FÄ°Z217 bolum7c

ELEKTROMANYETİK DALGALAR
Hareket eden bir yük manyetik alan oluşturur. Yük sabit hızla hareket ederse, sabit bir akım ve sabit bir manyetik
alan oluşturur. Yük osilasyon hareketi yaparsa değişken bir manyetik alan oluşturur. Değişken bir manyetik alan
da elektrik alan oluşturur. Aynı zamanda değişken elektrik alan da manyetik alan oluşturur. Böylece osilasyon
hareketi yapan bir yük elektromanyetik alan oluşturur. Elektrik veya manyetik alanlarda bir tanesi zamana göre
değişmeye başlayınca etrafını etkiler ve civarında diğer tür bir etkilenme alanı oluşturur. Bütün bu olayları tek bir
teoride birleştiren Maxwell (İskoçyalı fizikçi James Clerk Maxwell, 1831-1879) bir bölgede zamanla değişen
elektrik ve manyetik alanlar nedeniyle elektromanyetik bir bozulmanın uzayda bir bölgeden diğerine
ilerleyebilmesinin mümkün olduğu fikrini ileri sürmüştür. Bu bozulmanın ilerlemesine uzayın boşluktan meydana
gelmesi engel değildir. Böyle bir bozulma eğer varsa, dalga özellikleri taşımak zorundadır. Bu tür bozulmalara
elektromanyetik dalga denir.
•
Elektromanyetik Dalgaların Önemli Özellikleri:
• Enine dalgadır, E ve B birbirlerine diktir aynı zamanda her ikisi de dalganın yayılma doğrultusuna diktir.
Dalganın yayılma yönü E x B vektörel çarpımın yönündedir.
• E ve B’nin büyüklükleri arasında 𝐸 = 𝑐𝐵 şeklinde bir oran vardır.
• Dalga boşlukta kesin ve değişmeyen bir süratle ilerler.
• Mekanik dalgalarının aksine, elektromanyetik dalgaların yayılması için maddesel bir ortama ihtiyaç yoktur.
MAXWELL DENKLEMLERİ
Elektrik ve manyetik alanlar ve bunların kaynakları arasındaki bağıntılar Maxwell denklemleri olarak bilinen dört
denklem ile verilmektedir. Maxwell denklemleri elektromanyetizmanın bütünü için temel denklemleridir.
Manyetik ve dielektrik madde yokken Maxwell denklemleri şöyledir:
1)
1)
⃗⃗⃗ 𝑑𝐴 = 𝑄
∮𝐴 𝐸.
𝜖
: 𝐸⃗ için Gauss Yasası (1.a)
2)
⃗⃗⃗ 𝑑𝐴 = 0
∮𝐴 𝐵.
⃗ için Gauss Yasası (1.b)
:𝐵
3)
𝜕∅
𝐸. 𝑑𝑙 = − 𝑑𝑡𝐵
∮ ⃗⃗⃗
: Faraday Yasası (1.c)
4)
⃗⃗⃗ 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼 + 𝜇0 𝜖0 𝑑∅𝐸
∮ 𝐵.
𝑑𝑡
: Yer değiştirme akımını da içeren Amper yasası (1.d)
⃗ ’nin kapalı bir yüzey üzerinden integralini içerir.
Maxwell denklemlerinin iki tanesi (1.a ve 1.b) 𝐸⃗ ve 𝐵
Birincisi basitçe elektrik alan için Gauss yasasıdır ve herhangi bir kapalı yüzey üzerinden 𝐸 ’nin integralinin,
1
𝜖0
2)
0
ile yüzey içindeki net Q yükünün çarpımına eşit olduğunu ifade eder.
İkincisi (1.b), manyetik alanlar için benzer bir bağıntıdır ve 𝐵 ’nın kapalı bir yüzey üzerinden yüzey
integralinin daima sıfır olduğunu ifade eder. Bu ifadenin anlamı, başka bir şeylerin yanında, manyetik alan
kaynağı gibi davranan manyetik monopollerin (tek manyetik yükler) var olamayacağıdır. (Burada 𝐸 ,
⃗ ’nin seçilen kapalı yüzeye dik bileşenlerini temsil eder).
elektrik alanı ) 𝐸⃗ ’nin; 𝐵 ise 𝐵
1
3)
Üçüncü denklem (1.c) Faraday yasasıdır ve değişen bir manyetik alan veya manyetik akının bir indüksiyon
elektrik alanına neden olduğunu ifade eder (burada ∅B manyetik akıdır). Eğer değişken bir manyetik akı
varsa, (1.c) denklemindeki çizgi integral sıfırdan farklıdır, değişen manyetik akı 𝐸⃗ alan oluşturur. Bu çizgi
integralinin hareketsiz bir kapalı eğri üzerinden alınması gerektiğini biliyoruz.
4)
Dördüncü denklem (1.d) yer değiştirme akımını da kapsayan Amper yasasıdır. Burada 𝐼 iletkenlik akımı ve
𝐼𝐷 = 𝜖0
𝑑∅𝐸
𝑑𝑡
yer değiştirme akımı manyetik alan kaynağı gibi davranır (burada ∅𝐸 elektrik akısıdır).
