MANAS Journal of Engineering
MJEN 3 (1) 2015 35-57
1
1
y
x
xn1 max
, n4 ; y n1 max
, n 4
x n4 x n 4
y n4 y n4 Maksimumlu Fark Denklem
Sisteminin Çözümleri
Burak Oğul
Kıgızistan-Türkiye Manas Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Bişkek,Kırgızistan
burak_1745@hotmail.com
Dağıstan Şimşek
Kıgızistan-Türkiye Manas Üniversitesi, Fen Fakültesi, Uygulamalı Matematik ve Enformatik Bölümü,
Bişkek,Kırgızistan, Selçuk Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü, Kampüs/Konya
Türkiye, dagistan.simsek@manas.edu.kg, dsimsek@selcuk.edu.tr
Received:
27.04.2015
Reviewed:
12.05.2015
Accepted:
Özet
Aşağıdaki fark denklem sisteminin çözümlerinin davranışları incelenmiştir.
1
1
y
x
xn1 max
, n4 ; y n1 max
, n 4
x n4 x n 4
y n4 y n 4
15.05.2015
(1)
Başlangıç şartları pozitif reel sayılardır.
Anahtar
sözcükler
Fark Denklemi, Maksimum Operatörü, Yarı Dönmeler.
1
1
y
x
xn1 max
, n4 ; y n1 max
, n 4
x n4 x n 4
y n4 y n4 Solutions Of The System Of
Maximum Difference Equations
Abstract
The behaviour of the solutions of the following system of difference equations is examined.
1
1
y
x
xn1 max
, n4 ; y n1 max
, n 4
x n4 x n 4
y n4 y n 4
Where the initial conditions are positive real numbers.
Keywords
Difference Equation, Maximum Operations, Semicycle.
MANAS Journal of Engineering © 2015
journals.manas.edu.kg
(1)
Oğul, Şimşek; Maksimumlu Fark Denklem Sisteminin Çözümleri
1. GİRİŞ
Son zamanlarda, lineere olmayan fark denklemlerinin periyodikliği ile ilgili ilginç çalışmalar
yapılmaktadır. Özellikle fark denklem sisteminin periyodikliği, çözümü ve çözümlerin
davranışları incelenmektedir. Birçok araştırmacı, son yıllarda özellikle maksimumlu fark
denklemleri ve denklem sistemleri ile ilgili araştırma yapmışlardır. Örneğin [1-30].
Tanım 1 :
xn1 f ( xn , xn1 ,..., xns ) n = 0,1,2,… için
(2)
fark denkleminde x f ( x,..., x ) oluyorsa x ye denge noktası denir.
x , (2) denkleminin pozitif bir denge noktası olsun. (2) denkleminin bir x n
Tanım 2 :
çözümünün bir pozitif yarı dönmesi
xl , xl 1 ,..., x m
terimlerinin bir dizisinden oluşur ve
bunların hepsi x denge noktasına eşit veya büyük bütün terimlerdir. Öyle ki l 0 ve m
olur
ve
burada
l 0 ya da l 0 ve xl 1 x ve
ya
ya
m ya da m ve x m1 x dir.
Tanım 3:
x , (2) denkleminin negatif bir denge noktası olsun. (2) denkleminin bir x n
çözümünün bir negatif yarı dönmesi
xl , xl 1 ,..., x m terimlerinin bir dizisinden oluşur ve
bunların hepsi x denge noktasından daha küçük terimlerdir. Öyle ki l 0 ve m olur ve
burada Ya l 0 ya da l 0 ve xl 1 x veya m ya da m ve x m 1 x dir.
f1 1, f 2 1 ve n 3 için
Tanım 4 :
Fibonacci sayıları denir.
f n f n 1 f n 2 şeklinde tanımlanan sayılara
2. ANA SONUÇLAR
1
1
y
x
xn1 max
, n4 ; y n1 max
, n 4
x n4 x n 4
y n4 y n 4
(1)
Şimdi (1) denkleminin pozitif denge noktasını bulalım.
1
x max ,
x
x
1
x
1
y
; y max ,
x
y
veya x
y
x
;y
1
y
x
olur. Buradan
y
veya y
x
y
elde edilir. x
2
1 ve y
2
1 bulunur. Buradan
da
x 1 ve y 1 elde edilir.
36
MANAS Journal of Engineering © 2015
journals.manas.edu.kg
Oğul, Şimşek; Maksimumlu Fark Denklem Sisteminin Çözümleri
(1) denklemi için
0 x 4 y 4 1 , 0 x 3 y 3 1 , 0 x2 y2 1 ,
0 x1 y1 1 ve 0 x0 y 0 1 başlangıç şartlarına göre ,
Aşağıdaki ifadeler doğrudur:
a) x n çözümleri için her pozitif yarı dönme beş terimden oluşur. y n çözümleri için n 5
durumunda her pozitif yarı dönme beş terimden oluşur.
b) x n çözümleri için her negatif yarı dönme beş terimden oluşur. y n çözümleri için n 5
durumunda her negatif yarı dönme beş terimden oluşur.
