sayi dogrusu.indd

Genetik Kopya Serisi
Kitabýn Adý
12. Sýnýf Analitik Geometri
Doðrunun Analitiði
Yayýn Editörü
Alpaslan CERAN
M.V. Gen. Yayýn Yönetmeni
Seri Adý ve Numarasý
Genetik Kopya Serisi: 09
Yayýn ve Ýnceleme Kurulu
Saygýn DÝNÇER
Kapak
Promedya
Eyüp Kamil YEÞÝLYURT
Ýbrahim KUÞCUOÐLU
Gürkan GÜLCEMAL
Dizgi
Kevser ÜNLÜ
Baský Tarihi
Aðustos 2008
Alpaslan CERAN
Katkýlarýndan dolayý
TMOZ
Baský
(Türkiye Matematik Öðretmenleri Zümresi)
öðretmenlerine teþekkür ederiz.
Genel Daðýtým
Ýþler Daðýtým
(0.312. 384 13 95)
Ýletiþim Bilgileri
Adres: Alýnteri Bulvarý 1. Sok.
Copyright
Bu kitabýn bütün haklarý saklýdýr.
Ýçeriði ve hazýrlanýþ sistematiði
kesinlikle kopyalanamaz.
No: 27 Ostim / Ankara
Kitabýn tamamýnýn ya da bir kýsmýnýn
Tel: 0.312. 386 28 24
kitabý yayýmlayan þirketin önceden
Fax: 0.312 385 61 00
izni olmaksýzýn fotokopi ya da elektronik,
Web: www. genetikkopya.com
www.matematikvadisi.com.tr
E-posta: bilgi@matematikvadisi.com.tr
mekanik herhangi bir kayýt sistemiyle
çoðaltýlmasý, yayýmlanmasý ve
depolanmasý yasaktýr.
Saygıdeğer Öğretmenler
Sevgili Öğrenciler
Matematik çoğu öğrencinin eğitim hayatı boyunca korkulu rüyası olmuştur. Birçok kimse nezdinde hak ettiğinin ötesinde olumsuz bir imaja sahiptir. Buna karşılık matematiği tutkuyla sevenler de vardır.
Matematiğe karşı duygusal tavrımız ne olursa olsun, hepimizin bildiği tartışma götürmez bir gerçek “matematik olmadan olmayacağı” gerçeğidir. Özellikle de bir öğrenci iseniz!
NEDEN MATEMATİK VADİSİ?
Matematik Vadisi, matematiği tutkuyla seven bir grup matematik öğretmeninin; matematiği seven sevmeyen herkesin
matematikte en azından yeteri kadar başarılı olabileceğini göstermek için hayata geçirdiği bir projedir.
Matematik Vadisi, sloganından anlaşılacağı gibi, sadece matematikle ilgilenecektir. Matematikle ilgili her şey, ana sınıfından akademik hatta ansiklopedik düzeye kadar Matematik Vadisi’nin ilgi alanı içindedir.
Bu projenin bel kemiği, okullara takviye ve sınavlara hazırlık amaçlı hazırlanmış yayınlar olacaktır.
Temel iddiamız şudur: Matematik Vadisi’nin imza attığı her eserde usta eli değmiş dedirtecek özgünlüğü, ekip çalışması
sonunda varılabilecek bir olgunluğu ve pedagojik alt yapıyı hemen hissedeceksiniz.
Kısaca, Matematik Vadisi’nin uzmanlığını fark edeceksiniz.
GENETİK KOPYA YÖNTEMİ
Genetik Kopya Yöntemi ülkemizde yaygın olan, “matematik korkusu”nun aşılmasını sağlamak için geliştirilmiş bir
yöntemtir.
Temel tezi “Bu çözümü anladıysan çok benzerini de yapabilirsin, yapabildiğini görürsen daha da cesaretlenirsin.”
şeklinde özetlenebilir.
Bu kitabın sistematiğinde temel bilgiyi vermek amacıyla ayrıntılı şekilde çözdüğümüz soruyu, DNA diye adlandırıyoruz.
ikonu ile verilen sorular ise, DNA’da verilen soruya bire bir benzeyen niteliktedir. Yani onun Genetik Kopyası-
dır. Böylece DNA için yapılan çözüm anlaşılmış ise, bu soru da rahatça çözülebilecektir. Böylece öğrencinin, yapılan
çözümü kavraması, benzer soruları kendisi de çözerek iyice özümsemesi hedeflenmiştir. İnanıyoruz ki “Genetik Kopya” yöntemi ideal bir matematik öğrenme ve öğretme yöntemidir.
MATEMATİK VADİSİ’NİN KADROSU
Matematik Vadisi, matematiği tutkuyla seven bir grup matematikçinin başını çektiği bir kadro tarafından kurgulanmıştır. Ankara’dan Alpaslan Ceran ve Saygın Dinçer, İstanbul’dan Eyüp Kamil Yeşilyurt, İzmir’den İbrahim Kuşcuoğlu,
Konya’dan Gürkan Gülcemal, bu projenin mimarı olan kişilerdir.
Matematik Vadisinde içkin olan Matematik tutkusu, çok kısa sürede yayınlanacak onlarca özgün eserle, yeşerecektir.
Alpaslan CERAN
Matematik Vadisi Yayın Editörü
KİTABIMIZIN ORGANİZASYON ŞEMASI
Hazine Avı’ndan elde ettiğimiz ve
Hazine 1
DNA çözümlerinde işimize en çok
Bir NoktanÆn Orijine UzaklÆþÆ: A(a) noktasÆnÆn orijine
yarayacak olan, teorem niteliğindeki
uzaklÆþÆ, koordinatÆnÆn mutlak deþerine eĩittir.
değerli bilgiler bu ikonla gösterilmiş-
|OA| = |a|
tir.
Bazen Hazine Avı’ndan, bazen de Hazine
IúÕk 4
Avı’na ihtiyaç duyulmadan elde edilen ve
DNA çözümlerinde yolumuza IŞIK tutacak
Orta Nokta:
olan, küçük teorem niteliğindeki değerli
A(a), B(b) ve G(x) olmak üzere,
bilgiler bu ikonla gösterilmiştir.
|AG| = |GB| Ÿ |x – a| = |b – x|
Ÿx–a=b–x
DNA 14
Kendinden hemen önce verilen DNA
Eþimi 1 ve 1
3
ve IŞIK’ların kullanımını gerektiren
olan doþrular arasÆndaki geniĩ
miştir.
açÆnÆn ölçüsü kaç derecedir?
A) 105
B) 120
C) 135
KÖK SORU’lar bu ikonla gösteril-
D) 150
E) 165
DNA da kullanılan sorunun biraz değiştirilmiş şekli, yani Genetik Kopyası
bu ikonla gösterilmiştir.
Çözüm
DNA için verilen ayrıntılı çözümler bu
ikonla gösterilmiştir.
Uyarı
IĨIK 2’nin karĩÆtÆ doþru deþildir.
|AB| + |BC| = |AC| Ÿ a d b d c
dir. NoktalarÆn çakÆĩÆk olmasÆ durumu ihmal edilmemelidir.
Soruyu çözerken öğrencinin yapabileceği muhtemel hataya düşmemesi
için yapılan öğütler bu ikonla gösterilmiştir.
Hatırlatma
Soruyu çözebilmek için gerekli olan
h2 = p ˜ k
A
h
p
ancak farklı konularla ilgili olan bilgi-
saþlayan
ler bu ikonla gösterilmiştir.
üçgen
dik üçgendir.
k
B
Euclid Teoremi’ni
C
Bir üçgensel bölgenin aþÆrlÆk merkezi kenarortaylarÆnÆn kesiĩim noktasÆdÆr.
HAZİNE ve IŞIK’lar kadar yoğun kulA1(x1, y1)
lanılmayan, ancak yine de bilinmesi
gereken bazı bilgiler bu ikonla gösterilmiştir.
G
A2(x2, y2)
A3(x3, y3)
NOT etmemiz gereken, IŞIK ve
Not
HAZİNE’lere nazaran daha az ihtiyaç duyacağınız bilgiler, bu ikonla
gösterilmiştir.
Kısayol
SayÆ doþrusunda, |ax + b| d c eĩitsizliþini saþlayan
x lerin oluĩturduþu doþru parçasÆnÆn uzunluþu 2 ˜
c
a
Sadece o tip soruda kullanılabilecek
kestirme çözüm yolu için kullanılabilecek bilgiler bu ikonla gösterilmiştir.
birimdir.
Tenef füs
Öğrenciyi dinlendirmek, biraz da bilZaman HesabÖ
gilendirmek için hazırlanmış yazılar
Her sabah hesabÖnÖza 86.400 TL yatÖran bir banka
bu ikonla gösterilmiştir.
düüünün. Gün boyu istediùiniz kadar parayÖ harcamakta veya harcamamakta serbestsiniz. Fakat sa-
Kitabımızın Organizasyon Şeması ............................................................. Sayfa: 4 - 5
BÖLÜM - 00
Giriş .......................................................................................................... Sayfa: 7 - 8
BÖLÜM - 01
Sayı Doğrusu ........................................................................................... Sayfa: 9 - 18
BÖLÜM - 02
Eksenler ve Bölgeler ............................................................................... Sayfa: 19- 40
BÖLÜM - 03
Orta Nokta............................................................................................ Sayfa: 41 - 60
BÖLÜM - 04
Alan ve Ağırlık Merkezi......................................................................... Sayfa: 61 - 86
BÖLÜM - 05
Eğim .................................................................................................... Sayfa: 87 - 112
BÖLÜM - 06
Doğru Denklemleri ........................................................................... Sayfa: 113 - 168
BÖLÜM - 07
Simetri .............................................................................................. Sayfa: 169 - 190
BÖLÜM - 08
Eşitsizlik ve Eşitsizlik Sistemleri ......................................................... Sayfa: 191 - 207
EK - Grafikler ............................................................................................. Sayfa: 208
DOĞRUNUN ANALİTİĞİ - BÖLÜM 00
GİRİŞ
GİRİŞ
Zannediyorum, bu diyalog adresleme sisteminin ne kadar
önemli ve gerekli olduğunu anlatmaktadır.
Okuma yazmayı yeni öğrendiğimde, ilkokul öğretmenimiz
hepimizden defterlerimize adresimizi yazmamızı istemiş-
İşte analitik geometri de, geometrik şekillerin birer adresinin olmasını sağlayan yapıdır.
ti.
Örneğin ben, “Yeşilpınar Mahallesi, Canan Sokak,
No: 13/6 Eyüp, İstanbul” yazmıştım.
Çocukluk bu ya! Yanımdaki arkadaşım, öğretmenimize
“Öğretmenim, neden hepimizin bir adresi var?” diye sordu.
Öğretmenimizin “Eğer kimsenin adresi olmasaydı, çok
büyük karmaşa çıkardı. Mesela, kimseye mektup gönde-
Analitik geometri, geometrik problemlerin çözümünde bir
koordinat sistemi kullanır ve bir geometrik şeklin her bir
noktasını, koordinatlar adı verilen bir takım sayılarla eşler. Böylece her bir nokta tarafından sağlanması gereken
koşullar, denklemler veya eşitsizliklerle ifade edilebilir. Bu
anlamda geometrik bir problem, cebirsel bir probleme indirgenmiş olur ki, çoğu insan cebirsel bir problemle çok
remezdik.” cevabını verdiğini iyi hatırlıyorum.
daha kolay bir biçimde baş edebilir.
Gerçekten de, neden hepimizin bir adresi olduğunu hiç
Cebirsel çözüm elde edildikten sonra, bu çözümün geo-
düşündünüz mü? Adres nedir?
metrik yorumunun belirlenmesi gerekir. Bu yöntem, René
Ben bu sorunun cevabının şu olduğunu düşünüyorum:
Descartes tarafından 1636 yılında yayınlanan La Géo-
“Adres, içinde yaşadığımız dünyada, istediğimiz yere gi-
metrie kitabında kullanılmıştır.
debilmek, nesnelerin konumlarını net olarak belirleyebilmek ve tarifte kolaylığı sağlayabilmek amacıyla tanımlanmış yapıdır.”
Descartes’tan önce geometrik muhakeme sadece geometride kullanılıyordu. Descartes’ten itibaren geometrik
fikirlerin gelişimi çoğunlukla, Descartes’ın yöntemi saye-
Adresleme sistemi olmadan önce, şu gibi konuşmalar
muhtemelen çok yaygındı:
Ahmet Ağa:
“Akşama sizi çocuklarla yeni yaptırdığım eve yemeğe
bekliyorum. Tamam mı, Dursun Ağa?”
Dursun Ağa:
sinde gerçekleşmiştir.
Geometri uzamsal kavramlarla ilgilenir. Fizik, astronomi,
mühendislik vs. problemleri sadece uzayı değil, genellikle zamanı da içerir. Bu problemleri çözmek için kullanılan
yöntem, analitik geometrinin kullandığı yönteme benzer.
Fakat geometrik problemler, zaman kavramı olmadığın-
“Yeni evini nereye yaptırdın ki Ahmet Ağa?”
dan, biraz daha kolaydır.
Ahmet Ağa:
Bu kitabın amacı, okuyucuya matematiksel düşünmesi
“Dereboyundaki ikinci söğütten yukarı doğru çık. Dosdoğ-
için ilham vermektir.
ru yürü, bizim evi bulursun.”
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
7
Giriş
8
Doğrunun Analitiği - Bölüm 00
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
Doğrunun Analitiği - Bölüm 01
Sayı Doğrusu
TANIM
Sayı Doğrusu
Sayı doğrusunda A(–3) noktasının orijine uzaklığı kaç
Doğru üzerindeki her noktaya karşılık, reel sayılar kümesinin bir elemanı eşleştirilmiş doğrulara Sayı Doğrusu veya
birimdir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) –2
E) –3
Eksen denir.
Nokta ile eşleşen reel sayıya o noktanın koordinatı denir.
Sıfır sayısının eşlendiği noktaya sayı doğrusunun orijini
veya başlangıç noktası denir ve O harfi ile gösterilir. O
noktasının koordinatı sıfır olduğu için O(0) biçiminde gösterilir.
Işık 1
... C¢
B¢
A¢
O
A
B
C
... –3
–2
–1
0
1
2
3 ...
x
A(1), B(2), C(3), ..., A′(–1), B′(–2), C′(–3),...
İki Nokta Arasındaki Uzaklık:
A(a) ve B(b) noktaları arasındaki uzaklık, koordinatlar
farkının mutlak değerine eşittir.
|AB| = |a – b|
Hazine 1
Bir Noktanın Orijine Uzaklığı: A(a) noktasının orijine
Uyarı
uzaklığı, koordinatının mutlak değerine eşittir.
|OA| = |a|
|a – b| = |b – a| olduğundan |AB| = |BA| dır.
DNA 1
DNA 2
Sayı doğrusunda orijine uzaklığı 5 birim olan nokSayı doğrusunda A(–4) ve B(7) olduğuna göre,
taların koordinatlarının oranı kaçtır?
|AB| kaç birimdir?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
A) 3
Çözüm
B) 4
D) 11
E) 12
Çözüm
Orijinden 5 birim uzaklıkta olan nokta A(a) olsun.
IŞIK 1’den,
|OA| = 5 ⇒ |a| = 5 ⇒ a = 5 veya a = –5
Koordinatlar oranı
C) 10
−5
= −1 dir.
5
|AB| = |–4 –7| = |–11| = 11 birim
buluruz.
Doğru Seçenek B
Doğru Seçenek D
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
9
Sayı Doğrusu
Doğrunun Analitiği - Bölüm 01
Kısayol
Sayı doğrusunda A(–3) ve |AB| = 7 birim olduğuna
göre, B noktasının koordinatı en az kaçtır?
A) 10
C) –10
B) 4
D) –4
E) 0
a ve b birer tam sayı olmak üzere;
a ≤ x ≤ b aralığında b – a + 1 tane tam sayı vardır.
a < x < b aralığında b – a – 1 tane tam sayı vardır.
a ≤ x ≤ b aralığındaki tam sayıların toplamı
a+b
(b − a + 1) dir.
2
DNA 3
Sayı doğrusunda A(3) ve B(x) noktaları veriliyor. A ile
B arasındaki uzaklık en çok 5 birimdir.
arasındaki uzaklık en çok 20 birimdir.
Buna göre, x in tam sayı değeri kaç tanedir?
A) 11
B) 10
C) 9
D) 8
Sayı doğrusunda A(–7) ve B(x) noktaları veriliyor. A ile B
Buna göre, x in tam sayı değeri kaç tanedir?
E) 7
A) 37
B) 38
C) 39
D) 40
E) 41
Çözüm
IŞIK 1’den,
TANIM
|AB| ≤ 5 birim
Arada Olma: Sayı doğrusunun farklı üç A, B, C noktası
|x – 3| ≤ 5
için, |AB| + |BC| = |AC| ise B noktası, A ile C nin arasındadır denir.
–5 ≤ x –3 ≤ 5
A
–5 + 3 ≤ x ≤ 5 + 3
B
C
–2 ≤ x ≤ 8
buluruz. [–2, 8] aralığındaki tam sayılar, {–2, –1, 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8} olduğundan, x in alabileceği değerler 11
Işık 2
A(a), B(b), C(c) olmak üzere,
tanedir.
a < b < c ⇒ |AB| + |BC| = |AC|
Doğru Seçenek A
dir. Yani, B(b) noktası, A(a) ile C(c) arasındadır.
10
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
Doğrunun Analitiği - Bölüm 01
Sayı Doğrusu
Uyarı
Sayı doğrusunda A(–20), B(–40), C(x) ve C noktası, A ile
IŞIK 2’nin karşıtı doğru değildir.
B arasındadır.
|AB| + |BC| = |AC| ⇒ a ≤ b ≤ c
dir. Noktaların çakışık olması durumu ihmal edilmeme-
Buna göre, x in tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
A) –570
lidir.
A
B
C
a
b
c
B) –609
D) –619
x
C) –610
E) –620
|AB| + |BC| = |a – b| + |b – c|
= b – a + c – b = c – a = |AC|
DNA 5
DNA 4
Sayı doğrusunda A(x) noktası, B(3) ile C(–5) arasında
ve |AB| – |AC| = 7⋅|BC| dir.
Sayı doğrusunda A(2), B(–4), C(x) ve C noktası, A ile
B arasındadır.
Buna göre, x in tam sayı değerlerinin toplamı kaç-
Buna göre, |AB| kaç birimdir?
A) 24
B) 28
C) 29
D) 30
E) 32
tır?
A) –7
B) –5
C) 3
D) 5
E) 8
Çözüm
Çözüm
IŞIK 2’den, |BA| + |AC| = |BC| eşitliğini yazarız.
–4 < x < 2 ve x tam sayı olduğundan –3 ≤ x ≤ 1 yazılabilir.
| AB | − | AC | = 7⋅ | BC |
+ | BA | + | AC | = | BC |
DNA 3’te verdiğimiz KISAYOL’dan,
| AB | = 4⋅ | BC |
x in tam sayı değerleri toplamı,
| AB | = 4⋅ | 3 + 5 | birim = 32 birim
1− 3
(1 + 3 + 1) = −5
2
dir.
ya da (–3) + (–2) + (–1) + 0 + 1 = –5 buluruz.
Doğru Seçenek E
Doğru Seçenek B
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
11
Sayı Doğrusu
Doğrunun Analitiği - Bölüm 01
DNA 6
Sayı doğrusunda A(x) noktası, B(–3) ile C(–5) arasında ve
Uç noktaları A(3 – x) ve B(–4 – x) olan [AB] nın
|AB| – |AC| = 5⋅|BC| dir.
uzunluğu kaç birimdir?
Buna göre, |AB| kaç birimdir?
A) 7
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
B) 6
C) 5
D) 2
E) 1
E) 16
Çözüm
IŞIK 3’ten,
TANIM
|AB| = |3 – x – (–4 –x)| = |3 – x + 4 + x| = 7 birim
buluruz.
Doğru Parçası:
Doğru Seçenek A
Bir sayı doğrusunun farklı iki noktası A ve B olsun. A, B ve
bunların arasında kalan noktaların kümesine AB doğru
parçası denir ve [AB] sembolü ile gösterilir. A ve B noktalarına doğru parçasının uç noktaları denir.
AB: AB doğrusu
Uç noktaları A(6) ve B(–4) olan AB doğru parçasının
A(a)
B(b)
uzunluğu kaç birimdir?
A) 2
[AB]: AB doğru parçası
A(a)
P(x)
D) 8
E) 10
Not
]AB[: AB açık doğru parçası
P(x)
C) 6
B(b)
a ≤ x ≤ b veya x ∈ [a, b]
A(a)
B) 4
B(b)
a < x < b veya x ∈ ]a, b[ veya x ∈ (a, b)
|AB| = 0 ise A ile B noktaları çakışıktır.
Farklı bir deyişle; |AA| = 0 dır.
[AB[: AB yarı açık doğru parçası
A(a)
P(x)
B(b)
a ≤ x < b veya x ∈ [a, b[ veya x ∈ [a, b)
TANIM
Işın:
Uzunluğu sıfırdan farklı bir [AB] doğru parçası verilsin.
B noktası, A ile P noktası arasında kalacak biçimdeki P
noktalarının kümesi ile [AB] nın birleşim kümesine AB ışı-
Işık 3
nı denir ve [AB biçiminde gösterilir.
Doğru Parçasının Uzunluğu:
A(a) ve B(b) olmak üzere,
|AB|: AB doğru parçasının uzunluğu
|AB| = |a – b|
dir.
12
A noktasına ışının başlangıç noktası denir.
[AB: AB ışını
A(a)
B
P(x)
a ≤ x veya x ∈ [a, ∞)
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
Doğrunun Analitiği - Bölüm 01
Sayı Doğrusu
TANIM
Yarı Doğru:
K = {x ∈ R: |2x – 3| ≥ 7}
Başlangıç noktası dahil edilmemiş ışına yarı doğru denir.
]AB: AB yarı doğrusu
kümesinin sayı doğrusundaki görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir?
A)
A(a)
B
P(x)
C)
–2
5
–2
5
a < x veya x ∈ (a, ∞)
E)
B)
D)
–4
–2
5
–4
10
10
Kısayol
Sayı doğrusunda, |ax + b| ≤ c eşitsizliğini sağlayan
DNA 7
x lerin oluşturduğu doğru parçasının uzunluğu 2 ⋅
Sayı doğrusunda A(1) ve B(3) noktaları veriliyor.
c
a
birimdir.
B noktası, A ile P(x) noktası arasında kalacak biçimde P noktalarının kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {x ∈ R: x ≥ 1}
B) {x ∈ R: x ≥ 3}
C) {x ∈ R: x > 1}
D) {x ∈ R: x > 3}
TANIM
Orta Nokta:
Bir doğru parçasının üzerindeki, uç noktalarına eşit uzak-
E) {x ∈ R: x < 1}
lıkta bulunan noktaya, o doğru parçasının orta noktası
denir.
A(a)
G(x)
B(b)
Çözüm
A(1)
B(3)
Işık 4
P(x)
Orta Nokta:
x>3
Doğru Seçenek D
A(a), B(b) ve G(x) olmak üzere,
|AG| = |GB| ⇒ |x – a| = |b – x|
⇒x–a=b–x
⇒ x=
Eğer P noktalarının geometrik yeri sorulsaydı, cevap; yarı
doğru olurdu.
a+b
2
dir.
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
13
Sayı Doğrusu
Doğrunun Analitiği - Bölüm 01
Çözüm
TANIM
Eş Doğru Parçaları, Simetri, Ağırlık Merkezi:
IŞIK 5’ten,
Uzunlukları eşit olan doğru parçalarına, eş doğru parçaG
A(a)
ları denir.
|AB| = |CD| ⇔ [AB] ≅ [CD]
A(a)
[AB] nın orta noktası G ise A ve B noktaları G noktasına
G¢
a+b
2
a + b – 12
2
B(b)
B¢(b – 12)
göre simetriktir denir.
| GG′ | =
Doğru parçasının orta noktasına, doğru parçasının ağırlık
a + b a + b − 12 12
−
=
= 6 birim
2
2
2
merkezidir denir.
buluruz.
Doğru Seçenek E
Işık 5
Ağırlık Merkezi:
Kısayol
⎛a+b⎞
A(a), B(b) için [AB] nın ağırlık merkezi G ⎜
⎟ dir.
⎝ 2 ⎠
Bir doğru parçası her iki uçtan m birim kesildiğinde ağırlık merkezinin koordinatı değişmez.
.......................................................................................
Not
Bir doğru parçasının yalnız bir ucundan m birim kesildiSayı doğrusunda, |ax + b| ≤ c eşitsizliğini sağlayan x lerin
oluşturduğu doğru parçasının orta noktasının koordinatı
b
− dır.
a
ğinde ağırlık merkezi diğer uca doğru
m
birim kayar.
2
.......................................................................................
Bir uçtan m birim diğer uçtan n birim kesildiğinde ağırlık merkezi kesilen büyük parçadan küçük olana doğru
m−n
birim kayar.
2
DNA 8
Uzunluğu 2008 birimden büyük ve ağırlık merkezi G
olan bir doğru parçası veriliyor. Doğru parçasının bir
ucundan 12 birim kesildiğinde kalan doğru parçasının
ağırlık merkezi G′ noktası oluyor.
A(–96), B(112) ve C(120) noktaları veriliyor. AB doğru
Yukarıda verilenlere göre, |GG′| kaç birimdir?
parçasının ağırlık merkezi G, AC doğru parçasının ağırlık
A) 1007
B) 998
D) 12
C) 24
E) 6
merkezi H noktasıdır.
Yukarıdaki verilenlere göre, |GH| kaç birimdir?
A) 4
14
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
B) 8
C) 12
D) 16
E) 24
Doğrunun Analitiği - Bölüm 01
Sayı Doğrusu
Çözüm
TANIM
Bölen Nokta:
A
B
C
IŞIK 6’dan,
| BA |
B, [AC] doğru parçasını
oranında içten bölen nok| BC |
tadır.
A, [BC] doğru parçasını
noktadır.
C, [AB] doğru parçasını
noktadır.
C(x)
| AB |
oranında dıştan bölen
| AC |
A(1)
B(5)
| CA | 1
−1 − x 1
= ⇒
=
| CB | 3
5−x 3
⇒ x = −4
| CB |
oranında dıştan bölen
| CA |
C(x)
A(–1)
k
B(5)
2k
2k parçada 6 azalma varsa, k parçada 3 azalma vardır.
Işık 6
Buna göre, x = –1 –3 = –4 tür.
Sayı doğrusunda, A(a), B(b) ve C(c) noktaları verilsin.
Doğru Seçenek A
a < b < c olsun.
A(a)
B(b)
C(c)
O zaman,
| AB | b − a
=
| BC | c − b
A(–10), B(15) ise [AB] doğru parçasını dıştan
| CA | 1
=
| CB | 2
oranında dıştan bölen C(x) noktasının koordinatı kaç-
dir. Benzer şekilde,
tır?
| AB | b − a
=
| AC | c − a
A) –40
B) –35
C) –30
D) 25
E) 35
eşitliği de yazılabilir.
TANIM
DNA 9
Doğrudaşlık:
A(–1), B(5) ise [AB] doğru parçasını dıştan
| CA | 1
oranında dıştan bölen C(x) noktasının
=
| CB | 3
koordinatı kaçtır?
A) –4
B) –3
Aynı bir doğrunun üzerindeki noktalara doğrudaş veya
doğrusal noktalar denir.
A
C) –2
D) 8
B
C D
E
E) 10
Yukarıdaki şekilde, A, B, C, D, E noktaları doğrudaştır.
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
15
Sayı Doğrusu
Doğrunun Analitiği - Bölüm 01
TANIM
DNA 10
Sayı doğrusunda A(–1), B(13) ve değişken bir P(x)
Geometride geometrik yer, geometrik şekil anlamında kul-
noktası veriliyor.
Buna göre, |AP| + |PC| toplamı en az kaç birimdir?
A) 16
B) 14
Geometrik Yer:
C) 12
D) 7
E) 6
lanılan bir kavramdır.
Analitik geometride, noktaların koordinatlarının bileşen
sayısı kadar değişken içeren bağıntılar geometrik bir şekil
belirtir, hem bu şekle hem de bağıntısına geometrik yer
denilir. Matematikte değişkenler için genellikle x, y, z,...
harfleri kullanılır.
Çözüm
Örneğin;
Sayı doğrusunda sadece bir tane değişken olduğundan,
P ∈ [AB] ise |AP| + |PB| = |AB|
x < 4 eşitsizliği yarı doğru,
P ∉ [AB] ise |AP| + |PB| > |AB| olduğundan
1 ≤ x ≤ 2 aralığı bir doğru parçası,
x = 3 eşitliği bir nokta belirtir.
|AP| + |PB| toplamının en küçük değeri |AB| dir.
|AB| = |–1 –13| = 14 birimdir.
DNA 11
Doğru Seçenek B
Sayı doğrusunda A(5), B(12) dir. |AP| + |PB| = 7 birimdir.
Buna göre, P noktasının geometrik yeri aşağıdaki-
Not
lerden hangisidir?
A) AB
Sayı doğrusu üzerindeki her A, B, P noktası için,
B) (AB)
C) [AB]
D) [AB
E) ]AB
|AP| + |PB| ≥ |AB|
Çözüm
dir.
|AP| + |PB| = |AB|
olduğundan P ∈ [AB] dir.
Doğru Seçenek C
A(5) ve B(2) noktaları arasında bulunan noktaların geometrik yeri aşağıdakilerden hangisidir?
Sayı doğrusunda A(5), B(–7) ve koordinatı tam sayı olan
P noktası veriliyor.
B) BA ışını
|AP| + |PB| toplamını en küçük yapan kaç tane P noktası vardır?
A) 13
16
B) 12
A) AB ışını
C) AB açık doğru parçası
D) AB kapalı doğru parçası
C) 11
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
D) 3
E) 2
E) AB doğrusu
Doğrunun Analitiği - Bölüm 01
Sayı Doğrusu
4.
TEST - 1
Sayı doğrusunda A(3), B(7) ve C(5) noktaları veriliyor.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
1.
A) A, B ve C noktaları doğrudaştır.
Sayı doğrusunda A(x + 1) ve B(x – 9) noktaları veriliyor.
B) A noktası, B ile C arasındadır.
Buna göre, AB doğru parçasının uzunluğu kaç
birimdir?
A) 14
B) 10
C) 8
D) 6
C) C, [AB] nın orta noktasıdır.
D) |AB| = 4 birimdir.
E) 4
E) |AB| = 2|BC| dir.
5.
2.
Sayı doğrusunda,
Sayı doğrusunda,
B noktasının koordinatı –4,
A noktasının koordinatı 5,
C noktasının koordinatı 6 ve |BC| = 2|AB| dir.
B noktasının koordinatı –3 ve |AC| = 2|AB| dir.
Yukarıdaki verilenlere göre, A noktasının koordinatının negatif değeri kaçtır?
Yukarıdaki verilenlere göre, C noktasının koordinatı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A)–11
B) –3
C) 13
D) 23
A) –1
B) –5
C) –6
D) –9
E) –10
E) 27
6.
Sayı doğrusunda,
A noktasının koordinatı –3,
3.
Sayı doğrusunda, başlangıç noktası orijin olan ve
B(–4) noktasından geçen OB ışını üzerinde ve C(3)
noktasına uzaklığı 5 birim olan bir K noktası veriliyor.
B noktasının koordinatı 6
Yukarıdaki verilenlere göre, K noktasının koordinatı kaçtır?
Yukarıdaki verilenlere göre, x in tamsayı değerleri kaç tanedir?
A) 0
A) 6
B) –1
C) –2
D) –3
E) –5
C noktasının koordinatı x ve
|AC| + |BC| = |AB| dir.
B) 7
C) 8
D) 9
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 10
17
Sayı Doğrusu
7.
Doğrunun Analitiği - Bölüm 01
10.
Sayı doğrusunda,
A noktasının koordinatı –6,
B noktasının koordinatı 4,
C noktasının koordinatı x ve
A(–1), B(5) ve C(x) olmak üzere, |x + 1| – |x – 5|
farkı aşağıdaki verilenlerden hangisine eşittir?
A) |AC| + |BC|
B) |AB| – |BC|
C) |AB| – |AC|
D) |BC| – |AC|
E) |AC| – |BC|
[AC] ≅ [BC] dir.
Yukarıdaki verilenlere göre, x kaçtır?
A) –4
B) –3
C) –2
D) –1
E) 0
11.
Sayı doğrusunda birbirinden farklı A, B ve C noktaları veriliyor.
Buna göre, |AB| + |BC| toplamının en küçük değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) –|AC|
B) |AA|
C) |AB|
D) |AC|
8.
E) |BC|
Sayı doğrusunda A(5), B(2) ve B, AC doğru parçasının orta noktasıdır.
Buna göre, C noktasının koordinatı kaçtır?
A) –1
B) 1
C) 4
D) 6
E) 8
12.
Sayı doğrusunda A(–3), B(4), C(x) ve
T = |x + 3| + |x – 4| veriliyor.
Buna göre, –T nin en büyük değerini alması için
aşağıdakilerden hangisi yeterli değildir?
A) A, B ile C arasında olmalıdır.
B) C, A ile B arasında olmalıdır.
9.
C) A ile C aynı nokta olmalıdır.
Sayı doğrusunda A(–3) noktasının B(2) noktasına göre simetriğinin koordinatı kaçtır?
A) 8
B) 7
1.B
18
C) 6
2.A
D) 5
3.C
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
4.B
D) B ile C aynı nokta olmalıdır.
E) 4
5.D
E) T = 7 olmalıdır.
6.E
7.D
8.A
9.B
10.E
11.D
12.A
DOĞRUNUN ANALİTİĞİ - BÖLÜM 02
EKSENLER VE BÖLGELER
lemdeki K noktasına karşılık (a,b) reel sayı ikilisi eşleşmiş
TANIM
demektir. Bu eşleşme K(a,b) biçiminde gösterilir ve (a,b)
ikilisine K noktasının koordinatları veya kartezyen koor-
Analitik Düzlem:
dinatları denir.
Başlangıç noktasında birbirine dik olan iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme dik koordinat sistemi veya kartezyen koordinat sistemi denir.
(a,b) ikilisindeki birinci bileşen olan a sayısına, K noktasının apsisi, ikinci bileşen olan b sayısına da, K noktasının
ordinatı denir.
Yatay konumda olan sayı doğrusuna x ekseni, düşey
konumda olan eksene y ekseni, bu eksenlerin kesiştiği
Hazine 2
noktaya dik koordinat sisteminin başlangıç noktası (orijin) ve bu doğruların belirlediği düzleme analitik düzlem
denir.
Analitik düzlem R2 veya R x R biçiminde ifade edilir.
Eksen üzerindeki nokta:
Apsisi sıfır olan noktalar y ekseni üzerindedir.
K(0,y) noktası y ekseni üzerindedir.
y
Ordinatı sıfır olan noktalar x ekseni üzerindedir.
3
K(x,0) noktası x ekseni üzerindedir.
2
1
–1 –2 –3 0
–1
1
2
x
3
Koordinatları (0,0) olan nokta, hem y hem de x ekseni
üzerindedir. Yani eksenlerin kesiştiği ortak noktadır.
Bu nokta koordinat sisteminin başlangıç noktası veya
–2
orijindir ve O(0,0) biçiminde gösterilir.
–3
x eksenine, yatay eksen, apsisler ekseni veya Ox ekseni
DNA 1
ve y eksenine de, düşey eksen, ordinatlar ekseni veya Oy
ekseni denildiği de olur.
R2 = R x R = {(x, y): x ∈ R ve y ∈ R} kümesinin (x, y)
biçimindeki elemanlarına reel sayı ikilisi denildiğini hatırlayınız.
Analitik düzlemin her noktasına bir reel sayı ikilisi ve her
A(a + b – 2, a – b + 8) noktası analitik düzlemin
başlangıç noktası olduğuna göre, a ⋅ b çarpımı
kaçtır?
A) –16
B) –15
C) –12
D) 12
E) 15
reel sayı ikilisine de analitik düzlemin bir noktası karşılık
gelir; yani noktalarla reel sayı ikilileri birebir eşleşir.
Bu eşleşmenin nasıl yapıldığını anlamak için aşağıdaki
Çözüm
şekle bakınız.
A noktasının koordinatları (0,0) olduğundan,
y
+
K
b
O
a
x
a+b−2 =0
a−b+8 = 0
2a + 6 = 0 ⇒ a = −3 ve b = 5
⇒ a ⋅ b = −15
Doğru Seçenek B
K noktasının x eksenindeki dik izdüşümüne karşılık a, y
eksenindeki dik izdüşümüne karşılık b sayısı varsa, düz-
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
19
Eksenler ve Bölgeler
Doğrunun Analitiği - Bölüm 02
A(a + b + 4, a – b + 6) noktası analitik düzlemin başlangıç noktası olduğuna göre,
A) –6
B) –5
a
oranı kaçtır?
b
C) –2
⎛ 5a2 − 20 3 − 3a2 ⎞
⎟ noktası y ekse,
Analitik düzlemde, A ⎜
a+2 ⎠
⎝ a −1
ni üzerinde ve B(a – b, a + b) noktası x ekseni üzerinde-
D) 2
E) 5
dir.
Yukarıdaki verilenlere göre, a ⋅ b çarpımı kaçtır?
A) –4
B) –1
C) 0
D) 1
E) 4
DNA 3
Analitik düzlemde A(a, 5a) noktasının koordinatları
aralarında asal doğal sayılardır.
DNA 2
Buna göre, A noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
⎛ 5a2 − 20 3 − 3a2 ⎞
Analitik düzlemde A ⎜
⎟ noktası x
,
a+2 ⎠
⎝ a −1
ekseni üzerinde ve B(a – b, a + b) noktası y ekseni
A) 6
A) –4
B) –1
C) 0
D) 1
E) 4
C) 18
D) 24
E) 30
Çözüm
üzerindedir.
Yukarıdaki verilenlere göre, a ⋅ b çarpımı kaçtır?
B) 12
Aralarında asal olan iki doğal sayının OBEB’leri 1 olmalıdır. a ile 5a nın OBEB’lerinin a olduğu âşikârdır.
Demek ki, a = 1 dir.
a = 1 olduğundan A noktasının koordinatları toplamı;
Çözüm
a + 5a = 1 + 5 = 6
A noktasının ordinatı, B noktasının apsisi 0 olmalı,
dır.
Doğru Seçenek A
a – b = 0 ⇒ a = b dir.
3 − 3a2
= 0 ⇒ 1 − a2 = 0 ⇒ a = ±1
a+2
dir.
a = 1 değeri A noktasının apsisini tanımsız yaptığından,
a ≠ 1 dir. Dolayısıyla a = –1 olur.
Analitik düzlemde A(a + b, 3a – c) noktasının koordinatları
aralarında asal doğal sayılardır. A noktasının apsisinin or-
a = b = –1 olduğundan, a ⋅ b = (–1) ⋅ (–1) = 1 dir.
Doğru Seçenek D
dinatına oranı
Buna göre, A noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
A) 6
20
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
10
dir.
8
B) 9
C) 12
D) 15
E) 18
Doğrunun Analitiği - Bölüm 02
Eksenler ve Bölgeler
Çözüm
Hazine 3
A(4,–3) noktasının,
Noktanın Eksenlere ve Orijine Uzaklığı:
y
|a|
K(a,b)
b
x eksenine uzaklığı |–3| = 3 birim
B
|b|
y eksenine uzaklığı |4| = 4 birim
|b|
a
A
O
|a|
orijine uzaklığı |AO| =
x
42 + ( −3)2 = 5 birim
olup, bu uzunlukların toplamı 3 + 4 + 5 = 12 birimdir.
x ekseni üzerindeki A(a,0) noktasının orijine uzaklığı
|a| birim, y ekseni üzerindeki B(0,b) noktasının orijine
Doğru Seçenek C
uzaklığı |b| birimdir.
K(a,b) noktasının x eksenindeki dik izdüşümü A noktası, y eksenindeki dik izdüşümü B noktası ise KAOB
dikdörtgendir.
Dikdörtgenin, karşılıklı kenar uzunlukları eşit olduğundan,
|KA| = |BO| = |b| birim
|KB| = |AO| = |a| birimdir.
Dikdörtgende köşegen uzunlukları eşittir, Pisagor
Teoremi’nden,
Analitik düzlemde A(–3, 4) noktasının eksenlere ve
|AB| = |KO| =
a2 + b2 birimdir.
orijine olan uzaklıklarının toplamı kaç birimdir?
KAOB dikdörtgeninin çevresi 2 ⋅ (|a| + |b|) birim ve alanı
A) 7
B) 10
C) 12
D) 13
E) 15
|a ⋅ b| birim karedir.
K(a,b) noktasının,
x eksenine uzaklığı |b| birim
y eksenine uzaklığı |a| birim
orijine uzaklığı |KO| =
a2 + b2 birimdir.
DNA 5
DNA 4
Analitik düzlemde köşeleri O(0,0), A(5,0), B(5,–2),
Analitik düzlemde A(4, –3) noktasının eksenlere ve
C(3,–2), D(3,–5) ve E(0,–5) olan OABCDE altıgeni-
orijine olan uzaklıklarının toplamı kaç birimdir?
nin çevresi kaç birimdir?
A) 7
A) 10
B) 10
C) 12
D) 13
E) 15
B) 20
C) 24
D) 28
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 30
21
Eksenler ve Bölgeler
Doğrunun Analitiği - Bölüm 02
Çözüm
Çözüm
ABC dik üçgeninde Euclid Teoremi’ni yazalım:
Verilen noktaları analitik düzlemde işaretleyelim.
y
y
3
5
A
O
–2
C(3,–2)
x
A
B(5,–2)
2
B
–5
E
K
D(3,–5)
O
k
x
1 C
|AO|2 = |BO| ⋅ |OC| ⇒ 22 = k ⋅ 1 ⇒ k = 4
Çevre(OABCDE) = |OA| + |AB| + |BC| + |CD| + |DE| + |EO|
Şekle göre, B noktası x ekseni üzerinde orijinden 4 birim
uzaklıkta olduğundan B noktasının apsisi –4 tür.
=5+2+2+3+3+5
Doğru Seçenek E
= 20 birim
Çevre(OABCDE) = Çevre(KAOE)
olduğuna dikkat ediniz.
Doğru Seçenek B
Analitik düzlemde
y
[BA] ⊥ [AC]
A
A(0, 6), C(4, 0) ve B
noktası x ekseni üzerin-
Analitik düzlemde köşeleri O(0, 0), A(2, 0), B(2, 1),
C(3, 1), D(3, 2) ve E(0, 2) olan OABCDE altıgeninin çevresi kaç birimdir?
A) 10
B
O
C
x
dedir.
Yukarıdaki verilenlere göre, B noktasının apsisi kaç-
B) 9
C) 8
D) 7
E) 6
tır?
A) –9
B) −3 2
D) −2 3
C) −2 2
E) –4
DNA 6
Analitik düzlemde
y
[BA] ⊥ [AC]
A
A(0, 2), C(1, 0) ve B
Tenef füs
noktası x ekseni üzerinB
O
C
x
dedir.
Yukarıdaki verilenlere göre, B noktasının apsisi
Dünyada her dakika iki
kaçtır?
tane düşük şiddette depB) −2 6
A) –5
D) −2 3
22
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
C) −3 2
E) –4
rem olmaktadır.
Doğrunun Analitiği - Bölüm 02
Eksenler ve Bölgeler
TANIM
DNA 7
Bölgeler:
Koordinat eksenleri analitik düzlemi dört ayrık bölgeye
ayırır. Bu bölgeler saatin ters yönünde I. bölge, II. bölge,
A(–2,
1),
B(3,
–3),
C(0,
–7),
⎛ 1 ⎞
D⎜ − , 6⎟
⎝ 3 ⎠
ve
E(–1, –9) noktalarından kaç tanesi analitik düzle-
III. bölge ve IV. bölge olarak isimlendirilir.
Verilen bir noktanın koordinatlarının işaretlerine bakarak
noktanın hangi bölgeye ait olduğunu söyleyebiliriz.
min II. bölgesindedir?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
Bölgelerin ayrık olmasından kastedilen, herhangi iki bölgenin kesişiminin boş küme olmasıdır. Değişik bir ifadeyle,
herhangi bir nokta iki bölgede birden bulunamaz. Eksen-
Çözüm
ler üzerindeki noktalar hiçbir bölgeye dahil edilmemiştir.
y
A(–2, 1) noktası II. bölgede,
II.bölge
(–, +)
I.bölge
(+, +)
(–, –)
III.bölge
(+, –)
IV.bölge
B(3, –3) noktası IV. bölgede,
x
C(0, –7) noktası y ekseni üzerinde,
⎛ 1 ⎞
D ⎜ − , 6 ⎟ noktası II. bölgede,
⎝ 3 ⎠
E(–1, –9) noktası III. bölgededir.
Uyarı
II. bölgede 2 tane nokta vardır.
Matematikte bir sayının işareti, o sayının 0 dan büyük
Doğru Seçenek D
veya küçük olmasıyla ilgilidir. İşaret incelemek, eşitsizlik veya eşitsizlik sistemi çözmek demektir.
Analitik geometride eşitsizlik sistemleri belli bir taralı
bölge ifade eder. Bunları ilerleyen bölümlerde detaylı
A(2, 2), B(2, –2), C(–2, 2), D(–2, –2) ve E(–2, 0) noktala-
inceleyeceğiz.
rından kaç tanesi analitik düzlemin II. bölgesindedir?
A) 5
Hazine 4
B) 4
C) 3
E) 1
D) 2
Bölgeler:
K(x,y) noktası verildiğinde,
x > 0 ve y > 0 ⇔ K(x,y) noktası 1. bölgededir.
x < 0 ve y > 0 ⇔ K(x,y) noktası 2. bölgededir.
DNA 8
x < 0 ve y < 0 ⇔ K(x,y) noktası 3. bölgededir.
x > 0 ve y < 0 ⇔ K(x,y) noktası 4. bölgededir.
I
II
III
IV
Apsis (x)
+
–
–
+
Ordinat (y)
+
+
–
–
a > 0, b < 0 olduğuna göre, A(3 – b, –2a) noktası
analitik düzlemin hangi bölgesindedir?
A) I
B) II
D) IV
C) III
E) x ekseni
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
23
Eksenler ve Bölgeler
Doğrunun Analitiği - Bölüm 02
Çözüm
a > 0 ⇒ –2a < 0
A(a, b) analitik düzlemin III. bölgesinde olduğuna
b < 0 ⇒ –b > 0
göre, B(a + b, a ⋅ b) hangi bölgededir?
⇒3–b>3
B) II
A) I
⇒3–b>0
D) IV
C) III
E) Orijin
A(3 – b, –2a) noktası (+, –) olduğundan IV. bölgededir.
Doğru Seçenek D
DNA 10
A(a + 1, 1) ve B(4, 4 – a) noktaları analitik düzlemin
aynı bölgesinde olduğuna göre, a nın tam sayı dea > 0, b < 0 olduğuna göre, A(–b, –a) noktası analitik
düzlemin hangi bölgesindedir?
A) I
A) 5
B) II
D) IV
ğeri kaç tanedir?
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
C) III
E) x ekseni
Çözüm
A noktasının ordinatı pozitif olduğundan B noktasının da
ordinatı pozitif olmalıdır.
4–a>0⇒a<4
DNA 9
B noktasının apsisi pozitif olduğundan A noktasının da apsisi pozitif olmalıdır.
A(a, b) analitik düzlemin III. bölgesinde olduğuna
a + 1 > 0 ⇒ a > –1
göre, B(a ⋅ b, a + b) hangi bölgededir?
A) I
B) II
D) IV
–1 < a < 4
C) III
E) Orijin
aralığındaki tam sayılar 4 tanedir.
Doğru Seçenek B
Çözüm
A noktası III. bölgede olduğundan a < 0, b < 0 dır.
a ⋅ b > 0 ve a + b < 0
B noktası, (+, –) olduğundan IV. bölgededir.
A(a – 5, 3) ve B(–3, 12 – a) noktaları analitik düzlemin
aynı bölgesinde olduğuna göre, a nın en büyük tam
Doğru Seçenek D
sayı değeri kaçtır?
A) 5
24
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
Doğrunun Analitiği - Bölüm 02
Eksenler ve Bölgeler
Hatırlatma
a<x<b
c<x<d
e<x
x<f
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪⎭
gibi birden fazla eşitsizliklerin ortak
çözüm aralığı;
max{a, c, e} < x < min{b, d, f}
(Yani, küçüklerin büyüğü ile büyüklerin küçüğü olan aralık alınır.)
A(a2 – 16, a – 4) noktası analitik düzlemin I. bölgesinde
olduğuna göre, B(a + 3, 3 – a) noktası hangi bölgededir?
A) I
B) II
D) IV
C) III
E) x ekseni
DNA 11
Hatırlatma
A(a2 – 9, a + 1) noktası analitik düzlemin II. bölgesinde olduğuna göre, B(a – 4, a + 4) noktası hangi
ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökü yoksa
bölgededir?
A) I
B) II
D) IV
C) III
E) x ekseni
(Δ = b2 – 4ac < 0 ise)
a nın işareti ile ax2 + bx + c nin işareti aynıdır yani,
a < 0 ise ax2 + bx + c < 0
a > 0 ise ax2 + bx + c > 0
Çözüm
A noktası II. bölgede olduğundan
DNA 12
a2 – 9 < 0 ve a + 1 > 0
x ∈ R olduğuna göre, A(–x2 – 1, x2– x + 2) noktası
olmalıdır.
a2 < 9 ⇒ |a| < 3 ⇒ –3 < a < 3
analitik düzlemin hangi bölgesindedir?
A) I
a + 1 > 0 ⇒ a > –1 olduğundan
B) II
D) IV
–1 < a < 3
C) III
E) x ekseni
Bu eşitsizlikte her tarafa –4 ekleyerek B nin apsisinin işaretini tespit edelim. Benzer şekilde +4 ekleyerek ordinatın
işaretini bulalım.
Çözüm
–1 – 4 < a – 4 < 3 – 4 ⇒ –5 < a – 4 < –1
–x2 – 1 = 0 denkleminde Δ = b2 – 4ac < 0 olduğundan kökü
⇒ B nin apsisi negatif
yoktur, bu durumda, her x için –x2 – 1 < 0 dır.
–1 + 4 < a + 4 < 3 + 4 ⇒ 3 < a + 4 < 7
x2 – x + 2 = 0 denkleminin Δ < 0 olduğundan kökü yoktur,
⇒ B nin ordinatı pozitif olduğundan B noktası, II. bölge-
bu durumda, her x için x2 – x + 2 > 0 dır.
dedir.
A noktası, (–, +) olduğundan II. bölgededir.
Doğru Seçenek B
Doğru Seçenek B
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
25
Eksenler ve Bölgeler
Doğrunun Analitiği - Bölüm 02
Aşağıdaki şekilde A(–7, 9) noktasının A′(–5, 8) noktasına ötelenişini inceleyiniz.
düþey eksen
x ∈ R olduğuna göre, A(x2 + 1, x2 – x + 1) noktası ana-
A) I
B) II
(–5,9)
1 br azalýþ
C) III
D) IV
A(–7,9) 2 br artýþ
9
litik düzlemin hangi bölgesindedir?
A¢(–5,8)
8
E) x ekseni
–7
yatay eksen
–5
TANIM
DNA 13
Ötelenme:
Analitik düzlemde bir noktanın, eksenlere paralel olan
doğrular üzerinde konum değiştirmesine ötelenme denir.
Birim karelerden oluşan yan-
B
daki şekil analitik düzlemin
bir parçasıdır.
Işık 7
A(–2, –1)
A
Ötelenme: Bir noktanın ötelenmesi o noktanın koordi-
Yukarıdaki verilenlere göre, B noktasının koordi-
natlarına bir sayı eklendiğinde olur. Koordinatlara ekle-
natları toplamı kaçtır?
nen sayı pozitif ise nokta eksenin pozitif yönüne, negatif
ise, eksenin negatif yönüne ötelendiği düşünülür.
i.
A) –2
B) 2
C) 4
D) 6
E) 7
Yatay eksene göre öteleme:
Çözüm
a>0
düþey eksen (y)
A¢¢(x – a, y) A(x, y)
a br azalýþ
3 br artýþ
B(2,2)
A¢(x + a, y)
a br artýþ
yatay eksen (x)
A(–2,–1) 4 br artýþ
Şekil, analitik düzlemin bir parçası olarak verildiğinden,
yatay kenarlar analitik düzlemin x eksenine, düşey kenar-
ii. Düşey eksene göre öteleme:
b>0
lar y eksenine paraleldir.
A(–2, –1) noktası, B noktasına ötelenmiş diye düşünelim.
düþey eksen (y)
b br azalýþ b br artýþ
A¢(x, y + b)
Şekle göre yatay eksende (x ekseninde) 4 br artış, düşey
eksende (y ekseninde) 3 br artış olmuş.
A(x, y)
B(–2 + 4, –1 + 3) ⇒ B(2,2) nin koordinatları toplamı,
2 + 2 = 4 tür.
A¢¢(x, y – b)
Doğru Seçenek C
yatay eksen (x)
26
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
Doğrunun Analitiği - Bölüm 02
Eksenler ve Bölgeler
Çözüm
k1
Birim karelerden oluşan
B
yandaki şekil analitik düz-
k3 k4
k5
k6
d4
lemin bir parçasıdır.
B(3,–3)
d3
d2
A(–1, –2)
A
k2
d5
d1
A(–2,–5)
Yukarıdaki verilenlere göre, B noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
A) –2
C) 4
B) 2
D) 6
Yatay doğrular analitik düzlemin x eksenine, düşey doğru-
E) 7
lar y eksenine paraleldir.
A(–2, –5) noktası ötelendiğinde koordinatları (3, –3) olan
nokta elde edilsin.
Tenef füs
(–2 + a, –5 + b) = (3, –3)
–2 + a = 3
a=5
Delikanlı Öğrenciden İnciler
– Delikanlı öğrenci uzun boylu öğretmenlerin tahtaya
⇒ A noktası yatayda 5 birim arttırılmalı,
yazdığı sorulara cevap vermeyebilir; çünkü; delikanlı
öğrenci boyundan büyük işlere karışmaz.
–5 + b = –3 ⇒ b = 2
⇒ A noktası düşeyde 2 birim arttırılmalıdır.
Şekilde B olarak gösterdiğimiz bu nokta d3 ile k6 nın kesişim noktasıdır.
Doğru Seçenek D
DNA 14
Analitik
düzlemin
Analitik
düzlemin
d5
parçası
olan
yandaki
d5
parçası
olan
d4
şekil birim karelerden
d4
şekil
d3
oluşmaktadır.
nok-
d3
oluşmaktadır.
d2
tasının
koordinatları
d2
tasının
k1
d1
k2
k3 k4
k5
A
k6
A
bir
k1
d1
(–2, –5) dir.
k2
k3 k4
k5
A
k6
birim
bir
yandaki
karelerden
A
nok-
koordinatları
(–1, 0) dır.
Yukarıdaki verilenlere göre, hangi iki doğrunun
Yukarıdaki verilenlere göre, hangi iki doğrunun kesi-
kesişim noktasının koordinatları (3, –3) dür?
şim noktasının koordinatları (3, 3) tür?
A) d5, k3
A) d5, k4
B) d4, k6
D) d3, k6
C) d2, k4
E) d3, k3
B) d4, k5
D) d3, k6
C) d2, k4
E) d3, k3
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
27
Eksenler ve Bölgeler
Doğrunun Analitiği - Bölüm 02
A(3, –2) noktasının B(1, 1) noktasına ötelendiğini düşü-
Uyarı
nelim, koordinatlara göre apsis 2 br azalmış, ordinat 3 br
artmış. Bu duruma uygun öteleme şekilde taralı olarak
Sorularda ızgaraları oluşturan kareler her zaman birim
kare olarak verilmez. Bunun yerine özdeş karelerden
oluştuğu ifade edilir.
gösterilmiştir.
Şekle bakarak A noktasını C ye öteleyelim. A noktasının
apsisi 4 br azalırsa –1 elde edilir. A nın ordinatı 2 br artar-
Analitik düzlemde x ekseni üzerinde apsisi 1 olan nok-
sa 0 elde edilir. O halde C(–1,0) olduğundan, C nin koor-
tanın orijine uzaklığı ne kadar olursa olsun 1 birim ola-
dinatları çarpımı (–1) ⋅ 0 = 0 dır.
rak kabul edilir.
Yine her soruda karelerin karşılıklı kenarları eksenlere
Doğru Seçenek C
paralel olmak zorunda da değildir.
