Slayt 1

2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Vektör Bileşenleri ve Birim Vektörler :

A
A

A  aˆ A A

A | A |
â A


A
A
aˆ A   
| A| A
: vektörün büyüklüğü
: birim vektör
| aˆ A | 1
1
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Vektör Bileşenleri ve Birim Vektörler :

A  Ax aˆ x  Ay aˆ y  Az aˆ z

2
2
2
A | A | Ax  Ay  Az
2
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Vektör Bileşenleri ve Birim Vektörler :
aˆ x , aˆ y , aˆ z
: birim vektörler
| aˆ x || aˆ y || aˆ z | 1

A Ax aˆ x  Ay aˆ y  Az aˆ z
aˆ A  
2
2
2
A
Ax  Ay  Az

A  ( Ax , Ay , Az )
3
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Vektör Bileşenleri ve Birim Vektörler :
Örnek :

A  2aˆ x  4aˆ y  4aˆ z
Ax  2, Ay  4, Az  4

2
2
2
A | A | Ax  Ay  Az
 (2) 2  (4) 2  (4) 2  6

A 2aˆ x  4aˆ y  4aˆ z
aˆ A  
A
6
2
4
4
 aˆ x  aˆ y  aˆ z
| aˆ A | 1
6
6
6
4
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Vektörlerin Toplanması ve Çıkarılması :

A  Ax aˆ x  Ay aˆ y  Az aˆ z

B  Bx aˆ x  By aˆ y  Bz aˆ z

C  ( Ax  Bx )aˆ x  ( Ay  By )aˆ y  ( Az  Bz )aˆ z
5
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Vektörlerin Toplanması ve Çıkarılması :
   

D  A  B  A  ( B)

A  Ax aˆ x  Ay aˆ y  Az aˆ z

B  Bx aˆ x  By aˆ y  Bz aˆ z

D  ( Ax  Bx )aˆ x  ( Ay  By )aˆ y  ( Az  Bz )aˆ z
6
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Vektörlerin Toplanması ve Çıkarılması :
   
A B  B  A

 

 
A  ( B  C )  ( A  B)  C
 


k ( A  B)  kA  kB
 
kA  Ak


k (lA)  (kl) A
k, l : skalar büyüklükler
  

| A  B || A |  | B |
7
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Konum ve uzaklık vektörleri :
Belli bir koordinat sisteminde, uzaydaki bir P(x,y,z) noktasının konum
vektörü(veya yarıçap vektörü) orijinden P noktasına yönelmiş vektördür.

rP  xaˆ x  yaˆ y  zaˆ z

rP  3aˆ x  4aˆ y  5aˆ z
8
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Konum ve uzaklık vektörleri :
Uzaklık vektörü, bir noktadan diğer bir noktaya yerdeğiştirmeyi gösterir.
P ve Q gibi iki nokta, (xP, yP, zP) ve (xQ, yQ, zQ) olarak verilmişse,
uzaklık vektörü

 
rPQ  rQ  rP
 ( xQ  xP )aˆ x  ( yQ  y P )aˆ y  ( zQ  z P )aˆ z
P ve Q noktaları arasındaki uzaklık:

d | rPQ |
9
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Vektörlerin Çarpımı :
1. Skaler (nokta) çarpım
 
A  B  AB cos 

A  Ax aˆ x  Ay aˆ y  Az aˆ z

B  Bx aˆ x  By aˆ y  Bz aˆ z
 
A  B  Ax Bx  Ay By  Az Bz
10
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Vektörlerin Çarpımı :
1. Skaler (nokta) çarpım
Skaler çarpımın geometrik yorumu;
(a)
 
A  B  ( A cos  )B
(b)
 
A  B  A( B cos  )
Şekil-a’dan iki vektörün skaler çarpımının, A vektörünün uzunluğunun
B vektörü doğrultusundaki izdüşümü ile B vektörünün uzunluğunun
çarpımına eşit olduğu görülür. Benzer yorum şekil-b için de yapılabilir.
11
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Vektörlerin Çarpımı :
1. Skaler (nokta) çarpım
   
A

B

B

A
  
   
A ( B  C )  A  B  A  C

 

A  ( kB )  k( A  B ) , k bir skalar
   2
2
A  A | A |  A
 
A  B  0 , =90o ise
âx  â y  â y  âz  âz  âx  0
âx  âx  â y  â y  âz  âz  1
12
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Vektörlerin Çarpımı :
2. Vektörel (çapraz) çarpım
 
AxB  ân AB sin 
â n
: A ve B vektörlerinin bulunduğu düzleme dik birim vektör
â n
13
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Vektörlerin Çarpımı :
2. Vektörel (çapraz) çarpım
A ve B gibi iki vektörün vektörel çarpımının genliği, bu vektörlerin
oluşturduğu paralelkenarın yüzey alanına eşittir.
 
