bazı önemli kesikli değişken dağılımları bazı kesikli olasılık dağılımları

Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
BAZI ÖNEMLİ KESİKLİ
DEĞİŞKEN DAĞILIMLARI
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
BAZI KESİKLİ OLASILIK
DAĞILIMLARI
1. DÜZGÜN (UNIFORM) DAĞILIM
2. BİNOM (BINOMIAL) DAĞILIM
3. GEOMETRİK DAĞILIM
4. NEGATİF BİNOM DAĞILIM
5. HİPERGEOMETRİK DAĞILIM
6. POISSON DAĞILIMI
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
DÜZGÜN (UNIFORM) DAĞILIM
Her bir değerin eşit olasılığının olduğu sınırlı kesikli değişken
değerlerinin dağılımı
ÖRNEK:
Bir piyango bileti çekilişinde ilk rakamın (0,1,2,...,9) olma olasılığı dağılımı
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
BİNOM (BINOMIAL) DAĞILIM
1. Bir para 10 kez atılsın. X rasgele değişkeni gözlenen turaların sayısıdır.
2. İçinde 8 siyah ve 4 beyaz top bulunan bir kavanozdan tekrar yerine
koyarak 3 top çekilsin. X rasgele değişkeni çekilen siyah topların
sayısıdır.
3. Çoktan seçmeli 10 soruluk test ve her soru 4 seçenekli ve soruların
cevaplarını tahmin ediyorsun. X rasgele değişkeni doğru cevap verdiğin
soruların sayısı
Bir deneme için sadece iki sonuç varsa buna Bernoulli denemesi denir.
Bir birinden bağımsız n Bernoulli denemesinden başarılı olanların
toplam sayısı X rasgele değişkeni olsun. Bir tek deneme için
başarılı olma olasılığı p, başarısız olma olasılığı 1-p ise ve koşulları
sağlayan X’e binom rasgele değişkeni denir.
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
BİNOM (BINOMIAL) DAĞILIM
• Denemeler birbirlerinden bağımsızdırlar.
• Her bir deneme için yalnız iki sonuç vardır.
• Bir tek deneme için başarı olasılığı olan p her deneme için aynıdır.
ÖRNEK SORU:
Örnek olarak alınan suda organik kirlilik olma olasılığı %10’dur.
10 adet alınan örnekten bir, beş veya dokuz tanesinin kirlilik içerme
olasılığı kaçtır?
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
BİNOM (BINOMIAL) DAĞILIM
CEVAP :
n = 10 ve p=%10=0,1
x = 1, 5 ve 9
10 
f (1)   (0.1)1 (0.9) 9
1
10 
f (5)   (0.1) 5 (0.9) 5
5
10 
f (9)   (0.1) 9 (0.9)1
9
P(x=1)= f(1)= 0,387
P(x=5)= f(5)= 0,0015
P(x=9)= f(9)= 0,000000009
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
BİNOM (BINOMIAL) DAĞILIM
Tüm x değerleri için su örneklerinin kirli çıkma olasılığının dağılım grafiği
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
BİNOM (BINOMIAL) DAĞILIM
ÖRNEK:
Çoktan seçmeli 25 soruluk ve 4 seçenekli bir sınavda, bir öğrenci tüm
soruları tahmin ederek yapmaya çalışırsa,
a) Öğrencinin 20 ve üzerinde soruyu doğru yapma olasılığı nedir?
b) Öğrencinin 5 doğrudan az bilme olasılığı nedir?
CEVAP: a)
P X  20 
 25 
x  20 x 
25
x
25 x
  0.25 0.75
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
BİNOM (BINOMIAL) DAĞILIM
ÖRNEK:
Çoktan seçmeli 25 soruluk ve 4 seçenekli bir sınavda, bir öğrenci tüm
soruları tahmin ederek yapmaya çalışırsa,
a) Öğrencinin 20 ve üzerinde soruyu doğru yapma olasılığı nedir?
b) Öğrencinin 5 doğrudan az bilme olasılığı nedir?
CEVAP: b)
4  25 
x
25  x
P X  5    0.25 0.75 
x 0  x 
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
GEOMETRİK DAĞILIM
Bir deneyin bağımsız Bernoulli denemelerinden oluştuğunu kabul eder ve ilk
“başarıyı” elde edinceye kadar bağımsız denemeleri yapmaya devam edersek,
ilk başarının elde edilmesi için gereken denemelerin sayısı geometrik rasgele
değişkendir.
Örnek : Bir para tura gelinceye kadar atılsın. X ilk turayı bulmak için
gereken atışların sayısı olsun. X geometrik rasgele değişkendir.
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
ÖRNEK:
GEOMETRİK DAĞILIM
Bir baytlık bilginin dijital aktarım kanalında aktarımı sırasında hata olma
olasılığı %10’dur. X ilk hata bulunana kadar geçen bayt sayısı olsun.
a) İlk 2 baytın doğru ve dolayısıyla 3. baytın hatalı olma olasılık fonksiyonu nedir?
b) İlk 3 baytın doğru ve dolayısıyla 4. baytın hatalı olma olasılık fonksiyonu nedir?
x  3  P( X  3)  (1 0.1)31(0.1)  0.081
x  4  P( X  4)  (1 0.1)41(0.1)  0.0729
x  3  f (3)  (1 0.1)31(0.1)  0.081
x  4  f (4)  (1 0.1) 41(0.1)  0.0729
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
NEGATİF BİNOM DAĞILIM
Negatif binom dağılımı, geometrik dağılımın genel şeklidir. Bir deneyin
bağımsız Bernoulli denemelerinden oluştuğunu kabul eder ve bu deneye “r”
başarı elde edinceye kadar devam edersek, r başarının elde edilmesi için
gereken denemelerin sayısı negatif binom rasgele değişkendir.
Örnek : 3 kere tura gelinceye kadar bir paranın devamlı olarak atılması.
Bu taktirde X, 3 tura elde etmek için gereken atışların sayısı negatif binom
ragele değişkenidir.
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
NEGATİF BİNOM DAĞILIM
ÖRNEK:
Bir baytlık bilginin dijital aktarım kanalında aktarımı sırasında hata olma
olasılığı %10’dur. 5’inci hatayı bulunana kadar geçen bayt sayısının
olasılık fonksiyonu nedir?
r
40 1
405 (0.1)5
(1 0.1)
 5 1 