DNA 15
B
B(1, 1) ve C noktaları şe-
senlerinden birine paraleldir.
narı, koordinat eksenlerin-
Yukarıdaki verilenlere göre, C noktasının koordinatla-
Yukarıdaki verilenlere göre, C noktasının koordinatları çarpımı kaçtır?
B) –1
rı çarpımı kaçtır?
A) –6
C) 0
D) 1
B) –4
D) 0
E) 4
DNA 16
B(12,0)
y ekseni
2 br azalma
3 br artma
B(12, 0) ve C noktaları işa-
C
retlenmiştir. Karelerden biriB(1,1)
A(3,–2)
Şekilde verilen yatay doğruların x eksenine mi yoksa y
eksenine mi paralel olduğunu bilmiyoruz. Bu nedenle hem
noktaların koordinatlarına hem de şekildeki birim karelerin
kenar sayısına dikkat etmemiz gerekecek.
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
Dört özdeş karelerden oluşan
yandaki ızgarada A(4, –4),
C
x ekseni
C) –2
E) 4
Çözüm
28
B(0, 4) ve C noktaları şekildeki
birinin bir kenarı, koordinat ek-
A
Karelerden birinin bir keden birine paraleldir.
A) –4
oluşan
gibi işaretlenmiştir. Karelerden
kildeki gibi işaretlenmiştir.
A
karelerden
yandaki ızgarada A(2, 1),
yandaki ızgarada A(3, –2),
B
Birim
C
Birim karelerden oluşan
C
A(4,–4)
nin bir kenarı, koordinat eksenlerinden birine paraleldir.
Yukarıdaki verilenlere göre, C noktasının apsisi
kaçtır?
A) –12
B) 4
D) 12
C) 8
E) 16
Doğrunun Analitiği - Bölüm 02
Eksenler ve Bölgeler
Çözüm
DNA 17
Şekilde verilen yatay doğru-
x ekseni
B(12,0)
C
C
ların x eksenine mi yoksa y
k
2k
eksenine mi paralel olduğunu
A
hatta karenin bir kenar uzunA(4,–4)
B
luğunun kaç birim olduğunu
bilmiyoruz. A dan B ye öteleme düşünelim.
Verilen koordinatlara göre apsis 8 birim artmış, ordinat
4 birim artmış. Şekle baktığımızda 2k ve k birimlik ötelemenin olduğunu görüyoruz. O halde, apsis 2k birimde 8 artarsa k birim de 4 artar ve C noktasının apsisi 4 + 4 = 8 olur.
D
[AD], x eksenine paraleldir. Birim karelerden oluşan
yukarıdaki şekilde A, B, C, D noktaları veriliyor.
Yukarıdaki verilenlere göre, C ile D noktalarının
koordinatları toplamı, A ile B noktalarının koordinatları toplamından kaç fazladır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Doğru Seçenek C
Çözüm
B(12,0)
Dört özdeş karelerden oluşan
Herhangi bir noktayı orijin seçip tüm noktaların koordinat-
yandaki
larını yazarak sonuca gidebilirsiniz.
ızgarada
A(4,
–4),
B(12, 0) ve C noktaları işaret-
C
A(4,–4)
lenmiştir. Karelerden birinin bir
Noktaların koordinatlarını tek tek yazmadan da koordi-
kenarı, koordinat eksenlerinden
natlar toplamındaki artışı tespit etmek mümkündür. Bunun
birine paraleldir.
için analitik düzlemde keyfi bir referans noktası seçip en
Yukarıdaki verilenlere göre, C noktasının ordinatı kaçtır?
B) 4
A) –12
C) 8
D) 12
E) 16
kısa yoldan, A ve B noktalarına gidebilecek yolları toplamak ve çıkarmak yeterlidir.
C
A
B
D
Referans noktamız A noktası olsun. A dan A ya 0 br,
A dan B ye 6 br yol alındığından A ve B noktalarının ko-
Tenef füs
ordinatları toplamı 6 + k dır. (k referans noktasının koordinatları toplamıdır.) Şimdi C ve D için aynı şeyleri tekrarlayalım. A dan C ye 3 br, A dan D ye 6 br yol alındığından
Mekansal Zeka:
C ile D noktalarının koordinatları toplamı 9 + k dır. C ile
Kişinin yönünü bulup bulamadığı
mekansal
zekanın
göstergesidir.
Mimarlar ve futbolcular için olduk-
D nin koordinatları toplamı, A ile B nin koordinatları toplamından 3 fazladır.
Doğru Seçenek A
ça gerekli bir yetenektir.
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
29
Eksenler ve Bölgeler
Doğrunun Analitiği - Bölüm 02
C¢(3,4)
C(5,5)
C
K¢(x – 2, y – 1)
B
A
K(x,y)
D
A¢(0,0)
[AD], x eksenine paraleldir. Birim karelerden oluşan yuka-
A(2,1)
B¢(3,0)
B(5,1)
rıdaki şekilde A, B, C, D noktaları veriliyor.
Yukarıdaki verilenlere göre, C ile D noktalarının koordinatları toplamı, A ile B noktalarının koordinatları
[AB] // [A′B′],
[BC] // [B′C′],
[AC] // [A′C′]
[AB] ≅ [A′B′],
[BC] ≅ [B′C′],
[AC] ≅ [A′C′] ve
toplamından kaç fazladır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
+
+
ABC ≅ A′B′C′ dir.
Uyarı
Analitik düzlemde A noktasının koordinatları toplamı a,
B noktasının koordinatları toplamı b ise orijin herhangi
bir noktaya ötelendiğinde, a – b farkı değişmez.
DNA 18
A(a, b) noktası analitik düzlemin I. bölgesinde olduğuna göre, B(a – 2, b + 1) noktası aşağıdaki taralı bölgelerden hangisindedir?
A)
B)
y
y
2
TANIM
O
x
1
–2
1
O
x
Şekli Öteleme:
Analitik düzlemde verilen bir şeklin tüm noktalarının aynı
yönde aynı miktar ötelenmesine geometrik şeklin ötelenmesi denir. Şekillerin ötelenmesinde geometrik öze-
C)
D)
y
2
O
y
1
x
1
–2
x
O
likler (açılar ve uzunluklar) korunur. Yani meydana gelen
şekil ilk şekle eş ve karşılıklı kenarları paraleldir.
E)
y
Aşağıdaki ABC dik üçgeninin A(2,1) noktası, orijin olacak
şekilde ötelenmesi için, şeklin tüm koordinatlarının apsislerine –2, ordinatlarına –1 eklenmelidir.
30
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
O
2
x
Doğrunun Analitiği - Bölüm 02
Eksenler ve Bölgeler
Çözüm
DNA 19
I. bölgedeki A(a, b) noktasının apsisi negatif yönde 2 bi-
noktalarının meydana getir-
noktası elde edilir. Buna göre, A noktasının bulunduğu I.
diği grafik yanda verilmiştir.
1
bölgenin grafiği x ekseninde 2 birim negatif yöne, y ekse-
–1 O
ninde 1 birim pozitif yöne ötelenmiş olur.
y
Analitik düzlemde A(x, y)
y
rim, ordinatı pozitif yönde 1 birim ötelenirse B(a – 2, b + 1)
x
1
noktalarının oluşturduğu
–1
y
Buna göre, B(x + 2, y – 1)
grafik
aşağıdakilerden
hangisidir?
x
O
A)
1
O
–2
B)
y
x
2
2
Başka bir yol olarak; O(0,0) noktası I. bölgeye dahil ol-
x
2
–1 O
mayan sınırdaki noktadır, öteleme sonucunda O′(–2,1)
y
–1 O
–2
x
1
–2
C) y
D) y
noktası da istenen bölgeye dahil olmayan sınır nokta olacaktır.
2
1
Doğru Seçenek B
O
1
O 1
–1
x
3
x
3
E) y
O 1
x
3
–2
Çözüm
A(a, b) noktası analitik düzlemin I. bölgesinde olduğuna göre, B(a + 1, b + 2) noktası aşağıdaki taralı bölge-
pozitif yönde 2 birim, ordinatlarını negatif yönde 1 birim
lerden hangisindedir?
A)
A(x, y) noktasının üzerinde bulunduğu grafiğin apsislerini
B)
y
ötelersek B noktasının, üzerinde bulunduğu grafik elde
y
edilecektir.
2
O
C)
x
1
1
O
–2
D)
y
x
y
1
y
–1 O
2
O
x
E)
–2
O
y
1
x
–1
1
1
y
O 1
3
x
–2
x
A(x,y) noktalarından
B(x + 2, y – 1) noktaların-
oluşan grafik
dan oluşan grafik (A noktalarının ötelenmiş hali)
O
2
x
Doğru Seçenek E
–1
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
31
Eksenler ve Bölgeler
Doğrunun Analitiği - Bölüm 02
DNA 20
y
1
–1 O
x
1
A(–2, 1)
A(–2,1)
–1
grafik yukarıda verilmiştir.
Buna göre, B(x + 2, y) noktalarının oluşturduğu grafik
aşağıdakilerden hangisidir?
K(–2, –3)
noktaları veriliyor.
K(–2,–3)
B(1,–3)
Yukarıdaki verilenlere göre, K noktasının AB doğru parçasına uzaklığı kaç birimdir?
A)
B)
y
B(1, –3)
x
O
Analitik düzlemde A(x, y) noktalarının meydana getirdiği
A)
Analitik düzlemde
y
12
5
B) 2
C)
9
5
D)
3
5
E) 1
y
2
2
–1 O
2
x
–1 O
–2
1
x
Çözüm
–2
K noktasını orijine gelecek biçimde öteleyelim. K noktaC) y
sının AB doğru parçasına uzaklığının değişmemesi için
D) y
[AB] doğru parçasını da aynı miktarda ötelemek gerekir.
2
O
1
1
O 1
–1
x
3
3
x
Bu durumda,
K(–2, –3) →
E) y
O 1
3
–2
x
K′(0,0) (apsislere 2, ordinatlara 3 eklenir.)
A(–2, 1)
→
A′(0,4)
B(1, –3)
→
B′(3, 0)
K′ yani orijin noktasının [A′B′] doğru parçasına uzaklığına
h dersek Euclid Teoremi’nden h hesaplanabilir.
y
|A′B′| =
(Pisagor Teoremi)
A¢
4 h
K¢
32 + 42 = 5 birim
5
a ⋅ h = b ⋅ c (Euclid Teoremi)
B¢
3
x
5 ⋅h = 3 ⋅ 4 ⇒ h =
12
birimdir.
5
Doğru Seçenek A
32
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
Doğrunun Analitiği - Bölüm 02
Eksenler ve Bölgeler
Hazine 5
Analitik düzlemde
y
İki nokta arasındaki uzaklık:
y
⎛ 5 1⎞
A⎜− , ⎟
⎝ 2 2⎠
A
x
O
K
B
|AB|
7⎞
⎛1
B⎜ , − ⎟
2⎠
⎝2
y1
7⎞
⎛ 5
K⎜− , − ⎟
2⎠
⎝ 2
O
noktaları veriliyor.
12
5
B) 2
C)
9
5
D)
3
5
A
y2 – y 1
x2 – x 1
x1
x2
x
A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktaları arasındaki uzaklık,
Yukarıdaki verilenlere göre, K noktasının AB doğru
parçasına uzaklığı kaç birimdir?
A)
B
y2
E) 1
|AB| =
( x 2 − x1)2 + ( y 2 − y1)2
dir.
Not
TANIM
Analitik geometride formüllerin akılda kalması ve etkin kulİki Nokta Arasındaki Uzaklık:
lanılması için zihnimizde çağrışım yapacak ve bizi yönlen-
[AB] doğru parçasının uzunluğuna A ile B noktaları arasındaki uzaklık denir ve |AB| şeklinde gösterilir.
direcek kodlamalar yapmak gerekir.
Bir noktanın orijine olan uzaklığını Pisagor Teoremi’yle
Örneğin, iki nokta arasındaki uzaklık formülü için; "x ler
hesaplamayı öğrenmiştik. [AB] doğru parçasını A veya B
farkı ile y ler farkına Pisagor uygulanır" gibi zihninizde
noktalarından birini orijine öteleyerek A ile B noktalarının
arasındaki uzaklığı bulabiliriz.
y
bir kodlama yapabilirsiniz.
Analitik geometride formül yazılmaz, verilen değerlerle
B(x2,y2)
hemen uygulanır. Ancak böyle davrandığınız sürece anaA(x1,y1)
litik geometrinin formül yığını olmadığını düşünürsünüz.
B¢(x2 – x1, y2 – y1)
x
O(0,0)
Uç noktaları A(x1, y1), B(x2, y2) olan [AB] doğru parçasını
DNA 21
A noktasını orijine gelecek şekilde ötelersek,
B′(x2 – x1, y2 – y1) elde ederiz. (ABB′O dörtgeninin paralel-
Analitik düzlemde A(8, –2) ile B(5, 2) noktaları ara-
kenar olacağına dikkat ediniz.)
sındaki uzaklık kaç birimdir?
|OB′| = |AB| =
( x 2 − x1)2 + ( y 2 − y1)2 birim
A) 5
C) 3 2
B) 2 6
D) 2 3
E) 1
dir.
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
33
Eksenler ve Bölgeler
Doğrunun Analitiği - Bölüm 02
Çözüm
Analitik düzlemde A(1, 2) noktasından 5 birim uzak-
(8 − 5)2 + ( −2 − 2)2
|AB| =
lıkta ve IV. bölgede bulunan B(k, –1) noktasının apsisi
kaçtır?
32 + 42
=
A) 1
= 5 birimdir.
B) 2
C) 3
E) 5
D) 4
Doğru Seçenek A
Analitik düzlemde A(2, –2) ile B(5, 2) noktaları arasın-
DNA 23
daki uzaklık kaç birimdir?
A) 5
B) 2 6
D) 2 3
C) 3 2
Analitik düzlemde A(–1, 2) ve B(2, 3) noktalarından
eşit uzaklıkta olan, x ekseni üzerindeki noktanın
E) 1
apsisi kaçtır?
A)
4
3
B) 2
C)
8
3
D) 3
E)
10
3
DNA 22
Analitik düzlemde A(1, 2) noktasından 5 birim
Çözüm
uzaklıkta ve III. bölgede bulunan B(k, –1) noktasının apsisi kaçtır?
A) –1
B) –2
x ekseni üzerindeki nokta K(k, 0) olsun, |AK| = |BK| ise
C) –3
D) –4
E) –5
( −1 − k )2 + (2 − 0)2 = (2 − k )2 + (3 − 0)2
⇒
Çözüm
|AB| =
k 2 + 2k + 1 + 4 = k 2 − 4k + 4 + 9
⇒
6k = 8
⇒
k=
4
3
(1 − k )2 + (2 + 1)2
Doğru Seçenek A
5 = (k − 1)2 + 9
(k – 1)2 = 16
k–1=±4
Hatırlatma
k = 5 veya k = –3
B noktası III. bölgede olduğundan, B nin apsisi –3 tür.
Doğru Seçenek C
34
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
(a – b)2 = (b – a)2
|a – b| = |b – a|
Doğrunun Analitiği - Bölüm 02
Eksenler ve Bölgeler
DNA 24
Analitik düzlemde A(0, 3) ve B(3, 4) noktalarından eşit
Analitik düzlemde A(5, –1), B(1, –1), C ∈ AB ve
uzaklıkta olan, x ekseni üzerindeki noktanın apsisi
|AB| = |AC| veriliyor.
kaçtır?
A) 3
B)
8
3
C)
7
3
D) 2
E)
5
3
Yukarıda verilenlere göre, orijine en yakın C noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
A) 10
B) 8
C) 4
D) 0
E) –6
Çözüm
A(5, –1) ve B(1, –1) noktalarının ordinatları eşit olduğundan AB doğrusu x eksenine paraleldir. C ∈ AB olduğundan C noktasının da ordinatı –1 dir.
Hazine 6
C noktasının apsisi x olsun,
Apsisler ya da Ordinatlar eşitse:
|AB| = |AC|
|5 – 1| = |5 – x|
y
|x – 5| = 4
A(a,b)
b
|b – c|
c
x – 5 = 4 veya x – 5 = –4
B(a,c)
x = 9 veya x = 1
x
a
O
Apsisleri eşit olan iki nokta arasındaki uzaklık ordinatlar farkının mutlak değerine eşittir. (Apsisleri eşit olan
noktalar x eksenine dik olan doğru üzerindedir.)
C(9, –1) veya C(1, –1) dir.
Orijine C(1, –1) noktası daha yakın olduğundan koordinatları toplamı; 1 + (–1) = 0 dır.
C noktasının B ile çakışık olduğuna dikkat ediniz.
A(a, b), B(a, c) ⇒ |AB| = |b – c| birimdir.
Doğru Seçenek D
y
b
A(a,b)
B(c,b)
|a – c|
O
a
c
x
Ordinatları eşit olan iki nokta arasındaki uzaklık apsisleri farkının mutlak değerine eşittir. (Ordinatları eşit olan
noktalar x eksenine paralel olan doğru üzerindedir.)
A(a, b), B(c, b) ⇒ |AB| = |a – c| birimdir.
Analitik düzlemde A(5, –1), B(5, –3), C ∈ AB ve
|AB| = |AC| veriliyor.
Yukarıda verilenlere göre, orijine en yakın C noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
A) 2
B) 4
C) 5
D) 6
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 8
35
Eksenler ve Bölgeler
Doğrunun Analitiği - Bölüm 02
DNA 25
ABC dik üçgen
A(–4, 4)
ABC dik üçgen
A
Analitik düzlemde
y
Analitik düzlemde
y
[AB] ⊥ [AC]
|AC| = 5 birim
[AB] ⊥ [AC]
4 5
B
–11
C
–1 O
x
B(–11,0) ve C(–1,0)
Yukarıdaki verilenlere göre, A noktasının orijine
C
B
|AB| = 4 5 br
O
x
A(–4, 4)
Yukarıda verilenlere göre, |BC| kaç birimdir?
A)
16
3
B)
20
3
C)
25
3
D)
28
3
E) 12
uzaklığı kaç birimdir?
C) 2 5
B) 3 2
A) 2 3
D) 2 6
DNA 26
E) 5
Analitik düzlemde
y
ABCD kare
Çözüm
D
B
–11
Yukarıda verilenlere göre, C noktasının apsisi, D
2
10 birim
x
B
O
4
8
eksenler üzerindedir.
A
A
4 5
A ve B noktaları
C
y
H
C
–1 O
x
noktasının ordinatından kaç fazladır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
|AB|2 = |BH| ⋅ |BC|
( 4 5 )2 = |BH| ⋅ 10
Çözüm
|BH| = 8 birim
[DK] ⊥ Oy
y
|HC| = 10 – 8 = 2 birim
|AH|2 = |BH| ⋅ |HC|
|AH| =
D
b
8 ⋅ 2 = 4 birim
AHO dik üçgeninde Pisagor Teoremi’nden,
|AO| =
[CH] ⊥ Ox
K
42 + 32 = 5 birim
A
a
O
|AO| = a
C
|BO| = b olsun.
b
Ba H
x
AOB, BHC ve DKA üçgenleri eşittir.
C noktasının apsisi a + b
D noktasının ordinatı a + b
buluruz.
olup, bu ikisi birbirine eşit olduğundan fark 0 dır.
Doğru Seçenek E
36
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
Doğru Seçenek C
Doğrunun Analitiği - Bölüm 02
Eksenler ve Bölgeler
DNA 27
Analitik düzlemde
y
Analitik düzlemde
y
ABCD kare
A
D
C
B
|AD| = 2|DB|
Yukarıda verilenlere göre, C noktasının koordinatları
toplamı kaçtır?
B) 12
E(4,1)
x
B
A) 11
[DE] // Ox
D
B(4, 0)
A
O
ABC üçgen
A(0, 3)
x
C
O
E(4, 1)
Yukarıda verilenlere göre, C noktasının apsisi, B
noktasının apsisinden kaç fazladır?
C) 13
D) 14
E) 15
B) 6
A) 2 10
C) 2 7
D) 2 6
E) 4
Çözüm
Tenef füs
Thales Teoremi’nden,
| AD | | DE |
=
| AB | | BC |
Zaman Hesabı
Her sabah hesabınıza 86.400 TL yatıran bir banka
düşünün. Gün boyu istediğiniz kadar parayı harcamakta veya harcamamakta serbestsiniz. Fakat sadece bir şart var. Harcamadığınız para ne kadar
olursa olsun ertesi güne devredemez. Ama ertesi gün
olduğunu biliyoruz.
|ED| = 2k birim ise |BC| = 3k birim olur.
|ED| = 4 birim olduğundan, |CB| = 6 birimdir.
bir önceki günün parasını harcasanız da harcamazsa-
Doğru Seçenek B
nız da yine 86.400 TL alacaksınız.
Böyle bir durumla karşılaşsaydınız ne yapardınız?
Herhalde bu parayı her gün harcamak için çabucak
bir yol bulurdunuz. İhtiyacınız olan her şeyi almaya
başlardınız. Ancak zeki iseniz bu parayı her gün yatıracak bir yer bulup uzun vadede en büyük getiriyi
Analitik düzlemde
y
almaya çalışırdınız.
A
Farkında olun ya da olmayın hayatınızın her gününde böyle bir durumla karşı karşıyasınız. Zaman bir
ABC üçgen
[DE] // Ox
“banka”dır ve size her gün istediğiniz şekilde har-
D
E(3,k)
O
C
cayabileceğiniz 86.400 saniye veriyor. Bu zamanı
kullanmayı başaramazsanız onu ebediyen kaybede-
B
|AD| = 3|DB|
x
E(3, k)
ceksiniz.
Yukarıda verilenlere göre, C noktasının apsisi, B nok-
Başarılı insanlar, zamanın değerinin farkındadır.
tasının apsisinden kaç fazladır?
A) 12
B) 8
C) 6
D) 4
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 3
37
Eksenler ve Bölgeler
Doğrunun Analitiği - Bölüm 02
4.
TEST - 1
1.
A(m + n, m ⋅ n) noktası analitik düzlemin II. bölgesinde olduğuna göre, B(m, n) noktası hangi
bölgededir?
A) I
A(3m – 2n, n – m – 1) noktası analitik düzlemin başlangıç noktasıdır.
B) II
D) IV
C) III
E) Orijin
Buna göre, m + n kaçtır?
A) 5
B) 4
C) 3
D) –2
E) –6
5.
2.
Yukarıdaki verilenlere göre, A noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
A(m2 – 2m + 1, –m2 – m – 1) noktası herhangi bir
eksen üzerinde değildir.
A) –4
Buna göre, A noktası analitik düzlemin hangi bölgesindedir?
A) I
B) II
p ∈ Z olmak üzere, A(p – 5, 4p – 12) noktası analitik
düzlemin II. bölgesindedir.
B) –2
C) 1
D) 2
E) 3
C) III
D) IV
E) Orijin
6.
Analitik düzlemde koordinatları tam sayı olan noktalara kafes noktası denir.
K(3a – 21, a + 2) noktası II. bölgede bir kafes noktasıdır.
3.
Yukarıdaki verilenlere göre, kaç tane K noktası
vardır?
y
B
A
O
C
A) 64
E
B) 49
C) 36
D) 9
E) 8
x
D
Yukarıdaki şekle göre, aşağıdakilerden hangisi
yanlıştır?
A) A noktası analitik düzlemin I. bölgesindedir.
B) B noktası analitik düzlemin II. bölgesindedir.
7.
Analitik düzlemde koordinatları tam sayı olan noktalara kafes noktası denir.
A(a, –2) ve B(2a, a – 4) noktaları analitik düzlemin
aynı bölgesinde bulunan kafes noktalarıdır.
C) C noktası analitik düzlemin III. bölgesindedir.
D) D noktası analitik düzlemin IV. bölgesindedir.
Yukarıdaki verilenlere göre, A noktasının koordinatlarının çarpımı en az kaçtır?
E) E noktası I. ve IV. bölgelerin kesiştiği eksen üzerindedir.
38
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
A) –8
B) –6
C) –4
D) –2
E) 0
Doğrunun Analitiği - Bölüm 02
8.
Eksenler ve Bölgeler
10.
A = {(x, y): –2 ≤ x < 0, y = 2 ve x ∈ Z}
A = {x ∈ R: |x| ≤ 1} ve B = {x ∈ R: |x| = 1} dir.
kümesinin analitik düzlemde görüntüsü aşağıda-
Buna göre, B x A kümesinin analitik düzlemdeki
kilerden hangisidir?
görüntüsü nedir?
A)
B)
y
2
–2 –1
C)
x
O
D)
–1
x
x
1
–1
–1
C)
2
x
1
O
x
–1
D)
y
y
1
x
O
–1
E)
O
1
y
2
O
y
1
O
–2 –1
B)
y
2
y
–2
A)
y
–1
y
O
1
x
1
–1
–1
1
O
x
–1
E)
2
y
1
x
O
–2
–1
x
1
O
–1
9.
11.
A = {x ∈ R : 2 ≤ x < 3} ve B = {–1, 1}
A(x + 1, y – 1) noktası analitik düzlemin II. bölgesinde olduğuna göre, B(x, y) noktası aşağıdaki
olduğuna göre, A x B kümesinin analitik düzlem-
taralı bölgelerden hangisindedir?
deki görüntüsü nedir?
A)
A) y
B) y
1
1
O
2
x
3
O
–1
–1
C) y
D) y
1
1
O
2
x
3
2
O
x
2
–1
3
x
1
1
–1
1
1
–1
–1
–1
2
3
O
x
y
1
O
y
x
E)
E) y
x
O
D)
y
O
y
x
–1
C)
O
–1
3
B)
y
1
x
–1
O
x
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
39
Eksenler ve Bölgeler
12.
Doğrunun Analitiği - Bölüm 02
14.
A(–2, a + 4) noktası analitik düzlemin III. bölgesinde olduğuna göre, B(a, 2) noktası aşağıdaki
kümesinin analitik düzlemdeki görüntüsü nedir?
taralı bölgelerden hangisindedir?
A)
B)
y
A = {(x, y): |x| ≥ 1, |y| > 1}
A)
y
B)
y
y
1
2
2
O
–4
C)
x
4
O
–4
D)
y
–1
x
4
1
x
1
O
–1
–1
y
C)
D)
y
y
O
–4
1
2
x
4
E)
O
–1
x
4
x
–1
1
2
1
O
x
1
O
–1
1
O
–1
x
–1
y
E)
y
1
2
x
O
–4
–1
1
O
x
–1
13.
15.
A(m, n + 2) noktası analitik düzlemin I. bölgesinde olduğuna göre, B(m + 1, n) noktası aşağıdaki
kümesinin analitik düzlemdeki görüntüsü nedir?
taralı bölgelerden hangisindedir?
A)
B)
y
A = {(x, y): |x – 2| < 2, |y + 2| ≤ 2}
A)
y
B)
y
4
4
2
2
x
O
–1
C)
D)
y
y
–4 –2 O
x
O
C)
y
2
4
2
x
–4 –2 O
–2
–2
–4
–4
D)
y
O
2
–1
x
O
E)
1
–2
O
2
4
–4 –2 O
–2
–4
–4
E)
1
4
2
x
–2
y
2
x
4
2
–4 –2 O
4
y
4
x
2
x
y
4
x
2
–4 –2 O
–2
2
4
x
–2
–4
1.A
40
2.D
3.E
4.C
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
5.E
6.E
7.B
8.A
9.C
10.B
11.D
12.E
13.D
14.C
15.E
DOĞRUNUN ANALİTİĞİ - BÖLÜM 03
ORTA NOKTA
TANIM
DNA 1
Paralelkenar:
Analitik düzlemde köşeleri A(4, 3), B(1, 2), C(–1, 5)
Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgenlere paralelkenar
ve D(x, y) olan ABCD dörtgeni paralelkenar oldu-
denir.
ğuna göre, x + y kaçtır?
A) 12
B) 8
C) 0
D) –4
E) –8
Işık 8
Paralelkenar oluşturma şartları:
Çözüm
ABCD paralelkenar ise
[AB] // [CD], [AD] // [BC], |AB| = |CD| ve |AD| = |BC|
dir.
Karşılıklı iki kenarı eşit uzunlukta ve paralel olan dört-
A ile C, B ile D karşılıklı köşeler olduğundan,
4 + (–1) = 1 + x ve 3 + 5 = 2 + y
genler paralelkenardır.
C(x3, y3)
D(x4, y4)
x = 2 ve y = 6
D¢ = C¢
x + y = 2 + 6 = 8 dir.
A(x1, y1)
B(x2, y2)
A¢(0,0) = B¢(0,0)
[AD] doğru parçasını A noktası orijine gelecek biçimde
ötelersek, A′(0,0) ve D′(x4 – x1, y4 – y1) olur.
B den A ya ve C den D ye koordinatlardaki artışlar sabittir.
[BC] doğru parçasını B noktası orijine gelecek biçimde
D(x,y)
ötelersek, B′(0,0) ve C′(x3 – x2, y3 – y2) olur.
C(–1,5)
A′ ve B′ çakışık ise D′ ve C′ çakışıktır yani koordinatları
eşittir.
x4–x1 = x3–x2
ve
A(4,3)
y4–y1 = y3–y2 (karşılıklı artışlar eşit)
x1+x3 = x2+x4 ve y1+y3 = y2+y4
Apsisler için, 1 den 4 e 3 artış, –1 den x e 3 artış olmalı
A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) ve D(x4, y4) noktalarını köşe
kabul eden ABCD dörtgeninin paralelkenar olması için,
B(1,2)
x = –1 + 3 = 2
dir.
x1 + x3 = x2 + x4 ve y1 + y3 = y2 + y4 olmalıdır.
Ordinatlar için, 2 den 3 e 1 artış, 5 den y ye 1 artış olmalı
(Karşılıklı köşelerin apsisleri toplamı eşittir.
y=5+1=6
Karşılıklı köşelerin ordinatları toplamı eşittir.)
Paralelkenara ait tüm özellikler, eşkenar dörtgen, dik-
x + y = 2 + 6 = 8 dir.
Doğru Seçenek B
dörtgen ve karede geçerlidir.
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
41
Orta Nokta
Doğrunun Analitiği - Bölüm 03
G noktasına, [AB] doğru parçasının ağırlık merkezi denir.
Analitik düzlemde köşeleri A(1, –1), B(2, –2), C(–3, 3)
A ve B noktalarına G noktasına göre simetriktir denir.
ve D olan ABCD dörtgeni paralelkenar olduğuna göre,
Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortaladığından, köşe-
D noktasının koordinatlarının çarpımı kaçtır?
genlerin kesişim noktasına paralelkenarın simetri merke-
A) –16
B) –8
C) –4
D) 0
E) 12
zi denir.
Simetri merkezi paralelkenarın ağırlık merkezidir.
D
C
G
TANIM
A
Orta Nokta:
B
Birbirini ortalayan iki doğru parçasının uç noktaları para-
G ∈ [AB] olmak üzere |AG| = |GB| ise
G noktası, [AB] doğru parçasının orta noktasıdır.
A(x1, y1), B(x2, y2) olsun.
lelkenar oluşturur.
A(x1, y1) noktasının G(x0, y0) noktasına göre simetriği B
G¢, B¢¢
B(x2, y2)
noktası ise B(2 ⋅ x0 – x1, 2 ⋅ y0 – y1) dir.
(Ortadakinin iki katı eksi uçtaki)
G(x0, y0)
A¢(0,0), G¢¢(0,0)
A(x1, y1)
DNA 2
[AG] doğru parçasını A noktası orijine gelecek biçimde
ötelersek, A′(0, 0) ve G′(x0 – x1, y0 – y1) olur.
[BG] doğru parçasını G noktası orijine gelecek biçimde
Analitik düzlemde A(–1, 4), B(5, 10) olmak üzere
ötelersek, G′′(0, 0) ve B′′(x2 – x0, y2 – y0) olur.
[AB] doğru parçasının orta noktasının koordinat-
A′ ve G′′ çakışık olduğundan G′ ve B′′ çakışıktır.
x0 – x1 = x2 – x0 ve y0 – y1 = y2 – y0 (karşılıklı artışlar eşit)
ları çarpımı kaçtır?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
x + x2
y + y2
x0 = 1
ve y0 = 1
2
2
dir.
Hazine 7
Çözüm
A(x1, y1), B(x2, y2) olmak üzere,
[AB] doğru parçasının orta noktası
⎛ x + x 2 y1 + y 2 ⎞
G⎜ 1
,
⎟
2 ⎠
⎝ 2
⎛ −1 + 5 4 + 10 ⎞
G⎜
,
⎟
2 ⎠
⎝ 2
G(2, 7) ise G nin koordinatları çarpımı 2 ⋅ 7 = 14 tür.
dir.
42
[AB] doğru parçasının orta noktası
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
Doğrunun Analitiği - Bölüm 03
Orta Nokta
Çözüm
A dan G ye, G den B ye 1 br deki artış miktarı eşit oldu-
x ekseni üzerindeki nokta C(a, 0) olsun. A ile B noktaları
ğundan, A dan B ye yani 2 birimdeki artış miktarı 2 kat
C noktasına göre simetrikse, C noktası [AB] doğru parça-
olacaktır. Yani orantılı artış söz konusudur.
sının orta noktasıdır.
B(5, 10)
6 artýþ
Apsisler için,
⎛ 2m − 5 + m + 1 m − 2 + ( −2) ⎞
C⎜
,
⎟
2
2
⎝
⎠
–1 den 5 e 6 br artış (2 br de)
G(x, y)
3 artýþ
A(–1, 4)
⎛ 3m − 4 m − 4 ⎞
C⎜
,
⎟ ve C(a, 0)
2 ⎠
⎝ 2
1 br de 3 br artış olur.
x = –1 + 3 = 2
Ordinatların eşitliğinden
Ordinatlar için,
m−4
= 0, m = 4 ve
2
4 den 10 a 6 artış (2 br de)
1 br de 3 artış olur.
apsislerin eşitliğinden
y=4+3=7
a=
G nin koordinatları çarpımı 2 ⋅ 7 = 14 tür.
Doğru Seçenek E
3m − 4 3 ⋅ 4 − 4 8
=
= =4
2
2
2
tür.
Doğru Seçenek A
Analitik düzlemde A(3, 5) ile B(5, 7) noktası, C noktasına
Analitik düzlemde A(1, 6), B(5, 8) olmak üzere [AB]
göre simetriktir.
doğru parçasının orta noktasının koordinatları topla-
Buna göre, C noktasının apsisi ordinatından kaç fazladır?
mı kaçtır?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
A) 4
B) 3
C) 2
D) –2
DNA 4
DNA 3
Analitik düzlemdeki A(2m – 5, m – 2) ile B(m + 1, –2)
Analitik düzlemde A(–9, 15), B(m – 2, m + 4),
noktası, x ekseni üzerindeki C noktasına göre simet-
C(–6 – m, 2 – m) dir.
riktir.
Buna göre, ABC üçgeninin [BC] kenarına ait kenarortayının uzunluğu kaç birimdir?
Buna göre, C noktasının apsisi kaçtır?
A) 4
E) –4
B) 3
C) 2
D) –2
E) –4
A) 5
B) 10
C) 13
D) 15
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 20
43
Orta Nokta
Doğrunun Analitiği - Bölüm 03
Eksenlere dik olmayan bir doğru üzerinde bulunan A,
Çözüm
B, C noktaları ve bu noktaların eksenler üzerindeki izdüşümleri Ax, Ay, Bx, By, Cx, Cy olmak üzere, noktalar
[BC] kenarının orta noktası D olsun,
arasındaki uzaklıkların oranı ile izdüşümlerinin arasınA(–9,15)
daki uzaklıkların oranları eşittir.
¾
B(m – 2, m + 4)
D(–4,3)
y
C(–6 –m, 2 – m)
⎛ m − 2 + ( −6 − m) m + 4 + 2 − m ⎞
D⎜
,
⎟
2
2
⎝
⎠
D(–4, 3)
|AD| =
Cy
C
By
B
Ay
A
O
Ax
| AB | | A yB y |
=
| BC | | B yCy |
x
Özel olarak, A, B, C noktalarının apsisleri eşitse bu
noktalar x eksenine dik olan doğru üzerindedir. Nokta-
( −9 − ( −4))2 + (15 − 3)2 = 13 birim
lar arasındaki uzaklıklar oranı, y eksenindeki izdüşümleri arasındaki uzaklıklar oranına eşittir.
dir.
¾
y
Doğru Seçenek C
Ay
A
B
C
Ax
Bx
Cx
Analitik düzlemde A(2, 2), B(2, 4), C(–1, –1) dir.
O
Buna göre, ABC üçgeninin [AB] kenarına ait kenarortayının uzunluğu kaç birimdir?
A) 5
B) 10
| AB | | A xB x |
=
| BC | | B xCx |
x
Aynı mantıkla, A, B, C noktalarının ordinatları eşitse
C) 13
D) 15
E) 20
bu noktalar y eksenine dik olan doğru üzerinde sıralanır. Noktalar arasındaki uzaklıklar oranı, x eksenindeki izdüşümleri arasındaki uzaklıklar oranına eşittir.
Bu NOT’un hemen ardından, aşağıdaki IŞIK’ı verebiliriz.
Not
¾
Işık 9
y
C
Cy
By
Ay
C(x3, y3)
y
Ay
B(x2, y2)
A
B
C
Cy
O
Ax
Bx
Cx
x
O
Ax
| AB | | A xB x | | A yB y |
=
=
| BC | | B x Cx | | B y Cy |
44
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
A(x1, y1)
B
By
A
Bx
Cx
Yukarıdaki şekilde,
x
| AB | x 2 − x1 y 2 − y1
=
=
| BC | x3 − x 2 y3 − y 2
dir.
B Î AC
Doğrunun Analitiği - Bölüm 03
Orta Nokta
O halde
DNA 5
k+5
= 3⇒k =1
2
Analitik düzlemde
A
dir.
ABC üçgen
E
[AD] ∩ [BE] = {F}
F(–n, 3)
B(2n,k)
Doğru Seçenek A
|AE| = |EC|
D
C
A ile C noktalarının apsislerinin toplamı –8n, ordinatlarının toplamı 10 dur.
B(2n, k) ve F(–n, 3)
Yukarıdaki verilenlere göre, B noktasının ordinatı
kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
Analitik düzlemde
A
E) 5
ABC üçgen
E
[AD] ∩ [BE] = {F}
F(5,2)
|AE| = |EC|
B(3,4)
Çözüm
D
C
A ile C noktalarının apsislerinin toplamı 14,
A
B(3, 4) ve F(5, 2)
Yukarıdaki verilenlere göre, E noktasının ordinatı kaç-
E(–4n,5)
tır?
F(–n,3)
B(2n,k)
D
C
A) –1
B) –2
C) 0
D) 1
E) 2
E, [AC] nin orta noktası
⎛ −8n 10 ⎞
E⎜
, ⎟ ⇒ E(–4n, 5)
⎝ 2 2 ⎠
B, F, E noktaları doğrusal ve
| BF | | 2n − ( −n) | | 3n |
=
=
= 1 ⇒ | BF | = | FE |
| FE | | −n − ( −4n) | | 3n |
dir.
DNA 6
Analitik düzlemde A ∈ [BC] ve |CA| = 2|AB| olmak
üzere, A(3, –2), B(1, 4) ve C(a, b) noktaları veriliyor.
F, [BE] nin orta noktasıdır. (Aynı sonuca, B ile E noktala-
Buna göre, a + b toplamı kaçtır?
rının apsisleri toplamının yarısının F noktasının apsisine
eşit olduğunu görerek de ulaşabilirsiniz.)
A) 14
B) 7
C) 0
D) –7
E) –14
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
45
Orta Nokta
Doğrunun Analitiği - Bölüm 03
Çözüm
Noktaların koordinatlarındaki artış miktarı orantılı artar.
C(a,b)
C(a,b)
2k
A(3,–2)
k
B(1,4)
apsisler:
a
3
1
ordinatlar:
b
–2
4
2k
A(3,–2)
k
B(1,4)
apsisler:
a
+4
3
+2
1
ordinatlar:
b
–12
–2
–6
4
Apsislere dikkat edilirse, k birimde B den A ya artış miktarı
+2 dir. Buna göre 2k birimde artış +4 olmalıdır.
A, B, C noktaları arasındaki uzaklıkların oranı, eksenler
üzerindeki izdüşümlerinde de aynı olduğundan a değerini
bulmak için sadece apsislerin kullanılması yeterlidir.
A nın apsisi +4 arttırılırsa a = 3 + 4 = 7 dir.
Ordinatlara dikkat edilirse, k birimde B den A ya –6 artış
(6 azalış) olmuş demek ki 2k da –12 artış olmalı, A nın
apsisi –12 arttırılırsa b = –2 – 12 = –14 tür.
|CA| = 2|AB|
|a – 3| = 2|3 – 1| ⇒ a – 3 = 4 ⇒ a = 7
a + b = 7 – 14 = –7
dir.
Doğru Seçenek E
Aynı mantıkla b değeri için ordinatları kullanmalı,
|CA| = 2|AB|
|–2 –b| = 2|4 – (–2)| ⇒ –2 –b = 12 ⇒ b = –14
İşlem hızlılığı için mutlak değer işlemini atlayabiliriz
Analitik düzlemde A ∈ [BC] ve |CA| = 3|AB| olmak üzere,
yalnız çıkarılacak koordinatlar aynı yönde olmalıdır.
A(2, 1), B(1, 2) ve C(a, b) noktaları veriliyor.
Buna göre, a + b toplamı kaçtır?
Örneğin, b değerini bu yolla tekrar bulalım:
A) 3
B) 2
C) 1
D) 0
E) –1
|CA| = 2|AB| ⇒ b – (–2) = 2(–2 –4) ⇒ b = –14
|CA| = 2|AB| ⇒ –2 –b = 2(4 – (–2)) ⇒ b = –14
Not
DNA 7
Aynı doğru üzerinde bulunan noktaların apsisleri ve
Analitik düzlemde A(1, 2), B(3, 5), C(a, b) noktaları
ordinatları daima sıralıdır. Aynı yönde çıkarma yaparken
doğrusal ve
mutlak değerlerin ikisini birden ya pozitif ya da negatif almış oluyoruz. Mutlak değerlerin ikisi birden negatif olsa
bile oran söz konusu olduğundan sonuçta eşitlik bozulmaz.
46
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
| AB | 1
= tür.
| BC | 3
Buna göre, a ⋅ b çarpımı en az kaçtır?
A) 126
B) 12
C) –54
D) –42
E) –36
Doğrunun Analitiği - Bölüm 03
Orta Nokta
Çözüm
Çözüm
A(1, 2) ve B(3, 5) noktalarını işaretleyelim.
C noktasının ordinatının en küçük olması için A, B, C
| AB | 1
=
koşulunu sağlayan iki farklı C noktası vardır.
| BC | 3
edelim. Bunun için noktaları ordinatlarına göre sıralamak
noktalarının hangi sıralanışta olması gerektiğini tespit
ve verilen oranın sağlanıp sağlanmadığını kontrol etmek
3k
3k
B
A
C
C
k
C
+3
+3
+3
+3
14
11
8
5
2
–1
r: –4
Ordinatla
1
–1
–3
+3
+3
2k
y
A
k
1
B
11
azalma yönü
9
7
5
3
ordinatlar
+2 C
+2
2
A +2 B +
+2
+2
C
Apsisler:
gerekir.
Azalma yönüne göre y nin en küçük değeri yukarıdaki dizilişte mümkündür.
| AC | 2
1− y
2
= ⇒
= ⇒ y = −19
| BC | 3
11 − y 3
Şu halde, C noktası ya (–3, –4) ya da (9, 14) olur.
Doğru Seçenek A
–3 ⋅ –4 = 12 ve 9 ⋅ 14 = 126
olduğundan, a ⋅ b en az 12 dir.
Doğru Seçenek B
Analitik düzlemde A(2, 1), B(7, 11), C(a, b) noktaları doğAnalitik düzlemde A(1, 2), B(3, 5), C(a, b) noktaları doğrusal ve
| AB | 1
= tür.
| BC | 3
B) 12
| AC | 2
=
tür.
| BC | 3
Buna göre, C noktasının ordinatı en çok kaçtır?
Buna göre, a ⋅ b çarpımı en çok kaçtır?
A) 126
rusal ve
C) –54
D) –42
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
E) –36
DNA 8
DNA 9
Analitik düzlemde A(2, 1), B(7, 11), C(x, y) noktaları
Analitik düzlemde A(a,2a), B(3a, 4a + 2), C(6a, 8a + 4)
| AC | 2
=
doğrusal ve
tür.
| BC | 3
noktaları doğrusaldır.
Buna göre, C noktasının ordinatı en az kaçtır?
Buna göre,
| BC |
oranının en büyük değeri kaç| AB|
tır?
A) –19
B) –8
C) –7
D) –3
E) 0
A) 1
B) 1,5
C) 2
D) 2,5
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 3
47
Orta Nokta
Doğrunun Analitiği - Bölüm 03
Çözüm
DNA 10
Noktalar arasındaki uzaklık, eksenler üzerindeki izdüşüm
noktaları arasındaki uzaklıkla orantılıdır. Eksenler üzerin-
Analitik düzlemde A(1, –3), B(4, 0), C(x, y) noktaları
doğrusal ve |AC| + |CB| = |AB| dir.
deki noktaların arasındaki uzaklıkları bulmak için apsisler
Buna göre, x in alabileceği tam sayı değerleri ile
veya ordinatlar farkını almak yetiyordu.
x ten bağımsız y nin alabileceği tam sayı değerle-
A, B, C noktaları eksenlere dik olmayan bir doğru üzerin-
rinin toplamı kaçtır?
de ise
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
| BC | | 6a − 3a | | 3a | 3
=
=
= = 1, 5 (a ≠ 0)
| AB | | 3a − a | | 2a | 2
A, B, C noktaları y eksenine dik doğru üzerinde ise üç
Çözüm
noktanın da apsisi eşit olmalı.
a = 3a = 6a eşitliklerini sağlayan a değeri 0 dır.
A, B, C doğrusal ve |AC| + |CB| = |AB| olduğundan
C ∈ [AB]
a = 0 için A(0, 0), B(0, 2), C(0, 4) olduğundan,
Doğrusal noktaların apsisleri ve ordinatları sıralı olduğundan,
| BC | | 4 − 2 |
=
=1
| AB | | 2 − 0 |
1 ≤ x ≤ 4 ⇒ x ∈ {1, 2, 3, 4}
–3 ≤ y ≤ 0 ⇒ y ∈ {–3, –2, –1, 0}
A, B, C noktaları x eksenine dik doğru üzerinde ise üç
Tüm değerlerin toplamı;
noktanın da ordinatı eşit olmalı,
1 + 2 + 3 + 4 + (–3) + (–2) + (–1) + 0 = 4
2a = 4a + 2 = 8a + 4 eşitliklerini sağlayan a değeri yoktur.
O halde,
tür.
| BC |
oranının en büyük değeri 1,5 tur.
| AB |
Doğru Seçenek A
Doğru Seçenek B
Analitik düzlemde A(1, –3), B(4, 0), C(x, y) noktaları doğAnalitik düzlemde A(a, 2a), B(3a, 4a + 2), C(6a, 8a + 4)
noktaları doğrusaldır.
rusal ve |AC| + |CB| = |AB| dir.
Buna göre, y nin alabileceği tam sayı değerlerinin top-
| BC |
oranının en küçük değeri kaçtır?
Buna göre,
| AB|
lamı kaçtır?
A) 1
A) –6
48
B) 1,5
C) 2
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
D) 2,5
E) 3
B) –3
C) 0
D) 6
E) 10
Doğrunun Analitiği - Bölüm 03
Orta Nokta
DNA 11
DNA 12
Analitik düzlemde A(3, –6), B(–1, 2), C(x, y),
Analitik düzlemde |AC| ≤ |CB| olmak üzere, A(2, 3),
C ∈ [AB] ve |AC| < |CB| dir.
B(0, –1) ve C(x, x + 1) olduğuna göre, x in en küçük
değeri kaçtır?
Buna göre, x in alabileceği tam sayı değerleri ile
x ten bağımsız y nin alabileceği tam sayı değerle-
A) –13
D) 0
rinin toplamı kaçtır?
A) –15
B) –14
B) –2
C) –13
D) –12
C) –1
E) 1
E) –11
Çözüm
Çözüm
A(3,–6)
G(1,–2)
B(–1,2)
A, B ve C noktalarının doğrusal olmak zorunda olmadığın-
C(x,y)
dan iki nokta arasındaki uzaklık formülü kullanılmalıdır;
[AB] doğru parçasının orta noktası G olsun,
|AC| ≤ |CB|
C ∈ [AB] ve |AC| < |CB| olması için C ∈ [AG[ olmalıdır.
( x + 2)2 + ( x − 2)2 ≤ ( x + 2)2 + x 2
Doğrusal noktaların apsisleri ve ordinatları sıralı olduğundan,
(x – 2)2 ≤ x2
1 < x ≤ 3 ⇒ x ∈ {2, 3}
–4x + 4 ≤ 0
–6 ≤ y < –2 ⇒ y ∈ {–6, –5, –4, –3}
x≥1
Tüm değerlerin toplamı;
x in en küçük değeri 1 dir.
2 + 3 + (–6) + (–5) + (–4) + (–3) = –13
tür.
Doğru Seçenek E
Doğru Seçenek C
Analitik düzlemde A(3, 6), B(7, 2), C(x, y), C ∈ [AB] ve
|AC| < |CB| dir.
Analitik düzlemde |AC| ≤ |CB| olmak üzere,
Buna göre, x in alabileceği tam sayı değerleri kaç ta-
A) 1
A(2, 3), B(0, 1) ve C(a, a + 1) olduğuna göre, a nın en
küçük değeri kaçtır?
nedir?
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A) –13
B) –2
C) –1
D) 0
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 1
49
Orta Nokta
Doğrunun Analitiği - Bölüm 03
TANIM
DNA 13
Analitik düzlemde
C(3,m)
C ∈ [AB] ise C noktasına, [AB] doğru parçasını içten bö[CO] ∩ [AE] = {D}
[CE ∩ [AO = {B}
E
O(0,0)
B(3,n)
len nokta denir.
A, B, C doğrusal ve C ∉ [AB] ise C noktasına, [AB] doğru
parçasını dıştan bölen nokta denir.
A(k, 4), B(3, n),
D(p,4)
A(k,4)
Bölen Nokta:
C(3, m) D(p, 4),
Doğru parçasını bölen nokta, ifadesi kullanıldığında nok-
O(0, 0)
taların doğrusal olduğu kabul edilir.
Yukarıdaki verilenlere göre, |EO| kaç birimdir?
C noktası, [AB] doğru parçasının dıştan bölen noktası ise,
A noktası [CB] nin ya da B noktası [CA] nın içten bölen
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
noktasıdır.
Çözüm
DNA 14
E(x, y) olsun,
B(3, n), C(3, m) noktalarının apsisi eşit olduğundan ve bu
Analitik düzlemde A(4, –1), B(–2, 3) noktaları veriliyor.
noktalarla doğrusal olan E(x, y) noktasının apsisi de de-
[AB] doğru parçasını |AC| = 2|BC| oranında dıştan bö-
ğişmeyeceğinden x = 3 tür.
len C noktasının koordinatları toplamı 2a + 1 dir.
A(k, 4), D(p, 4) noktalarının ordinatı eşit olduğundan ve
bu noktalarla doğrusal olan E(x, y) noktasının ordinatı da
Yukarıdaki verilenlere göre, a kaçtır?
A) –3
değişmeyeceğinden y = 4 tür.
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
E(3, 4) noktasının orijine uzaklığı |EO| = 5 birimdir.
Doğru Seçenek C
Çözüm
A
k
E
D(p,5)
A(k,5 )
O(0,0)
B(12,n)
50
B) 15
C) 17
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
C
(x,y)
Analitik düzlemde
C dıştan bölen nokta olduğundan B noktası orta nokta ola-
[CO] ∩ [AE] = {D}
cak şekilde sıralanırlar,
[CE ∩ [AO = {B}
x = 2(–2) – 4 = –8
A(k, 5), B(12, n),
y = 2(3) – (–1) = 7
C(12, m) D(p, 5),
x + y = 2a + 1 = –1 ⇒ a = –1
O(0, 0)
dir.
Yukarıdaki verilenlere göre, |EO| kaç birimdir?
A) 13
k
(–2,3)
(4,–1)
C(12,m)
B
D) 20
Doğru Seçenek B
E) 25
Doğrunun Analitiği - Bölüm 03
Orta Nokta
DNA 15
Analitik düzlemde A(4, –1), B(–2, 3) noktaları veriliyor.
Analitik düzlemde köşeleri A(–2, 1), B(0, –1), C(–4, 6)
[AB] doğru parçasını |BC| = 3|AB| oranında dıştan bö-
olan ABC üçgensel bölgesinin ağırlık merkezinin koor-
len C noktasının apsisi en çok kaçtır?
dinatları G(x, y) dir.
A) 16
B) 12
C) 8
D) 6
E) –20
Buna göre, x – y kaçtır?
A) 4
B) 2
C) 0
D) –2
E) –4
TANIM
Çözüm
Üçgenin Kenarortaylarının Kesişim Noktası:
⎛ −2 + 0 + ( −4) 1 + ( −1) + 6 ⎞
G⎜
,
⎟
3
3
⎝
⎠
¾ Üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir, bu nokta,
ABC üçgensel bölgesinin ağırlık merkezidir.
G(–2, 2)
A(x1, y1)
x = –2 ve y = 2
x – y = –2 –2 = –4
2k
G
tür.
k
B(x2, y2)
D
Doğru Seçenek E
C(x3, y3)
D noktası, [BC] kenarının orta noktası ve G noktası,
[AD] doğru parçasını |AG| = 2|GD| oranında içten bölen noktadır.
Işık 10
Üçgenin Kenarortaylarının Kesişim Noktası:
Analitik düzlemde köşeleri A(–2, 1), B(a, –1), C(–4, b) olan
Köşeleri A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) olan üçgenin ke-
ABC üçgensel bölgesinin ağırlık merkezinin koordinatları
narortaylarının kesişim noktasının koordinatları;
G(0, 2) dir.
tür.
⎛ x + x 2 + x3 y1 + y 2 + y3 ⎞
,
G⎜ 1
⎟
3
3
⎠
⎝
Buna göre, a + b toplamı kaçtır?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 14
51
Orta Nokta
Doğrunun Analitiği - Bölüm 03
Çözüm
Hatırlatma
[BD] köşegeni çizilirse paralelkenarda köşegenler birbirini
Menelaus Teoremi:
ortaladığından |DL| = |LB| olur.
ABC üçgeninde
A
[AC] ∩ [DF] = {E}
| DC | | BF | | AE |
⋅
⋅
=1
| DB | | FA | | EC |
F
E
B
D(9,–1)
C
L
K
| AF | | BC | | DE |
⋅
⋅
=1
| AB | | CD | | EF |
D
Ceva Teoremi:
A(1,4)
B(8,3)
ortaylarının kesişim noktasıdır.
ABC üçgeninde
E
P
B
E
|AE| = |EB| verildiğinden K noktası, ABD üçgeninin kenar-
A
F
C
⎛ 1 + 8 + 9 4 + 3 + ( −1) ⎞
K⎜
,
⎟
3
3
⎝
⎠
[AD] ∩ [BE] ∩ [CF] = {P}
D
C
| AF | | BD | | CE |
⋅
⋅
=1
| FB | | DC | | EA |
K(6, 2) ⇒ Koordinatların çarpımı 6 ⋅ 2 = 12 dir.
Doğru Seçenek A
Euclid Oranı:
A
B
p c2
=
k b2
b
c
p
H
C
k
DNA 16
D(9,–1)
C
ABCD paralelkenar
[AC] ∩ [DE] = {K}
K
D(9,2)
C
[AC] ∩ [DE] = {K}
|AE| = |EB|
A(1,4)
E
B(8,3)
|AE| = |EB|
K
A(1, 4)
B(8, 3)
A(2,4)
E
B(4,3)
D(9, 2)
Yukarıdaki verilenlere göre, K noktasının koordinatları çarpımı kaçtır?
B) 15
C) 16
Yukarıdaki verilenlere göre, K noktasının koordinatlaD) 18
E) 20
rı çarpımı kaçtır?
A) 12
52
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
A(2, 4)
B(4, 3)
D(9, –1)
A) 12
ABCD paralelkenar
B) 15
C) 16
D) 18
E) 20
Doğrunun Analitiği - Bölüm 03
Orta Nokta
DNA 17
D(c,d)
C(4,–1)
D(c,d)
ABCD dikdörtgen
C(4,–1)
[AC] ∩ [DE] = {K}
L
K
|AE| = |EB|
K(x,y)
E
B(a,b)
k
2k
A(1, 8), B(a, b)
A(1,8)
3k
A(1,8)
E
B(a,b)
C(4, –1), D(c, d)
[BD] yi çizelim ve [BD] ∩ [AC] = {L} diyelim.
