Tek Eksenli Anizotropik MUK

Zaman Uzayı Sonlu Farklar Yöntemi
Dr. Serkan Aksoy
Tek Eksenli Anizotropik MUK
BMUK ve GMUK fiziksel olmayan ortamlar için tanımlanması gerçek problemlerin modellenmesi
bakımından önemli bir dezavantajdır. Bu nedenle fiziksel ve gerçekçi bir ortam olan anizotropik ortamlarda
gerçeklenebilir olması düşüncesi ile Anizotropik MUK (AMUK) algoritması ilk kez frekans uzayında Tek
Eksenli Anizotropik ortamlar için tanımlanmıştır. TAMUK adı verilen bu SSK türü daha sonra ZUSF için
önerilmiştir. TAMUK algoritmasına göre tek bir ara yüz durumunda dielektrik ve manyetik geçirgenli
bakımından tek-eksenli (uniaxial) anizotropik bir ortam yeterli olmaktadır. TAMUK algoritması daha önce
önerilen BMUK algoritmasının gerektirdiği ve fiziksel olmayan alan bileşenlerinin ayrımını gerektirmez.
Buna göre kayıpsız
bölgesinde rastgele polarizasyona sahip harmonik düzlemsel dalganın manyetik
alanı
( )
bölgesi basit bir ortam,
olarak verilsin.
̂
bölgesi tek eksenli anizotropik ortam olmak üzere
|
̂
|
|
|
tansör yapısında dielektrik ve manyetik geçirgenliklerine sahip olsun.
 Dispsersiyon Bağıntısı
bölgesinde
̂
̂
olmak üzere düzlemsel dalga için Maxwell denklemleri sağlanır. Burada
olmak üzere
bölgesinde dalga vektörünü gösterir. Maxwell denklemleri kullanılarak dalga denklemi elde edilirse
( ̂
)
̂
olarak bulunur. Bu denklem matris biçiminde olarak ifade edilirse
(
)
(
[
)
(
[
olarak bulunur. Burada
çözülmesi ile, dispersiyon bağıntısı
(
)
(
olup,
)
)
(
(
modları için
ve
(
)
]
’in matrisin determinantından
(
,
)
)
]
)
(
,
)
olarak bulunur.
 Yansıma Katsayısı
ara yüzünde
polarizasyonlu gelen dalga olsun. Bu durumda izotropik
alan gelen ve yansıyan alanların toplamı olarak
(
)
̂
bölgesinde toplam
Zaman Uzayı Sonlu Farklar Yöntemi
[
bulunur. Anizotropik
Dr. Serkan Aksoy-2015
)̂
(
) ̂]
(
̂
bölgesinde ise
̂
̂
[
burada ve
alanların
̂]
̂
yansıma ve iletim katsayılarını gösterir. Her iki katsayı da teğetsel elektrik ve manyetik
ara yüzünde sürekli olması koşulundan yola çıkılarak
olarak bulunur. Burada ek olarak
ara yüzünde faz uyumu olması nedeni ile
ilişki kullanılarak
modu için dispersiyon bağıntısı tekrar düzenlenirse
√
bulunur. Bu durumda
,
(
,
olmalıdır. Bu
)
olmak üzere
ve
olacağından
(
√
) ⏟
√
(
)
bulunur ve yansıma katsayısında yerine konulursa
olmak üzere tüm açı ve frekanslarda yansımanın sıfır olduğu görülür.
için geçerli bu ifadeler
için incelenirse yansımanın sıfır olması için
şartlarının sağlanması gereği bulunur.
ve
durumları birleştirilirse
yansıma katsayısının sıfır olacağı görülür.
