tanımlı yol farkının dalga boyunun tam katları olduğunu düşünelim yani, 𝐷𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑚 𝜆 olsun. Bu durumda Eşitlik-8.84’deki sin(𝜋𝐷𝑠𝑖𝑛 𝜃⁄𝜆) ifadesinin değeri sin(𝜋𝐷𝑠𝑖𝑛 𝜃⁄𝜆) = sin(𝑚𝜋 ) = 0 olur. Sonuç olarak karanlık saçak oluşma şartı için 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 𝑚 𝜆/𝐷 𝑚 = ±1, ±2, ±3, . .. (8.85) yazabiliriz. Burada sinθ = 0 durumunun aydınlık saçağa karşılık geldiğine dikkat ediniz. Bu durumda tüm yarıktan gelen dalga P noktasında aynı fazda gelir. Bu yüzden Eş-8.85’da m=0 koymak yanlış olur. Şiddetin θ açısının fonksiyonu olarak davranışı Şekil-8.26a’da verilmiştir. Burada m değerleri minimum şiddetleri temsil eder. Şekil-8.26b’de ise ince bir yarıktan geçen su dalgalarını göstermektedir. Su dalgaları, tıpkı tek yarıktan geçen ışık gibi davranır. Kırınıma uğrayan dalgalardan sadece merkeze yakın olanlar görülebiliyor; diğerleri görülmeyecek kadar zayıftır. Şekil-8.26 (a) Tek yarıklı kırınımda açı-şiddet grafiği. (b) İnce bir yarıktan geçen su dalgalarının kırınımı. Yarık genişledikçe (veya dalgaboyu küçüldükçe) merkezi tepenin genişliği daralır ve keskinleşir. Başka bir deyişle merkezi tepenin genişliği D/ λ oranıyla ters orantılıdır. Şekilde-8.27’de üç farklı D/λ değeri için θ açısına bağlı şiddet I grafiği verilmiştir. 44 Şekil-8.27 Farklı D/λ (=1/1, 1/5, 1/8) oranı için I şiddetinin θ açısına bağlı değişimi. 8.7.5 Belirli genişlikte iki yarık İki yarıklı desene, daha gerçekçi durum olarak yarıkların genişliği belirli olan durumda yeniden bakalım (Şekil-8.28). Şekil-8.28. (a) Genişliği a olan tek yarıklı kırınım deseni. (b) Aralarındaki uzaklık 4a olan iki çok dar yarıktan oluşan girişim deseni. (c) Aralarındaki uzaklık 4a, genişlikleri a olan girişim ve kırınım etkilerini içeren iki yarık için hesaplanan şiddet deseni. (d) (c)’de hesaplanan desenin deneysel resmi. • Şekil-8.28a, genişliği a olan tek bir yarığın oluşturduğu kırınım desenindeki şiddeti gösteriyor. Karanlık kırınım saçakları md = ±1, ±2, ... tamsayıları ile işaretlenmiştir. 