Temel SIntegral Formülleri

I·ntegral Notlar¬
Temel I·ntegral Formülleri
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
R
xm+1
x dx =
+ c; m 6=
m+1
m
1
R dx
= ln jxj + c
x
R x
ax
a dx =
+ c; a > 0 a 6= 1
ln a
R x
e dx = ex + c
R
sin xdx = cos x + c
R
cos xdx = sin x + c
R
tan xdx = ln j cos xj + c
R
cot xdx = ln j sin xj + c
Z
x
dx
x
p
= arcsin + c1 = arccos + c2
2
2
a
a
a
x
Z
p
dx
p
= ln x + 2 x2 a2 + c
x 2 a2
Z
1
x
dx
= arctan + c
2
2
a +x
a
a
Z
dx
1
x+a
+c
=
ln
2
2
a
x
2a
a x
Z
dx
1
x a
=
ln
+c
x 2 a2
2a
x+a
Z
dx
= tan x + c
cos2 x
Z
dx
= cot x + c
sin2 x
R
cosh xdx = sinh x + c
R
sinh xdx = cosh x + c
Z
dx
= tanh x + c
cosh2 x
Z
dx
= coth x + c
sinh2 x
R
R
R
[f (x) + g(x)]dx = f (x)dx + g(x)dx
R
R
af (x)dx = a f (x)dx
1
I·ntegral Notlar¬
22.
23.
24.
25.
Z
R
R
R
f 0 (x)
dx = ln jf (x)j + c
f (x)
[f (x)]2
f (x)f (x) dx =
+c
2
0
[f (x)]n f 0 (x)dx =
au(x) u0 (x)dx =
[f (x)]n+1
+c
n+1
1 u(x)
a
+c
ln a
2
I·ntegral Notlar¬
3
Örnekler
1.
R
(3x2
1)dx =?
Z
(3x
2
1)dx =
Z
3x dx
3
3
=
2.
R
(8x3
3x2 + 2x 5)dx =?
Z
(8x3 3x2 + 2x
5)dx =
Z
2
Z
x3
1dx
x + c = x3
Z
3
8x dx
2
3x dx +
3
8
x4
4
3
4
3
= 2x
x + x2
3.
4.
5.
6.
7.
Z
Z
Z
Z
x2
2
2
x2
3x2 +
2
x
Z
2xdx
Z
x2
5x + c
2
2
x3 +
=
Z
x+c
5dx
5x + c
dx =?
Z
x2
2
2
x2
Z
1 x3
1 2
x dx
2x 2 dx =
dx =
2
2 3
1 3 2
=
x + +c
6
x
Z
2
x
1
1
+c
dx =?
Z
2
3x +
x
Z
Z
2
dx
x
= x3 + 2 ln jxj + c
2
dx =
2
3x dx +
52x+3 dx =?
Z
3x2
(x2
ex +
2
x
52x+3
+c
2 ln j5j
52x+3 dx =
dx =?
Z
3x
2
2
e +
x
x
dx = 3
Z
= x3
p
1) xdx =?
Z
Z
p
2
x
1 xdx =
Z
=
=
x
2
x
5
x 2 +1
5
+1
2
5
2
2
x dx
1 x dx =
x
1
x
e dx + 2
ex + 2 ln jxj + c
1
2
1
2
Z
dx =
Z
Z
1
x2+ 2
5
2
x dx
x 2 +1
2 7
+ c = x2
1
7
+1
2
Z
1
dx
x
1
x 2 dx
Z
5
x 2 dx
2 3
x2 + c
3
Z
1
x 2 dx
I·ntegral Notlar¬
8.
9.
10.
11.
12.
Z
R
R
R
R
x2 + 4
dx =?
x2 + 1
Z
Z
x2 + 4
x2 + 1
3
dx
=
+ 2
2
2
x +1
x +1 x +1
= x + 3 arctan x + c
sin 2xdx =?
Z
sin (3x + 4) dx =?
sin2 x
Z
sin (3x + 4) dx =
cos2 x dx =?
Z
sin2 x
13.
2
cos x dx =
Z
dx =
Z
dx + 3
Z
x2
1
dx
+1
1
cos 2x + c
2
1
cos (3x + 4) + c
3
(cos 2x) dx =
1
sin 2x + c
2
sin2 xdx =?
Z
2
sin xdx =
=
Z
sin 2xdx =
4
Z
1
1
x
2
Z
Z
1
1
cos 2x
dx
dx =
cos 2xdx
2
2
2
11
1
1
sin 2x + c = x
sin 2x + c
22
2
4
sin2 x
dx =?
1 + cos x
Z
sin2 x
dx =
1 + cos x
Z
1 cos2 x
dx
1 + cos x
Z
(1 cos x) (1 + cos x)
=
dx
1 + cos x
Z
=
(1 cos x) dx = x sin x + c
De¼
gişken De¼
giştirme
1.
R
(2x3 + x2
17
5) (3x2 + x) dx =?
2x3 + x2
Z
2x3 + x2
5
17
5
=
u =) 6x2 + 2x dx = du
du
=) 2 3x2 + x dx = du =) 3x2 + x dx =
2
Z
Z
18
du
1
1u
3x2 + x dx =
u17
=
u17 du =
+c
2
2
2 18
1
18
=
2x3 + x2 5 + c
36
I·ntegral Notlar¬
2.
