özel problem çözümleri - Prof. Dr. Mehmet Zeki Sarikaya

ÖZEL PROBLEM ÇÖZÜMLERİ
Soru 1.
a 2  b2  c2  d 2  4
olacak şekilde
3
3
a, b, c, d
3
reel saylar olsun. Bu durumda
3
a b c d 8
olduğunu ispatlayınız.
Çözüm 1. a 2  b 2  c 2  d 2  4 ifadesinden a 2  4, a  2, a 2 (a  2)  0, a 3  2a 2
olarak yazılır. Benzer olarak, b 3  2b 2 , c 3  2c 2 , d 3  2d 2 olur. Böylece,
a 3  b 3  c 3  d 3  2(a 2  b 2  c 2  d 2 )  8
elde edilir. Eşitlik durumu (a, b, c, d )  ( 2, 0, 0, 0) olması ile bulunur.
Soru 2.
a , b, c
negatif olmayan reel saylar için
bc

a 3  b 3  c 3  3abc  2
 a
 2

3
olduğunu ispatlayınız.
Çözüm 2. Aritmetik-Geometrik eşitsizlik yardmyla a 3  b 3  c 3  3abc yazabiliriz. Eğer
bc
bc
 a  0 ise eşitsizlik açıktır. Bu yüzden,
 a  0 olduğunu göz önüne
2
2
alalım.
bc

E  a  b  c  3abc  2
 a
 2

c  a  2 y olarak alırsak,
3
olsun.
b  a  2x
ve
3
3
3
E  12a ( x 2  xy  y 2 )  6( x  y )( x  y ) 2
 6( x  y)( x  y ) 2
3bc

 a (b  c) 2  0

2 2

(a, b, c)  (1,1,1) veya (a, b, c)  (0,1,1)

elde edilir. Eşitlik için
Soru 3.
abc  1 olacak şekilde
a , b, c
dır.
pozitif reel saylar olsun. Bu durumda
a  b  c 5 a2  b2  c2

3
3
olduğunu ispatlayınız.
Çözüm 3. Eşitsizliği ispat etmek için
a  b  c 5  81abc a 2  b 2  c 2


olarak yazalım.
I. Yöntem. abc  1 olacak şekilde a , b, c pozitif reel saylar için a  b  c  3 olarak
alalım. O halde a  b  c  3 için
E ( a, b, c)  abc a 2  b 2  c 2
ifadesinin a  b  c  1 için maksimuma sahip olduğunu göstermeliyiz. Çelişki için
kabul edelim ki E ( a, b, c) maksimum değerini b  c için (a, b, c) da alısın. O
halde ispat tamamlamak için
bc bc
E (a, b, c)  E ( a,
,
)
2
2
olduğunu ispatlamalıyız. Gerçekten de
bc bc
E (a,
,
)  E ( a, b, c )
2
2
2


  b  c 4

3 bc
2
2
 a 
  bc  a 2
  bc(b  c ) 
 2 

  2 



1 3
1
a (b  c) 2  a (b  c) 4  0
4
8

II. Yöntem.
ab  bc  ca2  3abc(a  b  c)
olduğunu biliyoruz o halde bu eşitsizlik
a 2 (b  c) 2  b 2 (c  a ) 2  c 2 ( a  b) 2  0
eşitsizliğine denktir. Dolayısıyla,
a  b  c 6  27ab  bc  ca 2 a 2  b 2  c 2
olduğunu göstersek yeterlidir. S  a  b  c ve Q  ab  bc  ca

6
a  b  c 
2


 27ab  bc  ca  a  b  c
2
2
2
olarak seçersek,

 S 6  27Q 2 ( S 2 2Q )  ( S 2  3Q ) 2 ( S 2  6Q )  0
olarak elde edilir.
Soru 4. a 3  b 3  c 3  3
durumda
olacak şekilde
a, b, c
negatif olmayan reel saylar olsun. Bu
a 4b 4  b 4 c 4  c 4 a 4  3
olduğunu ispatlayınız.
Çözüm 4. Aritmetik-Geometrik eşitsizlik yardımıyla,
b3  c 3  1 4  a 3
bc 

3
3
yazılır. Böylece,
4b 3 c 3  a 3 b 3 c 3
b4c4 
3
ve benzer olarak,
4c 3 a 3  a 3b 3c 3
4 a 3b 3  a 3b 3 c 3
,
a 4b 4 
3
3
olur. Bu üç eşitsizlik toplanılırsa
4 a 3b 3  b 3 c 3  c 3 a 3
4 4
4 4
4 4
a b b c c a 
 a 3b 3 c 3
3
olur. Dolayısıyla, ispat tamamlamak için
4 a 3b 3  b 3c 3  c 3 a 3  3a 3b 3c 3  9
olduğunu göstermeliyiz. Üçüncü dereceden
3
4xy  yz  zx ( x  y  z )  9 xyz  x  y  z 
Schur eşitsizliğinde x  a 3 , y  b 3 ve z  c 3 olarak alsak ispat tamamlanmış olur.
Eşitlik a  b  c  1 olması ile mümkündür.
c4a 4 


Soru 5.
a , b, c


negatif olmayan reel saylar için
a 2  b 2  c 2  2abc  1  2ab  bc  ca 
olduğunu ispatlayınız.
Çözüm 5. 1  a, 1  b ve 1  c saylar arasında daima iki tanesi aynı işarete sahiptir.
Yani 1  b 1  c   0 olsun. O halde
a 2  b 2  c 2  2abc  1  2ab  bc  ca 
 ( a  1) 2  (b  c) 2  2a  2abc  2( ab  ca)
elde edilir. Eşitlik
Soru 6.
a , b, c
 ( a  1) 2  (b  c) 2  2a1  b 1  c   0
a  b  c  1 olması ile mümkündür.
birbirinden farklı reel saylar için
a2
b2
c2


2
b  c 2 c  a 2 a  b 2
olduğunu ispatlayınız.
Çözüm 6.
bc
ca
ab


1
(a  b)( a  c) (b  c)(b  a ) (c  a )(c  b)
iyi bilinen özdeşliği kullanırsak,
a2
b2
c2



b  c 2 c  a 2 a  b 2
b
c 
 a




bc c a ab

2
2bc
2ca
2ab


(a  b)( a  c) (b  c)(b  a) (c  a)(c  b)
2
b
c 
 a



 22
bc ca a b
elde edilir.
Soru 7.
a, b, c
negatif olmayan reel saylar için
a
2
 bc


b  c  b 2  ca


c  a  c 2  ab

a b 0
olduğunu ispatlayınız.
b  c  2x 2 , c  a  2 y 2
Çözüm 7.
2
yada
2
2
2
2
olarak alalım ve
2
sıfır ise eşitsizlik eşitlik durumu olacaktır. Aksi durumda,
a , b, c
a
2
a  b  2 z 2 ( x, y , z  0 )
a  x  y  z , b  x  y  z , c  x  y  z2
olur. Böylece eşitsizlik
xy( x 3  y 3 )  yz ( y 3  z 3 )  zx( z 3  x 3 )  x 2 y 2 ( x  y )  y 2 z 2 ( y  z )  z 2 x 2 ( z  x)
şeklini alır.
xy( x 3  y 3 )  x 2 y 2 ( x  y)  xy( x  y )( x  y) 2
olduğundan
xy( x  y)( x  y ) 2  yz ( y  z )( y  z ) 2  zx( z  x)( z  x) 2  0
elde edilir. Buda istenilen eşitsizlik olur.
İkinci Çözüm.
2
ve





 bc (b  c) b 2  ca (c  a ) c 2  ab ( a  b)


0
bc
ca
ab
X  a 2  bc (b  c), Y  b 2  ca (c  a ), Z  c 2  ab (a  b) olmak üzere
X
Y
Z


0
bc
ca
ab


2




yazılır. Genelliği bozmaksızın a  b  c olsun. O halde
Z  0 olduğu kolayca görülür. Dolayısıyla,
X  Y  Z  0, X  0
ve
X
Y
Z


bc
ca
ab

X
X Z
Z


bc
ca
ab
1 
1 
 1
 1
 X


  ( Z )
0
ca 
ab 
 bc
 ca
elde edilir.
Soru 8.
negatif olmayan reel saylar için
a b
bc
cd
d a