Daha genel olarak
̂
̂
|
|
burada
( )
buradan, frekans uzayı Maxwell denklemleri
( )
( )
ve
olmak üzere
Zaman Uzayı Sonlu Farklar Yöntemi
Dr. Serkan Aksoy-2015
(
)
̂ (
)
(
)
̂ (
)
olmak üzere ele alınarak birinci Maxwell denkleminde ̂ yerine konulursa
( ) ( )
( )
|
(
|
( ) ( )
( )
)
|
(
)
( ) ( )|
( )
bu denklem daha açık olarak ifade edilerek,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
]
[
( ) ( )
( )
|
|
( ) ( )
( )
|
(
(
(
[
( ) ( )|
( )
)
)]
)
elde edilir. Buradan ilk denklem
(
(
)
(
olmak üzere yeniden düzenlenerek,
)
( ) ( )
( )
(
)
( )
yazılır. Burada
(
)
(
)
) tanımlanırsa
(
(
(
)
( )
⏞
)
( )
( )
değeri yerine konulursa
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
bulunur. Bu ifadenin ters Fourier dönüşümü alınırsa
(
elde edilir. Bu denklem
|
(
)
anlarında ve
(
)
(
)
pozisyonunda ayrıklaştırılarak
|
|
)
|
(
⁄
|
|
⁄
|
)
halini alır. Burada manyetik alanla ilgili terimlerin tümünün yarım zaman adımlarında olması gerektiğinden,
en sondaki terimin ortalaması alınarak
|
|
|
|
(
|
⁄
|
⁄
)
(
|
⁄
|
⁄
)
Zaman Uzayı Sonlu Farklar Yöntemi
Dr. Serkan Aksoy-2015
|
⁄
(
)
(
)
⁄
|
olmak üzere, zamanda en ileri terim olan
⁄
|
(
olarak güncelleme denklemi bulunur. Buradan
(
( ) ve
ilişkisi kullanılarak
)
(
|
[
(
) ve
( )
( )
)
|
|
|
]
) arasında bağıntı bulmak amacı ile
(
)
( ) yerine konulursa
(
olarak yazılıp, her iki taraf
çekilirse
)(
)
(
)
(
(
)
)
ile çarpılırsa,
(
)(
(
)
)
bulunur. Bu denklemin ters Fourier dönüşümü alınarak
(
(
bulunur. Burada
anlarında ve
(
bulunur. Burada
|
|
|
ve
(
|
⁄
(
)
(
)
|
)
(
)
⁄
|
)
⁄
|
|
bileşenleri için zamanda ortalama alınırsa
|
⁄
|
⁄
olmak üzere, zamanda en ileri terim olan
|
(
))
⁄
⁄
|
(
pozisyonunda ayrıklaştırılarak
⁄
|
)
|
(
⁄
|
⁄
|
(
elde edilir. Yukarıda yapılanlara benzer biçimde
|
⁄
|
⁄
)
|
))
⁄
|
)
çekilirse
⁄
(
⁄
)
((
(
) ve
⁄
(
(
)
|
)'de düzenlenebilir.
Birinci Maxwell denklemine benzer şekilde ikinci Maxwell denkleminde de ̂ yerine konulursa
⁄
)
Zaman Uzayı Sonlu Farklar Yöntemi
Dr. Serkan Aksoy-2015
( ) ( )
( )
|
(
|
( ) ( )
( )
)
|
(
)
( ) ( )|
( )
bu denklem daha açık olarak ifade edilerek
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
]
[
( ) ( )
( )
|
|
( ) ( )
( )
|
[
( ) ( )|
( )
(
(
(
)
)]
)
halini alır. Buradan denklemin ilk terimi
(
(
)
)
( ) ( )
( )
(
)
(
)
olmak üzere, yeniden düzenlenirse
(
(
olarak yazılabilir. Burada
(
)
(
)
) tanımlanırsa,
(
)
( )
( )
( ) ifadesi de yerine konulara,
(
)
( )
⏞
)
(
(
)
)
denklemi bulunur. Bu denklem düzenlenerek
(
(
)
)
(
)
(
)
olmak üzere, ters Fourier dönüşümü alınırsa
(
bulunur. Bu denklem
|
(
)
anlarında ve
)
)
(
)
pozisyonunda ayrıklaştırılarak
|
|
(
|
|
⁄
|
⁄
|
Burada yer değiştirme alanı ile ilgili terimler yarım zaman adımlarda olacağından, en sondaki terimin
ortalaması alınarak
|
|
|
olmak üzere, zamanda en ileri terim olan
|
|
|
⁄
⁄
çekilirse
|
⁄
(
|
⁄
|
⁄
)
Zaman Uzayı Sonlu Farklar Yöntemi
|
⁄
(
)
(
)
Dr. Serkan Aksoy-2015
⁄
|
(
)
olarak güncelleme denklemi bulunur. Buradan
(
ilişkisi kullanılarak
( ) ve
(
|
[
(
) ve
|
]
) arasında bağıntı bulmak amacı ile
( )
( )
)
|
|
(
)
( ) yerine konulursa
(
olarak yazılıp, her iki taraf
)(
)
(
(
)
)
ile çarpılırak, düzenlenirse
(
(
)
(
))
(
)
(
)
elde edilen bu denklem üzerinden, ters Fourier dönüşümü alınarak
(
(
anlarında ve
|
(
⁄
ve
|
|
|
⁄
|
|
(
))
)
(
)
⁄
)
|
|
|
|
⁄
|
'nin zamanda ortalaması alınarak
|
(
|
zamanda en ileri elektrik alan terimi olan
|
(
pozisyonunda ayrıklaştırılarak
(
burada
)
(
)
(
)
|
|
))
|
|
)
çekilirse
|
(
bulunur. Yukarıda yapılanlara benzer biçimde
(
)
(
((
) ve
)
(
|
(
)
|
)
)'de düzenlenebilir.
TAMUK’un CFL sınırları içinde kararlı [Nehrbass vd., 1996] ve iyi koşullu (well-posed) olduğu
[Abarbanel ve Gottlieb, 1997] gösterilmiştir. Yine uygun dielektrik permittivity ve manyetik permeability
değerlerinin seçimi ile Kramers-Kronig bağıntısı kapsamında TAMUK’un nedensellik prensibini de
sağladığı ispat edilmiştir [Kuzuoğlu ve Mittra, 1996].