c) x n çözümleri için beş uzunluğundaki her pozitif yarı dönmeyi beş uzunluğundaki negatif
Lemma 1 :
yarı dönme takip eder. y n çözümleri için n 5 durumunda beş uzunluğundaki her
pozitif yarı dönmeyi beş uzunluğundaki negatif yarı dönme takip eder.
d) x n çözümleri için beş uzunluğundaki her negatif yarı dönmeyi beş uzunluğundaki pozitif
yarı dönme takip eder. y n çözümleri için n 5 durumunda beş uzunluğundaki her
negatif yarı dönmeyi beş uzunluğundaki pozitif yarı dönme takip eder
İspat :
0 x 4 y 4 1 , 0 x 3 y 3 1 , 0 x2 y2 1 , 0 x1 y1 1 ve 0 x0 y 0 1
Başlangıç şartlarına göre
1 y 4
x1 max
,
x4 x4
1 x4
y1 max
,
y
y
4 4
1 y 3
x 2 max
,
x 3 x 3
1 x 3
y 2 max
,
y 3 y 3
1
x3 max
x2
1
y 3 max
y 2
1
x
x4
1
y
y 4
1
x
x 3
1
y
y 3
,
y 2
1
x
x2 x2
,
x2
1
y
y 2 y 2
1 y
x 4 max , 1
x 1 x 1
1 x 1
y 4 max
,
y 1 y 1
1
x
x 1
1
y
y 1
37
MANAS Journal of Engineering © 2015
journals.manas.edu.kg
Oğul, Şimşek; Maksimumlu Fark Denklem Sisteminin Çözümleri
1
x5 max
x0
1
y 5 max
y0
,
y0 1
x
x0 x0
,
x0 1
y
y0 y0
1 y
x6 max , 1
x1 x1
1 x
y 6 max , 1
y1 y1
x4
x
y 4
1 y
x7 max , 2
x2 x2
1 x
y 7 max , 2
y2 y2
x 3
x
y 3
1 y
x8 max , 3
x3 x3
1 x
y 8 max , 3
y3 y3
x2
x
y 2
1 y
x9 max , 4
x4 x4
1 x
y 9 max , 4
y4 y4
x 1
x
y 1
1 y
x10 max , 5
x5 x5
1 x
y10 max , 5
y5 y5
x0
x
y0
y 4
y
x4
y 3
y
x 3
y 2
y
x2
y 1
y
x 1
y0
y
x0
2
1 y y
x11 max , 6 4 x
x6 x6 x 4
1 x x
y11 max , 6 4 y
y6 y6 y 4
2
1 y y
x12 max , 7 3 x
x 7 x 7 x 3
1 x x
y12 max , 7 3 y
y 7 y 7 y 3
38
MANAS Journal of Engineering © 2015
journals.manas.edu.kg
Oğul, Şimşek; Maksimumlu Fark Denklem Sisteminin Çözümleri
2
1 y y
x13 max , 8 2 x
x8 x8 x 2
1 x x
y13 max , 8 2 y
y8 y8 y 2
2
1 y y
x14 max , 9 1 x
x9 x9 x1
1 x x
y14 max , 9 1 y
y9 y9 y 1
2
1 y y
x15 max , 10 0 x
x10 x10 x0
1 x x
y15 max , 10 0 y
y10 y10 y 0
.
.
.
elde edilir.
x1 x , x2 x , x3 x , x4 x ,
x5 x , x6 x , x7 x , x8 x , x9 x , x10 x ,
… buradan da görüldüğü gibi x n çözümleri PPPPPNNNNNPPPPPNNNNN… şeklindedir.
y1 y ,
y2 y ,
y3 y ,
y4 y ,
y5 y ,
y6 y ,
y7 y ,
y8 y ,
y9 y ,
y10 y , y11 y , y12 y , y13 y , y14 y , y15 y … buradan da görüldüğü gibi
yn
xn
yn
xn
yn
çözümleri n 5 için PPPPPNNNNNPPPPPNNNNN … şeklindedir.
çözümleri için her pozitif yarı dönmenin beş terimden oluştuğu görülmektedir.
çözümleri n 5 için her pozitif yarı dönmenin beş terimden oluştuğu görülmektedir.
çözümleri için her negatif yarı dönmenin beş terimden oluştuğu görülmektedir.
çözümleri n 5 için her negatif yarı dönmenin beş terimden oluştuğu görülmektedir.
Beş uzunluğundaki her pozitif yarı dönmeyi beş uzunluğundaki negatif yarı dönmenin takip ettiği
x n çözümlerinden görülmektedir.
Beş uzunluğundaki her negatif yarı dönmeyi beş uzunluğundaki pozitif yarı dönmenin takip ettiği
n 5 şartı altındaki y n çözümlerinden görülmektedir.
Böylece Lemmanın ispatı gösterilmiştir.
