mat105u-matematik ı

MAT105U-MATEMATİK I
Ünite 6: Matrisler ve Doğrusal Denklem Sistemleri
Matrisler
Sayıların tablo şeklinde gösterimi matris olarak
adlandırılır. Matrisler satır ve sütunlardan oluşur. m satır
ve n sütundan oluşan matrise mxn tipinde bir matris denir.
Her matris bir büyük harf ile adlandırılır. Aşağıda 3x2
boyutunda örnek bir T matrisi verilmiştir.
1
T = −3
4
7
2
5
Her bir matriste satır ve sütun sayılarının çarpımı kadar
eleman vardır. Matris elemanları matris adının küçük harfi
ile gösterilir ve elemanın bulunduğu satır ve sütun
numaraları iliştirilir. Matris elemanlarının bu şekilde
temsil edilmesine, elemanın indislerle gösterimi denir.
Örneğin, yukarıdaki T matrisinin t12 elemanı 7 değerine
sahiptir. Bir A matrisinin elemanları aşağıdaki şekilde
gösterilebilir.
𝑎!! 𝑎!"
A = 𝑎!" 𝑎!!
𝑎!" 𝑎!"
Satır ve sütun sayıları eşit olan matrislere kare matris adı
verilir. Aşağıda 3x3 boyutunda örnek bir kare matris
verilmiştir.
2
K= 1
3
3
−2
5
7
4
−3
1
−2
3
4
B=
2
1
5
−1
C=A+B=
3
−1
8
3
İki matrisin farkı da toplama işlemi ile aynı şekilde yapılır.
Aynı indise sahip her iki elemanın farkının alınmasıyla
hesaplanır.
A=
1
−2
3
4
B=
2
1
5
−1
C=A+B=
−1
−3
−2
5
Bir matrisi sabit bir sayı ile çarpmak o matristeki her bir
elemanı o sayı ile çarpmak anlamına gelir.
A=
1
−2
3
4
2.A =
2,1
2. −2
2.3
2
=
−4
2.4
3
6
9
30
B= 20
10
5
8
10
40
25
5
A matrisinin 1. satırı ile B matrisinin 1. sütunu çarpılıp
toplanırsa C sonuç matrisinin c11 elemanı bulunur.
30 40
4 3 5
A.B = C = 7 6 8 . 20 25
6 9 10 10 5
4.30 + 3.20 + 5.10 ?
=
?
?
?
?
Aynı işlem a matrisinin tüm satırları için sırayla uygulanır.
30 40
4 3 5
7 6 8 . 20 25
6 9 10 10 5
4.30 + 3.20 + 5.10 ?
= 7.30 + 6.20 + 8.10 ?
?
?
Çarpım işlemi tüm satırlar için uygulandığında sonuç
matrisinin 1. sütunu bulunur.
4.30 + 3.20 + 5.10
= 7.30 + 6.20 + 8.10
6.30 + 9.20 + 10.10
Çarpım işlemi A matrisinin tüm satırları için B matrisinin
2. Sütunu ile tekrarlandığında sonuç matrisi bulunur.
2 Matrisin toplamı, matrislerdeki aynı indislere sahip olan
elemanların toplanması ile bulunur. Bu nedenle iki
matrisin toplanabilmesi için aynı tipten olmaları
gerekmektedir. Sonuç da aynı boyutta bir matristir.
A=
4
A= 7
6
4.30 + 3.20 + 5.10
4.40 + 3.25 + 5.5
= 7.30 + 6.20 + 8.10
7.40 + 6.25 + 8.5
6.30 + 9.20 + 10.10 6.40 + 9.25 + 12.5
230 260
C= 410 480
460 515
Bir kare matriste aynı satır ve sütun numarasına sahip
elemanlara matrisin köşegen elemanları denir. n.
mertebeden bir kare matriste köşegen üzerindeki
elemanlar 1, bunun dışındaki elemanlar 0 ise bu matrise
birim matris denir ve In ile gösterilir. Bir matris birim
matris ile çarpıldığında yine kendisi elde edilir. Aşağıda
2. mertebeden birim matris gösterilmiştir.
I2 =
6
8
İki matrisin çarpımında ise durum daha farklıdır. İki
matrisin çarpımı; ilk matristeki her satırdaki elemanların
ikinci matristeki her sütundaki elemanlarla sırayla
çarpılarak toplanması ile elde edilir. Bu yüzden iki
matrisin çarpılabilmesi için birinci matrisin sütun sayısı ile
ikinci matrisin satır sayısının eşit olması gerekir. Çarpım
yapılan satır ve sütun numarası sonuç elemanının indisini
belirler. Sonuç matrisinin satır sayısı birinci matrisin satır
sayısına, sütun sayısı ise ikinci matrisin sütun sayısına
eşittir.
A=
A.I2 =
2
4
3
.
5
1
0
2
4
1
0
0
1
3
5
0
2
=
1
4
3
5
Matrislerin çarpım işleminde sıra önemlidir ve sonucu
değiştirir. Yani A.B≠B.A. Aşağıda çarpım sırasını
değiştirmenin sonucu değiştirdiği iki matris ile
gösterilmiştir.
−2 3
0 1
−2 3 4
A.B =
.
0 1 2
A=
4 1
2 0
1
−2 −2
=
0
2
0
B=
1
MAT105U-MATEMATİK I
Ünite 6: Matrisler ve Doğrusal Denklem Sistemleri
B.A =
4
2
1 −2
.
0 0
3
−8
=
1
−4
13
6
n. mertebeden bir A kare matrisi, başka bir B kare matrisi
ile çarpıldığında birim matris elde ediliyor ise B matrisine
A matrisinin ters matrisi denir ve A-1 ile gösterilir.