K(x, y)
Yukarıdaki verilenlere göre, x ⋅ y çarpımı kaçtır?
K, ABD üçgeninin kenarortaylarının kesiştiği nokta olduğundan
A) 10
B) 12
C) 16
D) 18
E) 20
|KL| = k ve |AK| = 2k ⇒ |AL| = 3k
Köşegenler birbirini ortaladığından,
|LC| = |AL| = 3k ⇒ |KC| = 4k
Çözüm
K noktası, [AC] doğru parçasını
| AK | 2k 1
=
=
| KC | 4k 2
Dikdörtgende paralelkenar özellikleri geçerlidir.
oranında içten bölen noktadır.
a + c = 1 + 4 ve b + d = 8 + (–1)
A
(1,8)
a + c = 5, b + d = 7 dir.
n
K
2n
(x,y)
C
(4,–1)
[BD] köşegeni çizilirse, meydana gelen ABD üçgeninin
Apsisler 3n de 3 artarsa, n de 1 artar, x = 1 + 1 = 2
kenarortaylarının kesişim noktası K dır.
D(c,d)
C(4,–1)
K(x,y)
A(1,8)
E
x=
1+ a + c
3
x=
1 + (5 )
3
Ordinatlar 3n de –9 artarsa, n de –3 artar, y = 8 – 3 = 5
x = 2, y = 5
x = 2 ve
B(a,b)
y=
8+b+d
3
y=
8 + (7 )
=5
3
⇒ x ⋅ y = 2 ⋅ 5 = 10
x ⋅ y = 2 ⋅ 5 = 10
dur.
Doğru Seçenek A
dur.
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
53
Orta Nokta
Doğrunun Analitiği - Bölüm 03
AFD ile CFE üçgenlerinin benzerliğinden
D
| AF |
=3
| FC |
ABCD dikdörtgen
C(5,1)
[AC] ∩ [DE] = {K}
dür.
|AE| = |EB|
K(x,y)
A(2,7)
A(2, 7), C(5, 1)
E
F noktası, [AC] doğru parçasını |AF| = 3|FC| oranında iç-
K(x, y)
B
ten bölen noktadır.
Yukarıdaki verilenlere göre, x ⋅ y çarpımı kaçtır?
A) 12
B) 15
C) 16
D) 18
E) 20
F(x, y) olsun,
apsiler 4n de 4 artarsa 3n de 3 artar,
x = –1 + 3 = 2
Ordinatlar 4n de –8 artarsa, 3n de –6 artar,
y = 3 + (–6) = –3
x + y = 2 + (–3) = –1
DNA 18
dir.
D
ABCD kare
C
F
Doğru Seçenek D
[AC] ∩ [DE ] = {F}
E
|EB| = 2|EC|
A(–1, 3)
A
B
C(3, –5)
Yukarıdaki verilenlere göre, F noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
A) 2
B) 1
C) 0
D) –1
Çözüm
E) –2
D
C
F
E
|EC| = k olsun,
[AC] ∩ [DE ] = {F}
|EB| = 2|EC|
|BE| = 2k, |BC| = |AD| = 3k
D
F
n
C(3,–5)
k
E
3k
3n
A(–1,3)
54
ABCD kare
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
2k
B
A(2, 3)
A
B
C(6, –1)
Yukarıdaki verilenlere göre, F noktasının koordinatları
toplamı kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Doğrunun Analitiği - Bölüm 03
Orta Nokta
DNA 19
ABC üçgen
A
ABC üçgen
A
A, E, D doğrusal
A, E, D doğrusal
[BE] ve [CE]
E
B(2,–3)
3|AB| = 4|AC|
açıortay
D(–6,1)
C
3|AB| = 4|AC|
B(2, –3), D(–6, 1)
Yukarıdaki verilenlere göre, C noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
A) –12
[BE] ve [CE] açıortay
E
B) –10
B(2,–3)
D
D) –4
B(2, –3), C(9, –10)
Yukarıdaki verilenlere göre, D noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
A) –5
C) –8
C(9,–10)
B) –4
C) –3
E) –2
DNA 20
Çözüm
ABC üçgen
A
Üçgenin iç açıortayları bir noktada kesiştiğinden [AD]
açıortaydır.
n ) = 30°
m(BAD
30° 75°
n ) = 75°
m(DAC
Açıortay teoremi-
A
ne göre,
4k
| AB | | BD | 4
=
=
| AC | | CD | 3
3k
E
4a
B(2,–3)
E) –1
D) –2
|AB| = 2|AD|
B(–3,4)
D
C(5,0)
C(5, 0)
3a
D(–6,1)
B(–3, 4)
C(x,y)
Yukarıdaki verilenlere göre, D noktasının koordi-
Apsisler 4a da –8 artarsa, 3a da –6 artar,
natları toplamı kaçtır?
A) 1
B)
C) 2
3
D)
6
E) 3
x = –6 + (–6) = –12
Ordinatlar 4a da 4 artarsa, 3a da 3 artar,
Çözüm
y=1+3=4
A
x + y = –12 + 4 = –8
2k
dir.
Doğru Seçenek C
75°
30° 75°
B(–3,4)
k
D
C(5,0)
[AC] doğru parçası, BAD üçgeninin dış açıortayıdır.
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
55
Orta Nokta
Doğrunun Analitiği - Bölüm 03
Dış Açıortay Teoremi’ne göre,
DNA 21
| AB | | BC |
=
=2
| AD | | CD |
Analitik düzlemde, A(–2008, 2009) ve B(2008, –2009)
noktaları veriliyor.
|BD| = |DC| yani, D orta noktadır.
| CA | 2
= oranında dıştan bölen
| CB | 3
C noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
Buna göre, AB yi
⎛ −3 + 5 4 + 0 ⎞
D⎜
,
⎟
2 ⎠
⎝ 2
D(1, 2)
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Koordinatları toplamı 3 tür.
Doğru Seçenek E
Çözüm
A nın koordinatlar toplamı: –2008 + 2009 = 1
ABC üçgen
A
n ) = 40°
m(BAD
40° 70°
B(3,4)
D
C(5,6)
C
A
B
|AB| = 2|AD|
k
1
–1
C) 9
+4
B(3, 4), C(5, 6)
Yukarıdaki verilenlere göre, D noktasının koordinatla-
B) 12
dir. C nin koordinatlar toplamı k olsun.
n ) = 70°
m(DAC
rı toplamı kaçtır?
A) 14
B nin koordinatlar toplamı: 2008 – 2009 = –1
D) 6
+2
1 birimde 2 artış var ise, 2 birimde 4 artış olur.
k=1+4=5
E) 3
tir.
Doğru Seçenek C
Aynı doğrunun üzerindeki, eşit aralıklarla alınan noktaların apsislerinin ve ordinatlarının birer aritmetik dizi oluşturduğunu zaten biliyoruz.
Pratiklik sağlaması açısından, buna çok benzeyen IŞIK
11’i verelim.
Işık 11
Analitik düzlemde A(–2008, 2008) ve B(–2007, 2012)
noktaları veriliyor.
| CA | 2
= oranında içten bölen C
| CB | 3
Aynı doğrunun üzerindeki, eşit aralıklarla alınan nokta-
Buna göre, [AB] yi,
ların koordinatlar toplamı, koordinatlar farkının mutlak
noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
değeri, ... aritmetik dizi oluşturur.
56
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Doğrunun Analitiği - Bölüm 03
Orta Nokta
4.
TEST - 1
Analitik düzlemde A(–2, 5) ile B noktası, C(5, 2) noktasına göre simetriktir.
Buna göre, B noktasının koordinatları toplamı
kaçtır?
1.
A) 7
Analitik düzlemde A(3, a), B(2, 14), C(b, 16) ve B,
[AC] nın orta noktasıdır.
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
Buna göre, a ⋅ b çarpımı kaçtır?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
5.
2.
Analitik düzlemde A(1, 2) ve B(5, 8) noktalarından
eşit uzaklıkta bulunan K noktası, AB doğrusu üzerindedir.
Yukarıdaki verilenlere göre, B noktası aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) (0, 1)
Buna göre, K noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) (1, –1)
B) (3, 5)
D) (3, 4)
B) (–1, –2)
D) (23, 22)
C) (3, 2)
E) (–99,–100)
C) (5, 3)
E) (4, 3)
6.
3.
Analitik düzlemde A, B, C noktaları doğrusaldır.
A(a, a), C(3b + 5, 3b + 3) ve |AB| = |BC| dir.
Analitik düzlemde K, AB doğru parçasının orta noktasıdır. A(a + 2, 3 – b), B(4 – a, b + 7) dir.
Analitik düzlemde C noktası, [AB] nın orta noktasıdır.
A noktasının koordinatlarının toplamı 7, B noktasının
koordinatlarının toplamı 13 tür.
Buna göre, K noktasının koordinatları toplamı
kaçtır?
Yukarıdaki verilenlere göre, C noktasının koordinatlarının toplamı kaçtır?
A) 14
A) 8
B) 10
C) 9
D) 8
E) 6
B) 9
C) 10
D) 11
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 12
57
Orta Nokta
7.
Doğrunun Analitiği - Bölüm 03
Analitik düzlemde A(1, –7), B(3, 4) ve C(9, 6) olan
ABC üçgeninde [BC] kenarına ait kenarortay [AD]
dir.
10.
B) 13
C) 15
D) 17
düzlemde
D(9,0)
K, L, M, N
L
P
Yukarıdaki verilenlere göre, |AD| kaç birimdir?
A) 5
Analitik
C(0,–6)
M
noktaları ABCD
N
dörtgeninin
E) 20
A(0,6)
K
C(–3,0)
kenar orta noktalarıdır.
[KM] ∩ [NL] = {P}
Yukarıdaki verilenlere göre, P noktasının y eksenine uzaklığı kaç birimdir?
A) 3
8.
B) 2,5
C) 2
D) 1,5
E) 1
Analitik düzlemde ardışık köşeleri A(–3, 2),
B(–1, –3), C(5, –3) ve D olan ABCD dörtgeni paralelkenardır.
Buna göre, D noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) (4, 3)
B) (3, 4)
D) (2, 3)
C) (4, 2)
11.
E) (3, 2)
Analitik düzlemde A(1, 11) ve B(5, –5) noktaları veriliyor. C noktası, [AB] doğru parçasını |AC| = 3|CB|
oranında içten bölen noktadır.
Buna göre, C noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) (4, –1)
B) (3, –2)
D) (–2, 4)
9.
E) (4, 3)
Analitik düzlemde
y
C
AOCB eşkenar
B
dörtgendir.
12.
A
x
ABC bir üçgen
N(–4,2)
[CN] açıortay
|BC| = 2|AC|
B noktasının apsisi 8
B
C
Yukarıdaki verilenlere göre, C noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) (1, 4)
B) (2, 4)
D) (4, 4)
58
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
Analitik düzlemde
A(–2,3)
A noktasının apsisi 5
O
C) (3, –3)
C) (3, 4)
E) (5, 4)
A(–2, 3)
N(–4, 2)
Yukarıdaki verilenlere göre, B noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
A) –3
B) –4
C) –6
D) –8
E) –10
Doğrunun Analitiği - Bölüm 03
13.
Orta Nokta
16.
Analitik
A
Analitik düzlemde
A
düzlemde
ABC üçgen
[AB] açıortay
B(–3,4)
D
C(–5,0)
[BE] ∩ [AD] = {F}
E
|AC| = 2|AD|
F
|AE| = |EC|
B(–3, 4)
B
C(–5, 0)
Yukarıdaki verilenlere göre, D noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
A) –2
B) –2,4
D) –3
D
C
|DC| = 2|BD |
A(1, –6), D(5, –2)
Yukarıdaki verilenlere göre, F noktasının ordinatı
kaçtır?
C) –2,5
E) –3,2
A) –2,5
B) –3
C) –3,5
D) –4
14.
Analitik
A
düzlemde
E) –4,5
17.
A(–2,5)
ABC üçgen
[AB] ⊥ [AC]
D
[AC] ⊥ [BC]
[AH] ⊥ [BC]
B(–1,7)
H
Analitik düzlemde
C(9,7)
|BD| = |DC|
|AC| = 3|AB|
B(3,–7)
C
A(–2, 5)
B(–1, 7) , C(9, 7)
B(3, –7)
Yukarıdaki verilenlere göre, H noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
Yukarıdaki verilenlere göre, |AD| kaç birimdir?
A) 6
A) 5
B) 6,5
15.
C) 7
D) 8
E) 8,5
Analitik düzlemde
A
18.
B) 5,5
P
F
E
[AE]∩[BF]∩[CD] = {P}
C
Yukarıdaki verilenlere göre, E noktasının apsisi
kaçtır?
B) 4
C) 5
D) 6
E) 9
A, B ve C noktalarının
apsisleri toplamı 12
dir.
A
B noktasının apsisi 0, C noktasının apsisi 12
A) 3
x
B
O
|AF| = 3|FC|
E) 7
OABC kare
C
|AD| = 3|DB|
B
D) 6,5
Analitik düzlemde
y
ABC üçgen
D
C) 6
Yukarıdaki verilenlere göre, A noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) (2, –2)
B) (3, –3)
D) (6, –6)
C) (4, –4)
E) (6, –4)
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
59
Orta Nokta
Doğrunun Analitiği - Bölüm 03
19.
D
A
–9
21.
Analitik düzlemde
y
ABCD dikdörtgen
Analitik düzlemde
A(1,3)
[OH] ⊥ [AB]
H
A noktasının apsisi –9
x
C
O
y
B(3,1)
B(3, 1)
B noktasının ordinatı –12
–12 B
x
O
Yukarıdaki verilenlere göre, D noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
A) 17
B) 19
C) 21
D) 22
Yukarıdaki verilenlere göre, |OH| kaç birimdir?
A)
E) 23
B)
5
C)
6
D) 2 2
20.
A(1, 3)
7
E) 3
Analitik düzlemde
A
|AB| = 2|AF|
F(3,–2)
E(3,4)
|AC| = 2|AE|
23.
|BC| = 2|BD|
B
C
D(0,1)
Buna göre, C noktasının koordinatları toplamının
en küçük ve en büyük tam sayı değerlerinin çarpımı kaçtır?
D(0, 1), E(3, 4)
F(3,–2)
Yukarıdaki verilenlere göre, A noktasının koordinatlarının toplamı, B noktasının koordinatlarının
toplamından kaç fazladır?
A) –12
B) –2
C) 0
D) 2
A) 12
Analitik düzlemde, A(m, n), B(n, m),
P(m + n – 1, m – n – 3), |AP| = |PB| ve A, P, B doğrusal olduğuna göre, n kaçtır?
A) 1
1.A
60
2.B
B) 0
3.D
4.E
5.A
C) –1
6.C
7.B
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
D) –2
8.E
B) 14
C) 16
D) 21
E) 28
E) 12
24.
22.
Analitik düzlemde C ∈ ]AB[, A(4, 3), B(–2, 3) olmak
üzere, |AC| + |CB| = |AB| dir.
E) –3
Analitik düzlemde A(–2008, 2007) ve B(2007, –2009)
noktaları veriliyor.
Buna göre, AB yi |CA| = |AB| olacak biçimde dıştan bölen C noktasının koordinatlarının toplamı
kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
9.C 10.D 11.A 12.D 13.A 14.C 15.D 16.B 17.D 18.B 19.B 20.E 21.C 22.D 23.A 24.C
DOĞRUNUN ANALİTİĞİ - BÖLÜM 04
ALAN VE AĞIRLIK MERKEZİ
Hatırlatma
DNA 1
A
Analitik düzlemde
y
b
hb
c
A(0, 4)
A
hc
ha
B(–4, 0)
B
C(–1, 0)
C
B
–4
a
+
Alan( ABC) =
a ⋅ ha b ⋅ hb c ⋅ hc
=
=
2
2
2
C
–1 O
x
+
Yukarıdaki verilenlere göre, Alan(ABC) kaç birim
karedir?
A
A) 3
a
B
+
1
2
C) 8
D) 9
E) 12
b
c
Alan( ABC) =
B) 6
l) =
b ⋅ c sin( A
1
2
Çözüm
C
) =
a ⋅ c sin(B
1
2
l)
a ⋅ b sin(C
Taban: |BC| = |–4 – (–1)| = 3 br
Yükseklik: |AO| = 4 br
u=
+
a+b+c
olmak üzere,
2
Alan( ABC) =
| BC | ⋅ | AO | 3 ⋅ 4
=
= 6 br 2
2
2
Doğru Seçenek B
+
Alan( ABC) = u ⋅ (u − a) ⋅ (u − b) ⋅ (u − c )
A
c
r
b
r
O
B
+
Alan( ABC) = u ⋅ r
r
E
a
Analitik düzlemde
y
C
A(0, 8)
A
B(–6, 0)
A
C(–2, 0)
c
b
O
B
a ⋅b ⋅c
Alan( ABC) =
4R
R
a
C
C
B
+
O
x
+
Yukarıdaki verilenlere göre, Alan(ABC) kaç birim karedir?
A) 4
B) 8
C) 12
D) 16
E) 20
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
61
Alan ve Ağırlık Merkezi
Doğrunun Analitiği - Bölüm 04
DNA 2
DNA 3
Analitik düzlemde
y
Analitik düzlemde
y
A, C ve D doğrusal
5 B
A
A
ABC üçgen
|AC| = 4|BC|
[OD] açıortay
B(0, 5)
1
D
–2
D(–2, 0)
x
O
[AB] // [DO]
D(6,3)
C(0, 1)
C
O
B
C(6,0)
C(6, 0)
x
D(6, 3)
+
Yukarıdaki verilenlere göre, Alan(ABC) kaç br2
dir?
A)
64
54
B)
5
C)
5
44
D)
5
32
5
E)
12
5
+
Yukarıdaki verilenlere göre, Alan(ABO) kaç br2
dir?
A) 30
B) 32
C) 36
D) 38
E) 40
Çözüm
12 + 22 = 5 br
|DC| =
n ) = sin(BCA
n) = 2
sin(DCO
5
|BC| = 4 br ise |AC| = 4|BC| = 4 ⋅ 4 = 16 br
+
Alan( ABC) =
=
1
n)
| BC | ⋅ | AC | ⋅ sin(BCA
2
Çözüm
1
2
64
⋅ 4 ⋅ 16 ⋅
=
br2
2
5
5
y
dir.
A
Doğru Seçenek A
a
2a
B
2a
O
6
D(6,3)
3
x
C(6,0)
n ile DOA
n iç ters,
BAO
n ile DOC
n yöndeş
ABO
açılardan eş olduğundan
|AO| = |OB| dir.
y
B
A
|OC| = 6 br
|AD| = 3⋅|CD|
|DC| = 3 br
D(–4, 0)
C
D
Analitik düzlemde
Açıortay Teoremi’nden
C(0, 3)
x
O
| AO | | OC |
=
| AD | | CD |
|BC| = |AC|
Yukarıdaki verilere göre, ABC üçgeninin alanı kaç br2
dir?
A) 25
62
B) 30
C) 35
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
D) 40
E) 50
|AD| = a olsa, |AO| = 2a
D ve C noktalarının apsisi 6 ise DC ⊥ [Ox] dir.
Doğrunun Analitiği - Bölüm 04
Alan ve Ağırlık Merkezi
AOC dik üçgeninde Pisagor Teoremi’nden
Çözüm
62 + (a + 3)2 = (2a)2 ⇒ a = 5 br
[AH] ⊥ [Ox]
y
|AO| = |BO| = 10 br, |AC| = 8 br
+
Alan( ABO) =
K
10 ⋅ 8
= 40 br 2
2
B
|AH| = |AK| = 4 br
A
dir.
Doğru Seçenek E
[AK] ⊥ [Oy]
A(4,4)
S
S
AKB ile AHC üçgenleri eş olC
H
O
x
duğundan alanları eşittir.
Alan(ABOC) = Alan(AKOH) = A + S = 4 ⋅ 4 = 16 br2
Doğru Seçenek B
Analitik düzlemde
y
A
Analitik düzlemde
y
ABC üçgen
D
O
B
x
C(5, 0)
Yukarıdaki verilenlere göre, Alan(ABO) kaç br2 dir?
C) 60
D) 72
x
Yukarıdaki verilenlere göre, Alan(ABOC) kaç br2 dir?
+
B) 48
C
O
⎛ 10 ⎞
D ⎜ 5,
⎟
⎝ 3 ⎠
A) 30
A(5, 5)
B
[AB] // [DO]
C
|AB| = |AC|
A(5,5)
[OD] açıortay
A) 25
B) 20
C) 15
DNA 5
Analitik düzlemde
y
ABO üçgen
A
A(4, 4)
B
x
[AB] ⊥ [AO]
4
3
C
C
Analitik düzlemde
y
|AB| = |AC|
A(4,4)
B(–7,0)
dir?
|BC| = |DO|
D
O
x
|AC| = 3 br
|AD| = 4 br
B(–7, 0)
Yukarıdaki verilenlere göre, Alan(ABOC) kaç br2
A) 20
E) 5
E) 78
DNA 4
O
D) 10
Yukarıdaki verilenlere göre, Alan(OBCD) kaç br2
B) 16
C) 14
D) 12
E) 10
dir?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 10
63
Alan ve Ağırlık Merkezi
Doğrunun Analitiği - Bölüm 04
Çözüm
y
A
3
r
ABO üçgen
A
4
6
C
Analitik düzlemde
y
B
D
C
r
7
[AB] ⊥ [AO]
5
2
O
x
|BC| = |DO|
D
B(–9,0)
x
O
|AD| = 5 br
|BC| = |DO| = r olsun
B(–9, 0)
+
3⋅4
Alan( ACD) =
= 6 br 2
2
dir.
|AC| = 2 br
ABO dik üçgeninde Pisagor Teoremi’nden,
Yukarıdaki verilenlere göre, Alan(OBCD) kaç br2 dir?
A) 9
B) 12
C) 15
D) 16
E) 18
(3 + r)2 + (4 + r)2 = 72 ⇒ r2 + 6r + 9 + 16 + 8r + r2 = 49
r2 + 7r = 12 eşitliği r cinsinden elde edilecek aşağıdaki
alan formülünde yerine yazılırsa önce ABO üçgeninin ala-
DNA 6
nı bulunur.
+
Alan( ABO) =
| AB | ⋅ | AO |
2
=
=
(3 + r ) ⋅ ( 4 + r ) 12 + (7r + r 2 )
=
2
2
ABCD eşkenar
12 + (12)
= 12 br 2
2
dir.
Analitik düzlemde
y
A(–5,4)
+
dörtgen
D
E ∈ [AB]
E
+
Alan(OBCD) = Alan( ABO) − Alan( ACD) = 12 – 6 = 6 br2
B
C
O
x
A(–5, 4)
Doğru Seçenek C
Yukarıdaki verilenlere göre, Alan(CDE) kaç br2
dir?
A) 10
B) 15
C) 16
D) 20
Çözüm
Kısayol
y
ABC üçgeninde
A
c
[AB] ⊥ [AC]
b
|AB| = c
B
a
C
|AC| = b
A(–5,4)
5
4
E
B
D
C
O
|BC| = a
+
Alan( ABC) =
64
2
a − (b − c )2
4
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
A noktasının apsisi –5 ise |AD| = 5 br
D noktasının ordinatı 4 ise |DO| = 4 br
x
E) 25
Doğrunun Analitiği - Bölüm 04
Alan ve Ağırlık Merkezi
ABCD eşkenar dörtgeninin taban uzunluğu 5 br, yüksekliği 4 br olduğundan,
Koordinatları Bilinen Üçgenin Alanı:
Köşeleri A(x1, y1), B(x2, y2) ve C(x3, y3) olan ABC üçgeninin alanını hesaplamak için;
Alan(ABCD) = 5 ⋅ 4 = 20 br2
+
Alan(CED) =
A, B ve C noktalarından geçen eksenlere dik doğrular çi-
Alan( ABCD) 20
=
= 10 br 2
2
2
zilir, doğruların meydana getirdiği dikdörtgenin alanından
dik üçgenlerin alanları atılarak ABC üçgeninin alanı bu-
dir.
lunur.
Doğru Seçenek A
y
K(x2, y1) A(x1, y1)
C(x3, y3)
Hatırlatma
B(x2, y2)
K
A
S1
M(x3, y1)
L(x3, y2)
x
O
D
S2
Alan(KBLM) = (x3 – x2) ⋅ (y1 – y2)
B
C
ABCD paralelkenar ise
+
( x1 − x 2 ) ⋅ ( y1 − y 2 )
2
+
( x3 − x 2 ) ⋅ ( y3 − y 2 )
2
+
( x3 − x1) ⋅ ( y1 − y3 )
2
Alan( AKB) =
Alan(ABCD) = 2(S1 + S2)
+
Alan(BLC) =
Alan(KBC) = S1 + S2
Alan(CMA ) =
+
+
+
Alan( ABC)=Alan(KBLM) − Alan( AKB) − Alan(BLC) −
+
Alan(CMA )
Koordinatlar cinsinden elde edilen bu formül düzenlenerek genel bir formül elde edilir. Formül kullanışlı olmadığından öğrencinin daha kolay işlem yapabilmesi
için delta tekniği denilen bir yöntem geliştirilmiştir. Bu
A
D
E
B
tekniğe geçmeden önce birkaç durum bilinmelidir.
Analitik düzlemde
y
ABCD eşkenar dörtgen
Elde edilen formülde çıkarma işleminden dolayı kimi
E ∈ [AB]
zaman negatif bir değer çıkar, alan hiçbir zaman negatif olmayacağından böyle durumlarda çıkan sonu-
A(–5, k)
C
O
x
cun mutlak değeri alınır. Bazen de sonuç sıfır çıkabilir.
C(–3, 0)
Bunun nedeni rastgele alınan üç noktanın doğrusal olmasıdır.
+
Yukarıdaki verilenlere göre, Alan(CDE) kaç br2 dir?
A) 10
B) 15
C) 16
D) 20
E) 25
+
A, B, C noktaları doğrusal ise Alan( ABC) = 0 dır.
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
65
Alan ve Ağırlık Merkezi
Doğrunun Analitiği - Bölüm 04
Çözüm
Hazine 8
Delta tekniği:
2
0
1
4
0
–3
–4
8
–12
2
0
–4
A(x1, y1), B(x2, y2) ve C(x3, y3) olsun,
Koordinatlar alt alta yazılır (en baştaki nokta en
sona tekrar yazılır), ok yönündeki sayılar çarpılır,
çarpımlar alt alta toplanır ve toplamlar farkının yarısı alınarak alan bulunur.
+ –8
–20
x1
y1
x2
y2
y1 × x2
x3
y3
x1 × y2
y2 × x3
x1
y1
x2 × y3
+ y3 × x1
M
Alan(ABC) =
+
0
4
+
Alan( ABC) =
| 4 − ( −20) |
= 12 br 2
2
Doğru Seçenek D
+ x3 × y1
N
|N – M|
2
Analitik
düzlemde
köşelerinin
koordinatları
A(3, 0), B(0, –4), O(0, 0) olan ABO üçgeninin alanı kaç
birim karedir?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 24
Uyarı
M = N ⇔ A, B, C noktaları doğrusaldır.
DNA 8
DNA 7
Analitik
düzlemde
köşelerinin
koordinatları
A(a, 0), B(2, 3), C(–1, 4) olan ABC üçgeninin alanı
Analitik
düzlemde
köşelerinin
koordinatları
A(2, 0), B(1, 4), C(–3, –4) olan ABC üçgeninin alanı
kaç birim karedir?
A) 6
66
B) 8
6 br2 olduğuna göre, a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
C) 10
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
D) 12
E) 24
A) 3
B) 2
C) 0
D) –2
E) –3
Doğrunun Analitiği - Bölüm 04
Alan ve Ağırlık Merkezi
Çözüm
+
Çözüm
a
0
a
2a
2
3
2
1
0
–1
4
3a
4a
–1
5
a
–3
2
0
8
–1
a
2a
10
0
+ 5a
9a – 1
8
+
5
3a + 8
|3a + 3| = 12 ⇒ 3a + 3 = 12 veya 3a + 3 =–12
+ –2a
10 – a
9a − 1 = 10 − a ⇒ a =
11
= 11
,
10
a = 3 veya a = –5
dir.
a nın alabileceği değerler toplamı; 3 + (–5) = –2
Doğru Seçenek B
Doğru Seçenek D
Analitik düzlemde A(a, –a), B(3, 1), C(–1, –3) noktaları
doğrusal olduğuna göre, a kaçtır?
Analitik düzlemde köşelerinin koordinatları A(a, 0),
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
B(–2, 0), C(1, 1) olan ABC üçgeninin alanı 2 br2 olduğuna göre, a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) 2
B) 0
C) –2
D) –4
E) –6
Uyarı
Delta tekniği ile köşelerin koordinatları bilinen tüm çok-
DNA 9
genlerin alanı bulunabilir. Rastgele verilmiş noktalar
her zaman çokgen oluşturmayabilir, bu nedenle istenen
Analitik düzlemde A(a, 2a), B(2, 1), C(–1, 5) nokta-
çokgenin köşeleri sırasına göre koordinatlar alt alta yazılmalı ve delta tekniği aynen uygulanmalıdır.
ları doğrusal olduğuna göre, a kaçtır?
(Delta tekniğinde en başa yazılan sayıları en son sıA) 1
B) 1, 1
C) 1,4
D) 1,6
E) 1,8
raya tekrar yazmayı unutmayınız.)
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
67
Alan ve Ağırlık Merkezi
Doğrunun Analitiği - Bölüm 04
DNA 10
koordinatları
Analitik düzlemde köşelerinin koordinatları O(0, 0),
O(0, 0), A(3, 0), B(4, 2), C(3, 3) ve D(2, 4) olan
A(3, 0), B(4, 2) ve C(2, 4) olan OABC dörtgeninin alanı
OABCD beşgeninin alanı kaç birimkaredir?
kaç birimkaredir?
Analitik
düzlemde
A) 9
B) 10
köşelerinin
C) 11
D) 12
E) 13
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
Çözüm
Soruda istenen çokgen OABCD olarak belirtildiği için delta tekniğinde kullanılacak sıra soruda belirtilmiştir.
+
0
0
3
0
0
4
2
0
Analitik düzlemde A(3, 2), B(0, 1), C(2, –3) ve D(–2, 2)
0
3
3
6
noktaları veriliyor.
6
2
4
12
6
0
0
12
a) ABCD dörtgeninin alanı kaç br2 dir?
0
b) ABDC dörtgeninin alanı kaç br2 dir?
0
DNA 11
+
12
30
c) ACBD dörtgeninin alanı kaç br2 dir?
Alan =
| 30 − 12 |
= 9 br 2
2
dir.
Çözüm
Doğru Seçenek A
Analitik düzlemde A, B,
y
C, D noktaları ile konveks
D(–2,2)
A(3,2)
B(0,1)
x
C(2,–3)
Uyarı
Konkav (İç bükey) Çokgenlerin Alanı:
a) ABCD dörtgeni
Köşelerinin sırası belli olmayan çokgenler analitik düz-
sa birden fazla konkav çokgen çizilebilir ve her birinin
alanı farklı olabilir. Bu nedenle problemde istenen yerin
tam olarak belirtilmiş olması gerekir.
68
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
noktalarla elde edilebilecek üç farklı konkav dörtgen vardır.
b) ABDC dörtgeni
y
leme taşınarak, çokgenin ardışık köşeleri tespit edilmelidir. Eğer konveks (dış bükey) çokgen elde edilemiyor-
dörtgen elde edilemez. Bu
D(–2,2)
y
A(3,2)
B(0,1)
D(–2,2)
x
C(2,–3)
A(3,2)
B(0,1)
x
C(2,–3)
Doğrunun Analitiği - Bölüm 04
Alan ve Ağırlık Merkezi
c) ACBDA sırasına göre,
c) ACBD dörtgeni
y
D(–2,2)
3
2
2
–3
4
0
1
–9
0
–2
2
2
–2
3
2
0
A(3,2)
B(0,1)
x
C(2,–3)
+
Bu dörtgenlerin alanlarını delta tekniğiyle bulmak istediği-
6
+ –4
8
–11
mizde hangi noktadan başlanacağı önemli değildir, önemli olan noktaların hangi sırada alındığıdır.
Alan( ACBD) =
ACBD, CBDA, BDAC, DBCA,...
| −11 − 8 |
= 9, 5 br 2
2
dir.
sıralanışları aynı dörtgeni belirttiğinden alanları eşittir.
Uyarı
Köşelerinin sırası belli olmayan çokgenler analitik düz-
a) ABCDA sırasına göre,
+
leme taşınarak, çokgenin ardışık köşeleri tespit edilme-
3
2
0
1
0
2
–3
3
2
–2
2
0
6
3
2
4
lidir.
6
+ –4
14
3
Alan( ABCD) =
| 3 − 14 |
= 5, 5 br 2
2
dir.
Analitik düzlemde O(0, 0), A(1, 2), B(2, 3) ve C(–2, 2)
noktaları veriliyor.
a) OABC dörtgeninin alanı kaç br2 dir? (4, 5)
b) OBAC dörtgeninin alanı kaç br2 dir? (3, 5)
c) OBCA dörtgeninin alanı kaç br2 dir? (2)
b) ABDCA sırasına göre,
3
2
0
1
0
–2
2
3
–2
2
–3
0
4
3
2
6
+ –9
–7
Alan( ABDC) =
+
4
13
| 13 − ( −7) |
= 10 br 2
2
DNA 12
Analitik düzlemde O(0, 0), A(3, 2), B(1, 2) ve
C(4, 1) noktalarını köşe kabul eden dörtgenin alanı
kaç br2 dir?
A) 2
B) 2,5
C) 4
D) 4,5
E) 5
dir.
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
69
Alan ve Ağırlık Merkezi
Doğrunun Analitiği - Bölüm 04
Çözüm
Uyarı
Verilen noktalarla konveks dörtgen çizilebildiğinden elde
Delta tekniğiyle elde edilen sayılar vektörel çokluklar-
edilen dörtgen tektir. (Aksi belirtilmedikçe istenen, kon-
dır, yani başlangıç noktası ve yön önemlidir.
veks dörtgenin alanıdır.)
Delta tekniğinde temel prensip başlangıç noktası ile
y
bitiş noktasının aynı olmasıdır. Çokgenlerin kenarları
sıralanırken uç noktalar saat yönünde veya saatin ters
B(1,2)
yönünde sıralıdır.
A(3,2)
Delta tekniğinde sıralama yapılırken, çokgenlerden biri
C(4,1)
pozitif, diğeri negatif yönde alınıyorsa, elde edilen so-
x
O(0,0)
nuç bu çokgenlerin alanlarının farkıdır.
OCAB dörtgeninin alanı delta tekniğiyle hesaplanırsa;
0
+
0
0
4
1
3
2
0
DNA 13
3
1
2
8
Analitik düzlemde O(0, 0), A(3, 2), B(–1, 0) ve C(2, –2)
2
0
0
6
noktaları veriliyor.
0
+
5
0
Buna göre, AOC ile BOC üçgenlerinin alanları far-
14
kının pozitif değeri kaç br2 dir?
Alan(OCAB) =
| 14 − 5 |
= 4, 5 br 2
2
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
dir.
Doğru Seçenek D
Çözüm
OCAB, CABO, ABOC, BACO,... dörtgenlerinin alanları eşittir. ABCO, OABC,... dörtgen oluşturmadığına
dikkat ediniz.
AOC üçgeninin alanı;
3
kaç br2 dir?
70
B) 4,5
0
2
–2
0
0
3
2
0
–6
(3, 0) olan noktaları köşe kabul eden dörtgenin alanı
A) 3,5
0
0
+ –6
Analitik düzlemde koordinatları (0, 0), (3, 3), (1, 3) ve
Alan( AOC) =
C) 5,5
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
D) 6,5
E) 7,5
dir.
2
+
4
4
| 4 − ( −6) |
= 5 br 2
2
Doğrunun Analitiği - Bölüm 04
Alan ve Ağırlık Merkezi
BOC üçgeninin alanı;
+
Not
–1
0
0
0
0
2
–2
0
0
–1
0
0
A
2
+
B
C
0
2
O
AOCBOCA sırasına göre veya
0
A
|0−2|
Alan(BOC) =
= 1 br 2
2
+
B
O
C
+
Alan( AOC) − Alan(BOC) = 5 − 1 = 4 br 2
COACCOBC sırasına göre işlem yapabiliriz. Yine aynı
cevabı buluruz.
dir.
Uyarı
y
A(3,2)
O
A
B(–1,0)
Delta sıralamasında üçgenlerin kapatıldığına ve ilk
O
B
x
başlangıç noktasıyla bitirildiğine dikkat ediniz.
C
ACBOA, OCBOACO,... gibi delta sıralanışları alan-
C(2,–2)
lar toplamını verir.
BCOACOB sırasına göre delta tekniği uygulanırsa BOC
ile AOC üçgenlerinin alanları bulunur. (Buradaki sıralanışa dikkat edilirse, BCO saatin ters yönünde, ACO saat
Uyarı
yönündedir.)
+
Delta tekniğiyle alanlar farkı veya alanlar toplamı he-
–1
0
2
–2
0
0
0
2
0
3
2
0
0
2
–2
0
4
0
0
–6
0
–1
0
0
0
+
4
+
saplanırken köşelerden biri diğer köşelerle doğrusal ise
sıralamada etkisizdir, yani sıralamaya yazılmadan alan
hesabı yapmak mümkündür.
DNA 10 ve Genetik Kopyasının cevaplarının aynı çıkmasının nedenini düşününüz.
0
–4
+
Alan( AOC) − Alan(BOC) =
| −4 − 4 |
= 4 br 2
2
dir.
Analitik düzlemde O(0, 0), A(2, 2), B(0, 1), C(–2, 3) ve
D(–3, –2) noktaları veriliyor.
Buna göre, ABO ile BCD üçgenlerinin alanları toplamı
Doğru Seçenek B
br2 dir?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 9
71
Alan ve Ağırlık Merkezi
Doğrunun Analitiği - Bölüm 04
Uyarı
DNA 14
ABCDA sırasında delta tekniği uygulanırsa elde edilen
Analitik düzlemde
y
değer, AKB ile CKD üçgenlerinin alanları farkının pozitif
[AD] ∩ [BC] = {K}
A(1,3)
C(3,2)
K
değeri olur.
A(1, 3), B(1, 1)
İleride iki doğrunun kesişim noktasını bulmayı öğrendi-
C(3, 2), D(4, 0)
B(1,1)
O
ğinizde K noktasını da kullanarak değişik sıralamalarla
x
D(4,0)
alanları hesaplayabilirsiniz.
Yukarıdaki verilenlere göre, AKC ile BKD üçgenlerinin alanları farkının pozitif değeri kaç br2 dir?
A) 1
B) 1,5
C) 2
D) 2,5
E) 3
ACKKBDK gibi yazılışlarla istenen sonuca ulaşılamaz,
delta tekniğinde hangi nokta ile başlanmışsa o nokta ile
biteceği unutulmamalıdır.
Örneğin, KACKKBDK sıralanışıyla KAC ile KBD üçgenlerinin alanları farkı, KACKKDBK sıralanışıyla alanları toplamı bulunur.
Çözüm
Analitik düzlemde
y
ACBDA sıralamasına göre delta tekniği uygulanırsa ACK
[AD] ∩ [BC] = {K}
A
ile KBD üçgenlerinin farkı bulunur. Sıralanışa dikkat edi-
A(1, 5), B(2, 2)
C
K
lirse ACK saat yönünde, KBD saatin ters yönünde sıra-
C(3, 4), D(3, 0)
B
lanmıştır.
O
+
1
3
3
2
9
1
1
2
2
4
0
3
4
1
3
Yukarıdaki verilenlere göre, AKC ile BKD üçgenlerinin
15
17
+
A) 1
B) 1,5
C) 2
D) 2,5
| 17 − 15 |
= 1 br 2
2
dir.
Doğru Seçenek A
Not
Bir üçgenin alanını hesaplarken, üçgenin köşelerinden biri
orijin ile çakışacak biçimde öteleme yaparsak, daha akılda kalıcı bir formülle çözüme gidebiliriz.
72
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 3
0
+ 12
+
x
alanları farkının pozitif değeri kaç br2 dir?
0
| Alan( AKC) − Alan(BKD) |=
D
Doğrunun Analitiği - Bölüm 04
Alan ve Ağırlık Merkezi
Işık 12
Köşelerinin koordinatları A(–1, 2), B(2, 3) ve C(1, –2)
O(0, 0), A(a, b), B(c, d) ise,
+
Alan(OAB) =
olan ABC üçgeninin alanı kaç birim karedir?
1
⋅ | ad − bc |
2
A) 4
B) 5
D) 7
C) 6
E) 8
dir.
Uyarı
Analitik Geometri’deki bu alan formülü, 11. sınıfta işle-
DNA 15
diğimiz Üçgende Alan ile ilgili bazı problemlerin çözü-
Köşelerinin koordinatları A(1, 3), B(2, 6), C(–1, 2)
Bunu DNA 16 ile gösterelim.
olan ABC üçgeninin alanı kaç birim karedir?
A)
3
2
B) 2
C)
5
2
D) 3
münde pratiklik sağlar.
E)
7
2
DNA 16
AB ⊥ BC
A
BC ⊥ CD
1
Çözüm
B
C
3
CD ⊥ DE
|AB| = 1 br
+
ABC ni, A noktası orijin ile çakışacak biçimde öteleyelim.
4
|BC| = 3 br
Bunun için apsislere –1, ordinatlara –3 ekleriz.
|CD| = 4 br
y
B(2, 6)
A¢(0, 0)
2
E
|DE| = 2 br
+
Yukarıdaki verilere göre, (ACE) nin alanı kaç bi-
A(1,3)
B¢(1, 3)
C(–1, 2)
D
rim karedir?
x
A) 3
B)
7
2
C) 4
D)
9
2
E) 5
C¢(–2, –1)
+
Çözüm
+
Alan( ABC) = Alan( A′B′C′)
=
1
⋅ | 3 ⋅ ( −2) − (1) ⋅ ( −1) |
2
C(0, 0) dersek, A(–3, 1) ve E(2, –4) olur.
IŞIK 12’den,
+
5
= br 2
2
Alan( ACE) =
buluruz.
1
⋅ | ( −3) ⋅ ( −4) − 1⋅ 2 |
2
= 5 br 2
Doğru Seçenek C
dir.
Doğru Seçenek E
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
73
Alan ve Ağırlık Merkezi
Doğrunun Analitiği - Bölüm 04
TANIM
Ağırlık Merkezi veya Denge Noktası:
AB ⊥ BC
A
Tüm noktaların ağırlıklarının eşit olduğu kabul edilir.
BC ⊥ CD
4
İç noktaları dahil olmayan geometrik şeklin ağırlığı, uzun-
CD ⊥ DE
B
2
lukları kabul edilir. Doğru parçasının ağırlığı uzunluğudur,
|AB| = 4 br
C
üçgenin ağırlığı veya çemberin ağırlığı çevresidir... gibi.
İç noktaları dahil olan geometrik şekillerin ağırlığı, alanı
|BC| = |CD| = 2 br
2
D
6
E
kabul edilir. Üçgensel bölgenin ağırlığı veya dairenin ağır-
|DE| = 6 br
lığı alanıdır... gibi.
+
Yukarıdaki verilere göre, (ACE) nin alanı kaç birim
Üç boyutlu geometrik şekillerin ağırlığı, hacimleri kabul
karedir?
edilir. Kürenin veya prizmanın ağırlığı hacmi olarak alınır.
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Geometrik şekilleri yerçekimine karşı dengede tutan noktaya denge noktası veya ağırlık merkezi denir ve Dg
veya G ile gösterilir.
Birden fazla geometrik şeklin bir araya gelerek meydana
getirdikleri yeni şekle geometrik sistem veya kısaca sistem denir.
Işık 13
Ağırlık Merkezi:
Tenef füs
Bir sistemi oluşturan geometrik şekillerin, ağırlık merkezinin koordinatları ve her şeklin ağırlığı biliniyorsa sistemin ağırlık merkezinin koordinatı aşağıdaki yöntemle
Arabaya Tekrar Binelim
bulunur;
Bir makine mühendisi, bir elektrik mühendisi ve bir
Sistemi oluşturan,
bilgisayar mühendisi üç arkadaş kiraladıkları araba
1. şeklin ağırlık merkezi G1(x1, y1) ve ağırlığı g1,
ile yolculuk yaparken araba bozulur. Makine mühendisi hemen olaya el koyarak kesin motordandır der
ve arabanın altına girip motorla ilgili birkaç vida ile
2. şeklin ağırlık merkezi G2(x2, y2) ve ağırlığı g2,
3. şeklin ağırlık merkezi G3(x3, y3) ve ağırlığı g3,
oynar. İşini bitirdiğinde bakarlar araba hala bozuk.
...
Elektrik mühendisi hemen atlayıp bu elektrik prob-
n. şeklin ağırlık merkezi Gn(xn, yn) ve ağırlığı gn olsun,
lemi der ve hemen tüm kablo ve sigortaları kontrol
Bu n tane şeklin bir araya gelerek oluşturduğu geomet-
eder birtakım bağlantılar yapar. Ama arabada hala
rik sistemin ağırlık merkezi G(x,y) ise
tık yok. İkisi birden bilgisayar mühendisine dönerler,
kendisine sıra geldiğini anlayan bilgisayar mühendisi
biraz kekeledikten sonra şöyle der: “Aa arabadan
çıkıp bir daha girsek!”
74
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
x ⋅ g + x 2 ⋅ g2 + x3 ⋅ g3 + ... + xn ⋅ gn
x= 1 1
g1 + g2 + g3 + ... + gn
y ⋅ g + y 2 ⋅ g2 + y3 ⋅ g3 + ... + yn ⋅ gn
y= 1 1
g1 + g2 + g3 + ... + gn
Doğrunun Analitiği - Bölüm 04
Alan ve Ağırlık Merkezi
Hazine 9
DNA 17
Bir noktanın denge noktası
A(x, y)
kendisidir.
G(x, y)
İki noktadan meydana gelen sistemin ağırlık merkezi, bu noktaları uç nokta kabul eden doğru par-
Analitik düzlemde A(3, 2), B(1, 2), C(4, –8) ve O(0,0)
noktalarından meydana gelen geometrik sistemin
ağırlık merkezinin koordinatları toplamı kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
çasının orta noktasıdır.
A1(x1, y1) ve A2(x2, y2) noktalarının ağırlıkları (eşit
olduğundan) g olsun,
⎛ x ⋅ g + x 2 ⋅ g y1 ⋅ g + y 2 ⋅ g ⎞
G⎜ 1
,
⎟ ise
g+g
g+g
⎝
⎠
⎛ x + x 2 y1 + y 2 ⎞
G⎜ 1
,
⎟
2 ⎠
⎝ 2
Çözüm
A1
A2
G
HAZİNE 9’dan,
⎛ 3 + 1 + 4 + 0 2 + 2 + ( −8) + 0 ⎞
G⎜
,
⎟
4
4
⎠
⎝
Herhangi üçü doğrusal olmayan üç noktadan meydana gelen sistemin ağırlık merkezi, bu noktaları
köşe kabul eden üçgenin kenarortaylarının kesişti-
G(2, –1) olduğundan koordinatlarının toplamı,
ği noktadır.
A1(x1,y1), A2(x2, y2) ve A3(x3, y3) noktalarının ağırlıkları g olsun,
2 + (–1) = 1
dir.
Doğru Seçenek D
⎛ x ⋅ g + x 2 ⋅ g + x3 ⋅ g y1 ⋅ g + y 2 ⋅ g + y3 ⋅ g ⎞
G⎜ 1
,
⎟ ise
g+g+g
g+g+g
⎝
⎠
⎛ x + x 2 + x3 y1 + y 2 + y3 ⎞
,
G⎜ 1
⎟
3
3
⎠
⎝
Geometrik yorumu:
Uyarı
A1(x1, y1)
Bir doğru parçasının denge noktası orta noktasıdır.
A1(x1, y1)
G(x,y)
A2(x2, y2)
G
A2(x2, y2)
A3(x3, y3)
Uç noktaları A1(x1, y1) ve A2(x2, y2) olan [A1A2] doğru
n tane noktadan meydana gelen sistemin ağırlık merkezinin apsisi, o sistemi meydana getiren noktaların apsislerinin aritmetik ortalaması, ağırlık merkezinin ordinatı ise
sistemi meydana getiren noktaların ordinatlarının aritme-
parçasının ağırlık merkezinin koordinatları;
⎛ x + x 2 y1 + y 2 ⎞
G⎜ 1
,
⎟
2 ⎠
⎝ 2
Doğru parçasının ağırlığı uzunluğudur.
tik ortalamasıdır.
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
75
Alan ve Ağırlık Merkezi
Doğrunun Analitiği - Bölüm 04
Çözüm
Analitik düzlemde A(3, 1), B(1, 1), C(4, –6) ve O(0,0)
y
noktalarından meydana gelen geometrik sistemin
ağırlık merkezinin koordinatları toplamı kaçtır?
A) –2
B) –1
D) 1
C) 0
A(6,8)
E) 2
B(12,8)
G2(9,8)
G1(3,4)
x
O(0,0)
|OA| =
62 + 82 = 10 br ve [OA] nın ağırlık merkezi G1(3, 4)
|AB| = |12 – 6| = 6 br ve [AB] nin ağırlık merkezi G2(9, 8)
İki doğru Parçasından Meydana Gelen Sistemin
Sistemin ağırlık merkezi,
Denge Noktası:
⎛ 3 ⋅ 10 + 9 ⋅ 6 4 ⋅ 10 + 8 ⋅ 6 ⎞
G⎜
,
⎟
10 + 6 ⎠
⎝ 10 + 6
⎛ 84 88 ⎞
G⎜ ,
⎟
⎝ 16 16 ⎠
Uzunluğu m1, ağırlık merkezi G1(x1, y1), uzunluğu
m2, ağırlık merkezi G2(x2, y2) olan iki doğru parça-
Koordinatların toplamı
sının meydana getirdiği sistemin ağırlık merkezi G
84 88 43
+
=
16 16
4
olsun,
tür.
⎛ x ⋅ m + x 2 ⋅ m2 y1 ⋅ m1 + y 2 ⋅ m2 ⎞
,
G⎜ 1 1
⎟ dir.
m1 + m2
m1 + m2
⎝
⎠
Doğru Seçenek C
⎛ x + x 2 y1 + y 2 ⎞
Eğer, m1 = m2 ⇒ G ⎜ 1
,
⎟ dir.
2 ⎠
⎝ 2
DNA 18
Analitik düzlemde O(0, 0), A(6, 8), B(12, 8) olmak üzere, [OA] ve [AB] doğru parçaları veriliyor.
[OA] ve [AB] doğru parçalarının meydana getirdiği
sistemin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı
kaçtır?
A)
Analitik düzlemde A(–5, –1), B(–1, –1), C(2, 2), D(6, 2)
39
4
B)
D)
76
41
4
45
4
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
C)
E)
47
4
43
4
olmak üzere, [AB] ve [CD] doğru parçaları veriliyor.
[AB] ve [CD] doğru parçalarının meydana getirdiği sistemin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Doğrunun Analitiği - Bölüm 04
Alan ve Ağırlık Merkezi
Uyarı
DNA 19
Analitik düzlemde O(0, 0), A(6, 8), B(15, 8) olmak
[AB] ∪ [BC] ∪ [CA] sistemi ABC üçgenidir. Üçgenin
üzere, [OA], [AB] ve [BO] doğru parçalarının mey-
ağırlık merkezi kenarortayların kesiştiği nokta değildir.
dana getirdiği AOB üçgeninin ağırlık merkezinin
koordinatları toplamı kaçtır?
A) 11
B) 12
C) 13
Üçgenin ağırlık merkezinin geometrik yorumları;
D) 14
E) 15
A
K
D
E
G
M
Çözüm
F
B L
y
G2 21 ,8
A(6,8) 2
B(15,8)
G
G1(3,4)
C
Üçgenin ağırlık merkezi, kenar orta noktalarını köşe kabul eden üçgenin iç açıortaylarının kesiştiği noktadır.
G noktası, DEF üçgeninin iç teğet çemberinin merke-
G3 15 ,4
2
x
O(0,0)
zidir.
[KF], [LE] ve [MD] doğru parçaları üçgenin çevresini iki
2
2
| OA |= 6 + 8 = 10 br
ve [OA] nın ağırlık merkezi G1(3, 4)
eşit parçaya böler.
Üçgen ile üçgensel bölge farklı şekillerdir. Üçgensel
|AB| = |15 – 6| = 9 br
bölge iç noktaları dahil edilmiş üçgendir. Yani içi dolu
bir bölgedir. Üçgensel bölgenin ağırlık merkezi kenaror-
⎛ 21 ⎞
ve [AB] nin ağırlık merkezi G2 ⎜ , 8 ⎟
⎝ 2 ⎠
taylarının kesiştiği noktadır.
| BO |= 82 + 152 = 17 br
⎛ 15 ⎞
ve [BO] nın ağırlık merkezi G3 ⎜ , 4 ⎟
⎝ 2 ⎠
Sistemin (AOB üçgeninin) ağırlık merkezi,
21
15
⎞
⎛
⎜ 3 ⋅ 10 + 2 ⋅ 9 + 2 ⋅ 17 4 ⋅ 10 + 8 ⋅ 9 + 4 ⋅ 17 ⎟
,
G⎜
⎟
10 + 9 + 17
10 + 9 + 17
⎠
⎝
G(7, 5)
Koordinatlarının toplamı 7 + 5 = 12 dir.
Analitik düzlemde O(0, 0), A(6, 0) ve B(0, 8) noktalarını
köşe kabul eden üçgenin ağırlık merkezinin koordi-
Doğru Seçenek B
natlarının toplamı kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 7
77
Alan ve Ağırlık Merkezi
Doğrunun Analitiği - Bölüm 04
Çözüm
Bir üçgensel bölgenin ağırlık merkezi kenarortayla-
AOB üçgensel bölgesinin ağırlık merkezi,
rının kesişim noktasıdır.
⎛ 0 + 6 + 15 0 + 8 + 1 ⎞
G⎜
,
⎟
3
3
⎝
⎠
A1(x1, y1)
G(7, 3)
Koordinatlarının toplamı 7 + 3 = 10 dur.
Doğru Seçenek A
G
A3(x3, y3)
A2(x2, y2)
Köşeleri A1(x1, y1), A2(x2, y2), A3(x3, y3) olan ABC
üçgensel bölgesinin ağırlık merkezi,
⎛ x + x 2 + x3 y1 + y 2 + y3 ⎞
,
G⎜ 1
⎟
3
3
⎠
⎝
Kenarortay üçgenin alanını iki eşit parçaya ayırır.
Analitik düzlemde O(0, 0), A(6, 8), B(–3, –2) noktalarını köşe kabul eden AOB üçgensel bölgesinin ağırlık
merkezinin koordinatları toplamı kaçtır?
Üçgensel bölgenin ağırlığı alanıdır.
Ağırlığı s1, ağırlık merkezi G1(x1,y1), ağırlığı s2,
A) 0
B) 1
D) 3
C) 2
E) 4
ağırlık merkezi G2(x2, y2) olan iki üçgensel bölgenin meydana getirdiği sistemin ağırlık merkezi G
olsun.
⎛ x ⋅ s + x 2 + s2 y1 ⋅ s1 + y 2 ⋅ s2 ⎞
G⎜ 1 1
,
⎟ dir.
s1 + s2
s1 + s2
⎝
⎠
DNA 21
Analitik düzlemde O(0, 0), A(3, 6), B(6, 0) ve
⎛ x + x 2 y1 + y 2 ⎞
Eğer, s1 = s2 ⇒ G ⎜ 1
,
⎟ dir.
2 ⎠
⎝ 2
C(0, –3) noktalarını köşe kabul eden OABC dörtgensel bölgesinin ağırlık merkezinin koordinatları
toplamı kaçtır?
A)
5
3
B) 2
7
3
C)
D)
8
3
E) 3
Çözüm
y
DNA 20
A(3,6)
Analitik düzlemde O(0, 0), A(6, 8), B(15, 1) nokta-
G1
larını köşe kabul eden AOB üçgensel bölgesinin
ağırlık merkezinin koordinatları toplamı kaçtır?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
G
O(0,0)
G2
C(0,–3)
78
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
B(6,0)
x
Doğrunun Analitiği - Bölüm 04
Alan ve Ağırlık Merkezi
Dörtgen, iki üçgenden meydana gelen sistem olduğundan
ağırlık merkezi bulunabilir.
