Sabit Elektrik Alanda Kondansatör

KONDANSATÖRLER
Sabit Elektrik Alanda Kondansatör
İki iletken elektrot arasında boşluk veya dielektrik bir madde olması durumunda oluşturulan
yapılara kondansatör denir. İletken levhalara ∆𝑉 potansiyel farkının uygulanmasıyla,
iletkenler Q kadar eşit ve zıt miktarlarda yüklenirler. Kondansatörün karakteristiğini veren
büyüklük
𝐶=
𝑄
∆𝑉
(2.1)
olarak tanımlanan kapasitansıdır. Sırasıyla Q ve V ‘nin birimleri Coulomb ve Volt seçilirse
sığanın birimi Farad olur.
1 Farad = 1F = 1 Volt başına Coulomb = 1 C/V
Kondansatörün geometrisine bağlı olarak farklı şekillerde kapasitans yazılabilir. En basit
kondansatör, elektrotlar A yüzey alanına sahip düzlem plakalar halinde olduğunda ve plakalar
arasında d kalınlığında boşluk bulunduğunda, kapasite
𝐶0 = 𝜀0
𝐴
𝑑
(2.2)
değerine sahiptir. 𝜀0 boşluğun permitivitesi olarak adlandırılır ve değeri 8,85x 10−12 F/m’dir.
Kapasitenin değeri sadece plakaların geometrisine bağlıdır, plakaların yüküne veya potansiyel
farkına bağlı değildir. Her plakanın alanı A ile doğru orantılı, plakalar arasındaki mesafe d ile
ters orantılıdır. [37] Kapasite, plakalar arasında belli bir potansiyel fark üretmek için ne kadar
yük uygulanması gerektiğinin bir ölçüsüdür. Daha büyük sığa daha çok yük gerektirir.
+ + + + + + + + + + +
⃗𝑬
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
+
Şekil Error! No text of specified style in document..1: Boşluk kondansatörünün paralel
plakaları arasında oluşan elektrik alan çizgileri.
+
Kondansatör plakalarına potansiyel farkı uygulandığında, plakalar arasındaki elektrik alanın
düzgün olarak oluşturulması için plakalar arasındaki d mesafesi plakaların yüzeyinin
büyüklüğüne göre oldukça küçük seçilmelidir.
Kondansatörün plakaları arasında bir dielektrik madde yerleştirildiğinde kondansatörün
kapasitesi, 𝜀 plakalar arasındaki dielektrik maddenin permitivitesi olmak üzere,
𝐶=𝜀
𝐴
𝑑
(2.3)
şeklindedir. Plakaları arasında boşluk bulunan bir kondansatör kapasitesi,
𝐶0 =
𝑄
∆𝑉0
(2.4)
şeklinde gösterilirse, dielektrik maddenin plakalar arasına yerleştirilmesiyle kondansatörün
kapasitesinde bir değişim meydana gelecektir.
Bu değişim
∆𝑉 =
∆𝑉0
𝐾
(2.5)
oranında potansiyel farkında bir azalmadır. Bunun sonucunda kondasatör daha fazla
yüklenebilecektir. K sabiti 1’den büyük bir değer olduğundan, ∆𝑉 < ∆𝑉0 olacaktır.
Bundan dolayı kapasite değeri 𝐶0
𝐶=𝐾
𝑄
= 𝐾𝐶0
∆𝑉0
(2.6)
şeklinde bir artış gösterir.
𝐾 = 𝜀 ⁄𝜀0 olmak üzere K ′ ya dielektrik sabiti veya rölatif permitivite denir. Dielektrik sabiti K
sadece bir sayıdır, boyutu yoktur.
Buna göre dielektrikli kondansatörün kapasitesi,
𝐶=𝐾
𝜀0 𝐴
𝑑
(2.7)
şeklinde gösterilebilir.
(2.7) numaralı formül gereğince d plakalar arasındaki mesafe küçüldükçe kondansatörün
sığası çok büyük değerler alabilir. Pratikte d’nin alacağı en küçük değer, plakalar arasındaki
dielektrik ortama doğru olabilecek elektrik boşalması nedeniyle sınırlıdır. Bir kondansatörde
plakalar arasında oluşturulabilecek maksimum elektrik alan şiddeti ya da yük boşalması
olmayacak şekilde kondansatöre uygulanacak maksimum potansiyel farkı dielektrik sabiti
K’ya bağlıdır. Eğer burada maksimum değer aşılırsa, dielektrik madde özelliğini kaybederek
iletken özellik (Breakdown Effect) göstermeye başlar.
Oda sıcaklığında bazı maddelerin dielektrik sabiti ve dielektrik şiddeti tablo 2.1’de verilmiştir.