45 • Şekil-8.28b, aralarında d uzaklığı olan iki çok dar yarığın oluşturduğu girişim desenini göstermektedir, d uzaklığı Şekil-8.29a’daki yarık genişliğinin 4 katıdır (𝑑 = 4𝑎) . Aydınlık kırınım saçakları mi = ±1, ±2, ... tamsayıları ile işaretlenmiştir. Tek yarık durumunda iki karanlık saçak arası mesafenin, iki yarık durumundakinin dört katı olduğuna dikkat ediniz. • Şekil-8.28c, genişlikleri a, aralarındaki mesafe 𝑑 = 4𝑎 olan iki yarığın oluşturduğu deseni göstermektedir. Yarık genişliğinin belirli bir büyüklükte olmasının etkisi iki desenin üst üste binmesidir; yani her noktada iki şiddetin çarpımıdır. İki yarık tepeleri önceki durumla aynı konumdadır, fakat şiddetleri, bir zarf görevi yapan tek yarık deseni ile farklılaştırılmıştır. Şekil-8.28c’de gösterilen şiddet için ifade, tek yarıkta kırınım (8.84) ve iki yarıkta girişim için elde edilen (8.56) ifadelerin çarpımı şeklindedir: 𝐼 = 𝐼0 ⏟ 𝑐𝑜𝑠 2 (𝛷/2) ⏟ [𝑠𝑖𝑛(𝛽/2)/ (𝛽/2)]2 Ç𝑖𝑓𝑡 𝑦𝑎𝑟𝚤𝑘𝑡𝑎 𝑔𝑖𝑟𝑖ş𝑖𝑚 (8.87) 𝑇𝑒𝑘 𝑦𝑎𝑟𝚤𝑘𝑡𝑎 𝑘𝚤𝑟𝚤𝑛𝚤𝑚 Burada 𝛷 = (2𝜋/𝜆)𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑣𝑒 𝛽 = (2𝜋/𝜆)𝑎𝑠𝑖𝑛𝜃 dır. Şekil-8.28c’de kenarlardaki her dört aydınlık saçaktan birinin yerinde olmadığına dikkat ediniz; çünkü bu noktalardaki aydınlık girişim saçakları (mi = ±4, ±8, ... ) karanlık kırınım saçakları (md = ±1, ±2,..) ile aynı noktaya denk gelmektedir. Bu durum 𝑑 = 4𝑎 için gerçek durumun resmini gösteren Şekil-8.29d’de görülebilir. Şekil-8.28d’deki desene girişim mi, kırınım mı demeliyiz? Aslında her ikisi de, çünkü desen iki açıklığın farklı yerlerinden gelen dalgaların üst üste binmesiyle oluşmuştur. Sonuç olarak girişim ve kırınım arasında temel bir ayırımın olmadığını söylemek mümkündür. Bu konular için “Young ve Freedman, Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fiziği” kitabına bakmanız önerilir. 46 ÖRNEK-1 Boyca kütle yoğunlukları 𝜇1 ve 𝜇2 olan iki ip T gerilimi altında birer uçlarından birleştirilmişlerdir. Birleşme noktasına doğru ilerleyen bir dalgayı göz önüne 𝜇2 alınız. 