+
s1 = Alan(OAB) =
6⋅6
= 18 br 2
2
OAB üçgensel bölgenin ağırlık merkezi;
⎛0+3+6 0+6+0⎞
G1 ⎜
,
⎟
3
3
⎝
⎠
⇒ G1(3, 2)
Analitik düzlemde O(0, 0), A(0, 6), B(12, 0) ve C(–2, –6)
noktalarını köşe kabul eden OABC dörtgensel bölgesinin ağırlık merkezinin apsisi kaçtır?
B) −
A) –1
5
3
C) −
10
3
D)
5
3
E)
10
3
dir.
+
s2 = Alan(OBC) =
6⋅3
= 9 br 2
2
Işık 15
dir.
OBC üçgensel bölgenin ağırlık merkezi;
⎛ 0 + 6 + 0 0 + 0 + ( −3) ⎞
G2 ⎜
,
⎟ ⇒ G2 (2, − 1)
3
3
⎝
⎠
Sistemin (OABC dörtgensel bölgenin) ağırlık merkezi,
⎛8 ⎞
⎛ 3 ⋅ 18 + 2 ⋅ 9 2 ⋅ 18 + ( −1) ⋅ 9 ⎞
G2 ⎜
,
⎟ ⇒ G ⎜ , 1⎟
18 + 9
⎝ 18 + 9
⎠
⎝3 ⎠
Koordinatlarının çarpımı
8
8
tür.
⋅1 =
3
3
Doğru Seçenek D
•
Bir geometrik şeklin simetri ekseni varsa, ağırlık
merkezi simetri ekseni üzerindedir.
•
Bir geometrik şeklin simetri merkezi varsa, ağırlık
merkezi simetri merkezidir.
•
Simetri merkezi olan geometrik şekillerin iç noktaları dahil edilsin ya da edilmesin ağırlık merkezi değişmez.
Paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen ve karenin köşegenlerinin kesişim noktası simetri merkezidir.
Çember, daire, kürenin merkezi simetri merkezidir. Kenar sayısı çift sayı olan düzgün çokgenlerin açıortaylarının kesiştiği nokta simetri merkezidir. Kenar sayısı tek
sayı olan düzgün çokgenlerin simetri merkezi yoktur,
fakat birden fazla simetri ekseni vardır. Tüm düzgün
çokgenlerde simetri eksenleri bir noktada kesişir. Bu
nokta düzgün çokgenin ağırlık merkezidir.
DNA 22
Işık 14
Sistemin ve sistemi meydana getiren geometrik şekille-
D
E(2,4)
Analitik düzlemde
C
rin ağırlık merkezleri doğrusaldır.
ABCD ikizkenar
Ağırlığı g1, ağırlık merkezi G1 olan geometrik şekil ile
yamuk
ağırlığı g2, ağırlık merkezi G2 olan geometrik şeklin
birlikte meydana getirdikleri sistemin ağırlığı g, ağırlık
[DC] // [AB]
A(–1,a)
B(5,b)
merkezi G ise g = g1 + g2 ve G noktası, [G1G2] doğru
parçasını
| GG1 |
=
| GG2 |
g2
oranında bölen noktadır.
g1
Verilen sistemler ağırlık merkezi bulunabilen geometrik
şekillere parçalanarak sistemin ağırlık merkezi bulunur.
|AD| = |BC|
|DE| = |EC|
A(–1, a), B(5, b), E(2, 4)
Yukarıdaki verilenlere göre, ABCD dörtgensel bölgenin ağırlık merkezinin apsisi kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 2
79
Alan ve Ağırlık Merkezi
Doğrunun Analitiği - Bölüm 04
Çözüm
Çözüm
EK
D
E(2,4)
C
doğrusu,
ikizkenar
ABCD
yamuğunun
A(–1, 0), B(2, 3), C(a, 4) noktaları doğrusal olduğundan
ordinatlara göre B noktası A ile C arasındadır.
simetri ekseni olduğunA(–1,0)
dan ABCD dörtgensel
bölgenin ağırlık merkezi
A(–1,a)
K
B(5,b)
EK doğrusu üzerindedir.
B(2,3)
C(a,4)
[AB] ∪ [BC] nin ağırlık merkezi ile [AC] nın ağırlık merkezi
aynı olacağından a değerinin bulunması gerekir.
[AB] doğru parçasının orta noktası olan K noktasının apsisi 2, E noktasının da apsisi 2 olduğundan EK doğrusu
üzerindeki diğer tüm noktaların da apsisi 2 dir. ABCD dört-
+
A, B, C noktaları doğrusal olduğundan Alan( ABC) = 0
Yani delta tekniğinde M = N dir.
gensel bölgesinin ağırlık merkezinin apsisi 2 dir.
–1
0
2
3
0
a
4
3a
–1
0
Doğru Seçenek E
+ –4
–3
8
+
3a – 4
0
5
3a – 4 = 5 ⇒ a = 3
D
C
Analitik düzlemde
ABCD paralelkenar
A(–1, 0), C(3, 4) ise [AC] nın ağırlık merkezi
A(–1, a)
A
⎛ −1 + 3 0 + 4 ⎞
G⎜
,
⎟
2 ⎠
⎝ 2
C(5, b)
B
Yukarıdaki verilenlere göre, ABCD dörtgensel bölge-
G(1, 2) ise koordinatları toplamı 1 + 2 = 3 tür.
nin ağırlık merkezinin apsisi kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
Doğru Seçenek D
E) 2
DNA 23
Analitik düzlemde A(–1, 0), B(2, 3) ve C(a, 4) noktaları
doğrusaldır.
Analitik düzlemde A(–2, 2), B(0, 4) ve C(4, a) noktaları
Buna göre, [AB] ∪ [BC] geometrik şeklinin ağırlık
doğrusaldır.
merkezinin koordinatları toplamı kaçtır?
Buna göre, [AB] ∪ [BC] geometrik şeklinin ağırlık mer-
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
kezinin koordinatları toplamı kaçtır?
A) 2
80
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Doğrunun Analitiği - Bölüm 04
Alan ve Ağırlık Merkezi
DNA 24
Analitik düzlemde
A(2,0)
Analitik düzlemde
A(5,8)
A(2, 0)
A(5, 8), B(1, 3)
B(1,3)
C(2,5)
D(3,a)
C(2, 5), D(3, a)
B(1, 2)
B, C, D noktaları
C(2, 3)
doğrusaldır.
B(1,2)
Buna göre, ABC ile ACD üçgensel bölgelerinden
oluşan sistemin ağırlık merkezinin koordinatları
B) 8
D(3,a)
D(3, a)
B, C, D noktaları doğrusaldır.
Buna göre, ABC ile ACD üçgensel bölgelerinden oluşan sistemin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı
toplamı kaçtır?
A) 9
C(2,3)
C) 7
D) 6
E) 5
kaçtır?
A) 6
C) 4
B) 5
D) 3
E) 2
DNA 25
Analitik düzlemde,
Çözüm
[AB] doğru parçasının ağırlık merkezi G1(2, a)
[CD] doğru parçasının ağırlık merkezi G2(0, b) ve
B(1, 3), C(2, 5), D(3, a) noktaları doğrusal olduğundan,
+
1
3
2
5
6
3
a
5
15
1
3
2a
a
Yukarıdaki verilenlere göre,
+
a + 21
[AB] ∪ [CD] sisteminin ağırlık merkezi G(1, c) dir.
A)
B) 2
5
D)
9
| AB |
oranı kaçtır?
| CD |
C)
3
E) 1
2
2a + 14
Çözüm
a + 21 = 2a + 14 ⇒ a = 7
ABC ile ACD üçgensel bölgelerinin oluşturduğu sistem
G1(2,a)
G(1,c)
G2(0,b)
ABD üçgensel bölgesi olduğundan ağırlık merkezi,
⎛ 5 + 1+ 3 8 + 3 + 7 ⎞
G⎜
,
⎟
3
3
⎝
⎠
G(3, 6) ise koordinatları toplamı 3 + 6 = 9 dur.
| AB | | GG2 | | 1 − 0 |
=
=
=1
| CD | | GG1 | | 1 − 2 |
dir.
Doğrusal noktaların aralarındaki uzaklığın oranının, eksenler üzerindeki izdüşümlerinin oranına eşit olduğunu
Doğru Seçenek A
hatırlayınız.
Doğru Seçenek E
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
81
Alan ve Ağırlık Merkezi
Doğrunun Analitiği - Bölüm 04
A(0, 1), C(4, 3) olduğundan
⎛ 0 + 4 1+ 3 ⎞
G⎜
,
⎟ ⇒ G(2, 2)
2 ⎠
⎝ 2
Analitik düzlemde,
olduğundan koordinatları farkı 0 dır.
[AB] doğru parçasının ağırlık merkezi G1(0, a)
Doğru Seçenek D
[CD] doğru parçasının ağırlık merkezi G2(3, b) ve
[AB] ∪ [CD] sisteminin ağırlık merkezi G(1, c) dir.
Yukarıdaki verilenlere göre,
A)
| AB |
oranı kaçtır?
| CD |
B) 2
5
D)
C)
3
Analitik düzlemde
y
ABCD kare
E) 1
2
D
A(0, 2) ve B(3, 0)
C
A
x
B
O
DNA 26
Yukarıda verilenlere göre, ABCD dörtgeninin ağırlık
Analitik düzlemde
y
ABCD kare
D
merkezinin koordinatları toplamı kaçtır?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
A(0, 1) ve B(3, 0)
C
A
x
B
O
DNA 27
Yukarıda verilenlere göre, ABCD dörtgeninin ağır-
D
lık merkezinin koordinatları farkı kaçtır?
A) 0,5
B) 0,4
C) 0,2
D) 0
Analitik düzlemde
C
ABCD kare
E) –1
A
B
E
[AE] ⊥ [BC]
|BE| = 4|AB| ve
Çözüm
A noktasının apsisi 0, E noktasının apsisi 10 dur.
[CH] ⊥ Ox
y
|AO| = 1
D
|BO| = 3 birim
G
A
1
O
C(4,3)
AOB ile BHC üçgenleri eş
3
3
B1 H
x
Yukarıda verilenlere göre, kare ve [BE] doğru parçasından oluşan sistemin ağırlık merkezinin apsisi kaçtır?
A) 2
B) 2,5
C) 3
D) 3,5
olduğundan,
Çözüm
C noktasının apsisi 3 + 1 = 4, ordinatı 3 tür.
Karenin ağırlık merkezi köşegenlerin kesişim noktası olan
D
G1
simetri merkezi olacağından,
[AC] doğru parçasının orta noktası karenin ağırlık merkezidir.
82
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
|OE| = 10 br
C
|AB| = 2 br
G
A
H
B
G2
E
|BE| = 8 br dir.
E) 4
Doğrunun Analitiği - Bölüm 04
Alan ve Ağırlık Merkezi
Kare tanımı gereği iç noktaları dahil olmayan şekildir. Karenin ağırlık merkezinin apsisi
Çözüm
0+2
= 1 , [BE] nın ağırlık
2
K
2 + 10
= 6 dır.
merkezinin apsisi
2
G2
L
A
[BE] nin ağırlığı karenin ağırlığına eşit olduğundan siste-
B
min ağırlık merkezi [G1G2] doğru parçasının orta noktasıdır. G nin apsisi
N
G1
6 +1
= 3, 5 tur.
2
M
Doğru Seçenek D
B noktasını orijin seçelim,
B(0, 0), M(3, –4), N(7, 0)
⎛ 0 + 3 + 7 0 + ( −4) + 0 ⎞
⇒ G1 ⎜
,
⎟
3
3
⎝
⎠
D
C
Analitik düzlemde
G1 noktasının koordinatları toplamı 2
ABCD kare
A(–5, 2), K(–3, 6), L(0, 3)
[AE] ⊥ [AE]
A
B
E
⎛ −5 − 3 + 0 2 + 6 + 3 ⎞
,
⇒ G2 ⎜
⎟
3
3
⎝
⎠
|BE| = 4|AB| ve
A noktasının apsisi 0, E noktasının apsisi 15 tir.
Yukarıda verilenlere göre, kare ve [BE] doğru parçasından oluşan sistemin ağırlık merkezinin apsisi kaçtır?
A)
21
4
B) 7
C)
21
2
G2 noktasının koordinatları toplamı 1 dir.
G1 noktasının koordinatları toplamı, G2 noktasının koordinatları toplamından 1 fazladır.
Doğru Seçenek A
D) 21
E) 14
DNA 28
Analitik düzlemin bir
parçası olan yandaki
A
Analitik düzlemin bir par-
şekil birim karelerden
çası olan yandaki şekil
oluşmakta ve üçgen-
B
lerin köşeleri, karelerin
köşeleri üzerindedir.
A
birim karelerden oluş-
B
makta ve üçgenlerin köşeleri, karelerin köşeleri
üzerindedir.
(Bir karenin yatay kenarları x eksenine, düşey kenarları y eksenine paraleldir.)
(Bir karenin yatay kenarları x eksenine, düşey kenarları
Yukarıda verilenlere göre, bir köşesi B olan üçgensel bölgenin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı, bir köşesi A olan üçgensel bölgenin ağırlık
merkezinin koordinatları toplamından kaç fazladır?
A) 1
y eksenine paraleldir.)
Yukarıda verilenlere göre, bir köşesi A olan üçgensel
bölgenin ağırlık merkezinin koordinatları toplamı, bir
köşesi B olan üçgensel bölgenin ağırlık merkezinin
koordinatları toplamından kaç fazladır?
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 5
83
Alan ve Ağırlık Merkezi
Doğrunun Analitiği - Bölüm 04
5.
TEST - 1
Analitik düzlemde
y
D(3,3)
1.
A(1, 0)
C(5,3)
B(5, 0)
Analitik düzlemde
y
A(0, 5)
A(0,5)
O
B(3, 0)
B(3,0)
x
C(7,0)
A) 6
Yukarıdaki verilenlere göre, ABC üçgeninin alanı
kaç birim karedir?
A) 25
B) 24
C) 20
D) 15
B) 8
D(3, 3)
C) 9
D) 10
B(4,5)
A(2,3)
[AC] ∩ [OB] = {K}
C(4,4)
K
A(2, 3)
[AB] ⊥ [AC]
B(4, 5)
A
A(0, 6)
B
O
C
x
B) 42
C) 48
D) 51
+
A) 0
B) 12
C) 13
D) 14
84
1
2
C) 1
D)
3
2
E) 2
A(2, –4), B(3, 3), C(–2, 2), D(–3, 2)
Yukarıdaki verilere göre, ABCD dörtgeninin alanı
kaç br2 dir?
A) 20
B) 18
C) 16
D) 14
E) 12
E) 15
8.
4.
B)
E) 54
Analitik düzlemde köşeleri A(2, 1), B(–2, 4) ve
C(–2, –3) olan ABC üçgeninin alanı kaç birim karedir?
A) 10
+
farkı kaç birim karedir?
br2
8.
3.
C(4, 4)
Yukarıdaki verilere göre, Alan(AOK) − Alan(KBC)
Yukarıdaki verilenlere göre, Alan(ABC) kaç
dir?
A) 39
x
O
C(9, 0)
+
E) 12
Analitik düzlemde
y
Analitik düzlemde
y
C(5, 3)
x
E) 10
6.
2.
B
5
Yukarıdaki verilenlere göre, Alan(ABCD) kaç br2
dir?
C(7, 0)
O
A
1
Analitik düzlemde köşeleri O(0, 0), A(4, 4), B(4, 5),
C(2, 3) olan OABC dörtgeninin alanı kaç br2 dir?
Ardışık köşeleri A(3, 3), B(4, –4), C(–2, 2) ve
D(0, 2) olan ABCD dörtgensel bölgesinin alanı
kaç birim karedir?
A) 2
A) 16
B) 3
C) 4
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
D) 5
E) 6
B) 17
C) 18
D) 19
E) 20
Doğrunun Analitiği - Bölüm 04
9.
Alan ve Ağırlık Merkezi
Ardışık köşeleri A(1, 3), B(4, 4), C(3, 1) ve D olan
ABCD dörtgeni paralelkenardır.
13.
A(–1, 2), B(3, 1) ve x ekseni üzerinde bir C noktası
veriliyor. A, B ve C noktaları doğrusaldır.
Yukarıdaki verilere göre, ABCD paralelkenarının
alanı kaç birim karedir?
Yukarıdaki verilenlere göre, C noktasının apsisi
kaçtır?
A) 12
A) 0
B) 8
10.
C) 6
D) 4
E) 2
B)
5
3
C) 2
D) 5
E) 7
D, E, F noktaları ABC
A
üçgeninin kenar orta
D
noktalarıdır.
E
14.
D(0, 0)
B
Her b ∈ R için A, B, C noktaları doğrusal olduğuna göre, a kaçtır?
C E(–1, 1)
F
A(–2, 3), B(–3, a), C(b, 3) noktaları veriliyor.
F(–2, –2)
A) –3
B) –2
C) 0
D) 2
E) 3
Yukarıdaki verilenlere göre, ABC üçgeninin alanı
kaç birim karedir?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 16
15.
11.
OABC
y
dörtgeninin
alanı 9 birim karedir.
C(1,3)
B(3,3)
A(a, b + c), B(b, a + c), C(c, x) noktaları doğrusal
olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) a
B(3, 3)
B) a + b
D) b – a
C(1, 3)
x
A
O
C) a + b + c
E) 2a – b
A noktası x ekseninin
pozitif tarafındadır.
Yukarıdaki verilenlere göre, A noktasının apsisi
kaçtır?
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
16.
[BA] ⊥ [AC]
y
A
|DB| = |EC|
|AD| + |AE| = b – a br
D
12.
a ≠ 0 olmak üzere,
E
O
B(a,0)
C(b,0)
+
Köşeleri A(a, a), B(3, 4), C(6, 0) olan ABC üçgeninin
alanı 12 birim karedir.
Yukarıdaki verilenlere göre,
Yukarıdaki verilenlere göre, a kaçtır?
kaçtır?
A)
48
7
B)
36
7
C)
24
7
D)
18
7
E)
9
7
x
A)
1
3
B)
1
3
C)
1
2
Alan( ADE) oranı
Alan(DBCE)
D)
1
2
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 1
85
Alan ve Ağırlık Merkezi
17.
Doğrunun Analitiği - Bölüm 04
Analitik düzlemde uç noktalarının koordinatları
(–2, 7) ve (6, –1) olan doğru parçasının ağırlık
merkezinin koordinatları nedir?
A) (2, 4)
B) (4, 3)
21.
A
E
C) (2, 3)
D) (3, 4)
F
7 , 19
2 2
E) (3, 2)
B(2,–1)
D
C
Analitik düzlemde
18.
D
F, ABC üçgensel bölgesinin ağırlık merkezi
C(–1,2)
⎛ 7 19 ⎞
B(2, –1), E ⎜ , ⎟
⎝2 2 ⎠
A(–3,4)
Yukarıdaki verilenlere göre, F noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
B
ABCD paralelkenar
A) 18
B) 15
C) 14
D) 9
E) 6
A(–3, 4), C(–1, 2)
Yukarıdaki verilenlere göre, ABCD dörtgensel
bölgesinin ağırlık merkezinin koordinatları çarpımı kaçtır?
A) –6
B) –8
C) –10
D) –12
22.
E) –14
E
A(3,–2)
D
ABCD
paralelkenar
F
[BD] ∩ [CE] = {F}
19.
B(0,–5)
Analitik düzlemde A(–7, –3), C(3, 5) noktaları veriliyor. AC doğru parçasını köşegen kabul eden ABCD
dörtgeni paralelkenardır.
Yukarıdaki verilenlere göre, F noktasının koordinatları çarpımı kaçtır?
Yukarıdaki verilenlere göre, ABCD dörtgeninin
ağırlık merkezinin koordinatları nedir?
A) (–2, 1)
B) (5, 4)
B) (2, 1)
C) (1, 3)
D) (2, –1)
1.E
86
2.A
3.D
4.B
5.C
B) –3
C) 0
D) 1
E) 2
E) (1, 0)
Köşeleri A(6, 1), B(0, –5) ve C(0, 7) olan ABC üçgensel bölgesinin ağırlık merkezinin koordinatları nedir?
A) (1, 2)
A) –4
C) (4, 5)
D) (1, –2)
20.
|AE| = |ED|
C(0,1)
E) (–1, 3)
6.A
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
7.A
8.B
23.
Köşeleri A(0, 10), B(1, 2) ve C(4, –2) olan ABC üçgensel bölgesinin ağırlık merkezi G noktasıdır.
Yukarıdaki verilenlere göre, G noktasının BC
doğrusuna uzaklığı kaç birimdir?
A) 1
B)
4
3
C)
5
3
D) 2
E)
7
3
9.B 10.C 11.E 12.A 13.E 14.E 15.B 16.E 17.E 18.A 19.D 20.B 21.C 22.A 23.B
DOĞRUNUN ANALİTİĞİ - BÖLÜM 05
EĞİM
Hatırlatma
Hatırlatma
Tanjant Oranı:
Özel Açıların Tanjant Oranı:
A
q
B
b
C
a
α + θ = 180°
α + β = 90°
Karşı dik kenar uzunluğu
tanα =
120°
l) = β
m( A
) = α
m(B
a
A
l ) = 90°
m(C
b
c
ABC dik üçgeninde
Komşu dik kenar uzunluğu
b
tanα =
a
A
2
1
135°
150°
30°
B
C
3
B
45°
1
C
1
1
tan0° = 0
tan30° =
tan45° = 1
tan60° = 3
3
tan90° = Tanımsız
tan β = tan(90° − α ) =
a
b
tan120° = − tan 60° = − 3
b
a
Dar açının tanjantı pozitif, geniş açının tanjantı netan θ = tan(180° − α ) = − tan α = −
tan135° = –tan45° = –1
tan150° = − tan 30° = −
gatiftir.
a
2a
a
b
ab
45°
60°
2
a
tan(α + β) =
tan 2α =
tan α + tan β
1 − tan α ⋅ tan β
1
3
tan180° = –tan0° = 0
2 ⋅ tan α
1 − tan2 α
tan(–β) = –tanβ
tan(α − β) =
tan α − tan β
1 + tan α ⋅ tan β
DNA 1
Analitik düzlemde
y
ABC üçgen
1 A
B
–2
C
3
O
A(0, 1)
x
B(–2, 0)
C(3, 0)
Yukarıdaki verilenlere göre, BAC açısının ölçüsü
kaç derecedir?
A) 90
B) 115
D) 135
C) 120
E) 145
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
87
Eğim
Doğrunun Analitiği - Bölüm 05
Çözüm
DNA 2
y
B
–2
n) = α
m(BAO
1 A
a b
O
Analitik düzlemde
y
n ) = β olsun,
m(OAC
C
3
x
A(1,3)
n) = α + β
m(BAC
B(–5, –1)
x
O
2
tanα = = 2 (Koordinatlar değil, uzunluklar alınır.)
1
A(1, 3)
B(–5,–1)
Yukarıdaki verilenlere göre, [AB] doğru parçası
tanβ =
3
=3
1
ile Ox ekseni arasında kalan dar açının tanjantı
kaçtır?
tan α + tan β
2+3
tan(α + β) =
⇒ tan(α + β) =
1 − tan α ⋅ tan β
1− 2 ⋅ 3
A)
1
3
B)
2
3
C) 1
D)
4
3
E)
5
3
tan(α + β) = –1 ⇒ α + β = 135°
Doğru Seçenek D
Çözüm
y
tanα =
A(1,3)
3
a
a
B(–5,–1)
5
O
1
=
4
6
=
2
3
x
1
3 +1
5 +1
Doğru Seçenek B
Analitik düzlemde
y
ABC üçgen
1 A
B
–1
C
O
3
Hatırlatma
Yönlü Açı:
A(0, 1)
x
Bitiþ kenarý
Baþlangýç kenarý
B(–1, 0)
C( 3, 0)
Yukarıdaki verilenlere göre, BAC açısının ölçüsü kaç
derecedir?
B) 105
A) 90
D) 135
88
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
C) 120
E) 145
+a
–a
Baþlangýç kenarý
Bitiþ kenarý
Saat yönünde alınan açılar negatif, saatin ters yönünde alınan açılar pozitif kabul edilmiştir.
Doğrunun Analitiği - Bölüm 05
Eğim
d
a
Analitik düzlemde
y
A(1, 3)
A(1,3)
c) α = 90° ise m = tan90° tanımsız olduğundan, d doğ-
B(–5, –1)
rusunun eğimi yoktur denir.
x
O
x
a
B(–5,–1)
y ekseninin ve x eksenine dik olan diğer doğruların
Yukarıdaki verilenlere göre, [AB] doğru parçası ile Ox
eğimi yoktur.
d
ekseni arasında kalan geniş açının tanjantı kaçtır?
A)
1
3
B)
2
3
C) 1
D) −
2
3
E) −
1
3
a = 90°
x
d) α = 0° ise m = tan0° = 0 dır. d doğrusu x eksenine
paraleldir.
x ekseninin ve x eksenine paralel olan diğer doğruların eğimi sıfırdır.
TANIM
d
Eğim Açısı ve Eğim:
x
Analitik düzlemde başlangıç kenarı x ekseni, bitiş kenarı
bir d doğrusu üzerinde, ölçüsü [0°, 180°) aralığında olan
pozitif yönlü açıya d doğrusunun eğim açısı, eğim açısının tanjantına da d doğrusunun eğimi denir.
d doğrusunun eğim açısı α ise, bu doğrunun eğimi
m = tanα dır.
DNA 3
0° ≤ α < 180° ve –∞ < m < +∞
Analitik düzlemde
y
Uyarı
ABC açısının ölçüsü
A
Eğimin y ekseniyle bir ilgisinin olmadığına dikkat ediniz.
120°
120 derecedir.
C
kaçtır?
d
a
O
B
Yukarıdaki verilenlere göre, AB doğrusunun eğimi
a) 0° < α < 90° ise m = tanα > 0
a
x
A)
B)
3
x
D) −
1
3
1
C) 1
3
E) − 3
b) 90° < α < 180° ise m = tanα < 0
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
89
Eğim
Doğrunun Analitiği - Bölüm 05
Çözüm
Çözüm
a
A
x
O
B
120°
y
AB doğrusunun eğim açısı
α olsun,
y
ABO üçgeninin dış açılarının ölçüleri toplamından
C
d doğrusunun eğim açısı α
d
olsun,
a
Oa 4
x
–12
m = tanα =
tür.
α + 90° + 120° = 360°
⇒ α = 150°
m = tan150° = − tan 30° = −
12
=3
4
Doğru Seçenek A
1
3
tür.
Doğru Seçenek D
Uyarı
y
A
120°
x
O
B
Analitik düzlemde
Analitik düzlemde koordinatların işaretlerinin oranının
ABC açısının ölçüsü
eğimin işaretiyle bir ilgisi yoktur.
120 derecedir.
Eğimin işareti, doğrunun x ekseniyle pozitif yönde yap-
C
tığı açının dar veya geniş açı olup olmadığıyla ilgilidir.
Yukarıdaki verilenlere göre, AB doğrusunun eğim açısı kaç derecedir?
A) 90
B) 115
C) 120
E) 150
D) 135
DNA 4
y
O
d
90
Analitik düzlemde d doğrusu
d
eksenleri (3, 0) ve (0, –12) nok-
eksenleri (4, 0) ve (0, –12)
x
4
noktalarında kesiyor.
O
Buna göre, d doğrusunun
–12
A) 3
y
Analitik düzlemde d doğrusu
x
3
talarında kesiyor.
–12
eğimi kaçtır?
B)
1
3
C) −
1
3
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
Buna göre, d doğrusunun eğimi kaçtır?
D) –3
E) –4
A) 4
B)
1
4
C) −
1
4
D) –3
E) –4
Doğrunun Analitiği - Bölüm 05
Eğim
Uyarı
Hazine 10
İki Noktası Bilinen Doğrunun Eğimi:
Eğim hesabında, çıkarma işleminde yön önemlidir.
y
A
y1
B
y2
y1–y2
a
x1–x2
a
O
x2
x
x1
A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktalarından geçen AB doğ-
Analitik düzlemde A(1, 8) ve B(5, 4) noktalarından ge-
rusunun eğim açısının ölçüsü α ve eğimi m ise,
çen AB doğrusunun eğimi kaçtır?
A) 1
y −y
m = tanα = 1 2
x1 − x 2
B)
1
2
C) 0
D) −
1
2
E) –1
dir.
DNA 5
DNA 6
Analitik düzlemde A(–1, 8) ve B(5, –4) noktaların-
Analitik düzlemde A(–5, –2), B(2, 5) ve C(k, 9) nok-
dan geçen AB doğrusunun eğimi kaçtır?
taları doğrusal olduğuna göre, k kaçtır?
A) 3
B) 2
C)
1
2
D) −
1
2
E) –2
A) 3
B) 4
C) 6
D) 7
E) 8
Çözüm
Çözüm
y ler farký 12
A(–1, 8)
B(5, –4)
A, B, C noktaları doğrusal ise AB, AC ve BC doğruları çakışık olduğundan eğimleri eşit olmalıdır. Buna göre,
x ler farký –6
m=
mAB = mBC
8 − ( −4)
= −2
−1 − 5
−2 − 5 5 − 9
−4
=
⇒ 1=
⇒k =6
−5 − 2 2 − k
2−k
dir.
dır.
Doğru Seçenek E
Doğru Seçenek C
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
91
Eğim
Doğrunun Analitiği - Bölüm 05
Uyarı
mAB = mBC = mAC ⇔ A, B, C noktaları doğrusaldır .
Analitik düzlemde A(a, 6), B(4, –2) noktalarından geçen
doğrunun eğimi –2 dir.
Yani, AB, BC, AC doğruları çakışıktır.
Buna göre, A noktasının apsisi kaçtır?
A) –2
C) 0
B) –1
D) 1
E) 2
Analitik düzlemde A(0, –2), B(2, 2) ve C(k, 1) noktaları
doğrusal olduğuna göre, k kaçtır?
B) 1,5
A) 1
C) 2
D) 2,5
DNA 8
E) 3,5
y
d
6
O
Analitik düzlemde A(6, 1) ve B(–3, –2) noktaları d doğ-
Analitik düzlemde A(a, 8), B(4, 10) noktalarından ge-
rusunun üzerindedir.
çen doğrunun eğimi –2 dir.
Buna göre, d doğrusunun eğimi kaçtır?
Buna göre, A noktasının apsisi kaçtır?
A) 6
A) –2
B) –1
x
–2
B
DNA 7
A
1
–3
C) 3
D) 4
B)
1
3
C) −
1
3
D) –3
E) –6
E) 5
Çözüm
Çözüm
mAB = –2
8 − 10
= −2 ⇒ a − 4 = 1 ⇒ a = 5
a−4
tir.
m=
1 − ( −2) 3 1
= =
6 − ( −3) 9 3
tür.
Doğru Seçenek E
92
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
Doğru Seçenek B
Doğrunun Analitiği - Bölüm 05
Eğim
y
Analitik düzlemde
y
A(–4, 3) ve B(2, –3)
A
A
1
–4
d
5
O
olmak üzere [AB] doğ-
3
ru parçası veriliyor.
2
O
–4
x
x
–2
B
–3
B
Analitik düzlemde A(5, 1) ve B(–4, –2) noktaları d doğrusunun üzerindedir.
Buna göre, AB doğrusunun eğim açısı kaç derecedir?
Buna göre, d doğrusunun eğimi kaçtır?
A) 30
A) 6
B)
1
3
C) −
1
3
D) –3
B) 45
C) 120
D) 135
E) 150
E) –6
DNA 10
Analitik düzlemde AB
y
DNA 9
doğrusunun eğim açısı
A
Analitik düzlem-
y
3
O
–12
–9
üzere [AB] doğru
x
parçası veriliyor.
|AB| = 24 birim
B
B(3, –9) olmak
6
Yukarıdaki verilenlere göre, A noktasının apsisi
kaçtır?
A) −12 3
B
150°
24
de A(–12, 6) ve
A
x
O
B) −12 2
D) −9 3
C) –12
E) −6 2
Buna göre, AB doğrusunun eğim açısı kaç derecedir?
A) 30
B) 45
D) 135
C) 120
Çözüm
E) 150
AOB, 30°-60°-90° üçgeni
y
Çözüm
olduğundan,
A
AB doğrusunun eğim açısı α olsun,
dir.
150°
6 − ( −9)
m = tan α =
= −1 ⇒ α = 135°
−12 − 3
Doğru Seçenek D
12 3
30°
24
O
x
12
B
|OB| = 12 birim ve
|AO| = 12 3 birimdir.
Şekle göre, A noktasının
apsisi −12 3 tür.
Doğru Seçenek A
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
93
Eğim
Doğrunun Analitiği - Bölüm 05
AB doğrusunun eğimi 1 den büyük olduğundan,
n ) > 45°
m( ABO
Analitik düzlemde AB doğ-
y
dir.
rusunun eğim açısı 120°
A
O
Buna göre,
|AB| = 24 birim
x
n ) = 75°, m( AOB
n ) = 15°
m( ABO
24
B
dir.
Yukarıdaki verilenlere göre, A noktasının apsisi kaç-
AO doğrusunun eğim açısı 180° – 15° = 165° dir.
Doğru Seçenek E
tır?
A) −12 3
C) –12
B) −12 2
D) −9 3
E) −6 2
Analitik düzlemde
y
A
[AB] ⊥ [BO]
B
DNA 11
A noktasının ordinatı 4
Analitik düzlemde
y
[AB] ⊥ [AO]
A
B
x
O
x
O
B noktasının apsisi 1
AB doğrusunun eğimi –1 den küçüktür.
A noktasının ordi-
Yukarıdaki verilenlere göre, AB doğrusunun eğim açı-
natı 3
sı kaç derecedir?
B noktasının apsisi
A) 105
B) 120
C) 135
D) 150
E) 165
–12
AB doğrusunun eğimi 1 den büyüktür.
Yukarıdaki verilenlere göre, AO doğrusunun eğim
açısı kaç derecedir?
A) 105
B) 120
D) 150
C) 135
E) 165
Işık 16
İki Doğrunun Paralellik Şartı:
d1
Çözüm
|AH| = 3 birim
y
a
d2
a
x
|BO| = 12 birim
A
|BO| = 4|AH| olduğun-
3
75°
B
H
15°
12
94
dan
165°
O
x
Eğim açıları eşit olan doğrular birbirine paraleldir.
Eğimi olmayan doğrular da birbirine paraleldir.
ABO dik üçgeni
15°-75°-90° üçgenidir.
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
d1 // d2 ⇔ m1 = m2
Doğrunun Analitiği - Bölüm 05
Eğim
DNA 12
y
A
O
x
B
AO doğrusunun eği1
mi − ,
2
O
x
B
açısı kaç derecedir?
C) 45
D) 30
AO doğrusunun eği1
mi − ,
3
A(k, 1)
B(12, 0)
Yukarıdaki verilenlere göre, AC doğrusunun eğim
B) 60
A
A(k, 2)
B(12, 0)
A) 75
[AO] // [CB]
C
[AO] // [CB]
C
Analitik düzlemde
y
Analitik düzlemde
E) 15
Yukarıdaki verilenlere göre, AC doğrusunun eğim açısı kaç derecedir?
A) 75
B) 60
C) 45
D) 30
E) 15
Çözüm
C(0, a) olsun
y
AO // CB ise
6 C(0,a)
A(k,2)
k
mAO = mCB
H
2
O
B(12,0)
x
−
1 a−0
=
2 0 − 12
a = 6 ⇒ |CH| = |6 – 2| = 4 birim
dir.
Uyarı
Orijinden ve A(x, y) noktasından geçen doğrunun eğimi
mAO =
y
tir.
x
Eğimleri eşit olan doğruların x ekseniyle yaptığı dar açılar eşittir.
A(k, 2), O(0, 0) noktaları için,
mAO =
A(a, b), B(a, c) için AB // d ise d doğrusu üzerindeki tüm
2−0
1
=−
k −0
2
noktaların apsisleri eşittir.
A(a, b), B(c, b) için AB // d ise d doğrusu üzerindeki tüm
k = –4
noktaların ordinatları eşittir.
|AH| = 4 birim
Buna göre, AHC ikizkenar dik üçgendir. CAH açısının ölçüsü 45° olduğundan AC doğrusunun eğim açısı 45° dir.
Doğru Seçenek C
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
95
Eğim
Doğrunun Analitiği - Bölüm 05
Hazine 11
Çözüm
Eğimi Bilinen İki Doğru Arasındaki Dar Açının
Tanjantı:
d2
Doğrular arasındaki açı θ ise
1 ⎛ 1⎞
5
− ⎜− ⎟
2 ⎝ 3⎠
6
=
=
tanθ =
1
1 ⎛ 1⎞
1−
1+ ⋅ ⎜ − ⎟
6
2 ⎝ 3⎠
d1
q
b
a
x
m2
m1
5
6
5
6
=1
dir.
d1 doğrusu için, m1 = tanα ve d2 doğrusu için
m2 = tanβ olsun, θ = β – α eşitliğinin her iki tarafının
tanjantı alınıp düzenlenirse
tanθ = 1
θ = 45° dir.
tanθ = tan( β – α)
Doğru Seçenek C
tan β − tan α
tan θ =
1 + tan β ⋅ tan α
tanθ =
m2 − m1
1 + m2 ⋅ m1
m2 − m1
işleminin sonucu pozitif ise θ dar açı,
1 + m2 ⋅ m1
negatif ise θ geniş açıdır.
Eğimleri m1 ve m2 olan doğrular arasındaki dar açı
θ ise tanθ =
m1 − m2
1 + m1 ⋅ m2
Eğimi
1
1
ve − olan doğrular arasındaki geniş açının
3
2
ölçüsü kaç derecedir?
A) 150
DNA 13
Eğimi
1
1
ve − olan doğrular arasındaki dar açı3
2
96
B) 60
C) 120
D) 105
E) 90
DNA 14
C) 45
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
Eğimi 1 ve −
1
3
olan doğrular arasındaki geniş
açının ölçüsü kaç derecedir?
nın ölçüsü kaç derecedir?
A) 75
B) 135
D) 30
E) 15
A) 105
B) 120
C) 135
D) 150
E) 165
Doğrunun Analitiği - Bölüm 05
Eğim
Çözüm
Çözüm
d2
d1
AB ile AO doğruları arasında kalan A açısının tanjantı,
q
150°
45°
m1 = 1
m2 = –
⎛ 3⎞
3 − ⎜− ⎟
⎝ 4⎠ =3
tan A =
⎛ 3⎞
1+ 3 ⋅ ⎜ − ⎟
⎝ 4⎠
x
1
3
tür.
Doğrular arasındaki açı θ ise
mAB = 3
θ = 150° – 45° = 105°
l ) = m( ABO
n)
m( A
dir.
|AO| = |BO| = 5 br
Doğru Seçenek A
dir.
Doğru Seçenek D
15°-75°-22,5°-67,5° gibi açıların tanjant değerlerini
ezbere bilmiyorsanız, iki doğru arasındaki açının tanjant formülü işinize yaramayacaktır. Bu nedenle eğimleri bilinen doğruların eğer eğim açısı bulunabiliyorsa
açıları kullanmalısınız.
Eğimi 1 ve − 3 olan doğrular arasındaki dar açının
ölçüsü kaç derecedir?
A) 75
B) 60
C) 45
D) 30
Analitik düzlemde
y
E) 15
AB doğrusunun eğimi 5
A
B(–13,0)
DNA 15
O
x
AO doğrusunun eğimi
5
−
12
B noktasının apsisi –13
Yukarıdaki verilenlere göre, |AO| kaç birimdir?
Analitik düzlemde
y
AB doğrusunun eğimi 3
A
A) 13
B) 10
C) 6
D) 5
E) 4
AO doğrusunun eğimi
B(–5,0)
O
x
−
3
4
B noktasının apsisi –5
Yukarıdaki verilenlere göre, |AO| kaç birimdir?
A) 13
B) 10
C) 6
D) 5
E) 4
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
97
Eğim
Doğrunun Analitiği - Bölüm 05
DNA 16
[AH] ⊥ Ox
A
Analitik düzlemde
y
Analitik düzlemde
y
[AH] ⊥ Ox
A
A noktasının ordinatı 6
A noktasının ordinatı 2
H
B
B noktasının apsisi –5
x
O
O
H
x
B
B noktasının apsisi 13
H noktasının apsisi 4
H noktasının apsisi –4
Yukarıdaki verilenlere göre, OAB açısı kaç dereceYukarıdaki verilenlere göre, BAO açısı kaç derecedir?
dir?
A) 150
A) 90
B) 105
C) 120
D) 135
B) 135
E) 150
C) 120
E) 90
D) 105
Çözüm
|AH| = 2 birim
y
|HO| = 4 birim
A
|BO| = 5 birim
2
B 1 H
4
x
O
Hazine 12
AB doğrusunun eğimi 2,
AO
−
doğrusunun
eğimi
1
dir.
2
İki Doğrunun Diklik Şartı:
d2
d1
Eğimi m1 olan d1 ile eğimi m2 olan d2
doğrusu dik ise arasındaki açının ölçüsü 90° olacağından,
⎛ 1⎞
2 − ⎜− ⎟
⎝ 2⎠
5
n
tan(BAO) =
= 2
0
⎛ 1⎞
1+ 2 ⋅ ⎜ − ⎟
⎝ 2⎠
tan90° =
m2 − m1
⇒ 1 + m1 ⋅ m2 = 0 ⇒ m1 ⋅ m2 = −1
1 + m2 ⋅ m1
d1 ⊥ d2 ⇔ m1 ⋅ m2 = –1
tanımsız olduğundan BAO açısının ölçüsü 90° dir.
d ⊥ k için d doğrusunun eğimi yoksa k doğrusunun eğimi 0 dır. Yani, d doğrusu x eksenine dik, k doğrusu x
Doğru Seçenek A
eksenine paraleldir.
DNA 17
Hatırlatma
A
h
p
B
98
h2 = p ⋅ k
Analitik düzlemde A(a, 8), B(4, 10) noktalarından ge-
Euclid Teoremi’ni
çen doğru, eğimi −
sağlayan
k
üçgen
dik üçgendir.
C
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
1
olan d doğrusuna diktir.
2
Buna göre, A noktasının apsisi kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 3
D) 4
E) 5
Doğrunun Analitiği - Bölüm 05
Eğim
Çözüm
Çözüm
AB ⊥ d ⇔ mAB ⋅ md = –1
OH ⊥ AB olmalı
y
mAB =
mAB ⋅ mOH = –1
A(0,3)
8 − 10
a−4
H(a,b)
1
md = −
2
⎛ 3⎞ ⎛b⎞
⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = −1
⎝ 5⎠ ⎝a⎠
O
⎛ 8 − 10 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ = −1
⎜
⎝ a− 4 ⎠ ⎝ 2⎠
x
B(5,0)
a 3
orantı özelliğine göre,
=
b 5
a = 3 tür.
a+b 3+5
=
a−b 3−5
Doğru Seçenek C
⇒
a+b
8
=
= −4
a − b −2
tür.
Doğru Seçenek B
Analitik düzlemde A(a, 8), B(4, 10) noktalarından geçen
doğru, eğimi 2 olan d doğrusuna diktir.
Not
Buna göre, A noktasının apsisi kaçtır?
A) 0
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
A noktasının d doğrusuna en yakın olan noktası, A dan
d doğrusuna inilen dikmenin, d doğrusunu kestiği H noktasıdır. H noktasına dikme ayağı da denir.
A
d
H
Dikme ayaðý
DNA 18
Analitik düzlemde
y
A(0, 3)
A
B
O
x
O
noktasının,
Analitik düzlemde
y
B(5, 0)
A(0, 2)
AB
A
B(4, 0)
doğrusuna en yakın
noktası H(a, b) dir.
a +b
oranı kaçtır?
Yukarıdaki verilenlere göre,
a−b
A) –8
B) –4
C) –2
D) 0
B
O
x
O noktasının, AB doğrusuna en yakın noktası
H(a, b) dir.
Yukarıdaki verilenlere göre,
a +b
oranı kaçtır?
a−b
B) –3
D) 0
E) 4
A) –4
C) –2
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 4
99
Eğim
Doğrunun Analitiği - Bölüm 05
K noktasından d doğrusuna çizilen dikme ayağı H olsun,
TANIM
H noktası K noktası etrafında döndürüldüğünde elde edilen nokta H′ ise H′ noktasından geçen ve [KH′] yarıçapına
Döndürme:
dik olan d′ doğrusu istenen doğrudur.
Analitik düzlemde d doğrusu K noktası etrafında α kadar döndürüldüğünde d′ doğrusu elde edilsin. d doğrusu
DNA 19
düzlemin başka herhangi bir noktası etrafında da α kadar
döndürüldüğünde d′′ doğrusu elde ediliyorsa d′ // d′′ dür.
Analitik düzlemde K noktasından geçen ve eğimi − 3
A¢
B¢
a
a
A¢
A
a
d¢
A
olan d doğrusu, pozitif yönde K noktası etrafında 60°
a
B
d
K
K
döndürülüyor.
Buna göre, d doğrusunun son durumdaki eğimi
kaçtır?
1
B) −
A) − 3
C) 0
3
D) 1
E) Tanımsız
Noktanın nokta etrafında döndürülmesi; A noktasının
K noktası etrafında pozitif yönde α kadar döndürülmesi; A
Çözüm
noktasının, merkezi K ve yarıçapı [AK] olan çember üzerinde kaydırılmasıdır.
d¢
Doğrunun nokta etrafında döndürülmesi; d doğrusu-
d
60°
120°
K
60°
nun K noktası etrafında pozitif yönde α kadar döndürül-
120°
mesi; d doğrusu üzerindeki her noktanın K noktası etra-
x
fında α kadar döndürülmesidir.
m=− 3
Örneğin, yukarıdaki şekilde d üzerindeki A noktasını K
noktası etrafında döndürmek için [AK] yarıçaplı çember
⇒ Eğim açısı 120° dir. Pozitif yönde 60° döndürüldüğün-
çizilmiştir. d doğrusu üzerindeki başka bir B noktasını, K
de eğim açısı 120° + 60° = 180°
noktası etrafında döndürmek için K merkezli [BK] yarıçaplı
Yani x eksenine paralel olduğundan eğimi 0 dır.
çemberin çizilmesi gerektiğine dikkat ediniz.
Doğru Seçenek C
d doğrusu üzerindeki her nokta için farklı bir çember çizilecek olsa da dönme sonucunda elde edilen noktalar
doğrusal olacaktır.
Bu işlem uzun süreceği için pratik olarak aşağıdaki gibi bir
yöntem tercih edilir;
d doğrusu, K noktası etrafında pozitif yönde α kadar döndürülmesi için,
Analitik düzlemde K noktasından geçen ve eğimi − 3
olan d doğrusu, negatif yönde K noktası etrafında 30°
d¢
H¢
a
K
döndürülüyor.
Buna göre, d doğrusunun son durumdaki eğimi kaç-
H
tır?
d
B) −
A) − 3
D) 1
100
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
1
3
C) 0
E) Tanımsız
Doğrunun Analitiği - Bölüm 05
Eğim
DNA 20
1
olan d doğrusu, dışındaki bir
2
K noktası etrafında pozitif yönde 90° döndürülüyor.
Analitik düzlemde eğimi −
Analitik düzlemde eğimi −
1
olan d doğrusu, dışın3
daki bir K noktası etrafında pozitif yönde 90° döndü-
Buna göre, d doğrusunun son durumdaki eğimi kaç-
rülüyor.
tır?
Buna göre, d doğrusunun son durumdaki eğimi
A) –2
B) −
1
2
C) 0
D) 1
E) 2
kaçtır?
1
B) −
A) − 3
C) 0
3
D) 1
E) Tanımsız
DNA 21
Analitik düzlemde köşeleri A(0, 3), B(2, 4), C(1, 2) olan
ABC üçgeni düzlemin bir noktası etrafında 90° döndü-
Çözüm
rüldüğünde A′B′C′ üçgeni elde ediliyor.
Buna göre, A′B′C′ üçgeninin alanı kaç br2 dir?
A) 0,8
B) 1
C) 1,2
d¢
d
A¢
90°
D) 1,4
A
K
150°
60°
m=−
x
E) 1,5
Çözüm
1
Geometrik şekillerin döndürme sonucunda geometrik
3
özellikleri korunur. Yani ilk şekil ile döndürme sonunda
⇒ Eğim açısı 150° dir. d doğrusu pozitif yönde 90° döndürüldüğünde 150° + 90° = 240° olduğundan eğim açısı
elde edilen geometrik şekiller birbirine eştir. Sadece analitik düzlemdeki konumları değişir.
ABC üçgeni ile A′B′C′ üçgeni eş olduğundan,
60° dir.
m′ = tan60° =
+
tür.
d doğrusu 90° döndürüldüğünde d′ doğrusu elde edilsin,
d ile d′ arasındaki açı 90° olduğundan yani d ⊥ d′ olduğundan, bu iki doğrunun eğimleri çarpımı –1 dir.
Buna göre, m ⋅ m′ = –1 ⇒ m′ =
+
Alan( A′B′C′) = Alan( ABC)
3
3 tür.
Doğru Seçenek C
+
0
3
2
4
6
1
2
4
0
3
0
10
Alan( ABC) =
0
4
+
3
7
| 7 − 10 | 3
= = 1, 5 br 2 dir.
2
2
Doğru Seçenek E
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
101
Eğim
Doğrunun Analitiği - Bölüm 05
Analitik düzlemde köşeleri A(0, 2), B(2, 4), C(1, 0) olan
Analitik düzlemde A(1,4) noktası orijin etrafında pozitif
ABC üçgeni düzlemin bir noktası etrafında 100° döndürül-
yönde 45° döndürüldüğünde A′ noktası elde ediliyor.
düğünde A′B′C′ üçgeni elde ediliyor.
Buna göre, OA′ doğrusunun eğimi kaçtır?
Buna göre, A′B′C′ üçgeninin alanı kaç br2 dir?
A) 1
C) 3
B) 2
D) 4
A) 1
B) −
E) 5
5
3
C) −
5
2
D) −
3
5
E) –1
DNA 22
DNA 23
Analitik düzlemde A(1,4) noktası orijin etrafında pozitif
yönde 135° döndürüldüğünde A′ noktası elde ediliyor.
Analitik düzlemde d1 ile d2 doğrusu arasındaki açının
açıortaylarından birinin eğimi −
Buna göre, OA′ doğrusunun eğimi kaçtır?
A) 1
2
C) −
5
3
B)
5
3
D) −
5
dir.
E) –1
5
diğerinin eğimi m
3
Buna göre, m kaçtır?
A) −
Çözüm
5
3
B) −
3
5
C) –1
D)
3
5
E)
5
3
Çözüm
y
k1 ⊥ k2 olduğundan
k2
d1
A¢
135°
O
k1
A
1
x
4
d2
⎛ 5⎞
⎜ − ⎟ ⋅ m = −1
⎝ 3⎠
m=
3
5
Doğru Seçenek D
OA ile OA′ doğruları arasındaki açının ölçüsü 135° dir.
AO doğrusunun eğimi
1
, OA′ doğrusunun eğimi m ise,
4
1
4
tan(135°) =
1
1+ m ⋅
4
m−
−1 =
Analitik düzlemde d1 ile d2 doğrusu arasındaki açının
4m − 1
3
⇒m=−
4+m
5
açıortaylarından birinin eğimi
3
diğerinin eğimi m dir.
5
Buna göre, m kaçtır?
tir.
Doğru Seçenek D
102
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
A) −
5
3
B) −
3
5
C) –1
D)
3
5
E)
5
3
Doğrunun Analitiği - Bölüm 05
Eğim
DNA 24
DNA 25
1
ve –3 olan iki doğrunun arasında ka3
lan açının açıortaylarından birinin eğimi aşağıdaEğimleri −
B) 1
3
D)
üçgenin B köşesindeki iç açıortay doğrusu BN doğrusudur.
Buna göre, BN doğrusunun eğimi kaçtır?
kilerden hangisidir?
A) 2
Analitik düzlemde köşeleri A(1, 0), B(0, 2), C(4, 0) olan
C)
E)
3
1
2 2
A) –2
B) –1
C) 0
5
Çözüm
y
Çözüm
2
d1, m1 = –
a1
a2
1
3
Açıortay
dan birinin eğimi m
mAB = −
B
O
A
1
C
4
N
mBC = −
x
2
1
=−
4
2
α1 = α2
tanα1 = tanα2
α1 = α2
d2, m2 = –3
2
= −2
1
mBN = m olsun
a
a1 2
doğruların-
olsun,
k1
E) 2
2 3
(1996 - ÖSS)
k2
D) 1
tanα1 = tan α2
−2 − m
=
1 + ( −2 ⋅ m)
1
−m
m − ( −3)
3
=
⇒ m2 = 1
⎛ 1 ⎞ 1 + m ⋅ ( −3)
1+ ⎜ − ⋅ m ⎟
⎝ 3
⎠
−
⎛ 1⎞
m − ⎜− ⎟
⎝ 2⎠
⎛ 1⎞
1+ m ⋅ ⎜ − ⎟
⎝ 2⎠
m2 = 1
⇒ m = −1 veya m = 1
m = –1 veya m = 1 dir.
İç açıortayının eğimi –1 dir.
Şıklarda m = 1 verilmiş.
Doğru Seçenek B
Doğru Seçenek B
1
ve –2 olan iki doğrunun arasında kalan
2
açının açıortaylarından birinin eğimi aşağıdakilerden
Eğimleri −
hangisidir?
A) 2
B) 1
D)
3
3
C)
E)
5
2 3
1
2 2
Analitik düzlemde köşeleri A(1, 6), B(1, 0), C(9, 0) olan üçgenin A köşesindeki iç açıortay doğrusu AN doğrusudur.
Buna göre, AN doğrusunun eğimi kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 2
103
Eğim
Doğrunun Analitiği - Bölüm 05
α1 = α2
Uyarı
tanα1 = tanα2
1− 2
2−m
=
1 + (1⋅ 2) 1 + 2 ⋅ m
k2
d1
⇒
k1
m=7
dir.
d2
d1 ile d2 doğruları arasındaki açının açıortay doğruları k1 ve k2 ise d1 ile d2 doğrularına k1 doğrusuna
Uyarı
göre veya k2 doğrusuna göre simetriktir denir.
[AB] ⊥ d ve |AK| = |KB| olmak üzere,
Tanjant açılımında eğimleri farkı yazılırken aynı yönde
d
A
çıkarma yapıldığına dikkat ediniz.
K
B
Doğru Seçenek D
d doğrusuna [AB] doğru parçasının orta dikme
doğrusu denir.
A ile B noktaları orta dikme doğrusuna göre simetriktir.
Analitik düzlemde A(1, 2), B(–2, –1) ve O(0, 0) olmak
DNA 26
üzere, AO doğrusunun BO doğrusuna göre simetriği-
Analitik düzlemde A(1, 2), B(4, 5), C(3, 6) olmak
nin eğimi kaçtır?
üzere, AB doğrusunun AC doğrusuna göre simet-
A) −
riğinin eğimi kaçtır?
A) −
2
11
B) −
1
11
D) 7
C)
2
11
B) −
D)
2
11
1
11
3
11
C)
E)
2
11
4
11
E) 8
Çözüm
DNA 27
AB doğrusunun AC doğrusuna göre simetriği d doğrusu
Analitik düzlemde A(1, 7), B(–1, 5), C(2, 6) olmak
ve d doğrusunun eğimi m olsun,
üzere, AB doğrusunun AC doğrusuna göre simet-
d
A(1,2)
a2
a1
C(3,6)
B(4,5)
104
mAB =
5−2
=1
4 −1
6−2
mAC =
=2
3 −1
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
riğinin eğimi kaçtır?
A) –2
B) –1
D) 1
C) 0
E) Yoktur
Doğrunun Analitiği - Bölüm 05
Eğim
Çözüm
Çözüm
C
mAB =
d
A
B
5−7
=1
−1 − 1
B(0,4)
mBC =
4 −1
=3
0 − ( −1)
mAK =
b−5
a−2
A(2,5)
6−7
mAC =
= −1
2 −1
K(a,b)
C(–1,1)
mAB ⋅ mAC = −1
AB ⊥ AC olduğundan AB doğrusunun AC doğrusuna göre
BC ⊥ AK olduğundan
simetriği kendisidir.
mBC ⋅ mAK = –1
Doğru Seçenek D
3⋅
b−5
= −1 ⇒ 3b + a = 17 ⇒ a = 17 − 3b
a−2
K(17 – 3b, b), B, C doğrusal olduğundan
Uyarı
mKB = mBC = 3
Bir doğrunun kendisine dik olan bir doğruya göre simet-
b−4
= 3 ⇒ b − 4 = 51 − 9b ⇒ b = 5, 5
(17 − 3b) − 0
riği yine kendisidir.
tur.
Doğru Seçenek B
Analitik düzlemde A(1, 2), B(4, 3), C(0, 5) olmak üzere, AB doğrusunun AC doğrusuna göre simetriğinin
eğimi kaçtır?
