köklerden biri diğerinin işaretlisidir. yani kökler toplamı 0

SORU
1  a2
(a  1)x  (
)x  b  0
a
simetrik iki kök demek;
2
köklerden biri diğerinin  işaretlisidir.
yani kökler toplamı 0 dır.
ax 2  bx  c  0 şeklindeki denklemin kökler
b
ile bulunur. Buna göre;
a
1  a2
(1  a)(1  a)
a 0 
a
0
a1
a1
toplamı: 
1

(1  a) (1  a)
a

1
0
a1
(1  a)
  0  a=  1 buluruz.
a
Doğru Cevap : B şıkkı

SORU
www.matematikkolay.net
x 2  2x  0  x(x  2)  0
x  0 veya x  2 dir. Bu değerleri 2.denklemde
kullanalım.
x  0 için  x 2  xy  2y 2  8
 02  0.y  2y 2  8  y 2  4
 y  2 veya y  2 dir.
x  2 için  x 2  xy  2y 2  8
 22  2.y  2y 2  8  4  2.y  2y 2  8
 2y 2  2y  4  0  y 2  y  2  0
 (y  2)(y  1)  0  y  2 veya y  1 dir.
y'nin alabileceği farklı değerler :  2, 1 ve 2
Toplamı  2  (1)  2  1 buluruz.
SORU
www.matematikkolay.net
3
tür.
x
Bunu 2.denklemde kullanalım.
1 1 2
1 1 2
1 x 2
 
 


 
x y 3
x 3 3
x 3 3
x
2
3x
2


 3  x 2  2x  3  2x  x 2  0
3x
3
x.y  3  y  
1
x  2x  3  0  (x  3)(x  1)  0
x  3 veya x  1 dir.
x  3 için y  1 ; x  1 için y  3 tür.
Ç.K.  {(3,1),(1, 3)} buluruz.
2
SORU
2x  y  6 ise 2x  6  y dir.
1.denklemde y'nin yerine bunu yazalım.
y2  8x  (2x  6)2  8x
 4x 2  24x  36  8x
 4x 2  32x  36  0
(Her tarafı 4'e bölelim)
 x  8x  9  0
2
b


2
 Not : ax  bx  c  Kökler toplamı=  dır. 
a


b
8
 Kökler toplamı    
 8 buluruz.
a
1
www.matematikkolay.net
SORU
x 2  xy  y 2  20
 x 2  xy  y 2  10
2x 2  2y 2  30
x 2  y 2  15 dir. (1)
x 2  xy  y 2  20
- x 2  xy  y 2  10
2xy  10
(2)
(1) ve (2) eşitliklerini toplarsak;
x 2  2xy  y 2  25
(x  y)2  25
x  y  5 buluruz.
SORU
www.matematikkolay.net
İki fonksiyonu birbirine eşitleyerek kesiştikleri noktaları
bulalım.
x 2  |3x  4|
Mutlak değerinin içinin negatif olup
olmamasına göre iki farklı durum vardır.
4
x   ise
3
2
x  3x  4
x 2  3x  4  0
(x  4)(x  1)  0
x  4 veya x  1 dir.
4
ise
3
x 2   (3x  4)
x
x 2  3x  4  0
  b2  4ac  9  4.1.4  7  0  reel kök yok.
Sadece x  4 ve x  1 noktasında kesiştiler.
Toplamları  4  (1)  3 buluruz.
SORU
www.matematikkolay.net
2
3
1
3
x x 2  0
a a2  0
2
1
3
; x  a diyelim.
olur.
(a  2)(a  1)  0
a  2 veya a  1 dir.
1
3
a  2 ise x  2  x  8
1
a  1 ise x 3  1  x  1
Toplamları  8  (1)  7 buluruz.
SORU
www.matematikkolay.net
Uzun kenara x, Kısa kenara da y diyelim.
İç kısımdaki dikdörgenin kenarları (x  6) ve (y  4) olur.
Tüm sayfa  580 ise x.y  580
İç kısmın alanı  368 ise
(x  6)(y  4)  368
xy  4x  6y  24  368
580  4x  6y  24  368
4x  6y  236 dir.
2x  3y  118
118  2x
3
118  2x
xy  x 
 580
3
118x  2x 2  1740
y
2x 2  118x  1740  0
x 2  59x  870  0
(x  29)(x  30)  0
x  29 veya 30 olabilir.
118  2x 118  60 58


tam sayı değil
3
3
3
118  58 60
x  29 için y 

 20 tam sayıdır.
3
3
Doğru Cevap : A şıkkı
x  30 için y 
SORU
www.matematikkolay.net
iki kök birbirine eşit ise; denklemin çift katlı kökü
vardır, yani   0 dır.
  b2  4ac  0
(a  2)2  4.a.2  0
a2  4a  4  8a  0
a2  4a  4  0
(a  2)2  0
a  2 dir.
b (a  2) (2  2) 4
Kök 