Yukarıda verdiğimiz denklemler boş uzaydaki elektrik ve manyetik alan için geçerlidir. Ortamda bir malzeme
varsa, denklemlerde boşluktaki 𝜖0 dielektrik geçirgenliği ve 𝜇0 manyetik geçirgenliği yerine, ortamdaki
malzemelerin 𝜖 − 𝑑𝑖𝑒𝑙𝑒𝑘𝑡𝑟𝑖𝑘 𝑔𝑒ç𝑖𝑟𝑔𝑒𝑛𝑙𝑖ğ𝑖 (permittivity) ve 𝜇 − 𝑚𝑎𝑛𝑦𝑒𝑡𝑖𝑘 𝑔𝑒ç𝑖𝑟𝑔𝑒𝑛𝑙𝑖ğ𝑖𝑛𝑖 (permeability)
kullanmak gerekir.  = 𝜖 ⁄𝜖0 𝑣𝑒 𝑚 = 𝜇⁄𝜇0 relatif dielektrik ve manyetik geçirgenlik katsayısı. Birçok malzeme
için 𝑚 sabittir ve yaklaşık 1’e eşittir, ancak frekansın fomksiyonudur ve 𝑣 = 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑡⁄√ ifadesi ile verilir. Bu
konu daha sonra anlatılacak.
Yukarıda verdiğimiz 1.a, 1.b, 1.c ve 1.d denklemleri MAXWELL DENKLEMLERİNİN integral biçimidir.
Maxwell Denklemlerinin Diferansiyel Biçimi
Maxwell denklemleri, çoğu kez denklem 1’de verilen integral biçiminden daha kullanışlı olan DİFERANSİYEL
BİÇİMİ ile verilmektedir.
Maxwell denklemlerinin diferansiyel biçimlerini elde etmek için matematik derslerinden bildiğimiz iki integral
teoremini kullanacağız.
1. DİVERJANS TEOREMİ
Üç boyutlu uzayda kapalı bir 𝐴 yüzeyi ele alalım. Kapalı yüzey ve bunun içinde kalan 𝑉 hacminde tanımlı bir
𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) vektör alanı olsun. 𝐹 vektörünün herbir bileşeninin kısmi türevleri sürekli ise
⃗⃗⃗ 𝐹
⃗⃗⃗ 𝑑𝑉
𝐹 . 𝑑𝐴 = ∫𝑉 ∇.
∮𝐴 ⃗⃗⃗
(2)
dir. Bu teorem bir 𝐹 vektör fonksiyonunun bir yüzey üzerindeki integrali ile diverjansının bu yüzeyin kuşatmış
olduğu hacim üzerinden integrali arasında bir bağlantı kurar (Gauss veya Ostrogradsky teoremi olarak da bilinir).
⃗ işlemcisine del işlemcisi denilir ve Kartezyen koordintlarda,
∇
⃗ = 𝑖̂ 𝜕 + 𝑗̂ 𝜕 + 𝑘̂ 𝜕
∇
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
(3)
Biçiminde tanımlanmıştır.
⃗ . 𝐹 = 𝜕𝐹𝑥 + 𝜕𝐹𝑦 + 𝜕𝐹𝑧
∇
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
(4)
İfadesine ise 𝐹 ’nin diverjansı denilir.
2
2. STOKES TEOREMİ
𝐹 vektör alanının kapalı bir yol boyunca çizgi integrali yerine, 𝐴 yüzeyi üzerinde 𝑟𝑜𝑡 𝐹 ’nin integarli alınabilir.
∮ç𝑖𝑧𝑔𝑖 𝐹 . 𝑑𝑙 = ∫𝐴 𝑟𝑜𝑡 𝐹 . 𝑑𝐴 = ∫ ⃗∇ × 𝐹 . 𝑑𝐴
(5)
Burada 𝑟𝑜𝑡 𝐹 = ⃗∇ × 𝐹 ’ye 𝐹 vektör alanının rotasyoneli denir.
𝑗̂
𝑘̂
𝜕
det |𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
|
𝜕𝑧
𝐹𝑥
𝐹𝑦
𝐹𝑧
𝑖̂
𝑟𝑜𝑡 𝐹 = ⃗∇ × 𝐹 =
(6.a)
veya
𝜕𝐹
⃗ ×𝐹 =( 𝑧−
𝑟𝑜𝑡 𝐹 = ∇
𝜕𝑦
𝜕𝐹𝑦
𝜕𝐹
) 𝑖̂ + ( 𝜕𝑧𝑥 −
𝜕𝑧
𝜕𝐹𝑦
𝜕𝐹𝑧
)
𝑗̂
+
(
𝜕𝑥
𝜕𝑥
−
𝜕𝐹𝑥
) 𝑘̂
𝜕𝑦
(6.b)
Şimdi bu iki integral teoremini kullanarak Maxwell denklemlerinin boş uzaydaki diferansiyel biçimlerini elde
edeceğiz.
Şimdi bu iki teoremi kullanarak Maxwell denklemlerinin boş uzaydaki diferansiyel biçimlerini elde edebiliriz.
