Rijit Cisim Dengesi

Mühendislik Mekaniği
Statik
Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Bölüm 5
Rijit Cisim Dengesi
Kaynak: ‘Mühendislik Mekaniği: Statik’, R.C.Hibbeler, S.C.Fan,
Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.
5. Rijit Cisim Dengesi
Denge, cismin ötelenmesini ve dönmesini önlemek için sırasıyla
kuvvetlerin ve momentlerin dengesini gerektirir.
Mühendislik problemlerinin çoğu simetrik yükler içerir ve cisim
üzerine etki eden kuvvetler tek bir düzlem üzerine izdüşürülerek
çözülebilir.
Bölümün ilk kısmında, düzlemsel veya iki boyutlu kuvvet sistemine
maruz kalan bir cismin dengesi ele alınacaktır. Bu problemlerin
geometrisi karmaşık olmadığından analiz için skaler çözüm uygundur.
Üç boyutlu sistemler ilerleyen kısımlarda vektör analizi kullanarak
çözülecektir.
5.1 Rijit Cismin Denge Koşulları
Bu bölümde, şekilde görülen cismin dengesi için
gerekli ve yeterli şartları elde edeceğiz.
Görüldüğü gibi cisim çeşitli kuvvet ve kuvvet
çifti momentlerine maruzdur.
Denge denklemlerini uygularken, cisimlerin rijit
kaldığını kabul edeceğiz.
Gerçekte, yük altındaki bütün cisimler şekil değiştirir. Bununla birlikte
çoğu mühendislik malzemesinin rijitlikleri yüksektir ve şekil
değiştirmeler çok küçüktür.
Bu kabul ile, uygulanan kuvvetlerin yönü ve moment kolları
yüklemeden önce ve sonra sabit kalır.
5.1 Rijit Cismin Denge Koşulları
Bir rijit cismin dengede olması için, cisim üzerine etkiyen bütün dış
kuvvetlerin toplamının ve dış kuvvetlerin bir noktaya göre momentleri
toplamının sıfıra eşit olması gereklidir.
İki Boyutta Denge
Bu bölümün ilk kısmında, rijit cisme etki eden
kuvvet sisteminin tek bir düzlemde yer aldığı
veya bir düzlem üzerine izdüşürülebildiği ve
ayrıca cisim üzerine etki eden kuvvet çifti
momentlerinin bu düzleme dik etki ettiği
durumu ele alacağız.
Örneğin, şekildeki uçak merkez eksenine göre
bir simetri düzlemine sahiptir ve yükler bu
eksene göre simetriktir. Böylece iki tekerlek de
eşit yük taşır.
5.2 Serbest Cisim Diyagramları
Denge denklemlerinin başarıyla uygulanması, cisim üzerine etkiyen
bilinen ve bilinmeyen bütün dış kuvvetlerin kesin olarak belirtilmesini
gerektirir.
Bunun için en iyi yol, cismin serbest cisim diyagramını çizmektir.
Bu diyagram, cismi çevresinden izole edilmiş veya «serbest» kalmış
bir şekilde ana hatlarını, yani bir «serbest cismi» gösteren bir taslaktır.
Mesnet Tepkileri.
Genel kural: Bir mesnet bir cismin verilen bir
doğrultuda ötelenmesini engelliyorsa, cisim
üzerinde söz konusu doğrultuda bir kuvvet
ortaya çıkar. Aynı şekilde, cismin dönmesi
engelleniyorsa, cisim üzerinde bir kuvvet çifti
momenti uygulanır.
5.2 Serbest Cisim Diyagramları
Mesnet Tepkileri.
Bir bilinmeyen. Tepki, kablo doğrultusunda elemandan
uzaklaşan yönde etkiyen bir çekme kuvvetidir.
kablo
Bir bilinmeyen. Tepki, bağlantı çubuğu ekseni boyunca
etkiyen bir kuvvettir.
ağırlıksız çubuk
Bir bilinmeyen. Tepki, temas noktasında yüzeye dik
etkiyen bir kuvvettir.
tekerlek
salınan ayak
Bir bilinmeyen. Tepki, temas noktasında yüzeye dik
etkiyen bir kuvvettir.
5.2 Serbest Cisim Diyagramları
Mesnet Tepkileri.
