ε -ALMOST S-MANİFOLDLAR Duygu SAĞBAŞ YÜKSEK LİSANS

ε α -ALMOST S-MANİFOLDLAR
Duygu SAĞBAŞ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MART 2010
ANKARA
Duygu SAĞBAŞ tarafından hazırlanan ε α ALMOST S-MANİFOLDLAR adlı bu
tezin Yüksek Lisans tezi olarak uygun olduğunu onaylarım.
Doc. Dr. Aysel TURGUT VANLI
…………………………..
Tez Danışmanı, Matematik Anabilim Dalı
Bu çalışma, jürimiz tarafından oy birliği / oy çokluğu ile Matematik Anabilim
Dalında Yüksek Lisans tezi olarak kabul edilmiştir.
(Ünvanı, Adı ve Soyadı)……………………………….
(Anabilim Dalı, Üniversite Adı)
(Ünvanı, Adı ve Soyadı) ……………………………….
(Anabilim Dalı, Üniversite Adı)
(Ünvanı, Adı ve Soyadı) ……………………………….
(Anabilim Dalı, Üniversite Adı)
(Ünvanı, Adı ve Soyadı) ……………………………….
(Anabilim Dalı, Üniversite Adı)
(Ünvanı, Adı ve Soyadı) ……………………………….
(Anabilim Dalı, Üniversite Adı)
Tarih: 04/ 03 /2010
Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans derecesini
onamıştır.
Prof. Dr. Bilal TOKLU ……………………………….
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
TEZ BİLDİRİMİ
Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde
edilerek sunulduğunu , ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu
çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf
yapıldığını bildiririm.
Duygu SAĞBAŞ
iv
ε α -ALMOST S-MANİFOLDLAR
(Yüksek Lisans Tezi)
Duygu SAĞBAŞ
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Mart 2010
ÖZET
Bu tezde ε α -almost S-manifoldlar , Indefinite ε α -Almost S-manifoldlar ve
Indefinite ε α -S-Manifoldların tanımı verilerek bunlara ait bazı örnekler verildi.
Ayrıca ε α -almost S-manifold ve ε α - S-manifoldların real hiperyüzeyleri ile
ilgili bazı teoremler ispatlandı.
Bilim Kodu
: 204.1.095
Anahtar Kelimeler : f -yapı , Almost S-Manifoldlar, S-Manifoldlar , Indefinite
Almost S-Manifoldlar, Indefinite S-Manifoldlar, ε α -Almost
S-Manifoldlar
Sayfa Adedi
: 132
Tez Yöneticisi
: Doç. Dr. Aysel TURGUT VANLI
v
ε α -ALMOST S-MANİFOLDS
(M.Sc. Thesis)
Duygu SAĞBAŞ
GAZİ UNIVERSITY
INSTITUTE OF SCİENCE AND TECHNOLOGY
March 2010
ABSTRACT
In this thesis, ε α -almost S-manifold, indefinite ε α -almost S-manifold and
indefinite ε α -S-manifold are defined, and some examples are given about this
manifolds. In addition, some theorems are given real hypersurfaces of an ε α -Smanifold and an indefinite ε α -S-manifold.
Science Code :204.1.095
Key Words : f -structure, Almost S-Manifolds, S-Manifolds, Indefinite
Almost S-Manifolds, Indefinite S-Manifolds, ε α -Almost Smanifolds
Page Number :132
Adviser
: Asso. Prof. Aysel TURGUT VANLI
vi
TEŞEKKÜR
Bu tezin hazırlanması sırasında bana araştırma olanağı sağlayan ve çalışmanın her
safhasında büyük yardımlarını ve desteklerini gördüğüm değerli danışman hocam
sayın Doç. Dr. Aysel TURGUT VANLI’ ya teşekkürlerimi sunarım.
Çalışmalarım esnasında bana anlayış gösteren sevgili annem Asiye SAĞBAŞ, sevgili
ailem ve dostlarıma teşekkürlerimi sunarım.
vii
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET.…………………………………………………………………………….....iv
ABSTRACT……………………………………………………………………...….v
TEŞEKKÜR………………………………………………………………………...vi
İÇİNDEKİLER……………………………………………………………..………vii
SİMGELER VE KISALTMALAR…………………………………………………ix
1.GİRİŞ………….……………………………………………………………………1
2.TEMEL KAVRAMLAR……………………………………………………..…….3
2.1. Riemann Manifoldları ve Alt Manifodlar...........................................................3
2.2. Yarı Riemann Manifoldları…...………………………………………………15
2.3. Almost Kompleks ve Almost Kontak Manifoldlar…………………………...18
3. ALMOST S-MANİFOLDLAR………………………………..…………………29
3.1. f -Yapı…………..…………………………………………………………...29
3.2. Torsioyon Tensörü……………………………………………………………37
3.3. Almost S-Manifoldlar………………………………………………………...55
4. S-MANİFOLDLAR………………………………………………..……………..66
4.1. S-Manifoldlar………………………………………………………….………66
5. INDEFINITE ALMOST-S-MANİFOLDLAR ve INDEFINITE SMANİFOLDLAR………………………………………………………...……...84
5.1. Indefinite Almost S-Manifold………………………………………………..84
5.2. Indefinite S-Manifold………………………………………………………...89
6. ε α -ALMOST S-MANİFOLDLAR………………………………………..……..92
viii
Sayfa
6.1. ε α -Almost S-Manifold………………………………………………………92
6.2. ε α -Almost S-Manifoldlar İçin Örnekler…………………………………….96
7. INDEFINITE ε α -S-MANİFOLDLARIN REEL HİPERYÜZEYLERİ……..…115
KAYNAKLAR...…………………………………………………………………..130
ÖZGEÇMİŞ...……………………………………………………………………...132
ix
SİMGELER VE KISALTMALAR
Bu çalışmada kullanılmış bazı simgeler ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte
aşağıda sunulmuştur.
Simgeler
IR
Anlamı
Reel sayılar cismi
g
M manifoldu üzerindeki metrik
g
M hiperyüzeyi üzerine indirgenmiş metrik
Γ (TM )
M manifoldu üzerindeki vektör alanlarının uzayı
Tp M
p ∈ M noktasındaki tanjant uzay
TM
M manifoldun tanjant demeti
φ
f -yapı
ξα
karakteristik vektör alanları
ηα
1-formlar
R
M manifoldu üzerindeki Riemann eğrilik tensörü
N
M hiperyüzeyin normali
Nφ
φ ’ nin Nijenhuis tensörü
∇
M manifoldu üzerindeki konneksiyon
∇
M hiperyüzeyi üzerine indirgenmiş konneksiyon
[,]
Lie braket operatörü
K
Kesitsel eğrilik
L
Lie türevi
⊗
Tensörel çarpımı
1
1. GİRİŞ
Almost kontakt yapıların ve almost kompleks yapıların bir genelleştirilmesi olan
f -yapılar 1963 yılında Yano tarafından ortaya atılmış ve günümüze kadar bu
alanda bir çok çalışma yapılmıştır. Bunlardan bazıları Nakagava (1966), Ishahara
(1966), Kobayashi ve Tsuchiya (1972), Mihai (1983) ve Kobayashi (1990) dır.
Goldberg ve Yano, çatılandırılan metrik manifoldlar üzerindeki f -yapı yardımı
ile bir kompleks yapı tanımlayıp bu yapıların normallik koşullarını inceleyerek
bu alanda yapılacak olan çalışmalara ışık tutmuşlardır. 1970 yılında Goldberg ve
Yano tarafından global çatılandırılan metrik manifoldlar tanımlanmıştır.
1970 yılında Blair, Φ ( X , Y ) = g ( X , φ (Y ) ) olarak temel 2-formu tanımlayarak
çatılandırılan metrik manifoldların normallik şartına ilaveten bazı yeni koşulları
ekleyerek, almost Hermit durumunda Kaehler yapıların ve almost kontakt
durumunda
Sasakian yapıların bir genelleştirilmişi olan S-manifoldları
tanıtmıştır.
1970 yılında Blair, normal çatılandırılan metrik manifold üzerinde dΦ = 0 (yani
temel 2-form kapalı) ise K-manifoldun tanımın yapmıştır. Eğer Φ = dη α ise Kmanifoldun bir S-manifold olduğunu, eğer dη α = 0 olduğunda K-manifoldun bir
C-manifold olduğunu göstermiştir.
1970 yılında Goldberg ve Yano, global çatılandırılan metrik f-manifoldun temel
2-formu Φ = dη α olduğunda almost S-manifoldu tanımlamıştır. 1990 lı yıllarda
İspanyol matematikçiler Cabrerizo, Fernandez, L.M. ve Fernandez, M. Smanifoldlara ait ciddi çalışmalar yapmışlardır. Bunlardan bazıları Cabrerizo
Fernandez, L.M: ve Fernandez, M. (1991,1992, 1993, 1996) dır. 1990 lı yıllarda
yapılan çalışmaların yanı sıra günümüze kadar S-manifoldlar ile ilgili Kobayashi
(1990), Lotta ve Pastore (2004), Dileo ve Lotta (2005), Terlizzi (2006) yazarlarda
çeşitli çalışmalar yapmıştır.
2
1993 yılında Bejancu ve Duggal, ε -Sasakian manifoldların hiperyüzeyleri
üzerinde çalışmıştır. Bu yüksek lisans tezinin orijinal bölümleri bu makaleden
esinlenerek aşağıdaki çalışmalar doğrultusunda hazırlanmıştır.
ε α -almost S-manifoldlar, Indefinite ε α -Almost S-manifoldlar ve
Indefinite
ε α -S-manifoldların tanımı verilerek bunlara ait bazı örnekler yapıldı. ε α -almost
S-manifold ve ε α - S-manifoldların real hiperyüzeyleri ile ilgili bazı teoremler
ispatlandı.
3
2.TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR
2.1.Riemann Manifoldları ve Alt Manifoldlar
2.1.Tanım
M diferensiyellenebilir bir manifold olsun. M üzerindeki diferensiyellenebilir vektör
alanlarının uzayı Γ (TM ) ve M den IR ye C ∞ fonksiyonlarının uzayı C ∞ ( M , IR )
olmak üzere, M üzerinde;
g : Γ (TM ) × Γ (TM ) → C
∞
( M , IR )
şeklinde tanımlanan pozitif, simetrik, bilineer ( 0, 2 ) -tipinden tensör alanı g ’ ye M
üzerinde bir Riemann metriği ve g Riemann metriği ile birlikte M ye bir Riemann
manifoldu denir ve ( M , g ) şeklinde gösterilir [Hacısalihoğlu, 1983].
2.2. Tanım
M diferensiyellenebilir bir manifold olsun. M
vektör
alanlarının
uzayı
Γ (TM )
∀X , Y , Z ∈ Γ(TM) için
∇ : Γ (TM ) × Γ (TM ) → Γ (TM )
( X ,Y )
→ ∇ ( X ,Y ) = ∇ X Y
dönüşümü
(i )
∇ X (Y + Z ) = ∇ X Y + ∇ X Z
olmak
üzerindeki diferensiyellenebilir
üzere.
∀f , g ∈ C ∞ ( M , IR ) ,
4
( ii )
∇ fX + gY Z = f ∇ X Z + g∇Y Z
( iii )
∇ X ( fY ) = f ∇ X Y + X ( f ) Y
özellikleri sağlanıyorsa ∇ ye M manifoldu üzerinde bir afin konneksiyon ve ∇ X e
de X e göre kovaryant türev operatörü denir [Hacısalihoğlu, 1983].
2.3.Tanım
(M , g)
bir Riemann manifoldu ve ∇ da M üzerinde tanımlanan bir afin
koneksiyon olsun. ∀X , Y , Z ∈ Γ(TM) için, ∇ dönüşümü
∇ X Y − ∇Y X = [ X , Y ] (sıfır torsiyon özelliği)
(i )
( ii )
Xg (Y , Z ) = g ( ∇ X Y , Z ) + g (Y , ∇ X Z ) (koneksiyonun metrikle bağdaşması
özelliği)
şartlarını sağlıyorsa, ∇ ya M üzerinde sıfır torsiyonlu Riemann koneksiyon veya
Levi Civita koneksiyon adı verilir.
2.4.Tanım
U bir K cismi üzerinde vektör uzayı ve
[,] : U × U → U
( X ,Y ) → [ X ,Y ]
dönüşümüde
( i ) 2-lineer
( ii ) Anti-Simetrik ( ∀X , Y ∈U
için [ X , Y ] = − [Y , X ] )
5
( iii )
∀X , Y , Z ∈ U için;
⎡⎣ X , [Y , Z ]⎤⎦ + ⎡⎣Y , [ Z , X ]⎤⎦ + ⎡⎣ Z , [ X , Y ]⎤⎦ = 0
şartlarını sağlıyorsa [,] dönüşümüne, U üstünde bir Lie operatörü (Lie parantez
operatörü) denir [Hacısalihoğlu, 1983].
2.1. Teorem
M bir diferensiyelllenebilir manifold olsun. M üzerindeki vektör alanlarının uzayı
Γ (TM ) olsun.
[,] : Γ (TM ) × Γ (TM ) → Γ (TM )
( X ,Y )
→ [ X ,Y ]
dönüşümü ∀f ∈ C ∞ ( M , IR ) için
[ X , Y ] ( f ) = X (Yf ) − Y ( Xf )
şeklinde tanımlanırsa, [,] operatörü Γ (TM ) üzerinde bir Lie operatörüdür [Yano ve
Kon, 1984].
2.5. Tanım
(M , g)
bir Riemann manifoldu olsun. X ∈ Γ (TM ) için LX , keyfi ( s, r ) tipinde
tensör alanını yine ( s, r ) tipinde bir tensör alanına götüren ve aşağıdaki koşulları
sağlayan bir operatör olup X vektör alanına göre Lie türev operatörü olarak
adlandırılır [Yano ve Kon, 1984, Duggal ve Bejancu, 1996].
6
(i )
LX ( f ) = X ( f ) , ∀f ∈ C ∞ ( M , R )
( ii )
LX Y = [ X , Y ] , ∀Y ∈ Γ (TM )
( iii )
LX g (Y , Z ) = X ( g (Y , Z ) ) − g ([ X , Y ] , Z ) − g ([ X , Z ] , Y ) , ∀Y , Z ∈ Γ (TM ) .
2.6.Tanım
(M , g)
bir Riemann manifoldu ve LX , X vektör alanına göre Lie türev operatörü
olsun. Eğer X ∈ Γ (TM ) için
LX g = 0
ise X ’e Killing vektör alanı denir(Yano ve Kon, 1984).
2.7.Tanım
(M , g)
bir Riemann manifoldu olsun. M üzerinde verilen her bir diferensiyel s -
forma bir diferensiyel ( s + 1) -form karşılık getirilen diferensiyel operatörü dış türev
operatörü olarak adlandırılır ve d ile gösterilir. Özel olarak bir 1-form w ve bir 2form Ω için d operatörü
dw ( X , Y ) =
1
X ( w ( Y ) ) − Y ( w ( X ) ) − w ([ X , Y ])
2
{
}
ve
dΩ ( X ,Y , Z ) =
1
X ( Ω ( Y , Z ) ) − Y ( Ω ( X , Z ) ) − Z ( Ω ( X , Y ) ) − Ω ([ X , Y ] , Y ) + Ω ([ X , Z ] , Y )
3
{
}
−Ω ([Y , Z ] , X )
7
olarak tanımlanır [Yano ve Kon, 1984].
(M , g)
bir Riemann manifoldu ve ∇ da M üzerinde bir Riemann konneksiyon
olsun. ∀X , Y , Z ∈ Γ (TM ) için Riemann konneksiyonu,
2 g ( ∇ X Y , Z ) = Xg (Y , Z ) + Yg ( Z , X ) − Zg ( X , Y ) − g ( X , [Y , Z ]) + g (Y , [ Z , X ])
+ g ( Z , [ X , Y ])
( 2.1)
Kozsul formülü ile tek türlü belirtilir [Yano ve Kon, 1984].
2.8. Tanım
M bir Riemann manifoldu ve ∇ , M üzerinde bir Levi-Civita konneksiyonu olsun.
∀X , Y , Z ∈ Γ (TM ) için
R : Γ (TM ) × Γ (TM ) × Γ (TM ) → Γ (TM )
( X ,Y , Z )
→ R ( X , Y ) Z = ∇ X ∇Y Z − ∇Y ∇ X Z − ∇[ X ,Y ] Z
biçiminde tanımlanan R fonksiyonu M üzerinde (1,3) tensör alanıdır. Bu tensör
alanına M nin Riemann eğrilik tensörü denir [Spivak, 1979].
2.2.Teorem
M
bir Riemann manifoldu ve R , M
∀X , Y , Z ∈ Γ (TM ) için
( i ) g ( R ( X , Y ) Z , W ) = − g ( R (Y , X ) Z , W ) ,
( ii )
g ( R ( X , Y ) Z ,W ) = − g ( R ( X , Y )W , Z ) ,
nin Riemann eğrilik tensörü olsun.
8
( iii ) g ( R ( X , Y ) Z ,W ) = g ( R ( Z ,W ) X , Y )
dir [O’Neill, 1983].
2.9.Tanım
(M , g)
bir Riemann manifoldu ve R , ( M , g ) nin Riemann eğrilik tensörü olsun.
∀X , Y , Z ∈ Γ (TM ) için
R ( X , Y ) Z + R ( Z , X ) Y + R (Y , Z ) X = 0
eşitliği I. Bianchi özdeşliği olarak adlandırılır [Yano ve Kon, 1984].
2.10.Tanım
(M , g)
bir Riemann manifoldu, M nin Riemann eğrilik tensörü R
ve ∇ Levi-
Civita konneksiyon olsun. ∀X , Y , Z ∈ Γ (TM )
( ∇ X R )(Y , Z ) + ( ∇Y R )( Z , X ) + ( ∇ Z R )( X , Y ) = 0
eşitliği II. Bianchi Özdeşliği olarak adlandırılır [Yano ve Kon, 1984].
2.11.Tanım
(M , g)
bir Riemann manifoldu olsun. Bir p ∈ M noktasındaki Tp M tanjant
uzayının, X P , YP tanjant vektörleri tarafından gerilen 2-boyutlu bir uzayı ∏ olmak
üzere
9
K (∏) =
(
g R ( X p , Yp ) X p , Yp
)
g ( X p , X p ) g ( Yp , Yp ) − g ( X p , Yp )
2
şeklinde tanımlanan K ( ∏ ) reel sayısına ∏ nin kesit eğriliği denir [Yano ve Kon,
1984].
2.12.Tanım
(M , g)
bir Riemann manifoldu,
{E1 , E2 ,..., En } , Γ (TM )
M
nin Riemann eğrilik tensörü
R
ve
nin bir bazı olsun. Böylece
Q : Γ (TM ) → Γ (TM )
n
X → Q ( X ) = −∑ R ( Ei , X ) Ei
i =1
şeklinde tanımlı Q operatörüne M nin Ricci Operatörü denir. Ayrıca Q yardımı ile
M nin Ricci eğrilik tensörü Ric
Ric : Γ (TM ) × Γ (TM ) → C ∞ ( M , R )
( X , Y ) → Ric ( X , Y ) = g ( Q ( X ) , Y )
biçiminde tanımlanır [Chen, 1973].
2.13. Tanım
(M , g)
bir Riemann manifoldu olsun. ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için
Ric ( X , Y ) = λ g ( X , Y )
10
olacak biçimde M üzerinde bir λ fonksiyonu var ise M ye Einstein manifoldu adı
verilir [Yano ve Kon, 1984].
2.14.Tanım
(M , g)
bir Riemann manifoldu ve
{e1 , e2 ,..., en } ,
Tp M tanjant uzayının bir bazı
olmak üzere M nin skalar eğriliği,
n
τ = ∑ Ric ( ei , ei )
i =1
şeklinde tanımlanır [Chen, 1973].
2.15.Tanım
M ve M birer diferensiyellenebilir manifold ve
ψ:M →M
bir diferensiyellenebilir fonksiyon olsun. Eğer rankψ = boy M ise ψ dönüşümüne
bir immersiyon (daldırma) denir [Hacısalihoğlu, 1983].
2.16. Tanım
M ve M birer C ∞ manifold ve M ⊂ M olsun. Eğer
J:M →M
doğal injeksiyonu bir immersiyon ise M ye M nin bir alt manifoldu denir [Brickell
ve Clark, 1970].
11
2.17.Tanım
M bir C ∞ manifold ve M , M nin bir alt manifoldu olsun. Herhangi bir p ∈ M
noktası için
{
TM ⊥ = V ∈ TP M : g ( X P ,V ) = 0, ∀X P ∈ TP M
}
cümlesi tanımlansın. p ∈ M noktasında ∀ X P ∈ TP M için g ( X P , V ) = 0 koşulunu
sağlayan V vektörüne M nin normal vektörü, V nin birim vektörü olması halinde
de M nin birim normal vektörü denir. M nin her noktasındaki tüm normal
vektörlerini içeren T M
⊥
uzayına da M nin normal demeti adı verilir [Yano ve Kon,
1984].
2.18. Tanım
M n -boyutlu bir altmanifoldu M Riemann manifoldu ve M üzerinde bir Riemann
konneksiyonu ∇ olsun. ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için
∇ X Y = ∇ X Y + h ( X ,Y )
( 2.2 )
biçiminde tanımlanan bağıntıya Gauss formülü adı verilir. Burada ∇ X Y ve h ( X , Y )
sırasıyla ∇ X Y nin teğet ve normal bileşenleridir. Eş ( 2.1.2 ) de tanımlanan ∇ ye M
üzerine indirgenmiş Riemann konneksiyonu ve h ya da M nin ikinci temel formu
denir. Eğer h = 0 ise M ye total geodeziktir denir [Chen, 1973].
2.19.Tanım
M ve M sırasıyla n ve n + d boyutlu Riemann manifoldları olmak üzere, M , M
12
nin alt manifoldu olsun. M nin birim vektör alanı V olsun. ∇ X V nin teğet ve
⊥
normal bileşenleri sırasıyla − AV X ve ∇ X V olmak üzere
(
)
(
AV : Γ T M → Γ T M
)
dönüşümü iyi tanımlıdır. Böylece
⊥
∇ X V = − AV X + ∇ X V
(2.3)
biçiminde tanımlanan bağıntıya Weingarten formülü denir. Burada AV ye M nin
⊥
⊥
şekil operatörü, ∇ ede M nin TM normal demetdeki konneksiyon denir. M nin
şekil operatörü AV ile ikinci temel form h arasında
g ( AV X , Y ) = g ( h ( X , Y ) , V )
bağıntısı vardır. Burada g , M üzerine indirgenmiş Riemann metriğidir [Chen,
1973].
2.20.Tanım
(M , g)
(
)
bir Riemann manifoldu ve M , g , ( M , g ) nin bir alt manifoldu olsun. M
nin ikinci temel tensörü
kn ( X P ) = h ( X P , X P )
reel sayısına M nin X P doğrultusundaki normal eğriliği denir [Hich, 1965].
13
2.21. Tanım
(M , g)
(
)
Riemann manifoldunun bir altmanifoldu M , g olsun.
üzerindeki
Riemann
eğrilik
tensörleri
sırasıyla
R
ve
(M , g)
R
ve ( M , g )
olmak
üzere
∀X , Y , Z , W ∈ Γ (TM ) için
(
)
g ( R ( X , Y ) Z , W ) = g R ( X , Y ) Z , W − g ( h ( X , W ) , h (Y , Z ) ) + g ( h (Y , W ) , h ( X , Z ) )
ile tanımlanan bağıntıya Gauss denklemi denir. Gauss denkleminin normal
bileşeninin alınması ile elde edilen
( R ( X ,Y ) Z )
⊥
(
)
(
)
= ∇ X h ( Y , Z ) − ∇Y h ( X , Z )
bağıntısına Codazzi denklemi denir [Yano ve Kon, 1984].
2.22.Tanım
M , n -boyutlu ve N , ( n − 1) -boyutlu birer C ∞ manifold olsunlar.
f :N →M
fonksiyonu bir immersiyon ise f ( N ) = M manifolduna M nin bir hiperyüzeyi
denir [Hacısalihoğlu, 1984, Brickell ve Clark, 1970].
(M , g)
n -boyutlu bir Riemann manifoldu ve ( M , g ) nin ( n − 1) -boyutlu bir alt
manifoldu
(M , g )
⊥
olsun. Bu durumda
⊥
(M , g)
bir hiperyüzeydir. Eş.(2.1.3) de
belirtilen ∇ X V normal bileşeni için ∇ X V = 0 dır [Kobayashi ve Nomizu, 1969].
14
2.23.Tanım
M nin bir hiperyüzeyi M ve M nin birim normal vektör alanı N verilsin. M de
(
)
Riemann konneksiyonu ∇ olmak üzere ∀X ∈ Γ T M için
AN X = ∇ X N
şeklinde tanımlı, AN dönüşümüne M üzerinde şekil operatörü veya Weingarten
dönüşümü denir [Kobayashi ve Nomizu, 1969].
2.24. Tanım
(M , g)
bir Riemann manifoldunun hiperyüzeyi
( M , g ) ve
M şekil operatörü AN
( M , g ) ve
M şekil operatörü AN
olsun. Bu durumda,
1) AN : Γ (TM ) → Γ (TM ) dir
2 ) AN lineerdir [Hacısalihoğlu, 1983].
2.1. Önerme
(M , g)
bir Riemann manifoldunun hiperyüzeyi
olsun. Bu durumda AN simetriktir [Hacısalihoğlu, 1983].
2.25. Tanım
(M , g)
(
)
bir Riemann manifoldu, M , g ,
şekil operatörü AN olsun.
(M , g)
nin bir hiperyüzeyi ve M nin
15
H :M → R
p → H ( p ) = İzH
şeklinde tanımlı H fonksiyonuna M nin ortalama eğrilik fonksiyonu ve H ( p ) ye
de p ∈ M noktasında M nin ortalama eğriliği denir [Hacısalihoğlu, 1983].
2.2. Yarı Riemann Manifoldları
2.26. Tanım
V bir reel vektör uzayı olsun.
g V : V × V → IR
G G JG
dönüşümü ∀a, b ∈ IR ve ∀u , v, w ∈ V için
(i )
G G
g V u, v = g
( )
G G
V
( v, u )
( ii )
G G JG
G JG
G JG
g V au + bv, w = ag V u , w + b g V v, w
( iii )
G G JG
G G
G JG
g V u, av + bw = ag V u , v + b g V u, w
(
(
)
)
( )
( )
( )
( )
özelliklerine sahip ise g V dönüşümüne V reel vektör uzayı üzerinde bir simetrik
bilineer form denir [O’Neill, 1983].