Tablo Error! No text of specified style in document..1: Bazı malzemelerin 20oC’de Kdielektrik sabitleri
Malzeme
K
Malzeme
K
Boşluk
1
Polivinil klorür
3.18
Hava (1 atm)
1.00059
Mylar
3.1
Hava (100 atm)
1.0548
Cam
5-10
Teflon
2.1
Neopren
6.70
Poletilen
2.25
Germanyum
16
Benzen
2.28
Gliserin
42.5
Mika
3-6
Su
80.4
Poliviniliden diflorür
11-12
Poliüretan
6-8
1. Dielektrik Maddenin Mikroskopik Boyutta İncelenmesi
Aralarında d mesafesi bulunan eşit ve zıt büyüklükteki (+q) ve (-q) yüklerinin meydana
getirdiği yapı elektrik dipol olarak adlandırılır. Elektrik dipoller, elektrik dipol momentleriyle
temsil edilirler. Q yüküne sahip yüklerden meydana gelen bir elektrik dipolün dipol
momentinin büyüklüğü, d yükler arasındaki mesafe olmak üzere,
𝑝 = 𝑞𝑑
şeklinde gösterilir.
(2.8)
Kondansatör plakaları arasında dielektrik madde olduğunda, plakalar arasındaki potansiyel
farkının (2.5) ilişkisi ile verilen azalmasına bağlı olarak 𝐸⃗ elektrik alanının da,
𝐸⃗ =
𝐸⃗ 0
𝐾
(2.9)
oranında azalması gerektiğini gösterir.
Bu durumu sürekli dipol momentlerine sahip bir dielektrik maddeyi göz önüne alarak
açıklayalım. Plakalar arasında elektrik alan yokken dipoller, şekil 2.2’de gösterildiği, rastgele
dağılmıştır.
Kondansatörün plakalarına bir 𝑉0 potansiyel farkı uygulandığında, plakalar arasındaki
dielektrikteki dipollerin üzerine bir tork etki eder. Bu tork, dipolleri uygulanan elektrik alan
doğrultusunda şekil 2.3-a’daki gibi yönelmeye zorlar.
⃗𝑬
⃗𝟎=0
Şekil Error! No text of specified style in document..2: Dış elektrik alanın olmadığı
durumda dielektrikteki dipollerin rastgele dağılımı.
⃗′
𝑬
⃗
𝑬
⃗
𝑬
Şekil 2.3-a
⃗𝟎
𝑬
Şekil 2.3-b
Şekil Error! No text of specified style in document..3-a,b: Dış elektrik alan
uygulandığında, dielektrik maddenin yapısında rastgele dağılmış bulunan dipollerin
uygulanan alan doğrultusunda yönelimi.
Dipollerin yönelme miktarı, elektrik alanın büyüklüğüne ve sıcaklık parametrelerine bağlıdır.
Eğer plakalar arasındaki dielektrik madde sürekli dipol momentlerine sahip değilse,
uygulanan dış elektrik alan ile dielektrikte bir indüklenme meydana gelir. Bu indüklenme
dielektrik maddeyi oluşturan polar olmayan moleküllerin çakışık durumda bulunan (+) ve (-)
yük merkezlerinin birbirlerinden küçük bir mesafe kadar ayrılmalarına sebep olur. Benzer
şekilde indüklenme ile oluşan dipoller, uygulanan dış elektrik alandan kaynaklanan torkun
etkisinde şekil 2.4’de gösterildiği gibi, bir dönme hareketi gerçekleştirirler. Yük çifti üzerine
etki eden net kuvvet sıfır olmasına rağmen, kuvvet çifti, sistemi dönme hareketine zorlar.
Bunun sebebi sistem üzerine şekil 2.5’de görüldüğü gibi bir tork’un etki etmesidir.
⃗𝑭
+
⃗
𝒑
⃗𝑭
θq
⃗𝑬
⃗
q
Şekil Error! No text of specified style in document..4:
Dipolün uygulanan elektrik alandaki davranışı.
⃗
𝒑
⃗
𝝉
⃗
𝑬
Şekil Error! No text of specified style in document..5:
Dipolün dönme hareketine neden olan tork.
Plakalar arasına dielektrik madde konulduğunda elektrik alanda meydana gelen azalma Gauss
Yasası yardımıyla açıklanabilir.
Plakalar arasında boşluk varken : Şekil 2.3-a’daki gibi Her iki plaka üzerindeki yükü,
paralel bir plakalı bir kondansatörün plakaları arasındaki elektrik alan ile ilişkilendirmek için
Gauss yasasını kullanalım.
𝜀0 ∮ 𝐸⃗ . 𝑑𝑆 = 𝜀0 𝐸0 𝐴 = 𝑄
𝐸0 =
𝑄
𝜀0 𝐴
(2.10)
şeklindedir.