A) –2
B) –1
C) −
1
3
D)
1
3
E) 1
Analitik düzlemde A(0, 4), B(–1, 1) olmak üzere, AB
doğrusunun orijine en yakın noktasının ordinatı kaçtır?
Uyarı
A) 0,1
B) 0,2
C) 0,3
D) 0,4
E) 0,5
A ∈ d için A noktasının d doğrusuna göre simetriği kendisidir.
DNA 29
DNA 28
Analitik düzlemde A(2, 5), B(0, 4), C(–1, 1) olmak
Analitik düzlemde A(1, 4), B(7, 4) ve [AB] doğru par-
üzere, BC doğrusunun A noktasına en yakın noktası
çasının orta dikme doğrusu x eksenini C noktasında
K(a, b) dir.
kesiyor.
Buna göre, K noktasının ordinatı kaçtır?
Buna göre, ABC üçgeninin çevresi kaç cm dir?
A) 6,5
B) 5,5
C) 4,5
D) 3,5
E) 2,5
A) 6
B) 10
C) 11
D) 16
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 18
105
Eğim
Doğrunun Analitiği - Bölüm 05
Çözüm
Çözüm
y
H orta nokta olduğundan
A(1,4) 3 H 3 B(7,4)
4
5
O
4
C(a,2a)
H(4, 4)
5
H(3,4)
A(2,5)
x
C(4,0)
+
B(4,3)
H orta nokta olduğundan H(3, 4)
Çevre ( ABC) = |AB| + |AC| + |CB|
AB ⊥ CH olduğundan
=6+5+5
mAB ⋅ mCH = –1
= 16 birimdir.
5 − 3 2a − 4
⋅
= −1 ⇒ a = 1
2−4 a−3
Doğru Seçenek D
dir.
C(a,2a)
A(2,5)
Analitik düzlemde A(1, 3), B(9, 3) ve [AB] doğru parçasının orta dikme doğrusu x eksenini C noktasında kesiyor.
B(4,3)
|CA| = |CB|
Buna göre, ABC üçgeninin çevresi kaç cm dir?
A) 6
B) 10
C) 11
D) 16
(a − 2)2 + (2a − 5)2 = (a − 4)2 + (2a − 3)2
E) 18
a = 1 dir.
Doğru Seçenek A
DNA 30
Analitik düzlemde A(2, 5), B(4, 3) ve [AB] doğru par-
Analitik düzlemde A(2, 5), B(4, 3) ve [AB] doğru parçasının
çasının orta dikme doğrusu üzerinde C(a, 2a) noktası
orta dikme doğrusu üzerinde C(a, –a) noktası veriliyor.
veriliyor.
Yukarıdaki verilenlere göre, C noktasının apsisi
kaçtır?
A) 1
106
B) 2
C) 3
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
D) 4
E) 5
Yukarıdaki verilenlere göre, C noktasının ordinatı kaçtır?
A)
1
2
B) 1
C)
3
2
D) 2
E)
5
2
Doğrunun Analitiği - Bölüm 05
Eğim
4.
TEST - 1
Analitik düzlemde
y
A(15, 24)
24
1.
B(0, –12)
Analitik düzlemde
y
1
A(15,24)
A
B
3
O
A(0, 1)
O
B(3, 0)
–12 B
x
Yukarıdaki verilere göre, AB doğrusunun eğimi
kaçtır?
Yukarıdaki verilere göre, AB doğrusunun eğimi
kaçtır?
A) –3
B) −
1
3
D)
2.
1
3
A) –2,4
10
10
B) –1,5
D) 1,5
C) 1,2
E) 2,4
E) 3
Analitik düzlemde
y
A
C)
x
15
5.
A(0, 3)
3
Analitik
y
düzlemde
B(–2, 0)
A
B
–2
O
–3
Yukarıdaki verilere göre, AB doğrusunun eğimi
kaçtır?
3
A) −
2
2
B) −
3
2
D)
3
A(–3, 3)
B(1,2 )
C)
x
O 1
B(1, 2)
Yukarıdaki verilere göre, AB doğrusunun eğimi
kaçtır?
3
13
A) −
3
E)
2
3.
1
4
B) −
1
2
C) –1
D) 2
E) 4
Analitik düzlemde
y
|AB| = 5 birim
A
x
O
5
–3
B(0, –3)
B
6.
Yukarıdaki verilere göre, AB doğrusunun eğimi
kaçtır?
5
A) −
3
3
x
4
B) −
3
3
C) −
4
3
D)
4
4
E)
3
A(2, a) ve B(7, 7) noktalarından geçen doğrunun eğimi –2 dir.
Buna göre, A noktasının ordinatı kaçtır?
A) –10
B) –3
C) 10
D) 17
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 18
107
Eğim
Doğrunun Analitiği - Bölüm 05
7.
Analitik düzlemde
y
10.
mi 1 den büyük,
A(0, 3)
A
3
A
[AB] ⊥ [AC]
B(–3, 0)
|BC| = 8 birim
B
–3
x
O
A) 30
B) 45
O
B
C) 60
D) 120
|AB| = 2 2 birim
11.
O
2
B
B) 120
C) 135
AB doğrusunun eğim
açısı 60°
x
B noktasının ordinatı
A
B) 60
C) 120
D) 135
–1 dir.
Yukarıdaki verilere göre, A noktasının ordinatı
kaçtır?
E) 150
B) −2 3
A) –4
C) –3
E) − 3
D) –2
9.
E) 165
[OB] ⊥ [BA]
x
B
Yukarıdaki verilere göre, AB doğrusunun eğim
açısı kaç derecedir?
A) 30
D) 150
Analitik düzlemde
y
O
B(2, 0)
2 2
A noktasının
E) 135
Analitik düzlemde
A
C
Yukarıdaki verilenlere göre, AC doğrusunun
eğim açısı kaç derecedir?
A) 105
y
x
ordinatı 2 dir.
Yukarıdaki verilere göre, AB doğrusunun eğim
açısı kaç derecedir?
8.
AB doğrusunun eği-
y
AB doğrusunun eğim
y
açısı 150°
A
x
O
12.
|AB| = 2 birim
|AO| = |AB|
2
A
B
Yukarıdaki verilere göre, B noktasının ordinatı
kaçtır?
A) − 3
108
C) −
B) –1
D)
[AB] // Ox
y
3
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 1
1
3
B
A noktasının apsisi 4
x
O
B noktasının apsisi 12
Yukarıdaki verilere göre, OB doğrusunun eğim
açısı kaç derecedir?
A) 15
B) 22,5
C) 30
D) 45
E) 60
Doğrunun Analitiği - Bölüm 05
13.
Eğim
Analitik düzlemde
y
15.
y
[CB] ⊥ [BA]
B
A
|BC| = |BA|
C
O
x
A
B) 60
C) 54
D) 45
x
C
D
AD doğrusunun eğimi − 3
Yukarıdaki verilere göre, OB doğrusunun eğim
açısı kaç derecedir?
A) 75
O
B
|AC| = |BC|
E) 30
n ) = m(DAC
n)
m(BAD
Yukarıdaki verilere göre, AC doğrusunun eğim
açısı kaç derecedir?
A) 105
14.
16.
AC ⊥ CB
y
A(–1,0)
1.B
2.E
B) −
3.C
1
2
4.E
B
3
O
C) −
3
4
5.A
D) −
6.D
B noktasının apsisi 3
C
4
3
E)
7.B
A) 1
1
2
8.D
x
Yukarıdaki verilere göre, C noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
Yukarıdaki verilere göre, CB doğrusunun eğimi
kaçtır?
A) –2
E) 160
A noktasının ordinatı 6
6 A
x
B(4,0)
D) 150
OC doğrusunun eğimi 1
B(4, 0)
O
C) 135
y
A(–1, 0)
C
B) 120
9.B
10.E
B) 2
11.A
C) 3
12.C
13.D
D) 4
14.B
15.E
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 6
16.D
109
Eğim
Doğrunun Analitiği - Bölüm 05
4.
TEST - 2
AB // CD
y
AB
A
1.
B) –2
C) 0
D) 2
–1
1
B
–2
C
5
2
3.
E) 3
C) 3
D)
7
2
OA // CB
y
C
–6
C(–6, 0)
A(3,2)
x
O
Yukarıdaki verilere göre, B noktasının ordinatı
kaçtır?
E) 4
A) 6
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
A(0, 3)
3
B(a, 0)
C
3
O
x
6.
A(3,5)
A(3, 5)
D(0, –2)
–2
A) –2
AB // Oy
y
C(3, 0)
Yukarıdaki verilere göre, B noktasının apsisi kaçtır?
B) –3
D) –4
110
D) 2
AB // CD
B
D
3
2
A(3, 2)
su üzerindedir.
y
A
C)
B
noktaları d doğru-
x
2
B)
B) 1
C(0, 1)
Yukarıdaki verilere göre, A noktasının ordinatı
kaçtır?
A) 2
1
2
5.
B(–2, 0)
d
A
O
D(0, –1)
D
A(2, a)
y
a
|BC| = 3 3 birim
Yukarıdaki verilere göre, A noktasının ordinatı
kaçtır?
E) 4
A)
2.
x
B
O
AC ile BC doğruları çakışık olduğuna göre, C
noktasının apsisi kaçtır?
A) –4
eğim açısı 150°
C
A(0, 4), B(1, 2) ve C(2, a) noktaları veriliyor.
doğrusunun
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
C) −
E) −
9
2
7
2
O
B
x
Yukarıdaki verilere göre, B noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Doğrunun Analitiği - Bölüm 05
7.
Eğim
A(a, a + b), B(b, 7), C(3, 1), D(3, –3) noktaları veriliyor.
10.
[BA] ⊥ [AC]
y
|BD| = |DC|
A
AB ile CD doğruları çakışık olduğuna göre, A
noktasının ordinatı kaçtır?
A) 6
B) 4
C) 3
D) 0
B
BC
D
E) –3
O
eğimi −
x
C
doğrusunun
3
4
Yukarıdaki verilere göre, AB doğrusunun eğimi
kaçtır?
A)
y
AB ⊥ d
6 A
A(0, 6)
8.
1
6
B)
11.
x
2
B
–1
Yukarıdaki verilere göre, d doğrusunun eğimi
kaçtır?
B) −
1
3
C)
1
2
D)
1
3
a+2
a
D
–4
A
12.
C
O
|AD| = |BO|
C
5
O
B)
B
x
B(6, 0)
C(5, 0)
O
C)
6
E) 2
5
[AC] açıortay
2
[BC] ⊥ Ox
B
|AB| = 2 birim
D(–4, 0)
6
x
7
y
3 A
C(0, a)
1
2
[CD] ⊥ [AB]
A) 2 2
A(0, a + 2)
E)
Yukarıdaki verilere göre, AB doğrusunun eğimi
kaçtır?
E) 3
AB ⊥ DC
y
1
3
B(–1, 0)
D)
9.
D)
D
B
1
2
1
4
A
d
A) −
C)
y
B(2, 0)
O
1
5
C
x
A noktasının ordinatı 3
Yukarıdaki verilere göre, AB doğrusunun eğim
açısı kaç derecedir?
Yukarıdaki verilere göre, AB doğrusunun eğim
açısı kaç derecedir?
A) 105
A) 105
B) 120
C) 135
D) 150
E) 165
B) 120
C) 135
D) 150
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 165
111
Eğim
Doğrunun Analitiği - Bölüm 05
13.
[CD] ⊥ [AB]
y
B(–2, 0)
1
B(–3, 0)
D
B
–3
O 1
C
14.
C) 145
D) 150
B) 150
16.
2
C
4
B) 150
B
–1
D) 120
112
3.E
4.D
5.B
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
6.C
8.D
x
AB doğrusunun
eğimi 2
Yukarıdaki verilenlere göre, |AC| kaç birimdir?
E) 90
7.A
C
11
O
4
3
B(–1, 0), C(11, 0)
A) 15
2.A
AC doğrusunun
eğimi −
x
C) 135
E) 105
ABC üçgen
A
Yukarıdaki verilere göre, AB ile AC doğruları arasındaki açı ölçüsü kaç derecedir?
1.C
D) 120
C(4, 0)
B
–1 O
A) 165
C) 135
y
B(–1, 0)
A
x
E) 165
A(0, 2)
y
C(3, 0)
C
3
Yukarıdaki verilenlere göre, AB ile AC doğruları
arasındaki geniş açının ölçüsü kaç derecedir?
A) 165
B) 135
A
B
–2 O
C(1, 0)
x
Yukarıdaki verilere göre, AB ile AC doğruları arasındaki geniş açının ölçüsü kaç derecedir?
A) 120
A(0, 1)
y
|AD| = 2 birim
A
2
15.
9.C
10.E
B) 14
11.A
12.D
C) 13
13.B
D) 12
14.E
15.C
E) 11
16.D
DOĞRUNUN ANALİTİĞİ - BÖLÜM 06
DOĞRU DENKLEMLERİ
TANIM
Geometrik Yer ve Denklemleri
Analitik düzlemin tüm noktalarını, bir temsilci (değişken)
DNA 1
Analitik düzlemde parametrik denklemi,
x(t) = 2t – 1,
y(t) = t
nokta ile ifade etmek mümkündür.
olan geometrik yerin kartezyen denklemi aşağıda-
Herhangi bir kısıtlama yoksa x ve y değişkenleri tüm
kilerden hangisidir?
gerçek sayılar kümesinden değerler alır. P(x, y) noktası
A) y = 2x + 1
B) y = 2x – 1
analitik düzlemin temsilci noktası veya değişken noktasıdır.
C) y =
1
1
x+
2
2
x ile y arasında yazılan her bağıntı için P(x, y) nok-
D) y =
1
1
x−
2
2
1
1
E) y = − x +
2
2
tası, analitik düzlemde bir şekil ifade eder. Bu şekle,
P(x, y) noktasının geometrik yeri, x ile y arasında yazılan
bağıntıya geometrik yer bağıntısı veya geometrik yerin
kartezyen bağıntısı, bu bağıntı bir eşitlik bağıntısı ise geometrik yer denklemi veya geometrik yerin kartezyen
denklemi denir.
x ve y birbiri türünden veya başka bir değişkenin birer bağıntısı olarak yazılırsa bu yazılışa geometrik yerin parametrik bir yazılışı, parametrik yazılışta kullanılan değiş-
Çözüm
x(t) = 2t – 1
y(t) = t
kene parametre denir.
parametrik denklemi P(2t – 1, t) noktalarının geometrik
Örneğin, y = x2 eşitliği, P(x, y) noktasının belirttiği geomet-
yerinin denklemidir.
rik yerin denklemidir. P(x, x2) ifadesi, P noktasının belirttiği
x = 2t – 1,
geometrik yerin parametrik bir yazılışı veya x parametresine göre bir yazılışıdır.
x ve y değişkenleri, t değişkeninin birer bağıntısı olarak
yazılabilir. Geometrik yerin t parametresine bağlı bir yazılışı için;
x(t) = t, y(t) = t2 alınırsa, P(t, t2) olarak,
y=t
eşitliklerinde t parametresini yok etmek için birinci eşitlikte
t yerine y yazılırsa;
x = 2y – 1 eşitliği elde edilir.
Bu eşitlik geometrik yerin kartezyen denklemi veya kısaca
denklemidir.
x(t) = t –1, y(t) = (t – 1)2 alınırsa P(t – 1, t2 – 2t + 1) olarak
yazılabilir.
Elde edilen denklem şıklarda
Analitik düzlemde denklemi, y = x olan geometrik yerin
y=
parametrik denklemi x(t) = t, y(t) = t dir.
Fakat x(t) = t2, y(t) = t2 aynı geometrik yerin parametrik
denklemi değildir. Çünkü ilk denklemde t = –1 alınırsa
P(–1, –1) elde edilir. Oysa diğer denklemde hiçbir zaman
1
1
x+
2
2
olarak verilmiştir.
Doğru Seçenek C
P(–1, –1) noktası elde edilemez.
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
113
Doğru Denklemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Her keyfi x değerine karşılık bir y değeri elde edilir veya
her keyfi y değerine karşılık bir x değeri elde edilir. Bu
değerlerle elde edilen P(x, y) noktaları analitik düzlemde
Analitik düzlemde parametrik denklemi,
x(t) = 2t – 1,
AB doğrusunu belirtir. Yani AB doğrusu üzerindeki tüm
noktaların koordinatları bu denklemle belirlenmiş olur.
y(t) = t – 1
olan geometrik yerin kartezyen denklemi aşağıdaki-
Elde edilen denklem düzenlenerek değişik biçimlerde de
lerden hangisidir?
yazılabilir. Sonuçta hepsi aynı doğrunun denklemidir;
A) y = 2x + 1
C) y =
2x = y – 4
B) y = 2x – 1
1
1
x+
2
2
D) y =
y = 2x + 4
1
1
x−
2
2
2x – y + 4 = 0
–2x + y – 4 = 0
1
1
E) y = − x +
2
2
...
Doğru Seçenek A
DNA 2
Analitik düzlemde A(–1, 2) ve B(0, 4) noktalarından
geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = 2x + 4
B) y = 2x – 4
1
x +1
2
C) y =
D) y =
1
x −1
2
E) y = x – 4
Analitik düzlemde A(–1, 2) ve B(1, 4) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = 3x + 1
B) y = x + 3
C) y = x – 3
D) y = 2x + 4
E) y = 2x + 2
Çözüm
P(x, y) noktası, A(–1, 2), B(0, 4) noktalarından geçen AB
doğrusunu üzerinde olacak şekilde kısıtlanmıştır. Burada
x ile y arasında yazılacak eşitlik AB doğrusunun denklemi
DNA 3
olacaktır.
P(x, y), A(–1, 2), B(0, 4) noktalarının doğrusal olması için;
mAB = mPB
2−4 y−4
=
−1 − 0 x − 0
eşitliği sağlanmalıdır.
x ile y arasında bulunan bu eşitlik AB doğrusunun denk-
uzaklıktaki noktaların geometrik yerinin denklemi
nedir?
A) (x – 1)2 + (y – 2)2 = 25
B) (x + 1)2 + (y – 2)2 = 25
C) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 25
D) (x– 2)2 + (y + 1)2 = 25
E) (x + 2)2 + (y – 1)2 = 25
lemidir.
114
Analitik düzlemde A(–1, 2) noktasından 5 birim
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Doğru Denklemleri
Çözüm
DNA 4
Analitik düzlemde A(–1, 2) noktasına uzaklığı 5 birim olan
noktaların temsilcisi P(x, y) olsun;
|PA| = 5 birim ⇒
2
yer üzerinde K(k, 2k) noktası veriliyor.
2
( x − ( −1)) + ( y − 2) = 5
eşitliği istenilen geometrik yerin denklemidir.
Düzenlenirse, (x +
1)2
+ (y –
Analitik düzlemde denklemi x2 – y = 3 olan geometrik
2)2
Buna göre, k nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
= 25 elde edilir.
A) –2
B) –1
C) 1
D) 2
E) 3
Uyarı
Bu denklemin, bir çember belirttiğine dikkat ediniz.
Doğru Seçenek B
Çözüm
K(k, 2k) geometrik yer üzerinde olduğundan, x = k ve
y = 2k değerleri denklemi sağlar.
x2 – y = 3
k2 – 2k = 3
k2 – 2k – 3 = 0
(k – 3) ⋅ (k + 1) = 0
Analitik düzlemde merkezinin koordinatları A(1, 2) ve
k – 3 veya k + 1 = 0
yarıçapı 4 birim olan çemberin denklemi nedir?
A) (x – 1)2 + (y – 2)2 = 16
k = 3 veya k = –1
k nın alabileceği değerlerin toplamı 3 + (–1) = 2 dir.
B) (x + 1)2 + (y – 2)2 = 16
Doğru Seçenek D
C) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 16
D) (x– 2)2 + (y + 1)2 = 16
E) (x + 2)2 + (y – 1)2 = 16
Hazine 13
Analitik düzlemde denklemi x2 + y = 3 olan geometrik yer
Geometrik yer üzerindeki her noktanın koordinatları,
geometrik yerin denklemini sağlar. Koordinatları bir
denklemi sağlayan nokta, denklemin belirttiği geomet-
üzerinde K(1, k) noktası veriliyor.
Buna göre, K noktasının ordinatı kaçtır?
rik yer üzerindedir.
A) –2
B) –1
C) 1
D) 2
E) 3
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
115
Doğru Denklemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
DNA 5
Başlangıç noktası O olan analitik düzlemde, denklemi
Başlangıç noktası O olan analitik düzlemde, denklemi
3x – 4y = 12 olan geometrik yer, x eksenini A ve y
3x – 4y = 12 olan geometrik yer, x eksenini A ve y eksenini
eksenini B noktalarında kesiyor.
B noktalarında kesiyor.
Buna göre, |AB| kaç birimdir?
Buna göre, |OA| – |OB| kaç birimdir?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 3
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Çözüm
x ekseni üzerindeki noktaların ordinatı 0 olduğundan,
DOĞRU DENKLEMLERİ
denklemde y = 0 yazılırsa bulunan x değeri, geometrik
İki nokta bir doğru belirttiğinden A(x1, y1), B(x2, y2) noktala-
yerin x eksenini kestiği noktanın apsisidir.
rından geçen AB doğrusunun denklemi bulunabilir.
y = 0 için 3x – 4 ⋅ 0 = 12
AB doğrusunun temsilci (değişken) noktası her zamanki
gibi P(x, y) olsun. P, A, B noktaları doğrusal olduğundan
⇒ x = 4 olduğundan A(4, 0) ve |OA| = 4 birim
mPA = mAB
y ekseni üzerindeki noktaların apsisi 0 olduğundan, denk-
y − y1 y1 − y 2
=
x − x1 x1 − x 2
lemde x = 0 yazılırsa bulunan y değeri, geometrik yerin y
eksenini kestiği noktanın ordinatıdır.
denklemi, AB doğrusunun denklemidir. Fakat bu denk-
x = 0 için 3 ⋅ 0 – 4y = 12
⇒ y = –3 olduğundan B(0, –3) ve |OB| = 3 birim
lem tüm doğruları temsil etmez. Çünkü x1 – x2 = 0 olabilir.
Denklemde tanımsızlık riskini ortadan kaldırmak için içler
dışlar çarpımı yapılmalıdır.
|OA| – |OB| = 4 – 3 = 1 birim
dir.
(x1 – x2)y –y1x1 + y1x2 = (y1 – y2)x – x1y1 + x1y2
(y1 – y2)x –(x1 – x2)y – x1y1 + x1y2 + y1x1 – y1x2 = 0
Doğru Seçenek D
(y1 – y2)x –(x1 – x2)y + x1y2 – y1x2 = 0
Bu denklemlerdeki sabit sayılara denklemin kat sayıları,
x ve y koordinatlarına da denklemin değişkenleri denir.
Not
Kat sayıları daha sadece göstermek amacıyla
y1 – y2 = a
Verilen bir denklemin analitik düzlemde belirttiği geomet-
–(x1 – x2) = b
rik yerinin ne olabileceği konusunda önceden fikir sahi-
x1y2 – y1x2 = c diyelim
bi olabiliriz. Bunun için temel şekiller incelenerek genel
AB doğrusunun genel
denklemlerinin nasıl olabileceği konusunda önceden fikir
biçiminde birinci dereceden iki bilinmeyenli bir
edinilmiştir. Analitik geometrinin temel problemi geometrik
denklemdir. Tersine birinci dereceden bir bilinme-
yer ve denklemleri arasındaki ilişkileri ortaya koymaktır.
yenli veya iki bilinmeyenli denklemler analitik düzlem-
116
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
denklemi ax + by + c = 0
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Doğru Denklemleri
de bir doğru belirtir. a ya da b den biri sıfır olabilir. a
y
y = mx+n
ve b katsayılarının ikisinin birden sıfır olması x1 = x2 ve
n
y1 = y2 olması anlamına gelir ki, A ve B noktaları çakışıktır.
a
O
Bir nokta bir doğru belirtmediğinden a ve b katsayılarının
x
ikisi birden sıfır olursa denklem doğru belirtmez.
4ax + by + c = 0 genel doğru denkleminin özelliği analitik
y = mx + n doğrusunun eğimi m; y eksenini kestiği nokta-
düzlemdeki tüm doğruları temsil edebilmesidir. Genel
nın ordinatı n dir. (m = tanα)
doğru denkleminin yazılışında sırayla x, y ve sabit
y = (eğim) ⋅ x + (y eksenini kestiği değer)
sayı yazılışı matematikçilerin düzenli ve tertipli olma
x eksenini kestiği noktanın apsisi k, y eksenini kestiği nok-
alışkanlıklarının bir geleneğidir.
tanın ordinatı n olan doğrunun denklemi;
y
Çoğu zaman "ax + by + c = 0 denkleminin belirttiği
doğru" yerine "ax + by + c = 0 doğrusu" söylemi tercih
n
x y
+ =1
k n
edilir.
a
x
k
O
Genel denklem değişik biçimlerde yazılarak, temsil ettiği
doğrunun özellikleri hakkında kısa yoldan bilgi edinilmesi
n
dır. Doğru y eksenini n
k
mümkün olur. Öğrenci özel denklem yazılışlarından istifa-
Doğrunun eğimi m = tanα = −
de ederek problemlere daha kısa çözümler üretebilir.
ordinatlı noktada kestiğinden doğrunun denklemi,
Örneğin, genel denklemde eşitliğin bir tarafında y değiş-
n
y = − x + n dir.
k
kenini yalnız bırakırsak:
a
c
ax + by + c = 0 ⇒ y = − x −
b
b
Düzenlenirse, y +
n
x = n ⇒ ky + nx = nk ve eşitliğin iki tak
rafı nk ile bölünürse
elde ederiz.
a
c
a
c
denkleminde − = m ve − = n yazılarak
y=− x−
b
b
b
b
kat sayılar daha sade biçimde ifade edilebilir.
x y
+ = 1 elde edilir.
k n
x
x eksenini
+
kestiği değer
y
y eksenini
=1
kestiği değer
y = mx + n yazılışından, bu denklemin temsil ettiği doğru-
A(x1, y1) noktasından geçen eğimi m olan doğru-
nun eğimi ve y eksenini kestiği noktanın ordinatı kolayca
nun denklemini bulalım;
tespit edilebilir.
Doğru üzerindeki noktaların temsilcisi P(x, y) olduğundan,
m=−
y − y2
y − y2
a
=− 1
= 1
doğrunun eğimidir.
b
−( x1 − x 2 ) x1 − x 2
y ekseni üzerindeki noktaların apsisi 0 olduğundan,
x = 0 için a ⋅ 0 + b ⋅ y + c = 0 ⇒ y = −
c
= n dir.
b
Doğru y eksenini (0, n) noktasında keser.
mPA = m
y − y1
= m (aranan doğru denklemi) içler dışlar çarpıx − x1
mı yapılırsa,
y – y1 = m ⋅ (x – x1)
elde edilir.
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
117
Doğru Denklemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Elde ettiğimiz doğru denklemlerinde eşitliğin bir tarafı sı-
Çözüm
fır olacak biçimde yazılışına doğrunun kapalı denklemi
denir.
Örneğin;
Genel çözüm yapılırsa,
y − y1 − m ⋅ ( x − x1) = 0
y−2 5−2
=
x −1 4 −1
x y
+ −1= 0
k n
y−2 3
=
x −1 3
mx + n – y = 0
y = x +1
ax + by + c = 0,... gibi.
dir.
Bu denklemlerin hepsi F(x, y) = 0 biçiminde gösterilir.
İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemini Yazma ve
Yorumlama:
A(1, 2) ve B(4, 5) koordinatlarına dikkat edilirse,
"ordinat = apsis + 1" biçiminde ortak bir bağıntı vardır.
A(x1, y1), B(x2, y2) noktalarından geçen AB doğrusu-
O halde AB doğrusunun denklemi y = x + 1 dir.
nun denklemi;
Doğru Seçenek B
y
A(x1,y1)
B(x2,y2)
x
O
y − y1 y1 − y 2
=
x − x1 x1 − x 2
Analitik düzlemde, koordinatlarındaki artış miktarı orantılı
olan noktaların (apsislerindeki artış, ordinatlarındaki artışla orantılı noktaların) geometrik yeri bir doğrudur.
DNA 6
Analitik düzlemde A(1, 2) ve B(4, 5) noktalarından
geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangiAnalitik düzlemde A(1, 0) ve B(4, 3) noktalarından ge-
sidir?
A) y = x – 1
B) y = x + 1
C) y = –x + 1
D) y = –x – 1
E) y = x
çen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = x – 1
B) y = x + 1
C) y = –x + 1
D) y = –x – 1
E) y = x
118
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Doğru Denklemleri
DNA 7
Kısayol
Analitik düzlemde A(–1, 2) ve B(4, 2) noktalarından
y
geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A(a, b), B(c,b) noktalaA(a,b)
rından geçen AB doğru-
B(c,b)
sunun denklemi:
b
A) y = –2x
B) y = 2x
C) y = –x + 1
D) y = x – 2
x
O
dır.
x ekseninin denklemi y = 0 dır.
y
E) y = 2
y = b veya y – b = 0
A(a, b), B(a, c) noktalarından geçen AB doğru-
A(a,b)
sunun denklemi:
B(a,c)
x
a
O
x = a veya x – a = 0
dır.
Çözüm
y ekseninin denklemi x = 0 dır.
y
A(a, b) ve orijinden geçen
AO doğrusunun denkle-
A(a,b)
Genel çözüm yapılırsa,
y−2
2−2
y−2
=0⇒ y−2=0⇒ y =2
=
⇒
x − ( −1) 4 − ( −1)
x −1
mi,
x
O(0,0)
bx – ay = 0 veya y =
dır.
b
x
a
dir.
DNA 8
A(–1, 2) ve B(4, 2) koordinatlarına dikkat edilirse,
Analitik düzlemde A(–4, –4) ve B(–4, 4) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden
"ordinat = 2" biçiminde ortak bir bağıntı vardır.
hangisidir?
O halde AB doğrusunun denklemi y = 2 dir.
A) y = x
Doğru Seçenek E
B) y = –x
D) x = –4
C) y = –4
E) x = 4
Çözüm
Analitik düzlemde A(–1, 3) ve B(1, 3) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = –3
B) y = 3
D) x = –1
C) x = 1
E) y = x
Genel çözüm yapılırsa,
y − ( −4) 4 − ( −4)
y+4 8
=
⇒
=
x − ( −4) −4 − ( −4)
x+4 0
(Genel doğru denklemini hatırlayınız tanımsızlıktan kurtul-
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
119
Doğru Denklemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
mutlak değerce eşit olan noktalar doğrusaldır. Bu nokta-
mak için içler dışlar çarpımı yapılıyordu.)
lardan geçen doğruya II. açıortay doğrusu denir.
0 ⋅ (y + 4) = 8 ⋅ (x + 4)
A(a, –a), B(–b, b), C(–a, a), D(b, –b), E(c, –c) noktala-
x + 4 = 0 veya x = –4
rından geçen doğru II. açıortay doğrusudur. II. açıortay
doğrusunun denklemi,
y
A(–4, –4) ve B(–4, 4) koordinatlarına dikkat edilirse, ikisinde de "apsis = –4" biçiminde ortak bir bağıntı vardır.
B(–b,b)
x
A(a,–a)
O halde AB doğrusunun denklemi x = –4 tür.
Doğru Seçenek D
O(0,0)
y = –x veya x + y = 0 dır.
DNA 9
Aşağıdakilerden hangisinde, verilen noktalardan
geçen doğrunun denklemi yanlış yazılmıştır?
Analitik düzlemde A(4, –4) ve B(4, 4) noktalarından ge-
A) A(2, 2), B(–4, –4) ise AB : y = x
çen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
B) A(5, –5), O(0, 0) ise AO : y = –x
A) y = x
C) A(4, 2), B(2, 2) ise AB : y = 2
B) y = –x
C) y = –4
E) x = 4
D) x = –4
D) A(1, 3), B(3, 1) ise AB : x + y = 4
E) A(–2, 2), B(–2, –2) ise AB : x + y = 0
TANIM
Çözüm
Açıortay Doğrusu:
Analitik düzlemde apsisleri ile ordinatları eşit olan noktalar doğrusaldır. Bu noktalardan geçen doğruya I. açıortay
E) A(–2, 2), B(–2, –2) ise AB : x = –2 doğrusu olmalıdır.
Doğru Seçenek E
doğrusu denir.
A(a, a), B(b, b), C(–a, –a), D(c, c) noktaları doğrusaldır.
Bu noktalardan geçen doğru, I. açıortay doğrusudur. I.
açıortay doğrusunun denklemi;
Aşağıdakilerden hangisinde, verilen noktalardan ge-
y
çen doğrunun denklemi yanlış yazılmıştır?
A(a,a)
A) A(2, 2), B(–2, –2) ise AB : y = x
B(b,b)
O(0,0)
x
B) A(–3, 3), O(0, 0) ise AO : y = –x
C) A(2, 1), B(1, 0) ise AB : y = x – 1
y = x veya x – y = 0 dır.
D) A(1, 2), B(2, 1) ise AB : x + y = 3
Analitik düzlemde apsisleri ile ordinatları ters işaretli ve
E) A(–2, 2), B(2, 2) ise AB : x + y = 0
120
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Doğru Denklemleri
Çözüm
DNA 10
Analitik düzlemde apsisleri, ordinatlarının 2 ka-
AB doğrusunun denklemi için,
y
tından 4 eksik olan noktaların geometrik yerinin
A
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
O
A) x + 2y – 4 = 0
B) 2x – y – 4 = 0
B
C) x – 2y + 4 = 0
D) 2x + y – 4 = 0
x
1
x y
+ = 1 denkleminde
k n
k = 1, n = –2 yazılırsa
x y
+
= 1 ⇒ 2x − y − 2 = 0
1 −2
–2
elde edilir.
E) x – 2y – 4 = 0
Doğru Seçenek B
Çözüm
Geometrik yer üzerindeki noktaların koordinatları arasında
"apsis = 2 ⋅ ordinat – 4" biçiminde ortak bir bağıntı var-
Analitik düzlemde x eksenini A(2, 0) noktasında, y
dır.
eksenini B(0, –2) noktasında kesen AB doğrusunun
O halde geometrik yer, denklemi x = 2y – 4 olan doğrudur.
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
Doğru denklemi düzenlenirse;
A) 2x – y + 2 = 0
B) 2x – y – 2 = 0
C) 2x + y + 2 = 0
D) x – y + 2 = 0
x – 2y + 4 = 0
E) x – 2y – 1 = 0
dır.
Doğru Seçenek C
Analitik düzlemde apsisleri, ordinatlarının 2 katından
4 fazla olan noktaların geometrik yerinin denklemi
Işık 17
aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + 2y – 4 = 0
B) 2x – y – 4 = 0
C) x – 2y + 4 = 0
D) 2x + y – 4 = 0
Eğimi ve Bir Noktası Bilinen Doğrunun Denklemini
Yazma ve Yorumlama:
A(x1, y1) noktasından geçen, eğimi m olan doğrunun
E) x – 2y – 4 = 0
denklemi;
y − y1
= m veya y – y1 = m(x – x1)
x − x1
DNA 11
(m = tanα, α eğim açısı)
Analitik düzlemde x eksenini A(1, 0) noktasında, y
eksenini B(0, –2) noktasında kesen AB doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x – y + 2 = 0
B) 2x – y – 2 = 0
C) 2x + y + 2 = 0
D) x – 2y – 4 = 0
E) x – 2y – 1 = 0
A(0, n) noktasından geçen, eğimi m olan doğrunun
denklemi;
y = mx + n
Orijinden geçen, eğimi m olan doğrunun denklemi;
y = mx
tir.
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
121
Doğru Denklemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
DNA 12
DNA 13
Analitik düzlemde eğimi –2 olan ve A(2, 4) nokta-
Analitik düzlemde eğim açısı 135° olan ve y ekse-
sından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden
nini A(0, 3) noktasında kesen doğrunun denklemi
hangisidir?
aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = –2x
B) y = –2x – 8
A) y = –x + 3
B) y = –x – 3
C) y = –2x – 4
D) y = –2x + 4
C) y = x + 3
D) y = x – 3
E) y = –2x + 8
E) y = 3x
Çözüm
Çözüm
y = mx + n denkleminde m eğim, n y eksenini kestiği değer
olduğundan m ve n değerleri kolayca bulunabilir.
m = tan135° = –1, n = 3 olduğundan, doğrunun denklemi
y−4
= −2 ⇒ y – 4 = –2 ⋅ (x – 2) ⇒ y = –2x + 8
x−2
dir.
y = –x + 3
tür.
Doğru Seçenek A
y = mx + n denkleminde m doğrunun eğimini gösterdiğinden istenen doğrunun denklemi y = –2x + n biçimindedir. A(2, 4) noktasının denklemi sağlaması gerektiğinden
4 = –2 ⋅ (2) + n olmalıdır. n = 8 elde edilir.
O halde istenen doğrunun denklemi y = –2x + 8 dir.
Doğru Seçenek E
Analitik düzlemde eğim açısı 45° olan ve y eksenini
A(0, 3) noktasında kesen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = –x + 3
B) y = –x – 3
C) y = x + 3
D) y = x – 3
E) y = 3x
DNA 14
Analitik düzlemde eğimi –2 olan ve A(0, 4) noktasından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden han-
3x + y − 2 = 0
gisidir?
A) y = –2x
B) y = –2x – 8
denkleminin analitik düzlemde belirttiği doğrunun
C) y = –2x – 4
D) y = –2x + 4
eğim açısı kaç derecedir?
E) y = –2x + 8
122
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
A) 30
B) 60
C) 120
D) 135
E) 150
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Doğru Denklemleri
m > 0 ⇔ 0° < α < 90°: Doğrunun x ekseniyle yap-
Çözüm
tığı açı, dar açıdır. y = mx + n biçimindeki denkley = − 3 x + 2 ⇒ m = tanα = − 3 ⇒ α = 120°
minde x in katsayısı (eğim) pozitiftir.
d: y = mx + n
d
Doğru Seçenek C
a
x
a
m>0
0° < α < 90°
..........................................................................................
m < 0 ⇔ 90° < α < 180°: Doğrunun x ekseniyle
yaptığı açı, geniş açıdır. y = mx + n biçimindeki
3x − y − 2 = 0
denkleminin analitik düzlemde belirttiği doğrunun
denklemde x in katsayısı (eğim) negatiftir.
eğim açısı kaç derecedir?
B) 60
A) 30
d
C) 120
D) 135
d: y = mx + n
a
E) 150
x
a
m<0
90° < α < 180°
..........................................................................................
y
Not
y = –x
45° 45°
45°
45°
m = 0 ⇔ α = 0°: Doğru x eksenidir veya x ekse-
I. açıortay doğrusu ori-
y=x
jinden geçen ve eğimi
x
nine paralel herhangi bir doğrudur. Denklemde x
AB: y = b
A(a,b)
B(c,b)
denklemi
II. açıortay doğrusu orijinden geçen eğimi –1(α = 135°)
olan doğru olduğundan denklemi y = –x tir.
m=0
b
x
O
olduğundan
y = x tir.
li terim yoktur.
y
1(α = 45°) olan doğru
DNA 15
α = 0°
y = 0, x ekseninin denklemidir, eğim açısı 0° dir.
Analitik düzlemde
y
..........................................................................................
m tanımsız ⇔ α = 90°: Doğru y eksenidir veya x
OAB açısının ölçüsü
A
–3
30°
B
eksenine dik herhangi bir doğrudur. Denklemde
y li terim yoktur.
AB: x = a
A(a,b)
Eğimi yok
B(a,c)
a
30°
A(–3, 0)
Yukarıdaki verilenlere göre, AB doğrusunun denk-
y
O
x
O
x
α = 90°
x = 0, y ekseninin denklemidir, eğim açısı 90° dir.
..........................................................................................
lemi aşağıdakilerden hangisidir?
1
A) y = −
C) y =
3
1
3
x− 3
x+ 3
B) y = −
1
3
x+ 3
D) y = − 3 x − 3
E) y = 3 x + 3
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
123
Doğru Denklemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Çözüm
Analitik düzlemde
y
OAB açısının ölçüsü 60°
y
–3
150°
–3
A
x
60° O
A(–3, 0)
x
O
B
Doğrunun eğim açısı 150° olduğundan eğimi,
Yukarıdaki verilenlere göre, AB doğrusunun denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
1
m = tan150° = −
1
A) y = −
3
3
A(–3, 0) noktasından geçtiği için AB doğrusunun denklemi
C) y =
y−0 = −
1
3
1
( x − ( −3)) ⇒ y = −
3
1
3
x−3 3
B) y = −
x+3 3
x− 3
1
3
x+3 3
D) y = − 3 x − 3 3
E) y = − 3 x + 3 3
tür.
Not
Grafiği verilen doğrunun eğimi bulunurken, önce x eksey
–3
niyle yaptığı dar açının tanjantı bulunur, eğim açısının dar
veya geniş olmasına göre eğimin işareti sonradan belirle-
3
30°
60°
O
3
x
nir. Eğim açısı dar açı ise eğim pozitif, geniş açı ise negatif
alınır.
– 3
DNA 16
30-60-90 üçgeninde kenar uzunluklarına göre doğrunun
eksenleri kestiği değerler hesaplanır ve doğrunun denk-
tan30° =
Analitik düzlemde
y
lemi y = mx + n biçiminde düşünülürse,
3
1
=
3
3
A
|AB| = |BC|
D
y=4
AD doğrusunun denk-
dür.
Doğrunun eğim açısı geniş açı olduğundan eğimi negatiftir.
m=−
1
3
ve n = − 3 ⇒ y = −
1
3
x− 3
tür.
C
x
B noktasının apsisi –1
A noktası, II. açıortay doğrusunun üzerindedir.
Yukarıdaki verilenlere göre, AC doğrusunun eğimi
kaçtır?
Doğru Seçenek A
124
lemi y = 4
B
–1 O
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
A) –2
B) −
1
2
C) −
1
4
D)
1
2
E) 4
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Doğru Denklemleri
Çözüm
Işık 18
y
A(–4,4)
4
4
d1
D
y=4
A
5
B
–4 H 3 –1 O
x
C
Bir A noktası, d1 doğrusunun üzerinde ise, A noktasının
5
koordinatları d1 doğrusunun denklemini sağlar.
8
A ∈ y = 4 ise A nın ordinatı 4 tür.
A ∈ y = –x ise A nın apsisi –4 tür.
|BO| = 1 br, |HO| = 4 br ise |HB| = 3 br
DNA 17
AHB dik üçgeninde Pisagor Teoremi’nden |AB| = 5 br
|BC| = |AB| = 5 br, |HC| = 3 + 5 = 8 br
A(2, k) noktası d1: y = 3x – 5 doğrusunun üzerinde
olduğuna göre, k kaçtır?
4 1
ACH dik üçgeninde tan( ACH) = =
8 2
A) –1
AC doğrusunun eğim açısı geniş açı olduğundan m = −
dir.
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
1
2
Doğru Seçenek B
Çözüm
x = 2 ve y = k değerleri d1 doğrusunun denklemini sağlamalıdır.
⇒ k=3⋅2–5=1
Analitik düzlemde
y
A
dir.
|AB| = |BC|
D
Doğru Seçenek C
y=4
AD doğrusunun denklemi
B
–1 O
y=4
C
x
B noktasının apsisi –1
A noktası, II. açıortay doğrusunun üzerindedir.
Yukarıdaki verilenlere göre, AC doğrusunun denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + 2y – 4 = 0
B) x – 2y – 4 = 0
A(1, k) noktası d1: y = 3x + 5 doğrusunun üzerinde
C) x + 2y + 4 = 0
D) x – 2y + 4 = 0
olduğuna göre, k kaçtır?
E) x + y + 4 = 0
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 10
125
Doğru Denklemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
denklemi tektir. Matematiksel operasyonlarla denklemin
DNA 18
yazılışı değiştirilebilir. Örneğin, tüm denklemi sıfırdan
farklı bir sayı ile çarpma, bölme, eşitliğin bir tarafında y
A(–3, 1) ve d2: 3x + ky + 1 = 0 veriliyor.
değişkenini yalnız bırakma... vs. gibi işlemlerle denklemin
A ∈ d2 olduğuna göre, d2 doğrusunun eğimi kaçtır?
1
3
1
2
3
B) −
C) −
D)
E)
A) −
3
8
3
5
8
yazılışı değiştirilebilir, fakat hepsi aynı doğrunun denklemleridir. Aşağıdaki denklemleri inceleyiniz;
d1 : 2x – y + 8 = 0
d2 : 6x – 3y + 24 = 0
d3 : y = 2x + 8
Çözüm
d4 :
A ∈ d2 ⇒ 3 ⋅ (–3) + k ⋅ (1) + 1 = 0
1
y=x+4
2
Denklemlere dikkat edilirse, d2 denklemi, d1 denkleminin 3
⇒ –8 + k = 0
ile genişletilmiş halidir. d3 denklemi, d1 denkleminde eşitli-
⇒k=8
ğin bir tarafında y nin yalnız bırakılmış halidir. d4 denklemi
d2:3x + 8y + 1 = 0 ⇒ d2: 8y = –3x – 1
ise d3 denkleminin her tarafı 2 ile bölünmüş halidir. Bu
−3
−1
−3
⇒ d2 : y =
x+
⇒ m(d2 ) =
8
8
8
işlemler çoğaltılabilir. Matematiksel operasyonlar uygulanırken nokta kaybı olmamasına veya fazladan nokta ek-
dir.
lenmemesine özen gösterilmelidir.
Doğru Seçenek C
d5 : 4y = 22x+8
Üs alma işlemiyle yapılan bu operasyonda da nokta kaybı
olmadığına dikkat ediniz, fakat d3 denkleminde eşitliğin
her iki tarafının karekökü alındığında elde edilen aşağıdaki denklemde,
A(–1, 1) ve d2: 3x + ky + 2 = 0 veriliyor.
d6 : y = 2x + 8
A ∈ d2 olduğuna göre, d2 doğrusunun eğimi kaçtır?
A) –3
3
B) −
2
C) –1
3
D)
2
E) 3
y ve 2x + 8 terimlerinin negatif değeri alınamayacağı için
nokta kaybı olmuştur. d6 denklemi diğer denklemlerden
farklı olduğundan grafikleri de farklıdır. d6 denkleminin geometrik yeri ışındır.
d7: y2 = (2x + 8)2
denklemi diğer denklemlerden daha fazla nokta içerdi-
Analitik Düzlemde İki Doğrunun Durumları
y = 2x + 8 ve y = –2x – 8 denklemlerinden oluşan iki doğ-
1) Çakışık Olma Durumu
d1
ğinden grafiği farklıdır. d7 denkleminin geometrik yeri,
rudur.
d2
Tüm noktaları aynı olan doğrulara çakışık doğrular de-
d8 : 1 =
2x + 8
y
nir. Farklı iki nokta bir tek doğru belirttiğinden herhangi iki
doğrunun iki noktası ortak ise diğer noktaları da ortaktır.
denklemi d3 denkleminin y değişkenine bölümünden elde
Bu doğruların analitik düzlemdeki görüntüsü ve kartezyen
edilmiştir. d8 denkleminin geometrik yeri, y = 0 için tanım-
126
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Doğru Denklemleri
sızlık söz konusu olduğundan d3 doğrusunun x eksenini
Doğru denkleminin her iki tarafı sıfırdan farklı bir sayıy-
kestiği noktada kopmuş iki yarı doğrudur. O halde, d3 ile
la çarpılabilir, hatta birbirleriyle toplanabilir. Elde edilen
d8 denklemlerinin grafikleri çakışık değildir.
denklemlerin belirttiği doğrular değişmez (çakışıktır).
ax + by + c = 0
Analitik düzlemde verilen iki denklemin belirttiği geometrik
2ax + 2by + 2c = 0
yerlerin çakışık olup olmadığını anlamak için, nokta kaybı
kax + kby + kc = 0 (k ∈ R \ {0})
veya nokta eklenmesi olmadan aynı formda yazılabilme-
Sonuç olarak, aşağıdaki IŞIK’ı verebiliriz.
leri gerekir.
Işık 19
DNA 19
x + ay – 3b = 0 ve 3x + 12y + 18 = 0 denklemlerinin
d1 : a1x + b1y + c = 0
analitik düzlemde belirttiği doğrular çakışık oldu-
d2 : a2x + b2y + c = 0
ğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
doğrularının çakışık (d1 = d2) olması için
D) 1
E) 2
a1 b1 c1
=
=
olmalıdır.
a2 b2 c 2
Çözüm
DNA 20
3x + 12y + 18 = 0 denklemi 3 ile bölünürse,
2x + ay – 2a – 3b = 0 ve 4x + by + 32 = 0 denklem-
x + 4y + 6 = 0 olur.
x + ay – 3b = 0 denklemi ile karşılaştırılırsa, x in kat sayıları eşit olduğundan diğer kat sayıların da eşit olması
lerinin analitik düzlemde belirttiği doğrular çakışık
olduğuna göre, a kaçtır?
A) –2
gerekir. (Polinom eşitliği gibi)
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
a = 4 ve –3b = 6 olmalıdır.
b = –2 olduğundan
Çözüm
a + b = 4 + (–2) = 2
dir.
Doğru Seçenek E
2x + ay – 2a – 3b = 0 denklemi 2 ile genişletilirse,
4x + 2ay – 4a – 6b = 0 olur.
4x + by + 32 = 0 denklemi ile karşılaştırılırsa, x in kat sayıları eşit olduğundan diğer terimlerin de eşit olması gerekir.
x + ay + 6 = 0 ve 2x + 4y + b = 0 denklemlerinin analitik
düzlemde belirttiği doğrular çakışık olduğuna göre,
(Polinom eşitliği gibi düşünülebilir)
2a = b ve –4a – 6b = 32 elde edilir.
a + b toplamı kaçtır?
A) 10
B) 12
–4a – 6 ⋅ (2a) = 32 ⇒ a = –2
C) 14
D) 16
E) 18
dir.
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
127
Doğru Denklemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
çakışık olması için kat sayılar eşit olmalı,
a = 3, b = 2
2 a −2a − 3b
denklem sistemi çözülürse a = –2 bu= =
4 b
32
lunur.
⇒a+b=3+2=5
tir.
Doğru Seçenek A
Doğru Seçenek E
Analitik düzlemde
x + ay – 2a –3b = 0 ve 2x + by – 32 = 0 denklemlerinin
8y
4x
= 64 ve x + y = 1 denklemlerinin
a b
analitik düzlemde belirttiği doğrular çakışık olduğuna
belirttiği doğrular çakışıktır.
göre, a kaçtır?
Buna göre, a + b toplamı kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
A) –6
B) –1
C) 2
D) 4
E) 5
2) Paralel Olma Durumu
DNA 21
Analitik düzlemde
d1
8y
a
x
rinin belirttiği doğrular çakışıktır.
B) –1
C) 2
x
Analitik düzlemde herhangi bir ortak noktası olmayan
doğrulara paralel doğrular denildiğini öğrenmiştik, şimdi
Buna göre, a + b toplamı kaçtır?
A) –6
a
= 64 ve x − y = −1 denklemle4
a b
d2
D) 4
E) 5
ise paralel doğruların denklemleri arasındaki ilişkileri inceleyeceğiz.
Çakışık doğruların ve paralel doğruların eğimleri eşit ol-
Çözüm
8y
4x
duğundan sadece eğimlere bakarak doğruların paralel
olacağını söylemek yeterli değildir. İki doğrunun paralel
olması için varsa eğimleri eşit ve birbirinden farklı doğru-
= 64 ⇒ 8y = 4x ⋅ 64
lar olması gerektiğine göre, bu bilginin denklemde nasıl
yorumlanması gerektiğine bakalım;
⇒ 23y = 22x ⋅ 26 ⇒ 23y = 22x+6
⇒ 3y = 2x + 6 ⇒ –2x + 3y = 6
d1 : y = mx + n
d2 : y = mx + n′
d1, d2 doğrularının eğimleri eşittir.
⇒ −
128
x y
x y
x y
+ = 1 ⇒ − = −1 ile − = −1
3 2
3 2
a b
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
n = n′ olduğunda d1 = d2 yani doğrular çakışıktır.
n ≠ n′ olduğunda d1 ≠ d2 olacağından d1 // d2 dir.
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Doğru Denklemleri
d : y = mx + n doğrusunun eğimini değiştirmeden d doğru-
DNA 22
sundan farklı bir doğru (d doğrusuna paralel) elde etmek
için y ve x kat sayıları sıfırdan farklı herhangi bir sayı ile
çarpılabilir veya sadece n sayısı 1 den farklı bir sayıyla
çarpılabilir.
d : y = mx + n
(k + 2)x + 2y + k = 0 ve 2x + (k – 1)y + 1 = 0 denklemlerinin analitik düzlemde belirttiği doğrular paralel
olduğuna göre, k nın alabileceği değerler toplamı
kaçtır?
d1 : k ⋅ y = k ⋅ mx + n
(k ≠ 0)
d2 : y = mx + k ⋅ n
(k ≠ 1)
A) –4
B) –3
C) –2
D) –1
E) 1
ise d // d1 // d2 olur.
Çözüm
d1 : ax + by + c = 0
k+2
2
k
=
≠
2
k −1 1
d2 : ax + by + c′ = 0
d1, d2 doğrularının eğimleri eşitir.
c = c′ olduğunda d1 = d2 yani doğrular çakışıktır.
c ≠ c′ olduğunda, d1 ≠ d2 yani d1 // d2 dir.
d:
x y
+ =1
a b
d1 : k ⋅
d2 :
k+2
2
=
⇒ k 2 + k − 6 = 0 ⇒ k = –3 veya k = 2 olmalı,
2
k −1
2
k
≠ ⇒ k2 – k – 2 ≠ 0 ⇒ k ≠ –1 veya k ≠ 2 olduğundan
k −1 1
k değeri sadece – 3 olabilir.
Doğru Seçenek B
x
y
+k⋅ =1
a
b
x y
+ =k
a b
k değerine göre doğruların çakışık ve paralel olma durumlarını düşününüz.
Bir doğru denkleminde x ve y kat sayıları aynı sayı ile çarpılırsa veya sadece sabit terim değiştirilirse paralel doğrular elde edilir.
(k + 2)x + 4y + k = 0 ve 2x + ky + 1 = 0 denklemlerinin
analitik düzlemde belirttiği doğrular paralel olduğuna
göre, k nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) –4
B) –2
C) 0
D) 2
E) 4
Sonuç olarak, aşağıdaki IŞIK’ı verebiliriz.
Işık 20
DNA 23
d1 : a1x + b1y + c1 = 0
Analitik düzlemde her k reel sayısı için,
d2 : a2x + b2y + c2 = 0
2x – y + 2k + 4 = 0 denkleminin belirttiği doğrular-
doğrularının paralel (d1 // d2) olması için,
a1 b1 c1
=
≠
olmalıdır.
a2 b2 c 2
dan biri, orijinden ve A(a, k) noktasından geçtiğine
göre, a kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 2
129
Doğru Denklemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Çözüm
2x – y + 2k + 4 = 0 denkleminin belirttiği paralel doğru
Analitik düzlemde (2k + 12)x + (k + 2a)y – 6 = 0 ve
demetinde denklemi 2x – y = 0 olan doğru orijinden geçe-
k ∈ R – {–6} olmak üzere, her k değerine karşılık gelen
ceğinden 2k + 4 = 0 ⇒ k = –2 olmalıdır. A(a, –2) noktası
doğrular birbirine paralel olduğuna göre, a kaçtır?
bu doğru üzerinde olduğundan denklemi sağlayacağı için
A) –12
2 ⋅ a – (–2) = 0 ⇒ a = –1
B) –6
C) –3
D) 3
E) 4
dir.
Doğru Seçenek D
TANIM
a, b, c sabit sayılar olmak üzere,
ax + by + k ⋅ c = 0 denkleminde her k gerçek sayısına
Analitik düzlemde her k gerçek sayısı için,
2x – y + 2k + 4 = 0 denkleminin belirttiği doğrulardan
biri, y eksenini 4 noktasında kestiğine göre, k kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
karşılık gelen doğrular birbirine paraleldir. Bu doğrulara
paralel doğru demeti denir.
Paralel iki doğrunun denklemlerinin taraf tarafa toplanmasıyla elde edilen doğrunun geometrik yorumu;
d1 : ax + by + c = 0
d2 : ax + by + c′ = 0
birbirine paralel olan d1 ile d2 doğrularının denklemleri
taraf tarafa toplanırsa elde edilen denklem d3 doğrusu ol-
DNA 24
sun,
Analitik düzlemde (2k – 12)x + (k + 2a)y + 10 = 0 ve
k ∈ R – {6} olmak üzere, her k değerine karşılık
gelen doğrular birbirine paralel olduğuna göre, a
c + c′
=0
2
d1, d2, d3 doğru denklemlerinin geometrik yorumu;
d3 : 2ax + 2by + c + c′ ⇒ d3 : ax + by +
kaçtır?
