1çemberde açı

GEOMETRİ
ÇEMBERDE AÇI
III. Çemberde Açılar:
Düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulu-
a) Merkez Açı:
nan noktalar kümesine çember denir.
Köşesi çemberin
A
merkezi olan açıya deI. Çemberde Ana Elemanlar
B
C
nir. Ölçüsü gördüğü yaO
yın ölçüsüne eşittir.
Çember
x
D
E
m AOF  x  mCD
F
r
A
O
r
B
b) Çevre Açı:
Köşesi çemberin
C
üzerinde bulunan ve ke-
D
narları bu çemberin kirişi
O. Merkez
olan açılara çevre açı
AO  BO  r.Yarıçap
denir.
A
AB  2r .Çap
Ölçüsü gördüğü ya-
CD.CD yayı
B
2x
x
yın ölçüsünün yarısına
m CD .CD yayının ölçüsü
eşittir.
C
CD .CD yayının uzunluğu
m ABC   x 
Kesen
2
m AC   2x
II. Çemberde Yardımcı Elemanlar
D
m AC 
A
 Aynı yayı gören
E
çevre
açıların
2x
ölçüleri
eşittir.
K
A
x
B
x
Kiriş
x
B
C
M
L
Teğet
m AKB   m ALB   m AMB   x 
Teğet: Çember ile bir noktası ortak olan doğrula-
m AB 
2
ra teğet denir. C noktası teğet değme noktasıdır. Veya doğru C noktasında çembere teğettir denir.
 Çapı gören çev-
K
L
re açılar 90 dir.
Kiriş: Çembere ait iki noktayı birleştiren doğru
parçalarına kiriş denir.
mK   mL   mM  90°
Kesen: Çember ile ortak iki noktası olan doğru-
O
A
lara kesen denir.
M
1
B
ÇEMBERDE AÇI
c) Teğet – Kiriş Açı:
e) Dış Açı:
Köşesi çember üze
İki eksen, iki teğet
A
rinde ve bir kenarı teğet
diğer kenarı kiriş olan
ğetin oluşturduğu açıya
2x
açıya teğet – kiriş açı
denir.
dış açı denir.
D
P
Ölçüsü gördüğü
x
Ölçüsü gördüğü ya-
B
B
C
yayların ölçüleri farkının
C
yın ölçüsünün yarısına
yarısına eşittir.
eşittir.
m ABC 
A
veya bir kesenle bir te-
m APB  
m AB 
m AB   m CD
2

 Aynı yayı gören
m AKC  m AC
2
veya
B
teğet kiriş açılar eşittir.
m APC  x 
2
A
x
m ABC  mBCD
A
x  m AC  180
P
2x
K
x
x
C
C
D

 Aynı yayı gören
teğet kiriş açı ile çevre
B
A
x
m AKC  m AB 
2
O merkez ise
A
açılar eşittir.
K
x  m AB  90
2x
x
m ACD  m ABC
P
x
C
B
C
O
D
f) Kirişler Dörtgeni:
d) İç Açı:
Bir çemberde kesi-
Kenarları bir çembe-
B
A
ğu açıya iç açı denir.
A
rin kirişleri olan dörtgen-
şen iki kirişin oluşturdu-
lere kirişler dörtgeni
x
D
B
denir.
E
Ölçüsü gördüğü
Karşılıklı açılar top-
yayların ölçüleri toplamının yarısına eşittir.
m AEB  
m APC  x 
C
lamı 180 dir.
D
m AB   m CD
m A   m C  180
2
mB   mD  180
2
C
ÇEMBERDE AÇI
 Çemberlerin ortak teğetlerinin uzunlukları
g)
eşittir.
a) Teğet:
Teğet, değme nok-
D
M
tasında yarıçapa diktir.
C
O
OB  AC
L
A
B
C
A
K
B
AB  DC
mBLA   90
b) Kiriş:
Eş kirişler eş yayları
Örnek 1
A
ayırırlar.
A
B
AB  CD ise
m AB   m CD 
D
O merkezli çemberde
mBAC   75 ise
75o
m ABO   m ACO 
C
B
toplamı kaç derecedir?
O
C
 Paralel
kirişler
arasında kalan yayların
ölçüleri eşittir.
A
B
D
C
 AB // CD ise
m AD   mBC 
Örnek 2
E
[AD], O merkezli
çemberin çapı


m ABC  110
A
D
O
m(CED)  x
C
110o
 Merkezden kirişe
B
indirilen dikme hem kirişi
Yukarıdaki verilenlere göre, x kaç derecedir?
hem de yayı ikiye böler.
OC   AB
O
ise
AD  DB
m AC   mBC 
A
D
B
C
AC  BC
3
ÇEMBERDE AÇI
Örnek 3
Örnek 6
B
[AD] çaplı çemberde
C