Teorem 1 :
(x n ; y n ) (1) denkleminin
0 x1 y1 1 ve 0 x0 y 0 1
0 x 4 y 4 1 , 0 x 3 y 3 1 , 0 x2 y2 1 ,
başlangıç şartları altındaki çözümü olsun. , n = 0,1,2 ,… için
39
MANAS Journal of Engineering © 2015
journals.manas.edu.kg
Oğul, Şimşek; Maksimumlu Fark Denklem Sisteminin Çözümleri
1
x10n 1
x 4
1
x10n 5
x0
x10n 9
f ( 2 n 1)
f ( 2 n 1)
x
1
y1
1
y10n 1
y 4
1
y10n 5
y0
y10n 9
x
; x10n 6 4
y 4
f ( 2 n 1)
; x10n 10
f ( 2n)
; y10n 2
f ( 2n)
y
1
x1
1
; x10n 2
x3
y
; y10n 6 4
x 4
; y10n 10
f ( 2 n 1)
x
0
y0
1
y 3
f ( 2 n 2)
f ( 2 n 1)
x
; x10n 7 3
y 3
f ( 2 n 1)
f ( 2 n 1)
1
; x10n 4
x1
x
; x10n 8 2
y 2
f ( 2 n 1)
;
f ( 2 n 1)
;
f ( 2 n 1)
f ( 2n)
1
; y10n 3
y 2
f ( 2 n 2)
y
0
x0
1
; x10n 3
x 2
f ( 2 n)
y
; y10n 7 3
x3
1
; y10n 4
y1
f ( 2 n 2)
f ( 2n)
y
; y10n 8 2
x 2
;
f ( 2 n 2)
;
f ( 2 n 2)
çözümler elde edilir.
İspat :
Bu teoremin ispatını tümevarım yöntemiyle gösterelim.
1 y 4
1
x1 max
,
x
x4 x4 x4
1 x4
y1 max
,
y 4 y 4
1 y 3
x 2 max
,
x 3 x 3
1
y
y 4
1 x 3
y 2 max
,
y
y
3 3
1 y 2
x3 max
,
x2 x2
1
y
y 3
1 x2
y 3 max
,
y 2 y 2
1 y
x 4 max , 1
x 1 x 1
1
x
x 3
1
x
x2
1
y
y 2
1
x
x 1
1 x 1 1
y 4 max
,
y
y 1 y 1 y 1
40
MANAS Journal of Engineering © 2015
journals.manas.edu.kg
Oğul, Şimşek; Maksimumlu Fark Denklem Sisteminin Çözümleri
1
x5 max
x0
1
y 5 max
y0
,
y0 1
x
x0 x0
,
x0 1
y
y0 y0
1 y
x6 max , 1
x1 x1
1 x
y 6 max , 1
y1 y1
x4
x
y 4
1 y
x7 max , 2
x2 x2
1 x
y 7 max , 2
y2 y2
x 3
x
y 3
1 y
x8 max , 3
x3 x3
1 x
y 8 max , 3
y3 y3
x2
x
y 2
1 y
x9 max , 4
x4 x4
1 x
y 9 max , 4
y4 y4
x 1
x
y 1
1 y
x10 max , 5
x5 x5
1 x
y10 max , 5
y5 y5
x0
x
y0
y 4
y
x4
y 3
y
x 3
y 2
y
x2
y 1
y
x 1
y0
y
x0
2
1 y y
x11 max , 6 4 x
x6 x6 x 4
1 x x
y11 max , 6 4 y
y6 y6 y 4
2
1 y y
x12 max , 7 3 x
x 7 x 7 x 3
1 x x
y12 max , 7 3 y
y 7 y 7 y 3
41
MANAS Journal of Engineering © 2015
journals.manas.edu.kg
Oğul, Şimşek; Maksimumlu Fark Denklem Sisteminin Çözümleri
2
1 y y
x13 max , 8 2 x
x8 x8 x 2
1 x x
y13 max , 8 2 y
y8 y8 y 2
2
1 y y
x14 max , 9 1 x
x9 x9 x1
1 x x
y14 max , 9 1 y
y9 y9 y 1
2
1 y y
x15 max , 10 0 x
x10 x10 x0
1 x x
y15 max , 10 0 y
y10 y10 y 0
.
.
.
n = 0 için doğrudur. n = k için doğru olduğunu kabul edelim.
1
x10k 1
x 4
1
x10k 5
x0
x10k 9
f ( 2 k 1)
f ( 2 k 1)
x
1
y1
1
y10k 1
y 4
1
y10k 5
y0
x
; x10k 6 4
y 4
f ( 2 k 1)
; x10k 10
f ( 2k )
; y10k 2
f ( 2k )
y
y10k 9 1
x1
1
; x1kn 2
x3
f ( 2 k 1)
x
0
y0
1
y 3
y
; y10k 6 4
x 4
f ( 2 k 2)
f ( 2 k 1)
1
; x10k 3
x 2
x
; x10k 7 3
y 3
f ( 2 k 1)
1
; x10k 4
x1
x
; x10k 8 2
y 2
f ( 2 k 1)
;
f ( 2 k 1)
;
f ( 2 k 1)
f ( 2k )
; y10k 3
f ( 2 k 2)
y
; y10k 10 0
x0
f ( 2 k 1)
1
y 2
f (2k )
y
; y10k 7 3
x3
; y10k 4
f ( 2 k 2)
1
y1
f ( 2k )
y
; y10k 8 2
x 2
;
f ( 2 k 2)
;
f ( 2 k 2)
n = k+1 için doğru olduğunu gösterelim.