2.27. Tanım
V reel vektör uzayı üzerinde bir simetrik bilineer form g V olsun.
16
(i )
GG
G
G
∀v ∈ V ve v ≠ 0 için g V v, v > 0 ise g V simetrik bilineer formuna pozitif
( )
(definite) tanımlı,
GG
G
G
( ii ) ∀v ∈ V ve v ≠ 0 için g V v, v < 0 ise g V simetrik bilineer formuna negatif
( )
tanımlı,
( iii )
GG
G
G
∀v ∈ V ve v ≠ 0 için g V v, v ≥ 0 ise g V simetrik bilineer formuna pozitif
( )
yarı(semi-definite) tanımlı,
GG
G
G
( iv ) ∀v ∈ V ve v ≠ 0 için g V v, v ≤ 0 ise g V simetrik bilineer formuna negatif
( )
yarı tanımlı,
G JG
JG
G G
( v ) ∀w ∈ V için g V v, w = 0 iken v = 0 olmak zorunda ise g V simetrik bilineer
( )
formuna non-dejenere, aksi taktirde dejeneredir denir [O’Neill, 1983].
2.28. Tanım
V bir reel vektör uzayı olsun.
g V : V × V → IR
bir simetrik bilineer form olsun.
g W : W × W → IR
negatif tanımlı olacak şekildeki en büyük boyutlu W alt uzayının boyutuna g V
bilineer simetrik formunun indeksi denir ve ν ile gösterilir. W alt uzayı üzerine
indirgenmiş g W simetrik bilineer formuna indirgenmiş simetrik bilineer form adı
verilir ve kısaca g ile gösterilir [O’Neill, 1983].
17
2.29. Tanım
G JG
G JG
G
JG
G
JG
∀v, w ∈ V için v ≠ 0 ve w ≠ 0 iken g V v, w = 0 ise v ve w vektörleri diktir denir
( )
G JG
ve v ⊥ w şeklinde gösterilir [O’Neill, 1983, Duggal ve Bejancu, 1996].
2.30. Tanım
M bir C ∞ manifold olsun. p ∈ M noktasındaki tanjant uzay Tp M olmak üzere
g : Tp M × Tp M → IR
(X
p
, Yp ) → g ( X p , Yp )
biçiminde tanımlı sabit indeksli, simetrik, bilineer ve non-dejenere ( 0, 2 ) tipindeki
tensörüne M üzerinde bir metrik tensör denir [O’Neill, 1983].
2.31. Tanım
Bir M yarı-Riemann manifoldu üzerinde g metrik tensörünün indeksine yarıRiemann manifoldunun indeksi denir ve indM ile gösterilir [O’Neill, 1983].
2.32. Tanım
M bir diferensiyellenebilir yarı-Riemann manifoldu ve g , M üzerinde tanımlanan
bir metrik tensör olsun. Eğer ∀p ∈ M ve X p ∈ Tp M için
g : Tp M × T p M → R
olmak üzere
18
( i ) g ( X p , X p ) >0 veya
X p = 0 ise X p vektörüne spacelike,
( ii )
g ( X p , X p ) <0 ise X p vektörüne timelike,
( iii )
g ( X p , X p ) = 0 , X p ≠ 0 vektörüne lightlike veya null denir [O’Neill, 1983].
2.3.Almost Kompleks ve Almost Kontak Manifoldlar
2.33. Tanım
M bir diferensiyellenebilir reel manifold olsun. M nin her q noktasındaki Tq M
tanjant uzayı üzerinde tanımlı bir
J : Tq M → Tq M
lineer dönüşümü
J 2 = −I
koşulunu sağlıyor ise J ye M üzerinde almost kompleks yapı, M manifolduna da
almost kompleks manifold denir. Her almost kompleks manifold çift boyutludur
[Yano ve Kon, 1984].
2.34.Tanım
M bir almost kompleks manifold ve M üzerinde almost kompleks yapı J olsun.
g , M üzerinde bir Riemann metrik olmak üzere ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için
g ( J ( X ) , J (Y ) ) = g ( X , Y )
19
özellikleri sağlanıyor ise g ye M üzerinde Hermit metrik denir. M manifolduna da
almost Hermityan manifold denir [Yano ve Kon, 1984].
2.35. Tanım
M bir ( 2n + 1) boyutlu manifold, φ , ξ ve η da M üzerinde sırasıyla, (1,1) tipinde
tensör alanı, bir vektör alanı ve bir 1-form olsun. Eğer φ , ξ ,η için, M üzerinde
herhangi bir vektör alanı X olmak üzere;
η (ξ ) = 1 ve φ 2 ( X ) = − X + η ( X ) ξ
(2.4)
özellikleri sağlanıyorsa o zaman (φ , ξ ,η ) ya M üzerinde bir almost kontakt yapı ve
M manifolduna da almost kontakt manifold denir [Yano ve Kon, 1984].
2.1. Örnek
IR 3 de standart koordinatlar ( x, y, z ) olmak üzere IR 3 üzerinde
η=
1
( dz − ydx )
2
1-formu, ξ vektör alanı,
⎛∂ ⎞
ξ = 2 ⎜ ⎟ ∈ χ ( IR 3 )
⎝ ∂z ⎠
φ lineer dönüşümü,
φ : χ ( IR 3 ) → χ ( IR 3 )
20
( x, y , z ) → φ ( x, y , z ) = ( y , − x, y 2 )
olsun. φ lineer dönüşümüne karşılık gelen matris,
⎛ 0 1 0⎞
φ = ⎜⎜ −1 0 0 ⎟⎟
⎜ 0 y 0⎟
⎝
⎠
dır.
1
∂
( dz − ydx ) ⎛⎜ 2 ⎞⎟ =1
2
⎝ dz ⎠
η (ξ ) =
olur. Ayrıca
X = x1
∂
∂
∂
+ x2 + x3 ∈ χ ( IR 3 ) : X = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ IR 3
∂x
∂y
∂z
olmak üzere
η(X )=
=
1
( dz − ydx )
2
⎛ ∂
∂
∂ ⎞
⎜ x1 + x2 + x3 ⎟
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
1
( x3 − yx1 )
2
dır. ξ vektör alanına karşılık gelen matris
⎡o ⎤
ξ = ⎢⎢o ⎥⎥
⎢⎣ 2 ⎥⎦
21
ve X ∈ χ ( IR
3
)
⎡ x1 ⎤
in matris formu X = ⎢⎢ x2 ⎥⎥ olduğundan
⎢⎣ x3 ⎥⎦
⎛ 0 1 0 ⎞ ⎛ 0 1 0 ⎞ ⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟
φ ( X ) = φ (φ ( X ) ) = ⎜⎜ −1 0 0 ⎟⎟ ⎜⎜ −1 0 0 ⎟⎟ ⎜ x2 ⎟
⎜ 0 y 0⎟⎜ 0 y 0⎟⎜ x ⎟
⎝
⎠⎝
⎠⎝ 3 ⎠
2
⎛ −1 0 0 ⎞ ⎛ x1 ⎞
⎜
⎟⎜ ⎟
= ⎜ 0 −1 0 ⎟ ⎜ x2 ⎟
⎜ −y 0 0⎟⎜ x ⎟
⎝
⎠⎝ 3 ⎠
⎛ −1 0 0 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 0 0 ⎞ ⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
φ 2 ( X ) = ⎜⎜ 0 −1 0 ⎟⎟ ⎜ x2 ⎟ + ⎜⎜ 0 0 0 ⎟⎟ ⎜ x2 ⎟
⎜ 0 0 −1⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ − y 0 −1⎟ ⎜ x ⎟
⎝
⎠⎝ 3 ⎠ ⎝
⎠⎝ 3 ⎠
⎡0
⎤
⎢
⎥
= − I 3 ( X ) + ⎢0
⎥
⎢⎣ − yx1 + x3 ⎥⎦
⎛0⎞
⎜ ⎟
= − X + ( x3 − yx1 ) ⎜ 0 ⎟
⎜1 ⎟
⎝ ⎠
⎛0⎞
1
⎜ ⎟
= − X + ( x3 − yx1 ) ⎜ 0 ⎟
2
⎜ 2⎟
⎝ ⎠
= − X +η ( X )ξ
dir. Böylece ( IR 3 , φ , ξ ,η ) dörtlüsü bir almost kontakt manifoltdur.
2.36. Tanım
( 2n + 1) -boyutlu bir almost kontakt manifold
ξ ∈ χ ( M ) için
M olsun. ∀X , Y ∈ χ ( M ) ve
22
η ( X ) = g ( X ,ξ )
(2.5)
ve
g (φ ( X ) , φ (Y ) ) = g ( X , Y ) − η ( X )η (Y )
koşullarını sağlayan bir g Riemann metriği
(2.6)
(φ , ξ ,η , g )
dörtlüsüne bir almost kontakt
metrik yapı, ( M , φ , ξ ,η , g ) beşlisine de bir almost kontakt metrik manifold denir
[Yano ve Kon, 1984].
2.3. Teorem
M bir almost kontakt metrik manifold olsun. ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
g (φ ( X ) , φ (Y ) ) = g ( X , Y ) − η ( X )η (Y )
olacak şekilde bir g Riemann metriği daima vardır [Blair, 1976].
2.37. Tanım
M
( 2n + 1) -boyutlu bir manifold, η
da M üzerinde bir 1-form olsun. Eğer,
η ∧ ( dη ) ≠ 0
n
koşulunu sağlıyor ise M ye bir kontakt yapıya sahiptir denir. M manifolduna da,
kontakt manifold denir [Yano ve Kon, 1984].
23
2.4.Teorem
( M , φ , ξ ,η )
bir almost kontakt manifold olsun. X , ξ ∈ χ ( M ) , X ≠ ξ ve
φ : χ (M ) → χ (M )
için
( i ) φ (ξ ) = 0 , ( ii ) η D φ = 0 , ( iii )
rankφ = 2n
(2.7)
dir (Yano ve Kon, 1984).
2.38. Tanım
M bir almost kontakt metrik manifold olsun. ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
Φ ( X , Y ) = − g ( X , φ (Y ) ) = dη ( X , Y )
(2.8)
şeklinde tanımlı Φ dönüşümüne (φ , ξ ,η , g ) almost kontak metrik yapının II . temel
formu denir. Burada η kontak formu için yazılan η ∧ ( dη ) ≠ 0 koşulu η ∧ ( Φ ) ≠ 0
n
halini alır [Yano ve Kon, 1984].
2.39. Tanım
( 2n + 1) -boyutlu bir almost kontakt metrik manifold
dη ( X , Y ) = g ( X , φ (Y ) ) = Φ ( X , Y )
M olsun. Eğer,
n
24
oluyorsa
(φ , ξ ,η , g )
dörtlüsüne almost kontakt metrik yapı ve
( M , φ , ξ ,η , g )
beşlisine almost kontakt metrik manifold denir [Yano ve Kon, 1984].
Sonuç
Her almost kontakt metrik manifold aynı zamanda kontakt manifolddur [Yano ve
Kon, 1984].
2.5. Teorem
M bir almost kontakt metrik manifold olsun. ∇ , M üzerinde bir konneksiyon olmak
üzere ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
dη ( X , Y ) = g ( X , φ (Y ) ) =
1
{ g ( ∇ X ξ , Y ) − g ( ∇Y ξ , X )}
2
(2.9)
dır. (Yano ve Kon, 1984).
2.6. Teorem
( 2n + 1) -boyutlu bir almost kontakt metrik manifold
M olsun. ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
dη ( X , ξ ) = 0
(2.10)
ve
dη (φ ( X ) , Y ) + dη ( X , φ (Y ) ) = 0
dir [Yano ve Kon, 1984].
(2.11)
25
( 2n + 1) -boyutlu
bir almost kontakt manifold M ve M üzerinde almost kontakt
yapı (φ , ξ ,η ) olsun. Reel doğruyu IR ile gösterilirse M × IR manifoldu ( 2n + 2 )
boyutlu bir çarpım manifoldu olur. Burada X , M × IR üzerinde herhangi bir vektör
alanı, t , IR nin bir koordinatı ve f de M × IR üzerinde tanımlı diferensiyellenebilir
bir fonksiyon, J M × IR üzerinde bir almost kompleks yapıyı veren M × IR nin
tanjant uzayındaki bir J lineer dönüşümü;
J : χ ( M × IR ) → χ ( M × IR )
d ⎞
d ⎞
d ⎞ ⎛
d⎞
⎛
⎛
⎛
⎜ X , f ⎟ → J ⎜ X , f ⎟ = J ⎜ X , f ⎟ = ⎜ φ ( X ) − f ξ ,η ( X ) ⎟
dt ⎠
dt ⎠
dt ⎠ ⎝
dt ⎠
⎝
⎝
⎝
(2.12)
şeklinde tanımlıdır.
2.40. Tanım
M bir diferensiyellenebilir manifold ve φ , M üzerinde bir (1,1) tipinde bir tensör
alanı olmak üzere, ∀X , Y ∈ χ ( M ) için
Nφ ( X , Y ) = φ 2 [ X , Y ] + ⎡⎣φ ( X ) , φ (Y ) ⎤⎦ − φ ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ − φ ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦
şeklinde tanımlanan (1, 2 ) tipindeki tensör alanına φ nin Nijenhuis tensör alanı denir
[Yano ve Kon, 1984].
2.41. Tanım
Bir almost kompleks metrik manifold M , M üzerindeki almost kompleks yapı J
olsun. J nin Nijenhuis tensör alanı N J olmak üzere N J = 0 ise J dönüşümüne
integrallenebilirdir denir [Yano ve Kon, 1984].
26
2.42. Tanım
Bir ( 2n + 1) -boyutlu almost kontakt manifold M ve (φ , ξ ,η ) de M üzerinde almost
kontakt yapı olsun. Reel doğru IR olmak üzere
M × IR çarpım manifoldu göz
önüne alınsın. Eğer M × IR üzerindeki (2.3.9) ile verilen almost kompleks yapısı
integrallenebilir ise (φ , ξ ,η ) almost kontakt yapısı normaldir denir [Yano ve Kon,
1984].
2.43.Tanım
Bir ( 2n + 1) -boyutlu almost kontakt manifold M olsun. M × IR çarpım manifoldu
üzerindeki operatörü
[,] : χ ( M × R ) × χ ( M × R ) → χ ( M × R )
⎛⎛
d⎞ ⎛
d ⎞ ⎞ ⎡⎛
d ⎞ ⎛
d ⎞⎤ ⎛
d ⎞
⎜ ⎜ X , f dt ⎟ , ⎜ Y , g dt ⎟ ⎟ → ⎢⎜ X , f dt ⎟ , ⎜ Y , g dt ⎟ ⎥ = ⎜ [ X , Y ] , ( X ( g ) − Y ( f ) ) dt ⎟
⎠ ⎝
⎠ ⎠ ⎣⎝
⎠ ⎝
⎠⎦ ⎝
⎠
⎝⎝
şeklinde tanımlanan operatör
( i ) Anti-Simetriktir,
( ii )
Jacobi özdeşliğini sağlar,
Bu şekilde tanımlanan bu operatöre Lie braketi denir (Blair, 2002).
2.44. Tanım
( 2n + 1) -boyutlu
bir almost kontakt manifold M olsun. N J ( ( X , 0 ) , (Y , 0 ) ) ve
⎛
⎛ d ⎞⎞
N J ⎜ ( X , 0 ) , ⎜ 0, ⎟ ⎟ değerleri sırasıyla hesaplanarak
⎝ dt ⎠ ⎠
⎝
27
N 1 ( X , Y ) = Nφ ( X , Y ) + 2dη ( X , Y ) ξ
(
) (
(2.13)
)
N 2 ( X , Y ) = Lφ ( X )η Y − Lφ (Y )η X
(2.14)
N 3 ( X ) = ⎡⎣ξ , φ ( X ) ⎤⎦ − φ [ X , ξ ]
(2.15)
N 4 ( X ) = ξη ( X ) − η [ X , ξ ]
(2.16)
eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerle N 1 , N 2 , N 3 ve N 4 tensörleri tanımlanır.
2.7. Teorem
( 2n + 1) -boyutlu
bir almost kontakt manifold M
olsun. Bu yapının normal
olabilmesi için gerek ve yeter şart N 1 , N 2 , N 3 ve N 4 tensörlerinin sıfır olmasıdır
[Yano ve Kon, 1984].
3.8. Teorem
( 2n + 1) -boyutlu bir almost kontakt manifold
M olsun. Şayet N 1 = 0 ise
N 2 = N 3 = N 4 = 0 dır (Yano ve Kon, 1984).
2.45. Tanım
( 2n + 1) -boyutlu bir almost kontakt metrik manifold
M olsun. Eğer M nin kontakt
yapısı normal ise M bir Sasaki yapıya ya da normal kontakt metrik yapıya sahiptir
denir. Sasaki yapıya sahip M
( M ,φ , g , ξ )
manifolduna ise Sasakian manifold denir ve
ile gösterilir [Yano ve Kon, 1984].
2.46. Tanım
( M ,φ , g, ξ )
bir Sasakian manifold ve
28
D = { X : g ( X , ξ ) = 0}
olsun. Eğer X , Y , Z ,W ∈ χ ( D ) için
φ 2 ( ( DW R )( X , Y ) Z ) = 0
(2.17)
oluyor ise ( M , φ , g , ξ ) ye lokal φ -simetrik Sasakian manifold denir. Burada R M
nin eğrilik tensör alanıdır [De Shaikh ve Biswas, 2003].
29
3. ALMOST S-MANİFOLDLAR
3.1. f-Yapı
3.1. Tanım
(2n+s) boyutlu bir C ∞ manifold M olsun.M’ nin tanjant demeti TM olmak üzere
f 3 + f =0,
rankf = 2n
(3.1)
koşulunu sağlayan (1,1) tipindeki diferensiyellenebilir , f tensör alanına f -yapı ve
üzerinde bir f -yapı tanımlı M manifolduna da f -manifold denir [Goldberg ve
Yano, 1970]. s=0 ise f -yapı almost kompleks yapıdır. s=1 ise f -yapı almost
kontakt yapıdır. f -yapının almost kontakt yapı olması durumunda M manifoldu
yönlendirilebilirdir.
(i ) P = − f 2 ,
(ii ) Q = f + I
2
(3.2)
ile tanımlanan iki bütünleyen izdüşüm operatörlerine karşılık sırasıyla D ve D ⊥
bütünleyen dağılımlar vardır. Burada boy( D )= 2n ve boy( D ⊥ )= s ’dir.
3.1. Lemma
(2n+s) boyutlu bir diferensiyellenebilir manifold M olsun. φ , M üzerinde bir f yapı, P ve Q ise Eş. 3.2 ile tanımlı bütünleyen izdüşüm fonksiyonları olmak üzere
(i ) φ P = Pφ = φ (ii ) φ Q = Qφ = 0 (iii ) φ 2 P = − P (iv) φ 2Q = 0
(3.3)
dir [Ishihara ve Yano, 1964].
Eş.3.3 koşulunu sağlayan P ve Q izdüşüm fonksiyonları yardımı ile M’ nin tanjant
demeti TM, biri 2n diğeri s boyutlu olan iki dağılımın direkt toplamı olarak yazılır.
30
Yani;
TM = D ⊕ D ⊥ ,
D ∩ D ⊥ = {0}
(3.4)
dir.
3.2. Tanım
(2n+s) boyutlu bir diferensiyellenebilir manifold M olsun. Eğer M üzerinde, s -tane
ξα vektör alanları ve s -tane η α 1-formları olmak üzere
s
φ 2 = − I + ∑η α ⊗ ξα ,
α =1
η α (ξ β ) = δαβ
olacak şekilde (1,1) tipinden bir
(3.5)
φ tensör alanı var ise M’ ye bir global
çatılandırılan manifold ya da kısaca çatılandırılan manifold denir ve ( M , φ , ξα ,η α )
ile gösterilir [Goldberg ve Yano, 1970].
3.2. Lemma
( M ,φ ,ξ
α
,η α ) bir çatılandırılan manifold olsun. Bu durumda
(i ) φ (ξα ) = 0 ,
dir.
İspat
( ii ) η α D φ = 0 ,
( iii )
rankφ = 2n
(3.6)
31
s
( i ) φ 2 (ξα ) = −ξα + ∑η β (ξα ) ξ β
β =1
= −ξα + δαβ ξα
=0
bulunur. Buradan
φ (ξα ) = −φ 3 (ξα )
= −φ (φ 2 (ξα ) )
= −φ ( 0 )
=0
elde edilir.
( ii )
∀V ∈ Γ(TM ) için Eş. 3.1 ve Eş. 3.5 kullanırsak
⎛
s
⎞
⎝
α =1
⎠
φ 3 (V ) = φ (φ 2 (V ) ) = φ ⎜ −V + ∑η α (V )ξα ⎟
s
= −φ (V ) + ∑η α (V ) φ (ξα )
α =1
= −φ (V )
bulunur. Diğer taraftan Eş. 3.5 den
s
φ 2 (φ (V ) ) = −φ (V ) + ∑η α (φ (V ) ) ξα
α =1
s
φ 3 (V ) = φ 3 (V ) + ∑η α (φ (V ) )ξα
α =1
s
η α (φ (V ) )ξα = 0
∑
α
=1
32
ηα Dφ = 0
elde edilir.
( iii )
φ lineer bir dönüşüm olduğundan
rankφ + boyçekφ = boyΓ ( TM )
dir. V ∈ çekφ olmak üzere φ (V ) = 0 dır. Buradan
φ 2 (V ) = φ (φ (V ) ) = φ ( 0 ) = 0
olur. Ayrıca Eş. 3.5 kullanılırsa
s
V = ∑η α (V ) ξα
α =1
bulunur. Her iki tarafın φ altında görüntüsü alınırsa
s
φ (V ) = ∑η α (V ) φ (ξα )
α =1
olup
φ (V ) = 0
dır. O halde her bir α için
ξα ∈ çekφ ,
1 ≤ α ≤ s için
33
ξα lineer bağımsız olup
çekφ = Sp {ξ1 ,..., ξ s }
dir. Buradan boyçekφ = s dir. Bu durumda
rankφ = boyΓ (TM ) − boyçekφ
= 2n
dir.
3.3. Lemma
φ ’ nin Im φ ’ye kısıtlanması Im φ üzerinde bir almost kompleks yapı belirler.
İspat
Herhangi bir φ (V ) ∈ Im φ için Eş. 3.5 ve Eş. 3.6 eşitlikleri kullanılarak;
s
φ 2 Imφ (φ (V ) ) = −φ (V ) + ∑η α (φ (V ) ) ξα = −φ (V )
α =1
bulunur. Buradan
φ 2 Imφ = − I
dır. O halde φImφ dönüşümü Im φ üzerinde bir almost kompleks yapıdır.
Sonuç
( Im φ ,φ
2
Im φ
) bir almost kompleks manifoltdur.
34
3.3.Tanım
( M ,φ , ξ
α
,η α ) çatılandırılan manifold olsun. φ ’nin Nijenhuis tensör alanı Nφ olmak
üzere
s
Sφ = Nφ + 2∑ dη α ⊗ ξα
(3.7)
α =1
ile belirtilen (1,2) tipindeki Sφ tensör alanına torsiyon tensör alanı denir.
Burada Nφ , Nijenhuis tensör alanı ∀V , W ∈ Γ (TM ) için
Nφ (V , W ) = φ 2 [V , W ] + [φV , φW ] − φ [φV , W ] − φ [V , φW ]
(3.8)
eşitliği ile tanımlıdır.
3.4. Lemma
M, (2n+s) boyutlu bir diferensiyellenebilir manifold ve M üzerinde f -yapı φ olsun.
φ ’ye karşılık gelen matris
⎡[ 0]n×n
⎢
φ = ⎢ In
⎢[ 0 ]
⎣ s× n
−In
[ 0]n×n
[ yi ]s×n
[0]n×s ⎤
[0]n×s ⎥⎥
[ 0]s×s ⎥⎦ ( 2 n+ s )×( 2 n+ s )
dir [Ishihara ve Yano, 1964].
35
3.5. Lemma
( M ,φ , ξ
α
,η α ) çatılandırılan manifold olsun. M üzerinde ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için
s
g (φ X , φY ) = g ( X , Y ) − ∑η α ( X )η α (Y )
(3.9)
α =1
g ( X , ξα ) = η α ( X )
(3.10)
koşullarını sağlayan bir g Riemann metriği vardır [Yano ve Kon, 1984].
3.6.Lemma
( M ,φ , ξ
α
,η α ) çatılandırılan manifold üzerindeki g Riemann metriği
g (φ X , Y ) + g ( X , φ Y ) = 0
(3.11)
koşulunu sağlar, yani φ anti-simetriktir.
İspat
Eş. 3.9 ve Eş. 3.6’dan
s
g (φ X , Y ) = g (φ 2 X , φY ) + ∑η α (φ X )η α (Y )
α =1
s
⎛
⎞
= g ⎜ − X + ∑η α ( X ) ξα , φY ⎟
α =1
⎝
⎠
= − g ( X , φY )
dir.
36
Sonuç
( M ,φ , ξ
α
,η α ) bir çatılandırılan manifold olsun. Eş. 3.9 ve Eş. 3.10 koşullarını
sağlayan keyfi bir Riemann metriği her zaman bulunabilir [Duggal ve Bejancu,
1996].
3.4.Tanım
( M ,φ , ξ
α
,η α ) çatılandırılan manifoldu üzerinde Eş.3.9 ve Eş.3.10 şartlarını sağlayan
bir g Riemann metriğiyle birlikte
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) ye bir çatılandırılan metrik
manifold denir.
3.5. Tanım
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) bir çatılandırılan metrik manifold olsun. M üzerinde Φ , temel 2-
formu ∀ X , Y ∈ Γ (TM ) için;
Φ ( X , Y ) = g ( X , φY )
ile tanımlıdır [Yano ve Kon, 1984].
Sonuç
∀ V ∈ Γ (TM ) ve ∀α ∈ {1,..., s} için Φ ( X , ξα ) = 0 dır.
İspat:
Eş. 3.12 de Y = ξα alınır ve Eş. 3.6 kullanılırsa
(3.12)
37
Φ ( X , ξα ) = g ( X , φξα ) = 0 bulunur.