AxB

B
h  B sin 

A
Paralelkenarın yüzey alanı
 
S  AxB  Ah  AB sin 
14
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Vektörlerin Çarpımı :
2. Vektörel (çapraz) çarpım
â x
 
AxB  Ax
Bx
â y
â z
Ay
Az
By
Bz
 ( Ay B z  Az B y )â x  ( Ax B z  Az Bx )â y  ( Ax B y  Ay Bx )â z
   
 
 
A xB  B xA
AxB   BxA
  
   
Ax( B  C )  AxB  AxC
 
A xA  0
15
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Vektörlerin Çarpımı :
2. Vektörel (çapraz) çarpım
âx xâ y  âz
â y xâz  âx
â y xâ x  â z
â z xâ y  â x
âz xâx  â y
â x xâ z  â y
16
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Vektörlerin Çarpımı :
3. Üçlü skaler çarpım
  
  
  
A  ( BxC )  B  ( CxA )  C  ( AxB )
Ax
  
A  ( B xC )  B x
Ay
Az
By
Bz
Cx
Cy
Cz
Üçlü skalar çarpımının sonucu bir skalerdir.
17
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Vektörlerin Çarpımı :
3. Üçlü skaler çarpım
Üçlü skalar çarpımın sonucu, vektörlerin oluşturduğu paralelkenar
şeklinin hacmini verir.
Hacim  ABC sin  cos 
  
 
A  ( BxC )  A | BxC | cos   ABC sin  cos 
 
BxC

A

C

B
18
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Vektörlerin Çarpımı :
4. Üçlü vektörel çarpım
“BAC-CAB kuralı”
  
  
  
Ax( BxC )  B( A  C )  C( A  B )
     
( A  B )C  A( B  C )
     
( A  B )C  C( A  B )
  
  
Ax( BxC )  ( AxB )xC
19
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Doğrultu Kosinüsleri :
â A  cos âx  cos â y  cos âz
â z
cos   cos   cos   1
2

A
â A
2
2
â A  â x  cos 
â y
â A  â y  cos 
â A  â z  cos 
â x
Ax
cos  
A
cos  
Ay
A
Az
cos  
A
20
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Örnekler :


Örnek 1 : A  10âx  4â y  6 âz ve B  2âx  â y veriliyor.
 

 
a) Ay =? b) 3 A  B  ? c) C  A  2 B ise âC  ?
21
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Örnekler :
Örnek 2 : P(0,2,4) ve Q(-3,1,5) noktaları veriliyor.
a) P ve Q konum vektörlerini, b) P den Q ya uzaklık vektörünü,
c) P ile Q arasındaki uzaklığı, d) PQ ya paralel 10 birim genlikli bir
vektör bulunuz.
22
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Örnekler :


Örnek 3 :
A  3âx  4â y  âz ve B  2â y  5âz veriliyor.
A ve B vektörleri arasındaki açıyı bulunuz.
23
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Örnekler :



Örnek 4 : P  2a x  â z , Q  2âx  â y  2âz , R  2âx  3â y  âz veriliyor.
  
 
 
  
a) ( P  Q )x( P  Q )  ? b) Q  RxP  ? c) P  QxR  ?
  
d) Px( QxR )  ? e) Q ve R vektörlerinin her ikisine de dik birim vektör ?
f) P vektörünün Q doğrultusundaki bileşeni ?
24
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Koordinat Sistemleri :
1. Kartezyen Koordinatlar (x,y,z)
Diferansiyel uzunluk, yüzey alanı ve hacim

dS z

dS y

dl

dS x

d l  dxaˆ x  dyaˆ y  dzaˆ z
  x  
  y  
  z  

dS x  dydzaˆ x

dS y  dxdzaˆ y

dS z  dxdyaˆ z
25
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Koordinat Sistemleri :
2. Silindirik Koordinatlar (,,z)
0 
0    2
  z  
aˆ   aˆ  aˆ  aˆ z  aˆ z  aˆ   0
aˆ   aˆ   aˆ  aˆ  aˆ z  aˆ z  1