𝜇1 = 0; 0,25; 1; 4; ∞ durumları için, a) Yansıyan dalganın genliğinin, gelen dalganın genliğine oranını bulunuz. b) Geçen dalganın genliğinin, gelen dalganın genliğine oranını bulunuz. French-p8.1 Çözüm: Yansıma Katsayısı 𝑅12 = Geçme Katsayısı 𝑇12 = 𝐵 𝐴 𝐶 𝐴 = = 𝑍1 −𝑍2 𝑍1 +𝑍2 2𝑍1 𝑍1 +𝑍2 olduğunu biliyorsunuz (Ders notlarına bakınız). Burada 𝑍 = √𝜇𝑇 karakteristik empadansdır. A gelen dalganın, B yansıyan dalganın ve C geçen dalganın genliğidir. İplerdeki T gerilimi aynı olduğu için 𝑅12 = 𝐵 𝑍1 − 𝑍2 √𝜇1 − √𝜇2 1 − √𝜇2 /𝜇1 = = = 𝐴 𝑍1 + 𝑍2 √𝜇1 + √𝜇2 1 + √𝜇2 /𝜇1 𝑇12 = 𝐶 2𝑍1 2√𝜇1 2 = = = 𝐴 𝑍1 + 𝑍2 √𝜇1 + √𝜇2 1 + √𝜇2 /𝜇1 ve yazılabilir. Burada verilen değerler kullanılırsa a) 𝜇2 𝜇1 𝜇2 𝜇1 𝜇2 𝜇1 𝜇2 𝜇1 𝜇2 𝜇1 =0 için 𝐵 𝑅12 = 𝐴 = 0,25 için 𝑅12 = 𝐵 = 1 için 𝑅12 = 𝐵 = 4 için 𝑅12 = = ∞için 𝑅12 = 𝐴 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 1−√𝜇2 /𝜇1 = = = = = =1 1+√𝜇2 /𝜇1 1−√𝜇2 /𝜇1 1+√𝜇2 /𝜇1 1−√𝜇2 /𝜇1 1+√𝜇2 /𝜇1 1−√𝜇2 /𝜇1 1+√𝜇2 /𝜇1 lim = = = 1−0,5 1+0,5 1−1 1+1 1−2 1+2 = 0,5 1,5 = 1 3 =0 =− 1−√𝜇2 /𝜇1 𝜇2 /𝜇1 →∞ 1+√𝜇2 /𝜇1 1 3 = −1 47 b) 𝜇2 𝜇1 𝜇2 𝜇1 𝜇2 𝜇1 𝜇2 𝜇1 𝜇2 𝜇1 için =0 𝐶 𝑇12 = = 0,25 için 𝑇12 = = 1 için 𝐴 𝐶 𝑇12 = = 4 için 𝑇12 = = ∞için 𝑇12 = sonuçları elde edilir. 𝐴 𝐶 𝐴 𝐶 𝐴 𝐶 𝐴 2 = = = = = =2 1+√𝜇2 /𝜇1 2 1+√𝜇2 /𝜇1 2 1+√𝜇2 /𝜇1 1−2 1+2 = lim 2 = = 1+0,5 2 2 1,5 = 4 3 = =1 2 2 1+√𝜇2 /𝜇1 2 = 𝜇2 /𝜇1 →∞ 1+√𝜇2 /𝜇1 2 3 =0 ÖRNEK-2 Boyca kütle yoğunlukları 𝜇1 ve 𝜇2 olan iki ip birer uçlarından bağlıdır ve ipler T gerilimi ile gerilmiştir. Birleşme noktasına doğru ilerleyen bir dalgayı göz önüne alınız. Yansıyan dalganın enerji akısı ile geçen dalganın enerji akısı toplamının, gelen dalganın enerji akısına eşit olduğunu gösteriniz. Bir dalganın enerji akısı (= enerji yoğunluğu ile dalga hızının çarpımı) A genlik ve v dalga hızı olmak üzere 𝐴2 /𝑣 ile orantılıdır. (French-p8.2) Çözüm: 7. bölümde bir dalganın enerji akısı için 1 𝑃 = 𝜇2 𝐴2 𝑣 (1) 2 Bağıntısını türetmiştik (Eşitlik-7.105’e bakınız). Gelen dalganın genliği 𝐴 , yansıyan dalganın genliği 𝐵 ve geçen dalganın genliği 𝐶 olsun. Bu durumda sırasıyla 𝑃𝐴 , 