Minkowski Uzay-Zaman Geometrisinde Noktaların Üreteç

21. Ulusal Matematik Sempozyumu Bildiriler Kitabı C.1-14
MNKOWSK UZAYZAMAN GEOMETRSNDE NOKTALARIN
ÜRETEÇ NVARYANTLARI SSTEM VE YÖRÜNGELER
dris ÖREN
Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, 61080, Trabzon
oren@ktu.edu.tr
Özet
M, Minkowski uzayzamanı olmak üzere, M’de keyfi m-tane nokta için O(3,1) pseudo-ortogonal ve
SO(3,1) özel pseudo-ortogonal grubunun invaryant polinomlar halkasının üreteç invaryantlar sistemi
bulundu. Bu sistem bulunurken, polarizasyon operatörü, Capelli denklikleri ve invaryant teorisinin
yöntemleri kullanıldı.Ayrıca O(3,1) grubunun yörünge problemi çözüldü.
Anahtar Sözcükler : Uzayzaman, invaryant, pseudo-ortogonal, grup, yörünge.
MSC(2000)
: 13A50; 15A63; 51M10; 83A05
1. Giri
Minkowski Uzayzaman geometrisinin doum yılı 1905 olarak alınabilir. Hermann
Minkowski(1864-1909) Öklid geometrisinden farklı olarak, yeni bir metrik tanımlayarak,
adına “Minkowski Uzayzaman Geometri” denilecek olan bu geometrik yapıyı
oluturmutur. Bu yapının Öklid geometrisinden farkı, uzaysal boyuta zaman boyutunun
eklenmesi ile uzay-zamanın kaynaık bir yapı olarak ele alınmasıdır. Böylece dört boyutlu
Minkowski Uzayzaman geometrisi ortaya çıkmıtır.
1872’de F.Klein “Erlanger Programı” olarak bilinen konumasında geometrilerin grup
etkisi altında incelenebileceini ifade etmitir. Bu balamda Öklid geometrisi, Öklid
grubu; Afin geometrisi, Afin grubu altında; nokta, eri ve yüzeylerin ortogonal ve afin
dönüümler altında korunan özeliklerinin-invaryantlarının- aratırılabileceini ve önemini
belirtmitir.
Bu durum F.Klein’in ifade ettii anlamda, Minkowski uzayzaman geometrisini ortaya
çıkaran grup etkisi altında nokta, eri ve yüzeylerin invaryantlarını bulma problemi ortaya
çıkmıtır. Dier taraftan bu geometri için matematiksel ve fiziksel yapılara ait çalımalar
yapılmıtır.
Bu bildiride O (3,1) olarak incelediimiz ortogonal grup, Minkowski Uzayzaman
Geometrisini etkileyen grup anlamında alınmıtır. Bu grup G.L. Naber [16] kitabında
Genel Lorentz Grubu( LGH ) olarak adlandırılmıtır.
nvaryantlar teorisi ile ilgili çalımalara ise 1850-1870 yılları arasında balanmıtır.
G
nvaryantlar teorisinde G bir grup olmak üzere ℜ [ x1 ,..., xm ] nin üreteçleri, bu üreteçler
arasındaki baıntılar ve denklik problemi üzerinde durulmutur.
G
1850’den 1960’a kadar ℜ [ x1 ,..., xm ] halkasının cebirsel özelikleri incelenmitir. 1890
yılında Hilbert, invaryantlar teorisi ile ilgili temel çalımalar yapmıtır.
nvaryantlara ait bazı çalımalar J.A.Dieudonne [8], D.Hilbert [12], D.Khadjiev [13],
T.A.Springer [20], H.Weyl [22] eserlerinde yer almaktadır.
1946 yılında H.Weyl [22,syf.66], kitabında E.Study [21]’in 1897 yılında yaptıı
çalımalar yardımıyla O(n) grubu ve SO(n) altgrubuna ait noktaların üreteçler problemini
incelemi ve Lorentz grubuna ait problemin çözümünü açık bırakmıtır.
1988 yılında D.Khadjiev [13] kitabında ve R.Aripov’un makalelerinde Öklid grubu
için noktaların üreteçleri yardımıyla denklik problemi ve yörünge problemini incelemitir.
1999 yılında R.Höfer [11], Gram matrisi yardımıyla Minkowski uzayında m tane
noktanın yörüngelerini incelemitir.
2001 yılında F.P.Washek [16], Lorentz grubundaki dönüümlerin özelikleri, iaret
fonksiyonu dilinde incelenmitir.
2004 yılında .Ören [17], iki boyutlu Minkowski uzayzamanında, O(1,1) , SO(1,1) ve
L-Lorentz grubu için noktaların üreteçlerini ve üreteçleri arasındaki ilikileri incelemitir.
2003 ve 2004 yıllarında W.Benz [2,3], iç çarpım dilinde uzaklıı koruyan Lorentz