Z
arctan x
dx =?
1 + x2
1
arctan x = u =)
dx = du
2
Z 1+x
Z
arctan x
1
dx = = udu = u2 + c
2
1+x
2
1
=
(arctan x)2 + c
2
3.
Z
p
e x
p dx =?
x
1 p
= u =) p e x dx = du
2 x
Z
Z
Z px
1 px
e
p dx =
p e dx = 2du = 2u + c
x
x
p
e
x
p
= 2e
4.
Z
p
x x
5.
6.
7.
Z
Z
+c
1dx =?
Z
Z
x
p
x
p
x x
2
2
1 = u
Z =) x 1 = u =)Zx = u + 1 =) dx = 2udu
2
2
1dx =
u2 + 1 u2udu =
2u4 + 2u2 du = u5 + u3 + c
5
3
2 p
2 p
5
2
=
x 1 +
x 1 +c
5
3
dx
=?
x ln x
1
ln x = u =) dx = du
x
Z
Z
dx
1
=
du = ln u + c
x ln x
u
= ln jln xj + c
esin x cos xdx =?
Z
sin x = u
Z =) cos xdx = du
esin x cos xdx =
eu du = eu + c = esin x + c
cos (ln x)
dx =?
x
1
ln x = u =) dx = du
x
Z
Z
cos (ln x)
dx =
cos udu = sin u + c = sin (ln x) + c
x
5
I·ntegral Notlar¬
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Z
Z
Z
Z
Z
Z
6
(arcsin x)3
p
dx =?
1 x2
1
dx = du
arcsin x = u =) p
1 x2
Z
Z
(arcsin x)3
u4
(arcsin x)4
3
p
dx =
u du =
+c=
+c
4
4
1 x2
cos xdx
=?
sin2 x + 1
Z
sin x = u
Z =) cos xdx = du
cos xdx
du
=
= arctan u + c = arctan (sin x) + c
2
u2 + 1
sin x + 1
tan xdx
=?
(1 + tan2 x) cos2 x
Z
Z
tan xdx
=
(1 + tan2 x) cos2 x
tan x
tan x
dx
x+sin2 x
2x
cos2 x
cos
cos2 x
Z
Z
Z
cos x = u
tan x
sin x
=
dx = tan xdx =
dx;
1
2
cos x
cos x
sin xdx = du
2
Z
Z cos x
sin x
du
dx =
= ln juj + c = ln jcos xj + c
cos x
u
p
1+
sin2
x
cos2 x
dx =
Z
cos2
ex
dx =?
1 + ex
p
ex
ex
p
dx
=
du
=)
dx = 2du
1 + ex = u =) p
2 1 + ex
1 + ex
Z
Z
p
ex
p
1 + ex + c
dx
=
2du
=
2u
+
c
=
2
1 + ex dx
sin 2x
p
1
dx =?
sin4 x
Z
Z
sin2 x = u
sin 2x
2 sin x cos x
p
q
dx
dx =
2
2 sin x cos xdx = du
1 sin4 x
1
sin2 x
Z
Z
sin 2x
du
p
p
dx =
= arcsin (u) + c = arcsin sin2 x + c
2
4
1 u
1 sin x
xdx
=?
+ 5)4
Z
(x2
Z
x2 + 5 = u
xdx
1
2xdx
=
2
(x2 + 5)4
(x2 + 5)4 2xdx = du
Z
Z
Z
xdx
1
du
1
1 1
=
u 4 du =
u
=
4
4
2
u
2
2 3
(x2 + 5)
3
+c=
1
1
+c
6 (x2 + 5)3
I·ntegral Notlar¬
14.
R
px+3 dx
1 x2
Z
Z
Z
15.
16.
17.
Z
Z
=?
Z
Z
x+3
x
1
p
p
dx =
dx + 3 p
dx
2
2
1 x
1 x
1 x2
p
x
p
dx =)
1 x2 = u =) u2 = 1 x2 =) 2udu =
2
1 x
Z
Z
p
udu
x
p
dx =
=
du = u =
1 x2
u
1 x2
1
p
dx = arcsin x
1 x2
p
x+3
p
dx =
1 x2 + 3 arcsin x + c
2
1 x
Z
Z
7
Z
2xdx =)
udu = xdx
dx
=?
4x2 + 9
Z
dx
9x2
16
=?
Z
p
du
dx
2 ; a = 3; u = 2x =) du = 2xdx =) dx =
2
(2x) + (3)
Z
Z
1
11
u
1 du
du
=
=
arctan
+c
2 u 2 + a2
2
u 2 + a2
2a
a
11
2x
=
arctan
+c
23
3
Z
dx
1
2x
=
arctan
+c
2
4x + 9
6
3
2
xdx
=?
x4 1
Z
dx
du
a = 4; u = 3x =) du = 3dx =) dx =
;
3
(3x)
(4)
Z
1
u a
du
=
ln
+c
u 2 a2
2a
u+a
Z
1
du
1 1
u a
=
=
ln
+c
2
2
3
u
a
3 2a
u+a
Z
dx
1
3x 4
=
ln
+c
2
9x
16
24
3x + 4
2;
2
xdx
q
;
2
2
2
(x )
(1)
Z
p
x2 = u =) xdx =
1
=
2
Z
du
2
du
q
u2
=
(1)
p
xdx
1
=
ln x2 + x4
2
x4 1
2
p
1
ln u + u2
2
1 +c
1 +c
I·ntegral Notlar¬
Özel Dönüşümler
I·ntegrali al¬nacak ifadede sadece
a
x = sin t dönüşümü yap¬l¬r.
b
Z
x2 dx
p
1.