3.2.Torsiyon Tensörü
( 2n + s ) -boyutlu bir çatılandırılan metrik manifold
( 2n + 2s ) -boyutlu bir çarpım manifolddur. IR s
⎧
s
χ ( IR s ) = ⎨∑ fα
⎩ α =1
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) olsun. M × IR s
üzerindeki vektör alanları
⎫
∂
: fα ∈ C ∞ ( IR s , IR ) ,1 ≤ α ≤ s ⎬
∂tα
⎭
şeklindedir.
⎛
∂
∂ ⎞
s
2n + s
’de bir
,..., f s
⎜ X , f1
⎟ ile M × IR ’deki vektör alanlarıdır. Burada X , M
∂t1
∂ts ⎠
⎝
vektör alanı, ( t1 ,..., ts ) ile IR s ’de koordinat düzlemini, fα ’lar IR s üzerindeki C ∞
fonksiyonlarıdır. Ayrıca IR s üzerinde almost kompleks yapı J ’yi;
J : χ ( M × IR s ) → χ ( M × IR s )
s
s
s
s
⎛
⎛
∂ ⎞
∂ ⎞ ⎛
∂ ⎞
α
⎜ X , ∑ fα
⎟ → J ⎜ X , ∑ fα
⎟ = ⎜ φ X − ∑ fα ξα , ∑η ( X )
⎟
∂tα ⎠
α =1
α =1
⎝ α =1 ∂tα ⎠
⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝
olarak tanımlanır.
3.1. Lemma
J dönüşümü
( i ) Lineerdir
( ii )
J 2 = −I
(3.13)
38
dir.
İspat
(i )
s
s
⎛
∂ ⎞ ⎛
∂ ⎞
s
∀ ⎜ X , ∑ fα
,
Y
,
⎟ ⎜ ∑ gα
⎟ ∈ χ ( M × IR ) ve λ , µ ∈ IR için
∂
∂
t
t
α =1
α ⎠ ⎝
α ⎠
⎝ α =1
s
s
⎛ ⎛
⎛
∂ ⎞
∂ ⎞⎞
J ⎜⎜ λ ⎜ X , ∑ fα
⎟ + µ ⎜ Y , ∑ gα
⎟ ⎟⎟
⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎠
⎝ ⎝ α =1 ∂tα ⎠
s
⎛
∂ ⎞
= J ⎜ ( λ X + µY ) , ∑ ( λ fα + µ gα )
⎟
∂tα ⎠
α =1
⎝
s
⎛
= ⎜ φ ( λ X + µY ) − ∑ ( λ fα + µ gα ) ξα ,
α =1
⎝
s
∂ ⎞
⎟
α ⎠
η α ( λ X + µY )
∑
∂t
α
=1
s
s
s
⎛ s
⎞ ∂ ⎞
⎛
= ⎜ λφ ( X ) + µφ (Y ) − λ ∑ fα ξα − µ ∑ gα ξα , ⎜ λ ∑η α ( X ) + µ ∑η α (Y ) ⎟
⎟
α =1
α =1
α =1
⎝
⎝ α =1
⎠ ∂tα ⎠
s
s
s
s
⎛
⎛
∂ ⎞
∂ ⎞
α
= λ ⎜ φ ( X ) − ∑ fα ξα , ∑η α ( X )
⎟
⎟ + µ ⎜ φ (Y ) − ∑ gα ξα , ∑η (Y )
∂tα ⎠
∂tα ⎠
α =1
α =1
α =1
α =1
⎝
⎝
s
s
⎛
⎛
∂ ⎞
∂ ⎞
= λ J ⎜ X , ∑ fα
+
µ
J
Y
,
⎟
⎜ ∑ gα
⎟
⎝ α =1 ∂tα ⎠
⎝ α =1 ∂tα ⎠
olur. Böylece J nin lineer olduğu görülür.
( ii )
s
⎛
∂ ⎞
s
∀ ⎜ X , ∑ fα
⎟ ∈ χ ( M × IR ) için
⎝ α =1 ∂tα ⎠
s
⎛
∂
J 2 ⎜ X , ∑ fα
⎝ α =1 ∂tα
s
s
⎞
⎛
∂ ⎞
α
=
J
φ
X
−
f
ξ
,
⎟
⎜
⎟
∑
α α ∑η ( X )
∂tα ⎠
α =1
α =1
⎠
⎝
s
⎛ ⎛
∂ ⎞ s α
= ⎜⎜ φ ⎜ φ ( X ) − ∑ fα
⎟ − ∑η ( X ) ξα ,
∂tα ⎠ α =1
α =1
⎝ ⎝
39
s
⎛
s
α =1
⎝
α =1
⎞ ∂ ⎞
⎟
⎠ ∂tα ⎠
∑η α ⎜ φ ( X ) − ∑ fα ξα ⎟
s
s
⎛
∂ ⎞
= ⎜ φ 2 ( X ) − ∑η α ( X ) ξα , −∑ fα
⎟
∂tα ⎠
α =1
α =1
⎝
s
⎛
∂ ⎞
= ⎜ − X , − ∑ fα
⎟
∂tα ⎠
α =1
⎝
s
⎛
∂ ⎞
= − ⎜ X , ∑ fα
⎟
⎝ α =1 ∂tα ⎠
elde edilir. Buradan
J 2 = −I
bulunur. O halde J , M × IR s üzerinde bir kompleks yapıdır.
3.8.Lemma
( 2n + s ) -boyutlu
bir çatılandırılan metrik manifold
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) olsun. Bu
durumda ( M × IR s , J ) bir almost kompleks manifolddur.
3.6. Tanım
( 2n + s ) -boyutlu
bir çatılandırılan manifold
( M ,φ , ξ
α
,η α ) olsun.
( M × IR , J )
s
bir
almost kompleks manifold olsun. Almost kompleks yapı J nin Nijenhuis tensörü
s
s
⎛
∂ ⎞ ⎛
∂ ⎞
s
Eş. 3.8 den ∀ ⎜ X , ∑ fα
,
Y
,
⎟ ⎜ ∑ gα
⎟ ∈ χ ( M , IR ) için
⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠
s
s
s
s
⎛⎛
⎛
∂ ⎞ ⎛
∂ ⎞⎞
∂ ⎞ ⎛
∂ ⎞⎞
2 ⎛
N J ⎜⎜ ⎜ X , ∑ fα
,
Y
,
g
=
J
X
,
f
,
Y
,
⎟
⎜
⎟ ⎜ ∑ α
⎟⎟
⎜ ∑ α
⎟ ⎜ ∑ gα
⎟ ⎟⎟
⎜
⎝ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎠
⎝ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎠
40
s
s
⎛ ⎛
∂ ⎞ ⎛
∂ ⎞⎞
+ ⎜⎜ J ⎜ X , ∑ fα
⎟ , J ⎜ Y , ∑ gα
⎟ ⎟⎟
⎝ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎠
s
⎛ ⎛
∂
− J ⎜⎜ J ⎜ X , ∑ fα
⎝ ⎝ α =1 ∂tα
s
⎞ ⎛
∂ ⎞⎞
,
Y
,
⎟ ⎜ ∑ gα
⎟ ⎟⎟
⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎠
s
s
⎛⎛
∂ ⎞ ⎛
∂ ⎞⎞
,
J
Y
,
− J ⎜⎜ ⎜ X , ∑ fα
⎟ ⎜ ∑ gα
⎟ ⎟⎟
⎝ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎠
dir.
3.7. Tanım
( M × IR , J ) bir almost kompleks manifold olsun. M × IR
s
s
üzerinde
[,] : χ ( M × IR s ) × χ ( M × IR s ) → χ ( M × IR s )
s
s
s
s
⎛⎛
⎡⎛
∂ ⎞ ⎛
∂ ⎞⎞
∂ ⎞ ⎛
∂ ⎞⎤
X
,
f
,
Y
,
g
X
,
f
,
Y
,
→
⎜⎜ ⎜ ∑ α
⎢⎜ ∑ α
⎟ ⎜ ∑ fα
⎟⎥
⎟ ⎜ ∑ α
⎟ ⎟⎟
⎣⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎦
⎝ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎠
olmak üzere
s
s
s
⎡⎛
∂ ⎞ ⎛
∂ ⎞⎤ ⎛
∂ ⎞
⎢ ⎜ X , ∑ fα
⎟ , ⎜ Y , ∑ fα
⎟ ⎥ = ⎜ [ X , Y ] , ∑ ( X ( gα ) − Y ( f α ) )
⎟
∂tα ⎠
α =1
⎣⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎦ ⎝
şeklinde tanımlanan operatöre braklet operatörü denir.
3.9. Lemma:
Eş. 3.14 ile tanımlı [,] operatör
( i ) Anti-simetriktir,
(3.14)
41
( ii )
Jacobi özdeşliğini sağlar.
İspat
⎛
s
⎝
α =1
( i ) ∀ ⎜ X , ∑ fα
s
⎡⎛
∂
X
,
⎢ ⎜ ∑ fα
⎣⎝ α =1 ∂tα
s
∂ ⎞ ⎛
∂ ⎞
s
⎟ , ⎜ Y , ∑ gα
⎟ ∈ χ ( M × IR ) için
∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠
s
s
⎞ ⎛
∂ ⎞
∂ ⎞⎤ ⎛
=
,
Y
,
g
X
,
Y
,
X ( gα ) − Y ( f α ) )
[
]
(
⎟
⎟ ⎜ ∑ α
⎟⎥ ⎜
∑
∂tα ⎠
α =1
⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎦ ⎝
s
⎛
⎞
= − ⎜ [Y , X ] , ∑ (Y ( fα ) − X ( gα ) ) ⎟
α =1
⎝
⎠
s
s
⎡⎛
∂ ⎞ ⎛
∂ ⎞⎤
= − ⎢ ⎜ Y , ∑ gα
⎟ , ⎜ X , ∑ fα
⎟⎥
⎣⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎦
elde edilir. Böylece [,] öperatörü
s
⎛
∂
∀
=
ii
A
X
,
( )
⎜ ∑ fα
⎝ α =1 ∂tα
s
s
⎞
⎛
⎛
∂ ⎞
∂ ⎞
s
=
=
,
B
Y
,
g
,
C
Z
,
⎟
⎜ ∑ α
⎟
⎜ ∑ hα
⎟ ∈ χ ( M × IR ) için
⎠
⎝ α =1 ∂tα ⎠
⎝ α =1 ∂tα ⎠
s
⎡⎛
∂
⎡⎣ A, [ B, C ]⎤⎦ = ⎢⎜ X , ∑ fα
⎢⎣⎝ α =1 ∂tα
s
s
⎞ ⎡⎛
∂ ⎞ ⎛
∂ ⎞⎤ ⎤
,
Y
,
g
,
Z
,
⎟ ⎢⎜ ∑ α
⎟ ⎜ ∑ hα
⎟⎥ ⎥
⎠ ⎣⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎦ ⎥⎦
s
⎛
∂ ⎞
= ⎜ ⎡⎣ X , [Y , Z ]⎤⎦ , ∑ ( XY ( hα ) − XZ ( gα ) − [Y , Z ] ( fα ) )
⎟
∂tα ⎠
α =1
⎝
s
s
s
⎡⎛
∂ ⎞ ⎡⎛
∂ ⎞ ⎛
∂ ⎞⎤ ⎤
⎡⎣ B, [C , A]⎤⎦ = ⎢⎜ Y , ∑ gα
⎟ , ⎢⎜ Z , ∑ hα
⎟ , ⎜ X , ∑ fα
⎟⎥ ⎥
⎣⎢⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎣⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎦ ⎦⎥
s
⎛
∂ ⎞
= ⎜ ⎡⎣Y , [ Z , X ]⎤⎦ , ∑ (YZ ( fα ) − YX ( hα ) − [ Z , X ] ( gα ) )
⎟
∂tα ⎠
α =1
⎝
42
s
s
s
⎡⎛
∂ ⎞ ⎡⎛
∂ ⎞ ⎛
∂ ⎞⎤ ⎤
⎡⎣C , [ A, B ]⎤⎦ = ⎢⎜ Z , ∑ hα
⎟ , ⎢ ⎜ X , ∑ fα
⎟ , ⎜ Y , ∑ gα
⎟⎥ ⎥
⎣⎢⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎣⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎦ ⎦⎥
s
⎛
∂ ⎞
= ⎜ ⎡⎣ Z , [ X , Y ]⎤⎦ , ∑ ( ZX ( gα ) − ZY ( fα ) − [ X , Y ] ( hα ) )
⎟
∂tα ⎠
α =1
⎝
burada
[ X , Y ] = XY − YX
eşitliğini göz önüne alınır ve K= ⎡⎣ A, [ B, C ]⎤⎦ + ⎡⎣ B, [C , A]⎤⎦ + ⎡⎣C , [ A, B ]⎤⎦ denilirse
s
⎧
K = ⎨ ⎣⎡ X , [Y , Z ]⎦⎤ + ⎣⎡Y , [ Z , X ]⎦⎤ + ⎣⎡ Z , [ X , Y ]⎦⎤ , ∑ ([ X , Y ] ( hα ) − [ X , Y ] ( hα )
α =1
⎩
+ [Y , Z ] ( fα ) − [Y , Z ] ( fα ) + [ Z , X ] ( gα ) − [ Z , X ] ( gα ) )
∂ ⎫
⎬
∂tα ⎭
=0
olduğundan Jacobi özdeşliği sağlanır.
3.8.Tanım
Lemma 3.9. ile tanımladığımız operatöre Lie braketi denir.
3.10. Lemma
( M × IR , J ) bir almost kompleks manifold ve J almost kompleks yapının Nijenhuis
s
torsiyon tensörü N J olmak üzere
43
⎧
∂ ⎫
N J ( ( X , 0,..., 0 ) , (Y , 0,..., 0 ) ) = ⎨ N 1 ( X , Y ) , N 2 ( X , Y )
⎬
∂tα ⎭
⎩
ve
⎛
⎛
⎞⎞
∂
N J ⎜⎜ ( X , 0,..., 0 ) , ⎜ 0, 0,...0,
, 0..., 0 ⎟ ⎟⎟ = ( N 3 ( X ) , N 4 ( X ) )
∂tα
⎝
⎠⎠
⎝
dir.
İspat
N J ( ( X , 0,..., 0 )(Y , 0,..., 0 ) )
= J 2 ⎡⎣( X , 0,..., 0 ) , (Y , 0,..., 0 ) ⎤⎦ + ⎡⎣ J ( X , 0,..., 0 ) , J (Y , 0,..., 0 ) ⎤⎦
− ⎡⎣ J ( X , 0,..., 0 ) , (Y , 0,..., 0 ) ⎤⎦ − ⎡⎣( X , 0,..., 0 ) , J (Y , 0,..., 0 ) ⎤⎦
s
⎡⎛
∂
= − ⎡⎣( X , 0,..., 0 ) , (Y , 0,..., 0 ) ⎤⎦ + ⎢⎜ φ ( X ) , ∑η α ( X )
∂tα
α =1
⎣⎝
s
⎞ ⎛
∂ ⎞⎤
,
φ
Y
,
η α (Y )
(
)
⎟ ⎜
⎟⎥
∑
∂tα ⎠ ⎦
α =1
⎠ ⎝
s
s
⎡⎛
⎤
⎡
⎛
∂ ⎞
∂
α
− J ⎢ ⎜ φ ( X ) , ∑η α ( X )
⎟ , (Y , 0,..., 0 ) ⎥ − J ⎢( X , 0,..., 0 ) , ⎜ φ (Y ) , ∑η (Y )
∂tα
∂tα ⎠
α =1
α =1
⎝
⎣
⎣⎝
⎦
s
∂ ⎞
= − ([ X , Y ] , 0 ) + ⎡⎣φ ( X ) , φ (Y ) ⎤⎦ , ∑ (φ ( X )η α (Y ) − φ (Y )η α ( X ) )
⎟
∂tα ⎠
α =1
(
s
s
⎛
⎛
∂ ⎞
∂ ⎞
α
− J ⎜ ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ , −∑ Yη α ( X )
⎟ − J ⎜ ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦ , ∑ Xη (Y )
⎟
∂tα ⎠
∂tα ⎠
α =1
α =1
⎝
⎝
s
∂ ⎞
= − ([ X , Y ] , 0 ) + ⎡⎣φ ( X ) , φ (Y ) ⎤⎦ , ∑ (φ ( X )η α (Y ) − φ (Y )η α ( X ) )
⎟
∂tα ⎠
α =1
(
(
(
( (
) ) ) ⎞⎟⎠
(
( (
) ) ) ⎞⎟⎠
s
− φ ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ + ∑ (Yη α ( X ) ξα ) , η α ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦
(
α =1
s
− φ ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦ −∑ ( Xη α (Y ) ξα ) , η α ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦
α =1
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
44
=
{( − [ X , Y ] + ⎡⎣φ ( X ) ,φ (Y )⎤⎦ − φ ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ − φ ⎡⎣ X ,φ (Y )⎤⎦
s
⎞ ⎛ s
+ ∑ ( Xη α (Y ) − Yη α ( X ) )ξα ⎟ , ⎜ ∑ (φ ( X )η α (Y ) − φ (Y )η α ( X )
α =1
⎠ ⎝ α =1
∂ ⎫
−η α ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ − η α ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦
⎬
∂tα ⎭
(
)
))
(
elde edilir. Burada ilk kısma N 1 denilirse
(
N 1 ( X , Y ) = − [ X , Y ] + ⎡⎣φ ( X ) , φ (Y ) ⎤⎦ − φ ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ − φ ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦
s
⎞
+ ∑ ( Xη α (Y ) − Yη α ( X ) )ξα ⎟
α =1
⎠
s
olur bu eşitliğinin sağına
η α ([ X , Y ])ξα
∑
α
eklenip çıkarılırsa
=1
s
⎛
N 1 ( X , Y ) = ⎜ − [ X , Y ] + ∑η α ([ X , Y ]) ξα + ⎡⎣φ ( X ) , φ (Y ) ⎤⎦ − φ ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦
α =1
⎝
s
⎞
−φ ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦ + ∑ Xη α (Y ) − Yη α ( X ) − η α ([ X , Y ]) ξα ⎟
α =1
⎠
(
)
(
= φ 2 [ X , Y ] + ⎡⎣φ ( X ) , φ (Y ) ⎤⎦ − φ ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ −φ ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦
⎞
+ ∑ Xη α (Y ) − Yη α ( X ) − η α ([ X , Y ]) ξα ⎟
α =1
⎠
s
(
)
elde edilir. Ayrıca
2dη
α
s
( X , Y ) = ∑ ( Xη α (Y ) − Yη α ( X ) − η α ([ X , Y ]) )ξα
α =1
eşitliği Eş. 3.8 ve Eş. 3.15’ den
(3.15)
45
s
N 1 ( X , Y ) = Nφ ( X , Y ) + 2∑ dη α ( X , Y ) ξα
(3.16)
α =1
elde edilir. Ayrıca ikinci tarafa
⎧ s
N 2 ( X , Y ) = ⎨ ∑ ( φ ( X ) η α ( Y ) − φ ( Y )η α ( X ) ,
⎩ α =1
s
⎞ ∂ ⎫
−∑η α ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ −η α ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦ ⎟
⎬
α =1
⎠ ∂tα ⎭
(
)
(
)
diyelim. Lie türev özelliklerinden
(L (
{
)
}
η α (Y ) = φ ( X )η α (Y ) − η α ( ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ )
φ X)
( L ( )η ) ( X ) = {φ (Y )η
α
φ Y
α
( X ) − η α ( ⎡⎣φ (Y ) , X ⎤⎦ )}
dir. Bu eşitlikleri taraf tarafa çıkarılırsa
(L (
)
(
η α (Y ) - Lφ (Y )η α
φ X)
) ( X ) = {φ ( X )η
α
(Y ) − φ (Y )η α ( X ) − η α ( ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ )
(
−η α ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦
)}
olup
(
N 2 ( X , Y ) = Lφ ( X )η α
elde edilir.
) (Y ) - ( L ( )η ) ( X )
α
φ Y
(3.17)
46
( ii )
⎛
⎛
⎞⎞
∂
N J ⎜⎜ ( X , 0,..., 0 ) , ⎜ 0, 0,...0,
, 0..., 0 ⎟ ⎟⎟
∂tα
⎝
⎠⎠
⎝
⎛
⎛
⎞⎞
∂
, 0..., 0 ⎟ ⎟⎟
= J 2 ⎜⎜ ( X , 0,..., 0 ) ⎜ 0, 0,...0,
∂tα
⎝
⎠⎠
⎝
⎛
⎛
⎞⎞
∂
, 0..., 0 ⎟ ⎟⎟
+ ⎜⎜ J ( X , 0,..., 0 ) , J ⎜ 0, 0,...0,
∂tα
⎝
⎠⎠
⎝
⎛
⎛
⎛
⎞⎞
⎛
⎞⎞
∂
∂
, 0..., 0 ⎟ ⎟⎟ − J ⎜⎜ ( X , 0,..., 0 ) , J ⎜ 0, 0,...0,
, 0..., 0 ⎟ ⎟⎟
− J ⎜⎜ J ( X , 0,..., 0 ) , ⎜ 0, 0,...0,
∂tα
∂tα
⎝
⎠⎠
⎝
⎠⎠
⎝
⎝
s
⎛
⎛
⎞ ⎞ ⎡⎛
∂
∂
, 0..., 0 ⎟ ⎟⎟ + ⎢⎜ φ ( X ) , ∑η α ( X )
= − ⎜⎜ ( X , 0,..., 0 ) ⎜ 0, 0,...0,
∂tα
∂tα
α =1
⎝
⎠ ⎠ ⎣⎝
⎝
s
⎡⎛
∂
− J ⎡⎣( X , 0,..., 0 ) , ( −ξα , 0,..., 0 ) ⎤⎦ − ⎢⎜ φ ( X ) , ∑η α ( X )
∂tα
α =1
⎣⎝
⎤
⎞
⎟ , (ξα , 0,..., 0 ) ⎥
⎠
⎦
⎤
⎞
⎟ , ( 0, 0,..., 0, ξα , 0,..., 0 ) ⎥
⎠
⎦
s
s
⎛
∂ ⎞ ⎛
∂ ⎞
α
= − ⎜ ⎡⎣φ ( X ) , ξα ⎤⎦ , ∑η α (ξα )
⎟ + ⎜ φ [ X , ξα ] , ∑η ([ X , ξα ])
⎟
∂tα ⎠ ⎝
∂tα ⎠
α =1
α =1
⎝
s
⎧
∂ ⎫
= ⎨ − ⎡⎣φ ( X ) , ξα ⎤⎦ + φ [ X , ξα ] + ∑ η α ( X ) ξα + η α ([ X , ξα ])
⎬
∂tα ⎭
α =1
⎩
(
(
)
)
bu eşitliğin ilk kısma N 3 , ikinci kısma N 4 denilirse
N 3 ( X ) = ⎡⎣ξα , φ ( X ) ⎤⎦ − φ [ξα , X ]
N4 (X ) =
(3.17)
∂
s
η α ( X ) ξα + η α ([ X , ξα ]) )
(
∑
∂t
α
=1
(3.18)
α
olur. Ayrıca
( L φ ) ( X ) = ⎡⎣ξ , φ ( X )⎤⎦ − φ [ξ
ξα
(L
α
ξα η ) ( X ) =
α
s
α
,X]
∂
η α ( X ) ξα + η α ([ X , ξα ]) )
(
∑
∂t
α
=1
α
47
(
N 3 ( X ) = Lξα φ
(
)( X )
N 4 ( X ) = Lξα η α
)( X )
elde edilir.
3.9.Tanım
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) bir çatılandırılan metrik manifold ve φ nin Nijenhuis tensör alanı
Nφ olsun. ( M × IR s , J ) almost kompleks manifoldun Nijenhuis tensör alanı N J = 0
ise ( M , φ , ξα ,η α , g ) ye normaldir denir (Yano ve Kon, 1984).
3.1.Teorem
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) bir çatılandırılan metrik manifold olsun. Bu yapının normal
olabilmesi için gerek ve yeter koşul N 1 , N 2 , N 3 ve N 4 tensörlerinin sıfır olmasıdır.
İspat
(⇒ ) :
s
s
⎛
∂ ⎞ ⎛
∂ ⎞
s
,
Y
,
∀ ⎜ X , ∑ fα
⎟ ⎜ ∑ gα
⎟ ∈ χ ( M × IR ) için
∂
∂
t
t
α =1
α ⎠ ⎝
α ⎠
⎝ α =1
s
s
⎛⎛
⎛
⎛ s
⎛ s
∂ ⎞ ⎛
∂ ⎞⎞
∂ ⎞
∂ ⎞⎞
N J ⎜⎜ ⎜ X , ∑ fα
⎟ , ⎜ Y , ∑ gα
⎟ ⎟⎟ = N J ⎜⎜ ( X , 0 ) + ⎜ 0, ∑ fα
⎟ , (Y , 0 ) + ⎜ 0, ∑ gα
⎟ ⎟⎟
⎝ α =1 ∂tα ⎠
⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎠
⎝ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎠
⎝
eşitliğinde J nin lineerliğini, N J nin bilineer ve anti-simetrik oluşu kullanılırsa
48
s
s
⎛⎛
∂ ⎞ ⎛
∂ ⎞⎞
N J ⎜⎜ ⎜ X , ∑ fα
⎟ , ⎜ Y , ∑ gα
⎟ ⎟⎟ = N J
⎝ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎠
s
s
⎛⎛ ∂
+ ∑ fα gα N J ⎜⎜ ⎜ 0,
α =1
⎝ ⎝ ∂tα
⎞ ⎛ ∂
⎟ , ⎜ 0,
⎠ ⎝ ∂tα
J
α =1
s
⎛
⎛ ∂
−∑ gα N J ⎜⎜ (Y , 0 ) , ⎜ 0,
α =1
⎝ ∂tα
⎝
⎛⎛ ∂
elde edilir. N J ⎜⎜ ⎜ 0,
⎝ ⎝ ∂tα
⎛
⎛
α
⎞⎞
⎟ ⎟⎟
⎠⎠
⎝
⎝
⎛
⎛ ∂
⎜⎜ ( X , 0 ) , ⎜ 0,
⎝ ∂tα
⎝
⎞⎞
⎟ ⎟⎟
⎠⎠
( ( X , 0 ) , (Y , 0 ) ) + ∑ fα N ⎜⎜ ( X , 0 ) , ⎜ 0, ∂∂t
⎞⎞
⎟ ⎟⎟
⎠⎠
⎞ ⎛ ∂
⎟ , ⎜ 0,
⎠ ⎝ ∂tα
⎞⎞
⎟ ⎟⎟
⎠⎠
⎞⎞
⎟ ⎟⎟ = 0 olduğundan
⎠⎠
s
s
s
⎛⎛
∂ ⎞ ⎛
∂ ⎞⎞
N
X
,
0
,
Y
,
0
fα N J
+
(
)
(
)
N J ⎜⎜ ⎜ X , ∑ fα
,
Y
,
g
=
(
)
j
⎟ ⎜ ∑ α
⎟ ⎟⎟
α =1
⎝ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎠
∑
s
⎛
⎛ ∂
−∑ gα N J ⎜⎜ (Y , 0 ) , ⎜ 0,
α =1
⎝ ∂tα
⎝
=
(( N ( X ,Y ) , N
1
s
+ ∑ gα
α =1
s
+ ∑ fα
α =1
2
⎞⎞
⎟ ⎟⎟
⎠⎠
( X ,Y )))
(( N
3
( X ) , N 4 ( X )))
(( N
3
(Y ) , N 4 (Y ) ) )
s
s
⎛
= ⎜ N 1 ( X , Y ) + ∑ gα N 3 ( X ) − ∑ fα N 3 (Y )
α =1
α =1
⎝
s
s
⎞
, N 2 ( X , Y ) + ∑ gα N 4 ( X ) − ∑ f α N 4 ( Y ) ⎟
α =1
α =1
⎠
N J = 0 ise
s
s
α =1
α =1
N 1 ( X , Y ) + ∑ gα N 3 ( X ) − ∑ fα N 3 (Y ) = 0
ve
(3.19)
49
s
s
α =1
α =1
N 2 ( X , Y ) + ∑ gα N 4 ( X ) − ∑ fα N 4 (Y ) = 0
(3.20)
elde edilir.