A
m CED   40 ise
A
D
O
25o
m ABC   
kaç derecedir?
40o
B
30o
a
b
D
E
C
E
Şekilde, O merkezli çember ile C noktasındaki teğeti
verilmiştir.
 
 
m  CEA   b olduğuna göre,


m CAE  30, m DBC  25, m BDE  a,
a + b toplamı kaç derecedir?
Örnek 4
C
35o

[AB] çaplı çemberde
D
A
B
CD //  AB
mDCB   35
m CDB   
Örnek 7
ise
[BA, çembere A
kaç derecedir?
A
noktasında teğettir.
60o
B, D, C doğrusal
AB  AC

B
D
mDAC   60 ise
C
m ADC   
kaç derecedir?
Örnek 5
A
Örnek 8
O merkezli çemberde

mBCO   35 ise
O
C
60o
mBAC   
35o
A
[AD, çembere D
noktasında teğettir.
BC  BD
kaç derecedir?
B
B

D
C
m CAD   60 ise
m CBD   
kaç derecedir?
4
ÇEMBERDE AÇI
Örnek 9
Örnek 12
Çemberde
E
 AB  BC
D
P
T
A
o
30
C


A
F
30o
mDTC   32
Şekildeki çemberde
C
DC  BE  F
mBAC   30
mBFC   80 ise
m ABE   

D
m ACB  30
B
80o
E
AB  ED
kaç derecedir?
B
Yukarıdaki verilenlere göre, m APE kaç derecedir?
Örnek 13
Örnek 10
A
A
A ve D noktalarında
 
m BFD  70

F
70o
C

C
 AB çap


D
m AKE  
50o
E
Yukarıdaki
Yukarıdaki verilere göre,  kaç derecedir?

m APD  50
B
D
verilere
göre,


m BCD  x
kaç
derecedir?
Örnek 11
Örnek 14
Şekilde,
A
E
K
115o
B
teğettir.
O
x
m(ACE)  50
K
[PA ve [PD sırasıyla
50o
Şekildeki çemberde
B
O merkezli çembere
P
80o
D
 
m  AKC   115
36o
P
m ABC  80
[AD ve [AC
A
sırasıyla
E
T
çembere D ve
C noktalarında
B
teğettir.
D
mDPE   mETC 
C

C

m DAC  36
Buna göre, mED kaç derecedir?


Yukarıdaki verilere göre, m DBC kaç derecedir?
5
ÇEMBERDE AÇI
Örnek 15
Örnek 18
B
F
A
O merkezli
[AD O merkezli

çemberde
D
çembere B ve C
E
noktalarında
O

Şekildeki [AB ve
AD  AC
12o
B
O
teğettir.
G
C
50o
A
C
D
 
m  CAD   
m ABC  12 ise
kaç derecedir?
mBAD   50 ve mFEC   40 ise
mFGC   kaç derecedir?
Örnek 19
A
O merkezli
çemberde
70o
Örnek 16
A
x
BD  OC
20o


m BCO  20
B
B
O merkezli çemberde
C
D
 
m  ABC   120
m OAB  70
120o
O
O
C
Yukarıdaki
verilere
göre,


m OCB  x
kaç
derecedir?
Yukarıdaki verilere göre, m AC kaç derecedir?
Örnek 17
Örnek 20
C
O merkezli
O merkezli çembere
yarım çemberde,
E
O
O
 
m  CBA   x
m CAB  20
x
20o
A
[PT, T noktasında
AD  EO
D
B
K
x
P
24o
A
derecedir?
6
OP //  AT 

m(T A O)  24
T
Buna göre, x kaç derecedir?
Yukarıdaki
teğettir.
verilere
göre,

m(OPT)  x
kaç
ÇEMBERDE AÇI
Örnek 21
Örnek 24
O merkezli yarım
E
A
 
m DOE   60
C
F
O
Yukarıdaki
çemberde,
m CEF  10
x
60o
Yarıçapı 1 cm olan
B
çemberde
10o
D
1
A
göre,
BC  2 cm
C
OB  EF
B
verilere
AB  1 cm
2
 