0
a  2b  c b  2c  d c  2d  a d  2a  b
olduğunu ispatlayınız.
a, b, c, d
Çözüm 8. İlk olarak

a b
1
  a  2b  c  2   2
yada
3a  c
 a  2b  c  4
yazalım. Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden,
3a  c
 3a  c 2

 a  2b  c  3a  c a  2b  c 
yazılır.
 3a  c a  2b  c   4(a  b  c  d ) 2
ve
 3a  c 
2
 16( a  b  c  d ) 2
olduğundan
3a  c
 a  2b  c  4
elde edilir.
Soru 9. a 2  b 2  c 2  a  b  c olacak şekilde a, b, c negatif olmayan reel saylar
olsun. Bu durumda
a 2 b 2  b 2 c 2  c 2 a 2  ab  bc  ca
olduğunu ispatlayınız.
Çözüm 9. Hipotezde verilen koşulun karesi alınırsa,
a 4  b 4  c 4  a 2  b 2  c 2  2(ab  bc  ca  a 2 b 2  b 2 c 2  c 2 a 2 )
yazılır. Dolayısıyla, istenilen eşitsizlik
a 4  b4  c4  a 2  b 2  c 2
denktir. Bu eşitsizliğin homogen formu Hölder eşitsizliğinden
a  b  c 2 a 4  b 4  c 4   a 2  b 2  c 2 2
olur.
Soru 10.
için
a , b, c
negatif olmayan reel saylar(bunlardan herhangi ikisi sıfırdan farklı)
a2
b2
c2


1
a 2  ab  b 2 b 2  bc  c 2 c 2  ca  a 2
olduğunu ispatlayınız.
Çözüm 10.
A  a 2  ab  b 2 , B  b 2  bc  c 2
2
ve
C  c 2  ca  a 2
2
olsun. O halde
2

b
c
 1 1 1  a
  1
     
 A B C  A B C


a2
b2  c2
1

 A  BC   A

 a 2 bc 
b 2  bc  c 2
1




  A BC   BC   A


2
 a 2 bc  1  b c 
       0
   
 A BC  2  B C 
elde edilir. Eşitlik ancak a  b  c olması ile sağlanılır.
Soru 11.
a , b, c
negatif olmayan reel saylar için
a3
b3
c3


1
a 3  (b  c) 3
b 3  (c  a) 3
c 3  (a  b) 3
olduğunu ispatlayınız.
Çözüm 11. Aritmetik-Geometrik ortalama eşitsizliği yardımıyla, x  0 için
1  x   1  x  x 2  1  x 2
1  x 3  1  x  1  x  x 2 
2
2
yazılır. Sonuç olarak, a  0 için




a3

a 3  (b  c) 3
1
b  c
1 

 a 
1

b2  c2
a2
için eşitsizlik açıktır. Benzer olarak,
1
olur.
a0
3

1

1bc
1 

2 a 
2
a2
a2  b2  c2
b3
b2
c3
c2

ve

b 3  (c  a ) 3 a 2  b 2  c 2
c 3  (a  b)3 a 2  b 2  c 2
yazılır. Dolayısıyla elde edilen sonuçlar taraf tarafa toplarsak istenilen eşitsizlik elde
edilir.
Soru 12.
a , b, c
pozitif saylar olmak üzere ve
E (a, b, c)  a (a  b)(a  c)  b(b  c)(b  a)  c(c  a )(c  b)
yararlanarak,
a)
(a  b  c) E (a, b, c)  ab( a  b) 2  bc(b  c) 2  ca(c  a ) 2
b)
1 1 1
2    E a, b, c   ( a  b) 2  (b  c) 2  (c  a ) 2
a b c
olduğunu ispatlayınız.
Çözüm 12. a)
a
Schur eşitsizliği kullanılarak,
(a  b  c ) E (a , b, c ) 
elde edilir.
b)
a
2
2
(a  b)( a  c)  0
(a  b)( a  c) 2   a (b  c)( a  b)(a  c)

 a(b  c)(a  b)(a  c)

 ab(a  b)(a  c)   ac(a  b)(a  c)

 ab(a  b)(a  c)   ab(b  c)(b  a)

 ab(a  b)
2
( ab  bc  ca)  a (a  b)( a  c)
  abc( a  b)(a  c)   ab  ac a ( a  b )(a  c)
 abc( a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca)
  bcb(b  c)(b  a )  c(c  a )(c  b )

1
abc  (b  c) 2   bc(b  c  a )(b  c) 2
2
olduğundan eşitsizlik
 bc(b  c  a)(b  c)
2
0
eşitsizliğine denktir. Geneli bozmaksızın kabul edelim ki a  b  c olsun. Bu durumda,
 bc(b  c  a)(b  c) 2  bc(b  c  a)(b  c) 2  ac(a  c  b)(a  c) 2
 bc(b  c  a )(b  c) 2  ac(a  c  b)(b  c) 2


 c(b  c) 2 ( a  b) 2  c(a  b)  0
elde edilir. Her iki eşitsizlikte eşitlik durumu (a, b, c)  (1,1,1) dır.
Soru 13. a , b, c ve x, y, z reel saylar için a  x  b  y  c  z  0
a  b  c  x  y  z olmak üzere
ay  bx  ac  xz
olduğunu ispatlayınız.
Çözüm 13.
ay  bx  ac  xz  a ( y  c)  x(b  z )
 a (a  b  x  z )  x(b  z )
 a (a  x)  (a  x)(b  z )

1
1
(a  x) 2  ( a 2  x 2 )  ( a  x)(b  z )
2
2

1
1
(a  x) 2  ( a  x)(b  c  y  z )  0
2
2
ve
elde edilir. Buda istenilen sonuçtur. Eşitlik durumu için
2 x  y  z  0 olmasıdır.
a  x, b  z , c  y
ve
a , b, c  13 , 3 olmak üzere
a
b
c
7



ab bc ca 5
olduğunu ispatlayınız.
Soru 14.
Çözüm 14.
a
b
c


a b bc ca
olarak alalm ve genelliği bozmaksızın a  max{a, b, c} olarak alalım. O halde
7
E (a, b, c)  E ( a, b, ab ) 
5
olduğunu gösterelim. Böylece,
a
b
c
2 b
E (a, b, c)  E ( a, b, ab ) 



a b bc ca
a b
E (a, b, c) 

elde edilir. Şimdi,
x
a
b
a , b, c
olmak üzere
ve


2
a  b ab  c
0
a  b b  c c  a 

1 
a, b, c   , 3 olduğundan
3 
7
a
2 b
7
E (a, b, ab )  


5 ab
a b 5
olsun.
elde edilir. Eşitlik durumu için ise
Soru 15.


x, y , z

x2
2
7


2
x 1 x 1 5

3  7 x  8x2  2x3
5 x 2  1  x  1

3  x x 2  (1  x) 2   0
5x 2  1 x  1

1
(a, b, c)  (3, ,1)
3

dır.
negatif olmayan reel saylar için
a bc  x y  z
x3
olur. Böylece,
ax(a  x)  by(b  y )  cz(c  z )  3(abc  xyz)
olduğunu ispatlayınız.




Çözüm 15. a x , b y , c z ve
yz , zx , xy üçlüsü için Cauchy-Schwarz
eşitsizliği kullanılırsa,
a 2 x  b 2 y  c 2 z ( yz  zx  xy)  xyz( a  b  c) 2
olur. O halde
(a  b  c) 2  ( x  y  z ) 2  3( yz  zx  xy)
olup
a 2 x  b 2 y  c 2 z  3 xyz
olur. Benzer olarak,
ax 2  by 2  cz 2  3abc
olur. Bu eşitsizlikler taraf tarafa toplanılırsa istenilen eşitsizlik elde edilir.

Soru 16.
a, b, c

negatif olmayan reel saylar için
4(a  b  c) 3  27(ab 2  bc 2  ca 2  abc)
olduğunu ispatlayınız.
Çözüm 16. Genelliği bozmaksızın a  min{a, b, c} olduğunu kabul edelim. O halde
b  a  x ve c  a  y ( x  0, y  0) olarak alırsak eşitsizlik
9( x 2  xy  y 2 ) a  ( 2 x  y ) 2 ( x  4 y)  0
şekline indirgenmiş olur ki bunda istenilen sonuçtur. Eşitlik durumu için ise
(a, b, c)  (1,1,1) olasıdır.
Soru 17.
negatif olmayan reel saylar için ve a  b  c  3
1
1
1


1
2
2
2 ab  1 2bc  1 2ca 2  1
olduğunu ispatlayınız.
a , b, c
olmak üzere
Çözüm 17. Eşitsizlik
ab 2  bc 2  ca 2  1  4 a 3b 3 c 3
eşitsizliğine denktir. O halde Aritmetik-Geometrik eşitsizliğinden,
ab 2  bc 2  ca 2  3abc
ve
3
abc
1 
  abc
3


olur. Böylece
ab 2  bc 2  ca 2  1  4a 3b 3 c 3  3abc  1  4a 3b 3 c 3
olarak elde edilir. Eşitlik ancak
 (1  abc)(1  2abc) 2  0
a  b  c  1 olması ile bulunur.
Soru 18.
pozitif saylar için
1
1
1
1
4
 2
 2
 2