Doğrusal Denklem Sistemleri ve Determinantlar
ax + by = e
cx + dy = f
denklemlerinden oluşan sisteme, iki bilinmeyenli ve iki
denklemden oluşan bir doğrusal denklemi denir. Bu
sistem;
𝑥
𝑒
𝑎 𝑏
A=
,
X= 𝑦 ve
B= 𝑓
𝑐 𝑑
olmak üzere, AX=B şeklinde gösterilebilir. Bu gösterime
sitemin matrisler ile gösterimi denir. A’ya katsayılar
matrisi, X’e bilinmeyenler matrisi ve B’ye de sabitler
matrisi denir. Bu denklemi sağlayan (x,y) ikilisine de
denklem sisteminin bir çözümü denir.
Bu tip bir denklem sistemini çözmek için sırayla x ve y
yok edilir.
x’i bulmak için birinci denklem d ile, ikinci denklem –b
ile çarpılıp, denklemler taraf tarafa toplanır.
adx + bdy = ed
-bcx – bdy = -bf
=> x(ad – bc) = ed – bf
=> x = (ed – bf)/ (ad – bc)
Aynı şekilde y’yi bulmak için birinci denklem c ile ikinci
denklem –a ile çarpılır.
acx + bcy = ec
-acx + ady = -af
Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak;
y(bc – ad) = ec – af
=> y = (af – ec)/ (ad – bc)
olur. İki denklemin de paydasında bulunan ad – bc
sayısına A matrisinin determinantı denir. 𝐴 veya det(A)
şeklinde gösterilir. Paylardaki ed – bf sayısı, A matrisinin
birinci sütununun çıkarılıp, onun yerine B matrisinin
konulmasıyla elde edilen matrisin determinantıdır. Benzer
şekilde af – ec sayısı ise, A matrisinin ikinci sütununun
çıkarılıp, onun yerine B matrisinin konulmasıyla elde
edilen matrisin determinantına eşittir. Bu durumda;
Ax =
𝑒
𝑓
𝑏
𝑑
x = 𝐴! / 𝐴 ,
𝑎
Ay = 𝑐
𝑒
𝑓
y = 𝐴! / 𝐴
Yalnızca
kare
matrislerin
determinantı
vardır.
Determinantın 0 çıkması durumunda iki ihtimal vardır.
Birincisi denklemin çözümünün olmaması ikincisi de
denklemin birden fazla çözümünün olmasıdır.
Üç bilinmeyenli üç denklem sistemi de iki bilinmeyenli iki
denklem sistemi ile benzer bir yöntem ile çözülür.
Bilinmeyenler sırayla yok edilerek çözüme ulaşılır. Bu
yolla sistemi çözmeye çalıştığımızda da karşımıza 3.
mertebeden bir kare matrisin determinantı için bir kural,
dolayısıyla yine Cramer yöntemi çıkar.
3. mertebeden bir kare matrisin determinantı için birinci
ve ikinci sütunlar matrisin sağ tarafına yardımcı sütunlar
olarak yazılır ve aşağıda verilen çarpım ile hesaplanır.
𝑎!! 𝑎!" 𝑎!" 𝑎!! 𝑎!"
A = 𝑎!" 𝑎!! 𝑎!" 𝑎!" 𝑎!!
𝑎!" 𝑎!" 𝑎!! 𝑎!" 𝑎!"
𝐴 = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – a13.a22.a31 –
a11.a23.a32 – a12.a21.a33
Bu kural Sarus kuralı olarak adlandırılır. Sarus kuralı
sadece 3. mertebeden kare matrislerin determinantını
hesaplamakta kullanılır.
𝑥
B= 𝑦
𝑧
A matrisinin birinci sütununun çıkarılıp yerine B
matrisinin konulmasıyla elde edilen matrise Ax, A
matrisinin ikinci sütununun çıkarılıp yerine B matrisinin
konulmasıyla elde edilen matrise Ay ve A matrisinin
üçüncü sütununun çıkarılıp yerine B matrisinin
konulmasıyla elde edilen matrise de Az denirse;
x = 𝐴! / 𝐴 ,
y = 𝐴! / 𝐴 ,
Bu şekilde matrislerin determinantlarını kullanarak
sistemin çözümünü bulmaya Cramer yöntemi denir.
olur.
Bir A matrisi B matrisi ile çarpıldığında sonuç birim
matris çıkıyorsa B matrisine A matrisinin ters matrisi
denildiği daha önce söylenmişti, bu ters matrisin
hesaplanması için aşağıdaki yol izlenir.
𝑥 𝑧
𝑎 𝑏
1 0
A=
B= 𝑦 𝑡
A.B =
0 1
𝑐 𝑑
olacak şekilde x, y, z, ve t bulunmalıdır.
ax + by = 1
cx + dy = 0
x = 𝐴! / 𝐴 = d/(ad – bc) ve y = 𝐴! / 𝐴 = - c/ (ad – bc)
olur. İkinci denklem sistemi de;
az + bt = 0
cz + dt = 1
dersek,
olur.
z = 𝐴! / 𝐴
z = 𝐴! / 𝐴 = -b/(ad – bc) ve t = 𝐴! / 𝐴 = a/ (ad – bc)
olur. Bu yöntem ile 𝐴 ≠ 0 durumu için A matrisinin ters
matrisi bulunur.
A matrisinin tersi;
2
MAT105U-MATEMATİK I
Ünite 6: Matrisler ve Doğrusal Denklem Sistemleri
-1
A =
!
!!
!
!!
!
!
!
!
= 1/(ad – bc).
𝑑
−𝑐
−𝑏
𝑎
şeklinde gösterilir.
3