𝑃𝐵 ve 𝑃𝐶 gelen, yansıyan ve geçen dalganın akısı olmak üzere 1 𝑃𝐴 = 𝜇1 2 𝐴2 𝑣1 (2a) 2 1 𝑃𝐵 = 𝜇1 2 𝐵2 𝑣1 (2b) 2 1 𝑃𝐶 = 𝜇2 2 𝐶 2 𝑣2 (2c) 2 yazabiliriz. Burada 𝑣1 birinci ip üzerinde ve 𝑣2 ikinci ip üzerinde dalga hızını göstermektedir. Yansıyan ve geçen dalga akılarının toplamı için 𝑃𝐵 + 𝑃𝐶 = 1 2 2 𝜇1 2 𝐵 𝑣1 + 1 2 2 𝜇2 2 𝐶 𝑣2 = 1 2 2 [𝜇1 𝐵2 √𝑇/𝜇1 + 𝜇2 𝐶2 √𝑇/𝜇2 ] 48 1 𝑃𝐵 + 𝑃𝐶 = 2 [𝐵2 √𝑇𝜇1 + 𝐶 2 √𝑇𝜇2 ] (3) 2 Daha önce yansıma ve geçme katsayıları için 𝑅12 = 𝐵 = 𝐴 𝑇12 = 𝐶 𝐴 √𝑇𝜇1 −√𝑇𝜇2 (4a) √𝑇𝜇1 +√𝑇𝜇2 = 2√𝑇𝜇1 (4b) √𝑇𝜇1 +√𝑇𝜇2 bağıntılarını türetmiştik (Ders notlarına bakınız). Buradan 𝐵2 = ( 𝐶2 = ( √𝑇𝜇1 −√𝑇𝜇2 2 2 ) 𝐴 √𝑇𝜇1 +√𝑇𝜇2 2√𝑇𝜇1 √𝑇𝜇1 +√𝑇𝜇2 (5a) )2 𝐴2 (5b) Bu değer (3) eşitliğinde yerine yazılırsa 1 𝑃𝐵 + 𝑃𝐶 = 2 [( 2 √𝑇𝜇1 −√𝑇𝜇2 2 2 ) 𝐴 √𝑇𝜇1 √𝑇𝜇1 +√𝑇𝜇2 1 𝑃𝐵 + 𝑃𝐶 = 2 𝐴2 [( 2 √𝑇𝜇1 2 (√𝑇𝜇1 +√𝑇𝜇2 )2 1 √𝑇𝜇1 2 (√𝑇𝜇1 +√𝑇𝜇2 )2 𝑃𝐵 + 𝑃𝐶 = 2 𝐴2 2√𝑇𝜇1 √𝑇𝜇1 +√𝑇𝜇2 √𝑇𝜇1 −√𝑇𝜇2 2 ) √𝑇𝜇1 √𝑇𝜇1 +√𝑇𝜇2 1 𝑃𝐵 + 𝑃𝐶 = 2 𝐴2 +( +( )2 𝐴2 √𝑇𝜇2 ] 2√𝑇𝜇1 √𝑇𝜇1 +√𝑇𝜇2 )2 √𝑇𝜇2 ] [(√𝑇𝜇1 − √𝑇𝜇2 )2 + 4√𝑇𝜇1 √𝑇𝜇2 ] [𝑇𝜇1 + 𝑇𝜇2 + 2√𝑇𝜇1 √𝑇𝜇2 ] 1 √𝑇𝜇1 𝑃𝐵 + 𝑃𝐶 = 2 𝐴2 (√𝑇𝜇1 + √𝑇𝜇2 )2 2 2 (√𝑇𝜇1 + √𝑇𝜇2 ) 1 1 1 𝑃𝐵 + 𝑃𝐶 = 2 𝐴2 √𝑇𝜇1 = 2 𝐴2 𝜇1 √𝑇/𝜇1 = 𝜇1 2 𝐴2 𝑣1 2 2 2 1 𝑃𝐵 + 𝑃𝐶 = 𝜇1 2 𝐴2 𝑣1 2 (6) Bu değer Eşitlik-2a ile verilen gelen dalga akısına eşittir yani 𝑃𝐵 + 𝑃𝐶 = 𝑃𝐴 (7) yazabiliriz. 49 ÖRNEK-3 Havada ilerleyen bir düzlem ses dalgası su yüzeyine dik olarak düşüyor. Sesin havadaki hızı yaklaşık 334 m/s ve sudaki hızı ise yaklaşık 1480 m/s’dir. a) Suya giren dalganın genliğinin gelen dalganın genliğine oranı nedir? b) Suya giren dalganın enerji akısının gelen dalganın enerji akısına oranı nedir? Çözüm: Akışkanlarda yer değiştirme için dalga denkleminin 𝜕2 𝜕𝑥 2 = 1 𝜕2 (1) 𝑣 2 𝜕𝑡 2 bağıntısı ile verildiğini biliyoruz (6.bölüm ders notlarına bakınız). Burada 𝑣 = √𝐵/𝜌0 dalganın yayılma hızı, B ortamın hacim modülü ve 𝜌0 ise dalganın yayıldığı ortamın yoğunluğudur. Bu denklemin çözümü için (x, t) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) fonksiyonunun yazıldığını (2) ve ses dalgasına basınç dalgası olarak da bakabileceğimizi