A) –12
A
B) –6
C) –3
D) 3
E) 4
G
B
Çözüm
2k − 12
Eğim; m = −
sabit olmalıdır. Yani k sadeleşmek + 2a
lidir.
2(k − 6)
m=−
⇒ −6 = 2a
k + 2a
olursa eğim sabit olacağından, a = –3 tür.
Doğru Seçenek C
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
d3 = ax + by +
c + c¢
=0
2
d2 = ax + by + c¢ = 0
A ∈ d1, B ∈ d2 olsun, A ve B noktalarının orta noktası
d3 doğrusu üzerindedir. Yamuk ve üçgenlerin orta taban
doğrusunun denklemlerini yorumlayınız.
d1 : ax + by + c1 = 0
d2 : ax + by + c2 = 0
d3 : ax + by+ c3 = 0
d4 : ax + by + c4 = 0
...
130
d1 = ax + by + c = 0
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Doğru Denklemleri
di doğruları sırayla eşit aralıklarla birbirine paralelse,
ci sabit terimleri aritmetik dizi oluşturur. Yani ci sabit
sayılarındaki artış miktarı eşittir.
A
–2
d1 = ax + by + c = 0
d2 = ax + by + c + r = 0
D
k
E
K
EF: 2x + 3y – 3 = 0
2k
–4
d3 = ax + by + c + 2r = 0
AD: 2x + 3y – 1 = 0
F
B
C
BC: 2x + 3y + c = 0
d4 = ax + by + c + 3r = 0
1
oranında bölen nok2
tadır. Paralel doğruların x veya y kat sayıları aynı olmak
K noktası, [AC] doğru parçasını
dn : ax + by + c + (n – 1) ⋅ r = 0 dır.
şartıyla, bölen noktalar için kullanılan çözüm yöntemi sabit terimlere uygulanabilir.
k birimde –1 den –3 e –2 artış olduğundan 2k birimde –4
DNA 25
artış olacağından
c = –3 – 4 = –7
A
Analitik düzlemde
D
E
AC ∩ EF = {K}
F
K
dir.
Doğru Seçenek E
|CK| = 2|KA|
B
AD : 2x + 3y – 1 = 0
C
EF : 2x + 3y – 3 = 0
BC : 2x + 3y + c = 0
A
E
Yukarıdaki verilenlere göre, c kaçtır?
A) 1
B) –4
C) –5
D) –6
Analitik düzlemde
D
K
AC ∩ EF = {K}
F
|CK| = 2|KA|
E) –7
B
AD : 2x + 3y + 1 = 0
C
EF : 2x + 3y + 2 = 0
BC : 2x + 3y + c = 0
Çözüm
Yukarıdaki verilenlere göre, c kaçtır?
A) 3
A
–2
E
–2
D
K
AD: 2x + 3y – 1 = 0
F
EF: 2x + 3y – 3 = 0
d
–2
B
C
d: 2x + 3y + c¢ = 0
BC: 2x + 3y + c = 0
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
DNA 26
Analitik düzlemde A(–1, 2) noktasından geçen
ve y = 3x + 7 doğrusuna paralel olan doğrunun
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
AD ile EF doğrularının denkleminde sabit terimin artış
miktarı –2 olduğundan,
c′ = –3 – 2 = –5 ve c = –5 – 2 = –7
dir.
A) 3x – y + 5 = 0
B) 3x + y – 5 = 0
C) x – 3y + 5 = 0
D) x + 3y + 5 = 0
E) 3x + y + 10 = 0
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
131
Doğru Denklemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Çözüm
Çözüm
y = 3x + 7 ile istenen doğru paralel olduğundan, aranan
denklem y = 3x + n biçimindedir.
y = 2x + 4 doğrusunun eğimi 2 olduğundan bu doğruya dik
olan doğrunun eğimi −
Doğru A(–1, 2) noktasından geçtiğine göre,
2 = 3 ⋅ (–1) + n ⇒ n = 5
y = 3x + 5
1
dir.
2
1
olan ve A(–1, 1) noktasından geçen doğrunun
2
denklemi,
Eğimi −
y −1
1
=−
x − ( −1)
2
3x – y + 5 = 0
dır.
x + 2y – 1 = 0
Doğru Seçenek A
dır.
Doğru Seçenek C
Analitik düzlemde A(1,1) noktasından geçen ve
Analitik düzlemde A(1,2) noktasından geçen 3x + y = 0
y = 2x + 4 doğrusuna dik olan doğrunun denklemi aşa-
doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi aşağıda-
ğıdakilerden hangisidir?
kilerden hangisidir?
A) x + 2y + 1 = 0
B) x + 2y = 0
C) x + 2y – 1 = 0
D) x + 2y – 2 = 0
A) 3x – y – 5 = 0
B) 3x + y – 5 = 0
C) x – 3y + 5 = 0
D) x + 3y + 5 = 0
E) x + 2y – 3 = 0
E) 3x + y + 10 = 0
3) Kesişme Durumu
TANIM
d2: a2x + b2y + c2 = 0
d1: a1x + b1y + c1 = 0
DNA 27
K(x0, y0)
Analitik düzlemde A(–1, 1) noktasından geçen
ve y = 2x + 4 doğrusuna dik olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
B) x + 2y = 0
C) x + 2y – 1 = 0
D) x + 2y – 2 = 0
132
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
a1
b1
m2 = –
a2
b2
Analitik düzlemde yalnız bir ortak noktası olan doğrula-
A) x + 2y + 1 = 0
E) x + 2y – 3 = 0
m1 = –
ra kesişen doğrular, ortak noktaya kesişim veya kesim
noktası denir. İki doğru paralel veya çakışık değilse, kesişen iki doğrudur. O halde iki doğrunun kesişmesi için
eğimlerinin farklı olması yeterlidir.
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Doğru Denklemleri
d1 : a1x + b1y + c1 = 0
Hazine 14
d2 : a2x + b2y + c2 = 0
doğrularının kesişmesi için
a1 b1
≠
olmalıdır.
a2 b2
a1x + b1y + c1 = 0 ve
a2x + b2y + c2 = 0
doğrularının kesişim noktası; eğer varsa;
a1x + b1y + c1 = 0
DNA 28
a2x + b2y + c2 = 0
(k + 2)x + 2y + k = 0 ve 2x + (k – 1)y + 1 = 0 denklemlerinin analitik düzlemde belirttiği doğrular tek
noktada kesiştiğine göre, k aşağıdakilerden han-
denklemleri ortak çözülerek bulunur.
(x = apsis, y = ordinat)
gisi olamaz?
A) –4
B) –3
C) –2
D) –1
E) 1
DNA 29
Analitik düzlemde,
2x + 3y – 11 = 0
Çözüm
3x + 2y – 4 = 0
doğrularının kesişim noktasının koordinatlarının
toplamı kaçtır?
k+2
2
≠
2
k −1
A) 1
⇒ k2 + k − 6 ≠ 0
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
⇒ k ≠ –3 veya k ≠ 2 dir.
Doğru Seçenek B
Çözüm
Verilen iki denklemi kullanarak, x + y toplamını elde etmemiz gerekiyor.
Bunun için, bu iki denklemi taraf tarafa toplayalım:
2x + 3 y − 11 = 0
+
3 x + 2y − 4 = 0
5 x + 5 y − 15 = 0
⇒ x+y =3
(k + 2)x + 3y + k = 0 ve 2x + (k + 1)y + 1 = 0 denklemlerinin analitik düzlemde belirttiği doğrular tek noktada
kesiştiğine göre, k aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) –4
B) –3
C) –2
D) –1
bulunur.
Doğru Seçenek C
E) 0
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
133
Doğru Denklemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Çözümün yorumu;
d3
d1
Analitik düzlemde,
(3,–2)
11x – 8y – 1 = 0
9y – 10x – 3 = 0
d4
d2
d2 : 3x – y – 11 = 0
d3 : x = 3
d4 : y = –2
doğrularının kesişim noktasının koordinatlarının top-
doğruları (3, –2) noktasında kesişirler.
lamı kaçtır?
A) 1
d1 : x – 3y – 9 = 0
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
TANIM
Bir noktada kesişen doğruların meydana getirdiği geo-
DNA 30
metrik şekle doğru demeti denir. Kesişim noktasına
doğru demetinin merkezi denildiği de olur. Doğru demetinin eksenlere dik olan doğrularına doğru demetinin asal
Analitik düzlemde
d1: x – 3y – 9 = 0 ve d2: 3x – y – 11 = 0
doğrularının kesiştiği noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) (3, –2)
B) (3, 2)
D) (–3, –2)
C) (–3, 2)
E) (2, –2)
elemanları veya asal doğruları denir. Örneğin, x = 3 ve
y = –2 doğruları, merkezi K(3, –2) olan doğru demetinin
asal elemanlarıdır.
Doğru demetinin asal elemanlarının denklemlerinin taraf
tarafa toplamı veya farklarından elde edilen denklemlerin
belirttiği doğrular, doğru demetinin elemanlarıdır.
Çözüm
Aradığımız nokta d1 ve d2 doğru denklemlerinin ikisini de
sağlayan P(x, y) dir. Bu nokta, verilen denklem sistemini
çözmekle bulunabilir;
−3 / x − 3 y − 9 = 0
Analitik düzlemde d1: x – 2y + 8 = 0 ve d2: 2x+y+6 = 0
doğrularının kesiştiği noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
−3 x + 9 y + 27 = 0
+
B) (–4, 2)
A) (–4, –2)
D) (–3, –2)
C) (–3, 2)
E) (2, –2)
3 x − y − 11 = 0
0 + 8 y + 16 = 0
⇒ y = −2
dir.
y değeri ilk denklemde yerine yazılırsa,
x – 3 (–2) – 9 = 0
Aşağıdakilerden hangisi, merkezi K(–1, 2) olan
⇒ x = 3 elde edilir.
doğru demetinin bir elemanı değildir?
P(x, y) = P(3, –2) dir.
A) x = –1
Doğru Seçenek B
134
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
DNA 31
B) y = 2
D) 2x + y = 0
C) x + y = 1
E) x – 2y = 3
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Doğru Denklemleri
dmn : m(x + 1) + n(y – 2) = 0 denklemine doğru demetinin
Çözüm
genel denklemi denir. Herhangi bir gerçek sayıyı temsil
K(–1, 2) noktası, x – 2y = 3 denklemini sağlamadığından,
x – 2y = 3 doğrusu demetin bir elemanı değildir.
eden m ve n değişkenlerine doğru demetinin parametreleri denir. Parametre sayısını ikiden bire indirgeyebiliriz.
Genel denklemin her tarafı m (veya n) değerine bölünürse
(x = –1 denkleminde y nin kat sayısı sıfır olarak düşünül-
elde edilen denklem de doğru demetinin denklemidir; fa-
melidir. x + 0 ⋅ y = –1 gibi)
kat buna genel denklem denilmez. Çünkü doğru demetinin tüm doğrularını (elemanlarını) temsil etmez.
Doğru Seçenek E
dmn : m(x + 1) + n(y – 2) = 0
dmn : (x + 1) +
n
(y – 2) = 0,
m
n
= k dersek
m
Aşağıdakilerden hangisi, merkezi K(1, 2) olan doğru
dk : x + 1 + k(y – 2) = 0 veya
demetinin bir elemanıdır?
B) y = 2
A) x = –1
D) 2x + y = 0
C) x + y = 1
E) x – 2y = 3
dk : x + ky + 1 – 2k = 0
denklemleri, merkezi K(–1, 2) olan doğru demetinin k parametresine göre bir denklemidir.
Doğru demetinin asal elemanları yerine herhangi iki ele-
Merkezi K(–1, 2) olan doğru demetinin denklemlerinin
bulunuşu:
Amacımız K noktasını üzerinde bulunduran tüm doğruları
temsil eden bir denklem bulmaktır.
manı seçilerek de doğru demetinin denklemini değişik biçimlerde yazmak mümkündür. Örneğin,
x + 1 = 0, y – 2 = 0 doğrularını taraf tarafa toplayıp çıkarırsak elde edilen x + y – 1 = 0 ile x – y + 3 = 0 doğruları
da K(–1, 2) noktasından geçer. Bu doğruları kullanarak
d10 : x = –1 veya x + 1 = 0
aynı merkezli doğru demetinin bir başka denklemini ya-
(doğru demetinin asal elemanı)
zabiliriz,
d20 : 2(x + 1) = 0
m ve n parametre olmak üzere,
d30 : 3(x + 1) = 0
...
m(x + y – 1) + n(x – y + 3) = 0
k parametresine göre x + y – 1 + k(x – y + 3) = 0 veya
dm0 : m(x + 1) = 0 (m ∈ R)
(1 + k)x + (1 – k)y + 3k – 1 = 0 denklemi, merkezi
d01 : y = 2 veya y – 2 = 0 (doğru demetinin asal elemanı)
K(–1, 2) olan doğru demetinin k parametresine göre bir
d02 : 2(y – 2) = 0
başka denklemidir.
d03 : 3(y – 2) = 0
...
d0n : ny = 2n veya ny–2n = 0 veya n(y– 2) = 0 (n ∈ R)
Uyarı
dmn : m(x + 1) + n(y – 2) = 0, (m, n ∈ R)
Bu denklemde her keyfi m ve n değerlerine karşılık bir
doğru denklemi elde edilir. Elde edilen bu doğruların
K(–1, 2) noktasından geçtiği çok açıktır.
Bir doğru demetinin birden fazla parametrik denklemi
vardır.
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
135
Doğru Denklemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
DNA 32
DNA 33
Analitik düzlemde k parametre olmak üzere, denk-
Analitik düzlemde k parametre olmak üzere, denk-
lemi (k – 3)x + (k + 2)y + 15 = 0 olan doğru demeti-
lemi (k – 1)x + (k + 1)y + 8 = 0 olan doğru demetinin
eğimi 2 olan elemanının, x eksenini kestiği nokta-
nin merkezinin koordinatları toplamı kaçtır?
A) –3
B) –1
C) 0
D) 3
nın apsisi kaçtır?
E) 6
A) –8
B) –6
C) 2
D) 4
E) 6
Çözüm
İki keyfi k değeri, verilen demet denkleminde yerine yazılırsa, iki doğru denklemi elde edilir. Bu doğruların kesiştiği
nokta doğru demetinin merkezidir.
Çözüm
Fakat k yerine keyfi değerler vermek yerine, sonuca kolay ulaşabilmek için uygun değerlerin seçilmesi işlemleri
(k – 1)x + (k + 1)y + 8 = 0 denkleminde eğimi 2 yapan k
değeri bulunmalıdır.
kolaylaştıracaktır.
–
(k – 3)x + (k + 2)y + 15 = 0 denkleminde
k = 3 yazılırsa y değeri, k = –2 yazılırsa x değeri bulunur.
1
k −1
= 2 olması için k = − olmalıdır.
3
k +1
Demet denkleminde bu değerle birlikte, x eksenini kestiği
noktanın bulunması için y = 0 yazılırsa
k = 3 için 0x + 5y + 15 = 0 ⇒ y = –3
⎛ 1 ⎞
⎛ 1 ⎞
⎜ − − 1⎟ x + ⎜ − + 1⎟ ⋅ 0 + 8 = 0 ⇒ x = 6
⎝ 3 ⎠
⎝ 3 ⎠
k = –2 için –5x + 0y + 15 = 0 ⇒ x = 3
doğru demetinin merkezi (3, –3) olduğundan koordinatları
dır.
Doğru Seçenek E
toplamı 3 + (–3) = 0 dır.
Doğru Seçenek C
Analitik düzlemde k parametre olmak üzere, denklemi
Analitik düzlemde k parametre olmak üzere, denklemi
(k – 1)x – (k + 1)y + 8 = 0 olan doğru demetinin eğimi
(k + 3)x + (k – 2)y + 15 = 0 olan doğru demetinin mer-
2 olan elemanının x eksenini kestiği noktanın apsisi
kezinin koordinatları toplamı kaçtır?
kaçtır?
A) –3
136
B) –1
C) 0
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
D) 3
E) 6
A) –8
B) –6
C) 2
D) 4
E) 6
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Doğru Denklemleri
DNA 34
Analitik düzlemde 4x – 3y + 4 = 0 ve 5x– 2y + 6 = 0
Analitik düzlemde 4x – 3y + 4 = 0 ve 5x– 2y + 6 = 0 doğ-
doğrularının kesişim noktasından geçen ve eğimi
rularının kesişim noktasından geçen ve eğimi –1 olan
2 olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangi-
doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
sidir?
A) x + y + 1 = 0
B) 5x + 5y + 4 = 0
C) 3x + 3y + 2 = 0
D) x + y + 2 = 0
A) 2x – y + 1 = 0
B) 4x – 2y –15 = 0
C) 8x – 4y + 17 = 0
D) 14x – 7y + 16 = 0
E) 7x + 7y + 6 = 0
E) 18x – 9y + 17 = 0
Çözüm
DNA 35
4x – 3y + 4 = 0, 5x – 2y + 6 = 0 ve istenilen doğru aynı
noktadan geçtiğine göre doğru demeti oluştururlar. Demetin tüm elemanlarını içeren genel denklem (iki parametreli
denklemi) yazılırsa istenen koşula göre kesişme noktasını
bulmadan sonuca gidebiliriz. a ve b parametresine göre
doğru demetinin genel denklemi,
a(4x – 3y + 4) + b(5x – 2y + 6) = 0
Analitik düzlemde 2x + 3y – 12 = 0 ve x – 2y + 1 = 0
doğrularının kesiştiği noktadan geçen ve x eksenine dik olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) x = 3
B) x = 2
D) x = –2
biçimindedir.
C) x = 1
E) x = –3
(4a + 5b)x – (3a + 2b)y + 4a + 6b = 0
Bu denklemde eğimin 2 olması için,
2=−
Çözüm
4a + 5b
−3a − 2b
2x + 3y – 12 = 0, x – 2y + 1 = 0 doğrularının K(a, b) ke-
⇒ b = 2a
sim noktasından geçen ve x eksenine dik olan doğrunun
denklemi x = a dır. Yani istenen doğru denkleminde y li
oranı elde edilir.
Doğru demetinde b yerine 2a yazılırsa istenen doğru
denklemi elde edilir.
terim yoktur. Verilen denklem sisteminde y li terimler yok
edilirse istenen doğrunun denklemi bulunmuş olur.
a ⋅ (4x – 3y + 4) + 2a(5x – 2y + 6) = 0
⇒
a ⋅ (4x – 3y + 4 + 10x – 4y + 12) = 0
⇒
14x – 7y + 16 = 0 dır.
2/
2x + 3 y − 12 = 0
3/
x − 2y + 1 = 0
4 x + 6 y − 24 = 0
Doğru Seçenek D
+
3x − 6y + 3 = 0
7 x − 21 = 0 ⇒ x = 3
Not
b = 2a oranı, demet denklemine yazılırken a = 1, b = 2 gibi
olur.
Doğru Seçenek A
sabit değerler yazılabileceğine dikkat ediniz.
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
137
Doğru Denklemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Bu doğrulardan eğimi 2 olanını bulmak için a ile b arasındaki oranı bulalım,
Analitik düzlemde 2x + 3y – 12 = 0 ve x – 2y + 1 = 0
2=−
doğrularının kesiştiği noktadan geçen ve y eksenine
3a + b
⇒ 8a – 4b = –3a – b
4a − 2b
⇒ 11a = 3b dir.
dik olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
a = 3, b = 11 seçilerek demet denkleminde yazılırsa,
B) y = 2
A) y = 3
D) y = –2
C) y = 1
3(3x + 4y – 14) + 11(x – 2y + 2) = 0
E) y = –3
9x + 12y – 42 + 11x – 22y + 22 = 0
20x –10y – 20 = 0 ⇒ 2x – y – 2 = 0 dır.
DNA 36
Doğru Seçenek E
Analitik düzlemde 3x + 4y – 14 = 0 ve x – 2y + 2 = 0
doğrularının
kesiştiği
noktadan
geçen
ve
x + 2y + 1 = 0 doğrusuna dik olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x – y + 3 = 0
B) 2x – y + 1 = 0
C) 2x – y = 0
D) 2x – y – 1 = 0
Analitik düzlemde 3x + 4y – 14 = 0 ve x – 2y + 2 = 0
doğrularının kesiştiği noktadan geçen ve x+ 2y + 1 = 0
E) 2x – y – 2 = 0
doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm
A) 2x – y + 3 = 0
B) 2x – y + 1 = 0
C) x + 2y – 6 = 0
D) x + 2y + 6 = 0
1
x + 2y + 1 = 0 doğrusunun eğimi m = − olduğundan bu
2
E) x + 2y – 3 = 0
doğruya dik olan doğruların eğimleri m′ = 2 dir.
(Dik doğruların eğimleri çarpımı –1)
DNA 37
Aranan doğru ile 3x + 4y –14 = 0 ve x – 2y + 2 = 0 doğruları aynı noktadan geçtiğine göre doğru demeti meyda-
Analitik düzlemde
A
na getirirler. Doğru demetinin a ve b parametresine göre
ABC üçgen
denklemi;
AB : 2x – y + 3 = 0
a(3x + 4y – 14) + b(x – 2y + 2) = 0
B
olsun.
H
C
AC : x + y – 2 = 0
AH : 3x + a = 0
Denklem düzenlenirse;
(3a + b)x + (4a – 2b)y – 14a + 2b = 0
elde ederiz.
138
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
Yukarıdaki verilenlere göre, a kaçtır?
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Doğru Denklemleri
Çözüm
DNA 38
AB, AC, AH doğruları A noktasında kesiştiğinden, AH
doğrusunun denklemi AB ve AC doğru denklemleri kullanılarak bulunabilir. AH doğrusunun denkleminde y li terim
olmadığından, AB ve AC denklemlerindeki y değişkenleri
Analitik düzlemde 3x – 2y + k = 0, x + y – 1 = 0,
2x + y – 3 = 0 doğruları tek noktada kesiştiğine
göre, k kaçtır?
A) –8
yok edilmelidir.
B) –7
C) –6
D) –4
E) –3
2x − y + 3 = 0
+
x+y−2=0
3x + 1 = 0
olduğuna göre, a = 1 dir.
Çözüm
Doğru Seçenek C
3x – 2y + k = 0 doğrusu,
a(x + y – 1) + b(2x + y – 3) = 0
denkleminden elde edilebilir.
(a + 2b)x + (a + b)y – (a + 3b) = 0
Uyarı
3 = a + 2b ⎫⎪
⎬ taraf tarafa çıkarılırsa, b = 5, a = –7
−2 = a + b ⎪⎭
d1, d2, d3 doğruları bir noktada kesişiyorsa;
d1 : a1x + b1y + c1 = 0 ⎫
⎪
⎪
d2 : a2 x + b2 y + c 2 = 0 ⎬
⎪
d3 : a3 x + b3 y + c 3 = 0 ⎪⎭
k = –a – 3b
a1 b1 c1
a2 b2 c 2 = 0
a3 b3 c 3
⇒
k = –(–7) – 3 ⋅ 5 = –8
dir.
Determinant konusuna bakınız ve analitik geometri bil-
Doğru Seçenek A
gileriyle kıyaslayınız...
Analitik düzlemde
A
ABC üçgen
AB : 2x + y + 3 = 0
B
H
C
AC : x + y – 2 = 0
Analitik düzlemde 3x + 2y + k = 0, x + y + 1 = 0,
AH : 3x + a = 0
2x + y + 3 = 0 doğruları tek noktada kesiştiğine göre,
k kaçtır?
Yukarıdaki verilenlere göre, a kaçtır?
A) 15
B) 10
C) 9
D) 6
E) 5
A) –4
B) –1
C) 1
D) 3
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 4
139
Doğru Denklemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
DNA 39
Analitik düzlemde 2x – y – 3 = 0 doğrusunun,
Analitik düzlemde 2x + y + 3 = 0 doğrusunun,
x – y + 1 = 0 doğrusuna göre simetriğinin denklemi
x + y + 1 = 0 doğrusuna göre simetriğinin denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
aşağıdakilerden hangisidir?
A) x – 6y + 6 = 0
B) x – 5y – 6 = 0
A) x – 6y + 6 = 0
B) x – 5y – 6 = 0
C) x – 4y + 6 = 0
D) x – 3y + 6 = 0
C) x – 2y + 6 = 0
D) x + 2y = 0
E) x + 2y + 6 = 0
E) x – 2y + 6 = 0
Çözüm
Simetri k, doğru d ve eğimi m olsun,
2x – y – 3 = 0, m1 = 2
a1
a2
A
x – y + 1 = 0, m2 = 1
NOKTANIN DOĞRUYA UZAKLIĞI
α1 = α2
tanα1 = tanα2
Noktanın doğruya uzaklığıyla ilgili formülün hangi yöntemler kullanılarak bulunacağını basit bir örnek üzerinde
uygulamalı gösterelim.
d, m
m1 − m2
m2 − m
=
1 + m1 ⋅ m2 1 + m2 ⋅ m
DNA 40
2 −1
1− m
1
=
⇒m=
1 + 2 ⋅ 1 1 + 1⋅ m
2
Doğrular bir noktada kesiştiğinden demet meydana ge-
Analitik düzlemde A(1, 2) noktasının y =
tirirler. Simetri doğrusu, kesişim noktası bulunmadan da
rusuna uzaklığı kaç birimdir?
demet denklemi yardımıyla bulunabilir.
A)
5
B) 2
C)
3
D)
2
3
x doğ4
E) 1
a(2x – y – 3) + b(x – y + 1) = 0,
1
2a + b
=−
⇒ b = −3a
2
−a − b
Çözüm
olduğundan demet denkleminde a = 1, b = –3 yazarak
simetri doğrunun denklemini bulmuş oluruz.
2x – y – 3 – 3 ⋅ (x – y + 1) = 0
Cebirsel yöntem ile problemin çözümü:
A(1,2)
–x + 2y – 6 = 0
d: y =
x – 2y + 6 = 0
P(x,y)
Değişik çözüm yöntemleri için simetri konusunu inceleyi-
d doğrusu üzerinde P(x, y) noktası alalım. A noktasının
doğruya uzaklığı, |AP| uzunluğunun en küçük değerini al-
niz.
Doğru Seçenek E
ması ile mümkündür. O halde iki nokta arasındaki uzaklıktan |AP| uzunluğunu yazalım;
140
3
x
4
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Doğru Denklemleri
⎛8 6⎞
P ⎜ , ⎟ ile A(1, 2) noktaları arasındaki uzaklık, A nokta⎝5 5⎠
| AP | = ( x − 1)2 + ( y − 2)2
⎛3
⎞
= ( x − 1)2 + ⎜ x − 2 ⎟
⎝4
⎠
= x 2 − 2x + 1 +
=
2
sının d doğrusuna olan uzaklığa eşittir.
2
25 2
x − 5x + 5
16
2
⎛8 ⎞
⎛6
⎞
| AP |= ⎜ − 1⎟ + ⎜ − 2 ⎟ =
⎝5 ⎠
⎝5
⎠
9 2
x − 3x + 4
16
9 16
+
= 1 birim
25 25
dir.
2
⎛5
⎞
= ⎜ x − 2⎟ + 1
⎝4
⎠
Benzerlik ile çözüm (geometrik çözüm yöntemi):
ifadesi
5
x − 2 = 0 olduğunda en küçük değerini alır.
4
A(1,2)
4k
5k
|AP| en az 1 birim olabilir.
L
O halde, A noktasının doğruya uzaklığı 1 birimdir.
Diğer yandan cebirsel işlemler sonucunda elde edilen
x=
A noktasının apsisi 1 ise
y
O
d: y =
P
3k
|OK| = 1 br
3
x
4
x
1 K
OKL ile APL benzer üçgenler olduğundan,
|LP| = 3k ise |AP| = 4k, |AL| = 5k
8
değerini yorumlayalım:
5
A noktasının ordinatı 2 olduğundan,
8
değeri, A noktasının d doğrusu üzerindeki dik izdüşü5
| AK | = 2 br ⇒ 5k +
k=
münün apsisidir. Yani A noktasından d doğrusuna inilen
dikme ayağının apsisi
8
tir.
5
3
=2
4
1
4
|AP| = 4k = 1 birimdir.
Alan hesabı ile çözüm:
Analitik çözüm yöntemi:
A(1,2)
A(1,2)
d: y =
P(x,y)
3
3
ise | KL | = br
4
4
md =
3
4
3
x
4
d: y =
O(0,0)
H
3
x
4
B(4,3)
A noktasının doğru üzerindeki dik izdüşümü P(x, y) olsun.
Amaç P noktasının koordinatlarını bulmak ve A ile P nok-
d doğru üzerinde birbirinden farklı iki keyfi nokta seçilir. A
⎛ 3 ⎞
tası arasındaki uzaklığı hesaplamaktır. P ⎜ x, x ⎟ tir.
⎝ 4 ⎠
noktası ve seçilen noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı delta yöntemiyle bulunur. Seçilen iki nokta arasındaki
[AP] ⊥ d olduğundan eğimleri çarpımı –1 olacağından,
uzaklık taban ve A noktasının d doğrusuna uzaklığı yani
3
x
4 ⋅ 3 = −1 ⇒ x = 8
1− x 4
5
2−
üçgenin yüksekliğini bulabiliriz. d doğrusu üzerinde seçi3
6
ve y = x ⇒ y =
4
5
len noktalar keyfi olduğundan üçgenin yüksekliği bazen
dışarıda olabilir. Fakat bu durum işlemleri etkilemez.
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
141
Doğru Denklemleri
x = 0 için y =
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
3
⋅ 0 = 0 olduğundan,
4
O(0, 0) keyfi seçtiğimiz ilk nokta olsun.
Formül ile çözüm:
Diğer keyfi nokta
3
⋅ 4 = 3 olduğundan B(4, 3) olsun.
4
A(1, 2), O(0, 0), B(4, 3) noktalarını köşe kabul eden üçgex = 4 için y =
A(1, 2) noktasının y =
lığı h olsun;
nin alanını delta yöntemiyle bulalım:
+
h=
1
2
0
0
0
4
3
0
0
1
2
0
3
+
3
8
8
Alan( AOB) =
Üçgenin tabanı |OB| =
3
x ⇒ 3x – 4y = 0 doğrusuna uzak4
| 3 ⋅1− 4 ⋅ 2 |
2
3 +4
2
Kapalı doğru denklemi olarak,
=
5
= 1 birim
5
3
x − y = 0 alınabilirdi. Bu
4
durumda da çözüm,
|8−3| 5
= br
2
2
h=
3
⋅1− 2
4
2
= 1 birim
⎛3⎞
2
⎜ ⎟ + ( −1)
⎝4⎠
32 + 42 = 5 br
biçiminde olacaktı.
A köşesine ait yükseklik h br olsun;
Doğru Seçenek E
A l an( AOB) =
5 ⋅h 5
=
2
2
h = 1 birim
O halde, A noktasının doğruya uzaklığı 1 birimdir.
Uyarı
Birbirinden farklı bu beş yolun öğrenci tarafından bilinmesi gerekir. Gereksiz diye öğrenmediğiniz yol çöze-
Hazine 15
meyeceğiniz soru tipi demektir.
Noktanın Doğruya Uzaklığı:
A(x1, y1) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna uzaklığı
h birim ise;
h=
| a ⋅ x1 + b ⋅ y1 + c |
a2 + b2
dir.
......................................................................................
Nokta kapalı doğru denkleminde yazılır.
Analitik düzlemde A(1, 2) noktasının
suna uzaklığı kaç birimdir?
x ile y nin katsayılarına pisagor uygulanır.
142
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
A) 0
B)
1
5
C)
2
5
x y
+ = 1 doğru4 3
D)
3
5
E)
4
5
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Doğru Denklemleri
DNA 41
Analitik düzlemde
x y
+ = 1 doğrusunun orijine
4 3
Analitik düzlemde 3x + 4y = 10 doğrusunun orijine
uzaklığı kaç birimdir?
uzaklığı kaç birimdir?
A) 1
B) 1,6
C) 2,4
D) 2,8
E) 3,6
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Çözüm
DNA 42
Euclid Teoremi’nden,
y
1
=
h2
1
+
32
1
42
3
O
x
4
h=
2
2
2
2
4 +3
1
=
h
h
Analitik düzlemde A(4, 3) noktasının,
3 ⋅4
12
= 2, 4 birim
5
2x – 3y + 6 = 0
doğrusuna uzaklığı kaç birimdir?
A)
3
B)
13
D)
4
C)
13
6
E)
13
5
13
7
13
Çözüm
O(0, 0) noktasının
h=
dir.
x y
+ − 1 = 0 doğrusuna uzaklığı h ise
4 3
| 0 + 0 − 1|
2
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
⎜ ⎟ +⎜ ⎟
4
⎝ ⎠
⎝3⎠
2
1
=
1
32
+
1
=
12
= 2, 4 birim
5
42
y
d: 2x – 3y + 6 = 0
B 4,
Doğru Seçenek C
14
3
h
A(4, 3)
3
C
,3
2
O
4
x
A noktasının d doğrusuna uzaklığı h birim olsun,
Kısayol
Euclid Teoremi’ni uygulayabilmek için A(4, 3) noktasını
x y
+ = 1 doğrusunun orijine uzaklığı h birim ise,
a b
diklik merkezi kabul eden ABC dik üçgenini oluşturalım;
x = 4 için 2 ⋅ (4) – 3y + 6 = 0 ⇒ y =
1
h2
dir.
=
1
a2
+
1
b2
14
⎛ 14 ⎞
, B ⎜ 4, ⎟
3
⎝ 3 ⎠
3 ⎛3 ⎞
y = 3 için 2x – 3 ⋅ (3) + 6 = 0 ⇒ x = , C ⎜ , 3 ⎟
2 ⎝2 ⎠
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
143
Doğru Denklemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Çözüm
14
5
−3 =
3
3
| AB | =
3 5
=
2 2
| AC | = 4 −
Değişken B noktasının geometrik yeri y = 2x + 1 doğrusudur. A(3, –2) noktasının 2x – y + 1 = 0 doğrusuna uzaklığı
istendiğinden;
Euclid Teoremi’nden,
1
1
=
2
h
⎛5⎞
⎜ ⎟
⎝3⎠
2
+
1
⎛5⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
min(| AB |) = h =
2
| 2 ⋅ 3 − ( −2) + 1 |
2
2
2 +1
=
9
5
birim
dir.
1
9
4 13
=
+
=
2
25
25
25
h
5
h=
DNA 43’ün 2. çözüm mantığını kullanarak farklı bir çözüm
elde edebilirsiniz.
birim
13
Bu işi siz çalışkan öğrencilerimize bırakıyoruz.
Doğru Seçenek C
dir.
A(4, 3) noktasının d : 2x – 3y + 6 = 0 doğrusuna uzaklığı;
h=
| 2⋅4 − 3⋅3 + 6|
2
2 +3
2
=
5
13
birim
dir.
Doğru Seçenek C
Analitik düzlemde A(3, 7), B(a, 2a – 1) olduğuna göre,
|AB| uzunluğu en az kaç birimdir?
A)
7
2
B)
5
2
C)
2
5
D)
1
5
E) 0
Analitik düzlemde A(–4, 3) noktasının 2x + 3y + 6 = 0
doğrusuna uzaklığı kaç birimdir?
3
A)
4
B)
13
D)
C)
13
6
E)
13
5
13
7
13
DNA 44
DNA 43
Analitik düzlemde A(3, –2), B(a, 2a + 1) olduğuna
Analitik düzlemde
d1 : 3x + 4y + 2 = 0 ile d2 : 3x + 4y + 12 = 0
göre, |AB| uzunluğu en az kaç birimdir?
doğruları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A)
144
7
2
B)
5
2
C)
9
5
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
D) 3
E) 5
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 5
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Doğru Denklemleri
Çözüm
d1 : 3x + 4y + 2 = 0
d2 : 3x + 4y + 12 = 0
Verilen doğruların paralel olduğuna dikkat ediniz. Paralel
h=
doğrular arasındaki uzaklık sabit olduğundan, d2 doğrusu
üzerinde keyfi bir A noktası seçip, A noktasının d1 doğru-
| 2 − 12 |
32 + 42
=
10
5
h = 2 birimdir.
suna uzaklığını hesaplayabiliriz.
Doğru Seçenek C
d2 üzerinde, x = 0 için
3 ⋅ 0 + 4y + 12 = 0 ⇒ y = –3, A(0, –3) noktasını alalım.
A(0, –3) noktasının d1 : 3x + 4y + 2 = 0 doğrusuna uzaklığı;
h=
| 3 ⋅ 0 + 4 ⋅ ( −3) + 2 |
2
3 +4
2
=
10
5
h = 2 birimdir.
Analitik düzlemde d1 : 3x + 4y + 2 = 0 ile
d2 : 3x + 4y + 7 = 0 doğruları arasındaki uzaklık kaç
birimdir?
B) 1
A) 0
C) 2
D) 3
E) 4
Hazine 16
Paralel Doğrular Arasındaki Uzaklık:
ax + by + c1 = 0 ve
ax + by + c2 = 0
Paralel doğruları arasındaki uzaklık h birim ise;
h=
| c1 − c 2 |
a2 + b2
DNA 45
dir.
.....................................................................................
Analitik düzlemde
d1: x–3y – 2 = 0 ile d2: 3x – 9y + 24 = 0
Formül uygulanmadan önce paralel doğruların karşılıklı x ve y katsayıları eşitlenmelidir.
Sabitler farkı
x ile y nin katsayılarına pisagor uygulanır
doğruları veriliyor.
Karşılıklı kenarları d1 ve d2 doğrusu üzerinde bulunan karenin alanı kaç br2 dir?
A) 12
B) 10
C) 8
D) 6
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 5
145
Doğru Denklemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Çözüm
Çözüm
Verilen doğruların paralel olduğuna dikkat ediniz. Karenin
bir kenarı a birim ise, paralel doğrular arasındaki uzaklık
d doğrusu üzerinde P(x, 3 –x) değişken noktasını alalım.
a birimdir.
P noktası A noktasına en yakın olduğunda [AP] ⊥ d olur.
d1: x – 3y – 2 = 0
A noktasının d doğrusuna uzaklığı h birim olsun,
a
A(1,1)
d2: x – 3y + 8 = 0
h
a=
| −2 − 8 |
2
1 +3
2
=
d: x + y – 3 = 0
10
P(x,3–x)
10
min(|AP|) = h
a = 10 birimdir.
Karenin Alanı: a2 = 10 br2 dir.
( x − 1)2 + (3 − x − 1)2 =
Doğru Seçenek B
| 1+ 1− 3 |
12 + 12
1
2
⇒ ( x − 1)2 + ( x − 2)2 =
(Bu adımda elde edilen denklem daima tam karedir. Dolayısıyla denklemin kökü kolayca bulunabilmektedir.)
2x 2 − 6 x +
Analitik düzlemde d1: 4x – 12y – 8 = 0 ile d2: 3x – 9y + 24 = 0
2
doğruları veriliyor.
3 ⎞
⎛
⎟ =0
⎜ 2x −
2⎠
⎝
Karşılıklı kenarları d1 ve d2 doğrusu üzerinde bulunan
karenin alanı kaç br2 dir?
A) 12
B) 10
9
=0
2
C) 8
3
2x −
D) 6
2
E) 5
x=
=0
3
= 1, 5
2
d doğrusu üzerinde P(x, 3 – x) değişken noktasını alalım.
P noktası A noktasına en yakın olduğunda [AP] ⊥ d olur.
mAP ⋅ md = –1
A(1,1)
DNA 46
d: y = –x + 3
Analitik düzlemde d : x + y –3 = 0 doğrusunun A(1, 1)
noktasına en yakın noktasının apsisi kaçtır?
A) –1, 4
B) –1
D) 1,2
146
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
C) –0,2
E) 1,5
P(x,3 – x)
3 − x −1
⋅ ( −1) = −1
x −1
x=
3
= 1, 5
2
Doğru Seçenek E
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Doğru Denklemleri
P(x, y) noktası verilen iki doğruya da eşit uzaklıkta olduğundan
h1 = h2
Analitik düzlemde d : x + y – 1 = 0 doğrusunun başlangıç noktasına en yakın noktasının apsisi kaçtır?
A) –1, 4
B) –1
D) 0,5
| 2x − y − 4 |
2
2
2 +1
C) –0,2
E) 1,5
=
| 2x − y + 6 |
22 + 12
|2x – y – 4| = |2x – y + 6| ise,
2x – y – 4 = 2x – y + 6
veya
2x – y – 4 = –2x + y – 6 dır.
Not
–4 = 6 veya 4x – 2y + 2 = 0 dır.
∅ veya 2x – y + 1 = 0 dır.
Analitik düzlemin A(a, b) noktası, O(0, 0) noktasına ötelendiğinde,
Her iki doğruya eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri,
F(x, y) = 0 doğrusu da F′(x + a, y + b) = 0 doğrusuna öte2x – y + 1 = 0
lenir. Bu durumda A noktasının F doğrusuna uzaklığı ile O
noktasının F′ doğrusuna uzaklığı eşittir.
doğrusudur.
DNA 47
Analitik düzlemde 2x – y – 4 = 0 ve 6x – 3y + 18 = 0
2x – y – 4 = 0
doğrularına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik
2x – y + c = 0
yerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x – y + 1 = 0
B) 2x – y + 2 = 0
C) 2x – y + 3 = 0
D) 2x – y + 4 = 0
E) 2x – y + 7 = 0
2x – y + 6 = 0
Paralel doğrular eşit aralıklı olduklarından sabit sayılar
aritmetik dizi oluşturur. İstenen doğrunun denklemi
2x –y + c = 0
biçimindedir.
Çözüm
c=
olduğundan, her iki doğruya eşit uzaklıktaki noktaların
Verilen doğrular paraleldir.
2x – y – 4 = 0
h1
−4 + 6
=1
2
P(x,y)
geometrik yeri 2x – y + 1 = 0 doğrusudur.
Doğru Seçenek A
h2
2x – y + 6 = 0
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
147
Doğru Denklemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
P(x, y) noktası verilen iki doğruya da eşit uzaklıkta olduğundan,
h1 = h2
Analitik düzlemde 2y – 4x + 8 = 0 ve 6x – 3y + 18 = 0
doğrularına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri-
| 2x − y − 4 |
nin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x – y + 1 = 0
B) 2x – y + 2 = 0
C) 2x – y + 3 = 0
D) 2x – y + 4 = 0
22 + 12
=
| x + 2y + 6 |
22 + 12
denklemi istenen geometrik yerin denklemidir. Bu denklemin analitik düzlemde görüntüsü birbirine dik iki doğrudur.
Bu doğrular;
E) 2x – y + 7 = 0
|2x – y – 4| = |x + 2y + 6|
2x – y – 4 = x + 2y + 6
veya
2x – y – 4 = –(x + 2y + 6)
x – 3y – 10 = 0 veya 3x + y + 2 = 0
Işık 21
Geometrik yerin denklemi x–3y–10 = 0 ve 3x + y + 2 = 0
Kesişen iki doğruya eşit uzaklıktaki noktaların geomet-
doğrularıdır. Bu doğrular üzerindeki tüm noktalar istenen
noktalardır.
rik yeri, bu iki doğrunun açıortaylarıdır.
Doğru Seçenek B
DNA 48
Uyarı
Analitik düzlemde 2x – y – 4 = 0 ve x + 2y + 6 = 0
doğrularına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik
yerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x – 3y + 10 = 0 ve
B) x – 3y –10 = 0 ve
3x + y + 2 = 0
3x + y + 2 = 0
C) x – 3y – 2 = 0 ve
D) x – 3y + 2 = 0 ve
3x + y + 2 = 0
"veya" bağlacı, mutlak değerli denklemin iki türlü eşit
olabileceğini gösterir. "ve" bağlacının ise istenen şartı
sağlayan tüm noktaları ifade etmek için kullanıldığına
dikkat ediniz.
Mutlak değerli denklemler için daha fazla bilgi, ileri sayfalarda verilmiştir.
3x + y + 2 = 0
E) 2x – y + 7 = 0 ve
3x + y + 2 = 0
Analitik düzlemde 3x – y – 4 = 0 ve x + 3y + 6 = 0 doğrularına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerinin
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm
k2
k1
2x – y – 4 = 0
h1
P(x,y)
h2
x + 2y + 6 = 0
148
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
A) x – 3y + 10 = 0 ve
B) x – 3y –10 = 0 ve
3x + y + 2 = 0
3x + y + 2 = 0
C) 2x + y + 1 = 0 ve
D) 2x + y + 1 = 0 ve
x – 2y – 5 = 0
3x + y + 2 = 0
E) 2x – y + 7 = 0 ve
x – 2y – 5 = 0
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Doğru Denklemleri
y = –x + 4 ifadesi diğer doğru denkleminde yerine yazı-
Hazine 17
lırsa,
İki Doğruya Eşit Uzaklıktaki Noktaların Geometrik
3x – 4⋅(–x + 4) + 12 = 0 ⇒ x =
Yeri:
d1 : a1x + b1y + c1 = 0 ve d2 : a2x + b2y + c2 = 0 doğrularına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri;
| a1x + b1y + c1 |
a12 + b12
a1x + b1y + c1
=
| a2 x + b2 y + c 2 |
AKC üçgeninin yüksekliği | KH |=
olduğundan, Alan(KAC) =
a22 + b22
4
br ve tabanı |AC|=1 br
7
1
4 2
⋅ 1⋅ = br2 dir.
2
7 7
Alan(OBKC) = Alan( AOB) − Alan(KAC) olduğundan,
a x + b2 y + c 2
=∓ 2
a22 + b22
a12 + b12
4
dir.
7
Alan(OBKC) =
ax + by + c1 = 0 ve ax + by + c2 = 0
paralel olan doğrulara eşit uzaklıktaki noktaların geo-
4 ⋅ 4 2 54 2
br
− =
2
7 7
dir.
Doğru Seçenek D
c +c
metrik yeri ax + by + 1 2 = 0 doğrusudur.
2
DNA 49
Analitik düzlemde 3x – 4y + 12 = 0, x + y – 4 = 0
Analitik düzlemde 3x – 4y + 12 = 0, x + y – 4 = 0 ve
ve eksenlerle sınırlı olan dörtgensel bölgenin alanı
y ekseni ile sınırlı olan üçgensel bölgenin alanı kaç
kaç br2 dir?
br2 dir?
A)
51
7
B)
D)
52
7
C)
54
7
E)
53
7
55
7
A)
1
7
2
7
C)
3
7
D)
4
7
E)
5
7
DNA 50
Çözüm
Analitik düzlemin başlangıç noktası O, d1 doğrusu-
y
4
H
C
3
D
–4
B)
O
A
nun denklemi
K
4
7
x y
+ = 1 , d2 doğrusunun denklemi
6 8
x y
+ = 1 ve d1 ile d2 doğrularının kesişim noktası
−3 2
4
B x
K dır.
Yukarıdaki verilenlere göre, OK, d2 ve x ekseniyle
sınırlı bölgenin alanı kaç br2 dir?
3x – 4y + 12 = 0 ile x + y – 4 = 0 doğrusunun kesişim
noktası K olsun,
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 9
149
Doğru Denklemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
MUTLAK DEĞERLI İFADELER
Çözüm
Grafiği doğrusal noktalardan oluşan cebirsel ifadeleri incey
d1
8
leyelim. Genel olarak a, b, c sıfırdan farklı sayılar olsun.
3S
D
S
2
C
–3
1. |ax + by + c| = 0 ⇒ ax + by + c = 0 veya
A
3
K
d2
ax + by + c = –0 doğruları çakışık olduğundan;
6 + 2S
6
O
B
|ax + by + c| = 0 denkleminin analitik düzlemdeki gö-
x
rüntüsü, ax +by + c = 0 doğrusudur.
y
3⋅2
Alan(DOC) =
= 3 br 2
2
|ax + by + c| = 0
x
Alan(DOK ) = S olsa Alan (KAD) = 3S,
ax + by + c = 0
Alan(KOB) = 6 + 2S olur.
Alan( AOB) =
6⋅8
= 24 br 2
2
DNA 51
6 + 6S = 24 ⇒ S = 3
Analitik düzlemde
y
Alan(KOC) = 3 + S = 6 br 2
A(0, –1) ve B(–2, 0) nokdir.
x
–2
sunun grafiği verilmiştir.
–1
Doğru Seçenek C
talarından geçen AB doğru-
Yukarıdaki verilenlere göre, AB doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) x + 2y + 2 = 0
C)
x
y
+
=1
−2 −1
B) |x + 2y + 2| = 0
D) y = –2x – 1
E) 2x + 4y = –4
Analitik düzlemin başlangıç noktası O, d1 doğrusunun
denklemi
x y
x y
+ = 1 , d2 doğrusunun denklemi
+ =1
6 8
−3 2
Yukarıdaki verilenlere göre, OK, d1 ve x ekseniyle sınırlı bölgenin alanı kaç br2 dir?
150
B) 9
C) 12
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
D) 15
AB doğrusunun eğimi –2 olmadığı için denklem y = –2x– 1
olamaz. Diğer denklemler AB doğrusunun denklemidir.
ve d1 ile d2 doğrularının kesişim noktası K dır.
A) 6
Çözüm
E) 18
Doğru Seçenek D
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Doğru Denklemleri
DNA 52
Analitik düzlemde A(0, 1) ve
y
B(2, 0) noktalarından geçen
1
x
2
AB doğrusunun grafiği verilmiştir.
|3x + 4y| – 5 = 0 denkleminin analitik düzlemde belirttiği geometrik yer d1 ve d2 doğrularından oluşmaktadır.
Buna göre, d1 ile d2 doğruları arasındaki uzaklık
kaç br dir?
A) 10
B) 5
C) 2
D) 1
E) 0
Buna göre, AB doğrusunun denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) |x – 2y – 1| = 0
B) |x + 2y – 1| = 0
C) |x + 2y + 1| = 0
D) |x –2y + 1| = 0
Çözüm
E) |x + y – 1| = 0
|3x + 4y | – 5 = 0 ⇒ |3x + 4y | = 5
⇒ 3x + 4y = 5 ∨ 3x + 4y = –5
d1 : 3x + 4y – 5 = 0 ve d2 : 3x + 4y + 5 = 0
Paralel doğrular arasındaki uzaklık;
h=
2. |ax + by| + c = 0 denkleminin analitik düzlemde görüntüsü;
i)
c > 0 ise |ax + by| + c = 0 denkleminin analitik düzlem-
| −5 − 5 |
2
3 +4
2
=
10
= 2 birim
5
dir.
de görüntüsü yoktur.
Doğru Seçenek C
Örneğin; |x – 2y| = –3 denklemini sağlayan hiçbir (x, y)
ikilisi olmadığından (çözüm kümesi ∅ olduğundan),
|x – 2y| + 3 = 0 denkleminin analitik düzlemde görüntüsü yoktur.
ii) c < 0 ise |ax + by| + c = 0 denkleminin analitik düzlemde görüntüsü birbirine paralel olan ax + by + c = 0 ile
ax + by – c = 0 doğrularıdır.
iii) |ax + by| = 0 denkleminin analitik düzlemdeki görüntüsü orijinden geçen ax + by = 0 doğrusudur.
|ax + by| + c = 0
|3x + 4y| – 10 = 0 denkleminin analitik düzlemde belirttiği
geometrik yer d1 ve d2 doğrularından oluşmaktadır.
y
Buna göre, d1 ile d2 doğruları arasındaki uzaklık kaç
x
ax + by + c = 0
ax + by – c = 0
br dir?
A) 5
B) 4
C) 2
D) 1
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 0
151
Doğru Denklemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
3. |ax| + by + c = 0 denkleminin analitik düzlemde görün-
Çözüm
tüsü;
c⎞
⎛
Başlangıç noktası y ekseni üzerindeki ⎜ 0, − ⎟ nokb
⎝
⎠
x = 0 için |3 ⋅ 0| + 4y + 12 = 0 ⇒ y = –3,
tası olan iki ışının meydana getirdiği açıdır. x eksenini
Açının köşesi (0, –3) noktasıdır.
açının kolları veya uzantısı keser;
y = 0 için |3x| + 0 ⋅ y + 12 = 0 ⇒ |3x| = –12,
a, b, c > 0 ise |ax| + by + c = 0
x = ± 4 olamaz.
y
–
O halde açının kollarının uzantısı x eksenini +4 ve –4 değerlerinde keser.
c
a
c
a
–
x
c
b
Buna göre, |3x| + 4y + 12 = 0 açısının grafiği,
y
–ax + by + c = 0
ax + by + c = 0
–4
4
x
–3
Açının kolları, ax + by + c = 0, –ax + by + c = 0 doğruları üzerindedir.
–3x + 4y + 12 = 0
3x + 4y + 12 = 0
y ekseni, |ax| + by + c = 0 açısının açıortayıdır. Yani
Doğru Seçenek A
açının kolları y eksenine göre simetriktir.
DNA 53
Analitik düzlemde denklemi |3x| + 4y + 12 = 0 olan
açının grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
–4
C)
–4
0
4
D)
4
A)
–4 0
y
0
nın grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
y
B)
y
x
y
–4
0
4
x
y
–4 0
E)
–4
C)
–3
4
x
–5
0
4
4
x
–5 0
–5
D)
y
4
0
5
x
E)
4
x
y
–5
0
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
5
x
5
x
y
–5 0
–4
152
y
3
x
–3
3
Analitik düzlemde denklemi |5x| + 4y + 20 = 0 olan açı-
–4
5
x
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Doğru Denklemleri
4. ax + |by| + c = 0 denkleminin analitik düzlemde görün-
Çözüm
tüsü;
⎛ c ⎞
Başlangıç noktası x ekseni üzerindeki ⎜ − , 0 ⎟ nok⎝ a ⎠
y = 0 için 3x + |0 ⋅ y| + 12 = 0 ⇒ x = –4
tası olan iki ışının meydana getirdiği açıdır. y eksenini
Açının köşesi (–4, 0) noktasıdır.
açının kolları veya uzantısı keser;
x = 0 için 0 ⋅ x + |4y| + 12 = 0 ⇒ |4y| = –12,
a, b, c > 0 ise,
y = ± 3 olamaz.
ax + |by| + c = 0 ın grafiği aşağıdaki gibidir.
ğerlerinde keser.
y
ax + by + c = 0
–
O halde açının kollarının uzantısı y eksenini +3 ve –3 de-
Buna göre, 3x + |4y| + 12 = 0 açısının grafiği,
c
b
c
a
–
y
3x + 4y + 12 = 0
x
3
c
b
–4
ax – by + c = 0
x
–3
Açının kolları, ax + by + c = 0, ax – by + c = 0 doğruları
3x – 4y + 12 = 0
üzerindedir.
x ekseni, ax + |by| + c = 0 açısının açıortayıdır. Yani
Doğru Seçenek B
açının kolları x eksenine göre simetriktir.
DNA 54
Analitik düzlemde denklemi 3x + |4y| + 12 = 0 olan
Analitik düzlemde denklemi 3x + |5y| + 15 = 0 olan açı-
açının grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
nın grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
y
3
4
0
x
–4
–4
D)
y
0
4
0
C)
D)
y
x
0
5
–3
y
–5
x
x
0
–5
0
x
y
E)
3
–4
x
–3
–5
E)
3
5
–3
0
y
3
y
–4
x
B)
y
x
0
–3
C)
A)
3
4
0
–3
x
y
3
–5
5
0
x
–3
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
153
Doğru Denklemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
5. ax + |by + c| = 0 denkleminin analitik düzlemde görün-
DNA 55
tüsü;
c⎞
⎛
Başlangıç noktası y ekseni üzerindeki ⎜ 0, − ⎟ noktab⎠
⎝
sı olan iki ışının meydana getirdiği açıdır.
a, b, c > 0 ise ax + |by + c| = 0 ın grafiği aşağıdaki
Analitik düzlemde denklemi 3x + |4y + 12| = 0 olan
açının grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
gibidir.
y
3
3
4
0
y
x
–3
–3
c
a
ax + by + c = 0 – c
a
–
ax – (by + c) = 0
c
b
C)
D)
y
x
0
–4
y
x
3
by + c = 0
–4
4
0
–4
x
x
0
–3
3
E)
y
Açının kolları, ax + by + c = 0, ax – (by + c) = 0 doğru-
3
ları üzerindedir.
–4
by + c = 0 doğrusu, ax + |by + c| = 0 açısının açıortayı-
4
0
x
–3
c
dır. Yani açının kolları y = − doğrusuna göre simetb
riktir.