m EFD  x


Yukarıdaki verilere göre, m ABC kaç derecedir?
kaç
derecedir?
Örnek 25
Örnek 22
T
C
[CT, O merkezli
B
A noktasında teğettir.
A
çembere T
P
noktasında teğettir.
A
O merkezli çembere PT
B
x
O
 AD  BE  C
C
 
m BAT   17
m DOE  66
66o
D
O
T
E




Yukarıdaki verilere göre, m ACE  x açısı kaç
Yukarıdaki verilere göre, m ACT kaç derecedir?
derecedir?
Örnek 26
Örnek 23
C
D
[AB] çaplı yarım
C
70o
D
A
B merkezli dörtte bir
çemberde
çemberde
DE   AB
CD  DE
AE  EB
 
m  CBA   55
m EAB   x
m ACB  70
E
x
x
55o
B
A
E
Yukarıdaki
derecedir?
Yukarıdaki verilere göre, x kaç derecedir?
7
B
verilere
göre,


m BCD  x
kaç
ÇEMBERDE AÇI
Örnek 27
Örnek 30
B
O merkezli çeyrek
C
D
çember
105o

kesişmektedir.
A

F
m COK  15
A
O
Yukarıdaki
verilere


m CKA  x
göre,
noktalarında
x
KA  KO
15o
çemberler E ve F
C
 AK   KO
x K
Şekildeki
E


m ADC  105
B
Buna göre, mDCB  x kaç derecedir?
kaç
derecedir?
Örnek 31
Çemberler birbirleri-
Örnek 28
ne K, L ve M nokta-
O merkezli çeyrek
B
larında teğettir.
çemberde
K
H

 AH  BC
m(M C L ) =
BH  HC
m(K B L) =

30°
40°
x
A
O

C


Verilenlere göre, m(K A M) kaç derecedir?
Yukarıdaki verilere göre, m HAC  x kaç derecedir?
Örnek 32
Örnek 29
D
L
A

K
A
B
50o
D
T
E
C
B
C
Şekildeki çemberler A noktasında birbirine içten
BC, şekildeki E noktasında dıştan teğet iki çemberin
teğet, AK doğrusu çemberlere A noktasında teğet,
ortak teğetidir.
[BC] küçük çembere B noktasında teğet ve
mBAE  50 ise mEDC   kaç derecedir?
m ATC  100 ve m ALB   200 olduğuna göre,


m ACB kaç derecedir?
8
ÇEMBERDE AÇI
Örnek 33
Örnek 35
O
ABCD dörtgeninde
C
D
E
B
x
15o
A
K
C
 AB   AD
BC  DC
mDAC   50
m CDB   

50o
A
Yukarıdaki şekilde C merkezli OEA çember yayı ile O
B
kaç derecedir?
merkezli BKA çember yayı çizilmiştir.




m BAC  15 olduğuna göre, m OCA  x kaç
derecedir?
Örnek 36
ABC üçgeninde
A
Örnek 34
C
E
O merkezli yarım
BE   AC
CD   AB
çemberde D, E, C
BF  FC
52o

doğrusal
D
D
OE  DE
A
O
Yukarıdaki
verilere
B
göre,

mDFE   

EC  OA
m(OEC)  
mBAC   52 ise
E
B
kaç
derecedir?
9
F
C
ise
kaç derecedir?
ÇEMBERDE AÇI
Örnek 37
Örnek 40
A
F
ABC üçgeninde

ABC bir üçgen
AB  AD  AE
[CF çembere A
A
noktasında teğet
mEBC   10 ise
mBAE   mEAD 
mDAC   
E
kaç derecedir?
B
B
D
mBCF   40
40o
10o
C
E
D
C
Yukarıdaki verilere göre, mBEA  kaç derecedir?
Örnek 38
A
ABC üçgeninde
AB  AD  AC


m BAD  60
olduğuna göre,
C
B

m BCD

kaç derecedir?
D
Örnek 41
A
D
ABCD kare E noktası, A
ve D merkezli [AD] yarı-
Örnek 39
çaplı çember yaylarının
kesme noktasıdır.
[AB ve [AC
çemberlere
D
E
sırasıyla B ve C
B
160o
noktalarında teğet
C
B
C
Yukarıdaki verilere göre, m ABE kaç derecedir?
mBDC  160
A
Yukarıdaki şekilde çemberler D noktasında dışta
teğet olduğuna göre, mBAC kaç derecedir?
10
10