dönüümleri ve metrik doruları incelemitir.
2. Önbilgiler
Tanım 1. V, n ≥ 1 boyutlu keyfi reel vektör uzayında bilineer, simetrik ve bozulmamı
özeliklerine sahip g : V × V → ℜ dönüümüne iç çarpım denir ve g ( u, v ) = u , v ile
gösterilir.
Teorem 1. V, n ≥ 1 boyutlu keyfi reel vektör uzayı, g : V × V → ℜ genelletirilmi iç
çarpım olsun.Bu takdirde, V’de ei , ei = ±1, i=1,2,…,n ve ei , e j = 0 , i ≠ j , i,j=1,2,…,n
olan {ei } i=1,2,…,n eklinde bir taban vardır.
spat: : [16,p.8] 
Tanım 2. V, n ≥ 1 boyutlu reel vektör uzayı ve g : V × V → ℜ bir genelletirilmi iç
çarpım olsun. g ( ei , ei ) = ei , ei = −1 olan g-genelletirilmi iç çarpımın keyfi ortonormal
tabanındaki ei ’lerin sayısına g’nin indeksi denir. [16,p.9]
Tanım 3. M, 4-boyutlu reel vektör uzayında bilineer, simetrik, bozulmamı ve indeksi
1 olan g : M × M → ℜ ile tanımlı uzaya Minkowski uzayzamanı denir. [16,p.9]
g : M × M →  , g ( v, w ) = v1.w1 + v2 .w2 + v3 .w3 − v4 .w4 eklindeki genelletirilmi iç
çarpıma Lorentz iç çarpımı adı verilir.
Not .Burada M = ℜ3+1 olarak 4-boyutlu reel uzay anlamında olup 3 + 1 ’in “1” kısmı
indeksi ifade etmektedir.
Tanım 4. g : M × M → ℜ Lorentz iç çarpımı olmak üzere,
(i) 0 ≠ v ∈ M için g ( v, v ) = v, v = 0 ise v-vektörüne ıık vektör denir.
(ii) v ∈ M için g ( v, v ) = v, v < 0 ise v-vektörüne zamansal vektör denir.
(iii) v ∈ M için g ( v, v ) = v, v > 0 ise v-vektörüne uzaysal vektör denir.
3. Keyfi m tane Noktanın nvaryant Polinomlar Halkasının Üreteç nvaryantları
Sistemi
x1 ,..., xm noktaları(vektörleri) M ’nin elemanları olmak üzere, p ( x1 ,..., xm ) ile
x1 ,..., xm ’lerin polinomunu tanımlayalım ve bu polinomu kısaca p ( x) ile gösterelim.
x1 ,..., xm ’lerin tüm polinomlar kümesini ℜ [ x1 ,..., xm ] ile tanımlayalım ve bunu kısaca
ℜ [ x ] ile gösterelim.
Önerme 1 : ℜ [ x ] , bir ℜ -cebirdir.
spat: [17] 
O (3,1) = { F : M → M : Fx, Fy = x, y
}
ile Lorentz iç çarpımını koruyan tüm pseudo-
ortogonal dönüümlerin grubunu gösterelim. Benzer ekilde Lorentz iç çarpımını koruyan
tüm özel pseudo-ortogonal dönüümlerin grubunu ise SO (3,1) ile gösterelim.
G ile O (3,1) ’in bir altgrubunu gösterelim.
Tanım 5: G bir grup ve p ( x) bir polinom olmak üzere, keyfi g ∈ G için p ( gx) = p ( x)
ise p ( x) polinomuna G-invaryant polinom denir.
G
Tüm G-invaryant polinomlar kümesini ℜ [ x1 ,..., xm ] ile tanımlayalım ve bunu kısaca
G
ℜ [ x ] ile gösterelim.
G
Önerme 2: ℜ [ x ] , bir ℜ -cebirdir.
spat: [17] 
O (3,1)
Tanım 6: p ( x) ∈ℜ [ x ]
olmak üzere, ∀g ∈ O (3,1) için p ( gx) = λ ( g ) p ( x) olacak
ekilde bir λ ( g ) fonksiyonu mevcut ise p ( x) polinomuna O (3,1) -nispi invaryant polinom
denir.
Tanım 7 : Yukarıdaki λ ( g ) fonksiyonuna aırlık fonksiyonu denir.
Aırlık fonksiyonu aaıdaki özelliklere sahiptir: ∀g , g1 , g 2 ∈ O (3,1) için;
1) λ ( g1 g 2 ) = λ ( g1 ) λ ( g 2 )
2) λ ( g ) = ±1 ’dir.
O (3,1)
Tanım 8: p ( x) ∈ℜ [ x ]
polinomu O (3,1) -nispi invaryant polinom olmak üzere,
∀g ∈ O (3,1) için λ ( g ) = 1 ise p ( x) ’e çift invaryant polinom denir.
O (3,1)
Tanım 9: p ( x) ∈ℜ [ x ]
polinomu O (3,1) -nisi invaryant polinom olmak üzere,
∀g ∈ SO (3,1) için λ ( g ) = 1 ve g ∈ O (3,1) için λ ( g ) = −1 ise p ( x) ’e tek invaryant
polinom denir.
Önerme 3 : p ( x) polinomu, SO (3,1) - invaryant polinom olsun. Bu takdirde,
p ( x) = p1 ( x) + p2 ( x) eklinde p1 ( x) çift ve p2 ( x) tek SO (3,1) - invaryant polinomların
toplamı eklinde tek türlü yazılabilir.
spat: f ( x) = ( x (1) , x (2) , ..., x ( m ) ) , keyfi SO (3,1) - invaryant polinom olsun.
 −1 0 0  0 