1. Diverjans (Gauss) teoremini Denklem (1.a) ile verilen Gauss Yasasına uygulayalım:
⃗ . 𝐸⃗ 𝑑𝑉 = 𝑄
𝐸. 𝑑𝐴 = ∫𝑉 ∇
∮𝐴 ⃗⃗⃗
𝜖
0
(7)
Şimdi elektrik yükü 𝑄, yük yoğunluğu 𝜌’nun hacim integrali olarak yazılabilir:
𝑄 = ∫𝑉 𝜌 𝑑𝑉
(8)
Bunu 7-denkleminde kullanırsak
⃗ . 𝐸⃗ 𝑑𝑉 = 1 ∫ 𝜌 𝑑𝑉
∫𝑉 ∇
𝜀 𝑉
0
(9)
yazabiliriz. Bu eşitliğin her iki tarafında da aynı hacim üzerinde alınan integraller bulunmaktadır. Hacimlerin
büyüklükleri ve şekilleri ne olursa olsun bunun doğru olabilmesi için integrantların eşit olması gerekir.
⃗ . 𝐸⃗ = 𝜌
∇
𝜖
0
(10)
Bu eşitlik Gauss teoreminin diferansiyel biçimidir.
2. Maxwell denklemlerinin ikincisi olan
⃗ .𝐵
⃗ 𝑑𝑉 = 0
𝐵. 𝑑𝐴 = ∫𝑉 ∇
∮𝐴 ⃗⃗⃗
eşitliği de aynı şekilde incelenirse
⃗∇. 𝐵
⃗ =0
(11)
bulunur.
3. Şimdi stokes teoremini (denklem 5) Maxwell denklemlerinin üçüncüsüne (denklem 1-c) uygulayalım:
⃗ × 𝐸⃗ . 𝑑𝐴 = − 𝜕∅𝐵
∮𝐶 𝐸⃗ . 𝑑𝑙 = ∫ ∇
𝜕𝑡
(12)
3
Manyetik akı
⃗ . 𝑑𝐴
∅𝐵 = ∫𝐴 𝐵
olduğundan,
⃗ × 𝐸⃗ . 𝑑𝐴 = − 𝜕 ∫ 𝐵
⃗ . 𝑑𝐴
∫∇
𝜕𝑡 𝐴
⃗ ’nin konuma da bağlı olması nedeniyle
𝐵
(13)
⃗
𝜕𝐵
𝜕𝑡
kısmi türevini kullandık. Bunlar aynı yüzey üzerinden alınan
integrallerdir. Bu eşitliğin herhangi bir yüzey için, hatta çok küçük bir yüzey bile olsa doğru olması bize,
⃗
⃗∇ × 𝐸⃗ = − 𝜕𝐵
𝜕𝑡
(14)
denklemini verir. Bu Maxwell’in diferansiyel biçimindeki üçüncü denklemidir.
4. Maxwell’in son denklemine
⃗⃗⃗ 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼 + 𝜇0 𝜖0 𝑑∅𝐸
∮ 𝐵.
𝑑𝑡
Stokes teoremini uygulayalım ve ∅𝐸 = ∮𝐴 ⃗⃗⃗
𝐸. 𝑑𝐴 yazalım:
⃗ × 𝐵.
⃗⃗⃗ 𝑑𝐴 = 𝜇0 𝐼 + 𝜇0 𝜖0 𝜕 ∫ 𝐸⃗ . 𝑑𝐴
∮𝐴 ∇
𝜕𝑡 𝐴
(15)
İletim akımı I’yı 𝐽 akım yoğunluğu cinsinden yazılabilir:
𝐼 = ∫𝐴 ⃗𝐽. 𝑑𝐴
(16)
O zaman Maxwell’in dördüncü denklemi şu biçimi alır:
⃗ × 𝐵.
⃗⃗⃗ 𝑑𝐴 = 𝜇0 ∫ 𝐽. 𝑑𝐴 + 𝜇0 𝜖0 𝜕 ∫ 𝐸⃗ . 𝑑𝐴
∮𝐴 ∇
𝜕𝑡 𝐴
(17)
Büyüklüğü ve biçimi ne olursa olsun bu eşitliğin sağlanması için eşitliğin iki tarafındaki integrallerin
integrantlarının birbirlerine eşit olmaları gerekir:
⃗
⃗∇ × 𝐵
⃗ = 𝜇0 𝐽 + 𝜇0 𝜖0 𝜕𝐸
𝜕𝑡
(18)
Aşağıdaki Maxwell denklemlerinin integral ve diferansiyel biçimleri birarada verilmiştir.
BOŞ UZAYDA MAXWELL DENKLEMLERİ
1
İntegral Biçimi
𝑄
∮ ⃗⃗⃗
𝐸. 𝑑𝐴 =
𝜖0
2
∮ ⃗⃗⃗
𝐵. 𝑑𝐴 = 0
3
⃗⃗⃗ 𝑑𝑙 = −
∮ 𝐸.
4
⃗⃗⃗ 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼 + 𝜇0 𝜖0
∮ 𝐵.
