(P1u(b)- 2u`(b)) = A-(a1u(b)-a2u`(b)) (I.3ı

Bu�u��·lı
Sın ır Şartlannda Özd eğe r Parametresi
Süre ksiz Sturm-Liouville Proble�ınuı�
SAU Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi
6.Cilt, 1 .Say1 (Mart 2002)
Speıctral
O.Ş.Muhtarov, M.kadakal,
Ozel�"
·�
'-A
SINIR ŞARTLARINDA ÖZDEGER PARAMETRESi BULUND
SÜREKSiZ STURM-LiOUVİLLE PROBLEMİNİN
BAZI SPEKTRAL ÖZELLİKLERİ
O. Ş. MUHTAROV, Mahir KAD AKAL ve Nihat ALTINIŞIK
şartlarının birinde özdeğer parametresi bulunduran
parçalı
sürekli
katsayılı
Sturm-Liouville
Bu çalışmada katsayılar1 sonlu [a, b] aralığınr :
a < c < b iç noktasında genel olarak süreksiz o an
problemi
incelenmiştir. Sınır şartlarına süreksizlik noktasında
çözümün sağ ve sol limit değerleri arasındaki bağıntı
olarak verilen iki tane geçiş şartı da eklenmiştir. Farklı
bir yaklaşımla araştırdığımız problemin
operatörü
incelenmiştir,
kendine
eşlenik
olduğu
özfonksiyonlar sisteminin
halinde( y
1
=
Ö1 , y
2
=
ve
serisine açılım özellikleri
Ö2
yeni
sonuçlar
özel
olduğu
durum
için)
- P1 u(b)-�2u'(b)
(
a
are
investigated.
between the right and left hand limit of the solution at
conditions. By the different approach we examine the
resolvent operator, prove selfadjointness in the sense
of W alter [ll] and investigate the properties about the
expansions on the system of eigenfunctions for the
Y
1
=
Ö1 ,y2
=
Ö 2)
special
case
=
8 2 u, (c + o)
P i , yi, 8i (i= 1,2). reel sayılardır ve
a
the point of discontinuity are added to the boundary
the
,
o)
f3;
+
P �>
X = c noktasında sonlu sağ ve soltirnit değerle ri mı
olan reel değerli fonksiyondur. Ayrıca,
p: = ı� 2
a. 2 P ı > O
şartının sağlandığını da kabul edeceğiz. Walter'�
makalesinde olduğu gibi, eğer (I.l)-(1.5) prd!1
herhangi bir Hilbert uzayında kendine eşlenil
operatör için özdeğer problemine indirgenebilir1:
halde bu probleme kendine eşlenik problem diye�:;
(I.l )-(I. 5) probleminin bazı özel halleri
[ 1]
kaynaklarında farklı yöntemlerle incelenmiştir.
Two
transmission condition, which given by as relations
In
i
-
� + 8; >O, y � + 8 � >O şartlarını sağlıyorlar; �
[ a, c) ve ( c, b] aralıklarının her birinde sürekli ol�
parameter contained both in the equation and one of
problem.
(I.3ı
=
y
with piecewise continuous coefficients and eigenvalue
considered
(I. 1 )
[ a, c) u (c, b]
ıt:
geçiş şartlarından oluşan bir sımr değer p�o l�rL
inceleyeceğiz. Burada 'A
kompleks parametrr:
Süreksiz Sturm-Liouville Problemi,
conditions
x E
) A-(a1u(b)-a2u'(b))
y 2 u' (c
Absıract-In this paper the Sturm-Liouville problem
boundary
,
=
Sınır-değer problemi, Rezolvent operatör
the
'Au
sımr şartlanndan ve X = c süreksizlik noktasmdakJ
81 u(c+ O)
y 1 u( c- O)
(l·
Walter'in[ll] uygun sonuçları ile çakışıyor.
Anahtar Kelime/er:
=
diferensiyel denkleminden, uç noktalardaki
u(a) =O
anlamında
ispatlanmıştır
Bulduğumuz
araştırılmıştır.
