modüler aritmetik

MODÜLER ARİTMETİK
Bir doğal sayının 3 ile bölünmesinden elde edilen kalanlar
kümesi { 0,1,2} dir.
m modülüne göre kalan sınıfların kümesi;
Z / m  { 0, 1, 2, 3,..., m  1} olur.
4 ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,1,2,3}
tür.
a ile b aynı kalan sınıfına ait ise bu durum a  b (mod m)
biçiminde gösterilir.
Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan
  {( x, y ) : x ,y  Z ve x - y 4 ile bölünür.} bağıntısı denklik
bağıntısıdır.
Örnek:
Bir x tam sayısı 4 ile bölündüğünde kalan 0,1,2,3
sayılarından biri olur.
25 in 7 ile bölümünden kalan 4 olduğu için
25  4 (mod 7) dir.
Buna göre Z tam sayılar kümesi
523 ün 10 ile bölümünde kalan 3 olduğu için
4 modülüne göre 0,1, 2, 3 kalan sınıflarına ayrılır. Z tam
sayılar kümesinde 4 modülüne göre kalan sınıflar;
523  3 (mod 10) dur.
0  {..., 12,8,4,0,4,8,12,16,...} ,
1242 nin 4 ile bölümünde kalan 2 olduğundan
1  {..., 11,7,3,1,5,9,13,17,...} ,
1242  2 (mod 4) tür.
2  {..., 10,6,2,2,6,10,14,18,...} ,
63 ün 9 ile bölümünde kalan 0 olduğu için
63  0 (mod 9) dur.
3  {..., 9,5,1,3,7,11,15,19,...} şeklinde olur.
38 in 9 ile bölümünde kalan 2 olduğu için
4 modülüne göre kalan sınıfların kümesi Z / 4 ile gösterilir.
38  2 (mod 9) dur.
Z / 4  { 0, 1, 2, 3} tür.
Örnek:
Bu sınıfların her birinde bulunan elemanların 4 ile
bölünmesinden elde edilen kalan , o elemanın bulunduğu
sınıfı verir.
23 sayısı, 8 sayısı, 18 sayısı ve 13 sayısının 5 ile
bölümünde kalanlar eşit olduğundan
Örneğin 10 un 4 ile bölümünden kalan 2 olduğundan,
28  8  18  13  3 (mod 5) tir
10  2 olarak yazılır.
Yine 18 in 4 ile bölümünden kalan 2 olduğundan 18  2 dir.
Örnek:
Ayrıca aynı sınıfta bulunan iki elemanın denk olduğunu
biliyoruz. Bu durumda 4 ün kalan sınıflarına göre 10 sayısı
18 e denktir.
18 ve 27 sayısının 9 ile bölümünde kalan 0 dır. Buna göre,
18  27  0 (mod 9) dur.
Bunu 10  18 (mod 4) biçiminde yazar ve “4 modülüne göre
10, 18’e denktir” diye okuruz.
Örnek:
56 nın 5 ile bölümünde kalan 1 olduğu için
Sonuç
56  1(mod 5) tir.
m pozitif tam sayısı için Z tam sayılar kümesi m modülüne
göre 0, 1, 2, 3,..., m  1 olmak üzere m tane kalan sınıfına
1
Sonuç
a)
18  26  4  5 (mod 7)  44  9 (mod7)
A  B (mod m) ve B  C (mod m) ise A  C (mod m) ve
C  A (mod m) dir.
 2  2 (mod7) elde edilir.
b)
18.26  4.5 (mod 7)  468  20 (mod7)
Örnek:
 6  6 (mod7) elde edilir.
28 ve 35 sayılarının 7 ile bölümünde kalan 0 dır. Buna göre,
c)
28  35 (mod 7) ve 35  28 (mod 7) dir.
18
2
2
 4 (mod 7)  324  16 (mod7)
 2  2 (mod7) elde edilir.
Uyarı
Örnek:
A  D (mod m) ise A ve D nin m ile bölümünden kalanlar
eşittir.
6
2008
 x (mod 5) ise x kaçtır?
Örnek:
Çözüm:
34  40 (mod 6) olduğundan 34 ve 40 sayılarının 6vile
bölümünden kalanlar eşittir.
6  1(mod 5) olduğundan,
6
Kural
2008
2008
2008
1
(mod 5)  6
 1(mod5)
olacağından x = 1 bulunur.
A  B (mod m) ve C  D (mod m) ise olsun.
Bu durumda aşağıdaki ifadeler yazılabilir.
Kural
1.
k, tam sayı olmak üzere x  y (mod m) ise x  y  m.k dır.
A  C  B  D (mod m) dir. Yani m modülüne göre
yazılmış iki denklik taraf tarafa toplanabilir.
2.
Örnek:
A  C  B  D (mod m) dir. Yani m modülüne göre
yazılmış iki denklik taraf tarafa çıkarılabilir.
3.
4.
5.
3x  x (mod 7) ise x in alabileceği en küçük üç farklı doğal
sayı değerini bulalım.
A.C  B.D (mod m) dir. Yani m modülüne göre yazılmış
iki denklik taraf tarafa çarpılabilir.
Çözüm:
k bir sabit sayı olmak üzere k.A  k.B (mod m) dir. Yani
m modülüne göre yazılmış bir denkliğin her iki tarafı
aynı sayı ile çarpılabilir.
3x  x (mod 7)  3x  x  7k  2x  7k elde edilir.
k  0 ise 2x  7.0  x  0 dır.
n
n
A  B (mod m) dir. Yani m modülüne göre yazılmış
k  2 ise 2x  7.2  x  7 dir.
bir denkliğin her iki tarafının aynı kuvveti alınabilir.
k  4 ise 2x  7.4  x  14 tür.
Örnek:
Örnek:
18  4 (mod 7) ve 26  5 (mod 7) dir. Buna göre,
8
9293  6 sayısının 5 ile bölümünde kalan kaçtır?
2
Çözüm:
3
2  3 (mod 5)
9293  3 (mod 5) dir.
6  1(mod 5)  6
8
2
8
8
 1 (mod 5)  6  1(mod 5) dir.
2
Buna göre,
9293  6
8
 3  1(mod 5)  9293  6
8
4
57
 1 (mod 5)
2
4.14  1