Plakalar arasında dielektrik malzeme varken : Paralel plakalı bir kondansatörün plakaları
arasında şekil 2.3-b’deki gibi bir Gauss yüzeyi seçilirse elektrik alan
𝜀0 ∮ 𝐸⃗ . 𝑑𝑆 = 𝜀0 𝐸0 𝐴 = 𝑄 − 𝑄′
𝑄
𝑄′
−
𝜀0 𝐴 𝜀0 𝐴
𝐸=
(2.11)
şeklindedir. Buradaki 𝑄 ′ , plakalar arasındaki dielektrik maddenin yüzeylerinde indüklenme
ile oluşan yükleri temsil eder. Beklenen Gauss yüzeyi üzerindeki net yük 𝑄 − 𝑄 ′ şeklindedir.
𝑸
𝑸
𝑸′
𝑲
Gauss yüzeyi
Şekil 2.6-a
Gauss yüzeyi
Şekil 2.6-b
Şekil Error! No text of specified style in document..6-a,b: Kondansatörün plakaları arasında
boşluk varken yük dağılımı ve kondansatörün plakaları arasında dielektrik madde varken
yük dağılımı
(2.10) bağıntısıyla verilen elektrik alanın büyüklüğünü yük cinsinden yazarsak,
𝐸=
𝑄
𝜅𝜀0 𝐴
(2.12)
buluruz. Plakalar arasında dielektrik maddenin olması durumunda toplam elektrik alan azalır.
Azalmanın nedeni indüklenme sonucu dielektrik maddenin yüzeyinde biriken yüklerin ters
yönde oluşturduğu elektrik alandır. Bu elektrik alanı 𝐸⃗ ile gösterirsek, büyüklüğü;
𝐸′ =
𝑄′
𝜀0 𝐴
(2.13)
şeklindedir.
(2.11) bağıntısı kullanılarak;
1
𝑄 ′ = 𝑄 (1 − )
𝜅
(2.14)
olarak elde edilir. Dielektriğin yüzeyindeki indüklenmiş yük miktarı plaka yüzeyindeki yük
miktarından her zaman daha küçüktür. (𝑄 ′ < 𝑄)
Dipol
-
Serbest yük
-
-
Bağlı yük
-
Şekil Error! No text of specified style in document..7: Dielektrikli kondansatörde
gözlenen elektrik alanlar (Üç Alan Vektörü)..
Dielektrikte oluşan elektrik alan ve elektrik polarizasyon vektörünün birer vektör
olmalarından dolayı elektrik deplasman da bir vektördür. Buna göre bu üç vektör arasında
⃗ = 𝜀0 𝐸⃗ + 𝑃⃗ ilişkisi vardır.
𝐷
Bir dış elektrik alan içinde yer alan dielektrik maddenin polarize olacağını biliyoruz. Birim
hacimdeki toplam dipol momenti maddenin polarizasyon vektörü olarak tanımlanır. Plakalar
arasındaki toplam elektrik alan
⃗ = 𝜀0 𝐸⃗ + 𝑃⃗
𝐷
(2.15)
⃗ elektrik deplasman vektörü ile gösterilir. (2.14) formülündeki ilk terim
şeklinde tanımlanan 𝐷
deplasman alanına, ikinci terim plakalar arasında uygulanan alana ve son terim de
polarizasyon nedeniyle oluşan alana karşılık gelir. [38,39]
⃗
𝐷
yalnızca serbest yüklerle bağlantılı,
𝑃⃗
yalnızca polarlanmış yüklerle bağlantılı,
𝐸⃗
ise serbest ve polarlanmış tüm yüklerle bağlantılıdır.
𝑉=
𝑄 𝑄 1
=
𝐶 𝐾 𝐶0
𝑄
Q : Toplam Yük
1
𝑄 = (1 − )
𝐾
𝐾
: Serbest Yükler
Bağlı yükler , polarizasyon sonucu nötrlenmiş yükler
Yük yoğunluklarını alan vektörleri ile göstereceğiz.
𝑄 = ∫ 𝑠𝑑𝐴
s : yoğunluk
⃗⃗ elektriksel akı yoğunluğu (deplasman alanı)
D
Normal bileşenini aldığımızda ;
𝑆𝑑𝐴 = 𝐷𝑛 𝑑𝐴
(2.16)
D vektörünün ve birim normal vektörünün skaler çarpımının pozitif değeri, pozitif yükü
belirtir.
Aynı şekilde, serbest yük yoğunluğu, 𝐸⃗ elektrik alan şiddeti veya alan yoğunluğu şöyle
yazılabilir.