Eş. 3.8’ den Nφ nin ve Eş. 3.15’ den dη α nin anti-simetrik olduğu görülür. Böylece
Eş. 3.16’ dan N J de anti-simetrik olur. Eş. 3.2.19 eşitliği ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için
sağlanır. Eş. 3.13’ de X = Y alınırsa
s
N 1 ( X , X ) = ∑ ( fα − gα )N 3 ( X )
α =1
( fα
≠ gα )
(3.21)
elde edilir. N 1 anti-simetrik olduğundan N 1 ( X , X ) = 0 olur. Dolayısıyla
s
( fα − gα )N ( X ) = 0
∑
α
3
=1
olup fα ≠ gα olduğundan N 3 ( X ) = 0 olur.
N 2 nin anti-simetrik olduğu Eş. 3.17’ den görülür. Aynı şekilde Eş.3.2.9 eşitliği
∀X , Y ∈ Γ (TM ) için sağlanır. Eş. 3.20’ de X = Y alırsak
s
N 2 ( X , X ) = ∑ ( fα − gα )N 4 ( X ) ;
α =1
( fα
≠ gα )
(3.22)
elde edilir. N 2 anti-simetrik olduğunda N 2 ( X , X ) = 0 olur. Dolayısıyla Eş.3.22.’
den
s
( f α − gα ) N ( X ) = 0
∑
α
=1
4
50
olup fα ≠ gα olduğundan N 4 ( X ) = 0 olur.
N 3 ( X ) = 0 ve N 4 ( X ) = 0 eşitlikleri ∀X ∈ Γ (TM )
için doğru olduğundan
Eş. 3.20 ve Eş. 3.21 eşitliklerini kullanırsak N 1 ( X , Y ) = 0 ve N 2 ( X , Y ) = 0 elde
edilir. Burada ispat yapılırken fα ≠ gα kabul edilmişti. fα = gα için Eş.3.20’de
Y = − X yazılırsa ve N 1 ( X , X ) = 0 olduğunu kullanırsak
s
s
α =1
α =1
− N 1 ( X , X ) + ∑ fα N 3 ( X ) + ∑ fα N 3 ( X ) = 0
s
2 ∑ fα N 3 ( X ) = 0
α =1
olup fα ≠ 0 olduğundan N 3 ( X ) = 0
elde edilir. Aynı işlemler Eş. 3.21 de yapılırsa N 4 ( X ) = 0 elde edilir. Benzer şekilde
Eş.3.20 ve Eş. 3.21’ den N 1 ( X , Y ) = 0 ve N 2 ( X , Y ) = 0 olduğu görülür.
( ⇐) :
Tersine kabul edelim ki N 1 ( X , Y ) = N 2 ( X , Y ) = N 3 ( X ) = N 4 ( X ) = 0 olsun
s
⎛⎛
∂
N J ⎜⎜ ⎜ X , ∑ fα
⎝ ⎝ α =1 ∂tα
s
s
s
⎞ ⎛
∂ ⎞⎞ ⎛ 1
3
=
+
−
N
X
,
Y
g
N
X
fα N 3 ( Y )
(
)
(
)
,
Y
,
g
α
⎟ ⎜ ∑ α
⎟ ⎟⎟ ⎜
α =1
α =1
⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠ ⎠ ⎝
∑
∑
s
s
⎞
, N 2 ( X , Y ) + ∑ gα N 4 ( X ) − ∑ f α N 4 ( Y ) ⎟
α =1
α =1
⎠
= ( 0, 0 )
s
⎛
∂
elde edilir. Bu ∀ ⎜ X , ∑ fα
⎝ α =1 ∂tα
s
⎞ ⎛
∂ ⎞
s
,
Y
,
⎟ ⎜ ∑ gα
⎟ ∈ χ ( M , IR ) için sağlandığından
⎠ ⎝ α =1 ∂tα ⎠
51
N J = 0 dır. Dolayısıyla
( 2n + s ) -boyutlu
(φ , ξ
α
,η α , g ) çatılandırılan metrik yapısıyla verilen
M manifoldu normaldir.
3.2. Teorem
( 2n + s ) -boyutlu
M manifoldu (φ , ξα ,η α , g ) çatılandırılan metrik yapısıyla verilsin.
Eğer N 1 = 0 ise N 2 = N 3 = N 4 = 0
İspat
s
⎛
⎞
N 1 = 0 ise N 1 ⎜ X , ∑ ξα ⎟ = 0 dır. Eş. 2.8, Eş. 3.15 ve Eş. 3.16 den
⎝ α =1 ⎠
s
s
s
⎛
⎞ ⎡ s
⎤ ⎡
⎤
⎡
⎤
N 1 ⎜ X , ∑ ξα ⎟ = ⎢ ∑ ξα , X ⎥ + ⎢φ ( X ) , ∑ φ (ξα ) ⎥ − φ ⎢φ ( X ) , ∑ ξα ⎥
α =1
α =1
⎝ α =1 ⎠ ⎣ α =1
⎦ ⎣
⎦
⎣
⎦
s
⎡
⎤ s
−φ ⎢ X , ∑ φ (ξα ) ⎥ + ∑ X (η α (ξα ) ) − ξα (η α ( X ) ) ξα
⎣ α =1
⎦ α =1
(
)
(3.23)
olup
⎡ s
⎤
⎡ s
⎤ s
0 = ⎢ ∑ ξα , X ⎥ + φ ⎢ ∑ ξα , φ ( X ) ⎥ − ∑ ξα (η α ( X ) ) ξα
⎣ α =1
⎦
⎣ α =1
⎦ α =1
(
)
dır. Buradan
s
s
s
s
s
⎛
⎞
⎡
⎤ ⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
Nφ ⎜ X , ∑ ξα ⎟ = φ 2 ⎢ X , ∑ ξα ⎥ + ⎢φ ( X ) , ∑ φ (ξα ) ⎥ − φ ⎢φ ( X ) , ∑ ξα ⎥ − φ ⎢ X , ∑ φ (ξα ) ⎥
α =1
α =1
⎝ α =1 ⎠
⎣ α =1 ⎦ ⎣
⎦
⎣
⎦
⎣ α =1
⎦
s
s
⎡
⎤
⎡
⎤
= φ 2 ⎢ X , ∑ ξα ⎥ − φ ⎢φ ( X ) , ∑ ξα ⎥
α =1
⎣ α =1 ⎦
⎣
⎦
52
s
⎛⎡
⎡ s
⎤ s
⎤⎞ ⎡ s
⎤
= ⎢ ∑ ξα , X ⎥ + ∑η α ⎜ ⎢ X , ∑ ξα ⎥ ⎟ + ⎢ ∑ ξα , φ ( X ) ⎥
⎣ α =1
⎦ α =1 ⎝ ⎣ α =1 ⎦ ⎠ ⎣ α =1
⎦
bulunur.
s
s
s ⎧
s
⎛⎡
⎛
⎞
⎞⎞ s
⎤ ⎞ ⎪⎫
⎪ ⎛ ⎛ s
2∑ dη α ⎜ X , ∑ ξα ⎟ξα = ∑ ⎨ X ⎜η α ⎜ ∑ ξα ⎟ ⎟ − ∑ ξα (η α ( X ) ) − η α ⎜ ⎢ X , ∑ ξα ⎥ ⎟ ⎬
α =1
α =1 ⎩
⎝ α =1 ⎠
⎪ ⎝ ⎝ α =1 ⎠ ⎠ α =1
⎝ ⎣ α =1 ⎦ ⎠ ⎭⎪
s ⎧
s
⎛⎡
⎤ ⎞ ⎪⎫
⎪ s
= ∑ ⎨−∑ ξα (η α ( X ) ) − η α ⎜ ⎢ X , ∑ ξα ⎥ ⎟ ⎬
α =1 ⎩
⎪ α =1
⎝ ⎣ α =1 ⎦ ⎠ ⎭⎪
ifadesinden
s
s
s
s
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
N 1 ⎜ X , ∑ ξα ⎟ = Nφ ⎜ X , ∑ ξα ⎟ + 2∑ dη α ⎜ X , ∑ ξα ⎟ξα
⎝ α =1 ⎠
⎝ α =1 ⎠ α =1
⎝ α =1 ⎠
s
{
}
= ∑ [ξα , X ] + φ ⎡⎣ξα , φ ( X ) ⎤⎦ − ξη α ( X )
α =1
elde edilir. Son eşitlikte her iki tarafın η α altında görüntüsü alınırsa
η α ([ξα , X ]) + η α (φ ⎡⎣ξα , φ ( X ) ⎤⎦ ) − η α (ξαη α ( X ) )} = 0
{
∑
α
s
=1
η α ([ξα , X ]) − η α (ξα )η α ( X ) = 0
(L
ξα
ηα ) ( X ) = N 4 ( X ) = 0
elde edilir. Eş. 3.23’ de X yerine φ ( X ) alınırsa
s
s
s
⎛
⎞ ⎡ s
⎤ ⎡
⎤
⎡
⎤
N 1 ⎜ φ ( X ) , ∑ ξα ⎟ = ⎢ ∑ ξα , φ ( X ) ⎥ + ⎢φ 2 ( X ) , ∑ φ (ξα ) ⎥ − φ ⎢φ 2 ( X ) , ∑ ξα ⎥
α =1
α =1
α =1
⎝
⎠ ⎣ α =1
⎦ ⎣
⎦
⎣
⎦
(
))
s
⎡
⎤ s
−φ ⎢φ ( X ) , ∑ φ (ξα ) ⎥ + ∑ φ ( X ) (η α (ξα ) ) − ξα η α (φ ( X ) ) ξα
α =1
⎣
⎦ α =1
(
53
s
s
⎡ s
⎤
⎡
⎤
= ⎢ ∑ ξα , φ ( X ) ⎥ − φ ⎢ − X + ∑η α ( X ) ξα , ∑ ξα ⎥
α =1
α =1
⎣ α =1
⎦
⎣
⎦
⎡ s
⎤
⎡ s
⎤
= ⎢ ∑ ξα , φ ( X ) ⎥ − φ ⎢ ∑ ξα , X ⎥
⎣ α =1
⎦
⎣ α =1
⎦
(
= Lξα φ
)( X )
(L φ )( X ) = N ( X ) = 0
3
ξα
olur. N 1 = 0 dan N 1 (φ ( X ) , Y ) = 0 dır. Böylece
N 1 (φ ( X ) , Y ) = φ 2 ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ + ⎡⎣φ 2 ( X ) , φ (Y ) ⎤⎦ − φ ⎡⎣φ 2 ( X ) , Y ⎤⎦ − φ ⎡⎣φ ( X ) , φ (Y ) ⎤⎦
s
{
) }
(
+ ∑ φ ( X )η α (Y ) ξα − Yη α (φ ( X ) ) ξα − η α ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ ξα
α =1
s
s
α =1
α =1
0 = − ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ + ⎡⎣ − X , φ (Y ) ⎤⎦ + ∑η α ( X ) ⎡⎣ξα , φ (Y ) ⎤⎦ − φ [ − X , Y ] − ∑η α ( X ) φ [ξα , Y ]
s
−φ ⎡⎣φ ( X ) , φ (Y ) ⎤⎦ + ∑ φ ( X )η α (Y ) ξα
α =1
bulunur. Her iki tarafın η α altında görüntüsü alınırsa
(
)
(
)
0 = −η α ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ − η α ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦ + φ ( X )η α (Y ) − φ (Y )η α ( X )
(
= Lφ ( X )η α
) (Y ) − ( L ( )η ) ( X )
α
φ Y
elde edilir. Dolayısıyla N 2 ( X , Y ) = 0 dir.
3.3.Teorem
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) bir çatılandırılan metrik manifold olsun. ∇, M nin Levi-Civita
konneksiyonu olmak üzere ∀X , Y , Z ∈ Γ (TM ) için
54
2 g ( ( ∇ X φ ) Y , Z ) = 3d Φ ( X , φ (Y ) , φ ( Z ) ) − 3d Φ ( X , Y , Z ) + g ( N 1 (Y , Z ) , φ ( X ) )
s
{
+ ∑ N 2 (Y , Z )η α ( X ) + 2dη α (φ (Y ) , X )η α ( X )
α =1
}
−2dη α (φ ( Z ) , X )η α (Y )
(3.24)
İspat
2 g ( ( ∇ X φ ) Y , Z ) = 2 g ( ∇ X φ ( Y ) , Z ) − 2 g (φ ( ∇ X Y ) , Z )
= 2 g ( ∇ X φ (Y ) , Z ) + 2 g ( ( ∇ X Y ) , φ ( Z ) )
Koszul formülü kullanılırsa
(
2 g ( ( ∇ X φ ) Y , Z ) = Xg (φ (Y ) , Z ) + φ (Y ) g ( X , Z ) − Zg ( X , φ (Y ) ) + g ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦
(
)
)
+ g ([ Z , X ] , φ (Y ) ) − g ⎡⎣φ (Y ) , Z ⎤⎦ , X + Xg (Y , φ ( Z ) )
+Yg ( X , φ ( Z ) ) − φ ( Z ) g ( X , Y ) + g ([ X , Y ] , φ ( Z ) )
(
) (
+ g ⎡⎣φ ( Z ) , X ⎤⎦ , Y − g ⎡⎣Y , φ ( Z ) ⎤⎦ , X
)
s
⎛
⎞
= − X Φ (Y , Z ) + φY ⎜ Φ (φ ( Z ) , X ) + ∑η α ( Z )η α ( X ) ⎟ − Z Φ ( X , Y )
α =1
⎝
⎠
(
)
s
(
− g ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦ , φ ( Z ) + ∑η α ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦ η α (φ ( Z ) )
α =1
(
)
s
)
(
+Φ ([ Z , X ] , Y ) + − g φ ⎡⎣φ (Y ) , Z ⎤⎦ + ∑η α ( X )η α ⎡⎣ Z , φ (Y ) ⎤⎦
α =1
{
+ X Φ (φ ( Y ) , φ ( Z ) ) − Y Φ ( Z , X ) − φ ( Z ) Φ ( φ ( Y ) , X )
s
⎫
+ ∑η α ( X )η α (Y ) ⎬ + Φ ([ X , Y ] , Z ) − Φ ⎡⎣φ ( Z ) X ⎤⎦ , φ (Y )
α =1
⎭
(
s
(
) (
+ ∑η α ⎡⎣φ ( Z ) , X ⎤⎦ η α (Y ) − g φ ⎡⎣Y , φ ( Z ) ⎤⎦ , φ ( X )
α =1
)
)
)
55
s
(
)
+ ∑η α ( X )η α ⎡⎣φ ( Z ) , Y ⎤⎦ + Φ ([Y , Z ] , X ) − g ([Y , Z ] , φ ( X ) )
α =1
(
+ g ( 2dη
) (
,φ ( X ))
−Φ ⎡⎣φ (Y ) , φ ( Z ) , X ⎤⎦ + g ⎡⎣φ (Y ) , φ ( Z ) ⎤⎦ , φ ( X )
α
(Y , Z ) ξα
)
= ⎡⎣ X Φ (φ (Y ) , φ ( Z ) ) + φ (Y ) Φ (φ ( Z ) , X ) + φ ( Z ) Φ ( X , φ (Y ) )
(
)
(
)
(
−Φ ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦ , φ ( Z ) − Φ ⎡⎣φ ( Z ) , X ⎤⎦ φ (Y )
)
−Φ ⎡⎣φ (Y ) , φ ( Z ) ⎤⎦ , X ⎤ − { X Φ (Y , Z ) + Y Φ ( Z , X ) + Z Φ ( X , Y )
⎦
}
−Φ ([ X , Y ] , Z ) − Φ ([ Z , X ] , Y ) − Φ ([Y , Z ] , X ) + g ( − [Y , Z ]
s
−φ ⎡⎣φ (Y ) , Z ⎤⎦ + ⎡⎣φ (Y ) , φ ( Z ) ⎤⎦ − φ ⎡⎣Y , φ ( Z ) ⎤⎦ + 2∑ dη α (Y , Z )
α =1
s
⎞
+ ∑η α ([Y , Z ]) ξα , φ ( X ) ⎟
α =1
⎠
bulunur. Buradan
2 g ( ( ∇ X φ ) Y , Z ) = 3d Φ ( X , φ (Y ) , φ ( Z ) ) − 3d Φ ( X , Y , Z ) + g ( N 1 (Y , Z ) , φ ( X ) )
s
s
α =1
α =1
+ ∑η α ( X )N 2 (Y , Z ) + 2∑ dη α (φ (Y ) , X )η α ( Z )
s
−2∑ dη α (φ ( Z ) , X )η α (Y )
α =1
elde edilmiş olur.
3.3. Almost S-Manifoldlar
3.10.Tanım
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) bir çatılandırılan metrik manifold olsun. Eğer ∀α ∈ {1,..., s} için
56
dη α = Φ ise M ye almost S-manifold denir.
Sonuç
( 2n + s ) -boyutlu bir almost S-manifold
M olsun. s = 1 ise M bir almost kontakt
manifoltdur.
3.11.Lemma
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) bir almost S-manifold ve X ∈ Γ ( D ) olsun. O halde, ∀α ∈ {1,..., s}
için [ X , ξα ] ∈ Γ ( D ) dir.
İspat
∀α , β ∈ {1,..., s} ve X ∈ Γ ( D ) için
η β ([ X , ξα ]) = −2dη β ( X , ξα ) + X (η β (ξα ) ) − ξα (η β ( X ) )
= −2Φg ( X , ξα ) + X (δαβ ) − ξα (η β ( X ) )
=0
dir. O halde [ X , ξα ] ∈ Γ ( D ) dir.
3.12. Lemma
Almost S-manifoldlarda ∀α ∈ {1,..., s} ve ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için
(i )
N 2 ve N 4 tensör alanları sıfırdır,
( ii ) N 3 =0
⇔ ξα lar Killing vektör alanıdır.
57
İspat
(i )
N 2 nin tanımından
N 2 ( X , Y ) = 2dη α (φ ( X ) , Y ) − 2dη α (φ (Y ) , X )
= 2Φ (φ ( X ) , Y ) − 2Φ (φ (Y ) , X )
= 2 g ( φ ( X ) , φ ( Y ) ) − 2 g (φ ( Y ) , φ ( X ) )
=0
bulunur. ∀α ∈ {1,..., s} için
Lξα η α = ( d D iξα + iξα D d ) (η β )
olur. Burada
= diξαη β + iξα dη β .
Lξα η α
(3.25)
Bu nedenle N 4 = 0 dır.
( ii )
Lξα Φ = Lξα dη β = d D iξα D dη β + iξα D d 2η β = 0
Buradan, ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için
(
0 = Lξα Φ
(
) ( X ,Y )
)
= ξα g ( X , φ (Y ) ) − g ([ξα , X ] , φ ( X ) ) − g ( X , φ [ξα , Y ])
(
) ( X , φ (Y ) ) + g ( L φ (Y ) , X )
(
) ( X , φ (Y ) ) + g ( N (Y ) , X )
= Lξα g
= Lξα g
ξα
3
bulunur. Bu eşitlikten ispat açıktır.
58
Sonuç
Almost S-manifoldlarda ∀α ∈ {1,..., s} ve ∀X , Y ∈ Γ ( D ) için
η α ( ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ ) = η α ( ⎡⎣φ (Y ) , X ⎤⎦ )
dır.
İspat
∀X , Y ∈ Γ ( D ) için N 2 = 0 olduğundan
(
0 = N 2 ( X , Y ) = Lφ ( X )η α
) (Y ) − ( L ( )η ) ( X )
α
φ Y
(
)
(
= φ ( X ) (η α (Y ) ) − η α ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ − φ (Y ) (η α ( X ) ) + η α ⎡⎣φ (Y ) , X ⎤⎦
(
)
(
= −η α ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ + η α ⎡⎣φ (Y ) , X ⎤⎦
)
olur, dη α (φ ( X ) , Y ) + dη α ( X , φ (Y ) ) = 0 olduğundan
η α ( ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ ) = η α ( ⎡⎣φ (Y ) , X ⎤⎦ )
dir.
3.1.Önerme
Almost S-manifoldlarda ∀α ∈ {1,..., s} ve ∀X , Y , Z ∈ Γ (TM ) için
(i )
2 g ( ( ∇ X φ ) Y , Z ) = g ( N 1 (Y , Z ) , φ ( X ) ) + 2 g (φ ( X ) , φ (Y ) )η α ( Z )
)
59
− 2 g ( φ ( X ) , φ ( Z ) )η α ( Y ) ,
( ii )
∇ξα φ = 0 ,
( iii )
∇ξα ξ β = 0 .
dır.
İspat
( i ) Eş. 3.24 ve Lemma 3.12’ den ispat kolayca yapılır.
( ii ) ( i ) de
((
)
X = ξα koyarsak
)
2 g ∇ξα φ Y , Z = g ( N 1 (Y , Z ) , φ (ξα ) ) + 2 g (φ (ξα ) , φ (Y ) )η α ( Z )
−2 g (φ (ξα ) , φ ( Z ) )η α (Y )
=0
elde edilir. Buradan
∇ξα φ = 0
dir.
( iii ) ( ii )
(
den Y = ξ β koyarsak
)
(
)
(
0 = ∇ξα φ ξ β = ∇ξα φ (ξ β ) − φ ∇ξα ξ β = − φ ∇ξα ξ β
bulunur. Buradan
)
60
∇ξα ξ β ∈ D ⊥ böylece ∀α ∈ {1,..., s} için
(
)
η α ⎣⎡ξα , ξ β ⎦⎤ = −2dη γ (ξα , ξ β ) = −2Φ (ξα , ξ β ) = 0
⎡⎣ξα , ξ β ⎤⎦ = 0 olur. Ancak , g (ξα , ξ β ) = δαβ = sbt olduğundan
(
(
+ g ( ⎡⎣ξ , ξ
)
)
(
)
(
) (
2 g ∇ξα ξ β , ξγ = ξα g (ξ β , ξγ ) + ξ β g (ξγ , ξα ) − ξγ g (ξα , ξ β ) − g ⎡⎣ξ β , ξγ ⎤⎦ , ξα
γ
α
) (
⎤⎦ , ξ β g ⎡⎣ξα , ξ β ⎤⎦ , ξγ
)
)
=0
elde edilir. Buradan ∇ξα ξ β ∈ D olacağından ∇ξα ξ β = 0 dır.
3.11.Tanım
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) bir almost S-manifold olsun. ∀α ∈ {1,..., s} ve ∀X ∈ Γ (TM ) için,
hα tensör alanı
hα : Γ (TM ) → Γ (TM )
X → hα ( X ) =
1
1
Lξα φ ( X ) = N 3 ( X )
2
2
ile tanımlıdır.
3.13. Lemma
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g )
bir almost S-manifold olsun. M de
∀α ∈ {1,..., s} için aşağıdakiler sağlanır.
∀X , Y ∈ Γ (TM )
ve
61
( i ) φ ( N ( X , Y ) + N (φ ( X ) , Y ) ) = 2η α (Y ) hα (Y )
( ii )
(
)
g N (φ ( X ) , Y ) , ξα = 0
3.2.Önerme
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) bir almost S-manifold olsun. ∀X , Y , Z ∈ Γ (TM ) ve ∀α ∈ {1,..., s}
için , hα tensör alanı olmak üzere
∇ X ξα = −φ ( X ) − φ ( hα ( X ) )
dir.
İspat
Lemma 3.13. de X = ξα konulursa, ∀Y , Z ∈ Γ (TM ) için
(
g ( N (ξα , Y ) , φ ( Z ) ) = − g φ ( N (ξα , Z ) ) , Y
)
s
= −2∑η α (ξα )g ( hγ ( Z ) , Y )
γ =1
= −2 g ( hα ( Z ) , Y )
dır. Önerme 3.1.’ den
g ( N (ξα , Z ) , φ (Y ) ) = 2 g ( ( ∇Y φ ) ξα , Z ) − 2 g (φ (ξα ) , φ (Y ) )η α ( Z )
+2 g (φ ( Z ) , φ (Y ) )η α (ξα )
s
= −2 g (φ ( ∇Y ξα ) , Z ) + 2 g ( Z , Y ) − 2∑η γ ( Z )η γ (Y )
γ =1
bulunur. Böylece
62
s
g (φ ( ∇Y ξα ) , Z ) = g ( hα ( Z ) , Y ) + g ( Z , Y ) − ∑η γ ( Z )η γ (Y )
γ =1
s
= g ( hα (Y ) , Z ) + g (Y , Z ) − ∑η γ (Y )η γ ( Z )
γ =1
elde edilir. Buradan
s
φ ( ∇Y ξα ) = hα (Y ) + Y − ∑η γ (Y ) ξγ
γ =1
olur. Eşitliğin her iki tarafınının φ altında görüntüsü alınısa
s
φ 2 ( ∇Y ξα ) = φ ( hα (Y ) ) + φ (Y ) − ∑η γ (Y ) φ (ξγ )
γ =1
bulunur. φ 2 nin değeri yerine yazılırsa
∇Y ξα = −φ ( hα (Y ) ) − φ (Y )
elde edilir. Burada
s
η β ( ∇ ξα ) ξ β = 0
∑
β
Y
=1
dır. Gerçekten;
2η β ( ∇Y ξα ) = 2 g ( ∇Y ξα , ξ β )
(
)
(
)
(
= Y g (ξα , ξ β ) + ξα g (ξ β , Y ) − ξ β ( g (Y , ξα ) ) − g Y , ⎡⎣ξα , ξ β ⎤⎦
(
)
− g ξα , ⎡⎣Y , ξ β ⎤⎦ + g (ξ β , [Y , ξα ])
(
)
= ξα (η β (Y ) ) − ξ β (η α (Y ) ) − η α ⎡⎣Y , ξ β ⎤⎦ + η β ([Y , ξα ])
= dη β (ξα , Y ) + dη α (Y , ξ β )
=0
dır.