0 1 0  0
h =        olacak ekilde h ∈ O (3,1) alalım. Burada det h = −1 ve


     
0 0 0  1


h −1 = h ’dir. Bu takdirde, ϕ ( x) =
1
1
( f ( x) + f (hx) ) çift polinom,ψ ( x) = ( f ( x) − f (hx) ) tek
2
2
polinomdur. Gerçekten; g ∈ O(3,1) ve det g = −1 için, g = g1h = hg 2
olacak ekilde g1 , g 2 ∈ SO(3,1) mevcuttur ve g1 = gh −1 , g 2 = h −1 g ’dir. Buradan;
g ∈ SO (3,1) ise, ϕ ( gx) =
1
1
( f ( gx) + f (hgx) ) = ( f ( x) + f (hgh −1hx ) ’dır.
2
2
Burada; hgh −1 ∈ SO(3,1) ve f , SO (3,1) - invaryant olduundan,
ϕ ( gx) =
1
( f ( x) + f (hx) ) = ϕ ( x) olur.
2
g ∈ O(3,1) ve det g = −1 ise, ϕ ( gx) =
1
( f ( gx) + f (hgx) ) ’dir.
2
Burada; g = g1h olacak ekilde g1 ∈ SO (3,1) mevcuttur.
ϕ ( gx) =
1
( f ( g1hx) + f (hgx) ) yazarız. Burada f ’nin SO(3,1) - invaryant ve hg ∈ SO(3,1)
2
olduu kullanılarak,
ϕ ( gx) =
1
1
( f (hx) + f ( x) ) = ϕ ( x) elde edilir. Dolayısıyla ϕ ( x) = ( f ( x) + f (hx) ) ,
2
2
O(3,1) - invaryant ’tır. Yani çifttir.
imdi ψ ( x) =
1
( f ( x) − f (hx) ) ’in tek invaryant olduunu gösterelim: Bunun için önce
2
bunun SO(3,1) - invaryant olduunu gösterelim.
g ∈ SO (3,1) ise, ψ ( gx) =
1
1
( f ( gx) − f (hgx) ) = ( f ( x) − f (hgh −1 x) ) ’dir.
2
2
hgh −1 ∈ SO(3,1) ve f , SO (3,1) - invaryant olduundan, ψ ( gx) =
elde edilir. g ∈ O(3,1) ve det g = −1 ise,
ψ ( gx) =
1
1
( f ( gx) − f (hgx) ) = ( f ( g1hx) − f (hgx) )
2
2
1
( f ( x) − f (hx) ) = ψ ( x)
2
yazarız. Burada hg ∈ SO(3,1) ve f ’nin SO(3,1) - invaryant olduu kullanılarak,
ψ ( gx) =
1
1
( f (hx) − f ( x) ) = −ψ ( x) elde edilir. Dolayısıyla ψ ( x) = ( f ( x) − f (hx) ) tek
2
2
invaryanttır. 
Teorem 2:
i) Keyfi çift invaryant polinom,
xi , x j , i, j = 1, 2,..., m ’lerin polinomu olarak ifade
edilebilir.
ii) Keyfi tek invaryant polinom , ϕ ( x1 , x2 ,..., xm ) çift invaryant polinom olmak üzere
 xi1 xi2 xi3 xi4  ϕ ( x1 , x2 ,..., xm ) , i1 < i2 < ... < i4 ; i1 ,..., i4 = 1,..., m ’lerin
eklinde
polinomu
ifade edilebilir.
spat : T3+1m ile (3+1)-boyutlu uzayda m-tane vektöre balı önermeyi gösterelim.
m > 4 durumunda Capelli denkliklerinin 1. kısmı kullanılarak, teorem, T3+1m → T3+14
durumuna indirilir [22].
Bu taktirde T3+14 durumunu inceleyelim.
m = 4 durumunda Capelli denkliklerinin 2.kısmı kullanılarak, teorem, T3+13 durumunun
incelenmesine indirilir[22].
Capelli denkliinin m = 4 olan durumunu f ’ye kullanalım:
f =
1
 P. f
ρ
*
+  xi1 xi2 xi3 xi4  .Ωf ’dir.
(1)
f - çift olsun. Sr ’deki sıraya göre P. f polinomu f ’den küçüktür ve keyfi P. f * polinomu
çifttir. ( P. f * ’ler Dα ( i ) β ( i ) ...Dα (1) β (1) f * eklindedir.)
 xi1 xi2 xi3 xi4  .Ωf terimini inceleyelim:
Ωf ’nin derecesi r − 4 olduundan Ωf için T34+1 dorudur.
f , çift ise, Ωf tektir. Ωf için T34+1 doru olduundan, Ωf =  xi1 xi2 xi3 xi4  .ϕ
eklinde ifade edilebilir. Burada ϕ , çifttir. Dolayısıyla,
 xi1 xi2 xi3 xi4  .Ωf =  xi1 xi2 xi3 xi4  .  xi1 xi2 xi3 xi4  .ϕ =
xi1 , xi1