(mod 5)  24
14 1
.2 (mod 5)
14
 1 .2 (mod5)  2 (mod5) bulunmuş olur.
 2 (mod5) olur.
Kısaca 2 nin 4. kuvveti 1 olduğuna göre 4 ün katı olan
kuvvetleri de 1 dir. Bunun için üssün 4 ile bölümünden kalan
bulunur. Buradan sonuca gidilir.
Örnek:
8
8
6  10 sayısının 9 ile bölümünde kalan kaçtır?
Örnek:
Çözüm:
3
2
6  36 sayısının 9 ile bölümünden kalan 0 dır.
34
sayısının birler basamağındaki rakamı bulalım.
Çözüm:
2
Bu durumda 6  36 dur.
Buradan
Bir sayının birler basamağındaki rakam 10 ile bölümündeki
kalana eşittir.

Buna göre 3 sayısının birler basamağındaki rakamı 10
ile bölümündeki kalan verir.
62
9
34
9
18
 0 (mod 9)  6  0 (mod 9) bulunur.
10  1(mod 9)  10
8
8
8
 1 (mod 9)  10  1(mod 9)
1
3  3 (mod 10)
olacağından;
3
8
8
8
8
6  10  0  1(mod 9)  6  10  1(mod 9)
3
8
8
8
8
6  10  1  9 (mod 9)  6  10  8 (mod 9)
3
2
3
4
 9 (mod 10)
 7 (mod 10)
 1 (mod 10)
bulunmuş olur.
3
34
3
Örnek:
2
57
4.8  2

(mod 5)  34
8
 1 .9 (mod5)  9 (mod5)
sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
8 2
.3 (mod 5)
bulunmuş olur.
Örnek:
1
2  2 (mod 5)
6
2
2  4 (mod 5)
3
75
sayısının 8 ile bölümündeki kalan kaçtır?
Çözüm:
Örnek:
1
6  6 (mod 8)
2
2
6  4 (mod 8)
4
 1 (mod 5) tir.
Burada 5 asal sayı ve 2 sayısı 5 in katı değildir.
3
6  0 (mod 8)
6
4
Örnek:
 0 (mod 8)
…
6
75
 0 (mod 8) bulunmuş olur.
Çözüm:
3 sayısı 5 in katı olmayıp 5 asal sayı olduğundan
Örnek:
2002
2008
 x (mod 5) olduğuna göre x in alabileceği en küçük
doğal sayı değeri kaçtır?
3
2005
3
 x (mod 10) olduğuna göre x in alabileceği en
4
 1 (mod 5) yazılabilir.
küçük değer kaçtır?
Çözüm:
3
1
2002  2 (mod 10)
3
2002
2002
2002
2002
2
3
4
5
2008
2008