𝑆
𝑑𝐴 ≡ 𝜀0 𝐸𝑛 𝑑𝐴
𝐾
(2.17)
⃗ , polarizasyon
Bağlı yük vektörü P
1
𝑆 (1 − ) 𝑑𝑎 = 𝑃𝑛 𝑑𝐴
𝐾
(2.18)
(2.16) ve (2.17) denklemlerinden akı yoğunluğu ve elektrik alan şiddeti arasındaki ilişki ve
(2.16) ile (2.18) arasındaki 3 vektör alanı arasındaki ilişki şöyledir :
𝑆−
𝑆
= (𝐷 − 𝜀0 𝐸) = 𝑃
𝐾
𝑃 = 𝐷 − 𝜀0 𝐸 = 𝜒𝜀0 𝐸
𝜒=𝐾−1=
𝐵𝑎ğ𝑙𝚤 𝑦ü𝑘 𝑦𝑜ğ𝑢𝑛𝑙𝑢ğ𝑢
𝑆𝑒𝑟𝑏𝑒𝑠𝑡 𝑦ü𝑘 𝑦𝑜ğ𝑢𝑛𝑙𝑢ğ𝑢
(2.19)
χ : Süseptibilite
3. Değişken Elektrik Alanda Kondansatör
Plakaları arasında boşluk bulunan kondansatörün plakaları arasında 𝜔 açısal frekanslı bir
potansiyel fark uygulanırsa,
𝑉 = 𝑉0 𝑒 𝑖𝜔𝑡
(2.21)
kondansatör,
𝑄 = 𝐶0 . 𝑉 = 𝐶0 𝑉0 𝑒 𝑖𝜔𝑡
yükü ile yüklenir. Bu yüklenmeye neden olan yükleme akımı;
𝐼𝑐 =
𝑑𝑄
𝑑𝑡
(2.22)
𝜋
𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 = 𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 + )
2
𝐼𝑐 =
𝜋
𝑑𝑄
= 𝑖𝜔𝐶0 𝑉 = 𝐼0 𝑒 𝑖(𝜔𝑡+ 2 )
𝑑𝑡
(2.23)
şeklindedir. Yükleme akımı ie uygulanan voltaj arasında 90o faz farkı vardır. Yanı akım
uygulanan voltajdan 90o ileridedir.
Eğer plakalar arasında bir dielektrik malzeme varsa, akım ile uygulanan voltaj arasındaki faz
farkı 90o den farklı olacaktır. Yani fark farkı 90 değil 90-𝛿 kadar olur. Bu durum fazör
diyagramıyla gösterilir. [38,40,41]
I
I
𝑰𝒄
𝜹
𝑰𝑹
V
Şekil Error! No text of specified style in document..8: Değişken dielektrik alan uygulanan
kondansatörün plakaları arasındaki dielektrik
maddede ortaya çıkan yükleme ve kayıp
akımlarının fazör diyagramıyla gösterimi.
Buna göre akımın uygulanan potansiyel farkıyla aynı fazda olan bir bileşeni olmalıdır. Bu
bileşene kayıp akımı denir ve 𝐼𝑅 ile gösterilir. Kondüktans 𝐺 = 1⁄𝑅 olmak üzere,
𝐼𝑅 = 𝐺𝑉
(2.24)
ile gösterilir.
Kondansatördeki toplam akım,
𝐼 = 𝐼𝐶 + 𝐼𝑅 = (𝑖𝜔𝐶 + 𝐺)𝑉
(2.25)
şeklindedir.
Dielektrikteki enerji kaybından dolayı, yükleme akımı ile toplam akım arasında faz farkı
meydana gelir. Kayıp faktörü yükleme akımı ile toplam akım arasındaki faz açısının tanjantı
alınarak hesaplanır:
𝑡𝑎𝑛 𝛿 =
|𝐼𝑅 |
1
=
|𝐼𝐶 | 𝜔𝑅𝐶
(2.26)
Toplam akım bu ifadeden faydalanılarak,
𝐼 = (𝑖𝜔𝜀 ′ + 𝜔𝜀")
𝐶0
𝜀 ′ − 𝑖𝜀"
𝑉 = 𝑖𝜔𝐶0
𝑉
𝜀0
𝜀0
(2.27)
şeklinde ifade edilebilir.
𝜀 ∗ = 𝜀 ′ − 𝑖𝜀"
(2.28)
Kısaltması kullanılır. Bu durumda κ*
𝐾∗ ≡
𝜀∗
𝜀0
(2.29)
şeklinde tanımlanır ve 𝐾 ∗ = 𝐾 ′ − 𝑖𝐾" şeklinde yazılır. Öte yandan dielektrikli kondansatör
için fazör diyagramı dikkate alınarak,
𝐶 = 𝐾 ∗ 𝐶𝑜
𝐾 ∗ = 𝐾 ′ − 𝑖𝐾 "
𝑑𝑄
𝑑
= 𝐶𝑉𝑜 𝑒 𝑖𝜔𝑡 = 𝑖𝑤𝐶𝑉𝑜 𝑒 𝑖𝜔𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝐼 ′ = 𝑖𝜔𝐶𝑉𝑜 𝑒 𝑖𝑤𝜔
Gerekli işlemler yapıldığında,
𝐼𝑅 𝜔𝐾 " 𝐶𝑜 𝑉𝑜 𝑒 𝑖𝜔𝑡
𝐾"
𝑡𝑎𝑛 𝛿 = =
= ′
𝐼𝑐 𝜔𝐾 ′ 𝐶𝑜 𝑉𝑜 𝑒 𝑖𝜔𝑡
𝐾
(2.30)
bulunur. Buradan kayıp faktörünün dielektrik sabitinin gerçek ve sanal kısımlarının oranı
olduğu görülür.