xi1 , xi4



xi4 , xi1

xi4 , xi4
.ϕ
eklinde yazılabilir. Burada ϕ , çift ve Sr ’deki sırası f ’den küçük (derecesi küçük)
olduundan ϕ polinomu xi , x j ’ler cinsinden ifade ediliyor. Bundan dolayı f ’nin çift
olduu durumda f için T34+1 dorudur.
imdi f , tek olsun. Bu takdirde (1) eitliindeki P. f * ’ler de tektir. P. f * ’lerin Sr ’deki
sırası f ’den küçüktür. Buna göre P. f * ’ler için T34+1 dorudur.
imdi  xi1 xi2 xi3 xi4  .Ωf terimini inceleyelim:
f , tek olduundan Ωf çifttir. Dolayısıyla f polinomu  xi1 xi2 xi3 xi4  .Ωf polinomlarının
toplamı eklindedir. Burada ϕ , çifttir. Sonuçta f için T34+1 dorudur.
imdi T3+13 durumunu inceleyelim. Burada ispat iki kısma ayrılır:
1) Çift invaryant polinomların incelenmesi. (Bunu T3+13C ile göstereceiz.)
2) Tek invaryant polinomların incelenmesi. (Bunu T3+13T ile göstereceiz.)
imdi ;
1) T3+13C kısmını ispatlayalım.Bunun anlamı (3+1)-boyutlu uzayda 3 tane vektöre balı
çift invaryant polinomlara ait önermedir.Burada,
f ( x1 , x2 , x3 ) , O ( 3,1) -çift invaryant polinom olsun. Burada x1 , x2 , x3 ∈ℜ3+1 lineer baımsız
vektörleri x1 = ( x11 , x12 , x13 , x14 ) , x2 = ( x21 , x22 , x23 , x24 ) , x3 = ( x31 , x32 , x33 , x34 ) ile gösterelim.
Bunların Gram matrisini G ( x1 , x2 , x3 ) =
( x ,x )
i
j
i , j =1,2,3
ve Gram determiantını
det G ( x1 , x2 , x3 ) ile gösterelim.
det G ( x1 , x2 , x3 ) ≠ 0 olsun. Bu takdirde F ∈ O (3,1) ile Fxi = yi = ( yi1 , yi 2 , 0, yi 3 ) , i = 1, 2,3
ekline getirilebilir. Böylece det G ( y1 , y2 , y3 ) ≠ 0 ’dır. Bu takdirde,
f ( y1 , y2 , y3 ) = ϕ
(
yi , y j
) , i ≤ j = 1, 2, 3 eklinde ifade edilebilir. Ayrıca burada
{ yi } , i = 1, 2,3 ’ler ℜ2+1 ’in elemanlarıdır. Dier taraftan,
ϕ
(
yi , y j
) (
=ϕ
Fxi , Fx j
)
F ∈O (3,1)
= ϕ
(
xi , x j
) ’dir. O zaman
f ( x1 , x2 , x3 ) = ϕ
( x ,x )
i
j
eklinde ifade edilebilir.
Varsayalım det G ( x1 , x2 , x3 ) = 0 olsun. Bu takdirde, H.Weyl [22,syf.4,Lemma1.1.A]’dan
