Kesikli ve Sürekli Da**l*mlar

Kesikli ve Sürekli Dağılımlar
Bu Bölümde İncelenecek Konular
 Kesikli dağılımlar
–Binom Dağılımı
–Poisson Dağılımı
 Sürekli dağılım
–Normal dağılım
Binom dağılımı-Koşullar
 Bir deneyde iki sonuç vardır. Başarılı olma
olasılığı p, başarısız olma olasılığı (1-p)=q
olarak tanımlanır.
 Deney boyunca yapılan n adet deneme,
aynı koşullar altında gerçekleştirilir.
 Başarılı olma olasılığı (p) ve başarısızlık
olasılığı (q) her deneme için aynıdır.
 Denemeler birbirinden bağımsızdır.
 Deneme boyunca n sabit kalır.
Örnekler
 3 çocuklu ailelerde kız çocuğu
sayısının dağılımı
 Bir paranın 4 kez atılmasında yazının
üste gelmesinin dağılımı
 Bir kitlede beslenme bozukluğu
oranının 0,03 olduğu biliniyor, 10’arlık
guruplarda beslenme bozukluğu olan
kişi sayısının dağılımı
Dağılımın Elde Edilmesi
Örnek : Bir hastanede servislerden
memnuniyetsizliğin oranı 0,10’dur.
4 kişilik bir odada iki kişinin şikayet
etme olasılığını bulunuz
Odalarda bulunan hasta sayısına n,
Şikayet sayısı olan X’in aldığı değerlere de x denilirse,
X’in olasılık fonksiyonu;
n x
n x

P( X  x )  
p
(
1

p
)
,
x
 
x  1,2,3,..., n
Olarak, ya da
n!
P( X  x ) 
p x q n x , x  1,2,3,..., n
x!(n  x )!
olarak da verilebilir.
Örnek:
Dört kişilik bir odada iki kişinin şikayet etme
olasılığı,
4!
2
42
P(X  2) 
0,10 0,90
 0,0486
2! (4  2)!
Binom Dağılımının Karakteristikleri
Ortalama
μ  E(x)  np
 Varyans ve standart sapma
σ 2  npq
σ  npq
Örnek:
 5 çocuklu ailelerde erkek çocuk sayısına
ilişkin dağılımı oluşturunuz ve aşağıdaki
soruları cevaplayınız. (erkek çocuk sayısı X,
ailede erkek çocuğu olma olasılığı ise
p=1/2’dir)
a) 3 ve daha az erkek çocuk olması olasılığı
nedir?
b) 2 den daha çok erkek çocuk olma
olasılığı nedir?
Erkek Çocuk Sayısı (X)
P(X  x ) 
n!
p x q n x
x!( n  x )!
 1


 2
5
4
1
 5  1   1 

1
 2   2 
 

 
2
 5  1   1 

 2
 2   2 
 

 
3
 5  1   1 

 3
 2   2 
 

 
4
 5  1 

 4
 2 

 
0
 5  1 

 0
 2 

 
0
1
2
 0,3125
5
5
2
 0,3125
1
1


2


 5  1   1 

 5
 2   2 
 

 
 0,1563
3
3
4
 0,0313
 0,1563
0
 0,0313
a) 3 ve daha az erkek çocuk olması
olasılığı nedir?
P(X3)=P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3)=
0,0313+0,1563+0,3125+0,3125=0,8126
b) 2 den daha çok erkek çocuk olması olasılığı
nedir?
P(X>2)= P(X=3)+ P(X=4)+ P(X=5)=
0,3125+0,1563+0,0313=0,5001
Örnek
 Kapıdan satış yapan bir satıcının satış
yapma olasılığı %10’dur. Bu satıcı 5 kapıya
gidiyor.
a)Dağılımın ortalamasını, varyansını ve
standart sapmasını bulunuz
b)Satıcının gittiği 5 kapıdan 3’üne satış yapma
olasılığını bulunuz
c)En fazla 4 kapıya satış yapma olasılığını
bulunuz.
örnek
a)
μ  E(x)  np  5.0,1  0,5
σ  npq  5.0,1.0,9  0,45
2
b)
5!
3
53
P( X  3) 
0,10 0,90  0,0081
3!(5  3)!
örnek
c)
P(X4)=P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3)+P(X=4)
P(X4)=1-P(X=5)
5!
5
55
P( X  5) 
0,10 0,90  0,0001
5!(5  5)!
P(X4)=1-0,0001=0,9999
Poisson Dağılımı
 Belli bir zaman aralığında, belli bir alanda ya da
hacimde nadir rastlanan olayların olasılık
dağılımları Poisson dağılımı ile modellenebilir.
Örnekler
 Üretim bandından yeni çıkmış bir parti aracın
boyalarındaki kusurların sayısı
 Alıcı firmaya bir partide yapılan yüklemelerdeki
kusurlu mal sayısı
 Bir lokantada belirli bir sürede hizmet edilmeyi
bekleyen müşteri sayısı
 Bir kavşakta bir ay içinde meydana gelen ölümcül
trafik kazalarının sayısı
 Gişelerden belirli bir zaman aralığında geçen araç
sayısı
Poisson Dağılımı
 Varsayımlar
– İhtimal aralığın genişliğine bağlıdır. Aralık
arttıkça ihtimal artar.
– Bir aralıkta olayların meydana gelme sayısı
diğer aralıkta meydana gelme sayısını
etkilemez
– Verilen çok küçük bir zaman veya mekan
diliminde ilgilenilen türden sonucun bir defada
gerçekleşme olasılığı (p) değişmemekte ve
p<0,05 eşitsizliğine uymaktadır.
Poisson dağılımının ortalaması ve varyansı aynı
olup tek bir parametresi vardır ve bu parametre 
ile gösterilir.
X Poisson raslantı değişkeninin olasılık fonksiyonu,
( ) e
P( X  x) 
x!
x