A  A aˆ   A aˆ  Az aˆ z
aˆ  xaˆ  aˆ z
aˆ xaˆ z  aˆ 
aˆ z xaˆ   aˆ
26
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Koordinat Sistemleri :
2. Silindirik Koordinatlar (,,z)
 A   cos 
 A    sin 
  
 Az   0
 Ax  cos 
 A    sin 
 y 
 Az   0
sin 
0   Ax 
cos  0   Ay 
0
1  Az 
 sin  0   A 
cos  0   A 
0
1  Az 
27
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Koordinat Sistemleri :
2. Silindirik Koordinatlar (,,z)
Diferansiyel uzunluk, yüzey alanı ve hacim

d l  daˆ   daˆ  dzaˆ z

dS   ddzaˆ 

dS  ddzaˆ

dS z  ddaˆ z
dv  dddz
28
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Koordinat Sistemleri :
3. Küresel Koordinatlar (r,,)
0r
0  
0    2
âr  â  â  â  â  âr  0
âr  âr  â  â  â  â  1

A  Ar aˆr  A aˆ  A aˆ
âr xâ  â
â xâ  âr
â xâr  â
29
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Koordinat Sistemleri :
3. Küresel Koordinatlar (r,,)
x  r sin  cos 
y  r sin  sin 
z  r cos 
 Ax   sin  cos 
 A    sin  sin 
 y 
 Az   cos 
 Ar   sin  cos 
  
 A   cos  cos 
 A    sin 
 
cos  cos 
cos  sin 
 sin 
sin  sin 
cos  sin 
cos 
 sin    Ar 
 
cos    A 
0   A 
cos    Ax 
 sin    Ay 
0   Az 
30
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Koordinat Sistemleri :
3. Küresel Koordinatlar (r,,)
Diferansiyel uzunluk, yüzey alanı ve hacim

d l  drâr  rdâ  r sin dâ

2
dS r  r sin ddâr

dS  r sin drdâ

dS  rdrdaˆ
dv  r 2 sin drdd
31
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Koordinat Sistemleri
Örnekler :
Örnek 1 : Kartezyen koordinatlarda P1(3,-4,3) noktası ve

A  2âx  3â y  4âz vektörü veriliyor. P1 noktasını ve A vektörünü
silindirik koordinatlarda ifade ediniz. A vektörünü P1 de hesaplayınız.
32
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Koordinat Sistemleri
Örnekler :

Örnek 2 : A  ( x  y )âx  ( y  x )â y  zâz
vektörünün küresel koordinatlardaki ifadesini bulunuz.
33
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Koordinat Sistemleri
Örnekler :
Örnek 3 : Aşağıda şekli verilen nesnenin;
a) BC uzaklığını, b) CD uzaklığını, c) ABCD yüzey alanını,
d) ABO yüzey alanını, e) AOFD yüzey alanını, f) ABDCFO hacmini,
hesaplayınız.
34
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Çizgi, Yüzey ve Hacim İntegralleri
Verilen bir A vektör alanı ve bir L yolu için;
Çizgi integrali
 
 Adl
L
: L yolu boyunca A vektörünün teğet
bileşeninin integralidir.
  b
 A  d l   A cos dl
L
a
abca kapalı eğrisi boyunca;
 
 A  dl
L
integrali, A vektörünün
L etrafındaki sirkülasyonu
olarak tanımlanır.
35
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Çizgi, Yüzey ve Hacim İntegralleri
Verilen bir A vektör alanı ve bir S yüzeyi için, yüzey integrali veya A
vektörünün S yüzeyinden geçen akısı;
 


   A  d S   A cos dS   A  ân dS
S
S
S
Yüzey kapalı ise (ki bir hacim
tanımlar);
 
   A  dS
S
Bir v skalerinin v hacmi üzerinden hacim integrali :
  dv
v
v
36
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Çizgi, Yüzey ve Hacim İntegralleri
Örnekler :