2
a  ab b  bc c  cd d  da ac  bd
olduğunu ispatlayınız.
a , b , c, d
Çözüm 18. Eşitsizliği
 ac  bd

 1  8
2
 ab 
  a
ca
b(d  a ) 
  a  b  a(a  b)   8
ca
b (d  a)
 a  b   a (a  b )  8
olarak yazılır. Aritmetik-Geometrik eşitsizliğinden,
b( d  a) b(d  a ) c( a  b) d (b  c) a (c  d )
 a(a  b)  a(a  b)  b(b  c)  c(c  d )  d (d  a)  4
olur. Dolayısıyla, geride
ca
 a b  4
olamasını göstermek gerekir. O halde
ca ca d b ac bd
 ab  ab  bc  cd  d a
1 
1 
 1
 1
 ( a  c)


  (b  d )

ab cd 
ad bc
yazılır. Burada
1
1
4
1
1
4


ve


a  b c  d ( a  b)  (c  d )
a  d b  c ( a  d )  (b  c)
olduğundan
ca
4 ( a  c)
4(b  d )
 a  b  (a  b)  (c  d )  (a  d )  (b  c)  4
elde edlir. Eşitlik durumu ise
abcd
olması ile sağlanılır.
 1

a, b, c  
, 2  ise
 2

3
3
3
2
2
2





a  2b b  2c c  2a a  b b  c c  a
olduğunu ispatlayınız.
Soru 19.
Çözüm 19. Verilen eşitsizliği

3
2
1
1 
  a  2b  a  b  6a  6b   0
(a  b) 2 (2b  a )
 6aba  2b a  b   0
olarak yazabiliriz.
2
 2 0
2
olduğundan eşitsizliğin doğruluğu açktr. Eşitlik ise a  b  c
2b  a 
Soru 20.
olması ile sağlanılır.
negatif olmayan reel saylar için ve ab  bc  ca  3
1
1
1
 2
 2
1
2
a 2 b 2 c 2
olduğunu ispatlayınız.
a , b, c
olmak üzere
Çözüm 20. Verilen eşitsizlik
eşitsizliğine denktir. Burada
için
a 2b 2  b 2c 2  c 2 a 2  a 2b 2 c 2  4
bc  x, ca  y ve ab  z olarak alırsak,
x, y, z  0
x 2  y 2  z 2  xyz  4
olduğunu göstermeliyiz. Kabul edelim ki x  min{x, y, z}, x  1 olsun. Bu durumda
2
x 2  y 2  z 2  xyz  4  x 2   y  z   yzx  2  4
2
 x 2  y  z 
1
 y  z 2 x  2  4
4
 x2 
x2
 y  z 2  4
4
 x2 
x2
3  x 2  4
4
1
( x  1) 2 ( x  2)  0
4
elde edilir. Eşitlik durumu için ise a  b  c  1 olmasıdır.

Soru 21.
negatif olmayan reel saylar için ab  bc  ca  3
1
1
1
3
 2
 2

2
a 1 b 1 c 1 2
olduğunu ispatlayınız.
a, b, c
olmak üzere
Çözüm 21. Verilen eşitsizlik
a 2  b 2  c 2  3  a 2 b 2  b 2 c 2  c 2 a 2  3a 2 b 2 c 2
olarak genişletebiliriz. O halde Aritmetik-Geometrik eşitsizliği yardımıyla,
a  b  c ab  bc  ca   9abc
yani
a  b  c  3abc
olur. Böylece,
a 2  b 2  c 2  3  a 2 b 2  b 2 c 2  c 2 a 2  3abca  b  c 
olduğunu göstermek yeterli olacaktır. Bu eşitsizlik aşağıdaki
ab  bc  ca a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca 2  3 a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2  3abca  b  c 
eşitsizliğe denktir. Dolayısıyla bu eşitsizliği
ab a 2  b 2  bc b 2  c 2  ca c 2  a 2  2 a 2 b 2  b 2 c 2  c 2 a 2
yada
2
2
2
aba  b   bcb  c   cac  a   0
elde edilir.









 

negatif olmayan reel saylar için a 2  b 2  c 2  3 olmak üzere
a
b
c


1
b2 c2 a2
olduğunu ispatlayınız.
Soru 22.
a , b, c
Çözüm 22. Verilen eşitsizliği
ab 2  bc 2  ca 2  abc  2
olarak yazabiliriz. Genelliği bozmaksızın min{a, b, c}  b  max{a, b, c} olarak kabul
edelim. O halde bu kabul altında
2  ab 2  bc 2  ca 2  abc  2  ab 2  b3  a 2  b 2   ca 2  abc


 b 2  3b  2  a (b 2  ab  ca  bc)
 (b  1) 2 (b  2)  a (b  a )(b  c)  0
elde edilir.
Soru 23.
a)
a , b, c
pozitif saylar için ve
abc  1 olmak üzere
a 1 b  1 c 1


0
b
c
a
b)
a 1 b 1 c 1


0
bc ca ab
olduğunu ispatlayınız.
Çözüm 23. a) Verilen eşitsizliği
ab 2  bc 2  ca 2  a  b  c
olarak yazalım. Aritmetik-Geometrik eşitsizlikten,
3ab 2  bc 2  ca 2   ( 2ab 2  bc 2 )  (2bc 2  ca 2 )  (2ca 2  ab 2 )
 33 a 2 b 5 c 2  33 a 2 b 2 c 5  33 a 5b 2 c 2  3( a  b  c)
elde edilir.
b) Verilen eşitsizliği
 a  1a
2

 (ab  bc  ca)  0
 a   a  a  b  c  3(ab  bc  ca)  0
3
2
olarak yazılır. a  b  c  3 (aritmetik-geometrik eşitsizliğinden) olduğundan sadece
3
2
 a   a  0 olduğunu göstermek yeterli olacaktır. O halde aritmetik-geometrik
eşitsizliğinden


9  a 3   7 a 3  b 3  c 3   99 a 21b 3 c 3  9  a 2
olduğundan ispat tamamlanmış olur.
Soru 24.
üzere
a , b , c, d
negatif olmayan reel saylar için
a 2  ab  b 2  c 2  cd  d 2
olmak
(a  b )(c  d )  2(ab  cd )
olduğunu ispatlayınız.
Çözüm 24. x  a 2  ab  b 2  c 2  cd  d 2 olsun ve genelliği bozmaksızın kabul edelim
ki ab  cd olsun. Bu durumda x  ab  cd ve
a  b 2  x  3ab, c  d 2  x  3cd
olur. Dolayısıyla
x  3ab x  3cd   4ab  cd 2
yazılır. x  ab olduğundan
x  3abx  3cd   4ab  cd 2
 4abab  3cd   4ab  cd   4cd ab  cd   0
bulunur.
Soru 25.
a1 , a 2 ,..., a n
olduğunu ispatlayınız.
pozitif saylar için ve a1 a 2 ...a n  1 olmak üzere
1
1
1

 ... 
1
1  ( n  1)a1 1  (n  1)a 2
1  (n  1) an
Çözüm 25.
r
n 1
n
olsun. Bu durumda eşitsizlik
i  1, 2,..., n
için
ai r
1
 r
1  ( n  1)ai a1  a 2r  ...  a nr
eşitsizliği alt alta toplarsak elde edilir. Bu eşitsizliğe denk olan
a1 r  ...  air1  air1  ...  a n r  ( n  1)a1i r
eşitsizliği Aritmetik-Geometrik eşitsizliğinden yazılır.
1
İkinci Çözüm: Tüm i ler için ai 
olarak alalım. Bu durumda eşitsizliğimiz
xi
x1 x2 ...xn  1 olacak şekilde x1 , x2 ,..., xn pozitif saylar olmak üzere
x1
x2
xn

 ... 
1
x1  n  1 x2  n  1
xn  n  1
olur. Dolayısıyla Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden
x
 x  n1  1 
1

x1  x2  ...  xn
 x1  n  1

2
olur. Böylece,

x1  x2  ...  x n
olduğunu göstermeliyiz ki bu da

1i  j  n
eşitsizliğine denktir. x1 x2 ...xn  1
istenilen eşitsizlik sağlanılmış olur.
Soru 26.
üzere
a , b , c, d