 34
504
(mod 5)  3
2008
504
1
(mod 5)
 1 (mod 5) bulunur.
 4 (mod 10)
Örnek:
 8 (mod 10)
Son verdiğimiz kuraldan hareketle, 5 nın 7 ile
bölümünden kalanın 1 olduğunu söyleyebiliriz. Buna göre,
6
 6 (mod 10)
6
5  1 (mod 7) dir.
 2 (mod 10)
Örnek:
1
5
in 10 ile bölümünden kalan 2002 in 10 ile
bölümündeki kalan ile aynıdır. Buna göre 2005 in 4 ile
bölümünden kalan 1 olduğu için,
2002
2002
2002
2005
2005
x
 1 (mod 5) olduğuna göre, x pozitif tam sayısının
alabileceği en küçük değeri bulalım.
4
Çözüm:
1
 2002 (mod 10)
1
4  4 (mod 5)
 2 (mod 10) bulunur.
4
2
 1 (mod 5)
Kural
x
olduğuna göre, 4  1(mod 5) ifadesini doğrulayan en
küçük pozitif tam sayı 2 dir.
x, m’nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m asal sayı
ise x
m-1
 1 (mod m) dir.
4
Uyarı
Çözüm:
x, m’nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m asal sayı
ise, x
m-1
1
6  6 (mod 8)
 1 (mod m) dir.
2
6  4 (mod 8)
Ancak x in m-1 den küçük kuvvetleri için de denklik 1’e eşit
4
2
olabilir. Örneğin 4  1(mod 5) ve 4  1 (mod 5) olur.
3
6  0 (mod 8)
Örnek:
6
2008
 x (mod 5) olduğuna göre x in alabileceği en küçük
doğal sayı değeri kaçtır?
3
6
Çözüm:
4
25
75
25
 63
(mod 8)  6  0 (mod 8)
75
 0 (mod 8)  a  0 bulunmuş olur.
Takvim ve Saat Problemleri
3 sayısı 5 in katı olmayıp 5 asal sayı olduğundan
3

75
Akrep ve yelkovanı olan bir saat şu anda 10 u gösteriyor. Bu
saat 8 saat sonra kaçı gösterir?
 1 (mod 5) yazılabilir.
Problemini çözelim:
2008
Buna göre 3
in kuvveti olan 2008 in 4 ile bölümünden
kalan 0 olduğu için
3
2008
0
 3 (mod 5)  3
2008
10+8=18 dir. Saatin üzerinde 18 sayısı yoktur.
Saat üzerinde 10 dan itibaren 8 birim sayarsak;
11,12,1,2,3,4,5,6 üzerine geliriz. Yani öğleden sonra saat 6
yı gösterir.
 1(mod 5) bulunur.
Bu toplama, tam sayılarda yaptığımızdan farklı bir
toplamadır.
Örnek:
3
134
10  8  18 (mod 12)  18  6 (mod 12) olur.
sayısının 7 ile bölümünden elde edilen kalanı bulalım.
Çözüm:
Örnek:
Son verdiğimiz kural gereği,
Akrep ve yelkovanı olan bir saat şu anda 10’u gösteriyor.45
saat sonra kaçı gösterir?
6
3  1 (mod 7) dir.
Çözüm:
134
Buna göre 3
sayısının kuvveti olan 134 sayısının 6 ile
bölümünden kalan 2 olduğu için,
10+45 =55 tir. Fakat saat üzerinde 55 yoktur.
Her 12 saatte bir saat tekrar 10 olacağından 55 sayısının 12
modülüne göre kaça denk olacağını bulmalıyız.
134
2
134
3
 3 (mod 7)  3
 2 (mod 7) olur.
55  7 (mod 12) olacağından saat 7 yi gösterecektir.
Örnek:
6
75
Örnek:
 a (mod 8) olduğuna göre, a nın alabileceği en küçük
Bugün 13 Ağustos 2005 Cumartesidir. Buna göre 17 gün
sonraki günü bulalım.
doğal sayı değerini bulalım.
5
Çözüm:
Örnek:
Bir hafta 7 gün olduğuna göre, bugünden itibaren her 7 gün
sonrası Cumartesi olacaktır.
39  3(mod m) olduğuna göre m pozitif tam sayısının
alabileceği kaç farklı değer vardır?
17  3(mod 7) olduğuna göre istenen gün Cumartesi
gününden 3 gün sonrasıdır. Yani Salı günü.
Çözüm:
39  3(mod m)  39  3  3  3 (mod m)
Buna göre13 Ağustos 2005 Cumartesi gününden 17 gün
sonraki gün 30 Ağustos 2005 Salı günüdür.
36  0(mod m)
olduğuna göre; m, 36 nın tam bölenleri olmalıdır. 36 nın
pozitif bölenleri 1,2,3,4,6,9,12,18,36 dır. Modüler aritmetik
tanımı gereği m = 1 olamaz. Bu durumda m sayısı 8 tane
pozitif değer alabilir.
Örnek:
Bu ay Ağustos ayıdır. Buna göre 173 ay öncesi hangi ay
olduğunu bulalım.
Çözüm:
Örnek:
Bir yıl 12 ay olduğuna göre, 12 ay öncesi ve 12 nin katı ile
ifade edilen aylar hep Ağustos olacaktır.
5
173  5 (mod 12) olduğuna göre istenen ay Ağustostan 5 ay
Çözüm:
öncesindeki aydır. Yani Marttır.
75
 x (mod 6) olduğuna x sayısı kaçtır?
6  0(mod m)  6  1  0  1(mod6)
Örnek:
Tam saat 1’i gösteriyorken çalıştırılan bir saatin akrebi 2230
saat sonra kaçı gösterir?
5  1(mod6)  5
Çözüm:
5
Akrep ile yelkovan her 12 saat sonra tekrar 1’i gösterecektir.
x = 5 bulunur.
Buna göre 2230  10 (mod 12) olacağından istenen saat,
1’in 10 saat sonrasıdır. Yani 11 dir.
Örnek:
75
75
 ( 1)
 1 (mod 6)  5
75
75
(mod 6)
 5 (mod 6)
a  b  8 (mod 10) , a.b  5 (mod 10) ve
Örnek:
2
2
a  b  x (mod 10) olduğuna göre x kaçtır?
Bir hasta A hapını 12 günde bir yutuyor. Bu hasta, B hapını
8 günde bir yutuyor. Bu hasta A ve B hapını birlikte ilk kez
Pazar günü yutuyor. Buna göre, A ve B hapını ikinci kez
birlikte yuttuğu gün hangisidir?
Çözüm:




