Birinci Dereceden Denklem Notları Tanım Bir değişkenli birinci dereceden denklem genel olarak: ax + b = 0 (a ≠ 0, a,b ∈ ℝ) biçimindedir. Temel Özellikler • Çözüm kümesi her zaman tek elemanlıdır: x = -b/a • Denklem doğrusal fonksiyon f(x) = ax + b biçimindedir. • Çözüm, fonksiyonun x-eksenini kestiği noktadır. • Birinci dereceden iki denklem eşitlenerek kesişim bulunabilir. Çözüm Adımları 1. ax + b = 0 2. Sabit terimi karşıya geçir: ax = -b 3. Katsayıya böl: x = -b/a Teorem & İspat Teorem: Bir değişkenli birinci dereceden denklemin her zaman tek bir reel kökü vardır. İspat: ax + b = 0 ⇒ x = -b/a Bölen a ≠ 0 olduğu için reel sayı kümesinde çözüm daima tektir. Soru Kalıpları 1. Parantezli: 2(x - 3) = 5 2. Kesirli: x/2 + 1 = 4 3. Negatif katsayı: -3x + 7 = 0 4. İki taraf bilinmeyenli: 2x + 5 = x - 3 5. Denklem içinde denklem: x = 2(3x - 4) 6. Mutlak değer: |x + 2| = 5 7. Parametreli: mx + b = 0 8. Orantılı: x/4 = 3/2 9. Basamaklı: (2x + 3)/5 - x/2 = 1 10. Parantez + kesir: 3(x - 2)/4 = 6 11. İç içe parantez: 2[3(x + 1) - 4] = 8 12. Denklem sistemi: y = 2x + 1 ve y = 3x - 2 13. Fonksiyonel: f(x) = ax + b, f(x) = 0 14. Eşitlik zinciri: 3x - 5 = 2x + 4 15. Kesirlerin eşitliği: (x - 1)/2 = 3/4 1 Örnek Sorular ve Çözümleri 1) 2x + 3 = 7 → 2x = 4 → x = 2 2) 5x - 10 = 0 → 5x = 10 → x = 2 3) x/3 + 2 = 5 → x/3 = 3 → x = 9 4) 4(x - 1) = 12 → 4x - 4 = 12 → x = 4 5) 2x + 3 = x + 7 → x = 4 6) -x + 2 = 5 → -x = 3 → x = -3 7) (2x + 3)/5 = 1 → 2x + 3 = 5 → x = 1 8) 3(x - 2) + 4 = 10 → 3x - 2 = 10 → x = 4 9) |x + 2| = 5 → x + 2 = ±5 → x = 3 veya x = -7 10) x/2 = -4 → x = -8 11) 2(x + 1) = 2x + 2 → Özdeşlik, sonsuz çözüm. 12) x + 3 = x + 5 → Çelişki, çözüm kümesi boş. 13) 7(x - 1) = 2x + 10 → 5x = 17 → x = 17/5 14) 3(x - 1)/2 = x/3 → 7x = 9 → x = 9/7 15) x - 2 = -x + 4 → 2x = 6 →x=3 Matematiksel Dille Kapanış Bir değişkenli birinci dereceden denklem: ∀a,b ∈ ℝ, a ≠ 0: ax + b = 0 ⇒ x = -b/a - Eğer a = 0, b = 0 ise özdeşlik vardır: Çözüm kümesi ℝ. - Eğer a = 0, b ≠ 0 ise çelişki vardır: Çözüm kümesi ∅. 2