Diferansiyel Biçimi
𝜌
⃗ . 𝐸⃗ =
∇
𝜖0
⃗∇. 𝐵
⃗ =0
𝜕∅𝐵
𝑑𝑡
⃗
𝜕𝐵
𝜕𝑡
⃗
⃗∇ × 𝐵
⃗ = 𝜇0 𝐽 + 𝜇0 𝜖0 𝜕𝐸
𝜕𝑡
⃗∇ × 𝐸⃗ = −
𝑑∅𝐸
𝑑𝑡
4
⃗ elektrik alanı üretirken, 𝑩
⃗⃗ manyetik alanı
 Maxwell denklemlerine göre durağan bir nokta yük statik 𝑬
üretmez.
⃗ alanlarının her ikisini de üretir.
 Öte yandan sabit hızla hareket eden bir yüklü parçacık ⃗𝑬 ve ⃗𝑩
 Bu yüklü parçacığın elektromanyetik alan üretebilmesi için ivmelenmesi gerektiği Maxwell denklemleri
kullanılarak gösterilebilir.
 Maxwell denklemlerinin önemli bir sonucu da, ivmelendirilen her yüklü parçacığın elektromanyetik dalga
ışımak zorunda olmasıdır.
 Bir yüklü parçacığın elektromanyetik dalga ışımasını sağlamasının bir yolu, parçacığa bir harmonik salınım
yaptırmaktır.
Elektromanyetik
dalgalar
dalga boyunun ve frekansının
çok geniş bir tayfını içerir. Bu
elektromanyetik tayf radyo ve
TV vericisi, görünür ışık, kızıl
ötesi ve mor ötesi yayılma, Xışınları ve gama ışınlarının
tamamını
içerir.
Elektomanyetik dalgaların 1
Hz ile 1024 Hz frekans
aralığında
yayıldığı
fark
edilmiştir.
Elektomanyetik
tayfın en çok karşılaşılan kısmı
yandaki
Şekilde
değişen
yaklaşık dalga boyu ve frekans
değerleri için gösterilmiştir.
Şekil 1. Elektromanyetik Spektrumda Bölgeler.
5
Elektromanyetik Dalga Denklemi:
Serbest yükün ve akımın olmadığı uzay bölgesinde (𝜌 = 0 ve 𝐼 = 0) Maxwell denklemlerini
⃗ . 𝐸⃗ = 0
∇
⃗∇. 𝐵
⃗ =0
1
2
3
⃗
𝜕𝐵
𝜕𝑡
⃗
⃗∇ × 𝐵
⃗ = 𝜇0 𝜖0 𝜕𝐸
𝜕𝑡
⃗∇ × 𝐸⃗ = −
4
şeklinde yazabiliriz. Şimdi 3 ve 4 denklemlerinin her iki tarafının t’ye göre türevlerini alalım:
⃗
𝜕𝐸
𝜕2 𝐵
⃗ × ⃗⃗⃗
−∇
=
(3.denkelemden)
2
𝜕𝑡
𝜕𝑡
(19a)
𝜕𝐵
𝜕 𝐸
⃗∇ × ⃗⃗⃗⃗
= 𝜇0 𝜖0 𝜕𝑡 2
𝜕𝑡
(19b)
2⃗
(4. denklemden)
yazabiliriz.
(19a) denkleminde
(19b) denkleminde
⃗⃗⃗
𝜕𝐸
𝜕𝑡
⃗⃗⃗⃗
𝜕𝐵
𝜕𝑡
yerine
yerine
𝜕𝐸⃗
𝜕𝑡
⃗⃗⃗⃗
𝜕𝐵
𝜕𝑡
=
1
⃗∇
𝜇0 𝜖0
⃗
×𝐵
⃗ × 𝐸⃗
= −∇
yazalım (4 ve 3 nolu Maxwell denklemlerinden);
⃗
𝜕2 𝐵
𝜕𝑡 2
⃗ × ( 1 ⃗∇ × 𝐵
⃗ ) = − 1 ⃗∇ × (∇
⃗ ×𝐵
⃗)
= −∇
𝜇 𝜖
𝜇 𝜖
𝜕2 𝐸⃗
𝜕𝑡 2
=𝜇
0 0
1
(20a)
0 0
⃗ × (−∇
⃗ × 𝐸⃗ ) = − 1 ∇
⃗ × (∇
⃗ × 𝐸⃗ )
∇
𝜇 𝜖
0 𝜖0
(20b)
0 0
Her hangi bir 𝐴⃑ vektörel alan için
⃗⃑x(∇
⃗⃑x𝐴⃑ ) = ∇
⃗⃑(∇
⃗⃑. 𝐴⃑ ) − ∇2 𝐴⃑
∇
(21)
yazıldığını biliyoruz. Burada
⃗∇⃑= i ∂ + j ∂ + k ∂
∂x
∂y
∂z
(22)
∇2 𝐴⃑ = ∇2 𝐴𝑥 𝑖⃑ + ∇2 𝐴𝑦 𝑗⃑ + ∇2 𝐴𝑧 𝑘⃗⃑
(23)
ve
⃗⃑ ve 𝐸⃗⃑ vektörleri için kullanırsak
dir. (21) ifadesini (20a) ve (20b) ifadesindeki 𝐵
⃗⃑
∂2 𝐵
∂t2
= −μ
∂2 𝐸⃗⃑
∂t2
= −μ
1
⃗∇⃑x(∇
⃗⃑x𝐵
⃗⃑
0 ∈0
) = −μ
1
⃗⃑(∇
⃗⃑. 𝐵
⃗⃑
[∇
0 ∈0
⃗⃑]
) − ∇2 𝐵
(24a)
1
⃗∇⃑x(∇
⃗⃑x𝐸⃗⃑
0 ∈0
) = −μ
1
⃗⃑(∇
⃗⃑. 𝐸
[∇
0 ∈0
) − ∇2 𝐸⃗⃑ ]
(24b)
⃗∇⃑. ⃗E⃑ = 0 ve ⃗∇⃑. ⃗B⃑ = 0 olduğunu burada kullanırsak
⃗⃑
∂2 𝐵
∂t2
=μ
1
0 ∈0
⃗⃑
∇2 𝐵
(25a)
6
∂2 𝐸⃗⃑
∂t2
=μ
1
∇2 𝐸⃗⃑
0 ∈0
Burada 𝑐 =
(25b)
1
μ
√ 0 ∈0
ışığın boşluktaki hızı'dır (∈0 ≃ 8.85x10−12 C 2 ⁄N. m2 ve μ0 = 4πx10−7 N⁄A2 olduğunu
biliyoruz. Buradan c ≃ 3x108 m⁄s elde edilir).