2
2
2
a  b  a  b  2ab olduğundan;
Çözüm:
2
2
2
a  b  a  b  2ab (mod 10)
E.K.O.K.(12,8) = 24 olduğu için bu hasta A ve B hapını
birlikte 24 günde bir yutar.
2
2
2
a  b  8  2.5 (mod 10)
24  3(mod 7) olduğundan ve hapları birlikte ilk kez Pazar
günü yuttuğundan A ve B hapını ikinci kez birlikte yutacağı
gün Pazar gününden 3 gün sonrasındaki gün olan
Çarşamba günü olacaktır.
2
2
a  b  64  10 (mod 10)
6
Örnek:
2
2
a  b  54 (mod 10)
Z/4  { 0, 1, 2, 3} kümesinde;
2
2
a  b  4 (mod 10)  x  4 bulunur.
22  22  0
Örnek:
1 2  1 2  3
4 x  10  6 (mod 7) denkliğini sağlayan en küçük pozitif x
sayısı kaçtır?
3  2  3.2  2
Çözüm:
2  2  2.2  0
4 x  10  6 (mod 7)  4 x  3  7  6 (mod 7)
Z/4  { 0, 1, 2, 3} kümesinde tanımlı  ve  işlemleri
aşağıdaki tablo ile gösterilebilir.
4 x  3  6 (mod 7)  4 x  3  3  6  3 (mod 7)
4 x  3 (mod 7)  2.4 x  2.3 (mod 7)
8x  6 (mod 7)  1.x  6 (mod 7)  x  6 (mod 7)
Örnek:
4  2x  1(mod 5) olduğuna göre, x in alabileceği en küçük
iki farklı pozitif tam sayı değerinin toplamı kaçtır?
Z/m Kümesinde Toplama ve Çarpma
İşlemlerinin Özellikleri
Çözüm:
4  2x  1(mod 5)  4  2x  2x  1  2x (mod 5)
1.
4  1  2x (mod 5)  4  1  1  2x  1(mod 5)
Z/m kümesi toplama ve çarpma işlemlerinin değişme
özellikleri vardır.
3  2x (mod 5)  3.3  3.2x (mod 5)
2.
4  x (mod 5)
Değişme Özelliği
Birleşme Özelliği
Z/m kümesi toplama ve çarpma işlemlerinin birleşme
özellikleri vardır.
olduğuna göre x sayısı 4, 9, 13, 18, 23 gibi değerleri alabilir.
Buna göre x in en küçük iki farklı pozitif tam sayı değerinin
toplamı; 4+9=13 tür.
Örnek:
Z/4 kümesinde
Z/m Kümesinde Toplama ve Çarpma İşlemleri
3  2  1 ve 2  3  1 olduğundan 3  2  2  3 tür.
x, y  Z / m olsun. Bu elemanlar arasındaki toplama
işlemi  ile ve çarpma işlemi  ile gösterilirse;
3  2  2 ve 2  3  2 olduğundan 3  2  2  3 tür.
4.
x  y  x  y ve x  y  x.y dir.
Toplama İşleminin Etkisiz Elemanı
Z/m kümesinde toplamanın birim elemanı 0 dır.
7
Çözüm:
Her x  Z / m için x  0  0  x  x dir.
Örnek:
Z/4  { 0, 1, 2, 3} kümesinde
3  0  0  3  3 ve 0  2  2  0  2 dir.
 işleminde her x  Z / 5 için x  0  x olduğundan
Z/4  { 0, 1, 2, 3} kümesinin  işlemine göre etkisiz elemanı
etkisiz eleman 0 dır.
0 dır.
0  0  0 olduğundan 0 ın tersi 0 dır.
Çarpma işleminin etkisiz elemanı üzerinde çalışılan kümeye
göre değişmektedir.
1  4  0 olduğundan 1 in tersi 4 tür.
3.
2  3  0 olduğundan 2 nin tersi 3 tür.
Toplama İşlemine Göre Bir Elemanın Tersi
Her x  Z / m için
3  2  0 olduğundan 3 ün tersi 2 dir.
x  (  x )  x  (  x )  0 ve (  x )  x   x  x  0
4  1  0 olduğundan 4 ün tersi 1 dir.
olduğundan her x  Z / m için  işlemine göre
 işleminde her x  Z / 5 için x  1  x olduğundan
etkisiz eleman 1 dir.
x in tersi  x tir.
0  x  1 olacak şekilde x  Z / 5 bulunmadığından
Örnek:
Z/5 kümesinde  işlemine göre 0 ın tersi yoktur.
Z/4  { 0, 1, 2, 3} kümesinde
1  1  1 olduğundan 1 in tersi 1 dir.
1  ( 1)  1  ( 1)  0 olduğundan 1 in tersi  1  3 tür.
2  3  1 olduğundan 2 nin in tersi 3 tür.
2  ( 2)  2  ( 2)  0 olduğundan 2 nin tersi  2  2
3  2  1 olduğundan 3 ün tersi 2 dir.
Çarpma işlemine göre bir elemanın tersi üzerinde çalışılan
kümeye göre değişebilmektedir
4  4  1 olduğundan 4 ün 4 tür.
Örnek:
Örnek:
Z/5  { 0,1, 2, 3, 4} kümesinde  ve  işlemlerinin
Z/6 kümesinde 2.x  5  3 denklemini çözelim.
tablosunu yapıp birim elemanları ve her elemanın tersini
bulalım.
8
Çözüm:
3.x  4  0  3.x   4  1  x 
2.x  5  3  2.x   2  4
2.x  3  0  2.x  3  2  x 
x
4
2
 2 veya x 
46
2
 5 dir.
1
3
2
2