cebirsel eitsizliklerin önemli olmadıı prensibine göre, bir polinom kökleri dıında sıfır
ise her yerde sıfırdır.Yani, çözüm salanır.
Dier taraftan,
f ( y1 , y2 , y3 ) polinomu, ℜ2 +1 ’de
{ yi } , i = 1, 2,3 ’lerin
O(2,1) -invaryant
polinomudur.Yani üç tane vektörün çift polinomudur. Böylece durum T3+13C → T23+C1 ’ü
incelemeye iner.
Burada
m=3
durumunda Capelli denkliklerinin 2. kısmı kullanılarak, teorem
T2+13C → T2+12 C durumuna indirilir [22].
Böylece ispatımız T2 +12C durumunu incelemeye iner. Ancak yukarıdaki kısımdaki gibi
ispat yapılırsa T2+12C → T12+1C durumuna indirilir. T12+1C durumu [17]’de ispatlanmıtır.
2) T3+13T kısmını ispatlayalım.
f ( x1 , x2 , x3 ) , O ( 3,1) -tek invaryant polinom olsun. Burada x1 , x2 , x3 ∈ M lineer baımsız
vektörleri x1 = ( x11 , x12 , x13 , x14 ) , x2 = ( x21 , x22 , x23 , x24 ) , x3 = ( x31 , x32 , x33 , x34 ) ile gösterelim.
Bu takdirde F ∈ O(3,1) ile Fxi = yi = ( yi1 , yi 2 , 0, yi 3 ) , i = 1, 2,3 ekline getirilebilir.
f ( x1 , x2 , x3 ) , O ( 3,1) -tek invaryant polinom ve F ∈ O(3,1) olduundan
f ( x1 , x2 , x3 ) = f ( F ( x1 ) , F ( x2 ) , F ( x3 ) ) = det F . f ( y1 , y2 , y3 ) olur. F ∈ O(3,1) olduundan
F −1 mevcut ve F −1 ∈ O(3,1) ’dir. F ( xi ) = yi , i = 1, 2,3 ifadesinden F −1 ( yi ) = xi , i = 1, 2,3
yazabiliriz. f ( x1 , x2 , x3 ) , O ( 3,1) -tek invaryant polinom olduundan
f ( x1 , x2 , x3 ) = f ( F −1 ( y1 ) , F −1 ( y2 ) , F −1 ( y3 ) ) = det F −1. f ( y1 , y2 , y3 ) elde edilir.
 z1 
1
 

z2 
0
3+1

imdi z =
∈ℜ
ve δ = 
 z3 
0
 

0
 z4 
1
0
δz =
0

0
0 0
1 0
0 −1
0 0
0 0

1 0 0
, det δ = −1 olan δ ∈ O ( 3,1) alalım.Buradan
0 −1 0 

0 0 1 
0
0   z1   z1 
  

0   z2   z2 
=
olur.Bu δ ∈ O ( 3,1) ’i { y1 , y2 , y3 } ’e kullanırsak
0   z3   − z3 

  
1  z4   z4 
δ yi = yi , i = 1, 2,3 elde edilir.Buradan
f ( y1 , y2 , y3 ) = f (δ ( y1 ) , δ ( y2 ) , δ ( y3 ) ) = det
δ . f ( y1 , y2 , y3 ) = − f ( y1 , y2 , y3 ) olduundan