)
63
3.3. Önerme
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) bir almost S-manifold olsun. M üzerinde ∀α ∈ {1,..., s} için, hα
tensör alanı aşağıdakileri sağlar
(i )
hα simetrik tensör alanıdır,
( ii )
hα (ξ β ) = 0 ,
( iii )
hα , φ ile anti-değişimlidir.
İspat
( i ) Önerme 3.1. den ∇ξ φ = 0
α
((
)
) (
= g (∇
dır. ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için
g Lξα φ X , Y = g ⎡⎣ξα , φ ( X ) ⎤⎦ − φ [ξα , X ] , Y
ξα
((
)
φ ( X ) − ∇φ ( X )ξα − φ ( ∇ξα X ) + φ ( ∇ X ξα ) , Y
)
= g ∇ξα φ X − ∇φ ( X )ξα + φ ( ∇ X ξα ) , Y
((
)
= g − ∇φ ( X )ξα + φ ( ∇ X ξα ) , Y
)
)
)
Burada ∀α ∈ {1,..., s} için X = ξ β ya da Y = ξ β konulduğunda sonuç özdeş sıfır
olacaktır. ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için, Sonuç yardımı ile
((
)
)
((
) )
g Lξα φ X , Y = − g ∇φ ( X )ξα , Y − g ( ( ∇ X ξα ) , φ (Y ) )
) (
(
)
(
= −ξα g (φ ( X ) , Y ) + g ξα , ∇φ ( X )Y − ξα g ( X , φ (Y ) )
+ g (ξα , ∇ X φ (Y ) )
(
)
= η α ∇φ ( X )Y + η α ( ∇ X φ (Y ) )
(
)
(
= η α ( ∇Y φ ( X ) ) + η α ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ + η α ∇φ (Y ) X
)
)
64
(
+η α ⎡⎣ X , φ (Y ) ⎤⎦
)
(
= η α ( ∇ Y φ ( X ) ) + η α ∇φ ( Y ) X
((
)
= g Lξα φ Y , X
)
)
bulunur. Buradan hα , simetrik operatördür.
(
1
1
Lξα φ (ξ β ) = Lξα φ (ξ β ) − φ Lξα ξ β
2
2
(
)
(
( ii )
hα (ξ β ) =
( iii )
2 g ( X , φ (Y ) ) = 2Φ ( X , Y ) = 2dη α ( X , Y )
)) = 0
= g ( ∇ X ξα , Y ) − g ( ∇Y ξα , X )
(
) (
= g −φ ( X ) − φ ( hα ( X ) ) , Y − g −φ (Y ) − φ ( hα (Y ) ) , X
(
)
)
= g ( X , φ (Y ) ) + g −φ ( hα ( X ) ) , Y + g ( X , φ (Y ) )
(
+ g Y , −hα (φ ( X ) )
)
dır. O halde;
(
) (
)
g −φ ( hα ( X ) ) , Y + g − hα (φ ( X ) ) , Y = 0
dır. ∀Y ∈ Γ (TM ) için sağlandığından ve g non-dejenere olduğundan
φ ( hα ( X ) ) + hα (φ ( X ) ) = 0
φ D hα + hα D φ = 0
dır.
3.4.Önerme:
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) bir almost S-manifold olsun. M de ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için
65
( ∇ X φ ) Y + ( ∇φ ( X )φ ) φ (Y ) = 2 g (φ ( X ) , φ (Y ) ) ξα + ∑η α (Y )φ 2 ( X ) − ∑η γ (Y ) hγ ( X )
s
s
α =1
γ =1
dir.
İspat
∀X , Y , Z ∈ Γ (TM ) ve ∀γ , α ∈ {1,..., s} için
((
) (
)
2 g ( ( ∇ X φ ) Y , Z ) + g ∇φ ( X )φ φ (Y ) , Z = 2 g ( Z , −η γ (Y ) hγ ( X ) ) + 2 g ( X , Y ) ξα
−2η γ ( X )η γ (Y ) ξγ − η α (Y ) X
−η γ ( X )η γ (Y ) ξγ )
dır. O halde;
(
)
s
( ∇ X φ ) Y + ∇φ ( X )φ φ (Y ) = −∑η γ (Y ) hγ ( X ) + 2 g ( X , Y ) ξγ − 2η γ ( X )η γ (Y ) ξγ
γ =1
s
−∑η α (Y ) ( X − η α ( X ) ξα )
α =1
s
s
α =1
γ =1
= 2 g (φ ( X ) , φ (Y ) ) + ∑η α (Y ) φ 2 ( X ) − ∑η γ (Y ) hγ (Y )
dir.
Sonuç
Önerme 3.4.’ ün ışığında ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için
( i ) ( ∇ X φ ) Y + ( ∇φ ( X )φ ) φ (Y ) = 2∑ g ( X , Y )ξα
s
α =1
( ii ) ( ∇ X φ ) φ (Y ) = ( ∇φ ( X )φ ) Z
( iii )
Eğer s = 1 alınırsa
66
( ∇ X φ ) Y + ( ∇φ ( X )φ ) φ (Y ) = 2 g ( X , Y ) ξ − η (Y ) ( X + h ( X ) + η ( X ) ξ )
dir.
İspat
( i ) Önerme 3.4.’ den kolayca görülür.
( ii ) ( i ) de Y = φ ( X )
alınırsa
( ∇ X φ ) (φ ( X ) ) + ( ∇φ ( X )φ ) (φ 2 ( X ) ) = 2∑ g ( X , φ ( X ) ) ξα
s
α =1
burada φ 2 ( X ) = − X olduğundan
( ∇ X φ ) (φ ( X ) ) = ( ∇φ ( X )φ ) ( X )
dir.
( iii )
s = 1 alınırsa Önerme 3.4.’ den kolayca görülür.
=0
67
4.S-MANİFOLDLAR
4.1.S-Manifold
4.1.Tanım
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) bir çatılandırılan metrik manifold ve Φ bir temel 2-form olsun.
Eğer M normal, ξ1 ,..., ξ s vektör alanları birer Killing vektör alanı ve Φ , 2-formu
kapalıysa, yani dΦ = 0 ise M normal çatılandırılan metrik manifold ya da Kmanifold olarak adlandırılır.
4.2.Tanım
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) bir K-manifold olsun. ∀α ∈ {1,..., s} için ξα nın duail η α olmak
üzere η 1 ∧ ... ∧ η s ∧ ( dη α ) ≠ 0 olduğunda K-manifolduna yönlendirilebilirdir denir
n
[Terlizzi ve Pastore, 2002].
4.3.Tanım
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) bir K-manifold olsun. Eğer
Φ ( X , Y ) = dη α ( X , Y )
oluyorsa
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) ye S-manifold denir [Terlizzi ve Pastore, 2002].
4.1.Örnek
E 2n + s ,
( x1 , x2 ,..., xn , y1 , y2 ,..., yn , z1 , z2 ,..., zs )
Öklid uzay olsun.
kartezyen koordinatlarına sahip bir
68
ξα = 2
∂
, α = 1, 2,..., s
∂zα
1⎛
n
⎞
i =1
⎠
η α = ⎜ dzα − ∑ yi dxi ⎟ ,
2
⎝
n
φ X = ∑Y i
i =1
n
∂
∂ ⎛ n i i ⎞⎛ s ∂
−∑ Xi
+ ∑Y y ⎟ ⎜ ∑
∂xi i =1
∂yi ⎜⎝ i =1
⎠ ⎝ α =1 ∂zα
s
g = ∑η α ⊗ η α +
α =1
⎞
⎟,
⎠
1 n
∑ ( dxi ⊗ dxi + dyi ⊗ dyi )
4 i =1
olarak alınırsa
η 1 ∧ ... ∧ η s ∧ Φ n ≠ 0
ve
s
dη 1 = ... = dη s = ∑ dxα ∧ dyα
α =1
dır. Böylece üzerindeki (φ , ξα ,η α , g ) yapısıyla birlikte E 2n + s bir S-manifold olur.
n
⎛
∂
∂ ⎞ s α ∂
Burada X = ∑ ⎜ X i
dır.
+Yi
⎟+∑Z
∂xi
∂yi ⎠ α =1
∂zα
i =1 ⎝
4.1.Lemma
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) bir S-manifold olsun.
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) üzerinde ∇ , Levi-Civita
konneksiyonu, φ , f-yapı, ξα , 1 ≤ α ≤ s , vektör alanları olmak üzere ∀X ∈ Γ (TM )
için
∇ X ξα = −φ X
(4.1)
69
dir.
İspat
∀X , Y ∈ Γ (TM ) için
(
0 = Lξα g
) ( X , Y ) = ξ g ( X , Y ) − g ([ξ
α
α
(
, X ] , Y ) − g ( X , [ξα , Y ])
) (
) (
)
= g ∇ξα X , Y + g X , ∇ξα Y − g ∇ξα X , Y + g ( ∇ X ξα , Y )
(
)
− g X , ∇ξα Y + g ( X , ∇Y ξα )
= g ( ∇ X ξα , Y ) + g ( X , ∇Y ξα )
dır. Buradan;
g ( ∇ X ξα , Y ) = − g ( X , ∇Y ξα )
(4.2)
olduğundan g anti-simetriktir.
II. temel formun ve S-manifoldun tanımından;
Φ ( X , Y ) = g ( X , φ (Y ) ) = dη α ( X , Y ) = − g (φ ( X ) , Y )
dir.
2dη α ( X , Y ) = X η α (Y ) − Yη α ( X ) − η α ([ X , Y ])
= Xg (Y , ξα ) − Yg ( X , ξα ) − g ([ X , Y ] , ξα )
= g (Y , ∇ X ξα ) − g ( X , ∇Y ξα )
Eş. 4.2 ve Eş. 4.3’ den
(4.3)
70
2dη α ( X , Y ) = 2 g ( ∇ X ξα , Y ) ⇒ dη α ( X , Y ) = g ( ∇ X ξα , Y ) = − g (φ ( X ) , Y )
dir. ∀Y ∈ Γ (TM ) için g non dejenere olduğundan ∇ X ξα = −φ ( X ) olur.
4.1. Önerme
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) bir S-manifold olsun. ( M , φ , ξα ,η α , g ) üzerinde , ∇ , Levi-Civita
konneksiyonu, φ , f-yapı, ξα , 1 ≤ α ≤ s , vektör alanları ve ξα ların dual 1-formları
η α olmak üzere ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için,
s
( ∇ X φ ) Y = ∑ ( g (φ X , φY ) ξα + η α (Y ) φ 2 ( X ) )
(4.4)
α =1
dir.
İspat
Teorem 3.3.’ de dφ = 0 ve N 1 = N 2 = 0 olduğu yerine yazılır ve gerekli işlemler
yapılırsa;
s
g ( ( ∇ X φ ) Y , Z ) = ∑ {dη α (φ X , Y )η α ( Z ) − dη α (φ Z , X )η α (Y )}
α =1
s
= ∑ {Φ (φ X , Y )η α ( Z ) − Φ (φ Z , X )η α (Y )}
α =1
s
= ∑ { g (φ X , ΦY )η α ( Z ) − g (φ Z , ΦX )η α (Y )}
α =1
s
{
}
= ∑ g ( g (φ X , ΦY ) ξα − φ 2 ( X )η α (Y ) , Z )
α =1
bulunur. ∀Z ∈ Γ (TM ) için g non dejenere olduğundan;
71
s
( ∇ X φ ) Y = ∑ ( g (φ X , φY ) ξα + η α (Y ) φ 2 ( X ) )
α =1
dir.
4.1. Teorem
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) bir S-manifold olsun.
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) üzerinde , ∇ , Riemann
konneksiyonu, φ , f-yapı, ξα , 1 ≤ α ≤ s , vektör alanları ve ξα ların dual 1-formları
η α ve Φ II. temel form olmak üzere ∀X , Y , Z ∈ Γ (TM ) için
s
⎛⎛
⎞
⎞
2 g ( ( ∇ X φ ) Y , Z ) = g ⎜ ⎜ [φ , φ ] + 2∑ ξα ⊗ dη α ⎟ (Y , Z ) , φ X ⎟
α =1
⎠
⎝⎝
⎠
s
+2∑ {Φ (φY , X )η α ( Z ) − Φ (φ Z , X )η α (Y )}
(4.5)
α =1
İspat
Önerme 3.1.’ den ispat kolayca yapılır.
4.2. Önerme
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) bir S-manifold olsun. L , M üzerinde Lie türevi olmak üzere,
∀X , Y ∈ Γ (TM ) için,
(L
φX
dir.
η α ) (Y ) = ( LφY X ) ( X )
(4.6)
72
İspat
(L
φX
η α ) (Y ) = φ X η α (Y ) − η α ([φ X , Y ])
= φ Xg (Y , ξα ) − g ([φ X , Y ] , ξα )
= g ( ∇φ X Y , ξα ) + g (Y , ∇φ X ξα ) − g ( ∇φ X Y , ξα ) + g ( ∇Y φ X , ξα )
= g (Y , ∇φ X ξα ) + g ( ∇Y φ X , ξα )
(*)
bulunur. Diğer taraftan
2dη α (φ X , Y ) = φ X η α (Y ) − Yη α (φ X ) − g ([φ X , Y ] , ξα )
= g ( ∇φ X Y , ξα ) + g (Y , ∇φ X ξα ) − g ( ∇Y φ X , ξα ) − g (φ X , ∇Y ξα )
− g ( ∇φ X Y , ξα ) + g ( ∇Y φ X , ξα )
= g (Y , ∇φ X ξα ) − g (φ X , ∇Y ξα )
= g (Y , ∇φ X ξα ) + g ( ∇Y φ X , ξα )
olur. (*) ve (**) dan
(L
η α ) (Y ) = 2dη α (φ X , Y ) = 2Φ (φ X , Y )
(L
η α ) ( X ) = 2dη α (φY , X ) = 2Φ (φY , X )
φX
φY
olduğu görülür. Buradan,
(L
φX
dir.
η α ) (Y ) = ( LφYη α ) ( X )
(**)
73
4.3.Önerme
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) bir S-manifold olsun. α ∈ {1,.., s} için hα tensör alanı aşağıdaki
eşitlikleri sağlar;
(i )
hα , simetrik tensör alanıdır,
( ii ) hα ξ β
= 0, β ∈ {1,..., s} .
İspat
∀X , Y ∈ Γ (TM ) için,
hα : Γ (TM ) → Γ (TM )
X → hα ( X ) =
1
Lξ φ
2 α
(
) ( X ) = 12 ( L φ ( X ) − φ L X )
ξα
ξα
dir.
( i ) hα ( X ) =
1
Lξ φ ( X ) − φ Lξα X
2 α
(
)
(
=
1
∇ξα φ X − ∇φ X ξα − φ ∇ξα X − φ ( ∇ X ξα )
2
=
1
∇ξα φ X + φ 2 ( X ) − φ∇ξα X − φ 2 ( X )
2
=
1
∇ξα φ X − φ∇ξα X
2
(
)
(
(
)
1
g ∇ξα φ X − φ∇ξα X , Y
2
(
)
(*)
dir. Buradan
g ( hα ( X ) , Y ) =
)
)
74
=
{
1
g ( ∇ξα φ X , Y ) − g −φ∇ξα X , Y
2
(
)}
olur. Burada ∀α {1,..., s} için X = ξ β ya da Y = ξ β konulduğunda özdeş sıfır
olacaktır.
η α ([φ X , Y ]) + η α ([ X , φY ])
= g ( ∇φ X Y , ξα ) − g ( ∇Y φ X , ξα ) + g ( ∇ X φY , ξα ) − g ( ∇φY X , ξα )
= g ( ∇φ X ξα , Y ) − g ( ∇Y ξα , φ X ) + g ( ∇ X ξα , φY ) − g ( ∇φY ξα , X )
= − g (φ 2 X , Y ) + g (φY , φ X ) − g (φ X , φY ) + g (φ 2Y , X )
=0
(*) da X ve Y ξα ya dik ise;
(L
φX
η α ) (Y ) = ( LφYη α ) ( X )
(4.7)
dir.
g ( hα ( X ) , Y ) =
((
1
g Lξα φ X , Y
2
)
{(
)
=
1
g ∇ξα φ X , Y − g φ∇ξα X , Y
2
=
1 α
η ( ∇φ X Y ) + η α ( ∇ X φ Y )
2
=
1 α
η ( ∇ Y φ X ) + η α ( ∇φ Y X )
2
=
1
g Lξα φ Y , X
2
) (
{
}
{
}
((
)
= g ( hα (Y ) , X )
)
)}
75
olup hα simetriktir.
( ii )
hα ξ β =
1
Lξ φ ξ β
2 α
(
)
1
Lξ φξ β − φ Lξα ξ β
2 α
(
=
)
=0
dir.
4.4.Önerme
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) bir S-manifold olsun. O halde ∀X ∈ Γ (TM ) ve ∀α ∈ {, 2,..., s}
için
(i )
s
∇ X ξα − ∑η β ( ∇ X ξα ) ξ β = −φ hα ( X ) − φ ( X )
( ii )
(4.8)
β =1
hα ( X ) =
{
1
φ ( ∇ X ξα ) − ∇φ ( X )ξα
2
}
(4.9)
dir.
İspat
Önerme 4.2.’ den ∀X , Z ∈ Γ (TM ) ve ∀α ∈ {, 2,..., s} için
((
)
)
2 g ( ( ∇ X φ ) ξα , Z ) = − g φ Lξα φ Z , φ ( X ) − 2 g (φ ( X ) , φ ( Z ) )
((
) )
s
= − g Lξα φ ( Z ) , X − 2 g ( X , Z ) + 2∑η β ( X )η β ( Z )
β =1
76
dir. hα simetrik olduğundan
((
)
)
s
2 g ( ( ∇ X φ ) ξα , Z ) = − g Lξα φ X , Z − 2 g ( X , Z ) + 2∑η β ( X ) g (ξ β , Z )
β =1
olur. ∀Z ∈ Γ (TM ) için g non-dejenere olduğundan;
(
s
)
2 ( ∇ X φ (ξα ) − φ∇ X ξα ) = − Lξα φ X − 2 X + 2∑η β ( X ) ξ β
β =1
−2φ ( ∇ X ξα ) = −2hα ( X ) + 2φ 2 ( X )
−φ ( ∇ X ξα ) = −hα ( X ) + φ 2 ( X )
bulunur. Her iki tarafa φ uygulanırsa
−φ 2 ( ∇ X ξα ) = −φ ( hα ( X ) ) + φ 3 ( X )
s
∇ X ξα − ∑η β ( ∇ X ξα )ξ β = −φ ( hα ( X ) ) − φ ( X )
β =1
dır. Gerçektende;
((
)
) ((
)
)
((
)
)
)
)
s
g φ Lξα φ Z , φ ( X ) = g Lξα φ Z , X − ∑η β
β =1
(( L φ ) ( Z ) )η
ξα
s
β
(X )
( (
)
(
))
( (
)
(
)
( (
)
= g Lξα φ Z , X − ∑η β ( X ) η β Lξα φ ( Z ) − η β φ Lξα Z
((
β =1
s
= g Lξα φ Z , X − ∑η β ( X ) η β ∇ξα φ ( Z ) − η β ∇φ ( Z )ξα
(
β =1
)
−η β φ∇ξα Z + η β (φ∇ Z ξα )
((
)
)
)
s
= g Lξα φ Z , X − ∑η β ( X ) η β ∇ξα φ ( Z ) − η β (φ 2 ( Z ) )
(
β =1
)
−η β φ∇ξα Z + η β (φ 2 ( Z ) )
((
)
)
s
)
( (
)
= g Lξα φ Z , X − ∑η β ( X ) η β ∇ξα φ ( Z ) +η β (φ 2 ( Z ) )
β =1
)
77
((
)
)
( (
s
= g Lξα φ Z , X − ∑η β ( X ) − g ∇ξα ξ β , φ ( Z )
(
+ g φ∇ξα ξ β , Z
((
)
= g Lξα φ Z , X
β =1
)
))
)
dir.
( ii )
1
Lξ φ
2 α
(
) ( X ) = 12 ( L
ξα
φ ( X ) − φ ( Lξα X )
)
(
=
1
∇ξα φ ( X ) − ∇φ ( X )ξα − φ∇ξα X + φ∇ X ξα
2
=
1
∇ξα φ ( X ) − φ 2 ( X ) − φ∇ξα X + φ 2 ( X )
2
=
1
∇ξα φ ( X ) − φ∇ξα X
2
(
(
)
)
)
dir.
4.2.Teorem
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) bir S-manifold olsun. Bu durumda α ∈ {1, 2,..., s} için ξα vektör
alanı bir Killing vektör alanıdır ⇔ hα = 0
İspat
Lξα Φ = diξα Φ + iξα d Φ = 0
∀X , Y ∈ Γ (TM ) için;
( L Φ ) ( X ,Y ) = ξ Φ ( X ,Y ) − Φ ( L
ξα
α
ξα
)
(
X , Y − Φ X , Lξα Y
)
78
(
)
(
= ξα Φ ( X , Y ) − dη α Lξα X , Y − dη α X , Lξα Y
(
) (
(
) (
)
(
= ξα Φ ( X , Y ) − g Lξα X , φ (Y ) − g X , φ Lξα Y
))
) ( (
) )
= ξα Φ ( X , Y ) − g Lξα φ (Y ) , X − g X , Lξα φ (Y ) + g X , Lξα φ Y
( (
) )
= ξα Φ ( X , Y ) + g X , Lξα φ Y
(4.10)
⇒
ξα bir Killing vektör alanı olsun. Yani Lξα g = 0 olduğundan
( (
) ) (
g X , Lξα φ Y = Lξα Φ
) ( X ,Y ) = 0
dir. ∀X ∈ Γ (TM ) için g non-dejenere olduğundan
Lξα φ =
1
hα = 0 ⇒ hα = 0
2
bulunur.
⇐
Karşıt olarak hα = 0 ise ∀β ∈ {1, 2,..., s} için Eş. 4.1.11 den;
( L g ) ( X , φ (Y ) ) = ( L Φ ) ( X , Y ) = 0
ξα
ξα
olur.
(
Lξα g
)
s
⎛
⎞
2
=
Φ
−
+
X
,
φ
Y
L
X
,
Y
η β (Y ) ξ β ⎟ = 0
( ( ) ) ξα ⎜
∑
β =1
⎝
⎠
(
)
(
0 = − Lξα g
s
) ( X , Y ) + ∑η β (Y ) ( Lξ η β ) ( X )
β =1
α
79
s
( L g ) ( X , Y ) = ∑η ( Y ) ( L
ξα
β
β =1
ξα
ηβ )( X )
=0
dır. Gerçektende;
(L
ξα
η β ) = ( d D iξ α + iξ α D d ) (η β )
(
)
= d iξα η β + iξ α ( dη β )
= d (η β (ξα ) ) + 2dη β (ξα , Y )
) (
( (
= −2 g ( Y , ∇ ξ )
= 2 g ∇ξα ξ β , Y + g ξα , ∇ξα Y
ξβ
))
α
=0
dır. ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için Lξα g = 0 olduğundan ξα bir Killing vektör alanıdır.
4.5.Önerme:
M 2n+ s
bir K-manifold olsun. O halde
M
üzerinde
∀X , Y ∈ Γ (TM )
ve
∀α , β ∈ {1, 2,..., s} için
(i )
ℜ ( X , ξα ) Y = ∇ X ∇Y ξα − ∇ ∇ X Y ξα
(4.11)
( ii )
ℜ (ξα , X , ξ β , Y ) = − g ( ∇ X ξ β , ∇Y ξα )
(4.12)
( iii )
K (ξα , X ) = ∇ X ξα
(4.13)
( iv )
ℜ (ξα , φ ( X ) , ξ β , φ (Y ) ) = ℜ (ξα , X , ξ β , Y )
dir.
2
(4.14)
80
İspat
( i ) ξα
bir Killing vektör alanı olduğundan;
Lξα ∇ X Y − ∇ X Lξα Y = ∇ Lξ X Y
α
[ξα , ∇ X Y ] − ∇ X [ξα , Y ] = ∇[ξ , X ]Y
α
∇ξα ∇ X Y − ∇∇ X Y ξα − ∇ X ∇ξα Y + ∇ X ∇Y ξα = ∇[ξα , X ]Y
[ξα , X ]Y − ∇[ξ , X ]Y = −∇ X ∇Y ξα + ∇∇ Y ξα
α
X
dır. Teorem 2.8. ve Teorem 2.2’ den;
R ( X , ξα ) Y = ∇ X ∇Y ξα − ∇ ∇ X Y ξα
olur.
( ii )
Teorem 2.2. ve ( i ) ’ den
ℜ (ξα , X , ξ β , Y ) = g ( ℜ (ξα , X ) ξ β , Y )
(
= g ℜ (ξ β , Y ) ξα , X
)
(
= − g ℜ (ξ β , Y ) X , ξα
(
= g ℜ (Y , ξ β ) X , ξα
(
)
)
)
= − g ∇∇Y X ξ β , ξα + g ( ∇Y ∇ X ξ β , ξα )
(
)
= g ∇ξα ξ β , ∇Y X + g ( ∇Y ∇ X ξ β , ξα )
dır. ξα Killing vektör alanı olduğundan;
ℜ (ξα , X , ξ β , Y ) = g ( ∇Y ∇ X ξ β , ξα )
81
= − g ( ∇Y ξα , ∇ X ξ β )
= − g ( ∇ X ξ β , ∇ Y ξα )
dir.
( iii ) ( i ) ’ den;
K (ξα , X ) = ℜ (ξα , X , X , ξα )
= g ( ℜ (ξα , X ) X , ξα )
= − g ( ℜ (ξα , X ) ξα , X )
= − g (ξα , X , ξα , X )
= g ( ∇ X ξα , ∇ X ξα )
= ∇ X ξα
2
dir.