Tu: = -u'' + q( x)u
Resolvent
Walter [ll]
GİRİŞ
I.
Özet-Bu makalede hem denkleminde, hem de sınır
(when
-
�
the
obtained new
results
are
.
coincided with the corresponding results in W alter
fıziğin
bazı
problemlerinde
Lt
Matematik
değişkenine göre kısmi türev sadece difereı.·
denklemde değil aynı zamanda sınır şartlarında da d•
çıkmaktadır. Böyle problemlere uygun olan sp<�r
problemlerde özdeğer parametresi sadece difere�
denklemde değil sınır şartlarında da bulunmaktad�
[8]). (1.4)-(1.5) biçimindeki 'geçiş şartlan' ise r�
fiziksel ve mekanik özellikleri bulunan
cis'
arasındaki ısı ve madde iletimi veya başka �r
süreçlerinde ortaya çıkmaktadır,([4], [6] ve [10]).
(ll).
Key Words:
Discontinuous Sturm-Liouville problem,
Boundary-value-problem, Resolvent operator
O. Ş. Muhtarov Gaziosmanpaşa Üniversitesi Fen-Edebiyat
FakültesiMatematik Bölümü TOKAT, muhtarov@gop.edu.tr
�
M.Kada al N. Altınışık Ondokuz Ma)'ls Üniversitesi, Fen-Edebiyat
Fakültesi, Matematik Bölümü55139 Kurupelit-SAMSUN,
mkadakal@omu.edu.tr
90
SAU Fen
Sınır Şartlannda Özdeğer Parametresi Bulunduran
Süreksiz Sturm-Liouvil1c Probleminin Bazı
Spektral ÖzelJikleri
O.Ş.Muhtarov, M.kadakal, N.Aitınışık
Bi1imleri Enstitüsü Dergisi
6.Cilt, l.Sayı (Mart 2002)
Il.
SINIR-DEGER-GEÇİŞ PROBLEMİNİN UYGUN
HİLBERT UZAYINDAÖZDEGER PROBLEMi
BiÇİMİNDE İFADESi
Lemmall.l.
ispat. F,GED(A)
(u)b:= �1 u(b)- �2 u'(b),
(u)b: = a1u(b)- a2u'(b)
yararlanırsak,
u, v
1
EC
her
Fı
(TF1)(x)G1 (x)dx+-(-(F1)b)(G1)
p
'
b
-
(ll. 2)
( U) b (V) b
c
b
a
c
-
-
+ w{Fı,Gı; c- O - w( Fı , G ı; a +
F1 (x) E L2[ a, b]
,
+ w(Fı , G ı ; b
)- w(Fı , G ; c +O)
F2 E <ı elemanlarının
L2 [ a, b] EB Cl lineer uzayında iç çarpımı
b
ı
<F ,G>p -p(oı) b( F ı) b +
==
ı
(II.3)
p
'
1
- p (Fı) b(G ı) b
,
ı
F1(x)G1 (x)dx +- F2 G2
) - w(Fı,o ı; c+ o)}-
+ { w(F]> G1; c - o
,
ı
a
formülü ile tanımlayalım.
)
)
Şimdi iki bileşenli
,
1
<AF,G>p=
olduğunu gösterebiliriz.
=
A
a
P[ u(b)V ' (b) - U'(b)V(b)] = (U) b (V) b
F:
şartı sağlanıyorsa
iki tane keyfi eleman olmak üzere
b
[ a, b] için
F1 (x)
= 8182
Lagrange formülünü (bak örneğin (5]) uygularsak,
(II.l)
kolayca
y1y2
operatörü simetriktir.