25a ve 25b denklemini yeniden
⃗⃑ =
∇2 𝐵
⃗⃑
1 ∂2 𝐵
2
𝐶 ∂t2
(26a)
1 ∂2 𝐸⃗⃑
∂t2
(26b)
∇2 𝐸⃗⃑ = 𝐶 2
yazabiliriz. Bu iki denklem daha önce elde ettiğimiz dalga denklemleri ile aynı
matematiksel formdadır ve elektromanyetik dalga denklemleri olarak bilinir.
Burada
∇2 𝐸⃗⃑ = (∇2 𝐸𝑥 )𝑖̂ + (∇2 𝐸𝑦 )𝑗̂ + (∇2 𝐸𝑍 )𝑘̂
(27a)
⃗⃑ = (∇2 𝐵𝑥 )𝑖̂ + (∇2 𝐵𝑦 )𝑗̂ + (∇2 𝐵𝑍 )𝑘̂
∇2 𝐵
(27b)
olduğunu biliyoruz (Matematiksel kitaplarına bakınız).
Şimdi (26a) ve (26b) dalga denklemlerini kullanarak elektrik alanı 𝑦 doğrultusunda, manyetik alanı 𝑧
doğrultusunda olan ve yayılma yönü +𝑥-ekseni yönünde olan elektromanyetik dalganın denklemini yazalım:
𝐸⃗⃑ alanı 𝑦 doğrultusunda olduğu için
∂2 𝐸⃗⃑
∂t2
2
türevinin sadece
∂2 𝐸𝑦
∂t2
bileşeni olacaktır. Dalga 𝑥-ekseni yönünde
ilerlediği için ∇2 𝐸⃗⃑ vektörünün sadece ∇ 𝐸𝑦 bileşeni olacaktır ( vektörlerin eşit olma özelliğinden).
(∇2 𝐸𝑥 ) 𝑖̂ + (∇2 𝐸𝑦 )𝑗̂ + ⏟
(∇2 𝐸𝑍 ) 𝑘̂
∇2 𝐸⃗⃑ = ⏟
0
∇2 𝐸𝑦 =
∂2 𝐸𝑦
∂x2
0
+
∂2 𝐸𝑦
∂y2
+
∂2 𝐸𝑦
∂z2
olduğunu biliyoruz. 𝐸𝑦 'nin 𝑦 ve 𝑧'e göre türevleri sıfır olmak zorundadır. Bu durumda
∇2 𝐸𝑦 =
∂2 𝐸𝑦
∂x2
olacaktır. Bu iki sonucu kullanırsak söylenen özelliklerdeki elektromanyetik dalganın elektrik alan bileşeninin
denklemi
∂2 𝐸𝑦
∂x2
1 ∂2 𝐸𝑦
∂t2
(28a)
1 ∂2 𝐵𝑧
∂t2
(28b)
= c2
olacaktır. Benzer şekilde
∂2 𝐵𝑧
∂x2
= c2
olacaktır.
7
⃗⃑ alan vektörünün sadece 𝑧 −bileşeni olduğu için
𝐸⃗⃑ alan vektörünün sadece 𝑦 −bileşeni olduğu için 𝐸𝑦 (𝑥, 𝑡) ve 𝐵
𝐵𝑧 (𝑥, 𝑡) şeklinde ifade edilecektir. (şekil 3). Burada 𝐸𝑦 (𝑥, 𝑡) ve 𝐵𝑧 (𝑥, 𝑡) herhangi bir t anında elektrik ve
manyetik alan vektörlerinin x-eksenine göre enine yer değişimleridir. 𝐸0 ve 𝐵0 bu alanların maksimum değerleri
veya genlikleri, 𝑤 açısal frekans (𝑤 = 2𝜋𝑓); 𝑘 dalga sayısı (2𝜋⁄) ve  dalga boyudur. (28a) ve (28b) dalga
denklemlerinin çözümü için
𝐸𝑦 (𝑥, 𝑡) = 𝐸0 cos(𝑘𝑥 − 𝑤𝑡)
(29a)
𝐵𝑧 (𝑥, 𝑡) = 𝐵0 cos(𝑘𝑥 − 𝑤𝑡)
(29b)
yazabiliriz. Dalga fonksiyonlarını vektörel olarak da yazabiliriz;
𝐸⃗⃑ (𝑥, 𝑡) = 𝑗̂ 𝐸0 cos(𝑘𝑥 − 𝑤𝑡)
⃗⃑ (𝑥, 𝑡) = 𝑘̂𝐵0 cos(𝑘𝑥 − 𝑤𝑡)
𝐵
(30a)
(30b)
Şekil 3’de +𝑥-yönünde ilerleyen doğrusal kutuplanmış bir sinüzoidal elektromanyetik dalga gösterilmiştir
⃗⃑ vektörü yönündedir).