6
3
2
1
 
O halde Ç.K.  1, 2 dır.
 
O halde Ç.K.  2, 5 tir.
Örnek:
Örnek:
2
Z/5 kümesinde 4x  3  4 denklemini çözelim.
Z/13 kümesinde 2.x  5  8 denklemini çözelim.
Çözüm:
Çözüm:
1 16
2
2
2
4.x  3  4  4.x  1  x  
4
4
4
2.x  5  8  2.x  3
x
3

2
16
x
 8 dir.
2
 4  x  2 veya x  3 olur.
 
2
O halde Ç.K.  2, 3 dır.

O halde Ç.K.  8 dir.
Çözümlü Sorular
Örnek:
Z/7 kümesinde 3.x  5  6 denklemini çözelim.
1.
Çözüm:
Çözüm:
3.x  5  6  3.x  11  4
x
4
3

18
3
23
sayısının 7 ile bölümünden elde edilen kalan
kaçtır?
2
1
2  2 (mod 7)
6
2
2  4 (mod 7)

O halde Ç.K.  6 dır.
3
2  1 (mod 7)
Örnek:


Buna göre,

Z/5 kümesinde 3.x  4 . 2.x  3  0 denklemini çözelim.
2
23
Çözüm:
3.x  4. 2.x  3  0  3x  4  0 veya 2x  3  0 dır.
2
9
23

 23
7 2
3
7
.2 (mod 7)  2  1 .4 (mod7)
 7 (mod 7)
2.
4
27
 x (mod 3) olduğuna göre x sayısı kaçtır?
Çözüm:
999
Çözüm:
sayısının birler basamağındaki rakam, bu sayının
10 ile bölümündeki kalana eşittir.
1
4  1 (mod 3)
1
997  7 (mod 10)
997
4
4
27
27
 1 (mod 3)
2
997  9 (mod 10)
27
 1 (mod 3) olduğundan x  1 dir.
2
997  0  9  10 (mod 10)
3.
97
13
5
 98 toplamının 6 ile bölümünden kalan kaçtır?
997
2
 1(mod 10)
Çözüm:
 
1
97  1 (mod 6)
997
13
13
 1 (mod 6)
997
13
 1 (mod 6) olur.
997
97
97
9972
1
98  2 (mod 6)
997
2
98  4 (mod 6)
997
998
998
98
4
 4 (mod 6)
5
98  2 (mod 6) olduğundan
13
5
97  98  1  2 (mod 6)
97
13
 98
5
 3 (mod 6) bulunur.
999
4.
997
sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?
 3 (mod 10) bulunur.
38
 x (mod 10) olduğuna x sayısı kaçtır?
2
2  4 (mod 10)
2
999
 7 (mod 10)
1
2  2 (mod 10)
3
4
 8 (mod 10)
 6 (mod 10)
5
2  2 (mod 10)
6
2  4 (mod 10)
10
(mod 10)
 1.7 (mod 10)
Çözüm:
2
499
.997  1.997 (mod 10)
999
2
 ( 1)
 1(mod 10)
999
3
98  2 (mod 6)
5.
499
14  6k
6.( 2  k )  2
7
2  8 (mod 10)
5
8
2  6 (mod 10)
6.( 2  k )  2
14  6k
5
5
(mod 7)
Görüldüğü gibi 2 nin 4 ten sonraki kuvvetlerinden elde
edilen kalanlar ilk bulunan kalanlarla aynıdır.
2k 2
14  6k
5
 56
.5 (mod 7)
1
5 9
4k  1
2  2  2  ...  2
 2 (mod 10)
14  6k
k2
5
1
.25 (mod 7)
2
2
2
2
5
(mod 7)