Eğer
gösterinılerinden
Eğer
O halde
'
(F1)b(G 1) b- (Fı)
-p
b
(G ı)b
c
b
a
c
iç çarpım uzayının bir Hilbert uzayı olacağı açıktır. Bu
uzayda tanım bölgesi
D(A)
[ a} c)
= {FEHP Fı ,Fj
ve
(c, b]
süreklidiri er;
mevcuttur,
y2
fonksiyonlarının
aralıklarının
F1(c + o), Fı'(c ± O)
F 1(a) = O ,
Fı' (c- O) = 82Fı' (c+ O);
olan
biri
her
her birinde mutlak
sonlu limit değerleri
y1F1 (c-O)= 81F1
F2 = (F1 )b}
(c+O)
(II.4)
eşitliğini
A: HP �H P operatörünü
A
F1 (x)
(Fı )i,
eşitliği ile tarumlayalım.
(Ll)-(I.5)
F1 (x)
sınır-değer­
ile
u (x)
ED(A)
AU=A.U U:=
(u)b
(II.6)
biçiminde yazılabilir. Böylece
ve
G1 (x)
fonksiyonlan
(I.2)
F1, G 1
(11.8)
sınır
şart1nı
(1.4 )
ve (1.5)
sağladıkları için
geçiş problemi
)peratör-denklem
W(F1,G1; x)
W(F1, G1; x): = F1 (x)G i (x)- Fı '(x)G 1 (x)
(II.5)
halde
burada
fonksiyonlarırun Wronskiyeni gösterilmiştir.
:=
O
buluruz;
eşitliği sağlanır.
F1, G
1
fonksiyonlarının
geçiş şartlarıru sağladığını ve lernmanın şartını dikkate
(I.l )
alırsak,
­
:ts) problemini bir Hilbert uzayında tanımlı olan bir
.ineer operatör için özdeğer problemine indirgemiş olduk.
91
Sınır Şartlannda Özdeğer Parametresi Bulundurc
SAU Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi
Süreksiz Sturm-Liouvi11e Probleminin Ba
6.Cilt, l.Sa)'l (Mart 2002)
Spektral Özellikle
O.Ş.Muhtarov, M.kadakal, N.Altınış
w(� Üı o)=
,
=
=
;c-
8ı
-F1 (c+ O)
Yı
F1(c- O)
'
Üı (c- O)- F{(c- O)Gı (c- O)
8ı -'
Gı (c+ O)
Yı
8ı
- __:_F{(c +O)
Yı
ö _,
_::;...201
Yı
O
y1
O)
de yerine yazarak (II.2) eşitliğini de dikkate alırsak, talep
eşitliğini, yani
ederiz.
(I. ı )-(I. 5)
Sonuçll.l.
reeldir.
Not:
q(x)
AF;G >p=< F,AG >p
A operatörünün simetrik
<
probIeminin
olduğunu elde
Lemmaill.l.
reel değerli
fonksiyonu
özdeğerleri
özfonksiyonları ise
b
U ı (X) U2(X) r (X) dx
=
u2(x)
Herhangi
q ( x)
bu
ise
(i
uygun
=
1
- - ( U l ) b ( U2)
p
çözümü
,
[a1,a2]
b
Bu
aralıkta
sürekli
ve
bu
değeri
lernma
I
spat. A operatörü simetrik olduğu için,
ispat edilir .
Şimdi
•
özdeğerlerine uygun
için
A-1 ve A2 farklı
çözüm
A
bu
lernma dan
diferensiyel denkleminin iki tane
çözümlerini
başlangıç
r
(III.7
(lll.�
fonksiyonu
l
değişkeninin
[9]
t
kitabındı:
tanımlayacağız.
sayısının
�(x, A,)
[a,c]
ve
(I
x( x,:
aralığında
u(a)= O , u' (a) = 1
şartlarını sağlayan çözümünü
(I
(III.9
$ı (x, lı.)
[c, b] arabğında (1.1) diferensiyel denkleminin
u(c) =Yı
OPERATÖRÜNÜN REZOLVENTİ
Bu kesimde özdeğer olmayan her A. E Cl
yararlanarak
gösterelim. � 1 (x, A) fonksiyonu tanımlandıktan son
uzayında ortogonal olacak, yani (11.12)
eşitliği sağlanacak.
Öı
�1(0,A.)