42
MANAS Journal of Engineering © 2015
journals.manas.edu.kg
Oğul, Şimşek; Maksimumlu Fark Denklem Sisteminin Çözümleri
x10 k 11
f ( 2 k 2)
y 4
f ( 2 k 1)
x
1
y10 k 6
y 4
max
,
, 4 f ( 2 k 1)
max
x4
x10 k 6 x10 k 6
x 4
y 4
y f ( 2 k 1) y f ( 2 k 2 ) y f ( 2 k 1)
4
max 4
, 4
x4
x4
x4
y f ( 2 k 1) y f ( 2 k 3)
max 4
, 4
x
4
x4
y
4
x4
f ( 2 k 3)
1
y10 k 11 max
y10 k 6
f ( 2 k 1)
x4
f ( 2 k 2)
y
x10 k 6
x 4
4
,
,
max
f ( 2 k 2)
y10 k 6
y 4
y 4
x4
x
max 4
y 4
f ( 2 k 2)
x
, 4
y 4
f ( 2 k 1)
x4
y
4
x
max 4
y 4
f ( 2 k 2)
x
, 4
y 4
f ( 2 k 3)
x
4
y 4
f ( 2k 2)
f ( 2 k 2)
43
MANAS Journal of Engineering © 2015
journals.manas.edu.kg
Oğul, Şimşek; Maksimumlu Fark Denklem Sisteminin Çözümleri
1
x10 k 12 max
x10 k 7
f ( 2 k 2)
y 3
f ( 2 k 1)
x
y10 k 7
y
3
,
, 3 f ( 2 k 1)
max
x10 k 7
x 3
x 3
y 3
y f ( 2 k 1) y f ( 2 k 2 ) y f ( 2 k 1)
3
max 3
, 3
x 3
x 3
x 3
y f ( 2 k 1) y f ( 2 k 3)
max 3
, 3
x 3
x 3
y
3
x 3
f ( 2 k 3)
1
y10 k 12 max
y10 k 7
f ( 2 k 1)
x 3
f ( 2 k 2)
y
x10 k 7
x 3
,
, 3 f ( 2 k 2 )
max
y10 k 7
y 3
y 3
x 3
x f ( 2 k 2 ) x f ( 2 k 1) x f ( 2 k 2 )
3
max 3
, 3
y 3
y 3
y 3
x f ( 2 k 2 ) x f ( 2 k 3)
max 3
, 3
y
3
y 3
x
3
y 3
f ( 2 k 2)
44
MANAS Journal of Engineering © 2015
journals.manas.edu.kg
Oğul, Şimşek; Maksimumlu Fark Denklem Sisteminin Çözümleri
x10 k 13
1
y10 k 8
y 2
max
,
max
x10 k 8 x10 k 8
x 2
f ( 2 k 2)
y 2
f ( 2 k 1)
x
2
,
f ( 2 k 1)
x2
y 2
y f ( 2 k 1) y f ( 2 k 2 ) y
2
max 2
, 2
x 2
x2
x2
f ( 2 k 1)
y f ( 2 k 1) y f ( 2 k 3)
max 2
, 2
x 2
x2
y
2
x2
f ( 2 k 3)
1
y10 k 13 max
y10 k 8
x10 k 8
x 2
,
max
y10 k 8
y 2
f ( 2 k 1)
x2
f ( 2 k 2)
y
2
,
f ( 2 k 2)
y 2
x2
x
max 2
y 2
f ( 2 k 2)
x
, 2
y 2
f ( 2 k 1)
x2
y 2
x
max 2
y 2
f ( 2 k 2)
x
, 2
y 2
f ( 2 k 3)
x
2
y 2
f ( 2 k 2)
f ( 2 k 2)
45
MANAS Journal of Engineering © 2015
journals.manas.edu.kg
Oğul, Şimşek; Maksimumlu Fark Denklem Sisteminin Çözümleri
1
x10 k 14 max
x10 k 9
f ( 2 k 2)
y 1
f ( 2 k 1)
x
y10 k 9
y 1
1
,
,
max
f ( 2 k 1)
x10 k 9
x 1
x 1
y 1
y f ( 2 k 1) y f ( 2 k 2 ) y f ( 2 k 1)
1
max 1
, 1
x 1
x 1
x 1
y f ( 2 k 1) y f ( 2 k 3)
max 1
, 1
x 1
x 1
y
1
x 1
f ( 2 k 3)
1
y10 k 14 max
y10 k 9
f ( 2 k 1)
x 1
f ( 2k 2)
y
x10 k 9
x 1
1
,
,
max
f ( 2k 2)
y10 k 9
y 1
y 1
x 1
x f ( 2 k 2 ) x f ( 2 k 1) x f ( 2 k 2 )
1
max 1
, 1
y 1
y 1
y 1
x f ( 2 k 2 ) x f ( 2 k 3)
max 1
, 1
y
1
y 1
x
1
y 1
f ( 2k 2)
46
MANAS Journal of Engineering © 2015
journals.manas.edu.kg
Oğul, Şimşek; Maksimumlu Fark Denklem Sisteminin Çözümleri
