Norton Teorem

i6 =2i
i
ik1 =cos2t
Vk2 =sin(3t+15)
R1
C6
ik1
L3
R2
C5
+
-
Vk2
R1 = R1 = 1 ohm
C4 = C 5 = 1 F
L 3 =1 H
V6(t) gerilimini belirleyiniz.
Teorem: (Çarpımsallık)
Lineer direnç, kapasite, endüktans elemanları+Bağımsız kaynaklar
Lineer direnç, kapasite, endüktans elemanları elemanları +Bağımsız
~ ~
kaynakların değeri k katına çıkarılsın ve devre çözülsün
I ,V
I ,V
~
I  kI
~
V  kV
Thevenin (1883) ve Norton (1926) Teoremleri
Amaç: Lineer, zamanla değişmeyen çok uçlu, iki uçlu direnç kapasite
endüktans ve bağımsız akım ve gerilim kaynaklarından oluşmuş bir N 1kapılısının basit bir eşdeğerini elde etmek.
Thevenin Eşdeğeri:
i
+
N
1-Kapılısı v
_
ZTH

+
_
VTH
i
+
v
_
ZTH Thevenin eşdeğer empedansı
VTH Açık devre gerilimi
Devredeki tüm bağımsız kaynaklar
devre dışı iken 1-1’ uçlarından görülen
eşdeğer empedans
1-1’ uçları açık devre iken 1-1’ uçları arasındaki
gerilim
Thevenin Teorem: N 1-kapılısının uçlarına i değerinde bir akım kaynağı
bağlandığında tüm i değerleri için tek çözümü varsa ( tek v değeri
belirlenebiliyorsa) Thevenin eşdeğeri vardır.
Norton Eşdeğeri:
i
+
N
1-Kapılısı v
i

_
GN Norton eşdeğer admitansı
+
IN
YN
v
_
Devredeki tüm bağımsız kaynaklar devre
dışı iken 1-1’ uçlarından görülen eşdeğer
admitans
iN Kısa devre akımı
1-1’ uçları kısa devre iken 1-1’ uçlarındaki akım
Norton Teorem: N 1-kapılısının uçlarına v değerinde bir gerilim kaynağı
bağlandığında tüm V değerleri için tek çözümü varsa ( tek I değeri
belirlenebiliyorsa) Norton eşdeğeri vardır.
• Thevenin Eşdeğeri:
V  ZTH I  VTH
N kapılısı akım kontrollü değilse Thevenin eşdeğeri yok
• Norton Eşdeğeri:
I  YNV  I N
N kapılısı gerilim kontrollü değilse Norton eşdeğeri yok
•
•
ZTH  0, V  0
YN  0, I  0
VTH
IN  
ZTH
VTH
IN

YN
ZTH  0,
Norton eşdeğeri yok
YN  0, Thevenin eşdeğeri yok
L6
R7
i2
İ2=İ3
i3
+
V2=0
+
v2
v3
A
L4
R5
ik (t )  3 cos t
R7  R5  1
L4  L6  1H
ik
-
A-B uçlarından sola
bakıldığında görülen
devrenin Thevenin
eşdeğerini SSH’de elde
ediniz.
B
Hatırlatma
1
cos 2 x  (1  cos 2 x) *
2
cos( x  y )  cos x cos y  sin x sin y **
2 cos x cos y  cos( x  y )  cos( x  y ) ***
SSH’de Güç ve Enerji Kavramları
Tüm akım ve gerilimler “w” frekanslı sinüsoidaller
Ani Güç ve Ortalama Güç
R 2- uçlu direnç elemanı
iR (t )  I m cos( wt   I )
I R  I me j I
Kaynak tarafından dirence aktarılan güç:
p(t )  vR (t )iR (t )  RI m cos( wt   I ) I m cos( wt   I )
1
* bağıntısından
p(t )  vR (t )iR (t )  RI m2 [1  cos 2( wt   I )]
2
2
2
Ani güç T 
peryodu boyunca iki kere 0 ve RI m arasında değişiyor
w
T
1
1 2
Bir peryod boyunca ortalama güç: port   p (t ) dt  RI m
T0
2
C kapasite elemanı
vc (t )  Vm cos( wt  v )
VC  Vme jv
IC  jwCVC  jwCVme jv
ic (t )  Re[ jwCVme jv e jwt ]  Re[ jwCVm (cos( wt  v )  j sin( wt  v ))]
 Re[ jwCVm cos( wt  v )  wCVm sin( wt  v )]