, u'(c) =Yı
82
<f>�(O,A.)
(III.l
başlangıç şartlarını sağlayan çözümünü tanırolayabilir
A
Bu çözümü
operatörünün regüler değeri olduğunu göstereceğiz ve
ayrıca,
halde
xE[a1,a2]
Titchmarsh'ın
diferensiyel denkleminin
III. A
o
ise
q( =
Teorem l .5' in ispatındaki yöntemle tam benzer şekil
eşitliği sağlanır.
P
aralığında tanımlı
fonksiyonu verilsin. Eğer
bulunur
fonksiyonudur.
(1!.12)
a
özelementleri H
(III. 6
veya i = 2 ) başlangıç şartlarını sağlayan u(x,;
x E [a1, a2]
'
ı
82U i (c + O)
=
u(ai)= f (A.) , u'(ai) = g(A.)
A-1 ve A-2 (I.l )-(1. 5) probleminin herhangi iki
ve
(III.5
diferensiyel denkleminin
değerli fonksiyonlar olarak kabul edebiliriz.
u1 (x)
O)
{ -u"+q(x)u} =lıvu,
reel değerli fonksiyon, (1.2)-(1.5) şartlarının
özdeğeri,
U ı (c + O)
81
=
f (A-) ve g(A.) tam fonksiyonları için
için (I.1)-(1.5) probleminin bütün özfonksiyonlarını reel
farklı
-
F2 (III.J
=
İlk önce aşağıdaki önemli lernınayı verelim.
katsayıları rçel sayılar ve bütün özdeğerler reel olduğu
Sonuçll.2.
(III.3)
sınır-değer-geçiş problemi şeklinde yazalım.
(II.l 1 )
bütün
U1 ( c- O)
2U i (c
Y
o) eşitliklerini (ll.7)
olunan
[a, c) u (c, b] (lll.
,x E
(P1Uı(b)-P2U}(b))+ A.(a1U1(b)-a2U}(b))
(II.ı
halde (II.9) ve (II. ı
=
=
(c+O)
G1 ; c +o)
bulmuş oluruz.
1
-
w 1,
(F
{-U i'+q(x)U 1 } lvU F1 (x)
U1(a) O
� 2 (x, A,)
ile gösterelirn. Benzer şekilc
[c, b] aralığında (Ll) diferensiyel denkleminin
ı
R(A-,A): = (A- A.I) -
rezolvent operatörünü inceleyeceğiz.
Keyfi FE H
P
elernam için
(A- A.I)U
=
F
başlangıç şartlannı sağlayan çözümünü
(III. 1)
göstererek,
bu
çözümü
tanımladıktan
aralığında(I.l) diferensiyel denkleminin
operatör denklemini, onunla eşdeğer, homojen olmayan
92
X ı (x, A)
sonra
ı
[a. ı
SAU
Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi
6.Cilt, l.Sayı (Mart 2002)
r
Sınır Şartlannda Özdeğer Parametresi Bulunduran
Süreksiz Stunn-Liouvi11e Probleminin Bazı
Spektral Özellikleri
O.Ş.Muhtarov, M.kadakal, N.Altınışık
ı.
T
•
i:
u(c)
2
öı
==
yı
Xı(O,A.) , u'(c) =
8ı
Yı
x2(0,A.) (III.12)
başlangıç şartlarını sağlayan çözümünü
�
gösterelim. LernmaiiLI
4> i (x, A..)
gereği
için (1.1 )-(I.5) probleminin çözümü olur. Diğer taraftan
X( x, A) fonksiyonunun tanımı gereği
X1 (x, A,)
x(b,Ao) = Uı Ao+�ı
X'(b, A.o ) = a ı Ao + �ı
ile
, x i (x, A)
) (i 1,2)
fonksiyonlan A, -nın tam fonk:siyonlarıdırlar.
) Bu fonksiyonların tanımları gereği
=
�(x, A.):
� 1(x, A), x E [ a, c]
==
x(x,A..):=
\
eşitlikleri sağlanır.