1
x10 k 15 max
x10 k 10
f ( 2 k 2)
y0
f ( 2 k 1)
x
y10 k 8
y
0
,
, 0 f ( 2 k 1)
max
x10 k 10
x0
x0
y0
y f ( 2 k 2 ) y f ( 2 k 2 ) y f ( 2 k 1)
0
max 0
, 0
x0
x0
x0
y f ( 2 k 2 ) y f ( 2 k 3)
max 0
, 0
x0
x0
y
0
x0
f ( 2 k 3)
1
y10 k 15 max
y10 k 10
x10 k 10
x0
,
max
y10 k 10
y 0
x
max 0
y 0
f ( 2k 2)
x
, 0
y0
f ( 2 k 1)
x0
y0
x
max 0
y 0
f ( 2k 2)
x
, 0
y0
f ( 2 k 3)
x
0
y0
f ( 2 k 1)
x0
f ( 2 k 2)
y
, 0 f ( 2k 2)
y0
x0
f ( 2k 2)
f ( 2 k 2)
47
MANAS Journal of Engineering © 2015
journals.manas.edu.kg
Oğul, Şimşek; Maksimumlu Fark Denklem Sisteminin Çözümleri
x10 k 16
f ( 2 k 2)
x4
f ( 2 k 3)
y
1
y10 k 11
x 4
4
max
,
,
max
f ( 2 k 3)
y 4
x10 k 11 x10 k 11
y 4
x4
x f ( 2 k 3) x
max 4
, 4
y 4
y 4
f ( 2 k 2)
x4
y 4
x f ( 2 k 3) x
max 4
, 4
y 4
y 4
f ( 2 k 4)
x
4
y 4
y10 k 16
f ( 2 k 3)
f ( 2 k 3)
f ( 2 k 3)
y 4
f ( 2k 2)
x
1
x10 k 11
y 4
4
max
,
,
max
f ( 2k 2)
x4
y10 k 11 y10 k 11
x 4
y 4
y
max 4
x 4
f ( 2 k 2)
y
, 4
x4
f ( 2 k 3)
y 4
x4
y
max 4
x 4
f ( 2 k 2)
y
, 4
x4
f ( 2k 4)
y
4
x4
f ( 2 k 2)
f ( 2 k 4)
48
MANAS Journal of Engineering © 2015
journals.manas.edu.kg
Oğul, Şimşek; Maksimumlu Fark Denklem Sisteminin Çözümleri
1
x10 k 17 max
x10 k 12
f ( 2 k 2)
x 3
f ( 2 k 3)
y
y10 k 12
x
3
,
, 3 f ( 2 k 3)
max
x10 k 12
y 3
y 3
x 3
x f ( 2 k 3) x f ( 2 k 2 ) x f ( 2 k 3)
3
max 3
, 3
y 3
y 3
y 3
x f ( 2 k 3) x f ( 2 k 4 )
max 3
, 3
y 3
y 3
x
3
y 3
f ( 2 k 3)
1
y10 k 17 max
y10 k 12
f ( 2 k 3)
y 3
f ( 2k 2)
x
x10 k 12
y 3
,
, 3 f ( 2 k 2 )
max
y10 k 12
x 3
x 3
y 3
y f ( 2 k 2 ) y f ( 2 k 3) y f ( 2 k 2 )
3
max 3
, 3
x 3
x 3
x 3
y f ( 2 k 2 ) y f ( 2 k 4)
max 3
, 3
x
3
x 3
y
3
x 3
f ( 2 k 4)
49
MANAS Journal of Engineering © 2015
journals.manas.edu.kg
Oğul, Şimşek; Maksimumlu Fark Denklem Sisteminin Çözümleri
x10 k 18
1
y10 k 13
x 2
max
,
max
x10 k 13 x10 k 13
y 2
f ( 2 k 2)
x f ( 2 k 3) x
max 2
, 2
y 2
y 2
f ( 2 k 2)
x2
y 2
x f ( 2 k 3) x
max 2
, 2
y 2
y 2
f ( 2 k 4)
x
2
y 2
y10 k 18
x2
f ( 2 k 3)
y
2
,
f ( 2 k 3)
y 2
x2
f ( 2 k 3)
y 2
f ( 2 k 2)
x
2
,
f ( 2 k 2)
x2
y 2
y
max 2
x 2
f ( 2 k 2)
y
, 2
x2
f ( 2 k 3)
y 2
x2
y
max 2
x 2
f ( 2 k 2)
y
, 2
x2
f ( 2 k 4)
f ( 2 k 3)
1
x10 k 13
y 2
max
,
max
y10 k 13 y10 k 13
x 2
y
2
x2
f ( 2 k 3)
f ( 2 k 2)
f ( 2 k 4)
50
MANAS Journal of Engineering © 2015
journals.manas.edu.kg
Oğul, Şimşek; Maksimumlu Fark Denklem Sisteminin Çözümleri
1
x10 k 19 max
x10 k 14
f ( 2 k 2)
x 1
f ( 2 k 3)
y
y10 k 14
x 1
1
,
,
max
f ( 2 k 3)
x10 k 14
y 1
y 1
x 1