=?
9 x2
p
9
p
a2
b2 x2 tipinde köklü ifade oldu¼
gu durumlarda
a = 3; b = 1; x = 3 sin t =) dx = 3 cos tdt
q
q
p
2
x =
9 (3 sin t)2 = 9 9 sin2 t = 9 1
x2 = (3 sin t)2 = 9 sin2 t
Z
Z
Z
9 sin2 t
x2 dx
p
=
3 cos tdt = 9 sin2 tdt
2
3
cos
t
9 x
9
=
2
x2 dx
p
9 x2
Z
(1
9
2
sin2 t =
p
9 cos2 t = 3 cos t
2 sin2 t
cos 2t
2
x = 3 sin t
cos 2t = 1
1
sin2 t =
1
sin 2t + c
x
t = arcsin
2
3
p
9
x x 9 x2
sin t cos t + c =
arcsin
2
3 3
3
xp
9 x2 + c
9
cos 2t) dt =
x
9
arcsin
2
3
9
x
=
arcsin
2
3
=
Z
8
I·ntegrali al¬nacak ifadede sadece
a
a
x=
= sec t dönüşümü yap¬l¬r.
b cos t
b
p
Z
x2 1
1.
dx =?
x
p
b2 x 2
t
+c
a2 tipinde köklü ifade oldu¼
gu durumlarda
1
sin t
a = 1; b = 1; x =
= sec t =)
dt = sec t tan tdt
cos
cos2 t
rt
r
p
1
1 cos2 t
x2 1 =
1
=
= tan t
cos2 t
cos2 t
p
Z
Z
Z
x2 1
tan t
sin2 t
1 cos2 t
1
dx =
sec t tan tdt = tan2 tdt
tan2 t =
=
=
2
2
x
sec t
cos t
cos t
cos2 t
Z
1
=
1 dt = tan t t + c
( x = sec t =) t = arcsec x)
cos2 t
p
x2 1 arcsec x + c
=
I·ntegrali al¬nacak ifadede sadece
a
x = tan t dönüşümü yap¬l¬r.
b
p
a2 + b2 x2 tipinde köklü ifade oldu¼
gu durumlarda
1
I·ntegral Notlar¬
1.
Z
9
dx
p
=?
x2 4 + x2
p
p
1
1
a = 2; b = 1 x = 2 tan t =) dx = 2 2 dt ve 4 + x2 = 4 + 4 tan2 t = 2
cos t
Z
Z
Z cos t
dx
1 1
1
cos t
1
p
sin t = u =) cos tdt = du
=
2 2 sin2 t cos tdt =
2 dt
cos t 4 2 2
4
sin
t
x2 4 + x2
cos t
Z
1
du
1
1 1
x
x
1
=
+c=
+ c ( tan t = ise sin t = p
olur)
=
2
4
u
4
u
4 sin t
2
4 + x2
p
1 4 + x2
+c
=
4
x
Trigonometrik Rasyonel Fonksiyonlar¬n I·ntegrali
x
E¼
ger integrali al¬nacak ifadede trigonometrik ifadeler rasyonel fonksiyon şeklinde ise u = tan dönüşümü
2
yap¬l¬rsa
sin x = 2 sin
x
u
x
1
u
p
cos = 2 p
=2 2
2
2
u +1
u 2 + 1 u2 + 1
2
1
1 u2
x
2
1=2 p
1=
cos x = 2 cos
1= 2
2
u +1
1 + u2
u2 + 1
x
x
1
u = tan =)
= arctan u =) x = 2 arctan u =) dx = 2 2
du
2
2
u +1
2
de¼
gerleri integralde yerine yaz¬laran integral hesaplanabilir.
Z
dx
1.
=?
2 + 3 cos x
x
1 u2
1
tan
= u; cos x =
; dx = 2 2
du
2
2
1+u
u +1
!
Z
Z
Z
1
dx
1
1
1
=
2 2
du = 2
2
2 +2+3 3u2 du
2
2u
1
u
2 + 3 cos x
u + 1 2 + 3 1+u2
u +1
u2 +1
Z
Z
Z
1
1
1
1
du = 2
du =
ln
= 2
du;
p 2
2
2
2
5 u
a
u
2a
5
u2
0p
x1
Z
5
tan
dx
1
2A+c
= 2 p ln @ p
x
2 + 3 cos x
2 5
5 + tan
2
a u
a+u
+c
I·ntegral Notlar¬
2.
10
Z
dx
=?
5 + 4 sin x
u
1
x
= u; sin x = 2 2
; x = 2 arctan u =) dx = 2 2
du
tan
2
u +1
u
+
1
!