Uyarı
Çözüm
Açının kollarını taşıyan doğrular; 3x ± (4y + 12) = 0 ve bu
Mutlak değer içindeki ifadeyi sıfıra eşitleyerek elde
doğruların kesiştiği (0, –3) noktası açının köşesidir.
edilen doğru simetri eksenidir. Açının köşesinin simetri
Simetri ekseni 4y + 12 = 0 ⇒ y = –3 doğrusudur.
ekseni üzerindedir. Genel olarak açının köşesinin kolların kesiştiği nokta olduğuna dikkat ediniz. Önceki açı
denklemlerini inceleyerek ilişki kurunuz.
Açının x eksenini kestiği noktayı bulalım;
y = 0 için 3x + |4 ⋅ 0 + 12 | = 0 ⇒ x = –4
Açı grafiği (–4, 0) noktasından geçtiğine göre, grafik aşa-
Tenef füs
– Bir bal arası yarım kilo bal için 3.750.000 defa
bir çiçeğe konup kalkması gerekir.
ğıdaki gibidir.
y
3x + 4y + 12 = 0
– Bir küçük tahta kurusu sert bir keresteyi sabaha
kadar deler.
– Bir karınca vücut ağırlığının 52 katını yüklenmekten çekinmez.
– Arıda bu ağırlık 330 katına çıkar.
– Kunduz iki gecede 30 cm çapındaki ağacı kemirebilir.
154
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
4
–4
x
–3
3x – 4y + 12 = 0
Doğru Seçenek C
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Doğru Denklemleri
DNA 56
Analitik düzlemde denklemi 3x + |5y + 15| = 0 olan açı-
Analitik düzlemde denklemi 4y + |3x + 12| = 0 olan
nın grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
açının grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
y
3
5
0
x
D)
y
B)
y
y
3
x
0
–5
3
4
0
–3
–3
C)
A)
3
x
–3
–3
y
C)
D)
y
y
3
–5
5
0
–5
x
–3
E)
3
x
0
–4
–3
4
0
–4
x
–3
E)
y
3
5
0
x
0
–3
y
3
–5
x
0
–4
x
–4
–3
4
0
x
–3
Çözüm
6. by + |ax + c| = 0 denkleminin analitik düzlemde görün-
Açının kollarını taşıyan doğrular; 4y ± (3x + 12) = 0 doğru-
tüsü;
ların kesiştiği (–4, 0) noktası açının köşesidir.
Başlangıç noktası by ± (ax + c) = 0 doğrularının kesiş-
Simetri ekseni 3x + 12 = 0 ⇒ x = –4 doğrusudur.
⎛ c ⎞
tiği x ekseni üzerindeki ⎜ − , 0 ⎟ noktası olan iki ışının
⎝ a ⎠
Açının y eksenini kestiği noktayı bulalım;
meydana getirdiği açıdır. Açının kolları ax + c = 0 doğ-
x = 0 için 4y + |3 ⋅ 0 + 12 | = 0 ⇒ y = –3
rusuna göre simetriktir.
Açı grafiği (0, –3) noktasından geçer.
by + |ax + c| = 0 açısının y eksenini kestiği nokta
Buna göre, 4y + |3x + 12| = 0 açısının grafiği aşağıdaki
c⎞
⎛
⎜ 0, − b ⎟ dır.
⎝
⎠
gibidir.
y
a, b, c > 0 ise by + |ax + c| = 0 ın grafiği aşağıdaki
3
gibidir.
–4
x
y
–
–3
c
a
x
–
by – (ax + c) = 0
c
b
by + ax + c = 0
4y – (3x + 12) = 0
4y + 3x + 12 = 0
Doğru Seçenek D
ax + c = 0
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
155
Doğru Denklemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
y
–ax + by + c = 0
ax + by + c = 0
Analitik düzlemde denklemi 5y + |3x + 15| = 0 olan açı-
x
nın grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
–ax – by + c = 0
A)
B)
y
y
3
3
5
0
x
D)
y
x
0
–5
Denklemin eksenleri kestiği noktalar bulunarak grafiği
çizilir.
–3
–3
C)
–ax + by – c = 0
y
3
–5
5
0
–5
x
–3
E)
y
5
0
Analitik düzlemde |3x| + |4y| – 12 = 0 eşitliğini
sağlayan (x, y) sıralı ikililerinin oluşturduğu grafik
3
–5
DNA 57
x
0
aşağıdakilerden hangisidir?
x
A)
B)
y
–3
y
3
3
4
0
x
–3
–3
C)
x veya y li terimlerden biri mutlak değer içinde, diğeri
–4
D)
y
4
0
mutlak değer içinde değilse, denklemin analitik düzlem-
E)
deki görüntüsü açıdır. Mutlak değerli ifade sıfıra eşitlene-
y
–4
x
x
0
–4
0
x
y
3
rek elde edilen doğru denklemi açının kollarının simetri
–4
eksenidir. Açının köşesi simetri ekseninin ekseni kestiği
noktadır. Açının kollarının veya uzantılarının diğer ekseni
4
0
x
–3
kestiği nokta bulunarak açının grafiği çizilir.
7. |ax| + |by| + c = 0 denkleminin analitik düzlemdeki görüntüsü:
i)
Çözüm
c = 0 ⇒ |ax| + |by| = 0 denkleminin görüntüsü sadece
O(0, 0) noktasıdır.
ii) c > 0 ⇒ |ax| + |by| + c = 0 denkleminin görüntüsü yoktur.
iii) c < 0 ⇒ |ax| + |by| + c = 0 denkleminin görüntüsü,
eksenleri köşegen kabul eden eşkenar dörtgendir.
a > 0 ve b > 0 için;
156
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
|3x| + |4y| – 12 = 0 ⇒ |3x| + |4y| = 12
denkleminin eksenleri kestiği noktaları bulalım;
x = 0 için y eksenini |3 ⋅ 0| + |4y| = 12 ⇒ y = ± 3 değerlerinde keser.
y = 0 için x eksenini |3x| + |4 ⋅ 0| = 12 ⇒ x = ± 4 değerlerinde keser.
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Doğru Denklemleri
|3x| + |4y| – 12 = 0 eşkenar dörtgeninin grafiği aşağıdaki
gibidir.
|ax + b| + |cy + d| = e
y
⎛ b d⎞
denklemi simetri merkezi ⎜ − , − ⎟ olan eşkenar dört⎝ a c⎠
3
–4
x
4
gendir.
–3
8. |ax| – |by| + c = 0 denkleminin analitik düzlemdeki göDoğru Seçenek E
rüntüsü:
c⎞
⎛
⎛ c⎞
x = 0 için A ⎜ 0, − ⎟ ve B ⎜ 0, ⎟ noktaları elde edilir.
b⎠
⎝
⎝ b⎠
y ekseni üzerindeki bu noktaları köşe kabul eden kolları diğer ekseni kesmeyen iki açıdır.
Analitik düzlemde |3x| + |5y| – 15 = 0 eşitliğini sağla-
y
yan (x, y) sıralı ikililerinin oluşturduğu grafik aşağıdakilerden hangisidir?
A)
A
B)
y
3
3
5
0
x
–5
D)
y
0
5
E)
0
9. –|ax| – |by| + c = 0 denkleminin analitik düzlemdeki
görüntüsü:
x
ları diğer ekseni kesmeyen iki açıdır.
5
0
⎛ c ⎞
⎛c ⎞
y = 0 için A ⎜ − , 0 ⎟ ve B ⎜ , 0 ⎟ noktaları elde edilir.
b
⎝
⎠
⎝b ⎠
x ekseni üzerindeki bu noktaları köşe kabul eden kol-
y
3
–5
y = 0 için |ax| – |by| + c = 0 denkleminin kökü olmayacağı için diğer ekseni kesmez.
–3
y
–5
x
x
0
–5
–3
C)
x
B
y
x
y
–3
B
Uyarı
A
x
Not
|3x| + |4y| – 12 = 0, –|3x| – |4y| + 12 = 0,
3|x| + 4|y| – 12 = 0, ... gibi denklemlerin aynı grafiği göstereceğine dikkat ediniz. Elde edilen eşkenar dörtgenin
çevresi ve alanını bulmaya çalışınız.
Verilen mutlak değerli ifadelerin eksenleri kestiği noktaları
bulmak denklemin analitik düzlemdeki grafiği için yeterlidir. Şimdiye kadar incelediğimiz ve şimdiden sonra inceleyeceğimiz denklemler için pratiklik sağlayacağına dikkat
ediniz.
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
157
Doğru Denklemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
DNA 58
Analitik düzlemde denklemi |3x| – |4y| – 12 = 0 olan
Analitik düzlemde denklemi |3x| – |5y| – 15 = 0 olan eş-
geometrik yerin grafiği aşağıdakilerden hangisi-
kenar dörtgenin grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
dir?
A)
A)
B)
y
y
3
–4 0
x
–4 0
–5 0
4
D)
y
5
–1
0
C)
y
5
–4
5
D)
y
0
–1
4
x
5
x
y
0
3
5
x
–5
0
5
x
–3
–3
E)
–5 0
5
3
x
3
x
–3
x
–3
C)
y
3
3
4
B)
y
E)
y
y
5
5
1
1
–1 0
–1 0
x
5
Çözüm
5
x
10. |ax| + |by + c| = 0 denkleminin analitik düzlemdeki gö-
|3x| – |4y| – 12 = 0 ⇒ |3x| – |4y| = 12 denkleminin eksen-
c⎞
⎛
rüntüsü; A ⎜ 0, − ⎟ noktasıdır.
b⎠
⎝
leri kestiği noktaları bulalım;
11. |ax + c| + |by| = 0 denkleminin analitik düzlemdeki gö-
x = 0 için |4y| = –12
⎛ c ⎞
rüntüsü A ⎜ − , 0 ⎟ noktasıdır.
⎝ a ⎠
y = ±3 olamaz.
12. |ax| – |by + c| = 0 denkleminin analitik düzlemde gö-
Yani açının kolları y eksenini kesmez.
rüntüsü;
y = 0 için |3x| = 12
ax + by + c = 0 ve ax – by – c = 0 olan iki doğrudur.
x = ± 4 olur.
Yani açının kolları x eksenini keser.
y
|3x| – |4y| – 12 = 0; y eksenine göre simetrik, köşeleri
(4, 0) ve (–4, 0) olan iki açıdan oluşan grafiği,
x
y
–4
A
4
x
c⎞
⎛
Yani, A ⎜ 0, − ⎟ noktasında kesişen iki doğrudur.
b⎠
⎝
|ax + b| – |cy + d| = 0 denkleminin analitik düzlemdeki gö-
Doğru Seçenek A
158
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
⎛ b d⎞
rüntüsü, A ⎜ − , − ⎟ noktasında kesişen iki doğrudur.
⎝ a c⎠
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Doğru Denklemleri
5.
TEST - 1
1.
A) 0
Denklemi y = 2x + 1 olan doğrunun eğimi kaçtır?
A) 2
B) 1
C)
1
2
D) −
1
2
A(2a – 2, 3a + 4) noktası, y = 3x + 2a doğrusu
üzerinde olduğuna göre, a kaçtır?
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
E) –2
6.
Analitik düzlemde y = ax2 + (a + 2)x – 6 denklemi bir
d doğrusunun denklemidir.
Buna göre, d doğrusunun eksenleri kestiği noktaların koordinatları toplamı kaçtır?
2.
Denklemi 6x + 2y + 5 = 0 olan doğrunun eğimi
kaçtır?
A) 3
B)
1
3
C) −
5
2
D) −
1
3
A) 3
B) 0
C) –1
D) –2
E) –3
E) –3
7.
Denklemleri,
3x – 2y + 1 = 0 ve
(m + 1)x + ny + 3 = 0
3.
Denklemi y = 3x − 3 olan doğrunun eğim açısı
olan doğrular çakışık olduğuna göre, m + n kaçtır?
kaç derecedir?
A) 2
A) 15
B) 30
C) 45
D) 60
B) 1
C) 0
D) –1
E) –2
E) 75
8.
Denklemleri,
x + 2y + 1 = 0 ve
4.
Denklemi x + 3y + 1 = 0 olan doğrunun eğim
olan doğrular paralel olduğuna göre, a kaçtır?
açısı kaç derecedir?
A) 165
B) 150
4x + (a + 4)y + 1 = 0
C) 135
D) 120
E) 105
A) 6
B) 4
C) 3
D) 2
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 0
159
Doğru Denklemleri
9.
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
13.
Denklemleri,
y=x+1
y = 3x + 1
ax – 4ky + 1 = 0 ve
x + ay + a = 0
doğruları arasındaki dar açının ölçüsü kaç derecedir?
olan doğrular birbirine dik olduğuna göre, k kaçtır?
A) −
10.
1
2
B) −
1
4
C) 1
D)
1
2
E)
1
4
A(3, 2) noktasından geçen ve y = 2x + 5 doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = 2x – 2
B) y = 2x – 3
C) y = 2x – 4
D) y = 2x – 5
A) 15
D) 45
14.
C) 30
E) 75
y = –2x + 4
y = 3x – 6
doğruları arasındaki geniş açının ölçüsü kaç derecedir?
A) 120
E) y = 3x – 7
11.
B) 22,5
A(0, –2) noktasından geçen ve y = 3x + 1 doğrusuna dik olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
1
A) y = − x − 2
3
B) y = –3x – 2
1
C) y = x − 2
3
D) y = 3x – 2
15.
B) 135
C) 145
D) 150
E) 165
3x – 4y + 5 = 0
7x + 7y – 6 = 0
doğruları arasındaki dar açının tanjantı kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
1
E) y = − x + 2
3
16.
Denklemleri,
x – 2y + 4 = 0 ve
12.
(a + 1)x + (a – 2)y + 6 = 0
3x + 2y + 12 = 0
doğrusu x eksenini A noktasında dik kesiyor.
olan doğruların kesişim noktasının koordinatları
toplamı kaçtır?
Buna göre, A noktasının apsisi kaçtır?
A) 3
1.A
160
B) 2
2.E
3.D
C) –1
4.B
5.C
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
D) –2
6.E
E) –3
7.A
8.B
A) –1
9.E
10.C
B) –2
11.A
12.D
C) –3
13.A
D) –4
14.B
15.E
E) –5
16.D
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
Doğru Denklemleri
4.
TEST - 2
1.
B) x + 4y – 10 = 0
C) 4x + y – 12 = 0
D) x – 4y + 12 = 0
⎛ 1⎞
A ⎜ 0, ⎟ ,
⎝ 2⎠
A 1
2
A(3, –2) noktasından geçen ve eğimi –4 olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4x + y – 10 = 0
d doğrusu, y eksenini
y
B
⎛ 1 ⎞
B⎜ − , 0⎟
⎝ 3 ⎠
x
1 O
3
x
eksenini
noktasında
kesiyor.
Yukarıdaki verilenlere göre, d doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
E) x – 4y + 10 = 0
A) 2x – 3y + 1 = 0
B) 3x – 2y + 1 = 0
C) 2x + 3y + 1 = 0
D) 3x + 2y + 1 = 0
E) 3x – 2y – 1 = 0
5.
2.
AB
y
3
A
A(0, 3)
A(–2, 1) ve B(1, –3) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
120°
O
A) 4x + 3y – 5 = 0
B) 3x + 4y – 5 = 0
C) 4x – 3y – 5 = 0
D) 4x + 3y + 5 = 0
B
x
Yukarıdaki verilenlere göre, AB doğrusunun
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
E) 3x + 4y + 5 = 0
A) y = 3 x − 3
B) y = 3 x + 3
C) y = − 3 x + 3
D) y = −
E) y = −
3.
AB doğrusunun eğimi 2
y
6.
1
D
B
O
x
1
3
O
–1
1
3
x−3
x+3
AB // CD
y
A(0, 5)
5 A
doğrusunun
eğim açısı 120°
A(3, 0)
C
A
3
B(–1, 0)
x
C(0, 1)
B
Yukarıdaki verilenlere göre, AB doğrusunun
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
Yukarıdaki verilenlere göre, CD doğrusunun
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = 2x + 5
B) y = 5x + 2
A) x + 3y + 1 = 0
B) x – 3y + 1 = 0
C) x = 2y + 5
D) x = 5y + 2
C) x – 3y + 3 = 0
D) x + 3y + 3 = 0
E) 2x + y + 5 = 0
E) 3x + y + 1 = 0
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
161
Doğru Denklemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
7.
10.
A(–1,2)
D
C
E
G
F
d
B(1,1)
A(1,2)
C(3,3)
DC doğrusunun denklemi y = x + 11
Yukarıdaki verilenlere göre, d doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = 2x
B) y = x + 1
C) y = x + 2
D) y = x + 3
B
ABCD yamuk
G, ABC üçgensel bölgenin ağırlık merkezi, [BC] // d
| DE | 2
= , A(1, 2)
| EA | 3
DC // EF // AB,
Yukarıdaki verilenlere göre, EF doğrusunun
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
E) y = –x + 3
A) y = x + 5
B) y = x + 6
C) y = x + 7
D) y = x + 8
E) y = x + 9
y
8.
y = x + 11
d
1
B
–3
11.
A
O
4
C
A(2, 3) ∈ d
y
A(2,3)
x
AB ⊥ d, A(0, 1), B(–3, 0), C(4, 0)
x
O
Yukarıdaki verilenlere göre, d doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = 3x – 6
B) y = 3x – 8
C) y = –2x + 8
D) y = –3x – 12
Yukarıdaki verilenlere göre, d doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y – 3 = 0
B) y – 2 = 0
C) x – 3 = 0
D) x – 2 = 0
E) y = –3x + 12
9.
d // Ox
d
E) y + 3 = 0
12.
d
A(2, –1)
y
B(2, 2)
B(2,2)
A(4,3)
B(5,0)
d doğrusu [AB] doğru parçasının kenar orta dikmesidir.
Yukarıdaki verilenlere göre, d doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3x – y = 0
B) 3x + y = 0
C) x + 9y = 0
D) x – 3y = 0
E) x + 3y = 0
162
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
O
x
A(2,–1)
Yukarıdaki verilenlere göre, OB ve AB doğrularının denklemleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = x, y = 2
B) y = x, x = 2
C) y = x, y = –2
D) y = –x, y = 2
E) y = –x, x = 2
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
13.
Doğru Denklemleri
Analitik düzlemde, I. açıortay doğrusuna dik olan
ve A(2, 3) noktasından geçen doğrunun denklemi
nedir?
A) y = –x + 5
B) y = x + 1
C) y = –x – 5
D) y = –x + 1
15.
A, E, B doğrusal
y
ODEC kare
15 A
D
B
C 10
O
E) y = –x – 1
A(0, 15)
E
B(10, 0)
x
Yukarıdaki verilenlere göre, D ve C noktalarından
geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x y
+ =1
2 2
A(0, 12) noktasının II. açıortay üzerindeki dik izdüşümü B noktasıdır.
16.
B) x – 6 = 0
C) y + 6 = 0
D) y – 6 = 0
B
–5
x y
+ =1
6 6
|AB| = 8 birim
A(0, 12)
E
D
5
O
x y
+ =1
4 4
AC ∩ DE = {B}
A 12
8
C
C)
E)
y
B noktasından geçen y = 0 doğrusuna dik olan
doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + 6 = 0
x y
+ =1
3 3
x y
+ =1
5 5
D)
14.
B)
x
C(–5, 0)
D(5, 0)
Yukarıdaki verilenlere göre, BD doğrusunun
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
E) x = 0
A) x + y – 5 = 0
B) 7x + 4y + 20 = 0
C) 7x + 4y – 20 = 0
D) 4x + 7y + 20 = 0
E) 4x + 7y – 20 = 0
1.A
2.D
3.A
4.B
5.C
6.C
7.B
8.E
9.D
10.C
11.A
12.B
13.A
14.A
15.E
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
16.E
163
Doğru Denklemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
5.
TEST - 3
1.
Denklemleri x – 3y + 2 = 0 ve x – 2y + 3 = 0 olan
doğrular A noktasında kesişiyor.
Buna gröe, A noktasından ve orijinden geçen
doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
Her m gerçek sayısı için,
P(m + 1, 2m – 3)
noktalarının analitik düzlemdeki görüntüsünün
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + 5y = 0
B) x – 5y = 0
C) 5x + y = 0
D) 5x – y = 0
E) x + y = 0
A) y = 2x + 5
C) y =
B) y = 2x – 5
1
7
x−
2
2
D) y = x – 4
E) y = –2x
6.
Her m gerçek sayısı için,
(3 – m)x + (m + 1)y + 4 = 0
2.
doğrularının kesiştiği noktanın koordinatları çarpımı kaçtır?
∀t ∈ R olmak üzere,
A) –3
P(2 – t, 3t + 4)
B) –2
C) –1
D) 1
E) 4
noktalarının belirttiği doğrunun eğimi kaçtır?
A) –10
B) –6
C) –3
D) 3
E) 6
7.
m ∈ R için,
(m + 1)x + (2 – m)y + 6m = 0
3.
doğrularının kesiştiği noktadan ve orijinden geçen doğrunun denklemi nedir?
Her m gerçek sayısı için,
K(2t – 3, 4 – 3t)
noktalarının belirttiği doğrunun x eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır?
A)
4
3
B)
D) −
3
2
1
3
C)
E) −
A) x + 2y = 0
B) x– 2y = 0
C) 2x + y = 0
D) 2x – y = 0
E) x + y = 0
3
4
2
3
8.
k ∈ R olmak üzere,
(2k – 1)x + (2k + 1)y + 4k = 0
4.
doğrularının kesişim noktasından geçen ve
x + 3y – 2 = 0 doğrusuna paralel olan doğrunun
denklemi nedir?
Her m gerçek sayısı için,
P(m, 3m – 2)
noktalarının belirttiği doğru ile y = x + 12 doğrusunun kesişim noktasının apsisi kaçtır?
A) 7
164
B) 6
C) 5
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
D) 4
E) 3
A) x + 3y = 0
B) x + 3y + 1 = 0
C) x + 3y + 2 = 0
D) x + 3y + 3 = 0
E) x + 3y + 4 = 0
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
9.
Doğru Denklemleri
Analitik düzlemde, x = 0, y = 0, x = –2 ve y = 3
doğruları arasında kalan bölgenin alanı kaç birim
karedir?
A) 6
B) 8
10.
y
C) 10
D) 12
13.
2
E) 14
B
–1
denklemi y = x
x
O
4
A)
B)
6
AB doğrusunun
denklemi y = 2x – 4
Yukarıdaki verilenlere göre, AOB üçgeninin alanı
kaç birim karedir?
14.
3
C)
6
3
D)
E)
5
x
B
O
B(–1, 0)
A
Yukarıdaki verilenlere göre, O(0, 0) noktasının
AB doğrusuna uzaklığı kaç birimdir?
OA doğrusunun
y = 2x – 4
y=x
A
A(0, 2)
y
4
5
2
5
G noktası, AOB üçgen-
y
sel bölgesinin ağırlık
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
A
merkezi
H
[GH] ⊥ [AB]
G
B
O
11.
4
mi, y = − x + 4
3
lemi y = –x + 6
A
1
–2
AB doğrusunun denkle-
AB doğrusunun denk-
y
y = –x + 6
D
x
C
Yukarıdaki verilenlere göre, |GH| kaç birimdir?
AB ∩ DC = {K}
K
B
O
x
A)
C(0, 1)
1
5
B)
2
5
C)
3
5
D)
4
5
E) 1
D(–2, 0)
Yukarıdaki verilenlere göre, K noktasının eksenlere olan uzaklıkları toplamı kaç birimdir?
A) 7
B)
20
3
C)
19
3
D) 6
E)
17
3
15.
A(2, 1) noktasının 12x + 5y – 3 = 0 doğrusuna
uzaklığı kaç birimdir?
A) 1
12.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
y=x–1
y = –x + 2
16.
x=0
3x + 4y + 8 = 0
doğruları arasında kalan bölgenin alanı kaç birim
karedir?
A)
1.B
3
4
2.C
B) 1
3.D
C) 2
4.A
D)
5.B
6.D
9
4
E)
7.A
doğruları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
5
2
8.E
3x + 4y – 7 = 0
A) 1
9.A
10.C
B) 2
11.D
C) 3
12.D
13.E
D) 4
14.D
15.B
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 5
16.C
165
Doğru Denklemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
4.
TEST - 4
1.
2x + 3y + 1 = 0
3x + 2y + 4 = 0
doğrularına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik
yerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
İki kenarı,
A) (x + y + 1) ⋅ (x – y + 3) = 0
x + y + 1 = 0 ve
B) (x + y + 1) ⋅ (x – y + 2) = 0
2x + 2y + 6 = 0
C) (x + y + 1) ⋅ (x – y) = 0
doğrularının üzerinde bulunan karenin alanı kaç
birim karedir?
D) (x + y + 1) ⋅ (x –y – 2) = 0
E) (x + y + 1) ⋅ (x – y –3) = 0
A) 3 2
B) 4
C) 2 2
D) 2
2.
E) 1
ABC ikizkenar üçgen
A
5.
x+y+1=0
[AD] açıortay
doğrularının kesişmesiyle meydana gelen açıların açıortaylarının denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
|AB| = |AC|
AD doğrusunun denkB(–1,7)
D
C
A) x + 2y + 1 = 0, 2x + y + 2 = 0
lemi 3x + 4y + 5 = 0
B) x + 2y + 1 = 0, 2x – y + 2 = 0
B(–1, 7)
C) x – 2y + 1 = 0, 2x – y + 2 = 0
Yukarıdaki verilenlere göre, |BC| kaç birimdir?
A) 20
3.
B) 12
C) 10
D) 6
x + 7y + 1 = 0
D) x – 2y + 1 = 0, 2x + y + 2 = 0
E) 5
E) x + 2y – 1 = 0, 2x – y – 2 = 0
2x + 3y + 1 = 0
6.
doğrularına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik
yerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A(1, 2) ve B(3, 4) noktalarından eşit uzaklıktaki
noktaların geometrik yerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x + 3y – 2 = 0
B) 2x + 3y – 3 = 0
A) x + y – 5 = 0
B) x – y – 5 = 0
C) 2x + 3y – 4 = 0
D) 2x + 3y + 1 = 0
C) x + y + 5 = 0
D) x + y – 10 = 0
4x + 6y – 10 = 0
E) 2x + 3y + 3 = 0
166
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) x – y – 10 = 0
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
7.
Doğru Denklemleri
Analitik düzlemde hiçbir noktası I. ve III. bölgede
bulunmayan doğru A(–3, 2) noktasından geçtiğine göre, aynı doğru aşağıdakilerden hangisinden
geçer?
A) (–2, 3)
B) (–1, 3)
C) (2, –3)
10.
Analitik düzlemde m ve n parametrelerine göre,
(m + n)x + (2m – n)y + m – 4n = 0
doğruları sabit bir noktadan geçer.
C) (1, –3)
Bu doğrulardan biri 5x + ay = 0 olduğuna göre, a
kaçtır?
E) (6, –4)
A) 4
11.
B) 5
C) 7
D) 8
E) 9
Analitik düzlemde k parametresine göre,
(k + 1)x – 2(k + a)y + 3k + 1 = 0
doğruları birbirine paraleldir.
8.
A(a – 1, b + 3)
Bu doğrulardan birinin denklemi ax + by = 0 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
B(–a, –b)
C(1 – a, 1 – b)
A) 2
noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = x – 2
B) y = –x + 2
D) y = x + 2
B) 0
C) –1
D) –2
E) –3
C) y = –x – 2
E) y = x
12.
Analitik düzlem-
d
C(–1,3)
D
de ABCD paralelkenar
E
A
[DB] ∩ d = {E}
d // [BC]
B
|DE| = |EB|
9.
Analitik düzlemde, x + 2y – 3 = 0 ve 5x + 7y + 6 = 0
doğruları A noktasında kesişiyor.
Buna göre, A noktasından geçen eğimi –1 olan
doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + y + 4 = 0
B) 2x + 2y + 3 = 0
C) 3x + 3y + 4 = 0
D) 4x + 4y + 9 = 0
E) 5x + 5y + 8 = 0
AD doğrusunun denklemi y = 2x + 4, C(–1, 3)
Yukarıdaki verilenlere göre, d doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = 2x + 5
B) y = 2x +
D) y = 2x – 8
9
2
C) y = 2x + 4
E) y = 2x –
9
2
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
167
Doğru Denklemleri
13.
Doğrunun Analitiği - Bölüm 06
A = {(x, y): x = 2t, y = t – 1 ve t ∈ R}
15.
Analitik düzlemde
A
kümesi analitik düzlemde bir d doğrusu belirtir.
ABC üçgen
Buna göre, d doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
|BD| = |DC|
A) x + 2y + 3 = 0
B) x – 2y + 3 = 0
C) x – 2y – 2 = 0
D) x + 2y – 3 = 0
|BC| = 2|AD|
B
D
C
AB doğrusunun denklemi 2x – y + 1 = 0,
A(0, k)
Yukarıdaki verilenlere göre, AC doğrusunun
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
E) 2x + y – 3 = 0
A) x + 2y + 1 = 0
B) x – 2y + 2 = 0
C) 2x – y + 1 = 0
D) x + y – 1 = 0
E) x + 2y – 2 = 0
14.
D
16.
Analitik düzlemde
C
d2
[AC] ∩ [BD] = {E}
AB doğrusunun denk-
D
lemi 2x – 3y + k = 0
B
C
C(1, 1), D(k, 3), k ∈ Z
d1 ve d2 doğruları-
d1
B
E
A
Analitik düzlemde
y
nın denklemi
E
x y
− = −1
3 4
A
O
x
Alan( ADE) = Alan(BCE)
Yukarıdaki verilenlere göre, OAED dörtgeninin
alanı kaç birim karedir?
Yukarıdaki verilenlere göre, D noktasının apsisi
kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
A) 8
E) 4
B)
D)
1.D
168
2.B
3.A
4.A
5.B
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
6.A
7.E
8.D
x y
+ =1
3 6
9.A
10.C
11.C
41
5
43
5
12.B
C)
E)
13.C
42
5
44
5
14.E
15.E
16.C
DOĞRUNUN ANALİTİĞİ - BÖLÜM 07
SİMETRİ
GİRİŞ
DNA 1
Aynadaki görüntümüz aynaya göre simetriğimizdir. “Görüntü ile cisim birbirine göre simetriktir” deriz. Neye göre
simetrik? Aralarındaki aynaya göre. İki çeşit simetri vardır,
bunlardan biri noktaya göre simetri, diğeri doğruya göre
Analitik düzlemde A(4, –1) noktasının B(–2, 3) noktasına göre simetriği C noktasıdır.
C noktası, 2x + 3y – k = 0 doğrusu üzerindedir.
simetridir.
Bu konu ile ilgili problemleri çözmek için şimdiye kadar
öğrendiğimiz bilgiler yeterlidir. Bu konuyu başlı başına
Buna göre, k kaçtır?
A) 5
B) 13
C) 25
D) 32
E) 35
incelemekteki amacımız, test sınavlarında öğrenciye hız
kazandırmak ve ayrıntılara dikkat çekmektir.
1. NOKTAYA GÖRE SİMETRİ
Çözüm
[AA′] doğru parçasının orta noktası K olsun, “A ile Aı
noktalarına K noktasına göre simetriktir” denildiğini
hatırlayınız.
A
K
A¢
A
B
(4,–1)
(–2,3)
C
(–8,7)
2x + 3y – k = 0
A noktasının K noktasına göre simetriği A′ noktası ol-
2 ⋅ (–8) + 3 ⋅ 7 – k = 0 ⇒ k = 5
sun.
Bu durumda A, K, A′ doğrusal ve ⎪AK⎪ = ⎪KA′⎪ olması
tir.
gerektiğini anlıyoruz.
Doğru Seçenek A
Hazine 18
A(x, y) noktasının K(a, b) noktasına göre simetriği,
A′(2a – x, 2b – y) noktasıdır.
......................................................................................
“A noktasının K noktasına göre simetriği A′” ifadesi için
aşağıdaki gibi bir gösterim kullanarak yazım kolaylığı
sağlanabilir.
A(x, y)
K(a, b)
A′ (2a – x, 2b – y)
“ortadakinin 2 katı eksi uçtaki”
A, K, A′ doğrusal olduğundan apsisler kendi arasında
orantılı, ordinatlar kendi arasında orantılı olur. Yani artış
miktarı ile koordinatları bulabileceğimizi hatırlarsanız;
Analitik düzlemde A(4, 1) noktasının B(2, 3) noktasına
göre simetriği C noktasıdır.
C noktası, 2x + 3y + k = 0 doğrusu üzerindedir.
Buna göre, k kaçtır?
x den a ya artış miktarı ile a dan 2a – x e artış miktarı
aynıdır. Bu durum ordinatlarda da geçerlidir.
A) –3
B) –5
C) –8
D) –10
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) –15
169
Simetri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 07
Geometrik Şekillerin Noktaya Göre Simetriği
Uyarı
Herhangi bir geometrik şeklin K noktasına göre simetriği
için şekil üzerindeki tüm noktaların tek tek K noktasına
göre simetriği alınır.
Simetride neyin değil neye göre simetri alındığı önemlidir.
K
DNA 2
Noktaya göre, simetrik şekiller eşittir.
Analitik düzlemde denklemi 5x – y2 + 4 = 0 olan
Temsilci noktası P(x, y) olan geometrik şeklin K(a, b) noktasına göre simetriği olan
Pı(2a
– x, 2b – y) noktası da
simetrik şekil için temsilci noktadır.
nin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 5x – y2 – 12y + 52 = 0
B) 5x + y2 – 12y + 52 = 0
P¢(2a – x, 2b – y)
Geometrik þekil
geometrik yerin K(–2, 3) noktasına göre simetriği-
C) 5x – y2 – 12y – 52 = 0
K(a, b)
D) 5x + y2 + 12y + 52 = 0
E) 5x – y2 + 12y + 52 = 0
P(x, y)
Denklemi
bilinen
Simetrik þekil
herhangi
bir
geometrik
yerin
K noktasına göre simetriğinin denklemini nasıl
bulabiliriz? Bunu bir HAZİNE ile verelim.
Çözüm
Geometrik yerin değişken (temsilci) noktası olan P(x, y)
Hazine 19
noktasının K(–2, 3) noktasına göre simetriğini bulalım.
Denklemi F(x, y) = 0 olan geometrik yerin K(a, b) noktasına göre simetriğinin denklemi,
F(2a – x, 2b – y) = 0
Bulduğumuz P′ noktası istenen simetrik şeklin temsilci
noktası olacaktır.
P(x, y)
dır.
F(x, y) = 0
K(a, b)
F(2⋅a – x, 2⋅b – y) = 0
Verilen denklemde x gördüğümüz yere 2a – x ve y
gördüğümüz yere 2b – y yazmamız yeterlidir.
yere –4 – x ve y gördüğümüz yere 6 – y yazarsak,
5 ⋅ (–4 – x) – (6 – y)2 + 4 = 0
4x + 5y + 7 = 0
x y
+ =1
5 7
170
P′(–4 –x, 6 – y)
5x – y2 + 4 = 0 geometrik yer denkleminde x gördüğümüz
Örneğin,
y = 5x + 7
K(–2, 3)
K(2, 3)
K(2, 3)
K(2, 3)
⇒
4⋅(4 – x) + 5⋅(6 – y)+7 = 0
5x + y2 – 12y + 52 = 0
elde ederiz.
6 – y = 5⋅(4 –x) + 7
4−x 6−y
+
=1
5
7
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
Doğru Seçenek B
Doğrunun Analitiği - Bölüm 07
Simetri
2x + 3y – 4 = 0 geometrik yer denkleminde x gördüğümüz
yere 2 – x ve y gördüğümüz yere 10 – y yazarsak;
Analitik düzlemde denklemi y = x2 + 1 olan geometrik
yerin K(–2, 3) noktasına göre simetriğinin denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
2 . (2 – x) + 3(10 – y) – 4 = 0 ⇒ 2x + 3y – 30 = 0
elde ederiz.
“Ortadakinin iki katı eksi uçtaki” gibi düşünülebilir.
A) x2 + 8x + y + 11 = 0
B) x2 – 8x + y + 11 = 0
2x+3y–4 = 0
C) x2 –8x– y + 11 = 0
D) x2 – 8x – y – 11 = 0
K(1, 5)
2⋅(1) + 3⋅(5) – 4 = 13
2⋅(13)–(2x+3y–4) = 0
ortadaki
E) x2 + 8x – y– 11 = 0
2x + 3y – 4 = 0
K(1, 5)
2x + 3y –30 = 0
Paralel doğruların denklemlerinde sadece sabit sayıların
DNA 3
değiştiğini biliyoruz. O halde önce K noktasından geçen
Analitik düzlemde denklemi 2x + 3y – 4 = 0 olan
doğrunun K(1, 5) noktasına göre simetriğinin
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x – 3y – 30 = 0
B) 2x + 3y + 30 = 0
C) 2x + 3y – 30 = 0
D) 2x + 3y – 20 = 0
dk doğrusunun denklemine ait sabit sayıyı bulalım. Paralel doğru denklemlerini incelerken sabit sayılar arasında
orta nokta veya artış miktarı yapabildiğimizi hatırlayınız.
Simetride de hiçbir şeyin değişmediğini söyleyebiliriz.
d : 2x + 3y – 4 = 0
K(1, 5)
dk: 2x + 3y + c = 0
E) 2x + 3y + 20 = 0
d¢: 2x + 3y + 2c – (–4) = 0
K(1, 5) noktası dk üzerinde olduğundan,
2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 5 + c = 0 ise, c = –17 yani,
Çözüm
dk: 2x + 3y – 17 = 0
dır
Geometrik yerin değişken (temsilci) noktası olan P(x, y)
noktasının K(1, 5) noktasına göre simetriğini bulalım. Bulduğumuz P′ noktası istenen simetrik şeklin temsilci noktası olacaktır.
P(x, y)
K(1, 5)
Ortadaki sabit sayı –17, uçtaki sabit sayı –4 olduğundan
simetrideki sabit sayı 2 ⋅ (–17) – (–4) = –30 bulunur.
O halde istenen doğrunun denklemi 2x + 3y – 30 = 0 dır.
Doğru Seçenek C
P′(2 – x,10 – y)
Not
2x + 3y – 4 = 0
K(1, 5)
2(2 – x) + 3(10 –y) – 4 = 0
d doğrusunun K noktasına göre simetriği d′ ise d // d″ dür
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
171
Simetri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 07
DNA 4
Analitik düzlemde denklemi x + y + 4 = 0 = 0 olan doğ-
Analitik düzlemde denklemi xy + x + y = 0 olan
runun K(1, 5) noktasına göre simetriğinin denklemini
geometrik yerin simetri merkezinin koordinatları
aşağıdakilerden hangisidir?
için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) x + y + 16 = 0
B) x + y – 16 = 0
C) x + y + 8 = 0
D) x + y – 8 = 0
A) (–1, –1)
B) (–1, 1)
D) (1, 1)
C) (0, 0)
E) Yoktur
E) x + y – 4 = 0
Çözüm
Simetri merkezi varsa K(a, b) olsun. Simetrik şeklin denk-
TANIM
Simetri Merkezi:
lemiyle verilen denklem aynı olmalıdır. Yani şekiller çakışık olmalıdır.
Herhangi bir geometrik şeklin bir K noktasına göre simet-
P(x, y)
K(a, b)
P′(2a – x,2b – y)
riği yine kendisi ise K noktasına geometrik şeklin simetri
merkezi denir.
Doğru parçasının simetri merkezi orta noktasıdır.
xy+x+y= 0
Doğru üzerindeki her nokta, doğrunun simetri merkezidir.
K(a, b)
(2a–x)⋅(2b–y) + (2a–x) + (2b–y) = 0
Simetrik şeklin denklemi düzenlenirse,
xy – (2b + 1)x – (2a + 1)y + 4ab + 2a + 2b = 0
Çemberin simetri merkezi, çemberin merkezidir.
Geometrik yerin xy + x + y = 0 denklemiyle aynı olması
için,
–(2b + 1) = 1 (⇒ b = –1)
Paralelkenarın simetri merkezi, köşegenlerinin kesişim
–(2a + 1) = 1 (⇒ a = –1)
noktasıdır.
4ab + 2a + 2b = 0 olmalı ki gerçekten a = –1, b = –1 için
sağlandığını görüyoruz.
Her şeklin simetri merkezinin olmayacağı çok açık, örneğin hiçbir üçgenin simetri merkezi yoktur.
O halde, denklemi xy + x + y = 0 olan geometrik yerin
simetri merkezi vardır ve koordinatları K(–1, –1) dir.
Doğru Seçenek A
172
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
Doğrunun Analitiği - Bölüm 07
Simetri
DNA 6
Analitik düzlemde denklemi xy – x + y = 0 olan geometrik yerin simetri merkezinin koordinatları için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
D) (1, 1)
mx + (m – 1)y + 3 = 0
olan doğru demetinin simetri merkezinin koordi-
B) (–1, 1)
A) (–1, –1)
Analitik düzlemde parametrik denklemi,
C) (0, 0)
E) Yoktur
natları aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–3, –3)
B) (–3, 3)
D) (3, –3)
C) (–3, 2)
E) (3, 3)
Çözüm
DNA 5
Doğru demetinin merkezi aynı zamanda simetri merkezi
olacağı için,
Analitik düzlemde bir d doğrusunun A(2, –1) noktası-
m = 0 için y = 3, m = 1 için x = –3 olduğundan simetri mer-
na göre simetriğinin denklemi x + 3y + 8 = 0 dır.
kezi (–3, 3) noktasıdır.
Buna göre d doğrusunun y eksenini kestiği nokta-
Doğru Seçenek B
nın ordinatı kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
Çözüm
d doğrusunun denklemi; (4 – x) + 3 ⋅ (–2 – y) + 8 = 0 olduğundan bu denklemde x = 0 yazılırsa,
mx + (m + 1)y + 3 = 0
4 – 0 + 3(–2 – y) + 8 = 0
⇒
Analitik düzlemde parametrik denklemi,
olan doğru demetinin simetri merkezinin koordinatları
aşağıdakilerden hangisidir?
y=2
A) (–3, –3)
dir.
B) (–3, 3)
D) (3, –3)
C) (–3, 2)
E) (3, 3)
Doğru Seçenek E
Orijine Göre Simetri
Analitik düzlemde bir d doğrusunun A(2, 1) noktasına göre
Işık 22
simetriğinin denklemi x + y + 3 = 0 dır.
Buna göre d doğrusunun x eksenini kestiği noktanın
apsisi kaçtır?
A) 10
B) 9
A(x, y) temsilci noktasının O(0, 0) orijin noktasına göre
simetriği A′(–x, –y) noktasıdır.
C) 8
D) 7
E) 6
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
173
Simetri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 07
Denklemi verilen geometrik şeklin orijine göre simetriğini
DNA 8
bulmak için x gördüğümüz yere –x, y gördüğümüz yere –y
yazmak yeterlidir.
Analitik düzlemde 2x – 3y + 4 = 0 doğrusunun ori-
Yani koordinatları verilen bir noktanın orijine göre simetriğini bulmak için noktanın koordinatlarının işaretini değiştirmek yeterlidir.
jine göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 2x – 3y – 4 = 0
B) 2x – 3y – 2 = 0
C) 2x – 3y = 0
D) 2x – 3y + 2 = 0
E) 2x – 3y + 4 = 0
DNA 7
Çözüm
Analitik düzlemde A(–2, 3) noktasının orijine göre
simetriğinin koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
2x – 3y + 4 = 0
doğrusunda x yerine –x, y yerine –y yazılırsa,
A) (–2, –3)
B) (–2, 3)
D) (2, 3)
C) (2, –3)
2(–x) –3(–y) + 4 = 0 ⇒ 2x – 3y – 4 = 0
E) (0, 0)
elde edilir.
Doğru Seçenek A
Çözüm
A(–2, 3) noktasının koordinatlarının işareti değişeceğin-
Kısayol
den (2, –3) elde edilir.
Doğru Seçenek C
Herhangi bir doğrunun orijine göre simetriği için doğrunun denkleminde sabit terimin işaretini değiştirmek
yeterlidir.
ax + by + c = 0 doğrusunun orijine göre simetriği
ax + by – c = 0 dır.
Analitik düzlemde 2x + 3y + 4 = 0 doğrusunun orijine
göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisiAnalitik düzlemde A(2, 3) noktasının orijine göre si-
dir?
metriğinin koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x + 3y – 4 = 0
B) 2x + 3y – 2 = 0
A) (–2, –3)
C) 2x + 3y = 0
D) 2x + 3y + 2 = 0
B) (–2, 3)
D) (2, 3)
174
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
C) (2, –3)
E) (0, 0)
E) 2x + 3y + 4 = 0
Doğrunun Analitiği - Bölüm 07
Simetri
2. DOĞRUYA GÖRE SIMETRI
DNA 9
[AA′] doğru parçasının orta dikme doğrusu d olsun. “A ile
Analitik düzlemde y = 2x + 1 doğrusunun A(0, 1)
noktasına göre simetriğinin, orijine göre simetriği-
A′ noktalarına d doğrusuna göre simetriktir” denildiğini hatırlayınız.
d
nin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = 2x – 1
B) y = 2x + 1
C) y = –2x – 1
D) y = –2x
A
K
A¢
A noktasının d doğrusuna göre simetriği A′ noktası olsun.
E) y = –2x + 1
Bu durumda [AA′] ⊥ d ve A ile A′ noktalarının d doğrusuna
uzaklıklarının eşit olması gerekir.
Herhangi bir geometrik şeklin d doğrusuna göre simetriği
için şekil üzerindeki tüm noktaların tek tek d doğrusuna
göre simetriği alınır.
Çözüm
d
A noktası y = 2x + 1 doğrusu
üzerinde
olduğundan,
y = 2x + 1 doğrusunun A(0,1) noktasına göre simetriği
değişmez.
O halde y = 2x + 1 doğrusunun orijine göre simetriğini
Doğruya göre, simetrik şekiller eştir.
almak yeterlidir.
Temsilci noktası P olan geometrik bir şeklin, d doğrusuna
göre simetriği olan P′ noktası da simetrik şekil için temsilci
y = 2x – 1
noktadır. O halde, denklemi verilen herhangi bir şeklin siDoğru Seçenek A
metriğinin denklemi bulunabilir.
d
Geometrik þekil
Simetrik þekil
P
P¢
DNA 10
Analitik düzlemde denklemi 5x2 + y – 2 = 0 olan
geometrik yerin, y = 3x + 1 doğrusuna göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
Analitik düzlemde y = 2x – 1 doğrusunun A(0, –1)
A) 16x2 + 9y2 – 24xy + 27x – 1 = 0
noktasına göre simetriğinin orijine göre simetriğinin
B) x2 + y2 – 24xy + 27x +1 = 0
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = 2x – 1
B) y = 2x + 1
C) y = –2x – 1
D) y = –2x
C) 16x2 + 9y2 – 24xy – 14y – 1 = 0
D) x2 + y2 – 24xy – 14y – 1 = 0
E) 16x2 + 9y2 – 24xy + 27x – 14y = 0
E) y = –2x + 1
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
175
Simetri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 07
Denklemi 5x2 + y – 2 = 0 olan geometrik yerin bu doğruya
Çözüm
göre simetriği;
Üç denklem ve üç temsilci nokta söz konusu olduğundan
2
3x + 4y + 1
⎛ 3y − 4x − 3 ⎞
5⋅⎜
−2=0
⎟ +
5
5
⎝
⎠
her temsilci noktayı x ve y ye bağlı göstermek işlemlerde
karışıklık meydana getirebileceği için, doğru denkleminin
temsilci noktasını P(X, Y) olarak aldığımızda denklemi
düzenlenirse,
Y = 3X + 1 olarak yazabiliriz.
16x2 + 9y2 – 24xy + 27x – 14y = 0
d : Y = 3X + 1
P(x, y)
K(X, 3X + 1)
P¢(x¢, y¢)
olduğu görülür.
Doğru Seçenek E
d doğrusu üzerinde doğru denklemini sağlayan değişken
bir K noktası alalım. K(X, 3X + 1) olarak alabiliriz.
PK doğrusu d doğrusuna dik olması gerektiğinden eğimleri çarpımı –1 olmalı,
Analitik düzlemde denklemi x = 3 olan doğrunun,
3X + 1− y
x + 3y − 3
3⋅
= −1 ⇒ X =
X−x
10
bulunur.
y = 3x + 1 doğrusuna göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A)
4x – 3y – 18 = 0
C) 4x + 3y – 18 = 0
P′ noktası, P noktasının K noktasına göre simetriğidir.
B) 4x – 3y + 18 = 0
D) 4x + 3y + 18 = 0
E) x + y + 6 = 0
O halde P′(2X – x, 6X + 2 – y) dir.
Biraz önce bulduğumuz X in eşitini burada yerine yazıp
düzenlediğimizde,
⎛ 3y − 4x − 3 3x + 4y + 1⎞
P′ ⎜
,
⎟
5
5
⎝
⎠
elde edilir.
Yaptığımız işlemin yorumu:
Hangi geometrik yer olursa olsun, denkleminde x yerine
3y − 4x − 3
3x + 4y + 1
ve y yerine
yazılırsa verilen geo5
5
metrik yerin y = 3x + 1 doğrusuna göre simetriğinin denklemi bulunur.
Buna bir nevi y = 3x + 1 doğrusuna göre simetri bulma kuralı bile diyebiliriz. Bu doğru sıradan bir doğru olduğundan
kuralını akılda tutmaya çalışmak gereksizdir.
176
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
DNA 11
Analitik düzlemde
m parametre olmak üzere,
A(1,2) noktasının, parametrik denklemi y = mx + 3
olan doğru demetinin elemanlarına göre simetriklerinin geometrik yerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x2 + (y – 3)2 = 1
B) x2 + (y – 3)2 = 2
C) x2 + (y – 3)2 = 3
D) x2 + (y – 3)2 = 4
E) x2 + (y – 3)2 = 9
Doğrunun Analitiği - Bölüm 07
Simetri
Çözüm
TANIM
Ardışık Simetri (Simetriğin Simetriği):
A¢¢
Bir geometrik şeklin doğru (veya noktaya) göre simetriği-
y = mx + 3
M(0, 3)
nin başka bir doğru (veya noktaya) göre simetriğinin alınmasına ardışık simetri denir.
A(1, 2)
A¢
¾ d1 ⊥ d2 ve d1 ∩ d2 = {K} olmak üzere,
d1
y = mx + 3 doğru demetinin simetri merkezi M(0, 3) tür.
Þekil 1
Þekil 2
m parametresi değiştikçe doğru demetinin merkezinden
|MA| =
K
2 birim uzaklıkta olan noktalar (A′, A′′, …) elde
edilir. İkizkenar üçgenlerin oluştuğuna dikkat ediniz. Artık problemimiz; M(0, 3) noktasından |MA| birim uzaklıkta
olan noktaların geometrik yerinin denklemini bulmaya indirgenilmiş oldu. A′(x, y) temsilci nokta için
|MA|2
=
|MA′|2
d2
Þekil 3
Şekil 1 in d1 doğrusuna göre simetriği Şekil 2, Şekil 2 nin
d2 doğrusuna göre simetriği Şekil 3 ise Şekil 1 ile Şekil 3,
K noktasına göre simetriktir.
eşitliği kullanılarak,
Kısayol
x2 + (y – 3)2 = 2
Herhangi bir geometrik şeklin x ve y eksenlerine göre
denklemi elde edilir.
ardışık simetriği yerine geometrik şeklin orijine göre siDoğru Seçenek B
metriği alınır.
Herhangi bir geometrik şeklin y = x ile y = –x açıortay doğrularına göre ardışık simetriği yerine geometrik
şeklin orijine göre simetriği alınır.
Herhangi bir geometrik şeklin x = a ile y = b doğrularına göre ardışık simetriği yerine geometrik şeklin (a, b)
noktasına göre simetriği alınır.
Özel Doğrulara Göre Simetri
Test sınavlarında sıkça karşılaşıldığı için öğrencilerin bu
kısımda elde edilecek sonuçları hızla kullanabilmesi geAnalitik düzlemde m parametre olmak üzere, A(1, 1)
noktasının, parametrik denklemi y = mx olan doğru
demetinin elemanlarına göre simetriklerinin geometrik yerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x2
+
y2
=1
B)
C) x2 + y2 = 3
x2
+
y2
rekir.
Eksenlere göre simetri
Işık 23
=2
D) x2 + y2 = 4
A(x, y) temsilci noktanın, x eksenine göre simetriği
A′(x, –y) ve y eksenine göre simetriği A′′(–x, y) dir.
E) x2 + y2 = 9
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
177
Simetri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 07
x eksenine göre simetride x, y eksenine göre simetride y
DNA 13
değişmez diğeri işaret değiştirir.
m reel sayı olmak üzere analitik düzlemdeki
y
A¢(–x, y)
A(x, y)
A(m, 2m – 1) noktalarının y eksenine göre simetriği olan noktaların geometrik yerinin denklemi aşa-
x
K
ğıdakilerden hangisidir?
A¢¢(x, –y)
A) y = 2x – 1
B) y = 2x + 1
C) y = –2x – 1
D) y = –2x
E) y = –2x + 1
DNA 12
Analitik düzlemde A(3, 4) noktasının x eksenine
göre simetriği K, y eksenine göre simetriği L nok-
Çözüm
tası olduğuna göre |KL| kaç birimdir?
A) 5
C) 5 3
B) 5 2
D) 10
E) 5 5
A(m, 2m – 1) noktalarının y eksenine göre simetriği,
A′(–m, 2m – 1) noktalarıdır.
Bu noktalar, x = –m, y = 2m – 1 olduğundan
y = –2x – 1
Çözüm
doğrusunu oluşturur.
Doğru Seçenek C
A(3, 4) noktasının x eksenine göre simetriği K(3, –4)
A(3, 4) noktasının y eksenine göre simetriği L(–3, 4)
olduğundan |KL| = 10 birimdir.
Doğru Seçenek D
m
reel
sayı
olmak
üzere
analitik
düzlemdeki
A(m, 2m + 1) noktalarının y eksenine göre simetriği
Analitik düzlemde A(0, 5) noktasının x eksenine göre
olan noktaların geometrik yerinin denklemi aşağıdaki-
simetriği K, y eksenine göre simetriği L noktası oldu-
lerden hangisidir?
ğuna göre |KL| kaç birimdir?
A) 5
D) 10
178
C) 5 3
B) 5 2
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 5 5
A) y = 2x – 1
B) y = 2x + 1
C) y = –2x – 1
D) y = –2x
E) y = –2x + 1
Doğrunun Analitiği - Bölüm 07
Simetri
Eksenlere dik olan doğrulara göre simetri
Çözüm
Işık 24
A(1, 4) noktasının x = 2 doğrusuna göre simetriği A′(3, 4)
olduğundan |OA′| = 5 birimdir.
A(x, y) noktasının, x = a doğrusuna göre simetriDoğru Seçenek E
ği A′(2a – x, y) ve y = b doğrusuna göre simetriği
A′′(x, 2b – y) dir.
“Ortadakinin iki katı eksi uçtaki” mantığının burada da ge-
Analitik düzlemde A(4, 1) noktasının y = 2 doğrusuna
çerli olduğuna dikkat ediniz.
göre simetriğinin orijine uzaklığı kaç birimdir?
A) 1
y
B) 2
C) 3
E) 5
D) 4
x=a
A(x, y)
y
O
A¢(2a–x, y)
x
a
2a – x
x
DNA 15
Analitik düzlemde x + 3y + a = 0 doğrusunun y = 4
doğrusuna göre simetriği orijinden geçtiğine göre,
y
a kaçtır?
y
A(x, y)
A) –20
b
2b – y
O
B) –24
D) –30
y=b
C) –28
E) –32
A¢(x, 2b – y)
x
Çözüm
x
x + 3y + a = 0 denkleminde y yerine 2 . 4 – y yazılırsa simetriği x + 3 . (8 – y) + a = 0 elde edilir. Simetrik doğrunun
orijinden geçmesi için sabit terimin sıfır olması gerektiğinden;
DNA 14
24 + a = 0 ⇒ a = –24
Analitik düzlemde A(1, 4) noktasının x = 2 doğrusuna göre simetriğinin orijine uzaklığı kaç birimdir?
A) 1
tür.
Doğru Seçenek B
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
179
Simetri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 07
Analitik düzlemde x + 3y + a = 0 doğrusunun x = 4
Analitik düzlemde II. açıortay doğrusunun (x–3)⋅(y+3) = 0
doğrusuna göre simetriği orijinden geçtiğine göre,
doğrularına göre simetriği d ve d′ doğrularıdır.
a kaçtır?
A) –8
Buna göre, d ve d′ doğrularının denklemi aşağıdakiB) –6
C) –4
D) –2
E) 0
lerden hangisidir?