x f ( 2 k 3) x f ( 2 k 2 ) x f ( 2 k 3)
1
max 1
, 1
y 1
y 1
y 1
x f ( 2 k 3) x f ( 2 k 4 )
max 1
, 1
y 1
y 1
x
1
y 1
f ( 2 k 3)
1
y10 k 19 max
y10 k 14
f ( 2 k 3)
y 1
f ( 2 k 2)
x
x10 k 14
y 1
1
,
,
max
f ( 2 k 2)
y10 k 14
x 1
x 1
y 1
y f ( 2 k 2 ) y f ( 2 k 3) y f ( 2 k 2 )
1
max 1
, 1
x 1
x 1
x 1
y f ( 2 k 2 ) y f ( 2 k 4 )
max 1
, 1
x
1
x 1
y
1
x 1
f ( 2 k 4)
51
MANAS Journal of Engineering © 2015
journals.manas.edu.kg
Oğul, Şimşek; Maksimumlu Fark Denklem Sisteminin Çözümleri
1
y10 k 15
x0
max
,
max
x10 k 15 x10 k 15
y 0
x10 k 20
x0
f ( 2 k 3)
y
, 0 f ( 2 k 3)
y0
x0
f ( 2 k 2)
x f ( 2 k 3) x f ( 2 k 2 ) x f ( 2 k 3)
0
max 0
, 0
y 0
y0
y0
x f ( 2 k 3) x f ( 2 k 4 )
max 0
, 0
y 0
y0
x
0
y0
f ( 2 k 3)
1
y10 k 20 max
y10 k 15
x10 k 15
y 0
,
max
y10 k 15
x0
y
max 0
x0
f ( 2 k 2)
y
, 0
x0
f ( 2 k 3)
y0
x0
y
max 0
x0
f ( 2 k 2)
y
, 0
x0
f ( 2 k 4)
y
0
x0
f ( 2 k 3)
y0
f ( 2 k 2)
x
, 0 f ( 2k 2)
x0
y0
f ( 2k 2)
f ( 2 k 4)
Böylece teoeremin doğruluğu ispatlanmış oldu.
Teorem 2 : (1) denklem sistemi 0 x 4 y 4 1 , 0 x 3 y 3 1 , 0 x2 y2 1 ,
0 x1 y1 1 ve 0 x0 y 0 1 başlangıç şartlarına göre
lim x10n1 ; lim x10n 2 ; lim x10n3 ; lim x10n 4 ; lim x10n5 ;
n
a)
n
n
n
n
lim x10n6 0; lim x10n7 0; lim x10n8 0; lim x10n9 0; lim x10n10 0
n
n
n
n
n
52
MANAS Journal of Engineering © 2015
journals.manas.edu.kg
Oğul, Şimşek; Maksimumlu Fark Denklem Sisteminin Çözümleri
lim y10n 1 0; lim y10n 2 0; lim y10n3 0; lim y10n 4 0; lim y10n5 0;
n
b)
n
n
n
n
lim y10n 6 ; lim y10n7 ; lim y10n 8 ; lim y10n 9 ; lim y10n10
n
n
n
n
n
olur.
İspat: a)
0 x 4 y 4 1 olduğu için
1
lim x10n 1 lim
n
n x 4
f ( 2 n 1)
1
x 4
f ( )
1
x 4
elde edilir.
0 x 3 y 3 1 olduğu için
lim x10 n 2
n
1
lim
n x
3
f ( 2 n 1)
1
x 3
f ()
1
x 3
1
lim
n x
2
f ( 2 n 1)
1
x2
f ()
1
x2
1
lim
n x
1
f ( 2 n 1)
1
x
1
f ()
1
x
1
1
lim
n x
0
f ( 2 n 1)
1
x0
f ()
1
x0
elde edilir.
0 x2 y2 1 olduğu için
lim x10 n 3
n
elde edilir.
0 x1 y1 1 olduğu için
lim x10 n 4
n
elde edilir.
0 x0 y0 1 olduğu için
lim x10 n5
n
elde edilir.
0 x 4 y 4 1 olduğu için
lim x10 n 6
n
x
lim 4
n y
4
f ( 2 n 1)
x
4
y 4
f ()
x
4 0 ,
y 4
elde edilir.
53
MANAS Journal of Engineering © 2015
journals.manas.edu.kg
Oğul, Şimşek; Maksimumlu Fark Denklem Sisteminin Çözümleri
0 x3 y3 1 olduğu için
lim x10 n 7
n
f ( 2 n 1)
x
3
y 3
f ()
x
3 0 ,
y 3
x
lim 2
n y
2
f ( 2 n 1)
x
2
y 2
f ()
x
2 0 ,
y 2
x
lim 1
n y
1
f ( 2 n 1)
x
1
y 1
f ()
x
1 0 ,
y 1
x
0
y0
f ()
x
0 0 .
y0
x
lim 3
n y
3
elde edilir.