biliyoruz. Basınç dalgası için dalga denklemi 𝜕2 𝑝 𝜕𝑥 2 = 1 𝜕2 𝑝 (3) 𝑣 2 𝜕𝑡 2 İle verilmektedir. Basınç ile yer değiştirme arasında ise 𝑝(𝑥, 𝑡) = −𝐵 𝜕(𝑥,𝑡) 𝜕𝑥 = 𝐵𝑘𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 − 𝑡) (4) bağıntısı vardır (ders notlarına bakınız). Ses dalgasının su yüzeyine şekildeki gibi dik geldiğini kabul edeceğiz. Bu durumda gelen, yansıyan ve geçen dalgayı, sırasıyla, 𝑖 (𝑥, 𝑡) , 𝑟 (𝑥, 𝑡) ve 𝑡 (𝑥, 𝑡) ile gösterelim. Bu durumda 50 𝑖 (𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑖 cos(𝑘1 𝑥 − 𝜔𝑡) (5a) 𝑟 (𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑟 cos(𝑘1 𝑥 + 𝜔𝑡) (5b) 𝑡 (𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑡 cos(𝑘2 𝑥 − 𝜔𝑡) (5c) yazabiliriz. Sınır koşulları: i) Ara yüzeyde yer değiştirmeler sürekli olmalıdır. ii) Ara yüzeyde basınç sürekli olmalıdır. Birinci koşuldan 𝑖 (0, 𝑡) + 𝑟 (𝑥, 𝑡) = 𝑡 (𝑥, 𝑡) (6a) 𝐴𝑖 cos(𝜔𝑡) + 𝐴𝑟 cos(𝜔𝑡) = 𝐴𝑡 cos(𝜔𝑡) (6b) veya 𝐴𝑖 + 𝐴𝑟 = 𝐴𝑡 (6c) elde ederiz. İkinci koşuldan 𝑝𝑖 (0, 𝑡) + 𝑝𝑟 (0, 𝑡) = 𝑝𝑡 (0, 𝑡) (7) yazabiliriz. Burada Eşitlik-4 kullanılarak −𝐵1 𝑘1 𝐴𝑖 𝑠𝑖𝑛(𝑡) + 𝐵1 𝑘1 𝐴𝑟 𝑠𝑖𝑛(𝑡) = −𝐵2 𝑘2 𝐴𝑡 𝑠𝑖𝑛(𝑡) veya −𝐵1 𝑘1 𝐴𝑖 + 𝐵1 𝑘1 𝐴𝑟 = −𝐵2 𝑘2 𝐴𝑡 (8) yazabiliriz. Burada (6c) denkleminin her iki tarafını 𝐵1 𝑘1 ile çarpalım ve elde edilen sonuçtan (8) eşitliğini taraf tarafa çıkaralım: 𝐵1 𝑘1 𝐴𝑖 + 𝐵1 𝑘1 𝐴𝑟 = 𝐵1 𝑘1 𝐴𝑡 −𝐵1 𝑘1 𝐴𝑖 + 𝐵1 𝑘1 𝐴𝑟 = −𝐵2 𝑘2 𝐴𝑡 -__________________ -___________ 2𝐵1 𝑘1 𝐴𝑖 = (𝐵1 𝑘1 + 𝐵2 𝑘2 ) 𝐴𝑡 Elde ederiz. Buradan 𝐴𝑡 𝐴𝑖 = 2𝐵1 𝑘1 𝐵1 𝑘1 +𝐵2 𝑘2 (9) 51 yazabiliriz. 𝑣= 𝜔 𝑘 =√ 𝐵 ⇒ 𝑘 = 𝜔√ 𝜌 𝜌 𝐵 ⇒ 𝐵𝑘 = 𝜔√𝐵𝜌 yazılabilir. Bunu Eşitlik-9’da kullanarak 𝐴𝑡 𝐴𝑖 2𝐵1 𝑘1 = 𝐵1 𝑘1 +𝐵2 𝑘2 𝑣2 = 𝐵 𝜌 = 2𝜔 √𝐵1 𝜌1 𝜔 √𝐵1 𝜌1 +𝜔 √𝐵2 𝜌2 = 2√𝐵1 𝜌1 (10) √𝐵1 𝜌1 +√𝐵2 𝜌2 ⇒ 𝐵𝜌 = 𝑣 2 𝜌2 ⇒ √𝐵𝜌 = 𝜌𝑣 = 𝑍 Burada Z akustik empedansdır. Bu değerler Eşitlik-10’da yerine yazılırsa 𝐴𝑡 2𝑍1 = 𝐴𝑖 𝑍1 + 𝑍2 Sonucu elde edilir. Verilen sayısal değerler kullanılarak 𝐴𝑡 𝐴𝑖 = 2𝑍1 𝑍1 +𝑍2 = 2𝜌ℎ𝑎𝑣𝑎 𝑣ℎ𝑎𝑣𝑎 𝜌ℎ𝑎𝑣𝑎 𝑣ℎ𝑎𝑣𝑎 +𝜌𝑠𝑢 𝑣𝑠𝑢 = 2×1,23×334 1,23×334+1000×1480 ≅ 822 1480822 ≅ 5,6 × 10−4 elde edilir. b) Gerilmiş ipteki dalganın enerji akısı için 1 𝑃 = 𝜇2 𝐴2 𝑣 