−1
f ( y1 , y2 , y3 ) =0 elde edilir. Böylece f ( x1 , x2 , x3 ) =0 olur.O halde f ( x1 , x2 , x3 ) , O ( 3,1) -tek
invaryant polinom sıfırdır.
Sonuç olarak, T3+13 durumunda keyfi invaryant polinom xi , x j , i, j = 1, 2, 3 ’lerin polinomu
olarak ifade edilebiliyor. Bu
T3+14 ’de doru olduundan T3+1m ’de keyfi çift invaryant
polinom xi , x j , i, j = 1, 2,..., m ’lerin polinomu olarak ; keyfi tek invaryant polinom , ϕ çift olmak üzere  xi1 xi2 xi3 xi4  .ϕ eklinde tek invaryant polinomların toplamı olarak ifade
edilebilir. 
Teorem 3: x1 , x2 , ..., xm ’ler M ’de bilinmeyen vektörler olsun. Bu takdirde;
xi , x j , i, j = 1, 2,...,m; i ≤ j
sistemi,
O (3,1)
ℜ [ x1 , x2 , ..., xm ]
ℜ - cebir ’inin üreteç
sistemidir.
spat: Bu aslında Teorem 2 ’nin 1. kısmıdır. 
Teorem 4 : x1 , x2 , ..., xm ’ler M ’de bilinmeyen vektörler olsun. Bu takdirde,
xi , x j , i, j = 1, 2,...,m; i ≤ j ve  xi1 xi2 ... xi4  ; 1 ≤ i1 ≤ i2 ≤ ... ≤ i4 ≤ m sistemi,
ℜ [ x1 , x2 , ..., xm ]
SO (3,1)
ℜ - cebir ’inin üreteç sistemidir.
spat: Bu teorem, Teorem2 ’in ve Önerme3’ün bir sonucudur. 
4. O(3,1) Grubunun Yörüngeleri
 B 0
Önerme 4: A = 
 , B ∈ O(3, 0) olacak ekilde A ∈ O(3,1) ortogonal dönüüm
 0 1
mevcuttur.
 B 0
spat : A ∈ GL ( 4,  ) için A = 
 , B ∈ O(3, 0) olsun. A ∈ O(3,1) olduunu
 0 1
göstermek için ATη A = η olduunu ispatlayalım.
T
 B 0   I 0   B 0   BT
A ηA = 
 

=
 0 1   0 −1   0 1   0
T
0   B 0   BT B 0   I 0 

=
=
 =η
−1  0 1   0
−1   0 −1 
I ∈ O(3, 0) , I-birim matris olduundan A ∈ O(3,1) ’dir.
Verilen k ∈ℜ için,
Yk = { x = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ M : x, x = k , x ≠ 0} kümesini gösterelim.
Önerme 5: O(3,1) ortogonal grup olmak üzere,
i) k ≠ 0 için Yk , k = 0 için Y0 ve {0} kümeleri O(3,1) grubunun yörüngeleridir.
ii) O(3,1) grubunun bunlardan baka yörüngesi yoktur.
spat :
i)
i.1) k ≠ 0 için Yk
kümesini alalım.Burada x ∈ Yk
için
x, x = k
denklemini
inceleyelim.
i.1.1) k > 0 ve x = ( x1 ,..., x4 ) ∈ M olsun. Bu takdirde,
x, x = k  x12 + x22 + x32 − x42 = k  x12 + x22 + x32 = k + x42 elde edilir. Burada k + x42 ≠ 0 ’dır.
O zaman k + x42 = s 2 ile gösterelim. Buradan x12 + x22 + x32 = s 2 , s > 0 olduundan, bu ℜ3 ’te
s-yarıçaplı
küre
denklemini
verir.
Bunu
küresel
koordinatlar
x1 = s cos α sin β , x2 = s sin α sin β , x3 = s cos β eklinde ifade edebiliriz. imdi,
 cos α sin β
 − sin α
F1 = 
 cos α cos β

0

sin α sin β
cos α
cos β
0
sin α cos β
0
− sin β
0
0
0 
∈ O (3,1)
0

1 
alalım.
Bunu
x’e
dilinde,
öyle
kullanırsak,
F1 x = ( s, 0,0, x4 ) = x elde edilir. x ≠ y olan y ∈ Yk alalım. Tanımdan y, y = k > 0 ’dır. Bu
y vektörü yukarıdaki gibi incelenirse, bir F2 ∈ O(3,1) için F2 y = ( p, 0, 0, y4 ) = y elde
a