0 x2 y2 1 olduğu için
lim x10 n 8
n
elde edilir.
0 x1 y1 1 olduğu için
lim x10 n 9
n
elde edilir.
0 x0 y0 1 olduğu için
lim x10 n 10
n
x
lim 0
n y
0
f ( 2 n 1)
elde edilir.
b)
0 x 4 y 4 1 olduğu için
lim y10 n1
n
x
lim 4
n y
4
f (2n)
x
4
y 4
f ()
x
4 0 ,
y 4
x
lim 3
n y
3
f ( 2n)
x
3
y 3
f ()
x
3 0 ,
y 3
x
lim 2
n y
2
f ( 2n)
x
2
y 2
f ()
x
2 0 ,
y 2
elde edilir.
0 x3 y3 1 olduğu için
lim y10 n 2
n
elde edilir.
0 x2 y2 1 olduğu için
lim y10 n3
n
54
MANAS Journal of Engineering © 2015
journals.manas.edu.kg
Oğul, Şimşek; Maksimumlu Fark Denklem Sisteminin Çözümleri
elde edilir.
0 x1 y1 1 olduğu için
x
1
y 1
f ()
x
1 0 ,
y 1
x
0
y0
f ()
x
0 0 ,
y0
f ( 2 n 2)
y
4
x4
f ()
y
4 ,
x4
f ( 2 n 2)
y
3
x 3
f ()
y
3 ,
x 3
f ( 2 n 2)
y
2
x2
f ()
y
2 ,
x2
f ( 2 n 2)
y
1
x 1
f ()
y
1 ,
x1
y
0
x0
f ()
y
0 .
x0
x
lim 1
n y
1
lim y10 n 4
n
f (2n)
elde edilir.
0 x0 y0 1 olduğu için
lim y10 n 5
n
x
lim 0
n y
0
f (2n)
elde edilir.
0 x 4 y 4 1 olduğu için
lim y10 n 6
n
y
lim 4
n x
4
elde edilir.
0 x3 y3 1 olduğu için
y
lim 3
n x
3
lim y10n 7
n
elde edilir.
0 x2 y2 1 olduğu için
lim y10 n 8
n
y
lim 2
n x
2
elde edilir.
0 x1 y1 1 olduğu için
lim y10 n 9
n
y
lim 1
n x
1
elde edilir.
0 x0 y0 1 olduğu için
lim y10 n10
n
y
lim 0
n x
0
f ( 2 n 2)
elde edilir.
55
MANAS Journal of Engineering © 2015
journals.manas.edu.kg
Oğul, Şimşek; Maksimumlu Fark Denklem Sisteminin Çözümleri
3. TARTIŞMA VE SONUÇ
Bu çalışmada, x4 ; x3; x2 ; x1; x0 ; y4 ; y3; y2 ; y1; y0 başlangıç şartları sıfırdan farklı reel
1
1
y
x
, n4 ; y n1 max
, n4 maksimumlu
x n4 x n 4
y n4 y n 4
sayılar olmak üzere, x n1 max
fark denklem sisteminin çözümlerinin davranışları incelenmiştir. Bu fark denklem sisteminde
katsayılar değiştirilerek yeni maksimumlu fark denklem sistemleri oluşturulabilir. Oluşturulacak
yeni maksimumulu fark denklem sisteminin çözüm davranışları incelenebilir.
KAYNAKLAR
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
A. M.Amleh, Boundedness Periodicity and Stability of Some Difference Equations,
University of Rhode Island,(1998) (PhD Thesis).
C. Çinar, S. Stevic and İ.Yalçınkaya, On the positive solutions of reciprocal difference
equation with minimum, Journal of Applied Mathematics and Computing, 17, (1-2),
(2005), 307-314.
S. Elaydi, An Introduction to Difference Equations, Spinger-Verlag, (1996), New York.
E. M. Elsayed and S. Stevic, On the max-type equation x_{n+1}=max{A/x_{n},x_{n-2}},
Nonlinear Analysis, TMA 71, (2009), 910-922.
E. M. Elsayed, B. Iricanin and S. Stevic, On the max-type equation x_{n+1} =
max{A_{n}/x_{n},x_{n-1}}, ARS Combin., (to appear).
J. Feuer, Periodic solutions of the Lyness max equation, Journal of Mathematical Analysis
and Applications, 288,(2003), 147-160.
A. Gelişken, C. Çinar and R. Karataş, A note on the periodicity of the Lyness max
equation, Advances in Difference Equations, Vol. (2008), Article ID 651747, 5 pages.
A.Gelişken, , C. Çinar and İ. Yalçınkaya, On the periodicity of a difference equation with
maximum, Discrete Dynamics in Nature and Society, Vol. 2008, (2008), Article ID
820629, 11 pages.
