/AXQB 9KS>AX- 8PI>M>NX- ANALcIZ III ArasGnav SorularG

Ad¬ve Soyad¬:
Numaras¬:
ANALI·Z III
Aras¬nav Sorular¬
26.11.2007
———————————————————————————————————————————–
p
p
1. x1 = 3 ve xn+1 = 3 + xn ; n = 1; 2; ::: biçiminde tan¬mlanan (xn ) dizisinin yak¬nsak
oldu¼
gunu gösteriniz ve limitini bulunuz.(20)
2. (M; d) bir metrik uzay ve A
M olsun.
(a) A (A kümesinin içi) ve @A (A kümesinin s¬n¬r¬) kümelerini tan¬mlay¬n¬z.(05)
(b) A kümesi neden aç¬k ve @A kümesi neden kapal¬d¬r?(05)
(c) A kümesi kapal¬ve @A kümesi aç¬k olan bir A kümesi bulunuz.(10)
3. (a) A R boş olmayan ve alttan s¬n¬rl¬bir küme olsun. inf (A) 2 A oldu¼
gunu gösteriniz.(10)
(b) (M; d) bir metrik uzay, A M ve x 2 M olsun. x 2 A ise x noktas¬na yak¬nsayan bir
(xn ) A dizisinin bulunabilece¼
gini gösteriniz.(10)
4. (a) Bir (M; d) metrik uzay¬nda her Cauchy dizisinin s¬n¬rl¬oldu¼
gunu gösteriniz.(05)
(b) (M; d) bir metrik uzay ve (xn ) bu uzay içinde bir Cauchy dizisi olsun. (xn ) dizisinin
yak¬nsak bir alt dizisi varsa (xn ) dizisinin de yak¬nsak olaca¼
g¬n¬gösteriniz.(05)
(c) R’nin d (x; y) = jx yj metri¼
gine göre tam oldu¼
gunu gösteriniz.(10)
5. (a) Kompakt küme tan¬m¬n¬yaz¬n¬z.(05)
(b) Bir (M; d) ayr¬k metrik uzay¬n¬n her kompakt alt kümesinin sonlu oldu¼
gunu gösteriniz.(15)
ALI· GÜVEN
———————————————————————————————————————————–
Ad¬ve Soyad¬:
Numaras¬:
ANALI·Z III
Final S¬nav¬Sorular¬
16.01.2008
———————————————————————————————————————————–
1. Aşa¼
g¬daki ifadelerin do¼
gru olup olmad¬klar¬n¬nedenlerini aç¬klayarak yaz¬n¬z.
(a) Bir (M; d) metrik uzay¬nda kapal¬ve s¬n¬rl¬olan her alt küme kompaktt¬r.(10)
(b) (M; d) ve (N; ) birer metrik uzay ve f : M ! N bir fonksiyon olsun. f fonksiyonu
sürekli ise düzgün süreklidir.(10)
2. (a) Tam metrik uzay tan¬m¬n¬yaz¬n¬z. (10)
(b) Heine-Borel teoreminin ifadesini yaz¬n¬z. (10)
3. Aşa¼
g¬daki serilerin yak¬nsak olup olmad¬klar¬n¬araşt¬r¬n¬z. (4 10)
(a)
1
X
k=1
k
3 5
k2
1
X
( 1)k k
(b)
k2 + 1
k=1
(c)
1
X
sin k
k=1
k 3=2
(d)
1
X
sin (1=k)
k=1
1=k
4. (a) Ara de¼
ger teoreminin ifadesini yaz¬n¬z. (10)
(b) cos x0 = x0 olacak şekilde bir x0 2 [0; ] say¬s¬n¬n var oldu¼
gunu gösteriniz. (Yol gösterme:
f : [0; ] ! R; f (x) = x cos x fonksiyonunu kullan¬n¬z.) (10)
ALI· GÜVEN
———————————————————————————————————————————–
Ad¬ve Soyad¬:
Numaras¬:
ANALI·Z III
Bütünleme S¬nav¬Sorular¬
06.02.2008
———————————————————————————————————————————–
1. (a) Bir metrik uzayda Cauchy dizisi tan¬m¬n¬yaz¬n¬z. (10)
(b) Bolzano-Weierstrass teoreminin ifadesini yaz¬n¬z. (10)
2. Aşa¼
g¬daki serilerin yak¬nsak olup olmad¬klar¬n¬araşt¬r¬n¬z. (2 15)
(a)
1
X
n=1
3n
e
n
n+2
n2
(b)
1
X
n2 + 1
n (ln n)2
n=2
3. (M; d) ve (N; ) iki metrik uzay ve f : M ! N bir fonksiyon olsun
(a) f fonksiyonunun bir x0 2 M noktas¬nda sürekli olmas¬ne demektir? Tan¬mlay¬n¬z. (10)
(b) f fonksiyonu x0 2 M noktas¬nda sürekli ise, xk ! x0 biçimindeki her (xk ) M dizisi
için f (xk ) ! f (x) oldu¼
gunu gösteriniz. (15)
4. Sürekli ve örten bir f : [0; 1] ! [0; 1=2) [ (1=2; 1] fonksiyonu tan¬mlanabilir mi? Nedenleriyle
aç¬klay¬n¬z. (25)
ALI· GÜVEN
———————————————————————————————————————————–
ANALI·Z IV
Aras¬nav Sorular¬
29.04.2008
—————————————————————————————————————————–
nx 1; 0 x 1=2n
fonksiyon dizisinin noktasal olarak
1
; x > 1=2n
yak¬nsad¬g¼¬fonksiyonu bulunuz. (???)