Z
Z
Z
1
dx
1
1
1
du = 2
=
2 2
du
2
2u
2
5 + 4 sin x
u + 1 5 + 4 u2 +1
u + 1 5u + 8u + 5
u2 + 1
Z
Z
1
2
1
8
du =
du; u2 + u + 1 =
= 2
8
2
2
5u + 8u + 5
5
5
u + 5u + 1
Z
2
3
4
1
=
du; t = u + =) dt = du; a =
2
2
5
5
5
u + 45 + 53
Z
u + 45
2
1
t
2
2
=
arctan
arctan + c =
+c
dt =
3
3
5
t2 + a2
5a
a
5
5
5
0
1
x
5
tan
+
4
5u + 4
2
2
2
A+c
arctan
+ c = arctan @
=
3
3
3
3
4
u+
5
2
+
3
5
·
K¬smi Integrasyon
Z
R
udv = uv
vdu ifadesine k¬smi integrasyon denir. K¬smi integrasyon yöntemi integrant-
taki ifadeler fonksiyonlar¬n çarp¬m¬şeklinde oldu¼
gunda kullan¬l¬r. K¬smi integrasyonda fonksiyonlar
aras¬nda öncelik durumu aşa¼
g¬daki gibidir:
Logaritmik fonksiyonlar
Ters-Trigonometrik fonksiyonlar
Polinomlar
Trigonometrik fonksiyonlar
Üstel fonksiyonlar
R
1. xex dx =?
2.
3.
R
R
Z
x = u =) Z
dx = dv ex dx = dv =) ex = v
xex dx = xex
ex dx = xex
ex + c
x2 ln xdx =?
1
1
dx = du; x2 dx = dv =) x3 = v
x Z
3 Z
Z
1
1
1
1
1
x2 ln xdx =
x3 ln x
x3 dx = x3 ln x
x2 dx
3
3 x
3
3
1 3
1 x3
1 3
1 3
=
x ln x
+ c = x ln x
x +c
3
3 3
3
9
ln x = u =)
arctan xdx =?
1
dx = du; dx = dv =) x = v
1 + x2Z
Z
1
1
arctan xdx = x arctan x
x
dx = x arctan x
ln 1 + x2 + c
2
1+x
2
arctan x = u =)
2
I·ntegral Notlar¬
4.
R
e2x cos 3xdx =?
1
u = e2x =) du = 2e2x dx; cos 3xdx = dv =) sin 3x = v
3
Z
2x
u=e
sin 3xdx = dv
1 2x
2
e2x cos 3xdx =
e sin 3x
e2x sin 3xdx
1
2x
3
3
du = 2e dx
cos 3x = v
3
Z
2
1 2x
2
1 2x
e sin 3x
e cos 3x
cos 3xe2x dx
e2x cos 3xdx =
3
3
3
3
Z
1 2x
2 2x
4
=
e sin 3x + e cos 3x
cos 3xe2x dx
3
9
9
2
1 2x
e sin 3x + e2x cos 3x
e2x cos 3xdx =
3
9
3 2x
2
e2x cos 3xdx =
e sin 3x + e2x cos 3x + c
13
13
Z
Z
4
1+
9
5.
6.
R
R
Z
Z
(ln x)2 dx =?
1
(ln x)2 = u =) 2 ln x dx = du; dx = dv =) x = v
x
Z
Z
ln x = u
dx = dv
2
2
(ln x) dx = x (ln x)
2 ln xdx 1
dx = du
x=v
x
Z
Z
1
(ln x)2 dx = x (ln x)2 2 x ln x
x dx
x
2
= x ln x
2x ln x + 2x + c
cos (ln x) dx =?
cos (ln x) = u =)
Z
Z
2
Z
Z
1
sin (ln x) dx = du; dx = dv =) x = v
x Z
cos (ln x) dx = x cos (ln x) +
sin (ln x) = u =)
R
11
sin(ln x)dx
1
cos (ln x) dx = du; dx = dv =) x = v
x
Z
cos (ln x) dx = x cos (ln x) + x sin (ln x)
cos (ln x) dx
cos (ln x) dx = x cos (ln x) + x sin (ln x)
cos (ln x) dx =
sinn dx tipindeki
n 2 Z+ için
Z
1
(x cos (ln x) + x sin (ln x)) + c
2
integral
Z
1
n 1
n 1
sin xdx =
cos x sin
x+
sinn 2 xdx
n
n
eşitli¼
gi vard¬r. Bu eşitli¼
gi ispatlamak için sinn 1 x = u ve sin xdx = dv seçerek k¬smi integrasyon
kullan¬rsak
(n 1) sinn 2 x cos xdx = du ve
cos x = v
n
I·ntegral Notlar¬
12
olaca¼
g¬ndan
Z
n
sin xdx =
Z
=
Z
x sin xdx
n 1
n 1
x + (n
1)
Z
Z
sinn
2
x cos2 xdx
sinn
2
x(1
sin2 x)dx
Z
Z
n 1
n
cos x sin
x (n 1) sin xdx + (n 1) sinn
Z
n 1
cos x sin
x + (n 1) sinn 2 xdx
Z
1
n 1
n 1
cos x sin
x+
sinn 2 xdx
n
n
cos x sin
=
n
1
cos x sin
=
Z
sinn
sinn xdx =
sinn xdx =
x + (n
1)
2
xdx
elde edilir.
1.
R
sin2 xdx =?