A) x + y – 6 = 0
B) x – y – 6 = 0
C) x2 – y2 – 9 = 0
D) x2 + y2 – 36 = 0
E) (x + y)2 – 36 = 0
Açıortay Doğrularına Göre Simetri
DNA 16
Analitik düzlemde I. açıortay doğrusunun
Hazine 20
(x – 3) ⋅ (y + 3) = 0
A(x, y) noktasının, y = x doğrusuna göre simetriği
doğrularına göre simetrikleri d ve d′ doğrularıdır.
Buna göre, d ve d′ doğrularının denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A′(y, x) tir.
A(x, y) noktasının, y = –x doğrusuna göre simetriği
A′(–y, –x) tir.
A) x + y – 6 = 0
B) x – y + 6 = 0
C) x2 – y2 – 9 = 0
D) x2 + y2 – 36 = 0
I. Açıortay
y
E) (x + y)2 – 36 = 0
B
x
A(x, y)
y=x
y
Çözüm
A¢(y, x)
x
O
y = x doğrusunun x = 3 doğrusuna göre simetriği,
y
x
C
II. Açıortay
d:y=6–x
y
y = x doğrusunun y = –3 doğrusuna göre simetriği,
A(x, y)
y = –x
d′ : –6 – y = x
d: x + y – 6 = 0 ve d′: x + y + 6 = 0
x
B
y
A¢(–y, –x)
–x
kapalı denklemleri taraf tarafa çarpılabileceğinden,
C
–y
O
x
(x + y – 6) ⋅ (x + y + 6) = 0 (x + y)2 – 36 = 0
Uyarı
dır.
Doğru Seçenek E
180
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
Her iki grafikte AOB ve A′OC üçgenlerinin eş olduğuna
dikkat ediniz…
Doğrunun Analitiği - Bölüm 07
Simetri
Çözüm
DNA 17
Analitik düzlemde A(3, a – b) noktasının I. açıortay doğrusuna göre simetriği A′(5, a + b) olduğuna
göre, a . b çarpımı kaçtır?
A) –8
B) –6
C) –4
y = 2x – 3 doğrusunun y = x doğrusuna göre simetriği,
x = 2y – 3
y = 2x – 3 doğrusunun y = –x doğrusuna göre simetriği,
D) 2
E) 4
–x = –2y – 3
Simetri doğrularının y eksenini kestiği noktalar arasındaki
farkın mutlak değeri alınırsa,
Çözüm
3 −3
−
= 3 birim
2 2
A′(a – b, 3) olduğundan,
dir.
a – b = 5, a + b = 3
⇒
a = 4, b = –1
Doğru Seçenek B
a ⋅ b = 4 ⋅ (–1) = –4
tür.
Doğru Seçenek C
Analitik düzlemde y = 2x – 3 doğrusunun açıortay doğruAnalitik düzlemde A(3, a + b) noktasının I. açıortay
doğrusuna göre simetriği A′(5, a – b) olduğuna göre,
a . b çarpımı kaçtır?
A) –8
B) –6
larına göre simetriği d ve d′ doğrularıdır.
Buna göre, x ekseninin d ve d′ doğruları arasında kalan parçasının uzunluğu kaç birimdir?
C) –4
D) 2
E) 4
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Kısayol
DNA 18
Analitik düzlemde y = 2x – 3 doğrusunun açıortay doğ-
Bir noktanın veya bir doğrunun, eğimi ∓ 1 olan doğ-
rularına göre simetrikleri d ve d′ doğrularıdır.
rulara göre simetrileri, yine y = ∓ x doğrularına göre
Buna göre, y ekseninin d ve d′ doğruları arasında
simetrideki gibi alınabilir.
kalan parçasının uzunluğu kaç birimdir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Bu KISAYOL’u DNA 19 ve DNA 20 ile pekiştirilem.
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
181
Simetri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 07
DNA 19
DNA 20
A(1, –2) noktasının x + y – 1 = 0 doğrusuna göre
simetriğinin koordinatları nedir?
A) (3, 0)
doğrusunun y = x – 1 doğrusuna göre simetriğinin
B) (3, –1)
C) (1, 3)
D) (0, –3)
2x + 3y – 1 = 0
E) (1, –2)
denklemi nedir?
A) 2x + 3y + 2 = 0
B) 3x + 2y – 2 = 0
C) 3x – 2y – 2 = 0
D) 3x + 2y + 2 = 0
E) 2x – 3y – 3 = 0
Çözüm
y=x–1 ⇒ x=y+1
dir.
Çözüm
2x + 3y – 1 = 0
denkleminde y yerine x – 1 ve x yerine y + 1 yazarsak,
x = 1 için:
istenen denklemi buluruz.
1+y–1=0 ⇒ y=0
2 ⋅ (y + 1) + 3 ⋅ (x – 1) – 1 = 0
y = –2 için:
x–2–1=0 ⇒ x=3
⇒
2y + 2 + 3x – 3 – 1 = 0
⇒
3x + 2y – 2 = 0
buluruz.
A′(3, 0) bulunur.
Doğru Seçenek B
Doğru Seçenek A
x–2=0
doğrusunun x – y + 3 = 0 doğrusuna göre simetriğinin
denklemi nedir?
A(2, 3) noktasının y = x + 2 doğrusuna göre simetriğinin koordinatlarının çarpımı kaçtır?
A) 3
182
B) 4
C) 6
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
D) 8
E) 9
A) y – 2 = 0
B) y – 3 = 0
C) y – 5 = 0
D) y + 5 = 0
E) y – x + 3 = 0
Doğrunun Analitiği - Bölüm 07
Simetri
5.
TEST - 1
1.
A(–1, 2) noktasının orijine göre simetriği B olduğuna göre, B noktasının A noktasına göre simetriğinin koordinatları toplamı kaçtır?
A) 0
⎛ 1 3⎞
A(2, –3) noktasının B ⎜ , ⎟ noktasına göre si⎝2 2⎠
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
metriğinin koordinatları nedir?
A) (1, 6)
B) (1, –6)
D) (–1, –6)
C) (–1, 6)
E) (6, 1)
6.
A(x, y) noktasının B noktasına göre simetriği
C(–x, –y) noktası olduğuna göre, B noktasının
koordinatları toplamı kaçtır?
A) –2
2.
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
A(2a, –6a) noktasının B(3 + a, 2 – 3a) noktasına
göre simetriği C noktasıdır.
Buna göre, C noktasının koordinatları toplamı
kaçtır?
A) 18
B) 16
C) 14
D) 12
E) 10
7.
3.
⎛1 ⎞
Analitik düzlemin başlangıç noktasının A ⎜ , 1⎟
⎝2 ⎠
noktasına göre simetriğinin koordinatları çarpımı
kaçtır?
A)
4.
1
2
B) 1
C) 2
D) 3
Her m reel sayısı için P(m, m + 2) noktalarının
meydana getirdiği doğrunun, orijine göre simetriğinin m parametresine göre yazılışı aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–m, –m –2)
B) (–m, –m + 2)
C) (–m, m –2)
D) (–m, m + 2)
E) (m, m + 2)
E) 4
A(3, 4) noktasının B(4, 3) noktasına göre simetriği C,
C noktasının (1, 1) noktasına göre simetriği D noktasıdır.
8.
y=x+1
doğrusunun orijine göre simetriğinin denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
Buna göre, |CD| kaç birimdir?
B) 2 15
A) 2 17
D) 2 13
C) 2 14
E) 2 10
A) y = –x + 1
B) y = –x – 1
C) y = x – 1
D) y = x + 1
E) y = 2x – 2
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
183
Simetri
9.
Doğrunun Analitiği - Bölüm 07
13.
3x – 4y + 5 = 0
y = x2 + x + 1
doğrusunun orijine göre simetriğinin denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
eğrisinin A(1, 2) noktasına göre simetriğinin
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3x + 4y + 5 = 0
B) 3x – 4y + 5 = 0
A) y = –x2 + 5x – 3
B) y = –x2 – 5x + 3
C) 3x + 4y – 5 = 0
D) 3x – 4y – 5 = 0
C) y = x2 – 5x – 3
D) y = x2 – 5x + 3
E) y = x2 + 5x + 3
E) 4x – 3y – 5 = 0
10.
x + 2y + 3 = 0
doğ rusunun A(m, n) noktasına göre simetriğinin
denklemi x + 2y – 3 = 0 doğrusu olduğuna göre,
m + 2n kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
14.
Analitik düzlemde y = 3 doğrusunun A(–1, 2)
noktasına göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = 1
E) 2
B) x = 1
D) x = 5
C) y = 5
E) y = x
11. ∀m
∈ R için, P(m, m + 3) doğrusunun A(4, 5)
noktasına göre simetriği olan doğrunun m parametresine göre denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
15.
Analitik düzlemde 2x – 3 = 0 doğrusunun orijine
göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) K(8 – m, 10 – m)
B) K(8 – m, 7 – m)
A) 2y – 3 = 0
B) 2y + 3 = 0
C) K(m – 8, m – 10)
D) K(m – 8, m – 7)
C) 3x – 2 = 0
D) 2x + 3 = 0
E) K(m + 8, m + 6)
12.
E) 2x – 3 = 0
2x + 3y + 1 = 0
doğrusunun A(2, 3) noktasına göre simetriğinin
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
16.
Analitik düzlemde x ekseninin A(–1, 1) noktasına
göre simetriği d doğrusudur.
Buna göre, d doğrusunun orijine göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3x + 2y + 27 = 0
B) 3x + 2y – 27 = 0
C) 3x + 2y = 0
D) 2x + 3y + 27 = 0
A) x = 2
E) 2x + 3y – 27 = 0
1.C
184
2.E
3.C
4.A
5.D
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
B) x = –2
D) y = 2
6.C
7.A
8.C
9.D
10.C
11.B
12.E
C) y = x
E) y = –2
13.A
14.A
15.D
16.E
Doğrunun Analitiği - Bölüm 07
Simetri
5.
TEST - 2
A(–2, 3) noktasının y eksenine göre simetriğinin
koordinatları nedir?
A) (3, –2)
1.
A(2, 3) noktasının x eksenine göre simetriğinin
koordinatları nedir?
A) (2, –3)
B) (–2, 3)
D) (3, 2)
D) (2, 3)
C) (2, –3)
E) (–2, –3)
C) (–2, –3)
E) (–3, –2)
6.
2.
B) (–2, 3)
3x + 2y + 1 = 0
doğrusunun y eksenine göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
y = 3x + 2
doğrusunun x eksenine göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = 3x – 2
B) y = –3x – 2
C) y = 2x – 3
D) y = 2x + 3
A) –3x + 2y + 1 = 0
B) 3x – 2y + 1 = 0
C) 3x + 2y – 1 = 0
D) 2x + 3y + 1 = 0
E) –2x + 3y + 1 = 0
E) y = –2x – 3
3.
Analitik düzlemde denklemi,
7.
y2 + y + x – 1 = 0
olan eğrinin x eksenine göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y2 + y + 1 = 0
B) y2 – y – x – 1 = 0
C) y2 – y + x – 1 = 0
D) y2 – y – x + 1 = 0
A(–1, 1) noktasının y eksenine göre simetriği B,
B noktasının x eksenine göre simetriği C noktasıdır.
Buna göre, [AC] doğru parçasının orta noktasının koordinatları nedir?
A) (0, 0)
B) (1, 0)
D) (0,1)
C) (–1, 0)
E) (0, –1)
E) y2 – y + x + 1 = 0
4. ∀m ∈ R için, P(m – 1, 2 – m) noktalarının x eksenine göre simetrileri aşağıda denklemi verilen
doğrulardan hangisinin üzerindedir?
A) 2x + y + 1 = 0
B) 2x – y – 1 = 0
C) 2x – y + 1 = 0
D) x + y + 1 = 0
E) x – y – 1 = 0
8.
A(2, 3) noktasının y eksenine göre simetriği
A′, B(–3, 2) noktasının x eksenine göre simetriği B′
ve C(0, –3) noktasının orijine göre simetriği C′ noktasıdır.
Buna göre, A′B′C′ üçgeninin alanı kaç birim karedir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 9
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 14
185
Simetri
9.
Doğrunun Analitiği - Bölüm 07
A(3, 5) noktasının x = 2 doğrusuna göre simetriğinin koordinatları toplamı kaçtır?
A) 1
B) 4
C) 5
D) 6
13.
Analitik düzlemin I. açıortay doğrusunun y = 2 doğrusuna göre simetriği d, d doğrusunun x = 3 doğrusuna
göre simetriği k doğrusudur.
E) 8
Buna göre, k doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = x + 2
B) y = x + 1
D) y = x – 1
10.
C) y = x
E) y = x – 2
2x – y + 1 = 0
doğrusunun x = –1 doğrusuna göre simetriğinin
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x + y – 1 = 0
B) 2x + y + 3 = 0
C) 2x + y + 1 = 0
D) 2x – y – 1 = 0
14.
Analitik düzlemde d doğrusunun x = –1 doğrusuna
göre simetriği k, k doğrusunun y = 2 doğrusuna göre
simetriğinin denklemi x + y – 1 = 0 dır.
Buna göre, d doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
E) x + 2y + 3 = 0
A) x + y + 1 = 0
B) x + y – 1 = 0
C) x – y – 1 = 0
D) x – y + 1 = 0
E) 2x – y + 3 = 0
11.
A(a, b) noktasının y = 3 doğrusuna göre simetriğinin koordinatları (2, 1) olduğuna göre, a – b
farkı kaçtır?
A) 4
B) 3
C) 0
D) –3
15.
E) –4
Analitik düzlemde A(5, 7) noktasının I. açıortay
doğrusuna göre simetriğinin koordinatları nedir?
A) (–5, 7)
B) (5, –7)
D) (7, 5)
16.
12.
A(a, b) noktasının y = 2 doğrusuna göre simetriği,
B, A noktasının x = –3 doğrusuna göre simetriği C
noktasıdır.
C) (5, 7)
E) (–7, –5)
Analitik düzlemde,
3x + 5y + 2 = 0
doğrusunun II. açıortay doğrusuna göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
Buna göre, [BC] doğru parçasının orta noktasının koordinatları nedir?
A) 5x + 3y + 2 = 0
B) 5x – 3y + 2 = 0
A) (–3, 2)
C) 5x + 3y – 2 = 0
D) 5x – 3y – 2 = 0
B) (3, –2)
D) (2, –3)
1.A
186
2.B
3.C
C) (3, 2)
E) 3x + 5y – 2 = 0
E) (–2, 3)
4.E
5.D
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
6.A
7.A
8.C
9.D
10.B
11.D
12.A
13.E
14.B
15.D
16.C
Doğrunun Analitiği - Bölüm 07
Simetri
5.
TEST - 3
1.
A(2, 5) noktasının y = 3x + 4 doğrusuna göre simetriğinin koordinatları nedir?
x – 5y – 10 = = 0 doğrusunun 5x + y – 11 = 0 doğrusuna göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) –x + 5y + 10 = 0
B) x + 5y + 10 = 0
C) 3x – 2y + 1 = 0
D) 3x + 2y – 1 = 0
E) 2x – 3y = 0
A) (–1, 6)
B) (–1, –6)
D) (1, –6)
C) (1, 6)
E) (0, 4)
6.
2x – y + 5 = 0 doğrusunun d doğrusuna göre simetriğinin denklemi,
x – 2y + 3 = 0
2.
A noktasının y = –3x + 2 doğrusuna göre simetriğin koordinatları (–4, –1) olduğuna göre, A noktasının koordinatları nedir?
A) (–5, –2)
B) (–5, 2)
D) (2, 5)
doğrusu olduğuna göre, d doğrusunun denklemi
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
C) (5, 2)
E) (–2, –5)
A) y = 4x + 3
B) y = 4x – 3
C) y = –x + 2
D) y = 3x – 4
E) y = –x – 2
3.
A(0, 2) noktasının 4x + y – 2 = 0 doğrusuna göre
simetriğinin koordinatları toplamı kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
7.
y = x doğrusunun y = 2x doğrusuna göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = 3x
E) 2
B) y = 4x
D) y = 6x
4.
2x + y = 0 doğrusunun y = 3x doğrusuna göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
8.
C) y = 5x
E) y = 7x
A) x + 2y = 0
B) x – 2y = 0
11x – 2y = 0 doğrusunun 3x – y = 0 doğrusuna
göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
C) x + 3y = 0
D) x – 3y = 0
A) y = 5x
E) x + y = 0
D) y = 2x
B) y = 4x
C) y = 3x
E) y = x
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
187
Simetri
9.
Doğrunun Analitiği - Bölüm 07
x + 2y + 3 = 0 doğrusunun y = x doğrusuna göre
simetriğinin denklemi nedir?
A) x – 2y – 3 = 0
B) x – 2y + 3 = 0
C) y + 2x – 3 = 0
D) y + 2x + 3 = 0
13.
A(2, 3) noktasının y = –x + 3 doğrusuna göre simetriğinin koordinatları nedir?
A) (0, 0)
B) (0, 1)
D) (–1, 0)
C) (–1, 1)
E) (1, 1)
E) y = x + 3
14.
10.
y = 4x + 1 doğrusunun 4x – y + 3 = 0 doğrusuna
göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
x – 2y + 3 = 0 doğrusunun y = –x + 2 doğrusuna
göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = 2x + 1
B) y = 2x – 1
C) y = –2x + 1
D) y = –2x – 1
E) y = x – 2
A) y = 4x + 7
B) y = 4x + 5
C) y = 4x – 4
D) y = 4x + 3
E) y = 4x – 2
15. ∀m,
n ∈ R için, A(m, n) noktalarının d doğrusuna
göre simetriği A′(n + 1, m – 1) noktalarıdır.
Buna göre, y = 3x + 2 doğrusunun d doğrusuna
göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
11.
A(2, 1) noktasının y = x + 3 doğrusuna göre simetriğinin koordinatları nedir?
A) (–2, 5)
B) (–2, –5)
D) (2, –5)
A) x + 3y + 6 = 0
B) x – 3y + 6 = 0
C) x + 3y – 6 = 0
D) x – 3y – 6 = 0
E) x – 3y + 3 = 0
C) (2, 5)
E) (5, 2)
16.
Analitik düzlemde her A(x, y) noktasının d doğrusuna göre simetriği A′(x′, y′) noktasıdır.
5xı = –3x + 4y – 4
12.
5yı = 4x + 3y + 2
y = 2x + 1 doğrusunun y = x + 3 doğrusuna göre
simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + 2y + 8 = 0
B) x + 2y – 8 = 0
olduğuna göre, 5x + 5y + 2 = 0 doğrusunun d
doğrusuna göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
C) x – 2y – 8 = 0
D) x – 2y + 8 = 0
A) x + 7y = 0
D) 7x – y = 0
E) 2x – y – 8 = 0
1.A
188
2.C
3.E
4.B
5.A
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
B) x – 7y = 0
6.E
7.E
8.D
9.D
10.B
11.A
12.D
C) 7x + y = 0
E) y = x
13.B
14.A
15.D
16.A
Doğrunun Analitiği - Bölüm 07
Simetri
5.
TEST - 4
1.
A(–2, 0), B(1, 0), C(0, 6) noktalarının sırasıyla
D(–7, –11) noktasına göre simetrileri A′, B′ ve C′
noktalarıdır.
Buna göre, AıBıCı üçgeninin alanı kaç birim karedir?
A) 48
B) 36
C) 27
D) 18
A) y = 3x + 6
B) y = 3x – 6
C) y = 3x
D) y = –3x + 6
E) y = –3x – 6
E) 9
6.
2.
3x – y – 6 = 0 doğrusunun y = x doğrusuna göre
simetriği d olduğuna göre, d doğrusunun y = –x
doğrusuna göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A(1, 3), B(–2, 0) ve C(1, 0) noktalarının sırasıyla
D(–1, 3) noktasına göre simetrikleri A′, B′ ve C′ noktalarıdır.
Analitik düzlemde d doğrusunun y = x doğrusuna
göre simetriği k doğrusu ve d doğrusunun y = –x
doğrusuna göre simetriği kı doğrusudur.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
Buna göre, A′B′C′ üçgensel bölgesinin ağırlık
merkezinin koordinatları nedir?
A) k ve k′ doğruları orijine göre simetriktir.
A) (–2, –5)
C) k ve k′ doğruları x eksenine göre simetriktir.
B) (–2, 5)
D) (2, –5)
B) k ve k′ doğruları birbirine diktir.
C) (2, 5)
E) (5, 2)
D) k ve k′ doğruları y eksenine göre simetriktir.
E) k ve k′ doğruları çakışıktır.
3.
A(–4, 0), B(0, 3) ve O(0, 0) noktalarının C(1, 2) noktasına göre simetrikleri sırasıyla A′, B′ ve O′ noktalarıdır.
7.
Buna göre, A′O′B′ açısının açıortayını taşıyan
doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = –x – 6
B) y = –x + 6
D) y = x + 6
4.
E) y = x – 6
A) 72
Buna göre, C noktasının koordinatları toplamı
kaçtır?
B)
1
3
|AC| = 6 birim olduğuna göre, ABCD dörtgensel
bölgenin alanı kaç birim karedir?
C) y = 6
a + b = 3 olmak üzere, A(a, b) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği B, B noktasının y = –x doğrusuna
göre simetriği C noktasıdır.
A) 3
C) 0
D) −
1
3
K noktasının y = x doğrusuna göre simetriği A, K
noktasının x eksenine göre simetriği B, K noktasının
y = –x doğrusuna göre simetriği C ve K noktasının y
eksenine göre simetriği D noktasıdır.
E) –3
8.
B) 36
C) 27
D) 18
E) 9
A(0, 1), B(0, 5) ve C(–4, 0) noktalarının
3x + 4y + 5 = 0 doğrusuna göre simetrikleri sırasıyla
A′, B′ ve C′ noktalarıdır.
Buna göre, A′B′C′ üçgeninin alanı kaç birim karedir?
A) 32
B) 16
C) 8
D) 4
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 2
189
Simetri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 07
9.
AB doğrusunun denk-
A
13.
lemi y = x – 3
x–
3
BC doğrusunun denk-
Buna göre, a – b farkı kaçtır?
y=
lemi y = 2x + 1
C noktasının apsisi 0
B
y = 2x + 1
Analitik düzlemde A(–1, 3) noktasının 2x+ay+b = 0
doğrusuna göre simetriği B(–3, 1) noktasıdır.
A) 2
B) 1
C) 0
D) –1
E) –2
dır.
C(0, k)
|AB| = |AC|
Yukarıda verilenlere göre, AC doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 7x + y – 1 = 0
B) 7x – y + 1 = 0
C) x – 7y + 7 = 0
D) x + 7y – 7 = 0
14.
E) 5x – 2y + 2 = 0
Analitik düzlemde A(1, 3) noktasının y = –x + 6 doğrusuna göre simetriği x + 3y + k = 0 doğrusu üzerindedir.
Buna göre, k kaçtır?
A) –6
B) –9
C) –10
D) –12
10.
E) –18
A(1, 1) noktasının 3x + 4y + 3 = 0 doğrusuna göre
simetriği B noktasıdır.
Buna göre |AB| kaç birimdir?
A) 8
B) 6
C) 5
D) 4
E) 2
15.
Analitik düzlemde ABCD kare, A(–1, 2) ve BD köşegen doğrusunun denklemi x + 2y – 8 = 0 dır.
Buna göre, B noktasının koordinatları toplamı en
çok kaçtır?
A) 1
11.
y ekseninin −
C) 3
B) –9
C) –8
D) –6
16.
E) 5
E) –4
M noktası ABO üçge-
y
ninin iç teğet çember
6 A
merkezidir.
E
A(0, 6)
M
D
O
12.
D) 4
x y
+ = 1 doğrusuna göre simetri3 6
ğinin x ekseninin kestiği noktanın apsisi kaçtır?
A) –10
B) 2
D
B
x
Analitik düzlemde A(1, 2) noktasının x + ay + b = 0
doğrusuna göre simetriği B(3, 2) noktasıdır.
Yukarıda verilenlere göre, A noktasının OE doğrusuna göre simetriğinin koordinatları nedir?
Buna göre, a + b toplamı kaçtır?
A) (0, 6)
A) 2
1.E
190
2.B
B) 1
3.B
C) 0
4.E
5.A
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
D) –1
6.A
D) (–6, 0)
E) –2
7.D
8.C
B) (0, –6)
9.B
10.D
11.C
12.E
C) (6, 0)
E) (–6, 6)
13.A
14.E
15.E
16.C
DOĞRUNUN ANALİTİĞİ - BÖLÜM 08
EŞİTSİZLİK VE EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ
Çözüm
Hatırlatma
x+y–5≤0
⇒ a∓c < b∓c
a<b
a⋅c
< b ⋅ c (c > 0)
a⋅c
> b ⋅ c (c < 0)
eşitsizliğinin görüntüsü denildiğinde, bu eşitsizliği sağlayan (x, y) ikililerine karşılık gelen noktaların analitik düzlemde tespit edilmesi istenmektedir.
TANIM
Bunun için önce; x + y – 5 = 0 doğrusu çizilerek sınırdaki
>, <, ≥, ≤ sembollerinin kullanıldığı ifadelere eşitsizlik de-
noktalar tespit edilir.
nir.
y
ax + by + c < 0
5
ax + by + c ≥ 0
0
y ≤ mx + n
x
5
x y
+ ≥1
a b
x+y–5=0
ifadeleri birer eşitsizliktir.
Bu doğru analitik düzlemi iki bölgeye ayırmış olur.
Bu bölümdeki amaç verilen eşitsizliklerin analitik düzlemdeki görüntüsünü bulmak veya verilen bir görüntüye karşılık gelen eşitsizlikleri bulmaktır.
üst bölge
(sað bölge)
alt bölge
(sol bölge)
x+y–5=0
DNA 1
Verilen x + y – 5 ≤ 0 eşitsizliği bu iki bölgeden ancak biri-
x+y–5≤0
eşitsizliğinin analitik düzlemdeki görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir?
ni gösterebilir. Sınırda bulunmayan bir nokta keyfi olarak
seçilerek, x + y– 5 ≤ 0 eşitsizliğini sağlayıp sağlamadığına
bakılır. Genelde (0, 0) orijin noktası sınır üzerinde değilse
A)
B)
y
5
0
5
C)
y
5
x
x
–5 0
–5
y
(doğru üzerinde değilse) tercih edilir.
x
0
0+0–5≤0
–5
D)
E)
y
(0, 0) noktası x + y – 5 ≤ 0 eşitsizliğini sağlıyor mu?
y
–5 ≤ 0
5
0
5
x
–5
0
x
–5
olduğundan, (0, 0) orijin noktası x + y – 5 ≤ 0 eşitsizliğini
sağladığı için orijinin bulunduğu taralı bölgedeki diğer tüm
noktalar da bu eşitsizliği sağlar.
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
191
Eşitsizlik ve Eşitsizlik Sistemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 08
y
5
2x – y – 2 ≤ 0
x
5
0
eşitsizliğinin analitik düzlemde görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir?
x+y–5=0
A)
Taralı olan bölge x + y – 5 ≤ 0 eşitsizliğinin görüntüsüdür.
Doğru Seçenek D
B)
y
1
0
C)
y
x
2
0
y
x
–1
–2
D)
2
0
x
–2
E)
y
1
0
y
x
1
0
–1
x
–2
Verilen eşitsizlikte > veya < sembolleri varsa, sınırdaki
noktaları temsil eden doğru kesikli çizgilerle çizilir.
Bunun anlamı, sınır noktalarının eşitsizliği sağlamadığıdır.
by
ax
2x + y – 2 ≥ 0
+c
<0
eşitsizliğinin analitik düzlemdeki görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
1
0
2
D)
C)
y
–2
x
0
E)
y
Katsayı İşareti ile Taralı Bölge Tespiti
2
1
x
y
0
1
x
Doğru denklemi hangi formatta verilirse verilsin,
ax + by + c = 0,
y = mx + n,
y
x y
+ = 1, ...
a b
2
–1 0
x
1
0
–2
x
x veya y nin pozitif olan kat sayısına göre bölge tespiti
yapmak mümkündür. Bu yöntemi kullanmak için aşağıdaki şekilleri inceleyiniz.
192
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
Doğrunun Analitiği - Bölüm 08
Eşitsizlik ve Eşitsizlik Sistemleri
a > 0 ise x in kat sayısına bakarak, bölge tespiti;
Bu yöntemde önemli olan x veya y den hangisinin katsayısı poztif ise onun kullanılmasıdır.
Örnekler:
x
ax + by + c = 0
(Sýnýr noktalar)
y
y
+
³1
–2
3
Sınırdan itibaren taralı bölgedeki x değerlerinin gittikçe
x
büyüdüğüne dikkat ediniz.
x
y
+
³1
4 –2
Bu bölge, ax + by + c ≥ 0 eşitsizliği ile ifade edilir.
x
y
+ =1
–2
3
ax + by + c ≥ 0 eşitsizliğinde a > 0 olduğundan x i eşitsizliy
ğin bir tarafında yalnız bıraktığımızda, eşitsizlik yön değiştirmeden x ≥
y
x
y
+
= 1 (sýnýr)
4 –2
−by − c
elde edilir. Zihnimizden x ≥ (sınır)
a
y > –3x + 4
x ³ –4
olduğunu düşünüp sınırdan itibaren x in büyüdüğü tarafı
x
taramamız gerektiğini anlarız.
x ³ (sýnýr)
y = –3x + 4
x < (sýnýr)
x
x = –4
x
x £ (sýnýr)
x > (sýnýr)
sýnýr
sýnýr
x £ (sýnýr)
x ³ (sýnýr)
x
DNA 2
sýnýr
y
Benzer şekilde y nin katsayısı pozitif ise,
y
d doðrusu
y
sýnýr
y ³ (sýnýr)
0
y > (sýnýr)
x
sýnýr
y < (sýnýr)
y £ (sýnýr)
Analitik düzlemde taralı bölgeyi ifade eden eşitsiz-
y
lik aşağıdakilerden hangisi olamaz?
y ³ (sýnýr)
A) y < x
B) 2x – 3y > 0
C) 2y – 4x < 0
D) y – 6x < 0
y £ (sýnýr)
sýnýr
E) 2x + 3y > 0
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
193
Eşitsizlik ve Eşitsizlik Sistemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 08
Çözüm
DNA 3
Verilen doğrunun eğimi pozitif olması gerektiğinden E şık-
x y
+ >1
3 4
y ≥ 4x + 4
kında verilen eşitsizlik taralı bölgeyi ifade edemez. Diğer
şıklarda verilen eşitsizlikleri x in veya y nin pozitif kat sayısına göre inceleyerek egzersiz yapabilirsiniz.
eşitsizlik sisteminin analitik düzlemde görüntüsü
Doğru Seçenek E
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
4
–1 0
y
4
x
3
D)
y
C)
y
4
–1 0
x
3
E)
y
x
3
y
4
–1 0
–1 0
4
x
3
–1 0
3
x
x
0
d
Analitik düzlemde taralı bölgeyi ifade eden eşitsizlik
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Çözüm
Görüntü kümesindeki her nokta, sistemdeki tüm eşitsizlik-
A) y + x ≥ 0
B) y > –3x
leri sağlamalıdır. Genel yöntem olarak sistemdeki eşitsiz-
C) 2x – 3y > 0
D) 2x – y < 0
liklerin belirttiği bölgeler ayrı ayrı taranır ve ortak taranan
bölge sistemin belirttiği bölge olarak alınır.
E) y > 4
y
y
4
0
4
3
x
–1 0
x
Aşağıdakilerden hangisinde verilen eşitsizlik taralı
A)
B)
y
C)
y x=2
y ≥ 4x + 4
x y
+ >1
3 4
olarak verilen bölgeyi ifade etmez?
y
y=x
x
0
0
2
x
0
x
y
4
–1 0
y³0
x£2
D)
2
–5 0
x
x + y ³1
2
–5
194
x
y£x
E)
y
3
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
y
0
y=2
x
x y
+ > 1 ve y ≥ 4 x + 4 (Sistemin çözümü)
3 4
Doğru Seçenek D
y³ 2
Doğrunun Analitiği - Bölüm 08
Eşitsizlik ve Eşitsizlik Sistemleri
DNA 4
y≥x
y < −x
x + 2y ≤ 0
x≥0
eşitsizlik sisteminin analitik düzlemde görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
eşitsizlik sisteminin analitik düzlemde görüntüsü
C)
y
y=x
y = –x
E)
y
y=x
E)
y
x
0
y = –x
x
0
x
0
y = –x
C)
y
x
0
D)
y=x
x
0
B)
y
y
x
0
y = –x
y
A)
y=x
x
0
y = –x
D)
aşağıdakilerden hangisidir?
y
y=x
x
0
y≤0
x
0
y
x
0
y
3
–4
x
4
0
Çözüm
–3
y (x = 0)
x + 2y = 0
Şekilde verilen taralı bölgeyi ifade eden eşitsizlik sistemi aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x y
+ ≤1
4 3
x y
− ≥1
4 3
x y
+ ≤1
4 3
B) −
x y
− ≥1
4 3
C)
x y
+ ≤1
4 3
0
x (y = 0)
x y
− ≤1
4 3
x y
D) − + ≤ 1
4 3
x y
E) − + ≥ 1
4 3
x y
− ≤1
4 3
x y
− ≥1
4 3
Ortak taranan bölgeye göre,
Doğru Seçenek C
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
195
Eşitsizlik ve Eşitsizlik Sistemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 08
DNA 5
x–y>0
–3 ≤ x < 4
x≤0
–1 < y ≤ 2
eşitsizlik sisteminin analitik düzlemde görüntüsü
y≤0
aşağıdakilerden hangisidir?
eşitsizlik sisteminin analitik düzlemdeki görüntüsü
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
C)
y
A) y
2
y
0
–1
x
0
D)
x
0
B) y
3
E)
x
4
4
0
–1
3
E)
3
–1 0
x
2
x
y
3
4
3
0
x
–1 0
y
y
x
4
x
0
y
2
D)
y
C)
x
2
4
–1 0
x
–2
y–x≤0
x≥0
Çözüm
y≤0
y
eşitsizlik sisteminin analitik düzlemdeki görüntüsü
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
y=2
C)
y
y
x
0
x
0
x
0
x
0
y = –1
x=3 x=4
D)
0
196
E)
y
x
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
y
Ortak taralı bölgeye göre,
x
Doğru Seçenek A
Doğrunun Analitiği - Bölüm 08
Eşitsizlik ve Eşitsizlik Sistemleri
DNA 6
–1 < x ≤ 2
|x| ≤ 2
eşitsizliğinin analitik düzlemdeki görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir?
y
A)
y
B)
2
y
C)
2
x
0
|y| > 1
eşitsizlik sisteminin analitik düzlemde görüntüsü
x
0
–1
aşağıdakilerden hangisidir?
2
A)
x
0
–1
y
y
E)
0
–1
–1 0
2
0
–1
y
C)
1
2
x
–2
1
0
–1
x
2
–2 0
2
x
–1
y
D)
x
y
B)
1
–1
–2
D)
y
y
E)
x
2
1
1
–2
0
–1
x
2
–2
0
2
x
–1
Çözüm
–2 < x < 2
y≥3
eşitsizliğinin analitik düzlemdeki görüntüsü aşağıda-
|x| ≤ 2
⇒
|y| > 1
⇒
y
B)
y > 1 veya y < –1
y
kilerden hangisidir?
A)
–2 ≤ x ≤ 2
y
y
C)
1
3
–2 0
3
x
2
–2
0
2
D) y
–2
–2
x
2
0
2
x
ortak taralı bölge alınır.
2
x
–2
y
E)
3
x
1
2
0
3
0
0
3
x
Doğru Seçenek B
–2
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
197
Eşitsizlik ve Eşitsizlik Sistemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 08
Çözüm
|x| ≤ 2
–2 < x < y ≤ 3 ⇒
|y| < 2
−2 < x
x < y eşitsizlik sistemidir.
y≤3
eşitsizlik sisteminin analitik düzlemde görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
–2
C)
y
2
y
2
0
x
2
–2
x
2
–2
0
–2
D)
2
x
–2
x
0
–2
E)
y
y
2
–2
3
y=3
2
0
–2
y
x = –2
y=x
2
0
x
2
–2
0
–2
Ortak taralı bölge alınır.
x
2
–2
Doğru Seçenek E
DNA 7
–2 < x < y ≤ 3
eşitsizliğinin analitik düzlemdeki görüntüsü aşağı-
Analitik düzlemde –3 < y ≤ x < 4 eşitsizlik sisteminin
dakilerden hangisidir?
grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
C)
y
y
A)
B)
y
C)
y
y
4
2
0
3
0
x
x
3
–2
x
–2
C)
–2
E)
y
0
0
4
0
x
y
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
–2
0
–3
x
0
–4
C)
3
x
x
3
–3
3
198
0
–3
E)
y
y
3
x
–4
0
x
0 4
–3
x
Doğrunun Analitiği - Bölüm 08
Eşitsizlik ve Eşitsizlik Sistemleri
DNA 8
1 ≤ |y| ≤ x ≤ 4
|y| ≤ x < 4
eşitsizliğinin analitik düzlemdeki görüntüsü aşağı-
eşitsizliğinin analitik düzlemde görüntüsü aşağıdaki-
dakilerden hangisidir?
lerden hangisidir?
A)
B)
y
C)
y
A) y
y
B) y
4
–4
0
4
D)
–4
x
x
0
0
E)
y
4
x
C) y
1
1
0
–1
x
4
0
1
4
D) y
y
x
0
4
x
0
0
–1
x
4
x
E) y
1
4
0
–1
4
0
x
4
x
–1
DNA 9
Çözüm
x⋅y ≤ 0
y2 − x2 < 0
|y| < x, x < 4 eşitsizlik sistemi için grafik çizilirse,
y
aşağıdakilerden hangisidir?
y=x
0
4
eşitsizlik sisteminin analitik düzlemde görüntüsü
A)
B)
y
x
x
0
y = –x
D)
C)
y
x
0
E)
y
y
x
0
y
ortak bölge alınır.
Doğru Seçenek C
0
x
0
x
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
199
Eşitsizlik ve Eşitsizlik Sistemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 08
Çözüm
x ⋅ y ≤ 0 ⇒ x ≤ 0, y ≥ 0 veya x ≥ 0, y ≤ 0 dır.
y2 – x2 < 0 ⇒ (y – x)⋅(y + x) < 0 ⇒ y – x < 0, y + x > 0 veya
y – x > 0, y + x < 0 dır.
(x – y + 1) ⋅ (x – y – 1) < 0
eşitsizliğinin grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
–1
y
y
1
1
0
–1
x
1
x
1
0
–1
–1
D)
–1
C)
y
y
1
1
–1
1
x
0
x
1
0
–1
x
0
C)
y
1
oldukça karışıkmış gibi görünse de x ⋅ y ≤ 0 ⇒ x ile y zıt
işaretli olacağı düşünülürse,
B)
y
–1
x
1
0
–1
–1
taralı bölge kolayca tespit edilmiş olur.
y2 – x2 < 0 ⇒ y – x ile y + x zıt işaretli (birinin altı diğerinin
üstü taranacak) diye düşünülürse, y – x = 0 ile y + x = 0
doğruları arasının alınacağı kolayca görülür.
y
y–x=0
x
0
y+x=0
x ⋅ y ≤ 0 ve y2 – x2 < 0 eşitsizlikleri birlikte düşünülürse,
y
DNA 10
y–x=0
|x| + |y| ≤ 1
x
0
eşitsizliğinin grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
y+x=0
A)
B)
y
ortak bölge alınacağından,
y
–1
x
0
1
1
0
–1
x
1
0
–1
D)
E)
y
–1
200
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
0
y
1
1
–1
1
–1
1
Doğru Seçenek D
y
1
–1
x
–1
0
C)
y
1
x
–1
0
1
–1
x
x
Doğrunun Analitiği - Bölüm 08
Eşitsizlik ve Eşitsizlik Sistemleri
Çözüm
|x| + |y| ≥ –1
|x| + |y| ≤ a
eşitsizlikleri a > 0 için köşeleri (a, 0), (–a, 0), (0, a) ve
(0, –a) olan bir karesel bölgedir.
eşitsizliğinin grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
1
x = 0 ve y = 0 için eksenleri kestiği noktaların bulunduğuna
y
1
–1
dikkat ediniz.
C)
y
1
x
1
–1
x
1
–1
–1
1
–1
D)
Doğru Seçenek A
x
–1
E)
y
y
1
–1
x
1
x
0
–1
Denklemi |x| + |y| ≤ 3 olan dörtgenin alanı kaç br2 dir?
A) 36
B) 18
C) 16
D) 9
E)
9
2
DNA 11
–|x| – |y| ≤ a
DNA 12
eşitsizliğinin grafiği tüm analitik düzlem olduğuna
|x| – |y| ≤ –2
göre, a aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
eşitsizliğinin grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
C)
y
y
1
Çözüm
–2
2
x
–2
2
x
2
x
–2
|x| + |y| ≥ a
eşitsizliğinin daima sağlanması için a ≥ 0 olması gerekir.
D)
E)
y
2
Buna göre, a = –1 olamaz.
Doğru Seçenek A
–2
–2
2
x
y
2
–2
x
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
201
Eşitsizlik ve Eşitsizlik Sistemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 08
Çözüm
Hazine 21
A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktaları için;
Değer verip eleme yöntemi ile çözelim.
(0, 0) verilen eşitsizliği sağlamadığı için B, C, D şıkları ele-
i)
f(x1, y1) ⋅ f(x2, y2) > 0 ⇔ A ve B noktaları aynı yarı
düzlemde bulunur.
nir. A ve E den birinin elenmesi için (2, 0) değeri verilirse
f(x,y) = 0
A(x1,y1)
A şıkkı da elenir.
B(x2,y2)
Doğru Seçenek E
ii) f(x1, y1) ⋅ f(x2, y2) < 0 ⇔ A ve B noktaları farklı yarı
düzlemde bulunur.
f(x,y) = 0
A(x1,y1)
|x| – |y| ≥ 2
eşitsizliğinin grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
C)
y
B(x2,y2)
y
2
2
x
–2
–2
x
2
–2
x
2
–2
D)
E)
y
2
–2
DNA 13
y
A(m, 1) ve B(m, 4) noktaları, x + 2y – 3 = 0 doğrux
–2
x
2
suna göre, aynı yarı düzlemde bulunduğuna göre,
m nin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) –6
Bir doğrunun denklemini f(x, y) = 0 olarak gösterirsek;
f(x, y) > 0 ile f(x, y) < 0 eşitsizliklerinin bulundukları düzle-
f(x,y) = 0
f(x,y) < 0
f(x,y) < 0
D) 4
doğru denkleminde f(x, y) = x + 2y – 3 için,
f(m, 1) ⋅ f(m, 4) > 0
olursa A(m, 1) ve B(m, 4) noktaları aynı yarı düzlemde
bulunur.
f(x,y) > 0
(m + 2 ⋅ 1 – 3) ⋅ (m + 2 ⋅ 4 – 3) > 0
(m – 1) ⋅ (m + 5) > 0
202
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
E) 5
x + 2y – 3 = 0
min farklı yarı düzlemlerini gösterdiğini biliyoruz.
f(x,y) = 0
C) 2
Çözüm
YARI DÜZLEMDEKİ NOKTALAR
f(x,y) > 0
B) –1
Doğrunun Analitiği - Bölüm 08
Eşitsizlik ve Eşitsizlik Sistemleri
–5
1
+
–
Işık 26
+
A(x1,y1)
m < –5 veya m > 1 olmalı.
B(x2,y2)
Buna göre, m = –1 olamaz.
d
P
Doğru Seçenek B
B¢
Noktalar d ye göre farklı yarı düzlemde ise A dan
B ye değil, A dan B′ ne doğrusal gidiliyormuş gibi yola
çıkılır, d ye gelince B ye gidilir.
A noktasındaki bir hareketli d doğrusu üzerindeki bir P
noktasına uğrayarak B noktasına en kısa yoldan gitmek
A(0, m) ve B(m, –1) noktaları mx – 3y – 4 = 0 doğrusuna göre, aynı yarı düzlemde olduğuna göre, m aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) −
4
3
B) –1
C) 0
için; A, P ve B′ ya da A′, P ve B noktalarının doğrusal
olması gerekir.
(A′ noktası, A nın d ye göre simetriği, B′ noktası, B nin
D) 1
E) 4
d ye göre simetriğidir.) Bu durumda, |AP| + |PB| toplamı en küçük olur.
Işık 27
A(x1,y1)
B(x2,y2)
d
P
En Kısa ve En Uzun Yol Problemleri
A noktasındaki bir hareketli doğrusal olarak d doğrusundaki bir P noktasına uğradıktan sonra yine doğrusal
olarak B noktasına gidiyor.
Işık 25
A dan P ye gittiği yol ile P den B ye gittiği yol farkının en
çok olması için; A, B ve P nin doğrusal olması gerekir.
A(x1,y1)
Bu durumda; |AP| – |PB| farkı en büyük olur.
P
d
DNA 14
B(x2,y2)
Noktalar d ye göre farklı yarı düzlemde ise A dan
B ye doğrusal gidilir.
A noktasındaki bir hareketli d doğrusu üzerindeki bir P
noktasından geçerek B noktasına en kısa yoldan gitmek
için; A, P ve B nin doğrusal olması gerekir. Bu durumda,
|AP| + |PB| toplamı en küçük olur.
A(2, 4), B(5, 7) ve C(k, 0) noktaları veriliyor.
|AC| + |CB| toplamı en küçük olduğuna göre,
k kaçtır?
A)
32
11
B) 3
C)
34
11
D)
35
11
E)
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
36
11
203
Eşitsizlik ve Eşitsizlik Sistemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 08
Çözüm
DNA 15
A ve B noktaları x ekseni-
y
ne göre aynı yarı düzlemde
B(5,7)
olduğundan A noktasının x
bulalım: A′(2, –4)
0
|AC| + |CB| toplamının en
C(k,0)
küçük değeri için A′, C ve B
x
A) 3
B)
5
2
C) 2
D)
3
2
E) 1
A¢(2,–4)
doğrusal olmalıdır.
5
7
7k k
0
0 2
ve C(k, 0) noktaları için,
|AC| – |BC| farkını en büyük yapan k değeri kaçtır?
A(2,4)
eksenine göre simetriğini
4⎞
⎛
A(–2, 4), B ⎜ 0, ⎟
3⎠
⎝
0
Çözüm
–4 –4k
–20 5
7
14
y
7k – 20 = 14 – 4k ⇒
34
k=
11
A(–2,4)
bulunur.
B(0,
4
)
3
Doğru Seçenek C
0
C(k,0)
x
A, B ve C noktaları doğrusal olduğunda |AC| – |BC| farkı
en büyük değerini alır. Buna göre,
mAB = mAC
4
−4
0−4
3
=
⇒ k = 1 dir.
0 − ( −2) k − ( −2)
Uyarı
Doğru Seçenek E
x eksenine göre simetrisi alınacak nokta B seçilmiş olsaydı sonuç değişmeyecekti.
A(0, 3), B(4, 0) ve y = –3 doğrusu üzerindeki bir C nokA(–2, 4), B(4, 4) ve C(k, 0) noktaları için |AC| + |CB|
tası için |AC| – |BC| nin en büyük değeri kaç birim-
toplamı en küçük olduğuna göre, k kaçtır?
dir?
A) 0
204
B) 1
C) 2
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
D) 3
E) 4
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 10
Doğrunun Analitiği - Bölüm 08
Eşitsizlik ve Eşitsizlik Sistemleri
4.
TEST - 1
y
4
–4
1.
4
0
–1 ≤ x ≤ 5
–2 ≤ y ≤ 1
x
–4
eşitsizlik sisteminin analitik düzlemde belirttiği
Yukarıdaki taralı bölgeyi ifade eden sistemin eşit-
bölgenin alanı kaç br2 dir?
A) 6
B) 12
C) 15
D) 18
sizliklerinden biri |x + y| ≤ 4 olduğuna göre, diğeri
E) 20
aşağıdakilerden hangisidir?
A) x ≥ 0
B) x ≤ 0
C) y ≤ 0
D) x + y ≤ 0
2.
E) x ⋅ y ≥ 0
2≤x≤6
2≤y≤6
eşitsizlik sisteminin belirttiği bölge içinde en
uzun parçası olan doğru aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = x
B) y = 2x
C) y = –2x
D) y =
1
x
2
E) y = x – 1
5.
3.
y
y
2
–4
4
6
–2 0
0
2
x
–4
x
Yukarıdaki taralı bölgeyi ifade eden eşitsizlik
–4
aşağıdakilerden hangisidir?
Yukarıdaki taralı bölgeyi ifade eden sistemin eşitsizliklerinin iki tanesi,
⎛ x y ⎞ ⎛x y
⎞
+ − 1⎟ ⋅ ⎜ +
− 1⎟ ≥ 0
B) ⎜
⎝ −4 2 ⎠ ⎝ 2 −4 ⎠
–2 ≤ x ≤ 6
x⋅y≥0
olduğuna göre, sistemin diğer eşitsizliği aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + y ≤ 4
⎛ x y ⎞ ⎛x y
⎞
+ − 1⎟ ⋅ ⎜ +
− 1⎟ ≤ 0
A) ⎜
⎝ −4 2 ⎠ ⎝ 2 −4 ⎠
B) x – y ≤ 4
D) y ≥ –4
C) y ≤ 4
E) |y| ≤ 4
⎛x y ⎞ ⎛x y ⎞
C) ⎜ + − 1⎟ ⋅ ⎜ + − 1⎟ ≤ 0
⎝2 4 ⎠ ⎝2 4 ⎠
⎛x y ⎞ ⎛x y
⎞
D) ⎜ + − 1⎟ ⋅ ⎜ + + 1⎟ ≥ 0
⎝2 4 ⎠ ⎝2 4 ⎠
E) x ⋅ y + x + 2y – 1 ≥ 0
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
205
Eşitsizlik ve Eşitsizlik Sistemleri
Doğrunun Analitiği - Bölüm 08
6.
9.
y
1
B(1, 4) noktasına geliyor.
1
–1
A(–4, –1) noktasından hareket eden bir karınca
y ≤ x bölgesindeki bir K noktasına uğradıktan sonra
0
Buna göre, karıncanın aldığı yol en az kaç birim-
x
dir?
A)
–1
B)
17
C) 2 5
19
D) 2 17
E) 2 19
Yukarıdaki taralı bölgeyi ifade eden sistemin eşitsizliklerinden biri |x| + |y| ≤ 1 olduğuna göre, diğeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) x ⋅ y ≥ 0
B) x ⋅ y ≤ 0
D) x + y ≥ 1
7.
C) x – y ≤ 1
E) y – x ≤ 1
10.
A(–3, 2), B(3, 4) ve K(k, k + 5) olduğuna göre,
Analitik düzlemde A(–1, 3) noktasında duran bir ka-
|AK| + |KB| toplamının en küçük değeri kaç bi-
rıncanın yuvasının koordinatları B(4, 2) dir. A nokta-
rimdir?
sından hareket eden karınca x ekseni üzerindeki bir
A) 6
şeker parçasını alarak yuvasına götürüyor.
D)
Karıncanın A dan B ye kadar gittiği yol en kısa ol-
C) 7
B) 2 10
E) 8
60
duğuna göre, karıncanın x ekseni üzerinden aldığı şeker parçasının koordinatları aşağıdakilerden
hangisidir?
A) (0, 0)
B) (1, 0)
D) (3, 0)
8.
C) (2, 0)
E) (4, 0)
A(–2, 2) noktasından kalkan bir savaş uçağının
y ≤ 0 güvenli bölgesindeki bir noktadan cephane
alarak B(3, 3) noktasındaki bir hedefi en kısa yol-
11.
A(–2, 6), B(7, 12) ve K(k, k – 1) olduğuna göre,
dan bombalayabilmesi için cephaneliğin koordi-
|AK| + |KB| toplamının en küçük değeri kaç birim-
natları aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?
dir?
A) (3, 0)
A) 8
B) (–2, –2)
D) (0, 0)
206
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
C) (0, –2)
E) (0, –1)
B) 9
D) 6 3
C) 10
E) 15
Doğrunun Analitiği - Bölüm 08
12.
Eşitsizlik ve Eşitsizlik Sistemleri
A(–4, 0), B(0, 2) ve K noktası y = x doğrusu
2 3 6
+ =
x y xy
14.
üzerinde herhangi bir nokta olduğuna göre,
|AK| – |BK| farkının en büyük değeri alması için
ifadesinin analitik düzlemde görüntüsü aşağıda-
K nın koordinatları toplamı kaç olmalıdır?
kilerden hangisidir?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 12
A) y
E) 16
B) y
C) y
3
2
0
x
2
2
x
3
0
D) y
E)
x
3
0
y
3
0
13.
15.
y
x
0 2
x
2
y
y=x+4
y=x
B
A
x
0
x
0
y = x + 4 doğrusunun eksenleri kestiği noktalar A ve
Taralı bölgenin ifadesi aşağıdakilerden hangisi-
B dir. K noktası y ≤ x bölgesinde herhangi bir nokta-
dir?
dır.
A) xy ≥ 0
Yukarıda verilenlere göre, |AK| + |BK| toplamı en
B) xy ≤ 0
D) x – y ≥ 0
az kaç birimdir?
A) 6
1.D
B) 8
2.A
3.E
C) 10
4.E
D) 12
5.B
6.B
C) x + y ≥ 0
y
E) ≥ 0
x
E) 14
7.C
8.D
9.D
10.B
11.E
12.C
13.B
14.C
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
15.A
207
Ek: Grafikler
Doğrunun Analitiği - Ek
GRAFİKLER
SÜTUN GRAFİĞİ
Bir konu ile ilgili niceliksel verileri toplama ve analiz etme
yöntemlerini inceleyen bilim dalına İSTATİSTİK denir. İs-
DNA
tatistik sonuçları grafiklerle gösterilir. Grafik çeşitleri içeri-
Matematik neti ortalamasý
sinde en çok kullanılanlar; çizgi grafiği, sütun grafiği ve
40
daire grafiğidir. Hangi çeşit grafiğin kullanılacağı amaca
30
göre değişir. Örneğin; veriler arasında bir kıyaslama yapı-
20
lacaksa, en uygun grafik daire grafiğidir.
15
10
0 TM1 MF2 TS1 MF1 MF3
ÇİZGİ GRAFİĞİ
Sýnýflar
Yukarıdaki sütun grafiğinde, bir dersanedeki bazı sınıf
öğrencilerinin girdikleri son deneme sınavındaki matematik net ortalamaları gösterilmiştir.
Sınavda toplam matematik soru sayısı 44 olduğu-
DNA
na göre, bu grafiği yorumlayınız.
Yol (km)
Çözüm
50
40
TM1 sınıfının net ortalaması 15 tir.
30
20
MF2 sınıfının net ortalaması 30 dur.
10
0
1
2
3
4
5
6
7
Zaman (saat)
Yukarıdaki çizgi grafiği düz yolda giden bir aracın za-
TS1 sınıfının net ortalaması 10 dur.
MF1 sınıfının net ortalaması 40 tır.
MF3 sınıfının net ortalaması 20 dir.
Sınıfları, başarı sırasına göre dizersek;
mana bağlı olarak aldığı yolu göstermektedir. Bu grafiği yorumlayınız.
MF1 - MF2 - MF3 - TM1 - TS1
elde ederiz. Demek ki, MF sınıfları matematik dersinde,
TM ve TS sınıflarından daha başarılı. ☺
Çözüm
t zamanı göstermek üzere,
t = 0 dan t = 1 e kadar araç hiç yol almamıştır.
DAİRE GRAFİĞİ
DNA
t = 1 den t = 2 ye kadar 20 km ileriye gitmiştir.
t = 2 den t = 3 e kadar 30 km geriye gitmiştir.
Eðitim
t = 3 ten t = 4 e kadar 20 km ileriye gitmiştir.
t = 4 ten t = 5 e kadar 10 km geriye gitmiştir.
Kira
t = 5 ten t = 6 ya kadar 30 km ileriye gitmiştir.
130°
80°
40°
Yol
Yiyecek
t = 6 dan t = 7 ye kadar 10 km geriye gitmiştir.
Sonuçta bu araç;
0 + 20 – 30 + 20 – 10 + 30 – 10 = 20 km
Yukarıdaki dairesel grafikte 3600 TL net maaşı olan
ileriye gitmiştir.
bir öğretmenin 1 aylık maaşını nasıl harcadığı göste-
Aracın t = 0 dan, t = 7 ye kadar ki ortalama hızı;
Vort =
208
Toplam yol
20
=
km / saat tir.
Toplam zaman
7
12. SINIF ANALİTİK GEOMETRİ
rilmiştir.
Bu grafiği kendiniz yorumlayınız.