2
xi x j 
 n( n  1)   x1
n(n  1)
2
olduğundan Aritmetik-Geomretrik eşitsizliğinde
negatif olmayan reel saylar için ve
a 2  b 2  c 2  d 2  1 olmak
(1  a )(1  b)(1  c)(1  d )  abcd
olduğunu ispatlayınız.
Çözüm 26.
1  a 1  b   cd
1  c 1  d   ab
eşitsizliklerin çarpılması ile istenilen eşitsizlik elde edilir. İlk eşitsizliği elde edelim:
2cd  c 2  d 2  1  a 2  b 2
yazılır be böylece
2(1  a )(1  b)  2cd  2(1  a )(1  b)  1  a 2  b 2
2
 1  a  b   0.
İkici eşitsizlikte benzer şekilde elde edilir.
Soru 27.
a , b, c
pozitif reel saylar olmak üzere
2a
2b
2c


3
ab
bc
ca
olduğunu ispatlayınız.
b
c
Çözüm 27. x 
, y
a
b
olacak şekilde x, y ve z
a
olarak alalım bu durumda problem
c
pozitif saylar olmak üzere
ve
z
1
2
1

2

1
2

3 2
2
1 x
1 y
1 z
şeklinde yazılır. Kabul edelim ki x  max{x, y, z} olsun öyle ki
eşitsizlik
1
1
2


2
2
1  yz
1 y
1 z
1
2
3 2

2
1  yz
1 x
eşitsizliklerin toplamıyla elde edilebilir. İlk eşitsizlik
2

1  1
1

2
2  1 y
1 z2

2

  1  1

1  y2 1 z2

 1
1  y2 z 2
1 y2 1 z2



1  y2 z2
2

2
1  yz  1  yz
şeklinde elde edilir. İkinci eşitsizliği elde etmek için
1
2

2
1 x
1 x
olduğunda
1
2
3


1 x
1  yz 2
olduğunu göstermemiz yeterli olacaktır. Dolayısıyla,
 1
xyz  1
yz  1 olur. Böylece
3
1
2
1  3x
2x




2 1 x
1  yz 21  x 
1 x

1  3 x  2 2 x(1  x)
2(1  x)
 1 x 

2x
2(1  x)

2
0
olarak elde edilir.
Soru 28.
pozitif reel saylar ise
a, b, c, d
2
2
2
2
 a   b   c   d 

 
 
 
 1
a b bc c  d  d  a
dır.
Çözüm 28.
x
b
c
d
a
, y  , z  ve t 
a
b
c
d
aldığımızda eşitsizlik
1
1
1
1



1
2
2
2
1  x  1  y  1  z  1  t 2
şeklindedir. xyzt  1 olacak şekilde x, y, z , t saylar pozitif olmak üzere
1
1
1


2
2
1  x  1  y  1  xy
bilinen eşitsizlikten
1
1
1
xy



2
2
1  z  1  t  1  zt 1  xy
yazılır ve
1
1
1
xyx 2  y 2   x 2 y 2  2 xy  1



1  x 2 1  y 2 1  xy
1  x 2 1  y 2 1  xy 
xy x  y   1  xy 

0
1  x 2 1  y 2 1  xy 
2
2
ve benzer şekilde
2
2
1
1
1
zt  z  t   1  zt 



0
2
2
1  z  1  t  1  zt 1  z 2 1  t 2 1  zt 
elde edilir Bu durumda eşitsizlik sağlanır. a  b  c  d için eşitlik olur.
Soru 29.
durumda
a , b, c
pozitif saylar olmak üzere
a  b  c  1a  1b  1c
dır.
abc
ise bu
ab 2 c3  1
dır.
Çözüm 29. İlk olarak a  1 olduğunu göstereceğiz. Bunun için a  1 olsun. Bu
durumda 1  a  b  c ve
1 1 1 1  a 2 1  b2 1  c2
abc   


0
a b c
a
b
c
olduğundan kabulümüz yanlıştır. a  1 için bc  1 ise
1
 1 
a   b  c  

a
 bc  1 
dır. Şimdi c  1 ve ab  1 olduğunu göstermeliyiz.
bc  1 için abc 2  1 olduğunu göstermek yeterlidir. ab  1 olduğundan
1
 1

1
 1

 1

c   a  b    1  2 ab 
 1  2
 ab  
 ab
c
ab
 ab 
 ab 
 ab

dır ve bu eşitsizlik dolayısıyla
1  
ab 

0
c 
 1 
c 
ab  

abc 2  1 verildiğinden eşitsizlik sağlanır. ve a  b  c  1 için eşitlik olur.
Soru 30.
a , b, c
negatif olmayan saylar ve en az ikisi sıfırdan farklı olmak üzere
a2
b2
c2
a
b
c
 2
 2



2
2
2
2
bc ca ab
b c
c a
a b
dır.
Çözüm 30. Özdeşliklerin toplamından
a2
a
aba  b   aca  c 


2
2
b c
bc
b 2  c 2 b  c 


b2
b
bcb  c   bab  a 


2
2
c a
ca
c 2  a 2 c  a 


c2
c
cac  a   cbc  b 


2
2
a b
ab
a 2  b 2 a  b 
yukardaki eşitlikleri tek bir toplam altında yazdığımızda
a2
a
 b 2  c 2   b  c  ...




1
1
  bcb  c   2
 2

2
2
 c  a c  a  a  b a  b 




2
bcb  c 
 a  b  c  ab  bc  ca  2
0
2
a  b a 2  c 2 a  b a  c 
Bu durumda eşitsizlik sağlanır. a, b, c   1,1,1 için ve aynı zamanda a, b, c   0,1,1
için eşitlik olur.

Soru 31.
a, b, c
2
2
 
2


negatif olmayan saylar ise






2 a 2  1 b 2  1 c 2  1  a  1b  1c  1abc  1
dır.
Çözüm 31.
için
abc

3

2 a 2  1  a  1 a 3  1
eşitsizliği yazılır. Bu eşitsizlik



3



2 a 2  1  a  1 a 3  1  a  1 a 2  a  1  0
olduğundan doğrudur. Şimdi aşağdaki eşitsizlikleri çarptğmzda,

2b
2c
4


 1  b  1 b
 1  c  1 c
3

 1
 1
2 a 2  1  a  1 a 3  1



3
2
2
3
3
3
3

3
3




8 a 2  1 b 2  1 c 2  1  a  1 b  1 c  1 a 3  1 b 3  1 c 3  1
yazılır buradan da
a 3  1b 3  1c 3  1  abc  13
olduğunu göstereceğiz, bu eşitsizlik için Hölder's eşitsizliğini kullandığımızda
a
3


3

 1 b3  1 c3  1 
3
 abc
3
3
3 3
3

3
3
 3 1.1.1  abc  1
elde edilir ve
a b
 
3 3

 b 3c 3  c 3 a 3  3a 2 b 2 c 2  a 3b 3  b 3 c 3  c 3 a 3  3abc  0
eşitsizliği göz önüne alınırsa a 3b 3  b 3 c 3  c 3 a 3  3a 2 b 2 c 2 ve a 3b 3  b 3 c 3  c 3 a 3  3abc
olduğundan eşitsizlik sağlanır. a  b  c için eşitlik olur.
Soru 32.
a , b, c
negatif olmayan saylar ise




3 1  a  a 2 1  b  b 2 1  c  c 2  1  abc  a 2b 2 c 2
dır.
Çözüm 32. Özdeşlikten,
2
2
2
2 1  a  a 2 1  b  b 2  1  a 2 b 2  a  b   1  a  1  b 
yazılır bu durumda






2 1  a  a 2 1  b  b 2  1  a 2b 2
eşitsizliği sağlanır. Şimdi


 

3 1  a 2b 2 1  c  c 2  2 1  abc  a 2 b 2 c 2
eşitsizliğini ispatlamak yeterli olacaktır.
3  a 2 b 2 c 2  3  2 ab  3a 2 b 2 c  1  3a 2 b 2  0
Yukardaki eşitsizliğe denktir. Bu eşitsizlik doğrudur, çünkü c diskriminanta sahipse
4
D  31  ab   0
dır. Bu durumda eşitsizlik sağlanır. a  b  c  1 için eşitlik olur.

Soru 33.
a , b, c



negatif olmayan saylar ise
1  a  a 1  b  b 1  c  c 1  d  d 
2
2
2
2
 1  abcd 


2


2
dır.
Çözüm 33.
için eşitsizlik
2 1  a  a 2  1  a4
şeklindedir. Bu eşitsizlik geçerlidir. Çünkü
4
2 1  a  a 2  1  a 4  1  a   0
dır. Yukardaki eşitsizlikleri kullanarak
abcd






2
4 1  a  a2 1  b  b2
  1  a 1  b 
2
4
4
dır.
1  a 1  b   1  a b 
4
4
2
2 2
için









2 1  a  a 2 1  b  b 2  1  a 2b 2
elde ederiz. Yukardaki eşitsizlik sayesinde
2 1  a  a 2 1  b  b 2  1  a 2b 2
2 1  c  c2 1  d  d 2  1  c 2d 2
ve
1  a b 1  c d   1  abcd 
2
2
2
eşitsizliklerini çarptığımızda eşitsizlik sağlanır.
Soru 34.
a , b, c
2
2
a  b  c  d 1
için eşitlik olur.
negatif olmayan saylar ise
a
2



3
 ab  b 2 b 2  bc  c 2 c 2  ca  a 2  ab  bc  ca 
dır.
Çözüm 34.