(ilerleme yönü 𝐸⃗⃑ × 𝐵
UYARI: 𝑘 sembölünün iki anlamı vardır. İki farklı 𝑘 olduğuna dikkat ediniz; +z-yönünde birim vektör 𝑘̂ ve dalga
sayısı k.
Şekil-3'de +𝑥 ekseni yönünde ilerleyen doğrusal kutuplanmış bir sinüzoidal elektromanyetik dalgayı
⃗⃑ alanları birbiriyle uyum içinde (aynı fazda salınmaktadırlar, yani 𝐸⃗⃑ ve 𝐵
⃗⃑ aynı anda
göstermektedir. 𝐸⃗⃑ ve 𝐵
⃗⃑ vektörü +𝑧 yönündedir. 𝐸⃗⃑ × 𝐵
⃗⃑ vektörü
maksimum veya sıfırdırlar. Ayrıca eğer 𝐸⃗⃑ vektörü +𝑦 yönünde ise 𝐵
uzayın bütün noktalarında dalganın yayılma doğrultusundadır (+ 𝑥 yönünde).
 Şekil-3'deki dalga 𝑦 −doğrultusunda kutuplanmıştır; 𝐸⃗⃑ alan vektörü daima 𝑦 −eksenine paraleldir.
 Bu tür dalgalar 𝑥𝑦 −düzlemine paralel olan bütün düzlemlerde aynı tür alanlara sahiptir ve DÜZLEM DALGALAR
⃗⃑ = 0 yazılabilir.
olarak tanımlanır. Dolaysıyla, elektrik ve manyetik alanlar birbirine diktir ve 𝐸⃗⃑ . 𝐵
 12a ve 12b dalga denklemlerinin genel çözümleri için
⃗⃑ . 𝑟⃑ − 𝑤𝑡)
𝐸⃗⃑ = 𝐸⃗⃑0 cos(𝑘
⃗⃑ . 𝑟⃑ − 𝑤𝑡)
⃗⃑ = 𝐵
⃗⃑0 cos(𝑘
𝐵
(31𝑎)
(31𝑏)
yazabiliriz.
8
Elektromanyetik Dalgalarda Enerji
⃗⃑ alanlarının bulunduğu bir boş uzay bölgesinde 𝑢 toplam enerji yoğunluğunun (𝐽⁄𝑚3 ) aşağıdaki bağıntıyla
𝐸⃗⃑ ve 𝐵
verildiğini biliyoruz (Temel Fizik II dersinde incelediniz):
1 𝐵2
1
𝑢 = 2 𝜖0 𝐸 2 + 2 𝜇
(1)
0
⃗⃑'nin büyüklükleri arasındaki bağıntının ise
Boşluktaki elektromanyetik dalgalar için 𝐸⃗⃑ ve 𝐵
𝐵=
𝐸
𝑐
= √𝜖0 𝜇0 𝐸
(2)
ile verildiğini de biliyoruz (denklem 2’yi 𝐸0 = 𝑐𝐵0 şeklinde de yazabiliriz.) Denklem (1) ve (2) birleştirilince,
boşluktaki basit bir elektromanyetik dalganın 𝑢 toplam enerji yoğunluğunu aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
1
2
𝑢 = 𝜖0 𝐸 2 +
1
(√𝜖0 𝜇0
2𝜇0
2
𝐸) = 𝜖0 𝐸 2
(3)
⃗⃑ manyetik
Bu denklemin gösterdiğine göre, boşlukta dalganın 𝐸⃗⃑ elektrik alanındaki enerji yoğunluğu, 𝐵
alanındaki enerji yoğunluğuna eşittir.
Elektromanyetik dalgada, elektrik alanın 𝐸 büyüklüğü konumun ve zamanın bir fonksiyonudur; o halde 𝑢 toplam
enerji yoğunluğu da konum ve zamana bağlıdır.
Elektromanyetik Enerji Akışı ve Poynting vektörü
Elektromanyetik dalgalar bir bölgeden diğerine enerji aktaran ilerleyen dalgalardır. Bu enerji aktarımını,
dalganın ilerleme doğrultusuna dik bir yüzey için, birim zamanda birim kesit alana aktarılan enerji veya birim
alandaki güç cinsinden tanımlayabiliriz.