Z
2
sin xdx =
Z
2
sin dx =
=
Z
Z
sin2 dx =
sin2 dx =
Z
sin x sin xdx
sin x cos x
Z
Z
sin x = u =) cos xdx = du
sin xdx = dv =)
cos x = v
cos x cos xdx
Z
cos xdx = sin x cos x +
1 sin2 x dx
Z
Z
2
sin x cos x + x
sin xdx ) 2 sin2 dx = sin x cos x + x
sin x cos x +
2
1
x
(sin x cos x) + + c
2
2
formulde de n = 2 al¬n¬rsa ayn¬sonucun bulunabilece¼
gi kolayca görülebilir.
R
2. sin5 xdx =?
Z
Z
Z
5
Z
Z
5
sin xdx =
sin5 xdx =
sin5 xdx =
sin5 xdx =
sin5 xdx =
Z
sin4 x = u =) 4 sin3 x cos xdx = du
sin xdx = dv =)
cos x = v
Z
Z
4
3
2
4
sin x cos x + 4 sin x cos xdx = sin x cos x + 4 sin3 x(1
Z
Z
4
3
sin x cos x + 4 sin x 4 sin5 xdx
Z
4
sin x cos x + 4 sin3 xdx
Z
1 4
4
sin x cos x +
sin3 xdx
5
5
sin4 x sin xdx
sin2 x)dx
I·ntegral Notlar¬
13
son bulunan integralli ayr¬hesaplarsak
Z
3
sin xdx =
Z
sin2 x = u =) 2 sin x cos xdx = du
sin xdx = dv =)
cos x = v
Z
Z
2
2
2
cos x sin x + 2 sin x cos xdx = cos x sin x + 2 sin x(1 sin2 x)dx
Z
Z
Z
Z
2
3
3
2
cos x sin x 2 sin xdx + 2 sin xdx ) 3 sin xdx = cos x sin x + 2 sin xdx
sin2 x sin xdx
=
=
Z
sin3 xdx =
1
cos x sin2 x
3
2
cos x
3
olaca¼
g¬ndan hesaplanmak istenen integralin sonucu
Z
1 4
4
1
sin5 xdx =
sin x cos x +
cos x sin2 x
5
5
3
2
cos x + c
3
olarak bulunabilir.
I·ntegral daha basit yollada hesaplanabilirdi.
Z
Z
Z
Z
5
sin xdx =
Z
5
sin xdx =
2
2
sin x sin x sin xdx =
Z
sin5 xdx =
2
(1
u )(1
2
Z
u )du =
(1
Z
cos2 x)(1
cos2 x) sin xdx
cos x = u
sin xdx = du
2u2 + u4 )du
(1
2 3 1 5
u + u +c
3
5
1
2
cos3 x + cos5 x + c
cos x
3
5
u
sin5 xdx =
olarakta ayn¬sonuç bulunabilir. Sonuçlar¬n ayn¬oldu¼
gu son bulunan sonuç aç¬larakta gösterilebilir.
R
cosn dx tipindeki
n 2 Z+ için
Z
integral
1
cos xdx = cosn
n
n
1
x sin x +
n
1
n
Z
cosn
2
xdx
eşitli¼
gi vard¬r. Bu eşitli¼
gi ispatlamak için cosn 1 x = u ve cos xdx = dv seçerek k¬smi integrasyon
kullan¬rsak
(n 1) cosn 2 x sin xdx = du ve sin x = v
I·ntegral Notlar¬
olaca¼
g¬ndan
Z
Z
n
=
=
n
Z
Z
cosn xdx =
cosn xdx =
n 1
Z
x cos xdx = sin x cos
x + (n 1) cosn
Z
n 1
sin x cos
x + (n 1) cosn 2 x(1 cos2 x)dx
Z
Z
n 1
n
sin x cos
x (n 1) cos xdx + (n 1) cosn
Z
n 1
sin x cos
x + (n 1) cosn 2 xdx
Z
1
(n 1)
n 1
sin x cos
x+
cosn 2 xdx
n
n
cos xdx =
n 1
14
cos
2
x sin2 xdx
2
xdx
elde edilir.
1.
R
Z
Z
cos4 xdx =?
4
cos xdx =
cos4 xdx =
=
Z
cos4 xdx =
=
Z
cos3 x = u
3 cos2 x sin xdx = du
cos xdx = du
sin x = v
Z
Z
3
2
3
sin x cos x
3 sin x cos x sin xdx = sin x cos x + 3 cos2 x 1 cos2 x dx
Z
Z
Z
Z
3
2
4
4
3
sin x cos x + 3 cos xdx 3 cos xdx ) 4 cos xdx = sin x cos x + 3 cos2 xdx
Z
Z
3
1
3
1 + cos 2x
1
3
2
3
sin x cos x +
cos xdx = sin x cos x +
dx
4
4
4
4
2
3
31
1
3
3
1
sin x cos3 x + x +
sin 2x + c = sin x cos3 x + sin x cos x + x + c
4
8
82
4
8
8
cos3 x cos xdx
Ayn¬integral
Z
Z
4
cos xdx =
Z
=
Z
=
1
4
1
4
1
=
4
cos4 xdx =
cos 2x = 2 cos2 x 1
cos x dx
1 + cos 2x
cos2 x =
2
Z
Z
2
1 + cos 2x
1
1
2
dx =
(1 + cos 2x) dx =
1 + 2 cos 2x + cos2 2x dx
2
4
4
Z
cos 4x = 2 cos2 2x + 1
1
2
x + 2 sin 2x + cos 2xdx
cos 4x + 1
2
cos2 2x =
2
Z
cos 4x + 1
1
1
1
x + sin 2x +
dx =
x + sin 2x +
x + sin 4x
2
4
2
4
x
1
1 3x
1
x + + sin 2x + sin 4x =
+ sin 2x + sin 4x + c
2
8
4 2
8
2
2
olarakta elde edilebilirdi. Sonuç düzenlendi¼
ginde
sin 4x = 2 sin 2x cos 2x = 2 sin 2x 2 cos2 x
1 ; sin 2x = 2 sin x cos x
I·ntegral Notlar¬
15
eşitlikleri kullan¬l¬rsa
1
4
3x
1
1
+ sin 2x + sin 4x + c =
2
8
4
3x
1
+ 2 sin x cos x + 4 sin x cos x 2 cos2 x 1 + c
2
8
3x 1
1
=
+ sin x cos x + sin x cos x 2 cos2 x 1 + c
8
2
8
1
3x 3
+ sin x cos x + sin x cos3 x + c
=
8
8
4
oldu¼
gu görülebilir.