2
2
4 a 2  ab  b 2  3a  b   a  b   0
eşitsizliğine sahibiz. Yukardaki eşitsizlikten yararlanarak
2
4 a 2  ab  b 2  3a  b 




2


2
4 b 2  bc  c 2  3b  c 
4 c 2  ca  a 2  3c  a 
eşitsizliklerini çarptığımızda
2
2
2
64 a 2  ab  b 2 b 2  bc  c 2 c 2  ca  a 2  27a  b  b  c  c  a 
elde ederiz. Bundan dolay
2
2
2
3
27a  b  b  c  c  a   64ab  bc  ca 
eşitsizliğini göstermek yeterlidir.
2
3ab  bc  ca   a  b  c 
için
2
2
2
2
2
81a  b  b  c  c  a   64a  b  c  ab  bc  ca 
eşitsizliğini ispatlamalıyız. Bu eşitsizlik
9a  b b  c c  a   8a  b  c ab  bc  ca 
eşitsizliğiyle eş değerdir.
2
2
2
a b  c   bc  a   ca  b   0
bilinen eşitsizliği için eşitsizlik sağlanır. a, b, c   1,1,1 ve aynı zamanda
a, b, c   1, 0, 0 durumunda eşitlik olur.




Soru 35.
a, b, c, d pozitif saylar ve abcd  1 olsun
1
1
1
1



1
1  ab  bc  ca 1  bc  cd  db 1  cd  da  ac 1  da  ab  bd
eşitsizliğini ispatlayınız.
Çözüm 35.
1 1 1
1
1
1
  


 d a b c
a b c
bc
ca
ab
eşitsizliğini biliyoruz. Bundan dolay,
a b c
ab  bc  ca 
d
ve
1
d

1  ab  bc  ca
a b c d
dır. Benzer şekilde
1
a

1  bc  cd  dc
a b c d

1

1  cd  da  ac
b
a b c d

1
c

1  da  ab  bd
a b c d
yukardaki eşitsizlikleri topladığımızda istenen eşitsizlik ispatlanır.
eşitlik olur.
Soru 36.
a, b, c
ve
reel saylar ise
x, y , z

2
4a x
a  b  c  d  1 için
2
b
2


2
 y 2 c 2  z 2  3bcx  cay  abz 
dır.
Çözüm 36. Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden
2
2
a 2  x 2 cy  bz   b 2 c 2  a cy  bz   bcx
dır. Bundan dolay
2
4 b 2  y 2 c 2  z 2  3 cy  bz   b 2 c 2
eşitsizliğini göstermeliyiz. Bu eşitsizliği
cy  bz 2  bc  2 yz 2  0
haline dönüşmesi açktır. abc  0 durumunda
x y z
2
  
a b c
2
eşitliği sağlanır. Bu durumda eşitsizlik sağlanır.



Soru 37.
abcd

 


ise
a  b  c  d  e 2  8ac  bd  ce 
dır.
için eşitlik sağlanır.
e0
Çözüm 37.
a  b  c  d  e 2  8ac  bd  ce
2
 a  b  c  d  e  4c   8a  b  c  d  e c  16c 2  8ac  bd  ce 
2
 a  b  c  d  e  4c   8b  c c  d   0
dır. Bu durumda eşitsizlik sağlanır.
Soru 38.
a, b, c, d
bc
a b  e
2
veya
cd 
a  b e
2
için eşitlik olur.
reel saylar ise


2
6 a 2  b 2  c 2  d 2  a  b  c  d   12ab  bc  cd 
dır.
Çözüm 38.


2
E a, b, c, d   6 a 2  b 2  c 2  d 2  a  b  c  d   12ab  bc  cd 
olsun. Bu durumda,
E  x  a, x  b, x  c, x  d 


 4 x 2  42a  b  c  2d  x  7 a 2  b 2  c 2  d 2  2ac  ad  bd   10ab  bc  cd 

 2 x  2a  b  c  2d   3 a 2  2b 2  2c 2  d 2  2ab  2ac  2ad  4bc  2bd  2cd
2

 2 x  2a  b  c  2d   3b  c   3a  b  c  d 
olur. x  0 için
2
2
2
E a, b, c, d   2 a  b  c  2d   3b  c   3a  b  c  d   0
dır. Bu durumda eşitsizlik sağlanır. 2 a  b  c  2d için eşitlik olur.
2
Soru 39.
a , b, c
2
2
pozitif saylar ise
a  b  c   1  1  1   1 
a
b
c
a
1
1
1
 1
 b2  c2  2  2  2 
b
c 
a

2
dır.
Çözüm 39. Cauchy-Schwarz eşitsizliğini kullanarak,
 a   1a    a

2

1
1 

 2  bc   2  2  
bc 
 a


 a   a1   2  bc  bc1 

 a   a1   2  a   1a 




2
2




2
2
ve bundan dolay,
2


  a   1   1  1   a 2   1 
2

 a  
 a 

dır. Bu eşitsizlikten aşağıdaki eşitlik varsa
1  
1 

 a 2   bc     a 2   bc
ile
a 2  bc b 2  ca c 2  ab  0
eşdeğerdir. Bu durumda eşitsizlik sağlanır. Sonuç olarak, a 2  bc
veya c 2  ab için eşitlik olur.






Soru 40.
a , b, c






veya
pozitif saylar ise
1
1
 1
1 1 1
5  2 a 2  b 2  c 2  2  2  2   2  a  b  c     
b
c 
a
a b c

dır.

b 2  ca
Çözüm 40.
x
a b c
b c a
  ve y   
b c a
a b c
olsun.
a  b  c   1  1  1   x  y  3
a
b
c
ve
1 1
 1
2 a2  b2  c2  2  2  2   2
b
c 
a


 a 2 b 2 c 2   b2 c 2 a 2 
 2 2  2  2   2 2  2  2   4
c
a  a
b
c 
b

 

2
2
 2 x 2  2 y  2 y 2  2 x  4  x  y  2   x  y    x  y  2 
2
Bu yüzden,
1
1
 1
 1 1 1
2 a 2  b 2  c 2  2  2  2   2  x  y  2  a  b  c       5
b
c 
a
a b c
a  b veya b  c veya c  a eşitlik olur.

dır.
Soru 41.
a , b, c

pozitif saylar ise
a b bc cd d a



0
bc cd d a ab
dır.
Çözüm 41.
a b c  d a  c a  c
1 
 1



 2  a  c 

2
bc d a bc d a
bc d a
dir.
1
1
4


b  c d  a b  c   d  a 
için
a b cd
4a  c 


2
bc d a abcd
olduğundan benzer eşitsizlikler yazlp toplandğnda
bc d a
4b  d 


2
cd ab abcd
eşitsizlik sağlanır. a  c ve b  d olursa eşitlik olur.
Soru 42.
a, b, c  1 ise
1  a2
1  b2
1  c2


2
1  b  c2 1  c  a2 1  a  b
dır.
2
Çözüm 42. 1  b  c 2  1  b  0, 1  b  c 2  12b  1  c 2

2
2
ve bundan dolay

1 a
2 1 a

2
1 b  c
1  b2  2 1  c2
dır. x  1  a 2 ve y  1  b 2 yazdığımızda
x
y
z


1
y  2z z  2 x x  2 y
olur. Cauchy-Schwarz eşitsizliğini kullanarak
x
y
z
x  y  z 2



y  2 z z  2 x x  2 y x  y  2 z   y  z  2 x   z x  2 y 


x  y  z 2  1
3xy  yz  zx 
elde edilir. İstenen eşitsizlik bu durumda sağlanır.
Soru 43.
a , b, c
ve
x, y , z

a  b  c  1 ise eşitlik olur.
pozitif reel saylar olsun ve
a  b  c x  y  z   a 2  b 2  c 2 x 2  y 2  z 2   4
için
abcxyz 
1
36
eşitsizliğini ispatlayınız.
Çözüm 43. Eldeki verileri ve A. Ortalama-G. Ortalama eşitsizliklerini kullanarak
4ab  bc  ca xy  yz  zx 

x  y  z   x  y  z 
 20  a  b  c  x  y  z   x  y  z  a  b  c 
 20  2a  b  c  x  y  z  a  b  c x  y  z   4
2