( iv )
(
ℜ (ξα , φ ( X ) , ξ β , φ (Y ) ) = g ℜ (ξα , φ ( X ) ) ξ β , φ (Y )
s
)
= g ( ℜ (ξα , X ) ξ β , Y ) − ∑η γ ( ℜ (ξα , X ) ξ β )η γ (Y )
γ =1
= g ( ℜ (ξα , X ) ξ β , Y )
= ℜ (ξα , X , ξ β , Y )
dir. Gerçektende;
(
η γ ( R (ξα , X ) ξ β ) = η γ ∇ξα ∇ X ξ β − ∇ ∇ξα X ξ β
) (
(
)
= g ∇ξα ∇ X ξ β , ξγ − g ∇ ∇ξ X ξ β , ξγ
(
) (
α
)
= − g ∇ξα ξγ , ∇ X ξ β + g ∇ξγ ξ β , ∇ξα X
)
82
=0
4.5.Önerme
(M
2n+ s
, φ , ξα ,η α , g ) bir K-manifold olsun. ( M 2 n + s , φ , ξα ,η α , g ) bir S-manifold ise
s
ℜ ( X , Y ) ξα = ∑ {η α ( X ) φ 2 (Y ) − η α (Y ) φ 2 ( X )}
(4.15)
α =1
dır.
İspat
Eş. 4.1’ den;
ℜ ( X , Y ) ξα = ∇ X ∇Y ξα − ∇Y ∇ X ξα − ∇[ X ,Y ]ξα
= −∇ X φ (Y ) + ∇Y φ ( X ) + φ ([ X , Y ])
= − ( ∇ X φ ) Y − φ ( ∇ X Y ) + ( ∇Y φ ) X + φ ( ∇Y X ) + φ ( ∇ X Y ) − φ ( ∇Y X )
= − ( ∇ X φ ) Y + ( ∇Y φ ) X
dir. Önerme 4.1.’ den
s
{
ℜ ( X , Y ) ξα = ∑ g (φ (Y ) , φ ( X ) ) ξα + η α ( X ) φ 2 (Y ) − g (φ ( X ) , φ (Y ) ) ξα
α =1
−η α (Y ) φ 2 ( X )}
s
= ∑ {η α ( X ) φ 2 (Y ) − η α (Y ) φ 2 ( X )}
α =1
dir.
Sonuç:
(M
2n+ s
, φ , ξα ,η α , g ) bir K-manifold olsun. ( M 2 n + s , φ , ξα ,η α , g ) bir S-manifold ise
83
ℜ ( X , ξα ) Y = − ( ∇ X φ ) Y
(4.16)
dir.
İspat:
g ( ℜ ( X , Y ) ξα , Z ) = g ( ℜ (ξα , Z ) X , Y )
g (η α ( X ) φ 2 (Y ) − φ 2 ( X )η α (Y ) , Z ) = g ( ℜ (ξα , Z ) X , Y )
η α ( X ) g (φ 2 (Y ) , Z ) − g (Y , ξα ) g (φ 2 ( X ) , Z ) = g ( ℜ (ξα , Z ) X , Y )
(
)
g g ( X , ξα ) φ 2 ( Z ) − g (φ 2 ( X ) , Z ) ξα , Y = g ( ℜ (ξα , Z ) X , Y )
η α ( X ) φ 2 ( Z ) − g (φ 2 ( X ) , Z ) ξα = ℜ (ξα , Z ) X
elde edilir.
84
5.INDEFINTE ALMOST S-MANİFOLDLAR VE INDEFINITE
S- MANİFOLDLAR
5.1.Indefinite Almost S-Manifold
5.1.Tanım
( 2n + s ) -boyutlu
bir çatılandırılan manifold ( M , φ , ξα ,η α ) olsun. ∀X , Y ∈ Γ (TM )
ve ∀α ∈ {1..., s} için
s
g (φ ( X ) , φ (Y ) ) = g ( X , Y ) − ∑ ε αη α ( X )η α (Y )
(5.1)
g ( X , ξα ) = ε αη α ( X )
(5.2)
α =1
şartlarını sağlayan M üzerinde indeksi ν ( 0 < ν < 2n + s ) olan bir yarı-Riemann
metriği
g
varsa
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) ’ ye indefinite metrik f-manifold (ya da
çatılandırılan indefinite metrik manifold) denir. Burada ε α = ∓1 olup, her bir ξα ya
spacelike ya da timelike vektör alanıdır.
5.1.Teorem
( 2n + s ) -boyutlu bir çatılandırılan manifold
( M ,φ , ξ
α
,η α ) ve h1 M üzerinde yarı-
Riemann metrik olsun. O halde M üzerinde Eş. 5.1 de tanımlanan ( 0, 2 ) tipinde
simetrik tensör alanı g mevcuttur.
İspat:
İlk olarak ilk tane yarı-Riemann metrik tanımlayalım;
85
h1 =
−ε α
α
h0 , α = h0 (ξα , ξα )
ve ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için
s
h ( X , Y ) = h1 (φ 2 ( X ) , φ 2 (Y ) ) + ∑ ε αη α ( X )η α (Y )
α =1
olarak tanımlansın. Burada;
η α ( X ) = ε α h ( X , ξα ) ve h (ξα , ξα ) = ε α
dır. O halde M de {ξ1 ,..., ξ s } dağılımı mevcuttur. {ξ1 ,..., ξ s } dağılımının tümleyen
dağılımı D1 ile gösterilirse ∀X ∈ Γ ( D1 ) için
s
s
⎛
⎞ s
h ( X , X ) = h1 ⎜ − X + ∑η α ( X ) ξα , − X + ∑η α ( X ) ξα ⎟ + ∑ ε αη α ( X )η α ( X )
α =1
α =1
⎝
⎠ α =1
= h1 ( X , X )
dır. Burada h1 ( X , ξα ) = 0 ve h1 (ξα , ξα ) = −ε α dır. Böylece h, D’ de h1 ile aynı
indeksli M üzerinde bir yarı-Riemann metrik
g ( X ,Y ) =
s
1⎧
⎫
α
α
⎨ h ( X , Y ) + h (φ ( X ) , φ (Y ) ) + ∑η ( X )η (Y ) ⎬
2⎩
α =1
⎭
ve
g (φ ( X ) , φ ( Y ) ) =
s
s
1⎧
⎛
⎞⎫
α
,
,
h
φ
X
φ
Y
h
X
η
X
ξ
Y
η α ( Y ) ξα , ⎟ ⎬
+
−
+
−
+
(
)
(
)
(
)
(
)
⎨
∑
∑
α
⎜
2⎩
α =1
α =1
⎝
⎠⎭
86
s
= g ( X , Y ) − ∑ ε αη α ( X )η α (Y )
α =1
dir.
5.1.Önerme
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) bir indefinite metrik f-manifold olsun. O halde ∀X , Y , Z ∈ Γ (TM )
için aşağıdaki eşitlik sağlanır
2 g ( ( ∇ X φ ) Y , Z ) = 3d Φ ( X , φ (Y ) , φ ( Z ) ) − 3d Φ ( X , Y , Z ) + g ( N 1 (Y , Z ) , φ ( X ) )
s
{
+ ∑ ε α N 2 (Y , Z )η α ( X ) + 2dη α (φ (Y ) , X )η α ( X )
α =1
}
−2dη α (φ ( Z ) , X )η α (Y )
(5.3)
İspat:
İspat Teorem 3.3.’ den kolayca görülür.
5.2.Tanım
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) bir çatılandırılan indefinite metrik manifold olsun. M ’ nin temel
formu Φ = dη α ise ( M , φ , ξα ,η α , g ) ye bir indefinite almost S-manifold denir.
5.2.Önerme
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) bir indefinite almost S-manifold olsun. ∀X , Y ∈ Γ (TM ) ve
∀α ∈ {1,..., s} için
87
η α ⎡⎣φ ( X ) , Y ⎤⎦ = η α ⎡⎣φ (Y ) , X ⎤⎦
dir.
İspat:
Sonuç 3.3.’ den kolayca görülür.
5.3.Önerme
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g )
s
bir indefinite almost S-manifold ve
η = ∑ ε αη α
α =1
∀X , Y ∈ Γ (TM ) ve ∀α , β ∈ {1,..., s} için
(i )
2 g ( ( ∇ X φ ) Y , Z ) = g ( N 1 (Y , Z ) , φ ( X ) ) + 2 g (φ (Y ) , φ ( X ) )η ( Z )
−2 g (φ ( Z ) , φ ( X ) )η (Y )
( ii )
∇ξα φ = 0
( iii )
∇ξα ξ β = 0
dir.
İspat:
Önerme 3.1.’ den kolayca görülür.
5.4.Önerme
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) bir indefinite almost S-manifold olsun. O halde;
olsun.
88
(i )
∀α ∈ {1,..., s} için hα =
( ii ) ∀α , β ∈ {1,..., s}
( iii ) ∀α ∈ {1,..., s}
1
Lξ φ simetriktir
2 α
için hα (ξ β ) = 0
için hα φ + φ hα = 0
dir.
İspat:
Önerme 3.3.’ den kolayca görülür.
5.5.Önerme
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) bir indefinite almost S-manifold olsun. ∀X ∈ Γ (TM ) ve
∀α ∈ {1,..., s} için
∇ X ξα = −ε α φ ( X ) − φ ( hα ( X ) )
dir
İspat:
Önerme 3.2.’ den kolayca görülür.
5.6.Önerme
s
(
)
( M , φ , ξα ,η α , g ) bir indefinite almost S-manifold, ξ = ∑ ξα ve η = g X , ξ olsun.
α =1
∀X , Y ∈ Γ (TM ) için
89
( ∇ X φ )(Y ) + ( ∇φ ( X )φ ) (φ (Y ) ) = 2 g (φ ( X ) , φ (Y ) ) ξ + η (Y ) φ 2 ( X ) −η ( X ) φ 2 (Y )
dir.
İspat:
Önerme 3.4.’ den kolayca görülür.
Sonuç:
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) bir indefinite almost S-manifold olsun. O halde ∀X , Y ∈ Γ (TM )
için
( i ) ( ∇ X φ )(Y ) + ( ∇φ ( X )φ ) (φ (Y ) ) = 2 g ( X , Y ) ξ
( ii ) ( ∇ X φ ) (φ ( X ) ) = ( ∇φ ( X )φ ) ( X )
s
dir. Burada ξ = ∑ ξα dır.
α =1
İspat:
Sonuç 3.3.’ den kolayca görülür.
5.2.Indefinite S-Manifold
5.3.Tanım
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) indefinite almost S-manifoldu normal ise
indefinite S-manifold denir.
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) ’ ye
90
5.6. Önerme
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) bir indefinite S-manifold olsun. O halde ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için
s
( ∇ X φ ) Y = ∑ { g (φ ( x ) , φ (Y ) ) ξα + η α (Y ) φ 2 ( X )}
(5.4)
α =1
dir.
İspat:
Önerme 5.1.’ den kolayca görülür.
5.2.Sonuç:
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) bir indefinite S-manifold olsun. Bu durumda ∀α ∈ {1,..., s} için
∇ X ξα = −ε α φ ( X )
dir.
İspat:
Lemma 4.1.’ den kolayca görülür.
5.8. Önerme
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) bir indefinite S-manifold olsun. ∀X , Y , Z ∈ Γ (TM ) için
(5.5)
91
s
( ∇ X Φ )(Y , Z ) = ∑ {η α (Y ) g (φ ( X ) , φ (Y ) ) − η α ( Z ) g (φ ( X ) , φ (Y ) )}
(5.6)
α =1
dir.
İspat:
Eş. 5.4.’ de ( ∇ X Φ )(Y , Z ) = g (Y , ( ∇ X φ ) Z ) kullanılarak Eş. 5.6 kolayca görülür.
92
6. ε α -ALMOST S-MANİFOLDLAR
6.1. ε α -Almost S-Manifold
6.1.Tanım
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) ,
( 2n + s ) -boyutlu
bir indefinite almost S-manifold olsun.
∀α ∈ {1,..., s} için ε α = g (ξα , ξα ) = ∓1 ise
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) ye bir ε α -almost S
manifold denir.
6.1.Teorem
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) ε α -almost S-manifold olsun. Bu durumda
( i ) φ (ξα ) = 0 ,
( ii ) η α φ = 0 ,
dir.
İspat:
s
( i ) φ 2 (ξα ) = −ξα + ∑η β (ξα ) ξα
β =1
=0
bulunur. Buradan
φ (ξα ) = −φ 3 (ξα ) = −φ (φ 2 (ξα ) ) = 0
elde edilir.
( iii )
rankφ = 2n
93
( ii )
Eş. 3.1 ve Eş. 3.5’ den ∀V ∈ Γ (TM ) için
φ 3 (V ) = −φ (V )
dir. Diğer taraftan Eş. 3.6’ dan
ηα φ = 0
elde edilir.
( iii )
Eş. 3.5’ dan ∀α ∈ {1,..., s} için
çekφ = Sp {ξ1 ,..., ξ s }
dir. Buradan
boyçekφ = s
olur. Bu durumda
rankφ = 2n
dir.
6.2.Tanım
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) normal çatılandırılan metrik manifold olsun. ( M , φ , ξα ,η α , g ) bir
ε α -almost S-manifold denir.
94
6.2.Teorem
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) ε α -almost S-manifold
ve h1 M üzerinde yarı-Riemann metrik
olsun. Bu durumda M üzerinde Eş. 5.1’ de tanımlanan ( 0, 2 ) tipinde g simetrik
tensör alanı her zaman mevcuttur.
İspat:
5.1. Teorem’ den kolayca görülür.
6.3.Tanım
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) ε α -almost S-manifold olsun.
( i ) ∀α ∈ {1,..., s}
( ii )
için ε α = +1 ve ν = 2r ise M ye spacelike almost S-manifold
∀α ∈ {1,..., s} için ε α = 1 ve ν = 2r + 1 ise M ye timelike almost S-manifold
denir.
6.3.Teorem
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) f . pk -yapı bir ε α -S-manifolddur ⇔
s
( ∇ X φ ) Y = ∑ { g ( X , Y ) ξα − ε αη α (Y ) X },
α =1
∀X , Y ∈ Γ (TM )
dir. Burada ∇ Levi-Civita konneksiyondur.
Sonuç:
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) ε α -almost S-manifold olsun. O halde
(6.1)
95
∇ X ξα = −ε α φ ( X ) , ∀X ∈ Γ (TM )
(6.2)
dir.
İspat:
Eş. 6.1’de Y = ξα konulursa Eş. 6.2 elde edilir.
Sonuç
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) bir ε α -S manifold olsun. M üzerinde ∀α ∈ {1,..., s} için ξα
karakteristik vektör alanları Killing vektör alanıdır.
İspat:
( L Φ ) ( X , Y ) = ξ Φ ( X , Y ) − Φ ([ξ
ξα
α
α
, X ] , Y ) − Φ ( X , [ξα , Y ])
(
= ξα g ( X , φ (Y ) ) − g ([ξα , X ] , φ (Y ) ) − g X , φ ([ξα , Y ])
(
= Lξα g
) ( X , φ (Y ) )
dir. Burada Lξα φ = 0 dir. Fakat
Lξα Φ = diξα Φ + iξα d Φ
( i Φ ) = Φ (ξ
ξα
α
,X)=0
dır. Diğer taraftan
( L g ) ( X ,η (Y ) ξ ) = ξ (η (Y )η ( X ) −η (Y )η ([ξ
ξα
β
β
α
β
β
β
β
α
, X ])
)
)
96
(
)
−η β (Y ) g X , ⎡⎣ξα , ξ β ⎤⎦ −ξα (η β (Y )η β ( X ) )
(
= η β (Y )η β ( X ) − η β (Y )η β ([ξα , X ]) − η β (Y )η β ⎡⎣ξα , ξ β ⎤⎦
)
=0
burada Lξα η β = 0 ve Lξα ξ β = 0 dır. Böylece
( L g ) ⎛⎜⎝ X ,φ (Y ) + ∑η (Y ) ξ
s
ξα
α =1
β
β
⎞
⎟=0
⎠
dır.
s
φ + ∑η β ⊗ ξ β non-singular olduğundan Lξα g = 0 olarak bulunur.
α =1
6.2. ε α -Almost S-Manifoldlar İçin Örnekler
Örnek (Spacelike Almost S-Manifoldlar):
IR 2 n + s üzerindeki koordinat sistemi ( xi , yi , zα ) = ( x1 ,..., xn , y1 ,..., yn , z1 ,..., zs ) olsun.
r ≠ 0, r ≤ n, r ≠ s için özel halini incelenecektir. Burada;
⎧⎪−1, 0 ≤ i ≤ r
⎪⎩+1, ( r + 1) ≤ i ≤ n
εi = ⎨
olmak üzere, ∀α ∈ {1, 2,..., s} için ε α = +1
dır.
ηα =
ε α ⎧⎪
r
n
r
n
⎫⎪ 1 ⎧⎪
⎫⎪
⎨dzα − ∑ ε i yi dxi − ∑ ε i* yi* dxi* ⎬ = ⎨dzα + ∑ yi dxi − ∑ yi* dxi* ⎬
2 ⎩⎪
i =1
i =1
i* = ( r +1)
i* = ( r +1)
⎭⎪ 2 ⎩⎪
⎭⎪
97
1-formu göz önüne alınsın. Burada ξα = 2ε α
η α (ξ β ) =
r
n
⎞
1⎛
⎜ dzα + ∑ yi dxi − ∑ yi* dxi* ⎟
⎟
2 ⎜⎝
i =1
i* = ( r +1)
⎠
∂
∂
=2
∂zα
∂zα
⎛ ∂
⎜⎜ 2
⎝ ∂zβ
için
⎞
⎟⎟ = δαβ
⎠
olduğu görülür. Ayrıca φ endomorfizmine karşılık gelen matris
⎡
⎢
⎢
⎢[ 0]
⎢ n× n
φ ( X ) = ⎢ −In
⎢
⎢
⎢[ 0 ]
⎢ s× n
⎣⎢
In
[0]n×n
⎡ε1 y1...ε s ys ys +1... yn ⎤
⎢............................ ⎥
⎢
⎥
⎢⎣ε1 y1...ε s ys ys +1... yn ⎥⎦ s×n
⎤
⎥
⎥
[ 0]n×s ⎥⎥
[ 0]n×s ⎥
⎥
⎥
0
[ ]s × s ⎥
⎥
⎦⎥ ( 2 n + s )×( 2 n + s )
⎡ Xi ⎤
⎢ X ⎥
⎢ i* ⎥
⎢ X n +i ⎥
⎢
⎥
⎢ X n + i* ⎥
⎢⎣ X 2 n +α ⎥⎦
( 2 n + s )×1
dir. Buradan
⎡
⎢
⎢
⎢
−In
⎢
2
φ (X ) = ⎢
[ 0]n×n
⎢
⎢ ⎡ −ε1 y1... − ε s ys − ys +1... − yn ⎤
⎥
⎢ ⎢............................
⎢
⎥
⎢
⎢
⎥
...
...
y
y
y
y
−
−
−
−
ε
ε
⎢⎣ ⎣ 1 1
s s
s +1
n ⎦ s× n
⎡ −In
⎢
φ ( X ) = ⎢[ 0]n×n
⎢[ 0 ]
⎣ s× n
2
[0]n×n
−In
[ 0 ]s × n
⎡ Xi ⎤
[ 0]n×s ⎤ ⎢⎢ X i* ⎥⎥
[ 0]n×s ⎥⎥ ⎢ X n+i ⎥
⎢
⎥
− I s ⎥⎦ ⎢ X n +i* ⎥
⎢⎣ X 2 n +α ⎥⎦
[0]n×n
−In
[ 0 ]s × n
⎤
⎥
⎥
[ 0]n×s ⎥⎥
[ 0]n×s ⎥
⎥
⎥
[ 0 ]s × s ⎥
⎥
⎥⎦ ( 2 n + s )×( 2 n + s )
⎡ Xi ⎤
⎢ X ⎥
⎢ i* ⎥
⎢ X n +i ⎥
⎢
⎥
⎢ X n + i* ⎥
⎢⎣ X 2 n +α ⎥⎦
( 2 n + s )×1
98
⎡
⎢
⎢
⎢
[0]n×n
⎢
+⎢
[0]n×n
⎢
⎢ ⎡ −ε1 y1... − ε s ys − ys +1... − yn ⎤
⎥
⎢ ⎢............................
⎢
⎥
⎢
⎢
⎥
y
y
y
y
...
...
−
−
−
−
ε
ε
s s
s +1
n ⎦ s×n
⎣⎢ ⎣ 1 1
[0]n×n
[0]n×n
[ 0 ]s × n
⎡
⎤
[0]1×r
⎢
⎥
[ 0]1×( n−r )
⎢
⎥
⎢
⎥
[0]1×r
⎡ Xi ⎤ ⎢
⎥
⎢ X ⎥ ⎢
⎥
0
[
]
1×( n − r )
⎢ i* ⎥ ⎢
⎥
n
= − ⎢ X n +i ⎥ + ⎢ r
⎥
⎢
⎥ ⎢ −∑ ε i yi X i − ∑ yi* X i* + X 2 n +1 ⎥
X
⎢ n +i* ⎥ ⎢ i =1
i* = ( r +1)
⎥
⎢⎣ X 2 n +α ⎥⎦ ⎢
................................................... ⎥
⎢ r
⎥
n
⎢
⎥
⎢ −∑ ε i yi X i − * ∑ yi* X i* + X 2 n + s ⎥
i = ( r +1)
⎣ i =1
⎦
⎡
⎤
[ 0]1×r
⎥
⎡ Xi ⎤ ⎢
[0]1×( n−r )
⎥
⎢ X ⎥ ⎢
*
⎢
⎥
⎢ i ⎥
0]1×r
[
⎢
⎥
= − ⎢ X n +i ⎥ +
⎢
⎥
0
[
]
⎢
⎥
1×( n − r )
X
⎢
⎥
*
⎢ n +i ⎥
r
n
⎢
⎥
⎢⎣ X 2 n +α ⎥⎦ − ε y X −
⎢ ∑ i i i * ∑ yi* X i* + X 2 n +α ⎥
i =( r +1)
⎣ i =1
⎦
⎤
⎥
⎥ ⎡ Xi ⎤
[ 0]n×s ⎥⎥ ⎢⎢ X i* ⎥⎥
[ 0]n×s ⎥ ⎢ X n+i ⎥
⎥
⎥⎢ X
⎥ ⎢ n + i* ⎥
I s ⎥ ⎢⎣ X 2 n +α ⎥⎦
⎥
⎦⎥
99
⎡ Xi ⎤
⎢ X ⎥
⎢ i* ⎥ 1 ⎛
= − ⎢ X n +i ⎥ + ⎜ X 2 n +α
⎢
⎥ 2 ⎜⎝
⎢ X n + i* ⎥
⎢⎣ X 2 n +α ⎥⎦
1⎛
= − X + ⎜ X 2 n +α
2 ⎜⎝
⎡[ 0]⎤
⎢ ⎥
⎢[ 0]⎥
⎢[ 0]⎥
⎢ ⎥
r
n
⎞ ⎢[ 0]⎥
− ∑ ε i yi X i − ∑ yi* X i* ⎟
⎟⎢ 2 ⎥
i =1
i* = ( r +1)
⎠⎢ ⎥
⎢ . ⎥
⎢ . ⎥
⎢ ⎥
⎣⎢ 2 ⎦⎥
⎡[ 0]⎤
⎢ ⎥
⎢[ 0]⎥
⎢[ 0]⎥
r
n
⎞ ⎢⎢[ 0]⎥⎥
− ∑ ε i yi X i − ∑ ε i* yi* X i* ⎟
⎟⎢2⎥
i =1
i* = ( r +1)
⎠⎢ ⎥
⎢ . ⎥
⎢ . ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ 2 ⎥⎦
s
= − X + ∑ ε αη α ( X ) ξα
α =1
bulunur. Burada
ηα ( X ) =
εα ⎛
r
n
⎞
−
−
dz
y
dx
ε
⎜ α ∑ i i i ∑ ε i* yi* dxi* ⎟
2 ⎝
i =1
i* = r +1
⎠
⎛
∂
∂
∂
∂
∂ ⎞
⎜Xj
⎟
X
+ X j*
+ X n+ j
+ X n + j*
+
2 n+ β
⎜
∂x j
∂x j*
∂y j
∂yj *
∂zβ ⎟
⎝
⎠
r
n
⎞
1⎛
= ⎜ X 2 n + β δαβ − ∑ ε i yi X jδ ij − ∑ ε i* yi* X j* δ i* j* ⎟
2⎝
i =1
i* = r +1
⎠
r
n
⎞
1⎛
= ⎜ X 2 n +α − ∑ ε i yi X i − ∑ ε i* yi* X i* ⎟
2⎝
i =1
i* = r +1
⎠
100
dir. Indefinite “g” metriğini bulunacaktır
εα
g=
r
εα
i =1
2
∑ ε i ( dxi 2 + dyi 2 ) +
2
r
s
∑ ε i ( dxi 2 + dyi 2 ) + ∑ εαη α ⊗η α
*
*
*
α =1
i =1
dir. Burada;
1⎛
4⎝
r
η α ⊗η α = ⎜ dzα − ∑ ε i yi dxi −
i =1
n
∑ε
i* = r +1
i
*
r
n
⎞
⎞⎛
yi* dxi* ⎟ ⎜ dzβ − ∑ ε j y j dx j − ∑ ε j* y j* dx j* ⎟
⎜
⎟
j=
j* = r +1
⎠⎝
⎠
r
n
r
1 ⎧⎪
⊗
−
⊗
−
⊗
−
dz
dz
ε
y
dz
dx
ε
y
dz
dx
ε i yi dxi ⊗ dzβ
⎨ α
∑
∑ j* j * α
∑
j j
j
β
α
j*
4 ⎪⎩
j =1
i =1
j* = r +1
=
r
r
i , j =1
i =1
+ ∑ ε iε j yi y j dxi ⊗ dx j + ∑ ε i yi
n
+
∑
i* = r +1
ε i yi
*
s
*
∑ ε j y j dxi ⊗ dx j −
∑
j* = r +1
ε j y j dxi ⊗ dx j −
*
∑
*
*
n
∑ε
i* = r +1
i*
yi* dxi* ⊗ dzβ
⎫⎪
s
*
j =1
n
ε i ε j yi y j dxi ⊗ dx j ⎬
*
i* , j* = r +1
*
*
*
*
*
⎪⎭
dir O halde g tekrar yazılırsa;
ε α ⎧⎪
r
n
r
r
+ ∑ ( ε iδ ij + ε iε j yi y j ) dxi ⊗ dx j + ∑ ε i yi
i , j =1
+
r
⎨dzα ⊗ dzβ − ∑ ε j y j dzα ⊗ dx j − ∑ ε j* y j* dzα ⊗ dx j* − ∑ ε i yi dxi ⊗ dzβ
4 ⎪⎩
j =1
i =1
j* = r +1
g=
n
∑
i* = r +1
+
ε i yi
*
i =1
r
*
∑ ε j y j dxi ⊗ dx j +
*
j =1
n
∑ε
i* = r +1
i*
n
∑
i* , j* = r +1
(
n
∑
ε j y j dxi ⊗ dx j −
*
j* = r +1
*
*
)
n
∑ε
i* = r +1
i*
r
yi* dxi* ⊗ dzβ
ε i δ i j + ε i ε j yi y j dxi ⊗ dx j + ∑ ε i dyi ⊗ dyi
*
* *
*
*
*
⎫
dyi* ⊗ dyi* ⎬
⎭
bulunur. g indefinite metriğine karşılık gelen matris
*
*
*
i =1
101
⎡ε iδ ij + ε iε j yi y j
⎢
⎢ ε yε y
i i j* j*
⎢
εα ⎢
[ g ] = ⎢ [ 0]r×r
4
⎢ [ 0]
( n − r )×r
⎢
⎢
[ A]
⎣
ε i yiε j y j
*
[0]r×r
*
ε i δ i j + ε i ε j yi y j
*
* *
*
*
*
[ 0]r×( n−r )
[ 0]( n−r )×( n−r )
[ B]
*
[0]r×( n−r )
[ 0]( n−r )×r [0]( n−r )×( n−r )
ε iδ ij
[0]r×( n−r )
[ 0]( n−r )×r ε i δ i j
[0]s×r
[0]s×( n−r )
*
* *
[ A]
⎤
⎥
T
[ B ] ⎥⎥
[0]r×s ⎥⎥
[ 0]( n−r )×s ⎥⎥
δαβ ⎥
⎦ ( 2 n + s )×( 2 n + s )
T
dir. Buradaki A ve B matrisleri sırasıyla;
⎡ −ε1 y1
⎢ .