Bir bilinmeyen. Tepki, temas noktasında yüzeye dik
etkiyen bir kuvvettir.
pürüzsüz temas yüzeyi
Bir bilinmeyen. Tepki, oluğa dik etkiyen bir kuvvettir.
pürüzsüz olukta tekerlek/pim
Bir bilinmeyen. Tepki, çubuğa dik etkiyen bir kuvvettir.
eleman, pürüzsüz çubuk
üzerindeki bileziğe pimle bağlı
5.2 Serbest Cisim Diyagramları
Mesnet Tepkileri.
İki bilinmeyen. Kuvvetin iki bileşeni veya bileşke
kuvvetin büyüklüğü ve φ doğrultusu.
pürüzsüz pim veya mafsal
eleman, pürüzsüz çubuk
üzerindeki bileziğe sabit bağlı
sabit mesnet
İki bilinmeyen. Kuvvet çifti momenti ve çubuğa dik
etkiyen bir kuvvet.
Üç bilinmeyen. Kuvvet çifti momenti ve iki kuvvet
bileşeni veya kuvvet çifti momenti ve bileşke kuvvetin
büyüklüğü ve φ doğrultusu.
Dış ve İç Kuvvetler.
W ağırlığı G ağırlık merkezinden etki
eder.
Örneklerde ve problemlerde, cismin
ağırlığı analiz için önemli ise, bu kuvvet
problemin ifadesinde yer alacaktır.
Bir rijit cisim parçacıkların bileşimi olduğundan hem iç hem dış
kuvvetler etki eder. Ancak, iç kuvvetler SCD’de gösterilmez. Çünkü bu
kuvvetler her zaman eşit ve zıt yönlü doğrusal çiftler şeklindedir ve
net etkileri sıfırdır. Örneğin, cıvata bağlantı-larındaki kuvvetler.
SCD’de sadece T1, T2 ve W gösterilir.
İdealleştirilmiş Modeller.
Serbest Cisim Diyagramı Çizme Yöntemi
1. Adım. Cismin, sınırlamalardan ve çevresinden soyutlandığını veya
«serbest» kaldığını hayal ediniz. Cismin genel hatlarını çiziniz.
2. Adım. Cisim üzerine etkiyen bütün dış kuvvetleri ve kuvvet çifti
momentlerini belirtiniz. Bunlar, (1) uygulanan yüklerden, (2) mesnetlerde veya temas noktalarında ortaya çıkan tepkilerden ve (3) cismin
ağırlığından ileri gelir.
Serbest Cisim Diyagramı Çizme Yöntemi
3. Adım. Kuvvetlerin momentlerinin hesaplanmasında gerekli olan
cismin boyutlarını gösteriniz. Bilinen kuvvetler ve kuvvet çifti
momentleri, kendi büyüklük ve doğrultuları ile işaretlenmelidir.
Bilinmeyen kuvvetlerin ve KÇM’lerinin büyüklük ve doğrultu açılarını
göstermek için harfler kullanılır.
x, y koordinat sistemi çizilir ve bu bilinmeyenler Ax, By, v.s. şeklinde
gösterilir.
Bir vektör veya KÇM’nin etki çizgisi biliniyor, fakat büyüklüğü
bilinmiyorsa, vektörün yönünü tanımlayan «ok ucu» varsayımına göre
seçilebilir. Doğru yön denge denklemlerinden belli olur.
Örnek 5-1
Şekildeki üniform kirişin serbest cisim
diyagramını çiziniz.
Kirişin kütlesi 100 kg’dır.
Örnek 5-1
Uygulanan kuvvetin
çubuk üzerindeki etkisi
Sabit mesnetin
çubuk üzerindeki
etkisi
Ağırlığın çubuk
üzerindeki etkisi
Ax, Ay ve MA vektörlerinin büyüklükleri bilinmemektedir ve yönleri
için varsayım yapılır.
Kiriş üniform olduğundan, ağırlık G ağırlık merkezinden etkir.
Örnek 5-2
Şekilde görülen pedalın serbest cisim
diyagramını çiziniz.
Operatör pedala düşey bir kuvvet
uygulamakta olup yay 1.5 in. uzamıştır. Aynı
zamanda B çubuğundaki kuvvet 20 lb’ dur.
Örnek 5-2
İdealleştirilmiş model
Örnek 5-3
Ağırlıkları 300 kg olan pürüzsüz borular
forklift
çatalları
ile
şekildeki
gibi
tutulmaktadır. Boruların ayrı ayrı ve beraber
olacak şekilde serbest cisim diyagramlarını
çiziniz.