Akım yoğunluğu,
𝑗=
𝐼
𝐴
(2.31)
şeklindedir.
𝐼𝑅 𝑤𝐾 " 𝐶𝑜 𝑉𝑜 𝑒 𝑖𝜔𝑡
𝑗= =
𝐴
𝐴
|𝐸⃗ | = 𝑉 ⁄𝑑
, 𝐶𝑂 =
𝐴
𝜀
𝑑 0
(2.32)
olmak üzere, bu iletkenliğe ait akım yoğunluğu;
𝑗=
𝐼𝑅 𝐴
1
= 𝜀𝑜 𝐾 " . 𝐸0 . 𝑑. 𝑒 𝑖𝜔𝑡
𝐴 𝑑
𝐴
𝑗 = 𝜔𝜀 " 𝐸
(2.33)
𝜎𝐴𝐶 = 𝜔𝜀 "
(2.34)
elde edilir. Buna dielektrik ortamın değişken alan iletkenliği denir.
2.2.POLARİZASYON MEKANİZMALARI
Dielektrik malzemeler, elektrik alana polarize olarak cevap verir. Polarizasyon vektörü
kondansatörün plakalarının yüzeylerindeki nötürleşmiş yüklerle ilgilidir. Elemanter partikülün
ortalama dipol momenti
⃗⃗⃗⃗′
𝑝 = 𝛼𝐸
(2.35)
şeklinde ilişkilendirilebilir. Orantı faktörü α polarizlenebilme katsayısıdır ve ⃗⃗⃗⃗
𝐸 ′ yerel
dielektrik alandır. Polarizasyonunun uygulanan elektrik alan ve dielektrik sabiti ile ilişkisi
(2.19) numaralı denklemi kullanarak,
𝑃⃗ = (𝜅 − 1) 𝜀0 𝐸⃗
(2.36)
⃗⃗⃗⃗′
𝑃⃗ = 𝑁𝛼𝐸
(2.37)
eşitliği ile gösterilir.
Bu denklemde makroskopik boyutta dielektrik sabiti 3 mikroskopik parametre ile
ilişkilendirilmiştir:
1) Birim hacim başına katkıda bulunan temel parçacıkların sayısı N
2) Polarizlenebilirlik α
3) Yerel olarak elektrik alan E ′
2.2.1. Dielektrik Rölaksasyon
Rölaksasyon zamanı, elektrik alanın bir periyot içinde değişim yapması sonucu ile o periyot
içinde dipolün yönelme yapması için geçen zaman şeklinde de tanımlanabilir. Rölaksasyon
frekansı, malzemenin rezonans frekansına karşılık gelir. Elektrik alanın frekansı, rölaksasyon
frekansından küçük olduğu zaman polarizlenebilme kolayca oluşur ve elektrik alanı izler. Bu
durumda dielektrik kayıplar, ihmal edilecek kadar azdır. Frekans artarak rölaksasyon
bölgesine ulaşınca, polarizlenebilme alana uymakta zorlanır ve faz farkı artar. Bunun
sonucunda, dielektrik kayıplar maksimum olur. Frekans giderek artmaya devam ederse,
polarizlenebilme
meydana
gelemez
ve
dielektrik
sabiti
hızla
azalmaya
başlar.
Polarizlenebilme oluşmadığında ise, dielektrik kayıp olmayacaktır.
2.2.2. Elektronik Polarizasyon
Bir atomun çekirdeği elektrik açıdan nötronlar ve pozitif yüklü protonlardan oluşur. Negatif
yüklü elektronlar ise çekirdek etrafındaki kapalı yörüngelerde hareket ederler. Yani madde
elektriksel olarak düşünüldüğünde, negatif elektron bulutu ile çevrelenmiş pozitif bir
çekirdekten meydana gelir. Bir dış elektrik alan dielektriğe etkidiğinde elektron bulutunun
kütle merkezi çekirdeğe oranla az miktarda yer değiştirir. Böylece dipol momentleri meydana
gelmiş olur. Bu durum maddenin elektronik polarizasyonu olarak adlandırılır.
Elektronik boyutta yer değiştirmenin sonucu olarak çıkan elektronik polarizasyonun aksine
atomik polarizasyon çok atomlu bir molekülün bir dış elektrik alan altında molekülü oluşturan
atom merkezlerinin göreceli olarak birbirlerine göre çok küçük miktarlarda yer değiştirmesi
neticesinde meydana gelir ve spektrumda infrared bölgesindedir. Elektronik polarizasyona
benzer. Atomik polarizasyonda dielektrik kayıp az olduğundan toplam ısınmaya katkısı da
azdır.