Rasyonel Fonksiyonlar¬n I·ntegrali
p (x)
pay¬n derecesi paydan¬n derecesinden büyük veya eşitse pay paydaya bölünür.
g (x)
Paydan¬n derecesi daha büyükse, payda çarpanlar¬na ayr¬lmaya çal¬ş¬l¬r.
Z
3x2 + 2x + 3
1.
dx =?
x2 + 1
f (x) =
2.
Z
2x
3x2 + 2x + 3
=
3
+
x2 + 1
x2 + 1
Z
Z
2
3x + 2x + 3
2x
dx =
3+ 2
2
x +1
x +1
dx = 3x + ln x2 + 1 + c
x4 + 2x2 + x
dx =?
x3 + 1
x4 + 2x2 + x
2x2
=
x
+
x3 + 1
x3 + 1
Z 4
Z
Z
Z
2
x + 2x + x
2x2
2x2
dx
=
x
+
dx
=
xdx
+
dx
x3 + 1
x3 + 1
x3 + 1
Z
1 2 2
3x2
1
2
=
x +
dx = x2 + ln x3 + 1 + c
3
2
3
x +1
2
3
E¼
ger paydan¬n derecesi pay¬n derecesinden daha büyük ise,
f (x)
a
b
=
+
(x + p) (x + q)
(x + p) (x + q)
f (x)
a
b
+
2 =
(x + p) (x + p)2
(x + p)
f (x)
ax + b
c
d
+
+
2 =
2
2
x + p x + q (x + q)2
(x + p) (x + q)
olarak payda çarpanlar¬na ayr¬labilir.
Z
3x 1
3.
dx =?
x2 1
Z
3x
x2
3x
x2
1
3x 1
3x 1
a
b
=
) 2
=
+
, a = 1, b = 2
1
(x 1) (x + 1)
x
1
x 1 x+1
Z
Z
1
1
2
dx =
dx +
dx = ln jx 1j + 2 ln jx + 1j + c
1
x 1
x+1
I·ntegral Notlar¬
4.
Z
16
x+1
dx =?
x3 1
x+1
x+1
x+1
a
bx + c
2
2
=
) 3
=
+ 2
,a= ; b=
,c=
3
2
x
1
(x 1) (x + x + 1)
x
1
x 1 x +x+1
3
3
Z
Z
Z
x+1
2
1
1
2x + 1
2
1
dx =
dx
dx = ln (x 1)
ln x2 + x + 1 + c
3
2
x
1
3
x 1
3
x +x+1
3
3
Z
2x + 4
5.
dx =?
(x2 + 1) (x 1)2
ax + b
2x + 4
c
d
, a = 2; b = 1, c = 2, d = 1
+
+
2 =
2
x + 1 x 1 (x 1)2
+ 1) (x 1)
Z
Z
2x + 1
2x + 4
2
1
dx =
dx
+
2
2
x + 1 x 1 (x 1)2
(x2 + 1) (x 1)
Z
Z
Z
Z
2x
1
1
1
=
dx
dx
+
dx
2
dx
+
x2 + 1
x2 + 1
x 1
(x 1)2
Z
2x + 4
1
2
+c
2 ln jx 1j
2 dx = ln x + 1 + arctan x
2
x 1
(x + 1) (x 1)
(x2
6.
Z
dx
=?
x3 + x2
1
a
b
c
1
=
=
+
+
, a = 1; b = 1; c = 1
x3 + x2
x2 (x + 1)
x x2 x + 1
Z
Z
Z
Z
dx
1
1
1
1
=
dx +
dx +
dx = ln jxj
+ ln jx + 1j + c
3
2
2
x +x
x
x
x+1
x
Trigonometrik I·ntegral
1.
R
sinm x cosn xdx biçimindeki integrallerde m çift n tek ise:
Z
Z
Z
2
3
2
2
sin x cos xdx =
sin x cos x cos xdx = sin2 x 1
=
2.