�ı(X, A) ,X E (C, b] '
(111.13)
X ı (x, A.), x E[a, c]
olduğu için sonuncu iki eşitlikten x(b,A-0) ve x'(b, "A0)
Xı(X,A),x e[c,b]
sayılarının en az birinin sıfırdan farklı olduğu elde
edilir. Yani
x(x, A-0)
x(x,A-0) � O dır. O halde
eşitlikleri ile tanımlı $ ve X fonksiyonları [ a,c) u (c, b]
u
(I. I )-(!.5)
(Ll) denklemini ve (I.4), (I.5) geçiş şartlannı
sağlayacaklar. Ayrıca <}>(x, A.) çözümü (1.2) sınır şartını,
fonksiyonu
x(x, A.)
sayısının özdeğer olmadığı varsayımı ile çelişkidir.
Böylece özdeğer olnıayan her lıv E (l, için ro 1 (A) -:1:- O
de
ise
(I.3)
sınır
şartını
çözümüdür, yani
sağlayacaktır.
X E [a, c) ve wA. (<t>ı X 2 ; X) ' X E(c, b]
Wronskiyenleri x değişkeninden bağımsız olduklan için
sadece A değişkeninin tam fonksiyonlarıdırlar. Aşağıda
wi. ($ı ' X ı ; X)
,1
'
A. = A.0
'
için
probleminin
özfonksiyondur. Bu ise
A = A.0
olduğu ispat olunur. x E (c, b] durumu için de ispat tam
benzer şekilde yapılabilir.
Bu teoremden ve Wronskiyenin özelliklerinden
aşağıdaki sonuç elde edilir.
•
f.
t'
l'
Sonuçlll.l.
X1( x,
gösterimierinden de yararlanacağız.
(Lemmalll.2.
Özdeğer olmayan her
x E [ a, c) u (c, b] için co (x,A.) -:t. O dır.
A..
E Cl
fonksiyonları
ve her
[a, c]
fonksiyonlan ise
X ı( x, A)
.
i'
A)
Özdeğer olmayan her A E Cl için $1 (x,A) ,
aralığında,
[c, b]
� 2 (x, A) ,
aralığında lineer
6ağımsızdırlar.
SonuçllL 1 gereği özdeğer olmayan her A E Cl
için (I. 1) diferensiyel denkleminin genel çözümünü
rispat. Önce özdeğer olmayan her A ve her X E [a, c] için
.co(x,A) *O olduğunu ispat edelim.
Aksini kabul edelim. O halde özdeğer olmayan
�n az bir
A0 E Cl için ro 1(A-0)=O olur. O halde
�ı(X,A0) ve Xı(x,A-0) lineer bağımlı olacak, yani
u(x,A)
C1�1(x,A)+D1x1(x,lıv),x E[a,c)
==
C2�2(x,A)+D2X2(x,A.),x E(c,b]
(III.l4)
biçiminde ifade edebiliriz; burada C 1 , D 1 Cı , Dı keyfi
sabitlerdirler. O halde sabitin değişimi yöntemini
uygulamakla (III.2) homojen olmayan denkleminin genel
çözümünü x E [a,c) için
.
ı
,
1lacak şekilde
k1
;;:
O sayısı mevcuttur. Buradan
l
X
ılde edilir.
lur.
a
Dolayısıyla
x(a,A-0) = 0
c
+
B öylece x(x,A.0) fonksiyonu (1.2) sınır şartını da
ığlam1ş o lur. x(x,A-0) fonksiyonu A A0 değeri için
.1) denkleminin, (1.3) sınır şartını ve (I.4), (I.5) geçiş
artlarını da sağladığından X(x,A0) fonksiyonu A A0
+
=
·
(l) 1
Xı(y, A.)F1(y)dy+
(lıv)
X
cı� 1(X,A)+DıXı(X, A)
biçiminde, x E (c,b] için ise
=
93
-
<l>ı (X, A)
(III.15 )
Sınır Şartlannda
SAU Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi
Özd eğer Parametresi Bulundura
Süreksiz Sturm-Liouvil1e Probleminin Baı
6.Ci1t, l.Sayı (Mart 2002)
Spektral Özellikleı
O.Ş.Muhtarov, M.kadakal, N.Altınışı
X
Cı =
(x,t.. )
<h
+
ro 2 (A.)
b
ı
ro2 (y,A.)