Örnek 1 : F  x 2 âx  xzâ y  y 2 âz vektörünün şekilde verilen kapalı yol
etrafındaki sirkülasyonunu hesaplayınız.
37
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Çizgi, Yüzey ve Hacim İntegralleri
Örnekler :

Örnek 2 : B   cos â  z sin âz vektörünün şekilde verilen kapalı L
yolu etrafındaki sirkülasyonunu hesaplayınız.
38
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Yönlü Türev ve Uygulamaları
Yönlü türev, herhangi bir skaler veya vektörel alanın uzaysal değişim

hızını verir. Herhangi bir n doğrultusu için del operatörü aşağıdaki
gibi tanımlanır;


aˆ n
n
(nabla) operatörü bir vektör gibi düşünülebilir ve uygulandığı
büyüklüğün bir skaler veya bir vektör oluşuna göre yapılan işlemler
değişik adlar alır.
Bir V skalerinin gradyanı :  V
Bir A vektörünün diverjansı :
Bir A vektörünün rotasyoneli :
Bir V skalerinin Laplasyanı :

  A
 xA
2
V
39
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Yönlü Türev ve Uygulamaları
Kartezyen koordinatlarda;



  â x  â y  â z
x
y
z
Silindirik koordinatlarda;

1 


â  
â  â z

 
z
Küresel koordinatlarda;

1 
1

  âr 
â 
â
r
r 
r sin  
40
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Yönlü Türev ve Uygulamaları
Bir Skaler Alanın Gradyanı
Bir V skaler alanının gradyanı, V nin maksimum uzay artış hızının hem
genliğini hem de yönünü gösteren bir vektörü tanımlar.
dV
gradV  V 
aˆ n
dn
Şekildeki P1 ve P2 noktaları arasındaki
dV alanı kartezyen koordinatlarda;
V
V
V
dV 
dx 
dy 
dz
x
y
z

d l  dxaˆ x  dyaˆ y  dzaˆ z
41
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Yönlü Türev ve Uygulamaları
Bir Skaler Alanın Gradyanı
 V
V
V 
dV  
â x 
â y 
â z   dxâ x  dyâ y  dzâ z 
y
z 
 x
 V
V
V
G
â x 
â y 
â z
x
y
z
 
dV
dV  G  d l  ( G cos  )dl 
 G cos 
dl

d l : P1 den P2 ye diferansiyel yerdeğiştirme (uzunluk vektörü)


 : G ile d l arasındaki açı
42
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Yönlü Türev ve Uygulamaları
Bir Skaler Alanın Gradyanı
 = 0 olduğunda, yani, diferansiyel uzunluk vektörü G vektörünün
yönünde olduğu zaman;
dV
dl
dV

G
dn
max
dV
dn
: dik (normal) türev
G vektörü V nin maksimum değişme hızıyla aynı genlik ve doğrultuya
sahiptir.
V
V
V
gradV  V 
â x 
â y 
â z
x
y
z
Sonuç olarak, G vektörü V nin gradyanıdır.
43
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Yönlü Türev ve Uygulamaları
Bir Skaler Alanın Gradyanı
Silindirik koordinatlarda;
V
1 V
V
V 
â  
â 
â z

 
z
Küresel koordinatlarda;
V
1 V
1 V
V 
âr 
â 
â
r
r 
r sin  
44
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Yönlü Türev ve Uygulamaları
Bir Skaler Alanın Gradyanı
Bazı gradyan formülleri;
1.
( V  U )  V  U
2.
( VU )  VU  UV
3.
 V  UV  VU
  