0
edilir. Burada F = 
0

b
0 0 b

1 0 0
alalım. Eer Fx = y olacak ekilde a 2 − b 2 = 1 artını
0 1 0

0 0 a 
salayan a, b ∈  ’ler mevcut ise, [17,syf.60]’daki Önerme 31’den F ∈ O(3,1) olup ispat
biter. imdi bunu gösterelim.
Fx = y ’den
as + bx4 = p 
ps − x4 y4
sy − px4
, b = 42
 elde edilir. Bu sistem çözülürse, a = 2
2
ax4 + bs = y4 
s − x4
s − x42
elde edilir.Burada s 2 − x42 ≠ 0 ’dır.Eer s 2 − x42 = 0 olsaydı,
x , x = 0 olurdu ki bu ise
x, x ≠ 0
ile
çeliir.
Burada
a 2 − b2 = 1
olduundan,
F ∈ O(3,1) ’dir.
Böylece
F2−1 FF1 ∈ O(3,1) olup ( F2−1 FF1 ) x = y ’dir.Yani, k > 0 durumunda Yk ’nın keyfi iki vektörü
denktir.
i.1.2) k < 0 olsun. Bu durumda (i.1.1) kısmının ispatına benzer ekilde incelenirse,
k < 0 durumunda Yk ’nın keyfi iki noktasının denk olduu görülür. Sonuçta, ∀x ∈ M için
x, x , O(3,1) − invaryant olduundan Yk ’daki bir nokta ,onun dıında baka bir noktaya
denk deildir. Yani, k ≠ 0 için Yk kümesi O(3,1) grubunun yörüngesidir.
i.2) k = 0 için Y0 = { x = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ M : x ≠ 0, x, x = 0} kümesini alalım. x ∈ Y0
olsun.
Tanımdan
x, x = 0, x ≠ 0 ’dır.
Burada
x = ( x1 , x2 , x3 , x4 )
olarak
alırsak,
x, x = 0  x12 + x2 2 + x3 2 − x4 2 = 0
(2)
bulunur.
Burada x4 ≠ 0 ’dır. (Eer x 4 = 0 olsaydı,
x12 + x2 2 + x32 − x4 2 = 0  x12 + x2 2 + x32 = 0  xi = 0, i = 1, 2, 3 ’dır.Bu takdirde, x = 0 olup
bu x ≠ 0 ile çeliir.)
(2)’den x12 + x2 2 + x32 = x4 2 elde edilir. Bu durum i.1.1’deki gibi incelenirse, bir
F3 ∈ O(3,1) için F3 x = ( x4 , 0, 0,  x4 ) = x elde edilir. imdi x ≠ y olan y ∈ Y0 alalım.
Tanımdan y, y = 0 ’dır.Bu y vektörü yukarıdaki gibi incelenirse, F4 ∈ O(3,1) için
F4 y = ( y4 , 0, 0,  y4 ) = y elde edilir. imdi Fx = y olacak ekilde F ∈ O(3,1) mevcut
olduunu gösterelim.
i.2.1) x = ( x4 ,0, 0, x4 ) ve y = ( y4 , 0, 0, y4 ) alalım. Bu takdirde
a

0
F =
0

b
0 0 b

1 0 0
∈ O(3,1) mevcut, öyle ki Fx = y ’dir. Böylece F4−1 FF3 ∈ O(3,1)
0 1 0

0 0 a 
olduundan ( F4−1 FF3 ) x = y ’dir.
i.2.2) x = ( x4 ,0, 0, x4 ) ve y = ( y4 , 0, 0, − y4 ) alalım. Bu takdirde
 a