Fı
ro 2 (A.)
,
c
c
b
X ı (y,A.)Fı(y)dy+
--­
c
X 2 (y, A)F1(y)dy +
Dı
(111.16)
=
ı
ro1(y,A)
�1(y,A.)Fı (y)dy
a
X
sabitleri için bulduğumuz değ er1e
C1, D i
elde edilir.
(III.15) ve (III.16) ifadelerinde yerine yazarak gerek
düzenlemeleri yaparsak, (III.2)-(III.6) problerninı
çözümü için bütün [ a,c) u (c,b] delinmiş aralığında
biçiminde ifade edebiliriz. (III.2) diferensiyel denkleminin
(II. ı 5) ve (III. 1 6) eşitlikleri ilke verilmiş genel çözümünü
(III.3)-(III.6) şartlarında yerine yazarak C1, D i sabitlerini
bulabiliriz. (III.l S) ifadesini (III.3) sınır şartında yerine
yazarsak
X
U1
D1x(a,A.)
=
=
�(y,A.)
Fı( )d y
Y
w(y,A.)
x(x,lv)
o
+
a
X
eşitliğini elde ederiz. A. özdeğer olmadığı için
X(a, A.) 1= O dır. Dolayısıyla D ı O dır. (III. ı 6) ifadesini
+
=
x(y,A.)
<P(x,A)
(III.4) sınır şartında yerine yazarsak,
ro(y,A)
Fı( )d
Y
Y
+
�(
Fı
ro ı (A) '1'
x,
"A)
a
foıınülünü elde ederiz.
eşitliğini elde ederiz. D ı
ve
C2
Teoreıniii.l. Özdeğer olmayan her A E Cl sayısı (I1.4
(II.5) eşitlikleri ile tanımlı olan A operatörünün regül�
değeridir ve ayrıca R(A.,A): H ---;,H
rezolve:
P
P
için bulduğumuz
değerleri de dikkate alarak (111.15) ve (111.16) ifadelerini
(III.5) ve (III.6) geçiş şartlannda yazarsak, C1 ve D2
operatörü kompakt operatördür.
değerlerini bulmak için aşağıdaki lineer denklem sistemini
elde ederiz.
•
Ispat.
x(x, A.)�(y, lı..)
ro(y,A.)
c
Yı�ı(c,A.)C1-8ıxı(c,A.)Dı
=-
Y ıXı(c,A.)
roı(A.)
<t>ı(y,A.)Fı(y)dy+
b
�(x,A.)x(y,A.)
ro(y,A.)
a
X2(y, A.)Fı(y)dy +Sı
c, �)
81�� 2�(_;_
/...
+ ___;
ro ı (A.)
G1(x, y; lv): =
Fı
ro ı (A.)
<f>ı (c, A.)
Y2�i(c,A.)Cı-D2X2(c,A.)Dı
=-
YıX}(c,A.)
co 1 (/...)
b
_
_
a <X <y <b
_
b
c
_
_
,
X,
y =t C
U1 (x, lı..) =
�ı(y,A.)F1(y)dy +
G1 (x, y; A.)F1 (y)dy +
a
Fı
O)
2 (A.)
$(x, A.)
a
X2(y,A. ) F1(y)dy +1)2
biçiminde ifade edebiliriz. Buradan R(A. ,A) rezolve
operatörü için
F2
cf>2 (c, A.)
ro 2 (/\,)
c
b
Bu sistemin deterıninantı -818 2 ro 2 (A.) *O olduğu için
tek
_
gösteriminden yararlanarak sonuncu foıınülü
c
bir
a <y <x <b ,x,y :t c
çözümü
�i (x, A), X i (x,A)
yararlanarak sonuncu
bulunur.
fonksiyonlarımn tanımlarından
denklem sisteminden
R(A.,A)F
=
b
a
94
a
Fı
G1 (x, y; A.)F1 (y)dy +
�(x,A.)