2
 a  b  c   a 2  b 2  c 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ve yukardaki eşitsizlikten
ab  bc  ca xy  yz  zx   1
dr. ve buradan iyi bilinen eşitsizlikleri
ab  bc  ca 2  3abca  b  c 
 xy  yz  zx 2  3xyzx  y  z 
iyi bilinen eşitsizliklerini çarptığımızda
ab  bc  ca2 xy  yz  zx 2  3abcxyza  b  c 3 x  y  z   36abcxyz
elde edilir. Böylelikle
2
2
1  ab  bc  ca  xy  yz  zx   36abcxyz
bizden istenilen eşitsizlik ispatlanmış olur. 1  36abcxyz eşitlik durumu için
ab  bc  ca 2  3abca  b  c 
eşitliklerde
abc
ve
2
ve  xy  yz  zx   3 xyz x  y  z  olması gereklidir. Bu
x  y  z olursa bize verilen hipotez
a  b  c x  y  z   a 2  b 2  c 2 x 2  y 2  z 2   4
elde edilir. Sonuç olarak
1  36abcxyz
elde edilir.
Soru 44.
a , b, c
a 2  b 2  c 2  3 olsun. Bu durumda
pozitif saylar ve
a 2  b2 b 2  c 2 c 2  a 2


3
ab
bc
ca
eşitsizliğini ispatlayınız.
Çözüm 44.
 b2  c2 b  c 
  b  c  2   3 a 2  b 2  c 2  a  b  c




b  c 2  a  b 2  b  c 2  c  a 2
 2b  c  3a 2  b 2  c 2   a  b  c
eşitsizlikleri yazılır.


3 a 2  b2  c2  a  b  c
2
için
2
b  c   a  b   b  c 2  c  a 2
 2b  c 
2a  b  c 
eşitsizliğini ispatlamak yeterli olacaktır. Bu eşitsizlik ile
a
2
 b  c b  c   0
eşitsizliği eş değerlidir. Buradan ispat açıktır. a  b  c  1 için eşitlik durumu olur.
Soru 45.
negatif olmayan saylar ve en az ikisi sıfırdan farklı olmak üzere
1
1
1
3
 2
 2

2
a  bc b  ca c  ab ab  bc  ca
eşitsizliğini ispatlayınız.
a, b, c
Çözüm 45.
ab  bc  ca
a b  c  a 
1
2
a  bc
a 2  bc
için
a b  c  a  bc  a  b  ca  b  a 


0
a 2  bc
b 2  ca
c 2  ab
eşitsizliği yazılabilir. a  b  c varsayalım. b  c  a  0 için
bc  a  b  ca  b  a 

0
b 2  ca
c 2  ab
olduğunu göstermek yeterlidir. Bu eşitsizlik
b 2  c 2 a 2  b  c b 2  3bc  c 2 a  bcb  c 2  0
eşitsizliği ile eş değerdir. Buradan,
b  c a  b  c b  3bc  c a  bcb  c 
 b  c  2bc a  b  c b  2bc  c a  bcb  c 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
 abc2a  b  c 
2
 b  c  a  b a  c   abc2a  b  c   0
istenilen eşitsizlik ispatlanmış olur a, b, c   0,1,1 için eşitlik olur.
Soru 46.
negatif olmayan saylar ve en az ikisi sıfırdan farklı olmak üzere
1
1
1
3
 2
 2

2
2
2
2
ab  bc  ca
b  bc  c
c  ca  a
a  ab  b
eşitsizliğini ispatlayınız.
a , b, c
Çözüm 46.
ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca


b 2  bc  c 2 c 2  ca  a 2 a 2  ab  b 2
eşitliğini göstereceğiz. Varsayalım ki, a  b  c olsun. Bu durumda
E a, b, c   E 0, b, c   0
eşitsizliğini göstermeliyiz.
ab  c 
a c 2  2bc  ab a b 2  2bc  ac
E a, b, c   E 0, b, c   2


b  bc  c 2
c 2  ca  a 2
a 2  ab  b 2
ab  c 
abc  ab 
a bc  ac 
 2
 2
 2
2
2
b  bc  c
c  ca  a
a  ab  b 2
0
ve
4
bc
b c

b  c
E 0, b, c   3  2
  3
0
b  bc  c 2 c b
bc b 2  bc  c 2
olduğundan ispat tamamlanır. a, b, c   0,1,1 için eşitlik olur.
E a, b, c  

 

Soru 47.
a , b, c
pozitif saylar ve


a  b  c  3 olsun. Bu durumda
12
abc 
5
ab  bc  ca
eşitsizliğini ispatlayınız.
Çözüm 47. Üçüncü dereceden Schur eşitsizliği
a  b  c 3  9abc  4a  b  c ab  bc  ca 
dır. 3abc  4ab  bc  ca  eşitsizliğini aldığımızda
36
4ab  bc  ca   9 
 15
ab  bc  ca
eşitsizliğini ispatlamak yeterli olacaktır. Yukardaki eşitsizlik ile
ab  bc  ca  32  0
eşitsizliği eş değerdir ve buradan da ispat açıktır. a, b, c   1,1,1 için eşitlik olur.
negatif olmayan saylar ve a 2  b 2  c 2  3 olsun. Bu durumda
12  9abc  7ab  bc  ca 
eşitsizliğini ispatlayınız.
Soru 48.
a, b, c
Çözüm 48.
s  abc
olsun.
ab  bc  ca 
a  b  c 2  a 2  b 2  c 2   s 2  3
2
2
için
45  18abc  7 s 2  0
eşitsizliğine dönüşür. Schur'un eşitsizliğinden
a  b  c 3  9abc  4a  b  c ab  bc  ca 
yazılır, buradan da
s 3  9abc  2s s 2  3
eşitsizliğine dönüşür ki
9abc  s 3  6s
dir. Bu durumda,
2
45  18abc  7 s 2  45  2s 3  6s   7 s 2  s  3 2 s  5  0
eşitsizliğinden ispat tamamlanmış olur. a, b, c   1,1,1 için eşitlik sağlanır.
Soru 49.
a, b, c
negatif olmayan saylar ve
3
3
ab  bc  ca  3
olsun. Bu durumda
3
a  b  c  7 abc  10
eşitsizliğini ispatlayınız.
Çözüm 49.
s  abc
olsun.
a  b  c 2  3ab  bc  ca 
iyi bilinen eşitsizliğinden s  3 için
3
a 3  b 3  c 3  3abc  a  b  c   3ab  bc  ca a  b  c 
 3abc  s 2  9 s
yazılır, buradan da
10abc  s 3  9s  10  0
eşitsizliğine dönüşür. s  4 için de bu eşitsizlik doğrudur. Çünkü
s 3  9 s  10  16 s  9 s  10  7 s  10  0
dır. 3  s  4 için düşündüğümüzde Schur'n eşitsizliğinden
a  b  c 3  9abc  4ab  bc  caa  b  c 
dır ve
9abc  12s  s 3
elde ederiz.


10 12s  s 3
 s 3  9 s  10
9
3
 s  39s  90 s  3 30  s 2  3s


9
9
2
s  3 16  s  34  s   2  0

9
Bundan dolay ispat tamamlanır ve a  b  c  1 için eşitlik olur.
10abc  s 3  9 s  10 


Soru 50.
a, b, c



pozitif saylar ise ve abc  1 olsun. Bu durumda,
a  b b  c c  a   7  5a  b  c 
dır.
a  maxa, b, c ve b  c  x
Çözüm 50. Varsayalım ki
olsun. a  1, x  2 bc 
ve
E  a  b b  c c  a   7  5a  b  c 




 x ax  a 2  bc  7  5a  5 x  ax 2  a 2  bc  5 x  7  5a
2


2

a 2  bc  5 
a 2  bc  5
 
 a x 
 7  5a
2a
4a


için
x
dır.
x
2
a
a 2  bc  5
2
a 2  bc  5 2 a 2  1a  5


 
2a
2a
a
2a
a
1  2 1 

 a   1  0
2a 
a 
olduğunu düşündüğümüzde
1

 1
E  ax 2  a 2  bc  5 x  7  5a  2 a 2   5 
 11  5a
a

 a
t  1 yukardaki eşitsizlikte yerleştirildiğinde
1 5
2t 6  5t 5  11t 3  10t 2  2

E  2 t 3  3    11  5t 2 
t
t
t3


dır.
a  t,


t  12 2t 4  t 3  4t 2  4t  2  t  12 2t 4  t 3  4t 2  3t 

t  14 2t  3  0
t3
t3
t2
ispat tamamlanmış olur. a  b  c  1 ise eşitlik olur.
Soru 51.
a, b, c
negatif olmayan saylar ve en az ikisi sıfırdan farklı olmak üzere
2
a
a3
b3
c3
1



2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2a  b 2 a  c
2b  c 2b  a
2c  a 2c  b
abc
eşitsizliğini ispatlayınız.