2 ifadesini elde etmiştik (Ders notlarına bakınız). Aynı ifadeyi ses dalgası için de kullanabiliriz. Ancak burada 𝜇 yerine 𝜌 yazmak gerekir. Yani 1 𝜌2 𝐴2 𝑣 2 olmalıdır. Bu durumda gelen ses dalganın enerji akısının suya giren ses 𝑃= dalgasının enerji akısına oranı için 1 2 2 𝑃𝑡 2 𝜌2 𝐴𝑡 𝑣2 𝜌2 𝐴2𝑡 𝑣2 𝜌2 𝑣2 𝐴𝑡 2 = = = ( ) 𝑃𝑖 1 𝜌 2 𝐴2 𝑣 𝜌1 𝑣1 𝐴𝑖 𝜌1 𝐴2𝑖 𝑣1 𝑖 𝑖 2 1 𝑃𝑡 𝜌2 𝑣2 𝐴𝑡 2 = ( ) 𝑃𝑖 𝜌1 𝑣1 𝐴𝑖 ifadesini yazabiliriz. Verilen değerler ve a-şıkkında elde edilen sonuç kullanılarak 52 𝑃𝑡 𝜌𝑠𝑢 𝑣𝑠𝑢 𝐴𝑡 1000 × 1480 (5,6 × 10−4 )2 ≅ 1,1 × 10−3 = ( )2 ≅ 𝑃𝑖 𝜌ℎ𝑎𝑣𝑎 𝑣ℎ𝑎𝑣𝑎 𝐴𝑖 1,23 × 334 Bu sonuçlar su yüzeyine dik gelen sesin çok az bir kısmının su içerisine gireceğini söyler. Başka bir deyişle gelen dalga esas olarak geri yansır. ÖRNEK-4 Çift yarık girişim deneyinde (Şekle bakınız) 𝑑 = 0,150 𝑚𝑚, 𝐿 = 120 𝑐𝑚, 𝜆 = 833 𝑛𝑚 ve 𝑦 = 2,00 𝑐𝑚 olarak veriliyor. a) S1 ve S2 kaynaklarından ekrandaki P noktasına giden ışınlar arasındaki 𝛿 yol farkını bulunuz. b) 𝛿 yol farkını 𝜆 dalga boyu cinsinden ifade ediniz. c) Bu koşullardaki P noktasının maksimumda mı, minimumda mı veya ara bir yerde mi olduğunu belirleyiniz. Çözüm: a) Yol farkı için 𝛿 = 𝑟2 − 𝑟1 = 𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 İfadesinin verildiğini biliyorsunuz. 𝐿 ≫ 𝑦 durumunda 𝜃 açısı küçük olacağından sin 𝜃 ≅ 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑦 𝐿 53 alınabilir. Bu durumda yol farkı için 𝑦 2,00 × 10−2 −4 𝛿 = 𝑑 = (1,5 × 10 ) = 2,50 × 10−6 𝑚 𝐿 1,20 değeri elde edilir. b) a-şıkkındaki değer kullanılarak 𝛿 2,50 × 10−6 = ≅ 3,00 𝜆 8,33 × 10−7 elde edilir. Buradan 𝛿 = 3,00𝜆 sonucu yazılır. c) b-şıkkının sonucuna göre yol farkı dalga boyunun tam katı (3,00) olduğundan verilen özelliklerdeki P noktasında yapıcı girişim, yani maksimum veya başka bir deyişle aydınlık saçak oluşur. ÖRNEK-5 Tek renkli faz uyumlu (koherent) bir ışık kaynağı şekildeki gibi birbirine paralel ve aralarındaki uzaklıklar d olan 𝑆1 , 𝑆2 ve 𝑆3 yarıklarına geliyor (Şekile bakınız). Bu yarıklardan çıkan dalgaların genliklerinin eşit (𝐸0 ), aynı 𝜔 frekanslı