R
Z
sin2 x cos3 xdx =
Z
u
2
1
u
1 3
sin x
3
2
du =
Z
u2
sin x2 cos xdx
1
u4 du = u3
3
1 5
u
5
1 5
sin x + c
5
sinm x cosn xdx biçimindeki integrallerde m tek n çift ise:
Z
Z
Z
3
2
2
2
sin x cos xdx =
sin x cos x sin xdx =
1 cos2 x cos2 x sin xdx
=
Z
sin3 x cos2 xdx =
Z
1
u
sin x = u
cos xdx = du
2
2
u du =
Z
u2
1
1
cos3 x + cos5 x + c
3
5
u4 du =
1 3 1 5
u + u
3
5
cos x = u
sin xdx = du
1
3
I·ntegral Notlar¬
3.
4.
R
sinm x cosn xdx biçimindeki integrallerde m n çift ise:
Z
Z
Z
1 cos 2x
1 + cos 2x
1
2
2
sin x cos xdx =
dx =
1 cos2 2x dx
2
2
4
Z
Z
1
1
1
1
1 + cos 4x
dx =
(2 cos 4x) dx =
x
=
1
4
2
4
2
8
Z
1
1
x
sin 4x + c
sin2 x cos2 xdx =
8
32
R
Z
Z
R
Z
3
Z
5
sin 3x cos 3xdx =
sin3 3x cos5 3xdx =
6.
R
cos2 3x cos5 3x sin 3xdx
1
1
3
1
3
Z
1
u
2
5
u du =
1
3
Z
u = cos 3x
3 sin 3xdx ) sin 3xdx =
du =
u5
u7 du =
1
3
1 6
u
6
1
du
3
1 8
u
8
1
cos8 3x + c
8
1
cos6 3x
6
tanm x secn xdx biçimindeki integrallerde m tek n çift ise:
5
4
tan x sec xdx =
=
Z
1
sin 4x
4
sinm x cosn xdx biçimindeki integrallerde m n tek ise:
=
5.
17
tan5 x sec4 xdx =
Z
Z
5
2
1+u
2
2
tan x sec x sec xdx =
u
5
du =
Z
Z
tan5 x 1 + tan2 x sec2 xdx
1
1
u5 + u7 du = u6 + u8
6
8
1
1
tan6 x + tan8 x + c
6
8
tanm x secn xdx biçimindeki integrallerde m çift n tek ise:
Z
Z
Z
2
2
tan x sec xdx =
sec x 1 sec xdx = sec3 xdx
=
Z
2
sec3 xdx = sec x tan x
1
sec x tan x +
2
Z
1
tan2 x sec xdx =
sec x tan x +
2
1
sec x tan x
=
2
=
Z
Z
sec xdx
sec x = u
sec2 xdx = dv
sec x tan xdx = du
tan2 x = v
Z
Z
2
sec x tan xdx = sec x tan x
sec x sec2 x 1 dx
Z
Z
3
sec xdx + sec xdx
sec x sec xdx
= sec x tan x
Z
tan x = u
sec2 xdx = du
sec xdx
1
ln jsec x + tan xj + c
2
1
ln jsec x + tan xj ln jsec x + tan xj + c
2
1
ln jsec x + tan xj + c
2
I·ntegral Notlar¬
7.
8.
R
R
18
tanm x secn xdx biçimindeki integrallerde m n çift ise:
Z
Z
4
4
tan x sec xdx =
tan4 x sec2 x sec2 xdx
tan x = u
sec2 xdx = du
Z
Z
4
2
2
=
tan x 1 + tan x sec xdx = u4 1 + u2 du
Z
1
1
=
u4 + u6 du = u5 + u7
5
7
Z
1
1
tan5 x + tan7 x + c
tan4 x sec4 xdx =
5
7
tanm x secn xdx biçimindeki integrallerde m n tek ise
Z
Z
3
3
tan x sec xdx =
tan2 x sec2 x tan x sec xdx
=
=
Z
Z
tan3 x sec3 xdx =
sin mx cos nxdx;
Z
Z
Z
sec2 x
u
2
1
sec4 x
4
sin mx sin nxdx;
1 udu =
Z
sec x = u
sec x tan xdx = du
1 2
1
u
u du = u4
4
2
1 sec2 x tan x sec xdx
Z
u3
1
sec2 x + c
2
cos mx cos nxdx tipindeki integraller.
1
[sin (m + n) x + sin (m n) x]
2
1
sin mx sin nx =
[cos (m n) x cos (m n) x]
2
1
[cos (m + n) x + cos (m n) x]
cos mx cos nx =
2
eşitlikleri kullan¬larak hesaplanabilir.
Z
9.
sin 3x cos 6xdx =?
sin mx cos nx =
Z
sin 3x cos 6xdx =
=
=
10.
Z
Z
1
2
1
2
1
1
(sin 9x + sin ( 3x)) dx =
2
2
1
1
cos 9x
cos ( 3x) + c
9
3
1
1
cos 9x + cos 3x + c
9
3
1
cos 9x
9
1
3
cos ( 3x)
cos 6x cos 2xdx =?
Z
Z
1
1
(cos 8x + cos 4x) dx =
2
2
1
1
=
sin 8x + sin 4x + c
16
8
cos 6x cos 2xdx =
1
1
sin 8x + sin 4x + c
8
4
I·ntegral Notlar¬
11.
Z
19
sin 6x sin 3xdx =?