Enerji akışı ile elektrik ve manyetik alan arasındaki ilişkiyi anlamak için, 𝑥 −eksenine dik olan ve herhangi bir
zamanda dalga cephesiyle örtüşen bir durgun düzlem düşünelim. Bir 𝑑𝑡 zamanından sonra, dalga cephesi
düzlemin sağına doğru 𝑑𝑥 = 𝑐 𝑑𝑡 mesafesi kadar ilerler. Bu durgun düzlem içinde bir 𝐴 yüzey alanını ele alırsak
(Şekil-4), bu alanın sağında bulunan uzaydaki enerjinin yeni konumuna ulaşmak için 𝐴 alanından daha önceden
geçmiş olması gerekir. Söz konusu bölgenin 𝑑𝑉 hacmi, 𝐴 taban alanı ile 𝑐 𝑑𝑡 mesafesinin çarpımına eşittir ve
bölgedeki 𝑑𝑢 enerjisi ise 𝑢 enerji yoğunluğuyla bu 𝑑𝑉 hacminin çarpımına eşittir:
𝑑𝑢 = (𝜖0 𝐸 2 )(𝐴 𝑐 𝑑𝑡)
(boşlukta)
(4)
Şekil-1
9
GÜÇ: Herhangi bir kapalı yüzeyden birim zamanda geçen toplam enerji akışı (yani güç, P) 𝑆’nin yüzey üzerinden
integraline eşittir.
𝑃 = ∮ 𝑆. 𝑑𝐴
(5)
 Bu enerji 𝐴 alanından 𝑑𝑡 zamanı içinde geçer. Birim zamanda ve birim alandan geçen enerji akışı (𝑺 olarak
tanımlanır) için aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz:
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑗𝑖/𝑧𝑎𝑚𝑎𝑛
𝐴𝑙𝑎𝑛
𝑆=
𝐺üç
= 𝐴𝑙𝑎𝑛 =
𝑑𝑢⁄𝑑𝑡
𝐴
= 𝜖0 𝑐𝐸 2
(6)
Bu değer 𝑆’nin anlık değeridir. Bu denklemi yeniden
𝑆=
𝝐𝟎
√𝜖0 𝜇0
𝐸2 =
√𝜖0 𝜇0 2
𝐸
𝜇0
=
(√𝜖0 𝜇0 𝐸)
𝐸
𝜇0
1
𝑆 = 𝜇 𝐸𝐵
(7)
0
şeklinde yazabiliriz.
 𝑆: "𝑏𝑖𝑟𝑖𝑚 𝑧𝑎𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑏𝑖𝑟𝑖𝑚 𝑎𝑙𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑔𝑒ç𝑒𝑛 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑗𝑖 = 𝑏𝑖𝑟𝑖𝑚 𝑎𝑙𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑜𝑟𝑡𝑎𝑦𝑎 ç𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑔üç" olarak tanımlanır.
 SI birim sisteminde 𝑆'nin birimi 𝑊 ⁄𝑚2'dir.
 Enerji akış hızının büyüklüğünü ve yönünü birlikte açıklayan bir niceliği tanımlayabiliriz.
𝑆⃑ =
1
𝐸⃗⃑
𝜇0
⃗⃑
×𝐵
(8)
𝑆⃑ vektörüne İngiliz fizikçi John Poynting'in (1832-1914) anısına Poynting vektörü denir. Vektör yönü şekil-1'de
⃗⃑ birbirine dik olduklarından
görüldüğü gibi dalga yayılma yönü ile aynıdır. 𝐸⃗⃑ ve 𝐵
1
⃗⃑|𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑆 = |𝑆⃑| = 𝜇 |𝐸⃗⃑ ||𝐵
0
𝜃 = 900 olduğunda
1
𝑆 = 𝜇 𝐸𝐵
(9)
0
dir.
Poynting Vektörünün Ortalaması:
Sinüzoidal ve diğer karmaşık dalgalar için, herhangi bir noktadaki elektrik ve manyetik alanlar ve dolayısıyla
Poynting vektörü zamanla değişir. Tipik elektromanyetik dalgaların frekansları çok yüksek olduğundan, Poynting
vektörünün zamanla değişimi çok hızlıdır. Bu nedenle onun ortalamasına bakmak daha uygundur.
𝑆’nin ortalama değerinin herhangi bir noktadaki büyüklüğüne o noktadaki ışımanın ŞİDDETİ denir.
Bir elektromanyetik dalganın şiddet ifadesini çıkaralım:
𝑆(𝑥, 𝑡) =
1
1
⃗ (𝑥, 𝑡) = [𝑗̂𝐸0 cos(𝑘𝑥 − 𝑤𝑡] × [𝑘̂ 𝐵0 cos(𝑘𝑥 − 𝑤𝑡]
𝐸⃗ (𝑥, 𝑡) × 𝐵
𝜇0
𝜇0
10
1
𝑆(𝑥, 𝑡) = 𝑖̂ [𝜇 𝐸0 𝐵0 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑘𝑥 − 𝑤𝑡)]
(10)
0
𝑆(𝑥, 𝑡) daima dalganın ilerleme yönündedir. Poynting vektörünü yeniden
1
𝐸 𝐵
2𝜇0 0 0
𝑆(𝑥, 𝑡) = 𝑖̂
[1 + cos 2(𝑘𝑥 − 𝑤𝑡)]
(11)
yazabiliriz. Bunun tam bir devir üzerinden ortalamasını alarak
1
𝑆𝑜𝑟𝑡 = 𝑖̂𝑆𝑜𝑟𝑡 = 𝑖̂ 2𝜇 𝐸0 𝐵0
(12)
0
elde edilir (cos 2(𝑘𝑥 − 𝑤𝑡)’in bir periyot üzerinden ortalaması sıfırdır). Bir sinüzoidal dalga için 𝑆’nin ortalama
değerinin büyüklüğü dalganın 𝐼 şiddetini verir ve 𝑆’nin maksimum değerinin yarısıdır.
