Slayt Başlığı Yok

İŞLEM ve MODÜLER ARİTMETİK
İŞLEM
:
5 + 3 = 8 olduğunu biliyoruz. Eşitliğin solunda iki sayı olduğu
halde,eşitliğin sağında bir sayı vardır. Eşitliğin solundaki iki sayıyı (5,3) ikilisi
biçiminde yazalım.
Şimdi bu ikiliyi 8’e eşleyen bir f fonksiyonu düşünebilirsiniz. f(5,3) = 5+3 olur.
Reel sayılar kümesinde yaptığımız, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme
işlemleri reel sayılar kümesinin kartezyen çarpımının bir alt kümesinden reel
sayılar kümesine birer fonksiyondur.
Tanım : Boş olmayan A,B,C kümeleri verilmiş olsun AxB nin bir alt kümesinden
C ye tanımlı her fonksiyona işlem denir.
AxA nın bir alt kümesinden A’ya tanımlı her fonksiyona A kümesinde bir işlem
denir. İşlemi göstermek için
*, +, -, •
,,, ... gibi işaretler kullanılır.
Örnek : A={ -1,0, 1}
AxA={ (-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,1) }
f:AxA
A fonksiyonu;
f(x,y)= x.y olsun.
Bu fonksiyon A kümesinde tanımlı bir işlemdir. Bu işlemi  ile
gösterirsek,
x y =x.y dir.
Tablodan -1-1 = 1, 0 1= 0,
0 0=0 olduğunu bulunuz.
Örnek :
Reel sayılar kümesinde , x #y =2x-2y+xy olmak üzere, # işlemi
tanımlanıyor.
a. (2 #3) #4 işleminin sonucu nedir?
b. (2 #x) #2=16 eşitliğini sağlayan x değeri nedir?
Çözüm :
a. 2#3= 4-3.3 +2.3 =1 olduğundan;
( 2 #3 ) #4= 1 #4= 2-12+4= -6
b. 2 #x=4-3x+2x=4-x olduğundan;
(2 #x) #2= (4-x) #2
=2(4-x)-6+( 4-x) #2
=8-2x-6+8-2x
=-4x+10
-4x+10=16
-4x=6
x=-6/4 bulunur.
İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ :
A boş olmayan bir küme ve , A’ da tanımlı bir işlem olsun;
 x, y  A için x  y A ise A kümesi  işlemine göre kapalıdır.
 x,y  A için x  y= y  x ise işlemin değişme özelliği vardır.
 x,y,z  A için (x  y)  z=x (y  z) ise işlemin birleşme özelliği
vardır.
 x  A için x  e= e  x=x olacak şekilde bir e  A varsa e’ ye etkisiz
eleman denir.
 A kümesinin  işlemine göre etkisiz elemanı e olsun. x  A için
x  x-1= x-1 x=e olacak şekilde bir x-1A varsa x-1 ‘e x’in  işlemine göre
tersi denir.
 * A da tanımlı bir işlem olsun.
x,y,z  A için, x (y*z)= (x y)*(z x) eşitlikleri sağlanıyorsa  işlemini *
işlemi üzerine dağılma özelliği vardır denir.
Örnek :
Z ‘ de  işlemi x,y,z  A için ;
x y=(x+y) / 2 şeklinde tanımlanıyor.  işlemine göre Z kümesi
kapalımıdır.
Çözüm :
x,y,z  A için, x x,y,z  A için y Z dir. Çünkü toplamı çift olan sayıların
ikiye bölümü tam sayıya karşılık gelirken, toplamı tek olan sayıların ikiye
bölümü tam sayı değildir. Mesela;
2,7 z için 2 7= (2+7) /2= 9 / 2 Z dir.
Örnek :

a
b
c
d
e
a b c d e
d e a b c
e a b c d
a b c d e
b c d e a
c d
e a b
KÖŞEGEN
A= { a,b,c,d,e} kümesinde  işlemi yukarıdaki tablo ile tanımlanıyor.
 A kümesi  işlemine göre kapalı mıdır?
  işlemi değişme özelliğine sahip midir?
  işlemine göre etkisiz eleman nedir?
 b’ nin tersi nedir?
Çözüm :
  işlemine göre A kümesinin herhangi iki elemanının sonucu yine A
kümesinin bir elemanı olduğu için A kümesi kapalıdır.
  x,y A için x y=y x olduğundan  işlemi değişmelidir.
  x A için x c=c x=x olduğu için c etkisiz elemandır. Gerçekten
a c=a, b c=b, c c=c, d c=d, e c=e dir.
 b’nin tersi olsun.
b x=c olmalıdır.
x=d olduğu tabloda görülür.
Örnek:
x,yR için x y=x+y+2xy işlemi tanımlanıyor.
1.
2.
3.
 işlemi değişmeli midir?
 işlemine göre etkisiz eleman nedir?
 işlemine göre aR olmak şartıyla a’nın tersi nedir?
Çözüm:
 x y= x + y+ 2xy = y + x + 2yx = y x
O halde  değişmelidir.
 Etkisiz eleman e olsun. x e = x olmalıdır.
x+e+2xe = x
e+2xe =0
e(1+2x) =0
1+2x0 ise e=0 dır. Bu durumda etkisiz eleman 0’dır.
 a’nın tersi a-1 olsun.
a a-1=0 olmalıdır.
a+a-1 + 2a.a-1=0
a-1(1+2a)=-a
a-1 =-a/(1+2a) bulunur.