A. Gelişken , Çinar, C. and A.S. Kurbanlı, On the asymptotic behavior and periodic nature
of a difference equation with maximum, Computers & Mathematics with Applications, 59,
(2010), 898-902.
B. Iricanin and E. M. Elsayed, On a max-type equation x_{n+1}=max{A/x_{n},x_{n-3}},
Discrete Dynamics in Nature and Society, Vol. 2010, Article ID 675413, (2010).
M. R. S. Kulenevic and G. Ladas, Dynamics of Second Order Rational Difference
Equations with Open Problems and Conjecture,Boca Raton, London, (2002).
D. P. Mishev, W. T. Patula, and H. D. Voulov, A reciprocal difference equation with
maximum, Computers & Mathematics with Applications, 43, (2002), 1021-1026.
L. A. Moybe, Difference Equations with Public Health Applications, (2000), New York,
USA.
[14] Бурак
Огул,
1
x
y n1 max
, n4
y n4 y n4
Дагыстан
Система
Шимшек,
решение
1 yn 4
xn 1 max
,
;
xn 4 xn 4
разностного
уравнения
,
Весник
Кыргызского Государственного Технического Университета, N 34, Бишкек,
Кыргызстан, 2015.
56
MANAS Journal of Engineering © 2015
journals.manas.edu.kg
Oğul, Şimşek; Maksimumlu Fark Denklem Sisteminin Çözümleri
[15] G. Papaschinopoulos and V. Hatzifilippidis, On a max difference equation, Journal of
Mathematical Analysis andApplications, 258, (2001), 258-268.
[16] G. Papaschinopoulos, J. Schinas and V. Hatzifilippidis, Global behaviour of the solutions
of a max-equation and of a system of two max-equation, Journal of Computational
Analysis and Applications, 5, 2, (2003), 237-247.
[17] W. T. Patula and H. D. Voulov, On a max type recursive relation with periodic
coefficients, Journal of Difference Equations and Applications, 10, 3, (2004), 329-338.
[18] G. Stefanidou and G. Papaschinopoulos, The periodic nature of the positive solutions of a
nonlinear fuzzy max--difference equation, Information Sciences, 176, (2006), 3694-3710.
[19] S. Stević, On the recursive sequence x_{n+1}=max{c,x_{n}^{p}/x_{n-1}^{p}}, Applied
Mathematics Letters, vol. 21, No: 8, (2008), 791--796.
[20] D. Simsek, C. Cinar and I. Yalçınkaya, "On the solutions of the difference equation
x_{n+1}=max{1/x_{n-1},x_{n-1}}, International Journal of Contemporary Mathematical
Sciences, Vol.1, No: 9--12, (2006), 481--487.
[21] D. Simsek, B. Demir and A. S. Kurbanlı, x_{n+1}=max{(1/(x_{n})),((y_{n})/(x_{n}))},
y_{n+1}=max{(1/(y_{n})),((x_{n})/(y_{n}))} Denklem Sistemlerinin Çözümleri Üzerine,
Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, 28, (2009), 91-104.
[22] D. Simsek, B. Demir and C. Cinar, On the Solutions of the System of Difference Equations
x_{n+1}=max{(A/(x_{n})),((y_{n})/(x_{n}))},
y_{n+1}=max{(A/(y_{n})),((x_{n})/(y_{n}))}, Discrete Dynamics in Nature and Society,
Volume 2009 (2009), Article ID 325296, 11 pages.
[23] Simsek D., Kurbanlı A. S., Erdoğan M. E. , ( 2010). x(n+1) = max{1 \ x(n-1) ; y(n-1) \
x(n-1)} ; y(n+1) = max{1 \ y(n-1) ; x(n-1) \ y(n-1)} Fark Denklem Sisteminin Çözümleri,
XXIII. Ulusal Matematik Sempozyumu, 153 pp, .04-07 Ağustos 2010, Erciyes
Üniversitesi.
[24] Dağıstan Şimşek and Ahmet Dogan , "Solutions Of The System Of Maximum Difference
Equations", Manas Journal of Engineering, 2(2): 9-22, 2014.
[25] C. T. Teixeria, Existence Stability Boundedness and Periodicity of Some Difference
Equations, University of Rhode Island, (2000), (PhD Thesis).
[26] S. Valicenti, Periodicity and Global Attractivity of Some Difference Equations, University
of Rhode Island, (1999), (PhD Thesis).
[27] H. D. Voulov, On the periodic character of some difference equations, Journal of
Difference Equations and Applications, 8, (2002), 799-810.
[28] H. D. Voulov, Periodic solutions to a difference equation with maximum, Proceedings of
the American Mathematical Society, 131, (2002), 2155-2160.
[29] I. Yalçınkaya, B. D. Iricanin and C. Çinar, On a max-type difference equation, Discrete
Dynamics in Nature and Society, Vol. 2007, (2007), Article ID 47264, 10 pages.
[30] I. Yalçınkaya, C. Çinar and M. Atalay, On the solutions of systems of difference equations,
Advances in Difference Equations, Vol. 2008, (2008), Article ID 143943, 9 pages.
57
MANAS Journal of Engineering © 2015
journals.manas.edu.kg