olarak tanımlanır. Burada,
e=2,71828
x=belirli bir aralıkta ilgilenilen olay sayısı,
=belirli bir aralıkta ilgilenilen olayın ortalama
oluş sayısı
Poisson Dağılımının Karakteristikleri
 Dağılıma ilişkin ortalama,
E(X)= ==np
 Dağılıma ilişkin varyans,
2==np
 Dağılıma ilişkin standart sapma,


Örnekler
 Northwest havayolları firmasının yaptığı ve
tesadüfi olarak alınmış 1000 uçuşta 300
bagajın kaybolduğu bulunmuştur.
a)Hiç bagaj kaybetmeme ihtimali nedir?
b)1 bagaj kaybetme ihtimali nedir?
Örnekler
 Ortalama kayıp bagaj sayısı=300/1000=0,3
a)
b)
0
0 , 3
1
0 , 3
(0,3) e
P( X  0) 
0!
(0,3) e
P( X  1) 
1!
 0,7408
 0,2222
Örnekler
Bir sağlık ocağına bir yılda gelen yaşlı ve
sosyal yardım isteyen hastaların
ortalama sayısı 20 olsun.
a)Üç ayda gelecek hasta sayısı ortalama
olarak nedir?
b)üç ayda 1 hasta gelme olasılığı nedir?
Örnekler
 Burada 3 aylık zaman dilimi bir yılın ¼’üdür.
[t=12(1/4)=3]
 t=1 yıl iken =20,
 t=1/4 ay iken t=201/4=5 olur.
 3 ayda1 hasta gelme olasılığı,
1 5
(5) e
P(X  1) 
 0,0337
1!
Örnekler
Yılda 2000 dosyanın kayıtlara geçtiği bir
hastanede hatalı bilgi içeren dosyalarda
ortalama hata sayısı =0,4 olup Poisson
dağılımına uymaktadır.
Bir sosyal hizmetler kurumunda bir yıl içinde
tutulan dosyalarda,
a) hiç hatalı bilgi içermeyen,
b) 1 hata içeren,
c) 2 hata içeren,
d) 3 hata içeren dosyaların bulunma olasılıklarını
ve 2000 dosyada kaç tane bulunacağını
hesaplayınız.
Örnekler
(0,4) 0 e 0, 4
P(Hiç hata içermeme ) 
 0,6703
0!
0,670320001340 adet
(0,4)1 e 0, 4
P(1hata içerme ) 
 0,2681
1!
0,26812000536 adet
2
(0,4) e
P(2 hata içerme ) 
2!
0, 4
 0,0536
0,05362000107 adet

(0,4) 3 e 0, 4
P(3 hata içerme ) 
 0,0072
3!
0,0072200014 adet

Poisson birikimli olasılık tablosu

0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
0.9048
0.0905
0.0045
0.0002
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.8187
0.1637
0.0164
0.0011
0.0001
0.0000
0.0000
0.0000
0.7408
0.2222
0.0333
0.0033
0.0003
0.0000
0.0000
0.0000
0.6703
0.2681
0.0536
0.0072
0.0007
0.0001
0.0000
0.0000
0.6065
0.3033
0.0758
0.0126
0.0016
0.0002
0.0000
0.0000
0.5488
0.3293
0.0988
0.0198
0.0030
0.0004
0.0000
0.0000
0.4966
0.3476
0.1217
0.0284
0.0050
0.0007
0.0001
0.0000
0.4493
0.3595
0.1438
0.0383
0.0077
0.0012
0.0002
0.0000
0.4066
0.3659
0.1647
0.0494
0.0111
0.0020
0.0003
0.0000
X
0
1
2
3
4
5
6
7
Örneğin:  = .50 için P(x = 2)
( ) x e  (0.50) 2 e0.50
P( x  2) 

 .0758
x!
2!
Örnekler
 Ayşe hanım bir bankada kredilerden
sorumlu müdürdür. Yılların verdiği
tecrübeyle kredi alan birisinin geri ödememe
ihtimalinin %5 olduğunu biliyor. Geçen ay 40
krediye onay vermiştir.
 3 kredinin geri ödenmeme ihtimali nedir?
Cevap: a)0,0613