(b) Yak¬nsama düzgün müdür? Nedenleriyle aç¬klay¬n¬z.
1. (a) fn : [0; 1] ! R; fn (x) =
2.
Z1
0
1
X
(2k + 1) xk
k=1
k 2 (k + 1)
!
dx = 1
oldu¼
gunu gösteriniz.
3. (a) Yönlü türev ne demektir? Tan¬mlay¬n¬z.
(b)
2
f : R3 ! R; f (x; y; z) = x2 sin y + exz
p
p
fonksiyonunun (1; =2; 1) noktas¬nda 1= 2; 1= 2; 0 vektörü yönündeki türevini bulunuz.
4. f (x; y; z) = x2 + y 2 + z 2 fonksiyonunun z 2 = x2 + y 2 konisi ile x 2z = 3 düzleminin arakesiti
olan elips üzerinde ald¬g¼¬maximum ve minimum de¼
gerelerini bulunuz.
—————————————————————————————————————————–
1.soru: (a) 15 p. (b) 10 p.; 2.soru: 25 p.; 3.soru: (a) 10 p. (b) 15 p.; 4.soru: 25 p.
Süre: 80 dakika
ALI· GÜVEN
ANALI·Z IV
Final S¬nav¬Sorular¬
16.06.2008
—————————————————————————————————————————–
1.
xy 2 + xzu + yv 2 = 3
x3 yz + 2xv
u2 v 2 = 2
denklem sistemi veriliyor.
(a) Bu denklem sisteminden u ile v nin; (x; y; z; u; v) = (1; 1; 1; 1; 1) noktas¬komşulu¼
gunda
x; y ve z cinsinden çözülebilir oldu¼
gunu gösteriniz.
(b) (x; y; z; u; v) = (1; 1; 1; 1; 1) noktas¬komşulu¼
gunda @u=@x ve @v=@y türevlerini bulunuz.
2.
R1 R1
0
p
y
cos x
x2
dxdy integralini hesaplay¬n¬z.
3. A = f(x; y) 2 R2 : x2 + y 2
1; x
0; y
ZZ
0g oldu¼
guna göre
2xy
dxdy
+ y2
x2
A
integralini hesaplay¬n¬z.
4. A = f(x; y) 2 R2 : x2 + y 2 < 1g ve B = f(x; y) 2 A : y = 0g olmak üzere,
f : A ! R; f (x; y) =
1; (x; y) 2 B
0; (x; y) 2 AnB
fonksiyonu veriliyor.
(a) f fonksiyonunun A kümesi üzerinde integrallenebilir oldu¼
gunu gösteriniz.
ZZ
f (x; y) dxdy integralini hesaplay¬n¬z.
(b)
A
—————————————————————————————————————————–
1. soru (a) 10 p. (b) 15 p.; 2. soru 25 p.; 3. soru 25 p.; 4. soru (a) 15 p. (b) 10 p.
Süre: 80 dakika
ALI· GÜVEN
ANALI·Z IV
Bütünleme S¬nav¬Sorular¬
07.07.2008
—————————————————————————————————————————–
1.
xey + uz
cos v = 2
u cos y + x2 v
yz 2 = 1
denklem sistemi veriliyor.
(a) Bu denklem sisteminden u ile v nin; (x; y; z; u; v) = (2; 0; 1; 1; 0) noktas¬komşulu¼
gunda
x; y ve z cinsinden çözülebilir oldu¼
gunu gösteriniz.
(b) (x; y; z; u; v) = (2; 0; 1; 1; 0) noktas¬komşulu¼
gunda @u=@z ve @v=@z türevlerini bulunuz.
2. Aşa¼
g¬daki integralleri hesaplay¬n¬z.
(a)
Z1 Z1
1
dxdy
1 + x4
(b)
0 y
3. A = (x; y) 2 R2 :
Z1 Z1
y 3 sin x3 dxdy
0 y2
3
x
3; 0
p
9 x2 oldu¼
guna göre
y
ZZ p
x2 + y 2 dxdy
A
integralini hesaplay¬n¬z.
4. B; alttan ' = =6 konisi ve üstten r = 2 küresi ile s¬n¬rl¬bölge oldu¼
guna göre
ZZZ p
x2 + y 2 + z 2 dV
B
integralini hesaplay¬n¬z.
—————————————————————————————————————————–
1. soru (a) 10 p. (b) 15 p.; 2. soru (a) 15 p. (b) 15 p.; 3. soru 20 p.; 4. soru 25 p.
Süre: 80 dakika
ALI· GÜVEN