CO ı (A.)
Sınır Şartlannda Özdeğer Parametresi Bulunduran
Süreksiz Sturm-Liouville Probleminin Bazı
Spektral ÖzelJikleri
O.Ş.Muhtarov, M.kadakal, N.Altınış1k
SAU Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi
6.Cilt, I .Sayı (Mart 2002)
Sonuç olarak, Teoremiii.l , TeoremiV.l ve integral
Denklemler teorisinden iyi bilinen Hilbert-Schmidt
Teoremi (bak örneğin[?, Theorem 6.41-A]) gereği
aşağıdaki teoremi elde ederiz.
formülü elde edilir.
Ş imdi BA : L2 [ a, b] � L 2 [ a, b] , BA. : HP
,.....,
ve
C 1_
:
HP
�
�
HP
HP operatörlerini
b
TeoremiV.2.
BA.Fı
BAF:=
( BA.Fı )
��A)
��A) (
(J)
ffi
'
b
biçiminde
sıralayarak,
özelementler
$( x, A)
=
B��
+
uygun
normlandırılınış
$( •, A)) b
CA. biçiminde
ifade
edebiliriz.
biçiminde gösterilmek üzere, her F E HP elemanı için
B;ı
operatörü L2 [ a,b] Hilbert uzayında kompakt olduğu için
,.._,
(bak örneğin[2 chapter 10]), BA. operatörü HP Hilbert
uzayında kompaktdır. CA.
uzayında (II.4), (II.5)
'
eşitlikleri ile tanımlarsak, R( A, A) rezolvent operatöıünü
R( A. A)
Hilbert
eşitlikleri ile tammlı A operatörünün sayılabilir sayıda
reel özdeğeri mevcuttur, her özdeğerin cebirsel katı
sonludur, özdeğerler dizisi alttan sınırlıdır ve sonlu
yığı lma noktası yoktur. Her özdeğer cebirsel katı sayıda
yazılmak kaydı ile, özdeğerler dizisini A 1 < A 2 <...
a
,....._
HP
....,
C
n=l
operatörünün HP Hilbert
Fourier serisi
uzayında kompakt olduğu açıktır. D olayısıyla özdeğer
olmayan her A E re için R(A, A) operatörü de Hp
n�n
HP
'
Cn
=< F'
�n
>H
p
Hilbert uzayında F elemanına
yakınsak olacaktır;
uzayında kompakt olacaktır.
IV.
(IV.l)
ÖZFONKSiYONLAR SİSTEMİNİN SERİSiNE
AÇlLlM
n=l
Önce aşağıdaki teoremi ispat edelim.
edilir.
TeoremiV.l.
(11.4) ve (II.5) eşitlikleri ile tammlı A
operatörü HP Hilbert uzayında kendine eşleniktir.
Bu teoremden aşağıdaki önemli sonuçlar elde
SonuçiV.l. Her
f EL2(a,b]
fonksiyonu
L2(a,b]
Hilbert
uzayında
(I . ı )-(!.5)
sınır-değergeçiş
probleminin <p , n= 1,2, ... özfonksiyonlar sisteminin
{ n}
Ispat.
•
A operatörünün (II.4) eşitliği ile verilmiş D(A)
tanım bölgesinin HP Hilbert uzayında her yerde yoğun
co
olduğu açıktır. Ayrıca, Teoremiii.l. gereği A operatöıiin
en az bir regüler değeri mevcut olduğu için, kapalı
operatördür. Yine Teoremiii.l gereği ImA* O olacak
f(x)
=
n=l
sekilde her
A E Cl sayısı için A - 'AI ve A + Al
operatörlerinin her birinin değer bölgeleri bütün
uzayı
HP Hilbert
ile
çakışmaktadır,
yani
-
b
a
•
(A- A.I)D(A) =HP
ve (A- 'AI)D(A) =HP
serisine açılır.