ve ardışık faz farklarının 𝜑 = 2𝜋𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃/𝜆 ifadesi tanımlıdır. a) P noktasındaki şiddetin 54 𝐼0 2𝜋𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 2 𝐼 = [1 + 2𝑐𝑜𝑠 ( )] 9 𝜆 ifadesi ile verileceğini gösteriniz. Burada 𝐼0 birincil maksimumların şiddettir. b) İkincil maksimumların şiddetinin birinci maksimumların şiddetine oranını bulunuz. Çözüm a) 𝑆1 , 𝑆2 ve 𝑆3 yarıklarından P noktasına gelen dalgaları, sırasıyla, 𝐸1 = 𝐸0 cos(𝜔𝑡) , 𝐸2 = 𝐸0 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) ve 𝐸3 = 𝐸0 cos(𝜔𝑡 + 2𝜑) şeklinde yazabiliriz. Buradan 𝐸1 + 𝐸3 = 𝐸0 cos(𝜔𝑡) + 𝐸0 cos(𝜔𝑡 + 2𝜑) = 2𝐸0 [cos(𝜑)cos(𝜔𝑡 + 𝜑)] yazılabilir. Buna 𝐸2 ’yi de eklersek 𝐸𝑝 = 𝐸1 + 𝐸2 + 𝐸3 = 𝐸0 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) + 2𝐸0 [cos(𝜑)cos(𝜔𝑡 + 𝜑)] = 𝐸0 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) [1 + 2𝑐os(𝜑)] yazabiliriz. P noktasındaki şiddet 𝐸𝑝 ’nin karesinin bir periyot zaman dilimindeki ortalaması olarak alındığını biliyorsunuz yani 1 𝑇 2 1 𝑇 2 𝐼 = ∫ 𝐸𝑃 𝑑𝑡 = ∫ [𝐸0 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) [1 + 2 cos(𝜑)]] 𝑑𝑡 𝑇 0 𝑇 0 1 𝑇 1 𝐼 = 𝐸02 [1 + 2os(𝜑)]2 ∫0 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜔𝑡 + 𝜑) 𝑑𝑡 = 𝐸02 [1 + 2𝑐os(𝜑)]2 𝑇 2 elde edilir. Şiddetin maksimum değeri ( 𝐼0 ), cos(𝜑) = 1 olduğuna olur. Bu durumda 1 9 2 2 𝐼0 = 𝐸02 [1 + 2]2 = 𝐸02 yazılır. Buradan 1 2 𝐸0 [1 + 2𝑐os(𝜑)]2 [1 + 2𝑐os(𝜑)]2 𝐼 2 = = 9 2 𝐼0 9 𝐸 2 0 veya 55 𝐼0 𝐼0 2𝜋𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 2 2 𝐼 = [1 + 2𝑐os(𝜑)] = [1 + 2𝑐os( )] 9 9 𝜆 sonucu elde edilir. b) 𝐼= fonksiyonunda cos(𝜑) = − 1 2 𝐼0 [1 + 2 cos(𝜑)]2 9 olduğu yerlerde I şiddetinin sıfır olacağı açıktır. cos(𝜑) = +1 olan yerlerde ise şiddetin değeri birincil maksimum değerini alır (I=I0 ). cos(𝜑) = −1 olan yerlerde ise I şiddetinin değeri 𝐼0 9 olacaktır. Sonuç olarak ikincil maksimumların genliğinin 𝐼= ve birincil maksimumların genliğine oranı için 𝐼 1 = 𝐼0 9 yazabiliriz. 