Örnek :
 işlemi R+ da tanımlı bir işlem olmak üzere, 1/m  n2 = m.n ise
4 9 neye eşittir?
Çözüm :
4 9= 1/ (1/4)  32 =1/4. 3 = 3/4‘ tür.
Örnek :
R2 de tanımlanan (a,b) (c,d) =( a+c,b+d) işleminin etkisiz elemanı
nedir?
Çözüm :
Etkisiz eleman (x. Y) olsun. İşlem değişme özelliğine sahip olduğu için;
(a,b) (x,y)=(a,b) olmalıdır.
(a+x,b+y)= (a,b) ise
a+x=a ve b+x= b
x=0 , y=0 bulunur.
Demek ki etkisiz eleman (0,0) ‘dır.
MODÜLER ARİTMETİK
:
Z ‘ de  ={ x,y} : m(x-y)}, m1 ve m Z+ bağıntısı denklik bağıntısıdır.
O halde (x ,y)  için x y (mod m)
Örnek :
Z de ={ x,y : 5 (x-y)} denklik bağıntısını inceleyelim.
Çözüm :
, farklı 5’e bölünen tamsayı ikililerinden oluşmaktadır. Yani (1,6),
(74, 69) ...
 denklik bağıntısı olduğu için x(x,y)   için xy (mod 5)
Mesela;
(1,6) 
olduğu için 16
(mod 5)
(74, 69)  
olduğu için
74 69 (mod 5).....
Z’ de m=5 modülüne göre  ‘nın denklik sınıflarını ( kalan sınıfları)
oluşturalım.
0={....., -10 , -5, 0, 5,10,.....}
1={....., -9 , -4, 1, 6, 11,.....}
2={....., -8 , -3 , 2, 7,12.....}
3={....., -7, -2 , 3, 8, 13,......}
4={....., -6 , -1, 4, 9, 14,......}
5 modülüne göre kalan sınıflarıdır.
Z/m={ 0,1 ,2, 3........... (m-1)} dir.
ÖZELLİKLER :
xy ( mod m) ve u= v olsun.
 x ve y nin ( u ve y in ) m’ ye bölümünden kalan eşittir.
 x-y , (u-v) m2 ye tam olarak bölünür.
 x+ u  y+v (mod m)
 x-u y-v (mod m)
 x.u y. v ( mod m)
 c.x c.y (mod m) ,
c Z
 xn y-n ( mod m ) ,
n Z+
Z/m ‘ de Toplama ve Çıkarma :
 x ,y Z/m için
1. x +y = x+y
2. x . y = x.y
Örnek :
Z/5 de 4. ( 2+ 4) +3 işleminin sonucu nedir?
Çözüm :
4.
( 2+ 4) +3 =4. ( 2+ 4)+ 3
=4. 6+ 3
=4. 1+ 3
=4+3
=7 = 2
Örnek :
71962 x ( mod 11) ise x nedir?
Çözüm :
710= 1 dir. Buna göre ,
71964 (710)196 . 72  11196 . 72  5 (mod 11)
MATEMATİK SİSTEMLER
:
Tanım:
A boş olmayan bir küme olmak şartıyla  A ‘ da tanımlı bir işlem
olsun . ( A, ) ikilisine bir matematik sistem denir. * ‘ da A ‘ da
tanımlı bir işlem ise ( A, ,*) üçlüsüne de bir matematik sistem denir.
Tanım :
G, boş olmayan bir küme olmak şartıyla  A da tanımlı bir işlem olsun.
(G, ) sistemi aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa grup adını alır.
• Kapalılık özelliği;
• Birleşme özelliği;
• Etkisiz eleman özelliği ;
• Ters eleman özelliği ;
Tanım :
(G, ) grubu değişme özelliği sağlıyorsa değişmeli grup adını alır. Örneğin
(Z, +), (R, .), (Z/5, +) sistemleri birer değişmeli gruptur fakat ( N, +), (Z, .)
(Z/4, .) sistemleri birer değişmeli grup değildir.
Tanım :
(H, , &) matematik sistemi aşağıdaki şartları sağlıyorsa halka
adını alır.
1.
2.
3.
4.
(H, ) değişmeli gruptur.
H kümesi & işlemine göre kapalıdır.
& işlemine göre birleşme özelliği vardır.
& işleminin  işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
Tanım :
(H, ,&) halka olmak şartıyla;
1. & işlemi değişme özelliğine sahipse, (H, ,&) değişmeli halka
adını alır.
2. & işleminde etkisiz eleman özelliği varsa (H, ,&) birimli halka
adını alır.
Örnek :
(Z, +, .) değişmeli ve birimli halkadır.
Tanım :
(C, ,&) matematik sistemi aşağıdaki şartları sağlıyorsa, bir cisim adını
alır.
1.
2.
3.
(C, ) sistemi değişmeli grup ve birim elemanı e’ dir.
(C-{e}, &) sistemi değişmeli gruptur.
& işleminin  işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
Tanım :
( C, ,&) bir cisim olsun. & işleminin değişme özelliği varsa ( C, ,&)
Sistemi değişmeli cisim adını alır.