Elektrik alan uygulandığında meydana gelen dipol momenti ⃗⃗⃗
𝑝𝑖 ’nin molekül üzerine yerel
olarak etki eden ⃗⃗⃗⃗
𝐸 ′ alanıyla oluşacağından, meydana gelen polarizasyon,
𝑝𝑖 = 𝛼𝑚 ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
𝐸′
(2.38)
ifadesi ile gösterilir.
Burada 𝛼𝑚 molekülün polarizlenebilirlik katsayısıdır. İki ara terimin toplamından meydana
gelir:
(2.39)
𝛼𝑚 = 𝛼𝑒 + 𝛼𝑎
𝛼𝑒 elektron bulutunun elektrik alan etkisi altında yer değiştirme kabiliyetini; diğer bir deyişle
polarizlenebilirliğini
temsil
eder.
𝛼𝑎
çekirdeğim
polarizlenebilirliğidir.
Atomik
polarizlenebilme katsayısı da denebilir. Elektrik alanın etkisi altında çekirdeğin hareket etme
kabiliyetini temsil eder.
Bu polarizasyon türü, atomun elektronik yapısı sıcaklıktan etkilenmediğinden sıcaklığa bağlı
değildir. Yani 𝛼𝑚 polarizlenebilirlik katsayısı sıcaklığa bağlı değildir.
Bütün atomlar bu tip polarizasyona kısa zaman aralıklarında uğrarlar. Kısa rölaksasyon
zamanları yüksek frekanslarda gözlenen bir olaydır. Elektronik polarizasyon 1015 − 1016 Hz,
atomik polarizasyon ise 1013 − 1014 Hz frekans aralığında meydana gelir.
⃗
𝑬
2.2.3. İyonik Polarizasyon
Şekil Error! No text of specified
style
in
document..9:
Elektronik polarizasyon.
Elektronik polarizasyonun bir benzeri olarak kristal örgüyü meydana getiren iyonların elektrik
alanın gerektirdiği hareket etmeleri sonucunda dipollerin oluşması iyonik polarizasyon
tanımlanır. İyonik polarizasyon katsayısı 𝛼𝑖 ile temsil edilir. Zıt yüklerin zıt yönlü
hareketlerinden meydana gelir. İyonlar elektronlara göre daha ağır olduklarından elektronik
polarizasyona göre daha uzun bir zaman aralığı gerektirir. Bu yüzden daha düşük frekanslarda
gözlenir. Genel olarak iyonik malzemelerde meydana gelir.
⃗𝑬
⃗
Şekil Error! No text of specified
style in document..10:
İyonik polarizasyon.
2.2.4. Dipolar Polarizasyon
Bazı moleküller (örneğin su ) asimetrik yapısı gereğince kendiliğinden dipol momentine
sahiptir. Bu tür moleküllere bir dış elektrik alan uygulandığında yapıda bulunan dipol
momentlerinin üzerine tork uygulanır ve bunun sonucunda moleküllerin uygulanan elektrik
alanın gerektirdiği yönde yönelmeleri gerçekleşir. Bu şekilde meydana gelen polarizasyon
dipolar polarizasyon olarak adlandırılır ve 𝛼𝑑 ile temsil edilir.
Dipolar polarizasyon, genel olarak, 1kHz ile 1MHz arasındaki frekans değerlerinde gözlenir.
Dipol rölaksasyonu sıcaklık ve çevredeki kimyasallara bağlı olarak değişir.
H
H
O
⃗
𝒑
⃗
𝑬
Şekil Error! No text of specified
style in document..11:
Dipolar polarizasyon.
2.2.5. Yüzeyler arası Polarizasyon
Elektronik, iyonik ve dipolar polarizasyon mekanizmaları, bağlı yük taşıyıcılarının yer
değiştirmesi ya da dönmesinden kaynaklanırken, yüzeyler arası polarizasyon, dielektrik
maddeyi oluşturan örgü ve tabaka yüzeyleri arasındaki kırık veya çatlaklara yüzey yüklerinin
birikmesi sonucunda meydana gelir. Yüzeyler arası polarizasyon 𝛼𝑠 polarizlenebilme
katsayısı ile temsil edilir. Dielektrikler iyi iletkenler olmadıklarından yük taşıyıcıları yavaş
hareket ederler. Dolayısıyla polarizasyonun meydana gelmesi de yavaş bir süreçtir.
Bu sebeple yüzeyler arası polarizasyon 10−2 Hz civarindaki frekanslarda ve genel olarak
elektriksel açıdan heterojen materyallerde gözlenir.
⃗𝑬
+
-
+
-
+
+
+
-
-
-
-
+
-
+
-
+
-
+
+
-
+
-
+
-
+
+
+
+
-
-
-
+
-
+
-
+
+
-
-
-
Şekil Error! No text of specified style in
document..12:
Yüzeyler
arası
polarizasyon.
