FİZ365 TEORİK FİZİK YÖNTEMLERİ

3. Bölüm: Ortogonal Fonksiyonlar
Sonsuz boyutlu uzayda bir


vektörü:
f
 (f1, f 2 , f3 ,..., fi ,...) gibi sonsuz bileşenli olarak gösterilebilir.
f
Bileşen indisi i sonsuz değer aldığı için sürekli bir x değişkeni ile gösterilebilir: fi  f (x)
Hilbert Uzayı: Normu sonlu veya karesi integre edilebilir fonksiyonların vektör uzayıdır.
f(x) ve g(x) gibi iki fonksiyonun skaler çarpımı,
b
(f , g )   w ( x )f * ( x )g ( x )dx
a
Burada w(x) ağırlık fonksiyonu adını alır.
{u1(x), u 2 (x),....}
sonsuz sayıdaki ortonormal vektörler dizisi için,
b
(u i , u j )   w ( x )u i* ( x )u i ( x )dx  ij
a
b
f i  (u i , f )   w ( x )u i* ( x )f ( x )dx
a
Dirac Delta Fonksiyonu:
x 0  [a , b ]
 0
f
(
x
)

(
x

x
)
dx



0
f ( x 0 ) x 0  [a , b]
a
b
 0 x  x0
( x  x 0 )  
  x  x 0
Dirac Delta Fonksiyonunun Özellikleri:
(  x )  ( x )
(bx ) 
1
( x )
b
( x 2  a 2 ) 
1
(( x  a )  ( x  a ))
2a
x( x )  ( x )

*
 w ( x)u i ( x)u i ( x )  ( x  x)
i 1
Legendre Polinomları:
[-1,+1] aralığında tanımlı polinomlardır. Ağırlık fonksiyonu; w(x)=1 dir.
P0 ( x )  1
P ( x ) 
1
d
2 ! dx 
( x 2  1) 
(   0)
 P ( x ) çift
P ( x )  
 P ( x ) tek
Legendre Diferansiyel Denklemi:
(1  x 2 ) y(x)  2xy(x)  (  1) y(x)  0
Üretici Fonksiyon:
G ( x, t ) 
1

  P ( x ) t 
(1  2xt  t 2 )1 / 2  0
Tekrarlama Bağıntısı:
Türev Bağıntısı:
(  1)P 1 (x)  (2  1) xP (x)  P 1 (x)
P ( x )  xP ( x )  P 1 ( x )
( x 2  1)P ( x )  xP ( x )  P 1 ( x )
(  1)
(  1)
Diklik Bağıntısı ve Normlama:
(  m )
 0

 P ( x )Pm ( x )dx   2
(  m )
 2  1
1
1
Bir Fonksiyonun Legendre Serisi Olarak Açılımı:

f ( x )   c P ( x )
 0
2  1 1
c 
 f ( x )P ( x )dx
2 1