 

 


Çözüm 51.
a2
1

2
2
2
2
2a  b 2a  c
a  b  c 2



b2
1

2
2
2
2
2b  c 2b  a
a  b  c 2



c2
1
2c  a 2c  b
a  b  c 2
eşitsizliklerini çarpıp bu eşitsizliğe Cauchy-Schwarz eşitsizliğini uyguladığımızda

a
2

2
2



 
 a 2  b 2 c 2  a 2  a 2  ac  a 2  ba

2
için eşitlik olur.
abc
Soru 52.
2
2
negatif olmayan saylar ve a  b  c  3 olsun. Bu durumda
1
1
1


1
2
2
a  b  c a  b  c a  b  c2
eşitsizliğini ispatlayınız.
a , b, c
Çözüm 52.
olduğunu düşündüğümüzde ispat kolaydır. Bu durumda
1
1
1
 2
 2
1
2
a a 3 b b3 c c3
eşitsizliğini ispatlamalıyız ve buradan da
1
4a
1
4b
1
4c

, 2

, 2

2
a a3
9 b b3
9 c c3
9
eşitsizliklerinin toplamını ele alarak ispatımızı yapabiliriz.
2
2

4a
1
a  1 3  a  a  1 b  c 
 2


0
9
a  a  3 9 a2  a  3
9 a2  a  3
ele aldığımızda ispat tamamlanır. a  b  c  1 ise eşitlik olur.
abc 3

Soru 53.
a , b, c



negatif olmayan saylar ve ab  bc  ca  3 olsun.
1
1
1
3



2
2
2
2
2
2
r a b
r b c
r c a
r2
dır.
Çözüm 53.
r
r  b2  c2
 1
b2  c 2
r  b2  c 2
r  1 ise
için
b2  c2
6
 r  b2  c2  r  2
eşitsizliğini yazabiliriz. Diğer bir şekilde
2

b  c
2
2
b c 
2
ve
b2  c2
b  c 2

r  b 2  c 2 2r  b  c 2
dır. Bundan dolay,
b  c 2  6
 2r  b  c 2 r  2
göstermek yeterlidir. Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden
b  c 2  4a  b  c 2
 2r  b  c 2 6r   b  c 2
2

2a  b  c 
2
2
a  b  c 2  r  1ab  bc  ca 

6
r 1
2 a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca

. 2
r  2 r  2 a  b 2  c 2  r  1ab  bc  ca 


6
r2
a  b  c  1 ise eşitlik olur.

ispat tamamlanmış olur.
Soru 54.
pozitif saylar ve abc  1 olsun.
1
1
1
5



1
3
3
3
1  a  1  b  1  c  1  a 1  b 1  c 
eşitsizliğini ispatlayınız.
a, b, c
Çözüm 54.
x  11a , y  11b , z  11c
S  x  y  z ve Q  xy  yz  zx,
0  x, y , z  1
seçelim. abc  1 hipotezinden xyz  1  x 1  y 1  z  olur ki, 2 xyz  1  S  Q
x 3  y 3  z 3  5 xyz  1 gerekli eşitsizliğe dönüştürür iken
8 xyz  S 3  3SQ  1
veya
S 3  4 S  3  3S  4 
S2
için son eşitsizliği ispatlamalıyız. Sağ taraf koşulu iyi bilinmesine
3
rağmen, sol taraf koşulu 2 xyz  1  S  Q dan izlenir. Biz bu üç durumu dikkate
alacağız
S  1 için
dır.
S 1  Q 


S 3  4 S  3  1  S  3  S  S 2  0  3S  4Q
1 S 
4
3
için
3
S 3  4 S  3  3S  4 Q  S 3  4S  3  3S  4 S  1  S  1  0
S
4
3
için
2
S 2 2 S  3
S  4 S  3  3S  4 Q  S  4 S  3  3S  4  
0
3
3
dır. Bu durumda ispat tamamlanır. a  b  c  1 için eşitlik olur.
3
Soru 55.
a , b, c
3
pozitif saylar ve
abc  1 olsun. Bu durumda
2
1
3
 
a  b  c 3 ab  bc  ca
eşitsizliğini ispatlayınız.
Çözüm 55.
ab  bc  ca
abc
ve s 
3
3
olsun. Aritmetik Ortalama ve Geometrik Ortalamalarından
u  3 ab.bc.ca  1
dır. Öte yandan, üçüncü derece Schur eşitsizliğinden x, y, z negatif olmayan saylar
için
 x  y  z 3  9 xyz  4x  y  z xy  yz  zx 
şeklindedir. Eşitsizlikte sırasıyla x, y, z yerine bc, ca, ab yerleştirdiğimizde
u
ab  bc  ca3  9  4ab  bc  ca a  b  c 
dır ve bu eşitsizlik
3u 3  1  4us
eşitsizliği ile eş değerdir.
Bu nedenle,
6
9
2
3
8u
3
1
 1  3
1
abc
ab  bc  ca s
u 3u  1
u


dır.
u  1 için,
3u 3  6u 2  2u  3  0
3u 4  9u 3  8u 2  u  3
u 3u 3  1


u  1 3u 3  6u 2  2u  3


u 3u 3  1
eşitsizliğini gösterdik.
u2
için
3u 3  6u 2  2u  3  3u 3  6u 2  3u 2 u  2   0
dır ve 1  u  2
için
2
3u 3  6u 2  2u  3  3u u  1  3  u  0
dır. Bu durumda ispat tamamlanır. a  b  c  1 için eşitlik olur.
Soru 56.
a , b, c
reel saylar ise




21  abc  2 1  a 2 1  b 2 1  c 2  1  a 1  b1  c 
dır.
Çözüm 56.
u  abc
v  ab  bc  ca
w  abc
kullanarak


2 u 2  v 2  w 2  2 wu  2v  1  u  v  w  1
eşitsizliğine dönüşür. Eşitsizlik için
2
2 u 2  v 2  w 2  2 wu  2v  1  u  v  w  1
göstermek yeterlidir. Bu eşitsizlik
u 2  v 2  w 2  2uv  2vw  2 wu  2u  2v  2 w  1  0
veya
u  v  w  12  0
eşitsizliği ile eşdeğerdir. Bu durumda ispat tamamlanır. u  v  w  1  0
u  v  w  1  0 için eşitlik olur.

Soru 57.

ve
negatif olmayan saylar ve en az ikisi sıfırdan farklı olmak üzere
a b  c  bc  a  ca  b 


2
a 2  bc b 2  ca c 2  ab
eşitsizliğini ispatlayınız.
a , b, c
Çözüm 57.
abc
varsayalım ve
bc  a  a  b a  c  a  c b  c 


b 2  ca
a 2  bc
c 2  ab
eşitsizliğini yazalım.
a  ba  c   a  b  a  a  b
a 2  bc
a 2  bc
a
ve
a  c b  c   ab  c   b  c
c 2  ab
için
c 2  ab
b
bc  a  a  b b  c


b 2  ca
a
b
eşitsizliğini göstermek yeterlidir. Bu eşitsizlik
2
b 2 a  b   2abca  b   a 2 c 2  ab 2 c  0
veya
ab  b

2
 ac  ab 2 c  0
eşitsizliği ile eşdeğerdir. Bu durumda ispat tamamlanır. a  b  c
ve c  0 için eşitlik olur.
Soru 58.
a , b, c
2
şart altında,
a b
negatif olmayan saylar ve en az ikisi sıfırdan farklı olmak üzere
a b  c 
bc  a 
ca  b 


2
2
2
a  bc
b  ca
c 2  ab
eşitsizliğini ispatlayınız.
Çözüm 58. Aritmetik Ortalama ve Geometrik Ortalamalar kullanarak
a b  c 
a b  c 

2
2
a  bc
a  bc ab  bc 




2ab  c 
a  bc  ab  bc


2
2 ab  c 
a  bc  a 
dır. Bu nedenle,
2
2
2
a b  c   bc  a   ca  b   a  b b  c c  a 
eşitsizliğini göstermek yeterlidir. Bu eşitisizlik doğrudur, çünkü 4 abc  0
Soru 59.
da azalır.
negatif olmayan saylar ve en az ikisi sıfırdan farklı olmak üzere
1
1
1
a
b
c


 2
 2
 2
b  c c  a a  b a  bc b  ca c  ab
eşitsizliğini ispatlayınız.
a , b, c
Çözüm 59. Özdeşliğe göre
2
2
1
1
1
xyx  y   1  xy 