0
F =
 0
 −b

b 

1 0 0 
∈ O(3,1) mevcut, öyle ki Fx = y ’dir. Böylece F4−1 FF3 ∈ O(3,1)
0 1 0 

0 0 − a 
0 0
olduundan ( F4−1 FF3 ) x = y ’dir.
Yani, k = 0 durumunda Y0 ’ın keyfi iki vektörü denktir.
Sonuçta; ∀x ∈ Y0 noktasını y ∈ Y0 noktasına götürecek O(3,1) ortogonal dönüüm mevcut
olduundan Y0 kümesinin keyfi iki elemanı O(3,1) -denktir. y ∈ Y0 olsun. Eer y = 0 ise,
{0} nokta Y0 ’ın hiçbir noktasına O(3,1) -denk deildir. Eer
y ∉ Y0 ve y ≠ 0 ise, y ∈ Yk bir
k ∈  ,k ≠ 0 için x, x , O(3,1) − invaryant olduundan Y0 ’ın hiçbir noktası y -noktasına
O(3,1) -denk olamaz. Dolayısıyla Y0 kümesi O(3,1) grubunun yörüngesidir.
i.3)
{( 0, 0 )}
noktası ∀F ∈ O(3,1) için F ( 0 ) = 0 olduundan
{0}
noktası O(3,1)
grubunun yörüngesidir.
ii) ∀x ∈ ℜ noktası alalım. x = 0 ise, x-elemanı {0} yörüngededir. x ≠ 0
olsun. Bu taktirde bir k ∈ℜ için x, x = k 'dır. Eer k = 0 ise x ∈ Y0 ’dır. Eer
k ≠ 0 ise, x ∈ Yk ’dır. O(3,1) grubunun bunlardan baka yörüngesi yoktur. 
KAYNAKLAR
1. Bada, E.,(1997), “Minkowski Uzayında Hareketler”, Ankara, Doktora Tezi, Ankara
Ü., Fen Bilimleri Enstitüsü.
2. Benz, W., (2003), “On Lorentz-Minkowski Geometry in real iner product Spaces”,
Advenced in Geometry, Special Issue 1-12.
3. Benz, W., (2004),“Metric and Periodic Lines in real Inner Space Geometries”, Monaths
Math., 141 ,1-10.
4. Borchers, H. J.and Hegerfeldt, G. C., (1972),“The Structure of Spacetime
Transformations”, Communs. Math. Phys., 29, 3 ,259-266.
5. Cierim, Ü.,(1993),“Sayılar ve Geometriler”, Ankara, Yüksek Lisans Tezi,Ankara Ü.,
Fen Bilimleri Enstitüsü.
6. Callahan, James J.,(1999), “The Geometry of Spacetime : An Introduction to Special
and General Relativity”,New York, Springer-Verlag.
7. Das, A.,(1996), “The Special Theory of Relativity: A Mathematical Exposition”, New
York, Springer-Verlag.
8. Dieudonne, J. A. and Carrell, J. B.,( 1971), “Invariant Theory”, London, Old and New,
Acad. Pres.
9. Ergin, A. A,(1989), “Lorentz
Düzleminde Kinematik Geometri”, Ankara, Doktora
Tezi, Ankara Ü., Fen Bilimleri Enstitüsü.
10. Höfer, R.,(2006), “Metric Lines in Lorentz-Minkowski Geometry”, Aequationes Math.,
71,162-173.
11. Höfer, R.,(1999), “m-Point Invariants of Real Geometries”, Beitrage Algebra Geom.,
40,1,261-266.
12. Hilbert, D.,(1993), “Theory of Algebraic Invariants”, New York ,Cambridge Univ.
Press.
13. Khadjiev, Dj.,(1988), “An Application of the Invariant Theory to the Differential
Geometry”, Tashkent, Fan Pub.
14. Launey, J.T. and Eywind, H. W.,(1997), “On the Causal Structure of Minkowski
Spacetime”, J.Math.Phys., 38, 10, 5044-5086.
15. Mal’Cev, A. I.,(1965), “Foundations of Linear Algebra”, San Francisko, W.H.Freeman
and Comp.
16. Naber, G. L.,(1992), “The Geometry of Minkowski Spacetime”, New York ,SpringerVerlag.
17. Ören,.,(2004), “Minkowski Uzayzaman Geometrisinde Noktaların nvaryantları”,
Trabzon,Yüksek Lisans Tezi, K.T.Ü., Fen Bilimleri Enstitüsü.
18. Ören, .,(2006), “The Conditions of Equivalance of Points for Orthogonal and Lorentz
Group on the 2-Dimensional Minkowski Spacetime”, IV.International Geometry
Symposium, Zonguldak, Abstracts, 76.
19. Rowe,E. G. P.,(2001), “Geometrical Physics in Minkowski Spacetime”, London,
Springer-Verlag.
20. Springer, T. A.,( 1977), “Invariant Theory”, New York, Springer-Verlag.
21. Study,E.,(1897), “The first main theorem for orthogonal vector invariants”, Wissensch,
Ber. Sachs. Akad., 136.
22. Weyl, H.,(1946),“The Classical Groups, Their Invariants and Representations”,New
Jersey, Princeton Univ. Pres.