P( X  40)  
40 1
405 (0.1)5
(1 0.1)
 5 1 



f (40)  
39 
35
5
(0.9) (0. 1)  0.0206
 4 



 
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
HİPERGEOMETRİK DAĞILIM
• Bir kutuda 4 kusurlu, 8 kusursuz parça vardır. Çekileni yerine koymadan
3 parça çekiliyor. Bu halde X rasgele değişkeni “çekilen kusurlu parçaların
sayısı” hipergeometrik rasgele değişkendir.
• Bir grupta 25 erkek, 15 kadın vardır. Bu gruptan 15 kişilik bir örneklem
seçiliyor (yerine koymaksızın). X rasgele değişkeni “seçilen kadınların sayısı”
hipergeometrik rasgele değişkendir.
N : toplam denek sayısı
n : seçilen denek sayısı
K : başarılı denek sayısı
N-K : başarısız denek sayısı
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
HİPERGEOMETRİK DAĞILIM
Günde 50 araba üreten bir fabrikada arabalardan 3’ü arızalı çıkıyor.
Rasgele seçilen 5 arabadan 1’nin ve 2’sinin bozuk çıkma olasılığı nedir?
P( X
 3    50  3 
 1   5  1   0.25
 1) 
 50 
5
P( X
 3    50  3 
 2   5  2   0.023
 2) 
 50 
5
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
POISSON DAĞILIMI
Bu dağılım adını Fransız matematikçisi Simeon Denis Poisson(1781-1840) dan
almıştır. Pek çok deneyler sürekli bir zaman aralığında, bir alanda(bölgede),
ya da hacimde, bir olayın (başarının) sayılması sonucunda 0,1,2,3,…değerlerinin
verilmesiyle oluşur. Birim zaman: dakika, saat, gün, hafta; birim uzay, uzunluk,
hacim olabilir.
Örnekler:
Bir hava alanına her saat inen uçakların sayısı.
Bir üretim malındaki kusurların sayısı
Bir kitabın her bir sayfasındaki yazım hatalarının sayısı
Yrd.Doç.Dr. Emre YALAMAÇ
POISSON DAĞILIMI
Bir bakır telden poisson dağılımlı ortalama milimetrede 2 birimlik akış
olmaktadır. Milimetrede 3 birim akışın olma olasılık fonksiyonu nedir?
= 2 ve x =3
e  2  23
P( X  3) 
 0.18
3!
e 2 23
f (3) 
 0.18
3!