2
6 10
4k  2
 2  2  ...  2
 4 (mod 10)
14  6k
5
 1.25 (mod 7)
3
7 11
4k  3
 2  2  ...  2
 8(mod 10)
14  6k
5
 4 (mod 7) bulunur.
4
8 12
4k
 2  2  ...  2  6 (mod 10)
38
2
6.
4.9  2
997
x
2
 2  4 (mod 10 ) bulunur.
 4 (mod 7) olduğuna göre, x in alabileceği en
küçük pozitif tam sayı değeri kaçtır?
8.
4x  10  6 (mod 7) denkliğini sağlayan en küçük
pozitif x tam sayısı kaçtır?
Çözüm:
4x  10  6 (mod 7)
4x  3  6 (mod 7)
Çözüm:
4x  3 (mod 7)
997  3 (mod 7)
8x  6 (mod 7)
2
997  3.3  2 (mod 7)
x  6 (mod 7) bulunur.
3
997  2.3  6 (mod 7)
9.
997
997
4
x
 6.3  4 (mod 7)
4 - 2x  1 (mod 5) olduğuna göre x in alabileceği en
küçük iki farklı pozitif tam sayı değerinin toplamı kaçtır?
Çözüm:
 4 (mod 7) olduğuna göre x  4 tür.
4 - 2x  1 (mod 5)
4 - 1  2x (mod 5)
7.

14  6k
olmak üzere 5
bölümünden kalan kaçtır?
kZ
sayısının 7 ile
3  2x (mod 5)
9  6x (mod 5)
Çözüm:
7, 5 in tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve 7 asal sayı
olduğundan,
5
6
 1 (mod 7) dir. Buna göre,
4  x (mod 5)
olduğuna göre x sayısı 4,9,13,18,23 gibi değerleri alabilir.
Buna göre x in alabileceği en küçük iki farklı pozitif tam sayı
değerinin toplamı, 4+8=13 tür.
11
10. Bugün günlerden Salı olduğuna göre, 32 gün sonrası
hangi gündür?
Çözüm:
31  7 (mod 24) olduğu için, saat 07:00 yi gösterir.
14.
Bir hafta 7 gündür. Bugün günlerden ne ise 7 gün sonra yine
aynı gündür.
32  4 (mod 7) olduğundan istenen gün Salı gününden 4
5

x
4
 1 (mod 7) olduğuna göre x in alabileceği en
küçük doğal sayı değeri kaçtır?
Çözüm:
gün sonraki gündür. Yani Cumartesi günüdür.
x
5
11. Bir öğretmen 13 günde bir (12 gün arayla) nöbet
tutmaktadır. 26. nöbetini Çarşamba günü tuttuğuna
göre 1. nöbetini hangi gün tutmuştur?
x
5