Örnek 5-3
İdealleştirilmiş model,
Açı ve ölçüler eklenmiş.
B’nin A üzerindeki etkisi
Eğik plağın
A üzerindeki etkisi
Ağırlığın
A üzerindeki etkisi
Eğik plağın
A üzerindeki etkisi
Örnek 5-4
Kütlesi 200 kg olan platformun serbest
cisim diyagramını çiziniz.
Örnek 5-4
Yükleme ve ölçüler simetrik olduğu
için idealleştirilmiş model 2 boyutlu
olarak çizilir.
5.3 Denge Denklemleri
Cisim, tümü x-y düzleminde yer alan bir kuvvetler sistemine maruz
kalırsa, kuvvetler x ve y bileşenlerine ayrılabilir.
Alternatif Denge Denklemi Takımları.
Düzlemsel kuvvet sistemleri için daha çok aşağıdaki denklemler
kullanılır:
Bununla birlikte, üç bağımsız denklemden oluşan aşağıdaki denklem
takımları da kullanılabilir:
Örnek 5-5
Şekildeki yüklemeye maruz kalan kirişteki tepki kuvvetlerinin yatay
ve düşey bileşenlerini belirleyiniz. Hesaplamalarda kirişin ağırlığını
ihmal ediniz.
Örnek 5-5
Örnek 5-6
Şekilde gösterilen ip, 100 lb’luk kuvveti tutmaktadır ve sürtünmesiz
makaraya sarılmıştır. C’de ipteki çekme kuvvetini ve A pimindeki
tepkinin yatay ve düşey bileşenlerini belirleyiniz.
Örnek 5-6
Örnek 5-7
Şekildeki anahtar A’daki cıvatayı sıkıştırmak için kullanılmaktadır.
Yük tutamağa uygulandığında anahtar dönmediğine göre, cıvataya
uygulanan momenti veya torku ve anahtarın cıvata üzerindeki
kuvvetini belirleyiniz.
Örnek 5-7
Örnek 5-8
Şekildeki düzgün pürüzsüz çubuk üzerine bir kuvvet ve kuvvet çifti
momenti uygulanmaktadır. Çubuk A’da pürüzsüz duvar ve B ve C’de
alttan ve üstten tekerlekler tarafından desteklendiğine göre, bu
mesnetlerdeki tepki kuvvetlerini belirleyiniz. Çubuğun ağırlığını ihmal
ediniz.
Örnek 5-8
Örnek 5-9
Şekilde bağlantı parçası, A’da mafsal bağlıdır ve B’deki pürüzsüz
mesnede dayanmaktadır. A mafsalındaki tepkinin yatay ve düşey
bileşenlerini belirleyiniz.
Örnek 5-9
5.4 İki ve Üç Kuvvetli Elemanlar
Bazı denge problemlerinin çözümü, sadece iki veya üç kuvvete maruz
olan elemanlar ayırt edilebilirse kolaylaşabilir.
İki Kuvvetli Elemanlar.
Bir eleman üzerine hiç moment uygulanmıyor ve kuvvetler sadece
iki noktada uygulanıyorsa, bu elemana iki kuvvetli eleman denir.
5.4 İki ve Üç Kuvvetli Elemanlar
Üç Kuvvetli Elemanlar.
Bir eleman üzerine sadece üç kuvvet etkiyorsa, bu elemana üç
kuvvetli eleman denir. Elemanın dengede olması için, kuvvetlerin
doğrultuları aynı noktadan geçmeli veya kuvvetler paralel olmalıdır.
5.4 İki ve Üç Kuvvetli Elemanlar
İki kuvvet elemanı.
Üç kuvvet elemanı.
Örnek 5-10
Şekilde gösterildiği gibi ABC kolu, A’da
mafsallıdır ve BD parçasına bağlanmıştır.
Elemanların ağırlıkları ihmal edilebildiğine
göre, A’daki mafsalın kol üzerine uyguladığı
kuvveti belirleyiniz.
Örnek 5-10
Üç Boyutta Denge
5.5 Serbest Cisim Diyagramları
İki boyutlu dengede olduğu gibi öncelikle serbest cisim diyagramları
çizilir. Ancak, öncelikle mesnet tepkilerini ele almak gerekir.