1  x 2 1  y 2 1  xy 1  x 2 1  y 2 1  xy 
dır. (28 inci problemin ispatından)


2
1
1
1
bcb  c   a 2  bc



0
a  b 2 a  c 2 a 2  bc a  b2 a  c 2 a 2  bc
bu eşitsizliği kullanarak
2



1
b
c
 b  c    b  c   b  c 

2
2
a



a

 a  b    c  a 

 a  a  b   a  c 

2

2
1
1
2
2

a
 2
a  bc

dır. İspat tamamlanır.
Soru 60.
negatif olmayan saylar ve en az ikisi sıfırdan farklı olmak üzere
1
1
1
2a
2b
2c


 2
 2
 2
b  c c  a a  b 3a  bc 3b  ca 3c  ab
eşitsizliğini ispatlayınız.
a , b, c
Çözüm 60.
1
 b  c   3a
2a

 bc
2
 1
  b  c  3a
2a 

 bc 
2
a  b a  c   a2a  b  c 
b  c  3a 2  bc 



 b  c  3a
a  b a  c 
2
 bc


a 2a  b  c 
b  c  3a 2  bc


için
a  ba  c 
 b  c 3a
2
 bc
0
ve
a 2 a  b  c 
0
2
 bc
eşitsizliklerini toplayarak istenilen eşitsizliği elde edebiliriz.
İlk eşitsizliğin ispat için a  mina, b, c olduğunu varsayalım. a  b a  c   0 için
b  c b  a   c  a c  b   0
c  a  3b 2  ca a  b  3c 2  ab
eşitsizliğini göstermek yeterlidir. Bu eşitsizlik
b  c  b 2  a 2 3c 2  ab  a 2  c 2 3b 2  ca  0
veya
2
a b  c  b 2  c 2  a 2  3ab  bc  3ac  0
eşitsizliği ile eş değerdir. a  mina, b, c için son eşitsizliğin ispat açıktır.
 b  c 3a







 




İkinci eşitsizliğin ispat
a 2a  b  c 
 b  c  3a 2  bc 
a a  b 
a a  c 

2
 bc
b  c  3a 2  bc

a a  b 
bb  a 

2
c  a  3b 2  ca
 bc

  b  c  3a



 b  c  3a

 a  b   b  c  3a



2
 bc
2
 b  c c  a  3a

dıır. Bu durumda ispat tamamlanır.



b
2
c  a  3b  ca 



ca  b  a  b   ca  b 
0
2
 bc 3b 2  ca
a  b  c için eşitlik olur.
2
a , b, c

a

Soru 61.



a 2  b 2  c 2  3 olsun. Bu durumda
3
5a  b  c  
 18
abc
pozitif saylar ve
eşitsizliğini ispatlayınız.
Çözüm 61.
p  abc
q  ab  bc  ca 
ve
olsun.
ab  bc  ca 2  3abca  b  c 
iyi bilinen eşitisizliğine rağmen
a 2  b 2  c 2  3 den
1
3p
 2
abc q
p 2  2q  3, p  3
seçeceğiz.
elde ederiz. Bu nedenle
5p 
9p
 18
q2
eşitsizliğini göstermek yeterlidir.
9p
36 p
5 p  2  18  5 p 
 18
2
q
p2  3


için
5 p 3  12 p 2  3 p  18  0

5 p 5  18 p 4  30 p 3  108 p 2  81 p  162
p
2

3
olduğunu göstermeliyiz.
2
p 3
dikkate alarak,

3 18 
5 p 3  12 p 2  3 p  18  p 2  5 p  12   2 
p p 


elde ederiz. İspat tamamlanır.
Soru 62.
a , b, c

 p 2 5 3  12  3  6  0
a  b  c için eşitlik olur.
negatif olmayan saylar ve a  b  c  3
1
1
1
3



6  ab 6  bc 6  ca 5
olsun. Bu durumda
eşitsizliğini ispatlayınız.
Çözüm 62. Eşitsizliği genişlettiğimizde
108  48ab  bc  ca   13abca  b  c   3a 2b 2 c 2  0
veya
49  4ab  bc  ca   3abc  abc1  abc  0
eşitsizliğine dönüşür.
Aritmetik Ortalama ve Geometrik Ortalamalardan
3
abc
1 
  abc
3


elde edilir. Sonuç olarak,
9  4ab  bc  ca   3abc  0
eşitsizliğini göstermek yeterlidir. Üçüncü dereceden Schur eşitsizliği
a  b  c 3  9abc  4a  b  c ab  bc  ca 
homojendir. Bu durumda ispat tamamlanır.
Hem a  b  c  1 hem de a  0 ve b  c  32 , b  0 ve c  a 
a  b  32 için eşitlik olur.
Soru 63.
n4
ve
a1 , a2 ,..., an
3
2
,
c0
reel saylar olmak üzere
a1  a2  ...  an  n ve a12  a 22  ...  an2  n 2
olsun. Bu durumda
maxa1 , a2 ,..., an   2
ispatlayınız.
Çözüm 63. Çelişki amacıyla tüm i ler için a i  2 olduğunu varsayalım. Tüm i
ler için xi  2  ai  0 ve S  0 için S  x1  x2  ...  xn olsun. S  n
den
n  a1  a 2  ...  a n  2n  S
elde ederiz ve
2
S  2 
2
 n  2 
için
n
2
n  a  a  ...  a   2  xi 
2
2
1
2
2
2
n
i 1
n
2
 4 n  4 S   xi2  4n  4 S  S 2  4n  4  S  2 
i 1
dır.
2
S  2, S  2   n  2 
2
2
2
için
S  n den anlaşılacağı gibi
Sn
S  2, S  2  n  2 için 2  S  n  2 den anlaşılacağı ve
dolay S  0 ile çelişkilidir. İspat tamamlanır.
Soru 64.
a , b, c
çelişkilidir.
S  4n 0
den
negatif olmayan saylar ve en az ikisi sıfırdan farklı olmak üzere
ve
a
b
c
13 2ab  bc  ca 


 
b  c c  a a  b 6 3 a2  b2  c2


eşitsizliğini ispatlayınız.
Çözüm 64.
a
b
c
13 2ab  bc  ca


 
b  c c  a a  b 6 3 a2  b2  c2
eşitsizliğini tekardan yazalım.
1
a  b   a  c 
 a
  b  c  2    2b  c 

a b

ba

 2b  c    2c  a 

a  b 
ab 1
1 
 2  b  c  c  a    2b  c c  a 
2
ve
2
2  ab  bc  ca 
a  b 

1  2
2
2 
2
3
a b c 
3 a  b2  c2


için
2

1
 a  b  2b  c c  a   3a
2

1
0
2
2 
b c 


eşitsizliğine dönüşür. Eşitsizlik doğrudur çünkü
2
2
3a 2  b 2  c 2   2b  c c  a   a  b  c   2a  b   0
dır. İspat tamamlanır. a  b  c için eşitlik olur.
Soru 65.
a, b, c
negatif olmayan saylar ve en az ikisi sıfırdan farklı olmak üzere
a 2 b  c  b 2 c  a  c 2 a  b 
 2
 2
 abc
b2  c2
c  a2
a  b2
eşitsizliğini ispatlayınız.
Çözüm 65.
a 2 b  c 
 b2  c2   a 
 a 2 b  c 

  b 2  c 2  a


aba  b   aca  c 
b2  c2



b
a a  b 
bab  a 
 2
2
2
c
c  a2
2
aba  b a  b 
 b2  c2 c2  a 2  0
hem de a  0 ve b  c, b  0

dır. İspat tamamlanır. Hem
ve a  b için eşitlik olur.
66.
a, b, c
abc



ve
c  a, c  0
pozitif saylar ve
a  b b  c c  a   2
olsun. Bu durumda
a
2



 bc b 2  ca c 2  ab  1
eşitsizliğini ispatlayınız.
Çözüm 66.




2
2
2
4 a 2  bc b 2  ca c 2  ab  a  b  b  c  c  a 
eşitsizliğinin homojenliğini ispatlayacağız. Genelleme kaybolmadan
olduğunu varsayalım.
2
a 2  bc  a  c 
ve


 
4 b 2  ca c 2  ab  b 2  ca  c 2  ab
abc

2
için
b 2  c 2  ab  ac  a  b b  c 
eşitsizliğini göstermek yeterlidir. Bu eşitsizlik cc  b   0 eşitsizliği ile eşdeğerdir. Bu
eşitsizlik açıktır. Buna göre ispat tamamlanır. a  0 ve b  c  1,
b  0 ve
c  a  1,
c  0 ve a  b  1 için eşitlik olur.