𝐼0 𝐼0 2𝜋𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 2 2 𝐼 = [1 + 2𝑐os(𝜑)] = [1 + 2𝑐os( )] 9 9 𝜆 fonksiyonunda I’nın 𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜆 ’ye bağlı değişim grafiği aşağıdaki şekilde verilmiştir. Burada yarık sayısı N=3 olduğundan birincil maksimumlar arasında N-2=1 tane ikincil maksimum olduğuna dikkat ediniz (Ders notların girişim ızgarası ara başlığına bakınız). 56 ÖRNEK-6 Çift yarık girişim deneyinde S kaynağı 𝑆1 yarığına 𝑆2 yarığından yarım dalga boyu daha yakındır. Maksimum ve minimumların yerlerini belirleyiniz. 𝜃 = 0 noktası maksimum mu yoksa minimum mudur? Çözüm: Ders notlarında çift yarık deneyi anlatılmıştır. Burada verilen problemdeki fark, S kaynağının 𝑆1 ve 𝑆2 yarıklarına eşit uzaklıkta olmayışıdır yani S kaynağının 𝑆1 yarığına 𝑆2 yarığından yarım dalga boyu (𝜆/2) kadar daha yakındır. Bu durumda P noktasına gelen dalgaların yol farklarına 𝜆/2 ilave etmek gerekir: 1 Δ𝑟 = 𝜆 + 𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 2 P noktasında maksimum olabilmesi için bu yol farkının dalga boyunun tam katlarına eşit olması gerekir: 1 𝜆 + 𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝜆 2 Buradan 1 𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃𝑚𝑎𝑥 = (𝑚 − ) 𝜆, 𝑚 = 0, ∓1, ∓2, ∓3, … 2 yazılır. 57 Ekran üzerinde maksimumların konumu için ise 𝑦𝑚𝑎𝑥 = 𝐿𝑡𝑎𝑛𝜃𝑚𝑎𝑥 Ekran yeterince uzakta olduğu için küçük açı yaklaşımı yapabiliriz: 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑚𝑎𝑥 ≅ 𝑡𝑎𝑛𝜃𝑚𝑎𝑥 1 𝜆 𝑦𝑚𝑎𝑥 = (𝑚 − ) 𝐿 , 𝑚 = 0, ∓1, ∓2, ∓3, … 2 𝑑 Minimumlar için yol farkı dalga boyunun yarım katları olacağını biliyoruz: 1 1 𝜆 + 𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃𝑚𝑖𝑛 = (𝑚 + )𝜆 2 2 Buradan 𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝜆, 𝑚 = 0, ∓1, ∓2, ∓3, … yazılır. Ekran üzerinde minimumların konumu için ise 𝜆 𝑦𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝐿 , 𝑚 = 0, ∓1, ∓2, ∓3, … 𝑑 olacağı açıktır. 𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝜆 bağıntısına göre 𝜃 = 0 iken m=0 olur. Bu durumda merkezi girişim saçağı bir minimumdur. 58