Mesnet Tepkileri.
İki boyutluda olduğu gibi, kuvvet, bağlı elemanın ötelenmesini
kısıtlayan bir mesnet tarafından oluşturulur, buna karşı kuvvet çifti
momenti bağlı elemanın dönmesi engellendiğinde ortaya çıkar.
5.5 Serbest Cisim Diyagramları
Mesnet Tepkileri.
Bir bilinmeyen. Tepki, kablo doğrultusunda elemandan uzaklaşan
yönde etkiyen bir kuvvettir.
kablo
Bir bilinmeyen. Tepki, temas noktasında yüzeye dik etkiyen bir
kuvvettir.
pürüzsüz yüzey mesnedi
Bir bilinmeyen. Tepki, temas noktasında yüzeye dik etkiyen bir
kuvvettir.
tekerlek
5.5 Serbest Cisim Diyagramları
Mesnet Tepkileri.
Üç bilinmeyen. Tepkiler üç dik kuvvet bileşenidir.
Küresel mafsal
Dört bilinmeyen. Tepkiler şafta dik etkiyen iki kuvvet ve iki
kuvvet çifti momentidir.
Tek kaymalı yatak
5.5 Serbest Cisim Diyagramları
Mesnet Tepkileri.
Beş bilinmeyen. Tepkiler iki kuvvet ve üç kuvvet çifti
momentidir.
Kare şaftlı
tek kaymalı yatak
Beş bilinmeyen. Tepkiler üç kuvvet ve iki kuvvet çifti
momentidir.
Tek itme yatak
Beş bilinmeyen. Tepkiler üç kuvvet ve iki kuvvet çifti
momentidir.
Tek pürüzsüz pim
5.5 Serbest Cisim Diyagramları
Mesnet Tepkileri.
Beş bilinmeyen. Tepkiler üç kuvvet ve iki kuvvet çifti
momentidir.
Tek menteşe
Altı bilinmeyen. Tepkiler üç kuvvet ve üç kuvvet çifti
momentidir.
Sabit mesnet
5.5 Serbest Cisim Diyagramları
Mesnet Tepkileri.
(4)
(7)
(5)
(8)
Serbest Cisim Diyagramları.
Temel olarak, önce cismi «soyutlayarak» genel hatlarını
çizmek gerekir. Oluşturulan x, y, z koordinat sisteminde bütün
kuvvet ve kuvvet çifti momentleri dikkatlice işaretlenir.
Genel bir kural olarak, bilinmeyen büyüklüğe sahip tepki
kuvvetleri SCD’de pozitif yönde etkiyormuş gibi gösterilir.
Negatif değerler elde edildiği takdirde, bileşenlerin negatif
koordinat yönlerinde etkidiği anlaşılır.
Örnek 5-11
SCD’leri de çizilen çeşitli nesne örnekleri verilmiştir. Her bir durumda
x, y, z eksenleri oluşturulmuş ve bilinmeyen tepki bileşenleri pozitif
yönde gösterilmiştir. Ağırlıklar ihmal edilmiştir.
A, B, C’deki kayma yataklar.
Yataklarca oluşturulan kuvvet tepkileri kuvvet
ve moment dengesi için yeterlidir, çünkü
bunlar milin koordinat eksenleri etrafında
dönmesini önler.
Örnek 5-11
A’daki pim ve BC kablosu.
x ve z eksenleri etrafında dönmeyi
engelleyen, çubuk üzerinde pim tarafından
oluşturulan moment bileşenleri.
Örnek 5-11
A’daki kayma yatak, C’deki
menteşe ve B’deki tekerlek.
Her bir koordinat ekseni etrafında dönmeyi
engelleyen, plak üzerinde yatak ve menteşe
tarafından oluşturulan kuvvet tepkileri.
Menteşede moment oluşmaz.
5.6 Denge Denklemleri
Üç boyutlu kuvvet sistemine maruz bir rijit cismin denge koşulları,
cisme etkiyen bileşke kuvvet ve bileşke kuvvet çifti momentinin
ikisinin de sıfıra eşit olmasını gerektirir.
Vektörel Denge Denklemleri.
Skaler Denge Denklemleri.
5.7 Rijit Cisim İçin Bağlar
Rijit cismin dengesinin sağlanması için sadece denge denklemlerinin
gerçekleşmesi yeterli değildir.