[ A] = ⎢⎢ .
⎢
⎣ −ε1 y1
⎡ −ε r +1 yr +1
⎢
.
[ B ] = ⎢⎢ .
⎢
⎣ −ε r +1 yr +1
. . . −ε r yr ⎤
. . .
. ⎥⎥
. . .
. ⎥
⎥
. . . −ε r yr ⎦ s×r
⎧⎪−1, 0 ≤ i ≤ r
dir. ε i = ⎨
⎪⎩+1, ( r + 1) ≤ i ≤ n
. . . −ε n yn ⎤
. . .
. ⎥⎥
. . .
. ⎥
⎥
. . . −ε n yn ⎦ s×( n − r )
ve ∀α ∈ {1, 2,..., s} için ε α = +1 olduğu göz önüne
alınarak g matrisi tekrar yazılırsa;
⎡ −δ ij + yi y j
⎢
⎢ − yi y j*
1⎢
[ g ] = ⎢ [ 0]r×r
4⎢
⎢ [ 0]r ×( n − r )
⎢
yj
⎢⎣
− yi y j*
δ i j + yi y j
* *
*
*
[ 0]( n−r )×r
[ 0]( n−r )×( n−r )
− y j*
yi ⎤
[0]r×r
[ 0]( n−r )×r
⎥
[0]r×( n−r ) [ 0]( n−r )×( n−r ) − yi ⎥
⎥
−δ ij
[ 0]( n−r )×r
[ 0 ]s × r ⎥
⎥
δi j
[ 0]r×( n−r )
[0]s×( n−r ) ⎥
⎥
δαβ ⎥
[0]r×s
[ 0]( n−r )×s
⎦ ( 2 n + s )×( 2 n + s )
*
* *
elde edilir. Sonuç olarak ( IR22rn + s , φ , ξα ,η α , g ) bir spacelike-S-manifolddur.
102
6.1.Önerme
( IR
2n+ s
2r
, φ , ξα ,η α , g ) spacelike almost S-manifold için
s
g (φ ( X ) , φ (Y ) ) = g ( X , Y ) − ∑ ε αη α ( X )η α (Y )
α =1
dir.
İspat
İspat yapılırken aşağıdaki eşitlikler göz önüne alınılacaktır.
g (φ ( X ) , φ (Y ) ) = ⎡⎣φ ( X ) ⎤⎦
T
[ g ] ⎡⎣φ (Y )⎤⎦
g ( X , Y ) = [ X ] [ g ][Y ]
T
olmak üzere
⎡
⎢
⎢
⎢[ 0]
⎢ n× n
⎡⎣φ ( X ) ⎤⎦ = ⎢ − I n
⎢
⎢
⎢[ 0 ]
⎢ n×s
⎣⎢
In
[0]n×n
⎡ε1 y1...ε s ys ys +1... yn ⎤
⎢............................ ⎥
⎢
⎥
⎢⎣ε1 y1...ε s ys ys +1... yn ⎥⎦ n×s
⎤
⎥
⎥
[ 0]s×n ⎥⎥
[ 0]s×n ⎥
⎥
⎥
0
[ ]s × s ⎥
⎥
⎦⎥
⎡ Xi ⎤
⎢ X ⎥
⎢ i* ⎥
⎢ X n +i ⎥
⎢
⎥
⎢ X n + i* ⎥
⎢⎣ X 2 n +α ⎥⎦
103
r
⎡
⎤
X n +i
∑
⎢
⎥
i =1
⎢
⎥
n
⎢
⎥
X n + i*
∑
⎢
⎥
i* = r +1
⎢
⎥
r
⎢
⎥
−∑ X i
=⎢
⎥
i =1
⎢
⎥
n
⎢
⎥
− ∑ X i*
⎢
⎥
i* = r +1
⎢
⎥
n
⎢ r
⎥
⎢ ∑ ε i yi X n +i + ∑ ε i* yi* X n +i* ⎥
i* = r +1
⎣ i =1
⎦
dir. Burada vektör alanları
s
X = ∑ Xi
i =1
n
s
s
∂
∂
∂
∂
+ ∑ X i*
+ ∑ X n+i
+ ∑ X n + i*
∂xi i* = s +1
∂xi* i =1
∂xn +i i* =1
∂xn +i*
ve
s
Y = ∑ Yi
i =1
n
s
s
∂
∂
∂
∂
+ ∑ Yi*
+ ∑ Yn +i
+ ∑ Yn +i*
∂xi i* = s +1 ∂xi* i =1
∂xn +i i* =1
∂xn +i*
olmak üzere
⎡ r
⎤
⎢ −∑ Yn +i ⎥
⎢ i =1
⎥
⎢ n
⎥
⎢ *∑ Yn +i* ⎥
i = r +1
⎥
1⎢ r
⎢
⎥
g
⎡
φ
Y
⎤
=
[ ] ⎣ ( )⎦
4 ⎢ ∑ Yi ⎥
⎢ i =1
⎥
⎢ r
⎥
⎢ −∑ Yi* ⎥
⎢ i* =1 ⎥
⎢ [ 0] ⎥
⎣
⎦
olur. Buradan
104
r
⎡
⎤
X n +i
∑
⎢
⎥
i =1
⎢
⎥
n
⎢
⎥
X n + i*
∑
⎢
⎥
i* = r +1
⎢
⎥
r
⎥
T
1⎢
−∑ X i
⎡⎣φ ( X ) ⎤⎦ [ g ] ⎡⎣φ (Y ) ⎤⎦ = ⎢
⎥
4⎢
i =1
⎥
n
⎢
⎥
− ∑ X i*
⎢
⎥
i* = r +1
⎢
⎥
n
⎢ r
⎥
⎢ ∑ ε i yi X n +i + ∑ ε i* yi* X n +i* ⎥
i* = r +1
⎣ i =1
⎦
=
=
T
⎡ r
⎤
⎢ −∑ Yn +i ⎥
⎢ i =1
⎥
⎢ n
⎥
⎢ *∑ Yn +i* ⎥
⎢ i = r +1
⎥
⎢ r
⎥
⎢ ∑ Yi ⎥
⎢ i =1
⎥
⎢ r
⎥
⎢ −∑ Yi* ⎥
⎢ i* =1 ⎥
⎢ [ 0] ⎥
⎣
⎦
n
r
n
⎫
1⎧ r
−
+
−
+
X
Y
X
Y
X
Y
*
*
⎨ ∑ n +i n +i ∑ n +i n +i ∑ i i ∑ X i* Yi* ⎬
4 ⎩ i =1
i =1
i* = r +1
i* = r +1
⎭
n
⎫
1⎧ r
−
+
+
X
Y
X
Y
X i* Yi* + X n +i* Yn +i* ⎬
⎨ ∑( i i
∑
n +i n + i )
4 ⎩ i =1
i* = r +1
⎭
(
)
bulunur. Ayrıca
r
r
n
r
⎡
⎤
Yi
y
y
Y
y
y
Y
yiY2 n +α ⎥
−
+
−
+
*
*
∑
∑
∑
∑
i j i
i j i
⎢
i =1
i =1
i =1
i* = r +1
⎢
⎥
r
n
n
n
⎢
⎥
⎢ −∑ yi y j* Yi + ∑ Yi* + ∑ yi* y j* Yi* − ∑ yi* Y2 n +α ⎥
i* = r +1
i* = r +1
i* = r +1
⎢ i =1
⎥
r
⎥
1⎢
−∑ Yn +i
[ g ][Y ] = ⎢
⎥
4⎢
i =1
⎥
n
⎢
⎥
Yn +i*
⎢
⎥
∑
i* = r +1
⎢
⎥
r
n
⎢
⎥
y jYi − ∑ y j* Yi* + Y2 n +α
⎢
⎥
∑
⎢⎣
⎥⎦
i =1
i* = r +1
[ X ] [ g ][Y ] =
T
r
n
r
r
1⎧ 1
⎨−∑ X iYi + ∑ yi y j X iYi − ∑ yi y j* X iYi* + ∑ yi X iY2 n +α − ∑ yi* y j X i* Yi
4 ⎩ i=
i =1
i =1
i =1
i* = r +1
105
+
n
∑
i* = r +1
X i* Yi* +
n
∑
i* = r +1
r
+ ∑ y j X 2 n +α Yi −
i =1
=
r
r
i =1
i =1
yi* y j* X i* Yi* − ∑ yi* X i* Y2 n +α − ∑ Yn +i X n +i +
n
∑
i* = r +1
X n +i* Yn +i*
⎫
y j* X 2 n +α Yi* + X 2 n +α Y2 n +α ⎬
i* = r +1
⎭
n
∑
n
r
n
1⎧ 1
⎨−∑ ( X iYi + X n +iYn +i ) + ∑ X i* Yi* + X n +i* Yn +i* + ∑ yi y j X iYi − ∑ yi y j* X iYi*
4 ⎩ i=
i =1
i* = r +1
i* = r +1
(
r
r
i =1
i =1
+ ∑ yi X iY2 n +α − ∑ yi* y j X i* Yi +
−
n
∑
i* = r +1
)
r
r
i =1
i =1
yi* y j* X i* Yi* − ∑ yi* X i* Y2 n +α + ∑ y j X 2 n +α Yi
⎫
y j* X 2 n +α Yi* + X 2 n +α Y2 n +α ⎬
i* = r +1
⎭
n
∑
olur ve sonuç olarak
s
g (φ ( X ) , φ (Y ) ) = g ( X , Y ) − ∑ ε αη α ( X )η α (Y )
α =1
eşitliği bulunur.
Ayrıca ( IR22rn + s , φ , ξα ,η α , g ) spacelike almost S-manifoldunun
⎛ ∂ ∂ ∂ ∂
∂
,
,
,
,
⎜⎜
⎝ ∂xi ∂xi* ∂yi ∂yi* ∂zα
∀α ∈ {1, 2,..., s} için
⎞
⎧⎪−1, 0 ≤ i ≤ r
, ε α = +1
⎟⎟ doğal tabanından başka ε i = ⎨
⎪⎩+1, ( r + 1) ≤ i ≤ n
⎠
106
⎛
⎜
⎝
ϕ1 = ⎜ Ei = 2
r
⎛ ∂
∂
∂
∂ ⎞
, Ei* = 2
, φ ( Ei ) = 2 ⎜
+ ∑ ε i yi
⎟,
∂yi
∂yi*
∂zα ⎠
⎝ ∂xi i =1
n
⎛ ∂
∂ ⎞
∂ ⎞
+ ∑ ε i* yi*
, ξα = 2ε α
⎟
⎟
⎜ ∂x * i*= r +1
∂zα ⎟⎠
∂zα ⎠
⎝ i
φ ( Ei ) = 2 ⎜
*
⎛
⎜
⎝
ϕ1 = ⎜ Ei = 2
φ ( Ei
*
)
r
⎛ ∂
∂
∂
∂ ⎞
− ∑ yi
, Ei* = 2
, φ ( Ei ) = 2 ⎜
⎟,
∂yi
∂yi*
⎝ ∂xi i =1 ∂zα ⎠
n
⎛ ∂
∂ ⎞
∂ ⎞
= 2⎜
+ ∑ yi*
, ξα = 2
⎟
⎟
⎜ ∂x * i*= r +1 ∂zα ⎟
∂zα ⎠
⎝ i
⎠
tabanı da alınabilir. Vektör alanları
i*
i
X = X Ei + X Ei* + X
n +i
En +i + X
n + i*
En +i* + X
2 n +α
E2 n +α
ve
i*
i
Y = Y Ei + Y Ei* + Y
n +i
En + i + Y
n + i*
En +i* + Y
2 n +α
E2 n +α
olmak üzere ϕ1 bazının bir ortonormal baz olduğu gösterilecektir.
εα ⎧
g ( Ei , E j ) =
r
(
)
n
(
⎨∑ dxk ( Ei ) dxk ( E j ) + dyk ( Ei ) dyk ( E j ) + ∑ dxk * ( Ei ) dxk * ( E j )
4 ⎩ k =1
k * = r +1
)}
s
dyk * ( Ei ) dyk * ( E j ) + ∑ ε αη α ( Ei )η α ( E j )
=
1⎧ r
⎫
⎨∑ ε k 2δ ki 2δ kj ⎬
4 ⎩ k =1
⎭
= ε iδ ij
= −δ ij
α =1
107
(
)
g Ei* , Ei* =
εα ⎧
(
r
( ) ( )
( ))
( )
⎨∑ ε k dxk Ei* dxk E j* + dyk * Ei* dyk * E j*
4 ⎩ k =1
+
∑ ε ( dx ( E ) dx
n
k*
k * = r +1
k*
k*
i*
( E ) +dy ( E ) dy ( E ))}
j*
k*
i*
k*
j*
( ) ( )
s
+ ∑ ε αη α Ei* η α E j*
α =1
=
{
1
ε * 2δ * * 2δ * *
4 k ki k j
}
= ε * δ i* j*
i
= δ i* j *
(
)
g φ ( Ei ) , φ ( E j ) =
εα ⎧
(
s
(
)
(
⎨∑ ε k dxk (φ ( Ei ) ) dxk φ ( E j ) + dyk (φ ( Ei ) ) dyk φ ( E j )
4 ⎩ k =1
+
n
∑ε
k * = r +1
k
*
( dx
k
))
(φ ( E ) ) dx (φ ( E ) ) + dy (φ ( E ) ) dy (φ ( E ) ) )⎬
⎫
*
i
k
j
*
(
s
+ ∑ ε αη α (φ ( Ei ) )η α φ ( E j )
α =1
k
i
*
k
j
*
⎭
)
1⎧ r
⎫
= ⎨∑ ε k 2δ ki 2δ kj ⎬
4 ⎩ k =1
⎭
= ε iδ ij
= −δ ij
( ) ( ))
(
g φ Ei* , φ E j*
+
r
∑ε
k * = r +1
k*
εα ⎧
r
( (
( ) ) dx (φ ( E ) ) + dy (φ ( E ) ) dy (φ ( E ) ) )
⎨∑ ε k dxk φ Ei*
4 ⎩ k =1
=
k
j*
k
( dx (φ ( E )) dx (φ ( E )) + dy (φ ( E )) dy (φ ( E )))⎫⎬⎭
k*
i*
k*
s
j*
k*
i*
( ( )) ( ( ))
+ ∑ ε αη α φ Ei* η α φ E j*
α =1
k*
j*
i*
k
j*
108
⎫
1⎧ s
⎨ ∑ ε k * 2δ k *i* 2δ k * j* ⎬
4 ⎩ k * =1
⎭
=
= ε i* δ i* j*
= δ i* j *
εα ⎧
g (ξα , ξ β ) =
(
r
⎨∑ ε k dxk (ξα ) dxk (ξ β ) + dyk (ξα ) dyk (ξ β )
4 ⎩ k =1
n
∑
+
)}
s
ε k ( dxk (ξα )dxk (ξ β ) + dyk (ξα ) dyk (ξ β ) + ∑ ε γη γ (ξα )η γ (ξ β )
*
k * = r +1
)
*
*
*
*
γ =1
s
= ∑ δ γα δ γβ
γ =1
= δαβ
(
)
g Ei , E j* =
εα ⎧
(
r
( ))
( )
⎨∑ ε k dxk ( Ei ) dxk E j* + dyk ( Ei ) dyk E j*
4 ⎩ k =1
+
n
∑ε
k * = r +1
k*
( dx
k*
( Ei ) dxk
*
( E ) + dy
j*
k*
(
)
( Ei ) dyk
*
( E ))}
j*
( )
s
+ ∑ ε αη α ( Ei )η α E j*
α =1
=0
(
)
g Ei , φ ( E j ) =
εα ⎧
(
r
(
⎨∑ ε k dxk ( Ei ) dxk φ ( E j ) + dyk ( Ei ) dyk φ ( E j )
4 ⎩ k =1
+
))
∑ ε ( dx ( E )dx (φ ( E ) ) + dy ( E ) dy (φ ( E ) ) )}
n
k * = r +1
s
k*
k*
i
(
+ ∑ ε αη α ( Ei )η α φ ( E j )
α =1
=0
j
k*
)
k*
i
k*
j
109
g ( Ei , ξ β ) =
εα ⎧
(
r
)
n
(
⎨∑ ε k dxk ( Ei ) dxk (ξ β ) + dyk ( Ei ) dyk (ξ β ) + ∑ ε k * dxk * ( Ei )dxk * (ξ β )
4 ⎩ k =1
k * = r +1
)}
s
+ dyk * ( Ei ) dyk * (ξ β ) + ∑ ε αη α ( Ei )η α (ξ β ) ,
α =1
=0
( )
( ( )) + dy ( E ) dy (φ ( E )))
(
ε ⎧ r
g ⎛⎜ Ei , φ E * ⎞⎟ = α ⎨∑ ε k dxk ( Ei ) dxk φ E j*
j
⎝
⎠ 4 ⎩ k =1
n
∑ ε ( dx ( E )dx
+
k * = r +1
k*
k*
i
k*
k
i
(φ ( E )) + dy
j*
k
k*
j*
( Ei ) dyk (φ ( E j
*
)) ⎞⎟⎠⎪⎬⎭⎪
⎫
*
( ( ))
s
+ ∑ ε αη α ( Ei )η α φ E j*
α =1
=0
(
)
g Ei* , φ ( E j ) =
εα ⎧
( ( ) (
r
)
( ) (
⎨∑ ε k dxk Ei* dxk φ ( E j ) + dyk Ei* dyk φ ( E j )
4 ⎩ k =1
))
∑ ε ( dx ( E )dx (φ ( E ) ) + dy ( E ) dy (φ ( E ) ) )}
n
+
k * = r +1
k*
k*
i*
( ) (
s
j
k*
+ ∑ ε αη α Ei* η α φ ( E j )
α =1
k*
i*
j
k*
)
=0
( )
(
( ( )) + dy ( E ) dy (φ ( E )))
ε ⎧r
g ⎛⎜ Ei* , φ E * ⎞⎟ = α ⎨∑ ε k dxk Ei* dxk φ E j*
j
⎝
⎠ 4 ⎩ k =1
( )
∑ ε ( dx ( E )dx
n
+
k * = r +1
s
k*
k*
( )
i*
k*
(φ ( E )) +dy
( ( ))
+ ∑ ε αη α Ei* η α φ E j*
α =1
=0
k
j*
i*
k
k*
( E ) dy
i*
j*
k*
(φ ( E )))}
j*
110
(
)
g Ei* , ξ β =
εα ⎧
( ( )
r
)
( )
( ( )
n
⎨∑ ε k dxk Ei* dxk (ξ β ) + dyk Ei* dyk (ξ β ) + ∑ ε k * dxk * Ei* dxk * (ξ β )
4 ⎩ k =1
k * = r +1
)}
( )
s
( )
+ dyk * Ei* dyk * (ξ β ) + ∑ ε αη α Ei* η α (ξ β )
α =1
=0
(
( )) = ε4 ⎧⎨⎩∑ ε ( dx (φ ( E )) dx (φ ( E )) + dy (φ ( E ) ) dy (φ ( E )))
g φ ( Ei ) , φ E j*
r
α
k
k =1
+
k
i
k
n
∑ ε ( dx (φ ( E ) )dx
k*
k * = r +1
i
k*
k
j*
k*
i
(φ ( E )) +dy
j*
k*
k
j*
(φ ( E ) ) dy
i
k*
(φ ( E )))}
j*
( ( ))
s
+ ∑ ε αη α (φ ( Ei ) )η α φ E j*
α =1
=0
g (φ ( Ei ) , ξ β ) =
εα ⎧
(
r
⎨∑ ε k dxk (φ ( Ei ) ) dxk (ξ β ) + dyk (φ ( Ei ) ) dyk (ξ β )
4 ⎩ k =1
+
)
∑ ε ( dx (φ ( E ) )dx (ξ β ) + dy (φ ( E ) ) dy (ξ β ) )}
n
k*
k * = r +1
i
k*
i
k*
k*
k*
s
+ ∑ ε αη α (φ ( Ei ) )η α (ξ β )
α =1
=0
(
( ) ( ) ) = ε4 ⎧⎨∑ ε
⎩
g φ Ei* , φ E j*
r
α
k =1
+
k
( dx (φ ( E )) dx (ξ
r
∑ε
k * = r +1
s
k*
k
k
i*
( dx (φ ( E )) dx
k*
( ( ))
i*
+ ∑ ε αη α φ Ei* η α (ξ β )
α =1
=0
k*
β
) + dy (φ ( E ) ) dy (ξ ) )
k
k
i*
β
(ξ ) + dy (φ ( E ) ) dy (ξ ) )⎬
⎫
β
k*
i*
k*
β
⎭
111
olduğundan ϕ1 tabanı ortogonaldir.
Örnek (Timelike Almost S-Manifoldlar):
IR 2 n + s üzerindeki koordinat sistemi ( xi , yi , zα ) = ( x1 ,..., xn , y1 ,..., yn , z1 ,..., zs ) olsun.
r ≠ 0, r ≤ n, r ≠ s özel hali incelenecektir. Burada;
⎧⎪−1, 0 ≤ i ≤ r
olmak üzere , ∀α ∈ {1, 2,..., s} için ε α = −1
⎪⎩+1, ( r + 1) ≤ i ≤ n
εi = ⎨
dır.
r
n
⎫⎪
⎫⎪
1 ⎧⎪
η = ⎨dzα − ∑ ε i yi dxi − ∑ ε i* yi* dxi* ⎬ = − ⎨dzα + ∑ yi dxi − ∑ yi* dxi* ⎬
2 ⎪⎩
2 ⎩⎪
i =1
i =1
i* = ( r +1)
i* = ( r +1)
⎭⎪
⎭⎪
α
ε α ⎧⎪
r
n
1-formları göz önüne alınsın. Burada ξα = 2ε α
1⎛
2⎝
r
η α (ξ β ) = − ⎜ dzα + ∑ yi dxi −
⎜
i =1
∂
∂
= −2
∂zα
∂zα
⎞⎛ ∂
yi* dxi* ⎟ ⎜ 2
⎟ ⎜ ∂zβ
i* =( r +1)
⎠⎝
n
∑
için
⎞
⎟⎟ = −δ αβ
⎠
olduğu görülür. Ayrıca φ endomorfizmine karşılık gelen matris spacelike almost Smanifoldlardaki gibi benzer şekilde
112
⎡
⎢
⎢
⎢[ 0]
⎢ n× n
⎢ −In
⎢
⎢
⎢[ 0 ]
⎢ n×s
⎣⎢
⎤
⎥
⎥
[ 0]s×n ⎥⎥
[ 0]s×n ⎥
⎥
⎥
[ 0 ]s × s ⎥
⎥
⎦⎥ ( 2 n + s )×( 2 n + s )
In
[0]n×n
⎡ε1 y1...ε s ys ys +1... yn ⎤
⎢............................ ⎥
⎢
⎥
⎢⎣ε1 y1...ε s ys ys +1... yn ⎥⎦ n×s
olarak bulunur. Benzer şekilde
s
φ 2 ( X ) = − X + ∑ ε αη α ( X ) ξα
α =1
dir ve indefinite g metriği
⎡ −δ ij + yi y j
⎢
⎢ − yi y j*
1⎢
[ g ] = − ⎢ [0]r×r
4⎢
⎢ [ 0]r×( n − r )
⎢
yj
⎢⎣
− yi y j*
δ i j + yi y j
* *
*
*
[0]( n−r )×r
[0]( n−r )×( n−r )
− y j*
(
yi ⎤
[0]r×r
[0]( n−r )×r
⎥
[0]r×( n−r ) [0]( n−r )×( n−r ) − yi ⎥
⎥
−δ ij
[0]( n−r )×r
[0]s×r ⎥
⎥
δi j
[0]r×( n− r )
[ 0 ]s × ( n − r ) ⎥
⎥
δ αβ ⎥
[0]r×s
[0]( n−r )×s
⎦ ( 2 n + s )×( 2 n + s )
*
* *
)
olur. Sonuç olarak IR22(nn+−sr )+1 , φ , ξα ,η α , g bir timelike almost S-manifolddur.