2
U
U
 
4.
V n  nV n1V
U, V : skaler
n : bir tamsayı
45
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Yönlü Türev ve Uygulamaları
Bir Skaler Alanın Gradyanı
Bir V skaler alanının gradyanının temel özellikleri :
1. grad V nin genliği birim uzunluk başına V deki maksimum değişim
hızına eşittir.
2. grad V noktaları V deki maksimum değişim hızının doğrultusundadır.
3. Herhangi bir noktadaki grad V o noktadan geçen sabit V yüzeyine
diktir.
4. grad V nin bir a birim vektörü doğrultusundaki izdüşümü (bileşeni)
V  â dır ve V nin a birim vektörü boyunca yönlü türevi olarak
adlandırılır. Bu, V nin a birim vektörü doğrultusundaki değişimin hızıdır.
Örneğin; dV/dl, V skalerinin P1P2 boyunca yönlü türevidir.
Sonuçta, bir V skaler fonksiyonunun gradyanı bize V nin hem en hızlı
biçimde değiştiği doğrultuyu hem de V nin maksimum yönlü türevinin
genliğini vermektedir.
46
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Yönlü Türev ve Uygulamaları
Bir Skaler Alanın Gradyanı
Örnekler :
Örnek 1 : Aşağıdaki sklaer alanların gradyanını bulunuz.
a) V  e z sin 2 x cosh y
b) U   2 cos 2
c) W  10r sin 2  cos 
47
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Yönlü Türev ve Uygulamaları
Bir Vektör Alanın Diverjansı ve Diverjans Teoremi
Bir A vektör alanının verilen bir P noktasındaki diverjansı, nokta
etrafındaki hacim sıfıra giderken birim hacim başına bu vektör alanının
net dışarı akısı olarak tanımlanır.


divA    A  lim
v 0
 
 A  dS
S
v
v : içinde P noktasının
yer aldığı kapalı S yüzeyi
tarafından sınırlanmış hacim
A vektör alanının verilen bir noktadaki diverjansı, alanın o noktadan ne
kadar ıraksadığının veya çıktığının bir ölçüsü olarak görülebilir.
Diverjans, alanın kendi doğrultusundaki değişmeyi verir.
48
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Yönlü Türev ve Uygulamaları
Bir Vektör Alanın Diverjansı ve Diverjans Teoremi
Bir vektör alanın P noktasındaki diverjansının gösterilmesi
(a) pozitif diverjans, (b) negatif diverjans, (c) sıfır diverjans
Kartezyen koordinatlarda,
 Ax Ay Az
 A 


x
y
z
49
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Yönlü Türev ve Uygulamaları
Bir Vektör Alanın Diverjansı ve Diverjans Teoremi
Silindirik koordinatlarda,
 1 
1 A Az
 A 
( A ) 

 
  z
Küresel koordinatlarda,
 1  2
1

1 A
  A  2 ( r Ar ) 
( A sin  ) 
r r
r sin  
r sin  
Bir vektör alanın diverjansının özellikleri :
1. Bir skaler alan üretir.
2. Bir V skalerinin diverjansı anlamlı değildir.
50
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Yönlü Türev ve Uygulamaları
Bir Vektör Alanın Diverjansı ve Diverjans Teoremi
 


3.   ( A  B )    A    B

 
4.   ( VA )  V  A  A  V
Diverjans Teoremi : Bir vektör alanının hacim integralinin, o vektörün
hacmi sınırlayan yüzeyden çıkan toplam akısına eşit olduğunu belirtir.
Bu teorem, bir vektörün diverjansının hacim integralini o vektörün kapalı
yüzey integraline dönüştürür.
 

 A  dS     Adv
S
v
51
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Yönlü Türev ve Uygulamaları
Bir Vektör Alanın Diverjansı ve Diverjans Teoremi
Örnek : Bir G vektörünün, =1, 0z1 silindirinin tüm yüzeyinden çıkan
akısını belirleyiniz. Sonucu diverjans teoremiyle doğrulayınız.

G  10e2 z ( â  âz )
52
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Yönlü Türev ve Uygulamaları
Bir Vektör Alanın Rotasyoneli ve Stokes Teoremi
Bir A vektör alanının rotasyoneli; büyüklüğü birim yüzey başına, yüzey
sıfıra giderken A nın en büyük net dolaşımı (sirkülasyonu) olan bir
vektördür.
Rotasyonelin yönü; yüzey sirkülasyonu maksimum yapacak şekilde
yerleştirildiğinde, yüzeyin normali (yüzeye dik birim vektör) ile aynıdır.
 