Cismin aynı zamanda uygun şekilde tutturulması veya mesnetlerle
bağlanması gerekir.
Bazı cisimler denge için yeterli sayıda mesnede sahip olmayabilir veya
mesnetler cismin devrilmesine yol açabilecek şekilde düzenlenmiş
olabilir.
Buna karşın bazı cisimler de gerekenden fazla mesnede sahip olabilir.
5.7 Rijit Cisim İçin Bağlar
Fazla Bağlar.
Bir cisim, gereksiz, yani cismi dengede tutmak için gerekenden fazla
mesnede sahip ise, statik olarak belirsiz hale gelir.
Statik olarak belirsizlik, cisim üzerindeki bilinmeyen yükleme
sayısının, bu yüklemelerin çözümü için kullanılabilen denge denklemi
sayısından daha fazla olduğunu ifade eder.
Üç denge denklemi,
beş bilinmeyen.
5.7 Rijit Cisim İçin Bağlar
Fazla Bağlar.
Altı denge denklemi,
sekiz bilinmeyen.
Bu problemleri çözmek için, genellikle, mesnet noktalarındaki
deformasyon koşullarından elde edilen ek denklemler gereklidir.
5.7 Rijit Cisim İçin Bağlar
Uygunsuz Bağlar.
Bazı durumlarda, cisim üzerindeki bilinmeyen kuvvet sayısı denge
denklemi sayısı kadar olsa da, mesnetlerdeki uygunsuz bağ kuvvetleri
nedeniyle cismin kararsızlığı ortaya çıkabilir.
Mesnet tepkilerinin tümü aynı bir ekseni keserse cisim uygunsuz
bağlıdır.
5.7 Rijit Cisim İçin Bağlar
Uygunsuz Bağlar.
Bazı durumlarda, cisim üzerindeki bilinmeyen kuvvet sayısı denge
denklemi sayısı kadar olsa da, mesnetlerdeki uygunsuz bağ kuvvetleri
nedeniyle cismin kararsızlığı ortaya çıkabilir.
Mesnet tepkilerinin tümü aynı bir ekseni keserse cisim uygunsuz
bağlıdır.
5.7 Rijit Cisim İçin Bağlar
Uygunsuz Bağlar.
Bütün tepki kuvvetleri paralel ise, uygunsuz bağlar kararsızlığa neden
olur.
5.7 Rijit Cisim İçin Bağlar
Uygunsuz Bağlar.
Bütün tepki kuvvetleri paralel ise, uygunsuz bağlar kararsızlığa neden
olur.
5.7 Rijit Cisim İçin Bağlar
Uygunsuz Bağlar.
Bazı
durumlarda,
cisim
gerçeklenmesi
gereken
denge
denklemlerinden daha az tepki kuvvetine sahip olabilir. Bu durumda
cisim kısmen bağlı hale gelir.
?
5.7 Rijit Cisim İçin Bağlar
Uygunsuz Bağlar.
Bu durumda, uygun bağlama için;
1. Tepki kuvvetlerinin etki çizgilerinin aynı ekseni kesmemesi,
2. Tepki kuvvetlerinin tümünün birbirine paralel olmaması gerekir.
Örnek 5-12
Şekilde gösterilen 100 kg kütleli homojen
plak, kenarları boyunca bir kuvvet ve
kuvvet çifti momentine maruzdur. Plak,
A’daki tekerlek, B’deki küresel mafsal ve
C’deki
kordonla
yatay
düzlemde
tutulduğuna göre, mesnetlerdeki tepki
bileşenlerini belirleyiniz.
Örnek 5-12
Örnek 5-13
Şekilde gösterilen AB çubuğu 200 N’luk
kuvvet etkisindedir. A küresel mafsalındaki tepkileri ve BD ve BE kablolarındaki
çekme kuvvetlerini belirleyiniz.
Örnek 5-13
Örnek 5-13
Örnek 5-14
Şekildeki bükülmüş çubuk A’daki kayma
yatak, D’deki küresel mafsal ve B’deki BC
ipiyle tutulmaktadır. Sadece bir denge
denklemi kullanarak, BC ipindeki çekme
kuvvetini elde ediniz. A’daki yatak, şaft
üzerinde uygun yerleştirilmiş olması
nedeniyle sadece z ve y doğrultularında
kuvvet bileşenleri uygulayabilmektedir.
Örnek 5-14