ic (t )  wCVm cos( wt  v  )
2
Kaynak tarafından kapasiteye aktarılan güç:

pc (t )  vc (t )ic (t )  Vm cos( wt  v ) wCVm cos( wt  v  )
2
1


2
*** bağıntısından
pc (t )  wCVm {cos[ 2( wt  v )  ]  cos }
2
2
2
1

 wCVm2 cos 2( wt   v  )
2
4
1
1
2
2
2
Ani güç T 
peryodu boyunca iki kere  wCVm ve wCVm arasında
2
2
w
değişiyor
T
1
port   p(t )dt  0
Bir peryod boyunca ortalama güç:
T0
L endüktans elemanı
Kapasite için elde edilen bağıntılara benzer şekilde
Kaynak tarafından kapasiteye aktarılan güç:
p L (t ) 
1

wLI m2 cos 2( wt   I  )
2
4
Bir peryod boyunca ortalama güç:
T
port
1
  p(t )dt  0
T0
1-Kapılı
i
+
G
v
_
N-Devresi
SSH
v(t )  V
i (t )  I
T anında G kaynağı tarafından N devresine aktarılan ani güç:
p(t )  v(t )i(t )  Vm cos( wt  v ) I m cos( wt  i )
*** bağıntısından
1
1
p(t )  Vm I m cos(v  i )  Vm I m cos( 2wt  v  i )
2
2
T
Bir peryod boyunca ortalama güç: port
1
1
  p(t )dt  Vm I m cos(v  i )
T0
2
port
1
 Vm I m cos(v  i )
2
Ortama güç v(.),i(.) sinüsoidallerinin sadece genliğine değil fazına da bağlı
cos(v  i ) Güç faktörü (güç çarpanı) olarak adlandırılır
V=ZI bağıntısı ile belirlenen N 1-kapılısına ilişkin giriş empedans
fonksiyonu Z’ye ilişkin faz  Z  v  i ‘dir.
port  0   Z  90
port
port
1
1 2
 Vm I m cos  Z  I m Re( Z )
2
2
1
1 2
 Vm I m cos Y  Vm Re(Y )
2
2
Kompleks Güç
i
1-kapılı N devresine G kaynağı
tarafından aktarılan kompleks güç:
+
G
v
_
N-Devresi
SSH
1
P ̂ VI
2

V  Vme jv
I  I me ji
1
1
P  Vm I m cos(v  i )  j Vm I m sin( v  i )
2
2
port
Q
P  port  jQ
Aktif Reaktif
Güç
Güç
[Watt] [VAR]
[VAR]-VoltAmperReaktif
port
1
 Vm I m
2
Q0
port  0
1
Q   Vm I m
2
port  0
1
Q  Vm I m
2
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York
Kompleks Gücün Sakınımı
KAY+KGY
Tellegen
Teoremi
Herhangi bir devrede enerji sakınımı geçerlidir
Teorem: Hep aynı w frekanslı sinüsoidal kaynaklarla sürülen lineer zamanla
değişmeyen devrenin SSH’de çalıştığını varsayalım. Kaynaklar
tarafından devreye aktarılan kompleks güçlerin toplamı devredeki
elemanlar tarafından çekilen kompleks güçlerin toplamına eşittir.
Tanıt:
V1,V2 ,V3 ,....,Vne KGY’yi sağlayan
I1, I 2 , I3 ,...., I ne
gerilim fazörleri
KAY’yi sağlayan
akım fazörleri
 AI  0  AI  0
1 ne
Tellegen teoreminden  Vk I k  0
2 k 1
1
1 ne
  V1I1  Vk I k
2
2 k 2
KAY
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York