2.3.CLASIUS-MOSOTTI-LORENZ-LORENTZ DENKLEMİ
Polarizasyonun değeri, üzerine etki eden yerel alanın büyüklüğüne bağlıdır. Yerel alan,
molekül üzerine etki eden elektrik alan büyüklüğüdür. Polar olmayan moleküllerden oluşan
bir dielektrik madddede dış elektrik alanın etkisinde dipollerin oluşumunun bir modelini
inceleyelim.
Katılarda ve sıvılarda, bir A referans molekülüne etkiyen dış elektrik alan, çevrede bulunan
diğer moleküllerin polarizasyona uğraması dolayısıyla azalır. Etkiyi hesaba katmak için şekil
2.14’deki model göz önüne alınabilir.
+σp
X
⃗⃗⃗⃗
𝑬𝟏
-σp
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑬𝑫𝑰Ş
r
A
z
⃗⃗⃗⃗
𝑬𝟑
y
⃗⃗⃗⃗
𝑬𝟐
Şekil Error! No text of specified style in
document..13: Dielektrikte meydana gelen
yerel alan.
Madde içinde göz önüne alınan A referans molekülünün etrafının sanal bir küreyle
çevrelendiğini varsayalım. Kürenin yarıçapı referans molekülünün küre dışında kalan
molekülleri teker teker algılamayacağı şekilde olsun. Küre içindeki moleküller küre dışındaki
polarizasyonun değişmediği kabul edilerek bir an için yok varsayılırsa, A molekülü üzerine
etkiyen elektrik alan iki alandan kaynaklanır.
⃗⃗⃗⃗
𝐸1 : Elekrot plakalarının yüzeyindeki serbest yüklerden kaynaklanan elektrik alan,
⃗⃗⃗⃗
𝐸2 : Kutuplanmış dielektrik ortamın dış yüzeylerinde oluşan ±σ bağlı yüklerin alanı
⃗⃗⃗⃗
𝐸3 : Sanal kürenin sınırlarını belirleyen, dipol zincirlerinin serbest uçlarından kaynaklanan
elektrik alan (Lorentz Yerel Alanı)
⃗⃗⃗⃗
𝐸4 : Oyuk içinde bulunan dipollerin oluşturduğu alan
Aslında sanal küre içerisinde A molekülü civarında başka moleküller de vardır. Bu moleküller
A molekülüne oldukça yakın konumda bulunurlar ve bundan dolayı her birinin konumları ve
şekilleri de göz önüne alınmalıdır. Bu moleküllerin oluşturduğu bir ⃗⃗⃗⃗
𝐸4 alanı vardır. Bu alan da
hesaba katıldığında,
𝐸⃗𝑦𝑒𝑟𝑒𝑙 = ⃗⃗⃗⃗
𝐸1 + ⃗⃗⃗⃗
𝐸2 + ⃗⃗⃗⃗
𝐸3 + ⃗⃗⃗⃗
𝐸4
(2.40)
olur.
Ortamın makroskobik alanına 𝐸⃗ dersek ;
𝜎 𝜎𝑝
𝐸⃗ = ⃗⃗⃗⃗
𝐸1 + ⃗⃗⃗⃗
𝐸2 = ( − ) 𝑛⃗
𝜀0 𝜀0
(2.41)
𝑛⃗ yüzeye dik birim vektördür.
𝐸⃗𝑦𝑒𝑟𝑒𝑙 = 𝐸⃗ + ⃗⃗⃗⃗
𝐸3 + ⃗⃗⃗⃗
𝐸4
(2.42)
Bu sonuç oyuğun geometrisinden bağımsız ve oldukça geneldir. Lorentz alanı olarak da
⃗⃗⃗⃗𝐿 ) , P kutuplanmasıyla ortaya çıkan oyuğun dışındaki dipollerden gelen katkıdır.
bilinen ⃗⃗⃗⃗
𝐸3 (𝐸
Küresel oyuk yüzeyinde oluşan kutuplanma yüklerinin yüzey yük yoğunluğu,
𝜎𝑝 = 𝑃. 𝑛 = 𝑃𝑛 dır.
Kutupsal koordinatları kullanırsak bu yüklerin küre merkezinde oluşturduğu elektrik alanı ⃗⃗⃗⃗
𝐸3
⃗⃗⃗⃗𝐿 )
(𝐸
⃗⃗⃗⃗𝐿 ) hesaplamak için sanal kürenin yüzeyindeki yük
için hesaplayabiliriz. ⃗⃗⃗⃗
𝐸3 (𝐸
yoğunluğunun polarizasyon vektörü cinsinden
𝑝. 𝑑𝐴
dır.
Buna göre
⃗⃗⃗⃗
𝐸𝐿 = ∮
Pcos 2 θ
dA
ε0 4πr 2
(2.43)
𝑑𝐴 = 2𝜋𝑠𝑖𝑛𝜃𝑟 2 𝑑𝜃
⃗⃗⃗⃗
𝐸𝐿 =
𝜋
𝑃
2
2𝜋𝑟
∫
𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃
4𝜋𝜀0 𝑟 2
0
𝑃 𝜋
∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃
2𝜀0 0
⃗⃗⃗⃗
𝐸𝐿 =
(2.44)
Gerekli hesaplamalar yapıldığında,
𝜋
∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 =
0
2
bulunur.