x
4
 1 (mod 7)
1
1
.x  4 .x  1 (mod 7)
Çözüm:
Burada 5 ve 4 ün mod 7 ye göre tersini bulmalıyız.
Bir hafta 7 gün olduğuna göre işlemlerimizi mod 7 ye göre
yapmalıyız. 26. nöbet Çarşamba günü tutulduğuna göre 7
gün önce de Çarşamba dır. Bunun için kalanı 0 olan günler
Çarşamba ya, kalanı 1 olan günler Salıya, kalanı 2 olan
günler Pazartesi ye,… rastgelir.
5.3  1(mod 7) olduğundan 5 in mod 7 ye göre tersi 3,
1. nöbetten ile 26. nöbete zaman geçene kadar 25 defa
nöbet tutulmuştur. Her nöbet 13 günde bir tutulduğundan, 1.
nöbet, 26. nöbetten 25.13 = 325 gün önce tutulmuştur.
325  3 (mod 7) olduğundan ilk nöbet Çarşamba gününden
3 gün önceki gün olan Pazar günü tutulmuştur.
4.2  1(mod 7) olduğundan 4 ün mod 7 ye göre tersi 2
bulunur.
Bu durumda,
5
1
1
.x  4 .x  1 (mod 7)
3.x  2.x  1 (mod 7)
5.x  1 (mod 7)
12. Bir asker 4 günde bir nöbet tutmaktadır. Bu asker ilk
nöbetini Pazartesi günü tuttuğuna göre, 100. nöbetini
hangi gün tutar?
15.x  3 (mod 7)
Çözüm:
Buna göre, x in alabileceği değerlerden bazıları
-11,-4,3,10,17,24 tür. Bu durumda x in alabileceği en küçük
doğal sayı değeri 3 tür.
Asker 4 günde bir nöbet tuttuğuna göre 100. nöbetini
tutması için 99.4 = 396 gün geçmesi gerekir.
396  4 (mod 7) olduğundan bizden istenen Pazartesi den 4
x  3 (mod 7)
gün sonrasıdır. Yani 100. nöbetini Cuma günü tutar.
15. x iki basamaklı bir doğal sayı,
x  2 (mod 6) ve x  2 (mod 8) olduğuna göre, x in
alabileceği kaç farklı değer vardır?
13. Bir elektronik saat şu anda 18:00 i gösterdiğine göre,
157 saat sonra kaçı gösterir?
Çözüm:
Çözüm:
dir.
Elektronik saat 24 saatte bir aynı vakti göstereceğine göre,
işlemleri mod 24 e göre yapmalıyız.
Buna göre, iki basamaklı x in alacağı değerler,
157  13 (mod 24) olduğundan bizden istenen saat
x  2 (mod 6) olduğuna göre, x in 6 ile bölümünden kalan 2
14,20,26,…,86,92,98 dir.
18:00 den 13 saat sonrası yani 31:00 dır.
12
x  2 (mod 8) olduğuna göre, x in 8 ile bölümünden kalan 2
dir.
2
2
( 5x  2).( 3x  3)  x  0.x  6  x  6 olur.
Buna göre, iki basamaklı x in alacağı değerler,
10,18,26,…,82,90,98 dir.
19. Z/8 kümesinde 5.x  2.y  6  0 ve 4x  7.y  4  0
olduğuna göre, x + y toplamını bulunuz.
6 ile 8 in E.K.O.K’u 24 olduğundan x iki basamaklı sayısı
26,50,74,98 değerlerini alabilir.
Çözüm:
16. 365 günlük bir yıldaki Salı ve Çarşamba günleri
sayısının toplamı en çok kaçtır?
tarafa toplanırsa,
5.x  2.y  6  0 ve 4x  7.y  4  0 eşitlikleri taraf
5.x  4.x  2.y  7.y  6  4  0
Çözüm:
Bir hafta 7 gündür. 365 = 52.7+1 olduğu için, 52 tane Salı ve
Çarşamba sayılır.
Sayma işlemine Salı günü başlanırsa, artan gün Salı olur.
Böylece, 53 Salı ve 52 Çarşamba günü olur.
Toplam 53+52=105 Salı ve Çarşamba günü olur.
9.x  9.y  10  0
1.x  1.y  2  0
x  y  2
x  y  8  2  6 bulunur.
17. 1  x  28 olmak üzere 28 - x  0 (mod x ) denkliğini
sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
20. Z/5 kümesinde 4
Çözüm:
Çözüm:
1  x  28 ve k tam sayı olmak üzere,
28 - x  0 (mod x ) ise,
1
3
1
toplamı kaçtır?
Z/5  { 0, 1, 2, 3, 4} tür.
Bu kümede işlemler mod 5e göre yapılır. Buna göre,
28 - x  0  x k  28  (k  1)x tir.
4.4  16 (mod 5)  4.4  1(mod 5)  4
Buna göre, x tam sayısı 28 in tam bölenidir.
Bu durumda x in alabileceği değerler 2,4,7,14,28 olmak
üzere beş tanedir.
18. Z/7 kümesinde ( 5x  2).( 3x  3) ifadesinin en sade
şeklini bulunuz.
3.2  6 (mod 5)  3.2  1(mod 5)  3
O halde 4
1
3
1
-1
-1
 4 (mod 5) tir.
 2 (mod 5) dir.
 4  2  1 (mod 5) bulunur.
Çözüm:
21. f(x )  2x  2 ve g(x )  4x olduğuna göre (f  g)(2) nin
Z/5 kümesindeki değeri kaçtır?
Z/7  { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} dır.
Çözüm:
Bu kümede işlemler mod 7 ye göre yapılır.
(f  g)(2)  f(g(2))  f(8)  18 dir.
Buna göre,
18  3 (mod 5) olduğundan (f  g)(2) nin Z/5 kümesindeki
2
değeri 3 tür.
( 5x  2).( 3x  3)  1.x  1.x  6.x  6
13
2122
22. 2011
 x (mod 15) olduğuna x sayısı kaçtır?
Çözüm:
196
 x (mod 9) ifadesinde x i bulmalıyız.
Çözüm:
197.196  197
2011  1(mod 15) tir.
197  8 (mod 9) ve 196  7 (mod 9) olup,
Buna göre,
197.196  56  2 (mod 9) dur.
2122
2111
2011
1
(mod 15)
1
197  8 (mod 9)
2122
2011
 1(mod 15) bulunur.
2
197  1 (mod 9) olduğundan,
23. 5
2009
5
2011
 x (mod 26) olduğuna göre x kaçtır?
5
5
2009
2009
2009
5
5
5
196
 