𝐸0 = 𝑐𝐵0 ve 𝜖0 𝜇0 =
1
𝑐2
Bağıntılarını kullanarak, şiddeti birkaç eşdeğer biçimde ifade edebiliriz:
𝐼 = 𝑆𝑜𝑟𝑡 =
𝐸0 𝐵0
2𝜇0
𝐸2
1
𝜖
1
= 2𝑐𝜇0 = 2 √𝜇0 𝐸02 = (2 𝜖0 𝐸02 ) 𝑐
0
0
(13)
−𝑥 yönünde ilerleyen dalga için Poynting vektörü her noktada −𝑥 yönündedir ancak büyüklüğü +𝑥 ekseni
yönünde ilerleyen dalganın Poynting vektörünün büyüklüğü ile aynıdır.
Şiddet ifadesini 𝐸𝑟𝑚𝑠 =
𝐸0
√2
𝐼 = 𝑆𝑜𝑟𝑡 =
eşitliğini kullanarak
1
𝐸2
𝑐𝜇0 𝑟𝑚𝑠
(14)
şeklinde de yazabiliriz.
Madde İçindeki Elektromanyetik Dalgalar
Elektromanyetik dalgalar maddesel ortamda da yayılırlar (havada, suda, cam içinde yayılan ışığı biliyorsunuz).
Burada incelemelerimizi elektromanyetik dalgaların iletken olmayan yani dielektrik ortamlarda yayılması üzerine
yoğunlaştıracağız.
Boşlukta ilerleyen elektromanyetik dalgalar için kullandığımız yöntemi takip ederek, madde içinde ilerleyen
elektromanyetik dalgaların 𝑣 hızını bulabiliriz;
𝑣=
1
√𝜖𝜇
=
1
1
√𝑚 √𝜖0 𝜇0
=
𝑐
√𝑚
(15)
Burada  maddenin göreceli elektrik geçirgenlik sabiti ya da dielektrik sabiti, 𝜖 ise dielektrik geçirgenliğidir (𝜖 =
𝜖0 ). 𝑚 dielektriğin göreceli manyetik geçirgenlik sabiti, 𝜇’de manyetik geçirgenliğidir
(𝜇 =
𝑚 𝜇0 ). Yalıtkan malzemelerin çoğu için 𝑚 ’nin değeri 1 civarındadır (İletken ferromanyetik malzemeler hariç).
𝑚 ≅ 1 olduğu durumlarda, dalganın malzame içindeki hızı
𝑣=
1
1
√𝑚 √𝜖0 𝜇0
=
𝑐
√
(16)
olur.
11
Dielektrik malzemeler için  değeri her zaman 1’den büyük olduğundan (boşluk için  = 1) elektromanyetik
dalgaların dielektrik ortamlardaki hızı boşluktaki hızından daima
1
√
oranında küçüktür (𝑣 < 𝑐).
Boşluktaki 𝑐 hızı ile maddesel ortamdaki 𝑣 hızı arasındaki oran optikte malzemenin 𝑛 kırma indisi olarak bilinir.
𝑚 ≅ 1 olduğu durumlarda
𝑐
𝑣
= 𝑛 = √𝑚  ≅ √
(17)
dir. Bazı malzemelerin 20 ‘de  dielektrik sabitleri Tablo 1’de verilmiştir.
Maddenin dielektrik sabiti statik elektrik alanlarda ölçüldüğünden, Tablo 1’de verilen  değerlerini bu
denklemde kullanamayız. Alanlar hızla salındığından düzgün alanlarda oluşan elektrik dipollerin kısa bir süre
içinde yönlerini yeniden ayarlamaları mümkün değildir. Hızla değişen alanlardaki  değerleri genelde Tablo 1’de
verilen değerlerden çok küçüktür. Örneğin suyun  katsayısı tablo 1’de 80.4 olarak veriliyor, fakat görünür ışık
frekans aralığında sadece 1.80 civarında değerler alır. Bu nedenle, dielektrik sabiti  aslında frekansın bir
fonksiyonudur ve ileri seviyedeki incelemelerde dielektrik fonksiyonu olarak bilinir.
Tablo 1. Bazı malzemelerin 20 ‘de  dielektrik sabitleri
Malzeme
Vakum (boşlu)
Hava (1 atm)
Hava (100 atm)
Teflon
Polietilen
Benzen
Mika

1
1.00059
1.0548
2.1
2.25
2.28
3-6
Malzeme
Polivinil klorür
Pleksiglas
Cam
Neopren
Germanyum
Gliserin
Su

3.18
3.40
5-10
6.7
16
42.5
80.4
Bazı malzemelerin kırma indisleri aşağıdaki Tabloda verilmiştir.
12