ispat. Bu sonucun ispatı için (IV.f) fonnülünde FE H P
eşitlikleri
sağlanır. Ayrıca LernmalLl gereği A operatörü
simetriktir. O halde simetrik operatörlerin genişlemesi
hakkında Fonksiyonel Analizden iyi bilinen teorem gereği
(bak, örneğin [2, Chapter8, Theorem2 .2]) A operatörü
kendine eşlenik olacak.
elemanını özel olarak F
f(x)
o
almak yeterlidir.
SonuçiV.2. Her fE L2[a,b] fonksiyonu için
95
Sınır Şartlannda Özdeğer Parametresi Bulunduran
SAU Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi
6.Cilt, l .Sayı (Mart 2002)
Süreksiz Sturrn-Liouville Probleminin Bazı
Spektral Özelliklen
O.Ş.Muhtarov, M.kadakal, N.Altınışık
2
co
(IV.2)
n=]
KAYNAKLAR
co
(IV.3)
1 Fulton, C. T., 'Two-point boundary value problem
with eigenvalue parameter contained in the bounda�
conditions', Proc. Roy. Soc. Edin. 77A, 293-308, 1977.
2 Lang, S., 'Real Analysis' Addison-Wesley, Reading
Mass. 1983.
3 Langer, R.E., 'A problem in diffusion or in the flow o·
heat for a solid in contact with a fluid' Tohoku Math.JJ:
(1932), 360-375.
4 Mukhtarov, O, Sh and Demir, H., 'Coerciveness of thı
discontinuous initial-boundary value problenı fo·
parabolic equations' İ srael Journal of Mathematics 1 ı,
(1999), 239-252
5 Naimark,M.N., 'Linear Differential Operators', Ungar
New York, 1967.
6 Rasulov, M. L., 'Methods of Contour Integration
North-Holland Pub. Comp. Amsterdam 1967.
7 Taylor, A.E., 'Introduction to Functional Analysis
John Wiley, 1958.
8 Tikhonov, A. N and Samarskii, A.A., 'Equations o
Mathematical Plıysics' Oxford and New York, Pergamor
(1963).
9 Titchmarsh, E.
C.,'Eigenfunctions Expansim
Associated With Second Order Differential Equations I'
2 nd edn, Oxford Univ. Press, London.
n=l
eşitlikleri sağlanır.
ispat. (IV.l) fonnülünü
P1 (x)
p
n=O
-
Fı
< F,�n >H ·<l'n (x)
(IV.4)
co
<F,<J>n >H,· { <pn )
'
b
n=O
biçiminde yazalım. Bu forınülde özel olarak F
o
=
ı
alırsak,
o
ı
n=O
10 Titeux, I and Yakubov, Y., 'Completeness of roo1'
functions for thermal conduction in a strip with piecewist
continuous coeffıcients' Mathematical Models ane
Methods in Applied Sciences. Vol. 7, No 7 (1997) 1 035·
:
1050.
l l Walter, J., 'Regular eigenvalue problems witl
eigenvalue parameter in the boundary conditions', Matlı/
(
z. 133, 301-312. (1973)
n=O
eşitliği, yani (IV.2) ve (IV.3) eşitliklerini elde ederiz.
·
Sonuç4.3.
Her
E
L2 [ a, b] için
b
f(y)<p0 (y)dy . ( <pn )
n=O
a
,
b
=O
3
'
a
t
c
eşitliği sağlanır.
•
Ispat.
F
Bu
f(x)
=
o
sonucun
c
ispatı
için
(IV.4)
c
foınıülünü
elemanı için yazmak yeterlidir.
M
Fe
Kı
TEŞEKKÜR
.1\
-
O. Ş. Muhtarov bu çalışınanın yapılmasında NATO-PC-B
prograrnı çerçevesinde kendisine sağlanan destek için
TÜBİTAK'a teşekkür eder.
96