 1972
98
98
 1  1 (mod 9) olur.
Buna göre,
Çözüm:
5
197
2011
2011
2011
5
5
2009
2009
196
 2  1  3 (mod 9) bulunur.
2
.(1  5 )(mod 26)
197.196  197
.26 (mod 26)
26. Bir fabrikada yöneticiler 9 günde bir toplantı yapıyorlar.
İlk toplantılarını Çarşamba günü yapmışlardır. 12.
toplantılarını hangi gün yaparlar?
 0 (mod 26)
Çözüm:
x  0 bulunur.
24. 6
2015
 x (mod 27) olduğuna x sayısı kaçtır?
Bir hafta 7 gün olduğuna göre işlemlerimizi mod 7 ye göre
yapmalıyız. Bugün günlerden ne ise 7 gün sonra da aynı
gündür.
12. toplantının yapılabilmesi için 11 tane 9 gün geçmelidir.
Çözüm:
11.9  4.2 (mod 7)  11.9  1(mod 7) olduğuna göre
1
6  6 (mod 27)
istenen gün Çarşamba gününden 1 gün sonrası olan
Perşembe günüdür.
2
6  9 (mod 27)
3
6  0 (mod 27) olduğuna göre 6 nın 3 ten büyük tüm
kuvvetleri mod 27 de 0 a denktir.
Buna göre, 6
2015
27. 0!  2!  4!  6!  ...  44! toplamının birler
basamağındaki rakam kaçtır?
Çözüm:
 0 (mod 27) olup x  0 bulunur.
y
25. x  197 ve y  196 olduğuna göre x .y  x sayısının
9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Bir sayının 10 ile bölümünden kalan, o sayının birler
basamağındaki rakamı verir.
0!  2!  4!  6!  ...  44!  0  2  24  720  ...
 27  720  ...
 7  20  720  ...
14
6! Sayısı 10 ile tam bölünür. 6!’den sonra gelen tüm terimler
de 10 ile tam bölünür. Buna göre,
x  2 (mod 5) bulunur.
0!  2!  4!  6!  ...  44!  7 (mod 10) olur.
O halde 0!  2!  4!  6!  ...  44! toplamının birler
basamağındaki rakam 7 dir.
28.
5555 555 sayısının 9’a bölümünde kalan kaçtır?
x  20 (mod 7)  x  6 (mod 7)
5555 555  2 555 (mod 9) dur.
2
555
Çözüm:
3x  4 (mod 7)  5.3x  5.4 (mod 7)
5555  2 (mod 9)
64
31. 3x - 5  6 (mod 7) olduğuna göre x in alabileceği en
küçük iki basamaklı pozitif tam sayı kaçtır?
3x - 5  6 (mod 7)  3x  5  6 (mod 7)
Çözüm:
2
7.3x  7.1(mod 5)  21x  7 (mod 5)
32. ax  3  4 (mod 7) denkliği x  2 için sağlandığına
göre, a kaçtır?
 64  1(mod 9) olduğundan,

 26
92 3
92
.2  1 .8  8 (mod 9) olur.
O halde 5555 
kalan 8 dir.
555
Çözüm:
sayısının 9 ile bölümünden
ax  3  4 (mod 7) denkliği x  2 için sağlanıyorsa,
a.2  3  4 (mod 7)  2a  3  4 (mod 7)
2a  3 - 3  4 - 3 (mod 7)  2a  1(mod 7)
2
2
29. x  3 (mod 6) , y  2 (mod 6) ve x  y  a (mod 6)
olduğuna göre a kaçtır?
2a.4  1.4 (mod 7)  a  4 (mod 7) bulunur.
Çözüm:
2
x y
2
 ( x  y ).( x  y ) dir.
x  3 (mod 6) ve y  2 (mod 6) ise,
2
2
x  y  ( 3  2).( 3  2) (mod 6)
2
2
x  y  5.1  5 (mod 6) bulunur.
30. 3x - 2  4 (mod 5) denkliğini sağlayan x değeri kaçtır?
33. f( 3x  1)  6x  7 olduğuna göre f( 0) nin Z/9
kümesindeki değeri kaçtır?
Çözüm:
f( 3x  1)  6x  7
f( 3x  1)  6x  2  5
f( 3x  1)  2.( 3x  1)  5
Çözüm:
f(a)  2.a  5
3x - 2  2  4  2 (mod 5)
f( 0)  2.0  5  5 bulunur.
3x  6 (mod 5)  3x  1(mod 5)
Konu Bitmiştir.
15
16