A
.
d
l
L 

 
 ân
rotA  xA   lim
 S 0 S 

 max
Rotasyonel, yüzeye dik doğrultudaki değişmeyi gösterir.
53
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Yönlü Türev ve Uygulamaları
Bir Vektör Alanın Rotasyoneli ve Stokes Teoremi
aˆ x
aˆ y
aˆ z
Ax
Ay
Az

Kartezyen koordinatlarda : xA   / x  / y  / z
aˆ
aˆ z
 1
Silindirik koordinatlarda : xA 
 /   /   / z

A
A
Az
aˆ 

Küresel koordinatlarda : xA 
âr
1
 / r
2
r sin 
Ar
râ
r sin â
 / 
 / 
rA
r sin A
54
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Yönlü Türev ve Uygulamaları
Bir Vektör Alanın Rotasyoneli ve Stokes Teoremi
Rotasyonelin özellikleri :
1. Bir vektör alanın rotasyoneli başka bir vektör alandır.
2. Bir V skaler alanının rotasyoneli anlamlı değildir.
3.
4.
5.
6.
7.
 


x( A  B)  xA  xB
 








x( AxB )  A(  B )  B (  A)  ( B  ) A  ( A  ) B



x(VA)  VxA  VxA
  (xA)  0
xV  0
(a) P deki rotasyonel sayfa dışına
doğrudur.
(b) P deki rotasyonel sıfırdır.
55
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Yönlü Türev ve Uygulamaları
Bir Vektör Alanın Rotasyoneli ve Stokes Teoremi
Örnek : Herhangi bir vektör alanın rotasyonelinin diverjansının sıfır
olduğunu gösteriniz.
(6.özellik)   ( xA )  0

A  Ax aˆ x  Ay aˆ y  Az aˆ z olsun.
â x
â y
â z
  

 
  xA   â x  â y  â z    / x  / y  / z
y
z 
 x
Ax
Ay
Az
 2 Ay
 2 Ay
 2 Ax
 Az
 Az  Ax






xy xz yx yz zx zy
2
2
2
0
56
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Yönlü Türev ve Uygulamaları
Bir Vektör Alanın Rotasyoneli ve Stokes Teoremi
Stokes Teoremi : Bir vektör alanının rotasyonelinin bir açık S yüzeyi
üzerinden integrali, S yüzeyini sınırlayan yol boyunca vektörün kapalı
çizgi integraline eşittir.
Bu teorem, bir vektörün rotasyonelinin yüzey integralini o vektörün
çizgi integraline dönüştürür.
 


 A  d l   (xA)  dS
L
S


A ve xA S üzerinde süreklidir.
57
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Yönlü Türev ve Uygulamaları
Bir Vektör Alanın Rotasyoneli ve Stokes Teoremi

Örnek : A   cos aˆ   sin aˆ olarak veriliyor.
Şekildeki L kapalı yolu üzerinden A vektörünün çizgi integralini
hesaplayınız. Stokes teoremini kullanarak sonucu doğrulayın.
58
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Vektör Alanların Sınıflandırılması

  A  0 ise, A vektör alanı solenoidaldir (veya diverjanssız) denir.
Böyle bir alan ne kaynak ne de akı kuyusuna sahiptir.
 

 A  dS     Adv
S
v
A vektör alanının herhangi bir kapalı yüzeye giren akı çizgileri, yüzeyden
çıkanlara eşittir.
Solenoidal alanlara örnek; sıkıştırılamaz sıvılar, manyetik alanlar ve
durgun durum koşullarında iletkenlik akım yoğunluğu verilebilir.
Bir solenoidal A vektör alanı, her zaman bir başka F vektör alanı
cinsinden ifade edilebilir. Yani,

  A  0 ise,
 


 A  dS  0 ve F  xA
S
59
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği
2.Vektör Analiz
Elektromanyetik Alanlar
Vektör Alanların Sınıflandırılması

xA  0 ise, A vektör alanı irrotasyaneldir (veya korunumlu) denir.


 
 (xA)  dS   A  d l  0
S
L
A vektörünün kapalı bir yol etrafındaki sirkülasyonu özdeş olarak sıfırdır.
Bu, A vektörünün çizgi integralinin seçilen yoldan bağımsız olduğu
anlamına gelir.
İrrotasyonel alanlara örnek statik elektrik alanı verilebilir.
İrrotasyonel bir A alanı herzaman skaler bir V alanı cinsinden ifade
edilebilir. Yani,

xA  0 ise,
 

 A  d l  0 ve A  V
L
Bu nedenle, A vektörü bir potansiyel alan, V de A nın skaler potansiyeli
olarak adlandırılabilir.
60
KTÜ Elektrik-Elektronik Mühendisliği