3
Kısmi integral sonucu (2.44) numaralı denklemde yerine yazıldığında,
𝑃⃗
3𝜀0
(2.45)
𝑃⃗
= 𝐾′ − 1
𝜀0 𝐸
(2.46)
⃗⃗⃗⃗
𝐸𝐿 =
𝜒=
𝑃⃗ = 𝜀0 (𝐾 ′ − 1)
(2.47)
Küre yarıçapını çok küçük varsaydığımız için P vektörü küre içinde sabit olur. Oyuk içindeki
yakın moleküler dipollerin oluşturduğu alanı saptamak, özel geometrik yapı dışında çok
zordur. Bu Bilgiler elde edilebilir olsa da, matematiksel bir yaklaşımla moleküllerin katkısını
belirlemek zordur. Lorentz, basit bir kübik örgüdeki çift kutuplar için, her örgü köşesinde E4
alanının sıfır olduğunu göstermiştir. Böylece basit kübik örgüler için ⃗⃗⃗⃗
𝐸4 = 0 ise, tümü ile
gelişigüzel durumlar için de ⃗⃗⃗⃗
𝐸4 = 0 olması düşünülebilir.
Bu durumda dielektrik bir ortamda bulunan bir dipol üzerine etkiyen net yerel alan, ortamdaki
⃗⃗⃗⃗𝐿 ) toplamına eşit olmalıdır.
makroskobik 𝐸⃗ alanı ile Lorentz alanının (𝐸
𝐸⃗𝑦𝑒𝑟𝑒𝑙 = 𝐸⃗ + ⃗⃗⃗⃗
𝐸𝐿 = 𝐸⃗ +
𝑃⃗
𝐸⃗
𝐸⃗
= 𝐸⃗ + (𝐾 ′ − 1) = (𝐾 ′ + 2)
3𝜀0
3
3
(2.48)
Şeklinde makroskopik parametreler cinsinden ifade edilmiş olur.
Dipol momentleri için
𝑃⃗ = 𝛼𝐸⃗𝑦𝑒𝑟𝑒𝑙
(2.49)
Makroskobik dipol moment yoğunluğu
𝑃⃗ = 𝑝. 𝑛⃗ = 𝑃⃗ = 𝛼𝐸𝑦𝑒𝑟𝑒𝑙
(𝐾 ′ − 1)𝜀0 𝐸 = 𝑁𝛼
(𝐾 ′ − 1)𝜀0 =
(2.50)
𝐸 ′
(𝐾 + 2)
3
𝑁𝛼 ′
(𝐾 + 2)
3
(2.51)
Dielektrik polarizasyonuna ait mikroskobik büyüklüklerle makroskopik büyüklükler arasında
ilişki kuran Mosotti ifadesi,
𝐾′ − 1
𝑁𝛼
=
′
(𝐾 + 2) 3𝜀0
(2.52)
elde edilir.
Böylece polarizasyonun temelini oluşturan dipole ait polarlanabilme katsayısı α ile dielektrik
sabiti κ arasındaki ilişki kurulmuş olur.
Ayrıca
𝐾 ′ − 1 << 1 bu durumdaK ′ + 2, 3 sayısının yerini alabilir.
𝑁𝛼
= 𝐾′ − 1 = 𝜒
3𝜀0
(2.53)
α : polarlanabilirlik
N : Birim hacimdeki polarlanabilir elektron (molekül) sayısı
χ : Yapının elektrik alan başına ne kadar polarlandığını verir.
Loschmidt sayısı : 𝑁𝐿 = 2.687 × 1025 𝑚−3
𝑁0 =
𝑁𝑀
= 6.023 𝑥 1023
𝜌
M : Molekül ağırlığı olarak tanımlanabilir.
𝜌 : yoğunluk (kg. m−3 )
(2.52) numaralı denklemde N yerine N0 yazarsak,
𝑁𝛼
𝐾′ − 1 𝑀
= ′
3𝜀0
𝐾 +2 𝜌
(2.54)
Lorentz, bağıl dielektrik sabitini Maxwell ilişkisine göre kırılma indisinin karesine eşit
olabileceğini söylemektedir.
Lorentz-Lorenz
𝑁𝛼
𝑛2 − 1 𝑀
= 2
3𝜀0
𝑛 +2 𝜌
Bu iki eşitlikten daha genel bir formüle erişebiliriz ;
𝑁𝛼
𝐾 ∗ − 1 𝑀 𝑛∗2 − 1 𝑀
= ∗
=
3𝜀0
𝐾 + 2 𝜌 𝑛∗2 + 2 𝜌
Clasius-Mosatti-Lorentz-Lorenz denklemini elde etmiş oluruz.
(2.55)