Z
Z
1
1
(cos 3x cos 9x) dx =
2
2
1
1
=
sin 3x
sin 9x + c
6
18
sin 6x sin 3xdx =
1
sin 3x
3
1
sin 9x
9
Rasyonel Kuvvetli Polinomlar¬n I·ntegrali
1.
R
p
k
ax + b dx (a 6= 0; k 2 N ) ise
p
Z
3x + 2 = u2
1
3x + 2
p
dx )
1 + 3x + 2
3dx = 2udu =) dx = 32 udu
Z
Z 2
Z
1 u2
2
u
u
2
2
udu =
du =
du
u 2+
1+u3
3
1+u
3
u+1
2 1 2
u
2u + 2 ln ju + 1j + c
=
3 2
p
Z
p
1
4p
1
3x + 2
p
dx =
(x + 2)
3x + 2 + 2 ln 1 + 3x + 2 + c
3
3
1 + 3x + 2
!
r
Z
k ax + b
2.
R x;
dx biçimindeki integrallerin hesab¬
a0 x + b
r
Z
x+1
t2 + 1
4t
1
x+1
dx )
= t2 =) x = 2
=) dx =
dt
2
x 1 x 1
x 1
t
1
(t
1)2
0
1
r
Z
Z
Z
B
C
x+1
1
4t
t2 1
4t
1
B
C
dx =
t
dt
=
t
dt
2
2
@
A
2
2
2
2
t +1
x 1 x 1
t + 1 t + 1 (t
(t
1)
1)2
1
t2 1
Z
1
1
t 1
1+ 2
=
2
dt = 2 t + ln
+c
t
1
2
t+1
r
1
0
x+1
r
1 C
B x+1 1
x 1
B
C+c
=
2@
+ ln r
A
x 1 2
x+1
+1
x 1
p
R
3. R x; k ax2 + bx + c dx biçimindeki integraller
Z
Z
1
dx
1
p
q
dx =
; x
= u =) dx = du
2
2
2
x
x+1
x 21 + 12
r
Z
du
1
2
r
=
q 2 = ln u + u + 2 + c
1
u2 +
2
R x;
= ln x
1 p 2
+ x
2
x+1 +c
I·ntegral Notlar¬
Z
x+3
p
dx =
x2 + 2x + 2
Z
=
Z
=
=
=
Al¬şt¬rmalar
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
R
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
a2x dx =?
1
ex
dx =?
x2
dx
x2
1
=?
dx
=?
x2
4x
x2
2x 3
dx =?
+ 6x + 13
x2
p
dx
=?
a2 x 2
(ex 2) ex
dx =?
ex + 1
dx
3ex
e2x
=?
dx
p 3 =?
(2 + x)
x
(x
2)2
dx =?
p
x2
dx =?
2x x2
p
x2 dx =?
Rp
6x
1+
p
xdx =?
x+3
q
(x + 1)2 + 1
dx
x+1=u
dx = du
Z
u2 + 1 = t2
u+2
u 1+3
p
p
du =
du
2udu = 2tdt =) udu = tdt
u2 + 1
u2 + 1
Z
Z
Z
p
1
tdt
u
p
du + 2 p
du =
du + 2 ln u + u2 + 1 + c
2
t
u2 + 1
Z pu + 1
p
u2 + 1 + 2 ln u + u2 + 2 + c
p
p
x2 + 2x + 2 + 2 ln x + 1 + x2 + 2x + 2 + c
20
I·ntegral Notlar¬
14.
Z
15.
Z
22.
Z
cos x
dx =?
sin x (cos x + 1)
dx
p
=?
(9 +
9 + x2
Z p 2
x
9
16.
dx =?
2
x
Z
dx
p
=?
17.
2
x + 6x 8
Z
dx
18.
=?
4 + 9x2
Z
cos3 x
dx =?
19.
sin4 x
Z
x 1
p
dx =?
20.
3
x2 2x + 5
Z
21.
(tan4 x tan6 x) dx =?
23.
24.
Z
Z
25.
Z
32.
Z
x2 )
x 1
dx =?
x (x2 + 1)
x2 e
2x
dx =?
ln (x2 + 1) dx =?
dx
=?
4x2 9
Z p
3
x+1 2
p
26.
dx =?
x+1
Z
1
27.
dx =?
x ln x
Z
dx
28.
=?
x cos2 (ln x)
Z
sin xdx
29.
=?
cos x (1 + cos2 x)
Z
x+2
p
dx =?
30.
4x x2
Z
p
31.
2x + 1dx =?
sec2 (5x
1) dx =?
21
I·ntegral Notlar¬
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
p
p
( x + 3 x) dx =?
csc x
dx =?
csc x sin x
x2 sin (x3 ) dx =?
2zdz
p
=?
3
z2 + 1
2
cos x2
1
1
cos2
2
x
1
x
sin x2 dx =?
dx =?
sin (2x + 1)
dx =?
cos2 (2x + 1)
3
x3 (1 + x4 ) dx =?
p
dx
4
9x2
=?
dx
=?
x 9 + 4 (ln x)2
p
dx
=?
6x 4x2
dx
=?
2x + 10
x2
ex
p
dx
+e
28
x
=?
dx
12x
x2
=?
sec2 x
dx =?
9 4 tan2 x
p
dx
=?
9x2 25
x2
p
dx
p
=?
x2 + 4
x
dx =?
4x x2
e2x cos 3xdx =?
22