6.2. Önerme
( IR (
2n+ s
2 n − r ) +1
)
, φ , ξα ,η α , g timelike almost S-manifoldu için
s
g (φ ( X ) , φ (Y ) ) = g ( X , Y ) − ∑ ε αη α ( X )η α (Y )
α =1
113
dir. Ayrıca ( M , φ , ξα ,η α , g ) bir timelike almost S-manifoldunun
⎛ ∂ ∂ ∂ ∂
∂
,
,
,
,
⎜⎜
⎝ ∂xi ∂xi* ∂yi ∂yi* ∂zα
⎞
⎧⎪−1, 0 ≤ i ≤ r
, ε α = −1
⎟⎟ doğal tabanından başka ε i = ⎨
+
+
≤
≤
1,
1
r
i
n
(
)
⎪
⎩
⎠
∀α ∈ {1, 2,..., s} için
⎛
⎜
⎝
ϕ2 = ⎜ Ei = 2
r
⎛ ∂
∂
∂
∂ ⎞
, Ei* = 2
, φ ( Ei ) = 2 ⎜
+ ∑ ε i yi
⎟,
∂yi
∂yi*
∂zα ⎠
⎝ ∂xi i =1
n
⎛ ∂
∂ ⎞
∂ ⎞
+ ∑ ε i* yi*
⎟⎟ , ξα = 2ε α
⎟
∂zα ⎠
∂zα ⎠
⎝ ∂xi* i*= r +1
φ ( Ei ) = 2 ⎜
⎜
*
⎛
⎜
⎝
ϕ2 = ⎜ Ei = 2
r
⎛ ∂
∂
∂
∂ ⎞
, Ei* = 2
, φ ( Ei ) = 2 ⎜
− ∑ yi
⎟,
∂yi
∂yi*
⎝ ∂xi i =1 ∂zα ⎠
n
⎛ ∂
∂ ⎞
∂ ⎞
+ ∑ yi*
, ξα = −2
⎟
⎟
⎜ ∂x * i*= r +1 ∂zα ⎟
∂zα ⎠
⎝ i
⎠
φ ( Ei ) = 2 ⎜
*
tabanı da alabiliriz. Burada spacelike almost S-manifold da olduğu gibi
g ( Ei , Ei ) = δ ij
(
)
g Ei* , E j* = −δ i* j*
(
)
g φ ( Ei ) , φ ( E j ) = δ ij
(
( ) ( ) ) = −δ
g φ Ei* , φ E j*
g (ξα , ξ β ) = δαβ
i* j *
114
olur ayrıca
(
) (
) (
( )) = g ( E ,ξ ) = 0
(
) (
( )) = g ( E ,ξ ) = 0
g Ei , E j* = g Ei , φ ( E j ) = g Ei , φ E j*
β
i
g ( Ei* , E j ) = g Ei* , φ ( E j ) = g Ei* , φ E j*
i*
β
) (
( ) ) = g (φ ( E ) , ξ ) = 0
g (φ ( E ) , E ) = g (φ ( E ) , E ) = g (φ ( E ) , φ ( E ) ) = g (φ ( E ) , ξ ) = 0
(
g (φ ( Ei ) , E j ) = g φ ( Ei ) , E j* = g φ ( Ei ) , φ E j*
i*
j
i*
(
j*
) (
i*
) (
j
( )) = 0
g ( ξ β , E j ) = g ξ β , E j* = g ξ β , φ ( E j ) = g ξ β , φ E j*
olduğundan ϕ2 tabanı ortogonaldir.
β
i
i*
β
115
7.INDEFINITE ε α -S-MANİFOLDLARIN REAL HİPERYÜZEYLERİ
( 2n + s ) -boyutlu bir indefinite ε α -S manifold
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) ve M , M nin non-
dejenere real hiperyüzeyi olsun. M ’ nin normal vektör alanı N ve ξ s +1 = φ N olmak
üzere
φ X = fX + w ( X ) N
(7.1)
dir. Burada w ( X ) = g ( X , N ) dir. Şimdi reel hiperyüzeye ait bazı eşitlikler elde
edilecektir.
η α ( N ) = ε α ( N , ξα ) = 0
(7.2)
s
g (ξ s +1 , ξ s +1 ) = g (φ N , φ N ) = g ( N , N ) − ∑ ε αη α ( N )η α ( N ) ,
(7.3)
g ( N , N ) = ε N = ε s +1
(7.4)
α =1
ve
g (ξ s +1 , N ) = g (φ N , N ) = 0
(7.5)
dir. Ayrıca
(
g (ξ s +1 , ξα ) = g (φ N , ξα ) = − g ( N , φζ α ) = 0, ξ s +1 ∈ Γ T M
)
(7.6)
s
g (φ X , ξ s +1 ) = g (φ X , φ N ) = g ( X , N ) − ∑ ε αη α ( X )η α ( N ) = 0
α =1
ve
(7.7)
116
g (φ X , N ) = g ( fX + w ( X ) N , N ) = g ( fX , N ) + w ( X ) g ( N , N )
(7.8)
dır. Böylece
w ( X ) = g (φ X , N ) = − g ( X , αφ N ) = − g ( X , ξ s +1 ) = −ε s +1η s +1 ( X )
(7.9)
olup
φ X = fX − ε s +1η s +1 ( N )
(7.10)
dir. Burada
η s +1 ( X ) = ε s +1 g ( X , ξ s +1 ) = ε s +1 g ( X , φ N )
(7.11)
7.1.Önerme
( 2n + s ) -boyutlu
indefinite ε α -S manifold
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) olsun. M nin real
hiperyüzeyi M üzerinde (1,1) tipinde tensör alanı f olmak üzere
s +1
f 2 = − I + ∑η α ⊗ ξα
α =1
dir.
İspat
Eş. 7.10’ dan
φ 2 ( X ) = φ ( fX ) − η s +1 ( X ) φ ( N )
(7.12)
117
= f 2 ( X ) − η s +1 ( fX ) N − η s +1 ( X ) ( fN − η s +1 ( N ) ) N
= f 2 ( X ) − η s +1 ( X ) fN − ε s +1 g ( fX , ξ s +1 ) N
= f 2 ( X ) − η s +1 ( X ) ξ s +1 − ε s +1 g (φ X , ξ s +1 ) + ε s +1η s +1 ( X ) g ( N , ξ s +1 ) N
= f 2 ( X ) − η s +1 ( X ) ξ s +1
dir. Buradan
f 2 ( X ) = φ 2 ( X ) + η s +1 ( X ) ξ s +1
s
= − X + ∑η α ( X ) ξα + η s +1 ( X ) ξ s +1
α =1
s +1
= − X + ∑η α ( X ) ξα
α =1
olur.
7.2.Önerme
( 2n + s ) -boyutlu indefinite εα -S manifold
real hiperyüzeyi M üzerinde
(1,1)
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) olsun. O halde M nin
tipinde tensör alanı f , M üzerinde bir
f − yapıdır. Yani;
f3+ f =0
dır.
İspat
Eş. 7.13’ den ∀X ∈ Γ (TM ) için;
(7.13)
118
s +1
f 3 ( X ) = − f ( X ) + ∑η α ( X ) f (ξα ) = − f ( X )
α =1
dır.
7.1. Teorem
( 2n + s ) -boyutlu
indefinite ε α -S manifold ( M , φ , ξα ,η α , g ) ve M , M ’ nin real
hiperyüzeyi olsun. ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için g , M nin anti-simetrik
yarı-Riemann
metriği olmak üzere;
(i )
f (ξα ) = 0 ,
( ii ) η α D f
= 0,
( iii ) rankf
= 2n
dir.
İspat
( i ) Eş. 7.1’ den
( ii )
f (ξα ) = 0 dır.
(
ηα D f = 0
( iii )
)
Eş. 7.10, Önerme 7.1.’ den ∀W ∈ Γ T M ve ∀α ∈ {1,..., s, s + 1} için
f lineer bir dönüşüm olduğundan
(
rankf + boyçekf = boyΓ T M
)
dir. ∀α ∈ {1,..., s, s + 1} için
ξα ∈ çekf , ξα lineer bağımsız olup
119
çekf = Sp {ξ1 ,..., ξ s +1}
dir. Buradan boyçekf = s + 1
dir. Bu durumda
(
)
rankf = boyΓ T M − boyçekf
= 2 ( n − 1)
dir.
7.2. Teorem
(M
2n+ s
(M (
, φ , ξα ,η α , g )
2 n −1) + s +1
ε α -S-manifoldunun
indefinite
bir
hiperyüzeyi
)
, φ , ξα ,η α , g bir indefinite ε α -S-manifolddur.
İspat
Teorem 7.1.’ den ε α -S-manifoldun bazı şartları
Önerme 7.1., Önerme 7.2. ve
sağlanır. Şimdi Eş. 7.3’ den
1
Xη s +1 (Y ) − Yη s +1 ( X ) − η s +1 ([ X , Y ])
2
{
dη s +1 ( X , Y ) =
=
}
{ (
1
ε s +1 g ( ∇ X Y , φ ( N ) ) + g (Y , ∇ X φ ( N ) ) − ε s +1 g ( ∇Y X , φ ( N ) )
2
)
)
(
(
+ g ( X , ∇ X φ ( N ) ) − ε s +1 g ( ( ∇ X Y − ∇Y X ) , φ ( N ) )
1
= ε s +1 g (Y , ∇ X φ ( N ) ) − g ( X , ∇Y φ ( N ) )
2
(
)
)}
120
1
= ε s +1 g (Y , −φ ( X ) ) − g ( X , −φ (Y ) )
2
(
(
)
1
= ε s +1 g (Y , − f ( X ) ) − g ( X , − f (Y ) )
2
)
= ε s +1 g ( X , fY )
ispat tamamlanır.
7.3.Önerme
( 2n + s ) -boyutlu
indefinite ε α -S manifold ( M , φ , ξα ,η α , g ) ve M , M ’ nin real
hiperyüzeyi olsun. ∀X , Y ∈ Γ (TM ) için g , M nin anti-simetrik
yarı-Riemann
metriği olmak üzere;
g ( fX , Y ) + g ( X , fY ) = 0
dir.
İspat
Eş. 7.12’ den
g ( fX , Y ) = g (φ X + η s +1 ( X ) N , Y )
= g (φ X , Y ) + η s +1 ( X ) g ( N , Y )
= − g ( X , φY )
dır. Benzer şekilde
g ( X , fY ) = g ( X , Y + η s +1 (Y ) N )
.
(7.14)
121
= g ( X , φY ) + η s +1 (Y ) g ( X , N )
= g ( X , φY )
(
)
dır. Böylece ispat tamamlanır. Herhangi bir X ∈ Γ T M için
s
X = PX + ∑η α ( X ) ξα
(7.15)
α =1
dir. PX ∈ D = Im φ ,
s
η α ( X ) ξα ∈ D
∑
α
⊥
= çekφ dir.
=1
Burada P , D = Im φ ’ ye dik izdüşüm fonksiyonudur.
(M (
2 n − s ) + s +1
, f , ξα ,η α , g
)
üzerinde η α 1-formları
η α ( X ) = ε α g ( X , ξα )
(7.16)
şeklindedir. Buradan,
η α (ξ β ) = δαβ ,
f 2 ( X ) = − X + η α ( X ) ξ s +1
(7.17)
dır ve Eş. 6.3’ den
s +1
g ( fX , fY ) = g ( X , Y ) − ∑ ε αη α ( X )η α (Y )
α =1
elde edilir.
7.3.Teorem
Indefinite ε α -S-manifold ( M , φ , ξα ,η α , g ) ’nin real hiperyüzeyi M olsun. Bu
(7.18)
122
(
)
durumda ∀X , Y ∈ Γ T M için
s +1
( i ) ( ∇ X f ) Y = ∑ {ε α g ( AX , Y ) ξα − η α (Y ) AX }
(7.19)
( ii ) ( ∇ Xη α ) Y = ε α g ( fAX , Y )
(7.20)
α =1
dır.
İspat
( i ) ∀α ∈ {1,..., s, s + 1}
(
)
ve ∀X ∈ Γ T M için;
AX = f ( ∇ X ξα )
(7.21)
dır. Burada A, (1,1) tipinde tensör alanıdır. Buradan
fAX = −∇ X ξα
(7.22)
Buradan
(
s +1
)
f ∇ X ξα = − AX + ∑η α ( AX ) ξα
(7.23)
α =1
olup
((
)
)
s +1
g ∇ X f Y , Z = ∑ {dη α ( fY , X )η α ( Z ) − dη α ( fZ , X )η α ( X )}
dır. Diğer taraftan
α =1
(7.24)
123
((
) (
)
) )
(
g ∇ X f Y , Z = g ∇ X ( fY ) − f ∇ X Y , Z
(7.25)
dir. Eş. 7.25’ de Y yerine ξα konulursa
((
)
)
( (
) )
g ∇ X f ξα , Z = − g f ∇ X ξα , Z
(7.26)
olur. Eş.7.24’ de Y yerine ξα konulursa
((
)
)
s +1
g ∇ X f ξα , Z = −∑ dη α ( fZ , X )
(7.27)
α =1
bulunur. Benzer şekilde
((
)
)
( (
) )
g ∇ X f ξα , Y = − g f ∇ X ξα , Y
(7.28)
olur. Eş. 7.24’ de Eş. 7.27 ve Eş. 7.28 yerlerine konulursa
((
)
)
s +1
{( (
) )
( (
) )
g ∇ X f Y , Z = −∑ g f ∇ X ξα , Y η α ( Z ) − g f ∇ X ξα , Z η α (Y ) , Z
α =1
{ ( (
) )
}
⎛ s +1
⎞
= g ⎜ ∑ ε α g f ∇ X ξα , Y ξα − f ∇ X ξα η α (Y ) , Z ⎟
⎝ α =1
⎠
(
)
elde edilir. g metriği non-dejenere ve Eş. 7.22’ den
( ∇ f ) Y = ∑ {ε
s +1
X
α =1
s +1
{
α
( ((∇ ξ ) ,Y )ξ ) − f (∇ ξ )η (Y )}
g f
X
α
α
X α
}
= ∑ ε α g ( AX , Y ) ξα − η α (Y )( AX )
α =1
α
}
124
bulunur.
( ii ) η α (Y )
nin kovaryant türevi alınırsa
(
)
g (∇
∇ X (η α (Y ) ) = ∇ X ε α g (Y , ξα )
( ∇ η ) (Y ) + η ( ∇ Y ) = ε
X
α
α
X
α
X
)
(
Y , ξα + ε α g ∇ X ξα , Y
)
dir. Böylece
( ∇ η ) (Y ) = ε
X
α
α
g ( ∇ X ξα , Y ) = ε α g ( fAX , Y ) .
dır.
7.3.Teorem
M , indefinite ε α -S-manifoldun real hiperyüzeyi olsun. O halde aşağıdaki eşitlikler
sağlanır.
(i )
f M ’ de paraleldir
( ii ) η α
M ’ de paraleldir
( iii ) ξα
M ’ de paraleldir
( iv )
A (1,1) tipinde bir tensör alanı olmak üzere
s +1
AX = ∑ {η α ( AX ) ξα } , ∀X ∈ Γ (TM )
α =1
dir.
125
İspat
( i ) ⇒ ( ii )
f , M ’ de paralel olsun. O halde Eş. 7.20’ den
(
s +1
)
{
0 = ∇ X f Y = ∑ η α (Y ) AX − ε α g ( AX , Y ) ξα
α =1
}
s +1
dir. Eğer Y yerine ξα alınırsa, AX = ∑ ε α g ( AX , Y ) ξα olur. Böylece
α =1
s +1
fAX = ∑ ε α g ( AX , Y ) f (ξα ) = 0
α =1
olup, buradan
(∇ η )Y = ε
X
α
α
( fAX , Y ) = 0
olur. Yani η α 1-formları M ’ de paraleldir.
( ii ) ⇒ ( iii )
η α , M ’ de paralel olsun. Eş. 7.20 ve Eş. 7.21’ den ∀Y ∈ Γ (TM ) için
(∇ η )Y = ε
X
α
α
g ( fAX , Y ) = 0
dir. g non-dejenere bir metrik olduğundan
fAX = 0 = −∇ X ξα
olur. Yani ξα vektör alanları M ’ de paraleldir.
( iii ) ⇒ ( iv )
126
Eş. 7.22’ den ∇ X ξα = − fAX = 0
dır. Böylece f 2 ( X ) = 0 olur. Buradan
s +1
AX = ∑η α ( AX ) ξα
α =1
dır.
( iv ) ⇒ ( i )
Eğer Eş. 7.19’ da Y yerine ξα konulursa
(∇ f )ξ
X
α
=0
olur.
7.3.Teorem
Indefinite ε α -S-manifold
( M ,φ ,ξ
α
,η α , g ) nin real hiperyüzeyi M olsun. Bu
durumda aşağıdakiler denktir.
(i )
M bir ε α -S-manifolddur.
( ii ) ξα
( iii )
karakteristik vektör alanları Eş. 6.1.2’ yi sağlar
A , (1,1) tipinde bir tensör alanı olmak üzere
s +1
AX = ε α X − ∑ {η α ( Aξα ) − ε α }η α ( X ) ξα
α =1
dır.
(7.29)
127
İspat
( i ) ⇒ ( ii )
Eş. 7.19’ da Y yerine ξα konulursa
s +1
(∇ f ) ξ = ∑{g ( X , ξ
X
α
α =1
α
) ξα − ε αη α (ξα ) X }
(7.30)
olur, diğer taraftan
(∇ f )ξ
X
α
(
= ∇ X ( f ξα ) − f ∇ X ξα
)
(7.31)
olup Eş. 7.30 ve Eş. 7.31’ den
(
s +1
)
− f ∇ X ξα = ∑ {ε αη α ( X ) − ε α X }
α =1
ve buradan
∇ X ξα = −ε α fX
(7.32)
bulunur.
( ii ) ⇒ ( iii )
Eş. 7.15 ve Eş. 7.33’ den
⎛
s +1
⎞
⎛
s +1
⎞
⎝
α =1
⎠
⎝
α =1
⎠
ε α f ⎜ PX + ∑η α ( X ) ξα ⎟ = f ⎜ PAX + ∑η α ( AX ) ξα ⎟
olur. Buradan,
ε α fPX = fPAX
ε α PX = PAX
(7.34)
128
7.1.2.Teorem’ de X yerine ξα konulursa
s +1
Aξα = ∑ ε α g ( AX , ξα ) ξα
(7.35)
α =1
olacaktır. Eş. 7.33, Eş. 7.34 ve Eş. 7.35 kullanılırsa
s +1
AX = PAX + ∑ ε α g ( AX , ξα ) ξα
α =1
= ε α PX +
= ε α PX +
= ε α PX +
= ε α PX +
= ε α PX +
s +1
ε α g ( AX , ξα ) ξα
∑
α
=1
s +1
ε α g ( X , Aξα ) ξα
∑
α
=1
s +1
⎛
s +1
⎞
α =1
⎝
α =1
⎠
∑ εα g ⎜ X , ∑η α ( Aξα ) ξα ⎟ ξα
s +1
ε α g ( X , ξα )η α ( Aξα ) ξα
∑
α
=1
s +1
ε αη α ( X )η α ( Aξα ) ξα
∑
α
=1
s +1
s +1
α =1
α =1
= ε α PX −∑ ε αη α ( PX ) ξα + ∑ ε αη α ( Aξα )η α ( PX ) ξα
s +1
+ ∑ ε αη α ( X )η α ( Aξα ) ξα
α =1
s +1
s +1
s +1
α =1
α =1
α =1
= ε α PX −∑ ε αη α ( PX ) ξα + ∑ ε αη α ( Aξα )η α ( PX ) ξα −∑ ε αη α ( X ) ξα
s +1
s +1
+ ∑ ε αη α ( X )η α ( Aξα ) ξα + ∑ ε αη α ( Aξα )η α ( Aξα )η α (ξα ) ξα
α =1
α =1
s
⎛
⎞
⎛
⎞
= ε α ⎜ PX − ∑η α ( X ) ξα ⎟ −ε αη α ⎜ PX − ∑η α ( X ) ξα ⎟ ξα
α =1
α =1
⎝
⎠
⎝
⎠
s
⎛
⎞
+η α ( Aξα )η α ⎜ PX − ∑η α ( X ) ξα ⎟ ξα
α =1
⎝
⎠
s
s +1
= ε α X − ∑ (η α ( Aξα ) − ε α )η α ( X ) ξα
α =1
bulunur.
129
( iii ) ⇒ ( i )
Eş. 7.19 ve Eş. 7.29’ dan
s +1
( ∇ f ) Y = ∑ {η
X
α
α =1
(Y ) AX − ε α g ( AX , Y ) ξα }
s +1
s +1
⎧
= ∑ ⎨η α (Y ) AX − ∑ (η α ( Aξα − ε α )η α ( X ) ξα )
α =1 ⎩
α =1
s +1
⎛⎛
⎞ ⎞ ⎫⎪
−ε α g ⎜ ⎜ ε α X − ∑ (η α ( Aξα ) − ε α )η α ( X ) ξα ⎟ , Y ⎟ ξα ⎬
α =1
⎠ ⎠ ⎪⎭
⎝⎝
s
{
= ∑ g ( X , Y ) ξα − ε αη α (Y ) X
α =1
elde edilir.
}
130
KAYNAKLAR
1. Aktan N., “S-Manifoldların Geometrisi Üzerine”, Osmangazi Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü, 32-40 (2006).
2. Bejancu A. ve Duggal K.L., “Real Hypersurfaces of Indefinite Kaehler
Manifolds”, Internat, J. Math. Sci., 3: 545-556 (1993).
3. Bejancu A. ve Duggal K.L., “Lightlike Submanifolds of Semi-Riemannian
Manifolds and Application”, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht
Boston London, 211-223 (1996).
4. Blair D.E., “Geometry of Manifolds With Structural Group U ( n ) × θ ( s ) ”,
J.Diff.Geom. 4:155-167 (1970).
5. Blair D.E., Terlizzi L.D., Konderak J.J., “A Darboux Theorem Generalized
Contact Manifolds”, Note di Matematica, 2: 147-152 (2006).
6. Blair D.E., “Riemannian Geometry of Contact and Symplectic Manifolds”,
Progess in Math., 203:31-115 (2001).
7. Brickell F. ve Clark R.S., “Differentiable Manifolds”, Van Nostrand,
London, 5-19 1(970).
8. Brunetti L. ve Pastore A.M., “Curvature of a Class of Indefinite Globally
Farmed f -Manifolds”, Bull. Math. Soc. Sci. Math.Roumanie Tome , 3:183204 (2008).
9. Chen B.Y., “Geometry of Submanifolds”, Marcel Dekker NY, 154-163
(1973).
10. Cabrerizo J.L., Fernandez L.M. ve Fernandez M., “The Curvature Tensor
Fields on f -Manifolds with Complemented Frames”, An. Şt. Univ. “Al. I.
Cuza” laşi Matematica, 36: 151-162 (1990).
11. Cabrerizo J.L., Fernandez L.M. ve Fernandez M., “A Classification of
Certain Submanifolds of an S -Manifold”, Annales Polinici, Mathematici
Liv., 2:117-123 (1991).
12. Cabrerizo J.L., Fernandez L.M. ve Fernandez M., “On normal CRSubmanifolds of S -Manifolds”, Colloquim Mathematicum, 64:203-214
(1993).
13. Dileo G. and Lotta A., “On The Structure and Symmetry Properties of
Almost S -Manifolds”, Geometriae Dedicata, 191-211 (2005).
131
14. Duggal K.L., Ianus S. ve Pastore A..M., “Maps Interchanging f-structures and
Their Harmonicity”, Acta Appli, Maths., 67:91-115 (2001).
15. Goldberg S.I. ve Yano K., “On Normal Globally Framed f-Manifolds”,
Tohoku Math. Jour., 22:362-370 (1970).
16. Hacısalihoğlu H.H., “Diferensiyel Geometri”, İnönü Ünv. Fen Edebiyat
Fak. Yayınları 2:75-97,(1983).
17. Ishihara S. , “Normal Structure f satisfying f 3 + f = 0 ”, Kodai Math. Sem.
Rep., 18:36-47 (1966).
18. Ishihara S. ve Yano K., “On Integrability Conditions of a Structure f
Satisfying f 3 + f = 0 ”, Quart, J, Math, Oxford (2), 15:217-222 (1964).
19. Kobayashi M. ve Tsuchiya S., “Invarriant Submanifolds in an f -Manifold
With Complemented Frames”, Kodai Math. Sem. Rep., 24: 430-450 (1972).
20. Mihai I., “CR-Submanifolds of a framed f -Manifold”, Stud. Cerc. Math.,
35:127-136 (1983).
21. Kobayashi M., “Semi-Invariant Submanifolds in an
Complemented Frames”, Tensor, 51:155-178 (1990).
f -Manifold With
22. Lotta A. ve Pastore A.M., “The Tanaka-Webster Connection For Almost S Manifolds and Cartan Geometry”, Archivum Mathematicum. 40: 47-61
(2004).
23. O’Neill B., “Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity,
Academic Pres”, New York London, 215-257 (1983).
24. Sahikh De.U.C., A.A. ve Biswas, “On φ -Recurrend Sasakian Manifolds”,
Novi Sad J. Math., 2: 43-48 (2003).
25. Terlizzi L.D. ve Pastore A.M., “Some results on K-manifolds”, Balkan
Journal of Geometry ant Its Applications, 7:43-62 (2002).
26. Terlizzi L.D., “On The Curvature of a Generalization of Contact Metric
Manifolds”, Acta Math, Hungar, 3:225-239 (2006).
27. Yano K. ve Kon M., “Structure on Manifolds”, World Scientific Publishing
Co. Pte. Ltd., 3:252-286 (1984).
132
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Soyadı, adı
: SAĞBAŞ, Duygu
Uyruğu
: T.C.
Doğum tarihi ve yeri : 11.04.1984 Ankara
Medeni hali
: Bekar
Telefon
: 0 (538) 968 72 65
e-mail
: duygusagbas@hotmail.com.
Eğitim
Derece
Eğitim Birimi Mezuniyet
Tarihi
Lisans
Anadolu Üniversitesi / İşletme Bölümü
2008
Lisans
Ankara Üniversitesi / Matematik Bölümü
2007
Lise
Ankara Gazi Lisesi
2001
İş Deneyimi
Yıl
Yer
Görev
2008-2009
Yeni Aşama Dersaneleri
Öğretmen
2009-…
Kızılay PTT Genel Müdürlüğü
Memur
Yabancı Dil
İngilizce
Hobiler
Yüzme, Ebru Sanatı, Gitar Çalmak, Kitap Okumak