 1 buluruz.
2a
2a
2.2
4
SORU
x  3 x 1

 0 (Payda eşitleyelim)
x 1 x 2
(x 2)
(x 1)
x  5x  6
x 2  2x  1

0
(x  1)(x  2) (x  1)(x  2)
2
2x 2  3x  7
 0 (pay kısmı 0 olmalı)
(x  1)(x  2)
2x 2  3x  7  0
www.matematikkolay.net
b 3

a
2
c 7
Kökler çarpımı  
a 2
Bunların toplamını da
3 7 4
   2 buluruz.
2 2 2
Kökler toplamı 
SORU
x1
 x1  1 x 2 yi karşı tarafa çarpım olarak atalım.
x2
x1  x1  x 2  x 2
x1  x 2  x1  x 2
Kökler toplamı
Kökler çarpımı
(a  7) 7

1
1
a7  7

a  14 buluruz.
www.matematikkolay.net
SORU
İki denklemi birbirine eşitleyerek ortak kökü bulalım.
x 2  mx  10  x 2  2x  5m
mx  2x  5m  10
x (m  2)  5 (m  2)
x  5 kökü ortaktır.
x  5 için x 2  mx  10  0 denklemini çözelim
52  5m  10  0
25  5m  10  0
35  5m  0
m  7 buluruz.
SORU
www.matematikkolay.net
x 2  mx  8  0 denkleminin kökleri a ve b olsun.
Kökler çarpımı;
a  b  8 dir.
x  nx  6  0 denkleminin kökleri a ve c olsun.
Kökler çarpımı; a  c  6 dir.
2
a  b  8
a  c  6
 b ve c pozitif ve aralarında asal ise b  4, c  3 olur.
 a tam sayısı da  2 dir.
x 2  mx  8  0 denklemini x  2 sağlıyorsa m'yi
bulalım.
(2)2  2m  8  0
4  2m  8  0
2m  4  0
m  2 buluruz.
SORU
Kökler toplamı x1  x 2  
x1  x 2  4
-/ x1  2x 2  7
4
 4 tür.
1
taraf tarafa çıkaralım
3x 2  4  7
3x 2  3
x 2  1 dir.
1 denklemi sağlayan bir kök olduğuna göre denklemde yerine yazalım.
x 2  4x  c  0
www.matematikkolay.net
 (  1)2  4(1)  c  0
14 c  0
c  5 buluruz.
SORU
3x 2  xy  3y 2
5
y2
kesri parçalayalım.
3x 2 xy 3y 2
 
5
y2 y2 y2
2
x x
3    3  5
y y
3a2  a  3  5
x

  a diyelim 
y

3a2  a  2  0
Kökler toplamı  
1
3
x
1
değerlerinin toplamı  tür.
y
3
x
1
y
  x
buluruz.
y
3
3
www.matematikkolay.net
SORU
x 2  3x  2m  0
c
Kökler çarpımı  x1  x 2   2m dir.
a
2m
2
x x 2
2m  2
 1 ise 1 2
1 
1
x2
x2
x2
x 2  2m  2
x1 
Soruda verilen denklemde x, yerine 2m  2 yazarsak
denklem sağlanır.
(2m  2)2  3(2m  2)  2m  0
4m2  8m  4  6m  6  2m  0
4m2  4m  2  0
Kökler toplamı 
b 4

 1 buluruz.
a
4
SORU
www.matematikkolay.net
2a  b  1  2a  1  b dir.
Denklemde b'nin a cinsinden değerini yazalım.
ax 2  bx  2  0
ax 2  (2a  1)x  2  0
ax 2  2ax  x  2
ax(x  2)  (x  2)  0
(x  2)(ax  1)  0
0
x  2 denklemin bir köküdür.
SORU
x 2  ax  2b  0
x  3 için 32  3a  2b  0
9  3a  2b  0
9  3a  2b dir.
b  3 için a  5
b  6 için a  7
.....
 b, 3'er 3'er azalırken a sayısı 2'şer 2'şer artar.
Buna göre a sayısı 1,3,5,7,9 gibi tek tam sayı değer lerini alıyor. Bunu sağlayan şık C şıkkıdır.
Cevap : C şıkkı (5)
www.matematikkolay.net
SORU
x 2  6x  n  0 denkleminde
6
kökler toplamı x1  x 2  
 6 dır.
1
x1  3x 2  14
- / x1  x 2  6
 4x 2  8  x 2  2 dir.
x 2  2 değerini denklemde yerine yazalım.
x 2  6x  n  0  (2)2  6  (2)  n  0
4  12  n  0
n  16 buluruz.
SORU
www.matematikkolay.net
2
2
2
2
3  45
 2 
x    x   
x 
x
4

3   2  45

x   x   
x 
x
4

3
2 
3
2  45

 x   x   x   x   
x
x 
x
x 4

1  5  45

 2x    
x  x  4

5 45
10  2 
x
4
5 45
  10
x2 4
5 5

 x 2  4  x  2 veya  2 dir.
x2 4
www.matematikkolay.net